Sistema de coordenadas y transformaciones

SISTEMAS DE
COORDENADAS Y
TRANSFORMACIONES
1
ASTRONOMIA Y
GEODESIA
2
OBJETIVO GENERAL
 Conocer, Definir, Aplicar, Analizar
los diferentes sistemas de coordenadas y sus
transformaciones
3
TEMAS
TEMAS
SISTEMAS DE COORDENADAS






Introducción
Identificación de la longitud y la latitud COORD.
GEOGRAFICAS
Sistema de coordenadas cartesianas
Sistema de coordenadas tridimensionales
geográficas.
Sistema de coordenadas tridimensionales
cartesianas
Coordenadas planas, proyecciones.
4
TEMAS
II TRANSFORMACION DE COORDENADAS
•Transformación de coordenadas cartesianas
•Transformación de coordenadas geográficas a
cartesianas
•Transformación de coordenadas geográficas a
planas
5
INTRODUCION

Si trazamos en torno de la
tierra una serie de anillos
paralelos al ecuador y luego
una segunda serie, esta vez
de anillos perpendiculares al
ecuador y convergentes en
ambos polos, tendremos una
red de líneas de referencia
que nos servirán para
localizar con exactitud
cualquier punto de la
superficie terrestre.
6
LATITUD

La distancia que media entre
un punto determinado y el
ecuador se llama latitud. Esta
será "Norte" o "Sur" según
que el punto esté situado al
Norte o al Sur del ecuador.
Los anillos que corren
paralelamente al ecuador
reciben el nombre de
"paralelos de latitud" o,
simplemente, paralelos.
7
LONGITUD

Los anillos de la segunda serie,
que forman ángulo recto con los
paralelos y pasan por los polos,
se conocen por el nombre de
"meridianos de longitud" o, mas
sencillamente, meridianos. Estos
van de Norte a Sur, pero las
distancias Este-Oeste se miden
entre un meridiano y otro. Se
dirá, pues, longitud "Este" u
"Oeste" respecto del primer
meridiano.
8
COORDENADAS GEOGRAFICAS
IDENTIFICACION




Las coordenadas geográficas se expresan en
medidas angulares. A partir de 0º en el
ecuador, los paralelos de latitud van
numerándose hasta 90º, tanto hacia el Norte
como hacia el Sur. Los extremos son el Polo
Norte, a 90º de "latitud Norte", y el Polo Sur,
a 90º de "latitud Sur".
Comenzando de 0º en el primer meridiano,
la longitud se mide al Este o al Oeste. Las
líneas situadas al Este del primer meridiano
se expresan en grados (hasta 180º) de
"longitud Este". También aquí debe siempre
mencionarse la dirección (E u O). La longitud
de la línea opuesta (180º) al primer meridiano
se llama indiferentemente "Este" u "Oeste".
Por ejemplo, resumiendo lo que acabamos de
ver, la "x" en la figura representa un punto
situado a 39º de latitud Norte y 9º de longitud
Oeste. En forma escrita, la latitud de indica
siempre en primer lugar. Sus coordenadas
geográficas se expresaran por lo tanto de la
siguiente manera: 39ºN 95ºO.
9
COORDENADAS
GEOGRAFICAS
Los valores de las coordenadas
geográficas, formulados en unidades de
medición angular, tendrán mas sentido
para nosotros si comparamos dichas
unidades con otras que nos resulten
mas familiares. Así, en cualquier punto
de la Tierra, la distancia lineal
equivalente a 1º de longitud es de unos
111 km; 1 segundo equivale poco mas o
menos a 30 m.
La distancia correspondiente a 1º de
latitud en el ecuador es también de
unos 111 km, pero disminuye a medida
que nos movemos hacia el Norte o el
Sur, hasta llegar a cero en los polos.
10
INTRODUCION
 Si se nos ocurre la idea
de situar un punto en el
espacio, debemos
indefectiblemente
utilizar un sistema de
coordenadas basado en
tres ejes
perpendiculares entre
sí.
11
SISTEMA DE COORDENADAS
TRIDIMENSIONALES CARTESIANAS
 El punto O, donde se cruzan los
tres ejes, lo colocaremos en el
centro de la Tierra. Al eje Z, lo
colocaremos de manera que
coincida con el eje de rotación
del planeta. Para terminar,
haremos coincidir el plano
definido por OXZ con un
meridiano de origen (Greenwich,
Paris, etc.). Acabamos de definir
un sistema geodésico de
referencia. Con este sistema de
coordenadas, cualquier punto M
puede ser situado con exactitud
gracias a tres valores: X,Y,Z. (m)
12
INTRODUCION
 Como es terriblemente complicado
tratar de encontrar coordenadas
que sigan punto a punto la forma
del geoide, la gran mayoría de los
geofísicos han optado por trabajar
con una forma simple, el elipsoide,
es decir una esfera achatada en los
polos. La figura siguiente muestra
las dos formas mencionadas.
. Como se ve en este esquema, el
elipsoide es una manera de
aproximación de la forma real de la
Tierra, pero según el lugar
considerado, esta aproximación
podrá situarse sea por encima, sea
por debajo de la verdadera
superficie terrestre
13
INTRODUCION
 Surge 1º constatación : como el
geoide es de forma irregular, la
definición del centro de la Tierra
no es indiscutible (como lo sería
en el caso de una esfera. Cada
uno puede definir, a partir de su
centro de la Tierra, un elipsoide
diferente, es decir una sección
elíptica con un gran eje y un
coeficiente de achatamiento mejor
adaptado a la zona en la cual
trabajan.
Para situar un punto, a esta altura, necesitaremos un sistema de
coordenadas tridimensionales geográficas.
14
SISTEMA DE COORDENADAS
TRIDIMENSIONALES GEOGRAFICAS
 Este sistema necesita que
definamos un centro de la tierra (O),
un gran eje del elipsoide (a) y un
coef. de achatamiento (e).
 Un punto M será situado gracias a
tres coordenadas:
 λ : la longitud, ángulo entre el plano
del meridiano de origen y el
meridiano sobre el cual se sitúa M.
 ø: la latitud, ángulo entre la
perpendicular al elipsoide que pasa
por M y el plano ecuatorial.
 h : la altura de M por encima del
elipsoide, medida sobre la perpend.
entre M y el elipsoide.
15
SISTEMA DE COORDENADAS
TRIDIMENSIONALES GEOGRAFICAS
 Cuando se obtiene una posición en grados de longitud
y de latitud, no alcanza como información para situar
ese punto : es necesario saber cual sistema
geodésico y qué elipsoide de referencia se han
utilizado Contrariamente a una idea general entre
quienes trabajan en los distintos campos de la
ecología, una posición en latitud-longitud no es única
de por sí: según el sistema utilizado la posición real de
un valor latitud-longitud puede estar hasta 500m de
distancia el uno del otro
16
SISTEMA DE COORDENADAS
TRIDIMENSIONALES GEOGRAFICAS
17
COORDENADAS PLANAS
 Para obtener este tipo de coordenadas es necesario representar
sobre un plano la superficie del elipsoide. Obtenemos entonces
una representación plana o proyección. Cuando realizamos
esta operación, perdemos parte de la información, es decir que
perdemos la altura (h). Pero como en nuestro trabajo este tipo
de información, cuando es utilizado, se maneja por separado,
esto no representa un problema. El punto M será situado ahora
con respecto a un punto o, arbitrario, y de dos distancias N (por
Norte) y E (por Este), respectivamente medidas sobre dos ejes
perpendiculares a partir de o. Generalmente, estas distancias
están medidas en metros. Existen numerosos tipos de
proyecciones diferentes, pero las que nos interesan en
particular son las proyecciones Mercator (utilizada por el
SOHMA) y Gauss (utilizada por el Geográfico Militar).
18
CONCLUSIONES
Aquí se impone una precisión es importante entender esta parte que sigue
ya que les evitará un trabajo inútil.
Para situar un punto sobre una carta marina, se pueden usar dos tipos de
escalas situadas sobre los bordes de la misma : una escala en grados, y
una escala en metros. Si se utiliza la escala en grados, las posiciones no
estarán en la proyección Mercator, estarán en coordenadas
geográficas.
Si se utiliza la escala en metros, las posiciones estarán dadas en
coordenadas planas y sí, estarán en proyección Mercator. Veremos a
continuación cómo realizar la transformación entre tipos de coordenadas, y
quedará más claro que según qué escala se use, el trabajo a realizar será
diferente
19
TRANSFORMACION DE COORDENADAS
Diferentes tipos de transformación posibles
20
TRANSFORMACION DE COORDENADAS
Diferentes tipos de transformación posibles
SISTEMA A
←
MODELO DE
TRANSFORMACION
→
SISTEMA B
↔
CARTESIANAS
←
GEOGRAFICAS
FORMULAS
MOLODENSKI
→
←
GEOGRAFICAS
↔
↔
PLANAS
CARTESIANAS
↔
→
↔
SIMILITUD 3D
Con 7 parámetros
←
TRANSFORMACION
POLINOMIAL
→
PLANAS
21
TRANFORMACION DE COORDENADAS
 Solamente si el elipsoide y el sistema
geodésico de ambas coordenadas son
idénticos .se puede pasar de un tipo de
coordenadas planas, geográficas y
cartesianas a otro De la misma manera, las
fórmulas de Molodensky permiten pasar de
un elipsoide a otra, solamente si el sistema
geodésico es el mismo.
22
TRANSFORMACION DE COORDENADAS
Ejemplo
 ¿cómo se debe proceder?
 Si se tienen valores de latitud y longitud de un GPS, calibrado
en WGS84 y se desea transformarlos en metros Gauss
deberán seguirse los siguientes pasos:
 primero, se deben transformar las coordenadas geográficas en
coordenadas cartesianas;
 segundo, cambiar de sistema geodésico gracias a una
operación de similitud 3D;
 tercero, pasar las coordenadas cartesianas en el nuevo
sistema a coordenadas geográficas;
 cuarto, proyectar las nuevas coordenadas geográficas en
coordenadas planas, es decir en metros Gauss.
23
TRANFORMACION DE COORDENADAS
CARTESIANAS (Similitud 3D)
 Para pasar de un sistema
geodésico a otro, en principio
son necesarias tres operaciones
:
 Una traslación del centro de la
Tierra O con un x, y , z
(por supuesto si los dos
sistemas no tienen el mismo
centro)
 Una rotación (si los tres ejes no
son paralelos entre sí)
 Un cambio de escala (si las
unidades utilizadas no son las
mismas)
En todos los casos que se presentan para nuestro trabajo,
afortunadamente, los ejes son paralelos y las escalas son las
mismas. por lo tanto, la única operación necesaria es la traslación
del punto O.
24
TRANFORMACION DE COORDENADAS
GEOGRAFICAS A CARTESIANAS





Para pasar de coordenadas geográficas a
coordenadas cartesianas, hay que resolver el
problema planteado por el hecho que la latitud es
el ángulo formado por la perpendicular a la
elipsoide con el plano ecuatorial. Como se puede
ver en el esquema, la perpendicular a la elipsoide
no pasa por el centro de la Tierra. Para calcular
las coordenadas cartesianas es necesario
calcular primero la distancia NM, llamada gran
normal(N).
Una vez calculada esta gran normal, las fórmulas
siguientes permiten calcular fácilmente X, Y et Z.
X= (N+h) cosλ cosφ
Y= (N+h) cos λ sinφ
Z= N(1-e²) sinφ
25
TRANFORMACION DE COORDENADAS
CARTESIANAS A GEOGRAFICAS
 El mecanismo inverso al precedente es más
complicado. El cálculo de la longitud se hace gracias
a una fórmula simple. Pero para calcular la latitud, no
existe fórmula simple, y es necesario un cálculo por
iteraciones sucesivas.
 El método utilizado por el Instituto Geográfico
Nacional Francés, y que hemos adoptado en nuestros
programas, es el método de Heiskanen-MoritzBoucher.
 Lo que realmente importa retener de este cálculo, es
que, no habiendo una fórmula exacta, los
 resultados pueden ser ligeramente diferentes según
el método empleado. Como siempre, esto no es
importante mientras las diferencias sean menores
que la precisión de nuestros valores.
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TRANFORMACION DE COORDENADAS
GEOGRAFICAS A PLANAS
 Se utiliza una representación plana (o proyección) de la Tierra
con el objetivo de :
 Representar sobre una superficie plana parte de un modelo
elipsoidal de la superficie terrestre,
 Obtener valores métricos mas prácticos de utilización que las
unidades angulares,
 Facilitar la evaluación de las distancias.
 Pero no se puede efectuar una proyección sin provocar algún tipo
de deformación .Para convencerse alcanza con intentar achatar
la cáscara de una naranja.
 No obstante, por cálculo, se puede definir el tipo y los parámetros
de una proyección para minimizar ciertas deformaciones.
27
TRANFORMACION DE COORDENADAS
GEOGRAFICAS A PLANAS





Se opta entonces por :
respetar los valores de las superficies (proyecciones equivalentes),
respetar localmente los ángulos (proyecciones conformes),
no respetar ni las superficies ni los ángulos (proyecciones afilácticas).
Se dice de una proyección que es equidistante cuando la misma respeta
las distancias a partir de un punto dado. En todos los casos, ninguna
proyección puede conservar todas las distancias. Se introducen
entonces las nociones de módulo lineal y de alteración lineal. Hoy por
hoy, la mayoría de las proyecciones utilizadas en geodesia y en
topografía son del tipo conforme. Cuando se hace cartografía a pequeña
escala, se utilizan a menudo las proyecciones equivalentes.
28
PRINCIPALES GRUPOS DE
PROYECCIONES
 Proyección cilíndrica : la superficie de proyección es un cilindro
 tangente o secante al modelo terrestre ( Ej : UTM, Gauss...)
•Representación cilíndrica
directa
Representación cilíndrica
oblicua
Representación cilíndrica
transversa
29
PRINCIPALES GRUPOS DE
PROYECCIONES
Proyección cónica : la superficie de proyección es un cono tangente o secante
Representación cónica
directa tangente
Representación cónica
directa secante
30
EJEMPLO COORDENADAS UTM
31
32
SISTEMA DE COORDENADAS
GEOGRAFICAS EN PLANAS
 La proyección de las coordenadas geográficas en metros
Gauss, por ejemplo. La representación Gauss es una
proyección cónica conforme : si se proyecta el elipsoide
sobre un plano, los paralelos se transforman en círculos
concéntricos con un centro (P) ubicado en el polo Sur,
mientras que los meridianos se transforman en rectas
convergentes en ese punto P.
33
SISTEMA DE COORDENADAS
GEOGRAFICAS EN PLANAS
 Para situar un punto en este tipo de proyección alcanza con
dar la distancia de ese punto con respecto al punto P y su
ángulo ( ) con respecto a un meridiano de referencia. Este
tipo de posicionamiento es llamado coordenadas angulares.
El defecto de este sistema es su poca practicidad cuando se
debe situar un punto sobre un mapa.
 Un sistema más práctico es ubicar todo punto usando dos
coordenadas X e Y, distancias calculadas con respecto a un
punto arbitrario llamado origen de la proyecciones. Para no
confundir las coordenadas planas con las coordenadas
cartesianas se prefiere llamarlas E (Este) en lugar de X y N
(Norte) en lugar de Y.
34
Fórmulas para la transformación entre dos
sistemas geodésicos de coordenadas
tridimensionales cartesianas o geográficas
Sistema geodésico, elipsoide y coordenadas.
Un sistema geodésico tridimensional es un sistema de referencia ortogonal (o, X,
Y, Z) en el cual los vectores básicos pueden ser considerados como de la misma
norma.
Tanto para un sistema global (relacionado con una técnica espacial: Doppler, por
ejemplo) como para un sistema geodésico terrestre (punto fundamental, etc.), su
origen o se encuentra en las cercanías del centro de masa de la Tierra, su eje oZ
se aproxima al eje de los polos y oX define el meridiano de origen (Greenwich,
Paris, etc.).Con este tipo de sistema se puede asociar a todo punto P un trío de
coordenadas cartesianas (X, Y, Z).
Tradicionalmente se define un elipsoide de revolución en torno de oZ como
pequeño eje y de centro o, a fines de aproximación de la superficie terrestre, o
más exactamente de una superficie equi-potencial vecina tomada como referencia
(geoide).
La forma de este elipsoide esta definida por dos parámetros independientes,
elegidos generalmente entre los siguientes:
a : semi-eje principal
b : semi-eje secundario
e : excentricidad
f : aplastamiento
35
Las fórmulas siguientes establecen las relaciones entre estos parámetros:
El valor de estos parámetros depende de la técnica de estimación.
36













Los elipsoides asociados a los sistemas espaciales están determinados como
elipsoides globales promedio según las técnicas geométricas y dinámicas. Sus
dimensiones son relativamente cercanas. Por ejemplo, el sistema oficial de la
AIG(1967) (GRS67) es :
a= 6 378 160 m
f-1=298,247167
Los valores recomendados en 1975 por la AIG son:
a= 6 378 140 m
f-1=298,257
Los elipsoides relacionados con los sistemas de origen terrestre han sido elegidos
sobre todo como una aproximación de una región específica del geoide (un país, un
continente, etc.). Los valores son bastante disímiles. En la tabla 1 se pueden ver
diversos valores de elipsoides utilizados.
Habiendo elegido un elipsoide asociado a l sistema (o, X, Y, Z), se puede entonces
definir para cada punto P (salvo en ciertos lugares especiales como el eje de los
polos) un trío de coordenadas geográficas (λ, φ , he) donde:
λ : es la longitud geográfica,
φ : es la latitud geográfica,
he : es la altura con respecto al elipsoide.
Estos valores están definidos tomando el semi-plano meridiano que contiene P y la
normal a partir de P con respecto al elipsoide cuyo pie Pe se halla en ese semiplano.
es el ángulo diedro entre el sem.-meridiano de origen y ese semi-meridiano (o0
2 )
37



es el ángulo entre la normal y el plano oXY, he es la distancia algebraica ,
tomando como vector unidad el vector normal unidad exterior ( figura 1).
Sin entrar en los detalles fundamentales de la geometría de la elipse de
revolución, aplicaremos las fórmulas siguientes:
La gran normal (N) :
el radio de curvatura (M) de la elipse meridiana:
(2)
(3)
En estas condiciones, la transformación de las coordenadas entre (X,Y,Z) y (λ,
φ , he) se obtiene como se describe a continuación:
A) (λ, φ , he) (X,Y,Z)
X= (N+he) cos λ cos φ
Y= (N+he) cos λ sin φ
Z= [N (1-e²)+ he] sin φ
Donde :
38
B) (X,Y,Z) (λ, φ , he)
Un gran número de algoritmos han sido propuestos para realizar esta
transformación (algebraicos, iterativos, etc.).
Damos aquí a título de ejemplo el algoritmo iterativo de HEISKANEN-MORITZ
(1967) modificado por BOUCHER(1977).
39
TRANSFORMACION DE SISTEMAS
GEODESICOS
 Dado dos sistemas geodésicos (1) y (2), y admitiendo la posibilidad que
los dos conjuntos de vectores de base no tengan la misma norma
(problema de escala o de definición de las unidades de distancia), la
transformación más corriente será una similitud (con 7 parámetros: 3 de
translación, 3 de rotación y 1 de factor de escala).
 Si (Xi, Yi, Zi) son las coordenadas de un punto P en el sistema (i), con
i=1 o 2, la transformación será, matricialmente:
TX, TY, y TZ son los tres parámetros de translación.
∆ es el factor de escala
R es una matriz de rotación dependiente de tres parámetros.
Como se ha dicho anteriormente, los diferentes sistemas no
son demasiado distantes, lo que numéricamente, significa que:
TX, TY, y TZ no exceden algunos centenares de metros;
Que ∆ no excede algunos 10-6;
Que R es una rotación infinitesimal:
40
TRANSFORMACION DE
SISTEMAS GEODESICOS
donde ω,Ψ y ε son rotaciones sobre X, Y, Z que no exceden algunos
segundos de arco. Se observa entonces que (5) puede ser remplazada a un
nivel milimétrico por su modelo linealizado:
41
TRANSFORMACION DE
SISTEMAS GEODESICOS
 Cuando se desea interpretar correctamente estos 7 parámetros, se debe
considerar (5) como la expresión de pasaje de (2) (1).
 Se tiene entonces que:
 (TX, TY, TZ) son los componentes de (2) del punto 01, o dicho de otra
forma (al mm), los componentes en (2) o en (1) del vector .
 1 + es el cociente
donde e i es un vector de base de (i), es decir
donde Di es una distancia expresada por las coordenadas (i) :

, , son las rotaciones sobre X, Y, y Z para llevar la base (2) sobre la
base (1).
42
TRANSFORMACION DE
SISTEMAS GEODESICOS
 Dados dos sistemas (1) y (2) a los cuales se han asociado los elipsoides (a1, f1) y
(a2, f2) respectivamente, se puede calcular la relación entre las coordenadas
geográficas (λ1, φ 1, he1) y (λ2, φ2, he2) de un punto P.
 La transformación exacta es:
43
TRANSFORMACION DE
SISTEMAS GEODESICOS







La expresión de las variaciones:
Dλ = λ2 -λ1
Dφ = φ 2 - φ 1
Dhe = he2 – he1
en función de los 9 parámetros necesarios:
TX, TY, TZ, , , , , Da = a2-a1 y Df = f2-F1
son el objeto de las fórmulas diferenciales dadas a continuación. Se
puede asumir que la linealización no introduce errores superiores al
milímetro. Además, la expresión de los coeficientes con este grado de
precisión puede ser calculada utilizando indiferentemente 1 o 2 (que
llamaremos ), 1 o 2 (que llamaremos ), y he1 o he2 (que
llamaremos he).
 Fórmula en función de DX, DY, DZ, DA y DF:
44
TRANSFORMACION DE
SISTEMAS GEODESICOS
Fórmula en función de TX, TY, TZ,
,
,
,
, Da, Df
45
TRANSFORMACION DE
SISTEMAS GEODESICOS
Las fórmulas (8) y (9) pueden ser aproximadas por diferentes vías.
Las fórmulas MOLODENSKY-DMA son las siguientes:
46
TRANSFORMACION DE
SISTEMAS GEODESICOS
 Los errores relativos son:
La aproximación corresponde entonces a algunos decímetros.
Para (9) se obtiene:
47
USOS DIVERSOS
 Las fórmulas antedichas pueden ser utilizadas para numerosas
aplicaciones. A título de ejemplo se puede citar:
 la búsqueda de una fórmula de transformación entre dos sistemas
tridimensionales
 si se tiene las coordenadas tridimensionales se puede usar (7) como
relación observada,
 si no, se puede usar (9) o (11).
 Transformación de coordenadas geográficas gracias a parámetros
conocidos: (9) o (11).
 Transposición del geoide: (9) o (11).
 TABLA I
Elipsoide
a
b
f-1
f
e²
Internacional
Hayford 1909
6 378 388.00
6 356 911.946
297.000 00
0.003 367 0034
0.006 722 670 0
WGS84
6 378 137.00
6 356 752.314
298.257 22
0.003 352 8106
0.006 694 380 0
Clarke 1880
6 378 249.20
6 356 515.000
293.466 02
0.003 407 5495
0.006 803 487 7
48