02. Movimiento Periodico 2022-01

Movimiento periódico
Movimiento que se repiten una y otra
vez
 vibración de un cristal de cuarzo en un
reloj, Péndulo de un reloj, movimiento
de
pistones
combustión
de
un
motor
de
Descripción de la oscilación
X desplazamiento con respecto al equilibrio [m]
Fuerza de restitución fuerza que tiende a regresar a la partícula a su posición
de equilibrio [N].
Amplitud A máximo desplazamiento con respecto al equilibrio.
Rango de movimiento 2A [m]
Ciclo Una oscilación completa.
Periodo T tiempo de un ciclo, [s]
Frecuencia (f) número de ciclos por unidad de tiempo [Hz=hertz=1/s] f=1/T
Frecuencia angular  2f
Movimiento Armónico Simple MAS
Ley de Hooke: La fuerza es proporcional al desplazamiento y en
sentido contrario
Fuerza de restitución directamente
proporcional al desplazamiento
La aceleración (depende de x) y el desplazamiento tiene signos opuestos
https://www.youtube.com/watch?v=klIlCfte0UM
Minuto 11
Minuto 22:15
Solución:
Comprobemos:
ahora:
Comparando con la ecuación anterior:
Frecuencia angular
Ahora, si t = 2/ y reemplazo
Entonces:
En el MAS, T y f no
dependen de la
amplitud A
Desplazamiento, velocidad y aceleración en el MAS
El desplazamiento:
 = ángulo de fase, punto del ciclo en que se encontraba el mvto
cuando t=0.
La posición es una función periódica cosenoidal del tiempo.
Desplazamiento
Velocidad y Aceleración:
Energía en el MAS
Fuerza elástica es conservativa y la masa del resorte despreciable.
La energía mecánica total
es constante:
Emecanica
𝐸𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎
1 2 1 2
 mvx  kx  cte
2
2
1 2 1
2
= 𝑘𝐴 = 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
2
Problemas propuestos capitulo 14 edición 13




Ejemplos del capitulo
Preguntas:
1, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 15, 18
Problemas: 2, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 17, 19, 23, 26,
28, 31, 32, 34, 42, 47, 54, 56, 58, 62, 68, 71, 72,73
76, 78 , 85, 86, 88, 91, 95, 97
En el primer parcial entra MAS
no se incluye movimiento oscilatorio forzado ni
amortiguado.
Se inicia la medición cuando un cuerpo que se mueve con
un movimiento armónico simple está desplazado 0,60m a
la derecha de su posición de equilibrio, tiene una velocidad
de 2,2 m/s hacia la derecha y una aceleración de 8,40m/s2
a la izquierda.
Determine:
• La frecuencia angular de las oscilaciones.
• La distancia que recorrerá el objeto, antes de
detenerse momentáneamente para iniciar su
movimiento hacia la izquierda
• Las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración
en función del tiempo.
Aplicaciones del MAS
MAS se puede representar en cualquier sistema donde la fuerza de
restitución sea proporcional al desplazamiento con respecto al
equilibrio. Con esto se puede establecer f, T y 
MAS vertical
F  0
 F  ma
k  l  x   mg  ma
d 2x
kx  m 2
dt
Péndulo simple
Fuerzas que se ejercen:
𝐹 = 𝑚𝑎𝑦
𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑤 = 𝑚𝑎𝑥
Como 𝜃 ≪
𝑎𝑦 → 0 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 ≈ 1
𝑇=𝑤
𝑥
−𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑥
𝑙
𝑑2 𝑥
𝑔
=− 𝑥
2
𝑑𝑡
𝑙

𝐹 = 𝑚𝑎𝑥
L
−𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑥
𝑥
−𝑇 = 𝑚𝑎𝑥
𝑙
Así:
Frecuencia angular:

g
L
Péndulo físico
La fuerza tangente es quien cambia la velocidad
  I
𝑑 × 𝑤 = 𝐼𝛼
𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 − 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 × −𝑚𝑔𝑗 = 𝐼𝛼
d 2
mgdsen  I 2
dt
sen   si  
Así:
d 2
mgd


2
dt
I
Frecuencia angular:
mgd

I
   cos t   
I  ICM  M d
2
Oscilaciones amortiguadas
Movimiento resultante cuando existen fuerzas disipativas. Con el tiempo
las oscilaciones cesan.
Amortiguamiento: disminución de la amplitud causada por la fuerza disipativa
Consideremos Famortiguamiento= Fa proporcional a la velocidad
Fel
Fa  bvx
n
Fa w
 F  mat
Solución
kx  bvx  mat

xt   Ae
 b
2m
d 2 x b dx k

 x0
2
dt
m dt m
t cos t  


donde
Ec.
diferencial
k
b2
 

m 4m 2
Frecuencia angular del sistema amortiguado
xt   A0e

 b
2m
 cos t  


t
Amortiguamiento crítico
k
b2

0
2
m 4m
b  2 km
Vuelve a posición de equilibrio sin
oscilar
sobreamortiguamiento
b  2 km
Regresa a posición de equilibrio más
lentamente
subamortiguamiento
b  2 km
Sistema oscila con amplitud
decreciente.
donde
k
b2
 

m 4m 2
Energía en el oscilaciones amortiguada
Emecanica
1 2
 kA
2
Como la amplitud decrece, también la energía
 b
t
1 2 1 
2m 
E  kA  k  A0 e

2
2 

Cambio de la E con respecto a t
𝑑𝐸
𝑑𝑥
𝑑𝑣
= 𝑘𝑥
+ 𝑚𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
2
1 2   b m t
E t   kA0 e
2
t

m
Et   E0 e
1 2 1
𝐸 = 𝑘𝑥 + 𝑚𝑣 2
2
2
𝑘
𝑑2𝑥
= 𝑚𝑣
𝑥+ 2
𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝐸
𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 =
= −𝑏𝑣 2
𝑑𝑡
𝑏 𝑑𝑥
= 𝑚𝑣 −
𝑚 𝑑𝑡
 b
Una cuerda de bungee tiene una constante de elasticidad de
142 N/m, atado a ella se deja caer una persona cuya masa
es de 80 kg.
• Si la energía de oscilación se reduce hasta quedar en un
35 % de su valor inicial, durante las tres primeras
oscilaciones, ¿Cuál es el coeficiente de amortiguamiento
del medio?
• ¿Cuál es la frecuencia angular de oscilación del sistema?
De su resultado con 4 cifras decimales
.
Oscilaciones forzadas y resonancia
http://www.xatakaciencia.com/fisica/video-fisica-o-hechiceria
Oscilaciones forzadas y resonancia
Se aplica una fuerza externa impulsora al Oscilador armónico amortiguado
Amplitud depende de k, m
𝜔𝑑
Fext  Fmax cos d t
Fuerza externa cosenoidal
Fel Fext
n
w
𝑑2 𝑥 𝑘
+ 𝑥 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 𝑡
2
𝑑𝑡
𝑚
𝑥
𝑡
= 𝐴𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 𝑡
Donde:
𝐹𝑒𝑥𝑡
𝐴𝛾 =
𝑚 𝜔02 − 𝜔𝑑2
Video de resonancia
Oscilaciones forzadas, amortiguadas y resonancia
Se aplica una fuerza externa impulsora al Oscilador armónico amortiguado
Amplitud depende de k, m y b
Fuerza externa cosenoidal
Fel

Fext  Fmax cos d t
Fa
n
Fext w
𝑑 2 𝑥 𝑏 𝑑𝑥 𝑘
+
+ 𝑥 − 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 𝑡 = 0
2
𝑑𝑡
𝑚 𝑑𝑡 𝑚
𝑥
𝑡
Donde:
= 𝐴𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 𝑡
𝐹𝑒𝑥𝑡
𝐴𝛾 =
𝑚
2 𝜔2
𝑏
𝑑
𝜔02 − 𝜔𝑑2 2 +
𝑚2
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Video
Un objeto de 2,0 kg oscila sobre un resorte que tiene una
constante fuerza igual a 400 N/m- La constante de
rozamiento tiene un valor de b=2,0 kg/s. El sistema esta
forzado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10,0 N y
una frecuencia angular d=10,0 rad/s.
a. ¿Cuál es la amplitud de oscilación?
b. ¿Si la frecuencia impulsora se varía, a que frecuencia
ocurre la resonancia?
c. ¿Cual es la amplitud en la resonancia?
1. Una masa de 0,350 kg conectada a un resorte oscila con una
frecuencia de 3,0 Hz, con una amplitud A=0,15m. Determine:
a. La rapidez cuando pasa por el punto de equilibrio.
b. La energía total del sistema.
c. La rapidez cuando pasa por X=0,10 m.
d. El tiempo que tarda en desplazarse desde X=0 m hasta
X=0,15m.
Una masa de 0,5 kg unida a un resorte con constante elástica K = 8,8 kg/s2,
se encuentra en movimiento armónico simple a lo largo del eje x con una
amplitud A. La posición de equilibrio de la partícula es en x = 0. En t = 0 s,
la partícula está en x = +0,12 m y se mueve con una rapidez de + 0,67 m/s.
A. Obtenga para éste movimiento la amplitud A, el ángulo de fase  y las
expresiones de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
B. Calcule el intervalo de tiempo requerido para que la partícula alcance la
posición x = - A respecto a su posición inicial en t = 0 s
C. Si una fuerza amortiguadora con constante de amortiguación de b=0,7kg/s y
una fuerza externa de amplitud Fo = 1,0 N y frecuencia angular e, actúan
sobre el sistema, calcule la amplitud de oscilación para la condición de
resonancia
Energía en el oscilaciones amortiguada
Fuerza amortiguadora no es conservativa, la energía mecánica total no se
conserva
1 2 1 2
Emecanica  mvx  kx
2
2
dEmecanica
dv
dx
Rapidez de cambio de la energía:
 mv  kx
dt
dt
dt
dEmecanica
dv
dx
 mv  kx
dt
dt
dt
dEmecanica
 vx (ma  kx)  vx (vxb)
dt
dEmecanica
 bvx2
dt
El cuerpo en movimiento siempre pierde energía con una tasa que depende
de la velocidad
Condiciones iniciales
Si X0=0 v0=3,0 m/s, K=10 N/m m=0,1 kg. Determine la amplitud y el
ángulo de fase
Conociendo la posición y la velocidad iniciales, de puede determinar A
Así:
Usando estas dos ecuaciones se puede determinar A