Repaso Simbolización de Proposiciones VII

IESP “NUESTRA SEÑORA DE CHOTA”
DOCENTE: JOSÉ LIDONIL DÍAZ ZORRILLA
condicional: “si … entonces …” o sus expresiones
equivalentes.
Ejemplo:
Clasificación de las proposiciones compuestas: El
conectivo lógico principal da nombre a cada una de estas
proposiciones
A) Conjuntivas (  ): Sus formas gramaticales son: “y”,
“pero”, “aunque”, “sin embargo”, “no obstante”,
“también”, “así como”, “a la vez”, “tal como”, “tanto
como”, al igual que”, “incluso”, así mismo”, etc.
Ejemplo:
- Yo soy profesor no obstante me gusta las matemáticas
p
q

Tabla de verdad
entonces
p
Las proposiciones condicionales pueden ser:
I) Condicional directa ( p  q ): Antecedente y
consecuente van en ese orden respectivo, sus formas
gramaticales son:
- p deviene q
F
- p conclusión q
- dado p por eso q
F
- p luego q
- cuando p a si pues q
- p por consiguiente q
- de p derivamos q
- p significa que q
-
V
F
F
F
V
F
F
(se lee: “p” o “q”)
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
Ejemplo:
- Estudio luego triunfo
q
- De la pereza deviene, la pobreza
p
Simbolización:
 q
pq
Tabla de verdad
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
- O eres casado o eres soltero
q
II) Condicional indirecta ( q  p ): Consecuente y
antecedente van en ese orden respectivo.
Ejemplo:
- Te salvarás del covid 19 siempre que respetes los
protocolos de cuidado.
Efecto
- Nací en chota, o en Cajamarca
Simbolización:

p
p
C) Disyunción fuerte o exclusiva (  ): Cuando sólo uno
de sus miembros puede ser aceptado, el otro queda
inválido. Sus formas gramaticales son: “o … o …”, “o” (en
sentido excluyente).
Ejemplo:

pq
q
- p por lo tanto q
V
V
Tabla de verdad
p
consecuente
- p de modo que q
V

Si antecedente
Efecto
- p implica q
pq
- Ingresaré, salvo que me enamore
p
q

p

- p de ahí que q
q
pq
Causa
- Si p entonces q
p
B) Disyunción débil o inclusiva (  ): Sus miembros
componentes son aceptados a la vez. Sus formas
gramaticales son: “o”, “u”, “Salvo”, “a menos que”,
“excepto”.
Ejemplo:
Simbolización:
OJO: La proposición condicional consta de 2 elementos,
el antecedente y el consecuente.
q

Causa
Sus formas gramaticales son:
Tabla de verdad
p
q
pq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
D) Condicionales (  ): Son aquellas proposiciones
que se relacionan mediante la conjunción
- p, si q
- p a condición de que q
- p siempre que q
- p dado que q
- p ya que q
- p pues q
- p supone que q
- p porque q
Ejemplo:
p es condición necesaria
para q
- p cada vez que q
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DOCENTE: JOSÉ LIDONIL DÍAZ ZORRILLA
- El covid 19 mata mayormente a las personas
vulnerables dado que sus defensas son mínimas

p
q
Simbolización:
q p
Bicondicionales (  ): Sus formas gramaticales
son: “si y solo si”, “solamente si”, “cuando y solo
cuando”; “entonces y solo entonces”; “es idéntico”,
“cada vez que y solo si”, …, etc.
Ejemplo:
E)
- El Perú saldrá de la crisis, si y solo si todos actuamos
de manera responsable

p
q
Simbolización:
pq
1. Indique la secuencia correcta después de
determinar si la proposición es verdadera (V) o
falsa (F).
I. El producto de un número irracional por otro
irracional es siempre irracional. (F)
Veamos.
√2. √8 = √16 = 4 ∉ 𝐼
II. La suma de dos números irracionales siempre
es un número irracional. (F)
No necesariamente es cierto.
Tabla de verdad
F)
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
III. Entre dos números racionales diferentes
siempre existe otro número racional. (V)
Negativas (~): Aquellas donde el adverbio negativo
“no” o sus expresiones equivalentes afectan a una o
más proposiciones.
Tabla de verdad
p
~p
V
F
F
V
Veamos un ejemplo:
Tenemos que √2 𝑦 (√2 − 1) son irracionales,
pero
Las proposiciones pueden ser:
I) Negación
ligada
(simple):
Cuando
afecta
proposiciones simples, utilizando la forma gramatical
“NO”
Ejemplo:
- Carlos no es estudiante de enfermería
~ p
Simbolización: ~ p
II) Negación libre (compuesta): Cuando afecta a
proposiciones compuestas. En tal sentido, al
simbolizarse, deberá anteceder a signos de
agrupación. Sus formas gramaticales más usuales son:
“es falso que”, “no es cierto que”, “es absurdo que”, “no
se da el caso que”, “no es posible que”, …, etc.
Ejemplo:
∵ 𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝐹𝐹𝑉
2. Denotemos con:
p: “el material es interesante”
q: “los ejercicios son difíciles” y con
r: “el curso es agradable”. Escribir las siguientes
afirmaciones en forma simbólica:
a) El material no es interesante, los ejercicios no
son difíciles y el curso no es agradable.
~𝑝𝛬~𝑞𝛬~𝑟
b) Si el material no es interesante y los ejercicios
no son difíciles entonces el curso no es
agradable.
(~𝑝𝛬~𝑞) → ~𝑟
c) Que el material sea interesante significa que los
ejercicios son difíciles y viceversa.
(𝑝 → 𝑞)𝛬(𝑞 → 𝑝)
3. Escribir las siguientes afirmaciones en forma
simbólica:
a) Si termino mi tarea antes de la cena y no llueve,
entonces iré al partido de fútbol.
- No es cierto que seas varón y mujer
~
(

p
q )
- No es el caso que trabajes o estudies
~
(
p

q )
III) Binegación: Es la negación conjuntiva, es decir, una
conjunción de negaciones, su forma gramatical es
representada por el término “NI”. Se simboliza como
(~p  ~q)
Ejemplo:
- Ni estudio ni trabajo
~p

~ q

(𝑝 ↓ 𝑞)
(𝑝𝛬~𝑞) → 𝑟
b) Si no me ves mañana significa que habré
viajado a visitar a mis familiares.
~𝑝 → 𝑞
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c) Si el costo de las utilidades crece, entonces
compraremos una nueva computadora si y solo
si podemos mostrar que los recursos de
cómputo son, en efecto, insuficientes.
Solución:
p: el costo de las utilidades crece
q: compraremos una nueva computadora
r: podemos mostrar que los recursos de
cómputo no son suficientes.
Observación: (son, en efecto, insuficientes)
significa (no son suficientes)
𝑝 → (𝑞 ↔ ~𝑟)
4. Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que
los planetas la reflejan, entonces éstos no giran
alrededor de ellas.
𝑅𝑒𝑠𝑝. ~(𝑝 ∧ 𝑞) → ~𝑟
5. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si
tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar:
Solución:
p: ir de vacaciones.
q: estar sin hacer nada.
r: tener tiempo.
s: ir a trabajar
Se observa que es un ejemplo de condicional
indirecta ( q  p ): Consecuente y antecedente
(𝑟 ˄ ~𝑠 ) → ( 𝑝 ˅ 𝑞 )
6. Si la tormenta continúa o anochece. Nos
quedaremos a cenar o a dormir, si nos quedamos
a cenar o a dormir no iremos mañana al concierto,
pero si iremos mañana al concierto. Así pues, la
tormenta no continúa.
𝑅𝑒𝑠𝑝. {[(𝑝𝑣𝑞) → (𝑟𝑣𝑠)]ᴧ[(𝑟𝑣𝑠) → ~𝑡]ᴧ𝑡} → ~𝑝
7. Si un triángulo tiene tres ángulos, un cuadrado
tiene cuatro ángulos rectos. Un triángulo tiene tres
ángulos y su suma vale dos ángulos rectos. Si los
rombos tienen cuatro ángulos rectos, los
cuadrados no tienen cuatro ángulos rectos. Por lo
tanto, los rombos no tienen cuatro ángulos rectos.
Solución.
p: un triángulo tiene tres ángulos
q: un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos
r: su suma vale dos ángulos rectos
s: los rombos tienen cuatro ángulos rectos
Cada vez que aparece un punto seguido nos indica
que a toda la expresión que se encuentra antes de
él debemos agruparlo.
El punto: reemplaza al conectivo lógico ˄.
Por lo tanto: es la conclusión o sea es el
consecuente.
Simbolizando tendremos:
{[(𝑝 → 𝑞)˄(𝑝˄𝑟)]˄(𝑠 → ~𝑞)} → ~𝑠
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8. “Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su
enorme tradición entonces, si estos hechos son
inofensivos y respetan a todo ser viviente y al
medio ambiente, no habría ningún problema. Pero
si los hechos son bárbaros o no respetuosos con
los seres vivientes o el medio ambiente, entonces
habría que dejar de justificarlos o no podríamos
considerarnos dignos de nuestro tiempo.”
Solución
p: justificar hechos por su tradición.
q: ser inofensivo.
r: ser respetuoso con los seres vivos.
s: ser respetuoso con el medio ambiente.
t: tener problemas.
q: ser bárbaro. (= no ser inofensivo)
u: ser digno de nuestro tiempo.
{[𝑝 → (𝑞𝛬𝑟𝛬𝑠)] → ~𝑡}𝛬 [(𝑞𝑣~𝑟𝑣𝑠) → (𝑝𝑣~𝑢)]
9. “Si un animal fabuloso se enfada, te quedas
paralizado del susto; y si te quedas paralizado del
susto, entonces no puedes sino apelar a su
bondad y así no ser engullido. Por lo tanto, si un
animal fabuloso se enfada, tendrás que apelar a su
bondad o serás engullido.”
Solución:
p = un animal fabuloso se enfada
q = quedarse paralizado del susto
r = apelar a su bondad
s = ser engullido
no puedes sino apelar a su bondad: esto se afirma
apelar a su bondad: sería un antecedente: r
y así no ser engullido: sería un consecuente. ~𝑠
{(𝑝 → 𝑞 )⋀[𝑞 → (𝑟 →∼ 𝑠)]} → [𝑝 → (𝑟 𝑣 𝑠)]
10.Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de
tiempo, entonces no realizaré mis sueños. He
aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo
tanto, no realizaré mis sueños.
Solución
p = aceptar el trabajo.
q = dejar de pintar.
r = realizar mis sueños.
𝑅𝑒𝑠𝑝. {[(𝑝⋁𝑞) →∼ 𝑟] ⋀(𝑝⋀𝑞)} →∼ 𝑟
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11.Todo número entero o es primo o es compuesto.
Si es compuesto, es un producto de factores
primos, y si es un producto de factores primos,
entonces es divisible por ellos. Pero si un número
entero es primo, no es compuesto, aunque es
divisible por sí mismo y por la unidad, y
consiguientemente, también divisible por números
primos. Por tanto, todo número entero es divisible
por números primos.
Solución:
p = ser primo.
q = ser compuesto.
r = es producto de factores primos.
s = ser divisible por factores primos.
t = ser divisible por sí mismo.
u = ser divisible por la unidad.
Observa que los colores seleccionados lo vamos
agrupando.
Todo lo que está antes del punto se agrupa
|{(𝒑 △ 𝒒)˄[(𝒒 → 𝒓)˄(𝒓 → 𝒔)]}˄[𝒑 → (∼ 𝒒˄𝒕˄𝒖˄𝒔)]| → 𝒔
12.Si no es cierto que se puede ser rico y dichoso a la
vez, entonces la vida está llena de frustraciones y
no es un camino de rosas. Si se es feliz, no se
puede tener todo. Por consiguiente, la vida está
llena de frustraciones.
Solución
p: se puede ser rico
q: se puede ser dichoso
r: la vida está llena de frustraciones
s: es un camino de rosas
{[~(𝑝𝛬𝑞 ) → (𝑟𝛬~𝑠)]𝛬(𝑞 → ~𝑝)} → 𝑟
13.La vida no tiene cosas así de fuertes o yo te puedo
contar cómo es una llama por dentro. Si yo te
puedo contar cómo es una llama por dentro,
entonces pienso entregarte mi tiempo y pienso
entregarte mi fe. No es cierto que piense
entregarte mi tiempo y piense entregarte mi fe. Por
lo tanto, la vida no tiene cosas así de fuertes.
Solución:
p: la vida tiene cosas así de fuertes.
q: contar cómo es una llama por dentro
r: entregarte mi tiempo
s: entregarte mi fe
|{(∼ 𝑝𝑣𝑞)˄[𝒒 → (𝒓˄𝒔)]}˄ ∼ (𝑟˄𝑠)| →∼ 𝑝
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14.Aprobaré lógica, si Dios quiere. Aprobaré lógica si
y sólo si estudio y hago todos los ejercicios. Sin
embargo, no he hecho los ejercicios, así que Dios
no quiere que apruebe lógica.
Solución
p: aprobaré lógica
q: Dios quiere que apruebe lógica
r: estudio
s: hago todos los ejercicios
𝑅𝑒𝑠𝑝. {(𝑝 ← 𝑞)⋀[𝑝 ↔ (𝑟⋀𝑠)]}⋀(∼ 𝑠 →∼ 𝑞)
15.Si el euro está fuerte, el petróleo está barato pero
las exportaciones resultan caras. Si Europa se
endeuda o la economía no crece, el petróleo no
estará barato. La economía crece si y sólo si ni las
exportaciones resultan caras ni la inflación
aumenta. Por tanto, si la inflación aumenta, el euro
no está fuerte.
Solución
p: euro está fuerte
q: petróleo está barato
r: exportaciones caras
t: economía crece
u: inflación aumenta
s: Europa se endeuda
|{[𝒑 → (𝒒⋀𝒓)]⋀[(𝒔 ∨∼ 𝒕) →∼ 𝒒]}⋀[𝒕 ↔ (𝒓 ↓ 𝒖)]| → (𝒖 →∼ 𝒑)
16.Si un triángulo tiene tres ángulos, un cuadrado
tiene cuatro ángulos rectos. Un triángulo tiene tres
ángulos y su suma vale dos ángulos rectos. Si los
rombos tienen cuatro ángulos rectos, los
cuadrados no tienen cuatro ángulos rectos. Por
tanto, los rombos no tienen cuatro ángulos rectos.
Solución
p: un triángulo tiene tres ángulos
q: un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos
r: su suma vale dos ángulos rectos
s: los rombos tienen cuatro ángulos rectos
𝑅𝑒𝑠𝑝. {[(𝑝 → 𝑞)⋀(𝑝⋀𝑟)]⋀(𝑠 →∼ 𝑞)} →∼ 𝑠
17.Si los economistas proyectan las inversiones a
largo plazo, hay confianza de producción
financiera y el capital es creciente. Por
consiguiente, es imposible que, el capital no sea
decreciente, y no haya confianza de producción o
los economistas no proyectan las inversiones a
largo plazo.
Solución
p: los economistas proyectan las inversiones a
largo plazo
q: hay confianza de producción financiera
r: el capital es creciente
[𝒑 → (𝒒 ∧ 𝒓)] ∧∼ [∼∼ 𝒓⋀(∼ 𝒒 ∨∼ 𝒑)]
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18.Si te levantas temprano y tomas el avión de las 6,
llegaras a tiempo a la ceremonia. Por consiguiente,
si no llegas a tiempo a la ceremonia, no te
levantaste temprano o no tomaste el avión de las
6.
Solución
p: te levantas temprano
q: tomas el avión de las 6
r: llegas a tiempo a la ceremonia
𝑅𝑒𝑠𝑝. [(𝑝⋀𝑞) → 𝑟]⋀[∼ 𝑟 → (∼ 𝑝⋁ ∼q)]
19. O el estado es totalitarista o no lo es, aun cuando
la democracia es sinónimo de libertad; sin
embargo, la patria hay que defenderla, si el estado
es totalitarista.
Solución
p: el estado es totalitarista
q: la democracia es sinónimo de libertad
r: la patria hay que defenderla
la patria hay que defenderla, si el estado es
totalitarista. (tiene la forma consecuente
antecedente)
[(𝒑 △∼ 𝒑)⋀𝒒]⋀(𝒓 ← 𝒑)
[(𝒑 △∼ 𝒑)⋀𝒒]⋀(𝒑 → 𝒓)
20.Si Marco rinde testimonio y no dice la verdad, será
encontrado culpable; y si no rinde testimonio, será
encontrado culpable.
p: marco rinde testimonio
q: dice la verdad
r: Marco es encontrado culpable
Solución
𝑅𝑒𝑠𝑝. (𝑝⋀ ∼ 𝑞) → 𝑟] ∧ (∼ 𝑝 → 𝑟)
21.“O hay lluvias en la sierra o los sembríos se
pierden y baja el nivel de vida. Pero, no es el caso
que no haya lluvias en la sierra y no baje el nivel
de vida. Luego, si no se pierden los sembríos hay
lluvias en la sierra”.
Solución
p: hay lluvias en la sierra
q: los sembríos se pierden
r: baja el nivel de vida
{[𝒑 △ (𝒒 ∧ 𝒓)] ∧∼ (∼ 𝒑 ∧∼ 𝒓)} → (∼ 𝒒 → 𝒑)
22.“Si 2 no es un número natural, su opuesto no es un
número entero. Si 2 es un número primo, 2 no es
un número natural. Por lo tanto, Si el opuesto de 2
no es un número entero, 2 es un número primo”.
Solución
p: 2 es un número natural
q: el opuesto de 2 es un número entero
r: 2 es un número primo
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𝑅𝑒𝑠𝑝. [∼ 𝑝 →∼ 𝑞)⋀(𝑟 →∼ 𝑝)] → (∼ 𝑞 → 𝑟)
23.“La luz no está encendida si y sólo si no hay
alguien en casa o los de casa han salido a pasear.
Los de casa han ido a una función teatral si han
salido a pasear. En consecuencia, la luz no está
encendida si los de casa han ido a una función
teatral”
Solución
p: la luz está encendida q: hay alguien en casa
r: los de casa han salido a pasear
s: los de casa han ido a una función teatral
{[∼ 𝒑 ↔ (∼ 𝒒 ∨ 𝒓)] ∧ (𝒔 ← 𝒓)} → (∼ 𝒑 ⟵ 𝒔)
{[∼ 𝒑 ↔ (∼ 𝒒 ∨ 𝒓)] ∧ (𝒓 ⟶ 𝒔)} → (𝒔 ⟶∼ 𝒑)
24.María podrá obtener un puesto en la Orquesta
Sinfónica si estudia música. Debo concluir que
María podrá obtener un puesto en la Orquesta
Sinfónica ya que, se dedica al deporte o estudia
música, y María no se dedica al deporte.
Solución
p: María obtiene un puesto en la Orquesta
Sinfónica
q: María estudia música
r: María se dedica al deporte
𝑅𝑒𝑠𝑝. (𝑝 ← 𝑞) → {[𝑝 ← (𝑟⋁𝑞)]⋀ ∼ 𝑟}
25.Juan, mi amigo, es presidente del directorio. Juan
me presentará al directorio si es mi amigo, y si es
presidente, aprobará mi pedido. Por lo tanto, seré
presentado al directorio que luego aprobará mi
pedido.
Solución
p: Juan es mi amigo
q: Juan es presidente del directorio
r: Juan me presentará al directorio
s: aprobará mi pedido
Juan me presentará al directorio si es mi amigo (su
simbolización depende de una condicional
indirecta)
{(𝒑𝜦𝒒)𝜦[(𝒑 → 𝒒)𝜦(𝒒 → 𝒔)]} → (𝒓 → 𝒔)
26.Si Luis toca la guitarra y Paco dirige la orquesta, el
público abandonará el auditorio. Si el que Luis
toque la guitarra conlleva que el público abandone
el auditorio, entonces los organizadores tendrán
que restituir el dinero. Por consiguiente, si Paco
dirige la orquesta, entonces las organizaciones
tendrán que restituir el dinero.
p: Luis toca la guitarra
q: Paco dirige la orquesta
r: el público abandona el auditorio
s: los organizadores tienen que restituir el dinero
𝑅𝑒𝑠𝑝. [(𝑝⋀𝑞) → 𝑟]⋀[(𝑝 → 𝑟) → 𝑠]}⋀(𝑞 → 𝑠)
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27.Los carbohidratos son biomoléculas que se
encargan de almacenar energía y formar
estructuras del organismo. El hombre necesita
energía para realizar sus actividades diarias. Si los
carbohidratos no almacenan energía entonces el
hombre no realiza sus actividades diarias. Se debe
consumir alimentos ricos en carbohidratos. Por lo
tanto, si se consume alimentos ricos en
carbohidratos entonces se formará las estructuras
del organismo o el hombre realizará sus
actividades diarias.
Solución:
p: Los carbohidratos son biomoléculas que se
encargan de almacenar energía
q: Los carbohidratos forma estructuras del
organismo
r: El hombre necesita energía para realizar sus
actividades diarias
s: se consume alimentos ricos en carbohidratos
{[𝒑𝜦𝒒)𝜦𝒓]𝜦[(~𝒑 → ~𝒓)𝜦𝒔]} → [𝒔 → (𝒒𝒗𝒓)]
28.Las proteínas son biomoléculas fundamentales
para el mantenimiento de diversos tejidos y el
crecimiento del cuerpo. También actúan como
defensa frente a posibles infecciones. Para el
mantenimiento de los tejidos es necesario
consumir proteínas, sin embargo, consumir
alimentos ricos en proteínas no asegura la defensa
frente a infecciones.
[(𝑝𝛬𝑞 )𝛬𝑟]𝛬(𝑠 → 𝑝)𝛬(𝑠𝑣~𝑟)
DOCENTE: JOSÉ LIDONIL DÍAZ ZORRILLA