Simulación y optimización de procesos

1. CUESTIÓN. Ecuaciones de balance.
Se tiene un reactor de paredes impermeables lleno inicialmente con agua
desprovista de sal (C0 = 0), siendo la temperatura la de las paredes T0. A partir del
tiempo cero se introduce una salmuera (Ce, Te) con un caudal constante Q.
La salmuera sufre exclusivamente un enfriamiento. El calor extraído por unidad
de longitud q se puede modelizar como:
q  T   k   T  T0 
r
Ce
In icialm en te
z
C0
Te
r
R

T0
q
L
Sabiendo que se puede suponer que las variaciones según r y  no son
significantes escójase los tipos de balances más simplificados posibles y contéstese a las
siguientes preguntas:
a) Ecuación de balance de materia para el componente sal y ecuación de balance de
energía. (Téngase en cuenta las unidades de q).
b) Considerando que para un tiempo suficientemente grande el sistema alcanza
prácticamente el régimen estacionario, obténgase la concentración y temperatura a la
salida.
c) Exprésese utilizando el método de Euler un esquema para la resolución no
estacionaria de la ecuación de balance para el componente sal.
d) Justifica qué tipo de balances (microscópicos/de gradiente múltiple/de gradiente
máximo/macroscópicos) son de aplicación más adecuada para modelizar un reactor
mezcla completa.
a)
El modelo más sencillo que se ajusta es el que considera gradiente máximo.
Ecuación 1. Balances de gradiente máximo
Balance de materia para la especie i
 ci
 t

  v z  ci 
 z
t 
 Ri  mi
Balance de energía
 T
 Cp 
  t
 vz 
 T
  SR  E
 z
t 
(1) De paredes impermeables:
Implica que no existe transporte de materia a través de la superficie de las
paredes del reactor.
t 
mi
0
(2) No existe reacción:
Ri  0
SR  0
(3) Se pierde un calor por unidad de longitud q . En la ecuación de balance, E(t) se
refiere al calor que se transfiere a través de la superficie por unidad de volumen.
Considerando un dz de volumen ·R2·dz el calor perdido por unidad de volumen,
teniendo en cuenta que es negativo por salir del sistema, es:
E
t 
 
q  dz
  R  dz
2
 
q
 R
2
Las ecuaciones de balance quedan:
Ecuación 2. Balance de componente simplificado
 c A t , z 
 t
 vz 
 c A t , z 
 z
 0
Ecuación 3. Balance de energía simplificado
  T t , z 
 Cp 
 t

 vz 
 T t , z  
  

 z
q T  t , z 
 R
2
siendo:
vz 
Q
 R
2
b)
Para régimen estacionario las derivadas parciales respecto del tiempo son nulas:
 cA z
 z
 0
La anterior ecuación integrada bajo la condición inicial c A  0   C e proporciona:
c A  z   Ce

c A  L   Ce
El balance estacionario de energía se reduce a:
 Cp Q 
 T z
 z
  q   k   T  z   T0 
Separando variables e integrando para la condición inicial T  0   Te se llega a:
T L 

Te
dT
T  T0
 
L
k
  Cp  Q
T  L   T0   Te  T0   e

 dz
0
k
  C p Q
L
c)
La ecuación de balance no estacionario
 c A t , z 
 t
 vz 
 c A t , z 
 0
 z
queda transformando las derivadas en incrementos:
j 1
c Ai
j
 c Ai
t
j
 vz 
j
c A i 1  c A i
z
 0
donde es posible obtener el valor en la posición i en el instante j+1 a partir de los
valores de las posiciones i e i+1 en el instante anterior j.
j
j 1
c Ai

j
c Ai
 vz 
j
c A i 1  c A i
 z
 t
La condición de contorno se expresa en la posición i = 0 tomando para todos los
instantes:
j
c A 0  Ce
La condición inicial se expresa tomando en todas las posiciones i (excepto la
cero) el siguiente valor para j = 0:
0
c Ai  C0
d)
En un reactor mezcla completa la composición es homogénea en todo su interior.
Por tanto para un nivel de descripción bastante aproximado, podemos considerar que no
existe dependencia espacial de los parámetros dentro del reactor. Ello equivale a
considerar un modelo macroscópico.