Simplificación de Endomorfismos

SIMPLIFICACIÓN DE ENDOMORFISMOS
• DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS:
IDEA INTUITIVA: Sea f  End (U ) y U un Kev finito dimensional. Sabemos que hay infinitas
matrices que representen al endomorfismo, ya que hay infinitas bases, siendo todas las matrices
semejantes entre si. Por ello nos preguntamos cual es la mejor representación matricial, que es, sin
lugar a dudas, la matriz diagonal, ya que es la más sencilla para efectuar todos los cálculos.
Además, tiene la característica de que todas sus propiedades(rango, traza, determinante, etc ) se ven
a golpe de vista.
Pero no siempre podremos llegar a una expresión tan sencilla del endomorfismo, presentándose
además el problema de diagonalizar la representación del endomorfismo.
Luego la cuestión será :¿Existirá una base B de U tal que M ( f , B ) sea diagonal?. En caso
afirmativo ¿ Quiénes son B y M ( f , B ) ?
Se plantea la misma cuestión en el caso de matrices semejantes ¿Será A diagonalizable?. En caso
afirmativo ¿Quiénes son la matriz de paso y la matriz semejante diagonal?
DEFINICIÓN: Sea U un Kev finito dimensional, entonces se dice que   K es un VALOR

PROPIO o un AUTOVALOR de f si existe un vector u  U ( u  0 U ) tal que f ( u )   u
Al vector u se le llama VECTOR PROPIO o AUTOVECTOR asociado a 
OBSERVACIÓN:
1)
Los vectores invariantes, si existen, son los autovectores asociados al autovalor   1 .
2)
Si f no es inyectiva, el Ker ( f ) contiene a los autovectores asociados al autovalor   0
  0 es autovalor si y solo si f no es inyectiva.
3)

u  0 U nunca puede ser un autovector.
4)
5)
Asociado a un autovalor existen muchos autovectores( u y 2 u )
6)
Un autovector solo puede estar asociado a un autovalor.
Demostración:

Supongamos u  U ( u  0 U ) , y f ( u )   u , f ( u )   u
u  u


(    )u  0 U

  
DEFINICIÓN: Sea f  End (U ) y   k un autovalor de f . Entonces el conjunto:
W   u  U / f ( u )   u 
es un Sev de U y se le llama SUBESPACIO PROPIO o AUTOESPACIO asociado a  .
Demostración:


W   u  U / f ( u )   u   u  U / f ( u )   u  0 U  u  U / f ( u )    id ( u )  0 U 

 u  U /( f    id )( u )  0 U  Ker ( f    id )


 

Y por ser un nucleo es un Sev.
OBSERVACIÓN:

1) W  contiene a todos los autovectores asociados a  y al 0 U .

2)Si  y  son autovalores, entonces W   W   0 U

TEOREMA: f  End (U ) es diagonalizable si y solo si existe una base de U formada por
autovectores de f . Además, en caso afirmativo, si B a es una base de U de autovectores de f ,
entonces M ( f , B ) es diagonal.
1

 0
M ( f , B)  


 0

0






0
0 

 
0 

 n 
Demostración:
 Supongamos que f es diagonalizable ¿Existe una base de U formado por autovectores?
Por ser diagonalizable existe B  {u 1 ,  , u n } tal que
 a1

 0
M ( f , B)  


 0

0






0
0 

 
0 

a n 
Veamos que {u 1 ,  , u n } son autovectores
Las coordenadas de u 1 en B son (1, 0 ,  , 0 )
 a1

 0
 

 0

0






0
0  1   a1 
   
  0   0 
luego

0      
   
a n   0   0 
f ( u 1)  a 1 u 1 .
Además, como u 1 pertenece a una base, es
distinto del vector nulo, y por tanto es un autovector asociado al autovalor a 1
Repitiendo el proceso llegamos a la conclusión de que todos los vectores de la base son
autovectores.

Sea B  {u 1 ,  , u n } una base de autovectores de f . Calculemos M ( f , B )
f (u 1 )   1u 1 ,
 1


M ( f , B)  



f (u 2 )   2 u 2 ,
2

,
f (u n )   n u n





 n 
Luego f es diagonalizable.
• CÁLCULO DE LOS AUTOVECTORES: Para calcularlos vamos a hallar el autoespacio
asociado a 
A  M ( f , B)
 x1

B 
x
 n
 a 11

A  
a
 n1



a 1n 

 
a nn 

 a 11  

B  A  I  

 a
n1




 0
  
  
 0
  
Luego B contiene las ecuaciones implicitas de W   Ker ( f    id )




a nn   
a1n
TEOREMA: Los autovectores asociados a distintos autovalores son linealmente independientes.
TEOREMA: Si dim( U )  n , f  End (U ) , y f tiene n autovalores distintos, entonces f es
diagonalizable.
Demostración: si tengo n autovalores distintos, tengo n autovectores linealmente independientes, y
por tanto forman base, siendo f diagonalizable.
• CÁLCULO DE LOS AUTOVALORES:
DEFINICIÓN: Sea A  M nxn ( K ) . Entonces se define el polinomio característico de A como:
P A ( t )  (  1) det( A  tI )  (  1)
n
a 11  t

a 1n



a n1

a nn  t
n
PROPOSICIÓN: Si A y B son semejantes, entonces P A ( t )  PB ( t )
Demostración:
Si A y B son semejantes, entonces A  P  1 BP
P A ( t )  (  1) det( A  tI )  (  1) det( P
n
 (  1) det( P
n
n
1
1
BP  tI )  (  1) det( P
n
1
BP  tP
1
P )  (  1) det( P
n
1
( B  tI ) P ) 
) det( P ) det( B  tI )  (  1) det( B  tI )  PB ( t )
n
DEFINICIÓN: Sea f  End (U ) , entonces se define el polinomio característico de f como el
polinomio característico de cualquier representación matricial suya.
TEOREMA: Los autovalores de un endomorfismo son las raices en K de su polinomio
característico.
Demostración:

k
u  0 U / f (u )   u


Ker ( f    id )
es autovalor de
no es
f
inyectivo
det( A   I )  0 ( A  M ( F , B ))


PA (  )  0
PROPOSICIÓN: Si el polinomio característico tiene una o más raices no pertenecientes al cuerpo
base K, entonces f no es diagonalizable.
f  End (U )
y U un Kev finito dimensional( dim( U )  n ), y sea
r
r
P ( t )  ( t  1 )  ( t   s ) ,  i  K el polinomio característico de f . Entonces f es diagonalizable
si y solo si la dimensión de los autoespacios es igual a la multiplicidad de los autovalores
correspondientes.
TEOREMA: Sea
s
1
f

es diagonalizable
dim( W  i )  ri , i  1,  , s
Además, en caso afirmativo
U  W    W
1)
1
2)
Si B  ,  , B 
1
S
S
son bases de W  ,  , W 
1
S
y B A  B     B  entonces la matriz de f
1
S
respecto a B A es diagonal, y su diagonal está formada por los autovalores, puestos tantas veces
como multiplicidad tengan.
OBSERVACIÓN:
1)
La potencia enésima de una matriz diagonalizable es diagonalizable.
2)
Si A es diagonalizable e invertible, no tiene al cero por autovalor.
• FORMA CANÓNICA DE JORDAN:
IDEA INTUITIVA: Sea V un Kev, dim( V )  n . Existen entonces dos mundos, dos universos, el
de los endomorfismo de V, End (V ) , y el de las matrices cuadradas de orden n con coeficientes en
K, M nxn ( K ) . Sabemos, por el teorema de Isomorfía que son isomorfos. Ya vimos en temas
anteriores que nos interesa tener una expresión matricial del endomorfismo lo más sencilla posible,
y también vimos que no siempre es posible conseguir una matriz semejante diagonal. La siguiente
matriz más sencilla que hay será aquella que tiene elementos no
nulos en la diagonal superior o inferior a la principal. También
pediremos que los elementos no nulos sean la unidad. A una
matriz de esa forma se le llama FORMA CANÓNICA DE
JORDAN.
 1

 0
 

 

 0
1
0










0

0 

 
0 

 n 1 

n 
Si K es cerrado(Todo polinomio tiene sus raíces en el cuerpo, P. Ej.: C), entonces toda matriz y todo
endomorfismo se puede representar por JORDAN. También sirve para todos aquellos casos en los
que todas las raíces del característico pertenecen al cuerpo base.
DEFINICIÓN: Sea A  M nxn ( K ) y q ( x )  b r x r    b 0  K  x  . Entonces se dice que A es un
cero de q ( x ) si:
q ( A )  b r A    b1 A  b 0 I  O M n xn ( K )
r

TEOREMA(Cayley-Hamilton): Si A  M nxn ( K ) entonces PA ( A )  0 , es decir, A es un cero de su
polinomio característico.
DEFINICIÓN: Sea A  M nxn ( K ) , entonces se define el POLINOMIO MINIMO DE A como el
polinomio en K t  de menor grado que verifica que:
1)No es constante.
2) A es un cero de él.
3)Es mónico.
A ese polinomio se le representa por: m A (t )
PROPIEDADES:
1)El polinomio mínimo existe siempre y es único.
2)El polinomio mínimo de A divide al polinomio característico de A
3)El polinomio mínimo y el característico de A tienen los mismos factores irreducibles:
PA ( t )  ( t   1 ) 1  ( t   p )
r
rp
m A (t )  (t   1 ) 1  (t   p )
s
sp
1  s i  ri
CALCULO(del polinomio mínimo): Se puede hacer a mano, tomando todos los polinomios que
tengan los mismos factores irreducibles en menor o igual grado y probando. Sin embargo, hay un
método automático, consistente en hacer:
m A (t ) 
PA ( t )
, donde q (t ) es el máximo común divisor de los polinomios obtenidos al hacer los
q (t )
menores de orden n-1 de la matriz A  tI
Ejemplo:
0

0
A
0

0

0
1
0
0
0
0
0
0
0

1
0

0 

PA ( t )  t
4

m A (t )  t , 1    4
¿ m A (t )  t ?
No, pues m A ( A )  A  0
¿ m A (t )  t ?

2
A
2
0

0

0

0

Luego m A ( t )  t
0
1
0
0
0
0
0
0
¿ A  0?
2
0  0

1  0
0  0

0   0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 0
 
1 0

0 0
 
0   0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0 
2
TEOREMA(De Jordan): Sea
PA ( t )  ( t   1 )  ( t   p )
r1
m A (t )  (t   1 ) 1  (t   p )
s
un Kev,
U
dim( U )  n
,
f  End (U ) .
Sean también
rp
sp
1 , ,  p  K
El polinomio característico y el polinomio mínimo de f respectivamente. Entonces existira una
base B J de U , tal que la matriz :
J  M ( f , BJ )
Verifica que:
J está constituida por cajas de la forma:
1)
 i


J i  



1






1 

 i 
situadas a lo largo de la diagonal principal, y el resto de la
matriz es nula.
2)
Para todo autovalor  i se tiene que:
a)
El número de cajas asociadas a  i corresponde con las dimensiones del autoespacio
asociado.
b)
La suma de los ordenes de todas las cajas J  es ri (Multiplicidad de  i en el polinomio
característico)
c)
Siempre existe una caja de orden S i (Multiplicidad de  i en el polinomio mínimo), y las
demás son de oren menor o igual.
d)
El número de cajas del tipo J  de orden mayor o igual a un cierto número m ( 0  m  ri )
es:
i
i

dim Ker
 f
  i id
 m   dim
Ker  f
  i id
 m 1 
OBSERVACIÓN:
1)
Si el polinomio característico tiene todas sus raices en el cuerpo base, entonces existe la
forma canónica de Jordán.
f es diagonalizable si y solo si la multiplicidad de todos los autovalores en el mínimo es 1.
2)
Si en d) se toma m  1 obtenemos el número total de cajas asociado a un autovalor.
3)
• CÁLCULO DE LA BASE DE JORDAN: Sea U un Kev, dim( U )  n , f  End (U ) . Sean
también :
PA ( t )  ( t   1 ) 1  ( t   p )
r
rp
m A (t )  (t   1 ) 1  (t   p )
s
sp
1 , ,  p  K
Los polinomios característico y mínimo del endomorfismo respectivamente.
Al diagonalizar endomorfimos vimos que
B D  B     B 
1
p
Donde B es una base del autoespacio asociado a  i , y por tanto:
i
V  Ker  f   1 I     Ker  f   p I 
Ahora bien, a veces esto falla, porque ocurre que dim  Ker  f   i I   ri , para algún/os autovalor/es
 i . En tal caso habremos de aplicar Jordán. La solución consiste en ampliar el autoespacio
asociado, hasta que su dimensión sea igual a su multiplicidad. Lo ampliaremos aprovechando la
cualidad de que el núcleo de un endomorfismo está contenido en el núcleo del mismo
endomorfismo elevado a cualquier exponente1. Por tanto:
W  i  Ker  f   i I   Ker
 f   I      Ker  f   I  
2
Si
i
i
Llegando en la cadena hasta la multiplicidad en el máximo. Repitiendo este proceso con todos los
subespacios, y tomando bases en ellos, se consigue la base total.
Sin embargo, las bases hay que tomarlas de una forma especial, que es la siguiente:
Tomamos los subespacios que van quedando en la cadena, y los numeramos:
M 1  Ker  f   i I 
M
2

M
 Ker

Si
 Ker
 f
 i I 
 f
 i I 
2

Si

Evidentemente se verifica que:
dim( M 1 )  dim( M 2 )    dim( M
Si
)
Calculamos una base de M 1 y la ampliamos con vectores
de M 2 , M 3 , etc, convirtiendola en una base de los
subespacios. En el ejemplo suponemos tres subespacios y
dimensiones 6,12 y 18 respectivamente.
El siguiente paso es “retocar” la base. Para ello operamos
de la siguiente manera: Dejamos igual los vectores de la última ampliación, y sustituimos los
1
 1

 f   i I  


 n


0



 1

 f   i I  f   i I  


 n


   f   I  0  0
i



vectores de la ampliación anterior por su correlativo en la última, multiplicado por  f   i I  .
Graficamente:
B  i  u 1 ,  , u 6 | u 7 ,  , u 12 | u 13 ,  , u 18 
B  i  u 1 ,  , u 6 | u 7 ,  , u 12
B i  u 1 ,  , u 6 | w 7 ,  , w 12
 w 13  u 13


| w 13 ,  , w 18   


 w 18  u 18

 w 7  ( f   i I )  w 13


| w 13 ,  , w 18   


 w 12  ( f   i I )  w 18

Este paso se ha de repetir con todos las demás ampliaciones, sustituyendo los vectores pos los
correspondientes de la aplicación anterior multiplicados por ( f   i I ) .
En el caso de que en la ampliación a “retocar” hubiera más vectores que en la ampliación siguiente,
se habrá de realizar lo siguiente:
B  i  u 1 ,  , u 6 | u 7 ,  , u 15 | u 16 ,  , u 21 
Se sustituyen todos los vectores que se puedan por el método ya explicado. Con los sobrantes, se
comprueba si :
B  i  u 1 ,  , u 6 | w 7 ,  w 12 , u 13 ,  , u 15 
 w 13  u 13

es base, en cuyo caso 


 w 15  u 15
Si
B i
no
forman
base,
se sustituyen
 u 1 ,  , u 6 | w 7 ,  w 15  sea base.
los
vectores
sobrantes
por
vectores
tales
que
Con este procedimiento obtenemos una base de la forma:
Bˆ  i  w1 ,  , w 6 | w 7 ,  , w15 | w16 ,  , w 21 
Para obtener ahora la base de Jordán, transformo la base cogiendo los vectores cabeza de grupo y
metiéndolos en la primera caja, los segundos de cada caja en la segunda caja, y así sucesivamente:
B J  i  w 1 , w 7 , w 16 |  | w 6 , w 12 , w 21 | w 13 | w 14 | w 15 
Uniendo las bases de Jordán de todos los subespacios, tenemos la base de Jordán total, a partir de la
cual se deduce fácilmente la matriz de Jordán.
EJEMPLO:
En R 5
2


0

A  0

0

0

 1
0
0
2
1
0
0
2
0
0
0
5
0
0
0
2
0


0

0

1

0 
Haciendo el determinante sale que:
PA      2    5 
3
y operando:
m A       2    5 
3
Vamos a hallar la base de Jordán asociada al autovalor  1  2
La multiplicidad de  1 es 3 , luego necesitamos:
W 1  Ker  A  2 I   Ker
 A  2 I    Ker  A  2 I  
2
M 1  Ker  A  2 I   B M 1 
M
2
M3
 A  2 I    B
 Ker  A  2 I    B
 Ker
3
1, 0 , 0 , 0 , 0 
M2
 1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 
M3
 1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 
2
3
Ahora operamos con la base:
 v 1  1, 0 , 0 , 0 , 0 

B  1, 0 , 0 , 0 , 0 ,  0 ,1, 0 , 0 , 0 ,  0 , 0 ,1, 0 , 0    v 2   0 ,1, 0 , 0 , 0 
 v   0 , 0 ,1, 0 , 0 
 3
 v 1  1, 0 , 0 , 0 , 0 

B  1, 0 , 0 , 0 , 0  |  0 ,1, 0 , 0 , 0  |  0 , 0 ,1, 0 , 0    v 2   0 ,1, 0 , 0 , 0 
 v   0 , 0 ,1, 0 , 0 
 3
 w1   A  2 I   w 2

B   w 1 | w 2 | w 3    w 2   A  2 I   w 3
w  u
3
 3
Y reordenando las cajas:



B J 1   1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 
2
Vamos a hallar la base de Jordán asociada al autovalor  2  5
La multiplicidad de  2 es 1 , luego necesitamos:
W  2  Ker  A  5 I 
M 1  Ker  A  5 I   B M 1 
0 , 0 , 0 ,1, 0 
No hace falta operar con la base:
B J 1 
0 , 0 , 0 ,1, 0 
Vamos a hallar la base de Jordán asociada al autovalor  3  0
La multiplicidad de  3 es 1 , luego necesitamos:
W  3  Ker  A 
M 1  Ker  A   B M 1 
0 , 0 ,0 ,1,  5 
No hace falta operar con la base:
B J 1 
0 , 0 , 0 ,1,  5 
Uniendo las bases, obtenemos:



B J 1   1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,1, 0 , 0 , 0 , 0 ,1,  5 
2
No hace falta usar la base para construir la matriz, ya que sabiendo el tamaño de las cajas
basta:
2

0

J  0

0

0

1
0
0
2
1
0
0
2
0
0
0
5
0
0
0
0

0

0

0

0 
• CÁLCULO DE JORDAN EN C:
OBSERVACION: Sea U un Cev, dim( U )  n , f  End (U ) . Sean también :
PA ( t )  ( t   1 ) 1  ( t   p )
r
rp
m A (t )  (t   1 ) 1  (t   p )
s
sp
1 , ,  p  K
Los polinomios característico y mínimo del endomorfismo respectivamente.
1) Entonces siempre se verifica el Teorema de Jordán, y siempre existe J A . La única
dificultad reside en el cálculo.
2) Si A  M nxn  R  y todas las raices de P A (t ) son reales, entonces existe J A . Sinb
embargo, si al menos una raiz de P A (t ) es compleja, entonces no existe J A sobre R.
Entonces hay dos caminos posibles:
a) Podemos ver A  M nxn  R   M nxn C  , y trabajar con ella normalmente. En este
caso se verifica además que:
i)
Si   C  R es autovalor de A , entonces se verifica que   es
tambien autovalor de A .
ii)
La estructura de cajas correspondiente a  y a   en J A es la misma.
iii)
Si B J  v1 ,  , v s  es la base de Jordán asociada a  , entonces



B J  v 1 ,  , v s

b) Sin embargo, existe una representación matricial canónica de A sobre R ,
llamada FORMA CANÓNICA DE JORDÁN de A , y que representaremos por
R
JA .
Para el cálculo de J AR , hemos de calcular primero J AC , lo que, como ya se ha dicho, siempre es
posible. Supongamos ahora que los autovalores de A en C son
 1 , ,  k  R
1 , ,  r  C  R


1 ,  ,  r  C  R
y que la matriz J AC se ha construido colocando primero las cajas de los autovalores reales, luego las
de los autovalores complejos, y por último las de los autovalores complejos conjugados.
Entonces la matriz J AR se obtiene haciendo los siguientes cambios en J AC :
Las cajas correspondientes a los autovalores reales no se tocan. Para cada autovalor complejo
 i  a i  jb i su caja correspondiente pasa a ser:
 i







1



 a
i




  bi

 

1 



 i 


bi
1
0
ai
0
1

ai
bi
1
 bi
ai
0






0 

1 

Las cajas correspondientes a los autovalores complejos conjugados se eliminan
EJEMPLO:
C
JA
5

0

0

0

0

0

1
0
0
0
5
0
0
0
0
1 j
1
0
0
0
1 j
0
0
0
0
1 j
0
0
0
0
0 
5



0
0


0
0 
 J AR  
0
0 


1 
0


0
1  j 

1
0
0
0
5
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0

0

0

0

1

1 
Para calcular la base B JR , primero se calcula:
B J  B J  1    B J  k  B J 1    B J  r  B J      B J  
C
1
r
y despues se hace:
R


B J  B J  1    B J  k  B J 1    B J  r 2
EJEMPLO:
 0

1

 0
A 
 0

 0

 0


 t 1
2

3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
 t  j  t  j 
3
1

0

0

0

1

0 
PA ( t ) 
t
1
0
0
0
1
1
t
0
0
0
0
0
0
t
1
0
0
0
0
1
t
0
0
0
0
0
0
t
1
0
0
0
0
1
t

t
1
1
t
3

 t 1
2

3
3
Para sacar el mínimo a partir del característico se ha de tener en cuenta que los grados de las
raíces conjugadas han de ser los mismos, pues han de tener la misma estructura. Esto facilita
mucho la búsqueda.
2
B  v1 ,  , v r   B  Re v 1 ,  , v r 

El polinomio mínimo es :
m A t   t  j  t  j 
2
2
Luego la matriz de Jordán queda como:
C
JA
 j

0

0

0

0

0

1
0
0
0
j
0
0
0
0
j
0
0
0
0
 j
1
0
0
0
 j
0
0
0
0
0 
 0


1
0 


 0
0 
  J AR  
 0
0 


0 
 0


 0
 j 

1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0

0

0

0

1

0 