3360177 (3)

MÍNIMOS CUADRADOS
A mxn
Ax=b
Sistema
Inconsistente
Ax=b
consistente
b está en CA
Ax=b
inconsistente
b no está en CA
b
A x* es un vector del espacio
columna CA
A x* = proy C b
A
A x* = b*
Sistema Consistente
b – A x* mínima
x* es una solución de
A x* = b*
x* es una solución de
aproximación de
Ax=b
A fin de encontrar x* a
partir de A x* = b*
podríamos partir de
A x* = proyCAb
Existe una mejor manera de
conseguirlo
( b – A x* )
es ortogonal a cada
vector de CA
Por lo tanto,
( b – A x* )
es ortogonal
a cada vector columna
de A
c1 . ( b – A x* ) = 0
c2 . ( b – A x* ) = 0
c1 . ( b – A x* ) = 0
T
c2 . ( b – A x* ) = 0
T
T
A
. ( b – A x* ) = 0
T
A
b–
T
AA
T
AA
x* =
x* = 0
T
A
b
T
AA
x* =
T
A
Ecuaciones
Normales
b
T
AA
matriz nxn simétrica
A mxn
y b en Rm
A x = b siempre tiene al
menos una solución por
mínimos cuadrados ( o
por aproximación ) x*
x* es una solución por
mínimos cuadrados de
Ax=b
si y sólo si
x* es una solución de las
ecuaciones normales
ATA x* = AT b
A tiene columnas LI
si y sólo si
T
AA
es Invertible
En este caso
la solución de aproximación de
A x = b es única
y está dada por
x* = (
T
A
A
-1
T
) Ab
seudoinversa de A
x -y=0
x+y=0
y=1
SEL
Inconsistente
A x=b
 1  1

 x
1 1   
0 1   y 


=
0
 
0
1 
 
Columnas de A LI
ATA
 2 0

= 
0 3
Invertible
x* única solución por
aproximación
x* = (
T
A
A
x* =
-1
T
) Ab
x* solución por mínimos cuadrados de
Ax=b
b – A x*
error de
mínimos cuadrados
 = b – A x*
vector de error de
mínimos cuadrados
vector de error
de mínimos cuadrados
0
 
0
1 
 
 1  1


1 1 
0 1 


-
 1 / 3  1


 1/ 3 

= 
2

 2/3  
3
b
-
A x* =

error
de mínimos cuadrados
 =b – A x* 0,2721655
Observar las ecuaciones
del sistema
x-y=0
x+y=0
y=1
0 – ( 0 -1/3 ) = 1/3 1
0 – ( 0 +1/3 ) = -1/3 2
1 – ( 0 +1/3 ) = 2/3 3
Columnas de A LD
ATA No es Invertible
las ecuaciones normales
ATA x* = AT b
tienen un número infinito de
soluciones
Buscaremos entonces
la solución x* de
menor longitud
(la más cercana al origen)
APLICACIONES
Ajuste de Curvas por
Mínimos Cuadrados
Curvas que se ajustan aproximadamente
a los datos
Encontrar la recta
que da el mejor ajuste
para los puntos
(1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1)
y = b + mx
4=b+m
5 = b - 2m
-1 = b + 3m
1 = b + 4m
Sistema Inconsistente
1 

 2  b 
 
3  m

4 
=
4
 
5
  1
 
1
Columnas de A LI
ATA Invertible
x* única solución por aproximación
x* = (
T
A
x* =
A
-1
T
) Ay
 3,57 


  0,88 
y = 3,57 – 0,88 x
vector de error
de mínimos cuadrados
4
 
5
  1
 
1
y
_
_
1 

 2
3 

4 
A
 3,57 


  0,88 
=
x*
=
 1,31 


  0,33 
  1,93 


  1,05 

error
de mínimos cuadrados
 =b – A x* 2,579224
Observar la primera ecuación
del sistema
4=b+m
4 = 3,57 + (- 0,88)
4 – 2,69 = 1,31= 1
(primer componente del
vector )
Encontrar el mejor ajuste
cuadrático para
los puntos
(1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1)
y = a + bx +
2
cx
4=a+b+c
5 = a - 2b + 4c
-1 = a + 3b + 9c
1 = a + 4b + 16c
Sistema Inconsistente
1 1

1  2
1 3

1 4
1 

4 
9 

16 
a
 
b  =
c 
 
4
 
5
  1
 
1
Columnas de A LI
ATA Invertible
x* única solución por
aproximación
x* = (
T
A
x* =
A
-1
T
) Ay
 3,75 


  0,81 
  0.04 


y = 3,75 – 0,81 x – 0,04
2
x
vector de error
de mínimos cuadrados
4
 
5
  1
 
1
1   3,75 


2 4 

0
,
81



9
3


4 16    0,04 
1
_
y
_
=
A x* =
 1,1 


  0,21
  1,96 


 1,13 

error
de mínimos cuadrados
 =b – A x* 2,5244009
Observar la primera ecuación
del sistema
4=a+b+c
4 = 3,75 +(- 0,81)+(- 0,04)
4 – 2,9 = 1,1= 1
(primer componente del
vector )
Curvas de Luz de Cometas
El estudio de las curvas de luz
visuales de los cometas nos
pueden dar información sobre el
tamaño aproximado que tiene el
núcleo, la composición química
del cometa, la razón gas-polvo, si
el agua domina o no la actividad
gaseosa del núcleo y otros
parámetros físico-químicos más
complejos del cometa
Los astrónomos profesionales
diferencian entre dos tipos de curvas
de luz :
- Visuales, proporcionan información
sobre el agua y la actividad
molecular.
- CCD, proporcionan información
acerca de la actividad del polvo en el
cometa. Debido a las cámaras CCD
actuales, se puede conocer la tasa de
producción de polvo del cometa.
Las curvas de luz de los cometas
suelen representarse
gráficamente a lo largo de 2 ejes:
eje x
Tiempo
eje y
Magnitud visual o CCD
Cada punto representa una unidad
Visual.
Según la primera ley de
Kepler, un cometa debe
tener una órbita elíptica,
parabólica o hiperbólica
( ignorando la atracción
gravitacional de los
planetas ).
En coordenadas polares
adecuadas, la posición
( r, θ ) de un cometa
satisface una ecuación
de la forma:
r = β - e ( r cos θ )
r = β - e ( r cos θ )
donde :
β
e
es una constante
es la excentricidad de la órbita :
0  e < 1 para una elipse
e = 1 para una parábola
e > 1 para una hipérbola.
Suponga que las observaciones
de un cometa recientemente
descubierto proporcionan los
datos siguientes:
θ
r
0,88 1,10 1,42 1,77 2,14
3,00 2,30 1,65 1,25 1,01
Determine el tipo de
órbita y pronostique
dónde estará el
cometa cuando
θ = 4,6 (radianes).
r = β - e ( r cos θ )
Posiciones del cometa
,θ)
( 3,00 , 0,88 )
( 2.30 , 1,10)
( 1,65 , 1,42 )
( 1,25 , 1,77 )
( 1,01 , 2,14 )
(r
3 = β - 1,911453 e
2,30 = β - 1,043273 e
1,65 = β - 0,247872 e
1,25 = β + 0,247360 e
1,01 = β + 0,544350 e
1

1
1

1
1

 3 
 1,911453



2
,
30
 1,043273




 = 

 0,247872  
1,65 
e


0,247360
 1,25 

 1,01 
0,544350


A
x
b
x* = (
x*
T
A
A
-1
T
) Ay
 1,45  β


=  0,811 e
0e <1
La órbita es una elipse
1,45
0,81
r = β - e ( r cos θ )
r = 1,45 / 1 + 0,81 cos θ
Produce r = 1,33
cuando θ = 4,6 radianes
FIN
APLICACIONES
Ajuste de Curvas
Por Mínimos
Cuadrados