Series de Fourier

SERIES DE FOURIER
SERIES DE FOURIER
Nota: Análogamente al desarrollo de funciones en series de potencias, ahora nos
preguntamos bajo que condiciones podemos desarrollar funciones de periodo 2π (o
funciones definidas en [0,2π) extendidas por periodicidad) en series trigonométricas.
Observemos que estas tienen una ventaja esencial respecto a las series de potencias, ya
que las últimas solo permiten representar funciones infinitas veces derivables, en
cambio las series trigonométricas permiten representar funciones con gran número de
discontinuidades.
Definición: Una serie trigonométrica es una serie funcional de la forma
∞
a0
+ ∑ a n cos nx + b n sen nx
2
n =1
∞
a
Nota: Observemos que si conseguimos escribir f ( x ) = 0 + ∑ a n cos nx + b n sen nx ,
2
n =1
2π
bajo ciertas condiciones razonables tendremos que
2π
a0
cos mxdx +
2
0
∫ f ( x) cos mxdx = ∫
0
∞ 2π
2π
+ ∑ ∫ a n cos mx cos nxdx + ∫ bn cos mx sen nxdx = πa m y
1
0
0
2π
∫ f ( x) sen mxdx = πb
m
, este
0
hecho provoca la siguiente definición.
Definición: Dada f integrable y de periodo 2π definimos los coeficientes de Fourier de f
2π
2π
1
1
como a n ( f ) = ∫ f ( x) cos nxdx bn ( f ) = ∫ f ( x) sen nxdx ∀n ∈ ℵ . Llamamos
π 0
π 0
entonces serie de Fourier de f a S ( f ) =
a0 ( f ) ∞
+ ∑ a n ( f ) cos nx + bn ( f ) sen nx . Por
2
n =1
a0 ( f ) N
+ ∑ a n ( f ) cos nx + bn ( f ) sen nx ∀N
2
n =1
Nota: Como sucedía con series de Taylor, nos interese analizar bajo que condiciones
converge SN(f)
Teorema: En las condiciones anteriores tenemos:
x + 2π
x + 2π
1
1
f ( x ) cos nxdx bn ( f ) =
f ( x ) sen nxdx ∀ x ∈ ℜ
i) a n ( f ) =
π ∫x
π ∫x
ultimo definimos S N ( f ) =
ii) Si f es impar entonces a n ( f ) = 0 ∀n ∈ ℵ
iii) Si f es par entonces bn ( f ) = 0 ∀n ∈ ℵ
Definición: Consideremos una función definida en [0,π], en ocasiones es conveniente
considerar un desarrollo en serie de Fourier solo de senos (o solo de cosenos)
extendiendo la función a [-π,0] de manera que sea impar (o par)
Teorema: Sea f integrable y de periodo 2π con a 0 ( f ) = 0 , consideremos la función
x
integral F ( x) = ∫ f (t )dt ( que es continua y de periodo 2π). Tenemos que
0
∞
S (F ) = ∑ −
n =1
bn ( f )
a (f)
cos nx + n
sen nx
n
n
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SERIES DE FOURIER
Teorema: Sea f integrable, de periodo 2π y derivable con f' integrable, tenemos
∞
S ( f ' ) = ∑ nbn ( f ) cos nx − na n ( f ) sen nx
n =1
Teorema: Sea f integrable y de periodo 2π sin discontinuidades esenciales y con
1
derivadas laterales, entonces S N ( f )( x) →
( f ( x + ) + f ( x − )) ∀x
N
2
Teorema: Sea f integrable y de periodo 2π con discontinuidad de salto en x, entonces si
1
S N ( f )( x) converge lo hace a ( f ( x + ) + f ( x − ))
2
Teorema: Sea f integrable y de periodo 2π, si S N ( f ) converge (en ctp) entonces lo hace
a f en ctp
Nota: En cualquier espacio "razonable" de funciones se dan una de las siguientes
alternativas
Las series de Fourier tienen como conjuntos de divergencia los conjuntos de medida
nula (es decir, la serie de Fourier de una función de dicho espacio converge en ctp a la
funcion; y dado cualquier conjunto de medida nula existe una función de dicho espacio
cuya serie de Fourier diverge precisamente en ese conjunto)
Existe alguna funcion cuya serie de Fourier diverge en todo punto.
Teorema: Para las funciones continuas se da la primera opción (así, dada una función
continua, su serie de Fourier converge a ella en ctp). Para funciones integrables se da la
segunda opción (existe una función integrable cuya serie de Fourier diverge en todo
punto). Para funciones p-integrables (es decir funciones cuya potencia p-esima es
integrable) se da la primera opción.
Teorema: (Identidad de Parceval)
π
∞
1
2
2
Dada f 2-integrable y de periodo 2π, se tiene
f
a
(
f
)
a n ( f ) 2 + bn ( f ) 2
=
+
∑
0
∫
π −π
1
Nota: Si f es de periodo 2l se definen sus coeficientes de Fourier como
2l
2l
1
nπx
1
nπx
a n ( f ) = ∫ f ( x) cos
dx bn ( f ) = ∫ f ( x) sen
dx ∀n ∈ ℵ
l0
l
l0
l
desarrollándose una teoría completamente análoga a la estandar.
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