Señales y sistemas electrónicos

SEÑALES Y SISTEMAS
ING. JUAN CÓRDOVA OCHOA, Msc.
SEÑALES DE ENERGÍA Y POTENCIA
La energía normalizada E de la señal x(t) está definida
como:

2
E   xn
E   x(t ) dt


2
n  
La potencia promedio normalizada P de una señal x(t)
está definida como:
P  lim
T 
1
T /2

T
T / 2
2
x(t ) dt
P  lim
N 
1
N

2 N  1 n N
xn
2
Si 0E  , E es finita (P=0), x(t): señal de energía.
Si
E
,
0P 
, P es infinita, x(t): señal de potencia.
CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL
CORRELACIÓN DE SEÑALES DE ENERGÍA
Si x1(t) y x2(t) son señales de energía de valor real. La
función de correlación cruzada se define como:
R12 ( ) 



x1 t x2 t   dt
La función autocorrelación de x1(t) se define como:
R11 ( )  


x1 t x1 t   dt
Propiedades de la función correlación:
R11    R11   
R12    R21   

2
R11 0   x1 t  dt  E

CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL
DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA
La densidad espectral de energía de x1(t):

S11 w  F R11     R11  e
 jw

d
Tomando la transformada inversa de Fourier:
R11    F
1
S11 w 
1

2


S11 we
jw
dw
Si x1(t) es real, S11 densidad espectral de energía de
x1(t)
2
1
S11 w  F R11    X 1 w
R   
 X w e dw
2

11

2
jw
1
Colocando τ=0, tenemos
R11 0 
1

2


X 1 w dw
2

2

x1 t  dt 

E
1
2



X 1 w dw
2
teorema de Parseval’s
CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL
CORRELACIÓN DE SEÑALES DE POTENCIA
La función autocorrelación de tiempo promedio de una
señal de potencia de valor real se define como:
1
R11 ( )  lim
T 
T /2

T
T / 2
x1 t x1 t   dt
Nótese que:
R11 (0)  lim
1
T 
T
2




x
t
T / 2 1 dt  P1
T /2
Si x(t) es periódica con período T0, entonces:
R11 ( ) 
1
T0
T0 / 2

T0 / 2
x1 t x1 t   dt
CORRELACIÓN Y DENSIDAD ESPECTRAL
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
La densidad espectral de potencia de x1(t) se denota:



S11 w  F R11     R11  e
R11    F
1
S
w 
11
 jw

1

2


S11 we
jw
d
dw
Colocando τ=0, tenemos:
R11 0 
1

2


S11 wdw
De la ecuación para una señal de potencia obtenemos:
P1  lim
T 
1
T /2

T
T / 2
x1 t 
2
dt 
1

2


S11 wdw
RESPUESTA AL IMPULSO
La respuesta al impulso ht  de un sistema LTI está definida
como la respuesta del sistema cuando la entrada es un
impulso  t  :
ht   T  t 
La función ht  es arbitraria, diferente de cero para t  0
Sí ht   0 para t  0 el es llamado causal
RESPUESTA A ENTRADA ARBITRARIA
La respuesta yt  de un sistema LTI a una entrada
arbitraria xt  puede ser expresada como la convolución
de xt  con la respuesta al impulso ht  del sistema:

yt   xt   ht    x ht   d

Puesto que la convolución es conmutativa, podemos
expresar también la salida como:

yt   ht   xt    h xt   d

RESPUESTA DE UN SISTEMA CAUSAL
La respuesta yt  de un sistema LTI causal está dada por:
t


0
yt    x ht   d   xt   h d
Una señal xt  es llamada causal si tiene valor cero para
Así si la entrada xt  es también causal:
yt    x ht   d   xt   h d
t
t
0
0
t 0
RESPUESTA EN FRECUENCIA
Aplicando el teorema de la convolución en el tiempo de
la transformada de Fourier, obtenemos:
Y    X  H  
Donde
Y    F  yt 
X    F X t 
H    F ht 
Así H   es referida como la respuesta en frecuencia o
función de transferencia del sistema.
H    F ht  
Y  
X  
Tomando la trasformada inversa de Fourier la salida
será:
y t  
1

2


X  H  e
j t
d
RESPUESTA EN FRECUENCIA
RESPUESTA AL IMPULSO
La respuesta al impulso o la respuesta en frecuencia,
caracterizan completamente al LTI
CARACTERÍSTICAS DE FILTRADO SITEMAS LINEALES
ESPECTRO DE FRECUENCIA
La respuesta en frecuencia es una cantidad compleja
H    H   e
j h  
En el caso de un sistema LTI con respuesta al impulso
de valor real ht  , la respuesta en frecuencia H   es
simétrica:

H     H  
Esto significa que:
H     H  
 h      h  
La amplitud es par y la fase impar.
CARACTERÍSTICAS DE FILTRADO SITEMAS LINEALES
ESPECTRO DE FRECUENCIA
Escribimos las trasformadas de Fourier de la entrada y
salida:
j  
j  
Y    Y   e
X    X   e
y
x
Y    X  H  
Pero:
Rescribimos:
Y   e
j y  
Y   e
 X   e
j y  
j x  
H   e
 X   H   e
j  x   h  
Así tenemos:
Y    X   H  
j h  
 y     x     h  
CARACTERÍSTICAS DE FILTRADO SITEMAS LINEALES
TRANSMISIÓN SIN DISTORCIÓN
Para una transmisión sin distorsión a través de un
sistema, requerimos que la forma de señal de entrada
sea reproducida exactamente a la salida.
Si xt  es la señal de entrada se requiere que la salida
sea de la forma:
yt   Kxt  t d 
td es un retraso en el tiempo y K es una ganacia constante.
Tomando la transformada
miembros, tenemos:
Y    Ke
de
 j td
Fourier
X  
en
ambos
CARACTERÍSTICAS DE FILTRADO SITEMAS LINEALES
TRANSMISIÓN SIN DISTORCIÓN
Rescribiendo el espectro de salida:
Y    X  H  
Lo comparamos con la ecuación anterior:
Y    Ke
 j td
X  
Tenemos que. Para transmisión sin distorsión:
H    H   e
j h  
 Ke
 j td
La amplitud de H   tiene que ser constante sobre todo el
rango de frecuencias y su fase debe ser lineal con la
frecuencia.
CARACTERÍSTICAS DE FILTRADO SITEMAS LINEALES
TRANSMISIÓN SIN DISTORCIÓN
CARACTERÍSTICAS DE FILTRADO SITEMAS LINEALES
DISTORCIÓN DE AMPLITUD Y DISTORCIÓN DE FASE
Distorsión de amplitud: cuando la amplitud del espectro
del sistema H   no es constante dentro de la banda de
frecuencias de interés. Las componentes de la señal de
entrada son transmitidas con diferentes valores de
ganancia y atenuación.
Distorsión de fase: cuando el espectro    de fase del
sistema no es lineal con la frecuencia. La señal de salida
tiene un forma de onda diferente de la señal de entrada,
diferentes retrasos, parar las diferentes componentes de
frecuencia.
h
FILTROS
Un filtro es un sistema para el cual la respuesta en
frecuencia H   toma valores significativos solamente en
ciertas bandas de frecuencia.
Los filtros son generalmente clasificados de la siguiente
manera:
 Filtro pasa bajo.

Filtro pasa alto.

Filtro pasa banda.

Filtro bandstop.
FILTROS
FILTROS
FILTROS
FILTROS