Máximo Villon - Hidrologia Estadistica

Instituto Tecnológico de:
80
70
60
I
50
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40
-
30
20
10
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ÉÉÉÉÉÉÉÉrÉ*-i
Béja
tüüd-u@U@gnúa-
EElsta.d-ústü@4.
Máximo Vil6n Béiar
Contenido
Materia
contenido.
PróIogo.....
básicos...
muestral....
Eventos
pagma
.................]
.................. 5
................ 11
............... 15
.......... 15
.......... 16
l.3Definiciónclásicadeprobabilidad......... .............17
1.4 Definición axiomática de probabilidad......... ....... 18
1.5 Período de retorno
...........21
1.6 Concepto de riesgo:..................
..........22
1.7 Cálculo de la probabilidad empírica o experimental.............26
1.8 Variables a1eatorias................
-...........28
Variable aleatoria discreta
...................30
...............30
Variable aleatoria continua...
1.9 Distribuciones.......
...........31
Función de de densidad de probabilidad de una variable
...........32
aleatoria discreta.....
Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria
...........33
continua
1. Conceptos
1.1 Espacio
1.2
Contenido
-
Hidrologfa Estadística
Página (6)
a una
Función de distribución acumulada, correspondiente
""""' 36
distribución discreta"
una
a
Función de distribución acumulada, correspondiente
""""'37
distribución continua
"""""""'44
1.10 Valor esPerado
"""" 40
1.11 Momentos de una distribución
""""""""46
Momento respecto al origen
media
la
""""""'46
a
resiecto
Momento ."rrruiton
"""""""""'41
Media de una distribución
Nlediana
Moda........
Varianza de una distribución
Sesgo de una
"""""'48
"""" 48
"""""""""49
"""""""'
""""""""""49
"""""""" 50
distribución
Curtosis
1.12T-¡:ansfbrmaciUlllinealdevariablesaieatorias'..........,..,.,...,62
"""""' 65
1.13 Problemas propuestos """""'
muestra
""""""13
Distribuciones de frecuencia de una
2.
_z"|Representacióntabularygraficadelasmuestras,.,.........'.....73
Z.ZProcedimiento de cálculo'
,3 R"p*tentación grá1irca
Histograma...........""'
rárfgáro de frecuencia """""""
83
"""""""""'15
"""""""""""
""""'
"":"""""""""""'
83
84
""'
Función ¿" A"uti¿ud de probabilidad empírica
Función¿"¿ist'iuuciónacumuladaoempírica..'................'...86
""""" 88
2.4 Problemas propuestos """""""
,3. Medidas de las
distribuciones""""""
""""""""""""
85
91
3'lMedidaso"scripivasdelasdistribucionesdefrecuencias...:91 ^Á
central
La media aritmética
La media Ponderada'
3.2 Medidas de tendencia
"""""">+
"""""' 95
oÁ
-
página (7)
La media geométrica
.........97
La mediana...............
.........98
La moda
......... 100
Comparación entre la media, la mediana y la moda.............. 101
3.3 Medidas de dispersión ..........
...........102
Rango.......
......L02
Yariatza...
......102
Desviación estándar....
..... 105
Coeficientes de variación............
....... 107
3.4 Medida de simetría y asimetría
........107
Sesgo........
...... L07
3.5 Medida de achatamiento..........
........ 110
Curtosis....
...... I 10
3.6 Momentos lineales (L-moments).............:................. .......... t 17
3.7 Problemas propuestos............
.......... 133
parámetros
....137
4.1 Definición de parámetros
................. 137
4.2Definición de estimadores............... .................. 138
4.3 Métodos de estimación de parámetros
............... 140
Método gráfrco
............,... 140
Método de mínimos cuadrados................ ............145
Método de momentos ............................... ........... 148
Método de máxima verosimilitud............. ........... 161
4.4 Problemas propuestos............
..........L67
4. Estimación de
de bondad y ajuste.....
Definición............
.5.2 Ajuste gráfico
.5.3 Prueba de Chi-cuadrado........
...............171
..........171
................172
...........174
5.4 Prueba de Smirnov-Kolmogorov............... ........ 181
..........192
.5.5 Problemas propuestos............
.5. Pruebas
5.1
Contenido
-
página (8)
teóricas
Introducción.........
gaussiana
6. Distribüciones
6.1
6.2 Distribución normal o
Hidrologfa Estadfstica
-
página (9)
estadístico...............
saltos
............
propuestos..............
"""" 195
8.4 Análisis
Análisis de
Análisis de tendencias
8.5 Problemas
..........195
""'197
...........314
.............315
...........319
...,....330
extensión
Definiciones.........
9.2Técmcas................
9.3 Proceso
9. Completación y
9.1
...335
..........335
.........336
.........337
9.4 Criterios para mejorar los estimados de los parámetros ......341
......342
9.5 Problemas
6.7 Distribución
6.8 Problemas
log-Gumbel................ """""""""'257
propuestos...'..........
""""262
propuestos................
'10. Generación de números
aleatorios..
.....347
10.1 Generación de números aleatorios uniformemente
distribuidos
...........347
10.2 Generación de números aleatorios normales independientes
..'.......
"""""""'267
""""'267
Covarianza.......-.-........268
............'.
correlación'.........'.
""""268
correlación..'.......
"""""269
"""""""'269
correlación
determinación...""""' """"""""'27O
...............
7. Correlación y regresión
7.1
7.2 Correlación
7.3 Medidas de
7.4 Análisis de
7.5 Coeficiente de
7.6 Coeficiente de
......... 35 1
10.3 Generación de números aleatorios log-normales
independientes
10.4 Problemas
...........
propuestos...........
I
l. Intervalos
.......... 353
.........355
confianzl..........
..............359
puntual
y
por
estimación
intervalos................ 359
11.1 Estimación
ll.2lntervalo de confiatzapata la media de una distribución
normal, cuya varianza es
..............361
I1.3 Intervalo de confialzapara la media de una distribución
normal, con varianza desconocida............. .............365
11.4 Intervalo de confianzaparalavaianza de la distribución
..........368
I L5 Problemas
.........377
de
conocida............
consistencia.--........
Introducción......-..
8. Análisis de
8.1
"""'"""'
"""""
307
307
normal......
propuestos...........
Bibliografía
á.¡ ¡ráriris doble
masa.............".".'....... """"""""312
consu1tada................
..............373
Fconr.,iiao - página (10)
Anexo A. Transformada de Laplace y función gamma.......,.'.......377
...,.,........,.,.379
A.1
A.2Latransformada de Laplace.............. .............'..380
A. 3 Ejercicios propuestos transformada de LapaIce ................. 396
.....'......398
A.4 Función
....,.........407
A.5 Ejercicios propuestos funcidn
Justificación
gamma
Anexo B: Funciones
trigonométricas
........409
Apéndice: Tablas estadísticas y papeles probabilísticos .....'.........413
Otras
publicaciones...,
Prólogo
gamma
..............435
Los estudios hidrológicos requieren del análisis de
cuantiosa
información hidrometeológica; esta información puede consistir de
datos de precipitación, caudales, temperatura, evaporación, etc.
Los datos recopilados, solo representan una información en bruto,
si éstos se organizan y analizan en forma adecuada,
proporcionan al hidrólogo una herramienta de gran utilidad, que le
pero
permite tomar decisiones en el diseño de estructuras hidráulicas.
úiliza los conceptos
de probabilidades y estadística, siendo este campo, una de las
primeras áreas de la ciencia e ingeniería, en usar los conceptos
Para el análisis de la información, la hidrología
I
l
cstadísticos, en un esfuerzo para analtzar los fenómenos naturales.
I
I
La presente publicación bajo el nombre de Hidrología Estadística,
3¡tá orientada a ayudar a comprender los principios fundamentales
dc la probabilidad y la estadística, aplicada ala hidrología, así como,
mosffar algunas herramientas estadísticas, que han sido aplicadas
gon éxito, en la solución de problemas hidrológicos.
Prra la simplificación del análisis de la abundante información, se
Fquiere del uso de la computadora digital, es por eso, que el autor
hl desarollando la aplicación HidroEsta, que tiene la finalidad de
Prccesar fácilmente esta información. Ella se utiliza en la solución
d¡ los ejemplos resueltos.
F
Prólogo
-
Hidrología Estadística
página (12)
La publicación cubre los siguientes temas:
! capitulo I,
conceptos básicos, incluyendo los eventos,
probabilidades, variables aleatorias, distribuciones, función
densidad, función acumulada, valor esperado, momentos y
.
.
capítulo
II,
capítulo
III,
distribuciones de frecuencia de una muestra, su
representación tabular y gráfica, y su procedimiento de cálculo.
de las
distribuciones, como media,
mediana, moda, medidas de dispersión, medidas de simetría y
asimetría, y medidas de achatamiento, también se incluye el
cálculo de los parámetros estadísticos utilizando la técnica de los
medidas
momentos lineales.
.
.
capítulo IV, estimación de parámetros, mediante método gráfico,
mínimos cuadrados, momentos y máxima verosimilitud.
capítulo V, pruebas de bondad de ajuste, dentro de las cuales se
contemplan el ajuste gráfico, Chi-cuadrado y SmirnovKolmogorov.
.
.
capítulo IX, completación y extensión de series hidrológicas,
utilizando la correlación lineal, para llenar registros con valores
incompletos, o para extender registros cortos, con base en otros
.
.
X, técnicas de generación de números aleatorios
uniformes, normales y log-normales, y de series sintéticas.
capítulo
capítulo XI, la estimación de los intervalos de confianza, parala
media y varianza de la población, a partir de datos muestrales.
Como anexo se incluye la transformada de Laplace y la función
gamma completa, conceptos matemáticos de gran importancia, que
ayudan a simplificar los cálculos que se realizan en la estimación de
parámetros y distribuciones teóricas. También, se incluye un listados
de funciones trigonométricas, que ayudan al lector, en los ejercicios
de transformada de Laplace.
Por otro lado, se incluye un apéndice con las tablas estadísticas más
usuales, las cuales ayudan en los cálculos a realizar, así como los
papeles probabilísticos normal, log-normal, Gumbel y log-Gumbel.
capítulo VI, distribuciones teóricas más utilizadas en hidrología,
como la normal, log-normal, gamma, log-Pearson tipo III,
Gumbel y log-Gumbel.
capítulo
VII,
conceptos
de
correlación
y
regresión, los
y
coeficientes de correlación
determinación, las ecuaciones de
regresión lineal y no lineal simple, las ecuaciones de regresión
lineal y no lineal múltiple, y la ecuación de regresión polinomial.
.
página (13)
registros mas largos.
transformación lineal de variables aleatorias.
.
-
capítulo VIII, análisis de consistencia, como el análisis visual,
doble masa, estadístico con los análisis de saltos y tendencias.
El autor desea expresar su agradecimiento, a aquellas personas que
de una u otra manera, han estado involucradas con la elaboración de
enta publicación, como por ejemplo: los estudiantes de la Escuela de
,lngeniería Agrícola, quienes utilizaron, como texto la versión
proliminar de esta publicación, en el curso Estadística Aplicada, el
dlscñador gráfrco, Rafael Murillo que trabajó con las ilustraciones,
cl estudiante Gerardo Espinoza, por la dígitalización de parte del
toxto y Alexis Rodríguez del Instituto Costarricense de Electricidad
(lCE), por sus acertadas sugerencias.
,7
Prólogo
-
página(l4)
Un agradecimiento muy especial, al Comité Regional de Recursos
Hidráulicos (CRRH), por el apoyo económico, pors financiar la
primera edición, y por hacer llegar el libro a todos los países de
Centroamérica.
Máximo Villón Béjar
Conceptos básicos
1.1 Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.
un
experimento, no es posible determinar con
seguridad su resultado, si se puede, definir con precisión un listado
de los resultados posibles de ocurrir. Esta lista constituye el espacio
muestral, y se designa como §.
Aún cuando en
ffjemplos
l,
I:1
.
Si el experimento consiste en lanzar una moneda, los resultados
posibles son escudo o corona, luego el espacio muestral se
representa como:
S = { escudo, corona }
tlonde: NS = 2
llcndo, Ng : número posible de resultados del espacio muestral
7,
Si el experimento consiste enlanzar un dado, el espacio muestral
será:
t7
Conceptos básicos
S=
-
página (16)
Hidrologfa Estadística
-
página (lZ
)
Nc=6
t 1,2,3,4,5,61
N^s=6
3. Si el
experimento consiste en lanzar
2
dados,
el
espacio
muestral, de la suma de los resultados de los dos dados, será:
S= {2,3,4,5,6,7,8,9, 10, ll,L2l
= l1
L.3 Definición clásica de probabilidad
La probabilidad P(AL de un evento A, en un experimento aleatorio
y de los cuales N¿, son
que tiene N5 resultados igualmente posibles,
resultados favorables, esta dada por:
N.s
pre)=+ ...(t.t)
Ns
1.2 Eventos
Son los resultados posibles que se pueden presentar enlarealización
de un experimento. Es un subconjunto del espacio muesffal.
Ejemplos
1.
\iemplos 1.3
l,
i.2
Al anojar
una moneda, la probabilidad de que salga escudo, es:
P=!
En el experimento de lanzar una moneda el evento A, que salga
escudo es:
4=
{ escudo }
donde: NA= |
siendo, N¿ : número posible de resultados del experimento
2
Al anojar un dado, hay seis casos igualmente posibles, la
probabilidad de que salga un número igual o mayor que 3 es:
P=!-z'
63
lanzar un dado, el evento B que salga
número mayor o igual que 3, es:
Al anojar dos dados, hay 36 casos igualmente posibles, la
probabilidad de que la suma de los resultados sea 7, es:
B = {3,4,5,6}
NB=4
P=9=r
366
2. En el experimento
3. En el experimento
lanzar dos dados, el evento C, que salga un
es:
C
= { (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3), (3,4) I
En una urna se tienen dos bolas rojas y ocho bolas negras, hallar
la probabilidad que al extraer una bola, esta sea de colór rojo.
Conceptos básicos
-
página (18)
Hidrología Estadfstica
2. P(IC'¡
o-2 -l
----
105
página (19)
l. P(a)=g
De los 10 casos igualmente probables, en 2 casos sucederá el evento
que se considera, por lo que se tendrá:
I
-
= 1 - P(A), dohdeACes el complemento deA
Los axiomas anteriores, permiten la definición de los siguientes
conceptos importantes
:
El
concepto clásico de probabilidad sólo se puede aplicar en
experimentos en los que hay un número finito de casos igualmente
posibles. Pero en la naturaleza, los principales problemas prácticos
no son de este tipo.
Probabilidad de Ia unión de sucesos
Si A
yB
son eventos cualesquiera en un espacio muestral §,
entonces:
1.4 Definición axiomática de probabilidad
.
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A
n
B)
...(r.2)
Sea S un espacio muestral asociado a un experimento, y
A cualquier
suceso de S (A subconjunto de S). Se dice que P es una función de
probabilidad en el espacio muestral S, si se satisfacen los siguientes
La P(A U B), es llamada unión de probabilidades y se lee la
probabilidad deAoB.
tres axiomas:
Probabilidad de eventos independientes
1.
0 < P(A) SI,paru
todoA e
Si
,S
A y B son eventos independientes de un espacio muestral
§,
cntonces:
2. P(S)
3
=I
P(A
Si 47, A2,..., A¡¿ es una serie de sucesos, independientes
mutuamente excluyentes, entonces:
a
B) = P(A) x
P(B)
.. . (1.3)
La P(A n B), es llamada Ia probabilidad de intersección
probabilidadde Ay B.
y
se lee
P(A1U AZU 43 U...UA¡¡) = P(AD + P(A) +... + P(A¡¿)
Notá. Dos eventos, son independientes
si la
probabilidad
ocurrencia de uno, no se ve afectada por la ocurrencia del otro,
son matuamente exéluyentes, cuando la ocurrencia de
imposibilita la ocurrencia del otro.
De estos axiomas, se deducen los siguientes teoremas:
Probabilidad condicional
§l e y B son dos eventos en los cuales P(A) + 0, entonces, la
probabilidad condicional de que ocrrra el suceso B, dado que
tucedió A, se define por:
7
Conceptos básicos
-
página (20)
P(BtA\-P(A.B)
P(A)
Ejemplo 1.4
Supóngase que el río Turrialba alcanza cada invierno un nivel de
creciente con una frecuencia relativa de 0.2. En el río Turrialba,
cuando atraviesa la ciudad del mismo nombre, hay un puente cuya
probabilidad de falla en los estribos es 0.3 y la experiencia muestra
que cuando hay creciente, las probabilidades de esta falla suben a
0.5. Con estos datos se desea conocer la probabilidad de falla en eI
puente.
Solución:
De acuerdo a los datos del problema, se tiene:
Probabilidad ocurrencia de la creciente: P(C) = 0.2
Probabilidad no ocurrencia de la creciente: p(C) = 1-0.2 = 0.8
Probabilidad falla: P(O = 0.3
Probabilidad no falla: P(F1= I - 0.3 = 0.7
Probabilidad falla dada la creciente: P(Flq =O.5
El puente falla (queda inutilizado), cuando falla en los estribos
cuando hay creciente; esto se representa de acuerdo a Ia
(L.2), de la siguiente forma:
P(CU F)= P(A+ P(D - P(C nfl
... (1.5)
De otro lado, de la ecuación (1.4) de la probabilidad condicional,
tiene:
P(F'tC)='(?.2,') = p(CnF) = p(c)xp(F tC)
P(C)
Luego:
P(C o F) =O.2 x 0.5 = 0.1
Hidrología Estadística
-
página (21)
Sustituyendo valores en la ecuación (1.5), resulta:
P(CU F)=0.2+0.3 -0.1
P(CU F)=0.4
.'. La probabilidad de falla en el puente es del 40 7o.
1.5 Período de retorno (T)
Se define el pertodo de retorno T, como el intervalo promedio de
tiempo en años, dentro del cual un evento de magnitud x puede ser
igualado o excedido, por lo menos una vez en promedio. Así, si un
evento igual o mayor a -r, ocurre una vez en I años, su probabilidad
de ocurrencia P, es igual a I en Tcasos, es decir:
p(x > *> =
l;
I
... (1.6)
ó
fdonde
-I
P(X > x)
...fi.7\
:
P(X>x ) = probabilidad
de ocurrencia de un evento
f = período de retorno
>.r
L¡ definición anterior, permite indicar que la probabilidad de que x
ll0 ocuna en cualquier año; es decir, la probabilidad de ocurrencia
,Ét un evento <.r, se expresa como:
P(X<x)=1-P(X>-x)
le:
Pk
,T<r)=t-1
...(1.8)
,'-lr(x<x)
...(1.e)
1
F
Conceptos básicos
-
págirc(22)
Hidrología Estadística
donde:
período de retorno
P(X>x) = probabilidad de excedencia
P(X <x) = probabilidad de no excedencia
P
Tabla 1.1 Período de retorno de diseño recomendado, para
corta duración
Drena¡e de aeropuertos
Drenaie urbano
Drenaie Aqrícola
Muros de encauzamiento
Alcantarillas para carreteras
Periodo de Retorno
laños)
50-100
25
P=L-P
1
=l-1T
P
Si se supone que la no ocurrencia de un evento en un año cualquiera,
es independiente de la no ocurencia del mismo, en los años
anteriores y posteriores, entonces la probabilidad de que el evento
no ocurra en n años sucesivos ó confiabilidad, es:
5-10
1-2
P.P....P
n factores
5
2-10
5-10
2-50*
1.1
-5
-/-
1.6 Concepto de Riesgo (R)
Si un evento de diseño, por ejemplo un caudal de diseño Q, tiene un
período de retorno de T años, y una probabilidad de excedencia P,
de acuerdo al apartado anterior, se cumple:
T
- Pn =1,(.- 1)'
r)
La probabilidad de que el evento, oculTa al menos una vez en r¿ años
sucesivos, es conocida como riesgo o falla R, y se representa por:
R = 1- (P)'
* Puede aumentar si estas obras protegen poblados de importancia.
p=!
probabilidad de ocurrencia de un caudal > Q
período de retorno
La probabilidad de que Q no ocuna en cualquier año; es decir, la
probabilidad de ocurrencia de un caudal < Q, es:
estructuras menores
Puente sobre carretera menos importante o
alcantarillas sobre carretera imoortante
Alcantarillas sobre camino secundario
Drenaje lateralde los pavimentos, donde
puede tolerarse encharcamiento con lluvia de
-
I-
En la tabla 1.1, se muestran los períodos de retorno recomendados,
para el cálculo de caudales de diseño de estructuras menores.
Puente sobre carretera importante
págha (231
donde:
I-
Tipo de estructura
-
n=
r-[r-+)'
(1 ro)
donde:
R=riesgoofalla
I-
período de retorno
n = vida útil del proyecto
Conceptor básicos
-
Hidrología Estadfstica
p&gina (24l-
Con el prrámetro riesgo, ee posiHe determinar cuáles son las
implicaciones, de seleccionar un período de retorno dado de una
obra, que tiene una vida útil de n años.
l,-1)'=r-R
r]
I
1-:=1r-n)i
T\
Para
diferentes valores de períodos de retorno (7) y diferentes valores de
vida útil (n) de las obras.
1-(1-RÉ =
Tabla 1.2 Valores de R, en función de T y n
l,=fl)
10
0.99485
20
50
0.92306
0.63583
100
0.39499
0.09525
500
1000
5000
10000
0.04879
0.0099s
0.00499
7=
Hlesoo ffI)
n=100
n=150
0.99997
0.99408
0.86738
0.63397
0.18143
0.09521
0.01980
0.00995
0.99999
0.99954
0.95170
0.77855
0.25940
0.f 3936
0.02956
0.01489
La probabilidad de que se presente al menos un evento de
probabilidad llT en I años es: 1- (l - lfi)r, que para un peíodo
largo tiende a ser 0.6321.
En consecuencia, si la vida útil de una estructura y el período de
retorno de diseño son iguales, la probabilidad de que la capacidad de
la estructura sea excedida durante la vida útil es muy alta. Por lo
tanto, el período de retorno debe rer mucho mayor que la vida útil de
la estructura para estar razonablemente seguros de que ningún valor
exceda su capacidad. Sin embargo, para cualquier período de retorno
de diseño que se seleccione, siempre hay una probabilidad de que el
valor sea excedido; por supuesto, si se selecciona un período de
retorno de diseño muy alto en comparaeión con la vida útil de la
estructura, la probabilidad de que su eapacidad sea excedida podrá
ser muy b{a, pero siempre existe.
página (25]l
Despejando T de la ecuación (1.10), se tiene:
En la tabla 1.2, se muestran algtmos valores de riesgo.
T
-
1
T
--J ,
r-(r-n);
(l.ll)
...
En la tabla 1.3, se presentan valores de T, para diferentes valores de
riesgo (R) y diferentes valores de vida úül (n) de las obras.
Tabla 1.3 Valores de T, en función de R y n
Vida
R
299
5
498
995
25
2488
149
248
495
1238
59
29
98
48
195
488
18
95
35
238
11
3
0.01
100
2
199
o.o2
0.05
0.10
0.25
0.50
50
20
99
39
10
19
4
2
1.3
1.0
7
3
2
5
I
2.7
4.1
111
1.27
1.66
0.75
0.99
10
15
7.7
2.7
87
37
50
100
2lJlJ
4975
99s0
2475
975
475
174
4950
1 950
950
348
145
73
22
1990
0
9900
3900
1899
695
18
73
37
5.9
11
289
144
44
Ejemplo 1.5:
Determinar el riesgo o falla de una obra que tiene una vida útil de 15
años, si se diseña para un período de retorno de 10 años.
F
Conceptos básicos
- página (26)
Hidrología Estadística
Solución:
página (27
Z=10y n=15
Sustituyendo valores en la ecuación (1.10), se tiene:
Tabla 1.4 Fórmulas para determinar la probabilidad experimental
R=1-1,-l)"
Fórmula empírica
10J
R =0.7941=79.417o
Probabilidad experimental
acumulada
P
California
Si el riesgo es de 79.41Vo, se tiene una probabilidad del79.4lVo de
que la obra falle durante su vida útil.
m
n
Hazen
m-1
2
Ejemplo 1.6:
Para el diseño de una estructura hidráulica, con vida
Blom
Tukey
.'.f=238años
experimental
Dado un conjunto de datos ordenados:
m-0.3
n+0.4
Chegadayev
=237'78
1.7 Cálculo de la probabilidad empírica o
nll
'i
Solución:
De los datos del ejemplo, se tiene:
T=l0Vo=0.Ly n= 25 años
Sustituyendo valores en la ecuación (1.1 1), se tiene:
11
' =1-grno*
l-(l-o.l),5
n
m
Weibull
útil de 25 años,
se acepta sólo el IO %o'de riesgo. ¿Qué período de retorno se debe
escoger para el diseño de la estructura?
T=
I
XlrX2, I3r...,fN
Existen varias fórmulas para calcular la probabilidad de ocurrencia
los datos ordenados, los cuales se muestran en la tabla 1.4.
"de-
De los datos del ejemplo, se tiene:
[
-
m-a
Gringorten
n
donde
*7- 2a
:
-
probabilidad experimental acumulada o frecuencia
relativa empírica
m= nimeto de orden
n = número de datos
P
Conceptos básicos
-
págna (2Bl
a = yalor comprendido en el intervalo
O
de n, de acuerdo amst
a la siguiente tabla:
n
10
20
30
40
a
o.448 o.443
0.442
0.441
n
60
70
80
90
a
0.440
o.440
o.440
0.439
Hidrologfa Estadística
<a<
l, y depende
50
o.440
100
0.439
De todas estas fórmulas empíricas, la más utilizada es'la de weibull.
p(x ) x), los datos se
ordenan de mayor a menor, mientras que para caicular ra
probabilidad de no excedencia p(x < x), los datós se ordenan de
-
págrna (291
En este caso el espacio muestral §, consta de los cuatro puntos
(resultados):
(e,e), (e,c), (c,e), (c,c)
donde:
e = escudo,
C = COfOna
primera
la
letra, se refiere a la moneda de 10 colones y la segunda a
la de 20 colones.
Para calcular la probabilidad de excedencia
menor a mayor.
L.8 Variables aleatorias
una variable aleatoria,'", ,nu función x, definida sobre un espacio
muestral ,s, que asigna un valor a esta variable, correspondiente a
cada punto (o cada resultado) del espacio
-r.rt ul de un
experimento.
A
una variable aleatoria, se le conoce también como variable
estocástica, sus valores son números reales, que no pueden
predecirse con certeza antes de ocurrir el fenómeno, es decir,
ocurren al azar. El comportamiento de una variable aleatoria está
descrito por una ley de probabilidades, la cual asigna medidas de
probabilidad a posibles valores o rangos de ocurrencia de la variable
aleatoria.
Ejempla 1.7
sea el experimento: lanzamientos independientes de una moneda de
l0yuna de2}colones.
Si se define como va¡iable aleatoria:
X = número total de escudos que se obtiene al efectua¡ el
experimento
entonces, la variable aleatoria X, puede ser:
X= 0, t,2
donde:
X = 0, si el resultado son 0 escudos
X= l, si el resultado es I escudo
X = 2, si el resultado son 2 escudos
luego, considerando que las monedas no son falsas, si:
X = 0; le corresponde una probabilidad de:
P(X=O) =ll4=0.25
X = l,le corresponde una probabilidad de:
P(X=l) =214= ll2=0.5
X =2,1e corresponde una probabilidad de:
P(X=2) = ll4 =0.25
En forma general, X puede tomar un valor cualquiera del siguiente
htodo:
X=a =+
a<X<b +
XSc +
X>d +
P(X=
a)
P(a<X<
P(Xsc)
P(X> d)
b)
Conceptos básicos
-
página (30)
Hidrología Estadística
Clases de variables aleatorias
página (31)
C0ntinua. En este caso la ley de probabilidades asigna medidas de
probabilidad a rangos de ocurrencia de la variable aleatoria.
1. Variable aleatoria discreta
se dice que una variable aleatoria X es discreta, cuando sus valores
conjunto enumerable finito o infinito.
o
se restringen a un
Ejemplo: si X representa el número de días de lruvias ocurridas en
los meses de un año cualquiera (figura l.l), entonces X es una
variable aleatoria discreta. En este caso, la ley de probabilida
asocia medidas de probabilidad a cada posible ocurrencia de
12
Número
de
31 días
Figura 1.2 Ejemplo de variable aleatoria continua
variable aleatoria.
muyorfa
de secuencias de variables hidrológicas son series
continuas. Sin embargo, para propósitos
de variables
dias 30
de 25
lluvia 20
lcos, una variable discreta puede tratarse arbitrariamente como
ajustándose a una función continua, o bien, una continua
discreta, dividiendo éstas en intervalos y agrupándolas en
discretos.
15
10
5
0
-
EF
Meses
Figura 1.1 Ejemplo de variable aleatoria discreta
2. Variable aleatoria continua
Se dice que una variable aleatoria
X es continua, cuando sus
se encuentran en un rango continuo y puede ser representado
cualquier número entero o decimal.
Ejemplo: Si Q es una variable aleatoria que denota el valor de
caudales promedios diarios del río corobicí (figura r.2), entonces
puede asumir cualquier valor y es entonces una variable
Dlstribuciones
0omportamiento de una variable aleatoria se describe mediante su
de probabilidades, que a su vez se puede caracteizr de varias
La más común es mediante [a distribución de
liclades de la variable aleatoria.
X + variable aleatoria de la función
I =+ valor particular que toma la variable aleatoria
flf) + l'unción de densidad (función de probabilidad,
F(l)
distribución de probabilidad de x)
-+ llnción acumulada (función de distribución acumulada)
Conceptos básicos
- página (321
Hidrologla Estadlstica
-
página (33 )
Función de densidad de probabilidad de una variable
aleatoria discreta
f(x)
x36-1
<1
V*i
23456789101112
Figura 1.3 Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
f
Ejernplo
1.8
(x,)
;
sea X la variable aleatoria que representa la suma de los puntos que
se obtiene al lanzar dos dados, esta tiene como función
di densidad
de probabilidad:
x-l
36
f (x) =
13- x
1;
Función de densidad de probabilidad de una variable
aleatoria continua
Es una función matemática que permite determinar la probabilidad,
de que una variable aleatoria continua X, tome los diferentes valores
x;, dentro del rango en el que está definido, y cumple con las
siguientes condiciones:
para x =2,3,4,5,G,7
0</'(x,)s1
para x = 8,9,lo,ll,l2
ll*f @)a* =t
en otros
casos
los diferentes valores de x. se tiene:
x
2
3
4
5
6
7
I
9
10
11
12
f(x) 1136 2t36 3/36 4t36 5/36 6/36 5/36 4136 3/36 2136
1t36
su representación gráÉica se muestra en la figura 1.3.
p(asx( u¡=[bf{*)ax
QJemplo 1.9
Sca X una variable aleatoria continua que tiene la
densidad de probabilidad:
función de
Conceptos básicos
fo.rrr,
f(x)=j
- x')
lo
-
página (34)
'
Hidrología Estadística
-
página (35
)
,para -1<x<1
,
para cualquier otro valor de x
Se pide:
gráfico de la función de densidad de probabilidad
2. CalcularP(-0.5 < x < 0.5)
1. Elaborar el
)l
Solución:
1.
x
f(x)
Para elaborar el gráfico, se evalúaf(x), para valores de x, que
estén en el intervalo definido por [-1,1], así se tiene:
-1
-0.8
-0.5
-o.2
0
0.2
0.5
0
0.27
0.5625
0.72
o.75
o.72
0.562s o.27
su representación gráfrca se muestra en la
08
1
0
figura 1.4.
f(x)
0.
0
l,'r¡
0
rrción de distribución acumulada
'ir \ t's una variable aleatoria
0.
-1 -0.8 -0.6 -0 4 -0.200.2 0 4 0.6 0.8
1
x
Figura 1.4 Función de densidad de probabilidad de una variable
aleatoria continua
(discreta o continua), se define la
Irrrr rorr rlc distribución o función de distribución acumulada F(x),
,,nr, lr ¡rrobabilidad de que X tome cualquier valor menor o igual
r¡rr' r, r's tlccir:
/tr) I'(X<x)
,'r lrltr'(l(' rlctttostrar que:
2. P(-o.s< x < o5) = Il j.ro.r
s(-
x2)dx
l't,t r'/r)=F(b)-F(a)
7
Conceptos básicos
-
página (36)
Hidrología Estadística
Función de distribución acumulada correspondiente a
una distribución discreta
-
página (371
f(x)
Para el caso de una variable discreta F(x), se puede expresar como la
sumatoria de los f(x), para los cuales ri es menor o igual que r, es
1
7t8
decir:
F(x)=P(X<x)= Ef(x¡)
xi(x
... (1.14)
Ejemplo 1.10:
Sea
X una variable aleatoria discreta con función de probabitidades:
f(o) =
l.
8'
f(1) =
1. Calcular
1.
8'
34
. fr3) = I
8'
8
f(2\ =1
Figura 1.5 Función acumulada de una variable discreta
P(X<2)
2. Dibujar la función de distribución acumulada
lfunción de distribución acumulada correspondiente a
r¡na distribución continua
Solución:
1. p(x
<2)=F(2)=ÉnO =f(0)+f(1) +f(2)
l'irra el caso de una variable continua, F(x) se representa por:
x=0
P(x<
2\=!+3*1
888
F(x)=P(X<
x¡=f
r1x¡Ax
... (1.1s)
Pñ < 2\=!
8
2.
Siguiendo el mismo proceso del punto (1), se puede determinar
F(x) para los diferentes intervalos de x, así se tiene:
x
x<0
0<x<1
0<x<2
0<x<3
x>3
F(x)
0
118
418
7t8
1
Su gráfico se muestra en Ia figura 1.5.
L;r rclación entre la función de distribución acumulada y la función
rh'rlcnsidad de probabilidad, es:
d
F(x)
dx
f(x)
l¡,'(1.13),setiene:
... (1.16)
Conceptos básicos
P(a <
x
< b) = F(b) - F(a) =
-
página (38)
l.'f1*¡
a^
Hidrología Estadística
...
(1.t7)
Esto significa que la probabilidad del evento a < x 1 b, es igual al
área que hay bajo la curva de la función de densidad de probabilidad
f(x), enfie x = a y x = b (fi1¡ra 1.6).
-
página (39
)
P(a < x 3 b) = P(a < x < b) = P(a < x < b) = P(a 3 x 3 b)
Esta situación es diferente para el caso de una distribución discreta.
Ejemplo 1.11 :
Sea X una variable aleatoria continua, que tiene la
densidad de probabilidad:
ab
Figura 1.6 Representación de probabilidad
También se cumple que, la probabilidad P(x = a) = 0, en efecto:
P(x=a)=F(a)-F(a)=g
es decir, que
el área bajo la curva/(x) en un punto, es cero (figura
Calcular:
l. La función acumulada
2. P(X <2)
3. P(0.2 <X <2.5)
4. P(X> t)
5. Dibujar la función
de distribución acumulada
r.7).
Solución:
l. Por definición:
F(x)
=
Figura 1.7 Laprobabilidad en un punto es cero
De esto, como F(x) es continua, se observa que las probabilidades
correspondientes a los intervalos:
a<x1b, a<x<b, alx<b, a1xlb
(con a y b fijos, pero arbitrarios
decir:
y
con b > a), son todos iguales, es
J_f
r«*¡ a*
0
!/xx) dx + ffrr*l ¿*
F(x) =
lj rf*l a*
rr*>=
1x3¡ x3
rr(x)=lJt* =_27
930 =--u
función de
7
Conceptos básicos
-
página (40)
Hidrología Estadística
F(x) = {
F(x)
1
2. P(x < 2) - P(0 < x < 2) = F(2) - F(0)
< zl=L -o
o.4
3. P(0.2< x < 2.5) = F(2.s) - F(0.2)
4. P(x > 1) =
-Y= 27'1rS.O2s
27
-
0.00s)
0
= 0.5784
I - P(xS
1)
=
1
,/
o.2
a
=ry
27
<x <2.5)
/
0.6
P(x<2)=O.2963
p(0.2 < x <2.5)
I
0.8
27
P(0.2
página (41)
1.2
27
P(x
-
/
/
-/
x
- tF(l) - F(Q)l
Figura 1.8 Éunción acumulada de variable continua
1
P(x>l)=1-Ír-Ol
P(x>1)=0.963
5. Para elaborar el sráfico de F(r)
=I'n, "" dan valores a x en el
intervalo [0,3], así se tiene:
x
Flx)
0
0
0.5
0.00463
1
1.5
2
2.5
3
0.03704
0.12500
0.29630
0.57870
1
Solución
por definición, para una variable aleatoria discreta , para que flx),
sea una función de densidad de probabilidad, se cumple:
La representación gráfrca de la función acumulada, se muestra en la
figura 1.8.
Ejemplo 1.12:
Dado una variable aleatoria discreta
donde:
X y n un número positivo,
cntonces:
n
L"flx)=I
7
Conceptos básicos
-
página(42)
x=1
página (43
)
Demostración:
Para que fz) sea una función de densidad de probabilidad, se debe
cumplir que:
n
» C2x=l
x=1
ll *f {da' =t
n
¿
-
Hidrología Estadística
\ )x=l
x=1
Comprobación:
2_2
z-z
-^ltoo
Cl2+22+23+...+2nl=L
2Cl1+2+22+23+...*2n-11-1
2 dz =--1--
... (1.18)
l+2+Zz +23 +...+ 2,-t ==='-?'
t-2
-1
=2n
-1
^12ÍI
22
z-z
pero, de la propiedad de los cocientes notables, se tiene:
[* "
J-*
dr+ l.,-l;"
^I¡o
2
... (1.19)
2 d,
2 dz ...(1.20)
luego, sustituyendo (1.19) en (1.18), se tiene:
2C(2¡-l) =
L
(-z)2
.^1
Ejemplo
2(2^
-l)
l.l3
:
fr_z\=]
' ^l2rle 2 =-L,
^l2fr
Por
Sabiendo que la variable aleatoria
densidad de probabilidad:
f (z)=
psro
-oo
,
h,
'"
2
z, tiene la siguiente función
se dice matemáticamente
2
2
=f(z)
queflz),
es una función
Par.
.'.
(distribución normal estándar)
1Z 16, comprobar queflz)
probabilidad.
de
serflz) ='f(-z),
_z
[!_rrrtor=
luego de (1.20), se
li rr.,0,
tiene:
z
es una función de densidad de
!I*¡<r¡or=#ff,
püt'ÍI-oo <Z<@
2
2 dz
... (t.2r)
Conceptos básicos
-
página(44)
Hidrología Estadística
Haciendo:
z2
Lzdz
dy
=Cly"-dZ=t
222
Se requiere que
+z="12y
#f
)
parax continua
... (1.23)
g(x) esté definida para todo x real, para el cual flx)
Propiedades del valor esperado
!1*¡<,t¿,=#ff"-,+=hff
[1 *¡
página (45
sea diferente de cero.
sustituyendo en (1.21), resulta:
r,r>¿r=
¡@
= $(xX(xEx
E(s(X))
-
g(x) =
E(A =
1. Si
y-1,-,
d.y
Aplicando la transformada de Laplace, resulta:
f,
C
constante
.,(1.24)
en efecto, por definición:
.€1
)-*f {dar= ñ
Variable
continua:
E(c) =
I]*rf A>*
ó
E(C) =EC(fx¡¡
CJ-- f (x)d,x
ó
E(C) =
E(C) =
Variable discreta:
c \(fx¡)
Pero:
ll*f {ia* =t ó
.,ffi=1
I LQQD
(1o que se quería demostrar)
E(C) = C
luego: E(1)
1.10 Valor esperado
E(1(X»
=
| g(x)flx)
paraXdiscreta
... (1.22)
ó
de tunción densidad)
E(C)=C
=1
2. E(a.g(x)) = a
Si X es una variable aleatoria (discreta o continua), con función de
densidad de probabilidad f(x), y si g(x) es otra función de X,
entonces el valor esperado de S(D se define de lasiguiente forma:
2,flx¡)= I (definición
E(S@)) a= cte.
t. E(a"g(x\ + b.h(x)) = a E(g(x))
+
... (1.2s)
b E(h(x))
...
(t.26)
Conceptosbásicos
-
página (46)
Hidrología Estadística
L.L1 Momentos de una distribución
tty= E((x - p.f)
Momento respecto al origen
Si S(X)
-
tl'k=
XK, donde K=1,2,3,..., se define el momento k-ésimo, ¡r'¡,
E(x\ = | xKJ(x) para X discreta
l.t'k= E(xK)=
l_:x*f1x¡ d* p*qX
...
(r.27)
.
=2
Fr
Si K = 1, se tiene el momento de 1er orden respecto al origen,
así:
Variable discreta:
F'l= 2x.f(x)
pl=E(x)=lt
LL'l
= J-
xf(x)
dx - lt
... (1.29)
se tiene
(1.30)
el 1"'momento central:
Variable continua:
- tt)f(x)
ó
rr1
=
J:(x
-p) f(x) dx
Si K = 2, se tiene el 2o momento central:
=Z @ - tt),f(x)
kz
¡r
Si K = 2, se tiene el momento de 2" orden respecto al origen, así:
ó
/z=!l**2f(x)
dx
Si K = 3, se tiene el momento de 3er orden respecto al origen,
así:
F3= L*3f(*)
paraXdiscreta
ó
t2=
l:
6 - Lt)rf(x)
dx
.'. El segundo
El primer momento respecto al origen es la media
F'2= E x'f(x)
(x
p"fflñ
)
Si ¡r1 existe debe ser igual a 0
.
Variable continua:
I,
(x -
Variable discreta:
... (1.28)
continua
Si K =
)
página (47
- pÉi)= J_1f"-p)^f(x) dx paraXcontinua...
tty= E((x
respecto al origen como:
=
-
ó
lt'3
= J- *'r1*¡ a,
Momento central con respecto a la media
Si S(X) - (X - ¡lf, donde K=1,2,3,..., se define el momento central
k-ésimo, pk, respecto a la media p, como:
momento central con respecto a la media es la
varianTa, es decir:
o2 =V(D = E((X - tt)2) = ttz
.
Si K = 3, se tiene el 3er momento central:
ü3
=L
@
- p)3fl*)
ó
p3
= J:(x
-tr¿)' f(x) dx
Media de una distribución
El valor medio o media de una distribución p, es el esperado de la
variable X o momento de ler orden con respecto al origen,
proporciona una idea del lugar donde están concentrados los valores
que toma la variable X, es decir:
paruX discreta
p = E(n =2 x.f(x)
lt
= E(X)
= J_: x f(x) dx
para X continua
7
Conceptos básicos
-
página (48)
Hidrología Estadística
Mediana
-
página (49)
Varianza de una distribución
Si X es una variable aleatoria y F(x) su función de distribución
¡ de la ecuación:
acumulada, la solución
F(x) = 9'5
recibe el nombre de mediana de la variable aleatoria
distribución).
Se puede representar en forma gráfica como:
X (o de la
r(x)
F(x
La vaianza de una distribución 02, es el segundo momento central
con respecto a la media, mide la variabilidad alrededor de la media,
de
es decir, expresa cualitativamente la dispersión que hay alrededor
la media, se representa como:
d
=V(X) = X(X
.
paraX discreta
p)2f(x) = E((x - P)2)
& = V(X) = J-1«. -p)2f(x)dx=E((x -t¿)2) paruXcontinua
x
t
mediana
mediana
F(x) =
^/
J',
t(*) dx = 0.5
F(x)=X/(x)=0.5
paraX continua
paraX discreta
Ala raíz cuadrada positiva de la varian
le llama desviación
estándar y se designa Por o es decir:
o
= JV(x)
Coeficiente de variación
El coef,rciente.de variaci6n
Moda
u,i"
Cu, es una medida relativa de dispersión
y se define como el cociente entre la desviación estándar y la media
La moda es el valor de ocurrencia más frecuente. Así la moda de la
población, es el valor de X que maximiza f(x) y que satisface la
ecuación:
df (x)
=o v
J
dx
d'llD .g
oaraxcontinua
d)cz
i=1
=!p
Es una medida adimensional de la variabilidad alrededor de la
media.
Sesgo de una
o el valor de X asociado con:
n
Max f(x¡)
C,
paraX discreta
distribución
EI sesgo de una distribución Y, es una medida de asimetría de las
distribuciones y se representa por la siguiente relación:
Conceptos básicos
tt^
E((x
.
.
página (50)
Hidrologfa Estadfstica
tt)3)
=
E(*) - 2¡rE(x) + tt"zE(l)
=
E(f)
=
E(*) - 2lt'+ lt'
=
E(f)
=
E(f) - (E(x))'
03
'-ot-
.
-
-
Si y = 0 la distribución
es simétrica
y > 0 la distribución tiene cola en el lado derecho, o es
' Si
sesgada ala derccha.
Si y < 0 la distribución tiene cola en el lado
izquierdo,
o
es
sesgada alaizquierda'
- 2l.rtt +
-
página (51)
pero: E(x) = tt y
E(l) = 1
tt'
- tt2
p¡ = d = V(n = E(f) - (E(x))'
Curtosis
Ejemplo 1.15:
El coef,rciente de curtosis, es una medida de achatamiento, indica el
grado de llanura de la curva de la función de densidad flx), se
iepresenta por la siguiente relación:
l,to n(x-
Expresar E((x - p)3) en términos de E(x),
E(*),
E@3¡
Solución:
lt)o)
E(*
o4
-
tt)3) = E(x3 -
3fp
+
3xp"z
- ¡fi¡
= n@3) - E(3ftt") + E(3x¡t2) -E(tt3)
Ejempla 1.14:
Expresar:
&
= E((x - P)2) en términos de E(x),
E(*)
= o(x3) - 3p"E(*) + 3¡t2E(x) - n(p3)
= E(x3) - 3pE(*) +
Solución:
= E(x3) -
o2=E((x=
=
lt)2)
E((* -2W+ tt')
E(*)
3¡t"z¡r
- ¡¡3
3ttE(f) + 2¡fi
¡4 = E((x - D, = s@3) - 3E(x)E(*) + 2(E(x))3
Ejernplo 1.16:
- E(ztt"x) + E(tt2)
Expresar: E((x
-
tt)4) entérminos de E(x), E(*),E(x3), E(A)
Conceptos básicos
-
página(52)
Hidrología Estadística
Solución:
E(x)
E((x-pt') = E(A - +ú p + 6x2p"2 - 4x¡fi + U,4)
n(A)
- E@x3¡¡¡ + E(áxzpz¡ - nf+ití¡ +
= n(A)
+ 4¡tE(x3¡ + 6tt2E(*) - 4¡t3o1x¡ +
=
:.
=
z(A) - 4¡tE@\+ 6¡t2E(*)
=
z(#)
- 4p,3p +
EQl¡
1
E(x)
tL4= E((x-pf) =
E(#)
- 4E(x)EQ¡3) + 6(E(x))2E(*)
36
a
+zx
36
!+lox I
36
Z
L
36+11x 36+n, 36
(, + 6 + 12 + 20 + 30 +42 +40 +36+
*
- 4¡tE(x3¡ + 6¡t2E(f) - 3t 4
+t2)
30 + 22
Ek\=252 -7
- 3qzqx¡¡4
36
Ejemplo 1.17:
E(x) =7
sea X la variable aleatoria que representa el resultado que
se obtiene
ellanzat dos dados. Calcular E(x),V(x).
2. Cálculo de V(x):
Del ejemplo 1.14, se tiene que:
V(x) = E(*) "
(E(x))"
Solución:
si x = v.a. que representa la suma de los valores de los dos dados,
tiene:
xl
f(xi)
=
)
36
36
¡fi
página (53
a+¡ *Z*+x1+s*!*oxl
36 36
=2Y
*sx A +g*
¡/
-
.... (1,31)
CáIculo de E(f)
se
11
E(*) = .E-ri'f3i)
l=l
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x1l
2
3
4
5
6
7
8
I
10
11
12
4136
3/36
1136
J36 3/36 4/36 s/36 6/36 5/36
xfflxt)
?/36 1136
= 4x
Cálculo de E(x):
t1
E(x) = .2_*l\*)
1.
+ x22flx2) +
x¡fxtt)
qrfrq)
+ ... +
xtt2flxtt)
L+g* ?*rox a +25x ! +za, A*
36 36
36
36
36
qgx
I
36
1+ntr?*ru+xL
36+St *!*100x
36
36
+64x1
t=I
E(x) = xf(xi + xyflx2) + x¡fl4)+ ... +
=
36
36
+
Conceptosbásicos
=!g+18
36'
-
1956
36
=
+ 48 +100 + r80
+
294
-
+
página (54)
320
+ 324+ 300 +
Hidrología Estadística
242
+
ra¿i)
-
página (55
Solución:
1) Cálculo de la media:
0
54.3333
tt = E(x) =fiX*>dx
+lixf(x)
ax
.'. E(xz¡ = 54.3333
¡r
Luego sustituyendo valores en (1.31), se tiene:
= lixf(x)
dx
V(x)=54.3333-72
, = I;x.xe'* dx
V(x)=54.3333-49
V(x) = 5.3333
¡r =J-x2e-. dx
Ejempla 1.18:
Sea
X
aplicando la transformada de Laplace, se tiene:
una variable aleatoria con función de densidad
de
probabilidad:
(_,
"-^
L0
f (x\ =.1*
Para x > o
para cualquier otro valor de x
,, n-
2t
rt
E(x) =
l! =2
2) Cálculo de la varianza:
Calcular:
. Media
. Yarianza
. Mediana
. Moda
. Coeficiente de variación
. Coeficiente de sesgo
. Coeficiente de curtosis
. Dibujar la función densidad e indicar la posición de la media,
mediana y moda
V(x)= o2=E(*)-(E(x))'
dx
E(x2)
=
E(xz)
=J-x3e-* dx
lix'xe--
aplicando la transformada de Laplace, se tiene:
E(xz) = 3t
)
Conceptos básicos
-
Página (56)
Hidrología Estadística
.... (r.34)
-
página (57
)
u=x + du=dx
luego, sustituyendo (1.32) y (1.34) en (1.33), se tiene:
dv=e-XdX
o2=6-22
J
y=-s-X
luego:
d=2
I=-xe-x-J1-e-x¡ax
I=-xe-x+fe-xdx
también:
x
o=Ji
.... (1.3s)
I = -xe-x - e-x
I
,0
3) Cálculo de Ia mediana:
I=-xe-x-e-x-(-0-e0¡
Se debe calcular el valor de x que cumpla con la condición:
I=-xe-X-e-x+1
Il""t«*l
sustituyendo (1.37) en (1.36), resulta:
dx =0.5
_xe-x_e-x+1=0.5
0
J]-rt*l a*--¡f ;rx)
lí(.)
ff..-
dx +
0.5
Integrando por partes:
,=fl+
Ifrt*>
a*
-xe-x-e-x=-0.5
xe-x + e-1= 0.5
dx = o'5
x dx
=
... (1.37)
*=-xe. "-.1;
fudv=uv-Jvdu
... (1.36)
(x+ l)e-x=0.5
haciendo:
h(x)='*1
=0.5
ex
resolviendo por tanteos:
x
h(x)
1.00
0.7358
0.9098
0.6626
0.s0
t.20
x
r.70
1.65
t.67
hlx)
0.4932
0.5089
0.5026
Conceptos básicos
i.30
0.6268
0.5918
0.5578
0.5249
1.40
1.50
1.60
-
1.68
1.675
1.678
t.6785
página (58)
Hidrología Estadística
0.4995
0.5010
0.5001
0.5000
-
página (59
)
d'f\*)=_e-X_e-x+xe-X
t'z
ax
para x = 1, se tiene:
Como se observa de la tabla, el valor de x que hace que h(x) = 9.5,
es 1.6785
d'fl*)=_e-r_"-1+"-l
r'2
ax
4'l!4=-1.o
el valor de la mediana es: 1.6
dxz
4) Cálculo de la moda:
La moda es el valor de x que maximizaflx), y matemáticamente se
debe cumplir:
q1ñ
d'!:ñ .0
ü'úcJ'dx"=o y »
e
1o cual cumple con la condición (b)
5) Cálculo del coeficiente de variación:
cv
=9
p
...
(1.39)
Sustituyendo (1.32) y (1.35) en (1.39), se tiene:
de (a):
qP
úc
=
4
dx'1¡1e-x) =
e-x+ x(-e-x) = e-X - xe-x=
de donde:
e-x(l
-x)=0
puesto que e-x É 0, entonces:
1-x=0
de donde, la moda es:
x=1
dx'
6
u"
.... (1.38)
2
6) Cálculo del coeficiente de sesgo:
Cs=y = U1 =E((x-tt)')
o'
o'
-Del eiemplo 1.15, se tiene:
n@3) - 3E(x)E(*) + 2(E(x))3
t;
='n«*-t )i¡ =
Cálculo de E(x3):
de (b), se tiene:
t!9=
0
Cv-
41"-*1r-x)) = e-x(-r) + (l-x)(-e-x)
dx'
E(*3)=
al@
E(*3)
=
E(*3)=
fx'fix¡dx
J;-x3xe-*
rxae-*
dx
dx
... (1.40)
... (1.41)
Conceptos básicos
-
página (60)
Hidrología Estadística
aplicando transformada de Laplace, se tiene:
E(x3¡ = 4t
E$3¡ = 24
E(A)=
.... (1.42)
Sustituyendo (1.32), (1.34) y G.aD en (1.41), resulta:
.... (1.35)
("D'f
Cs
=
.-
P4=24
=
T
8) Dando valores a x,la función:
2 2j,
fx) - xe-x
2
toma los sisui
^,D
7) Crálculo del coeficiente de curtosis:
,\-
.... (1.46)
K=6
oli
-l
"12
aplicando transformada de Laplace, resulta:
E(x4; = s r
n(*4) = l2O
f,2424
o=
("rr'
lc:-
CS=
a*
Reemplazando valores en (1.44), resulta:
Sustituyendo (1.43) y (1.35) en (1.40), resulta:
4
Cs=
página (61)
Sustituyendo valores en (1.45), se tiene:
¡t4= l2O - 4x2x24 + 6x22x6 - 3x24
14=24-3x2x6+2x23
tB=4
li*s"-*
-
_ ltq _ E((x -
lt)o )
4 -
ool
Del ejemplo 1.16, se tiene:
pq= E(A) - 4E(x)E@3) + 6(E(.r))28(*) - 3¡o1x¡¡4
Cálculo de E(A):
E(xa¡=l;*4*.-*d*
... (1.44)
... (1.4s)
parax > 0
V
x
f(x)
x
f(x)
0.0
0.5
0.0000
0.3033
0.1494
1.0
1.5
2.O
0.3679
o.3347
0.2707
2.5
0.2052
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
0.1057
0.0733
0.0500
0.0337
0.0225
ploteando los pares de valores, se obtiene la figura 1.9.
Conceptos básicos
r(x)
- página(62)
Hidrología Estadística
moda
página (63
)
luego:
p*=E(Xx)=E(alx+az)
0.4
0.3
-
media
p*=atE(X)+E(a2)
I
I
o.2
p* = atE(x) + a2E(l)
, pero
E(l) = t
entonces:
0.1
Itx=alE(X)+a2
l# = atp + aZ
Figura 1.9 Función de densidad de probabilidad
.... (1.49)
De otro lado, de (1.47) - (1.48), se tiene:
De la figura 1.9, se observa que la función de densidad de
probabilidad no es simétrica, sino que es sesgada a la derecha, en
este caso, el valor de la mediana se encuentra, entre los valores de la
moda y la media.
X*- p* = (a1X + a2) - @1¡t + a2)
xx- P* = al(x - t't )
De donde, los k-ésimos momentos centrales se relacionan como
l.lzTransformación lineal
sigue:
de las variables
E( lY* - p*lk) = E(la(X- p )lk)
con mucha frecuencia, a fin de realizar simplificaciones con la
funcién densidad, se requiere la transformación de la variable
.aleatoria X a una nueva variable aleatoria:
En el caso particular, de (1.49), cuando
o*2 = E(¡ytr_ p\4 - a12o2
X*=alX+az
conal*0
Se dice entonces que X* se ha obtenido a partir de X, mediante la
'transformación lineal (1.47).
Se desea calcular la media ¡t,*, y la vananza ox2, de la variable
usando la media pr y la vaianza o2 de X.
Se sabe que:
tt= E(X)
E( lx* : p*lk) = utk¿([(x - p )]k)
X*,
.... (1.4e)
k=2,
se tiene:
o*2 = ay262
Si se haóe la transformación 1.47 los parámetros de la variable X*,
se calculln con las ecuaciones t.48 y t.50.
Para el caso particular que: F* = 0 y o*2 - |
de (1.50), se tiene:
Conceptos básicos
at=-
-
página(64)
Hidrología Estadística
1
Si z = (x - tt)/o,
o
de (1.48), resulta:
f
I
9=-ltlaz
o
n
SiZ= X*,
/,-
de
o
(l-47),
página (65
)
se tendrá:
1
---:.e
o42Il
-Lr2
2
y v aianza 02 z = 1, la cual se conoce como
,'ción normal estándar.
,,, n meclia Wz =
u
--L
(x) =
-
O
1.L3 Problemas propuestos
se tiene:
1.
!x-L
oo
.
Z_ x-¡t
por
ambas
Asumir que:
t La probabilidad de falla por deslizamiento es dos veces la
probabilidad de falla por creciente: P(A) =2 P(B)
. La probabilidad de falla por deslizamiento, dado que ha
habido creciente, es 0.8: P(A/B) =O.8
. Laprobabilidad de falla de la presa, es de 0.001: P(AUB) =
o
De lo anterior se puede manifestar que, si una variable X tiene media
¡ty vaianza 02, entonces la variable:
--x-lt
o
tiene media 0 y varianza 1, es decir: $z = O , 02,
Una presa de gravedad puede fallar por:
. deslizamiento (A)
' creciente (B)
0.001
=
t
Determinar la probabilidad de que oculra un deslizamiento: P(A)
A Z se le llama la variable estandarizada correspondiente
a X.
2.
Una agencia de arrendamiento de automóyiles recibe cada día de
regreso O, t,2,3, 4,6 5 automóviles, con probabilidades de 1/6,
116, ll3, lll2, 116 y lll2, respectivamente. Obtener la media y
v aftanza correspondientes al número de automóviles devueltos.
3.
Dos tetraedros regulares tienen las caras numeradas 1,2,3, y 4
respectivamente. Se arrojan los dos. Sea X la variable aleatoria
correspondiente a la suma de las caras "hacia alriba".
¿Cuál es el espacio muestral de X?
¿Cuáles son las probabilidades de cada evento?
Ejemplo 1.19:
La función de'densidad de probabilidad de la distribución normal o
gaussiana es:
I -'i'-l'l'
f(x\= )-*ezl" )
o,l2ll
con media p"y
vaianzao2
.
.
Conceptos
.
4.
básicos'
¿Cuáles son la media
probabilística de X?
Hidrología Estadística
página (66)
y la varianza de la distribución
Una variable aleatoria X tiene como función de densidad
probabilidad Ce'x,para 0 ( X < "".
.
.
.
)
para 2<x<3
en otros
casos
Hallar el valor de C
Calcular Ia media
Calcular lavaianza
aleatoria X toma los valores l, 2, 3, ó 4 con
probabilidades (1+3ft)/4, (L-2k)14, (l+5kY4 y (l-6k)14, respec-
8.
Una variable aleatoria X, tiene como función de densidad de
probabilidad:
(
tivamente.
t
¿Para qué valores de
.
probabilidad?
Dibujar la función acumulada.
6. Dada una variable
k es esta una función de densidad
lbu-u'
de
f(x)=1
I
l0
I
aleatoria X, donde la función de distribución
ll- r-'*
F(x) = l
I
L0
9.
para
para x2o
en otros
casos
. Hallar su función acumulada F(x)
. CalcularP(j<x< j+I)
acumulada es:
.
r
.
página (67
para l< x<2
de
5. Una variable
'
-
Sea
X una variable aleatoria, uniformemente distribuida:
.r > o
para .r S 0
Hallar su función de densidad de probabilidad¡(¡)
Calcular P(x>Z)
Calcular P(-2<r <6)
7, Una variable aleatoria X, tiene como función
de densidad de
Si a 1 c < d <
10. Dada la
b,hallar P(c < x < d)
función de densidad de probabilidad de X:
probabilidad:
.
Obtener el valor de k para
densidad de probabilidad.
el cual flx) es una función
de
Conceptos básicos
,
.
.
-
página (68)
Hidrología Estadística
Calcular la media y Yarianza de X
Determinar P(x S 3)
Determinar P(1 < x < 3.5)
-
página (69
)
Indicar cuál es la media de la distribución.
14. Una variable continua
X, tiene como función de densidad
de
probabilidad:
11. Si X tiene la siguiente distribución:
f(x) =B
Xes la variable aleatoria que representa el resultado de arrojar
dos dados, su función de densidad de probabilidad puede
-
13-x
Calcular:
. La media de la distribución
. La varianza de la distribución
para x=2,3,...,6
para x=7,8,...,12
16. Suponga que X tiene la función de densidad de probabilidad:
36
0
I -rtll6xe a^ para ¡ > 0
f(x)=i
en otros casos
[0
I
expresarse como:
f(x)
en otros
casos
f(x)
calcular E(*3)
13. Una variable aleatoria continua
X tiene la siguiente función
densidad de probabilidad:
(
f(x) =
Itx'(t-x)
para 0<x<l
[O
para otro valor de x
i
0, 0 > 0 y fijo (es un parámetro), y cero
para cualquier otro caso.
para x >
15. Si X tiene la función de densidad de probabilidad:
12. Si
36
,
Calcular:
. La media
. La mediana
Calcular:
¡ La media de la distribución
. Lavarianza de la distribución.
x-l
,-0'
de
=
-l< x <l
[o.zs(t- xr)
para
l0
para cualquier otro valor
{
Encontrar la media y varianza de:
.
.
Y=2X-2
Z=5X+6
17. Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad
de probabilidad:
Conceptos básicos
-o-Yt
2'r-I2
xtt
.f
(x) =
u
-
-
página (70)
Hidrología Estadística
Gamma
Para x)0,Y>0
t,lt olros
,
casos
.L (,
Y=5X-2
18. Sea X Lr¡i.,
de probabilidad:
Hallar la mediana.
19. Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad
de probabilidad:
Determinar la mediana.
página (71)
20. Se dice que una variable aleatoria
de 2
parámetros
si
su
X, tiene una distribución
función de densidad de
probabilidad, es:
z2 rrY
'2'¡
Encontrar la media y r.. ,
-
.f
(x) =
v-l
x'e
p
0'r(v)
0
en otros
para
0(x<*,7)0,p>0
CASOS
Determinar:
. La media de la distribución
. Lavarianza de la distribución
. La moda
Distribución de
frecuencias de una
mErestra
2.L Representación tabular y gráfica de las
muestras
En hidrología se trabaja con informaciones hidrometeorológicas;
estas informaciones pueden consistir de datos de precipitación,
caudales, temperatura, evaporación, etc.
Por lo general, se cuenta solo con una muestra de los datos de esa
población, es decir, nunca se puede disponer de la totalidad de los
datos. Pero cuando éstos datos se organizan en forma compacta y
fácil de utilizar, los hidrólogos pueden disponer de una herramienta
de gran utilidad, para las decisiones a tomar.
Distribución de frecuencias de una muestra
-
págha (74)
Hidrología Estadística
Existenmuchasformasdeclasificarlosdatos'unamaneraútil'es
el núrnero
dividirlo en categorías similares o clases, y luego contar
lo que constituye una
de observaciones que caen en cada categoía'
tabla de frecuenciai o una distribución de frecuencias'
Para una muestra dada, se escoge
tt
ranSo R, que contenga a todos
Iosvaloresdelamisma.SesubdivideRensubintervalosquese
de estos intervalos se
llaman intervalos de clasei los puntos medios
denominanmarcasdeclase.Sedicequelosvaloresdelamuestra
(figura 2'1)' Al
en cada uno de los intervalos forma wa clase
la clase; su
de valores en una clase se llama frecuencia de
número
relativa de
división entre el tamaño N de la muestra eslafrecuencia
ciase.Estafrecuenciaconsideradacomofuncióndelasmarcasde
clase,sedenominafuncióndefrecuenciasdelamuestra'ysedenota
de la muestra' se
como flx). Lafuni¡A, cle frecuencias acumuladas
denota como F(x),Y se define como:
F(x) = 2 ¡fr>
t1x
v
=xmin
-.-/
x2
13
{4
xI
+-f
t-f
llmltes
marcas
intervalo
de
clase
de
clase
xmáx
púginfl
05)
2.2 Procedimiento de cáIculo
A continuación
se indica un procedimiento práctico, para el cálculo
de las frecuencias y frecuencias acumuladas, la misma que s€ usará
más adelante para eI cálculo de la distribución de probabilidades
empíricas de datos agrupados en intervalos de clase:
Frocedimiento:
forma creciente o decreciente:
Para agllizar los cálculos resulta conveniente conta¡ con una
aplicación que permita el ordenamiento de los datos.
Por ejemplo, si se ordenan los datos en forma creciente, se tiene:
1. Ordenar la muestra en
fnÍn, x2, X3,... , fmáX
...(2.1)
donde:
rmín = x1 es el valor mínimo
xmáx= rI{
x1
-
de los datos
es el valor máximo de los datos
2. Calcula¡ el rango R de la muestra:
R=
*máx- rmín
...(2.2)
de clase
de clase
Figura 2.1 Clasificación de datos, en intervalos
l. ,Seleccionar el número de intervalos de clase NC:
depende del tamaño de la muestra N. En aplicaciones de
lrrrlrología el número de intervalos de clase puede estar entre 6y 25.
Ycv.icvich sugiere para seleccionar NC, las siguientes relaciones
trrr¡ríricas:
N('
(¡r) NC = l.33lnN+ I
...(2.3)
Distribución de frecuencias de una muestra
(b) siN<30
si30<N<75
si
N >75
=
+
=
-
l0<NC<30
= tamaño de la muestra
lnN = logaritmo natural o neperiano del tamaño muestral.
|y'
4. Calcular la amplitud de cada intervalo de clase Ax, según la
ecuación:
- NC _I
...(2.4)
Al dividir el rango entre NC -
1, lo que en realidad se hace es
incrementar el rango en Ax, incluyendo un intervalo más, el mismo
que resulta, de agregar medio intervalo ( xlz), en cada extremo de la
serie ordenada, a fin de que rnún Y xmáx sean respectivamente, las
marcas de clase de la primera y última clase. Esto se aprecia en la
frgtsra2.2,
marca
de
xm¡n clase
-
pá,gina (77 |
Como se manifestó en el punto 4, con el artificio de dividir entre
NC-t, se logra que xmín y xmáx queden centrados y representan las
marcas de clase de la primera y última clase, entonces los límites de
clase inferior y superior del primer intervalo de clase, son:
NC<5
8<NC<10
donde:
- rmín
^^--***NC
-1
Hidrología Estadística
página (761
límites
fango real = xmax-xll'lln + Ax
Figura 2.2 Representación del total de la muestra en intervalos de
clase igualmente espaciados
LCII = xrlrin- Lxl2
LCSI =xmín
* LxlZ = LCII + Lx
...(2.6)
Los otros límites de clase, se obtienen sumando la amplitud Lx, al
límite de clase anterior.
6. Calcular las marcas de clase de cada uno de los intervalos:
Las marcas de clase se obtienen del promedio de los límites de clase.
Así la marca de clase del primer intervalo es:
MCl =
LCI1 + LCSl
...(2.7)
Con el artificio realizado anteriormente la marca de clase del primer
intervalo es igual al valor mínimo, de igual forma la marca de clase
del último intervalo es igual al valor máximo es decir:
MCI = xmín
MCn = xmáx
Las otras marcas de clase, se obtienen sumando la amplitud Ax, a las
¡narcas de clase anteriores.
7. Calcular la frecuencia absoluta:
llsta es igual al número de observaciones, que caen dentro de cada
intervalo definido por sus límites de clases respectivos, la misma
(lue se obtiene por conteo, así se obtiene:
5. Calcular los límites de clase de cada uno de los intervalos:
...(2.s)
Distri6o"¡6n
de
frecuencias de una muestra
-
página (78
Hidrología Estadística
= función densidad empírica para el intervalo
ni = número de observaciones en el intervalo d
N= número total de observaciones
Ax = amplitud del intervalo de clases
donde:
frecuencia absoluta del intervalo i
rlúmero de observaciones en el intervalo i
8. Calcular la frecuencia relativa/ry, de cada intervalo:
Esta es iguat ¿ la frecuencia absoluta del mismo, dividido entre el
número total de observaciones, es decir:
fabi=
ni =
fú.
fri= ---1=
NN
n.
I
...(2.e)
= frssuencia relativa del intervalo i
ni = nú¡ns¡s de observaciones en el intervalo
N = número total de observaciones
i
i
11. Calcular la función de distribución acumulada empírica usando
la fórmula:
... (2.12)
donde:
4
= función de distribución acumulada
= función densidad empírica para el intervalo
Ax = amplitud del intervalo de clase
f
donde:
¿
página (791
f
...(2.8)
fabi= ni
-
)
j
Los valores de Fn y Fi obtenidos con las ecuaciones (2.10) y (2.12)
resultan similares.
9. Calcular la frecuencia relativa acumulada Fr¡, usando la fórmula:
Ejemplo 2.1:
",=,frfr¡=f-ft=iá
n
j
,.. (2.10)
donde:
Fri = ftecuencia relativa acumulada hasta el'intervalo i
j = 1,2,..., i acumulación de los intervalos hasta i
ni = iliÍ¡s¡t de observaciones en el intervalo
i
Dada Ia serie histórica de caudales medios anuales en m3ls (tabla
2.1), de la estación Salinar del Río Chicama (Perú), para el perfodo
1911-1980, calcule las frecuencias absolutas, relativa, acumulada,
función densidad, función acumulada.
Solución:
1. Ordenando los datos de la tabla 2.1, se obtiene
10. Calcular lo función densidad empíricafi,para cada intervalo:
Esta función según Yevjevich, se calcula usando la fórmula:
fr. fr.
f.= lim l- l=
Ax-+0 A¡ Ar
donde:
n.
-1
Lx
...
(z.tt)
2. Cálculo de R:
De (2.2), se tiene:
R=80.83 -3.14
R=77.69
latabla2.2.
Distribución de frecuencias de una muestra
-
página (80
Hidrología Estadística
)
Tabla 2.1. Serie histórica de caudales medios anuales en m3ls del
Chicama, estación Salinar (1911 - 1980)
Año
191
1
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
923
1924
1925
1926
1
1927
1928
1929
1 930
1
931
1932
1933
.1934
Caudal
m3/s
7.91
8.01
13.27
16.39
80.83
60.08
21.55
Año
Caudal
m3/s
Año
1
959
960
1
961
1
1
24.58
28.49
10.05
1
28.O1
194'.1
34.92
31.36
42.74
1
935
'1936
937
938
1 939
1 940
27.71
1942
12.94
962
963
1 964
1 965
1 966
28.63
30.27
33.43
35.16
1
943
41 .16
1967
1944
35.90
33.76
29.28
1
19.17
1971
29.37
30.06
9.67
1972
27.21
15.58
64.81
51.26
33.48
25.79
25.80
18.93
16.15
38.30
54.54
59.40
3. Cálculo de NC:
De (2.3), resulta:
NC = 1.33 1n70 + I
NC = 6.65
Redondeando:
NC =7
945
946
't947
1948
1 949
1 950
1
1
951
10.42
952
1 953
1 954
1 955
1 956
1 957
1 958
23.99
42.17
16.00
22.78
32.69
34.28
20.24
1
1
1
1
968
1 969
1 970
973
1974
1 975
1 976
1
1977
978
1 979
1 980
1
ío
Tabla 2.2 Seriede caudales en
ascendentemente
3.14
4.58
10.42 11.78
15.58 16.00
18.91 18.93
22.88 22.99
27.21 27.71
29.37 30.06
32.26 32.69
34.99 35.16
45.38 51.26
Caudal
m3/s
22.88
17.57
14.60
31.14
18.20
24.69
22.99
-
página (81)
-3/s, del río Chicama, ordenado
4.76 7.91
12.46 12.70
16.15 16.19
19.77 20.24
23.99 24.58
28.01 28.49
30.14 30.27
33.43 33.48
35.90 38.30
54.54 59.40
8.01
12.92
16.39
21.49
24.69
28.63
30.57
33.76
41.16
60.08
9.67
10.05
13.27 14.60
't7.57 18.20
21.55 22.78
25.79 25.80
29.26 29.28
31.14 31.36
34.28 34.92
42.17 42.74
64.81 80,83
11.78
32.26
4.76
12.70
16.19
30.14
30.57
45.38
18.91
34.99
21.49
29.26
4,58
12.46
4. Cálculo de Ax:
De (2.4) se obtiene:
77.69
Lx=
=12.95
7-l
Si se quisiera redondear a fin de c¡ue los límites y las marcas de clase
resulten númeroS más simples, podría ser:
Lx=13
ó Lx=12.
Si se escoge Ax = 13 los límites de clase superior e inferior, resultan
un poco mayor y menor respectivamente qu€ si se escoge Lx = 12.
3.14
Para
el ejemplo se escoge Ax = 12, a fin de obtener valores
¡larecidos,
al
que se obtiene con el proceso computacional.
Cálculo de los límites de clase:
l)o (2.5), el límite de clase inferior del primer intervalo sería:
LCII =3.t4 - 1212= -2.86
.5.
¡rcro físicamente los caudales nb pueden ser negativos, por lo que el
nrcnor valor es 0.
Distribución de frecuencias de una muestra
-
página (82
De (2.6), se tiene:
LCSL =0+12=72
Los otros límites, se calculan sumando
a¡ al límite
de clase que Ie
la tabLa2.3'
antecede; los resultados se muestran en la columna 1 de
clase es negativo, su valor' por
condiciones físicas será cero.
6. Cálcuio de las marcas de clase
De (2.7),la marca de clase del primer intervalo es:
MCI=
O+12
-
página (83
)
9. Cálculo de la función densidad empírica y la función de
distribución acumulada.
Usando las ecuaciones (2.1 l) y (2.12), se obtienen los valores que se
muestran en las columnas 5 y 6 de latabla2.3.
LCII =O
Nrrr. Cr*d" el límite de
Hidrología Estadística
)
-6
Ax
Las marcas de clase de lo§ otros'intervalos se obtienen sumando
la
de
2
columna
la
en
a la precedente; los resultados se muestran
tabla2.3.
¡frr¿- O¡r"*u. qo"-"oundo el límite de clase es inferior a cero, la
7. Cálc.ulo de la frecuencia absoluta
A partir de los datos ordenados de la tabla 2.2, es fácil determinar el
primer
número de valores comprendidos en cada intervalo, así en el
intervalo entre 0-12, hay g valores y así sucesivamente, los
resultados se muestran en la columna 3 de la tabla2'3'
8. Cálculo de la frecuencia relativa
en
usando la ecuación (2.9), se obtienen los valores que se muestran
la columna 4 de la tabla2.3-
Tabla 2.3. Cálculo de la frecuencia relativa, absoluta, función
densidad y acumulada del río Chicama, proceso manual.
lntervalo
de clase
Marca de
Frecuenci
clase
a absoluta
Frecuenci
a relativa
(r)
(21
(3)
(4)
0-12
12-24
24-36
36-48
48-60
60 -72
72- 84
6
18
30
42
54
66
78
I
22
28
5
3
2
1
Función
densidad
(s)
Función
acumulad
a
16t
0.1286
0.3143
0.4000
o.o714
0.04296
0.0286
0.0f 43
0.0107
0.1286
0.0262
o.4429
o.8429
0.0333
0.0060
0.0036
o.0024
0.0012
0.9143
0.9571
0.9857
1.0000
Número total de datos: 70
2.3 Representación gráfica
Existen varias formas de representar las muestras en forma gráfica,
clentro de las cuales se pueden mencionar:
Histograma
[Jn histograma es la representación gráfrca de las frecuencias, en
Iorma de rectángulos, siendo la base de cada rectángulo el intervalo
tle clase y la altura la frecuencia absoluta, fabl ó la frecuencia
rclativa fr¡.
I
Distribución de frecuencias de una muestra
-
página (84)
Hidrologla Estadística
En la figura 2.3, se muestra el histograma del ejemplo anterior, que
se obtiene graficando las columnas (1) y (4) de latabla2.3.
-
página (85)
fr
o.4
0.3
o.4
o.2
0.3
0.1
o.2
-6 0
0.1
0 12 24 36 48 60 72 U
intervalo
de clase
Figura 2.3. Histograma o distribución de frecuencias relativas de los
caudales del ío Chicama
Polígono de frecuencia
relativa. Para que el polígono alcance al eje horizontal, a ambos
lados de la distribución, se le agtega un intervalo de clase con
frecuencia igual a cero.
En forma práctsca, un polígono de frecuencia se obtiene, uniendo
con líneas rectas los puntos medios de todas las ba:ras de un
histograma.
la
anteri
tabla
valores -6 y 90.
18 30 42 54 06
78 90 marca
de clase
Figura 2.4.Polígono de frecuencia de los caudales del río Chicama
Función de densidad de probabilidad empírica
El histograma o el polígono de frecuencia, son dependientes del
Un polígono de frecuencia es la representación grffica de las
frecuencias, se obtiene uniendo con líneas rectas, los puntos
formados por las marcas de clase vs. la frecuencia absoluta o
En
6
ejemPlo
(4) de la
clase los
tamaño del intervalo de clase y la posición del límite de clase. para
evitar esta dependencia el histograma o el polígono de frecuencia
puede transformarse en una función de densidad de probabilidad
empírica, usando la ecuación (2.11) propuesta por yevjevich. En
esta ecuación el intervalo de clase tiende a cero, con lo que el
número de intervalos tiende a infinito.
El gráfico es parecido al polígono de frecuencia, pero con la variante
r:n la escala vertical, que se hace pequeña y la unión de los puntos se
hace mediante líneas curvas.
lin la figura 2.5, se muestra la función de densidad de probabilidad
tlol ejemplo anterior, que se obtiene graficando las columnas (2) vs.
(.5), de latabla2.3.
Distribución de frecuencias de una muestra
-
página (86
Hidrología Estadística
)
-
página (g7)
100
0
0 035
*\
0.030
060
I
0.015
0,005
0"70
I
0.020
0,010
080
I
0.025
I
f
.6 6
§ir3
050
I
040
Ll30
\
18 30 42 54 66 7E
020
SO
0Í0
marca de clase
-6 6
Figura 2.5. Función de densidad de probabilidad empírica de los
caudales del río Chicama
18 30 42 54 66
Ig g0
Figura 2.6. Función de distribución acumulada de los caudales
clel
Este gráfico de Ia función de densidad de probabilidad; es muy útil
para comparar los resultados empíricos, con la función de densidad
de probabilidad de distribuciones conocidas, como la normal, lognormal y otras.
r'ío Chicama
lin la figura 2.J
se muestran los resultados, para los mismos crat.s.
rrsundo el proceso computacional utilizando HidroEsta.
En la tabi¿r
tlc la figura 2.7,Ia frecuencia relativa
Función de distribución acumulada o empírica
¡rc'urnulada se expresan en
Permite ver el porcentaje de las observaciones que quedan por
encima o por debajo de ciertos valores, con respecto al totai. El
gráfico se obtiene uniendo los puntos obtenidos por las marcas de
clase vs. la función acumulada.
MEL
LCS
F¡eAbsoluta
FreBelativa
00
6.0
12.0
I
12.8571
1.071
12 8E
7.99
I
23.S9
22
3r.4286
2.6200
44 29
1
FunDensidad
FunAcumulada
13 99
29.99
35.99
28
40.0000
3.3345
J5 39
41.99
84 29
5
7.1429
47 38
53.38
47.98
59.98
sl
4 2857
0.5s55
0.3573
53 98
95 7l
65.S8
71.97
2
2.8571
o.2382
s8 57
71 97
97
l'r1ltrra 2.7
,
y la función de densicl:rri
Vo.
LC
12.0
En la Figura 2.6, se muestra la función acumulada del ejemplo
anterior, que se obtiene graficando las columnas (2) vs. (6) de la
tabla2.3.
marca Cc cli:sc
r (' u nt u
43
00
Ftnciónde densidad de probabilidad empírica y función
lada, proceso computacional con HidroEsta
Distribución de frecuencias de una muestra
-
página (88
Dada la serie histórica de caudales medios anuales "n m3/s del
río Santa que se muestran enlatabla2'4'
Tabla 2.4 Seriehistórica de caudales medios anuales del río Santa
239.07
197.58
144.22
169.64
212.48
184.98
98.13
182,53
266.54
101.76
153.64
134.10
158.48
123.22
146.08
106.40
183.49
256.62
100.18
169.18
156.80
164.35
177
.00
128.15
145.79
95.05
107.43
124.31
119.52
163.88
193.78
101.66
207.78
132.49
't83.1
1
154.80
107.62 108.75
105.21 1 16.69
105.81 110.77
162.29 133.97
123.00 127.82
217.52 208.18
114,31 136.22
Realizar el gráfico de:
. Histográma de distribución de frecuencias relativas
. Polígono de frecuencias
. Función densidad emPírica
' Función acumulada
2.
.
,
'.
-
página (89
)
Tabla 2.5 Caudales medios anuales del río Corobicí
2.4 Problemas Propuestos
1.
Hidrología Estadística
)
de la
Dada la serie histórica de caudales medios anuales .n *3/,
estación 76-20-0l del río Corobicí, que se muestra en la tabla
2.5,realizar el gráfico de:
Histograma de distribución de frecuencias relativas
Polígono de frecuencias
Función densidad emPírica
Función acumulada
Año
hidrolóoico
Caudal
fmslst
54-55
55-56
56-57
57-58
58-59
59-60
13.35
21.90
11.13
5.22
4.40
6.70
8.55
8.12
7.86
60-61
61-62
62-63
63-64
64-65
65-66
66-67
67-68
68-69
69-70
Año
hidrolóoico
Caudal
(m3lsl
70-71
15.06
71-72
72-73
73-74
74-75
10.20
75-76
8.57
6.10
5.33
6.68
76-77
77-78
78-79
4.85
11.77
8.41
5.3s
79-80
45.92
7.51
80-81
56.92
5.82
10.05
9.66
7.61
10.54
81-82
52.64
82-83
83-84
84-85
85-86
42.56
44.19
41.94
44.73
Medidas de las
distribuciones
3.1 Medidas descriptivas de las distribuciones
de frecuencias
Para describir ciertas características de un conjunto de datos, se
pueden usar números simples, llamados estadísticos. De ellos se
puede obtener un conocimiento más preciso de los datos, que el que
se obtiene a partir de las tablas y los gráficos.
Las caracteísticas más importantes de este conjunto de datos son:
Medida de tendencia central o medidas de localización
Indican cual será el punto medio o localización central. En la figura
3.1 la curva A queda a la izquierda de los puntos medios de las
curvas B y C,las cuales tienen la misma localizaciún central.
Hidrología Estadística
-
página (92)
Medidas de las distribuciones
Figura. 3.1 Comparación de la localización central de tres curvas
Medidas de dispersión
Se refiere a la forma como se encuentran esparcidas
las
observaciones. En Ia figura 3.2, se observa que la curva A tiene una
mayor separación o dispersión que la curva B.
Curva O
\
-
página (93)
Figura. 3.3 Curva simétrica
Las curvas asimétricas o sesgadas, como las que se muestran en la
figura 3.4, son aquellas en las cuales la distribución de frecuencia,
se concentran en el extremo inferior o superior de la escala de
medida sobré el eje horizontal. Los valores no se distribuyen
igualmente, por lo que pueden ser sesgadas a la derecha, (curva A) o
sesgadas a la izquierda (curva B)
B
Figura. 3.2 Comparación de la dispersión de dos curvas
Medidas de simetría y asimetría
Las curvas que representan los datos puntuales de un conjunto
pueden ser simétricas o asimétricas. Las curvas simétricas, como la
que se muestra en la figura 3.3, son las que al ttazar una línea
vertical desde el pico de la curva al eje horizontal dividen su área en
dos partes iguales, cada una idéntica a la otra.
Figura 3.4 Curvas sesgadas, A: sesgo a la derecha o positivo,
B: sesgo a la izquierda o negativo
Medidas de achatamiento o curtosis
Indican el grado de llanura de la curva. Por ejemplo en la figura 3.5,
las curvas A y B tienen la misma localización central, pero difieren
por el hecho que una es más puntiaguda que la otra, por 1o que
tienen diferente grado de curtosis.
Hidrologla Estadística
-
Medidas de las distribuciones
página (94)
-
página (95)
La media aritmética
Dada la muestra compuesta de n datos, xL, x2, ..., xn,la media, se
define como la suma algebraica de ellas, dividida entre el número de
datos. Cuando se calcula la media para una población, esta se
denota pof l.L, y cuando se trata de una muestra, por .r.
Media aritmética de datos no agrupados
Figura. 3.5 Curvas con diferente curtosis
De acuerdo al grado de achatamiento, las curvas pueden ser
mesocúrtica (curva A, figura 3.6), leptocúrtica (curva B) y
Matemáticamente la media de los datos no agrupados, se representa
por:
platicúrtica (curva C)
,, _
B (leptocúrtica)
i=t
...(3.1)
n
Curva A (mesocúrtica
_ i*,
Curva C (platicúrtica)
I
!
I
I
f*,
x- i-s n
...(3.2)
donde:
l¿ = media poblacional
x = media muestral
ri
= valor i-ésimo de la muestra
n = número de datos de la muestra o población
Figura 3.6. Grados de achatamiento
3.2 Medidas de tendencia central
Media aritmética de datos agrupados
Se define una medida de tendencia central, como un índice de
localización central, empleado
en la
descripción
de
Para el caso de datos agrupados, la fórmula es:
las
distribuciones de frecuencias.
En términos generales se tienen tres medidas: la media, la mediana y
la moda-
K
Dr'
n
x¡
...(3.3)
I
Hidrología Estadística
-
Medidas de las distribuciones
página (96)
-
página (97)
donde:
'
fi= frecuencia
absoluta (número de observaciones) en el
intervalo i
ri = marca de clase del intervalo i
k = número de intervalos de clase
¿ = número de observaciones de la muestra
La media ponderada
El promedio ponderado permite calcular un promedio que toma en
cuenta la pOnderación de los datos con respecto a un factor, es un
caso particular de ta fórmüla del cálculo de la media para los datos
agrupados, su fórmula es:
n
-
x, =
)¿
L¿J
I
xi
donde:
P - precipitación promedio
Pi = valor de la precipitación en la estación í
áoeu de influencia de la estación i
Ai=
n = número de estaciones
Otro ejemplo del uso de la media ponderada, es el cálculo del
promedio de la nota de los estudiantes en el TEC, donde para cada
nota obtenida en un curso, el factor de ponderación es el número de
créditos, así:
i=1
n
2,¡,
i=l
donde:
rp = media Ponderada
ri = valor i-ésimo de la muestra
de la
.ñ = valor del factor de ponderación del i-ésimo valor
muestra.
n = número de observaciones de la muestra.
La media ponderada, se utiliza por ejemplo para el cálculo de la
precipitación promedio de una cuenca, donde para cada valor de
precipitación de una estación, el factor de ponderación es el área,
así:
donde:
N = nota promedio
nota del curso i
C = número de créditos del curso i
¡¿ = número de cursos
N¡
-
La media geométrica
Dada la muestra compuesta de n datos, xlt x2, ..., xn, la media
geométrica se define como la raíz n-ésima, de la productoria de los
datos, es decir:
Hidrología Estadística
-
página (98)
Medidas de las distribuciones
Med
xG
...(3.5)
+
! ilZ+t,
página (99)
...(3.2)
para npat
2
Ejemplo 3.1:
donde:
xG
fi,*,
i=l
=
media geométrica
= xl.x2.. ....
xi
=
n=
.
Para el conjunto de datos ordenados: 2,
x¡ (productoria de los datos)
i-ésimo valor de la muestra
número de elementos de la muestra
Ejemplo 3.2:
Para el conjunto de datos ordenados: 2,
Mediana de los datos no agrupados
x3, ..., xn datos ordenados por magnitud creciente o
decreciente y n el número impar de datos, la mediana (Med) es el
Sean x7, x2,
Med=8+14=11
?
Mediana de datos agruPados
Siendo la mediana el valor de la observación central de un arreglo,
y como no se conocen los valores de cada observación en datos
agrupados, la mediana se suele aproximar, después de localizar el
intervalo de clase de la mediana, por la siguiente ecuación:
Med=lrr#")**r*
dato situado en el centro, es decir:
@+l)12,
5,8, 14,21,32, la mediana
es:
Es un valor único de un conjunto de datos que mide al elemento
central en los datos. Este único elemento de los datos ordenados, es
el más cercano a la mitad, o el más central en el conjunto de
números. La mitad de los elementos quedan por encima de ese
punto, y la otra mitad por debajo de é1.
Med= X
5,8,14,21,1a mediana es:
Med=8
La mediana
PsrB n imPar
...(3.6)
si n es par, la mediana es el promedio de los números centrales,
decir:
=x il2
-
...(3.8)
donde:
es
Med = mediana muestral
n= número total de elementos de la muestra
p= suma de todas las frecuencias hasta la clase de la
mediana pero sin incluirla
frecuencia únicamente de la clase de Ia mediana
w= amplitud del intervalo de clase
Lm= límite inferior de la clase de la mediana
tu-
Hidrología Estadística
-
página (100)
En general la clase donde se encuentra la mediana, es aquella que
tiene al elemento situado en la porción (n + l)12.
La moda
Es aquel valor que se repite más frecuentemente en un conjunto de
datos, se denota por Mo.
Ejemplo 3.3:
Para el conjunto de datos:
'
2,3, 4, 4, 4,8,9, la moda es:
Mo=4
Pma datos agrupados en intervalos de clase, la moda, una vez
determinada la clase modal, se calcula con la siguiente ecuación:
Mo=L** dl *
dl+ d2
...(3.e)
donde:
Mo = moda
Lm= límite inferior de la clase modal
dl = difercncia entre la frecuencia de la clase modal y la
premodal (clase anterior)
d2= üferencia enfre la frecuencia de la clase modal y la
postmodal (clase siguiente)
w = amplitud del intervalo de clase
Medidas de las distribuciones
-
página (101)
Comparación entre la media,la mediana y la moda
La media, la mediana y la moda de una distribución de frecuencias,
son consideradas como los tres promedios más importantes. Sin
embargo, no son igualmente aplicables y representativos a todas las
situaciones. Como se muestra en la figura 3.7 las posiciones
relativas de estas tres medidas dependen de la asimetría de la
distribución.
Si la distribución es simétrica (figura 3.7a), las tres medidas de
tendencia central tienen valores idénticos.
Si la distribución es asimétrica (figura 3.7b y 3.7c),los tres valores
divergen, aunque siempre para una distribución unimodal, la moda
está localizada en su punto más alto y la mediana está entre la media
y la moda.
media
mediana
moda
I
t
simétrica
con sesgo a la derecha
(a)
(b)
En general la clase modal es aquella que tiene la máxima frecuencia.
con sesgo a la izquierda
(c)
Figura 3.7 Localizaciínde la media, mediana y moda
I
Hidrología Estadística
-
página (102)
Medidhs de las distribuciones
-
página (103)
3.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión o variabilidad permiten observar como se
reparten o dispersan los datos a uno y otro lado del centro. Si la
dispersión es poca, indica gran uniformidad de los datos en la
distribución. Por el contrario, gran dispersión indica poca
uniformidad.
02=
... (3.1 1)
La
vananza muestral (óP), se obtiene dividiendo la suma de
cuadrados de las observaciones de los datos con respecto a la media,
entre el número total de datos menos uno, es decir:
I
Rango
\(x' - x¡'
Es una medida de distancia y representa la diferencia entre el mayor
y el menor de los valores observados, es decir:
... (3.10)
R=Xmáx-Xmín
dondp:
i=l
oa2 -- ----
Para el cálculo computacional es
siguiente forma:
dispersión, sin embargo, no da rnedida alguna de la dispersión entre
los datos con respecto al valor central.
Varianza
Datos no agrupados:
La yarianza poblacion al (o2 ), se define como la suma de cuadrados
de las desviaciones de los datos con respecto a la media, dividida
entre el número total de datos, es decir:
útil expresar la sumatoria de la
){x, -i)'= ) (*i2-2ixr+*')
= rango
Xmáx = valor máximo de los datos
Xmín = valor mínimo de los datos
R
El rango o la amplitud es una manera conveniente de describir la
(3.12)
n--l
=
» x? -2*) *i +nx'
,.. (3.13)
1
pero:
.§
='i
E*'=nL'i
n
,.. (3.14)
luego, sustituyendo (3.14) en (3.13), resulta:
){x, -i)'= )*,' -2n i' +ri'
)(xr -l)' =2*,'-n i'
Sustituyendo (3.15) en (3.11), se tiene:
,.. (3.1s)
Hidrología Estadística
-
página
-rr')
(lM)
Medidas de las distribuciones
... (3.16)
n
... (3.17)
página (105)
de la i-ésima marca de clase
-x=xip = valor
= media
f = valor de la i-ésima frecuencia absoluta, es decir, número
/<
-r'-.,'f
-
=
=
de datos en el intervalo i
número de intervalos de clase
número total de datos
Pa¡a el cálculo computacional, las ecuaciones (3.18)
pueden expresar como:
y
(3.19),
se
donde:
= varianzamuestral
o = varianzapoblacional
valor i-ésimo de la muestra
-x xi=
= p = media muestral o poblacional
n = número total de datos
52
2
Datos agrupadés
z
Para el caso de datos agrupados en intervalos de clase, la varianza
poblacional, se define como la suma de los cuadrados de las
desviaciones de las marcas de clase con respecto a la media, por la
frecuencia absoluta, dividido entre eI número total de datos, es decir:
k
1) "
- P)'f ,
»G,
i-1
... (3.18)
n
»G, -*)',f,
n-l
donde:
... (3.20)
,,=+(L.:r,-,;'l
n_tlf=t, ,
...(3.2t)
)
Desviación estándar
La desviación estándar, se define como la rufz cuadrada posiüva de
la varianza, es decir:
o
=JJ
(poblacional)
§ = Jst (muestral)
y lavariarna muestral por:
k
o2 i=l
"' =:l,ir*i'fi -"p')
Asf se tiene, para datos no agrupados:
(3.1e)
I
Hidrología Estadística
-
página (106)
Medidas de las distribuciones
-
página (tO7)
Coeficiente de variación
o-
... (3.22)
Es una medida relativa de dispersión, que relaciona la desviación
estándar y la media, es decir:
;')
§=
... (3.23)
C,
={x
... (3.28)
Generalmente en Hidrología se suele trabajar con datos muestrales.
siendo:
ln
x=p= -)*,
n
... (3.24)
3.4 Medida de simetría y asimetría
i=l
Para datos agrupados:
Sesgo
,=^ff91,,-;A
ijn[á,",
... (3.2s)
El sesgo es el estadístico que mide Ia simetría y asimetría.
)
Datos no agrupados:
2- .
rlf
_2
-nx
... (3.26)
El
sesgo
(y
) para datos poblacionales, se
obtiene con la siguiente
ecuación:
4r-L
I-
siendo:
tk
ls
x =tL=;L*rr,
... (3.27)
f = valor de la i-ésima frecuencia absoluta,
de datos
donde:
n,
:_1
PY
,12-l-L
es decir, número
... (3.30)
n
en el intervalo i
= número de intervalos de clase
n = número total de datos
ft
... (3.2e)
2
o'
2G,-
xi = valor de la i-ésima marca de clase
x= F = media
u3
" = l:2o¡
_D2
Hidrología Estadística
-
página (108)
Medidas de las distribuciones
', = 1s,'
nf=l'
El sesgo para datos muestrales,
o-
página (109)
- D2 r¡
tk
u =1! f.
*:;
?rrr*,
se obtiene con:
cr="Y'- (n-lXn-2)S'
)»a,
-
... (3.31)
,i = marca de clase del intervalo i
f
= valor de la i-ésima frecuencia
intervalos de clase
n = número total de datos
El sesgo para datos muestrales, se obtiene con:
fr = número de
donde:
ca=(n n'M'
,.. (3.32)
-
l)(n - 2) S'
... (3.34.)
donde:
k
.I(*t -x)'f¡
M3= l=l
r=1s,
..L¿
" i=l
I
Datos agrupados:
El sesgo (y ) para datos poblacionales,
u3
i=!,Lr.'t'
se obtiene con:
T=t^
o'
xi=
donde:
marca de clase del intervalo i
= valor de la i-ésima frecuencia
ft = número de intervalos de clase
n = número total de datos
f
Ll.,- tY r,
U3=
i=l
... (3.33)
... (3.3s)
rHidrología Estadística
-
página
(l l0)
Medidas de las distribuciones
-
página (111)
3.5 Medida de achatamiento
.... (3.3e)
El grado de achatamiento se mide con el estadístico denominado
coeficiente de curtosis.
Curtosis
Datos no agrupados:
Para datos poblacionales el coeficiente de curtosis (k), se
mediante la siguiente ecuación:
... (3.36)
*, ¡t4
=;o
tfl
i= t !r.
n ¡=?:,
,
Datos agrupados:
El coeficiente de curtosis
(ft), para datos poblacionales se define
mediante la siguiente ecuación:
donde:
i,6, - pY
P4
=i=l
,
¡14
... (3.37)
o4
donde:
"=i;){*,
-t')'
f^u,lt4 =
Da r¡
... (3.40)
n
*'
'u=!§
nl=l'
;k
=
El coeficiente de curtosis para datos muestrales, se define como:
.... (3.38)
" 1; ilru,
'k x.
u=lIr.
-
- tt)2 r,
' nf-:tr I
,i
= marca de clase del intervalo i
Hidrología Estadística
-
página
(ll2)
Medidas de las distribuciones
-
página (113)
realice estos cálculos. El autor en la aplicación HidroEsta, presenta
una opción para éstos cálculos,
,fi = valor de la i-ésima frecuencia
k = número de intervalos de clase
n = número total de datos
Ejemplo 3.4:
El coeficiente de curtosis para datos muestrales, se define como:
,'*o
ck=
... (3.41)
(n - lXn - 2)(n- 3) 54
Dado los datos de precipitación anual, en mm de la estación El
Coyol, para el período 1974-1986, los mismos que se muestran en la
tabla 3.1. Calcular su media, varíanza, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de sesgo y el coeficiente de curtosis.
donde:
k
)(*,
Tabla 3.1 Precipitación anual de la estación El Coyol
-i)4 ri
M4= l=I
... (3.42)
Prec¡p¡tac¡ón
(mm)
1974
1418.60
1527.30
1 108,60
1084.20
1
ir\;.)
975
1976
s- i ' !rx.-xl¿f.
?t' t
1977
V'-l
978
979
1 980
1
1
tk
i='nlJ"'
l, f ,*,
ri
Año
= marca de clase del intervalo
.ñ = valor de la i-ésima frecuencia
ft = número de intervalos de clase
n = número total de datos
1
509.1 0
1394.90
1334.40
Año
Precipitación
lmm)
981
1441.50
133.20
891.00
1429.80
1141.50
1312.60
1
982
1 983
1 984
1 985
1 986
1
1
Solución:
¿
Los cálculos de los estadísticos de una serie de datos son por sí
laboriosos. Para la simplificación de los cálculos, donde se requieren
la determinación de la media, varianza, desviación estándar, el
coeficiente de variación, coeficiente de sesgo y coeficiente de
curtosis, tanto para datos poblacionales o muestrales y para datos
agrupados o no agrupados, es mejor contar con una aplicación que
En la tabla 3.2 se muestran los resultados parciales de las potencias
X2, X3, x4, 1x-xm¡3, 1x-xm¡a y sus sumatorias.
.
Cálculo de la media:
De la ecuación (3.2), se tiene:
n
tz
LX,
-
¡=t
n
Hidrología Estadística
-
página
(l
Medidas de las distribuciones
14)
-
Sustituyendo valores, resulta:
\(\¡ o
(o
o
o
to
\f
o
(o t
o @
§¡
o q
x -16726'7 =1286.6692
o
.
(o D(o a? I.§l lo a:
ro
(o o)
q
$
(f)
(f)
ro rO
lo
ro
§l
co
@
F(f)
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§t o
N (o @ @
C
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@
(\¡ q) §l ol
(f)
c) o, F rf) F (f) $ o, (f) t- @ ¡\
o) F- $
@
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t- §t (f) @
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xI §¡
x o
cf)
rO
cr)
(f)
a
o t
F-
t\
o)
(f)
lo
r.(-)
t3
Cálculo de la varianza:
De la ecuación (3.17), se tiene:
sl §t
t rO .l
ro §t t+ sl sf GI
<t
sf
o)
rf) lO
$
to
o,
(h
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¡r
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I
F
(f)
I
"=*[ f,*;-,r')
N $
§¡
(f)
Sustituyendo valores, resulta:
!f,
§t @
H
o?
X
o;
x
I
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$
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@
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x
X
X
I
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§t
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N
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s
i.r
iltlN
T<
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N^^
N
§t
e)
(o
.
-lflItOl-
c,
De la ecuación (3.28), se tiene:
S
C.,={
"X
ü
@
Sustituyendo valores, resulta:
Í1 _ 195.3184
N
r\o
-u -
XXX-"
NNN
12g6.6692
Cv = 0.1518
il
NI
§E§
ioN§| nl
r^"
Cálculo del coeficiente de variación:
a
\
E \o
c{
Cálculo de la desviación estándar:
s = J3Stqyngo
= 195.3184
lt
üE
rt
= 38149.2790
§
t%h
s§*
u?
q \
§t (o
.
gEF
§EB
HTH
tsllll
(o
§t
ú,
o)
o)
52
Aciñ
§¡
tJ:
(f)
I
NJ
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§t -l
§I C')
t
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@
ro N
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(f) o) (o
§t @ (f) (o
o)
eit
@ o,
o) (f) lo
§t },- (o
§t @
§l
F
F
s' = * Qonszt.Sl - t3xtzs6.66szr)
12'
-l!
I
I
X
*
.
Cálculo del coeficiente del sesgo:
De la ecuación (3.32), se tiene:
página
(l
15)
Hidrología Estadística
-
n
-i¡'
M3=l{---n
)(x..
Sustituyendo valores, resulta:
-47291508.92
Mt=
13
Mt = -3637808.38
página (116)
Medidas de las distribuciones
-
página (117)
Sustituyendo valores, resulta:
ck=
t33 x2725751676.23
12x11x10x195.31844
Ck=3.1172
Para los datos de Ia tabla 3.1, utilizando la opción Parámetros
Estadísticos/Datos no agrupados de HidroEsta, se obtienen los
resultados que se muestran en Ia figura 3.8.
De la ecuación (3.31), se üene:
Cs=
n'M,
(n-lXn-2)S'
Sustituyendo valores, resulta:
132
x(-3637808.38)
t § =--12x11x195.31843
Cs =
-0.625t
.
Cálculo del coeficiente de curtosis:
la
ecuación (3.39), se tiene:
De
Parámetros
Media:
Varianza:
Desviación Estándar:
I
Muestralas
'r286.6892
49.279
19s.3184
0.1518
381
I
Poblacionales
1
3521 4.71
S1
87.6559
1
Coeficiente de Sesgo:
-0.8251
0.1458
-0.5505
Coeficiente de Eu¡tosis:
3.1172
2.1S81
Coef iciente Variación:
I
286.6692
Figura 3.8 Cálculo de los parámetros estadísticos para datos no
agrupados
n
§
rx. - il4
?-' I
fu[
. =t=l
4n
Introducción
Sustituyendo valores, resulta:
35434771791.03
M4=
l3
M+=272575L676.23
De la ecuación (3.38), se tiene:
ck=
3.6 Momentos Lineales (L-moments)
n3 M4
(n-lXn -2)(n-3)54
Los momentos lineales (L - momerzrs), constituyen una metodología
moderna que permite estimar los parámetros estadísticos de una
población o de una muestra. Son similares a los momentos
ordinarios pues proporcionan las medidas de localización,
dispersión, asimetría, curtosis,
pero se calculan de
las
combinaciones lineales de los datos (de aquí el nombre de momento
lineal). Los parámetros estadísticos estimados con esta metodología,
son menos sensibles a los valores extremos, por 1o que permite
l'
Hidrología Estadística
-
página
(l l8)
Medidas de las distribuciones
determinar la distribución teórica de probabilidad que mejor ajusta a
los datos analizados.
L(*,-
-
página
(l
19)
uY
i=1
Método tradicional
Por el método tradicional la media aritmética, la varianza, la
desviación estándar, el coeficiente de variación, el coeficiente de
asimetía y el coeficiente de curtosis de una población, constituida
pon n valores de la variable aleatoria X, se definen de la siguiente
CS=
Coeficiente de curtosis, CK:
L(*,i=1
manera:
CK=
.
Media aitmética;
P=
'
o
o'
I
o'
- p)'
L(*,
i=l
n
simétrica, como la normal, el coeficiente de asimetría es cero. Las
distribuciones con coeficiente de asimetría positivo están sesgadas
hacia la derecha (cola larga hacia la derecha), mientras que las que
tienen coeficiente de asimetría negativo están sesgadas hacia la
izquierda (cola larga hacia la izquierda). Además, la distribución
normal tiene un coeficiente de curtosis igual a 3 y se le llama
mesocúrtica; las distribuciones con curtosis mayor de 3 se llaman
leptocúrticas ("picudas"), las que tienen curtosis menor de tres se
llaman platicúrtica s (" achat adas" ).
Desviación estándar, o
=J7
.
CV
.
il'
Es conveniente recordar que en el caso de una distribución
Ex,
i=l
Yaianza,
o2
¡t:
o'
Coeficiente de variación, CV
=!p
Coeficiente de asimetría o coeficiente de sesgo, CS
En este método tradicional la dispersión de los datos se calcula con
respecto a un valor central, la media aritmética; es decir, se calculan
las diferencias de cada uno de los datos con respecto a la media
aritmética, elevándose luego estas diferencias a una potencia según
el parámetro estadístico por calcular (por ejemplo, para el cálculo de
la vaÁanza la potencia es 2; para el coeficiente de asimetría es 3,
etc.). En consecuencia, los parámetros así calculados son muy
sensibles a los valores extremos, puesto que si la diferencia de
alguno o algunos de los datos con respecto a la media es muy
grande, al elevar esa diferencia a una potencia se obtienen valores
enormes, 1o cual afecta mucho el resultado de los parámetros
obtenidos. Puesto que los parámetros estadísticos citados
Hidrología Estadística
constituyen
la
-
página (120)
Medidas de las distribuciones
se calcula con
diferencias de
las
aritmética de Ia muestra, es una medida de localización y su valor es
el mismo que el calculado por el método tradicional. El segundo
momento lineal l,z (ecuación 3.44) es equivalente a la desviación
estándar pero calculada mediante las diferencias de todos los datos
entre sí, no con respecto a un valor central; es un parámetro de
escala o dispersión de la variable aleatoria X.
posibles
se elevan a ninguna
estimados
parámetros
los
lineales, por 1o cual
porestemétodoSonmenossensiblesalosvaloresextremos.
Dividiendo el segundo momento lineal entre el primer momento
lineal (desviación estándar entre la media), se obtiene el coeficiente
lineal de variación (CLV), es decir:
... (3.47)
Definición de los momentos lineales
rrqgol desarrolló lafeoríade los momentos
de los
lineales basada en el oidenamiento estadístico, a diferencia
Jonathan R. M. Hosking
pesados'
cálculos indirectos usando la probabilidad de los momentos
de la
lineales
los cuatro primeros momentos
Hosking definió
I
'2=lolxz,z-xn)
L^ =\Elxr,r-2xr,r* X,,r]
7,
J^
"4
donde:
"(3'43)
..(3.44)
"' (3'45)
5
1^ =1 Elx
o,o
-3x r,o + 3x 2.4 - x r,o] "' t¡'+ol
eli-ésimo valor de la variable aleatoria X' de un
g*po de tamaño m' ctyos valores han sido ordenados en
4,r=
que toma valores entre 0
y
1.
Dividiendo el momento lineal de orden r, entre la medida de
dispersión, se obtiene la relación de momentos, es decir:
t,
sisuiente forma:
L,=ElXr.,]
(l2l)
El primer momento lineal l,r (ecuación 3.43) representa la media
todos los datos entre s
.o-uiru.iones. Además, las diferencias nunca
ñ;;;i;;;tmantienen
página
E = valor esperado
base
'teóricas de
Probabilid
los datos, también se
teórica aProPiada. En ocasione
diferente de la media aritmétic
distribución teórica de probabilid
analizados.
Por ei método de momentos
r"tp""á u un valor central,
-
=LU
parat =3,4,...
... (3.48)
El'ts es una medida de asimetría y t4 es una medida de curtosis,
éstas son respectivamente el coeficiente lineal de asimetría o sesgo
(C¿S) y el coeficiente lineal de curtosis (CLn, es decir:
... (3.4e)
... (3.s0)
es
forma ascendente
Ellos toman valores entre -1 y +1 (existe excepción para algunas
muestras muy pequeñas, las cuales pueden tener valores menores de
Hidrología Estadística
-
página (122)
-1). Si es casi seguro que X ) 0, entonces 0 < CLV < 1. En el caso
de una distribución simétrica, como es el caso de la distribución
normal, f3 es igual a cero, mientras que para esta misma distribución,
t¿ = 0.1226.
Estimado directo de los momentos lineales
Existe una manera indirecta para el cálculo de los momentos
lineales, la cual es utilizar los momentos pesados por probabilidad,
definido por Greenwood et al. Sin embargo una forma directa de
estimar los momentos lineales, es siguiendo la definición misma de
Medidas de Ias distribuciones
-
página (123)
Cuando la población es reemplazadapor una muestra, los momentos
lineales dan sus respectivos estimados.
Dado que los resultados de los posibles números de combinaciones
de2 (C2n),3 (C3') y 4 (Co'), valores de la muestra, pueden ser
cantidades grandes, esto hace que los cálculos de los momentos
lineales sea un poco laborioso. En este caso, a fin de simplificar los
cálculos, Hosking muestra el conjunto de ecuaciones equivalentes de
estimación directa de los momentos lineales, las cuales resultan más
sencillas para implementar cálculos computacionales, las ecuaciones
simplificadas, son:
los momentos lineales desarrollada por Hosking.
El cálculo de )uz (ecuación 3.44), para una población finita de
tamaño n, se realiza con la combinación de n elementos tomados en
hr=
grupos de 2 en 2 (Cr" ), tomando en todos los casos la diferencia
entre el valor mayor (Xzi), menos el menor (Xt,z).
Lr=
-
El
Lr=
_2Ci-1Cn-, +C;-,)X,
tro=
-
cálculo de 1.¡ (ecuación 3.45), se realiza de forma similar
considerando todas las posibles combinaciones de n elementos
tomados en grupos de 3 en 3 (Cr" ), en este caso, cada elemento del
valor esperado está dado por el valor mayor (Xt,z), menos 2 veces el
valor intermedio (Xz.:), más el valor menor (Xr,¡), es decir: (Xyz-2
Xzs* Xrz).
Similarmente, el cálculo de l.a (ecuaciót 3.46), se obtiene de las
combinaciones de n elementos tomados en grupos de 4 en 4 (Co'),
en este caso, cada elemento del valor esperado está compuesto del
valor mayor (Xq,+), menos 3 veces el valor inmediato inferior del
grupo (Xt,q), más 3 veces del siguiente valor inferior (Xz,i, menos el
valor menor del grupo (Xt,D, es decir: (X+,+-3 Xz.ct 3 Xz,¿,-Xru).
... (3.51)
ci-')x
3c;-t
... (3.52)
,
... (3.s3)
ci-t + 3citc;-t - c;-')x, .. qz.s+¡
donde:
X¡ (parai= 1,2
,3, ..., n) = son los valores de la muestra
ordenados ascendentemente
CÍ = combinaciones
de n elementos en grupos de k en
(r\
n!
n(n-L)(n-2)...(n-k+t)
^n
=[n
'o
kI
)= k,l"-fr)!=
paru k
Sift=n)Cn=I
<n
k
Hidrología Estadística
Si
-
página (124)
fr>ry+Cí=0
Por propiedad de los números combinatorios, se tiene:
Ci = CX-n
:. c: 'c:-, = c[ =l
La derivación de las ecuaciones (3.51) - (3.54), se explica detalladamente tomando como ejemplo el estimador de i,: (ecuación 3.53).
En una muestra de tamaño n, ordenada ascendentemente, hay (l -l)
valores iguales o más pequeños Y @ - i) valores iguales o más
grandes que el valor de la muestra Xi. Para que Xi sea un valor más
grande de una combinación de tres valores de la muestra, los otros
dos tiene que venir de los (, -1) valores más pequeños y hay un total
de Cit de tales combinaciones. Para que X sea el segundo más
grande se una combinación de tres valores de una muestra, los otros
dos tienen que venir de los (, -1) valores más pequeños y de (n - i\
valores más grandes, y hay un total de Cl'Ci-'de tales
combinaciones. Para que Xi sea el valor más pequeño de una
combinación de tres valores de una muestra, los otros dos tienen que
venir de los (n - i) valores más grandes, y hay un total de Ci-' de
tales combinaciones.
La ecuación (3.53), es derivada de la ecuación (3.45), reemplazando
veces
por X¡ para C;t
X3s, Xzs
, Ci'Ci-' y C;-'
rgspectivamente, y haciendo para todos los caso i = l, 2, 3, ..., n,
luego dividiéndolo entre el número de todas las posibles
y Xtt
combinaciones de tres valores de la muestra de tamaño n, es decir
Ci , paru obtener el promedio.
Los otros momentos lineales se derivan de manera similar.
Los cálculos de los momentos lineales L, lr, 13, 14, con el uso de
calculadoras e incluso con la computadora, resulta bastante
Medidas de las distribuciones
-
página (L25)
complejo. Con el fin de simplificar éstos cálculos, en la tabla 3.3 se
presenta el código fuente en Basic, de Ia subrutina que calcula estos
momentos, también se incluyen los cálculos de los parámetros
estadísticos lineales. En el código: Ll= Lt, L2= ),r, L3= )"r, L4= ha,
y xxordQ) es la serie ordenada en forma ascendente.
Ejemplo 3.5:
Para una muestra de 6 datos que se indica:
56,81, 89,33,79y 6l
Calcular:
. Los momentos lineales: Lt,)"z,Lzy )"q
. La relación de momentos: media = Ir, desviación estándar =)uz,
CLV, CLS, CLK
Solución:
1. Ordenando los valores ascendentemente, se
tiene: 33, 56,61,78,
81 y 89.
2. Cálculo de,).r:
Las combinaciones de 6 elementos en grupos de 1, es:
6g,1=9 =6
De acuerdo a la ecuación (3.43), se tiene:
6
Ex,
h,=Elxrr]=tU
=
33+56+61+78+81+89
= 66.3333
3. Cálculo de l.z:
Las combinaciones de 6 elementos en grupos de2, es
Hidrología Estadística
-
página (126)
Tabla 3.3 Código de la subrutina para el cálculo de los parámetros y
momentos lineales
'Cálculo de los parámetros lineales
'xxordO es la serie ordenada en forma ascendente
L1
=0
L2=O
L3=0
L4=0
Forj=1Ton
=j-1
CLZ= CL1 .0
Medidas de las distribuciones
-
página (127)
6x5
a6 -_-15
" lx2
c'."
En la tabla 3.4 se muestran las 15 combinaciones de los datos
tomados en grupos de 2, siendo en todos los casos:
X2l = valor mayor
Xr2 = valor menor
Tabla 3.4 Combinaciones de 6 elementos de la serie, en grupos de 2
CL1
-
1
cL3 = cL2. 0-
1
t2.
2) l3
1)
en2
=n-j
CR2=CR1 .(n- -1)t2
CR3 = CR2. (n - -2)t3
X,
L1
CR1
=11 +xxord(i)
12=L2 + (CL1 - CR1). xxord(i)
.
¡3 = L3 + (CL2 '2. CL1* CR1 + CR2) xxordÜ)
*
*
L4 = L4 + (CL3 - 3* CL2 CR1 + 3. CL1 cR2 - cR3).
Xr.,
Xo.o
- X.
89
81
I
89
78
11
89
61
89
28
33
89
56
33
81
78
3
Next j
81
61
C1
81
56
81
33
20
25
48
C4=c3.(n-3)/4
78
61
17
L1 = L1 /C1
L2 =L2lC2l2
78
56
78
33
56
33
33
22
45
xxord(j)
=n
C2=C1.(n-1112
c3=C2.(n-2)13
L3=L3lc3l3
L4=L4lC4l4
61
61
'Cálculo de los momentos lineales
6¡¡¡sfli¿ = L1
ClDesEstandar = L2
ClVarianza =L2^2
ClVariacion =L2lL1
ClSesgo =L3lL2
ClKurtosis =L4lL2
56
56
5
28
23
\=372
De acuerdo a la ecuación (3.44), se tiene:
L,
=;Elxr,r- x,,rf
Hidrología Estadística
I
7r= \
@i¡emcia c ombinacione
-
página (128)
Medidas de las distribuciones
s de 2 elementos)
ci
2
Lr= L"!2
215
=12.4
4. Cálculo de 1.3:
Las combinaciones de 6 elementos en grupos de 3, es:
c!= 6x5x4 =20
lx2x3
página (129)
15
61
56
33
56
JJ
2
81
61
81
81
-8
78
61
56
12
78
61
33
-11
78
56
61
56
33
33
-1
-18
E = -166
De acuerdo a la ecuación (3.45), se tiene:
En la tabla 3.5 se muestran las 20 combinaciones de los
tomados en grupos
X33 = valor
Xzs= valor
Xts= valor
-
de 3, siendo en todos los casos:
mayor de los tres
intermedio de los tres
menor dp los tres
Tabla 3.5 Combinaciones de 6 elementos en grupos de 3 en 3
X¡,¡
89
89
89
Xr,"
Xrrs
X..r-2Xu.¡*Xr'¡
81
78
5
81
61
81
89
81
56
33
-12
-'t7
89
78
61
-6
89
89
89
89
7B
56
11
78
33
-34
61
56
23
61
33
0
89
56
33
10
81
78
61
81
78
56
-14
-19
81
78
33
-42
-40
datos
1, = ! Elx
h3
t
r,,
- 2x r,, t x r,t]
*D-9?:!l-o:
*"Y1 --zxy1!or int ermedio t
valor menor)
320
)". =!x-166 = -2.7667
'320
5. Cálculo de ).+:
Las combinaciones de 6 elementos en grupos de 4, es:
n6 6x5x4x3
C'I* =
1x2x3x4
--15
En la tabla 3.6, se muestran las 15 combinaciones de los datos
tomados en grupos de 4, siendo en todos los casos:
X4l = valor mayor de los cuatro
X3l = valor menor inmediato
= segundo valor menor inmediato
Xt,4= valor menor de los cuatro
X2,4
De acuerdo a la ecuación (3.46), se tiene:
Lo =
!
E.fx oo
-3x r,o + 3x 2.4 - x
'o),
-
Hidrología Estadística
página (130)
Medidas de las distribuciones
Tabla 3.6 Combinaciones de 6 elementos en grupos de 4 en 4
Xn,¿
Xr,¿
Xr.o
Xr.n
X,.,- 3X".¿* 3Xr,¿- Xr,¿
89
81
78
61
19
89
81
78
56
89
81
78
89
81
61
89
81
61
33
56
33
24
47
-27
89
81
56
33
-19
89
61
56
-18
61
33
5
89
78
78
78
56
33
-10
89
61
56
33
41
81
61
56
-26
81
78
78
61
33
-3
81
61
56
33
33
8'l
ao
ta
7B
56
33
-18
61
56
33
89
)"4
=X
\
lrroy o,
4
=L
11
CLV= l2.a
66.3333
=0.1869
9. Cálculo del coeficiente lineal de sesgo:
De la ecuación (3.49), se tiene:
-4
CLS
=L
12
CLS =
-2.1667
12.4
= -0.2231
10. Cálculo del coeficiente lineal de curtosis:
De la ecuación (3.50), se tiene:
30
- 3 x ü un. n't e no r * 3 l?"
página (131)
De la ecuación (3.47),, se tiene:
CLV
CLK =
»=74
1
-
iym' yeno
15
L.'415
--l *74 =1.2333
:
-
-
*'29!
CLK =
L4
12
t.2333
12.4
= 0.0995
Para los datos del ejemplo, utilizando la opción Parámetros
Estadísticos/Datos no agrupados de HidroEsta, se obtienen los
resultados que se muestran en la figura 3.9.
6. Cálculo de la media:
Media=l.r=66.3333
7. Cálculo de la desviación estándar:
Desviación estándar =Xz= 12.4
8. Cálculo del coeficiente lineal de variación:
De los resultados obtenidos con HidroEsta, puede observarse que
los valores de los parámetros estadísticos calculados por el método
de los momentos lineales, son en todos los casos menores que los
calculados por el método tradicional, por supuesto, exceptuando el
valor de la media que por los dos procesos, tiene la misma fórmula
de cálculo. De los resultados de los parámetros estadísticos, se
Hidrología Estadística
-
Medidas de las distribuciones
página (132)
analizado no tiene valores
observa que Pese a que el ejemPlo
en los resultados obtenidos,
extremos muy grandes, la diferencia
entre un método Y otro, es evidente'
lngreso. de
Ll:
1.
8S.0
1971
1972
Fz¿¡oo--
1973
[ffi
La: llf,
78.0
61.0
Muestrales
Momentos Lineales
68.3333
66.3333
66.3333
Media:
Varianza:
42?:.2867
351.8883
Desviación Estándar:
Coeficiente Variación:
20.5491
18.7587
153.76
12.4000
0.30s8
-0.7573
-0.2231
CoeIiciente de Ses¡1o:
Coeficiente de Cu¡tosts
ú 2828
-0.5530
5.3016
2.1206
0.09s5
Parámetros
buenos resultados' para el
Esta metodología es usada con muy
en el Instituto
nrocesamiento de la información hidrometeorológica'
(rcE), fue recomendada por los
ilr"¡'u.j1.il;" áá Br""tricided
"*rultore,
Lars Gottschaly e Irina Krasovskaia'
en m3/s:
o
m3/s
399
1
2.96
1982
1.79
1.55
1
981
983
984
1 985
1 986
1
2.61
1977
2.27
1987
978
1979
1 980
1.86
1
2.O7
1
2.48
u, ío,
988
989
4.52
3.09
5.00
6.03
2.73
3.13
4.18
3.26
403
2.70
Calcular la media, varianza, coeficiente de variación, coeficiente
de asimetría o sesgo y coeficiente de curtosis, usando tanto los
momentos tradicionales, como los momentos lineales.
0.186S
estadísticos para datos no
Figura 3.9 Cálculo de los parámetros
;;ñ;"t utilizando los Áomentos ordinarios y lineales
Año
1974
1975
1 976
1
Poblacionales
o
m3/s
L3:
33.0
Dado los caudales medios del mes de Mayo, ¿"
Año
166.3333
u2:
81.0
página (133)
3.7 Problemas propuestos
Coeficientes Lineales:
58.0
-
2.
Si los datos del problema L, se agrupan en los siguientes
intervalos de clase:
!ntervalos de clase
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
Marca de clase
1.5
2.5
3.5
45
55
65
Calcular la media, varianza, coeficiente de variación, coeficiente
de asimetría o sesgo y coeficiente de curtosis.
\--
Hidrología Estadística
-
página (134)
Medidas de las distribuciones
3.
Se tiene una cuenca en la que se han instalado 8 pluviómetros.
Las precipitaciones promedios anuales registradas, en mm, para
el período l97O - 1991, y las áreas de influencia, en I<mZ, de
esas estaciones, se muestran en la siguiente tabla:
Estación
150
291 5
2
3
300
2563
3241
4
600
550
145
5321
278
5002
110
4932
187
5
6
7
8
4017
4621
Determinar la precipitación promedio.
4.
.
.
.
En la tabla 3.7, se muestran los caudales picos, en m3/s,
en cada año, del periodo 1915-2000, de una estación.
Calcular:
Lamedia de los caudales picos
La desviación estándar
El coeficiente de variación
Tabla 3.7 Catdales picos para el periodo 1975-2000
o
Año
1975
1 976
1977
1978
1 979
880
360
885
1
180
1 100
1
o
Año
m'ls
m'/s
988
989
1 990
1
1
1
1
070
060
718
991
965
1992
370
1
980
1390
981
2230
982
983
1 984
1 985
1 986
I 987
1
1
Precipitación
(mm)
1
1
1
5.
1
480
993
994
1 995
1 996
1 997
página (135)
1
549
1
2240
400
866
6130
1998
1910
1310
1 999
2000
319
772
882
1010
I 130
1260
Una estación tiene un registro de caudales
medios anuales de20
años, en m3/s, los misáos que se muestran
en la tabla 3.8.
Calcular su Cr y Cs.
Tabla 3.8 Registro de caudales, en m3/s
Estimación de
,
parámetros
4.L Definición de parámetros
Los parámetros de una distribución teórica, son variables que para
cada conjunto de datos tienen un valor definido. Una vez que los
parámetros quedan definidos, también queda definida la distribución
teórica.
Por lo general, una función de densidad de probabilidaes o una
función de distribución acumulada, puede escribirse como una
función de la variable aleatoria y en general como una función de
sus parámetros, así por ejemplo, la función de densidad de
probabilidad de la distribución normal, de variable aleatoria X, es:
tEstimación de parámetros
-
página (138)
Hidrología Estadística
-
Para que
localización.
paútmetro de escala.
ParáLmetro de
o2-
la
función
2
flx),
quede definida, debe calcularse los
parámetros
PYo
-Co*o
normalmente, no se conoce la población de la variable
aleatoria, la estimación de los parámetros, se rcaliza a partir de una
muestra.
Por ejemplo, si se tiene la muestra:
xl, x2, xJ,....., x¡1
y si éstos se ajustan a una distribución normal los parámetros
La bondad de estos estimadores está dado por las diferencias ( a a), (B - b), (y - c), etc., pero como es fácil intuir, hay infinitas
posibilidades para a, b, c, por lo tanto se consideran como mejores
estimadores aquellos, que se aproximan más a los valores
poblacionales, y se llaman q, p, y,....
Los estimadores se clasifican como:
p, o -,2
se estiman a Partir de:
n
!r.
L¿" i
U=X=
'
Sesgado si:
'
Insesgado si:
.'_1
l-L
E(a)= a +v(a)
E(a) =
n
donde: v
)
62 =52 =
página (139)
estadísticos de la muestra, que se supone pertenece a la población
que se pretende caracterizar.
donde:
U"
-
(r¡ - r)2
n-l
.
(ü)
e¿
= E(a) -
q, es el sesgo
Eficiente si:
El estimador es insesgado y además:
donde:
ü es el estimador de ¡r
d 2 es el estimador de o2
Cualquier estimado desde la muestra es denominado un estimado o
VAR(a) = E(a-q)2
.
Consistente:
Si el tamaño muestral N es largo.
estimador de los parámetros poblacionales'.
4.2 Definición de estimadores
Dada una función de distribución con parámetros a, P , T , "'' sa
llaman estimadores a los valores a, b, c,"', obtenidos a partir de los
En hidrología, se requiere principalmente que los estimadores sean
insesgados y eficientes, cuando se requiere extraer la máxima
información, desde los datos muestrales.
Estimación de parámetros
-
4.3 Métodos de estimación de parámetros
Para determinar los valores numéricos de los pariámetros de la
distribución teórica, a partir de los datos muestrales, se utilizan
varios métodos de estimación, siendo en orden ascendente de menor
a mayor eficiencia, los siguientes:
. Gráfico
. Mínimos Cuadrados
.
.
Hidrología Estadística
página (140)
1.
2.
3.
)
X=K1
X-S=K3
15.87 o/o 50
0,6
84.13
o/D
Figura 4.1 Probabilidades en una distribución normal
4.
allí estimar los parámetros buscados.
Calcular el valor para una probahilidad del 84.137o, el mismo
que corresponde a X +,S, es decir:
X+S=KZ + S=KZ-X
Así:
. El papel de probabilidades
Por ejemplo, para determinar los estimadores de p y o, por medio
de una muestra dada correspondiente a una población normal, hacer
lo siguiente:
(l4l
X+S=K2
Método gráfico
normal, representa la distribución
normal como una línea recta.
. El papel de probabilidades log-normal, representa la distribución
log-normal como una línea recta.
. EI papel de probabilidades Gumbel, representa la distribución
Gumbel como una línea recta.
. El papel de probabilidades log-Gumbel, representa la
distribución log-Gumbel como una línea recta.
En el apéndice, se muestran estos cuatro papeles especiales.
página
Plotear los valores de la distribución empírica de la muestra.
Dibujar una recta que se aproxime a los puntos, tanto como sea
posible.
Calcular el valor correspondiente para una probabilidad del50Vo,
este valor es x , el cual es un estimador de ¡r (figura 4.1).
Momentos
Máxima Verosimilitud
Este método, consiste en plotear los valores de la distribución
empírica sobre un papel especial, donde la distribución teórica
asignada a priori, se puedé representar como una línea recta, y de
-
^S
es un estimador
de o
.
Otra forma de calcular ,S, es para una probabilidad del 15.87 7o, el
mismo que corresponde a X - S, es decir:
X -S=K3 =+ S=X-K3
Ejemplo 4.1:
Para la serie de datos de caudales, en
-3/s,
correspondientes a 38
años:
.3 26.7
144.9 92.8
121
1
10.1
95.6
63.4
76.3
122.4
162.1
64.2
110.2
59.6
40.3
Estimación de parámetros
205.8
58.8
57.4
114.5
79.O
72.5
76.9
142.4
48.8
148.3
67,5
70.0
52.3
36.3
88.0
-
página (142)
97.2 144.7
52.5 109.2
165.5 48.5
Hidrología Estadística
112.2
16
137.1
17
32.9
18
19
Suponiendo que se ajustan a una distribución normal, estimar los
parámetros X y S, usando el método gráfrco.
J.
probabilidad empírica
Weibull, se obtiene la tabla 4.1.
m
o
I
(1)
(21
--
2
3
4
5
6
7
8
9
36.3
40.3
48.5
48.8
52.3
52.5
o.1282
0.1s38
57.4
0.2308
10
588
o.2564
11
59.6
63.4
0.2821
0.3077
0.3333
0.3590
0.3846
64.2
67.5
70.o
0.0256
0.0513
0.0769
0.1026
0.1795
0.2051
D-
T_
(1)
f3)
26.7
12
13
14
15
o
n*L
1
32.9
m
m
D-
(21
2A
88.O
21
92.8
95.6
97.2
22
se obtiene
.
.
n*I
t3)
.
0.5128
0.5385
0.9231
165.5
205.8
0.9487
0.9744
la distribución teórica normal, la
misma que
se
enlafigua 4.2.
X , hacu lo siguiente:
En la figura 4.2 ingresar en el eje de probabilidades (eje X),
con el 50 Vo y ffazar una vertical, hasta interceptar a la línea
de distribución teórica.
Por la intersecciín, frazar una línea horizontal, hasta cortar al
eje de caudales (eje I').
En el eje de caudales, leer el valor correspondiente de X,
para este caso se tiene: X = 92 m3ls.
0.5641
110.2
112.2
114.5
121.3
122.4
31
137.1
32
33
34
142.4
0.8205
144.7
144.9
o.8462
110.1
162.1
4. Para calcular la media
m
23
24
25
26
27
28
29
30
109.2
148.3
Trazando una línea recta de mejor ajuste , de tal manera que se
adapte mejor a los puntos ploteados, de la distribución empírica,
muestra
Tabla 4.1 Caudales ordenados ascendentemente y sus
probabilidades acumuladas calculadas con el método de Weibull
0.4872
o.8974
35
36
37
38
papel probabilístico normal, se obtiene la distribución empírica
que se muestra enlafiglura4.2.
a
y calculando la
acumulada, mediante el método de
Ordenando los valores de menor a mayor
0.4103
0.4359
0.4615
página (143)
2. Ploteando los valores de las columnas (2) V Q) de la tabla 4.1, en
Solución:
l.
72.5
76.3
76.9
79.0
-
0.5897
0.6154
0.6410
0.6667
0.6923
0.7179
0.7436
0.7692
o.7949
0.8718
5.
Para calcular la desviación estándar,S, hacer 1o siguiente:
.
.
.
En la figura 4.2 ingresar en-'el eje de probabilidades, con el
84.13 Vo y trazar una vertical, hasta interceptar a la línea de
distribución teórica.
Por la intersección, trazat una línea horizontal, hasta cortar al
eje de caudales.
En el eje de caudales, leer el valor correspondiente de X +
para este caso se tiene: X +,S = 135 m3/s, de donde:
,S,
Hidrología Estadfstica
-
Hidrología Estadística
página (144)
,S= 135
-
página (145
)
-X
S=135-92
S
= 34 m3ls
Método de mínimos cuadrados
Este método es más aplicable para la estimación de los parámetros
de una ecuación de regresión.
Por ejemplo, dada la recta de regresión lineal:
!=a*bx
donde
ay b son los parámetros.
El error entre el valor observado I y el teórico
ei=yi- a - bxi
es:
y la suma de los cuadrados, de los errores de los valores observados
ES:
nafl
S=!(J. n.'=!rr.
t
?¿."t -a-bx.\2
t'
l=I
I=l
Esta suma puede minimizase para a y b, esto se consigue derivando
parcialmente ^S, en función de cada estimado a y b, e igualando a
cero, es decir:
o!
aI=-r$
da
6
E
o
c
o=
(v.
?_l" t
-a-bx)=o
t'
Q[=-r$ x.(v. -a-bx.\=o
t'
ab 3_t,"t
¡
c
o
...(4.r)
...(4.2)
o.
oü
(,
(f,
o+I
lX
I
o
(n
o §t
il
x
Las ecuaciones (4.1) y (4.2) se denominan ecuaciones normales, las
cuales resueltas dan para ay b:
Estimación de parámetros
-
página (146)
Hidrología Estadística
-
págína (147l'
Solución:
...(4.3)
1. Cálculo de la sumatorias:
Los cálculos se muestran en la tabla 4.3
...(4.4)
2.
Estimación de á:
De la ecuación (4.3), se tiene:
Ejemplo 4.2:
,!r.v.
r.
L) l"t -)x.)
L¿ 1.t-t¿7
- ü*r'-Eü
L_
Se cuenta con 13 pares de datos de caudales picos para el año 2000,
en m3/s, de las estaciones La Bomba y Asunción, cuyos valores se
muestran en la tabla 4.2. Considerando que los caudales de la
estación La Bomba, son las variables independientes (x), y que los
caudales de la estación Asunción, son las variables dependientes (y),
y que estas variables se relacionan con la ecuación lineal:
Tabla 4.3 Cálculo de sumatorias
x
!=a*bx
estimar los parámetros ¿ y b, qlue defina la ecuación lineal.
Tabla 4.2 Caudales picos en m3/s para el año 2000 de las estaciones
La Bomba y Asunción
Asunción
La Bomba
x'
xv
v
2e
1t
42C
178
142
2527C
31 681
9(
9(
5C
450C
810C
7l
720C
122
8€
1073e
921e
14884
5(
41
205C
250C
62
QC
241t
7Í
61 5C
3844
6724
8541
1
009[
126C
10404
202a
784
lx)
lvl
82
28
178
15
111
73
142
102
9S
4a
2E
6C
5€
336C
360C
o.:
453€
51
844
86545
90
96
122
50
75
88
50
62
82
41
72
39
1104
117
73
99
28
56
63
102
45
60
72
1
11
75
Sustituyendo valores, resulta:
13 x 86545 -1104x844
s-
t3xll2638 -IlO42
b = 0.7875
368S
8r
263t
a
Estimación de parámetros
-
página (148)
Hidrología Estadística
3. Estimaciúnde a:
se obtiene será a, b, c,
De la ecuación (4.4), se tiene:
nn
a
ó a,6,e, como estimadores sesgados o
Cuando la distribución de probabilidad, a la que se estiman los
parámetros por este método es simétrica y particularmente si es
normal, se puede demostrar que este es un método muy eficiente,
pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo tanto
sesgadas, como sucede muy a menudo con la mayoría de las
variables hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida
de eficiencia en la estimación.
Sustituyendo valores, resulta:
1104
0.7875
13
= -1.952
.'. La ecuación que relaciona
página (149)
insesgados de los parámetros.
2r, ).,,'b
a=--u
o=8* 13
-
las variable
r
e
y es:
y = -1.952 + 0-7875 x
Método de los momentos
Ejemplo 4.3:
El método de los momentos fue desa¡rollado por KarI Pearson en
1902. El principio básico de la estimación por este método, es
establecer para cada función de distribución, la relación entre los
1. Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución
normal:
parámetros y los momentos centrales, de tal manera que:
pafa
=Íi(lti,
tti+I,...)
A
=fZ (lt
tt
y
=f3 (ttk, lt k+l,
d,
i, ¡+t,
...)
...(4.s)
...)
oo< X <
oo
estimar los parámetros 0 y 0 2, por el método de momentos.
Solución:
Sabemos que:
donde:
ü,0 ,T
Iti, lti, llk
-
son los parámetros de la función de distribución
són los momentos con respecto a la media, o
momentos centrales de la población
Como los momentos, son estimados a partir de los momentos de la
muestra, como estimadores sesgados o insesgados, el resultado que
1. La media poblacional es igual al
origen, es decir:
'Ó
u=E(x\=u'7=lJ-o
xf(x)dx
ler momento con
respecto al
...(4.6)
Estimación de pariímetros
-
Hidrología Estadística
página (150)
2. Lavaixtza 02 es igual al 2" momento con respecto a la media,
es decir:
v(x) =o.2 =
p2= Iitr-¡r¡2r1x¡ax
-
e,e" r€
g- -!-'' 'l2nor t-""
|
... (4.7)
Sustituyendo/(x) en (4:6), resulta:
P=
roo
v2
l- ye 2 ¿y
I
A.
-F-
Cálculo de:
v
ll=-l 1r- t-* x'e
^lznor
I
^"'
02
.
límites:
...(4.8)
fÉ^
A=l
J-ó
)
2
e "
v'
- -n-
dy
-f r0 e '
J-É
v
+ l? e
"J0
¿v
2
2
dy .,. (4.11)
-vry2
=y
-) x =0t + 0r! ) dx=7rdy
...(4.e)
siendo: f(y) =
e
-V'(-Y)2 -V'Y2
Si X -+-co
á)/-)-oo
Si x -++""
á)-)*oo
dado que: f(-y) = f(y)
por lo cual se tiene:
v2
J]-tr, +oril'e
@0,
=e =f(y)
f(-y)=e
Sustituyendo (a.9) en (4.8), se tiene:
P=
... (4.10)
.I-€
J-**' lzoer'
Haciendo:
-_A
página (151)
!!*¡rrtor-f
luego (4.1I), se escribe:
lz
"ro,
o=li
n-
2'
dr+
,
f(y)
matemáticamente, es una función par,
rl)dv
12
I;,- 2'
dy
Estimación de parámetros
¡.oo
l,l
--vz^ r
A=21
e
J0
-
Hiclrología Estadística
página (152)
-
página (153)
luego:
A=
... (4.12)
dv
",frl
-:--
I
,D
Haciendo:
Y2
y2=t +
y=t
2YdY=i¡ =
A=
dY-
dt dt
2vl
' 2t2
Cálculo de:
B=
límites:
par
)=0 + t=0
y-+"o + t+6
luego (4.I2), se convierte
L,
A=zÍ*
-J0-e 2"
roo
"-Ó
2e 2 ,lt
A=f*t
J0
Aplicando la transformada de LapLace, se tiene:
dy
I _,2
''
o,
_L ,,2
*!; ,,
2'
dv
lZ
donde:
pero:
-V'(-Y)2
f(-y)=(-y)e
-/'Y2
=-!e =-ÍU)
puesto que: fl-y) = -Ky),
impar, por lo tanto se tiene:
fly)
matemáticamente, es una función
l..z
I z
-;l
foo
r0
"!- dY = -lo t' L dY
)l*r" ¿
luego (4.L4), se escribe:
pero por propiedad de la función Gamma, se tiene:
| (Y2)=\,fr
... (4.14)
---v
¿
ye
f(y) =
2tz
, _L,
-l^ y2
i- ye 2'
, = I:"" y,
ein:
dt
l
... (4.13)
^lri
-!r
6 -'^r'
r€ 2'
2" at+liw
a=-liw
f
"
dy
Estimación de parámetros
-
página (154)
B=0
... (4.15)
Sustituyendo (4.13) y (4.15) en (4.10), resulta:
e1
0,
'u= ^lzn
-!-- ".!zn + -Lxo
^121r
.t,
.tr
-+
-ó -
N.
(Tz
v
*
-) -co
=
L.---
l.t
f- * er2l2, 2'
o,
Sustituyendo/(x) en (4.7), se tiene:
='2= J-f**' n2"
^Cl,-,
2
l.¡
-;Y'
"l2l
l2v2
1
azdy
'lZfIArJD2
f,).
oZ= Uz =J_"oGtt)-
siendofly) = y2
e
y
at
f(-D
=Ki
(función par), por lo cual:
{l *trr>a, =rl; ro)dy
como: p = 0l
luego:
o2=F2=
'
^[-zle,J:""
, -!.r'
^ 20"2
¿- l,* uz"
z dv
o'=
J0
G-ot"-;l';)'*
Haciendo:
--J=y
02
límites:
^,2II
yZ=t = y=tVz =dy=
Haciendo:
x-0.
)
Iuego:
It=01
=
y
página (155
.tr-+oo -/-)oo
lo que indica que el primer parámetro 0 1, es igual a la media
.',0,I =i» xi
-
Hidrología Estadística
+ x=0t+02y +
dx=?zdy
dt
-I
2t2
límites:
+ t=0
Y-+- =+ t)6
si )=0
se tiene:
I
Estimación de parámetros
o'='ff5,"
_t
-
página (156)
Hidrología Estadística
I
2'
página (157
)
o2 = 0 22 (el parámetro 0 2es igual a. o )
dt
1
.a2- _N{.L\ni_nl
s/v -v\2
..u2
I
2td
o'
-
I
en2 -oo I --t
2dt
o2=
=#[s,,"
Ét)k,
-xY
Ejemplo 4.4:
Aplicando la transformada de Laplace, se tiene:
Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución de
Poisson:
o2=
o2=
Calcular usando el método de momentos:
o El parámetro a
"
pero:
I
(yr)
Lavaríanza
Solución:
=^tE,
luego:
1. Como X es una variable discreta:
o2=
tt=E(X)= )xf(x)
0"2 ,/
o', = !--rx yfn
"izfl
tr=i*q':
l=0
xl
r
Estimación de parámetros
-
página (158)
t,-ifr
página (159
o2 =E(x2) - a2
Cálculo de
-f(0)=".
. oor-ü -"-a -"-o
-n
- r(o)
''
--; -'
fra
... (4.16)
E(*):
E(*)=
i .' a*r-d
xl
x=0
E(*)=,-"
r, = § o,*'-1
Aff,rl,
f=1Q -r)r
.)
(r
d2
d3
+...
'u=e-ald ¡---+l! 2t
[o'
)
, d,1or2
- ¡... )
*l l+.-*(
I
It=de
2t
Ir!
I
)
pero, por desarrollo de serie de Taylor, se tiene:
(
. _2 )
I t*a *o- * ...1=
"o
[,,
2t
entonces:
P = ae-a ed
Lt
=d,
)
fi:
(x-t+tfox
G-t)l
='-&tár5.á?f]
,..d= ll
2. Cálculo de o2
Sabemos que:
)
o2=E(*)-Qt')
tr=Tll ¿-rT:ú
luego:
-
o2=E(*)-(E(x)),
oor-o + ?ax"-d
pero: (-1)!
Hidrología Estadística
§-4-="-d § 11]-. +r-d
-c
?t!-l)! '" !1!-z}
----r*
Estimación de parámetros
-
página (160)
Hidrología Estadística
Se observa que la media
igual a d, es decir:
E(*)= ¡t + e
y
-
página (161
)
varianza de la distribución Poisson es
)
fi=o- =q
Método de máxima verosimilitud
E(*)=
tt+e
E(f)=tt+e
E(x2)=
"
F_rr*
El
*er!*"'!.
4t
2t l
L0!
f(x;u, F,y,...)
1
o o2fr.
¡r + r-
-* .
I
-s-
donde:
d,
)
la
función verosimilitud de
la
muestra, como la
t-l
L=
f (xr,a,
fr.,T,...).
f (xZ,ü, §,T,...).
....
f
(x
N,ü, 4,T,...)
siendo N el tamaño de la muestra
E(tZ) = lt + r- ao2ra'
-o2
, ... son los parámetros que deben ser estimados
N
Luego:
o2 =o*o2
o2 =d
y
¿=fI f (xi,d,fr,y,...)
-'_t
)
Sustituyendo (4.17) en (4.16), resulta:
,
Se define
(r*" *o' *...1=,o
2!
E(*2) = p+a2
Pero: ¡r,=d,entonces:
E (*2) =q, + q2
B
productoria:
Por desarrollo de la serie de Taylor, se tiene:
(.,,
método de máxima verosimilitud, fue desarrollado por R.A.
Fisher (1922).
Dada una función densidad de probabilidad:
El método de máxima verosimilitud, consiste en estimard, §, T ,...
a partir de la muestra, de tal manera que Z sea máxima. Esto se
obtiene por la diferenciación parcial de L, con respecto a cada
... (4.17)
parámetro e igualando a cero.
Puesto que flx) es no negativa, un valor máximo de L será, en
general positivo. Como el logaritmo natural lnL es una función
monotómicamente creciente de L, ésta tiene un máximo,
r
Estimación de parrímefros
-
página (162)
Hidrología Estadística
precisamente en los puntos en que L tiene un máximo. Por lo tanto,
se puede ttsar lnL en lugar de L, es decir:
N
N
L
este artificio, permite transformar una productoria a una sumatoria,
donde:
a,b,c, son estimadores de d, F, y ,..
Fntonces el conjunto de ecuaciones de máxima verosimilitud es:
0ln/
EtnZ
}lnL
#=o:
#=o;
#=o;
dc
db
da
siendo:
e¡,1)
f(xi,)") = )r-h¡
luego:
n
¿
_4,x.
=fI le
'*',
i=l\.
Usualmente insesgado
Si la eficiencia de estimadores existe para los parámetros U, B,
T ,..., el método puede producirlos.
La solución de la ecuación de verosimilitud, proporciona un
estimador que converge al valor poblacional, cuando el tamaño
muestral tiende a infinito, por 1o que el estimador es consistente.
¡
/
N¡
'"'i
tnL= )l t, )"+tn,-tu.\
I
i=l\
)
Nt
\
7nL=Itr^ -tu,)
i=l
derivando con respecto
a ),, se tiene:
otnL-=
'*' i=o"
'[S hnt"-¿"
al Ol'"la'r"'"
')-
Ejemplos 4.5:
Dada la función de densidad de probabilidad de
la
distribución
exponencial:
(i
lln-*
para r ) o, h>o
I
en otros
L0
i=l
N ( _)x.\
tnL=\t"l l* '^i
Las propiedades de los estimadores calculados por el método de
máxima verosimilitud, son;
f(x)=1
=flf
i=l
el mismo que tiene tantas ecuaciones como incógnitas.
.
Solución:
Sea la función de verosimilitud:
n
L=Uf @i,a,b,c,...)+tnL= )h f @i,a,b,c,...)
.
.
-
casos
Estimar el parámetro2, usando el método de máxima verosimilitud.
§(
!-,.)=0
tl
?,lL
r-r\
ntfl
»; -),;
.i=1tv
¡=1
,/
=0
página (163
)
Estimación de parámetros
-
página (164)
Hidrología Estadística
nl
-
página (165
)
t
1r¿=)tnl
¡=1
I
L
tnL=
Ejemplo 4.6:
,l
»l-
,=1L
Dada la función de densidad de probabilidad de
la
distribución
"1'
normal:
rnL=I
3.
Fstimar los parámetros
el e2, por el
verosimilitud.
Solución:
1.
La función de verosimilitud es:
2. Tomando ln:
método de máxima
a)
]
, resulta:
üJ]=.
r
Estimación de parámetros
-
página (166)
Hidrología Estadística
nn
E*,=Eo,
i=l -
0,2
i=l
'
n
\x¡
--
no,
t=l
,=)L*, =,
trY(-zor-3)]=t
'(,¿ -
=lnF.t
i6,
-
página (167
)
-e1)2 =12
Nota. El método de máxima verosimilitud, teóricamente es el más
correcto para el cálculo de los parámetros de las distribuciones, en el
sentido que produce menos errores, en la estimación de los
parámetros de la población. Pero, para algunas distribuciones de
probabilidad, no existe solución analítica para todos los parámetros,
en términos de los estadísticos de la muestra, lo cual lleva a calcular
éstos parámetros por métodos numéricos. En general, el método de
los momentos es más fácil de aplicar que el método de máxima
verosimilitud, y resulta más apropiado para análisis práctico en
hidrología.
á[
;.ry)='
tf"l,.+I]=,
4.4 Problemas propuestos
1. Dada
la función de densidad de probabilidad de la distribución
uniforme:
1
para o(<rS p
f(x) =
ÉF,)* i=l
Lb4:-=o
i=l
02'
,;-vr6'-01)2
=n
:V=,6,-trY -e2
B-cr
Estimar sus parámetros o y B, utilizando el método de momentos.
2.
Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución
exponencial:
-l.x
flx) =)"
e
Para x> 0, ¡, > 0
Estimar su parámetro 1,, utilizando el método de momentos.
I
Estimación de pariámetros
3.
-
página (168)
-
página (169)
Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución
de Poisson:
Calcular el parámetroa, usando el método de máxima
verosimilitud.
4.
Hidrología Estadística
Dada la función de densidad de probabilidad de la distribución
v
Calcular los parámetros pty, or, utilizando el método de máxima
verosimilitud.
7. Dada la función de densidad
gamma de parámetros y y B:
x
exponencial de dos parámetros:
-1.(x - e)
f(x)=)"e
para x)E, ¡,>0
Estimar sus parámetros l, y
f(x)-
g utilizando el método de momentos.
5. Dada la función de densidad de probabilidad
de la distribución
exponencial de dos parámetros:
-i.(x - e)
f(x)=)"e
para
Estimar sus parámetros
verosimilitud.
x)8, I>0
l, y e, utilizando el método de máxima
6. Dada la función de densidad
log-normal de dos parámetros:
de probabilidad de la distribución
de probabilidad de la distribución
*Y
-1, P
PY
r<v)
para: 0(x<""
0<Y<""
0 < 0<""
Calcular los parámetros utilizando el método de momentos.
Pruebas de bondad
de ajuste
5.1 Definición
Las pruebas de bondad de ajuste,
en compro bar gráfica y
"orrir*n de la serie analizada, se
estadísticamente, si la frecuencia empírica
ajusta a una determinada función de probabilidades teórica
seleccionada a priori, con los parámetros estimados con base en los
valores muestrales.
Las pruebas estadísticas, tienen por objeto medir la certidumbre que
se obtiene al hacer una hipótesis estadfstica sobre una población, es
decir, calificar el hecho de suponer que una variable aleatoria, se
distribuya según una cierta función de probabilidades.
Las pruebas de bondad de ajuste más utilizadas son:
.
Ajuste gráfico
Pruebas de bondad de ajuste
.
Ajuste estadístico
-
págtna (172)
lctri - cuadrado
i-
Hidrología Estadística
probabilidad
[Smirnov - Kolmogorov
-
función acumulada
empfri
(%)
función acumulada
teórica
5.2 Ajuste grafico
El ajuste grráfico
.
se puede realizar de las siguientes formas:
Comparar gráficamente eI histograma ó función densidad
empírica de la serie de datos, con la función densidad teórica y
decidir visualmente, si hay o no ajuste de acuerdo a la similitud
o diferencia de ambos (figura 5.1).
frecuencia
relaüva
página (173)
Figura 5.2 Ajuste gráfrcocon la función acu.rruladaln papel
milimétrico
función densidad
teórica
función densidad
emplrica
marca de dase
Figura 5.1 Ajuste gráfico con la función densidad
Comparar gráficamente la función acumulada de la serie de
datos, con la función acumulada teóica seleccionada, dibujada
en papel milimétrico (figura 5.2), y decidir visualmente si hay o
no ajuste.
Se puede también comparar gráficamente la función acumulada
de la serie de datos, con Ia función acumulada teórica, ploteada
en un papel probabilístico adecuado (figura 5.3), donde la
distribución teórica seleccionada, se pueda representar como una
línea recta (por lo general, sólo se pueden representar por una
línea recta las distribuciones de 2 parámetros). Así se tienen
disponibles los papeles probabilísticos normal, log-normal,
gumbel, etc. El procedimiento consiste en plotear los valores de
la variable hidrológica (caudal, precipitación, temperatura, etc.),
versus la probabilidad empírica en el papel de probabilidad
correspondiente. Si los puntos ploteados se agrupan alrededor
de una línea recta, que es la representación de la distribución
te6rica, se puede afirmar con cierta certeza que estos datos se
ajustan a la distribución deseada.
Pruebas de bondad de ajuste
-
págha (174)
Hidrología Estadística
-
página (175)
,|
variable
aleatoria
y.o
,"c
distribución
empirica
=
valor calculado de Chi-cuadrado, a partir de los datos
0 i = número de valores observados en el intervalo de clase i
ei = número de valores esperados en el intervalo de clase i
|¡ = número de intervalos de clase
ibucién
teórica
Asignando probabilidades a la ecuación (5.1) es decir, asignando
igual probabilidad de ocurrencia a cada intervalo de clase, se tiene:
probabilidad
...(s.2)
(o/o)
Figura 5.3 Ajuste gráfico con la función acumulada en papel
especial
donde:
número de observaciones que caen dentro de los límites
de clases ajustadas del intervalo i.
N = tamaño muestral
P¡ = probabilidad igual pala todos los intervalos de clases
Ni
5.3 Prueba Chi-cuadrado U2 )
La prueba Chi-cuadrado se basa en el cálculo de frecuencias, tanto
de valores observados, como valores esperados, para un número
determinado de intervalos. Esta prueba es comúnmente usada, para
verificar la bondad de ajuste de la distribución empírica a una
distribución teórica conocida, fue propuesta por Karl Pearson en
=
Pi=
llk ó ei= PiN
Simplificando
la
... (5.3)
ecuación (5.2),
se obtiene la
fórmula
computacional desarrollada por Markovic ( 1965):
x?
1900.
=#frl?
--
...(5.4)
.)
La expresión general de la prueba Chi-cuadrado está dada por:
El valor d" X,; obtenido por la ecuación (5.4) se compara con el
de la tabla A.8 del apéndice, cuyo valor se determina con:
donde:
nivel de significación: a= 0.05
grados de
kk
=fy'
Eo,=Er,
i=l
i=l
donde:
libertadi
ó d = 0.01
g.l.= k-l-h
x7
r
Pruebas de bondad de ajuste
-
página (176)
Hidrologfa Estadfstica
njem)to s.I:
Dada la serie histórica de caudales medios anuales en m3/s, que
corresponde a un registro de 38 años:
Criterio de decisión:
El criterio de decisión se fundamenta en la comparación del valor
calculado de Chi-cuadrado con el valor tabular encontrado, esto es:
. Si el Chi-cuadrado calculado es menor o igual que el valor
tabular, es decir:
))
x;<x;
Si el Chi-cuadrado calculado es mayor que el valor tabular,
70.0
Realizar la prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado para ver si se
ajustan a una distribución nornul.
es
SOLUCION:
'))
x;, x;
1. La hipótesis
el ajuste es malo y
entonces,
se rechaza la hipótesis, siendo
necesario probar con otra distribución teórica.
Ventajas y limitaciones:
Es aplicable sólo para ajustes a la distribución normal, puesto
que ha sido desarrollado con base en los datos normales e
independientes.
2. Se realiza en la función
densidad de clatos agrupados en
intervalos de clases.
Requiere un conocimiento a priori, de la función de distribución
teórica utilizada en el ajuste.
4. En la práctica se usa para cualquier modelo de ajuste, pero
estrictamente es válido sólo para la normal.
3.
121.3 26.7 1 10.1 63.4 122,4 64,2 59.6
144.9 92.8 95.6 76.3 162,1 110.2 40.3
142,4 58.8 48.8 s2.3 97.2 144.7 112.2
205.8 57.4 148.3 36.3 52.5 109,2 137.1
88,0 165,6 48.5 32.9
1 14.5 79.0 67.5
72.5 76.9
entonces, se acepta la hipótesis que eI ajuste es bueno al nivel de
significación seleccionado
1.
páeina (177)
5. Es de fácil aplicación.
h = as el número de parámetros a estimarse, así:
h = 2, para la distribución normal
h = 3, para la disribución log-normal de 3 parámetros
decir:
-
será:
Ho : frecuencia observada
H¿ : frecuencia observada
=
*
frecuerlcia esperada
frecuencia esperada
2. Ordenando los datos de menor a mayor, se tiene:
26.7 32.9 36.3 40.3 48.s 48.8 52.3
52.5 57.4 58.8 59,6 63.4 64,2 67.5
70.0 72.5 76.3 76.9 79.0 88,0 92,8
95.6 97.2 109.2 1 10.1 1 10.2 112,2 114.5
121.3 122.4 137.1 142,4 144,7 144.9 148.3
162.1 165,5 205.8
3. Cálculo de la frecuencia
para datos agrupados
3.1. Cálculo del número de intervalos de clase, según Yevjevich:
NC=1+1.33 ln(M)
NC=1+1.33 ln(38)
Pruebas de bondad de ajuste
NC=5.84 =
-
página (178)
Hidrología Estadística
página (179)
Columna (5): acumular valores dq la columna (4)
6
3.4 Cálculo de la media y desviación estándar para datos agrupados,
utilizando las columnas (2) y (3):
3.2. Cálculo de la amplitud de cada intervalo:
min
NC_l =
X max- X
--l=
-
205.8
- 26.5
5
t_
&
N( =35.82=36
-
AX
2
=18
= 43.03
,3.3. Cálculo de los intervalos de clase, marcas de clase, frecuencia
absoluta observada, frecuencia relativa,
los
resultados
se
muestran en la tabla 5.1
donde:
xi=
marca de clase
frecuencia
relativa
-ñ =
Tabla 5.1 Cálculo de la frecuencia acumulada
!ntervalos
de clase
(1)
44.7 -
(3)
)
44.7
80.7
't16.7
152.7
80.7
- 116.7
- 152.7
- 188.7
- 224.7
26.7
62.7
98.7
134.7
4
15
170.7
9
7
2
206.7
1
0.1053
o.3947
0.2368
0.1053
0.5000
0.7368
o.1842
0.9211
0.0526
0.0263
o.9737
1.0000
Columna
(3): Z -
x-X
variable estandarizada de la
distribución normal paru x = límites de clase, de la
columna (2).
Columna (4): área bajo la curva normal, puede usar la tabla A.1 del
apéndice.
donde:
Columna
Cálculo de la frecuencia esperada, utilizando la distribución
teórica normal, los resultados se muestran en la tabla 5.2
donde:
8.7
188.7
Marcas Frecuencia Frecuencia Frecuencia
acumulada
relativa
de clase absotuta (0
(5)
(4)
(21
(3):
número de valores comprendido en el intervalo de la
columna (1).
Columna (4): columna (3) entre N = 38
Columna
(5): áreap xa cada intervalo
de cl se, se obtiene restando
los valores de la columna (4), si los signos de Z dela
columna (3) son iguales, y sumando los valores de la
columna (4), si los signos de Z son diferentes.
Pruebas de bondad de ajuste
-
Hidrología Estadística
página (180)
Tabla 5.2 Cálculo de la frecuencia absoluta
intervalo de
Iímite
clase
de
x-X
clase
t3)
8.7
447
44.7
44.7- 80.7
80.7
80.7- 116.7
116.7
116.7-152.7
152.7-188.7
188.7-224.7
152.7
188.7
224.7
Columna
Columna
á¡ea
Frecu-
balo la
curva
encla
relativa
normal
de
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
observada
ei
OaZ
el
(1)
8.7-
s
x? =
f6)
17l
0.3554
o.1152
4.38 = 5
4
0.0871
o.2687
0.3195
-1.89
1.057
-0.220
0.617
1.453
o.4706
2.290
0.4890
0.0625
7.34=7
2.38=3
3.126
0.4991
0.0101
0.38 =
o.2324
0.4265
0.1931
10.21
=
10
12.14=12
1
15
9
7
grados de
.
U=6 - I -2=3
nivel de significación: a= 0.05 = 5Vo
libertadi I)=
k -1- h
para D = 3 y a = 0.05, se tiene:
Criterio de decisión:
Como v2 =3.78
. ,2
=7.87
se acepta la hipótesis nula
.'.
)
7':
Ho
Los datos se ajustan a la distribución normal, con un nivel
de significación del 5Vo ó 95Vo de probabilidad.
Nota. En la aplicación Cestadis, existe una opción para el cáIculo de
De (5.1), se tiene:
)
x;
@_:J
t=r
.
7.
sonlos mismos valores de la columna (3) de la tabla
5.1.
^.2_€
Lc
-2
Xi
v2=7.81
,"t
en forma
adecuada, de,tal manera que la suma de las
frecuencias absolutas sea igual a N = 38'
5. Cálculo de
.)
1
(ó): columna (5) x N = 38, se redondea
(7):
+0 + 0.33 + 0
De la tabla A.8 del apéndice,
2
página (181)
x? = 3.78
6. Cálculo del
e¡
15)
(4)
0.2 + 2.5 + 0.75
-
ei
sustituyendo valores de las columnas (6)
y (7) de la tabla 5.2, se
5.4 Prueba
de Smirnov-Kolmogorov
tiene:
(r--r)2
*
,z -@-s)z * (rs -ro)2 *(g -tz)z n0 -t)z *Q'])z
/Lc3
7
12
10
5
1
La prueba de ajuste de Smirnov-Kolmogorov, consiste en comparar
las diferencias existentes, entre la probabilidad empírica de los datos
de la muestra y la probabilidad teórica, tomando el valor máximo
r
Pruebas de bondad de ajuste
-
Hidrología Estadística
página (182)
del valor absoluto, de la diferencia entre el valor observado y el
2o Calcular la
"'(s's)
lnlx¡ - e1x¡l
.
donde:
El estadístico A tiene su función de distribución de probabilidades.
Si
A o es un
valor crítico para un nivel de significación
a,
probabilidad teórica F(x):
Para el caso de utilizar el procedimiento de los modelos teóricos,
la ecuación de función acumulada F(x), tablas
elaboradas para tal f,rn.
usar
A = estadístico de Smirnov-Kolmogorov,
cuyo valor es igual
a la diferencia máxima existente entre la probabilidad
ajustada y la probabilidad empírica.
F(x) = probabilidad de la distribución teórica
P(x) = probabilidad experimental o empírica de los datos,
denominada también frecuencia acumulada.
'
o
P(A
6) -
P(x)l 2 L,o]=
puntos:
se tiene
Valor
Probabilidad
X
50
X+S
X-S
80.13
15.87
o/o
6¿
> Lo)=q
o
la
Si se quiere aplicar el procedimiento gráfico, se utiliza un papel
probabilístico especial donde F(x), puede representarse como
una línea recta, por 1o cual, se puede trazat con solo 2 puntos,
pero si se quiere chequear que es una recta, se pueden plotear 3
puntos, por ejemplo para el caso de una distribución normal, los
que:
rlm,axlr
página (183)
M = nimeto de orden
N = número de datos
valor de la recta teórica del modelo, es decir:
A = máx
-
...(s.6)
representados en un papel de probabilidad normal, forman una
recta.
también:
P(4. Lo)=1-o
...(s.7)
El procedimiento para efectuar el ajuste, mediante el estadístico
de
Smirnov-Kolmogorov, es el siguiente:
1o Calcular la probabilidad empírica o experimental P(x) de los
datos, para esto usar la fórmula de Weibull:
P(.r) =
M
N+1
donde:
P(x) = probabilidad empírica o experimental
...(s.8)
3o Calcular las diferencias P(x) - F(x), para todos los valores de x
4" Seleccionar la máxima diferencia:
a= máx ]nqx¡-e1x¡l
5'Calcular el valor crítico del estadístico A, es decir Ao, para un
a = 0.05 y N igual al número de datos. Los valores de Ao, se
muestran en la tabla 5.3.
Pruebas de bondad de ajuste
-
página (184)
Hidrología Estadística
valor del estadístico A, con el valor crítico A o de la
tabla 5.3, con los siguientes criterios de decisión deducidos de la
ecuación (5.6):
6o Comparar el
Si A < Ao +
A)Ao=
a
Tamaño
muestral
el ajuste no es bueno, al nivel de significación
seleccionado, siendo necesario probar con otra
distribución
1
2
3
4
5
b
7
8
distribución teórica.
9
10
Es aplicable a distribu.io.r", de datos no agrupados, es decir, no
se requiere hacer intervalos de clase.
12
13
11
14
Es aplicáble a cualquier distribución teórica.
4. Se aplica en la función de distribución acumulada
función de densidad.
5.
*
Nivel de siqnificación
0.20
0.15
0.10
0.05
0.01
N
1. No requiere un conocimiento a priori de la función de
J.
página (185)
Tabla 5.3 Valores críticos de L,o del estadístico SmirnovKolmogorov a, para varios valores de N y niveles de significación
el ajuste es bueno, al nivel de significación
seleccionado.
Ventajas y limitaciones
a
-
y no en la
Comparándola con la prueba Chi-cuadrado, no se requiere que la
frecuencia absoluta de cada clase, sea igual o mayor que 5.
6. No es una prueba exacta, sino una prueba aproximada.
0.900
0.684
0.565
0.494
0.446
0.410
0.381
0.358
0,339
0322
0.307
0.295
0.284
0.925
o.726
0.597
0.525
0.474
0.436
0.405
0.950
0.776
0.975
0.842
0.642
0.708
0.624
0.252
0.564
0.510
0.470
0.438
0.411
0.388
0.368
0.352
0.338
0.325
0.314
0.304
0.295
0.286
0.278
0.272
0.301
0.246
0.264
0.294
024
0.381
0,360
0.342
0.326
0.313
0.302
0.565
0.521
0.486
0.457
0.432
0.410
0.391
0.375
0.361
0.995
0.929
0.828
0.733
0.669
0.618
0.577
0.543
0.514
0.490
0.468
0.450
0.433
0.418
20
0,274
0.266
0.258
0.250
o.244
0.237
o.231
25
30
35
0.19
0.18
0.22
0.20
0.19
0.22
0.27
0.24
o.21
N>35
023
t.07
t.t4
1.22
1.36
,tr
0.363
0.356
0.32
0.29
0.27
1.63
^ltr
",/N
,tr
,tr
15
16
17
18
19
0.21
o.292
0.283
o.274
0.266
0.259
0.349
0.338
0.328
0.318
0.309
0.404
0.392
0.381
0.371
Pruebas de bondad de ajuste
-
página (186)
Hidrología Estadística
Tabla 5.4 Cálculo de P(X),
Kolmogorov
Ejemplo 5.2:
Para los mismos datos del ejemplo 5.1, realizar la prueba de bondad
de ajuste Smirnov-Kolmogorov, p&ro ver si se ajustan a una
distribución normal, usando
121.3
144.9
142.4
205.8
114.5
72.5
.
.
:
26.7 110.1 63.4 122.4 64.2 59.6
92.8 95.6 76.3 162.1 110.2 40.3
58.8 48.8 52.3 97.2 144.7 112.2
57.4 148.3 36.3 52.5 109.2 137.1
79.0 67.5 88.0 165.6 48.5 32.9
76.9
m
70.0
(1)
Q=X
P(x)
mtls
m/n+1
(2)
(3)
2
26.7
32.9
3
36.3
4
5
40.3
1
F(z)
1.39
-1.31
-1.22
485
0.1282
-1.02
-1.02
(donde x,representa el caudal).
0.1538
0.1 795
I
Usando el procedimiento gráfico.
10
57.4
58.8
59.6
Solución:
1. Cálculo de P(x):
Ordenando los datos de caudales en forma creciente y calculando
la probabilidad empírica P(x), usando la fórmula de Weibull:
Pifx:)=h
se obtienen las columnas
2. Cálculo de X y,§, de los
x
='nuI x. =92.32
1
L
(2) y (3) de la tabla 5.4.
datos no agrupados
0.2061
0.2177
-o.76
0.2236
0.2483
0.2546
22
23
24
25
26
27
28
29
30
95.6
0.5641
0.08
97.2
109.2
0.5897
0.11
0.61s4
10.1
0.6410
0.6667
0.6923
0.7179
0.39
0.42
o.42
0.46
0.52
0.60
0.70
1
110.2
1'12.2
114.5
121.3
122.4
0.1736
-0.82
92.8
19
0.1 539
0.1 539
-0.78
21
1B
0.0182
0.0086
0.0257
0.2308
20
64.2
0.7436
0.7692
-0.52
-0.46
-0.37
-0.36
0.0310
0.1112
0.2564
-0.68
-0.66
-0.58
l6)
0.0374
0.0951
0.1762
67.5
70.o
72.5
76.3
76.9
79.0
88.0
634
12
13
14
15
16
17
0.0630
0.0823
-0.94
-0.93
0.2821
0.3077
0.3333
0.3590
0.3846
0.4103
0.4359
0.4615
0.4872
0.5128
0.5385
11
A
(5)
-1.53
0.0256
0.0513
0.0769
0.1026
0.2051
de Smirnov-
lnlz¡ -r1x¡l
48.8
52.3
52.5
página (187)
F(4 y A, para la prueba
6
7
8
El cálculo de los valores de F(x) para todos los valores de x
-
0.2810
0,3015
03228
-0.31
0.3557
0.3594
0.3783
-0.10
0.4602
0.01
0.5040
0.5319
0.5438
0.6517
0.6628
0,6628
0.6772
0.6985
0.7517
0.7580
0.0001
0.0059
0.0289
o.0247
0.0387
0.0585
0.0594
0.0787
0.0780
0.0831
0.0875
0.0802
0.1021
0.1
089
0.0526
c.0345
0.0322
0.04s9
0.0363
0.0218
0.0039
0.0151
0.0194
0.0081
0.0112
<- max
Pruebas de bondad de ajuste
-
página (188)
Hidrología Estadísrica
Q=X
P(x)
mtls
m/n+1
(5)
0.8531
0.8718
1.05
1.17
1.22
1.23
148.3
0.8974
1.31
0.8790
0.8888
0.8907
0.9049
162.1
0.9231
1.63
0.9484
165.5
205.8
o.9487
0.9744
1.71
2.65
0.9564
0.9960
(3)
31
137.1
32
33
34
35
36
37
38
142.4
144.7
144.9
0.7949
0.8205
§=
o.8462
A
lrlz¡ -e1x¡l
s
(4)
(21
(1)
F(z)
X_X
-
Amáx:
De la tabla 5.4, se observa que:
t6)
A = -u* lrfrl - p(x)l = 0.1089
o.0424
0.0189
0.0075
0.0253
0.0077
0.0216
n-lu
Cálculo de la variable estandarizada Z:
Usando la..ecuación:
X_X
7. Cálculo de Ao crírico:
De la tabla 5.3, para
1.36
ci¿
^ =- t.36
--=
"ln J38
a
= 0.05 se tiene:
Lo= 0'22
8. Criterio
de decisión
Como:
A = 0.1089 < Ao =0.22
Se concluye que los datos de caudales se ajustan a la distribución
normal, con un nivel de significación del 5vo o una probabilidad
del
95Vo.
s
(a) de la tabla 5'4'
F(D = F(X):
Usando la tabla A.2 del apéndice, se obtiene la columna (5) de
la tabla 5.4. Para valores positivos de Z, los valores se obtienen
en forma directa. Para valores negativos de Z, los resultados se
obtienen de: 1 - valor tabla A.2
4. Cálculo de
5. Cálculo de A
6. Cálculo del A
0.0582
0,0585
1 Y (x
-v\2
/ =42.80
se obtiene la columna
página (189)
A partir de las columnas (3) y (5) de la tabla 5.4, se obtiene los
A = ¡n1z¡ - p(x)l , Ia misma que se muesrra en la columna (6).
Tabla 5.4 Continuación ...
m
-
- lrlz¡ - e1x¡l
La aplicación cestadis, permite rearizar la prueba de bondad
ajuste, para varias distribuciones teóricas, entre ellas la normal.
de
Procedimiento grafico:
l.
Gráfico de P(X) y F(Z) en papel de probabilidad normal.
1.1. Gráfico de disrribución ernpírica p(.tr):
Plotear en un papel de probabilidad normal los valores de las
columnas (2)V Q) de la tabla5.4.
1.2. Gráfico de la distribución teórica F(4 = F(X):
Pruebas de bondad de ajuste
-
página (190)
Hidrologfa Estadísrica
-
página (191)
Plotear los puntos:
Valor de caudal
Probabilidad
(m3/s)
Vo
X = 92.32
X +S =135.12
X -S = 49.52
€c
9'5
50
84.73
.i«t"tr
-o
(l)-o
v,o
E(É!!
15.87
O«l
1.3. Con los procesos 1.1. y 1.2 se obtiene lafigwa5.4.
-o
o.¡ I
.1,
g
do
300
2. Cála¡lo
de A =max F(z)-P(x)
Observando la figura 5.4, se tiene:
A = 0.10
0)o
o.z
-cY
h>
ñ=Rt
De la tabla
A-
^o
-
5.3,para
1.36
^[n
=.= b
.99E
fLa c
ts
3. Cálculo de Ao
-x
o q
I
@ = 0.05 y n = 38, se obtiene:
\o
5\
O
t.36
-]3s
I
t\
t\
I E-
'd '§
)e
Ao = 0.4
il
4. Criterio
de decisión:
Como:
A =0.10<Ao=0.22
Se concluye que los datos de caudales se ajustan a una distribución
normal, con un nivel de significación del57o, o una probabilidad del
95 7o.
op
5
o
o
N
o
ro
oo
Pruebas de bondad de ajuste
-
página (192)
5.5 Problemas propuestos
1.
100.18
107.62
169.64
177.00
123.00
182.53
107 .43 1 83.1 1 154.80 197.58 153.65
108.75 144.22 134.10 156.80 1 19.52
158.48 164.35 193.88 105,81 110.77
193.78 162.29 133.97 184.96 146.08
127.82 98,16 106.40 145.79 207.78
183.49 95.05 132.49 114.31 136.22
Realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si los datos
ajustan a una distribución normal.
Utilizar:
Prueba Chi-cuadrado
Prueba Smirnov-Kolmogorov, para este caso realizar:
o
o
o
2.
Cálculo de las diferencias de lffrl - P(r) L para cada
valor de x, y obtener Lmax.
Plotear x vs F(x) y x vs P(x), en un papel milimétrico, a
fin" de representar la función acumulada teórica y
empírica.
Calcular A = rnsx I rf*) - P(r) L ploteando los valores en
un papel probabilístico.
Dado el registro de caudales máximos anuales para la estación
Tacares, en m3/s, de 25 años, que se muestran en la tabla 5.5,
realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si los datos se
ajustan a una distribución normal.
-
página (193)
Tabla 5.5 Caudales máximos anuales de la estación Tacares
Dado el registro de caudales, e, -3/s, de una serie histórica,la
misma que coffesponde a un registro de 50 años:
239.07 101.76
169.18 124.31
105.21 1 16.69
212.48 123.28
128.15 1 01 .66
217.52 208.18
266.54 256.62
.
.
Hidrología Estadística
37
48
86
74
100
91
s61
79
83
230
85
'101
182
91
77
67
63
67
62
45
90
70
49
50
45
Utllizar:
.
.
Prueba Chi-cuadrado
PruebaSmirnov-Kolmogorov
3. Dado el registro de caudales
medios anuares para ra estación
Corobicí,
m3ls de 2O años, que se muestran en la tabla 5.6,
rcalizar la",prueba de bondad de ajuste smirnov-Kolmogorov,
con un nivel de significación del 5 7o, pzrz ver si los datos se
ajustan a una distribución gamma de 2 parámetros.
Tabla 5.6 Registro de caudales del río Corobicí, en m3ls
223.0
207.0
248.9
626.7
322.0
386.2
238.9
597.1
224.6
424.0
235.0
414.4
180.4 273.7
236.t 706.1
370.6 267.s
600.0 406.0
Distribuciones
teóricas
6.1 Introducción
El hidrólogo generalmente tendrá disponible un registro de datos
hidrometeorológico (precipitación, . caudales, evapotranspiración,
temperaturas,,etc.), a través de su conocimiento del problema físico,
escogerá un modelo probabilístico a usar, que represente en forma
satisfactoria el comportamiento de la variable.
Para úilizar estos modelos probabilísticos, se deben calcular sus
parámetros y realizar la prueba de bondad de ajuste, un esquema de
este proceso se muestra en la figura 6.1.
Si el ajuste es bueno, se puede úilizar la distribución elegida, una
vez encontrada la ley de distribución que rige a las variables
aleatorias, además, se podrá predecir con determinada probabilidad,
la ocurrencia de una determinada magnitud, de un fenómeno
Distribuciones teóricas
-
Hidrología Estadística
página (196)
hidrometeorológico. También se podrá determinar Ia magnitud de un
fenómeno para un determinado periodo de retorno.
-
página (197)
Las distribuciones teóricas comúnmente utilizadas en Hidrología,
son entre otras:
.
.
.
.
.
.
Distribución normal
Distribución log-normal de 2 ó 3 parámetros
Distribución gammade2 ó 3 parámetros
Distribución log-Pearson tipo III
Distribución Gumbel
Distribuciónlog-Gumbel
Estas distribuciones se estudian en este capítulo.
Elegir una
distribución teórica
6.2 Distribución normal o gaussiana
1.
Función densidad
Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución normal,
si su función densidad, es:
:1._:)rl
sl]
Jzns Lrt
r (x) = ___L EXpl _
..\--l
.. (6. r)
Utilizar distribución
teórica elegida
pAfA -@ <.tr< oo
donde:
f(x) = función densidad normal de la variable x
x = variable independiente
Figura 6.1 Proceso de selección de una distribución teórica
Distribuciones teóricas
X-
-
página (198)
Hidrologfa Estadlstica
página (199)
parámetro de localización, igual a la media aritmética
dex
-
parámetro de escala, igual a la desviación estándar de x
EXP = función exponencial con base e, de los logaritmos
neperianos.
S
-
Cuando la variable aleatoria X, se distribuye normalmente con media
lt = X y varianza (o2 = S2), se denota
de la siguiente forma:
densidad de la distribución normal se
muestra en la figura 6.2, y es como se observa en la figura, una
función continua y simétrica con respecto a X .
El gráfico de la función
f
,
_2,
(Z) = --L,_
42n
e2
para -* <Z<
*
Los valores de flx)
o
... (6.5)
f(D, pueden ser fácihnente evaluados para un
valor dado de )c o de Z por las ecuaciones (6.2) ó (6.5),
respectivamente.
El gráfico de la función densidad de la distribución nonnal estándar,
se muestra en la figura 6.3.
I
-
+rfi
u)
X
l"rz = 0
Figura 6.2 Función densidad de la distribución normal
Si:
Z-n
-_Y
s
"
fm
-co
...(6.3)
densidad de Z, §d -llama función densidad de la
distribución normal estándar y tiene la siguiente expresión:
Figura 6.3 Función densidad de la distribución normal estándar
Una característica fundamental de la distribución normal estándar es
que tiene Fz = 0
O 2z = 1, es decir:
z - N (0,1)
!
La función
...(6.4)
2. Función de distribución acumulada (F.D.A.)
La función de distribución acumulada de la distribución normal,
Ia integral de las ecuaciones (6.I) 6 (6.2):
es
Distribuciones teóricas
-
página (200)
F(x)=#lr-
Hidrología Estadística
... (6.6)
o su
equivalent
F(z)
=
...(6.7)
aciones (6.4) ó (6.5)
h,
l
... (6.8)
Cálculo de la función de distribución acumulada
Pararealizar cálculos computacionales de F(Q, se utilizan funciones
de aproximación, dentro de las cuales se pueden mencionar:
a) Abramowitz y Stegun (1965), han dado varias aproximaciones
para la
ormal estandarizada Z. Una aproxi-
mación
F(4
menor que 10-5 es:
1201676 P + 0.9372980 ,3) ... (6.10)
=
donde:
ó
F(Z)
F(4 = es la función de distribución acumulada
flZ) = es la función densidad de la variable estandarizada
=
/
... (6.9)
= es definido paruZ
t,-
es la función de distribución acumulada de la
para
distribución
la variable original X, según la ecuación (6.6), o
también parala variable estandarizada Z, segin la ecuación (6.8), es
decir F()) = F(4.
donde F(x)
Esta función de distribución, tiene las siguientes propiedades:
.
'. F(X)
página (201)
Existen tablas, por ejemplo las tablas 4.1 y A.2 del apéndice, que
permiten calailar F(Z).
,
llx-Xl'-')
__t__l
F(x)=.r+ll- u2l s )d,
3.
-
F(__) _
... (6.11)
0.3326t121
b)
Masting (1955), ha dado una aproximación polinomial que ha
sido utilizado por la IBM (1968). Esta aproximación con un error
menor que 7.5 * 1g-8, es:
F(4 = | - flD (bf
+ b2P +
\rt + b4A + b5t5)
... (6.12)
0
=0.5
F(+"") =
t+
) 0, como:
1
donde:
r
es definido para
l=
Z > 0, como:
I
... (6.13)
t+ 0.23164telzl
siendo las constantes:
bl
= 0.319381530
b2= - 0.356563782
7Disttibuciones teóricas
-
Hidrología Estadística
pági¡a (202)
si Z < 0, la F.D.A. se calcula
Para estimar los parámetros de la distribución teórica se pueden usar
el método de momentos ó el método de máxima verosimilitud.
Cabe mencionar que la distribución normal, es la rinica función de
distribución, que produce los mismos resultados de los parámetros,
estimados por el método de momentos y máxima verosimilitud, los
parámetros obtenidos son 1o§ siguientes:
,N
Una aproximación para el cálculo de la inversa de la distribución
normal estándar, con un elTor menor que 4.5x104, se calcula con las
X=u=1!X.
'
t
l+ dl,xw+ d2xw2 + d3xw3
Z=w-
-w
paruD < FZ<
0.5 . .. (6.14)
s=o=[+,
c0+c1x w+c2xw2
para0.5 <FZ<
l+ dlxw + d2xw2 + d3xw3
I
LN-t
... (6,15)
ik,
¡1i
-.i:
... (6.1e)
donde:
X=
donde:
... (6.18)
N.ut=l
ecuaciones:
c0+clxw+e2xw2
de momentos y
máxima verosimilitud
4. Cálculo de la inversa de la distribución normal
estándar
7¿/-
página (203)
5. Estimación de parámetros, métodos
b3 = 1.781477937 b4 = -1.821255978
b5 = t,330274429
En las aproximaciones (6.10) y (6.t2),
como:
t - F(z),
-
es el estimado de la media, llamado también parámetro
de posición
w=
w=
para 0
^(,ártJ ,*'
<FZ<0,5 ... (6.16)
§=
es el estimado insesgado de la desviación estándar o
parámetro de escala
6. Estimación
o's<FZ<t "'(6'17)
de parámetros, método de los momentos
lineales
c0= 2.515517: c1 = 0.802853: c2 = 0.010328
Los parámetros de la distribución normal, estimados por el método
d3 = 0.001308
normal estándar
de
la
distibución
acumulada
FZ = fu¡cién
Z = ordenada inversa de la distribución normal estándar
de momentos lineales son:
dl= 1,432788: d2 = 0,189269:
X=lt=lt
,.. (2.20)
s = J-Ir2,
,.. (2.21)
Distribuciones teóricas
-
página (204)
-
Hidrología Estadística
donde:
página (205)
Ejemplo 6.1:
= primer momento lineal que se calcula con la ecuación
(3.51)
trz = segundo momento lineal que se calcula con la ecuación
(3.s2)
,1,,
7. Aplicaciones
Dada la serie histórica de caudales medios anuales, en m3ls, que
corresponde a un registro de 50 años para el río Santa (Perú):
95.05 98.13
105.21 105.81
108.75 110.77
123.00 123.22
132.49 134.10
146.08 153.64
158.48 162.29
177.00 182.53
193.78 193.88
212.48 217.52
en hidrología
La distribución normal tiene gran utilidad en hidrología,
siendo
alguna¡ de sus principales aplicaciones:
. En el
de
distri6uciones empíricas de variables
hidrológicas de intervalos de tiempo grandes, tales como
variables medias anuales, mensuales, estacionales, etc., que
.
ajuste
pueden ser caudales, precipitación, entre otros.
Análisis de los effores aleatorios en las observaciones
o
mediciones hidrológicas.
¡
.
,
l.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Para hacer procesos de inferencia estadística.
Para generación de datos por el método de Monte Carlos. Fl
inconveniente en la generación de datos, es que se obtienen
valores negativos, lo cual físicamente no es justificado.
114.3',1
124.31
136.22
153.97
164.35
183.1
1
197.58
239.07
101
Ajuste a la distribución normal:
1.1. Cálculo de los parámetros:
.N
8. Ajuste
O=
El ajuste puede realizarse
gráfrcamente utilizando papel
analíticamente, mediante los estadísticos
probabilístico normal ó
Chi-cuadrado ó Smirnov-Kolmogorov.
101 .76
distribución normal, calcular:
P (0 < 180 rn3ls)
P (Q > lOO m3/s)
P(50m3/s <Q< 200m3/s)
El período de retorno para un caudal de 2IO m3ls.
El caudal para un período de retorno de 50 años.
a una
Solución:
1.
.66
107.43 107.62
1 16.69 1 19.52
127.82 128.15
144.22 145.79
154.80 156.80
169.18 169.64
183.49 184.98
207.78 208.18
256.62 266.54
Averiguar si se ajustan a una distribución normal.
2. Si se ajusta
Como referencia para -comparar varias distribuciones teóricas de
ajuste en una distribución empírica.
100.18
106.40
§=
:-l,a¡
N
-:
t=I
=t52.2476m3h
2@,-o)'
a
Distribuciones teóricas
S
-
página (206)
-
Hidrología Estadística
= 43.6124
Z= -L1980 = -1.2O
F(Q = 100) = F(Z=
1.2. Ajuste
a) Utilizando la aplicación HidroEsta, se tiene:
página (207)
-1.20) = 1 - 0.8849 (tabla 4.2)
Sustituyendo en (6.22), se tiene:
> 100) = 1 - (1 - 0.8849)
P(Q
a = max lr«xl - P(x) | = 0.1019
Lo=0.1923, paraa =0.05
>
b) Criterio de.decisión:
Como:
A =0.1019 < Ao =0.1923
se concluye, que los datos se ajustan a la distribución
normal, con un nivel de significación del 0.05, o una
probabilidad del95Vo.
Cálculo de probabilidades:
2,1. Cálctlo de:
100) = 0.884
Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones/lr{ormal
de HidroEsta, se obtienen los resultados que se muestra en la figura
6.4; enesta figura, se observa que P (0 < 180 -3is) =73.77 7o y la
P(Q
¡
>
100
mr/s) = 88.45
7o
- Caudal de diseño:
Caudal de diseño:
caudal
(Q); [i --oE-¡1p*r
P(Q<180)=F(0=.180)
Cálculo de Z, para O = I80:
-
u-
Q-O
180
s
-
152.2476
i
43.6124
t
Z = 0.6363
F (Q = 180) = F(Z = 0.6363) = 0.7377 (valor interpolado)
.'.
P(Q
<
180) = 0.7377 =73.77
2.2. Cálctlo de P (O >
Cálculo deZpara 0= 100
100 - t52.2476
L--
43.6124
2.3. P(50
Vo
< Q < 200) = F (200) - F(sO)
Si 0=
100 m3/s)
P(Q>100)=t-P(Q<100)
= I - F(Q = 100)
Figura 6.4 Probabilidades de ocurrencia de caudales
... (6.22)
2oO
= ,=2001246
43.6724
SiQ=59 = /,-
50 -152.2476
43.6124
=1.0949=1.095
= -2.3445 = -2.345
F(Q= 200) = F(Z= 1.095) =0.8632 (valor interpolado)
Distribuciones teóricas
l-
F(Q=50) = F(Z= -2.345) =
interpolado)
-
página (208)
Hidrología Estadística
0.9905 = 0.0095 (valor
F(Q = 210) = F(Z = L32) = 0.9066
1
.'.@
1- 0.9066
De igual manera en la figura 6.5, se observan los resultados con
HidroEsta para: P (Q < 50 -3/s) = 0.95 Vo y P(Q < 200 -3ls) =
86.327o,por lo queP (50 < Q < 200) = 86.32-0.95 =85.37 %o
Cauy'al de diseño:
CaudalfQJ:
-- -- -- I
IEE--mg/s
--
Caudal de diseño:
Esto significa que cada 10 años el caudal de2l0 m3ls será igualado
o excedido.
2.5 Caudal
I
para un período de retorno de 50 años
De la ecuación (1.8), se tiene:
q)=t-
!
p(o<q)= r -
+
P(O<
P(a<q)=
Figura 6.5 Probabilidades de ocurrencia de caudales menores que 50
y 200 m3/s
2.4 Período
r- p(O<2to)
T
o.es
Si F(4 = 0.98
pero: Z
de retorno para un caudal de 210 m3/s:
- F(z)
=
Z = 2.055 (valor interpolado)
+ e= e+
=9+
s
S
Z
Q= 152.2476 + 43.6L24x2.055
De la ecuación (1.9), se tiene:
l-
página (209)
sustituyendo en (6.23), se tiene:
Luego:
F(200) - F(50) =0.8632 - 0.0095 = 0.8537
-
-
... (6.23)
Q=24L
87 m3/s
un período de retorno de 50 años es 241.87 m
pero:
P(Q<210)=F(Q=2r0)
si e=2t0 + z-210-152'2476
43.6124
=1.3242=1.32
En la figura 6.6, se observa que el período de retorno obtenido con
HidroEsta, para un caudal de 2lO *3/s,
10.8 años; mientras que el
caudal para un período de retorno de 50 ".
años, es 241.84 m3/s.
r
Distribuciones teóricas
-
página (210)
Hidrología Estadística
-
página
(2ll)
La variable aleatoria: Y = lnX, es normalmente distribuida
media tt y y varran u o2
,
con
Se usan estos parámetros para especificar que la distribución es
logarítmica, puesto que también puede usarse la media y la vananza
de X.
Figura 6,6 Caudales y períodos de retorno
6.3 Distribución log-normal
1.
Función densidad
Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución 1ognormal de 2 paúmetros, si su función de densidad de probabilidad,
ES:
Las distribuciones logarítmicas más conocidas en hidrología son la
log-normal, log-Pearson tipo III y log-Gumbel. Por ejemplo, si la
variable aleatoria X, tiene una distribución log-normal, esto significa
que I = lnX, tiene una distribución normal. Análogamente, si X es
una variable aleatoria log-Pearson tipo III, f - lnX, es una variable
aleatoria Pearson tipo III. También, si la variable aleatoria X, tiene
una distribución log-Gumbel, Y = lnX, es una variable aleatoria
Gumbel. Es posible una generalización, en el caso que se introduzca
un límite inferior .16, on cuyo caso el lnX, anteriores, es sustituido
por ln(X - xs).
En este capítulo, se estudian las distribuciones log-normal. Hay una
distribución log-normal de 2 parámetros y otra de 3 parámetros, en
la de 3 parámetros, el tercer parámetro es el límite inferior xe,
denominado parámetro de posición.
Distribución log-normal de 2 parámetros
La variable aleatoria X, es positiva y el límite inferior.ro no aparece.
... (6.24)
v
para0<r<
x -tog *(u
oo
,,o'r)
Donde Fy, o y, son la media y desviación estándar de los logaritmos
naturales de x, es decir de lnx, y representan respectivamente, el
parámetro de escala y el parámetro de forma de la distribución.
2. Función de distribución en términos de
!
= lnx
Puesto que:
!=lnx-
dy=
!¿,
x
-
dx
dy
=
x
también, por las distribuciones acumuladas, se tiene:
... (6.25)
r
Distribuciones teór{cas
-
página (212)
Hidrología Estadística
fly) dy =fix) dx
página (213)
3. Función de la distribución acumulada
ó
Í(y) =
-
fv)!
dy
...
(6.26)
La función de distribución acumulada de la distribución log-normal
de 2 parámeffos, es la integral de las ecuaciones (6.24) o (6.27), es
decir:
sustituyendo (6.24) y (6.25), en (6.26), resulta:
_1
f(y)= ,
!-,
2
/x"tZtto,
v
o también:
ó
v
finalmehte, reemplazando y = lnx, se tiene:
/,... (6.27)
v-u
"vv
v
lnx-u
yv
Entonces se obtiene, la
distrib ción normal estándar:
2
F(z)= L=|',
e 2
Jv2fI
dz
... (6.30)
z - N(o,t)
siertdo:
¡r, - parámetro de escala
o, = parámetro de forma
Nota. Para el cálculo de la distribución acumulada de la normal o la
log-normal, una vez conocido sus parámetros, hacer la transformación a la distribución normal estándar y usar las tablas o las
ecuaciones de aproximación, elaboradas para su cálculo.
r
Distribuciones teóricas
-
página (214)
Hidrología Estadística
4. Estimación de parámetros, método de momentos
utilizando el método de los momentos, las relaciones entre la media
y la varianza de la variable X y los parámetros Fy y o 2y , eue se
o2
lnx= 'v
U +- v
2
u+-1-
= Elx- n@)12
desviaciónestándar:
2
u =lni'v
... (6.31)
."'rl
=
"",
S=rF
tl
""3 -r)
-
Y
... (6.3s)
2
u =tnx- 2r-n(t+c2)
'v
\ ,/
u =ltri2
-!2lnft*c2')
'y
2
-rl"'
Cu
o2
sustituye (6.33) en (6.35), se tiene:
\
u =!(2[,n¡2 -n{ t* c2"/)')
'Y
\ '))
)
coeficiente de variación:
... (6.34)
Tomando logaritmos a (6.31), resulta:
o2
varianza: S2
página (215)
oY=./tr(t
v'
V +c2\
obtiene, son:
media: X=E(x)="'!
-
)r/2
1
... (6.36)
I
02
C2 =e
v
v_l
o2
L+C2 =e v
v
Luego, dado un conjunto de valores xb xz, x3, ...,.trn, con parámetros
Í,
... (6.32)
Tomando logaritmos a(6.32), se tiene:
tnfl' + c2l--o2
v' y
=n6+ c2)
y'v
o?'
'v',o!.v',de la distribución log-normal
,S, 52, Cy,los parámetros /r-.
de 2 parámetros, obtenidos por el método de/momentos, se calculan
con las ecuaciones (6.36) y (6.33), respectivamente.
También se obtiene del método de momentos, la siguiente ecuación:
... (6.33)
r
Distribuciones teóricas
-
página (216)
Hidrología Estadística
I
Fa
cr= 8= a,rj=
l-t2
-r]
e
págha (217)
Fy=I2,"',
... (6.39)
... (6.37)
=:7=F.,-ur)
o2
Para valores prácticos de o2,'.0.1
lineal y puede ser aproximada por:
-
... (6.40)
< o2, < 0.6, la relación es casi
6. Estimación de parámetros, método de momentos
lineales
Cs=8=0.52+4.85 o2t
que es correcta dentro del2Vo, en
... (6.38)
el rango mencionado.
Utilizando el método de momentos lineales, Fy
Recordar que para datos muestrales, de acuerdo a la ecuación (3.31),
se tiene:
t1
(--J -
n'M ,
@-D(ü-2)5',
o,
... (6.42)
= ^f-fÚ,
los y¡
n
y que de acuerdo a la ecuación (3.23), se tiene:
5. Estimación de parámetros, método de máximá
verosimilitud
Utilizando el método de máxima verosimilitud, los parámetros ¡r,, y
o2y,
... (6.41)
Lr, tr, = primer y segundo momento lineal calculados con
_
\(x, x),
Mr=E
Hr=4,
donde:
siendo:
n
s€ obtienen, con las siguientes relaciones:
y o 2y , se obtienen,
con las siguientes relaciones:
-
ln-ri
Nota. Muchos registros hidrometeorológicos, tienen como valores
de sus variables un valor igual a 0 (ejemplo, sino llueve la
precipitación será 0). Al úilizar la distribución log-normal, cuando
se toma logaritmos a éstos valores, el resultado es "". para dar
solución a este problema, se pueden hacer cualquiera de los
siguientes artificios :
1.
2.
3.
4.
5.
Sumar 1 a todos los datos
Sumar un valor pequeño a todos los datos ( por ejemplo: 0.1,
0.01,0.001, etc.)
Sustituir los ceros por un I
Sustituir los ceros por un valor positivo pequeño
Ignorar todos los ceros del registro
r
Distribuciones teóricas
-
página (218)
Hidrología Estadística
Todas éstas soluciones, afectan los parámetros de Ia distribución
log-normal; la solución 1 y 2, afectan el valor de py, y 3, 4 y 5,
-
página (219)
h[,r -
*o)- u,
afectanaFyy ov.
En la figura 6.7, se presenta la función densidad de la distribución
log-normal de2.parátmetros, para varios valores de p" y o2.
f(x)= (x-x
... (6.43)
\o ^m
o'y
para .ro
r(x)
I x< ""
donde:
1.0
xol
parámetro de posición en el dominio x
Fy: parámetro de escala en el dominio x
o'y parámetro de forma en el dominio x
'
0.8
0.5
o.4
o.:2
2. Estimación de parámetros, método de momentos
0
0
1
3 4
2
5
6
7
x
Figura 6.7 Distribución log-normal de 2 parámetros, con varios
valores de p" y o
Utilizando el método de los momentos, las relaciones entre la media,
sesgo, de la variable X y los
ry
parámetros *o, lty y o
, que se obtiene, son:
la vaianza y el coeficiente de
Distribución log-normal de 3 parámetros
Esta difiere de la distribución log-normal de 2 parámetros por la
introducción de un límite inferior x6, tal que:
y = ln(x - xo)
=
y
-
u *"32
nredia: X:E(x)=xo+e Y
N(¡lr, o2y)
L. Función üensidad
vaianza: 52 = E(x - E(r))f
La función de densidad de probabilidad, ds la distribución log-
coeficiente de sesgo:
normal de 3 parámetros, es:
... (6.44)
=
r'U,
* o?'
o2
v
-1
... (6.4s)
Distribuciones teóricas
- pág¡na (220)
Hidrología Estadística
página (221)
... (6.s3)
de (6.45):
1
02 ,o2
l-1 el+2
-
... (6.46)
u
'y
s2
02
v_
6
Cs=8=O.52+4.85 ozt
... (6.47)
de
(6.M):
u+Y
xo =X-e') 2
para datos muestrales el coeficiente de sesgo es:
¡,12 ¡rt
Cs=8=
(N
z
... (6.48)
- lXN -2)53
Luego, dado un conjunto de valores )ct, x2, 13, ...,Xn, con parámetros
donde:
X,
M3=
Z@¡-,o3
... (6.s4)
o2
,s,
§,
Cu, Cs los parámetros Xo, lt
y,o2
,de la distribución log-
... (6.49)
normal de 3 parámetros, obtenidos por el método de momentos, se
calculan con las ecuaciones (6.54), (6.53) y (6.52), respectivamente.
... (6.s0)
Nota limitante
De la ecuación (6.52), se observa que para que exista un valor real
deo
Cs debe ser mayor que 0.52, en caso contrario, su valor será
r,
vL¿l
!x.
N
imaginario.
... (6.s1)
3. Estimación de parámetros, método de máxima
luego:
de(6.47):
verosimilitud
oy=
...(6.s2)
Los parámetros de la distribución log-normal de 3
parrámetros,
estimados por el método de máxima verosimilitud son:
tty=*á-0,-ro)
... (6.5s)
lDistribuciones teóricas
-
página (222)
Hidrología Estadística
-
página (223)
= mediana de la serie de valores, cuyo valor se
calcula como:
si n = par
= xmediana = (xntz + x,,r*r) l2 ... (6.59)
si n = impar ) xn"d¡ona = x1n+t¡t2 ... (6.60)
rmediana
ov
=[*-tt''n
i -xor- rrr):
... (6.s6)
donde:
Fy = parámetro de escala, igual al promedio de los ln(x - xo)
o y = parámeffo de forma, igual a la desviación estándar de los
xo
-
ln(x - xc))
parámetro de posición
n = número de datos de la serie
Cuando xt + xn -2x*",tiono
y
oj
y
ol
0, xs representa el límite inferior
se estiman como la media
Cuando xt + xn
El parámetro de posición se calcula, mediante un proceso iterativo
como solución de la siguiente expresión resumida:
)
y vaianzade
- 2x^"d¡ono < 0 , xo representa
se estiman como la media
y¡ =
y ¡r,
tn(xi- xú.
el límite superior
y ¡r,
y varanza d. y, - ln(xo - x).
5. Función de distribución acumulada
La función de distribución
transformación,
La ecuación (6.57), solo es posible resolverla por un
proceso
ecuación:
_22
computacional, la aplicación HidroEsta, permite el cálculo de estos
parámetros por el método de máxima verosimilitud.
4. Estimación de parámetros, método simplificado
Una forma simple y eficiente de estimar el parámetro de posición xo
de la distribución log-normal, es mediante el estimado del cuantil
del límite inferior, con la siguiente ecuación:
... (6.58)
acumulada, se calcula haciendo la
siendo su
a una distribución normal estándar,
F(Z) =
leZ e2
"FzIrJ-I
dz
donde:
xO)- tty
z- ln(x- ay
y:
rl = primer valor de la serie ordenada ascendentemente
rn = último valor de la serie ordenada ascendentemente
... (6.62)
Fy, o y ¡.16 son los parámetros de la distribución log-normal
de 3 parámetros
y (6.62) ro = 0, las
ecuaciones obtenidas corresponden a la distribución log-normal de
dos parámetros.
Cabe mencionar que, si en las ecuaciones (6.43)
donde:
... (6,61)
r
Distribuciones teóricas
-
página (224)
Hidrología Estadística
Dada la serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, qre
corresponde a un registro de 50 años para el río Santa (Perú):
98.13
105.21 105.81
108.75 110.77
123.00 123.22
132.49 134.10
146.08 153.64
158.48 162.29
177.00 182.53
193.78 193.88
212.48 217.52
1.
100.18
106.40
10r .66
101 .76
107.43
114.31
124.31
1
107.62
119.52
128.15
145.79
156.80
169.64
184.98
208.18
266.54
136.22
153.97
164.35
183.1
1
197.58
239.07
16.69
127.82
144.22
154.80
169.18
183.49
207.78
256.62
Averiguar si se ajustan a una distribución log-normal de dos
F(Q=q)=P(Q3q)=r-;
F(Q=q)=1-
Si el ajuste es bueno, calcular
retorno de 75 años.
!
75
F(Q=d=0.986666=F(4
De la tabla A.2 del apéndice, para
interpolación:
Z= 2.215
F(D
0.9866666, se obüene por
Pero para una distribución log-normal de 2 parámetros, la variable
estandarizada es:
v lnQ- uy
parámetros
2.
página (225)
2. Cálculo del caudal para un período de retorno de 75 años:
De la ecuación (1.8), se tiene:
Ejemplo 6.2:
95.05
-
oy
el caudal para un período de
Solución:
I. Ajuste a la distribución log-normal de dos parámetros:
Utilizando la aplicación HidroEsta, se encuentra que los datos, se
ajustan a la distribución lóg-normal de 2 parámetros, con un nivel de
significación del 5 Vo, o lur7z, probabilidad del95 7o.
Un resumen de los resultados obtenidos con el programa, son:
A = 0.0791
Ao = 0.1923 ,paraun nivel de significacióndel5 7o
Como: A= 0.0791 < Ao = 0.1923, se concluye que los datos se
ajustan a la distribución log-normal de 2 parámetros, con un nivel de
significación del5 Vo.
... (6.63)
HidroEsta, permite calcular también los parámetros lry y o y,por el
método de máxima verosimilitud, siendo los valores obtenidos para
este caso:
ItY =
o
4'9872
Y =0'277
Sustituyendo valores en la ecuación (6.63), se tiene:
lnQ-4.9872
o.277
=2.215
de donde:
lnQ
-
0.277 x2.215 + 4.9872
lnQ=J.666755
luego:
r
Distribuciones teóricas
-
página (226)
Hidrología Estadística
Q = e5.600155
=270.63
f(x)=
El cqq4al para un período de retorno de 75 años, es:
e=W: thrrc'
Utilizando la opción Distribuciones/l.ogNormnl 2 parámetros
para:
0
de
HidroEsta, se obtienen los resultados de la figura 6.8, se observa que
el caudal para un período de retorno de 75 años, es 270.16 m3ls.
siendo:
(
xy-le
-
página (227)
x
p
... (6.64)
PY r(y)
X< ""
0< 1z < ""
0<B< ""
By
f(f ) =
r(r)=
parámetro de forma (+)
parámetro de escala (+)
función gaÍrma completa, definida como:
t- xT-le-xd:c que converge si y > 0
La función garnma tiene las siguientes propiedades:
I
Figura 6.8 Caudal para un período de retorno de 75 años
6.4 Distribución gamma
Otra distribución que juega un papel importante en Hidrología es la
distribución Gamma. Su aplicación es tan común, como el uso de la
distribución log-normal.
Distribución gamma de dos parámetros
1. Función densidad
Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución gamma
de 2 pañmetros si su función densidad de probabilidad es:
¡
¡
T
I
r(r) =e-t)l
r(y+t)= yxt(y)
f (l)= f(2)=l
f (ltz) = "tfr
f (0) = ""
Si 1, > 0 pero no entero,
paray =1,2,3,...
paruy >0
l(y)
puede ser calculado por expansión de
series e integración numérica por:
f(/)
= TT
e-T
Para más detallss sobre las propiedades de la función gamma
completa, su forma de cálculo y la transformada de Laplace, se
puede consultar en el anexo A.
r
Distribuciones teóricas
-
página (228)
Hidrología Estadística
2. Función acumulada
es
acumulada,
de la función
-lr- I
f
:
*T -1, B
pY
re)
='nT ,(r)
(6.6e)
y la función de distribución acumulada a:
úc
... (6.6s)
La integral de la ecuación (6.65) puede evaluarse para valores dados
de B y y, usando la tabla A.7 del apéndice, en la cual se ha tabulado
Ia función garnma incompleta. En esta tabla, se ingresa con los
a
de 7'(Chi-caadrado) y v
(grados de libertad), y se
determina los valores de la probabilidad de excedencia | - F(x),
valores
8U)
gamma
x
F(x) =
página (229)
la cual reduce la función de densidad de probabilidad a:
La función de distribución
incompleta de 2 parámetros
-
siendo:
G(y)=lJ
v-l
-v
,_OO'
d,
... (6.70)
Las funciones reducidas contienen el parámetroy , por lo cual, cada
valor positivo de y, determina una función diferente. Un extracto
de las tablas de Wik, Gnanadesikan Huyett (1962), para las variables
aleatorias reducida Gamma, se muestra en la tabla 6.1.
La solución de la integral de la función gamma reducida de la
ecuación (6.70), se puede obtener por el desarrollo de la serie:
)2x Y
,'=
p
Si
y
v=27
... (6.66)
v+n-l
v'
y(y +t)...(y +
es entero, la función de distribución gamma acumulada, según
Mood et al (1974), puede calcularse por:
G(y)=#,2,
yy
k
n-r)
... (6.71)
+i-l
... (6.72)
rI (y + j-l)
j=l
La variable aleatoria reducida garnma de 2 parámetros,
está
por:
'p
v-
x
... (6.68)
En la ecuación (6.71) o (6.72), con un par de valores de
determina G(y), siendo:
x
"p
\7=-
y, f , se
r
Distribuciones teóricas
-
Hidrología Estadística
pígina (230)
f(x)
Tabla 6.1. Función acumulada de variables aleatorias reducidas
Gamma, G§), en función deyy T
G(v)
T =10
v =5
0.10s
0.532
2.433
6.221
14.s3
o.223
o.824
7.289
0.357
1.097
3.090
3.634
16.17
17.44
0.511
1.376
4.148
0.s0
0.693
0.916
1.678
4.671
5.237
5.890
= TT
1.204
1.609
2.303
e-T
2.022
2.439
2.994
6.721
3,890
7.994
2.996
4.744
4.605
6.638
9.154
11.605
2TT
v
l+-+11
t2y
8.133
8.904
9.669
10.476
11.387
12.519
14.206
15.705
18.783
1.0
0.8
0,02
18.57
19.67
0.01
20.81
0
22.08
23.63
25.90
27.88
31.85
0,6
t).4
0.2
0
204060x
204060x
función acumulada
función densidad
Figura 6.9 Función densidad y función acumulada de la
distribución gaÍrma de dos parámetros
t39
288y2
5t84}y3
aplicación HidroEsta, permite calcular la función gaÍrma
acumulada F(x) = G§), utilizando la transformación a la variable
La
reducida y.
3. Estimación de parámetros, método de momentos
Utilizando el método de los.momentos, las relaciones entre la media
X,lavaianza 52 y el coeficiente de sesgo Cs, de la variable X, y
los parámetros B y y de la distribución gamma, que se obtiene,
son:
de la función densidad y la función de
distribución acumulada, pata una variable aleatoria X, que sigue una
distribución gamma, con y - 5 y B = 5.63, se muestra en la figura
media:
X =E(x)-
yarianza:
Sz
6.9.
coeficiente de sesgo: Cs = g =
La representación
página (231)
r(x )
0.03
T =2O
0.10
0.20
0.30
0.40
0.60
o.70
0.80
0.90
0.95
0,99
f(/)
v =2
v =1
-
gráÉrca
... (6.73)
By
... (6.74)
= [327
2
I
y2
De las ecuaciones (6.73) y (6.74), se tiene:
... (6.7s)
r
Distribuciones teóricas
-
X')
4'
t.l -
Hidrología Estadística
página (232)
S.
De las ecuaciones (6.73) y (6.76), se tiene:
'
a
P
... (6.76)
o2
B=!
,X
... (6.77)
4. Estimación
de parámetros, método de máxima
-
págha (233)
_x
-
... (6.81)
v
Greenwood y Durand (1960), establecieron que el máximo error de
la ecuación (6.69) es de 0.00887o y en la ecuación (6.79) es
0.005470,
5. Estimación de parámetros, método de rnomentos
lineales
verosimilitud
Los 2 parámetros de la distribución gatnma, por el método de los
Thom (1958), estableció que para y < I0, el método de momentos
produce una estimación inaceptable de los parámetros B y y. Thom
manifiesta qrle para y cerca de 1, el método de momentos usa
solamente el 507o, de la información de la muestra paru estimar B, y
solamente el 40Vo para estiqar 7 .
Greenwood y Durand (1960), presentan las siguientes relaciones
aproximadas, de estimación de parámetros por el método de máxima
verosimilitud:
para:0<y<0.5772
y
y
0.5172
v-
y
(17
.7
97 28
siendo:
cvl
tl(b|+b2xtl)
v- l+ tl(b3 + b4xtl)
... (6.82
Si cvl < 0.5 + tl = flcvlz
.
l+ alxtl)
T= tl(l+ tl(aZ+ a3xtl))
... (6.83)
+ 11.968477 y +
... (6.84)
a1 = -0.308: a2 = -0.05812: a3 = 0.01765
y')
bl =0.7213:b2 = -0.5947: b3 = -2.1817:b4 = 1.2113
hr, 7, - primer y segundo momento lineal
... (6.79)
B
donde:
.I=lnX-lnX
á tl=l-
... (6.78)
<y < 17.0
8.8989 I 9 + 9.05995y + 0.97 7 531 3>P
y
Si cyl > 0.5
donde:
= (0.5000876 + 0.1648852y - 0.O544274y') I
parai
momentos lineales se encuentras con las siguientes ecuaciones:
... (6.80)
=7'
v
... (6.8s)
r
Distribuciones teóricas
-
página (234)
Hidrología Estadística
Distribución gamma de 3 parámetros o Pearson tipo
B
UI
y
págira (235)
-
parámetro de escala
= parámetro de forma
f (f ) = función gamma
cornpleta
La integral de la ecuación (6.87) puede evaluarse para valores dados
de B y y, usando la tabla A.1 del apéndice, en la cual se ha tabulado
1. Función densidad
Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución garnma
de 3 parámetros o distribución Pearson tipo III, si su función de
densidad de probabilidad es:
-
f(x)=
-
(r-ro
(, - ro )Y-r,
)
la función gamma incompleta. En esta tabla, se ingresa con los
valores de y2lcti-"uadrado) y v (grados de libertad), y se
determina los valores de la probabilidad de excedencia I - F(x),
siendo:
P
x'=
... (6.86)
aY r(y»
y
pata':
16 S x< "o
-oo (fO ( 6
2(x-
xn)
... (6.88)
v=2y
... (6.8e)
La representación gráfica de la función densidad y de la función de
distribución acumulada, pararo = 10, B = 5 y T = 3, se muestra en
Ia figura 6.10.
f(x)
0<B< ""
0< 1, < o"
2. Función acumulada
r(x)
1.0
La función de distribución acumulada de la distribución gamma de 3
parámetros es:
0,8
0,6
0.02
o.4
F@)=
lx
txO
(*
- *o)Y-r,
§Y r(y¡
dx
0,01
o.2
... (6.87)
0
0
10 20 30
en la cual:
x = variable aleatoria garnma de 3 parámetros o pearson tipo
u
ro = origen
de la variable x, parámetro de posición
40 50
función densidad
1020 3040 50
x
función acumulada
Figura 6.10 Función densidad y función acumulada de la
distribución gamma de 3 parámetros
Distibuciones teóricas
-
Hidrología Estadística
página (236)
La variable reducida y gamma de 3 parámetros o Pearson tipo III, es:
y=4
'p
+*
Cs--8=
N2twz
(N-lXN -2)53
donde:
La función acumulada Pearson tipo III reducida es:
c(y)=fJ
página (237)
Para el cálculo de Cs, para datos muestrales, usar la ecuación:
... (6.90)
v-l -v
-
M3=
...(6.er)
la cual tiene como parátmetroy, y cuya variable aleatoria tienen
origenony=Oóx=xo,
Z@¡-x)3
N
2@,-x)'
La ecuación (6.91), como es similar que la ecuación (6.70), se
calcula de la misma forma.
u
A
3. Estimación de parámetros, método de momentos
Aplicando el método de momentos, se obtienen las siguientes
relaciones:
... (6.e2)
X =xo+By
media:
vaianza;
sesgo:
Sz
Cs
= [JzT
=8
=+
-t^
N
(
0, de la ecuación (6.96), B sería negativo,
por 1o que no cumple con la condición que B>0.
Nota limitante: Si Cs
... (6.e3)
4. Estimación de parámetros, método de momentos
lineales
... (6.e4)
Los 3 parámetros de la distribución gaÍtma, por el método de los
momentos lineales se encuentras con las siguientes ecuaciones:
1v
Resolviendo las ecuaciones (6.92), (6.93)
4
-2
--
§r.
,) I
y
(6.94), se obtiene:
... (6.es)
Cr"
Si
I
13
2 l, entonces rl = l-r3
3
Y=
B=CsSl2
... (6.e6)
xo =V-T
Cs
... (6.e7)
tl(bl+ tl(b2+ b3xtr))
l+ tl(b4 + tl(b5 + b6xtl)
... (6.e8)
r
Distribuciones teórichs
Si
13
<
1.
entonces
3
normal.
Ejemplo 6.3:
1"
"
A2
al = 0.2906: a2 = 0.1882: a3 = 0.0442
bl = 0.36067:b2= -0.59567: b3 = 0.25361
b4 = -2.78861: b5 = 2.56096: b6 = -0.77045
12, 13 = segundo y tercer momento lineal
Para proteger de inundaciones a la población de la ribera del río
Turrialba, se desea construir muros de encauzamiento. Para esto, se
cuenta con un registro de 25 años de caudales máximos e, m3/s, d"
una estación aguas arclba de la población, los mismos que se
muestran en la tabla 6.2.
Determinar el caudal de diseño para un período de retorno de 50
años. Usar la distribución gamma de 2 parámetros.
Tabla 6.2 Registro de caudales del río Turrialba, e, *3/s
... (6.100)
53.50
165.60
250.50
234.00
65.40
... (6.r01)
5. Aplicaciones
en hidrología
Su uso en hidrología está casi tan difundido, como el uso de la
distribución log-normal de 3 parárrrctros, con la desventaja, que
tiene mayor complicación al estimar sus parámetros y calcular los
valores de la función de distribución acumulada.
La práctica ha demostrado que los resultados entre la distribución
log-normal y la distribución Pearson tipo III, para el ajuste de series
de precipitaciones anuales, rnódulos anuales, precipitaciones
mensuales, etc. no difieren.
página (239)
... (6.ee)
=lrrl
0l -
-
Las razones que convalidan la utilización de ésta distribución de
probabilidad, son las mismas que lo hacen en la distribución log-
donde:
B
Hidrología Estadística
página (238)
r1= 3f7t32
L+ alxtl
t1(1+t1(a2+ a3xtl)
f-
-
64.00
155.80
120.50
189.00
123.00
169.60
199.00
250.50
196.00
1 19.00
162.70
22.80
231.70
96.90
200.00
102.10
76.00
207.00
91.60
380.00
Solución:
1. Ajuste de los datos de la serie a la distribución gamma de dos
parámetros
1.1 Cálculo de parámetros
,
Calculo de los parámetros de la serie de caudales:
Para los datos indicados, utilizando la opción Parámetros
Estadísticos/Datos no agrupados de HidroEsta, se obtienen los
resultados que se muestran en la figura 6.1
1.
Distribuciones teóricas
-
página (240)
Hidrología Estadística
a
: Media:
1
I Varianza:
80.31 32
(Ul)
= máx lnt*) -P(x) | = 0.1046
y para a
Coeficiente Variación:
0.5114
Coeficiente de Sesgo;
0.656S
Coeficiente de Curtosis:
4.'1808
2. Cálculo del caudal de diseño, paraT = 50 años
Además del cálculo me la media de los logaritmos de los caudales se
tiene:
ln X = 4.9037
.
11
F(O=a)=1- r-1-
750
'
=0.98
F(Q= q) = F(x) = 0,98
L-F(x)=1-0.98=O.02
De la ecuación (6.66):
Cálculo de los parámetros de la distribución gamma
Utilizando la ecuación (6.80), se tiene:
= h 157.0480 - 4.9037 = 0.15285
1, = ln X -Ñ
se utiliza para el cálculo dey
= 0.05 y n=25, se tine: Lo=0.2720
Puesto que: A = 0.1046 < A o = 0.2720, se concluye que los datos
se ajustan a la distribución gammade2 parámetros.
Figura 6.11 Parámetros de la serie de caudales
v
=2y =2x3.4280
v =6.856=7
,la
ecuación (6.78), es decir:
= (0.500087 + 0.1648852y - 0.o5aa27af) I y
y
de donde:
Y
página
57.0480
6450.21 09
Desviación Estándar:
como: y = 015285 < 0.5772,
-
=3'4283
De la ecuación (6.81), se tiene:
F=L
De la tabla A.7 del apéndice:
pafa
v ='7 ;y L - F(x) = 0.02092 ,
se
obtiene: 12 = 16.5
Pero de la ecuación (6.66):
^.2 -2x
-2q ^ --§X2
n
- P-v"2
v
'0480 45.8091
=
'B -157
3.4283
,2
45.8091x 16.5
q=377.93 m3h
7.2 Cálc;¡lo de los estadíasticos A y Ao
De la prueba de Smirnov-Kolmogorov, con HidroEsta, se obtiene:
.'. El caudal
Q
de diseño, para un período de retorno de 50 años es:
= 377.96 m3h
r
Distribuciones teóricas
-
Hidrología Estadística
página (242)
Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones
/Gamma 2 parámetros de HidroEsta, se obtienen.los resultados que
se muestran en la figura 6.12. En la figura se observa que el caudal
-
página (243)
donde:
xo= parámetro de posición
- parámetro de escala
y - parámetro de forma
B
para un período de retorno de 50 años, es 375.45 m3ts.
2. Proceso de cálculo
Para el cálculo de los parámetros de la serie de datos:
XL, X2, f3, ..., .ÍN
se convierte a sus logaritmos, luego se calcula la media, desviación
estándar y coeficiente de sesgo, con las siguientes ecuaciones:
Xlnx
media:
Figura 6.12 Catdal para un período de retorno de 50 años
6.5 Distribución log-p.urson tipo
1..
desviación estándar:
III
S.=
lnx
Función densidad
sesgo:
Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución logPearson tipo III, si su función de densidad de probabilidad es:
lnx-xO
f(x)
=
(tnx- *o)T-1,
*AY
para:
xg I x(
-oo (fO
oo
( @
0<B< ""
o< y < -
r(y)
¡1
-Sln¡
! ln,
... (6.103)
»(r, *-Xn*)z
N-1
N)(rr r-Vn*P
... (6.104)
... (6.105)
(N-lXN-Z)Sr3n,
3. Estimación de parámetros, método de momentos
P
... (6.102)
Aplicando el método de momentos, se obtienen las siguientes
relaciones:
media:
Xlnx=xo+'[37
... (6.106)
vaianza:
t?n*= P'Y
... (6.107)
sesgol
/1
-Slnx
2
T
... (6.108)
Distribuciones teóricas
-
Hidrología Estadística
págtrrl (244)
página (245)
bl = 0.36067:b2 = -0.59567: b3 = 0.25361
b4 = -2.18861: b5 =2.56096:b6 = -0.77045
h» L, = segundo y tercer momento lineal
Resolviendo las ecuaciones (6.106), (6,107) y (6.108), se.obtiener
4
... (6.10e)
'n2
ln,
t sln,
c^s
p= ln,
-
",s
... (6.tt4)
... (6.110)
25.
*o=7lr- -.-
... (6.l l
",S ln x
Nota: para calcular los momentos lineales 12, 13, trabajar con los
4. Estimación de parámetros, método de momentos
lineales
Los 3 parámetros de la distribución log-Pearson tipo III, por el
método de los momentos lineales se encuentras con las siguientes
ecuacionesl
Si
13
2
l.
3'
entonces
.,. (6.1ls)
r)
y¡= lnxi
5. Función acumulada
La función de distribución acumulada de la distribución log-Pearson
tipo III, es:
lnx-
/l = l-r3
tl(bl+tl(b2+b3xtl))
I - l+t1(b4+tl(bs+b6xü
... (6.t12)
F@) =
I:^0
(tnx- *o)T -r,
*§T
xO
P
ru)
dx
... (6.116)
en la cual:
Si
13
<
l.
3'
erton""s fl = 3Í1t32
l+ aLxtl
v- tl(I+tl(a2+ a3xtl)
donde:
y y,
usando la tabla A.7 del apéndice, en la cual se ha
tabulado la función gamma incompleta. En esta tabla, se ingresa
1"
con los valores
A2
al = 0.2906;
La integral de la ecuación (6.116) puede evaluarse para valores
dados de B
B =lt3l
nJ
9^
JA -
... (6.r13)
xo = parámetro de posición
B - parámetro de escala
y - parámetro de forma
a2 = 0.1882: a3 = 0.0442
d" X,2(Chi-cuadrado) y v
(grados de libertad), y se
r
Distribuciones teóricas
-
Hidrología Estadística
página (246)
determina los valores de la probabilidad de excedencia
siendo:
-, _z(lnxtup
y
*o)
...
563
824
557
I - F(x),
520
824
página (247)
367
522
360
1230
1 030
818
-
658
581
418
(6.r17)
Solución:
v=27
... (6.118)
1. Cálculo de parámetros
La variable reducida y log-Pearson tipo III, es:
Tomando logaritmos neperianos
_._lnx-xo
tp
... (6.119)
Siendo la función acumulada log-pearson tipo
_ y-l -Y
c(y)=fi
! L-
III reducida:
a,
... (6.120)
la cual tiene como parámetroy, y cuya variable aleatoria tienen
origenery=Oóx=xo.
La ecuación (6.120), como es similar que la ecuación (6.61),
a los datos del problema,
obtienen los datos de la tabla 6.4.
Tabla 6.4 Ln de los caudales máximos, de la estación Angostura
7.414573
6.426488
6.775366
6.333280
6.714171
6,322s65
6.821107
6.526495
6,606650
6.253829
6.71417',t
6.706862
7.114769
7.251345
6.658011
6,413459
5.905362
6.257668
6.937314
6.035481
8.242756
6.839476
7.021084
5.886104
7.731931
6.825460
7 .047517
6,489205
6.364751
calcula de la misma forma.
Los parámetros estadísticos de los LnQ, se obtienen con HidroEsta,
utilizando la opción Parámetros Estadísticos/Datos no agrupados,
los mismos que se muestran en la figura 6.13
Ejemplo 6.4:
se tiene el registro de caudales máximos de 29 años, para la estación
9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.3.
En este río se desea construir una presa de armacenamiento, calcular
el caudal de diseño para el vertedor de demasías, con un período de
retorno de 50 años. Usar la distribución log-pearson tipo III.
Tabla 6.3 Caudales máximos, en m3/s, de la estación Angostura
1
660
618
876
917
683
3800
934
740
1120
1410
779
610
ParÉmetros
,Yh x
.S.
lnx
c-slo
,
Muestrales
Media:
8.7116
Varianza:
0.2688
Desviación Estándar:
0.5184
Coef iciente Variación:
0.0772
Coeficiente de Sesgo:
0.9629
Coeficiente de f,urtosis:
4.8883
2280
921
1
150
Figura 6.13Parámetros estadísticos delos LnQ
r
Distribuciones teóricas
-
página (248)
De la ecuación (6.109), se tiene:
Hidrología Estadística
F(e=d=t- '=l-1
i=
página(249)
=0.98
F(Q=d=F(x)=0.98
| - F(x) = 1- 0.98 =0.02
v- 0.96292 = 43142
De la ecuación (6.118):
v=2y =2x4.3142
De la ecuación (6.110), se tiene:
sln, x sln,
o
v
-C
. 0.9629¡0.5§a
u=-z
50
-
=8.6284=9
De la tabla
A.l
del apéndice:
=0.2496
parav =9,y | - F(x)=0.02126,
De la ecuación (6.11 1), se tiene:
obtienei )(2 = 19.5
Pero de la ecuación (6.117), se tiene:
25.
lnx
*o=*lnx c,sl*
xo =6.6116-219é184
0.9629
se
_, _ 2(lnx- ro) _ z(lnq
'L= 5.6349
p
-
xo)
p
Despejando q, se tiene:
tnq-É{-**o
,2
2. Prueba de bondad de ajuste
De la prueba de bondad de ajuste realizado con HidroEsta, se tiene:
A=0.06045y40=0.2525
(
Puesto que A = 0.06045 A6 = 0.2525, se concluye que los datos de
lops caudales, se ajustan a la distribución log-Pearson tipo III.
3. Cálculo del caudal de diseño para T = 50 años
0x)(' *ro
q=e 2
Sustituyendo valores, resulta:
0.2496x19.5
Q=e
q=
2
+5.6349
3192.3098 m3ls
.'. El caudal de diseño, p¿ra un período
Q=3192.3098 mr/s
de retorno de 50 años es:
r
Distribuciones teóricas
-
página (250)
Para los datos indicados, utilizando
la
Hidrología Estadística
opción Distribuciones
/LogPearson tipo III de HidroUsta, se obtienen los resultados que se
muestran en la ñgura 6.14. En la f,rgura se observa que el caudal
para un período de retorno de 50 años, es 3042.02 m3ls.
-
página (251)
F(x) = EXP(-EXP(-(x - r¿) /cr))
... (6.121)
6
G-p)
a
F(x) = ¿-e
pafa: -oo <I < oo
... (6.122)
donde:
0<o<-
tE(u¡ttuttt.
Probabilidad[PJ:l Z
, es el parámetro de escala
, es el parámetro de posición, llamado también
-oo<lr<oo
i
valor central o moda
2. Función densidad
Figura 6.14 Caudal para un período de retorno de 50 años
Nota: Observar que hay upa ligera diferencia entre los resultados
obtenidos, con el proceso manual y computacional, eso se debe que
en el proceso manual, se usa la tabla A.l y su cálculo, por la
interpolación que se tiene que realizar, es en forma aproximada,
mientras que en el proceso computacional, se calcuian los valores
por desamollo de series, por lo que son más aproximados, además
Derivando la función de distribución acumulada, ecuación (6.121),
con respecto a x, se obtiene la función densidad de probabilidad, es
decir:
f(x)=
dF(x)
dx
r(x)=*^\* ,.\t d-)
o;)
que éste proceso usa todos los decimales en los cálculos.
x-p
6.6 Distribución Gumbel
La distribución Gumbel, es una de las distribuciones de valor
extremo, es llamada también Valor Extremo Tipo I, Fisher-Tippett
tipo I ó distribución doble exponencial.
1. Función acumulada
La función de distribución acumulada de la distribución Gumbel,
tiene la forma:
, -*-F -e
d,
'"
f(x)= d,
a
... (6.124)
para:
-oo
<.f < oo
La variable aleatoria reducida Gumbel, se define como:
v
---- x-p
d
...
(6.r2s)
I
Distribuciones teóricas
-
página (252)
Hidrología Estadística
con lo cual, la función densidad reducida Gumbel es:
sO) =EXP(-y-ExP(-y))
- e Y-e
Y
... (6.126)
. Yarianza:
El@ - E(fl)21= 52
-
página (253)
ilZa2
... (6.130)
6
tle donde se obtiene:
t>
y la función acumulada reducida Gumbel, es:
= ,-
G0) =EXP(-EXP(-y))
u-
!
... (6.127)
Los valores correspondientes x ey, estánrelacionados por:
X-0.57721566490153286061 a. =
ecuaciones (6.131)
de la muestra.
y la relación:
u
$=
... (6.131)
S=0.779696g01s
X -0.45S
...(6.132)
Los parámetros de la distribución Gumbel cr y p, se calculan con las
F@) = 6r¿¡
,=+
a=ro
II
a=
pta-!
y (6.732), en función de los parámetros
XyS
La distribución Gumbel, tiene un coeficiente de sesgo fijo, igual
3. Estimación de pará.metros, método
de momentos
utilizando el método de mornentos, se obtienen las siguientes
relaciones:
. Moda:
. Media:
xmoda = F
E(x)=
Y - p+aC
... (6.r28)
donde C, es la constante de Euler, cuyo valor es:
c=lim t
l+1*1*....
23n
lineales
Los
parámetros de la distribución Gumbel, por el método de los
momentos lineales se encuentras con las siguientes ecuaciones:
(l= )",... (6.133)
lt
n -)@
C = 0.57721566490153286061 ...
por lo tanto, de la ecuación (6.128), se tiene:
X = tL + 0.57721566490153286061
4. Estimación de parámetros, método de momentos
ln2
+ 1 - hnl
=
lt
-0.577215664901532861a ... (6.134)
donde:
Lr, 1,
cr
... (6.129)
a
r.1396.
-
primer y segundo momento lineal
Distribuciones teóricas
5. Aplicación
-
página(254)
Hidrología Estadística
en hidrología
La ley de Gumbel o ley de valores extremos, se utiliza generalmente
para ajustar a una expresión matemática, las distribuciones
empíricas
de
frecuencia
de
caudales máximos
824
824
557
818
1230
030
-
págha (255)
522
418
1
581
Solución:
anuales,
precipitaciones máximas anuales, etc.
Es importante verificar, antes de aplicar esta distribución de
probabilidad, que los coeficientes de asimetría y curtosis de la
distribución empírica sean del mismo orden que los valores
L Ajuste de los datos de la serie
.
Ejemplo 6.5:
Se tiene el registro de caudales máximos de 29 años, para la estación
9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.5.
En este río se desea construir una presa de almacenamiento, calcular
el caudal de diseño para el vertedor de demasías, con un período de
retorno de 50 años. Usar la distribución Gumbel.
distribución Gumbel
los datos de la tabla 6.5, se obtienen de los
parámetros de la serie de caudales, los cuales son:
X =957.59
Desviaciónestándar: S=682.72
Media:
poblacionales.
Uno de los inconvenientes del uso de esta distribución, es que en
una distribución doble exponencial, la variable puede tomar
cualquier valor, por lo que se puede asignar probalidades a valores
negativos de la variable aJeatoria, cuestión que resta significación
física a la aplicación, debido a que las variables hidrológicas toman
solamente valores positivos o cero.
Procesando
a la
,
Cálculo de los parámetros de la distribución Gumbel:
De la ecuación (6.131), se tiene:
D
d=ao,s
II
t
a9 x682J2=532.3182
a=
II
De la ecuación (6.13), se tiene:
p= X - 0.45 S =957.59 -0.45 x682.72 = 650.3238
Prueba de bondad de ajuste
Los resultados que se obtienen de la aplicación HidroEsta, son:
A
=0.1454
Lo= 0.2525
, para un
nivel de significación del5
%o
Tabla 6.5 caudales máximos, en m3/s, de la estacón Angostura
Decisión
1
660
618
876
563
917
683
3800
1410
2280
934
740
1120
360
779
610
921
1 150
367
658
520
Siendo: A =0.1454<
Ao = 0.2525
se concluye que los datos se ajustan a una distribución Gumbel,
con un nivel de significación del 5 Vo
Distribuciones teóricas
-
págil;a (256)
Hidrología Estadística
-
página (257)
2. Cálcllo del caudal de diseño, para un período de retorno de 50
años.
F(Q=d=P(Q3q)=l-
_1
T
F(Q=q)=I-L
50
F(Q= 4) = 0.98 = F(!)
-v-
F(y)=e-e
=0.98
-e-Y = 1n 0'98
Figura 6.15 Caudal para un período de retorno de 50 años, utilizando
la distribución Gumbel
e-Y = 9'929202707
6.7 Distribución log-Gumbel
-) = ln (0.020202707)
y = 39019
1.
pero de la ecuación (6.L25):
Q- l.t
y=-__,
d,
^
=3.9019
Función acumulada
La función de distribución acumulada
-G-t')
a
F(x) = ¿-e
Q=ü+3.9019xcr
Q=650.3238 + 3.9019 x532.3L82
Q = 2,727 .38 m3/s
de diseño,para un periodo de retorno de 50 años es:
Q=2,727.38 mJ/s
Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones/
Gt¿mbel de HidroEslo, se obtienen los resultados que se muestran en
la figura 6.15. En la figura se observa que el caudal para un período
de retorno de 50 años, es 2127.40 m'ls.
la distribución Gumbel,
... (6.r35)
p&f&l -oo<I<oo
donde:
g<
"o
-oo < lr < oo
0<
.'. El caudal
de
tiene la forma:
, es el parámetro de escala
, es el parámetro de posición, llamado también
valor central o moda
si en la ecuación (6.135), la variable -r se reemplaza por lnx, se
obtiene la función acumulada de la distribución log-Gumbel, o
distribución de Fréchet.
2. Variable reducida
La variable aleatoria reducida de la distribución log-Gumbel,
define como:
se
a
Distribuciones teóricas
y=
-
página (258)
lnx - ¡t
a
Hidrologfa Estadística
... (6.136)
5. Estimaciép de parámetros, método de momentos
-v
= e- e
.. (6.137)
Los parámetros de la distribución log-Gumbel, por el método de los
momentos lineales se encuentras con las sigüentes ecuaciones:
d=
3. Proceso de cálculo
lt
Para el cálculo de los parámetros de la serie de datos:
Xl, X2, f3, ..., "{N
se convierte a sus logaritmos, luego se calcula la media y desviación
I In,
... (6.143)
donde:
Nota:
1r, h2 - primer y segundo momento lineal
para calcular los momentos lineales 7r, A, trabajar con los
Se tiene el registro de caudales máximos de 29 años, para la estación
9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.6.
En este río se desea construir una presa de almacenamiento, calcular
Aplicando el método de momentos, se obtienen los valores de los
parámetros c y p de la distribución log-Gumbel, Ios cuales son:
V=
= 7, -0.577215664901532861a
... (6.138)
4. Estimación de parámetros, método de momentos
J6
s.
Il Inx=0.779696801s.lnx
Xlnx-0.5772156649 u" = X
... (é.142)
l¡2
Ejemplo 6.6:
xlnx = "i
desviación estándar:
o=
1.'
yi= lnxi
estándar, con las siguientes ecuaciones:
media:
págtt^ (259)
lineales
con 1o cual, la función acumulada reducida log-Gumbel es:
G(y) = ExP(-ExP(-y))
-
ln¡
el caudal de diseño para el vertedor de demasías, con un período de
retorno de 50.años. Usar la distribución log-Gumbel.
Tabla 6.6 Caudales máximos, en m3/s, de la estación Angostura
1660
618
876
563
824
557
... (6.140)
- 0.45
^Srr, ...(6.141)
917
683
740
520
824
818
Solución:
l.
Cálculo de parámetros
3800 1410
934 779
1120 610
360 367
1230 522
1030 418
2280
921
1150
658
581
r
Distribuciones teóricas
Tomando logaritmos neperianos
-
página (260)
Hidrología Estadística
a los datos del problema,
se
obtienen los datos de la tabla 6.7.
Tabla 6.1 Ln de los caudales máximos, de la estación Angostura
7.414573
6.426488
6.775366
6.333280
6.714171
6.322565
6.821107
6.526495
6.606650
6.253829
6.714171
6.706862
8.242756
6.839476
7.021084
5.886104
7.114769
6.937314
7.251345
6.658011
6.413459
5.905362
6.257668
7.731931
6.825460
7.047517
6.489205
6.364751
6.035481
-
2. Prueba de bondad de ajuste
Los resultados que se obtienen con la aplicación HidroEsta, son:
A
= 0.0666
Lo= 0.2525 , para un nivel de significación del5 Vo
que:
Puesto
se ajustan
A = 0.0666 < Ao = 0.2525, se concluye que los datos
a una distribución log-Gumbel, con un nivel de
significación del5
Vo
3. Cálculo del caudal de diseño, para un período de retorno de 50
años.
Los parámetros estadísticos de los LnQ, se obtienen con HidroEsta,
utilizando la opción Parámetros Estadísticos/Datos no agrupados,
los mismos que se muestran en la figura 6.16
Parámekos
xln x
Media:
.s.
Varianz¡:
Desviación Estándar:
lrr x
c.srr,
,
Muestlales
6.7116
0.2688
0.5184
F(Q=q)=P(Q<q)=r-
F(Q=q)=r-
+
L
50
F(Q=4)=0.98=F(y)
_--v
F(y)=e '
=0.98
Coeficiente Variación:
0.0772
Coeficiente de Sesgo:
0.3829
-e-Y = ln 0.98
Coeficiente de Eurtosis:
4.8683
e-Y = 0.020202707
Figura 6.L6Parámetros estadísticos delos LnQ
De la ecuación (6.140), se tiene:
= -0.020202707
-/ = ln (0.020202707) = -3.9019
y = 3.9019
T;
a={o^s-tnx
II
o =&x0.5184 =o.4o4z
II
De la ecuación (6.141), se tiene:
Xlnx - 0.45 ,Shr
P,
=
lt=
6.7LL6 - 0.45 x 0.5184 = 6.4783
página (261)
¡rcro de la ecuación (6.136):
v-
lnQ- p
a
= 3.9019
lnQ= ¡t + 3.9019
xa
- 6.4783 + 3.9019 x 0.4042
lnQ= 8.0555
lnQ
Q
=
e8.0555
r
Distribuciones teóricas
-
flidrología Estadística
página (262)
-
página (263)
Si se ajustan a esa distribución, determinar la probabilidad de
que un^caudal medio máximo diario, esté comprendido entre
Q = 3150.9637 m3ls
Para los datos indicados, utilizando la opción Distribuciones/
LogGumbel de HidroEsra, se obtienen los resltados que se muestran
en la figura 6.17, se observa que en este caso, el caudal de diseño
para un período de retorno de 50 años, es: 3135.15 m3ls.
6500 m3ls y 9300 m3ls.
Realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si se ajustan a
una distribución garnma de tres parámetros, si el ajuste es bueno,
determinar el caudal medio diario máximo para un peíodo de
retorno de 100 años.
2. Dada la serie de
caudales medios anuales,
en -3ls,
correspondientes a un registro de 40 años, los mismos que se
muestran en la tabla 6.9.
Figura 6.17 Catdal para u.n período de retorno de 50 años, obtenido
con la distribución log-Gumbel
6.8 Problemas propuestos
1.
En la tabla 6.8, se muestra el registro de caudales medios diarios
máximos correspondientes a 28 años, en m3/s.
Realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si se ajustan a
una distribución gamma de dos parámetros.
Tabla 6.8 Registro de caudales medios diarios máximos
481 3
8551
6229
7645
55
8126
6456
6654
4983
4898
4870
4870
9231
10165
3029
6597
51
81
53
3851
4672
571 9
4757
5219
4474
3437
4898
4360
3794
7399
abla 6.
6.9 Regrstro de caudales medios máximos
200
480
430
880
470
350
555
370
695
690
730
340
s40
400
250
420
750
780
580
520
550
610
590
536
530
570
450
650
320
680
630
800
360
690
610
765
420
530
s48
290
Realizar la prueba de bondad de ajuste, para ver si los datos de la
serie se ajustan a las distribuciones:
o
o
o
o
o
o
Normal
Log-normal de2 parámetros
Log-normal de 3 parámetros
Gamma de 2 parámetros
Gamma de 3 parámetros
Log- Pearson tipo III
En el caso que se ajusten a las
distribuciones teóricas
mencionadas, calcular paru cada una de las distribuciones:
o La probabilidad de que un caudal anual, esté comprendido entre 350
*3/s y 800 m3ls.
Distribuciones teóricas
-
página (264)
Hidrologla Estadística
o
La probabilidad de que un caudal anual, sea menor o
o
El caudal anual que ocurre con un período de retorno de
igual que 850 m3/s.
80 años.
3. A partir de un registro de 70 años, de volúmenes anuales en
MM3 (millones de metros cúbicos), se desea realízar el ajuste a
una distribución log-normal de tres parámetros, usando la
.
Indicar
utilizando la fórmula de Weibull, de los cuales en la tabla 6.10,
.
4.
se
Tabla 6.10 Caudal y su distribución empírica
382.376
493.536
644.736
709.546
80s.966
923.456
1058.286
serie de volúmenes anuales, se ajusta
a la
distribución log-normal de 3 parámetros.
muestran 12 puntos.
33.036
si la
Hallar en forma gráfrca (en papel de disribución log-normal), el
valor del caudal que satisface la siguiente relación:
P(Q<0=0'9
En este sentido se calculó la función de distribución empírica,
o
página (265)
varianza de ln (x - ro) = 0.0553
con estos datos, se pide:
prueba Smirnov-Kolmogorov.
IMM3}
292.696
-
P(x) =
.
m(n+l)
0.056
0.098
0.155
0.197
0.310
0.409
0.507
0.606
0.704
1132.276
0.803
1386.224
0.901
1700.716
0.944
.
En la tabla 6.11, se muestra el registro de los caudales máximos
instantáneos anuales, en -3/r, de la estación Gua¡dia, de la
cuenca del Río Tempisque.
Determina¡ estadfsticamente, si éstos caudales máximo anuales,
se distribuyen según la distribución Gumbel. Si así fuera,
determina¡ el caudal máximo anual, con un período de retorno
de 50 años.
Determinar estadfsticamente, si éstos caudales máximo anuales,
se distribuyen según 1a distribución log-Gumbel. Si así fuera,
determinar el caudal máximo anual, con un período de retorno
de 50 años.
Tabla 6.11 Caudales máximos anuales de la Estación Guardia
Año
Año
anual
962
-3/"
1
964
273
1045
1875
1
965.
2876
1
966
1967
967
1643
968
133
1
1963
Además, mediante un proceso computacional y utilizando el método
de máxima verosimilitud, se estimaron sus parámetros, resultando:
parámetro de posición ; xo = -997 .603
media de ln (x - xo) = 7.4865
Gaudal máximo
1
1
1977
734
978
1 979
1 980
1706
1
134
2409
981
551
982
1983
597
80
1
1
Distribuciones teóricas
1
969
970
186
1
-
984
985
1 986
página (266)
606
616
287
1971
883
3687
1972
756
1987
121
973
1974
1975
1 976
186
1
616
224
988
1 989
1 990
350
315
122
1
991
3384
1
1
1
294
Correlación y
.2
regresron
7.1 Covarianza
La covarianza, es una medida que permite determinar que tan
independiente es una variable aleatoria de otra, es decir, el grado de
independencia de dos variables aleatorias.
Si X e
I
son dos variables aleatorias con medias Ir*
, ¡t, , la
covarianza, se define como:
COV(X,Y)=§o
=o, = ,[( x - p,)(Y- p,)]
...(7.1)
Desarrollando:
cov(x,g= nfxr-xily- lt,Y+ ü,Fr)
= E(XY)- ltrE(x¡- lt,E(Y)+ lt,lt,
= E(xY)- ltylt,- lt,lty* lt,lty
=E(xy)- ltylt*
r
Correlación y regresión
-
página (268)
cov(x, Y) = E(xY) - E(Y).E(D
Hidrología Estadística
...(7.2)
-
página (269)
utilizados son los coeficientes de correlación y determinación y
desviación típica de los residuos.
r¡rás
l¡r
Casos:
1.
Si X e
I
7.4 Análisis de correlación
son independientes, se cumple que:
E(xn
= E Q).E(X)
y de (7 .2), se tiene:
COV(X, Y) = E(XY) - E(XY) = 0
.'. Si X e y son independientes -> COV
2.
('onsiste en el cálculo de una medida del grado de correlación y la
rcalización de pruebas, p&rá determinar si es aceptable el grado de
rsociación correlativa.
(X,I0 = 0
i
lil análisis
Si X = Y, de (7 .2), se tiene:
de correlación está estrechamente relacionado con el
rrnálisis de regresión, puesto que.la fórmula utilizada en el cálculo
rlo la medida de correlación, depende del modelo de regresión
irrloptado. Por ejemplo, cuando se selecciona un modelo lineal
C)V(X, X) = E(*) - E(X).¿(D
CoV(x,x)=E(f)-(E(n)2
cov(x, x) = vAR(x)
.'. Si X =
Y -)
sirnple, se habla de correlación lineal simple.
COV (X, Y) = VAR(X)
7.5 Coeficiente de correlación
7.2 Correlación
La correlación, se define como la asociación entre dos o
más
variables aleatorias, que explica sólo parcialmente la variación total
de una variable aleatoria, por la variación de otras variables
aleatorias involucradas en la ecuación de asociación.
La parte de la variación total que queda sin explicar, o sea, la
variación no explicada, se debe a errores o a otras variables
aleatorias, que no han sido tomadas en cuenta en la correlación.
lil coeficiente
de correlación, es el estadístico que permite medir el
¡1rado de asociación de dos variables linealmente relacionadas.
l)ara el caso de una población se define como:
p(*,v) =
COV(x,y)
(VARxVARy)z
nltx-tt*)(y-tD)
O,
oro,
lrr* - p)2 EO - F;z1,z
l)ara una muestra:
sry »(, -;Xy - y)
7.3 Medidas
S,S,
de correlación
Se necesita un estadístico para medir
rS,S,
Zry - "iy
nS*S,
donde:
el
grado de asociación
correlativa entre las variables bajo consideración. Los estadísticos
..(7.3)
; Sr=
»6-i'
... (7.4)
Correlación y regresión
^-
2,*
n
-
página (270)
Hidrología Estadística
; y= 2,
n
Pasos
I.
también:
"2*y-}*Zy
...(7.s)
Selección de una función de relación correlativa, simple o
múltiple,lineal o no lineal.
y =flx)
!=atbx
!=ab*
Y
2.
Coeficiente de determinación
Es la proporción o porcentaje, de la variación total de la variable
dependiente y, que es explicada por la variable independiente r, por
lo cual, es un criterio para explicar la importancia de la variable
!=a*bx
= 0.85, esto quiere decir que el85Vo de la variación dey,
es explicada poru y el l57o restante es debido a los errores y a otras
variables no consideradas.
se
tiene:
7.7
12
,A.nálisis de regresión
Es una técnica determinística, que permite determinar Ia naluxaleza
de la relación funcional entre dos o más variables, permite predecir
los valores de y = flx) con un cierto grado de aproximación.
=
ax'b
etc
Estimación de los parámetros que miden el grado de asociación
correlativa
r2
r
3.
independiente dentro del modelo.
Por ejemplo, si para la ecuación:
págtna (271)
para el análisis de regresión
Valores de r entre -1 y 1 describen los varios grados de asociación.
7.6
-
Prueba de significación de los estadísticos que miden la
asociación correlativa, para lo cual se aplica la prueba f.
I'roceso:
3.1. Se plantea la hipótesis
Ho : p = 0 (p es el coeficiente de correlación poblacional y su
valor varía entre -l y 1)
'
Ha:p*0
3.2. Cálculo del r calculado (fc)
Se
utiliza la ecuación
rJnl
' 4l- r'
t_ -
donde:
r = coeficiente de correlación
n = número de pares de valores
3.3. Cálculo del, tabular (rr)
a
Correlación y regresión
-
página (272)
Hidrología Estadística
El /¡ se obtiene de las tablas preparadas para este efecto, con un nivel
de significación s o una probabilidad (l-cx ), y con grado de
libertad (v = n - 2), donde n es el número de pares de valores.
Por ejemplo la tabla ,4.5 del apéndice, permite calcular [, si se elige
una probabilidad del95Vo, el valor que se debe tomar de la tabla
corresponde
,2
a
a
$-
página (273)
Ir),
nZ*' -(»r'
...(7.6)
...(7.7)
= 0.025
tlonde:
),L
x=- nn ; y=-
rr/2 = 0.025
Así:
para
"2*y-
-
.5. Determinar la significación de los parámetros de la ecuación de
regresión, encontrando los límites de confianza de su variación
(se usa el análisis de varianza).
n=15
-) v=15-2=13
para957o de probabilidad ->
a
i
=
'7.8 Regresión lineal simple
o'ozs
entonces, de la tabla ,4.5 del apéndice:
)
t¡ =
2J60
3.4 Criterios de decisión:
. Si lt"l< h, se acepta la hipótesis nula, por lo que p =O,y por lo
tanto no hay correlación significativa.
. Si lr"l , /¡, se rechaza Ia hipótesis nula, por lo que p I 0,
indicándose que es significativo y por lo tanto existe correlación
entre las variables.
4.
Estimación de los parámetros de la ecuación
regresión
Por ejemplo para la ecuación de regresión lineal:
o función
!=a+bx
Los parámetros ¿ y b,lutllizando mínimos cuadrados son:
de
En hidrología el modelo más simple y común, está basado en la
suposición de que dos variables se relacionan en forma lineal.
Como ejemplo se puede mencionar:
. Caudales y precipitación de una misma cuenca
. Precipitaciín de una estación, con precipitación de otra estación
. Caudal de una estación con caudal de otra estación
. Precipitación con la altitud de una cuenca
Este hecho, permite correlacionar estas variables para completar
datos o extender un registro.
Ecuación de regresión
La ecuación general de la ecuación de regresión lineal es:
!= a*bx
...(7.8)
a
Correlación y regresión
-
Hidrología Estadística
página (274)
-
página (275)
as
ó
===0
da
donde:
x
=
variable independiente, variable conocida
) = variable dependiente, variable que se trata de predecir
a = intercepto, punto donde la línea de regresión cruza el eje
J, es decir valor dey cuando ¡ = 0
b - pendiente de la línea o coeficiente de regresión, es decir,
es la cantidad de cambio de y asociada a un cambio
unitario de x.
as
ab=
0
ó
ff=-rá(r,-a-bx,)=s
#= r}*,(t,-a-bx,)=o
)y, - na-b\x. =0 ó na*bE*,- )r, - 0 ... (7.12)
I)e (7.11) , se tiene:
Dada la ecuación de regresión lineal:
o
l=albx
b son los parámetros de la ecuación.
método más utilizado para la estimación de los parámetros a y b,
es el de mínimos cuadrados.
El
... (7.r1)
De (7.10), se tiene:
Estimación de parámetros
donde a y
... (7.10)
E*,y, -oE*, -b»x? =o
oEx,
+b\x! -),*,y,
=o
... (7.13)
[-as ecuaciones (7.12) y (7.13) se denominan ecuaciones normales,
las cuales resueltas dan para a y b:
... (7.14)
Procedimiento:
1.
Cálculo del error ei entre el valor observado
e¡=!¡-i¡
h y el teórico !,
... (7.1s)
:
tin los cálculos resulta más cómodo calcular b con la ecuación (7.15)
y calcular c como:
ei= U -@:.)=ii-a-bx¡
)v, ' )',
observado tuórico
2.
... (1.16)
Cálculo de la suma de cuadrados de los effores:
s
=2r,, =26,-o-b*,)'
j=l
...(7.e)
3. Hacer que la suma de cuadrados de los errores sea mínimo:
Para que S sea mínimo, se requiere que la derivada parcial de S de la
ecuación (7.9), con respecto a cada parámetro sea igual a cero, es
decir:
Ejemplo 7.1:
En una cuenca, como se muestra en la figura 7.1 se tienen dos
estaciones de aforo A y B, en las que se midieron los caudales
3/s
para el año 1995, los que se muestran en
medios mensuales, en n
la tabla 7.1. Considerando que los caudales de la estación A, son las
Correlación y regresión
-
pítgina (276)
variables independientes (r) y que los caudales de la estación B, son
las variables dependientes (y):
1. Probar si los datos de ambas estaciones se correlacionan
linealmente.
2. Calcúar el caudal en la estación B, para un caudal de 800 m3/s
en la estación A.
Tabla 7.1 Caudales promedios mensuales de las estaciones A y B
Mes
Estación A
(m%)
Estación B
rm3lsl
E
F
M
321
175
A
M
J
J
A
S
o
N
D
222
75
155
274
45
77
431
131
446
456
1270
2089
136
1618
431
710
268
página (277)
§r¡lución:
l,
Sea la ecuación que correlaciona a las variables
!=a+bx
...(7.17)
donde:
x = caudales de la estación A
) = caudales de la estación B
De
acuerdo a los datos se tiene n = 12 (número de pares de
2,
tlatos); los cálculos de sus sumatorias, se muestran en la tabla7.2.
'l'll'¡laJ.2. Productos,
224
x'
t'
03041
30625
5625
v
xy
321
175
561 75
222
274
75
45
77
6650
6975
21 098
49284
24025
75076
431
131
56461
446
456
1270
2089
136
171
60656
85761
1 9891 6
77976
603250
1 873833
1
207936
61 2900
4363921
225625
1148780
2617924
804609
5041 00
155
475
897
cuadrados y sumatorias de las variables x, y
x
171
509
-
Hidrología Estadística
1618
431
509
8222
475
897
710
268
224
3384
1
1
11
5508
114016
4151378
1
§ttst
i
tuyendo valores, resulta:
71824
501 76
9883626
1765436
"Z*y- Ir),
,Z*' -(»,)')( nDy' -()r)')
A
Figura 7.1. Estaciones de aforo A y B de una cuenca
5929
17161
1 8496
29241
r 85761
259081
J,
Cálculo de r:
l)c la ecuación (7.5), se tiene:
2025
Correlación y regresión
'
-
Hidrología Estadística
página (278)
- 8222x3384
,(-z» 883626 -Bezz'W"n654io - z§+'
12x4151378
página (279)
5.
Cálculo de los parámetros a y b:
De la ecuació¡ (7.14), se tiene:
"
2l'993,288.00
I_
22',28r,026.59
- EvE*'-ErZ*
nE*' -(»')'
Sustituyendo valores, resulta:
33 84 x 988 3626 - 415 137 I x 8222
r = 0.9811
rz = 0.9743
4.
-
12x9883626 -82222
a = - 13.4590
Prueba de significación
4.t IJipótesis:
De la ecuación (7.15) , se tiene:
Ifo: r=0
}la'.
r *0
[-
4.2 Calculo de tc:
l-
'
,J"-z
^ll- r'
o.s87t^lT2
'
Jl
S
4.3 Cálculo del
12x4151378-8222x3384
L2x9883626-82222
b =0.4312
6. Ecuación
de regresión:
Sustituyendo valores en la ecuación (7.17), se tiene:
... (7.18)
! = -13.4590 + 0.4312 x
rt:
De la tabla ,4.5 del apéndice, para:
y unaprobabilidaddel95To
se tiene:
-().)'
b-
-0.9143
v=n-2=12-2=10
n2*'
ustituyendo valores, resulta:
-2
t, = 19.4J13
4.4
"E*y-ZrE,
a 0.05
U, = Z =0.OZS
h=2.228
Criterio de decisión:
Como: I r. I = lg.47l3 ) t¡ = 2.228 se rechaza la hipótesis nula,
siendo r + 0
.'. existe correlación entre las variables x e y.
7
.
Cálculo del caudal en la estaci ón A, para un caudal de 800 m3/s
en la estación B.
Sustituyendo valores en la ecuación (7.18), resulta:
y = -13.459O + O.4312 x 800
y = 331.5010 m3/s
a
Hidrología Estadística
Proceso computacional
lafigura7.2.
Lineal
Exponencial
Potencial
Y = 13.4590'lü7 + 0.4312221 .H
Y = 77.s880355. [ 1.001 3237 J ^X
0.38703
X ^ f].107t57
4
0.s653
0.9ü1
Con la ecuación lineal, para un caudal de 800 m3/s en la estación A,
se obtiene un caudal 331.52 m3ls en Ia estación.8, este resultado se
muestra en la figura 7 .3.
ecuaciÉn:
Ecuación Line¡l
',1_"ro'*'
dey: jtBi
lmt
,
i
i
;
f. :con e
c áón ecuación Exponencial
C con ecuación Potencial
...
a+bx
t=alb
11.33181
Observar que la ecuación lineal, es la que tiene un coeficiente de
correlación R = 0.98709 más alto que las otras ecuaciones
Aplicar
1
0.37434
0.81 253
Figura. 7.2 Regresión entre los caudales de las estaciones de aforo
Ay B deunacuenca
Vator
Existen varias relaciones no lineales, que con un artificio adecuado
¡rueden reducirse a relaciones lineales, dentro de las cuales se
pueden mencionar:
y=
Ecuación
Y = 0.1359426 .
página (281)
7.9 Regresión no lineal simple
Para los datos indicados, utilizando la opción Regresión/Regresión
simple de HidroEsta, se obtienen los resultados que se muestran en
Correlación
-
1
x
(7.te)
... (7.20)
(inversa)
(7.2t)
!=ab^(exponencial)
...
y=axb
.." (1.22)
(potencial)
J = 0x*bx2
... (1.23)
I)ara el uso de estas ecuaciones, en todos
como sigue:
los casos, el proceso
es
transformación de variables a fin de obtener una
regresión lineal.
2. En la ecuación lineal obtenida, aplicar el método de mínimos
cuadrados para estimar los nuevos parámetros at y br
.1. Restituir los cambios de variables, a fin de obtener los parámetros
iniciales ay b.
4. Utllizar la ecuación siempre y cuando exista correlación
adecuada entre las variables.
l. Realizar la
A continuación, para las
ecuaciones de
la (7.19) a la (7.23),
rndican el proceso de linealización.
Ecuación:
Figura. 7.3 Resultado obtenido con ecuación lineal
l)e la ecuación (7.19), invirtiendo los miembros se tiene:
se
Correlación y regresión
-
Hidrología Estadística
página (282)
-
página (283)
1
-=a+bx
¿
x
w
haciendo:
w=
v
1
-v
1
-v = w, se tiene la ecuación linealizada:
w=
a+bx
... (7.24)
Para aplicar el método de mínimos cuadrados
trabajan con las variables:
y
estimar
a y b se
Ecuación:
! =ab*
1
x Y W=-
Tomando logaritmos neperianos en la ecuación (7.21), resulta:
v
lny=lna+xlnb
walbl
I
x
w=
haciendo:
1
lnY:
-v
Y'
... (7.26)
lna = a,
lnb = bt
... (7.27)
se tiene:
W=at*btt
Ecuación:
y=a+b!
Para aplicar el método de mínimos cuadrados y estimar at y bt,
trabajan con las variables:
x
De la ecuaciín (7 .20), haciendo
!=a*bw
x y w=lny
1
; = *, se tiene:
... (7.2s)
Para aplicar el método de mínimos cuadrados y estimar ¿
trabajan con las variables:
1
w=-x a !
... (7.28)
Yó,se
x
v
w
=lnv
Correlación y regresión
-
página (284)
Hidrología Estadística
De (7.26) y (7.27), se tiene:
aa=e I
b,
Por lo tanto, la ecuación (7.22) toma la forma:
L
Por lo tanto, la ecuación (7 .21) para estos valores toma la forma:
y = uol .{rbt
y=
página (285)
De (7:30), se tiene:
o=rol
b=e
-
y = eal .xb
...
(7.3r)
¡*
,or 'rut'
... (7.2e)
Ecuación:
v=ax+
bxz
Dividiendo ambos miembros de la ecuación (1.23) entre r, resulta:
! -a+bx
Ecuación: y=axb
4
w
Tomando ln a la ecuación (7.22), se tiene:
lny-lna+blnx
haciendo
!J
worz
x
w=a+bx
haciendo:
lnY = Y'
lna=
!- w se tiene:
at
... (7.30)
lnx=z
Para aplicar el método de mínimos cuadrados
v
trabajan con las variables xy * =;
resulta:
v,= at *b
z
Para aplicar el método de mínimos cuadrados y estimar a7, y b, se
trabajan con las variables: z= lnx y w = lny
x
v
z=lnx
w
=lnv
x
v
w= -v
x
y
estimar
ay
b,
Correlación y regtesión
-
página (286)
Hidrología Estadística
Proceso computacional
HidroEsta, permite resolver
de
valores experimentales a:
. Una línea recta
. Una curva exponencial
' Una curva poteucial
Para cualquier tipo de curva, la aplicación permite calcular:
Los parámetros a y ó
.
. Loscoeficientet,y,2
. El valor de la variable dependiente para un valor de la
variabl e independiente
7.L0 Ecuación de regresión lineal múltiple
Esta técnica de análisis, se utiliza cuando la variable dependiente y,
es función de dos o más variables independientes ,r1, x2, x3,. . ., rm,
siendo el modelo lineal:
!=ao* a1x1*a2x2* a34 +... + an#m ...(7.32)
donde:
= número de variables independientes
ao, a\, a2, . . , am= parámetlos a estimar
p = m+ 1 = número de parámetros
m
Estimación de parámetros
Extendiendo el método de mínimos cuadrados, para el caso de una
regresión lineal múltiple, las ecuaciones normales que se obtienen
son:
página (287)
al)r, * or2*, * or\r, +........+a^\x^
L*ry = aoExr+ orl*', * or)*r*r* ar)r,rr*.... .+a.\xrx*
)y
el problema del ajuste de pares
-
= aon+
L * ry = a,Z x, + arl x rx, + or\ *l + arl xrx 3+.....+a nE *r* ^
E *. y = a,E x ^ + a rl
x
rx.
+
a
r\
x,
x
^
*
a
r\
* r*
^*.....+
o
"'
^\
(7
donde: n = número de grupos de elementos de la muestra.
[,a solución del sistema (7 .33) proporcionan los valores as, a1,
*'.
'33)
o.2,
.
.
. ram
El número de ecuaciones normales, deben ser tantas como
incógnitas se tienen, a fin de que se tenga un sistema resoluble y así
oncontrar: ao, al, a2, - .,, am
Hl conjunto de ecuaciones normales (7.33) son fáciles de recordar,
observar que la primera se obtiene aplicando la sumatoria a ambos
rniembros de la ecuación (7.32), es decir:
L, =E@" + atxr + azxz + a3x3 +..... + a*x^)
E,
= aon+
or2*, + ar\x, + ar\xr+..... + o-2*^
La segunda se obtiene multiplicando ambos miembros de
la
ccuación (7.32) por .r¡ y luego aplicando la sumatoria, es decir:
Z*ry =Z*r(ao + arx, + azx2 + a3x3 +..... + a^x*)
E*ry = o"Z*, + ar\xl + ar)xrx, * arZ*r*, +..... + a^\xrx^
Análogamente, la tercara se obtiene multiplicando ambos miembros
de la ecuación (7.32) por x2, ! luego aplicando la sumatoria, es
decir:
Correlación y regresión
-
Hidrología Estadística
página (288)
E*r, --Err(ao + arx, + a2xz + a3x3+.....+ a^x^)
Z*r, = oo2*, + ar\x, x2 + azZ*3 * ar\*rx, + ..... + a*\*rx*
-
página (289)
pü [o que los
estadísticos han derivado una fórmula más corta de calcular por el
método computacional, la cual se muestra en la ecuación (7.35).
La ecuación (7.34) es muy tediosa de calcular,
Las ecuaciones restantes se obtienen con el mismo proceso, pero
multiplicando por x3, x4, . . ., xm, respectivamente.
Cabe aclarar, que lo indicado en las líneas precedentes, no es una
deducción de las ecuaciones normales, sino sólo una forma de
recordarlas.
o.3s)
Las variables definidas en la ecuación (7.35), son las ya indicadas
anteriormente.
Error estándar del estimado para regresión múttiple
Coeficiente de determinación múltiple
(Se)
Representa la proporción de la variación total de y que es
explicada por las variables involucradas en la ecuación de regresión
múltiple, se puede calcular a partir de la ecuación (7-36) o (7.37).
Es la medida de dispersión que se calcula con la siguiente ecuación:
Se=
R'^= 1---^
Sez
... (7.34)
donde:
= error estándar del estimado
y = valores muestrales (experimentales) de la variable
dependiente
9 = oo* ay x1 * a2x2+ . . . + amxm
= valores estimados de la variable dependiente con la
ecuación de regresión
e = ! - Í = e..o. entre el valor observado y estimado de la
variable dependiente
n = número de grupos de la muestra
p = m+l = número de parámetros a estimar a partir de la
muestra
grados
p
n
de libertad
=
.S¿
... (7.36)
S'Y
R2=
o,2 y * o r\ *,y + a r\
x
ry + a
r\
x ry
+......+
2v'-"v'
a
^2 ^, *
nt'
... (7.37)
donde:
Se
=
=
S'y
=
R2
coeficiente de determinación
effor estándar del estimado, calculado con las
ecuaciones (7 .34) o (7.35)
vaianza de la variable dependientey
s'y=*(»t,
-(t)'))
=*(»
y'-n(y)') . rz.rsl
, =:)r= media de la variable dependiente
n = número de grupos de la muestra
r
Correlación y regresión
-
página (290)
Hidrología Estadística
Coeficiente de correlación múltiple
El coeficiente de correlación múltiple,
se puede calcular a
partir de
'l'rrtrla
7.3 Valores
de A,
... (7.39)
I
=[
t asE*rr*......+a^lx,y - n '
... (1.40)
14 subcuencas
1.70
210
0.871
5.690
1.90
4
8.270
1.620
0.175
1.90
2.10
2.40
3.20
2.70
2.90
2.90
2.80
2.70
2.10
2.90
0.148
1.400
o.297
o.322
7
8
I
Del estudio de una re§ión de Costa Rica, se ha obtenido para 14
subcuencas, el caudal promedio anual (de los caudales máximos
anuales) Q, en m3/s, el área de la cuenca A, enkmz, y la intensidad
máxima de precipitación I, en cn/24 horas, siendo los resultados los
que se muestran enlatabla7.3.
I
(cml24 horas)
2
3
5
6
Ejeruplo 7.2:
(xm')
1.250
1
Lv'-"v'
Se desea saber si éstas variables se correlacionan linealmente, es
decir, si se puede establecer el siguiente modelo:
... (1 .4t)
Q = ao+ arA + a2I
Se pide :
1. Calcular el intercepto a6, los coeficientes de regresión at, a2, y
definir la ecuación de regresión lineal múltiple.
2. Calcular Q, caudal estimado con la ecuación (1.41), para cada
conjunto de valores de A e I.
3. Calcular los errores e, = Q- A
4. Calcular el error estándar del estimado (S¿)
5. Calcular lavarianza de la variable dependiente
I y Qpara
A
Estación
^
página (291)
(r, Calcular los coeficientes de determinación y correlación múltiple
7. Estimar el valor de Q, si A = 4 km2 e I = 1.5 cmt}4h
las ecuaciones (7.39) ó (1.40).
oo}y + orl*ry + ar)xr!
-
10
11
0.178
12
13
14
0.148
o.872
0.091
o
(m%)
15.50
8.50
85.00
105.00
24.80
3.80
1.76
18.00
8.75
8.25
3.56
1.90
16.50
2.80
Solución:
l. Cálculo de los parámetros
l.l. Para el ejemplo, utilizando las ecuaciones normales
(7.33), se
tiene:
Ee=
aon+
atZl* orZI
Z,qg = aoZ A + a,Z,q' *
or\ A* t
Lrc=ao»I *or\exI +ar\I'
rlruttle n
=
14
.'.
(7
.42)
Correlación y regresión
-
Hidrología Estadística
página (292)
1.2. En la tabla 1.4 se encuentra tabulado los valores de las )s, que
reemplazado en el conjunto de ecuaciones (7.42), resulta:
304.12 =
14 as + 21.332 q
+ 34.3 a2
... (7.43)
1465.8929 = 21.332 ao + 108.7412 a1+ 43.3419 az
... (7.44)
627.8
34.3 as+ 43.3419
+ 86.99 az
... (7.4s)
Tabla
7.4
A
I
(r)
o
AxI
AxQ
IxQ
A"
(2)
lz
(3)
(4)
(s)
(6)
(7\
(8)
t.7
15.50
2.t
850
2.t250
l 9.3750
26.3500
t.5625
.829
7.4035
17.8500
0.7586
r
1
7225.OOOO
0.0083
3.6100
3.6100
4.4100
5.7600
10.240
7.2900
8.4100
8.4100
7.8400
7.2900
4.4100
8.4100
108.7412
86.990
19960.O742
t9
85.00
10.81 10
483.6.500
161 500
32.f76r
105.00
15.7130
199.500
68.3929
t.620
2t
24.80
3.80
3 4020
0.4200
868.3500
40.1760
0.6650
0.2605
25.2000
2.s987
2.6565
0.6337
o 2812
l 4.3880
0.2548
1465-8929
32
27
1;76
0.4'736
1.400
18.00
3.7800
0.291
29
8.75
0.86 r3
0 322
z9
28
8.25
0.178
3.56
0.148
27
190
0.9338
0.4984
0.3996
0.872
21
16.5
1.83
0.091
29
280
21.332
34.3
304.12
l2
0.2639
43.3419
l9)
240.2500
72.2500
19
s2.0800
9. l 200
s.6320
48 6000
25.3750
23.92s0
9.9680
s.1300
34.6s00
8.1200
627.800
Q,
2.8900
4.4lOO
5.690
0.148
2.6244
0.0306
0.02t9
1.9600
0.0882
0.1037
0.031 7
o.0219
0.'7604
Multiplicando la ecuación (7.43)
(7 .44) por 14, se obtiene:
t4035.01216 =
por
r 1025.000
615.0400
14.4400
3.0976
324.0000
76.5625
68 062s
t2.6736
3.6100
272.2500
'7.8400
-21.332 y la ecuación
1067.322576 a¡
- l24.9Ota1
+
41.37
1..5. Multiplicando la ecuación (7.46) por 124.901
(7.47) por 1067.322576, se obtiene:
t
I
t t.46) x 124.901: 1752987.129 = 133309.6$71 a1r
t.47) xr067.322576:
I
- 175266'7.479 = -r33309.f571
319.65
=
ar
+
a2 Q.47)
y la ecuación
15600.2598
a2
44155 .t3497
u
28554.87517a2
rk: donde:
az= 0.01LI94
I
... (7.48)
.(r. Sustituyendo (7.48) en (7.46), se obtiene:
14035.01276 = 1067.322516 a1- 124901 x 0.011194
tlc donde:
1.3.
ecuación
11.45)
-1642.116 =
8.210
0.1 75
1.4 Multiplicando la ecuación (7.43) por -34.3 y la
Yalores para el cáIculo de los parámetros
r.250
página (293)
q
=
0.87 r
-
at =
13.151048
... (7.49)
y Q.a9) en (7.43), se obtiene:
304.12 = 14 ao + 21.332 x 13.151048 + 34.3 x 0.011194
rlc: donde:
ao= 1.656991
... (7.s0)
1.7. Sustituyendo (7.48)
- 124.901a2
... (7.46)
a"= 1.656991
at = 13.151048
az = 0.0L1194
Correlación y regresión
-
página (294)
Siendo la ecuación de regresión múltiple:
Q = 1.656991 + 13.151048 A + 0.01 ll94
Hidrologfa Estadística
-
página (295)
donde:
I
= l7l.Og84 , I de la columna (6) de la tabla 7.5
n= 14 , número de grupos de la muestra
p =3 , número de parámetros a estimar (ao, a1, a2)
... (7.s1)
2. Uttlizando la ecuación (7.51) para los valores experimentales,
Ze2
se
obtienen los valores estimados del caudal, los que se muestran en
la columna (4) de la tabla 7.5.
=
3. La diferencia entre el valor experimental y el valor estimado del
caudal con la ecuación (7.51), representa el error, estos valores se
muestran en la columna (5) de la tabla 7.5.
Tabla
7.5
Cálculo del caudal estimado y del error
.5. De la ecuación (7.38),
^§e
se tiene:
$=*lEo'-no')
donde:
2Q'=
o
19960.0742, (columnas (9) de lafablaT.4)
304.12
experimental
Q= *
(3)
18.1148
=21'722857
n=14
-2.6148
luego:
13.13s1
1
=
,s1
- ltsoao.ot +2
"a - L4-1"'uu'u'-u
110.4374
1
.8148
t4x2t.7zzg57rf
- rrl\'
lozl.z}9l52
S'a=
(r. De la ecuación (7.36), se tiene:
R'^= 1
Sez
-----Sí,
tklnde:
Se2
4.
»
De
la
ecuación (7.34), se tiene:
»7
J¿=\n-
p
=3.943907
S'a=
171.0984
= 3.9439072 =
lo2l
15
.5544
-209152
lucgo:
^
R-=l
R2
=
155544
1027.209152
0.984858
Correlación y regresión
-
página (296)
Hidrología Estadística
R = 0.9924
.
En la ecuación (7.51):
Q = 1.656991 + 13. 151048 A + 0.01 Il94
para:
7
Q = 1.6570+ 13.
I
se tiene:
A = 1.656991 + 13.151048 x 4 + 0.01 Il94 x
¡
1.5
HidroEsta permite resolver el problema de la ecuación de regresión
lineal múltiple, la aplicación perrnite calcular:
. Parámetros: do, aj, dz, . . .
. Coeficiente de determinación múltiple'. R2
. Coeficiente de correlación múltiple:
. Effor estándar estimado: ,S¿
. Valor de la variable dependiente para conjuntos de valores
de las variables independientes
Los resultados obtenidos con la aplicación, permiten una mayor
aproximación en los decimales.
la opción Regresión/Regresión
var. independientes de HidroEsta, se obtienen los
Para los datos indicados, utilizando
resultados que se muestran en la figura 7.4.
i(l
ln
H^2
0.ss3E 0.9872
3.S43S
[ 9688 0 9388
Figura 7.4 Modelos de comelación múltiple
4.7153
+0 ü112 i42
Y = 1.ris7ll +13.151 U
y= 11 3383X1^trt t2rl6l y2^t0 38751
0.0ll2l
Eorrelación lineal múltiple
Proceso cornputacional
cuEciúrr
104 +
Aplicar ecuación:
0 = 54.28 m3/s
E
15
tiene un coeficiente de correlación y determinación mayor. Con esta
ccuación para A = 4 km2 e I = 1.5 cml24h, se obtiene un caudal Q =
54.2780 m'/r, cuyo resultado se muestra en la figura 7.5.
I = 1.5
2
página (297)
De la figura 7.4, se observa que el modelo de correlación lineal
rnúltiple de la forma:
A_Á
/1
-+
múltiple
-
Valor
deXl; l¡-
Valor
deX2:
L
ILS
-
I
I
I
t
{^
con corelación potencialmúltiple
i
J
Figura 7.5 Uso de la ecuación de regresión lineal múltiple
7.ll
Ecuación de regresión no lineal múltiple
l,u forma general de una ecuación de regresión no iineal múltiple es:
.,, (7.52)
! = aoxrot xro'*r"
.....
ll misma que es posible transformar con un adecuado artificio,
en
u¡la ecuación de regresión lineal múltiple, de la siguiente forma:
l. Tomando Iz a ambos miembros de Ia ecuación (7.52), se tiene:
ln y - lnao + arlnx, + arlnx, I arlnxr+. . .
)..
Haciendo:
lny-z
Correlación y regresión
- página (299)
Hidrología Estadística
.
lnao- a'o
lnxl - y¡,
-
página (299)
Valor de la variable dependiente para conjuntos de valores
de las variables independientes.
lnx2= Y¡.-
,*t..*,
7.12 Ecuación de regresión polinomial
l,n ecuación polinomial de grado m es:
! = ao + afl + arx' + arx3 +....+a^x^
se tiene:
z = a'o +
atwt + azwz + a3w3 +....
... (7.s3)
La ecuación (7.53) es una ecuación de regresión lineal múltiple,
similar a la de la ecuación (7.32).
Por ejemplo, en hidrología existe una fórmula utilizada para el
cálculo de la intensidad máxima:
,
max
KT'
... (7.s4)
l\rra el ajuste de los pares de valores, se puede utilizar la
tnetodología descrita para el caso de una ecuación de regresión
li¡real múltiple, siendo las ecuaciones normales:
X, = aon+at)r* orZ*' +or\*'+....+a^x^
E*, = ooZ* + or\*' + ar\x3 + ar\xa +....+a^x**l
E*'y = aoEx' + ar\x' + ar\xo + or\*t +....+a^x^*2
Du
cuyos parámetros K, a y á se pueden determinar a partir de una
correlación múltiple entre las variables, donde:
Z- período de retorno
D = duración de la lluvia
I máx = intensidad máxima
L*^y
Proceso computacional
7.
HidroEsta, permite resolver el problema de la ecuación de regresión
potencial múltiple, el programa permite calcular:
. Parámetros ao, ab a2,....
. Coeficiente de determinación múltiple:
. Coeficiente de correlación múltiple: R R2
. Error estándar estimado: .§¿
=
aoEx^ + ar\x^*' + ar\x^*' *or}*^*t+....+a^x2^
... (7.ss)
I
[3
Problemas propuestos
De una prueba de infiltración, con cilindros infiltrómetros, se
n
obtuviel
de datos:
leron
ln los ssl
T
De
T
(cm)
(min)
lmin)
lcm)
4
5
10
15
20
25
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
75
3.8
8.0
9.6
200
255
300
450
1.0
14.5
1
Correlación y regresión
-
Hidrología Estadística
página (300)
donde:
T : tiempo en min.
D": láminaacumulada
en cm.
Usando un polinomio de segundo grado:
.
Usando un polinomio de tercer grado:
Q=aota.th+a2h2
Q,=aotath+a2h2+a3h3
1.1. Realizar los cálculos, para ajustar por el método de mínimos
D^=at'
'
calcular los parámetros ¿ y á y los coeficientes de correlación y
determinación.
Graficar los datos en papel milimétrico, en papel semilogarítmico y en papel log-log.
calcular con la ecuación ajustada los valores de Da q'e
corresponden a los T dados y graficar los puntos obtenidos en
los mismos papeles.
1.2. Realizar los cálculos para ajustar los datos:
. alaecuaciónlineal : Du=a+bT
. a la curva exponencial: Du = agr
Indicar de acuerdo a los resultados obtenidos para los coeficientes
de correlación, cual sería la curva que se ajusta mejor a los datos
de
2.3. En un papel milimétrico plotear:
¡ Datos empíricos de la tabla
. Ecuación potencial teórica ajustada
. Ecuación polinomial de 2" orden ajustada
. Ecuación polinomial de 3"' orden ajustada
2.4. Calcular su coeficiente de correlación
Tabla 7.6. Valores de altura en el limnímeho y sus caudales
correspondientes
I
prueba.
1'3 Plotear en un papel milimétrico los datos experimentales z y
Dr, y las curvas teóricas: lineal, exponencial y potencial.
2. En una estación de aforo de un úo, se han medido las alturas de
escala en el limnímetro y los caudales aforados para esas escalas,
las mismas se muestran en la tabla7.6.
2.1. Hallar la ecuación
.
de calibración que relacione la lectura en el
limnímetro (escala), con el caudal.
Usando un modelo de la forma:
Q=ahb
página (301)
.
Se pide:
cuadrados a la curva potencial:
-
3.
h
o
lm)
tmslsl
1
2.45
531
2
1.51
3
1.48
294
288
4
5
6
7
8
9
10
.o.78
11
5.80
6.00
4.16
5.58
3.80
4.08
2.63
12
1.11
1s9
635
1
1705
1089
I
13
14
15
16
17
18
19
1560
937
20
1013
22
23
616
21
h
o
fml
tm3lsl
1.01
201
o.71
0.51
146
120
o.52
0.50
111
81
2.O2
449
1.72
1.92
1.35
1.28
1.40
369
422
266
247
280
210
En la tabla 7.7 se muestran las intensidades máximas I en mm/hr,
para duraciones de 5, 15, 30, 60, 120, 240 y 480 min, y para
períodos de retorno 7 de 50, 30,20,10 y 5 años.
Correlación y regresión
-
Hidrología Estadística
página (302)
-
página (303)
¡
Hallar la ecuación de la forma:
Y =173- abx
r¡ue relaciona estas variables, así como su coef,rciente de correlación.
. Calcular Y,paraX= 14
3.1. Encontrar la ecuación de regresión:
I=m:
DO
que relacione estas variables
3.2. Encontrar la intensidad máxima I, para un período de retorno
T = l0 años y una duración D = 45 min.
.5. La tabla 7.9 muestra los valores correspondientes a 3 variables
X], X2, Y.
Tabla 7.7 Yalorcs de intensidad máxima 1, duración
retorno Z, de las precipitaciones
'l'i¡hla 7.9 Variables
.20
10
5
30_
30
5
15
30
60
120
240
232
230
220
210
170
220
210
200
130
82
80
72
64
60
70
65
60
50
42
180
180
160
105
100
90
Y.
Tabla 7.8 Variables X,
x
Y
17
17
14.4
12.8
14.3
14.8
13.6
169
170
170
159
165
166
16-2
f
32
16
8
4
2
30_
235
233
230
225
120
n
\
30
30
30
30
30
480
58
52
50
4.La tabla 7.8, muestra los valores correspondientes
X,
de
I (mm/hora)
D (min)
T
(años)
50
30
D,y período
19
17
¡
1
0.5
0.25
xl
Y
4.51
4.3
4.3
4
3.8
3.7
3.4
3.6
40
40
40
40
40
40
40
40
Y
n
32
16
8
4
2
1
05
o.25
Y
x1
n
4.5
4.25
50
32
50
16
4.1
50
I
4.6
4.2
4
50
50
50
50
50
4
2
4
4
4
3.9
3.75
3.7
3.6
1
0.5
0.25
Y
3.8
3.8
3.8
I'lallar la ecuación:
Y
a las variablee
Xl, X2,
- a"Xi'X;'
r¡rrr: r'elaciona estas
variables, así como su coeficiente de correlación.
(lalcular Y paraXt = 35 y Xz= 3
lin el laboratorio de hidráulica del ITCR, se trató de encontrar la
ccuación de calibración de un vertedero triangular con ángulo de
()0o,
del experimento realizado se obtuvieron los datos de carga h
y caudal Q, que se muestran en la tabla 7.10. Indicar entre la
ccuación lineal, exponencial y potencial, cual es la ecuación de
calibración, que relaciona mejor los pares de datos de carga vs
caudal.
Correlación y regresión
-
Hidrología Estadística
página (304)
0.19
1.36
2.O2
2.15
3.15
Caudal Q
(lps)
0.037974
0.057915
tt.
0.113981
0.115118
0.292397
Se sabe que las variables
ecuación:
máximos de la estación D en función de sus afluentes principales
A, B y C.Para obtener la relación deseada, se eligieron sobre las
las
estaciones hidrométricas más
representativas, de las cuales para las 4 estaciones se tienen
registros de caudales desde 1996 al 2003,1os mismos que se
muestran en la tablr 7 .l l.
Tabla 7.11 Caudales máximo de las estaciones A, B, C, D
Año
Qa
994
tm3lst
325
1
Qb
tm3lsl
Qc
lm3lst
555
1209
931
828
642
739
995
1 996
1 997
1 998
1 999
2000
327
774
604
856
2001
341
2002
2003
1
600
290
157
287
od
fm3lsl
777
853
3295
1735
800
4037
748
793
2038
2621
522
1778
541 0
625
1118
2245
670
1272
1145
5233
2696
225
1
En una área sembrada de banano se tiene instalado un sistema de
drenaje subterráneo. En una sección de ésta se hicieron las
mediciones de los parámetros h (carga en el centro del dren) y Q
(caudal descargado por el dren), cuyos resultados se muestran en
latabla7.l2.
7. se desea conocer la relación existente entre los caudares
corrientes afectadas,
página (305)
Considerando los modelos de regresión lineal múltiple y
potencial múltiple (la que mejor se ajuste), se desea completar
los datos faltantes para la estación D, para los años 1994 y 1995
a partir de los datos de las estaciones A, B y C.
Tabla 7.10 Datos de carga h, en cm, y caudal e, en lps
Carga h
(cm)
-
h y Q se relacionan con la siguiente
Q=ah+bh2
.
,
Determinar los parámetros de la ecuación
Determinar el valor de Q, si h = 0.82
'labla 7.12 Yalores de l¡ y Q obtenidos de las mediciones de campo
h
o
0.16
4.3
0.51
17.28
0.60
0.63
o.70
o.75
0.80
0.85
0.90
22.68
25.20
28.08
31.32
34.20
37.44
41.04
Análisis de
consistencia
tl.
lil
I
Introduccion
o
especialista que desea desarroilar un estudio
lridrológico, debe buscar la infonnación de la cuenca en estudio, en
It¡s instituciones encargadas de su recopilación, pero una vez que
dstu se ha obtenido, una de las interrogantes que se debe hacer es:
confiable la información disponible?
¿,1,)s
hidrólogo
l,rr respuesta a esta pregunta, se obtiene realizando un análisis de
consistencia de la información disponible, mediante criterios físicos
y métodos estadísticos que permitan identificar, evaluar y eliminar
kls posibles errores sistemáticos que han podido ocurrir, sea por
t'nusas naturales u ocasionados por la intervención de Ia mano del
Itombre.
l,¡r no homogeneidad e inconsistencia, son los causales del cambio a
r¡ue están expuestas las informaciones hidrológicas, por lo cual su
Análisis de consistencia
-
Hidrología Estadística - página (309)
página (308)
xt
estudio, es de mucha importancia para determinar los errores
información
lridrometeorológica
sistemáticos que puedan afectarlas.
Inconsistencia es sinónimo de error sistemático y se presenta como
saltos y tendencias, y no homogeneidad es definido como los
cambios de datos vírgenes con el tiempo.
La no homogeneidad en una serie de tiempo hidrológica, se debe a
factores humanos (tala indiscriminada de una cuenca, construcción
de estructuras hidráulicas, etc.) o a factores naturales de gran
significancia, como los desastres naturales (inundaciones,
derrumbes, etc.) ocasionados en Costa Rica tanto por el huracán
Joan como por el huracán César.
La inconsistencia de una serie de tiempo, está dada por la
producción de errores sistemáticos (déficit en la toma de datos,
cambio de estación de registro, etc.).
Irigura 8.1 Serie con componente transitoria en la forma de salto
xt
ínformación
hidrometeorológica
Esta inconsistencia y no homogeneidad se pone de manifiesto con la
presencia de saltos y/o tendencias en las series hidrológicas (las
cuales se muestran en las figuras 8.1 y 8.2 ), afectando las
características estadísticas de dichas series, tales como la media,
desviación estándar y correlación serial .
Figura 8.2 Serie con componenre rransitoria
tendencia
El
análisis de consistencia de la información, es el proceso que
consiste en la identificación o detección, descripción y remoción de
la no homogeneidad e inconsistencia de una serie de tiempo
hidrológica .
la
serie histórica para
el
modelamiento, es
necesario efectuar el análisis de consistencia respectivo, a fin de
obtener una serie confiable, es decir, homogénea y consistente.
1"
f"JiIá:
lrl análisis de consistencia de la información hidrológica,
rr
Antes de utilizar
"r
.
.
.
rcdiante los siguientes procesos:
Análisis visual gráfico
Análisis doble masa
Análisis estadístico
T
se realiza
Análisis de consistencia
-
Hidrología Estadística - página (311)
página (310)
l. Cuando se tienen estaciones
8.2 Anátlisis visual grafico
En coordenadas cartesianas se plotea la información hidrológica
histórica, ubicándose en las ordenadas, los valores de la serie y en
las abscisas el tiempo (años , meses , días , etc).
Un ejemplo de una serie de caudales promedio anuales se muestra
en la figura 8.3. Este gráfico sirve para analizar la consistencia de la
información hidrológica en forma visual, e indicar el período o
períodos en los cuales la información es dudosa, lo cual se puede
reflejar como " picos" muy altos o valores muy bajos, saltos ylo
tendencias, los mismos que deberán comprobarse, si son fenómenos
naturales que efectivamente han ocurrido, o si son producto de
errores sistemáticos .
60
I
a 50
(f)
E
40
o
30
,Y
/
I
t
\
r
/
A
V
¡
J \^ A
A
lijemplo 8.1:
'l'abla 8.1 Caudales promedios anuales en m'/s del río Bebedero,
¡rcríodo 1954-1993.
Año
o
Año
tm3lsl
20
954
955
1 956
1 957
1 958
r 959
I 960
1
10
0
l,a interpretación de estas comparaciones, se efectúa conjuntamente
con el análisis doble masa.
I)ada la serie de caudales promedios de la estaci6n0762001 del río
llebedero, que se muestra en la tabla 8.1, elaborar el hidrograma.
80
70
vecinas, se comparan los gráficos de
las series históricas, y se observa cuál período va¡ía notoriamente
uno con respecto al otro.
2. Cuando se tiene una sola estación, ésta se divide en varios
periodos y se compara con la información de campo obtenida.
3. Cuando se tienen datos de precipitación y escorrentía, se
comparan los diagramas, los cuales deben ser similares en su
comportamiento.
1
.ü
(O O) N lJ) @ r
(o F.- t- t- @ §ó F(o CA
(o (o
r.r) F*
rr) O
@O
cD
o, o) o) o, o) o, o) o) o) o) o) o) o)
(O
o)
o)
-Frr-rrF-F
T años
r
Figura 8.3 Serie histórica de caudales promedios anuales.
r
r
Para conocer la causa del fenómeno detectado, se puede analizar de
diversas formas:
961
962
963
o
10.50
14.30
1971
10.10
1
1972
4.82
1982
55.20
42.60
11.70
983
44.10
1
7.51
1
s.83
8.55
8.16
7.83
5.35
o
964
965
1 966
1 967
1 968
1 969
1 970
1
973
10.10
9.65
7.51
Año
rm3ls)
1974
975
1 976
1977
1 978
1 979
1 980
13.30
21.00
11.10
5.22
4.40
6.71
Año
tm3/s)
1
1
981
8.41
8.68
6.10
5.33
6.68
38.00
s6.90
984
985
1 986
1 987
1 988
1 989
1 990
1
1
1
1
1
991
992
993
o
tm3ls)
41.90
44.70
46.90
32.00
36.20
37.50
33.10
73.00
63.50
72.40
Análisis de consistencia
-
Hidrología Estadística - página (313)
págita (312)
relacionado a errores, que pueden producirse durante la obtención de
los mismos, y no para una corrección a partir de la recta doble masa.
Solución:
Graficando los pares de valores se obtiene la figura 8.4, en la cual,
en el eje de la abscisas se coloca el tiempo en años, y en el eje de
ordenadas el caudal en m3/s.
80
7A
60
o50
cf)
El diagrama doble masa se obtiene ploteando en el eje de las
abscisas los acumulados, por ejemplo, de los promedios de los
volúmenes anuales en millones de m31MM), de todas las estaciones
rle la cuenca y, en el eje de las ordenadas los acumulados de los
volúmenes anuales, en millones de m3, de cada una de las estaciones
cn estudio, como se muestra en la figura 8.5.
5 quiebres
Acumulade de
<;ada estación
5-40
ogo
hidro"
rneteolológica
20
2 qurebres
se eligs conÉ
estacrón base
10
0
3 qurebres
sf
l'.(o
lr)
r.c) O
o,
o, o)
rrrr
«)
(o
o)
(oorc\tto@r
(o (o f'- F- l*o,
o, o, o) o)
trrrrr
co
o)
S l"* O
6@O)O)
o) ct o,
rr
Cr)
o,
Tiempo en años
Figura 8.4 Serie histórica del ío Bebedero.
Realizando el análisis visual de la serie histórica, se observa que a
partir del año l9l9 se produce un salto, esto se explica físicamente,
ya que en ese año existe un trasvase al río Bebedero, al entrar a
operar el proyecto hidroeléctrico Arenal-Tempisque.
8.3 Análisis doble masa
Este análisis se utiliza pata tener una cierta confiabilidad en la
información, así como también, para analizar la consistencia en lo
ff tlixrtr sñ l:;3r3ffi IJSL
Figura 8.5 Análisis doble masa para determinar la estación "base
l)c estos doble masas se selecciona como la estación más confiable,
lir que presenta el menor número de quiebres, en el ejemplo de la
ligura 8.5, corresponde a la estación C, la cual se usa como estación
lrirse para el nuevo diagrama doble masa, es decir, se vuelve a
t'onstruir el diagrama de doble masa colocando en el eje de las
¡rbscisas la estación base y en el de las ordenadas la estación en
cstudio, como se muestra en la figura 8.6.
Anrálisis de consistencia
-
página (314)
Hidrología Estadística - página (315)
AcumularJo de
la ostaeión
sn osturiio
1
9i6
se procede al análisis estadístico de saltos, tanto en
en la desviación estándar.
la media como
Análisis de Saltos
1. Consistencia de la Media
El análisis estadístico consiste en probar, mediante la prueba t
(prueba de hipótesis), si los valores medios (\,i)
de las
n1'n2'n3
submuestras, son estadísticamente iguales o diferentes con una
probabilidad del 95Vo o con 57o de nivel de significación, de Ia
siguiente manera:
Acr¡mulado de la
estacíón base@
Figura 8.6 Análisis doble masa para obtener los períodos de estudio
(en este c&So fl1, Ilz, n¡)
a
)
Cálculo de
l=+¿.,
El
análisis doble masa propiamente dicho, consiste en conocer
mediante los "quiebres" que se presentan en los diagramas, las
causas de los fenómenos naturales, o si estos han sido ocasionados
por effores sistemáticos. En este último caso, permite determinar el
rango de los periodos dudosos y confiables para cada estación en
estudio, la cual se deberá corregir utilizando ciertos criterios
estadísticos. Para el caso de la figura 8.6, el análisis de doble masa,
permite obtener los períodos, h1, h2, tg, e\a deben estudiarse, con el
análisis estadístico.
8.4 Análisis estadístico
Después de obtener de los gráficos construidos para el análisis
visual y de los de doble masa, los períodos de posible comección, y
los períodos de datos que se rnantendrán con sus valores originales,
la media y de la desviación estándar para las
submuestras, según:
i s,(x)=
i#l(,, -il,]u
...(8.1)
, = ;2.,
; Sz(x) =l#Í¿G, -iY11'
donde:
xi = valores de la serie del período
xj = valores de la serie del período 2
1
xt , x2 = media de los períodos I y 2 respectivamente
Sr(x) , ,Sz(x) = desviación estándar de los períodos 1 y 2
respectivamente
n = tamaño de la muestra
nt, hz = tamaño de las submuestras
n=nt + n2
Análisis de consistencia
-
Hidrología Estadística - página (317)
página (316)
b) Cálculo del I calculado (f") según:
. (f -ü-(p,,adonde:
Ff[tz=0
p,)
...(8.2)
E
(por hipótesis, la hipótesis es que las medias son
iguales)
quedando:
...(8.3)
. Si I r" I , tt (95Vo) J i, * x, (estadísticamente)
En este caso, siendo las medias 7, É
corregir la información.
x,
estadísticamente, se debe
Ir
t
t, = s,L;;.irl,
El análisis estadístico consiste en probar, mediante la prueba F, si
Ios valores de las desviaciones estándar de las submuestras son
)
...(8.4)
1
(,, - r)si +( n2-- r)sj
nt+nz
-L
a
1¡
l
S; = desviación
¡nr_
de las diferencias de los promedios
...(8.s)
Sp = desviación estándar ponderada
s|(*)=[#)t G,-i)'
c) Cálculo
del t tabular t,:
El valor crítico de / se obtiene de la tabla
/ de Student (tabla 4.5 del
95Vo, ó con un nivel de
apéndice), con una probabilidad al
significación del 57o, es decir con aJ2
tfiz-2.
estadísticamente iguales o diferentes, con w 95Vo de probabilidad o
con un 57o de nivel de significación, de la siguiente forma:
a) Cálculo de la» variaozas de ambos períodos:
s,'zr,r=[-+ll(,,
-l)'
t)i=t
siendo:
libertadV=rll
debe realizar proceso de corrección.
2 . Consistencia de la Desviación Estándar
además:
,, =[
d) Comparación del f, con el fr:
' Si I t, I <h (95Vo) ) Ít :7, (estadísticamente)
En este caso, siendo las medias .tr-, = x, estadísticamente, no se
=
0.O25
y con grados de
b) Cálculo del F calculado (F"), según:
s,'(')
,,=ffi
,
si Si(x)>
S22(x)
...(8.6)
Sr'(')
' = si_,(x)
F^
si,sr2(x)> s,r(x)
Análisis de consistencia
c)
-
página (318)
Hidrología Estadística - página (319)
Cálculo del F tabular (valor crítico de F ó F,), se obtiene de las
tablas tr' (tabla A-4) para una probabilidad del95Vo, es decir, con
un nivel de significación cr = 0.05 y grados de libertad:
G.L.N = .ra-11 , si
G.L.D = nz -l)
,Sr(x)
+
(x) + x,
...(8.8)
clonde:
Análisis de Tendencias
G.L.N = grados de libertad del numerador
G.L.D - grados de libertad del denominador
+
' S,
La ecuación (8.7), se utiliza cuando se deben corregir los valores de
la submuestra de tamaño ry,y la ecuación (8.8), si se deben corregir
la submuestra de tamafio n2 .
donde:
Si Fc > Ft (95Vo)
il,
= valor corregido de saltos
rr = válor a ser corregido
G.L.N =nz-11 , si Sr2(x)> sf (x)
G.L.D = nrl)
'
x.-x"
Xi,¡
,s,'(r), Sle)
d) Comparación del Fc con el Fr:
. Si Fc < Ft (957o) j Sr(x) =.Sz
X(,, =
(x) (estadísticamente)
Sz@) (estadísticamente), por 1o
Antes de realizar el análisis de tendencias, se realiza el análisis de
saltos y con la serie libre de saltos, se procede a analizar las
tendencias en la media y en la desviación estándar.
[. Tendencia en Ia Media
que se debe corregir
La tendencia en la media Tm, puede ser expresada en forma general
por la ecuación polinomial:
Tm = A^+ Bmt + C^t2 + D.t3
... (8.9)
3. Corrección de los datos
+.......
En los casos en que los parámetros media y desviación estándar de
las submuestras de las series de tiempo, resultan estadísticamente
iguales, la información original no se corrige, por ser consistente
con 957o de probabilidad, aun cuando en el doble masa se observe
pequeños quiebres. En caso contrario, se corrigen los valores de las
submuestras mediante las siguientes ecuaciones:
xio
=ffi
.s,(x) + x,
...(8.7)
y en forma particular por la ecuación de regresión lineal simple:
' Tm =,4'n + B-t
... (8.10)
donde:
I = tiempo en años, tomado como la variable independiente
de la tendencia
t =1,2,3,.....,n
7m = tendencia en la media, para este caso:
Tm= Xi¡ valor corregido de saltos, es decir, datos a usarse
para el cálculo de los parámetros
Análisis de consistencia
-
Hidrología Estadística - página (321)
página (320)
A*, B^, C^, D^,..' = coeficientes de los polinomios
1
de
t-
regresión, que deben ser estimados con
los datos
I
sr =l
ser
estimados por el método de mínimos cuadrados, o por el método de
regresión lineal múltiple.
Ilz
El cálcuIo de la tendencia en la media, haciendo uso de la ecuación
(8.10), se realiza mediante el siguiente proceso:
simple
A*=T^-I'B^
B. =
sR'-j=
J1
s,=
además:
\=:2'* =i2*,,,
1« .r*
i lt,
I
I-
b) Evaluación de la tendencia
Para averiguar si la tendencia es signiñcativa, se analiza el coeficiente de regresión Btn o también el coeficiente de correlación R.
El análisis de R según el estadístico f, es como sigue:
l. Cálculo del estadístico /" según:
¡=i2,,
t .T^ =
l
= promedio de las tendencias 7,n, o promedio de los
datos corregidos de saltos X'11¡
t - promedio del tiempo r
Sr. = desviación estándar de la tendencia de la media Tm
§t = desviación estándar del tiempo r
... (8.12)
donde:
llL]
I
I
fu
...(8.11)
... (8.13)
n-l
t
Los parámetros de regresión de estas ecuaciones, pueden
a) Cálculo de los parámetros de la ecuación de regresión lineal
Z(r--.)'
l;
'
nJn-z
J1- R'
donde:
... (8.14)
= valor del estadístico r calculado.
n = número total de datos
R = coeficiente de correlación
fc
... (8.1s)
Anrálisis de consistencia
-
página (322)
Hidrología Estadística - págha (323)
2. Cálcúo det¡
El valor crítico de /, se obtiene de la tabla de / de Student (tabla ,4.5
del apéndice), con 95Vo de probabilidad o con un nivel de
significación del 5 Vo, es decfu:
!
2
= o.ozs
G.L. = n-2
3. Comparación del t" con el t¡
Si lhl<tr(95Vo)+ R no es significativo
En este caso, la tendencia no es significativa y no hay que corregir.
.
.
hQ5Vo) + R si es significativo.
En este caso, la tendencia es significativa y hay necesidad de
corregir la información de tendencia en la media.
Si
lr"l,
c) Corrección de la información:
La tendencia en la media se elimina haciendo uso de la ecuación:
y, = Xrr,., _T^
... (8.16)
ó
Y,
= x(,¡ -(,q* + B^t)
... (8.17)
donde T^ es el promedio de la tendencia en la media o promedio de
los valores corregidos de saltos.
2. Tendencia en Ia desviación estríndar
Según Salas "la tendencia en la desviación estándar, generalmente
se presenta en los datos semanales o mensuales, no así en datos
anuales". Por lo que, cuando se trabajan con datos anuales, no hay
necesidad de realizar el análisis de la tendencia en la desviación
estándar.
La tendencia en la desviación estándar Ts, se expresa en forma
general por la ecuación polinomial:
T, = A, + B,t + C,t' + D,t3 +
... (8.r8)
y en forma particular, por la ecuación de regresión lineal simple:
T,=4"+B,t
... (8.re)
donde :
4 = tendencia en la desviación estándar
T, = Y, valor corregido de tendencia en la media, es decir,
datos a usarse para el cálculo de los parámetros
r = tiempo en años
t=I,2,3,....,fl
donde:
X'<¡ = serie corregida de saltos
T^ = tendencias en la media, obtenida de la ecuación (8.10)
= serie sin tendencia en la media
Yt
Xt preserve la media constante, se devuelve el
promedio de las X't ó Q, luego las ecuaciones (8.16) y (8.17),
Para que el proceso
toman la forma:
= X(,¡ -T^ +T^
Y, = X(o -(o* * 8,,.r) *
Y,
.,..
r-
(8.18)
... (8.1e)
4", 8", C", Dr,.. = coeficientes de los polinomios de regresión
que deben ser estimados con los datos
l'ara calcular y probar si la tendencia en la desviación estándar es
significativa, se sigue el siguiente proceso:
rr)
La información ya sin tendencia en la media Y¡, se divide
peíodos de datos anuales.
en
Análisis de consistencia
-
página (324)
Hidrología Estadística - página (325)
,,=T'1*T
b) Se calcula las desviaciones estándar paru cadaperíodo de toda la
información:
,,=[+á {,,-r)'f;
... (8.20)
donde:
§p = desviación estándar del año p, es decir de los datos
mensuales del año p
Yp = serie sin tendencia en la media
fp = promedio de datos mensuales del año p
p =1,2,3,..,.,12
c) Se calculan los parámetros de la ecuación (8.19), a partir de las
desviaciones estándar anuales y el tiempo r (en años ), utilizando
las ecuaciones de la (8.11) a la (8.14), dadas para la tendencia en
la media
d) Se realiza la evaluación de Zs siguiendo
descrito paraTm.
el mismo proceso
x(¡
-r.
...
T,
(8.21)
ni en la desviación
variables han sido definidas en piárrafos
donde: Z,
= serie sin
estándar.
anteriores.
Las
Para que
el proceso preserve la media y la desviación estándar
demás
tendencia en la media
constante, la ecuación toma la forma:
donde T,,T^ son los promedios de la tendencia en la desviación
estándar y media respectivamente.
La seie Z, es una serie
homogénea
y
consistente
al
95Vo de
probabilidad.
Ejemplo 8.1:
Con el registro de volúmenes anuales de caudales en MIVÍ3, que se
muestra en la tabla 8.2, se realizó el análisis de doble masa, y se
obtuvo un quiebre que permitió separar los datos en los peúodos
1964-1985 y 1986-1999.
Realizar el análisis estadístico de saltos en la media y desviación
estándar para ambos períodos. Si obtiene diferencia significativa (al
95 Vo de probabilidad), rcalizar la corrección del primer período.
Tabla 8.2 Volúmenes anuales de caudales en MM3
Si en la prueba R resulta significativo, la tendencia en la desviación
estándar es significativa, por 1o que se debe eliminar de la serie,
aplicando la siguiente ecuación:
Z,
... (8.22)
Año
xt
Año
xt
1964
534.509
1982
318.882
1
965
404.034
1
983
1
966
504.878
1
984
450.2
1
967
444.O32
1
985
386.957
1
968
842.122
1
986
668.201
1
969
437.47
1
987
536.824
1970
264.O4
1
9BB
598.446
1971
464.628
1
989
573.582
1972
436.716
1
990
569.369
31
'1
.313
Análisis de consistencia
-
1973
493.988
1
991
330.482
1974
372.984
1992
949.436
1975
333.735
1
993
260.183
1976
645.182
1
994
430.169
1977
612.295
1
995
577.293
978
620.76
1979
557.882
1997
1
980
494.515
1
998
792.781
1
981
362.1 99
1
999
640.843
1
1
996
Hidrología Estadística - página (327)
página (326)
502.513
rkrnde:
s;
=
1
t
srl -+-
1-1,
... (8.24)
I
nt n, -)
t
-
se
+(",
nrlnr-2
r)s,'
-ls] t,
]
1055.812
. (8.2s)
Srrstituyendo valores en la ecuación (8.25), resulta:
ztxr166o.3os7 + 13x 4657t.$181:
Solución:
" -f
"n-L
.
SP= 1694542
Períodos
De acuerdo a la condición del problema, se tienen los períodos:
Peúodo I 1964 1985: nt=22
Período 2 L986 1999: nz= 14
-
.
Cálculo de los parámetros de cada período
Utilizando el conjunto de fórmulas (8.1), se obtiene los parámetros
de cada período:
Xt = 467.8782
Xz = 606.1381
S2t
St
.
=
17660.3057
= 132.8921
S2z= 46571.8378
Sz = 215.8051
Evaluación de la consistencia en la media
Cálculo del /,
De la ecuación (83), se tiene:
1.
x,-x^
t,=-?
.)-a
... (8.23)
3¡
-l
Sustituyendo valores en la ecuación (8.24), resulta:
1
s.=169.45+Zlt*l-l'
"
122 t4)
S¿ = 57 '9333
Srrstituyendo valores en la ecuación (8.23), resulta:
tÚc
-
467.8782- 606.1381
51.9333
t"= -2.3865
.1. Cálculo del t tabular t,:
Irl valor crítico de / se obtiene de la tablaA.5 del apéndice, con una
¡rrobabilidad al 957o, ó con un nivel de significación del 5%o, es
rlccir con aJ2 = 0.025 y con grados de libertad v = 22 + 14 - 2 = 34.
l'¿rra estos
tt= 1960
valores, se tiene:
Anrflisis de consistencia
-
página (328)
Hidrología Estadística - página (329)
3. Criterio de decisión
Como ld=2.3965> tr= 1.960 -+ xl+x, (estadísticamente)
En este caso, siendo las medias xr* x-, estadísticamente, se debe
corregir la información.
.
(
(1964
\ + 72 y Sr(x) * S2(x), para corregir los datos del 1"' período
- 1985), se usa la ecuación (8.7):
1/' _ x,' -.x,:.Sr 1x) + x,
^(¡)
S,(r/
Evaluación de la consistencia en la desviación estándar
S
1.
'omo
rrstituyendo valores, resulta:
Cálculo de F"
xi., =
(¿
'
x' - 467.!782
xzt5.go5t + 606.1381
132.8921
De la ecuación (8.6), se tiene:
,s^2lx)
F' =#
§'" (x)
X', =1.6239x, - 153.6550 ... (8.26)
llsando la ecuación (8.26) se corrige el período (1964
, si,Sr2(x)> S,,(x)
Sustituyendo valores, resulta:
46s71.8378
rcsultados obtenidos, se muestran en la tabla 8.3.
'
'l'abla 8.3 Resultados del análisis de saltos
n660.3057
F"=2.6371
2. Calculo de Ft
Este valor se obtiene de la tabla A.4 para una probabilidad del95vo,
es decir, con un nivel de significación cr = 0.05 y grados de libertad:
G.L.N = l4-r =
, si ^srz (x) > sf (x)
l3l
G.L.D =22-1=21)
En la tabla A.4, paru G.L.N =
12 y
G.L.D =
21, se obtiene: F,
2.25
-
3. criterio de decisión
Ft=2.25 -+ §r(x) t Sz@) (estadísticamente).
En este caso, siendo las desviaciones estándar ,S1(x) + Sz(x)
Como F"=2.6371>
estadísticamente, se debe corregir la información.
'
Corrección de la información
Año
xt
1
964
714.3342
1
982
364.1775
1
965
502.4558
1
983
351.8862
1
966
666.2164
1
984
577.4248
1
967
567.4086
1
985
474.7245
1
968
1213.8669
1
986
668.201
1
969
556.7525
1987
536.824
1970
275.1196
1
988
598.446
1971
600.8544
1
989
573.582
1972
555.s281
1
990
569.369
1973
648.5321
1
991
330.482
1974
452.4337
1992
949.436
1975
388.2973
1
993
260.183
976
894.0560
1
994
430.169
1
Año
xt
-
1985), los
Anrálisis de consistencia
-
página(330)
1977
840.6s09
1
995
577.293
1978
854.3972
1
996
502.513
1979
752.2896
1997
1055.812
1
980
649.3879
1
998
792.781
1
981
434.5200
1
999
640.843
Hidrología Estadística - página (331)
Tabla 8.4 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río
Chancay-Huaral, estación Santo Domingo, Penú (1939 - 1981)
Año
939
't940
16.949
1941
16.010
14.080
1
1942
1 943
't944
l, Análisis de saltos
Dada la información de las tablas 8.4 y 8.5, serie de caudales
945
1 946
anuales.
1947
1
948
1 949
1 950
1
Completar el dato faltante para el año 1955 de la tabla 8.4,
haciendo la correlación de los datos de la tabla 8.4 y 8.5 para los
1
años comunes.
2.
Año
Gauda!
951
1952
Graficar la serie histórica de la tabla 8.4 en papel milimétrico,
hacer un análisis visual e indicar si se presenta un salto.
1
26.704
13.872
8.373
14.733
13.848
15.664
11.827
10.583
20.459
19.416
19.684
mols
1954
1955
1 956
17.690
11.485
1971
1957
10.112
1972
958
1959
I 960
9.872
14.276
12.270
21 .189
973
1974
1 975
1 976
17.023
22.148
1977
1978
1
1
961
962
1 963
1 964
1 965
1 966
1 967
1 968
1
1
8.1 88
18.055
10.480
Gaudal
969
13.641
1970
18.306
15.935
33.480
25.139
20.321
1
1
1
979
980
1
981
1
r3.632
15.395
15.277
10.026
11.300
9.613
20.69
30.1 06
8.250
Proceso:
.
.
o
953
12.812
Año
m'ls
m3rc
8.5 Problemas propuestos
1.
Caudal
Acumular los valores de los caudales.
Graficar el diagrama de doble masa.
1rn3ls¡
Caudales acumulados
estación en estudio
T (años)
J. Para estar seguro de que se presenta salto, con
los datos de las
tablas 8.4 y 8.5 rcalizar el análisis de doble masa, considerando
como estación base los datos de la tabla 8.5.
Caudales acumulados
estación base
Análisis de consistencia
-
Hidrología Estadística - página (333)
página (332)
Graficar nuevamente
Tabla 8.5 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río
Jequetepeque, estación Ventanilla, Perú (1939 - 1980)
Año
Caudal
1939
mtls
22.802
1940
1941
1942
1943
194r'.
1945
1946
1947
1948
1949
1950
195r
1952
1953
22.386
28.268
13.736
31.352
25.602
27.134
23.199
22.960
28.324
34.369
15.523
13.689
28.123
72.637
Año
Caudal
Año
1961
1962
1963
1964
1965
1966
20.793
23.s95
30.560
34.191
22.688
25.087
22.306
18.445
29.O43
18.330
19.67
23.679
27.359
r4.599
34.778
1968
6.695
una vez corregida, con líneas
punteadas.
Caudal
Notas:
Si tlel análisis de doble masa obtiene:
1970
1971
m3ls
21.972
22.O73
38.698
1972
1973
1974
24.518
43.620
27.522
975
1976
1977
39.454
mtls
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
la serie
1
969
1
l97B
1979
1980
23.1s3
29.701
6.462
16.494
6.395
.
.
Solo dos períodos, siga la metodología indicada
3 ó más períodos, tomar los dos primeros peíodos y aplicar la
metodología indicada, luego considerando éstos 2 períodos como
uno solo y el 3er período; aplicar la metodología indicada, y así
sucesivamente.
.' Análisis
de tendencias
l)rrtla la información de la tabla 8.6, serie de caudales anuales.
I
(iraficar los datos de esta serie en papel milimétrico, observe
visualmente e indique si se presenta tendencia'
'
llealizar el análisis estadístico de tendencias y las correcciones
tle los datos si fuera el caso. Debe rcalizar solo el análisis de
tcndencia en la media (para datos anuales no se presenta
tcndencia en la desviación estándar).
¡
I
Observa¡ los quiebres que se presentan.
Con base en los quiebres que se presentan, separar los perfodos
de los años donde posiblemente se presentan los saltos.
4. Realizar el análisis estadístico de saltos y las correcciones de los
datos si fuera el caso, para perfodos obtenidos del anáIisis de
doble masa.
I
I
I
Para este análisis de saltos debe realizar:
Consistencia de la media
Consistencia en las desviación estándar
Corrección de los datos
t
(iraficar la serie corregida.
Análisis de consistencia
-
página(334)
Tabla 8.6 Serie histórica de caudales medios anuales, en m3/s, del río
Chicama, estación Salinar, Perú (1911 - 1980)
Año
Gaudal
Año
m3ls
191
1
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
959
1 960
22.88
16.39
80.83
60.08
21.55
f 938
28.01
939
1 940
1941
34.92
31.36
42.74
1942
12.94
41.16
27.71
28.63
30.27
33.43
35.16
1925
1926
64.81
15.58
1928
1929
1 930
51.26
33.48
25.79
25.80
18.93
931
16.15
1932
933
1 934
38.30
54.54
59.40
1
Caudal
935
1 936
't937
27.21
1
Año
m3ls
24.58
28.49
7.91
8.01
13.27
1923
1924
1927
Caudal
1
1
1
943
1944
'10.05
945
946
1947
1 948
1 949
1 950
35.90
33.76
29.28
19.77
29.37
30.06
9.67
I 951
10.42
1952
23.99
42.17
16.00
22.78
32.69
34.28
20.24
1
1
953
954
1 955
1 956
1 957
1 958
1
1
mtls
1
1
961
I 962
17.57
14.60'
31.14
1
963
18.20
1
964
24.69
22.99
965
1 966
1 967
1 968
1 969
1 970
1
1971
1972
1973
1974
1975
976
1977
1 978
1979
1 980
1
11.78
32.26
4.76
12.70
16.19
30.14
30.57
45.38
18.91
34.99
21.49
29.26
458
12.46
3.14
Completación y
extensión
9.1 Definiciones
l.ir extensión de información, es el proceso de transferencia de
rnlirrmación desde una estación con nn "largo" registro histórico a
(
)l
rit con un "corto"tegistro.
l,rr completación de datos, es el proceso por el cual, se llenan
"ltuecos" que existen en un registro de datos. La completación es un
clso particular de la extensión.
l,ir extensión de datos, es más importante que la completación, por
r'r¡anto modifican sustancialmente a los estimadores de los
¡»rrámetros poblacionales, por ejemplo, la media de una rnuestra
corta, será diferente a la media de una muestra extendida.
Completación y extensión
-
Hidrología Estadística
página (336)
-
página (337)
La completación y extensión de la información hidrometéorológica
faltante, se efectúa para tener en lo posible series completas, más
confiable y de un período uniforme.
En forma general, el modelo matemático más usado para transferir
información hidrológica, entre estaciones medidas, es el modelo de
regresión lineal simple.
9.2 Técnicas
9.3 Proceso
Las técnicas que se utilizan para la completación, en orden
prioridad son:
. Regresión lineal simple, entre éstas:
o
Correlación cruzada entre dos
de
El proceso a seguir para la completación o extensión, es como
,
o más estaciones,
situación (1) sin defasaje de la figura 9.1
o Autocorrelación, situación (2) de la figura 9.1
. Relleno con criterios prácticos.
Parala extensión se usan modelos de:
. Regresión lineal simple
. Regresiónlinealmúlíiple
Obtener la serie de tamaño N1, á cornpletar o extender (figura
9.2):
!t,!2,!3,.,...,!
¡¡,
Seleccionar la estación, que guarde una buena relación con la
estación con la que se está trabajando, y cuya longitud de la
serie sea mayor, como por ejemplo: N = Nr+ Nz.
Xl, XZ, X3 r....,
XN
t, X N t+1
r,,...,
X N,* N,
o
(m3ls)
tiempo T
(1)
(2)
Correlación cruzada sin defasaje (correlación espacial)
Conelación serial con defasaje (correlación temporal o
autocorrelación)
(3) Conelación cruzada con defasaje (correlación espacial y
temporal)
Figura 9.1 Serie histórica de caudales de las cuencas
se
indica:
Ay B
Figura 9.2 Series de tamaños
donde:
& y N= Nr+ Af2
Completación y extensión
-
Hidrología Estadística
página (338)
)¡ =serie de registro "corto"
rr = serie de registro "largo"
Nr =tamaño del registro común
xl
página (339)
_D*,
Nr
-L*,Ey,
ry,» *i -(\*,)'\N ,Zv? -Er,)'
N,» x¡!¡
a ambas series o tamaños
del registro corto
Nz =tamaño del registro no común
N = N, * N, = tamaño del registro largo
.
Seleccionar el modelo de correlación, en este caso, la ecuación
de regresión lineal:
y, = a*bx,
... (9.1)
donde:
)r = variable hidrológica dependiente
xt = vzriable hidrológica independiente
ay b = parámetros de la ecuación de regresión lineal simple
-
s,(r) =
...(e.4)
,Er;
S,,,)
tlonde:
f
¡
t Y xt=
son los estimados de las medias, de los períodos
comunes, de tamaño Nr de las variables yté xr
S,,,, = son los estimados no sesgados de las
desviaciones estándar, de yt y x¡de los períodos
comunes de tamaño Nr
r = coeficiente de correlación
Estimar los parámetros:
Los estimadores de a, b y r se calculan con las siguientes
ecuaciones:
s,,,,
D= f§,,,,
S,ar,
,
,
.
ó
...(e.2)
Ecuación de completación o extensión:
Sustituyendo valores en la ecuación (9.1), resulta:
...(e.s)
a= yr-bx,
lt=
>¿
Nr
...(e.3)
l)ara mejorar la información, a la ecuación (9.5) se le agrega otra
componente, que es una variable aleatoria, que tiene por objeto dar
tuna mejor representatividad de la serie hidrológica, especialmente
t:uando se quiere extender la información a un periodo largo (por
Completación y extensión
-
HidrologíaEstadística
página (340)
ejemplo incrementar el registro en 20 ó 30 años), por lo cual, la
ecuación (9.5) se puede expresar de la siguiente forma:
y,
s
=l*r#(r, -l)* deil-r'z.s,rr)r,
Y xt= son los estimados de las medias,
,^Ñ,1
t,=-:- "ll- r'
...(9.6)
/c = valor del estadístico / calculado
Nr = tamaño del registro común dó las series
de los períodos
desviaciones estándar, de yt y x¡ de los períodos
comunes de tamaño N1
r = coeficiente de correlación
tr = variable aleatoria normal e independiente, con media
cero y varianza unitaria
€t- NI(0, 1).
0=
0
se usa en completación, en este caso el ruido aleatorio
no es considerado
0=
I
se usa en extensión, en este caso el ruido o factor
aleatorio si es considerado
f (Nl, N2) corrige el sesgo
N, (N, - +)(r'r, - r)
*(r, -0(r, -l)(r'r, -z)
u-T
.
...(9.8)
donde:
comunes de tamaño, Nr de las variables !¡ é xt
S,,r, , S,,,, = son los estimados no sesgados de las
cr =
página (341)
ir) Cálculo del estadístico t", según:
donde:
lt
-
en la variancia del proceso
r = coeficiente
b) Cálculo de r¡
El valor crítico de t (t,), se obtiene de las tablas r de Student (tabla
,21.5 del apéndice), con 95Vo de probabilidad, o con un nivel de
significación del 5 7o, es decir'.
al2 = 0.025
G.L. = Nt-Z
c) Comparación del /" con el /,
correlación significativ
. Si
I t" l, t,
-> r es significativo, por lo que sí existe correlación
significativa entre las variables )1 ] /1, y se puede hacer uso de la
ecuación (9.5) ó (9.6), para la completación y extensión.
...(e.7)
Criterios de confiabilidad.
de correlación
Si r resulta no significativo se puede aplicar el
proceso de
rrutocorrelación o probar con o[ra serie.
La ecuación (9.5) ó (9.6), sólo se podrá usar si hay una correlación
significativa entre las variables )t y x¡, es decir, si el coeficiente de
correlación r de la ecuación (9.4), es estadísticamente significativo
con un cierto nivel de confiabilidad, utilizando el estadístico t, para
esto se procede de la siguiente forma:
9.4 Criterios para mejorar los estimados de los
parámetros
Usando el análisis de correlación, para extender el registro corto de
l¿r
serie y, de una estación con tamaño Nr, utilizando otro registro
Completación y extensión
-
página (342)
Hidrología Estadística
largo de la serie x, de otra estación con tamaño N = Nr* N2, surge la
pregunta, ¿si la extensión de Nz valores mejora o no, los parámetros
requeridos de la serie y?.
Es muy posible, que la adición de Nz valores, puede dar un estimado
peor (más malo), de los parámetros de la serie y, por lo cual, es
necesario conocer algunas medidas de confiabilidad de los
parámetros estimados, antes y después de la extensión.
Se puede ltilizar La varianza, para medir
la precisión de los
-
página (343)
Con este registro, completar los datos faltantes de los años 1990 y
1998, de la estación San Antonio, a partir de su correlación con la
cstación Cachí.
2. En la
tabla 9.2, se muestran los registros de caudales medios
para el período 7g5g-lgg8, de las estacione A y
anuales,
"n -'ls,
B.
'l'abla 9.2 Catdales medios anuales de las estaciones A y B
estimados, así se tiene:
. Si la VAR(serie y reconstituida) > VAR(serie y histórica),
.
entonces el estimado es menos preciso, por lo cual no se
recomienda la extensión de los datos.
Si la VAR(serie y reconsrituida) < VAR(serie y histórica),
entonces el estimado es más preciso, por lo cual se puede usar la
extensión de los datos.
Año
1.
969
15.81
1971
17.28
18.86
33.48
959
960
1
961
1
1962
1
963
965
1 966
1
En la tabla 9.7, se muestran los datos de precipitación anual,
rnm, de las estaciones San Antonio y Cachí.
Tabla 9.1 Precipitación anual de las estaciones San Antonio y Cachí
Año
San
Cachí
Año
Antonio
986
1987
1
4151 .0
1
3736.6
3263.2
988
2149.2
2115.5
2195.1
1
989
1 990
3438.1
1822.O
'1991
992
3140.4
3474.4
2000
31 1 6.1
2616.7
1739.8
1799.0
1621.7
1
San
Cachi
Antonio
1
993
994
1 995
1 996
1997
1 998
1 999
1
2987.7
3633.3
3606.8
3945.4
3004.1
2918.8
1888.1
2020.1
2095.2
2104.3
1678.0
1703.0
2083.5
B
rm3lsl
1970
1
1964
9.5 Problemas propuestos
A
(m3/s)
26.26
22.12
33.39
21.15
25.64
20.99
22.06
25.74
30.90
25.97
20.56
1
967
'1968
1
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
19.75
20.82
26.23
23.99
21.56
34.25
30.82
42.56
12.54
41.35
36.20
34.22
29.87
20.42
30.35
31.24
10.76
Año
A
B
1979
980
rm3lst
22.14
22.57
20.14
lm3/s)
25.89
20.70
26.51
15.06
34.85
21.92
31.58
27.15
1
1
981
1982
983
984
1 985
1 986
1
1
1987
988
1 989
1 990
1
28.83
26.03
21.02
25.88
13.62
17.88
'15.99
36.95
9.25
22.42
17.49
25.11
11.72
199'1
35.84
21.22
35.57
25.67
1
992
1 993
1 994
't995
24,11
36.'19
29.16
24.29
38.08
21.36
51.40
24.76
44.30
17.95
25.01
35.26
37.06
23.02
996
1997
1
1
998
18.16
14.98
41.25
27.76
35.83
1
1.00
Suponiendo que en la estación A, elperiodo 1989-1998 no tiene
información, realizat el proceso de extensión de esta información
para este período, a partir de la serie de la estación B.
Completación y extensión
.
-
Hidrología Estadística
página (344)
Indicar las ecuaciones de extensión, para e = 0 y 0 =
.
1.
Comparar los valores registrados, con los resultados obtenidos
de la extensión, con ambas ecuaciones y obtener la diferencia en
cada caso.
3. En una cuenca,
-
se tienen 2 estaciones A y B en las cuales se
midieron los caudales medios mensuales,
-3/s para el año
1999, y algunos caudales medios mensuales"npara la estación A,
para el año 2000. Los resultados se muestran en la tabla 9.3.
Tabla 9.3 Caudales medios mensuales de las estaciones A y B, en
*3/.
Año
Mes
Estación A
mtls
Estación B
mtls
999
999
I 999
E
175.97
75.83
321.08
1
1
F
M
45.94
22.81
155.41
999
A
77.57
274.58
999
1 999
1 999
1 999
1 999
M
131 .1 8
J
J
999
1 999
o
999
D
2000
2000
2000
2000
2000
2000
E
136.05
171.13
475.75
897.42
710.59
268.30
224.30
84.85
43'1.65
446.52
1
1
1
1
A
S
N
F
M
189.32
321.67
A
567.21
M
J
222.78
677.32
456.84
1270.04
2089.29
1618.41
431.72
509.33
-
página (345)
Se desea extender los datos para los meses Enero-Junio, del año
2000 de la estación B,para lo cual se pide:
Indicar cual sería la ecuación de extensión, simplificar ala
forma:
Bt=a+bAt*Ct¡
donde: sr - NI (0,1)
Extender los datos para los meses Enero-Junio del año 2000 de
la estación B. Explicar todo el proceso seguido para la extensión.
Generación de
números aleatorios
L0.L Generación de números aleatorios
uniformemente distribuidos
El método más aceptable, para generar números aleatorios es aquel
que produce números que sean:
.
.
.
,
uniformemente distribuidos
estadísticamenteindependientes
reproducibles
sin repetición dentro de una longitud determinada de la
sección
De igual manera, tal método deberá ser capaz de:
¡
.
generar números aleatorios a grandes velocidades
requerir un mínimo de la capacidad de almacenamiento de la
computadora
Generación de números aleatorios
-
página (34g)
Hidrología Estadística - págrna (349)
Los métodos de congruencia, se diseñaron específicamente para
satisfacer los requerimientos antes mencionados y se basan
en una
relación fundamental de la congruencia, que puede expresarse por
medio de la siguiente fórmula recursiva:
U¡*t=aF¡*c(modm)
donde: Lti, a, c y mson enteros no negativos.
... (10.1)
Desarrollando la ecuación (10.1), para, i 0,1,2,..., se obtiene:
=
Ih=alto+c(mod m)
t!= ah +.c (mod m) =a2uo *
.:
:
ui =
i
a. u,o
:
la cual permite calcular una sucesió"
b
a
ui*t =Q'u
se han desarrollado tres métodos básicos para generar
números
pseudoaleatorios, mediante el empleo de las diferentes
versiones de
la ecuación (10.1): el aditivo, el murtiplicativo y er mixto, sin
embargo, existe evidencia empírica de que tás métodos
de
congruencia multiplicativos, producen números pseudoaleatorios
aceptables que pasan toda prueba estadísticá que permite
considerarlos como verdaQeros números aleatorios. La ecuación
de
este método es:
ui*t = au, (mod m)
=22 +l
... (10.3)
... (10.4)
Para estos valores la ecuación (10.3), toma la forma:
* c 4-1 @od m)
a.- I
Una vez dado un valor inicial po, un factor constante a y una
constante aditiva c, las ecuaciones (10.2) conducen a una relación
de
congruencia, para todo valor de i en la sucesión:
{F,, ilr, r1r,.,.}
de enteros no negativos.
Este método adaptado para computadora, emplea un módulo m=pb
que representa el tamaño de la palabra de la computadora, donde p
es el número de guarismos, del sistema de números que usa la
computadora, por ejemplo , p = 2 para el sistema binario y á denota
el número de dígitos en una palabra, por ejemplo 32.Elvalor óptimo
de ¿, está dado por la siguiente relación:
@+t) c (mod m)
(to2)
{r,}
*t)
u,(modz")
... (10.s)
Nota:
En forma práctica, la generación de números
uniformemente
distribuidos entre 0 y 1, se puede hacer con una calculadora manual,
ellas tienen incorporada la función RAN#, que genera estos números.
También, todos los lenguajes de computación, tienen incorporado
subrutinas para la generación de números uniformemente
distribuidos comprendidos entre 0 y 1. Por ejemplo Basic y Visual
Basic, tienen la función de biblioteca Rnd,la que genera números
uniformemente distribuidos, comprendidos entre 0 y 1.
El listado 10.1 permite generar la cantidad de números aleatorios
uniformemente distribuidos, indicado por el usuario.
Generación de números aleatorios
Listado
l0.l;
-
Generación de números uniformemente distribuidos
entre 0 y l.
lNPUT "lngresar la cantidad de números aleatorios a generar" ; n
RANDOMIZE TIMER
CLS
PRINT n ; " Números uniformemente distribuidos entre 0 y 1"
FORI=1TOn
PRINT USING " #.####### " ; RND
NEXT I
PRINT
Hidrología Estadística - página (351)
página (350)
;
END
El
listado 7O.2, permite generar números aleatorios enteros,
comprendidos entre dos valores a y b, esto resulta de interés cuando
se desea realizar ejemplos de simulación de juegos.
.
En computación, permite la simulación de juegos.
10.2 Generación de números aleatorios
normales independientes
l,lxisten varios métodos para generar números aleatorios normales, a
partir de los números aleatorios uniformemente distribuidos, entre
cllos se tiene:
l)rocedimiento del límite central
l)rra el cálculo de números aleatorios normales, se usa la siguiente
ccuación:
fl=uttur*...*ut
Listado 10.2: Generación de números aleatorios enteros entre a y b
CLS
INPUT " lngresar elvalor inferior A" ;A
INPUT " lngresar el valor superior B" ;B
INPUT " lngresar la cantidad de números aleatorios a generar" ; n
RANDOMIZE TIMER
CLS
PRINT n ; " Números uniformemente distribuidos entre" ;A ; "y" ; B
FOR l=1 TO n
PRINT A+lNT ((B-A+1).RND) ;
NEXT I
PRINT
END
-L2
... (10.6)
ó
-qk
n= L,l
\ u.,
,)
tlonde: ai = número aleatorio uniformemente distribuido (0< ui<l).
Si fr =12, la distribución de valores n se aproximan a una
tlistribución normal, con media cero y varianza unitaria, es decir, en
oste caso n es un número aleatorio normal.
Para obtener los números aleatorios normales e independientes, con
rnedia
i
y desviación estándar S, se emplea la siguiente ecuación:
I
El uso de la
generación de números aleatorios, es de suma
importancia en diferentes actividades, por ejemplo:
. En hidrología, permite la generación de series sintéticas.
. En trabajos de experimentos, permite la selección de
muestras en forma aleatoria.
'= {?)ulr.",-i).0
... (10.7)
Generación de números aleatorios
-
Hidrología Estadística - página (353)
página (352)
l-istado 10.3: Generación de números normalmente distribuidos
Procedimiento rápido
CLS
Pata el cálculo de los números normales, se utiliza un polinomio do
5o grado que tiene como variable, a los números uniformemento
distribuidos.
Se afirma que esta técnica es la más rápida, aunque se le imputa, quo
emplea varios cientos de ubicaciones de memoria para almacenar en
la computadora ciertas constantes específicas.
pi= 4 * Atn(1)
lNPUT "lngresar la cantidad de números aleatorios a generar"; n
nn=nl2
RANDOMIZE TIMER
CLS
S=0
f)RINT n; "Números normalmente distribuidos
FOR
Procedimiento directo
u'l = RND
u2 = RND
El método de Box y Muller es el más práctico, requiere de dos
nx1 = SQR((-2. LOG(u1)))
nx2 = SQR((-2. LOG(u1)))
números u t, uz aledtorios independientes uniformemente distribuidog
y definidos en el intervalo (0,1), los cuales son transformados en dog
números ni, tti+r aleatorios independientes normales, con media 0, y
vaianza 1, donde:
n, =
{-ztnu, cos(zlur)
... (10.8)
ni*t =
"Frln\
sin(znu, )
El listado 10.3 permite
generar números aleatorios normalmentc
distribuidos, utilizando el método de Box y Muller.
Para obtener números aleatorios normales, con
medra
PRINT USING
PRINT USING
NEXT
. COS(2 " pi* u2)
SIN(2 . pi* u2)
.
' ##.####### "; nx1;
',
##.####### "; nx2;
i
lFnMOD2=0THEN
LLSE
u1 = RND
u2 = RND
nx1 = SQR((-2. LOG(u1))). COS(2 * pi * u2)
PRINT USING ' ##.####### "; nx1;
END IF
PRINT: PRINT
t:ND
xy
10.3 Generación de números aleatorios lognormales independientes
desviación estándar S, se realiza la siguiente transformación:
N' = x*
"
i= 1 TO nn
Sn'
... (10.e)
N,*, = x*Snr*,
l'nlr
r¡¡ rr
r
klncle:
donde, M, M+r son dos números normales independientes, con
x y desviación
estándar S.
generar números aleatorios log-normales, se utiliza la siguiente
sformación exponencial:
Ln,=EXP(n,)=e''
... (10.10)
I
Generación de números aleatorios
-
10.4 Problemas propuestos
= número normal independiente (0,1)
Lni = ¡¡¡i¡¡r"ro lo g - normal independiente (0, I )
/¿i
Para generar números log-normales con
parámetros Fy
Hidrología Estadística - página (355)
página (354)
2
L
Se desarrolló un experimento en celdas, ubicadas en una tabla
que tiene 10 filas y 20 columnas.
parámetros,
y Sy, se usa la ecuación:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 15 16
u +S n.t
Y
LN,=EXP(ur1-Srn,)=e !
17
18
19 20
1
2
... (10.11)
u l-S n.t+l
Y
LN,*r=EXP(u, Srn,*r)=e !
3
4
5r
0
donde:
LNi, LNi*t = son dos valores log-normales independientes
con parámetros p, , ,S,
lr, , S y = Son los 2 parámetros de la distribución log
ni, tti+r = son dors números aleatorios N(0,1), obtenidos da
la ecuación (10.8)
parámetros py, §y, X6 se usa la ecuación:
z -lS n.t
Y
LN, = Xr+ EXP(u, * Srn,) = Xo +, !
... (10.12)
*,S n-
z
+e !'"y'"i+l
donde:
LNi,
f)
10
l'nra el análisis de los resultados, de esta tabla se deben elegir 6
fila y columna.
ilruestras, seleccionando en forma aleatoria su
Para generar números log-normales con tres parámetros,
IN,*, = Xo+EXP(ur*Srn,*r)=Xo
7
{}
LNi+t = son dos valores log-normales independientol
con parámetros p, , ,Sy, Xo
It, , S y, Xo = son los 3 parámetros de la distribución lo¡.
normal
hi ,tti+t = son dos números aleatorios N(0,1), obtenido¡
la ecuación (10.8)
l'¡ra realizar este proceso, generar 6 pares de números; para las filas
Irlnerar números del 1 al 10; para las columnas generar números del
I ¡rl 20, de tal manera que indiquen las muestras a seleccionar.
Muestra
Fila
Columna
1
2
3
4
5
b
Nr¡ta. La función de biblioteca INT(x), extrae el mayor número
tlrloro que algebraicamente no excede a x.
Í
Generación de números aleatorios
-
Hidrología Estadística - página (357)
página (356)
Explicar detalladamente como se generaron los números para las
filas y columnas, mostrando todos los resultados parciales.
2. En el
Departamento de Hidrología del ICE, existe una
metodología, para calcular valores máximos de caudales y
precipitaciones, utilizando valores índices. Los valores índices,
se obtienen calculando la mediana de la serie y de las series
.
Calcular la mediana de la serie generada.
Nota. Explicar detalladamente como se generaron los caudales de la
sr'r'ie generada, mostrar todos los resultados parciales.
1.
Una estación tiene un registro de caudales anuales de20 años, en
m3/s, los mismos que se muestran en la tabla 10.2.
generadas.
I'lbla 10.2 Registro de caudales,
Dada la serie de 15 datos de caudales que se muestra en la tabla
273
643
10.1.
1
756
Tabla 10.1 Serie de caudales
o
(m3/s)
1
2
3
4
5
7
8
41.2
9
10
30.9
11
12
13
14
15
T
I
62.5
44.0
43.4
45.5
48.5
49.2
40.4
Calcular la mediana de la serie.
Generar una serie de 15 datos, que contengan únicamente
valores de caudales de la tabla 10.1, éstos pueden ser repetidos.
045
1875
2876
'133
186
883
616
706
224
122
2409
551
1
186
134
1
1 967
3687
.
Realizar
la
prueba de bondad de ajuste SmirnovKolmogorov, para ver si estos datos se ajustan a la
distribución normal. Si el ajuste fuera bueno, generat 20
datos normales con parámetros X , S de Ia serie.
.
Realizar
la
51.9
42.5
58.8
59.6
55.3
59.0
6
734
", -'/.
prueba
de bondad de ajuste Smirnovsi estos datos se ajustan a la
Kolmogorov, para ver
distribución log-normal de 2 parámetros (py, oy). Si el ajuste
fuera bueno, generar 20 datos log-normales con parámetros
[ty, oy de la serie.
.
Realizar un análisis estadístico para probar si los datos de la
tabla lO.2 (Í,, §',) y de las series generadas (X* S2z)
normal y log-normal, tienen las medias iguales (X, = X r) o
diferentes, las varianzas iguales (S2r=S2z) o diferentes.
Nota: Mostrar todos los resultados parciales
obtuvieron.
y
explicar como
se
r-
Intervalos de
confianza
11.1 Estimación puntual y estimación por
intervalos
e, *3/r, de una
tabla 11.1, al
que
indican
en
la
(estación
se
de aforo),
¡roblación
calcular sus parámetros estadísticos, se obtiene:
Dada una muestra de20 datos de caudales anuales,
Media:
Varianza'.
Desviación
Coeficiente
Coeficiente
Coeficiente
55.82
666.84
25.82
0.42
0.46
2.27
estándar:
de sesgo:
de variación:
de curtosis:
Población
(rr,"2)
Muestra
(x,s2,cv)
Intervalos de confianza
-
Tabla 11.1 Muestra de 20 datos de caudales, en m3ls, de una
población
30.1
27.8
s0.4
100.1
26.5
80.4
50.3
60.2
90.6
90.1
85.3
34.1
17.l
48.3
50.6
95.2
44.4
33.3
60.8
40.2
Estadística Aplicada
página (360)
-
página (361)
ll.zlntervalos
de confianza para la media de
una distribución normal, cuya varianza es
conocida
Sea X1, X2, ..., X, una muestra dada extraída de una población
clistribuida normalmente, y cuya vaianzao2 es conocida.
Estimación puntual
Ef intervalo de confianzapana la media poblacional p gs la siguiente:
Es un solo valor que se mide a partir de una muestra y se usa como
una estimación del parámetro poblacional correspondiente.
Por ejemplo, la muestra de la tabla 11.1 tiene una media de 55.82
m3/s, la misma que representa una estimación puntual para la media
p de la población correspondiente.
donde:
X-k3pSX+k
,.-cor
^,ln
X
Estimación por irrt..orlo y nivel de confianza
La estimación por intervalo, establece un intervalo dentro del cual es
mu¡r probable que se encuentre el parámetro poblacional. El
coeficiente de confianza., se usa para indicar la probabilidad de que
.una estimación por intervalo contenga el parámetro poblacional. El
nivel de confianza (99Vo, 957o), es el coeficiente de confianza
expresado como un porcentaje.
= media muestral
c = valor de la tabla normal estándar que refleja el nivel de
conftanza \ (9 57o, 99 Vo, etc.)
o = desviación estándar de la población
n = tamaño de la muestra
El proceso de cálculo es como sigue:
L
Calcular la media
2.
Elegir un intervalo de confianza y (957o,997o, etc.)
X
de la muestra
Xr Xz, ..., Xn.
Por ejemplo, si se hacen los cálculos correspondientes, la media de
la población p, de la muestra de la tabla 11.1, con una probabilidad
del957o (nivel de confianza), esta en el intervalo:
43.73621 p I 61.9038
rr=5%
J.
Determinar
c apartirdel valor de y de latabla ll.2
r
Intervalos de confianza
página(362)
Estadística Aplicada
Tabla 11.2 Valores dec paray- 90,95, gg,gg.g %
0.90
1.645
"T
c
0.9s
0.99
1.960
2.576
0.999
3.291
-co
=,-_
"Jn
De la tabla 11.2, para Y = 0.95, se tiene c = L.960
4.
Cálculo de k:
1.960 x 3
-
l¡-"-;--
.,/100
.... (11.1)
5. El intervalo de confianzapara la media ¡t delapoblación es:
*.- t< < tt <X + t
.... (tl.z)
se observa en la tabla I 1.2, qae si y crece, c también crece. por lo
tanto, mientras más cercano a r se escoja y, se debe esperar
página (363)
3.
4. Calcular:
k
-
5. Cálculo
=0.588
de:
X -k=5-0.588=4.412
X +k=5+0.588=5.588
Luego, el intervalo para p, con una probabilidad del95 Vo es:
4.212 S tr 15.588
Iijemplo 11.2:
intervalos de confianza más grandes.
z en el ejemplo 11.1, si se desea obtener
un intervalo de confianza del 957o de probabilidad y de longitud L =
¿,Qué tan grande debe ser
Por otro lado, de lu
(r1.r), se observa que el varor de É
"",.ru.ió,
disminuye, al aumentar
el tamaño n delamuestra. Ésto implica que,
en general, las muestras más grandes darán intervalos detonfranza
más cortos, es decir, información más precisa.
0.4?
Solución:
X
X-t<
Ejemplo
1l.l:
k
k
un 95vo de probabilidad, un intervalo de confianza
para la media de una distribución normal, con varianza o2 9,
=
usando una muestra de n = 100 valores, con media T 5.
=
L=2k
Determinar para
Solución:
1. ValordeX=5(dato)
2. Valor de y = 0.95 (dato)
X+k
t
La longitud L es:
L=2k =2'o
-
"1"
donde:
-
^Jn =
2co
L
4c2o2
ü
Intervalos de confianza
Si y
-
-
957o, de la tabla 11.2 se obtiene: c
4x7.9602
página (364)
Estadística Aplicada
x9
L/o
l
05
n=870
La figura 11.r muestra cómo decrece z cuando
n crece.cuanto más
cortas deseamos que sean los intervalos
de confiunru,..ra, grande se
debe escoger el tamañ o n de la muestra.
o.2
\
\ \
\
¿,
0
0.95
1
.00
lrigura 11.2 Longitud del intervalo de confianza, medido en múltiplo
tlc o, como una función del tamaño n dela muestra
Y=99%
0
.l
7--)
11.3
'!=95Yo
0
l=ioo
n=1 000
0.90
U
I
t
n=5j
-r n=200:
0.6
o.4
página (365)
10
= I.96O,luego:
0.42
t
L/o
-
500
rooo
Figura l l.r Longirud der intervalo de confianzu,
,1"ároo en múlriplo
de o, como una función del tamañ o n dela
muestra
La figura 11.2 muestra cómo crece L, cuando y
crece ( con
constante ). Es claro que: L _+ * cuando y _+
l.
n
Intervalo de confianza para la media de
una distribución normal, con varianza
desconocida
lil
proceso para el cálculo del intervalo de confianza es como sigue:
Calcular la media X y lavarianza,S2 de la muestra X1,X2,...,X'.
2. Escoger el nivel de confianzay (95Vo,99Vo, etc.)
.t. Determinar la solución c de la ecuación:
l.
F(c)=)O.
rl
.... (1 1.3)
t
rr partir de la tabla de la distribución con n-l grados de libertad
(tabla 4.6 del apéndice, donde n = tamaio de la muestra)
(lon el valor de c calculado, determinar:
Intervalos de confianza
-
página (366)
c
Estadística Aplicada
.... (11.4)
"l;
En la tabla 11.3, se muestran algunos valores de c t Ji, p&rá y
=
0.95 y \ = 0.99, para algunos valores de n.
Tabla 11.3 Valores de
C
T"
n
Y
2
3
4
5
6
248
1.59
124
105
, en función de
Y
9
0.764
1.12
10
0.715
0.554
0.468
0.413
0.769
0.640
0.559
20
25
30
40
50
100
200
500
0.373
0.284
0.198
0.139
0.088
0.'184
0.1 16
95Vo, para
la media de la
que la población se
población
distribuye
normalmente.
=
666.84
S = 25.82
Por dato del problema, el nivel de confianza es: y = 0.95
.1. Puesto quen=20,delatabla 11.3, setiene:
f
=0.468
^Jn
Nota: El cálculo
tabla
.
d" f- , se puede también
^Jn
realizar utilizando la
4.6 del apéndice, para esto hacer:
De la ecuación (11.3), para un F(c)=
grados de libertad: 20-L=19, de
c=2.09
De la ecuación
1+ 0.95
=0.975 y
"ln
(1
1.4), se tiene:
El valor de k de Ia ecuación
k=25.82 x 0.468
.... (11.s)
k=
Calcular el intervalo de confianza para p:
.... (11.6)
5.
con
la tabla (4.6), se encuentra
c
=0.4673
^,ln=2,P9
'120
Calcular:
)(-kSttSX+k
del
correspondiente. Suponer
0.263
_ .tc
k=5.
Ljsando la tabla 11.1, determinar un intervalo de confianza, con una
probabilidad
').
103
0.s03
0.428
0.379
0.320
li.jemplo 11.3:
52
1.65
8
página (361)
Solución:
l. De los datos, se tiene:
X = 55.82
= 0.99
45.0
5.73
2.92
2.06
140
124
15
nyy
cuando
0.925
0.836
7
4.
= 0.95
8.99
!^ln
-
(1 1.5), es:
12.0838
Los límites del intervalo, utilizando la ecuación (11.6), son:
Intervalos de confianza
-
n
Por lo tanto, la media de la población p, pertenece al intervalo:
I
2
3
67.9038
4
5
6
7
De los cálculos anteriores se puede concluir, que al 95Vo de
confranza,la media poblacional de los caudales, se encontrará entre
los valores 43.7362 m'/s y 67.9038 m3ls.
I
I
10
ll.Alntervalo
15
de confianza para l'a varianza de
20
25
la distribución normal
30
El proceso de cálculo del intervalo de confianza, es como sigue:
1. Calcutar la varianza',S2 de la muestrai X1, X2, ...,Xn, luego
calcular (n-1)S2
2. Elegir el nivel de confianza! (95Vo,997a, etc.)
3. Determinar las solucioles c1, cz de las,ecuaciones:
I
F(ci =:0-Y)
2.
r
página (369)
yy
Tabla 11.4 Valores de ct, cz en función de n
X + k = 55.82+ 12.0838 = 67.9038
X - k = 55.82-12.0838 = 43.7362
43.73621tr
-
Estadística Aplicada
página (368)
40
50
100
4.
v = 0.95
C1
0.00
0.05
0.22
0.48
0.83
1.24
1.69
2.18
2.70
5.63
8.91
12.4
16.0
23.7
31.6
73.4
v = 0.999
q
Ct
h
5.02
0.00
7.88
738
001
9.35
0.07
11.1
o.21
0.41
10.6
12.8
14.9
12.8
14.4
16.0
17.5
19.0
a partir de la, tabla y2 con n - I grados de libertad (tabla A.g dél
apéndice, siendo n = tamaño de la muestra)
En la tabla 11.4, se muestran algunos valores de c¡ c2,palrty = 0.95
y T = 0.99, para algunos valores de n.
134
22.O
1.73
23.6
31.3
38.6
45.6
407
32.9
39.4
6.84
9.89
128
13.1
52.3
20.0
27.2
66.5
65.5
78.2
139
Calcular:
. (nKl---
1)s2
cl
... (11.8)
" ot'7)
F(cZ)=:(l+y)
18.5
20.3
26.1
45.7
58.1
70.2
167
0.68
0.99
k2=*h-t\sz
c2
5.
El intervalo de confianzaparao2
kz<o2
3
kt
es:
... (11.e)
Intervalos de confianza
-
Estadística Aplicada
página (370)
4.
Con los datos de la muestra de la tabla 11.1, determinar un intervalo
de confianza, con un 957o de probabilidad, de la varianza de La
población, suponiendo que la población se distribuye normalmente.
Los valores de k de la ecuación (1 1.8), son:
'-
o,
x 666'84
= 1421.9933
g.8l
19x666.84
19
' -:':::::::'
32.9
k.t
Solución:
1.
De acuerdo a la tabla 1 1.1, se tiene:
52 = 666.84
luego:
(n-I)52 = 19 x 666.84=12669.96
Por condición del problema y = 0.95
3. Paran=20y y=0.95, delatabla
11.4, setiene:
cr=8.91 ycz=32.9
5.
Nota: Los cálculos de c1 ! c2, sa pueden realizar también utilizando
la tabla A.9 del apéndice, para esto hacer:
De la ecuación (1 1.7) calcular:
/ \ 1- 0.95
\ r/
Fb2\\/2
2
1+ o'95
=0.975
Calcular los grados de libertad: 20-l = 19
De la tabla A.9, para F(c¡) = 0.025 y F(cz) 0.915 y grados de
libertad 19, obtener ct y c2, art este caso, para estos datos, se
tiene que:
cr = 8'91
= 385.1052
Por 1o tanto, el intervalo de confiaflza para la vaianza de la
población 02, de la ecuación (1 1.9), es:
385.1052 <
d <142t.9933
1L.5 Problemas Propuestos
l.
En la tabla 11.5, se muestran 30 datos de caudales me<iios
anuales,
.
página (371)
cz=32'85
Ejemplo 11.4:
2.
-
"n
m'/s.
Tabla 11.5 Caudales medios anuales en m3ls
12.54
34.22
30.82
29.87
42.56
20.42
11.72
44.30
17.95
25.01
22.12
25.74
33.39
30.90
34.25
29.02
20.99
26.25
22.06
30.25
41.35
31.24
35.26
21.15
25.97
36.20
10.76
37.06
25.64
20.56
Realizar la prueba de bondad de ajuste Smirnov - Kolmogorov,
para ver si eitos datos se ajustan a la distribución normal.
Si los datos se distribuyen normalmente, determinar un intervalo
de confianza con 95 Vo de probabilidad, para la media p' y
varianzao2 de la población correspondiente'
Intervalos de confianza
-
página (372)
2. En la tabla 11.6, se muestran 24
datos de caudales medios
anuales, en m3/s.
Tabla 11.6 Caudales medios anuales
175.97
171.13
84.85
123:O2
75.83
475.75
189.32
226.25
45.94
897.42
321.67
322.12
"n
m3/s
77.57
710.59
567.21
433.39
131 18
268.30
222.78
521.15
136.05
224.30
677.32
725.64
Si los datos se distribuyen normalmente, determinar un intervalo
de confianza con 95 % de probabilidad, para la media p, y
varianza o2 de la población correspondiente.
Bibliografía
consultada
Abramowitz, Milton - Stegun Irene. Handbook of Mathematical
Func:tions. Dover Publications, Inc. New York, U.S.A, 1972
Aliaga, Segundo. Tratamiento de Datos Hidrometeorológicos.
Editorial Horizonte Latinoamericano, Lima, Perú, 1983.
Aliaga, Segundo. Hidrología Estadística. Editorial Horizonte
Latinoamericano, Lima
- Perú, 1985.
Amisial, Roger. Distribuciones Teóricas Comúnmente Utilizadas.
Centro Interamericano de Desarrollo Integral de Aguas y
Tierras (CIDIAT), Mérida - Venezuela,1978.
Benjamín, Jack - Cornell, A1lin. Probabilidad y Estadística en
Ingeniería Civil. Editorial McGraw-Hill, Bogotá, Colombia,
198 1,
lliran, Ch. Statistical Methods in Hydrology. Iowa, State University
Press, U.S.A., 1977.
I{osking, Jonathan L-moments: Analysis and estimation of
distributions using linear combinations of order statistics.
Journal of the Royal Statistical Society B52: 105-124. 1990.
Anexos
A. Transformada de Lapalce y función gamma
B. Funciones trigonométricas
Transformada de
Laplace y función
gamma
4.1 Justificación
Hrr Hidrologla es de uso frecuente las distribuciones normal, lognrrrmal, gamma de 2 parámetros, de 3 parámetros o Pearson tipo III,
krg-Pearson tipo III, Chi-cuadrado, / de Student, F, y otras.
Lu evaluación de los parámetros de algunas de estas distribuciones,
¡xlr el método de los momentos, se simplifica enormemente, si se hace
uso del concepto de la transformada de Laplace. Esta también se usa
¡tnra resolver ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
l{n las distribuciones mencionadas y otras, el uso de la función garnma
os irnprescindible.
A l'in de simplificar los cálculos posteriores, y así contar con una
Itcrramienta matemática adecuada, es que en esta sección, se realiza
Transformada de Laplace y función gamma
-
Hidrología Estadística
página (380)
l.,a
gamma.
l)cfinición:
Latransformada de LaPlace
§i la transformada de Laplace de una funciónflr), es F(s), es decir, si
1./(/))= F(s), entonces flr) se llama la transformada inversa de
*
l.l¡rlace de F(s) y se denota por:
Definición
>0.
una función de valores reales, deirnida para t
multiplica f(t) por e-" y se integra con respecto a f, desde cero
infinito, es decir:
Sea
flr)
ll
u-"
f (t)dt
- !; r-" f
se llama
el operador de la
transformada inversa de
l,rr¡llace.
* ''{F(s)} = *
-'{
Í{flt)}} =flt
hrtcgral impropia
Dcl'inición:
tftrn de las formas particulares de las integrales impropias de límites
htl'irritos es:
La transformada de Laplace de la función original flt) 6 f, lc
por F(s) o por .t {f:t)l,a lfl,"t ffir)}(s) ó "e [fl(s), es decir:
f t/(r)) = F(s) = f,'-" f (t)dt
es llamado
of
siendo
Notación
of
tklncle
-,{r(r)}
=á
-1,
dt)dt
F(s) se define como la transformada de Laplace deflr)'
función original y F(s) la función imagen'
Donde
fG)
l,n tlefinición anterior se puede expresar matemátícamente cofno:
y si esta integral converge, entonces es una función de sl' F(s)'
F(s)
página (381)
transformada inversa de Laplace
un estudio breve de la transformada de Laplace y de la
A¡.2
-
li rr'v'
It cual es similar
lrlrr integral
el operador de la transformada de Lapltol,
a la
definición de Ia transformada de Laplace.
se evalúa de acuerdo con la regla:
!í ¡a¡0,=, T".ff rQ)dt
cl límite de la derecha existe y es finito,
que aquí se ocupa'
En general, .§ es una variable compleja, pero para lo
considerar como variable r':al.
I
tl
se dice que la integral
lpiá converge, de lo contrario, se dice que la integral diverge.
-
Transformada de Laplace y función gamma
Hidrología Estadística
página (382)
Ejemplos de la evaluación de la transformada de
Laplace
Solo a medida de ejemplo, del uso de la definición de la transf'
de Laplace, se plantean 1« s siguientes ejemplos:
Solución:
l,o que indica que la transformada de Laplace de la función eut, es la
lirrrción:
F(s)= '- paras){t
s-a
1
'lirrnbién se puede concluir que:
'er{r(s)}-r {ls-a)
' I=r^
-r
lljcntplo A.2:
De acuerdo a la definici n:
(lrrlcular la transformada de Laplace de la función:
,llt) = sen at, donde a es constante
I
{uo'}
-
á
{ro'}
- l,* e-$-a' dt
(s-a)t
r-t'-"" t")
¿r= tirnl'I
= lim l- ¿,-{ -1
i---Jo
S-a-
lr*
e-" e"'dt
'
=_ ,
I
lr*b^'-''á - 1)/
§-4á+-\
r^'-^u -r) ... (a.1)
't {."} =- s-a'
"l-(l,g
t:- --(s-a\b _ 1"=O ,Sis_a>0ós>a
L!!,
e
Luego de (a .1)
türlución:
l,
:
d {.u'}=-]-(-D
s-a
Aplicando la definición:
á {sen at}=J* e-" sen at dt
,r*qr_r,_ru_uo)
s-ab-
pero:
página (383)
d {"u'}= I ,sis>a
s-a
.'.
Ejemplo 4.1:
Hallar la transformada de Laplace de la función:
f(t) = eo', donde a s con tante.
-
2,
Cálculo de:
I
e-"
...(a.2)
sen at dt
Ittlcgrando por partes, se tiene:
u=e -st
=
dy=senatdt =
du=-se-"dt
1
,=-;cosat
tttstituyendo en (a .2), se obtiene:
Transformada de Laplace y función gamma
Ie-"
dt = -!
sen at
"-,,
cos at
-
_
IIu,,
página (3g4)
cos at
Hidrología Estadística
3.
Cálculo de:
dt ... (a .3)
t
I,
...(a.4)
,
=
senat at
-
página (385)
=¡y1J! e-" senat dt
Cálculo de:
Je-"
cos at dt
Integrando por partes, se tiene:
u = e-tt
=+ du = -s
dv=cosatdt =) ,=1
a
e-tt
te
.-"
at dt =
I
"-",
sen
at
+
!
sen at
dt = -!,,,
=_
I
cos at
e-", cos
-
Je-"
t
!r-,,
sen at
dt ... (a .5)
haciendo:
I(?,,
ot_ !_r_,,sen
senat *
=
j#,
!,,*,)'uo]
,,[.o, o,
*
!
[
r-,, senot
d)
t
=cos
-1
ob+!senab
a
y sabiendo que, para s > 0:
lim ¿'á -) oo
b-+
*
_
,-,,
[
dt
=---1
J-+
¡-a
S¡r_
sen
)l
atdt=f-l
+o'Ll(*ro,,,
a ---""+-senatl
sen at
at +
! sen ab
(r. :?)t ,-" sen oo, r, = - I , ,,"io,, o, - l
Je-,,sen
;+,-"[.o,
senat
Reempla zando(a .5) en
fu .:1, resulta:
I e-"
l,S{-
dÍ
Sustituyendo en (a .4), se obtiene:
cos
=
!r"no,)
st
senat dt
se tiene:
at
I = lu-" senat dt =
'
.'.
Í{sen o*=
Observar que:
-;
-"!
.§'+a'
?+t
para s > 0
para s > o
Transformada de Laplace y función gamma
-
Hidrología Estadlstica
página (386)
* t/(r)]= F(s) = I: n't f (t)dt
Ls-
Domlnlo
Fórmulas elementales
(0
La forma de calcular la transformada de Laplace, se puede observar en
los dos ejemplos anteriores. Pero el cálculo de la transformada do
Laplace, se simplifica, si se hace uso de tablas elaboradas para tal fin.
En la tabla A.1, se muestra la transformada de Laplace de algunas
funciones, la misma que es suficientemente amplia, para lo¡
propósitos prácticos presentes.
(2) si
(3)
d
a t/(r))=
F(s) -+
{1:1t¡}+6
* {g@}+re {n@}
* l"
,' d t/(/)}-,'/(o) -.f '(o)
(5) .{ {,f ,', (r)}= ,' * tf trl}- s".f (0) - sn-' f '(0) -... - f "'(o)
g¡
(u)*
{lJ
{tl}=
ravt}=1 *
{¡u>}
s
I
e^'
S-a
I
{
)
s-
¡1.
---:
o
s'?+l
(0
de
deflnlclón
t t(ol
C
s>0
I
Ce^l
S>a
10
g"'
s>0
t1
e"tt
s>0
12
s>0
13
e^tsen bt
s>0
14
e^tcos bt
s>lol
15
e'tsenh bt
slol
16
e^tcosh bt
S-a
t
S-a
Dornlnlo
de
definición
S>a
S>a
1
(s
-
o)2
S>a
nl.
e^'f
(S
- a)n+l
S>a
f(r + l)
, n+l
b
Sen bt
a k'' f @j= FG - a)
ü (r))=, * {Ffrl}-ffo)
t(t)l
9
C
Existen una serie de propiédades de la transformada de Laplace, quo
pueden demostrarse. Para efectos prácticos, solo se enuncian 0
continuación:
Q)+bs|)+ch|)}="*
r
t
Propiedades de la transformada de Laplace
{af
página (387)
l'lbla A.1 Transformada de Laplace de algunas funciones elementales
o-'{ ro -}=t"n"
+ d-
0)a
-
s2 +u2
s
Cos bt
s2 +02
Senh bt
b
s2 -b2
s
Cosh bt
s2 -u2
b
(S-a)2 +b2
S-a
(s
- a)2 +b2
S>a
sa+l¡l
b
(S
-
a)2 -b2
S-a
(s-a)2 -u2
5>a+ lol
5)a
+
b
Hidrología Estadística
Transformada de Laplace y función gaÍrma
-
página (389)
pfoina (388)
4.3:
li.jamplo
(7)
-
)dt
(
'rrlcular:
a br' - 4t -3ea' + senZt]
Solución:
llsando la propiedad (1) de la trar,lsf-ormada de Lapl¡ce_, se tiene:
(f))
(8)
e {sr' - 4; -3ro' + sen2t}= s *
l'}- o* {,}- :* ko'}** {sen 2r}
...(a.6)
I('t
(e)
():
2l 2,
=
(. J
'e ¡,1=
,,
.,
(Fórmula 4)
+
(Fórmula 3)
"e
Lj=
.t
(10
(11)
4 {f t, -
donde: H(t
-
a)H (t
- d}=
e-o' A
"e {ro'}=
L r s-4
{ff'l}
e
[o si t<a
Ir si t>a
a) = I
y
{sen
zr}=
irz*
(Fórmula 2)
+
(Fórmula 5)
lrrcgo, sustituyendo valores en (a.6), resulta:
'e b,'-4t-3ea' +sen2r)=
' +-+s-4 s'+4
.§' s' -\*-2,
a>0
^
(12) Teorema de convolución:
*
{.r
*a(r)}=
-
(.t
lf
f
l'"-
lijuuplo A.4:
I
G
st
-u)s@)d"l "t t/}*
{g}=n1s¡G(s)
f(t)¿t
(13) "e UOI=Jo-'-
l- e- ws
---con período w > 0' es decir:
donde:flr) es periódica,
f(t)= F(t+w)
(';rlcular:
e pe''
cos4t-5e4't5 +8senh3r)
§olr¡ción:
llr¡urdo la propiedad (1) de la transformada de Laplace, se tiene:
Transformada de Laplace
y función gamma _ página
(390)
* brr, cos4t - 5eo, f+
gsenh3r]
=2Á p'' cos+t|-s; bour']*8 .o
{senh zt}
pero:
a pt,
--" '"J- _-_s -3
t cos4r)=
¡r-r¡ *7
e {uotr'}=
_ 120
t - r ("_ 1_=
- +f G- 4t'
*
{senh3r}=
Hidrología Estadística
s'-3-9
* {senhar}=** k-}-)*
...qa.t¡
.e
(Fórmuta 7)
.'.
*
,?1,
{senh af
}=
-,
s-
o
-a'
1
L.Q.Q.D
/
Calcular:
ls'
at}=
+341
(irmpletando cuadrados en el denominador:
s2
senh
6s
_a_
s'-a'
ot = "''__"_*_
sc puede
{senh at}=
d
+6s +34 = sz + 6s+9 + 25 = (r +3)2 + 52
escribir:
,+s l
d,l-jl¿
I=*-,J
-y
+3a[ls2
Iuego:
.e
ot
a-ri +s+s I
Demostración:
que:
a-(s-a)
lljemplo A.6:
Demosffar que:
Sabemos
1. I
-t
2 s-a 2 s-ta
2 s'-a'
l2a
n * -"'
Ejemplo A.S:
{senh
-
b--}
ot}=!.
1. s*
luego, remplazando
valores en (a.7),se obüene:
ot
{senh
Górmula 12)
iri+
página (391)
Aplicando la fórmula 2 delatablaA.l, resulta:
(Fórmula 14)
* b"'' cos4t-se4,ts+8senhtr)=Je_2
-
+ 6s
{r;al
Aplicando la propiedad (1)
de Ia fansformada de
Laplace, se tiene:
l@rf
.
I
l)cscomponiendo el numerador de la siguiente forma:
s*5=(s+3)+2
¡'csulta:
Transformada de Laplace y función gamma
_
página
Hidrología Estadísticu
(392)
-
¡rl¡lttrt I lU I t
til lllr
('-r)(s-r)
tlc donde:
A(s-3)+B(s-l)=2 A+B=Q=] ¿ =
(n+r), -3A- B =2= _ 3A_ B =Z= B -
I
|
luego en (a.10), resulta:
2tl
...(a.8)
pero:
*,1
('*')ri=e-3,cos5/
l(s+r), *s,
I
wurJ'
(propiedad l4)
*''{ * ¡I?-'i=2*,1
*I )-z-,
;t, I= i
. tl * s,
"-'' ',nt,
fG
1t,
Luego, sustituyendo en (a.g), se tiene:
' *-,f-L+5
f
''*6áj=s-3'l
I
cos5r
l=
(propiedadl3)
sustituyendo (a.11) en (a.9), se tiene:
*,
I
z
I
f 1 *,_ll
ll
á, t- ;=
t(, _-* _r-ll=
,tl.
Aolic
'
,f ,
*- 'L'-¡J
d
1
*-r1
+?'-''"nsr
,,,(rt,l l)
(.,-r[r-5¡=-s-t*r-3
Aplic
1, se tiene:
Djemplo A.7:
Calcular:
I z-l
*'l(;il,-l
(ae)
Ejemplo A.8:
Calcular:
Solución:
Descomponiendo en fracciones parciales,
se tiene:
ñ.-rl
s3+3s2+l
tr'(,'
+zt
I
+i)l
... (a.12)
Transformada de Laplace y función gamma
-
Hidrología Estadística
página (394)
Solución:
1
s3
Descomponiendo en fracciones parciales, se tiene:
s'1s'
... (a.13)
2
2
+2s+2
+2s+2
+ s2(Cs +
+3s2 +1
*
2s
+2)+s'1cs + D) =s3
s3:A+C=I
s2 2A+B+D=3
s
1
37
-s+2 2
.2
^
s'^t s'+2s+2
11113s+7
_J-_._r
s' 2 s' ' 2 s2 +2s+2
f
...(a.18)
Sustituyendo (a.18) en (a.12), se tiene:
1* 11 t
*,f-1
s'1s' + 2s +2) j
t2 2s' 2
s3 +3s2 +1
+ 2s +2)+rG'
+ 3s2 +
1
...(a.14)
.. . (a.15)
s :2A+28 =O
...(a.16)
=l
...(a.r7)
:28
+2)
2
página (395)
D)
Igualando los coeficientes de las potencias iguales, se tiene:
so
s3
+ 2s
s'1s' + 2s +2)
de donde:
ar(r'
+3s2 +1
-
3s + 7
J=
s
2
.§
+ 2s + 2
Aplic ando la propiedad (1), resulta:
3
s + 3s2 + 1
) ,
^§-1 s +2s + , )
*;*'{i}.
*;"'{;X*}
¡=-;",{:}
@te)
(fórmula I de la tabla 4,1)
de (a.17)
a=!2
(fórmula 2 de la tabla A. 1)
-!2
de (a.16)
,q.
de (a.15)
*D=31 p=7
-t+122
de (a.14)
=
-!+C=1=
C
a-,f 3s+z l= *.,f¡(s+t)++J
lsz +2s +2)
l(s + t)' + t
J
=1
3(s + 1)
Luego, sustituyendo en (a.13), resulta:
(s+1)2 +1
Transformada de Laplace y función garnma
='jrr
-
Hidrología Estadística
página (396)
i;+-)*o*'i#-i
=3e-'cosf + 4e-' sent (fórmulas
13
y
12
página (397)
+4s+10
s2
12.
-
s2 -2s +3
(s + l)3
Remprazando valores en (a. 1 9), s" outi"rJelspectivamente)
4-,J s' +3s' +l I=-1 *L*1r-,
[r'(r' +2s +2)) 2 2 2
"o"r+2e-,sent
6s2
-lls
+ 15
s(s2
-
+3)
2s
s+2
A.3 Ejercicios proPuestos
Calcular la transformada de Laplace de las siguientes fuaciones:
s2
""
+42s-34
(r'+l)(s2 -6s+13)
..
8s3
l. t' -7t'+8
2.
(t +Z)te'
3.
e3'cos3,t:cos4f
4. e'' sen'2t
5. e3' 7t + cosh r)
6. cos',
7.
sen'2t
8.
(senr + 1)3
+2s +13
t rr¡
t1
-10s2
+39s -12
-z3sz
----(s' +2)(s" - 4s + 5)^----_
2s3 +8s2
§trbiendo que:
y coshx=
=!p,
+
2' -e-,)
){". "-')
Hallar la transformada inversa de Laplace, de las funcioneg
¡errlrx
siguientes:
('ttlcular:
9.
5s+l
(s+1)(s2
+s-2)
-14s+109
"' 15'-+ájqr, -+"+zq
¡¡,
* $"n3ar.(senh ot)o\
llcnrostrar que:
Trunslbrmada de Lapluce y función garn¡no _ página (39g)
19.
., {e"'senh or}=;,
_to:,
a $enh'
Hidrologíir list¡rrltnlh
+2Aa2
22.
23.
e
(x--l)!=
I-(x) =
l'
oj}=
s7s2
{senh ar .cosh
f(x)
-4az)
a}=
;;!
e{coshar.cosar}=
'
t4
=
Ii
(x-I)!
u-'r''a*
= (x
oo;
f
',rr
f(x + t) = li
e-'t'' clx
'.vrrluando, usando la fórmula
f
Definición
('on.ro se observa de (a.22)
f(x
porf(x),
se define mediante
rr
lntr¡t{
f(x
O.
Se observa que la función gamma, es una forma particulrr
th
f O)a*
4 dela tabla A.1, resull¡r:
...
(a.2t)
+ 1) =
x!- x'(x - l)!
f (t) = t'-t
)
... (a.25)
(a.22): f(x) = (x-1)!
lrrt'go (a.25), se puede escribir:
l(x+1)=xf(x)
rlr' lrr ecuación (a.24):
en donde, de (a.20) y (a.21), se tiene:
J-_l-L
... (¡t,2,1
r
... (¡,20)
transforma da de Laplace:
I; u',
¡!
,rl¡
y (a.24),la función gamma l)r'()tx)r(,lr)nl
uur extensión útil del factorial, es por eso que se le llanl¡r l¡¡rrrlrrr,rr
I rr rción factorial generalizada.
¡rt'ro de
e {¡¡t¡l=
+ 1) =
, (rt
l,rr lbrma recurrente para la función gamma, se obtiene de (a.24):
= I; nt,x-7¿*
la cual converge parax>
tl Jll
l)!
(a.20), si se reemplazax porx +1, se tienc:
4.4 Fun ión gamma
f(x)
-
!'ropiedades
" =
-4aa
La función gamma, denotada
impropia:
| tttUl
llsando la fórmula 4 dela tabla 21.1. st t[,r¡0,
--4'
s1s2 -4a2)
2r. e{cosh' a}= L!o'-20.
¡t lrrl!llil
para x=0 =f(1)=0!=1
para x =l =r f(2) = 1!= 1
... (a.26)
frurrfo.-u¿a
de Laplace y función gamma
-
página (400)
Resumiendo, algunas de las propiedades de la función gamma son:
f(x)
1.
=
Hidrología Estadística
1< x<-2
I-(x)=fr-t,x-T*
2.
x
(x)
4.
página (401)
't'abla A.2.Yalores de la función gamma, para
ti r-'t*'a*= (x-1)!
J.
-
f(x)
x
f(x)
x
r(x)
x
f(x)
1
00
01
5.
6.
Evaluación
Para calcular el valor numérico de
1.
2.
f(X),
se puede
utilizar:
Las propiedades anteriores
Los valores que se muestran en la tabla A.2 para
l< x < 2
3. La aproximación factorial de Stirling (para x grande)
f(x + l) = ^L2tux' e-* = x!
4. La serie asintótica de Stirling
f(x)
= ,x
,-
r.r;; (1+ I + I
^,1,'"
^^ 288x'
- ^: ,
\ x -lZx
163819+____
5246819
209018880x5
75246796800x"
t39
51840x3
57t
2488320.x'l
534703531
902961561600x7
+)
5. La aproximación polinomial de 5" grado, para 0 < x <
f(x+1)=x!-l+arx+arxz
donde:
I
+árx3 +aoxa +arxs +g(x)
02
03
o4
05
06
07
08
09
1.00000
0.99433
0.98885
0.98355
0.97844
0.97351
10
0.96874
0.96415
0.95973
0.95546
0.95135
11
0.94740
12
0.94359
0.93993
.13
.14
0.93642
15
16
0.93304
0.92980
.17
.18
.19
2!
21
22
23
24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
0.92670 1.42
0.92373 1.43
0.92089
0.91817
0.91558
0.91311
0.91076
0.90852
1.44
1.45
0.90640
1.50
0.90440
1.51
0.90250
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
0.90072
0.89904
0.89747
0.89600
0.89464
0.89338
0.89222
0.891 15
0.89019
0.88931
0.88854
0.88785
0.88726
0.88677
0.88636
0,88604
0.88581
1.46
0.88s66
0.88560
1.47
1.48
1.49
0.88563
0.88575
0.88595
1.57
1.58
1.59
1.60
0.88623
0.88659
0.88704
0.88757
0.88818
0.88887
0.88964
0.89049
1.81
1.82
o.89142 't.83
1.62
0.89243
0.89352
0.89468
0.89592
1.63
0.89725
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.70
1.7'l
1.72
1.73
1.74
0.89864
0.90012
0.90167
0.90330
0.90500
0.90678
0.90864
0.91057
0.91258
0.91467
0.91683
1.61
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.80
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
1.91
0.91906
0.92't38
0.92376
0.92623
0.92877
0.93138
0.93408
0.93685
0.93969
0.94261
0.94561
0.94869
0.95'184
0.95507
0.95838
0.96177
0.96523
0.96878
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
0.99171
0.99581
2.00
1.00000
o.97240
0.97610
0.97988
0.98374
0.98769
Transformada de Laplace y función gamma _ página
(402)
Hidrología Estadísrica
at = -0.5748648
az = 0.9512363
az = -0.6998588
a4 =0.4245549
E
= -0.10L0678
f(x+1) = ¡!= I+brx+brxz +...+
,
paÍa 0 < x <
brxT
I
I
I
I
¡
I
I
+e(x)
V
bs
= -0.756704078
bt = -0.193527818
\
V
bz = 0.988205891
4
bq = 0.918206857
-3
1
ft.
t-)
l4
t-r¡
r-1
'r-0
n
be = 0.482199394
I
2
iJ
o.oooooo3
bt = -0.897056937
T
a
\)
donde:
4 = -0.577191652
I
A
6. La aproximación polinomial de go grado
lt(r)l<
página (403)
f(5) = 4!=4.3.2.1
l(5) = 24
le(r)l < o.oooos
as
-
/-\
\..-
{
1
2
3
-1
-l
ás = 0.035868343
-3
Representación gráfica
/\
En la figuraA.l, se muestra el gráfico de la
función gamnllt,
T
Ejemplo A.9:
Calcular: f(5)
Figura
Solución:
lijcmplo
Usando la propiedad 1 de la función gamma,
se tiene:
A.l0:
('¡rlcular: f(3.5)
A.l
Función gamma completa
4
Transformada de Laplace y función garnma
-
-
Hidrología Estadística
p6gúa(404)
página (405)
Solución:
usando la propiedad recurrente 3 de la función gamma, se tiene:
f(3.5) =l(2.5 +1) = 2.5x1(2.5) = 2.5xf(t.S+t) = 2.5xl.5xl(l
f(3.5) = 2.5 xl.5x 0.88623
1_,
¿¡=rx 'd!
r-J
dx=1v 2dy
f(3.5) =3.32336
Ejemplo
A.l1:
Calcular
f(-1.2)
2'
Solución:
De la propiedad recurrente 3 de la función gamma, se tieno:
r-
1
/ = i I y2e-Ydy
2r"
f(x)=f(x+1)
x
luego:
rlonde los limites de integración son:
f(0.8)
f(-1.2)=\?= (=1.2)(-0.2)
f(r.8)
(-r.2)(-0.2x0.8)
l)ura
,r_r€___) y)@
o'e3138
r(-1.2)
- 1.2x0.2x0.8
f(-1.2)
= 4.85094
Ejemplo A.l2:
Calcular:
Ii
*'"-" a*
Solución:
Haciendo el siguiente cambio de variables:
x=0 ?.y=0
Irrego, la integral se puede expresar, como:
,=
,ll.ó
)Jo
y'e-'dy
A¡rlicando la fórmula 4 delatabla
Irr tiene:
A.l,
de la transformada de Laplace,
Transformada de Laplace y función garnma
t
-
[2
x
I {;)
, por propiedad (3) de ra runción salrlma
=l'=
1=
12)
=
JfI
, por propie dad (2)de la función garlrma
luego:
I l*,)=@
2
[2 )
y =O
luego la integral toma la forma:
además:
li)
página (407)
para:x=0=+y--)-
)
.(;.,)=
-
donde los límites de integración son:
=!2 lt *r)
pero:
Hidrología Estadística
página (406)
f
(- y)' (-
,-' ay)= [o f ,-' ay = -f f
e-v dy
Aplicando la propiedad (a) de la tabla .4.1 de la transformada
Laplace, se tiene:
I = -f(4)
pero:
f(4)
= 3!=
6
, por propiedad (1) de la función galnma
luego:
finalmente:
lfi
I-- -._
22
¡=Jn
,4
Ejemplo A.13:
Calcular:
1t
I=-6
Nota: el signo (-) indica que el área de la función está en el 4"
cuadrante.
4.5 Ejercicios propuestos
Calcular:
lo(t") a'
Solución:
Haciendo el siguiente cambio de variables:
2. I; .r"-2,' *
Transformada de Laplace y frrnción gamma
3.
!; n,3 d*
4.
I;r&n"li
d*
5.
!;.'"-'*t
d*
fton*>a
7.
-
página (408)
Funciones
a*
trigonométricas
lj«,,n ñ3 a*
8 fi,F(*J *
s lá#
rc. li
Fórmulas de ángulo doble
**"-*n d*
donde m,n,a>o
11. Calcular con 5 decimales de aproximación, la integral:
,=
fZr-"^
o,
12. Calcular con 5 decimales de aproximación, la integral:
, = !í
o-3*5
*
sen2x = Zsenx. cos.r
cos 2x = cos2 x - sen' x
=l-
2 sen' x
=2cos2 x -l
Fórmulas de ángulos múltiples
- 4srn3 *
cos3¡=4cos3 x-3cosx
sen3x =3senx
sen4x = 4senx. cos x -8sen3 *cos *
cos4x = 8cos4 x
sen5x = 5 senx
-
-
8cos2
2Osen3
cos5x = 16cos5 x
-
¡
+
1
x + l6sen5 x
20 cos3 x + 5 cosx
Funciones trigonométricas
.
-
Hidrología Estadística
página (410)
Potencias de las funciones trigonométricas
sen211
*=r__cos¿x
*= 1- * !"or2*
22
,"n3*-1rr*-l
44
"or2
-
serrx.
s€/\
=1t"*t, - y)- cos(, + y)]
'2'
cos(, + y)]
'2'!lr"n(*- y)+ sen(x + y)l
I
*-3 -!"o"2*+ 1cos4x
82
8
4
1* 1 cos2x+ 1cos4x
cos'x=g
g
.z
,"r5 * =5 ,r* - -5 ,"n3* + ! sen5x
81616
5
r= 5
cos * + Lcos5x
"or5
"orr+
81616
Fórmulas de adición
s"n(rt y)=
cos(x
.
Funcioneshiperbólicas
2
cosh¡
.
=4-14
2
Relaciones entre las funciones trigonométricas
-
*'(u r)
;
* cosx. seny
t y)= cos.r'cos y t senx' seny
trigonométricas
^,,{?)*'[";'
)
senx - seny - z"or( rJ2) */-'l
'
t 2j t 2)
senx.cos y
x-x
senlx-e -e
Suma, diferencia y producto de las funciones
r*'(,7)
- y)*
senx.cos y =
,rn3*
,"n4
cos.r + cos y =
página (411)
r,"{+) -{+)
cos.r. cos y = ] ["or(,
"or3r=3"orx+icos3x
44
senx + s€ny
cos y =
cos.r
-
tanx=
Cotx =
secx=
senx
cos -r
1
tanx
-
1
cos
x
Funciones trigonométric as
-
página (412)
1
CSCX
=
senx
-
sen2
xt
cos2 x = I
x-tan2 x=l
csc2 x-cot2 x=L
sec2
Apéndice
.
Tablas esteilísticas
'
Papelesprobabilísticos
o
o
o
o
normal
log-normal
Gumbel
log-Gumbel
r
Hidrología Estadística
Tabla
0.0
0.t
A.l
-
página (415)
Áreas de la dist¡ibución normal entre 0 y
Z
0.00000 0.00399 0.00796 0.0t 197 0.01595 0 01994 0.02392 0 02790 0 03188 0.03586
0.03983 0.04380 0.04776 0.051 72 0.05567 0.05962 0 06356 0 06749 0.07 r 42 0.07s35
o.2
0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0 r 1026 0.r r409
0.3
0.1r791
0.12r720 125520.129300.133070.136830.r40580.14¿131
0.4
0_15542
0.15910 0 16276 0.166400,17003 0.17364 0 r77240.18082 0
0.5
o 19146
0.1
0.6
0.9
o.22575 0.22907 0.23237 0.205A5 0.23891 0.24215 0 24537 0-24857 0.25175 0.25490
0.25804 0.26 r I 5 0.26424 0.26730 0 .27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.28230 0.28524
o 28a14 0.29103 0 2s389 0.29673 0 29955 0.30234 0.3051 1 0 30785 0.31057 0 31 327
0 31594 0.31859 0 32121 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0 $39a 0 $645 0.3389i
1.0
0 34134
1.1
0.35433 0.36650 0.35864 0 37076 0.37286 0 37493 0 37698 0 37900 0.38100 0 38298
o.7
0.8
9,t97 0. 1 9847 0,201 94
0
0 r48030.rs173
r8€9 0.r8793
.20540 0 20444 0.21226 0 21566 0.21904 0.22240
0 34375 0.34614 0 34849 0 35083 0 35314 0 35543 0 35769 0.35993 0 35214
1,2
0.38493 0 38686 0 38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0 39796 0.39973 0 40147
1.3
0 40320
1.4
't.6
0.41924 o 42Of3 O 42220 O 42364 0.42507 O 426/7 0_42785 0_42922 0 43055 0.431 E9
0.433r9 0_434480 43574 0 436990 438220 439430 440620.44179 0_442950 44408
o 44520 0 44630 0.44738 0.44845 0 44950 0 45053 0.45154 0.45254 0.45352 0,45449
1.7
0..15543
t.8
t.9
046407 0.46485 0.46562 0 46ma 0.467r2 o 46784 0 46856 0.46926 0 46995 0 47062
2.O
2.3
o.47725 0.477740.478310 478820.47932 0 47982 0 48030 0.48077 0.4a124 0.48r69
0 48214 0 48257 0 483000 4834r 0.48382 0 484220 48461 0.485m 0.4a537 0.48574
o 48510 0.486450.48679 0.487r3 0 48745 0.4828 0.48809 0.48840 0 4a870 0.48899
o 48928 0,489560.48983 0,490100.490360 4906r 0.49086 0 49fi 1 0.491340.49158
2,4
0 49180
0,49202 0,49224 0.49245 0 49256 0 49286 0 49305 0 49324 0.49343 0 4936r
2.5
o_49379
0 49395 0.4941 3 0 49430 0.49446 0 49461 0
2.6
o 49534
0 49547 0 49560 0 495730 495850 49598 0 496090.4962t O 49632049543
2.7
0 49653
0.49664 0 49674 0 49663 0 49693 0 49702 0 49711 0.49720 0 49728 0 49736
2.8
0.49744 0 49752 0.49760 0 49767 0 49774 0 497A10 4978e
1.5
2-l
2.2
2.9
3.0
3.'l
3.2
3.3
3.4
o 47124
0 404s0 0,40658 0,40824 0.40988 0.41149 0.41308 0 41466 0.41621 0 41774
0.45837 0.45728 0 458t8 0.45907 0 45994 0 46080 0.46164 0.46246 0 46327
o 47193 0.47257 0.47320 0 47341 0 47441 0
475ñ
4942
O.4755A O 47615 0.47670
0 49492 0 49506 0 49520
O 49795 0 49801 0 49807
0.49813 0 49619 0.49825 0 4983r 0 49835 0 49841 0 49E46 0.49A51 0 49856 0 49861
0.49865 0.49869 0.49874 0 49878 0.49882 0.498a6 0.498890.49893 0 49896 0 49900
0 49903 0.49908 0.49910 0.49913 0 499160 49918 0 49921 0_49924 0.49926 0 49929
0.49931 0.49934 0 49936 0 49938 0 499400 49942 0 49944 0_49946 0.49948 O 49950
0.49952 0.499530 499550 49957 0 49958 0 49960 0.49961 0.49962 0.49981 0 4996s
0.49966 0.49e68 0,4996S 0,499700 4997r 0.49972 0.49S730.49974 0.49975 0.49976
o.49en
0.49070 0,49s790.409790.499800,49981
3¡
0.49S84
0.49985 0.4S€85 0,49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.499Ea 0.49989
3.7
0.49999 o.4gogo o,4gdgoo,4og9oo.49g9't
3.8
0.49903 0.40093 0.4s993 0.4S094 0.49994 0.49994 0.49994 0,49995 0.49995 0.49995
0.49981 0.49982 0 4998i] 0.49983
0,49991 0.49992 o 49992 o 498)2 0.49992
v
Tablas estadísticas - páEi,na (416)
IlirhologÍa Estadísrrca
-
página (417)
Tabla A.3 Núnrcros ¿llcalorios unilb¡mes
Tabla A-2 Distribución normal acumulada
nrz»=f-t-:"-t[a,
=
|
0
50om
-^
F(4
Z
^-A
00
0 t
02
03
04
05
06
0 50399
O
50798 051197 051595 05199¡l o 52392 o 5279 053laa 0$536
5396 0 543¡0 0 51176 055172 055567 0 55962 0 56356 056749 057142
0 t/s26 054317 0 53706 0 59095 0 s9¡183 059871 060257 0606¡2 061026
057535
01
061409
02
63307 o 63683 0-64058 064431 064803 065r73
0 65542 065910 0 66276 0 666rt0 0 67003 067364 067724 0 64042 064¿39 068793
o69146 0 69.497 069347 070t9. 070540 0 7OAa4 O11226 O71566 O 71901 A 12244
0 7¿5¡5 072907 073237 0 73565 073391 074215 074531 0T1A5T 075175 075490
0_7 0 75€04 076rr5 016,124 0 76134 077035 077337 O t1631 O7t935 074230 073524
03 073a14 079103 079339 o 79673 079955 0¡0234 090511 0 A07A5 0A1057 031327
03
0
061791 062172 062552
0
62930
0
05
06
09 031594 0A1359 0a2t2r 0A23at 0 A2639 0¡2694 08314? O S3398 0 A3646 033891
r0 084134 0A4375 034614 0 S4849 o 85083 0.85314 08513 0 45769 045993 036214 t0
r I 036433 0 A6650 0 A6964 0 97076 0.87286 087493 087693 037900 0Aal00 043293 11
12 03A493 0aA636 0 Aa077 0 89065 089251 0-89435 039617 0 89796 049973 090147 12
13
t 3 0 90320 090490 0 9065S 0 9082,1 0 9093€ 091149 091304 091466 091621 091774
,4 091924 0 92073 092220 092ú4 0 92507 0 926.17 092785 0 92922 0 930s6 093189
l5 093319 0 93,148 0 93574 0 93699 O 93822 093943 i 9¡t062 09¡179 094295 0 9¿1403 15
t6 0 94520 0 94630 0 9473a 09aA45 0 9,4950 0 95053 095!54 o 9525¿ 0 95352 0 95449 16
tJ 0.95!§ 095637 o 95728 095810 0 95907 0 95994 0 9mA0 09616{ 096246 096327
ta 0 96407 0 96485 0 96562 0.96633 096712 0 9€704 0 96a56 096926 0 96995 0 97062 1e
19 097128 097193 097257 097320 097331 097441 09?500 097553 097615 097670 r9
20 0977á 09777A O-97As1 097A32 0 97932 0 979S2 0 98030 0 98077 09812¿ 093169 2A
2,r 0 9&2r¡t 098257 094300 093341 093382 0 98422 098¡61 0 98500 094537 093574 21
22 0 9a610 0 93615 0 94679 0 98713 0987¡15 093774 0 93409 094340 094370 093499
23 09892A 093956 09A933 0990t0 099036 09906r 099036 099r11 09913,1 099153 23
2¿ 0.99tAO 0 99202 0 992?¡ 099245 0 99266 099236 099305 099324 0 993¡3 0 99361 24
2.5
26
27
2A
29
30
3'
3.2
3
3¡
35
36
37
33
3
99379 099396 099413 0 99430 099,t46 099¡61 099477 0§9492 o99506 009520
0.99534 0 99547 0 99560 099573 099535 099598 099609 099621 099632 0 99643
0 99653 0 99664 09967,1 0996a3 0 99693 0 99?02 0 99711 099720 09§723 0 99736
O
A99744 099152 099760 099767 099774 099781 099788 099795 099301 099407
099813 099319 0 99325 099A31 099e36 0998-11 099846 099351 099356 099361
0 99a65 099369 099374 099873 09C332 0993A6 099339 099393 099396 099900
99903 099906 099910 099913 099916 099913 099921 099924 099926 099929
099931 09993¡ 099936 099933 099940 099942 0999.44 099946 0999,13 099950
099952 0 99953 099955 099957 0 99954 0 99960 0 99961 0 99962 099964 099S65
099966 099963 0999{19 099970 099971 099972 099973 099974 099975 099976
099S77 0 9997A O99973 099979 0 99930 0 99931 099931 099932 0 9S933 099983
25
2T
29
O
0
32
35
9993,1 0 99935 0999A5 0999A6 0 99936 0 99987 0 99937 099933 0 9993€ 099939
o
99991
0
099993 0 99993 099993 099994 099994
0
99994
09999 099995
0
99990
0
99990
99992 099992 099992 099992
99991
0999A9 0 99990
0
r.i06 I189
r?:¿ t3l
0597 .20?"1
7965 6ó.
7095 0937
5160 7Sr-,I
t06l 05t11
1+!3 4lsir
:lü06 fni,l-l
(iiJ3 ü?99
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1S(i6 095ri
§139 70(il1
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0
0 99995 099995
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l,7ill 31r(is 5{rxi 508.t 8cl7
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5053 4722 65§8
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0.141 8135 9797
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Flidrología Estadística
Tablas esudísticas - página (420)
Tabla A.5 Valores de f
-
página (421)
Tabla A.6 Distribución , de Student
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V
Tabtas esradísricas - página (,124)
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Hidrologfo Estadfstica
Tablas estadísticas - página (428)
Tabla A.8 Valores de y2 en finci1n de la proporción del área
que queda a la derecha_de la ordenada Ievantada por ellos.
-
página (429)
Tabla A.9 Distribución Chi-cuadrada
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0.584 121 237 411 6.25 7.41 935 11.3 12.8
1.06 1.92 33.6 5.39 7.74 9.49 11.1 13.3 14.9
1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.1 12.8 15.1 16.7
220 3 45 5 35 7.84 10 6 12.6 14.4 16.8 18.5
2.A3 4.25 6.35 9.04 120 14.1 160 '18.5 20.3
3.49 5.07 7.34 10.2 13.4 15.5 17.5 20.1 22.O
4.17 5.90 8.34 11.4 14.7 16.9 19.O 21.7 23.6
4.A7 6.74 9.34 12.5 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2
5.58 7.58 10.3 13.7 17 3 19.7 21.9 247 26.8
6.30 8.44 11.3 r4.8 18.s 21.0 23.3 26.2 28.3
7.O4 9.3 12.3 16.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.4
7.79 10.2 13.3 '17.1 21.1 23.7 26.1 29,1 3f.3
8.55 11.0 14.3 1A.2 22.3 25.0 27.5 30.6 32.8
9.31 1r.9 1s.3 19.4 23.5 26.3 28.8 32 0 34,3
10.1 12.8 16.3 20.5 24.8 27.6 302 334 35.7
10,9 13.7 17.3 21.6 260 28.9 315 348 37.2
11.7 14.6 18.3 22.7 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6
12.4 15 5 19.3 23.8 24.4 31.4 34.2 37.6 40.O
13.2 16.3 20.3 24.9 29.6 32.7 35.5 38.9 41.4
14.O 17.2 21.3 26.0 30 8 33.9 36,8 40.3 42.8
14.A 1A.1 22.3 27.1 32.O 35.2 38 1 416 44.2
15.7 19.0 233 2A.2 33 2 36 4 39.4 43.0 45.6
16.5 19.9 24.3 293 34.4 37.7 406 ¿4.3 46.9
17.3 20.A 25.3 30,4 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3
1A.1 21.7 263 31.5 36.7 40.1 43.2 470 49.6
18.9 22.7 27,3 32.6 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0
19.8 23.6 28.3 33.7 39.1 42.6 45.7 49.6 523
20.6
24.5 29 3 34.8 40.3 43.8 47.0 50.9 53 7
29.1
33.7 39 3 45.6 51.8 55.8 59.3 63.7 66 I
429 49 3 56 3 63 2 67 5 71.4 76.2 79 5
37.3
46.5
52 3 59 3 67.A 74.4 79 1 83.3 8A.4 92.0
61 7 693 776 85.5 90.5 95,0 100.4 104,2
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71.1 79.3 88.1 96.6 101.9 106.6 112.3 116.3
80.6 a9.3 98.6 107.6 '113.1 118.1 124.1 128.3
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4512
Tablas estadfsticas - Página (430)
I{idrologla Estadística
-
página (431)
Tabla A.9 Distribución Chi-cuadrada
I
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Núñcro d. Endos
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