IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CONCEPTO DE IDENTIDAD Un enunciado de igualdad que es válido para todos los valores de la variable para las cuales las funciones involucradas en el enunciado estén definidas, se llama identidad. 2 Clasificación de las identidades trigonométricas Identidades Recíprocas Identidades de cocientes 3. Identidades Pitagóricas 1. 2. 3 1. Identidades Recíprocas Se obtienen directamente de las definiciones de funciones trigonométricas. “ Las identidades recíprocas pueden escribirse de la siguiente manera: senƟ cscƟ = 1 cosƟ secƟ = 1 tanƟ cotƟ = 1 5 2. Identidades de cocientes Se llaman identidades de las razones y se deducen inmediatamente de las definiciones de las razones trigonométricas . “ 7 3. Identidades pitagóricas Se deducen del teorema de Pitágoras y son las siguientes. “ 9 Demostraciones de identidades trigonométricas 10 Datos En el estudio de las identidades trigonometricas y de las ecuaciones condicionales se presentarán muchas situaciones y simplificaciones en las que intervienen las relaciones en forma de cocientes, recíprocas y las pitagóricas Una identidad trigonométrica se verifica transformando alguno de sus miembros (cualquiera) en el otro. Aunque no existen métodos fijos de demostración que funcionen para todas las identidades existen pasos que se pueden realizar y que ayudarán en muchos casos. 11 PASOS GENERALES PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES 12 ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ Conocer las relaciones fundamentales y reconocer las formas alternativas de cada una. Conocer los procedimientos de adición y sustracción, reducción y transformación de fracciones equivalente. Conocer las técnicas de factorización Usar solamente procedimientos de sustitución y de simplificación que permitan que permitan trabajar en un solo lados de la ecuación Seleccionar el lado de la ecuación que parezca ser más complicado e intentar transformarlo en otro miembro de la ecuación. Evitar sustituciones que introduzcan raíces. Usar sustituciones para cambiar todas las funciones trigonométricas en expresiones que contengan únicamente senos y cosenos y, entonces simplificar. En todos los pasos es necesario tener en mente el otro lado de la identidad. 13 Ejemplos 14 1. Expresar tanƟ + cot Ɵ en términos de senƟ y cos Ɵ 2. Expresar tan²Ɵ + sen²Ɵ + 1 sec²Ɵ en términos de cosƟ 16 Éstas serían las identidades fundamentales 17 3. Expresar secƟ - senƟ tanƟ en términos de cos Ɵ sen²Ɵ 4. Expresar en términos de 1 - cosƟ 1 + cosƟ 19 5. Demostrar la identidad 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 −𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1+𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃
