1.- En cierta fabrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes: 25 60 21 43 28 26 19 36 51 37 54 63 39 47 21 38 27 30 28 40 43 52 20 48 33 49 23 50 55 52 32 37 35 38 41 43 58 32 60 36 23 42 49 41 36 41 38 23 39 48 22 39 58 57 57 59 49 28 27 41 47 29 45 42 67 26 40 49 33 37 a) Construya una distribucion de frecuencias apropiada para estos datos. SOLUCION: Dato mayor: 67 Dato menor: 19 Nº de datos: 70 Rango: 48 Regla de Sturges: k= 1 + 3.3log(n) k= 7.089 Tomamos k=8 Amplitud: A=R/K A= 6 Tomamos A=6 Contruimos la tabla de Distribucion de Frecuencias: INTERVALOS [19 ; 25[ [25 ; 31[ [31 ; 37[ [37 ; 43[ [43 ; 49[ [49 ; 55[ [55 ; 61[ [61 ; 67] TOTAL Clase ABSOLUTA 1 2 3 4 5 6 7 8 b) Conteste las siguientes preguntas, a partir de la tabla obtenida en a): 8 10 8 17 8 9 8 2 70 FRECUENCIAS ABSOLUTA RELATIVA RELATIVA ACUMULADA ACUMULADA 8 0.114 0.114 18 0.143 0.257 26 0.114 0.371 43 0.243 0.614 51 0.114 0.728 60 0.129 0.857 68 0.114 0.971 70 0.029 1 1 h% H% 11.4% 14.3% 11.4% 24.3% 11.4% 12.9% 11.4% 2.9% 11.4% 25.7% 37.1% 61.4% 72.8% 85.7% 97.1% 100% b) Conteste las siguientes preguntas, a partir de la tabla obtenida en a): SOLUCION: 1.-¿Cuál es el ancho de clase comun? El ancho o amplitud es 6 2.-¿Cuál es el limite inferior de la tercera clase? El limite inferior es 31 3.-¿Cuál es la frecuencia absoluta de la cuarta clase? La frecuencia absoluta es 17 4.-¿Cuál es la frecuencia relativa de la segunda clase? La frecuencia relativa es 0.143 5.-¿Cuántos trabajadores tienen menos de 50 años? ¿Y que porcentaje representan? Según la tabla menores de 49 años, son 51 trabajadores y con 49 años son 4 trabajadores. En total los menores de 50 años son 55 trabajadores. El porcentaje que representan son el 78.6% 6.-¿Cuántos trabajadores tienen 50 años o mas? ¿Y que porcentaje representan? Según la tabla los trabajadores de 50 años o mas es la diferencia de 70 - 55, o sea 15 trabajadores El porcentaje que representan son el 21.4% 7.-¿Qué porcentaje de trabajadores tienen entre 30 a 45 años? Según la tabla: Solo los que tienen 30 años son 1 y representa el 1.4% Entre 31 y 43 son el : 11.4% + 24.3%=35.7% Entre 43 y 45 son 4 y representa el 5.7% En total representan el 42.8% 8.-Tracese el poligono de frecuencias y la ojiva correspondiente: POLIGONO DE FRECUENCIAS 18 16 FRECUENCIAS ABSOLUTAS 14 12 10 Poligono de Frecuencias 8 6 4 2 0 [19 ; 25[ [25 ; 31[ [31 ; 37[ [37 ; 43[ [43 ; 49[ INTERVALOS [49 ; 55[ [55 ; 61[ [61 ; 67] Gráfico Nº2 Preg Nº1 OJIVA DE LA DISTRIBUCION FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS 80 70 60 50 40 OJIVA DE LA DISTRIBUCION 30 20 10 0 [19 ; 25[ [25 ; 31[ [31 ; 37[ [37 ; 43[ [43 ; 49[ [49 ; 55[ INTERVALOS Page 4 [55 ; 61[ [61 ; 67] 2.-Dada la siguiente grafica de la distribucion de salarios basicos de 90 trabajadores de una fabrica, donde el haber basico minimo es de 650 soles y el haber basico maximo es de 3150 soles. Determinar: DISTRIBUCION DE SALARIOS FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS 100 90 90 83 80 72 70 60 45 50 40 30 20 10 9 0 [ 650 , 1150[ 1 , 2150[ [1650 [1150 , 1650[ TABLA DE FRECUENCIAS INTERVALOS xi ni Ni [ 650 , 1150[ 900 9 9 [1150 , 1650[ 1400 36 45 [1650 , 2150[ 1900 27 72 [2150 , 2650[ 2400 11 83 [2650 , 3150[ 2900 7 90 TOTALES 90 [2150 , 2650[ [2650 , 3150[ nixi 8100 50400 51300 26400 20300 156500 a)La moda , mediana. SOLUCION: Para la MODA, tomamos la frecuencia absoluta maxima de la tabla: n i 36 Aplicando la formula: 1 M O Li Wi 1 2 L i 1150 W i 500 Tomando datos de la tabla: 1 36 9 27 2 36 27 9 Reemplazando: 27 M o 1150 500 1525 27 9 La MODA es 1525 Para la MEDIANA tomamos la frecuencia acumulada que pasa por primera vez a n/2: n 90 45 2 2 Aplicando la formula: X m Lm n N m 1 wm 2 nm L m 1150 n 90 w n 1650 1150 500 Tomando datos: n m 36 N Reemplazando: Xm m 1 9 90 9 1650 La MEDIANA es 1650 1150 500 2 36 b) El decil D4 y el cuartil Q3 SOLUCION: 4n 4(90) 36 10 10 Luego el cuarto decil esta en la clase: Para el DECIL 4, hallamos: I 1150 ,1650 Aplicando la formula: rn N i 1 Dr Li Wi 10 ni Li 1150 Tomando datos: Wi 500 rn 36 10 N i 1 9 ni 36 Reemplazando: 36 9 D4 1150 500 1525 36 El DECIL 4 es 1525. Para el CUARTIL 3, hallamos: 3n 3(90) 67.5 4 4 Luego el CUARTIL 3 esta en la clase: I 1650 , 2150 Aplicando la formula: Tomando datos: 3n N i 1 Q3 Li Wi 4 ni L 1650 i W i 500 3n 67 . 5 4 N i 1 45 n i 27 Reemplazando: 67.5 45 Q3 1650 500 2067 27 El CUARTIL 3 es 2067 c) Interpretar cada resultado: SOLUCION: Para el decil 4, el valor 1525 divide la muestra en dos partes: una parte con 40% de los elementos y la otra con 60% de elementos. Para el cuartil 3, el valor 2067 tiene el 75% de la muestra total y el 15% sera la muestra por encima de 2067. 3.- Dado el siguiente cuadro estadistico con ancho de clase constante igual a 20. Determine la Media, mediana, moda. Intervalos xi ni Ni [100 , 120] [120 , 140] [140 , 160] [160 , 180] [180 , 200[ 110 130 150 170 190 210 8 15 12 13 18 4 70 8 23 35 48 66 70 [200 , 220] TOTALES En este intervalo se encuentra la moda xini 880 1950 1800 2210 3420 840 11100 En este intervalo se encuentra la mediana Amplitud A= 20 Determinacion de la Media: SOLUCION: Aplicando la formula: n X xn i i 1 n i La media es 158.6 11100 158.6 70 Determinacion de la Mediana: SOLUCION: Tomamos la frecuencia absoluta acumulada que pasa por primera vez a n/2: n 70 35 Aplicando la formula: 2 X m Lm n N m 1 wm 2 nm Tomando datos: 2 L m 140 n 70 w n 160 140 20 n m 12 N m 1 23 Reemplazando: Xm 70 23 2 160 140 20 12 La mediana es 160 Determinacion de la moda. SOLUCION: Tomamos la frecuencia absoluta maxima de la tabla: n Aplicando la formula: 1 M O Li Wi 1 2 i 18 Li 180 Tomando datos: Wi 20 1 18 13 5 2 18 4 14 Reemplazando: 5 M o 180 20 185.26 5 14 La moda es 185 4.-Se da la clasificacion de un grupo de niños por estaturas: Estatura (en cm) 80 a menos de 90cm 90 a menos de 95cm 95 a menos de 100cm 100 a menos de 105cm 105 a menos de 110cm 110 a menos de 120cm TOTALES ni xi Ni xini nixi2 3 15 22 18 12 5 75 85 92.5 97.5 102.5 107.5 115 3 18 40 58 70 75 255 1387.5 2145 1845 1290 575 7497.5 21675 128343.75 209137.5 189112.5 138675 66125 753068.75 En este intervalo se encuentra la MEDIANA En este intervalo se encuentra la MODA a) Calcular la media de la distribucion de los niños por estaturas. SOLUCION: Aplicando la formula y ayudandonos con la tabla: x i n i 7497 . 5 n 75 n X x n i i i 1 n 7497.5 99.97 75 La media es aproximadamente 100 cm b) Determinar la mediana de estas observaciones. SOLUCION: Aplicando la formula: X m Lm n N m 1 wm 2 nm Tomamos la frecuencia absoluta acumulada que pasa por primera vez a n/2 n 75 37.5 2 2 Tomando datos de la tabla: L m 95 n 75 w n 100 95 5 n m 22 N m 1 18 Reemplazando en la formula: X m 75 18 95 5 2 22 La mediana es 99.43 c) ¿Cuál es la moda de la distribucion? SOLUCION: ni 22 Tomamos la frecuencia absoluta maxima de la tabla: 1 M O Li Wi 1 2 Aplicando la formula: L i 95 Tomando datos: W i 5 1 22 15 7 2 22 18 4 Reemplazando: 7 M o 95 5 98 .18 74 La moda es 98.18 d)Interprete los resultados de arriba. SOLUCION: Según los resultados de arriba vemos que tanto la media como la mediana y la moda, tienen el mismo valor aproximadamente lo que quiere decir que la distribucion es SIMETRICA.