ACTIVIDADES PARA 2DO DE SECUNDARIA

REALICE SU CARÀTULA
NÚMEROS ENTEROS (Z)
•Ejemplos:
Los números enteros se representan en una recta numérica:
*
Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo.
1.VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO
Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde:
-
Ambos autos parten de un mismo lugar.
-
Viajan en sentido contrario.
-
Viajan a una misma velocidad.
¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma?
Rpta.: __________________________________
Ejemplo: Observa detenidamente la figura.
De la figura podemos observar lo siguiente:
a.
|–3| = 3, se lee: valor absoluto de "–3" es 3.
b.
|+3| = 3, se lee: valor absoluto de "+3" es 3.
c.
|–7| = 7, se lee: valor absoluto de "–7" es 7.
d.
|+9| = 9, se lee: valor absoluto de "+9" es 9.
2.EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
Es el número entero cambiado de signo, por ejemplo:
•
El opuesto de +7 es –7
•
El opuesto de –3 es +3
•
El opuesto de 5 es -5
•
El opuesto de –1 es +1
3.RELACIÓN DE ORDEN (>, <, =)
a.
Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la recta
numérica.
b.
Todo número entero positivo es mayor que su antecesor.
c.
Todo número entero negativo es menor que su sucesor.
Ejemplos:
4.DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA RECTA NUMÉRICA.
Ejemplo: Representa sobre la recta: – 2 – 5 + 17
Representa en cada recta numérica lo que se pide:
¡Listos, a trabajar!
1.
Indica en los cuadrados si es ">", "<" o "="; en cada uno de los siguientes casos:
2.
Completa las siguientes expresiones:
3.
a.
36 es opuesto de: ______
e.
El valor absoluto de -4 es: ______
b.
-73 es opuesto de: ______
f.
El valor absoluto de: +35 es: ______
c.
+82 es opuesto de: ______
g.
El valor absoluto de -1 es: ______
d.
5 es opuesto de: ______
h.
El valor absoluto de 14 es: ______
Coloca (V), si la afirmación es verdadera y (F), si es falsa:
a.
El opuesto de un número entero negativo es negativo.
(
)
b.
El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo.
(
)
c. La distancia entre dos números opuestos es el doble de la distancia entre uno de los
números y el cero.
(
)
4.
d.
El valor absoluto de un número entero siempre es positivo.
(
)
e.
El opuesto de un número entero negativo es positivo.
(
)
f. La suma de los valores absolutos de dos números opuestos
cero.
es
(
)
Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos
correspondientes.
a.
–5;+5
5.
b.
+6;–6
c.
–7;+7
d.
8;–8
e.
–3;3
Completa el siguiente cuadro:
6.
a.
Traza una recta numérica y representa en ella lo siguiente:
–8+5
b.
–7–2
c. + 4 – 10
d. + 5 + 3
*Observa la información en el siguiente cuadro y luego responde las interrogantes:
7.
¿Cuál es la ciudad señalada en la información, que tuvo en algún momento del día la
temperatura más baja? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el signo negativo en ese caso? ¿Qué
indica el número (valor numérico)?
8.
¿Cuál es la ciudad señalada en la información, que tuvo en algún momento del día la
temperatura más alta? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el número (valor numérico)? ¿Por qué no
tiene signo? Si tuvieras que ponerle un signo, ¿cuál le pondrías?
9.¿Qué indica el cero en esa información? ¿Qué relación tiene el cero con las temperaturas con signo
negativo? y ¿el cero lleva signo?
10. Resuelve:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE
NÚMEROS ENTEROS
ADICIÓN
a.
b.
Sumandos del mismo signo: Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo.
Ejemplo:
a.
(+3) + (+7) + (+10) =  __________________________________
b.
(-7) + (-3) + (-2) =

__________________________________
Sumandos de signos diferentes: Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del
sumando de mayor valor absoluto. Ejemplo:
__________________________________
a.
(-16) + (+2) =
b.
(+30) + (-16) = __________________________________
SUSTRACCIÓN
Para restar dos números enteros se suman el minuendo con el opuesto del sustraendo, es
decir "se transforma la resta en suma". Ejemplo:
a.
(-2) - (-3) =
__________________________________
b. (+10) - (-4) = __________________________________
¡Listos, a trabajar!
1.Suma los siguientes números enteros:
2.
3.
4.
a.
8;7

8 + 7 = 15
b.
2;–1

__________________________________
c.
–3;–4

__________________________________
d.
+6;–8

__________________________________
e.
+ 10 ; + 2

__________________________________
f.
–7;+2

__________________________________
g.
–3;–1

__________________________________
h.
–7;+9

__________________________________
Escribe ">", "<" o "=", según corresponda:
a.
(–9) – (–4)
______
(–3) – (+6)
b.
(–8) – (+13)
______
(–7) – (+14)
c.
(–18) – (–6)
______
(–9) – (+3)
d.
(–20) – (+33)
______
(+18) – (–36)
e.
(+65) – (+7)
______
(–7) – (–65)
Efectua las siguientes restas de números enteros:

a.
(12) – (+7)
c.
(–36) – (+23)
e.
(–25) – (35)
g.
(+8) – (–8)



b. (15) – (8) = 
d. (–36) – (–11)= 
f. (–100) – (–100)= 
h. (+9) – (+9)= 
Afina tu cálculo mental:
a.
+ 4 + 6 + 9 = ______
b.
– 8 – 3 – 6 =______
c.
+ 11 + 15 + 12 =______
e.
– 5 + 16 – 14 =______
d.
– 5 – 12 – 9 =______
5.Completa la tabla y continúa desarrollando:
a
b
c
–1
3
–2
+4
–2
5
–6
+1
4
(a + b)
(a – c)
(a + c)
(c – a)
Operaciones combinadas de adición y sustracción en " ZZ"
Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los siguientes
pasos:
Ejemplo:
Efectúa:
P = (+7) + (–2) – (+4) + (+10) – (–3)
Primero
:
Retiramos los paréntesis
P = +7 – 2 – 4 + 10 + 3
Segundo :
Agrupamos los números positivos y los números negativos:
P = 7 + 10 + 3 – 2 – 4
Tercero
:
Sumamos los positivos y los negativos por separado:
P = +20 – 6
P = +14
Demuestra lo aprendido
•
Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:
a.
(–5) + (–2) – (–1) + (+4) – (+6)
b.
(–7) – (+2) + (+8) – (–4)
c.
(–10) + (–2) + (–7)
d.
(–12) + (–11) – (+10) – (–3)
e.
(–6) – (–3) + (–2) – (–8)
f.
(–5) + (+8) – (–3) – (+2)
g.
(–4) – (+7) + (–1) – (+10)
h.
(–9) + (–10) – (–11) – (–1)
i.
(+5) – (+3) + (+2) – (+30)
j.
(–10) – (–3) + (–18) – (+2)
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
DE NÚMEROS ENTEROS
RECUERDA
•
En la multiplicación o división de dos números de igual signo, el resultado siempre será un
número positivo.
•
En la multiplicación o división de dos números de diferentes signos, el resultado siempre será
un número negativo.
¡Listos a trabajar...!
1.Realiza las siguientes multiplicaciones:
2.
3.
4.
a.
(+3) (+5) =
f.
(+40) (+7) =
b.
(+8) (–1) =
g.
(–1) (–1) =
c.
(–5) (–4) =
h.
(5) (–3) =
d.
(–1) (+78) =
i.
(9) (–10) =
e.
(+12) (–12) =
j.
–9 (–8) =
Realiza las siguientes divisiones:
a.
14 ÷ 2 =
f.
(–1) ÷ (–1) =
b.
(–12) ÷ (–4) =
g.
(–8) ÷ (+8) =
c.
20 ÷ (–5) =
h.
(+25) ÷ (–5) =
i.
j.
(+100) ÷ (+10) =
(–144) ÷ (+12) =
d. (–30) ÷ 6 =
e. (–10) ÷ (–2) =
Completa la siguiente tabla:
Colorea los triángulos; de color rojo los productos positivos y de color azul los productos
negativos:
5.
Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
a.
– 5 × 3 + 8 – (4 – 1 × 5 )
b.
– 12 × [ – 6 – 10 × ( – 2 – 3)]
c.
– 3 (4 – 2 + 5)
d.
– 15 ( – 4) + 2 [ – 3 (2) + (6 – 2 (8))]
Demuestra lo aprendido
1.Si: A = (–8) (+2) – 3
B = (+4) (–2) + 4
C =(50) ÷ (–2) – 6
Halla:
a.
A+B+C
b.
A×B+C
c.
2B – 3A
d.
2A × B
e.
A–B–C
2.Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
a.
–5+4×3
b.
6–2×5
c.
32 – 40 × 5 + 128
d.
(8 – 3) × 4 – 1
e.
(– 13 + 6) × (– 3) + 4 (– 1)
Desafío
El lechero ingenioso
•
Un lechero dispone de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a
sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?
POTENCIACIÓN EN Z
CONCEPTO: Es una
operación en la que dada
una base entera (número
entero) y un exponente
natural, hallamos un
tercero llamado POTENCIA
“P”.
Exponente
Así:
an = P
a  Z; n  N; P  Z
Base Potencia
El exponente natural “n” indica la cantidad de veces que se repite la base entera “a” como
factor, así tenemos:
 ........  a
an = aa


"n" veces
Efectuar:
•
(+3)2 = (
+3) ( +3) = +9

2 veces
•
(+3)3 = (
+3) ( +3) ( +3) = +27

3 veces
•
(−3)2 = (
−3) ( −3) = +9

2 veces
•
(−3)3 = (
−3) ( −3) ( −3) = −27

3 veces

SIGNOS DE POTENCIACIÓN EN Z
➢ (+a)Par o Impar =
+P
•
•
(+3)2 = +9
(+2)3 = +8
.
➢ (−a)Par = +P
•
•
(−3)2 = +9
(−2)4 = +16
➢ (−a)Impar = −P
•
•
(−3)3 = −27
(−5)3 = −125

• (+2)5 =
• (-2)5 =
• (+7)3 =
• (-3)5 =
• (−6)2 =
• (−7)2 =
• (−3)4 =
• (−2)8 =
PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES .
Observa:
•
am . an = am+n
2 veces
3 veces

 
(+3)2 (+3)3 = (+3) ( +3) ( +3) (+3) ( +3) = (+3)5



5 veces
•
4 veces
2 veces
 
−5) ( −5) ( −5) ( −5) ( −5) ( −5) = (-5)6
(-5)4 (-5)2 = (



6 veces
Ahora:
•
(-2)2 (-2)6 =
•
(-6)2 (-6)2 =
•
(+4)2 (+4)3 =

COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES .
am = am−n
an
Observa:
6 veces
•
( −5)
6
( −5)2
( −5)
6
( −5)2
=



( −5) ( −5) ( −5) ( −5) ( −5) ( −5)
( −5) ( −5)

2 veces
−5) ( −5) ( −5) ( −5) = (-5)4
= (

4 veces
Ahora:
5
• ( −3)3 =
7
• ( −5)5 =
( −5)
( −3)
8
9
• ( +7)8 =
• ( +2)7 =
( +2)
( +7)
OBSERVACIÓN:
m
am ÷ am = am = am-m = a0
a
Pero:

a0 = 1

Observa:
am
am
= 1
Potencia de exponente cero.
POTENCIA DE POTENCIA
.
(an)m = anm = (am)n
•
[(-5)3]2 = (-5)3.2 = [(-5)2]3 = (-5)6
•
[(-7)3]3 =
•
[(-5)2]4 =
•
[(+2)4]5 =
Ahora:

Observa:
Ahora:
POTENCIA DE UN PRODUCTO
.
(a  c)n = an  cn
•
(3  7)2 = (3)2  (7)2
•
[(-3) (+5)]3 = (-3)3  (+5)3
•
[(-4)  (+2)]3 =
•
[(-5) (+11)]2
=
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
I. Efectuar:
1. (4)2
=
=
3. (−5)3 =
2. (3)3
=
=
4. (2)5
=
=
II. Resolver mediante la propiedad:
am . an = am+n
5. (3)5  (3)6
7. (−2)5 x (−2)7 x (−2)2
= (
8. (−3)3 x (−3)4 x (−3)5
= (−3)
= (3)
6. (7)10 x (7)2 x(7) = 7
III. Resolver mediante la propiedad:
am = am−n
an
9.
10.
( −5)10
( −5)7
( −3)12
( −3)10
= (
)
11.
= (
)
12.
( +2)15
( +2)11
( −7)7
( −7)5
= (
= (
)
)
IV. Resolver mediante la propiedad:
(am)n = am.n
13. [(5)3]8 = (
)
14. [(11)7]9 = (
)
)
15. [(−3)10]5
= (
16. [(−13)9]2
)
= (
)
V. Resolver mediante la propiedad:
(a  c)n = an  cn
17. (3)3 (−7)3 = (
)
19. (−7)5 (11)5 = (
)
18. (−5)2 (9)2 = (
)
20. (13)8 (−2)8 = (
)
TAREA DOMICILIARIA Nº 1
I. Efectuar:
1. (-3)3 =
=
3. (-5)4 =
=
2. (-7)3 =
=
4. (-2)9 =
=
II. Resolver mediante la propiedad:
am . an = am+n
5. 75 . 716
= (
7. (16)3 (16)5 = (
)
8. (−6)2 (−6)3 = (
)
)
6. (−23)8 (−23)5 = (
)
III. Resolver mediante la propiedad:
am = am−n
an
9.
10.
( −8)7
( −8)5
( −27)3
2
( −27)
= (
)
11.
= (
)
12.
(125)4
(125)3
(7)6
(7)3
= (
)
= (
)
RADICACIÓN EN Z
CONCEPTO: Es la
operación inversa a la
potenciación, que dados 2
números llamados ÍNDICE
y RADICANDO, consiste en
calcular un tercer número
llamado RAÍZ que elevado
a un exponente igual al
índice resulta el radicando.
Índice
n
K = R
K = Rn
Radicand Raíz
o
•
•
•
4
3
8
25
= 2 porque 22 = 4
= 2 porque 23 = 8
= 5 porque 52 = 25
PROPIEDADES

DE
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
n
a.b
=
n
a .
LA
.
n
b
RADICACIÓN
EN
Z
Observa:
•
( 49) (25)
=
49 x
25
=
1225
= 35
= (7) x (5) = 35
Verifiquemos:
•
( 49) (25)
Ahora:
•
(81) (100)
=
•
( 4) (625)
=
•
(25) (121)
=

POTENCIA
RAÍZ
DE UNA
n
( a)
m
=
.
n
am
Observa:
•
(
4
16 )2
=
4
(16)2
Verifiquemos:
•
(
4
16
)2 = 22 = 4
16
)3
=
3
27 )3
=
4
625 )3
=
Ahora:
•
(
•
(
•
(
2
=
4
256
= 4
EJERCICIOS
DE
APLICACIÓN
I. Resolver las siguientes operaciones de radicación:
121
1.
=
4.
2.
3
−8
=
5.
3.
3
− 27
4
10000
=
625
=
=
II. Aplicando la propiedad:
n
a.b
=
n
a .
n
b
Desarrollar:
6.
(25) ( 4)
=
7.
(81) ( 49)
=
8.
3
(16) (64)
9.
10.
(33 ) (24 ) (22 )
3
=
=
(17 )3 (15)6
=
III. Aplicando la propiedad:
n
( a)
m
=
n
am
Desarrollar:
11.
(
12. ( 3
13. ( 3
4
16
)5
(−343)
=
14. (
)2 =
15. (
(−27) )5
=
(+64)
5
)3
(−32)
=
)2 =
Desarrollar:
16.
17.
3
(−343)
10000


5
− 32

225
4

7
16
=
18.
19. 3
(−128)
36
3

(−125)
−8

=
6
64

4
625
=
20.
64
3

1331
=
TAREA DOMICILIARIA Nº 2
I. Resolver las siguientes operaciones de radicación:
1.
2.
3.
3
5
3
1000000
(−32)
(−8)
=
.
n
5
(−32)
=
a.b
=
Desarrollar:
3
36
5.
289
169
.
.
225
=
II. Aplicando la propiedad:
6.
4.
(1331) ( −343)
=
n
a .
n
b
.
196
=
=
=
7.
8.
4
5
(81) (16)
9.
=
(17 )10 (20)5
=
(289) (196)
10. 3
( −8) ( −27)
14.
(
15.
(
=
=
III. Aplicando la propiedad:
n
( a)
m
=
n
am
Desarrollar:
11.
12.
13.
(
(
(
3
5
6
− 343 )2=
1024
3
(−1331)
)5=
)3=
4
81
)6=
729 )4 =
III.Resolver mediante la propiedad:
(am)n = am.n
13. [(23)4]3 = (
14. [(3)4]5 = (
15. [(−2)3]6 = (
)
16. [(−7)5]3 = (
)
)
)
IV. Resolver mediante la propiedad:
(a  c)n = an  cn
17. (−17)3  (−25)3
= (
)
19. (−2)3  (+11)3
= (
18. (−5)6  (−9)6
= (
)
20. (13)11  (−19)11
=(
)
)