INSTITUCIÓN TÉCNICA EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL CARMEN
Fecha de trabajo:
I.
GUÍA DE AMPLIACIÓN Y APLICACIÓN # 2
Asignatura: MATEMATICAS
Unidad:
NUMEROS COMPLEJOS
Proyecto Pedagógico
Proyecto de vida
17 al 28 de agosto
Fecha de entrega:
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Periodo
TERCERO
Decimo
Grado:
31 de agosto
OBJETIVO DE COMPROMISO SOCIAL – DBA
OSC: Continuar con las actividades académicas virtuales, de manera organizada, para lograr alcanzar los objetivos propuestos en el año escolar
2020.
II.
AMPLIACIÓN O DESARROLLO DEL TEMA
NUMEROS IMAGINARIOS
En algunas ocasiones nos encontramos con ejercicios o planteamientos matemáticos que no tienen solución dentro de los números reales que
conocemos, es el caso de la ecuación 𝑥 2 + 2 = 0 , en la cual al despejar 𝑥 obtenemos:
2
2
𝑥 2 + 4 = 0 →→ 𝑥 2 = −4 →→ √𝑥 2 = √−4
2
𝑥 = √−2
Operación para la cual no hay resultado dentro del conjunto de los reales, ya que no existe un numero que multiplicado dos veces de como
2
resultado – 4, y lo puedes comprobar intentando resolver √−4 en la calculadora, la cual arrojara como resultado Math ERROR, que significa
2
4
6
error matemático. Este error aparecerá siempre que quieran calcularse raíces pares de números negativos, tales como: √−3, √−8, √−21
Por ejemplo, sabemos que:
2
√9= ±3 porque 3*3 =9 y (-3) *(-3) =9
√16= ±4 porque 4*4 =16 y (-4) *(-4) =16
4
√81= ±3 porque 3*3*3*3 = 81 y (-3) * (-3) * (-3) * (-3)=81
2
ESTAS RAICES LAS PODEMOS
CALCULAR DE MANERA MANUAL
O POR CALCULADORA
Pero qué hacer cuando nos encontramos con ejemplos como:
2
√−9
√−64
2
√−25
2
ESTAS RAICES NO LAS PODEMOS
CALCULAR DE MANERA MANUAL NI POR
CALCULADORA
¿Es decir que son operaciones sin
solución? La respuesta es NO.
PARA SOLUCIONAR ESAS RAICES SE CREAN EL CONCEPTO DE NUMERO IMAGINARIO
Y PARA ENTENDER LOS ANTERIORES CHISTES MATEMÁTICOS, VAMOS A CONOCER EL CONJUNTO
DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS.
Los anteriores ejemplos se resumen a que están dados por una raíz de un número negativo. Tales soluciones se les denomina imposibles o
imaginarias dentro del conjunto d ellos números reales, por lo que se hizo necesario buscar una manera de solucionarlos. Y fue en ese momento
cuando en el siglo XVII alrededor de 1777 que apareció:
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Euler plantea la notación:
2
√−1 = 𝑖, para simbolizar que era algo 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
Y de ahí se comienza a encontrar solución a esos ejemplos que no la tenían:
❖
2
2
2
√−9 = √9 ∗ √−1 = 3𝑖
2
2
√9 = 3
√−1 = 𝑖
❖
2
2
2
❖
2
2
2
√−64 = √64 ∗ √−1 = 4𝑖
√−25 = √25 ∗ √−1 = 5𝑖
POTENCIAS DE 𝒊: algunas potencias de 𝒊 se resumen en la siguiente tabla
Sin embrago que hacer cuando nos piden calcular por ejemplo 𝑖 322 , para estos casos existe una fórmula que
nos permite calcular cualquier potencia de 𝒊
EJEMPLOS RESUELTOS:
1. calcular 𝑖 450 →→ 𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑖 2 = −1
2. calcular 𝑖 227 →→ 𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑖 3 = −𝑖
SUMA Y RESTA CON IMAGINARIOS: los números imaginarios se suman y restan de la misma manera que los números reales
EJ:
a. 𝟒𝒊 + 𝟕𝒊 = 𝟏𝟏𝒊
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
b. √−𝟐𝟓 − √−𝟔𝟒 = √𝟐𝟓 ∗ √−𝟏 − √𝟔𝟒 ∗ √−𝟏
= 𝟓𝒊 − 𝟖𝒊 = −𝟑𝒊
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
c. √−𝟑𝟐 + √−𝟔 − √−𝟑 = √𝟑𝟐 ∗ √−𝟏 + √𝟔 ∗ √−𝟏 − √𝟑 ∗ √−𝟏
= 𝟓, 𝟔𝟓𝒊 + 𝟐, 𝟒𝟒𝒊 − 𝟏, 𝟕𝟑𝒊
= 𝟔, 𝟑𝟔𝒊
Se puede afirmar que existen:
NUMEROS COMPLEJOS
Y cómo se observa en la imagen los
números complejos son la unión de
un número real y otro imaginario
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CONJUGADA DE UN NUMERO COMPLEJO:
La conjugada de un numero complejo se da cuando la parte imaginaria cambia a su opuesto es decir cambia de signo
EJEMPLOS: A) 𝑧 = 5 + 3𝑖 →→ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑧̅ = 5 − 3𝑖 (la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta)
B) 𝑧 = −8 − 10𝑖 →→ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑧̅ = −8 + 10𝑖 (la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta)
REPRESENTACION GRAFICA DE UN NUMERO COMPLEJO
En el plano complejo, el eje de las abscisas o de las x es el eje real, y en este se ubica la parte real del número complejo.
El eje de las coordenadas o de las y es el eje imaginario, y en este se ubica la parte imaginaria del número complejo.
EJEMPLOS:
Representar en un mismo plano cartesiano los siguientes números complejos:
𝑧1 = −6 + 5𝑖
𝑧2 = 4 + 3𝑖
𝑧3 = −1 − 𝑖
𝑧4 = 2 − 4𝑖
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Decimo
Grado:
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OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS
SUMA: para sumar dos o más números complejos debemos sumar parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria.
EJ: (4 + 5𝑖) + (−3 − 2𝑖) = (4 + (−3)) + (5𝑖 + (−2𝑖)) = 1 + 3𝑖
(−8 − 𝑖) + (−7 − 2𝑖) = (−8 + (−7)) + (−𝑖 + (−2𝑖)) = −15 + (−3𝑖) = −15 − 3𝑖
RESTA: para restar dos o más números complejos debemos restar parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria
EJ: (8 + 3𝑖) − (3 − 2𝑖) = (8 − 3) + (3𝑖 − (−2𝑖)) = 5 + 5𝑖
(−7 − 6𝑖) − (−5 + 3𝑖) = (−7 − (−5)) + (−6𝑖 − 3𝑖) = −2 + (−9𝑖) = −2 − 9𝑖
MULTIPLICACION: para multiplicar números complejos se debe tener en cuenta que cada numero complejo es un binomio, es decir que se
compone de dos términos, por lo tanto, se deben multiplicar cada termino del primer monomio por cada termino del segundo monomio.
EJ:(2 + 3i) ∗ (5 − 2i) = 2 ∗ 5 + 2 ∗ (−2𝑖) + 3𝑖 ∗ 5 + 3𝑖 ∗ (−2𝑖) →→ 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠
= 10 + (−4𝑖) + 15𝑖 + (−6𝑖 2 ) = 10 − 4𝑖 + 15𝑖 − 6𝑖 2
= 10 + 11𝑖 − 6𝑖 2 →→ 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖 2 = −1
= 10 + 11𝑖 − 6(−1) = 10 + 11𝑖 + 6 = 𝟏𝟔 + 𝟏𝟏𝒊
(−5 − 4i) ∗ (8 + i) = (−5) ∗ 8 + (−5) ∗ 𝑖 + (−4𝑖) ∗ 8 + (−4𝑖) ∗ 𝑖 → 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠
= −40 + (−5𝑖) + (−32𝑖) + (−4𝑖 2 ) = −40 − 5𝑖 − 32𝑖 − 4𝑖 2
= −40 − 37𝑖 − 4𝑖 2 →→ 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖 2 = −1
= −40 − 37𝑖 − 4(−1) = −40 − 37𝑖 + 4 = −𝟑𝟔 − 𝟑𝟕𝒊
DIVISION: Para realizar divisiones entre números complejos, estas se deben expresar como una fracción y se multiplican el numerador y el
denominador por la conjugada del denominador.
EJ: 1.
=
(5+3𝑖)
(2−2𝑖)
=
(5+3𝑖)
(2−2𝑖)
(2+2𝑖)
∗ (2+2𝑖) →→
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑦 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
(5 + 3𝑖 ) (2 + 2𝑖 )
5 ∗ 2 + 5 ∗ 3𝑖 + 3𝑖 ∗ 2 + 3𝑖 ∗ 2𝑖
10 + 15𝑖 + 6𝑖 + 6𝑖 2
∗
=
=
(2 − 2𝑖 ) (2 + 2𝑖 ) 2 ∗ 2 + 2 ∗ 2𝑖 + (−2𝑖 ) ∗ 2 + (−2𝑖 ) ∗ 2𝑖 4 + 4𝑖 + (−4𝑖 ) + (−4𝑖 2 )
10 + 21𝑖 + 6𝑖 2
10 + 21𝑖 + 6(−1) 10 + 21𝑖 − 6 4 + 21𝑖
=
=
=
=
→→ repartimos denominador
4 − 4𝑖 2
4 − 4(−1)
4+4
8
4 21𝑖
1 21
= +
→→ 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 → + 𝑖
8
8
2 8
2. .
(4−2𝑖)
(−3+1𝑖)
=
(4−2𝑖)
(−3+1𝑖)
∗
(−3−1𝑖)
(−3−1𝑖)
→→
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑦 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
=
(4 − 2𝑖) (−3 − 1𝑖) 4 ∗ (−3) + 4 ∗ (−1𝑖) + (−2𝑖) ∗ (−3) + (−2𝑖) ∗ (−1𝑖)
∗
=
(−3 + 1𝑖) (−3 − 1𝑖) (−3) ∗ (−3) + (−3) ∗ (−1𝑖) + 1𝑖 ∗ (−3) + 1𝑖 ∗ (−1𝑖)
=
(−12) + (−4𝑖 ) + 6𝑖 + 2𝑖 2 −12 + 2𝑖 + 2𝑖 2 −12 + 2𝑖 + 2(−1) −12 + 2𝑖 − 2 −14 + 2𝑖
=
=
=
=
9 + 3𝑖 − (3𝑖 ) + (−1𝑖 2 )
9 − 1𝑖 2
9 − 1(−1)
9+1
10
=
−14 + 2𝑖
−14 2𝑖 −7 1
→→ repartimos denominador =
+
=
+ 𝑖
10
10
10
5
5
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III.
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NUMEROS COMPLEJOS
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Grado:
31 de agosto
AMPLIACIÓN EN ENTORNOS VIRTUALES
http://youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro
http://youtube.com/watch?v=Qv_bvmJJfV0
http://youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk
http://youtube.com/watch?v=m3Oeu_fnnXk&list=PLeySRPnY35dHfzYRb8StWkxnVTkrocv6X&index=3
ESTOS VIDEOS Y MAS LOS ENCUENTRAS TAMBIEN EN CLASSROOM, CODIGO DE LA CLASE:
IV.
1.
APLICACIÓN (Actividades o Taller)
2
ACTIVIDADES PROPUESTAS
2
2
b. √−48
√−7
2
c. √−200𝑎2 𝑏6
2
d. √−96𝑚12 𝑛10
e. √−169
e. 𝑖 846
g. 𝑖 25
Calcula las siguientes potencias de 𝑖
a. 𝑖 75
3.
kzd5af7
Expresa cada raíz como un número imaginario
a.
2.
Página 5 de 5
Periodo
TERCERO
b. 𝑖 340
c. 𝑖 108
d. 𝑖 43
f. 𝑖 0
Completa la siguiente tabla:
Numero Complejo
z
4 + 5𝑖
Parte real
Re(z)
Parte Imaginaria
Im(z)
8
−2𝑖
-10
0
0
23𝑖
¿Es complejo, real o
imaginario puro?
54 − 81𝑖
78 + 12𝑖
100𝑖
280
4. Ubica los siguientes números en un mismo plano complejo
𝒛𝟏 = −𝟏 − 𝟏𝒊
𝒛𝟐 = 𝟓 + 𝟑𝒊
𝒛𝟑 = −𝟕 − 𝟔𝒊
𝒛𝟓 = −𝟐𝒊
𝒛𝟔 = 3
5. Considera los números complejos:
𝒛𝟏 = −𝟓 − 𝟐𝒊
𝒛𝟐 = 𝟒 + 𝟑𝒊
𝒛𝟑 = 𝟏𝟎 − 𝟖𝒊
Y calcula las siguientes operaciones:
a. 𝑧1 + 𝑧2
b. 𝑧3 − 𝑧4
c. 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3
d. 𝑧4 − 𝑧2
e. 𝑧1 − 𝑧2
f. 𝑧2 ∗ 𝑧4
𝒛𝟒 = 𝟐 − 𝟓𝒊
g.
𝑧2
𝑧3
h. 𝑧1 ∗ 𝑧3
i.
𝑧4
𝑧1
j. 𝑧2 ∗ 𝑧3
k.
𝑧1
𝑧2
𝒛𝟒 = 𝟏 + 𝟔𝒊
0
