Universidad Simón Bolívar
Prof. R. Rojas
Distribución en el muestreo
Cuando el tamaño de la muestra (n) es más pequeño que el tamaño de la
población (N), dos o más muestras pueden ser extraídas de la misma población.
Un cierto estadístico puede ser calculado para cada una de las muestras posibles
extraídas de la población. Una distribución del estadístico obtenida de las
muestras es llamada la distribución en el muestreo del estadístico.
Por ejemplo, si la muestra es de tamaño 2 y la población de tamaño 3 (elementos
A, B, C), es posible extraer 3 muestras ( AB, BC Y AC) de la población. Podemos
calcular la media para cada muestra. Por lo tanto, tenemos 3 medias muéstrales
para las 3 muestras. Las 3 medias muéstrales forman una distribución. La
distribución de las medias es llamada la distribución de las medias muéstrales,
o la distribución en el muestreo de la media. De la misma manera, la distribución
de las proporciones (o porcentajes) obtenida de todas las muestras posibles del
mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada la distribución en el
muestreo de la proporción.
Distribuciones muestrales
Se define la distribución muestral de un estadístico (distribución de muestreo) en
una población, como la distribución de probabilidad de todos los posibles valores
que un estadístico puede asumir para cierto tamaño de la muestra.
Específicamente, se trabajará con las distribuciones muestrales para: medias,
proporciones y varianzas.
Distribución muestral de medias
Es la distribución de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras,
para un tamaño n determinado. Esta distribución de probabilidad tiene asociados
(parámetros) tales como la media 𝜇𝑥̅ y desviación estándar σx̅ . Para calcular,
estos parámetros de la distribución muestral de medias se utilizan las siguientes
relaciones:
𝜇𝑥̅ = 𝜇
σ
σx̅ =
√n
𝜎𝑥̅ =
√𝑛
𝜎
N−n
√
N−1
para poblaciones finitas
para poblaciones infinitas
A la expresión de la desviación estándar de la distribución muestral de medias,
se le llama error típico o estándar de la media y nos indica la diferencia promedio
entre los diversos valores de 𝑥̅ y 𝜇 . Como se observa, a medida que el tamaño
de la muestra aumenta este error disminuye, las diversas medias muestrales se
hacen más uniforme en su valor, y en consecuencia, cualquier media muestral
es una buena estimación de la media poblacional 𝜇.
Ejemplo:
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Una población consta de los siguientes valores: 12, 12, 14 y 16. Determine todas
las posibles muestras de tamaño dos.
Posibles muestras: (12,12), (12,14), (12,16), (14,16), (14,12), (16,12)
De todas las posibles muestras de tamaño dos, se calculan su media
correspondiente: 12, 13, 14, 13, 14, 15 para obtener una distribución de medias
muestral.
Demostrar que la media de la distribución muestral es igual a la media
poblacional
N=12, 12, 14, 16
𝜇 = 13,5
𝜇𝑥̅ = 13,5 = 𝜇
√(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 5.5
σx̅ =
=
= 0.96
𝑛
6
Teorema del límite central: es un teorema a través del cual se asegura que la
distribución de muestreo de la media se aproxima a la normal, al incrementarse
el tamaño de la muestra. Este teorema permite usar estadística de muestra para
hacer inferencias con respecto a los parámetros de la población, sin saber nada
sobre la forma de la distribución de frecuencias de esa población más que lo que
podamos obtener de la muestra. Para efectos prácticos el tamaño de la muestra
debe ser n ≥ 30.
Para el cálculo del valor de z, en una distribución muestral de medias, cuando
se conoce la desviación estándar de la población, se utiliza:
𝑥̅ − 𝜇
𝑍=
σx̅
Ejemplo (población infinita)
Una empresa fabrica bombillos que tienen una duración que se distribuye
aproximadamente normal, con media de 800h y desviación de 40 h. Encuentre
la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 bombillos tenga una vida
promedio de menos de 775 h.
𝑥̅ − 𝜇 775 − 800
̅ ≤ 775) = 𝑃 (
𝑃(X
≤
) = 𝑃(Z ≤ −2.5) = 0,0062
𝜎/√𝑛
40/√16
La probabilidad de que la media de la muestra de 16 bombillos sea menor a 77h
es de 0,0062.
Ejemplo (población finita)
Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidad aproximadamente en forma
normal con una media de 174,5 cm y una desviación de 6,9 cm. Si se extrae
200 muestras aleatorias de tamaño 25, determine el número de las medias
muestrales que caen entre 172,5 y 175,8 cm
Como la población es finita, se calcula el denominador de Z de la siguiente
manera:
σx̅ =
σ
√n
N−n
√
N−1
=
6,9
√25
1000−25
√
1000−1
= 1,36
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Posteriormente, se calcula la probabilidad:
̅ ≤ 175,8) = 𝑃
𝑃(172,5 ≤ X
172,5 − 174,5
𝑥̅ − 𝜇
175,8 − 174,5
≤
≤
=
1,36
1,36
σ √N − n
√n N − 1
(
)
= 𝑃(−1,47 ≤ Z ≤ 0,95) = 0,7607
Luego, 0,7607 x 200= 152 medias muestrales.
Distribución de una proporción muestral (p)
Es la media de todos los valores posibles de las proporciones que se pueden
generar mediante las diversas muestras aleatorias simples. Se puede demostrar
que la media de las proporciones muestrales 𝑝̂ será igual a π (proporción de la
población), donde se define una proporción muestral como el cociente:
𝑝̂ =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
Para calcular, estos parámetros de la distribución muestral proprcional se utilizan
las siguientes relaciones:
𝐸(𝑝̂ ) = 𝜋
π (1−π)
σ𝑝̂ = √
n
π (1−π)
σ𝑝̂ = √
n
para poblaciones infinitas
N−n
√
N−1
para poblaciones finitas
En ambos casos π es la proporción en la población y n el tamaño de la muestra.
Teorema del límite central: es un teorema a través del cual se asegura que la
distribución muestral de la proporción se aproxima a la distribución normal, al
incrementarse el tamaño de la muestra. Este teorema permite usar estadística
de muestra para hacer inferencias con respecto a los parámetros de la población,
sin saber nada sobre la forma de la distribución de frecuencias de esa población
más que lo que podamos obtener de la muestra. Para efectos prácticos el
tamaño de la muestra debe ser n ≥ 50, aunque algunos autores toman para 30 y
tanto nπ como n(1-π) deben ser mayores a 5.
Para el cálculo del valor de z, en una distribución muestral de medias, cuando
se conoce la desviación estándar de la población, se utiliza:
𝑝−𝜋
𝑍=
σ𝑝̂
Ejemplo
Suponga que de un grupo de personas que desean ingresar a una compañía el
40% pueden aprobar un test inicial para obtener el trabajo. Si se toma una
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muestra de 20 solicitantes ¿Cuál sería la probabilidad de que 50% o más
aprobaran el test?
𝑝−𝜋
𝑍=
σ𝑝̂
𝑝−𝜋
≥
σ𝑝̂
𝑃(p ≥ 0,5) = 𝑃
(
0,5 − 0,4
√0,4 (1 − 0,4)
)
20
= 𝑃(Z ≥ 0,91) = 0,1806
La probabilidad de que el 50% o más aprobaran el test es de 18,06%.
Distribución de la varianza muestral
A la distribución de la varianza muestral S2 se le conoce con distribución Chi.
Cuadrado 𝑥 2 . Es la varianza de todos los valores posibles de las muestras que
se pueden generar mediante las diversas muestras aleatorias simples. Sus
valores son mayores iguales a 0 y depende de los grados de libertad n-1 de la
distribución 𝑥 2 .
Los parámetros correspondientes son:
(𝑛 − 1)𝑆 2
2
𝑥 =
𝜎2
Donde n es el tamaño de la muestra, S2 la varianza muestral y 𝜎 2 la varianza
poblacional.
Ejemplo:
Encuentre la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 25 observaciones
de una población normal con varianza igual a 6, tenga una varianza muestral:
a) Mayor que 9,1
b) Entre 3,462 y 10,745
a) La probabilidad sería:
𝑃(𝑆 2 ≥ 9,1) = 𝑃 (𝑥 2 ≥
(𝑛 − 1)9,1
(25 − 1)9,1
2
)
=
𝑃
(𝑥
≥
) = 𝑃(𝑥 2 ≥ 36,4)
𝜎2
6
Buscando en la tabla de la distribución 𝑥 2 el valor de 36,4 con 24 grados de
libertad se obtiene una probabilidad de 0,05
b) La probabilidad sería:
𝑃(3,462 ≤ 𝑆 2 ≤ 10,745) = 𝑃(13,84 ≤ 𝑥 2 ≤ 42,98)
Buscando en la tabla de la distribución 𝑥 2 el valor de 13,84 con 24 g.l se obtiene
una probabilidad de 0,95 y buscando el valor de 42,98 con 24 g.l se obtiene una
probabilidad de 0,01.
Calculando el área del intervalo solicitado, se obtiene una probabilidad del 0,94
entre los valores de 3,462 y 10,745.
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