El volumen del cono circular recto es

1
[FICHA NO. 6]
Colegio San Isidro de Heredia
Departamento de Matemáticas
Prof: Alexander Soto Villalobos
Nivel: Undécimo año 2011
Ficha No 6: Sólidos
Se utilizarán las siguientes notaciones:
Notación
𝐴𝑇
𝐴𝐵
𝐴𝑏
𝐴𝐿
𝑉
ℎ
𝑔
Significado
Área total
Área basal
Área de la base
Área lateral
Volumen
Altura
Generatriz
1. Prisma recto
Un prisma es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que
son paralelogramos. En el caso en que las caras laterales sean rectangulares, se llama prisma recto.
ℎ
El área de un prisma recto se calcula por:𝐴 𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 . Asimismo, el volumen del prisma recto se calcula
por:𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ.
[FICHA NO. 6]
2
2. Pirámide regular
Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera; y por caras, que son
triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos
como el número de polígonos que lo limitan.
Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de
pirámides la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro. La altura
es el segmento que va perpendicularmente desde la cúspide a la base.
Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular. Las alturas de los triángulos que
forman las caras laterales de la pirámide se llaman apotemas de la pirámide
ℎ
𝑎
El área de una pirámide regular se calcula por:𝐴 𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 .
1
El volumen de una pirámide regular se calcula por:𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ.
3
3. Cubo
Un cubo o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes.
𝑎
𝑎
𝑎
Sea 𝑎 la medida de la arista del cubo. Entonces el área del cubo es 𝐴 𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 = 2𝑎2 + 4𝑎2 = 6𝑎2 . Por
otra parte, el volumen del cubo es 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 𝑎2 ⋅ 𝑎 = 𝑎3 .
[FICHA NO. 6]
3
4. Cono circular recto
Un cono circular recto es un sólido generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base. La altura de cono circular recto es la
distancia del vértice al centro del círculo de la base. La generatriz del cono circular recto es la distancia del
vértice a un punto del círculo de la base. El punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.
𝑔
ℎ
𝑟
𝑂
El área total del cono circular recto se calcula por: 𝐴 𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 = 𝜋 𝑟 2 + 𝜋𝑟𝑔.
1
1
El volumen del cono circular recto es 𝑉 = 3 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 3 𝜋 𝑟 2 ℎ.
5. Cilindro circular recto
Es un cilindro que se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución. La
altura del cilindro circular recto es la distancia entre las bases y es igual a la distancia entre ambos centros de
los círculos. Las bases son dos círculos congruentes y paralelos. El radio del cilindro circular recto es el radio de
las bases. La superficie lateral es curva y su desarrollo es un rectángulo.
𝑂
𝑟
ℎ
𝑂′
𝑟
El área total del cilindro circular recto se calcula por: 𝐴 𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 = 2𝜋 𝑟 2 + 2𝜋𝑟ℎ.
El volumen del cilindro circular recto se calcula por:𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 𝜋 𝑟 2 ℎ.
4
[FICHA NO. 6]
6. Esfera
Es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior
llamado centro de la esfera. La esfera se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su
diámetro.
𝐴
𝑟
𝐵
Sea 𝑟 el radio de la esfera. Luego, el área total de la esfera es 𝐴 𝑇 = 4 𝜋 𝑟 2 . Por otra parte, el volumen total de
4
la esfera es 𝑉 = 3 𝜋 𝑟 3 .
Ejercicios No. 6
1. El volumen, en decímetros cúbicos, de un prisma hexagonal de altura 45 𝑑𝑚 y cuyo lado de la base mide
3 𝑑𝑚, corresponde a___________.
2. La medida de la altura de un prisma recto de base cuadrada es 4. Si la medida de una de las diagonales del
prisma es 5, entonces ¿cuál es el área lateral del prisma?
3. Un prisma recto de base cuadrada y un cilindro tienen el mismo volumen. El diámetro de la base del
cilindro tiene igual medida que el lado de la base del prisma. Si la medida de la altura del cilindro es 6 y la
medida del diámetro de la base del cilindro es 8, entonces ¿cuál es aproximadamente la altura del prisma?
4. Si la diagonal de un cubo mide 7 √2 𝑐𝑚
centímetros____________.
entonces la medida de su arista, mide en
5. Si el volumen de un cubo es 27 𝑐𝑚3 , entonces el área basal del cubo en centímetros cuadrados
es__________________.
6. La altura de un prisma es de 12 y la base es un rectángulo que mide 6 de largo y 3 de ancho. Se desea
modificar de manera que el volumen sea el mismo pero la altura sea la mitad de la anterior. Si se mantiene
el ancho de la base, ¿cuál debe ser la medida del largo?
7. Si la altura de una pirámide es de 20 𝑐𝑚 y su base es un cuadrado de 18 𝑐𝑚 de lado, entonces el área
lateral de la pirámide es aproximadamente________________.
[FICHA NO. 6]
5
8. Si la base de una pirámide recta es un hexágono regular de 6 √3 𝑐𝑚 de apotema y su altura es de 15 𝑐𝑚,
entonces la medida de su arista corresponde a
9. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta de base cuadrada si la medida de cada uno de los lados de la
base es 10 y la medida de la altura de la pirámide es 12?
10. Si la base de una pirámide es un cuadrado cuyos lados miden 16 𝑐𝑚 cada uno y la altura de la pirámide es
de 15 𝑐𝑚, ¿cuál es en centímetros cúbicos el volumen de la pirámide?
11. Todas las caras de una pirámide recta de base cuadrada, tienen igual área. Si el área total de la pirámide es
500, entonces la medida de cada una de las aristas laterales es___________________.
12. Si el área lateral de un cilindro es 60𝜋 𝑐𝑚2 ¿cuál es el área del rectángulo que pasa por el diámetro de cada
círculo, en centímetros cuadrados?
13. ¿Cuál es el área lateral, en centímetros cuadrados, de un cilindro circular recto, cuya altura es de 15 𝑐𝑚 y
el perímetro de la base es 16 𝜋 𝑐𝑚?
14. El área de la base de un cilindro es 36𝜋 𝑐𝑚2 , su altura es igual al diámetro de la base, entonces el volumen
en centímetros cúbicos del cilindro es
15. El diámetro de la base de un cono circular recto mide 10 𝑐𝑚 y la altura mide 12 𝑐𝑚. ¿Cuál es el área total
del cono en centímetros cuadrados?
16. ¿Cuál es la altura en centímetros, de un cono circular recto, si el volumen es de 24𝜋 𝑐𝑚3 y el perímetro de
la base es de 6 𝑐𝑚?
17. El volumen de un cono inscrito en un cilindro, cuyo volumen es de 300 𝑐𝑚3 es
18. Si un cubo de arista 12 𝑐𝑚 se inscribe en una esfera, entonces el radio de la esfera mide en decímetros
19. La medida de la altura de un cono circular recto excede en 2 a la medida del radio de la base. Si el área de
la base es 36𝜋, entonces el área lateral del cono es_______________.
20. ¿Cuánto material, en metros cuadrados, se necesita para construir la superficie de un globo esférico cuyo
diámetro mide 10 𝑐𝑚?
21. ¿Cuál es en centímetros cúbicos, el volumen de una esfera de diámetro 10 𝑐𝑚?
22. El radio de una esfera, el radio de la base de un cono circular recto y la altura del cono, tienen la misma
medida. Si el número que expresa el volumen del cono es igual que el número que expresa el área total de
la esfera, entonces el área basal de ese cono es____________.
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[FICHA NO. 6]
23. Si el área lateral de un cubo es 12 𝑐𝑚2 , entonces el volumen en centímetros cúbicos es
24. El volumen de un cono circular recto es igual al volumen de un cilindro circular recto. Si en el cono la altura
es 9 y el radio de la base es de 4 y en el cilindro la altura es 3, entonces el área de la base del cilindro es.
25. Si el área total de un cono circular recto de radio 3 es de 24𝜋, entonces el volumen del cono
es_______________.
26. El área lateral de un cono circular recto es de 45𝜋. Si la longitud de la generatriz es 15, entonces, ¿cuál es
el área de la base?
27. Si el área de la base de un cono circular recto es de 25 𝜋 y la medida de su altura es 12, entonces el área
lateral del cono es
(A)
(B)
(C)
(D)
60𝜋
65𝜋
85𝜋
90𝜋
𝑥
28. El área de la base de un prisma recto de base cuadrada es "𝑥". Si la medida de la altura del prisma es 4,
entonces el área lateral corresponde a
(A)
(B)
𝑥2
4
𝑥2
8
(C) 𝑥 √𝑥
(D)
𝑥 √𝑥
4
29. El volumen de un prisma recto cuya base es un hexágono regular es de 72 √3. Si la medida de cada uno de
los lados de la base es de 4, entonces la medida de la altura del prisma es
(A)
(B)
(C)
(D)
3
18
3 √3
18 √3
30. El área de la base de un cono circular recto es 16𝜋. Si la altura mide 8 √2, entonces el área lateral es
(A)
(B)
(C)
(D)
48𝜋
64𝜋
16𝜋 √7
32𝜋 √2
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7
31. El área del hexágono regular inscrito en un círculo de área 25𝜋 es
(A) 108
(B) 50 √2
(C)
(D)
25 √3
4
75 √3
2
32. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta, si la base es un cuadrado en el que cada lado mide 10 y la
altura de la pirámide mide 12?
(A)
(B)
(C)
(D)
100
240
260
285
33. ¿Cuál es el área lateral de un cilindro circular recto si la altura mide 10 y el radio de la base mide 6?
(A)
(B)
(C)
(D)
60𝜋
120𝜋
432𝜋
600𝜋
34. Si el área lateral de una pirámide recta de base cuadrada es 432 y la medida de la apotema de la pirámide
es 18, entonces el volumen de la pirámide corresponde a
(A)
(B)
(C)
(D)
288 √5
576 √2
4608 √7
5184 √2
35. El volumen de un cono circular recto es 729𝜋 y la altura es el triple del radio de la base. ¿Cuál es el área
lateral del cono?
(A)
(B)
(C)
(D)
243𝜋
81𝜋 √10
162𝜋 √10
729𝜋 √10
[FICHA NO. 6]
8
36. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta de base cuadrada si la medida de cada uno de los lados de la
base es 10 y la medida de la altura de la pirámide es 12?
(A)
(B)
(C)
(D)
240
260
312
624
37. Un prisma recto de base cuadrada y un cilindro tienen el mismo volumen. El diámetro de la base del
cilindro tiene igual medida que el lado de la base del prisma. Si la medida de la altura del cilindro es 6 y la
medida del diámetro de la base del cilindro es 8, entonces ¿cuál es aproximadamente la altura del prisma?
(A)
(B)
(C)
(D)
4, 71
6, 00
18, 80
37, 70
38. ¿Cuál es el volumen de una pirámide recta cuya base es un cuadrado, si el área lateral es 320 y el área
basal es 256?
(A)
(B)
(C)
(D)
512
576
1280
2560
39. El radio de una esfera, el radio de la base de un cono circular recto y la altura del cono, tienen la misma
medida. Si el número que expresa el volumen del cono es igual que el número que expresa el área total de
la esfera, entonces el área basal de ese cono es
(A)
(B)
(C)
(D)
4𝜋
12𝜋
144𝜋
288𝜋
40. La medida de la altura de un cono circular recto excede en 2 a la medida del radio de la base. Si el área de
la base es 36𝜋, entonces el área lateral del cono es
(A)
(B)
(C)
(D)
48𝜋
60𝜋
84𝜋
96𝜋
[FICHA NO. 6]
9
41. Si la medida de la altura de un pirámide recta es 12 y la base es un cuadrado en el que la medida del lado
es 10, entonces ¿cuál es el área lateral de la pirámide?
(A)
(B)
(C)
(D)
100
240
260
360
42. Todas las caras de una pirámide recta de base cuadrada, tienen igual área. Si el área total de la pirámide es
500, entonces la medida de cada una de las aristas laterales es
(A)
(B)
(C)
(D)
10
20
5√17
10√5
43. La medida de la altura de un prisma recto de base cuadrada es 4. Si la medida de una de las diagonales del
prisma es 5, entonces ¿cuál es el área lateral del prisma?
(A)
(B)
(C)
(D)
3
9
24√2
48√2
44. La medida de la altura de un cilindro circular recto es el doble de la medida del diámetro de la base del
cilindro. Si el volumen es 4000𝜋, entonces ¿cuál es el área lateral?
(A)
(B)
(C)
(D)
100
100𝜋
800𝜋
8000𝜋
45. El volumen de un cono circular recto es 24𝜋. Si la medida de la altura del cono es 4, entonces ¿cuál es el
área basal de dicho cono?
(A)
(B)
(C)
(D)
6𝜋
18𝜋
72𝜋
6𝜋√2
[FICHA NO. 6]
10
46. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta de base cuadrada, si la medida de cada uno de los lados de la
base es 10 y la medida de la altura de la pirámide es 12 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
240
260
312
624
47. El área basal de un cono circular recto es 14𝜋. Si la medida de la altura es 5 √2, entonces el área lateral de
dicho cono es
(A)
(B)
(C)
(D)
4𝜋 √2
8𝜋 √14
5𝜋 √28
70𝜋 √2