Transporte de carga en Semiconductores - Ecuación de transporte de Boltzmann - I 3 d k 1 En equilibrio termodinámico : N =∑ f ( ⃗ k ) → ∫ f (⃗ k) ⇒ n= f ( k⃗ )d 3 k 3 3∫ ⃗ 8π 8π k V cr f (⃗ k ) : Función de distribución de Fermi- Dirac. Representa el número de electrones por estado cuántico. (En otros casos podría ser la de Bose-Einstein o Maxwell-Boltzmann). Fuera del equilibrio: La función de distribución ha de incluir dependencias con ⃗r , ⃗ p (=ℏ ⃗ k ), t . p ,t ) d3r d3p el número de electrones (o huecos) que hay en un volumen del espacio Sea n ( ⃗r , ⃗ de las fases d3r d3p en torno de ( ⃗r , ⃗p ) en un instante t : - Los electrones se mueven con velocidad ⃗ v (t)= ⃗r˙ (t ) → Entran y salen de d3r ⃗ = ⃗p˙ → Entran y - Sobre los electrones actúan fuerzas que cambian su momento ⃗ p: F salen de d3p - Los electrones en este elemento de volumen experimentan colisiones con otros electrones, fonones, impurezas... que los sacan de d3r d3p. Electrones de otros elementos de volumen llegarán a éste debido a sus colisiones. ∂ n( ⃗r , ⃗ p ,t ) ∂ n ∂ n ∂n ∂n ≡ = + + ∂t ∂t ∂t ⃗v ∂ t F⃗ ∂t ( ) ( ) ( ) Tema: Transporte en Semiconductores Electrónica Física - Juan E. Carceller Col 1 Transporte de carga en Semiconductores - Ecuación de transporte de Boltzmann - II ⃗ (t 0 )] la densidad de electrones que hay en el volumen considerado en t0. Sea n [ ⃗r (t 0 ) , p Al cabo de Δt, los electrones del volumen han salido, y han entrado los que estaban en ⃗ y a v⃗ en este intervalo es: ⃗r (t 0 − Δ t ), ⃗ p (t 0 − Δ t ). El cambio en n debido a F Δ n=n ( x−v x Δ t , y −v y Δ t , z−v z Δ t , p x −F x Δ t , p y −F y Δ t , pz −F z Δ t )−n (x , y , z , p x , p y , p z ) ⃗ ⃗ ∂n ∂n ⃗ n− F =−v⃗⋅∇ ⋅∇ ⃗k n+ ⃗r ∂t ℏ ∂t Δn ∂n ∂n ⃗ n)⋅⃗ ⃗ n)⋅F ⃗ lím ≡ + =−( ∇ v −( ∇ ⃗r ⃗ p ∂ t ⃗v ∂ t F⃗ Δ t →0 Δ t ( ) ( ) ( ) Col 3 Si ponemos n ( ⃗r , ⃗ k )=f ( ⃗r , k⃗ )(8 π /V cris ) → ⃗f es la densidad de electrones por estado k⃗ : ⃗ ⃗ ∂f ⃗ ⃗ F ∂f + v⋅∇ ⃗r f + ⋅∇ ⃗k f = ∂t ℏ ∂t ( ) Tema: Transporte en Semiconductores Electrónica Física - Juan E. Carceller Col Ecuación de transporte de Boltzmann 2 Transporte de carga en Semiconductores - Ecuación de transporte de Boltzmann - III ⃗ ⃗ ∂f ⃗ ⃗ F ∂f + v⋅∇ ⃗r f + ⋅∇ ⃗k f = ∂t ℏ ∂t ( ) Col En general: ( ) ∂f ∂t Col =∫ { W ( ⃗ k ' → k⃗ )f ( k⃗ ' )[1−f ( ⃗ k )]−W ( ⃗ k → k⃗ ' )f ( ⃗ k )[1−f ( ⃗ k ' )] } d 3 k ' La ecuación de transporte es integro-diferencial. Muy dificil de tratar. Aproximacion: tiempo de relajación: ⃗ = 0, f uniforme Caso más simple: F ( ) ∂f ∂t Col f −f =− τ 0 t f −f 0 df −τ =− τ ⇒ f −f 0 =C e dt De la aproximación del tiempo de relajación (con campos eléctricos) se obtienen los modelos más simples de transporte. Tema: Transporte en Semiconductores Electrónica Física - Juan E. Carceller 3 Transporte de carga en Semiconductores Movilidad de portadores: ⃗ aplicados, el movimiento de los electrones es - En ausencia de E aleatorio debido a: * interacción con las vibraciones de la red: interacción electrón - fonón. * Interacción con impurezas ionizadas (culombiana y apantallada). * Interacción con impurezas neutras. * Rugosidad superficial ... * Cualquier defecto que rompa la idealidad del cristal. ⃗ aplicado, cada electrón experimenta una fuerza neta - Cuando hay E ⃗ . Los choques anteriores continúan y aumentan, pero en = −q E promedio sobre el conjunto de electrones, adquieren una velocidad ⃗: media proporcional a E 〈 v n 〉=− n⋅E y 〈 v p 〉= p⋅E J n=−q n 〈 v n 〉=q n n E≡ nE J p= q p 〈 v p 〉=q p p E≡ pE μ n , p : MOVILIDAD de los electrones, huecos J =Jn Jp= n p E = E=q n n p p E ⃗ En general: ⃗ J =(σ ij ) E (La justificación de la movilidad desde primeros principios se obtiene a partir de la ecuación de transporte de Boltzmann) Tema: Transporte en Semiconductores Electrónica Física - Juan E. Carceller 4 Algunas propiedades de la movilidad La velocidad originada por el campo electríco y limitada por la movilidad se denomina velocidad de arrastre (drift velocity), y a las corrientes que se originan, corrientes de arrastre (drift current). τn,p: Tiempo (constante) de relajación del momento de los q q electrones o huecos. n= n ; p= p m *cn m *cp m*cn,cp: Masa efectiva de conducción de electrones o huecos. Para Si, Ge: 1 1 1 2 = m * cn 3 m * l m * t Para GaAs: m*cn = m*n Para huecos la situación es más complicada: Hay que utilizar la población de cada banda: σp = σpn+ σpp = q (plh μlh +phh μhh ) Regla de Mathiessen: Cuando hay varios efectos de scattering que introducen, por separado, movilidades μ1, μ2 , μ3 .., la movilidad resultante μ se obtiene de: 1 = 1 1 1 1 2 3 Tema: Transporte en Semiconductores Electrónica Física - Juan E. Carceller 5 Dependencia de la movilidad con la Temperatura: Efecto del scattering culombiano por impurezas y por fonones acústicos: 1 1 1 = phon imp (Culombiano) (Fonones acústcos) A baja T: - Los átomos de la red se mueven con poca amplitud. - Los portadores tienen poca energía y se mueven “lentamente”. - Domina el scattering por impurezas. - Al aumentar T, aumenta la velocidad de los portadores y las impurezas dispersan menos. A alta T: - La velocidad de los portadores es elevada y las impurezas apenas les afectan. - Los átomos de la red se mueven con gran amplitud y domina el scattering por vibraciones de la red: por fonones. Normalmente intervienen otros mecanismos de scattering: rugosidad superficial, scatering no culombiano... La dependencia térmica de μ presenta otros valores del exponente. Tema: Transporte en Semiconductores Electrónica Física - Juan E. Carceller 6 Dependencia de la movilidad con la concentración de impurezas Concentración de impurezas = Na + Nd Tema: Transporte en Semiconductores Electrónica Física - Juan E. Carceller 7 Efectos de Campo Eléctrico Alto A bajos campos eléctricos: vd (cm/s) ⃗ ; μ=Cte . ⃗ v =(±)μ E 107 Comportamiento Óhmico. A altos campos, la velocidad de arrastre se satura. Para electrones: 106 μ=μ( E⃗ ); ⃗J=−q n v⃗ =q nμ( E⃗ ) E⃗ μ=Cte 105 Comportamiento no-Ohmico. 102 103 104 E (V/cm) 105 v n , p|∼|⃗ v th| , los portadores Cuando |⃗ se denominan “calientes” (“hot carriers”). Otros efectos: * A altos campos y en distancias muy cortas: “velocity overshoot”. ⃗ por cambio de valle (de la B.C.) de los * Decrecimiento de la velocidad con E portadores en GaAs. Tema: Transporte en Semiconductores Electrónica Física - Juan E. Carceller 8