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INTEGRAL DEFINIDA
1) Integrales
Impropias
con
Límites
Infinitos y Finitos.
2) Criterios de Convergencia de Integrales
Impropias
CURSO: ANALISIS MATEMATICO II
Mg. Miguel Chumpitaz C
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Hasta ahora, en nuestro estudio del área bajo la
curva mediante la integral definida hemos
sobreentendido que:
1. Los límites de integración son finitos.
2. La función f(x) es continua en [a,b] o bien es
acotada en ese intervalo, si f(x) es discontinua.
Cuando se elimina alguna de estas dos
condiciones, se dice que la integral resultante es
una integral impropia.
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INTEGRALES IMPROPIAS
Vamos a extender el concepto de integral definida
para los siguientes casos:
A) Cuando los limites de integración son infinitos o
el intervalo de integración es infinito.
B) Cuando la función no está acotada en [a,b], es
decir la función f presenta una discontinuidad
infinita en [a,b].
“Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman
Integrales Impropias.”
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INTEGRALES IMPROPIAS
• Existen dos tipos de integrales impropias:
– Integrales con límites de integración infinitos.

2
(
x

5
)
dx

5
– Integrales que se vuelven infinitas en algún
número del intervalo de integración.
1
dx
 2 x 2
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Tipo 1: INTERVALOS INFINITOS.
El área de la región que esta bajo la curva es:
A(t ) 

t
t
1
1
dx     1 
2
x 1
t
1 x
1
y
A(t) <1, sin importar que tan
grande sea t
1
x2
Área = 1
 1
lim A(t )  lim 1    1
t
t 
t 

x
t
1
1
2
dx  lim
t 
x
1
2
dx
x 1
1
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Definición 1.1:
Si existe

t
a
f ( x ) dx para todo número


a
ta
, entonces:
t
f ( x ) dx  lim  f ( x ) dx
t 
1
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
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Definición 1.2:
Si existe

b
f ( x) dx para todo número t  b , entonces
t

b

b
f ( x )dx  lim  f ( x )dx
t 
t
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
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Definición 1.3:
Si


a

f ( x ) dx y



a

f ( x ) dx son convergentes, entonces
f ( x )dx  
a


f ( x )dx   f ( x )dx
a
Es convergentes, caso contrario se dice que es divergente.
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Tipo 2: INTERVALOS DISCONTINUOS
El área de la región es:
A(t )  
5
2
5
1
dx
dx  lim 
t 2
x2
x2
t
5
 lim 2 x  2   2 3
t 2
t
2
5
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Definición 2.1:
Si f es continua en a; b y discontinua en b

b
a
t
f ( x )dx  lim  f ( x )dx
t b
a
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
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Definición 2.2:
Si f es continua en a; b  y discontinua en a

b
a
b
f ( x )dx  lim  f ( x ) dx
t a
t
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
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Definición 2.3:
Si f tiene una discontinuidad en c y a < c < b, y si son
convergentes tanto
Como


c
a

b
c
f ( x ) dx
f ( x ) dx por definición:
b
a
f ( x )dx 

c
a
b
f ( x )dx   f ( x )dx
c
Es convergentes, caso contrario se dice que es divergente.
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CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Teorema de comparación
Sean f y g funciones continuas y f ( x )  g ( x )  0 cuando x  a
a) Si


f ( x) dx

es convergente, entonces
a


b) Si g ( x) dx es divergente, entonces
a
 g ( x) dx
es convergente.
a


f ( x) dx es divergente.
a
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Ejemplo:
Determine si la integral es convergente o divergente?


1
1
dx
x
1
   1  x 2 dx

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PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.




1
dx
x
1
1

x
1
1
1
1
dx
2
x

dx
x
1

x

1
3
dx
1
2
dx
x
1
p
dx
1

1
x
1

1
3
dx
x
1
p
dx
1
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PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.

 x dx
2
0


0
e
 x
x
dx

1
dx
4 x 3

 1 x
1

x
0
dx
1
1
0
4
2
dx

e x dx

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PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
1

3
dx
1 x
0
0
1
dx
x 1
0
2
2


4
dx
1 x

1

dx
x 1
0

3
x dx
x 1

dx
3
0 (x  1) 2
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PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.

 9 x
x

2
6
dx


1
1  x 2 dx

x
0
e
dx
x
0 1  e
1

xe
dx

x
dx
 2 x 2
 senxdx
0
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