GEOMETRIA--SOLUCIONES-problemas-UNIDAD-2--2021

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA UNIDAD 2
En cada uno de los problemas se muestra una solución posible. En ninguna de ellas se han
empleado nociones de funciones trigonométricas.
Es aceptada cualquier forma de resolución, correcta y bien justificada, por parte de los
alumnos
Problema 1
En el rectángulo ABCD, se sabe:
5. AB  12.BC
El triángulo ADE es isósceles de
450 cm2 de área y .CB  3.FB
Calcula el área de AFCE
Siendo el ADE un triángulo isósceles y el ABCD un rectángulo se cumple que:
AD  DE  BC
De acuerdo al dato del área del triángulo isósceles
AD. DE
AD. AD
 450 cm 2 
 450 cm 2
2
2
2
AD  2. 450 cm 2  900 cm 2  AD  900 cm 2  30 cm  BC
En el rectángulo ABCD, se sabe que 5. AB  12.BC entonces
12. 30 cm
 12. 6 cm  72 cm  DC
5
30 cm
CB  3. FB 
 FB  10 cm
3
5. AB  12. 30 cm  AB 
Por otro lado:
Área cuadrilátero AECF =
Área rectángulo ABCD - Área triángulo ADE - Área triángulo ABF =
AB . BF
72 cm . 10 cm
 30 cm . 72 cm  450 cm2 

2
2
2160 cm2  450 cm2  360 cm2  1350 cm2
AD . AB  450 cm2 
1
Respuesta: área de AFCE es 1350 cm2
Problema 2
En el rectángulo ABCD de 84 cm de perímetro, BC  2 AB . Sobre AB se dibujan un cuadrado de
100 cm2 de área y un triángulo.
Sobre CD se dibujan un cuadrado de 36 cm2 de área y un triángulo.
¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución
Calcularemos el área de la región sombreada como la diferencia entre el área del rectángulo ABCD
y el área de los dos trapecios determinados por un cuadrado y un triángulo, estos son los trapecios
ABGF y DCIJ
En el rectángulo ABCD
Perímetro = 2. AB  BC  2. AB  2 AB  2. 3. AB  6 AB  84 cm

AB 
84cm
 14 cm
6



entonces
BC  2 AB  28 cm
Área del rectángulo ABCD = AB.BC  14 cm . 28 cm = 392 cm2
Para calcular el área del trapecio ABGF
Siendo el lado del cuadrado EBGF
EB  100 cm 2  10 cm
2
Área trapecio ABGF =
 AB  FG  .GB  14cm  10cm  .10cm  240cm
2
2
2
2
 120cm2
Para calcular el área del trapecio DCIJ
Siendo el lado del cuadrado DHIJ
Area trapecio DHIJ =
DH  36 cm 2  6 cm
 DC  JI  .DJ  14cm  6cm  .6cm  120cm
2
2
2
2
 60cm2
Área de la región sombreada =
área del rectángulo ABCD - área del trapecio ABGF - Área del trapecio DCIJ =
392 cm2 - 120 cm2 - 60 cm2 = 212 cm2
Respuesta: 212 cm2
Problema 3
En la circunferencia de centro O se marcan los puntos A, B, C; D de modo que el ángulo AOB =
40º , AC y BD son diámetros .
Por D se traza la recta tangente a la circunferencia. La semirrecta BC corta a esa recta tangente en
el punto E. ¿Cuánto miden los ángulos interiores del cuadrilátero ABED?
Solución
ˆ  40  DOC
ˆ
por opuestos por el vértice
AOB
Como AO y OB son radios. AOB es un triángulo isósceles, entonces
ˆ  OBA
ˆ  1 (180  40)  70
OAB
2
ˆ  180  AOB
ˆ  140
AOD
Por ser ángulos adyacentes.
ˆ  180  DOC
ˆ  140
BOC
3
ˆ  ADO
ˆ  1 (180  140)  20
El triángulo AOD es isósceles , entonces DAO
2
ˆ  1 (180  140)  20
ˆ  OCB
El triángulo COB es isósceles, entonces OBC
2
ˆ
Como DE es tangente a la circunferencia , el ángulo ODE  90
ˆ  OAB
ˆ  20  70  90
Aˆ  DAO
ˆ  OBC
ˆ  70  20  90
Bˆ  OBA
Entonces en el cuadrilátero ABED
ˆ  ODE
ˆ  20  90  110
Dˆ  ADO


Eˆ  360  Aˆ  Bˆ  Dˆ  360  290  70
Respuesta: A  B  90 , D  110 , E  70
Problema 4
El cuadrado ABCD tiene 48 cm de perímetro. Con centro en los vértices B y D se trazan arcos de
circunferencias de 9 cm de radio. Estos arcos se cortan en los puntos I y J ¿Cuál es el área del
cuadrilátero BIDJ?
Solución:
El cuadrilátero BIDJ es un rombo ya que sus cuatro lados son iguales por ser radios de dos
circunferencias de igual radio.
Lado del cuadrado =
2
48 cm
 12 cm Diagonal del cuadrado: BD  (12 cm) 2  (12 cm) 2
4
BD  2. 144 cm 2  12 2 cm
4
El triángulo isósceles IJB tiene los lados iguales de 9 cm y la altura h correspondiente al lado
desigual IJ igual a la mitad de la diagonal de cuadrado , igual a h  6 2 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras, resulta:
2
 IJ 
2
2
   h  JB
 2
2
2
entonces
IJ
 36. 2 cm2  81 cm2
4
IJ  (81 cm 2  72 cm 2 ).4  36 cm 2
IJ  6 cm
El cuadrilátero BIDJ es un rombo de lados 9 cm y diagonales miden IJ  6 cm y BD  12 2 cm
D. d 6 cm .12 2 cm

 36 2cm2
2
2
Respuesta: Área del cuadrilátero BIDJ = 36 2 cm2 (Es un rombo)
Su área es : 
Problema 5
Área del cuadrilátero ADEF = 624 cm2 . Área del ABF =
1
área del rectángulo BCEF
3
5
área del rectángulo BCEF .
6
Perímetro del cuadrilátero BDEF= 116 cm . Perímetro del CDE = 80 cm. Perímetro del ABF = 48
cm
¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ADEF?
Área del CDE =
5
Solución
Área ADEF = Área ABF + Área BCEF + Área CED
624 cm2 =
6
13
1
5
13
Área BCEF + Área BCEF +
Área BCEF =
Área BCEF
3
6
6
624 cm2 = Área BCEF = 288 cm2
1
1
área del rectángulo BCEF= . 288 cm2 = 96 cm 2
3
3
5
5
Área del CDE = área del rectángulo BCEF . = . 288 cm2 = 240 cm 2
6
6
Área del ABF =
Teniendo en cuenta los perímetros:
Perímetro del cuadrilátero
BDEF= BD  DE  EF  FB = 116 cm .
BC  CD  DE  EF  FB  EF  CD  DE  EF  CE = 116 cm


2.EF  CD  DE  CE  2.EF  Perímetro del CDE = 116 cm
2. EF  80 cm  116 cm
EF 
1
1
116 cm  80 cm   36 cm  18 cm
2
2
Usando las áreas calcularemos los lados
Área BCEF = EF . BF = 18 cm. BF = 288 cm2
6
288 cm2
 16 cm
18 cm
CE  BF  16 cm
BF 
Área del CDE =
CD . CE CD . 16 cm
= 240 cm 2

2
2
2. 240 cm2
CD 
 30 cm
16 cm
Área del ABF =
AB . BF AB . 16 cm
= 96 cm 2

2
2
2. 96 cm2
AB 
 12 cm
16 cm
Para saber las medidas de los lados restantes usamos los perímetros.
Perímetro del ABF = AB  BF  FA  12cm  16cm  FA = 48 cm
entonces FA  20 cm
Perímetro del ECD = EC  CD  DE  16cm  30cm  DE = 80 cm entonces DE  34 cm
Entonces
Perímetro del cuadrilátero ADEF = AB  BC  CD  DE  EF  AF =
12 cm +18 cm + 30 cm + 34 cm + 18 cm + 20 cm = 132 cm
Respuesta: 132 cm
Problema 6
Raúl les dijo a sus cuatro nietos que había estado cortando el césped de su jardín, pero como estaba
muy cansado no había terminado y les pide entonces que terminen de cortar el sector restante.
Cuando los chicos se dispusieron a hacer el trabajo, se encontraron con un sector triangular.
Disponiendo de una soga que alcanza para cubrir cuatro veces el perímetro del sector, ¿cómo
hicieron los chicos para dividirse el trabajo por igual?
Intenta varias posibilidades.
7
A continuación se presentan algunas de las estrategias válidas de resolución.
Estrategia 1. Tomando la soga se mide la longitud de un lado del terreno triangular. Se divide esa
longitud en cuatro partes iguales y se las marca en el terreno. Los chicos pueden usar la soga, desde
el vértice opuesto hasta la base para delimitar el sector que le toca cortar el césped a cada uno,
armando cuatro triángulos de igual área, ya que tienen la misma base por construcción y la misma
altura.
Estrategia 2. Con la ayuda de la soga se traza una altura del triángulo y se la divide en cuatro partes
iguales; uniendo los extremos con los otros dos vértices se arman cuatro triángulos que resultarán
de igual área.
8
Estrategia 3. Se traza por el punto medio de un lado del triángulo las rectas paralelas a los otros dos
lados, y luego la recta paralela al primer segmento (al que se le tomó el punto medio) que pasa por
el punto medio de alguno de los otros dos lados, (cualquiera ya que pasará por ambos puntos
medios): proyección paralela de una recta sobre otra. Estos cuatro triángulos construidos con la
ayuda de la soga tienen igual área.
Estrategia 4. Unir con la soga un vértice al punto medio del segmento opuesto y luego unir este
último punto con los puntos medios de cada uno de los otros dos lados. Los cuatros triángulos en
los que quedó dividido el jardín tienen igual área.
Estrategia 5. Dado el triángulo armar un paralelogramo. Desde el punto medio de uno de los lados
trazar el segmento paralelo a los otros dos lados. Trazar las diagonales de los dos nuevos
paralelogramos formados. Se forman cuatro sectores de igual área.
9
Estrategia 6 . Con la soga unir cada vértice con el punto medio del lado opuesto (medianas). Luego unir el
punto medio del segmento mitad de un lado con el punto de intersección de las tres medianas; repetir desde otro
lado del triángulo, resultando:
Solución obtenida del siguiente artículo:
D’Agostini, V.; Demti, G. y Pérez, M.(2019). La aplicación de la geometría en un problema de la
vida cotidiana de los ingresantes a las carreras de ingeniería. III Jornadas de experiencias
innovadoras en educación en la fceia. Recuperado de https://docplayer.es/69047445-La-
aplicacion-de-la-geometria-en-un-problema-de-la-vida-cotidiana-de-los-ingresantes-a-lascarreras-de-ingenieria.html
Problema 7
Los arcos DC y EC son cuartos de circunferencia de igual radio. EF es perpendicular a DF,
12 cm .
El perímetro de la región sombreada es 71,4 cm.
¿Cuál es el área y cuál el perímetro de la región no sombreada?
Solución :
La región sombreada es medio círculo, averiguamos el radio conociendo su perímetro
Perimetro  4. AD +  . AD  (4  3,14). AD  71, 4cm
10
EF =
AD 
71, 4 cm 71, 4 cm

 10 cm
4  3,14
7,14
ED  AB  2 AD  20cm
Como DFE es rectángulo en F
2
2
FD  DE  EF 
 20cm   12cm 
2
Área del triángulo DFE =
2
 400cm 2  144cm 2  256cm 2  16cm
DF .FE 16cm.12cm

 96cm2
2
2
Área del rectángulo ABEF = 20 cm .10 cm = 200 cm2
Área del semicírculo =
 .(10 cm)2
2
3,14 . 100cm2

 157cm2
2
Área de la región no sombreada = Área del triángulo DFE + Área del rectángulo ABEF - Área
del semicírculo = 96 cm2 + 200 cm2 -157 cm2 = 139cm2
Perímetro de la región no sombreada = DF  EF   . AD  16 cm  12 cm  3,14. 10 cm =
28 cm + 31,4 cm = 59,4 cm
Respuesta : área 139 cm2 y perímetro 59,4 cm
Problema 8
HIJKLM es un hexágono regular de 12 cm de lado MI es un arco de circunferencia de radio HÍ. LJ
es un arco de circunferencia de radio HL? ¿Cuál es el área de la región rayada?
11
Solución:
Calcularemos el área de la zona rayada como diferencia del área del hexágono regular menos el área
del sector circular inferior y de las regiones superiores LKZ y KZJ
El área del sector circular de radio 12 corresponde a
1
del área del circulo correspondiente, por
3
abarcar un ángulo de 120°.
1
1
2
Área del sector circular =  . 12cm   . 3,14. 144cm2  150, 72cm 2
3
3
HP es la apotema del hexágono puede calcularse como altura del triángulo equilátero MOH
2
2
2
MH  MP  HP 
12cm 
144cm2  36cm2  108cm2  HP
2
  6cm   HP
2
2
2
HP  108 cm 2  10,39 cm Apotema del hexágono regular
Calcularemos el área de la región LKZ como diferencia del ángulo del triángulo rectángulo HLK y
el área del sector circular de radio HL el doble de la apotema y ángulo central 30°.
HL = 2. 10,39 cm = 20,78 cm
Área del triángulo rectángulo HLK =
HL . LK 20, 78 cm. 12 cm

 124, 68 cm2
2
2
Cómo el ángulo del sector circular es de 30°, el área es la fracción
1
30

del área del círculo
12 360
correspondiente
12
Área del sector circular =
1
1
2
. .  20, 78cm   . 3,14. 431,80 cm2  112,98 cm2
12
12
Área región LKZ= 124,68 cm2 - 112,98 cm2 = 11,7 cm2
Área del hexágono regular =
Perimetro . Apotema 6. 12cm . 10,39cm

 374, 04cm2
2
2
Área rayada = Área del hexágono regular - área del sector circular de radio 12 -2. Área región
LKZ = 374,04 cm2 - 150,72 cm2 . 2. 11,7 cm2 = 199,92 cm2
Respuesta: 199,92 cm2
Las respuestas son tomando  =3,14
Problema 9
Las circunferencias, de centros A, B y C tienen radio igual a AB . El círculo de centro A y radio
AB tiene 452,16 cm2 de área.¿Cuál es el área de la región no sombreada? (Considera 3,14 como
aproximación del número π )
Solución :
Área del círculo =  .r 2  452,16cm2  r 2 
452,16cm2
 144cm2
3,14
r  144 cm 2  12 cm
En la zona sombreada se forman triángulos equiláteros de 12 cm de lado, porque son radios y las
circunferencias tienen igual radio.
h2  (6cm)2  (12cm)2  h2  36cm2  144cm2
13
h 2  144cm 2  36cm2  108cm2  h  108cm2  10,39cm
Área del triángulo=
b . h 12cm . 10,39cm

 62,34 cm 2
2
2
El sector circular tiene un ángulo de 60°, su área es la sexta parte del área del circulo.
Área del sector de 60°=
452,16 cm2
 75,36 cm2
6
Área del segmento circular de 60° = Área del sector de 60° - área del triángulo =
75,36 cm2 - 62,34 cm 2 = 13,02 cm 2
Área de la figura siguiente = área del triángulo + 2. Área del segmento circular de 60° =
= 62,34 cm 2 + 2 . 13,02 cm 2 = 88,38 cm 2
Área de las dos figuras iguales = 2 . 88,38 cm 2
= 176,76 cm 2
Área sin sombrear del círculo de la izquierda = 452,16 cm 2 - 176,76 cm 2 = 275,4 cm 2
Área sin sombrear de los dos círculos de los costados 2 . 275,4 cm 2 = 550,8 cm 2
Área sin sombrear del circulo central = 452,16 cm 2 - 2 . 176,76 cm 2 =
= 452,16 cm 2 - 353,52 cm 2 = 98,64 cm 2
Área de la región no sombreada = 550,8 cm 2 + 98,64 cm 2
= 649,44 cm 2
14
Respuesta = 649,44 cm2
15