Proceso de integracion

TEMA: PROCESO DE INTEGRACIÓN
Definición de integral indefinida:
Símbolo de integral: “ese alargada” : ∫
La integral es un proceso contrario a la derivación y al resolverse, se obtiene como resultado
una función matemática, a la cual se le llama primitiva.
Elementos en el proceso de integración:
1) símbolo: ∫ (leer: “integral de”
2) función a integrar: F(X)
3) Diferencial de la función a integrar: dx
Juntando los 3 elementos del proceso de integración:
∫ 𝐹(𝑋)𝑑𝑋
Se debe leer como: “integral de la función F(X) que tiene su dX”
NOTA: La siguiente simbología, no es un proceso de integración
∫𝑋
Esto no es un proceso de integración (le falta dX)
XdX esto no es un proceso de integración (le falta el símbolo de
integral)
TIPOS DE INTEGRALES
1) INTEGRAL INDEFINIDA: ∫ 𝐹(𝑋)𝑑𝑋 = g(X) + C
Donde g(X) es el resultado de la integral y se le llama primitiva, porque
si tus derivas g(X), obtendrás la función F(X).
La letra C se llama constante de integración (es un valor numérico real
que se puede calcular teniendo condiciones iniciales)
2) INTEGRAL DEFINIDA: [evaluaciones de g(X) ]
𝑏
∫𝑎 𝐹(𝑋)𝑑𝑋 = [g(X)]ab = g(b) – g(a) = valor numérico real, que
representa un área bajo una curva
Área que
F(X)
𝑏
Calcula la ∫𝑎 𝐹(𝑋)𝑑𝑋
a
b
Donde a,b se llaman límites de integración y “a” debe ser menor que “b”
a= límite inferior de integración
b= límite superior de integración
FÓRMULAS INMEDIATAS DE INTEGRACIÓN
1) La integral de una diferencial de cualquier variable es igual a la
variable que contiene la diferencial más la constante de
integración “C”
∫ 𝑑𝑋 = 𝑋 + 𝐶
Ejemplos:
a) ∫ 𝑑𝑌 = 𝑌 + C
b) ∫ 𝑑𝑍 = 𝑍 + 𝐶
c) ∫ 𝑑𝑊 = 𝑊 + 𝐶
d) ∫ 𝑑𝑄 = 𝑄 + 𝐶
e) ∫ 𝑑𝑅 = 𝑅 + 𝐶
f) ∫ 𝑑𝑁 = 𝑁 + 𝐶
g) ∫ 𝑑𝑃 = 𝑃 + 𝐶
h) ∫ 𝑑𝑉 = 𝑉 + 𝐶
i) ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶
j) ∫ 𝑑𝐾 = 𝐾 + 𝐶
k)
∫ 𝑑𝐴 = 𝐴 + 𝐶
l)
∫ 𝑑𝑚 = 𝑚 + 𝐶
2) La integral de una constante “a” por F(X) dX es igual a la constante
“a” por la integral de F(X)dX
∫ 𝑎𝐹(𝑋)𝑑𝑋 = 𝑎 ∫ 𝐹(𝑋)𝑑𝑋 (Las constantes salen de la integral)
La constante sale de la integral
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales:
𝑎. ∫ 2𝑑𝑋 = 2 ∫ 𝑑𝑋 = 2 𝑋 + 𝐶
𝑏. ∫ 15𝑑𝑋 = 15 ∫ 𝑑𝑋 = 15 𝑋 + 𝐶
𝑐. ∫(−3)𝑑𝑋 = −3 ∫ 𝑑𝑋 = −3 𝑋 + 𝐶
2
2
𝜋
𝜋
2
𝑑. ∫ 𝑑𝑋 = ∫ 𝑑𝑋 = 𝑋 + 𝐶
3
3
3
e. ∫ 𝑑𝑋 = ∫ 𝑑𝑋 =
5
5
𝜋
5
𝑋+𝐶
𝑓. ∫ 10𝑑𝑌 = 10 ∫ 𝑑𝑌 = 10 𝑌 + 𝐶
𝑔. ∫(−4)𝑑𝑍 = −4 ∫ 𝑑𝑍 = −4𝑍 + C
1
1
1
ℎ. ∫ 𝑑𝑊 = ∫ 𝑑𝑊 = 𝑊 + 𝐶
2
2
2
Resolver las siguientes integrales:
1)
2)
3)
4)
5)
∫ 𝑑𝐴 =
∫ 𝑑𝐵=
∫ 6𝑑𝑟 =
∫ 7𝑑𝑉 =
∫(−5)𝑑𝐴 =
1
6) ∫ 𝑑𝑁 =
3
1
7) ∫ 𝑑𝑀 =
4
1
8) ∫ 𝑑𝑆 =
5
9) ∫ 4𝑑𝐴 =
10)
∫ √2𝑑𝐾 =
Fórmula 3) La integral de una suma de funciones es igual a la suma de
las integrales individuales de cada una de las funciones
∫(𝑢 + 𝑤 + 𝑟)𝑑𝑋 = ∫ 𝑢𝑑𝑋 + ∫ 𝑤𝑑𝑋 + ∫ 𝑟𝑑𝑋
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales:
1) ∫(𝑑𝑋 + 𝑑𝑌) = ∫ 𝑑𝑋 + ∫ 𝑑𝑌 = X+C+Y +C =X + Y+2C=X + Y + C
2) ∫(𝑑𝑍 − 𝑑𝑊 − 𝑑𝐾) = ∫ 𝑑𝑍 − ∫ 𝑑𝑊 − ∫ 𝑑𝐾 =Z – W– K +C
1
1
3) ∫ (3𝑑𝑋 − 𝑑𝑌 − 𝜋𝑑𝑍) = ∫ 3𝑑𝑋 − ∫ 𝑑𝑌 − ∫ 𝜋𝑑𝑍 =
2
2
1
= 3 ∫ 𝑑𝑋 − ∫ 𝑑𝑌 − 𝜋 ∫ 𝑑𝑍 = 3X – ½ Y – 𝜋Z +C
2
4) ∫(10𝑑𝑋 + 7𝑑𝑌) = ∫ 10𝑑𝑋 + ∫ 7𝑑𝑌 = 10X + 7Y + C
5)
Fórmula 4)
La integral de un variable X potencia “n” que tiene su diferencial dX es
igual a la variable X elevada al exponente n +1 todo esto entre n + 1
∫ 𝑋 𝑛 𝑑𝑋 =
𝑋 𝑛+1
+ 𝐶 Teniendo la restricción de que “n” no puede ser -1
𝑛+1
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales
1.-∫ 𝑋𝑑𝑋 =
𝑋 1+1
1+1
+𝐶 =
𝑋2
2
+𝐶
n=1
2.-∫ 𝑋 2 𝑑𝑋 =
n=2
3.-∫ 𝑋 3 𝑑𝑋 =
𝑋 2+1
+𝐶 =
2+1
𝑋4
4
6.- ∫ 𝑋 28 𝑑𝑋 =
𝑋 50 001
50 001
𝑋 14
14
9.- ∫ 𝑋 −6 𝑑𝑋 =
+𝐶
+𝐶
+𝐶
𝑋 29
29
+𝐶
7.- ∫ 𝑋 999 999 𝑑𝑋 =
8.- ∫ 𝑋 −2 𝑑𝑋 =
3
+𝐶
4.-∫ 𝑋 50000 𝑑𝑋 =
5.-∫ 𝑋 13 𝑑𝑋 =
𝑋3
𝑋 1 000 000
1 000 000
𝑋 −2+1
−2+1
𝑋 −5
−5
+𝐶 =
+ 𝐶 =-
+𝐶
𝑋 −1
−1
1
5𝑋 5
+C=-
+C
1
𝑋
+C
a-n =
1
𝑎𝑛
10.- ∫ 𝑋 −20 𝑑𝑋 =
11.- ∫ 𝑋 −48 𝑑𝑋 =
1𝑋 −19
−19
𝑋 −47
−47
+𝐶 =-
1
19𝑋 19
14.- ∫(𝑋 2 + 3𝑋 7 )𝑑𝑋 =
8
47𝑋 47
𝑋5
13.- ∫ 4𝑋 9 𝑑𝑋 = 4 ∫ 𝑋 9 𝑑𝑋 = 4 (
3𝑋 8
1
+𝐶 = -
12.- ∫ 5𝑋 4 𝑑𝑋 = 5 ∫ 𝑋 4 𝑑𝑋 = 5(
+C
5
+C
) + 𝐶 = X5 +C
𝑋 10
)+𝐶 =
10
4
10
2
𝑋 10 + 𝐶 = X10 + C
∫ 𝑋 2 𝑑𝑋 + ∫ 3𝑋 7 𝑑𝑋) =
5
𝑋3
3
𝑋8
𝑋3
8
3
+ 3( ) + 𝐶=
+𝐶
15.-∫(4𝑋 2 − 5𝑋 −5 + 1)𝑑𝑋 = ∫ 4𝑋 2 𝑑𝑋 − ∫ 5𝑋 −5 𝑑𝑋 + ∫ 1𝑑𝑋
𝑋3
𝑋 −4
=4 ∫ 𝑋 2 𝑑𝑋 − 5 ∫ 𝑋 −5 𝑑𝑋 + ∫ 𝑑𝑋 = 4( ) − 5 ( ) + 𝑋 + 𝐶 =
3
−4
=
4
3
5
4
5
4
3
4𝑋 4
𝑋 3 + 𝑋 −4 + 𝑋 + 𝐶 = 𝑋 3 +
16.- ∫
𝑑𝑋
𝑑𝑋
𝑋 15
+𝑋+𝐶
reacomodar la expresión a integrar, utilizando a-n =
∫ 𝑋 15 = ∫ 𝑋 − 15 𝑑𝑋 =
𝑋 − 14
− 14
+𝐶 = −
1
14𝑋 14
+𝐶
1
𝑎𝑛
+
17.- ∫
7𝑑𝑋
𝑋5
18.- ∫ 𝑋 𝑑𝑋 =
2
1
+1=
= 7 ∫ 𝑋 −5 𝑑𝑋 = 7 ∗
𝑋5
𝑋− 4
−4
7
7
4
4𝑋 4
= − 𝑋− 4 + 𝐶 = −
+𝐶
3
1
2
1
𝑑𝑋
= 7∫
1𝑋 2
3
2
3
2
1+2
2
2
+ =
2
2
+ 𝐶 = X3/2 + C
3
=
2
1
2
=
3
3
2
8
3
5
19.- ∫ 𝑋 𝑑𝑋 =
3
5
3
+1=
𝑋5
8
5
3+5
5
5
+ =
5
5
+ 𝐶 = X8/5 + C
8
5
8
=
3
10
5
13
3
10
20.- ∫ 4𝑋 𝑑𝑋 = 4 ∫ 𝑋 𝑑𝑋 = 4 ∗
3
10
+1=
3
10
+
10
10
=
3+10
10
21.- ∫ 𝑋 𝑑𝑋 =
𝑋3
1
3
13
13
=
10
3
1
2
2
3
−2+3
3
3
3
3
=
1
3
−1
5
4
22.- ∫ 𝑋 𝑑𝑋 =
4
10
+ 𝐶 =4 *
+ 𝐶 = X1/3 + C = 3X1/3 + C
− +1= − + =
−5
13
10
1
−2
3
−
𝑋 10
𝑋4
−1
4
+ 𝐶 = - 4 X -1/4 + C
5
4
−5+4
4
4
4
+1= − + =
=
−1
4
X13/10 + C =
40
13
X13/10 +C
1
2
−
−
1
1
2
23.- ∫ 7𝑋 𝑑𝑋 = 7 ∫ 𝑋 𝑑𝑋 =7*
1
1
2
−1+2
2
2
2
2
− +1= − + =
=
𝑋2
= 7* 2 X ½ + C = 14 X1/2 +C = 14 √𝑋+C
1
2
1
2
𝑎
regla para pasar exponente fraccionario a raíz 𝑋 𝑛 = 𝑛√𝑋 𝑎
24.- ∫ 𝑋 0.25 𝑑𝑋 =
25.-∫ 𝑋 −5.75 𝑑𝑋 =
∫ 𝑋 𝑛 𝑑𝑋 =
𝑋 𝑛+1
𝑛+1
𝑋 1.25
1.25
+𝐶
𝑋 −4.75
−4.75
+𝐶
+𝐶
𝑎
26.- ∫ √𝑋𝑑𝑋= reacomodar y quitar la raíz con la regla: 𝑋 𝑛 = 𝑛√𝑋 𝑎
3
1
2
∫ √𝑋𝑑𝑋= ∫ 𝑋 𝑑𝑋 =
3
𝑋2
3
2
+𝐶 =
2
3
3
𝑋2 + 𝐶
5
𝑋 5 = √𝑋 3
7
4
𝑋 4 = √𝑋 7
3
√𝑋 = 𝑋
1
3
7
10
√𝑋10 = 𝑋 7
2
3
27.- ∫ √𝑋 2 𝑑𝑋 = 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑎𝑟: ∫ 𝑋 3 𝑑𝑋 =
∫ 𝑋 𝑛 𝑑𝑋 =
𝑋 𝑛+1
𝑛+1
+𝐶
2
3
𝑋 5/3
5
3
2
3
2+3
3
3
3
+ 1= + =
3
+ 𝐶 = 𝑋 5/3 +C
5
=
5
3
28. ∫ 𝑋(𝑋 + 6)𝑑𝑋 = ∫(𝑋 2 + 6𝑋)𝑑𝑋 = ∫ 𝑋 2 𝑑𝑋 + ∫ 6𝑋𝑑𝑋 =
𝑋3
=
3
+6∗
𝑋2
+𝐶 =
2
𝑋3
3
+ 3𝑋 2 + 𝐶
∫ 𝑋 𝑛 𝑑𝑋 =
𝑋3
3
+ 6 ∫ 𝑋𝑑𝑋
𝑋 𝑛+1
𝑛+1
+𝐶
6/2 = 3
29.- ∫(𝑋 + 5)(𝑋 + 10)𝑑𝑋 = ∫(𝑋 2 + 10𝑋 + 5𝑋 + 50)𝑑𝑋 =
= ∫(𝑋 2 + 15𝑋 + 50)𝑑𝑋 = ∫ 𝑋 2 𝑑𝑋 + ∫ 15𝑋𝑑𝑋 + ∫ 50𝑑𝑋 =
𝑋3
=
3
𝑋3
=
3
+ 15 ∫ 𝑋𝑑𝑋 + 50 ∫ 𝑑𝑋 =
+
30. ∫
∫
15
2
𝑋3
3
+ 15 ∗
3
𝑋 2 +2𝑋 3 −3𝑥 4
𝑋
𝑋
2
+
+ 50𝑋 + 𝐶 =
1
𝑋 2 +2𝑋 3 −3𝑥 4
𝑋2
2
𝑋 2 + 50𝑋 + 𝐶 = 𝑋 3 + 7.5𝑋 2 + 50𝑋 + 𝐶
𝑑𝑋 = reacomodar realizando divisiones
𝑋2
𝑑𝑋 = ∫ ( +
𝑋
2𝑋 3
𝑋
−
3𝑋 4
= ∫ 𝑋𝑑𝑋 + ∫ 2𝑋 2 𝑑𝑋 − ∫ 3𝑋 3 𝑑𝑋 =
=
𝑋2
2𝑋 3
3
−
3𝑋 4
4
+𝐶
𝑋
) 𝑑𝑋 = ∫(𝑋 + 2𝑋 2 − 3𝑋 3 )𝑑𝑋 =
𝑋2
2
+2∗
𝑋3
3
−3∗
𝑋4
4
+𝐶
Actividad: Resolver las siguientes integrales:
1.- ∫ 𝑋 3.25 𝑑𝑋 =
𝑋 4.25
4.25
2.-∫ 𝑋 −10.75 𝑑𝑋 =
+𝐶
𝑋 −9.75
−9.75
+𝐶 = −
𝑋 𝑛+1
∫ 𝑋 𝑛 𝑑𝑋 =
𝑛+1
1
9.75𝑋 9.75
+𝐶
+𝐶
𝑎
3.- ∫ √𝑋 9 𝑑𝑋= reacomodar y quitar la raíz con la regla: 𝑋 𝑛 = 𝑛√𝑋 𝑎
11
∫
√𝑋 9 𝑑𝑋=
∫𝑋
9/2
𝑑𝑋 =
𝑋2
11
2
4.- ∫ √𝑋 7 𝑑𝑋 = ∫ 𝑋 𝑑𝑋 =
5.
𝑋6
∫ 6𝑋 2 𝑑𝑋 =
6
11
2
11
𝑋2 +𝐶
10
7
3
3
+𝐶 =
𝑋3
10
3
+𝐶 =
3
10
10
𝑋3 +𝐶
∫ 𝑋(𝑋 4 + 6𝑋)𝑑𝑋 = ∫(𝑋 5 + 6𝑋 2 )𝑑𝑋 = ∫ 𝑋 5 𝑑𝑋 +
+6∗
6.- ∫(𝑋 + 7)(𝑋 − 5)𝑑𝑋 =
𝑋3
3
+𝐶 =
𝑋3
3
𝑋6
6
+2X3 +C
+ X2 – 35X+C
Fórmula 4)
∫ 𝑋 𝑛 𝑑𝑋 =
𝑋 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 Teniendo la restricción de que “n” no puede ser -1
Fórmula 5)
𝑉 𝑛+1
∫ 𝑉 𝑛 𝑑𝑉 = 𝑛+1 + 𝐶 Teniendo la restricción de que “n” no puede ser -1
V = una base y esta base debe tener su diferencial a un lado: dV
Donde V puede ser: un binomio, trinomio, función seno, coseno,
tangente, función exponencial, función logaritmo, función con raíz
cuadrada, etc.
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales:
1)∫(𝑥 + 3)2 𝑑𝑋 = ∫(𝑋 2 + 6𝑋 + 9)𝑑𝑋 = ∫ 𝑋 2 𝑑𝑋 + ∫ 6𝑋𝑑𝑋 + ∫ 9𝑑𝑋
=
𝑋3
3
+6∗
𝑋2
2
+ 9𝑋 + 𝐶 =
𝑋3
3
+ 3𝑋 2 + 9𝑋 + 𝐶
2) ∫(𝑥 + 3)3 𝑑𝑋 = ∫(𝑋 3 + 3𝑋 2 (3) + 3𝑋(32 ) + 33 )𝑑𝑋
(a+b)3 = a3 + 3 a2 b + 3ab2 + b3
= ∫(𝑋 3 + 9𝑋 2 + 3𝑋(9) + 27)𝑑𝑋 = ∫(𝑋 3 + 9𝑋 2 + 27𝑋 + 27)𝑑𝑋 =
=∫ 𝑋 3 𝑑𝑋 + ∫ 9𝑋 2 𝑑𝑋 + ∫ 27𝑋𝑑𝑋 + ∫ 27𝑑𝑋 =
𝑋4
=
4
+9∗
𝑋3
3
+ 27 ∗
3) ∫(𝑥 + 3)9 𝑑𝑋 =
𝑋2
2
+ 27𝑋 + 𝐶 =
(𝑋+3)10
10
𝑋4
4
+ 3𝑋 3 +
27
2
𝑋 2 + 27𝑋 + 𝐶
+𝐶
Base es X+3, entonces se tiene que V = X+3, ahora debo comprobar
que “V” tenga su diferencial dV a un lado.
Obtener su diferencial dV, derivando V
𝑉 =𝑋+3
dV = 1dX esto me dice que el diferencial está completo y se puede
aplicar la fórmula 5
∫ 𝑉 𝑛 𝑑𝑉 =
𝑉 𝑛+1
𝑛+1
+𝐶
4. ∫(2𝑥 + 3)9 𝑑𝑋
Se observa que:
V = 2X +3 y obtengo su diferencial:
dV=2 dX
el diferencial no está completo, le falta el 2, este valor
numérico se puede agregar al diferencial, aplicando la siguiente regla:
REGLA PARA COMPLETAR DIFERENCIAL
Si al integrar una función y verificando que su diferencial este completo,
observamos que le hace falta un valor numérico constante, entonces
este valor numérico se puede agregar para completar el diferencial y al
mismo tiempo debe salir de la integral, pero como RECIPROCO.
Solo se pueden agregar para completar el diferencial valores constantes
o numéricos, pero nunca variables ni funciones
1 (2𝑋+3)10
1
∫(2𝑥 + 3)9 𝑑𝑋 = 2 ∫(2𝑥 + 3)9 (2)𝑑𝑋 = 2 *
V=2X+3 dV = 2dX completar diferencial
∫ 𝑉 𝑛 𝑑𝑉 =
𝑉 𝑛+1
𝑛+1
+𝐶
Número
reciproco
5
2
2
5
10
3
3
10
4
8
1
2
1
6
1
4
1
8
2
6
10
+𝐶 =
(2𝑋+3)10
20
+𝐶
1
5. ∫(3𝑋 − 2)5 𝑑𝑋 =
1
∫(3𝑋 − 2)5 (3) 𝑑𝑋 = 3 ∗
3
(3𝑋−2)6
+𝐶 =
6
(3𝑋−2)6
18
+𝐶
Comprobar que el diferencial este completo:
V= 3X -2
dV = 3dX observo que le falta el número 3 y es un valor
constante y se puede agregar para completar el diferencial. Y al mismo
tiempo sacarlo como reciproco
1
1
1
1
6.- ∫ 4( 𝑋 − 1)−7 𝑑𝑋 = 4 ∫( 𝑋 − 1)−7 𝑑𝑋 =4*(2) ∫( 𝑋 − 1)−7 ( ) 𝑑𝑋 =
2
2
2
2
1
V= X -1
2
=8∗
=−
1
2
( 𝑋−1)−6
−6
4
1
3( 𝑋−1)6
2
8
1
6
2
−6
+C = - ∗ ( 𝑋 − 1)
1
∫ 𝑉 𝑛 𝑑𝑉 =
dV= dX
2
−6
4 1
+ 𝐶 =- ( 𝑋 − 1)
3 2
𝑉 𝑛+1
𝑛+1
+𝐶
+𝐶
+𝐶
7.- ∫ √4𝑋 + 3 𝑑𝑋= reordenar, quitando la raíz y pasando a exponente
𝑎
fraccionario con la siguiente expresión: 𝑋 𝑛 = 𝑛√𝑋 𝑎
1
2
∫(4𝑋 + 3) 𝑑𝑋 =
𝐶=
2
12
1
4
1
2
∫(4𝑋 + 3) (4)𝑑𝑋 =
3
2
∗ (4𝑋 + 3) =
1
6
3
1
4
∗
(4𝑋+3)2
3
2
1
2
4
3
3
2
+ 𝐶= ∗ ∗ (4𝑋 + 3) +
(4𝑋 + 3)3/2 +C
Es una ∫ 𝑉 𝑛 𝑑𝑉 ,donde V= 4X + 3 dv = 4dX
8.- ∫(5𝑋 − 4)6 𝑑𝑋=
V= 5X -4 dV = 5dX
1
1
∫(5𝑋 − 4)6 (5)𝑑𝑋 = 5 ∗
5
(5𝑋−4)7
7
=
1
35
(5𝑋 − 4)7 + 𝐶
1
1
3
3
1
1
1
1
10.- ∫ √ 𝑋 + 1 𝑑𝑋 = ∫( 𝑋 + 1)2 𝑑𝑋 = (3) ∫( 𝑋 + 1)2 ( )𝑑𝑋 =
3
𝑎
1
Quitar raíz: 𝑋 𝑛 = 𝑛√𝑋 𝑎
=3∗
V= X +1
3
3
1
3
( 𝑋+1)2
1
dV = 𝑑𝑋
3
3
2 1
3
3
1
+C= 3* ( 𝑋 + 1)2 + 𝐶 = 2( 𝑋 + 1)2 + 𝐶
3
2
3 3
resolver por: ∫ 𝑉 𝑛 𝑑𝑉 =
3
𝑉 𝑛+1
𝑛+1
+𝐶
1
11.- ∫ 5(5𝑋 − 4)6 𝑑𝑋 =5 ∫(5𝑋 − 4)6 𝑑𝑋 = 5 ∗ ∫(5𝑋 − 4)6 (5)𝑑𝑋
5
V= 5X -4 dV = 5dX
5
(5𝑋−4)7
5
7
= ∗
+𝐶 =
(5𝑋−4)7
7
+𝐶
1
3
3
1
3
1
12. − ∫ √3𝑋 − 2 𝑑𝑋 = ∫(3𝑋 − 2) 𝑑𝑋 = ∫(3𝑋 − 2) (3)𝑑𝑋
3
V= 3X -2 dV = 3dX
4
=
𝐶
1
3
∗
(3𝑋−2)3
4
3
+C =
1
3
3
4
∗ ∗ (3𝑋 − 2)3 + 𝐶 =
4
3
12
4
1
4
(3𝑋 − 2)3 + 𝐶= (3𝑋 − 2)3 +
4
Fórmula 6. ∫
𝑑𝑉
𝑉
= ln 𝑉 + 𝐶
donde:
 La función a integrar es una fracción y la dV, debe ir en el
numerador
 La función a integrar va en el denominador con potencia 1.
 Debemos verificar que la variable o función “V” tenga su
diferencial dV en el numerador.
Ejemplos: resolver las siguientes integrales:
1.∫ 𝑋 −1 𝑑𝑋 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑎𝑟 y nos queda: ∫
1
Regla: a-n =
𝑑𝑋
𝑋
= ln X +C
verificar que la diferencial del
𝑎𝑛
denominador se encuentre en el numerador
V= X dV= 1 dX
y el diferencial está completo y puedo aplicar la fórmula que
corresponde: ∫
2.- ∫
𝑑𝑋
𝑥+6
fórmula ∫
𝑑𝑋
𝑉
= ln 𝑉 + 𝐶
= ln (X+6) + C
dV = 1dX y está completo el diferencial y aplico la
V= X+6
3.- ∫
𝑑𝑉
𝑑𝑉
𝑉
= ln 𝑉 + 𝐶
1
(2)𝑑𝑋
1
= ∫
= ln(2𝑋 + 5) + 𝐶
2𝑋+5
2 2𝑋+5
2
V= 2X+5 dV = 2dX y completamos diferencial
4.- ∫
7𝑑𝑋
10−3𝑋
= 7∫
𝑑𝑋
1
(−3)𝑑𝑋
= 7 ∗ (− ) ∫
=
10−3𝑋
3
10−3𝑋
V= 10-3X dV = -3dX
∫
−7
𝑑𝑉
𝑉
3
ln(10-3X) +C
= ln 𝑉 + 𝐶
Resolver:
𝑑𝑋
1.∫
= ln (X+20) + C
𝑋+20
2.- ∫
3.- ∫
5.- ∫
𝑑𝑋
7𝑋+2
𝑑𝑋
1
2
6− 𝑋
= 1/7 ln(7X+2)+
= -2 ln ( 6-1/2 X) +C
𝑑𝑋
(10−3𝑋)2
= reacomodar = ∫(10 − 3𝑋)−2 𝑑𝑋 e integramos con
la fórmula de ∫ 𝑉 𝑛 𝑑𝑉 =
Regla: a-n =
1
𝑉 𝑛+1
𝑛+1
+𝐶
dV = -3dX
1
1 (10 − 3𝑋)−1
∫(10 − 3𝑋)−2 𝑑𝑋 = − ∫(10 − 3𝑋)−2 (−3)𝑑𝑋 = − ∗
+𝐶
3
3
−1
=
(10−3𝑋)−1
3
V= 10-3X
𝑎𝑛
+C =
1
3(10−3𝑋)
+C
∫ 𝑒 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑒 𝑉 + 𝐶
Fórmula 7.
Comprender que el exponente “V” debe tener su diferencial completo
”dV” para poder aplicar la fórmula.
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales
1.-∫ 𝑒 3𝑋 𝑑𝑋 =
1
1
𝑒 3𝑋 (3)𝑑𝑋 = e3X + C
∫
3
3
V= 3X , dV = 3dX
2.- ∫ 𝑒 𝑋 𝑑𝑋 = eX +C
V= X , dV = 1dx(DIFERENCIAL COMPLETO)
1
3.- ∫ 4𝑒 7𝑋 𝑑𝑋 = 4 ∫ 𝑒 7𝑋 𝑑𝑋= 4* ∫ 𝑒 7𝑋 (7)𝑑𝑋 =
7
4
𝑒 7𝑋 + 𝐶
7
V= 7X, dV= 7dX(Diferencial no completo, le falta el 7 y
se puede agregar y al mismo tiempo sacarlo como recíproco)
2
2
4.- ∫ (2 + 𝑋 + 𝑒 5𝑋 ) 𝑑𝑋 = ∫ 2𝑑𝑋 + ∫ 𝑋𝑑𝑋 + ∫ 𝑒 5𝑋 𝑑𝑋 =
2
2
5
5
V= X, dV= dX
= 2∫ 𝑑𝑋 +
= 2X +
5.-
𝑋2
2
𝑋2
2
5
+
5
2
2
𝑋
5
2
∫ 𝑒 (5)𝑑𝑋 =
5
+ 𝑒 2𝑋 + 𝐶
2
𝑑𝑋
∫ 𝑒 10𝑋 = reacomodar, subiendo el denominador al numerador y
cambiando de signo a la potencia, ocupando a-n =
1
∫ 𝑒 −10𝑋 𝑑𝑋 = −10 ∫ 𝑒 −10𝑋 (−10)𝑑𝑋 =
V= - 10X, dv= - 10dX
1
−10
𝑒 −10𝑋 + 𝐶
1
𝑎𝑛
6.- ∫(𝑒 𝑋 + 5)2 1𝑑𝑋 = desarrollar el binomio al cuadrado como estrategia
V= eX + 5 , dv= 1eX dx NO ESTA COMPLETO EL DIFERENCIAL Y
NO SE PUEDE COMPLETAR CON UNA VARIALE X O CON ALGUNA
FUNCIÓN
∫(𝑒 𝑋 + 5)2 1𝑑𝑋 = ∫[(𝑒 𝑋 )2 + 2(𝑒 𝑋 )(5) + 52 )]𝑑𝑋=
= ∫(𝑒 2𝑋 + 10 𝑒 𝑋 + 25)𝑑𝑋 = ∫ 𝑒 2𝑋 𝑑𝑋 + ∫ 10𝑒 𝑋 𝑑𝑋 + ∫ 25𝑑𝑋 =
V = 2X,dv=2dx
1
= ∫ 𝑒 2𝑋 (2)𝑑𝑋 + 10 ∫ 𝑒 𝑋 𝑑𝑋 + 25 ∫ 𝑑𝑋=
2
V= X,dv=1dX
1 2X
X
= e + 10 e + 25 X + C
2
Fórmulas de integración 8
8. − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑉𝑑𝑉 = − cos 𝑉 + 𝐶
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales:
1.∫ 𝑠𝑒𝑛 10𝑋 𝑑𝑋=
1
∫ 𝑠𝑒𝑛 10𝑋 (10)𝑑𝑋=
10
1
(−𝑐𝑜𝑠10𝑋) + 𝐶
10
1
=−
10
cos 10𝑋 + 𝐶
V = 10X, dV= 10 Dx
3
8
3
3
8
3
2. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑋 𝑑𝑋 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑋( ) 𝑑𝑋 = − cos 𝑋 + 𝐶
8
3
8
8
3
8
3
3
8
8
V= 𝑋, 𝑑𝑉 =
𝑑𝑋
1
3.- ∫ 5𝑠𝑒𝑛 3𝑋𝑑𝑋 = 5 ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑋 𝑑𝑋 =5 ∗ ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑋 (3)𝑑𝑋=
3
=
5
3
5
(−𝑐𝑜𝑠3𝑋) + 𝐶=− 𝑐𝑜𝑠3𝑋 + 𝐶
3
V= 3X, dV=3dx
4.- ∫(3 + 𝑒 4𝑋 − 𝑠𝑒𝑛 9𝑋)𝑑𝑋 = ∫ 3 𝑑𝑋 + ∫ 𝑒 4𝑋 𝑑𝑋 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 9𝑋𝑑𝑋 =
V= 4X, dV= 4dx V=9X,dV=9dx
1
1
= 3 ∫ 𝑑𝑋 + ∫ 𝑒 4𝑋 (4)𝑑𝑋 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 9𝑋(9)𝑑𝑋 =
4
9
1
1
1
1
4
9
4
9
= 3X + e4X - (− cos 9𝑋) + 𝐶 = 3X + e4X + cos 9𝑋 + 𝐶
Fórmula 9 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑉𝑑𝑉 = 𝑠𝑒𝑛 𝑉 + 𝐶
Ejemplos: Resolver las siguientes integrales
1. ∫ cos 𝑋 𝑑𝑋 = sen X + C
V= X, dV = 1 dx
2.- ∫ cos 7𝑋 𝑑𝑋 =
1
1
∫ cos 7𝑋(7) 𝑑𝑋 = 7 sen 7X + C
7
V = 7X, dV= 7dx
1
3.- ∫ 10 cos 2𝑋𝑑𝑋 = 10 ∫ cos 2𝑋𝑑𝑋 = 10* ∫ cos 2𝑋(2)𝑑𝑋=
2
V= 2Xn, dX= 2 Dx
= 5sen 2X + C
4
4.- ∫ cos 𝑋 𝑑𝑋 = 5/4 sen 4/5 X + C
5
Fórmulas de integración básicas
1.
2.
3.
∫ 𝑑𝑋 = 𝑋 + 𝐶
∫ 𝑎𝐹(𝑋)𝑑𝑋 = 𝑎 ∫ 𝐹(𝑋)𝑑𝑋 ( las constantes salen de la integral)
∫(𝑢 + 𝑤 + 𝑟)𝑑𝑋 = ∫ 𝑢𝑑𝑋 + ∫ 𝑤𝑑𝑋 + ∫ 𝑟𝑑𝑋
4.
∫ 𝑋 𝑛 𝑑𝑋 =
5.
∫ 𝑉 𝑛 𝑑𝑉 =
6.
∫
𝑑𝑉
𝑉
𝑉
𝑋 𝑛+1
𝑛+1
𝑉 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 donde n no puede ser -1
+ 𝐶 donde n no puede ser -1
= ln 𝑉 + 𝐶
7. ∫ 𝑒 𝑑𝑉 = 𝑒 𝑉 + 𝐶
8. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑉𝑑𝑉 = − cos 𝑉 + 𝐶
9. ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑉𝑑𝑉 = 𝑠𝑒𝑛 𝑉 + 𝐶
10.