TEMA 9: LA SEGURIDAD EN LAS ESTRUCTURAS VERIFICACIONES DE TENSIONES Y DEFORMACIONES ESTRUCTURAS I ANTONIO DELGADO TRUJILLO ENRIQUE DE JUSTO MOSCARDÓ PURIFICACIÓN ALARCÓN RAMÍREZ Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería de Terreno. E. T. S. de Arquitectura. Universidad de Sevilla. ÍNDICE [0] Objetivos de aprendizaje [1] Seguridad estructural y exigencias estructurales [2]Estados límite [3] Valores característicos de acciones y resistencias [4]Limitaciones de flechas [5]Coeficientes de seguridad y valores de cálculo [6]Hipótesis simples y combinaciones de acciones [7]Comprobación y dimensionado de barras [8]Problema resuelto 1 0_OBJETIVOS DE APRENDIZAJE • Identificar las verificaciones de estados límite últimos (resistencia, equilibrio) y de estados límite de servicio (deformación). • Asignar coeficientes de seguridad a las acciones y a las resistencias. • Asignar las acciones a hipótesis de carga y realizar combinaciones de hipótesis. • Dimensionar y comprobar barras a partir de las tensiones y de las deformaciones. 2 1_SEGURIDAD ESTRUCTURAL Y EXIGENCIAS ESTRUCTURALES Según el art. 10 del Código Técnico de la Edificación (CTE), parte I: “El objetivo del requisito básico "Seguridad estructural" consiste en asegurar que el edificio tiene un comportamiento estructural adecuado frente a las acciones e influencias previsibles a las que pueda estar sometido durante su construcción y uso previsto.” Resumidamente, una estructura es segura si tiene un comportamiento adecuado. Pero, ¿qué es un comportamiento adecuado? La estructura se comporta adecuadamente si cumple estas exigencias: • Resistencia. • Estabilidad. • Rigidez. Por tanto, se puede establecer la siguiente definición de seguridad estructural: Una estructura es segura si tiene un comportamiento adecuado ante las exigencias de resistencia, estabilidad y rigidez. 3 1_SEGURIDAD ESTRUCTURAL Y EXIGENCIAS ESTRUCTURALES EXIGENCIAS BÁSICAS ESTRUCTURALES • Resistencia La estructura debe resistir las acciones a las que puede estar sometida a lo largo de su vida útil. • Estabilidad (equilibrio) La estructura debe permanecer en equilibrio estable, bajo las acciones a las que puede estar sometida a lo largo de su vida útil. • Rigidez La estructura debe permanecer rígida bajo las acciones a las que puede estar sometida a lo largo de su vida útil. En este contexto, una estructura es suficientemente rígida si las deformaciones que sufre son tan pequeñas que no afectan al uso (servicio) del edificio. 4 2_ESTADOS LÍMITE DEFINICIÓN DE ESTADO LÍMITE Según el art. 3.2 del CTE-DB-SE: “Se denominan estados límite aquellas situaciones para las que, de ser superadas, puede considerarse que el edificio no cumple alguna de los requisitos estructurales para las que ha sido concebido.” Clasificación de estados límite (EL) Estados límite últimos (ELU). Son los que, en caso de ser superados, constituyen un riesgo para las personas, porque producen la rotura de algún elemento estructural, y con ello el colapso total o parcial de edificio. Estados límite de servicio (ELS). Son los que, en caso de ser superados, disminuyen la capacidad de servicio o utilidad del edificio, porque afectan al confort y al bienestar de los usuarios o de terceras personas, al correcto funcionamiento del edificio o a la apariencia de la construcción. 5 2_ESTADOS LÍMITE 6 CLASIFICACIÓN DE ESTADOS LÍMITE SEGÚN CTE: ELU o ELS ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS (ELU) CLASE DE ESTADO LÍMITE Equilibrio Resistencia Deformaciones ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO (ELS) Vibraciones Durabilidad Nota: los ELS de vibración y de durabilidad no los vamos a estudiar este curso. 2_ESTADOS LÍMITE 7 TIPOS DE COMPROBACIÓN DE LOS ESTADOS LÍMITE QUE SE ESTUDIAN ESTE CURSO ELU o ELS CLASE DE ESTADO LÍMITE TIPO DE COMPROBACIÓN Equilibrio comprobación de equilibrio de la estructura y sus partes Resistencia al esfuerzo axil (N) (σN) ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS (ELU) Resistencia a la rotura de secciones (agotamiento o plastificación) Resistencia al esfuerzo cortante (V) ( ) Resistencia al momento flector (M) (σM) Resistencia a esfuerzos combinados (flexión compuesta, M y N) (σN + σM) ESTADOS LÍMITE DE SERVICIO (ELS) flecha total Deformaciones flecha activa Nota: Hay otras comprobaciones ELU (resistencia a la torsión, resistencia al pandeo, etc.) que no se analizan este curso. 2_ESTADOS LÍMITE 8 ESTADO LÍMITE ÚLTIMO (ELU) DE EQUILIBRIO Se cumple si se cumplen estas dos condiciones: • El número de coacciones es c ≥ 3 (estructura isostática o hiperestática) • los movimientos permitidos por las coacciones no son compatibles Estas estructuras son mecanismos. Bajo determinadas acciones, no es posible alcanzar el equilibrio: no se cumple el ELU de equilibrio. P P A A B B RAX RAY Mecanismo: C=2 Mecanismo: C = 3, pero las coacciones no impiden el desplazamiento. RB 2_ESTADOS LÍMITE 9 ESTADO LÍMITE ÚLTIMO (ELU) DE RESISTENCIA Se cumple si las tensiones debidas al efecto de las acciones no superan la resistencia del material. σd ≤ fd siendo: σd = valor de cálculo de la tensión producido por las acciones fd = valor de cálculo de la resistencia correspondiente Rotura en viga de madera (incumplimiento del ELU de resistencia) 2_ESTADOS LÍMITE Rotura en vigueta de hormigón pretensado (incumplimiento del ELU de resistencia) Rotura en arco de fábrica de ladrillo (incumplimiento del ELU de resistencia) 10 2_ESTADOS LÍMITE ESTADO LÍMITE DE SERVICIO (ELS) DE DEFORMACIÓN Se cumple si las flechas de la barra no superan la flecha límite a partir de la que se producen deterioros o anomalías, que afectan a la utilización del edificio. fmax ≤ flim siendo fmax = valor de la máxima flecha producida por las acciones flim = valor de la flecha límite que no debe superarse Grietas en tabiques y cerramientos por flecha excesiva en vigas (incumplimiento del ELS de deformación) 11 3_VALORES CARACTERÍSTICOS DE ACCIONES Y RESISTENCIAS 12 Los valores característicos de acciones y resistencias son los valores que van a alcanzar estas magnitudes a lo largo de la vida útil de la estructura. Los valores característicos de acciones y resistencias están en las normativas. Valores característicos de las acciones Se recogen en el CTE-DB-SE-AE (Código Técnico de la Edificación, Documento Básico, Seguridad Estructural, Acciones en la Edificación). Valores característicos de las resistencias Se recogen en los DB de cada material del CTE (acero, madera, fábrica), y en la norma EHE (hormigón). 3_VALORES CARACTERÍSTICOS DE ACCIONES Y RESISTENCIAS 13 Resistencias características y módulos de elasticidad de materiales estructurales frecuentes Material Resistencia a la tensión normal1 fk (N/mm2) Resistencia a la tensión tangencial fvk (N/mm2) Módulo de elasticidad E (N/mm2) Madera C24 24 4 11.000 Hormigón H25 25 7,5 27.000 Acero S235 235 fk / 3= 136 210.000 DESIGNACIÓN DE LOS MATERIALES En la designación de los materiales, según normativas, el número es la resistencia característica o tensión normal máxima que se puede alcanzar, en N/mm2: • Madera: el número es la resistencia característica a flexión. • Hormigón: el número es la resistencia característica a compresión. • Acero: el número es la resistencia característica a tracción y a compresión. 1 NOTA: EN ACERO, LA RESISTENCIA A LA TENSIÓN NORMAL SE DENOMINA fyk. 4_LIMITACIONES DE FLECHAS Para cumplir el estado límite de servicio (ELS) de deformación hay que comprobar la flecha total y la flecha activa. La limitación de flecha total se refiere a la apariencia de la obra, y la limitación de flecha activa a la integridad de los elementos constructivos. Verificación de flecha total fmax-t ≤ flim-t siendo: fmax-t = valor de cálculo de la máxima flecha producida por todas las cargas flim-t = valor de la flecha límite total Verificación de flecha activa fmax-a ≤ flim-a siendo fmax-a = valor de cálculo de la máxima flecha producida solamente por las cargas que se colocan sobre la viga tras la construcción de los elementos constructivos que puede dañarse con la deformación (pavimentos, cerramientos, particiones, carpinterías). flim-a = valor de la flecha límite activa 14 4_LIMITACIONES DE FLECHAS 15 LIMITACIONES DE FLECHA Las limitaciones de flecha se fijan en el CTE, en relación a la luz L (distancia entre apoyos) de la barra: Flecha total flim-t = L/300 Flecha activa flim-a = L/500 en pisos con tabiques frágiles (como los de gran formato, rasillones, o placas) o pavimentos rígidos sin juntas flim-a = L/400 en pisos con tabiques ordinarios o pavimentos rígidos con juntas flim-a = L/300 en el resto de casos Nota: en caso de voladizos, en la fórmula la flecha límite se debe introducir el doble de la luz (2L) en vez de L (ej: 2L/500). 5_COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO 16 • Si calculamos a partir de los valores característicos, es posible que nos quedemos del lado de la inseguridad (que se superen los estados límite), debido a las incertidumbres en los valores reales de las acciones y las resistencias, de las dimensiones de la estructura, del modelo de cálculo que seguimos, etc. • El coeficiente de seguridad es un factor, en general mayor que la unidad, que sirve para ponderar los valores característicos, de modo que se alcance la seguridad buscada. • El valor de cálculo es el que se obtiene al aplicar el coeficiente de seguridad al valor característico. • Aplicando los coeficientes de seguridad a las acciones y las resistencias, là probabilidad global de fallo es muy pequeña (del orden de 1/105 o 1/106 ). 5_COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO Para las acciones: Fd = Fk · g siendo Fd valor de cálculo de la acción Fk valor característico de la acción g coeficiente parcial de seguridad, o coeficiente de mayoración de acciones Para las resistencias: fd = fk / gM siendo fd valor de cálculo de la resistencia fk valor característico de la resistencia gM coeficiente parcial de seguridad, o coeficiente de minoración de resistencias 17 5_COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO 18 Valores habituales de los coeficientes de seguridad de acciones Tipo de estado límite estados límite últimos estados límite de servicio Tipo de acción Coeficiente de seguridad g permanente 1,35 variable 1,50 permanente 1,00 variable 1,00 • Para los estados límite últimos, el coeficiente de seguridad de las acciones variables (1,50) es mayor que el de las acciones permanentes (1,35) debido a que hay más incertidumbre sobre los valores de las acciones variables. • Para los estados límite de servicio las cargas no se mayoran (el coeficiente de seguridad de las acciones es 1,0 para los estados límite de servicio). La razón está en que es más grave superar un estado límite último que un estado límite de servicio. 5_COEFICIENTES DE SEGURIDAD Y VALORES DE CÁLCULO 19 Valores habituales de los coeficientes de seguridad de resistencias Material Coeficiente de seguridad gM acero 1,05 acero para armar (en hormigón armado) 1,15 hormigón 1,50 madera 1,80 fábrica de ladrillo 2,20 • Los coeficientes de seguridad de resistencias se definen en la normativa de cada material. • Los coeficientes son menores cuanto más uniforme y fiable es el material (por eso los mínimos son los del acero). • En el caso de la fábrica de ladrillo (CTE-F) los coeficientes están entre 1,70 y 3,00, según el control de la fabricación del ladrillo y el control de la ejecución de la obra. 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES 20 Hipótesis simple es el conjunto de acciones del mismo tipo, que agrupamos a efectos del cálculo. Las hipótesis simples que contemplamos habitualmente son las siguientes: Acciones permanentes: • Carga permanente. Acciones variables: • Sobrecarga de uso. Si hay varios usos distintos, cada uso debe considerarse en una hipótesis simple distinta. • Nieve. • Viento. Si el cálculo es en 2D (un pórtico plano o similar), hay dos hipótesis simples: +x, -x. Si el cálculo es en 3D (la estructura completa), hay cuatro hipótesis simples: +x, -x +y, -y. Además, podemos considerar la acción variable de la temperatura, y las acciones accidentales de sismo, incendio e impacto, todo ello según lo que prescriben las normativas correspondientes. 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES EJEMPLOS DE HIPÓTESIS SIMPLES EN UNA VIGA 30 kN/m 12 kN/m Hipótesis simple 1 Cargas permanentes Hipótesis simple 2 Sobrecarga de uso 8 kN/m Hipótesis simple 3 Nieve 21 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES 22 8 kN/m 12 kN/m 30 kN/m 12 kN/m 30 kN/m EJEMPLOS DE HIPÓTESIS SIMPLES EN UN PÓRTICO PLANO Hipótesis simple 1 Cargas permanentes Hipótesis simple 2 Sobrecarga de uso Hipótesis simple 3 Nieve 30 kN 10 kN 10 kN 30 kN 30 kN 10 kN 10 kN 30 kN Hipótesis simple 4 Viento +X Hipótesis simple 5 Viento -X 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES 23 COMBINACIÓN DE HIPÓTESIS Combinación de hipótesis es la suma de varias hipótesis simples, aplicando los coeficientes de seguridad que correspondan a las acciones de cada hipótesis simple. qG Hipótesis simple 1 Cargas permanentes qU x1,50 qG x1.35 qU Hipótesis simple 2 Sobrecarga de uso Combinación de hipótesis 6_HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE ACCIONES 24 COMBINACIÓN DE HIPÓTESIS • Cada comprobación de ELU y ELS hay que hacerla con la combinación que sea más desfavorable para el elemento y sección que estemos comprobando. Sucede habitualmente que las combinación más desfavorable para un elemento no es la más desfavorable para otro. • ¿Cómo sabemos qué combinación es la más desfavorable para un elemento? Debemos analizar todas las combinaciones posibles, hasta obtener la que es más desfavorable. Actualmente esto lo hacen las aplicaciones informáticas, lo que nos ahorra mucho tiempo y trabajo. • Ejemplo de combinación de hipótesis de carga: Peso propio + sobrecarga de uso (mayoradas) ® 1.35·G + 1.5 ·Q 7_COMPROBACIÓN Y DIMENSIONADO DE BARRAS 25 Predimensionado: consiste en elegir una sección o perfil inicial para una barra, para posteriormente realizar las comprobaciones. El más habitual es el predimensionado geométrico1 que se realiza utilizando, como único dato, la luz (longitud entre apoyos) de la barra. El predimensionado inicial es necesario porque, para realizar las comprobaciones, la barra debe tener asignado algún perfil. No obstante, los perfiles obtenidos por predimensionado geométrico son solo una aproximación. El perfil definitivo de la barra depende de muchas variables que no se tienen en cuenta en el predimensionado (carga, uniones, ...) y por tanto su valor puede sufrir variaciones importantes respecto a la estimación inicial. Comprobación: consiste en verificar que se cumplen los estados límite (ELU y ELS) en una barra de la que se conoce la sección o perfil. Dimensionado: consiste en verificar todos los estados límite que sean de aplicación a una barra, modificando la sección o perfil si es necesario. Si no se conoce la sección o perfil, el dimensionado debe incluir un predimensionado. 1 Nota: también existe el predimensionado mecánico, que se realiza a partir de los esfuerzos, tensiones o flecha de la barra; si no los conocemos, tenemos que hacer una estimación previa. 7_COMPROBACIÓN Y DIMENSIONADO DE BARRAS 26 PASOS A REALIZAR EN LA COMPROBACIÓN DE BARRAS a) Identificar los estados límite que es necesario verificar. b) Determinar las hipótesis simples a utilizar y las cargas de cada hipótesis. c) Determinar los coeficientes de mayoración de acciones (g) y las combinaciones de hipótesis a emplear. d) A partir de las combinaciones, obtener los valores de cálculo de los esfuerzos, las tensiones (σd, deformaciones (fmax-t, fmax-a) necesarios para las verificaciones. ) y las d e) Determinar los coeficientes de minoración de resistencias (gM) y obtener los valores de cálculo de las resistencias (fd, fvd), y las limitaciones de flechas (flim-t, flim-a). f) Verificar los estados límite últimos (ELU) y de servicio (ELS): • ELU de tensión normal • ELU de tensión tangencial σd ≤ fd d ≤ fvd • ELS de flecha total fmax-t ≤ flim-t • ELS de flecha activa fmax-a ≤ flim-a 7_COMPROBACIÓN Y DIMENSIONADO DE BARRAS 27 PASOS A REALIZAR EN EL DIMENSIONADO DE BARRAS Son los mismos pasos que en la comprobación de barras, y además: • Previamente a la comprobación: Predimensionado, si todavía no tenemos sección o perfil que comprobar. • Posteriormente a la comprobación: Cambio a una sección mayor (si la sección comprobada no cumple) o a una sección menor (si la sección comprobada cumple con mucha holgura), y nueva comprobación, en un proceso iterativo, hasta obtener una sección que cumple con poca holgura (sección bien aprovechada). Es decir: Predimensionado ® comprobación ® ajustar perfiles (si no cumplen) ® nueva comprobación ® obtención de perfiles definitivos 7_COMPROBACIÓN Y DIMENSIONADO DE BARRAS 28 PREDIMENSIONADO GEOMÉTRICO DE BARRAS Vigas principales h = L/15 a L/20 Vigas de 2º orden h = L/20 a L/25 Viguetas de forjados h = L/25 a L/30 siendo h = canto de la sección L = luz de la barra (distancia entre apoyos) Si la sección es de acero, para el tipo de perfil elegido buscamos en la tabla correspondiente un perfil con canto h igual o mayor al predimensionado. En las tablas se recogen todas las características geométricas de cada perfil. Si la sección es una sección rectangular de madera, buscamos en un catálogo del fabricante elegido una sección con h igual o mayor al predimensionado. Si la sección la van a fabricar para nuestra obra, una vez establecido h estimamos b (ancho de la sección) de modo que b = h/3 a 2h/3. Nota: el predimensionado geométrico está pensado para barras a flexión (vigas), por tanto no es válido para barras a compresión (pilares). En el caso de barras a compresión, podría realizarse un predimensionado mecánico, si se conoce el valor del esfuerzo axil de la barra. 8_PROBLEMA RESUELTO 30 ENUNCIADO Comprobar la viga de la figura. La viga está biapoyada, tiene 6 m de longitud, y es un perfil IPE360 de acero S275. Está sometida a una carga permanente de 24 kN/m y a una sobrecarga de uso de 10 kN/m. qQ=10 kN/m y qG=24 kN/m 6m x IPE360 S275 8_PROBLEMA RESUELTO 31 SOLUCIÓN Verificaciones de estados límite a realizar • ELU de tensión normal • ELU de tensión tangencial σd ≤ fd d ≤ fvd • ELS de flecha total fmax-t ≤ flim-t • ELS de flecha activa fmax-a ≤ flim-a Ç Procedimiento: Calcular carga ® dibujar diagramas de esfuerzos ® calcular reacciones ® calcular esfuerzos máximos ® realizar comprobaciones de tensiones (ELU) ® calcular flecha máxima ® realizar comprobación de flecha (ELS). 8_PROBLEMA RESUELTO 32 CALCULAR CARGA EN HIPÓTESIS SIMPLES Y COMBINACIONES DE HIPÓTESIS a) Hipótesis simples • Hipótesis simple 1. Carga permanente qG = 24 kN/m • Hipótesis simple 2. Sobrecarga de uso qQ = 10 kN/m b )Combinaciones de hipótesis para las comprobaciones ELU • Para las combinaciones de hipótesis de los estados límite últimos (ELU) hay que emplear los coeficientes de seguridad: • Para la carga permanente γG = 1,35 • Para la sobrecarga de uso γQ = 1,50 • En este caso la combinación más desfavorable es cuando actúan las dos hipótesis simples a la vez: • Combinación de hipótesis: q = γG · qG + γQ · qQ = 1,35·24 + 1,50·10 = 47,4 kN/m c) Combinaciones de hipótesis para las comprobaciones ELS •Para las combinaciones de hipótesis de los estados límite de servicio (ELS) no se emplean los coeficientes de seguridad (equivalente a que los coeficientes de seguridad valgan 1): •Combinación de hipótesis: q = qG + qQ = 24 + 10 = 34 kN/m 8_PROBLEMA RESUELTO 33 47.4 kN/m DIBUJAR DIAGRAMAS DE ESFUERZOS En una viga biapoyada con carga uniforme, el cortante es lineal (decreciente) y el flector es una parábola de 2º grado. • El cortante en los extremos = reacción vertical. B C 6m RB RA • El flector tiene un máximo en el centro, donde el cortante es = 0. CORTANTE CÁLCULO DE LOS VALORES MÁXIMOS DE LOS ESFUERZOS a) Cálculo de reacciones VB=142,2 kN Para calcular las reacciones aplicamos las ecuaciones de equilibrio. • Por simetría, las dos reacciones son iguales: Ra = Rb = R. • Equilibrio F. Vert.: q·L=2·R ® R=q·L/2=47.4·6/2=142.2 kN FLECTOR b ) Cálculo del cortante máximo en la viga En los extremos, el cortante es igual a la reacción vertical: • VB = VC = 142.2 kN c ) Cálculo de flector máximo en la viga El flector máximo se produce en este caso en el centro de la viga. Su cálculo se explica en la página siguiente. • MA = 213.3 kN·M 2 M A =213.3 kN·m DEFORMADA f flecha máxima VC=142,2 kN 8_PROBLEMA RESUELTO 34 CÁLCULO DEL FLECTOR EN A: PARA CALCULAR EL FLECTOR EN A, CALCULO MOMENTOS RESPECTO AL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SECCIÓN. EL FLECTOR EN LA REBANADA A POR LA IZQUIERDA ES IGUAL AL MOMENTO RESULTANTE DE LAS FUERZAS VERTICALES A 47.4kN/m 47.4kN/m LA IZQUIERDA DE A RESPECTO AL CDG DE LA SECCIÓN → MA = (142.2 x 3 )- (142.2 x 1.5) = 213.3 kN·m EL FLECTOR EN LA REBANADA A POR AL DERECHA ES IGUAL AL MOMENTO RESULTANTE DE LAS FUERZAS VERTICALES A LA DERECHA DE A RESPECTO AL CDG DE LA SECCIÓN → MA = (142.2 x 3) - (142.2 x 1.5) = 213.3 kN·m 142.2 kN A 142.2 kN 6m 1.5 m 1.5 m Resultante de la carga continua a la derecha de A Resultante de la carga continua a la izquierda de A 142.2 kN 47.4 · 3 = 142.2 kN 142.2 kN 142.2 kN A 213.3 213.3 3m 3m MA 213.3 kN·m 213.3 kN·m 8_PROBLEMA RESUELTO 35 VERIFICACIÓN DE LA TENSIÓN NORMAL SECCIÓN σ MF Se debe cumplir: EJE NEUTRO EJE Y σd ≤ fd a) Tensión normal de cálculo ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES • La tensión normal la produce el momento flector. • Momento flector de cálculo (momento flector máximo mayorado): 6 Md = 213,3 kN·m = 213,3·10 N·mm (Pasamos las unidades a N y mm porque son las unidades habituales en las verificaciones de tensiones y de flechas). • Tensión normal máxima debida al momento flector: σ=M/W • El módulo resistente de un IPE360 se toma de un catálogo de perfiles IPE. Es el módulo resistente respecto al eje y (en el catálogo es Wel·y): 3 3 W = 903,6·10 mm • Por tanto la tensión normal de cálculo, para la comprobación, es: 6 3 3 2 σd = Md / W = 213,3·10 N·mm / 903,6·10 mm = 236,1 N/mm 8_PROBLEMA RESUELTO b) Resistencia de cálculo a tensión normal fd = fk / γM • La resistencia característica del acero, fk, es el límite elástico. Acero S275 → fk = 275 N/mm2 • Coeficiente de seguridad del acero: γM = 1,05 • Resistencia de cálculo (tensión normal resistente, minorada): fd = fk / γM = 275/1,05 = 261,9 N/mm2 c) Verificación de la tensión normal Se debe cumplir: σd ≤ fd 236,1 N/mm2 < 261,9 N/mm2 → es válido 36 8_PROBLEMA RESUELTO 37 VERIFICACIÓN DE LA TENSIÓN TANGENCIAL V SECCIÓN Se debe cumplir: EJE Y d ≤ fvd a) Tensión tangencial de cálculo ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES La tensión tangencial la produce el esfuerzo cortante. • Esfuerzo cortante de cálculo (esfuerzo cortante máximo mayorado): 3 Vd = 142,2 kN = 142,2·10 N • Tensión tangencial (en secciones doble T hacemos la simplificación de que la tensión se distribuye en el área del alma de modo uniforme): = V / Aa • El área del alma de un IPE360 se toma de un catálogo de perfiles IPE (se denomina Avz, que es área de cortante para eje z): Aa = 35,14·102 mm2 • Por tanto la tensión tangencial de cálculo, para la comprobación, es: 3 d 2 2 = Vd / Aa = 142,2·10 N / 35,14·10 mm = 40,5 N/mm 2 8_PROBLEMA RESUELTO b) Resistencia de cálculo (a tensión tangencial) fvd = fvk / gM • La resistencia tangencial característica del acero, fvk, es: fvk = fk / √3 = 275 N/mm2 / √3 = 158,8 N/mm2 • Coeficiente de seguridad del acero: γM = 1,05 • Resistencia de cálculo (tensión tangencial resistente, minorada): fvd = fvk / gM = 158,8/1,05 = 151,2 N/mm2 c) Verificación de la tensión tangencial Se debe cumplir: d ≤ fvd 40,5 N/mm2 < 151,2 N/mm2 → es válido 38 8_PROBLEMA RESUELTO 39 VERIFICACIÓN DE LA FLECHA TOTAL Se debe cumplir: f fmax-t ≤ flim-t a) Flecha máxima total f=5.q.L4 /384.E.I La flecha máxima se debe calcular a partir de las fórmulas del prontuario (al final del tema 8) 4 fmax-t = 5·q·L / 384·E·I (para el caso de viga biapoyada con carga uniforme) Siendo q es la carga total. Sin mayorar, pues es un estado límite de servicio. E = 210.000 N/mm2 I es la inercia respecto a eje y del IPE360. Lo consultamos en un catálogo: 4 4 Iy = 16.270·10 mm 4 4 2 4 4 fmax-t = 5 · 34 N/mm · 6.000 mm / 384 · 210.000 N/mm · 16.270·10 mm = 16,8 mm b) Flecha límite total flim-t = L / 300 = 6.000 mm / 300 = 20 mm c) Verificación de la flecha total Se debe cumplir: fmax-t ≤ flim-t 16,8 mm < 20 mm → es válido 8_PROBLEMA RESUELTO 40 VERIFICACIÓN DE LA FLECHA ACTIVA Se debe cumplir: f fmax-a≤ flim-a a) Flecha máxima activa f=5.q.L4 /384.E.I • Se calcula con la misma expresión que f, pero q es la carga que se coloca después de la construcción de los elementos constructivos que se pueden dañar con la deformación. En este caso q es la sobrecarga de uso, que actuará después que la carga permanente. fmax-a = 5 · 10 N/mm · 6.0004 mm4 / 384 · 210.000 N/mm2 · 16.270·104 mm4 = 4,9 mm b) Flecha límite activa • Desconocemos el tipo de tabiques. Vamos a suponer lo más desfavorable: que son frágiles. Entonces: flim-a = L / 500 = 6.000 mm / 500 = 12 mm c) Verificación de la flecha activa Se debe cumplir: fmax-a ≤ flim-a 4,9 mm < 12 mm → es válido 8_PROBLEMA RESUELTO 41 COMENTARIOS FINALES: ÍNDICES DE APROVECHAMIENTO. • En las comprobaciones es frecuente emplear índices de aprovechamiento. Son la relación entre el efecto actuante y el límite. • Tensión normal: σd ≤ fd → iσ = σd / fd < 1 → iσ = 236,1 N/mm2 / 261,9 N/mm2 = 0,90 < 1 → es válido • Tensión tangencial: d ≤ fvd → i = d / fvd < 1 → i = 40,5 N/mm2 / 151,2 N/mm2 = 0,27 < 1 → es válido • Flecha total: fmax-t ≤ flim-t → if-t = fmax-t / flim-t < 1 → if-t = 16,8 mm / 20 mm = 0,84 < 1 → es válido • Flecha activa: fmax-a ≤ flim-a → if-a = fmax-a / flim-a < 1 → if-a = 4,9 mm / 12 mm = 0,41 < 1 → es válido • Los índices de aprovechamiento sirven para localizar fácilmente cuál es la comprobación más desfavorable. En esta viga ha sido la tensión normal, y después la flecha total. Esto es frecuente en vigas. La tensión tangencial, en cambio, casi nunca es lo más desfavorable. • Estos índices también sirven para detectar si la sección está muy aprovechada o no. Si el índice más desfavorable es superior a 0,8 o 0,9 hay buen aprovechamiento. Por tanto la viga de este caso está bien aprovechada.
