Prueba de cátedra

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EII-346 Fundamentos de Estadística
Profesor: Ricardo Gatica Escobar, Ph.D.
Fecha: 03 de junio de 2003
PRUEBA DE CATEDRA
2
Notas:
-
Se asignará todo el puntaje al procedimiento. Por lo tanto escriba todos sus resultados intermedios, definiciones
eventos, variables, etc.
Exprese sus resultados en términos de factoriales, coeficientes binomiales, integrales definidas, etc. No pierda tiempo
simplificando expresiones complejas. El uso de calculadoras no está permitido.
El intercambio de lápices, gomas, etc, no está permitido.
Usted tiene 90 minutos para esta prueba.
PROBLEMA 1 (12 pts)
La de m anda por cierta revista de publicac ión mensual es una v.a.c. X con f.d.p. f(x) = 200 x =300 . El costo de producción
p or un idad es $30, y el precio de venta es $70 . Las revistas que no se venden durante el m es, tienen que ser descartadas a
un costo de $10 por un idad. Ade m ás, la editoria l estima que el costo de no satisfacer la demanda es de $20 por u
nidad. La
editorial produce 26 un idades m ensuales.
a) Escriba una expresión para la utilidad d e la editorial en función de la dem anda X.
200 £ X £ 260
ì70 X - 260 * 30 - 10 * ( 260 - X )
ï= 80 X - 260 * 40
ï
ïï
U (X ) = í
ï
ï260 * (70 - 30) - 20 * ( X - 260)
ï
ïî= -20 X + 260 * 60
260 £ X £ 300
b) Encuentre la valor esperado de la utilid ad de la editor ial.
260
300
E (U ) = ò (80 X - 10400)kxdx + ò (-20 X + 15600)kxdx
200
c) Encuentre la varianza de la utilidad
260
de la editorial.
260
300
2
E (U ) = ò (80 X - 10400) kxdx + ò ( -20 X + 15600) 2 kxdx
200
260
V (U ) = E (U 2 ) - [E (U )]
2
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PROBLEMA 2 (12 pts)
Una compañía comercializa solo un producto. 40% de las unidades en inventario fueron suministradas por
el proveedor A, 30% por el proveedor B, y 30% por el proveedor C. En apariencia, las unidades de producto son
indistinguibles. Las unidades suministradas por el proveedor A tienen una vida útil constante de 1500 hrs. La vida útil
de las unidades del proveedor B tiene una distribución uniforme entre 1400 y 1800 hrs. La vida útil de las unidades
del proveedor C es exponencial con parámetro λ=0.0005.
a) Encuentre la probabilidad que la vida útil de una unidad seleccionada al azar sea al menos 1600 hrs.
X= vida útil
Si A
Þ X = 1500
B
Þ f x / B ( x) =
C
Þ f x / C ( x ) = 0.0005 * e -0.0005 x
1
400
1400 £ x £ 1800
x³0
P {X ³ 1600} = P {X ³ 1600 / A}P ( A) + P {X ³ 1600 / B}P ( B ) + P {X ³ 1600 / C }P (C )
¥
1800
= 0 * 0.4 +
1
dx * 0.3 + ò 0.0005e -0.0005 x dx * 0.3
ò
400
1600
1600
b) Encuentre el valor esperado de la vida útil de una unidad seleccionado al azar.
E ( X ) = E ( X / A ) P ( A ) + E ( X / B ) P ( B ) + E ( X / C ) P (C )
= 1500 * 0.4 + 1600 * 0.3 + 2000 * 0.3 = 1680
c) Encuentre la varianza de la vida útil de una unidad seleccionado al azar desde el inventario.
E ( X 2 ) = E ( X 2 / A) P ( A) + E ( X 2 / B ) P ( B ) + E ( X 2 / C ) P (C )
¥
1600
x2
= 1500 * 0.4 + ò
dx * 0.3 + ò x 2 0.0005e -0.0005 x dx * 0.3
400
1400
0
V ( X ) = E ( X 2 ) - [E ( X )]
2
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PROBLEMA 3 (15 pts)
30% de las llamadas recibidas en una central son de larga distancia, y 70% son locales.
a) Si en una día particular se reciben 100 llamadas, encuentre la probabilidad que exactamente 25 sean larga
distancia.
æ100 ö 25
÷÷0.3 * 0.7 75
P {X (100) = 25} = çç
è 25 ø
b) Encuentre la probabilidad que haya al menos 2 larga distancia entre las 10 primeras llamadas.
P {X (10) ³ 2} = 1 - P {X (10) = 0}- P {X (10) = 1}
æ10 ö
= 1 - 0.710 - çç ÷÷0.3 * 0.7 9
è1 ø
c) Si las últimas 10 llamadas fueron de larga distancia, cual es el valor esperado de llamadas hasta la próxima
larga distancia.
Y µ Geo ( p )
E (Y ) =
1 10
=
0.3 3
Y µ Geo ( p )
E (Y ) =
1 10
=
0.3 3
d) Encuentre la probabilidad que se reciban 10 llamadas locales antes de la segunda larga distancia.
Z 2 µ bn ( 2,0.3)
Z 2 µ bn (2,0.3)
æ11ö
P ( Z 2 = 12) = çç ÷÷ * 0.32 * 0.710
è1 ø
æ11ö
P ( Z 2 = 12) = çç ÷÷ * 0.32 * 0.710
è1 ø
e) Encuentre el valor esperado del número de llamadas locales que se reciben antes de la segunda larga
distancia.
E (Z 2 ) - 2 =
2
20 6 14
-2=
- =
0.3
3 3 3
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PROBLEMA 4 (12 pts)
Los clientes llegan a una tienda por departamentos de acuerdo a un proceso Poisson con tasa 16 [clientes/hora]. Se sabe
que 75% de los clientes son mujeres y 25% son hombres. Encuentre:
NOTACIÓN:
N (t ) : clientes µ PP (16)
N h (t ) : Hombres µ PP ( 4)
N m (t ) : Mujeres µ PP (12)
a) La probabilidad que 10 clientes entren a la tienda entre 2:00 y 3:00.
P {N [2,3] = 10} =
e -16 1610
10!
b) La probabilidad que 18 mujeres entren a la tienda entre 2:00 y 4:00.
P {N m [2,4] = 18} =
e -24 2418
18!
c) La probabilidad que 24 personas entren a la tienda entre 2:00 y 4:00 dado que solo 16 mujeres entran en el mismo
periodo.
e -8 88
[
]
N
2
,
4
=
24
ì
ü
Pí
= P {N h [2,4] = 8} =
N m [2,4] = 16ýþ
î
8!
d) La probabilidad que 16 mujeres entren a la tienda entre 2:00 y 4:00 dado que en total 24 personas entran en el mismo
periodo.
P ìí
î
N m [2,4] = 16
ü = æç 24 ö÷ * 0.7516 * 0.258
N [2,4] = 24ýþ çè16 ÷ø
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PROBLEMA 5 (12 pts)
Los clientes llegan a una tienda por departamentos de acuerdo a un proceso Poisson con tasa 16 [clientes/hora]. Se sabe
que 75% de los clientes son mujeres y 25% son hombres. Además, 30 % de las mujeres y 10% de los hombres,
efectivamente realizan una compra. Es actualmente 2:00 pm. Encuentre:
NOTACIÓN:
N v (t ) : ventas µ PP (12 * 0.3 + 4 * 0.1 = 4)
a) La probabilidad que la tienda realice 6 ventas en un periodo de 2 horas.
P {N v (2) = 6} =
e -8 8 6
6!
b) La probabilidad que la tienda realice 12 ventas entre 2:00 y 5:00 si entre 2:00 y 3:00 se realizan 4 ventas.
P ìí
î
N v [2,5] = 12
-8 8
ü = P {N [3,5] = 8} = e 8
v
N v [2,3] = 4ýþ
8!
c) La probabilidad que la tercera venta se realice antes de las 3:00.
P {N v [2,3] ³ 3} = 1 - P {N v [2,3] = 0}- P {N v [2,3] = 1}- P {N v [2,3] = 2}
= 1 - e -4 -
e -4 41 e -4 4 2
1!
2!