Continuo Mecanica

TP N°1: Repaso de Álgebra Tensorial Descripción del Movimiento
Ing. Pablo Barral†
67.59 Mecánica del Continuo
Depto. de Ing. Mecánica - FIUBA
27 de septiembre de 2021
Revisión 0
Índice
1. Problema 1
1.1. Transformación de coordenadas
1.2. Matriz jacobiana . . . . . . . .
1.3. Vectores base . . . . . . . . . .
1.3.1. Covariantes . . . . . . .
1.3.2. Contravariantes . . . . .
1.4. Métrica del espacio . . . . . . .
1.4.1. Métrica covariante . . .
1.4.2. Métrica contravariante .
1.5. Transformación de coordenadas
.
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1
1
2
3
3
4
4
4
5
6
2. Problema 2
2.1. Descripción lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Descripción eulereana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8
9
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3. Problema 3
10
4. Anexo
12
4.1. Código principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.
Problema 1
1.1.
Transformación de coordenadas
El sistema de coordenadas cilı́ndricas se define por la siguiente transformación, junto con su inversa
†
[email protected], estudiante de Maestrı́a. Carrera de grado: Ingenierı́a Mecánica.
1

 x = r · cos θ
y = r · sin θ

z=z
(1)
y

p
 r = x2 + y 2
θ = arctan xy

z=z
0≤r
0 ≤ θ < 2π
Aquı́ debemos considerar que si x = 0, θ adopta los valores 0, π2 ó
dependiendo del valor de y (y = 0, y > 0 e y < 0, respectivamente).
En la figura 1 se representa gráficamente la definición dada en 1 y en 2.
(2)
3π
2
Figura 1: Sistemas de coordenadas cartersianas y cilı́ndricas.
Adoptando la notación de este curso, 1 puede reescribirse como
 1
 Z = θ1 · cos θ2
Z 2 = θ1 · sin θ2
 3
Z = θ3
(3)
y 2 como
p

1
12
22

 θ = Z +
Z2 Z
θ2 = arctan Z
1

 3
θ = Z3
1.2.
0 ≤ θ1
0 ≤ θ2 < 2π
(4)
Matriz jacobiana
El jacobiano o matriz jacobiana de la transformación de coordenadas 3, ya
utilizando la notación del curso, es
i ∂θ
J=
(5)
∂Z α
Las componentes de esta matriz son, entonces
2
∂θi
(6)
∂Z α
A partir de aquı́, consideramos que α = 1, 2, 3 y que i = 1, 2, 3. Por lo
tanto, el jacobiano es
 1

2
3
Jαi =
∂θ
∂θ
∂Z21
∂θ
∂Z22
∂θ
∂Z 3
1
 ∂Z
∂θ 1
J =  ∂Z
2
∂θ 1
∂Z 3
∂θ
∂Z31
∂θ 
∂Z32 
∂θ
∂Z 3
Para el sistema de coordenadas cilı́ndricas, 7 se transforma en


1
−Z 2
√ Z2
0
2
2
1
2
2
Z +Z

 Z 1 2+Z 2

Z
Z1
J Z 1, Z 2, Z 3 = 
√
 Z 1 2 +Z 2 2 Z 1 2 +Z 2 2 0
0
0
1
(7)
(8)
Es fácil ver que no hay homogeneidad dimensional entre las componentes de
J.
El determinante de la matriz jacobiana es
|J| = p
1
Z 12
+ Z 22
Hacemos notar que |J| tiene como unidad
1.3.
1.3.1.
(9)
1
m.
Vectores base
Covariantes
Los vectores base covariantes son definidos como1
∂Z α
(10)
e
∂θi α
Los vectores eα son los vectores base del sistema de coordenadas cartesianas.
Otras notaciones son

 e1 = ex = x̂ = î
e = ey = ŷ = ĵ
 2
e3 = ez = ẑ = k̂
gi =
Teniendo en cuenta que el jacobiano de la transformación inversa de coordenadas es el inverso de la matriz jacobiana
α
∂Z
J −1 =
(11)
∂θi
y sus componentes
J −1 iα =
1 Utilizando
∂Z α
∂θi
(12)
la notación de Einstein para las sumatorias. De aquı́ en más, excepto indicación
concreta, las sumatorias son de 1 a 3, α = 1, 2, 3 e i = 1, 2, 3.
3
invirtiendo 8 con la ayuda del programa incluido en 4 podemos obtener las
componentes de gi


1
2
√ Z2
√ Z2
0
2
2
1
2
1
2
 Z +Z
Z +Z

(13)
J −1 Z 1 , Z 2 , Z 3 =  −Z 2
Z1
0
0
0
Por lo tanto, los vectores base covariantes son

Z1
Z2

 g1 = √ 1 2 2 2 · e1 + √ 1 2
Z
Z
+Z
+Z 2 2
1
· e2
(14)
1
2
g = −Z · e1 + Z · e2

 2
g3 = e3
siendo g1 = 0 cuando Z 1 = Z 2 = 0. Hacemos notar que las unidades de g2 son
m.
1.3.2.
Contravariantes
Los vectores base contravariantes son definidos como
∂θi α
e
(15)
∂Z α
Los vectores eα coinciden con eα y, por lo tanto, son, también, los vectores
base del sistema de coordenadas cartesianas.
Por lo tanto, los vectores base contravariantes son
gi =
 1
1
2
g = √ 1Z2 2 2 e1 + √ 1Z2 2 2 e2


Z +Z
Z +Z

2
12
e1 +
e2 =
g2 = 1 2 −Z
2
Z2 2

Z
+1
Z 1 Z 1 2 +1
2
1

Z
Z
 3
g = e3
Hacemos notar que g1 ≡ g1 , que g2 ≡
1
Las unidades de g2 son m
.
1.4.
1.4.1.
g
2
θ1 2
−Z 2
Z 1 2 +Z 2 2
e1 +
Z1
Z 1 2 +Z 2 2
e2
(16)
y que g3 ≡ g3 .
Métrica del espacio
Métrica covariante
Las componentes covariantes del tensor métrico del espacio g expresadas en
el sistema de coordenadas curvilı́neas cilı́ndricas son
∂Z α
∂Z β
∂Z α ∂Z β
e
·
e
=
·
· δαβ
∂θi α ∂θj β
∂θi ∂θj
Las componentes de la diagonal principal son
gij = gi · gj =
(17)
g11 =
∂Z 1 ∂Z 1
∂Z 3 ∂Z 3
·
+ ... +
·
1
1
∂θ
∂θ
∂θ1 ∂θ1
(18)
g22 =
∂Z 1 ∂Z 1
∂Z 3 ∂Z 3
·
+
.
.
.
+
·
∂θ2 ∂θ2
∂θ2 ∂θ2
(19)
4
g33 =
∂Z 1 ∂Z 1
∂Z 3 ∂Z 3
·
+ ... +
·
3
3
∂θ
∂θ
∂θ3 ∂θ3
(20)
Reemplazando,
g11 = p
Z1
Z 12 + Z 22
·p
g11 =
Z1
Z 12 + Z 22
Z1
+p
Z2
Z 12 + Z 22
2
Z 12 + Z 22
+
Z2
·p
Z2
Z 12 + Z 22
2
Z 12 + Z 22
g11 = 1
(21)
g22 = −Z 2 · −Z 2 + Z 1 · Z 1
2
g22 = Z 1 + Z 2
2
g33 = 1
(22)
(23)
Con el objetivo de aprovechar la potencia del cálculo simbólico de Matlab, lo
que hacemos en el programa incluido en la sección 4, expresamos estas componentes en función de las componentes de la matriz jacobiana de la transformación
inversa (o bien, la inversa de la matriz jacobiana de la transformación).
De 12 llegamos a que
gij = J −1 iα · J −1 jβ · δαβ
(24)
Finalmente, utilizando Matlab, obtenemos las componentes covariantes del
tensor métrico del espacio en el sistema de coordeandas curvilı́neas cilı́ndricas,
las cuales son


1
0
0
g Z 1 , Z 2 , Z 3 = gij gi gj = 0 Z 1 2 + Z 2 2 0
(25)
0
0
1
1.4.2.
Métrica contravariante
Las componentes contravariantes del tensor métrico del espacio g expresadas
en el sistema de coordenadas curvilı́neas cilı́ndricas son
∂θi α ∂θj β
∂θi ∂θj
·
=
e
e
·
· δ αβ
∂Z α
∂Z β
∂Z α ∂Z β
Las componentes de la diagonal principal son
g ij = gi · gj =
(26)
g 11 =
∂θ1 ∂θ1
∂θ1 ∂θ1
·
+
.
.
.
+
·
∂Z 1 ∂Z 1
∂Z 3 ∂Z 3
(27)
g 22 =
∂θ2 ∂θ2
∂θ2 ∂θ2
·
+ ... +
·
1
1
∂Z ∂Z
∂Z 3 ∂Z 3
(28)
5
g 33 =
∂θ3 ∂θ3
∂θ3 ∂θ3
·
+ ... +
·
1
1
∂Z ∂Z
∂Z 3 ∂Z 3
(29)
Reemplazando,
g 11 = p
Z1
Z 12 + Z 22
Z1
Z2
Z2
·p
+p
·p
Z 12 + Z 22
Z 12 + Z 22
Z 12 + Z 22
g 11 =
Z1
2
Z 12 + Z 22
+
Z2
2
Z 12 + Z 22
g 11 = 1
g 22 =
−Z 2
Z 12 + Z 22
·
−Z 2
Z 12 + Z 22
g 22 =
+
(30)
Z1
Z 12 + Z 22
·
Z1
Z 12 + Z 22
1
Z 12
+ Z 22
(31)
g 33 = 1
(32)
g ij = Jαi · Jβj · δ αβ
(33)
De 6 llegamos a que
Finalmente, utilizando Matlab, obtenemos las componentes covariantes del
tensor métrico del espacio en el sistema de coordeandas curvilı́neas cilı́ndricas,
las cuales son


1
0
0
1
0 g g
g Z 1 , Z 2 , Z 3 = g ij gi gj = 0 Z 1 2 +Z
(34)
22
i j
0
0
1
1.5.
Transformación de coordenadas
Para el vector en coordenadas cilı́ndricas
a = 5 gr + 10 gθ − 3 gz = 5 g1 + 10 g2 − 3 g3
(35)
escrito con la notación de Einstein como
a = ai gi
(36)
con componentes contravariantes a1 = 5, a2 = 10 y a3 = −3, se nos hallar su
expresión en coordenadas cartesianas. Esto es
a = aα eα
(37)
Para ello, debemos recurrir a la regla de transformación contravariante
aα =
∂Z α i
·a
∂θi
6
(38)
De aquı́ que, utilizando las componentes del jacobiano inverso 12, siga
a1 = p
Z1
Z 12 + Z 22
· 5 + −Z 2 · 10 + 0 · (−3)
5 · Z1
a1 = p
− 10 · Z 2
Z 12 + Z 22
(39)
5 · Z2
a2 = p
+ 10 · Z 1
2
2
1
2
Z +Z
(40)
a3 = −3
(41)
Por otra parte, para el vector en coordenadas cilı́ndricas
b = 5 gr + 10 gθ − 3 gz = 5 g1 + 10 g2 − 3 g3
(42)
escrito con la notación de Einstein como
b = bi g i
(43)
con componentes covariantes b1 = 5, b2 = 10 y b3 = −3, se nos hallar su
expresión en coordenadas cartesianas. Esto es
b = bα eα
(44)
Para ello, debemos recurrir a la regla de transformación covariante
∂θi
· bi
∂Z α
De aquı́ que, utilizando las componentes del jacobiano 6, siga
bα =
(45)
−Z 2
Z1
·5+
b1 = p
· 10 + 0 · (−3)
2
2
2
1
Z + Z 22
Z1 + Z2
2.
5 · Z1
10 · Z 2
b1 = p
−
Z 12 + Z 22
Z 12 + Z 22
(46)
5 · Z2
10 · Z 1
b2 = p
+
Z 12 + Z 22
Z 12 + Z 22
(47)
b3 = −3
(48)
Problema 2
El movimiento de cierto medio continuo, en coordenadas cartesianas, se define por las siguientes ecuaciones:

x1 = 12 · (X1 + X2 ) · et + 21 · (X1 − X2 ) · e−t





x2 = 12 · (X1 + X2 ) · et − 21 · (X1 − X2 ) · e−t
(49)





x3 = X3
7
Aquı́, {xi , i = 1, 2, 3} son las coordenadas en la configuración espacial, mientras que {Xi , i = 1, 2, 3} son las coordenadas en la configuración de referencia.
Hacemos notar que, para t = 0,
x1 = X1
x2 = X2
x3 = X3
Adoptando la notación del curso, en donde las coordenadas cartesianas de
la configuración de referencia son {◦ z α , α = 1, 2, 3} y las coordenadas de la
configuración espacial son {t xα , α = 1, 2, 3} 49 se transforma en
 t 1
z = 21 · ◦z 1 +◦z 2 · et + 21 · ◦z 1 −◦z 2 · e−t





t 2
z = 21 · ◦z 1 +◦z 2 · et − 21 · ◦z 1 −◦z 2 · e−t
(50)




 t 3 ◦ 3
z = z
2.1.
Descripción lagrangeana
El vector desplazamiento de la partı́cula χ desde la configuración de referencia a la configuración espacial es
t
u (χ, t) =tx (χ, t) −◦x (χ)
(51)
Reemplazando a la posición por sus coordenadas en la base cartesiana, el
vector desplazamiento resulta
t
u (χ, t) =t z α (χ, t) eα −◦ z α (χ) eα
(52)
Durante el movimiento, el vector velocidad material de la partı́cula χ en la
configuración para tiempo t es
∂ t x (χ, t)
∂ t u (χ, t)
=
(53)
∂t
∂t
De acuerdo con cómo describamos a la partı́cula χ estaremos en una descripción lagrangeana o eulereana. Para el primer caso, debemos expresar al vector
velocidad material como
t
v (χ, t) =
t
v (χ, t) =t v =t v (◦x, t)
(54)
2
Por lo tanto ,
∂tu
∂ tz α
=
e
(55)
∂t
∂t α
y, en coordenadas cartesianas fijas, la descripción lagrangeana de la velocidad
resulta
t
v =t v α eα =
2 Los vectores base del sistema de coordenadas cartesianas fijas no se derivan ya que no
varı́an a lo largo del tiempo.
8
 t 1
v = 12 · ◦z 1 +◦z 2 · et −





t 2
v = 12 · ◦z 1 +◦z 2 · et +




 t 3
v =0
1
2
· ◦z 1 −◦z 2 · e−t
1
2
· ◦z 1 −◦z 2 · e−t
(56)
Finalmente, repitiendo el procedimiento, en el sistema de coordenadas cartesianas fijas y en la descripción lagrangeana la aceleración resulta
t
a =t aα eα =
∂tv
∂ tv α
=
e
∂t
∂t α
con coordenadas
 t 1
a = 12 · ◦z 1 +◦z 2 · et +





t 2
a = 12 · ◦z 1 +◦z 2 · et −




 t 3
a =0
2.2.
1
2
· ◦z 1 −◦z 2 · e−t
1
2
· ◦z 1 −◦z 2 · e−t
(57)
(58)
Descripción eulereana
Para la descripción eulereana, debemos expresar al vector velocidad material
como
t
v (χ, t) =t v =t v tx, t
(59)
Aprovechando la información contenida en 50 y en 56, en coordenadas cartesianas fijas, la descripción eulereana de la velocidad resulta
 t 1 t 2

 v = z



t 2
v =t z 1
(60)




 t 3
v =0
Para obtener la aceleración, debemos tener en cuenta que la velocidad,
además de depender (o no, como en este caso) explı́citamente del tiempo t, lo
hace de las coordenadas tz α , α = 1, 2, 3, las cuales pueden variar con el tiempo
(como en este caso). Por lo tanto, utilizando la regla de la cadena
t α
∂tv
∂v
∂ tv α t β
t
t
t
t
a (χ, t) = a = a x, t =
=
+ t β v eα
(61)
∂t
∂t
∂z
Expandiendo y desarrollando, las componentes de la aceleración en el sistema
de coordenadas cartesianas fijas resultan
t 1
∂ tv 1 t β
∂ tv 1 t 1 ∂ tv 1 t 2 ∂ tv 1 t 3
v
=
v + t2 v + t3 v
∂ tz β
∂ tz 1
∂z
∂z
t 2
∂ tv 2 t β
∂ tv 2 t 1 ∂ tv 2 t 2 ∂ tv 2 t 3
v
=
v + t2 v + t3 v
∂ tz β
∂ tz 1
∂z
∂z
a =
a =
9
∂ tv 3
∂ tv 3 t β
v = t1
t
β
∂z
∂z
Realizando las derivadas,
 t 1
a





t 2
a




 t 3
a
t 3
a =
t 1
v +
∂ tv 3 t 2 ∂ tv 3 t 3
v + t3 v
∂ tz 2
∂z
=t z 1
=t z 2
(62)
=0
Para un campo de temperaturas expresado en esta descripción,
θ = 10 tz 1
(63)
∂ tθ t p ∂ tθ
+ v tp
∂t
∂z
(64)
la derivada material es
t
θ̇ =
Desarrollando esta expresión,
t
θ̇ =t v 1
∂ tθ t 2 ∂ tθ t 3 ∂ tθ
+ v t2+ v t3
∂ tz 1
∂z
∂z
Finalmente,
t
θ̇ = 10 tz 2
3.
(65)
Problema 3
Tenemos el siguiente campo de velocidades


x−z
v = z · (et + e−t )
0
(66)
expresado por sus coordenadas en el sistema cartesiano fijo. Aquı́, x, y, z son las
coordenadas cartesianas.
Adoptando la notación del curso,
v =t v tx, t =t v α eα
t
(67)
y
t
x =t z α eα
(68)
66 se transforma en
 t 1 t 1 t 3
v = z − z





t 2
v =t z 3 · (et + e−t )




 t 3
v =0
10
(69)
Derivando de acuerdo con 61,
 t 1 t 1 t 3

 a = z − z



t 2
a =t z 3 · (et − e−t )




 t 3
a =0
Evaluando para el punto (1, 1, 1) y el instante t = 2
 t 1
a =0





t 2
a = e2 − e−2 = 7,2537 = 2 · sinh(2)




 t 3
a =0
11
(70)
(71)
4.
Anexo
4.1.
1
2
Código principal
%% TP01 - Algebra Tensorial
% Desarrollado por Pablo Barral para 67.59 Mecanica del Continuo ...
(FIUBA).
3
4
5
6
% Revision: 0.
% Fecha: 11/09/2021.
% La falta de tildes es para favorecer la importacion en LaTeX.
7
8
9
10
%% Introduccion
close all; clear all; clc;
%% Desarrollo
11
12
13
14
% Definimos los elementos simbolicos que representan nuestras ...
coordenadas
% cartesianas.
syms Z1; syms Z2; syms Z3; Z = [Z1; Z2; Z3];
15
16
17
18
19
20
21
% Definimos la transformacion de coordenadas a un sistema de ...
coordenadas
% cilindricas.
syms theta1(Z1,Z2,Z3); theta1(Z1,Z2,Z3)=(Z1ˆ2+Z2ˆ2)ˆ0.5;
syms theta2(Z1,Z2,Z3); theta2(Z1,Z2,Z3)=atan(Z2/Z1);
syms theta3(Z1,Z2,Z3); theta3(Z1,Z2,Z3)=Z3;
Theta = [theta1(Z1,Z2,Z3); theta2(Z1,Z2,Z3); theta3(Z1,Z2,Z3)];
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dim=3; J=sym(zeros(dim));
% Obtenemos simbolicamente al jacobiano de la transformacion de
% coordenadas.
for i=1:dim
for alpha=1:dim
J(alpha,i)=diff(Theta(i),Z(alpha));
end
end
31
32
33
pretty(simplify(J))
latex(simplify(J))
34
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% Obtenemos el jacobiano de la transformacion inversa de ...
coordenadas como
% la inversa del jacobiano de la transformacion.
invJ=inv(J);
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40
pretty(simplify(invJ))
latex(simplify(invJ))
41
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gcv=sym(zeros(dim));
gccv=sym(zeros(dim));
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% Obtenemos las componentes covariantes del tensor metrico del ...
espacio a
% partir de las componentes del inverso del jacobiano.
for i=1:dim
for j=1:dim
for alpha=1:dim
gcv(i,j)=gcv(i,j)+invJ(i,alpha)*invJ(j,alpha);
end
12
end
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53
end
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% Obtenemos las componentes contra covariantes del tensor ...
metrico del
% espacio a partir de las componentes del jacobiano.
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for i=1:dim
for j=1:dim
for alpha=1:dim
gccv(i,j)=gccv(i,j)+J(alpha,i)*J(alpha,j);
end
end
end
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67
pretty(simplify(gcv))
latex(simplify(gcv))
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69
70
pretty(simplify(gccv))
latex(simplify(gccv))
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