Formulario Electrodinámica Manel Bosch Aguilera Radial: I. RELATIVIDAT ESPECIAL r Transformación de Lorentz x µ0 = µ0 Λν x ν γ(v) = q Transversal: 1 1− v2 c2 v ct0 = γ ct − x x 0 = γ ( x − vt) c v + v2 v12 = 1 v1 v2 1 + c2 ~v ·~r ~v ·~r 0 ~r = ~r + ~v t = γ t− 2 (γ − 1) − γt c v2 ~u · ~v γu 0 = γu γv 1 − 2 c Parametritzación Hiperbólica γβ = sinh φ x 0 = x cosh φ − ct sinh φ Intérvalo (∆s)2 = (∆x0 )2 − (∆~x )2 = (∆s0 )2 Cinemática relativista L = γ −1 L 0 tan α = γ tan α0 0 u1 − v 1− vu1 c2 k≡ u = u + kv 1 1− 2 n <1 Aberración sin α0 = sin α γ(1 + β cos α) cos α + β 1 + β cos α cos α0 = III. DINÁMICA RELATIVISTA ηµν = η µν = ηµ0 ν0 = diag(1, −1, −1, −1) vµ = ηµν vν qµ = η µν qν ηµν uµ vν = uµ vµ = uµ vµ T = γT0 q L = L0 1 − β2 cos2 α Cuadrivelocidat dx µ dx µ =γ = γ(c, ~u) u µ u µ = c2 dτ dt p ~u u4 = c2 + ~u2 ~β = 0 u Cuadriaceleración 4 duµ γ γ4 ~u ·~a, γ2~a + 2 (~a · ~u)~u aµ = = dτ c c uµ = γ3 ~u ·~a uµ aµ = 0 c2 u2 u̇2 a µ a µ = − γ6 2 + γ4 a2 c γ̇ = Transformación de velocidades: u1 = 0 dt = γdτ γ = cosh φ ct0 = ct cosh φ − x sinh φ λ R = γλ E Fórmula de fresnel tanh φ = β c∓v c±v λR = λE u⊥ 0 u⊥ = γ 1− c2 − ~u2 = c2 γu−2 0 vu1 c2 0 SR comóbil: aµ = (0,~α), uµ = (c,~0) (~u ×~a)2 µ 2 2 6 2 a aµ = −α α =γ a − c2 Cuadrimomento Aceleración propia: α = γu3 du dt E = mγc2 p µ p µ = m2 c2 II. ÓPTICA RELATIVISTA λ = cT = pµ = muµ c ν Efecto Doppler 1 − ~n · ~β λR = λE q 2 1 − vc2 T = E − mc2 pµ = kµ = E , ~p c hν (1, k̂) c ~p = mγ~u kµ k µ = 0 E2 = ~p2 c2 + m2 c4 ~v = c2 ~p E Fuerza ~f = mγ~a + mγ̇~v dpµ f µ = maµ = = γ cmγ̇, ~f = γ dτ ~f · ~u , ~f c ! IV. RADIACIÓN III. ECS. ELECTRODINÁMICA CLÁSSICA t0 = t − Continuidad ∂ρ ~ + ∇(ρ~u) = 0 ∂t Potenciales de Liénard - Wiechert jµ = (cρ, ρ~u) = (cρ,~) ∂µ jµ = 0 φ(~x, t) = Ecs. Maxwell ~ (~x, t) = A τ =τR ~S = c (~E × ~B) 4π ~ × ~B = 4π~ + 1 ∂t ~E ∇ c c ~ · ~E = 4πρ ∇ e ~ (1 − β · ~n) R Potencia Radiada: ~ × ~E − 1 ∂t ~B = 0 ∇ c ~ · ~B = 0 ∇ Fórmula de Larmor: Potenciales: P= ~ φ − 1 ∂t A ~ ~E = −∇ c ~ ×A ~ ~B = ∇ 1 ~ ·A ~ =0 ∂t φ + ∇ c 4π µ j c Tensor de Faraday ~Λ ~0 = A ~ +∇ A Distribución angular de potencia: → µ ∂µ A = 0 ≡ ∂µ ∂µ = Aµ = Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ F0i = − Ei = − F0i ∂2 ∂t2 ˙ dP e2 |n̂ × [(n̂ − ~β) × ~β]|2 = dΩ 4πc (1 − n̂ · ~β)5 − ∇2 inv. gauge Fij = −eijk Bk = Fij Tensor dual: 1 µνρσ e Fρσ 2 Ecs. Maxwell covariantes: ∗ µν F ∂µ F µν = = 4π µ j c ∂µ ∗ F µν = 0 Transformaciones ~E, ~B ~E0 = ~Ek k 0 ~E⊥ = γ(~E⊥ + ~β × ~B) ~B0 = ~Bk k 0 ~B⊥ = γ( B⊥ − ~β × ~E) Configuración estándard: Bx0 = Bx Ex0 = Ex Ey0 = γ( Ey − βBz ) B0 y = γ( By + βEz ) Ez0 = γ( Ez + βBy ) B0 y = γ( Bz − βEy ) Fuerza de Lorentz dpµ q = f µ = F µν uµ = qγ dτ c ~E · ~u ~v , ~E + × ~B c c Invariantes ~B2 − ~E2 2 e2 ˙ 2 |~v| 3 c3 Fórmula de Larmor Relativista: µ 2 q2 dp dpµ P=− 3 m2 c3 dτ dτ Transformaciones gauge y gauge de Lorentz: 1 φ0 = φ − ∂t Λ c R(t0 ) c ~E · ~B ! e~β (1 − ~β · ~n) R τ =τR