Pauta ejercicios - Cálculo Vectorial

CONTROL N◦ 1 DE CÁLCULO AVANZADO
CÁLCULO AVANZADO TIPO 1
PRIMER SEMESTRE 2021
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y C. C.
Pregunta 1.
Probar que para 0 ≤ x ≤ π
cos(2x) cos(4x) cos(6x)
π2
+
+
+ ... .
−
a) x(π − x) =
6
12
22
32
Haciendo la extensión par de x(π −x), usando el teorema de convergencia, tenemos que para 0 ≤ x ≤ π
(la convergencia de la serie se da inclusive en los extremos 0 y π pues la extensión par no presenta
discontinuidades.):
∞
X
x(π − x) = a0 +
an cos(nx)
n=1
Z π
1
1 π2
π2
π3
a0 =
2
x(π − x)dx =
=
π−
2π
π 2
3
6
0
Z π
1
x(π − x) cos(nx)dx
2
an =
π
0
π
x2 sen (nx) πx sen (nx) 2x cos (nx) π cos (nx) 2 sen (nx)
−
+
+
+
−
n
n
n2
n2
n3
0
(
(
1
− (n/2)
− n42 n es par
2 π cos (πn)
π
2 n es par
=−
+
=
=
2
2
π
n
n
0, n es impar
0, n es impar
π2
cos(2x) cos(4x) cos(6x)
Ası́ se tiene x(π − x) =
+
+
+ ... .
−
6
12
22
32
8 sen(x) sen(3x) sen(5x)
b) x(π − x) =
+
+
+ ... .
π
13
33
53
Haciendo la extensión impar de x(π − x), usando el teorema de convergencia, tenemos que para
0 ≤ x ≤ π (la convergencia de la serie se da inclusive en los extremos 0 y π pues la extensión par no
presenta discontinuidades):
∞
X
x(π − x) =
bn sen(nx)
2
π
n=1
Z π
1
bn =
2
x(π − x) sen(nx)dx
π
0
x2 cos (nx) πx cos (nx) 2x sen (nx) π sen (nx) 2 cos (nx)
−
−
+
−
n
n
n2
n2
n3
(
8
n es impar
2 2
2 cos (πn)
n3
−
=
=
π n3
n3
0, n es par
8 sen(x) sen(3x) sen(5x)
Ası́ se tiene x(π − x) =
+
+
+ ... .
π
13
33
53
2
π
π2
1
1
1
1
= 1 − 2 + 2 − 2 + 2 − ....
12
2
3
4
5
π
Reemplazando x = .
2
c) Probar que
π
0
Pregunta 2.
Sea f : [0, π] → R definida como f (x) = cos(ax), donde a es un real no impar. Obtenga una extensión
impar de la función, grafı́quela y demuestre que
∞
X
π cos( aπ
(2n − 1)
2 )
=
(−1)n .
2
2(cos(aπ) + 1)
a − (2n − 1)2
n=1
Primero debemos obtener la extensión impar fi (x) en [−π, π], esta será [0.5 puntos]
cos(ax)
si 0 < x ≤ π,
fi (x) =
− cos(ax) si −π ≤ x < 0
(1)
Ahora bien, si graficamos esta función, tendrá un comportamiento de la forma .
Por otro lado, ahora nos enfocaremos en calcular la Serie de Fourier de esta función y veamos si existe un
Figura 1: Función fi (x). [0.5 puntos] (Graficar)
punto x0 tal que podamos encontrar la expresión que se solicita. [0.5 puntos] Observar que fi es una función
impar, por lo cual a0 = 0 = an , para todo n natural. Ası́ que solo hay que calcular bn :
Z
2 π
bn =
cos(ax) sen(nx)dx,
π 0
ocupando la identidad trigonométrica cos(α) sen(β) = (sen(α + β) + sen(α − β))/2, nos queda para el caso
a 6= n:
1
π
bn =
π
Z
0
1
sen((a + n)x)dx +
π
Z
π
sen((a − n)x)dx,
0
π
π
1 cos(x(a + n))
1 cos(x(n − a))
= −
−
,
π
(n + a)
π
(n − a)
0
0
h
i
h
i
1
−
cos(π(a
+
n))
1
−
cos(π(n
−
a))
1
1
=
+
.
π
(n + a)
π
(n − a)
Volviendo a ocupar la identidad trigonometrica de suma de ángulos para el coseno
h
i
h
i
1
−
cos(aπ)
cos(nπ)
1
−
cos(aπ)
cos(nπ)
1
1
bn =
+
,
π
(n + a)
π
(n − a)
pero recordemos que cos(nπ) = (−1)n y que (n + a)(n − a) = n2 − a2 , entonces [1 punto]
bn =
2n[1 − cos(πa)(−1)n ]
.
π(n2 − a2 )
En el caso a = n el coeficiente de Fourier no tiene importancia, ya que se hace cero [0.5 puntos]:
Z
2 π
bn =
cos(nx) sen(nx)dx,
π 0
Z
2 π 1
=
d(sen(nx)2 ),
π 0 2n
2 sen(nx)2 π
=
,
π
2n
0
= 0.
(2)
(3)
Por lo tanto, la Serie de Fourier será [0.5 puntos]
∞
X
2n[1 − cos(πa)(−1)n ]
π(n2 − a2 )
n=1
sen(nx).
(4)
Ahora bien, [1.5 puntos] la igualdad que se pide demostrar se puede obtener para el valor x0 = π/2 en
el intervalor [−π, π]. La función fi (x) tiene una discontinuidad de valor finito (en x = 0), mientras que en
los puntos donde no existe tal discontinuidad, la función claramente es continua, asi que es seccionalmente
continua en el intervalo y ası́ es posible aplicar el Teorema de la convergencia en el punto x0 = π/2. De esta
manera, tendremos la igualdad
f
π 2
=
∞
X
2n[1 − cos(πa)(−1)n ]
n=1
π(n2 − a2 )
sen(nπ/2).
(5)
Es posible apreciar sin mayores dificultades que sen(nπ/2) = 0 si n es par. Si n es impar, es decir, n = 2m−1
(es decir, solo valores impares) para cualquier m natural, se tendrá sen((2m − 1)π/2) = (−1)m+1 , entonces
cos
aπ 2
=
∞
X
2(2m − 1)[1 − cos(πa)(−1)2m−1 ]
(−1)m+1 .
π((2m − 1)2 − a2 )
m=1
Arreglando un poco los términos concluimos que [1 punto]
∞
X
π cos( aπ
(2m − 1)
2 )
=
(−1)m .
2
2(cos(aπ) + 1)
a − (2m − 1)2
(6)
m=1
Pregunta 3.
Utilizando series de Fourier, verificar que para todo x ∈ (0, π) se satisface la igualdad
cos(x) =
∞
n
8X
sen(2nx).
2
π
4n − 1
n=1
Se debe considerar la extensión impar de f (x) = cos(x), al intervalo [−π, π] para ası́ obtener la serie de
Fourier seno de f (x) = cos(x). Tal serie es de la forma
∞
X
bn sen(nx) y sus coeficientes vienen dados por los
n=1
siguientes cálculos:
bn =
=
=
=
donde
Z
2 π
cos(x) sen(x)dx,
π 0
2
cos((n − 1)x) cos((n + 1)x) π
−
, si n 6= 1,
−
π 2(n − 1)
2(n + 1)
0
2 cos((n − 1)π) cos((n + 1)π)
1
1
−
, si n 6= 1,
+
−
−
π 2(n − 1)
2(n + 1) 2(n − 1) 2(n + 1)
1 (−1)n+1 − 1 (−1)n+1 − 1
−
+
π
(n − 1)
(n + 1)

n
 4
·
bn =
π n2 − 1

0
,
si n es par
,
si n es impar
y además
2
b1 =
π
Z
0
π
2 sen2 (x)
cos(x) sen xdx =
π
2
π
=0
0
Como la función f es continua y derivable en el intervalo (0, π) (por lo tanto será seccionalmente suave
en dicho intervalo), el teorema de convergencia permite concluir que
cos(x) =
∞
8X
n
sen(2nx)
π
4n2 − 1
1
y lo anterior se debe a que consideramos un cambio de ı́ndice n → 2n, es decir, describimos los n que son
pares para ası́ describir toda la serie.