ARITMETICA - 4TO

ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Si los siguientes
representados:
numerales
están
bien
23a 4  ; 22c a  ; b1b c 
a) 18
d) 35
hallar: “a + b + c”
a) 5
d) 7
b) 6
e) 8
c) 23
5. Se forma un numeral escribiendo la sucesión
de los números naturales. ¿Cuántas cifras
tiene el menor numeral formado así, tal que el
valor relativo y el valor absoluto de su cifra
central son iguales?
1243n  1xyz 6
entonces (x + y + z + n) es igual a:
b) 11
e) 14
b) 16
e) 22
c) 4
2. Sabiendo que.
a) 10
d) 13
y el último residuo es 7. la suma de “a + b + c
+ d” es:
c) 12
a) 20
d) 21
b) 3
e) 25
c) 5
6. Sabiendo que:
aba 6   a2b2b5
3. Se tiene que:
Hallar “a + b”
N = aaa.......... ...... a n
“n” cifras
además el número a  2a está en base 4.
Luego el menor valor que puede tomar “n” es:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 6
c) 3
4. El número abcd es múltiplo de 8 y cuando se
cambia al sistema de numeración de base 8, el
último cociente es 6; el penúltimo residuo es 6
Sub – Área: Aritmética
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
7. ¿Cuántos números abc 9 igual a :
a  1b  1c 11 existen?
a) 1
d) 9
b) 2
e) más de 9
c) 8
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
ACTIVIDAD EN AULA
1. Sumar los 30 primeros términos
siguiente sucesión:
de la
5. Indicar las 4 últimas cifras de la siguiente
suma:
4, 6, 11, 19, 30, 44, ....................
64 + 6464 + 646464 + ......+ 64..........64
a) 13170
d) 17310
b) 12560
e) 12960
c) 11370
64 cifras
2. Sabiendo que:
4a3b 8  c7d2 8  10465 8
a) 1128
d) 0448
b) 0408
e) 1348
c) 1468
Hallar a + b + c + d
6. Hallar “C” en la siguiente suma:
a) 14
d) 11
b) 13
e) 15
c) 12
a) 4
d) 7
3. Si:
3ab  c 4a  xxx 4
b) 5
e) 8
c) 6
7. Determinar el N° de triángulos que se pueden
formar al trazar una de las diagonales de un
cuadrado de 20.20
Hallar a + b + c + x
a) 21
d) 24
a74b  5ba2  27a  bba68
b) 22
e) 25
c) 23
4. Efectuar:
12 + 22 + 32 + 42 + ..........+ 202
22 + 32 + 42 + .........+ 202
32 + 42 + .........+ 202
42 + .........+ 202
.
.
.
+ 202
a) 105
b) 210
c) 420
d) 315
e) 620
1, 1
2, 2
3, 3
8. Hay el valor de S, sabiendo que los
sumandos son términos de una progresión
aritmética de 1° orden
S = 21n + 24n + 30n + ……. 645n
a) 210
d) 2870
b) 44100
e) 57190
Sub – Área: Aritmética
c) 44200
a) 12450
d) 17955
b) 13175
e) 17605
c) 15245
4º Secundaria
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Calcular la suma de cifras del resultado de
operar.
5. Al hallar: S = 3 + 8 + 15 + 24 + .........
x sumandos
7 + 97 + 997 + 9997 + ..... + 999...997
80 sumandos
a) 92
d) 95
b) 93
e) 96
c) 94.
2. Hallar la suma de abcde y fghij . Sabiendo
que ab  fg  169; c + h = 15; de  ij  123
a) 107632
d) 190623
b) 170623
e) 150623
c) 17263
3. Hallar el menor número que excede a su
complemento aritmético en 1436.
a) 7518
d) 8715
b) 1578
e) 3578
c) 5718
4. En una sustracción la suma de los tres
términos es 148. Si el sustraendo es el
complemento del minuendo. ¿Cuál es la suma
de las cifras de la diferencia?
a) 11
d) 9
b) 10
e) 13
Sub – Área: Aritmética
c) 12
Se obtiene un polinomio relativo a x de tercer
grado. ¿Cuál es la suma de los coeficientes de
dicho polinomio?
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
6. Hallar: abc 8 . cba8 . Si a. b = 14(8)
a. c = 25(8)
a) 3132758
d) 3316258
b) 3317258
e) 3310258
c) 3302758
 
7. Hallar “a”, si : CA abc  4
abc . 3  ..... 1; abc . 9  .9...
a) 5
d) 8
b) 6
e) 4
c) 7
8. Al dividir abc entre bc se obtiene 11 de
cociente y 80 de residuo. Hallar a + b + c
a) 16
d) 20
b) 18
e) 21
c) 19
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
Arquímedes (287-212 a.C.), Se le considera padre de la ciencia mecánica y el
científico y matemático más importante de la edad antigua. Tuvieron que
pasar casi dos mil años para que apareciese un científico comparable con él:
Isaac Newton.
En el campo de las Matemáticas puras su obra más importante fue el
descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y
el cilindro que la circunscribe; por esta razón mandó Arquímedes que sobre su
tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro.
A él le debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin
esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a
distancia los barcos enemigos.
¡ Eureka, eureka ¡ ¡Lo encontré!
Eso es lo que dicen que gritó un día el sabio Arquímedes mientras daba saltos
desnudo en la bañera. No era para menos. Ayudaría ( a él y a todos nosotros
después) a medir el volumen de los cuerpos por irregulares que fueran sus
formas.
DEFINICIÓN
Dados 2 números A y B definimos se dice que A es divisible por B, si esta contenido una cantidad
exacta y entera de veces y su residuo es cero.
0
A [B]
- K
A = BK = mB = B  notación
 B se llamará módulo y esta definido en el campo entero positivos.
 A, K  Z
A = BK se lee:
“A es divisible por B”
“A es múltiplo de B”
“B es múltiplo de A”
“B es submúltiplo de A”
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
0
 n se lee: “múltiplo de n”
 0 (cero) es múltiplo de cualquier número excepto de el mismo.
LEYES
0
0
0
0
1)
n  n  .......... .  n  n
2)
n - n - .........- n = n
3)
( n )k = n
4)
 0 
k( n ) = n =  nk 
 
 
5)
( n + r)p = n + rp
6)
( n - r)q
0
0
0
0
0
Lo más
importante en
este mundo, no
es lugar donde
estamos, sino
la dirección
que llevamos.
0
0
0
0
0
0
0
= n + rq (q : par )
0
( n - rq (q : impar)
0
7)
0
0
( n + r) ( n + s) = n + r.s.
0
0
8)
a.b. = n  Si ab  b= n
(Teorema de Arquímedes)
0
0
Si b  n  a = n
0
9)
...... rn   n  r
2
0
..... sr n   n   sr n
 
3
0
...... tsr m   n   tsr n
 
0
10)
A = n+ r
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
0
A= m +r
0
A= p +r
0 0
0
A = MCM ( n ; m; p ) + r
CONTEO DE MÚLTIPLOS
0
a) ¿Cuántos números de 3 cifras son 7 ?
ERATÓSTENES
Resolución:
Sea N = 7K
Como N es de 3 cifras entonces
100 < N < 1000
100 < 7K < 1000
(c. 284-c. 192 a.C.).
100
1000
k 
7
7
14, 28 < k < 142, 8
K  15, 16, 17, ....... 142
# valores de K =
142  14
= 128 valores de K
1
como existen 128 valores de k por lo tanto existen 128
números que son de 3 cifras y múltiplo de 7.
0
b) En el problema anterior cuántos 7 termina en cifra 2
Resolución:
0
N = 7 = 7K = ... 2
.... 6
K seleccionado =
16, 26 , 36, ......, 136
# valores de ka seleccionado =
136  6 130

 13
10
10
0
0
c) ¿Cuántos números de 3 cifras son 2 y de 3 pero no de
0
5?
Resolución:
Utilizamos diagrama de Veen # 3 cifras = 900 números.
Sub – Área: Aritmética
Matemático,
astrónomo,
geógrafo, filósofo y poeta
griego. Fue el primero que
midió con buena exactitud el
meridiano terrestre. Para
ello ideó un sistema a partir
de
la
semejanza
de
triángulos.
Erastótenes
midió en primer lugar la
distancia entre dos ciudades
egipcias que se encuentran
en el mismo meridiano:
Siene (Assuán) y Alejandría.
Esto lo hizo a partir del
tiempo que tardaban los
camellos en ir de una ciudad
a otra.
Después se dio cuenta que el
día del solsticio de verano a
las 12 del mediodía el Sol
alumbraba el fondo de un
pozo muy profundo en la
ciudad de Siene y que a esa
misma
hora
el
sol
proyectaba una sombra en
Alejandría. A raíz de esta
circunstancia 4º Secundaria
determinó,
calculando el radio de la
0
900
 450#
2
0
900
3
 300#
3
0
900
6
 150#
6
0
900
5
 180#
5
0
900
30 
 30#
30
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2 y 3 pero no 5  # 6  30
0
2 y 3 pero no 5  150   120 números
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
1) Divisibilidad Simple
2, 3, 5, 7, 11, 13, 19
2) Divisibilidad Compuesta
4, 6, 8, 9, 25, 125, 33 y 99
Divisibilidad Simple
a) Divisibilidad por 2
0
0
N = abcd  2  d  0 ó 2
b) Divisibilidad por 3
0
0
N = abcd  2  a  b  c  d  3
0
Y todas las permutaciones de abcd también serán 3
c) Divisibilidad por 5
0
N = abc  5  c  0 ó 5
Sub – Área: Aritmética
Sin esfuerzo de
nuestra
parte,
jamás llegaremos a
la cumbre de una
montaña.
No te desanimes a
mitad del camino
sigue
adelante,
porque
los
horizontes
se
tornarán amplios y
maravillosos
a
medida que vayas
subiendo.
Pero no te engañes,
porque
sólo
alcanzarás la cima
de la montaña si
estás decidido a
enfrentar el riesgo
del camino.
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
d) Divisibilidad por 7
0
N= abc de f  7
- - - + + +
2 312 3 1
0
 Productos combinados = 7
0
- 2a – 3b - c + 2d + 3e + f = 7
e) Divisibilidad por 11
0
0
N = a b c d  11   a  b  c  d  11 ó 0
- + -+
0
(d + b) – (c + a) = 11 ó 0
1111
0
( cifras de orden impar) – ( cifras orden par) = 0,11 ó 11.
f) Divisibilidad por 17
Un número será divisible por 17 si lo es la diferencia de sus
decenas enteras y cinco veces la cifra de sus unidades.
g) Divisibilidad por 19 (Regla de Folie)
Un número será divisible por 19 si lo es la suma de sus
decenas enteras y el doble de sus cifras de sus unidades.
(1845 – 1918)
Divisibilidad Compuesta
a) Divisibilidad por 4
0
0
N = abcd  4  2 2  cd  4
21
0
 2c + 4 d = 4
b) Divisibilidad por 6
0
0
N= 6
2
George Cantor
0
3
Sub – Área: Aritmética
Matemático alemán nacido en
San
Petersburgo
(ahora
Leningrado, Rusia) y fallecido en
Halle. Ya en la escuela Cantor
mostró
talento
por
las
matemáticas,
haciendo
posteriormente de ellas su
profesión, obteniendo el puesto
de profesor en la universidad de
Halle en 1872. En 1874 Cantor
empezó a introducir conceptos
extraños
de
lo
infinito,
estableciendo que para tratar el
infinito se debe establecer
correspondencia entre dos series,
más aún, esta correspondencia
debe ser biunívoca. De este modo
se puede razonar que la cantidad
de números pares es igual a la
de los números naturales,
diferenciando entre la aritmética
de lo infinito y la aritmética
familiar de los números finitos.
Cantor construyó una
estructura
4º Secundaria
lógica completa, en la cual se
c) Divisibilidad por 8
0
N = abcde  8  23
0
0
 cde  8  4c  2d  e  8
421
d) Divisibilidad por 25 y 125
0
"La educación es la
preparación a la vida
completa."
N = abcdef  25  52
00
0
ef  25  ef
25
50
75
0
N = abcdef  125  5 3
0
def  125
e) Divisibilidad por 33 y 39
0
0
N = abcdef  33 y 99
0
0
ef  cd  ab  33 ó 99
ECUACIÓN DIAFANTICA
Es aquella ecuación en donde sus variables resultan ser números enteros y pueden ser 2, 3 o más
incógnitas.
Caso particular: Ax + By = C
Para que dicha ecuación tenga solución se debe cumplir que:
MCD (A, B) = divisor de “C”
* MCD = Máximo común divisor
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
22x + 26y = 490
simplificando:
11x + 13y = 245 ...........(I)
llevamos la ecuación en función del múltiplo del menor coeficiente:
0
0
0

11   11  2  y  11  3


0
0
0
11  11  2y  11  8
0
2y  4   11
0
Por Arquímedes: y + 4 = 11
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
y = 11t – 4 ...................
(II)
(II) en (I)
11x + 13( 11t – 4) = 245
11x + 143t – 52 = 245
11x + 143t = 297
x + 13t = 27  x = 27 – 13t
0
AÑO BISIESTO: Es aquel año que tiene 366 días para que un año sea bisiesto deberá ser un 4 y si
0
el año es secular un 400
0
AÑOS SECULARES: Son aquellos años que son 100 . Ejemplo: 1100, 1200, 1400, 1600, 2000,
bisiesto 1200, 1600.
ACTIVIDAD EN AULA
1. Al dividir un número entre 8 da 2 de residuo, al
dividirlo entre 11 da 9 de residuo. Si se divide
entre 88. ¿Cuál será el residuo?
a) 10
d) 44
b) 11
e) 42
c) 7
a) 68
d) 71
a) 59
d) 52
b) 45
e) 31
c) 70
4. ¿Cuántos términos de 4 cifras son múltiplos de
17 y terminan en cifra 2?
a) 51
d) 54
2. Hallar el número N tal que :
N = m7 + 3
4N = m15 + 13
b) 69
e) 72
b) 52
e) 55
c) 53
0
5. Calcular “a”, si  3a2a  7
c) 46
a) 1
d) 11
b) 7
e) 7
c) 9
3. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de
13?
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de
7 y terminan en 1?
a) 125
d) 129
b) 128
e) 1270
a) 190
d) 179
b) 182
e) 145
c) 184
c) 1280
5. Calcular el mayor número de 3 cifras del
sistema decimal tal que convertido a los
sistemas de base 8, 12 y 15 se matan en cero.
2. Hallar a + b, si:
0
2a45b  72
a) 4
d) 7
b) 8
e) 9
a) 960
d) 980
b) 3501
e) 3700
6. Calcular el menor número de 4 cifras tal que al
dividirlo entre 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 se obtienen
residuos máximos:
c) 3602
4. Calcular el menor natural tal que al ser dividido
entre 9, 12 y 15 se obtiene un resto máximo:
Sub – Área: Aritmética
c) 970
c) 6
3. El número de vacantes de cierta universidad
está comprendida entre 3500 y 3700. Hallar el
número sabiendo que si se cuentan de 8 en 8,
de 6 en 6 o de 5 en 5 siempre sobran 2.
a) 3069
d) 360
b) 950
e) 990
a) 2500
b) 2600
c) 2519
d) 2600
e) 2700
7. Calcular el resto de dividir 3828.7
a) 80
d) 500
b) 700
e) 400
c) 600
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
1. DEFINICIÓN
Son aquellos números naturales que tienen sólo dos divisores; él mismo y la unidad.
* Ejemplo:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ........
2. NÚMERO COMPUESTO
Son aquellos números naturales que tienen más de dos divisores.
* Ejemplo:
Divisores
4  1, 2, 4
10  1, 2, 5, 10
Obs.:
La unidad no es primo ni compuesto, es simplemente un divisor.
3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESÍ)
Es aquel conjunto de dos o más números, cuyo único divisor común es la unidad.
* Ejemplo:
Divisores
6  1, 2, 3, 6
15  1, 3, 5, 15
20  1, 2, 4, 5, 10, 20
*
*
*
6; 15 y 20 son números PESÍ, ya que su único divisor común es la unidad.
6 y 20 no son PESÍ, ya que tienen dos divisores comunes, la unidad y el dos.
15 y 20 no son PESÍ.
4. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
Es la representación de un número mediante el producto indicado de potencias de exponente
entero positivo, de los divisores primos del número.
*
Ejemplo:
540
270
135
45
15
5
1
2
2
3
3
3
5
2
3
540 = 2 x 3 x 5
En general, todo número compuesto "N" se puede expresar:
N = An . Bm . Cp.....
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
Donde:
- A, B, C ......... son números primos absolutos y diferentes.
- m, n, p ........ son números enteros positivos
Nota: La descomposición canónica de un número es única.
5. PRINCIPALES FÓRMULAS
Dado el número "N"
N = An . Bm . Cp ..... Mk
5.1 Cantidad de Divisores (C.D.)
C.D.N = (n + 1)(m + 1)(p + 1) ...... (k + 1)
*
Ejemplo:
180 = 22 .32 . 5
C.D.180 = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 18 divisores
5.2 Suma de divisores (S.D.)
S.D.N 
*
An1 1 Bm1 1 Cp1 1
.
.
.......
A 1
B 1
C 1
Ejemplo: 180 = 22 . 32 . 5
S.D.180 
23 1 33 1 52 1
.
.
 546
5 1
2 1
3 1
5.3 Suma de las inversas de los divisores (S.I.)
S.I.N 
*
S.D.N
N
Ejemplo: S.D.180 = 546
S.I.180 
546 91

180 30
Nota:
TOTAL DIVISORES TOTAL DIVISORES TOTAL DIVISORES
=
+
+ UNIDAD
DE UN NÚMERO
PRIMOS
COMPUESTOS
ACTIVIDAD EN AULA
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
1. ¿Cuántos divisores impares tiene 1500?.
a) 6
b) 4
c) 8
d) 2
e) 5
2. ¿Cuántos ceros se deben colocar a la derecha
de 9, para que el resultado tenga 147
divisores?.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
3. Si "A" y "B" tienen la misma cantidad de
divisores, hallar ¿cuántos divisores tiene "A"?.
A = 12 . 30n
B = 24n + 3 . 32n + 3
a) 205
d) 136
b) 336
e) 288
c) 308
4. Cuántos divisores de 1200 son:
a) Múltiplos de 6
b) Múltiplos de 15
a) 10 y 10
d) 10 y 15
b) 24 y 12
e) 12 y 10
c) 14 y 12
5. Hallar el menor número que tenga 15 divisores.
Dar como respuesta la suma de sus divisores.
a) 482
b) 360
c) 403
d) 155
e) 270
6. De todos los números que dividen exactamente
a 540, ¿cuántos son impares?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
7. Los divisores primos de un entero positivo "A"
son 2 y 3; el número de divisores de su raíz
cuadrada es 12 y el número de divisores de su
cuadrado es 117. ¿Cuántos de tales números
"A" existen?.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
8. ¿Cuántos rectángulos cumplen que su área es
216m2 y sus lados están expresados por un
número entero de metros?.
a) 16
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. ¿Cuántos divisores tiene 4200?
a) 36
b) 48
c) 60
d) 12
e) 72
5. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 12020?.
a) 26901 b) 26897 c) 26900
d) 26520 e) 26521
2. Dado el número: N = 720,
hallar "A + B + C", siendo:
A = total de divisores
B = número de divisores compuestos
C = número de divisores primos
6. ¿Cuántos divisores tiene el número:
A = 4 . 3n, sabiendo que al multiplicarse por 48
su número de divisores aumenta en 41?.
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 24
a) 58
d) 61
b) 60
e) 59
c) 30
3. ¿Cuántos divisores tiene: 148 - 146?.
a) 392
b) 408
c) 152
d) 258
e) 536
4. Calcular ''n'' para que el número:
N = 7 . 12n tenga 132 divisores.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Sub – Área: Aritmética
7. ¿Cuántos divisores tiene 14A, si "A" tiene 107
divisores compuestos?
A = 12n + 12n + 2
a) 144
d) 256
b) 206
e) 180
c) 216
8. ¿Cuántos divisores tiene el menor número
entero cuya suma de cifras es 21?.
a) 8
b) 10
c) 12
d) 6
e) 4
4º Secundaria
En el siglo IV (A.C.), Euclides, un genial
griego, logró reunir los principales
conocimientos matemáticos de su época.
Todo lo relacionado con la Aritmética, lo
expuso en los libros VII, VIII, IX y X de
sus “Elementos”.
Entre los curiosos datos aritméticos que se
encuentran en esa portentosa obra,
aparece el método de resolución del
Máximo Común Divisor, que hoy
llamamos de divisiones sucesivas.
MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Es el mayor de los divisores comunes.
* Ejm.: Hallar el MCD de 18 y 30
18  1, 2, 3, 6, 9, 18
30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Divisores comunes: 1, 2, 3, 6
El mayor es el MCD
Así: MCD (18,30) = 6
MÍNIMO COMUN MÚLTIPLO (MCM)
Es el menor de todos los múltiplos
comunes.
* Ejm.: Hallar el MCM de 12 y 8.
12 12, 24, 36, 48, 60, 72, .....
8  8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, .....
Múltiplos comunes: 24, 48, .....
El menor es el MCM, así: MCM (12,8) = 24
DETERMINACIÓN DEL MCD Y MCM
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
1. Por descomposición canónica:
Ejm.: Dados
Así:
A = 24 . 35 . 52 . 7 . 13
B = 22 . 3 . 72 . 13 . 17
*
MCD:
*
MCM: Factores comunes y no comunes:
Al mayor exponente
Así:
Factores comunes:
Al menor exponente
MCD (A,B) = 22 . 3 . 7 . 13
MCM (A,B) = 24 . 35 . 52 . 72 . 13 . 17
2. Por Descomposición Simultánea:
Ejm.: Hallar el MCD y MCM de 360 y 480
*
*
MCD: Factores comunes
MCM: Total de Factores
Para MCM seguimos descomponiendo
360 - 480 2
2
2
3
5
3 4 3
1 4 2
1 2 2
1 1
Todos los factores
5
2
MCM = 2 . 3 . 5
PROPIEDADES
1. Si "A" y "B" son PESI:
MCD (A,B) = 1
MCM (A,B) = A.B
2. Dado: MCD (A,B,C) = d
 MCD (A.n, B.n, C.n) = d.n
Así mismo: MCM (A, B, C) = m
 MCM (A.n, B.n, C.n) = m.n
3. Si: MCD (A,B,C) = d
4. Sólo para dos números:
3.1 A = d, B = d, C = d
A  p; B  q; C  r
d
d
3.2 d
MCD (A,B) = d
Siendo: "p", "q" y "r" PESI
A.B = MCD . MCM = d.m
MCM (A,B) = m
Así mismo:
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
ACTIVIDAD EN AULA
1. Un cerrajero cuenta las llaves que tiene por
docenas, por decenas y de 15 en 15 y en cada
caso le sobran siempre 9. Si el número de
llaves es un número comprendido entre 500 y
600, hallar el número de llaves.
a) 599
d) 539
b) 582
e) 579
c) 549
2. ¿Cuál es el menor número múltiplo de 7, que
deja residuo igual a la unidad al dividirse por 3
ú 11?
a) 267
d) 133
b) 231
e) 67
b) 20 y 81
d) 36 y 45
4. La suma de dos números es 180 y su MCM es
280. Hallar la diferencia de los números.
a) 30
d) 100
b) 240
e) 30
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
6. El cociente de dos números es 13 y su MCM
es 312. Hallar la suma de dichos números.
a) 346
d) 356
b) 354
e) 332
c) 336
c) 168
3. El producto y el cociente del MCM y MCD de
dos números son respectivamente 1620 y 45.
¿Cuáles son dichos números, sabiendo
además que son menores de 100?
a) 27 y 60
c) 18 y 30
e) 30 y 54
5. Hallar dos números primos entre sí, que se
diferencian en 7 unidades y que además su
MCM es 330. Dar como respuesta la suma de
cifras del menor de dichos números.
c) 22
7. Un terreno de forma rectangular de 952m de
largo y 544m de ancho, se le quiere cercar con
alambre sujeto a postes equidistantes de 30 a
40m y que se coloca un poste en cada vértice y
otro en el punto medio de los lados del
rectángulo. ¿Determinar cuántos postes se van
a utilizar?
a) 80
d) 96
c) 88
8. Hallar dos números mayores que 150, si su
suma es 8 veces su MCD y su producto 840
veces su MCD. Dar como respuesta el número
mayor.
a) 240
d) 280
Sub – Área: Aritmética
b) 72
e) 108
b) 260
e) 840
c) 220
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Hallar los cocientes obtenidos al calcular el
MCD, por el algoritmo de Eúclides, de los
números 925 y 592.
a) 1, 1, 3, 2
c) 1, 1, 3, 3, 2
e) 1, 1, 1, 1, 3
b)1, 1, 1, 3, 2
d)1, 1, 2, 2, 3
2. Hallar el MCD de "A", "B", "C", siendo:
A = 202 × 153
B = 123 × 102
C = 182 × 213 × 114
a) 54
d) 27
b) 216
e) 432
c) 108
3. El producto de dos números es 11232, si el
MCM de estos es 624, hallar el MCD.
a) 12
d) 20
b) 18
e) 24
c) 15
b) 15
e) 6
a) 154
d) 96
c) 18
a) 59
d) 2519
c) 308
b) 419
e) 3139
c) 1259
7. Tres reglas de 2400mm cada una, están
divididas en 300; 200 y 96 partes
respectivamente. Se hace coincidir los
extremos de las tres reglas. ¿En cuántas
divisiones, además de los extremos coinciden?
b) 2
e) 5
c) 3
8. Hallar "n" en los números:
A = 45.60n y
B = 60.45n
para que se cumpla:
MCM(A,B) = 12 . MCD(A,B)
a) 1
d) 4
Sub – Área: Aritmética
b) 78
e) 201
6. Un número al dividirlo por 10 da un residuo 9;
cuando se divide por 9 da un residuo 8, cuando
se divide por 8 da un residuo 7, etc y cuando
se divide por 2 da un residuo 1. El menor
número es:
a) 1
d) 4
4. El número de divisores comunes de los
números 2304 y 1080 es:
a) 12
d) 20
5. La suma de los residuos que se obtienen al
calcular el MCD de 1050 y 238 por divisiones
sucesivas es:
b) 2
e) 5
c) 3
4º Secundaria
•
CONCEPTO
fA
B , donde "A" y" B" son números enteros, con A  mB y con
Son aquellos números de la forma:
B 0.
u
m
e
r
a
d
o
r
An
f
=
d
e
n
o
m
i
n
a
d
o
r
B
•
FRACCIÓN IRREDUCTIBLE (fi)
Resulta cuando sus términos numerador y denominador son primos entre sí. Para hallar una "f i" a
otra, basta dividir a ambos términos de la fracción original entre su MCD.
Ejemplos:
3 ; 9 ; 13 ; 103
4 2 27 104
•
FRACCIÓN EQUIVALENTE (fe)
Una fracción es equivalente a otra, cuando tienen distinta representación (distinta escritura), pero
tienen el mismo valor.
Ejemplo:
24   40   90   .........
36
60
135
Para hallar una "fe" a otra, basta multiplicar a ambos términos de su "f i" por un mismo número
entero (diferente de cero).
* Ejemplo:
sea la fracción:
f  240
360
entonces su:
240
fi  120 (120  MCD (240 y 360))
360
120
fi  2  f e  2K K Z (K  0)
3
3K
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
f e : 2   4   6   8   ....
3
6
9
12
•
FRACCIÓN PROPIA (f < 1)
Es aquella fracción donde su numerador es menor que el denominador.
Ejemplo:
3 ; 18 ; 140
4 27 201
•
FRACCIÓN IMPROPIA (f > 1)
Es aquella fracción donde el numerador es mayor que el denominador.
*
Ejemplo:
8 ; 27 ; 546
5 11 271
Su forma mixta:
8 1 3 ;
5 5
27  2 5 ;
11
11
N a  Nb  a
b
b
CONVERSIÓN DE FRACCIÓN DECIMAL A FRACCIÓN GENERATRIZ
1. DECIMAL EXACTO:
a
b
0
,a
b
=
1
0
0
T
a
n
t
o
sc
e
r
o
sc
o
m
o
c
ifr
a
s
d
e
c
im
a
le
se
x
is
t
a
n
*
Ejemplo:
0,23  23 ; 0,003  3
100
1000
2. DECIMAL PERIÓDICO PURO:
{
a
b
0
,
a
b
=
9
9
T
a
n
t
o
sn
u
e
v
e
sc
o
m
o
c
if
r
a
s
e
n
e
lp
e
r
io
d
o
h
a
y
*
Ejemplo:
2
6
2
0
,
2
=
;
0
,
0
6
=
=
9
9
9
3
3
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
3. DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:
a
b
c
-a
0
,
a
b
c
=
9
9
0
"Dos nueves, porque hay dos cifras en el periodo y un cero porque hay una cifra después de la
coma".
Ejercicios
1. Expresar en fracción los siguientes decimales:
a. 0,08
c. 0,051111 .......
b. 0,323232 .........
d. 8,444 .........
2. Efectuar:
a. 0,3 + 0,333 ........ + 0,122 .........
b. 0,8787 .......... + 1,2121 ............
c. 1,52 + 0,7272 ............ + 3,444 .......
3. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones e indicar la que ocupa el segundo lugar:
25 ; 37 ; 28 ; 19 ; 13
4
8
12
9
6
4. Ordenar de mayor a menor e indicar la que ocupa el tercer lugar:
7 ; 9 ; 13 ; 15
8 11 15 17
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
ACTIVIDAD EN AULA
1. Hallar "n" en:
1 
1 
1
1


 1  1  1 .........  1   0, a5b
3 
4 
5

 n
a) 27
d) 333
b) 37
e) 57
b) 16
e) 10
a) 14
d) 15
c) 15
3,666....... )2
es igual a:
a) 8,21
d) 8,26
b)8,22
e)N.A.
c) 8,24
4. Al dividir un terreno en dos partes, resulta que
los 2/5 de la primera parte miden lo mismo que
los 3/7 de la segunda. Si el terreno mide
5800m2, ¿cuánto mide la parte mayor?
a) 3000m2
d) 3900
b)3750
e)3025
Sub – Área: Aritmética
b)16
e)10
c) 18
6. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de
denominador 420 existen?
3. La expresión:
( 0,91666 ..... 
1
1
1
1


 ..... 
 0,15
x1 x 2 x 3
xm
c) 111
2. Hallar "a + b + c" si:
a) 25
d) 12
5. Para x1 = 30; x2 = 42; x3 = 56, etc. Encontrar
un entero positivo "m" tal que:
c) 3100
a) 144
d) 84
b)96
e)36
c) 72
7. En un cajón hay cierta cantidad de dinero.
Un niño retira S/.5 y enseguida su hermano
retira 1/3 del resto; el otro hermano la mitad
de lo que había y finalmente el mayor se
llevó 2/9 de lo que aún había. Determinar
cuánto había en el cajón inicialmente, si el
padre de ellos encontró solamente S/.35.
a) S/.120
d) 125
b)130
e)150
c) 140
8. Después de haber perdido sucesivamente los
3/8 de su herencia, 1/9 del resto y los 5/12 del
nuevo resto. Una persona hereda 60800 soles
y de este modo la pérdida se halla reducida a
la mitad de la herencia primitiva. ¿Cuál era
aquella fortuna?
a) 343400
c) 345600
e) 346800
b)344500
d)346700
4º Secundaria
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. ¿Cuánto le falta a la fracción decimal periódica
0,8787....... para ser igual a la fracción
periódica 1,2121......?
5. Hallar el valor de "M"
a) 0,333....
c) 0,1515.....
e) 0,555.....
b) 0,666....
d) 0,444.....
M
2. ¿Cuál es el cociente de dividir las fracciones
decimales periódicas:
1,0303.... entre 0,555.......?
102
a) 55
56
d) 55
34
b) 55
102
c) 37
1 2
1
2
1




 .......
3
4
6
5 5
5
5
57
7
a) 24
27
d) 121
13
24
b)
c)
17
24
37
e) 121
6. Hallar la suma de los términos de la fracción
equivalente a 126/72, tal que la diferencia de
sus términos sea el menor número capicúa
posible de dos cifras.
28
e) 55
a) 143
d) 242
3. Simplificar:
b)121
e)154
c) 99
2
72 
1
a) 5
1
b) 6
1
d) 8
1
e) 9
a
7
8;
b
50 
8
1 
1 
1 
1 
1

 1  1  1  1 .....  1 
3 
4 
5 
6 
n

1
c) 7
se obtiene:
9
17
c
11 y
19 . ¿En qué
4. Si:
orden deberán estar escritas las fracciones
para que aparezcan ordenadas de menor a
mayor?
a) b, a, c
d) a, c, b
b)a, b, c
e)c, b, a
Sub – Área: Aritmética
7. Al simplificar el producto:
c) c, a, b
1
a) n
2
b) n
2(n  1)
n
c)
2
e) n(n  1)
2
d) n(n  1)
N
 0, a(a  1)(a  2)
4. Si: 125
hallar "N + a"
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
d) 59
a) 57
b)61
e)62
c) 60
RAZÓN
Es el resultado de comparar dos cantidades; puede ser de dos clases:
RAZÓN ARITMÉTICA
Cuando se compara mediante la diferencia.
Ejemplo:
Si tenemos:
H  45 hombres
hom
bres
mujeres
bres
 45


  30
15
hom





 
M  30 mujeres  ANTECEDENTE
RAZON
CONSECUENTE
Observación:
Las unidades de la razón son las unidades del antecedente en general:
RAZÓN GEOMÉTRICA
Cuando la comparación es mediante el cociente
Ejemplo:
ANTECEDENTE



H  45 hom bres H 45 hom bres 3


(RAZON)

M  30 mujeres  M
30
mujeres
2




CONSECUENTE
Observación:
Cuando nos digan: dos cantidades son entre sí como 3 es a 2, podremos plantear:
En general:
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
PROPORCIÓN
Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases:
a) PROPORCIÓN ARITMÉTICA (Equi - diferencia)
Propiedad: Suma de Extremos = Suma de Medios  a + d = b + c
b) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (Equi - cociente)
"El producto de extremos es igual al producto de medios"
Observación: La proporción geométrica también se acostumbra representar como:
CLASES DE PROPORCIONES
I.
DISCRETAS: Si sus cuatro términos son diferentes entre sí
a) Aritméticas discretas
Al último término se le llama cuarta diferencial
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
b) Geométricas discretas
Al último término se le llama cuarta proporcional
II. CONTÍNUAS: Si sus términos medios son iguales
a) Aritméticas contínuas
 b
ac
2
A cada término igual (b) se le llama media diferencial o media aritmética y a cada término
distinto se le llama tercera diferencial
b) Geométricas contínuas
 b  ad
A cada término igual (b) se le llama media proporcional o media geométrica y a cada término
distinto se le llama tercera proporcional.
PROPIEDADES
Propiedades de la Proporción Geométrica
1. a . d = b . c
2.
a b cd

b
d
3.
a b cd
a
c

o

b
d
a+ b c  d
4.
a b cd
a b cd

o

a b cd
a b cd
5.
a c a c
 
bd b d
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
an
6.
 n
d
bn
n
7.
cn
n
c

n
b nd
a
Aplicación:
Dos números están en la razón de 4 a 7. Si su diferencia es 51. Hallar su suma
a 4
ab 47
 

b 7
ba 74
[Pr opiedad 4 ]
a  b 11

51
3
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Concepto:
Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor.
a1 a 2 a 3
a


.................  n  K    RAZON
b1 b2 b3
bn
Propiedades:
1°)
El talento sirve
para comprender
las cosas, y el
juicio para hacer
bueno uso de ellas.
2°)
EJERCICIOS
1. Hallar la razón aritmética de los siguientes números:
a) 152 y 89
...............................
b) 3,15 y 1,27
2
1
5
y 2
5
c) 3
...............................
...............................
2. Hallar la razón geométrica de los siguientes números:
a) 18 y 27
b)
75 y
...............................
108
Sub – Área: Aritmética
...............................
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
3
c)
1
2
y 5
2
3
...............................
ACTIVIDAD EN AULA
1. La suma de dos números es 255 y su razón
4/11. Hallar el número mayor.
a) 177
b)187
c) 152
d) 63
e)96
2. La razón aritmética de las edades de dos
hermanos es 9 años. Si la suma de sus edades
es 37 años. Hallar la edad del mayor dentro de
5 años.
a) 23
b)25
c) 28
d) 29
e)30
3. Dos números son entre sí como 4 es a 7, si su
razón aritmética es 78, hallar su suma.
a) 1886
b)306
c) 428
d) 156
e)286
4. La razón de dos números es 3/5 y su suma
1216. Hallar el número menor.
a) 318
b)456
c) 528
d) 619
e)708
5. Dos números están en la relación de 2 a 5;
pero si añadimos 18 a cada uno de ellos, su
nueva relación será de 5 a 8. Hallar el mayor
de los números.
a) 42
b)24
c) 27
d) 36
e)30
6. Las edades de Antonio y Bernardo están en la
razón de 5 a 3. Las edades de Bernardo y
César están en la razón de 4 a 7. Si la suma de
las tres edades es 159 años. Hallar la edad de
César.
a) 63
b)45
c) 36
d) 60
e)75
7. El número de niñas y niños en una fiesta
infantil están en la relación de 3 a 5; si al cabo
de tres horas, llegan 8 parejas y 4 niñas, la
nueva relación sería de 8 a 13. Hallar el
número de asistentes.
a) 80
b)84
c) 110
d) 121
e)91
8. Miguel ordena a su empleado a preparar vino
mezclándolo con agua en la proporción de 4 a
1. Ella por equivocación mezcló el vino con el
agua en la proporción de 2 a 1, hasta obtener
36 litros de mezcla. Para subsanar el error,
¿qué cantidad de vino puro debió agregar
Miguel?
a) 20 litros
b)24
c) 28
d) 36
e)N.A.
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Hallar la cuarta proporcional de 6; 15 y 10
a) 36
b)25
c) 30
d) 40
e)15
2. Hallar la tercera proporcional de 9 y 12
a) 16
b)20
c) 24
d) 25
e)32
a) b
d) a2
b)2b
e)ab
c) b2
4. Si la tercera proporcional de 9 y a es 25. Hallar
la cuarta proporcional de: a; 35 y 12
a) 21
b)16
c) 15
d) 28
e)72
3. Hallar la cuarta proporcional de: a; a.b y b
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
5. En una proporción geométrica continua la
suma de los extremos es 58 y la diferencia de
ellos es 40. Hallar la media proporcional.
a) 20
b)25
c) 27
d) 36
e)21
7. En una proporción geométrica continua la
suma de los extremos es 348. Hallar la suma
de los cuatro términos si la razón es 2/5.
a) 572
b)588
c) 539
d) 428
e)624
6. En una proporción geométrica continua el
producto de los 4 términos es 50625. Hallar la
media proporcional.
a) 12
b)15
c) 18
d) 20
e)25
8. La suma de 3 números es 335. La razón entre
el primer y segundo número es 3/7 y la
diferencia de los mismos es 148. Hallar el
tercer número.
a) 65
b)72
c) 69
d) 85
e)49
ACTIVIDAD EN AULA
1. Dos
números
cuya
proporcionales a
diferencia.
a) 90
d) 120
b) 105
e) 180
suma
72 y
es
210,
son
450 . Hallar su
c) 150
2. La razón de dos números es 3/5 y los 2/7 de su
producto es 840. Hallar la diferencia de los
números.
a) 12
d) 30
b) 14
e) 34
c) 28
3. En una urna se tiene cierto número de bolas
blancas y rojas y se observa que por cada 3
blancas hay 5 rojas. Si se retiran 6 bolas
blancas y 12 rojas, ahora se encontrará 5 bolas
blancas por cada 8 rojas. ¿Cuántas bolas en
total había inicialmente?
a) 50
d) 84
b) 72
e) 96
b) 45
e) 89
b) 22
e) 30
c) 20
6. Si:
A B C D
   k
a b c d
y
ABCD
 625
abcd
Hallar:
E
a) 5
d) 540
y
a . b + c . d = 396
Hallar: "a + b + c + d"
a) 40
d) 72
a) 28
d) 25
A20  B20  C20  D20
a20  b20  c20  d20
c) 76
4. Sabiendo que:
a b c d
  
3 8 4 5
5. Calcular la suma de los términos enteros de
una proporción continúa, conociendo que la
suma de los 2 primeros términos es 15 y la
suma del primer y último término es 13.
c) 60
Sub – Área: Aritmética
b)
e)
52
510
c) 520
7. Si:
A B C D
  
a b c d
........(1)
A + B + C + D = 12 ....... (2)
a + b + c + d = 75 ....... (3)
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
Hallar:
M  A.a  B.b  C.c  D.d
a) 50
d) 20
b) 40
e) 25
c) 30
8. En una serie de cuatro razones geométricas
continuas e iguales, la suma del primer y
cuarto antecedente es 112. Si el producto de
las cuatro razones es 1/81. Hallar la suma de
sus consecuentes.
a) 420
d) 720
b) 480
e) 1080
c) 360
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. El radio de la luna es los
terrestre y el diámetro de
diámetros terrestres. ¿Cuál
geométrica entre los radios
Júpiter?
a) 1/13
d) 1/143
b) 1/39
e) 1/27
3/11 del radio
Júpiter es 39
es la razón
de la Luna y
c) 1/45
a) S/.6
d) S/.9
2. El producto de los términos de una proporción
continúa es 20736, Hallar la suma de los
términos medios.
a) 18
d) 36
b) 24
e) 38
5. Lo que cobra y gasta diariamente José Antonio
suman 72 soles. Lo que gasta y cobra están en
la relación de 3 a 5. ¿En cuánto debe disminuir
el gasto diario, para que dicha relación sea de
4 a 9?
c) 28
a) 204
d) 180
b) 216
e) 108
c) 132
a) 6
d) 10
b) 8
e) 12
b) 90
e) 64
c) 84
7. En una
serie de razones iguales los
consecuentes son 5; 6 y 9 y la suma de los
cuadrados de los antecedentes es 3550. Hallar
la diferencia entre el mayor y menor
antecedente.
a) 10
d) 25
4. La suma de los cuatro términos de una
proporción es 65, cada uno de los tres últimos
términos es los 2/3 del anterior. ¿Cuál es el
último término?
b) S/.8
6. La diferencia entre el mayor y menor término
de una proporción geométrica continúa es 16.
Si la suma de los extremos es 30. Hallar la
suma de los cuatro términos.
a) 108
d) 72
3. El producto de los cuatro términos de una
proporción geométrica es 50625. Sabiendo que
los medios son iguales y que uno de los
extremos es 75. Hallar la suma de los cuatro
términos de la proporción.
b) S/.7
e) S/.12
b) 15
e) 30
c) 20
8. La suma, la diferencia y el producto de dos
números están en la misma relación que los
números 7; 3 y 60. Hallar los números.
c) 9
Sub – Área: Aritmética
a) 30 y 14
c) 25 y 17
e) 24 y 10
b) 28 y 12
d) 30 y 12
Las Matemáticas no son un
4º Secundaria
recorrido prudente por una
autopista despejada, sino un
CONCEPTO
Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad representativa de otras varias cantidades.
Este promedio es mayor que la menor cantidad y es menor que la cantidad mayor.
Sean los números:
a1 < a2 < a3 < ......... < an
Entonces: a1 < promedio < an
CLASES DE PROMEDIOS
1. PROMEDIO ARITMÉTICO (P.A.)
Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a1, a2, a3, ............ an el promedio aritmético de ellos
será.
............ (1)
Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B al promedio aritmético, se le denomina también media
aritmética (M.A).
Ejemplo:
Un alumno ha obtenido las siguientes notas en un curso: 12, 14, 10, 13, 11.
¿Cuál es su promedio de notas?
P. A.
12  14  10  13  11
 12
5
1.1 PROMEDIO PONDERADO
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
Se utiliza cuando los datos son presentados de manera grupal, conociéndose de cada grupo el
número de elementos(n) y el promedio aritmético (P).
............ (2)
Ejemplo:
En un salón de clases de 30 alumnos la nota promedio de aritmética es 13, en otro salón de 20
alumnos la nota promedio del mismo curso es 15. ¿Cuál será la nota promedio de los 50
alumnos?.
Solución:
Salón 1 Salón 2
n = 30 n = 20
P = 13 P = 15
Luego:
P
P
n 1p 1  n 2 p 2
n1  n 2
(30)(13)  20(15) 690

30  20
50
P = 13,8
Entonces el promedio ponderado o total es de 13,8.
*
Observación: El promedio ponderado de estas dos clases no se calcula sumando el promedio 13 de
una y 15 de la otra y entre dos.
P
13  15
 14
2
Cuyo resultado sería erróneo, porque también influye el número de alumnos por clase.
2. PROMEDIO GEOMÉTRICO (P.G.)
Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son:
a1, a2, a3, .......an
El promedio geométrico de ellos será igual a:
P. G. n PRODUCTO DE CANTIDADES
P. G.  n a1. a 2 . a 3 ........ an
............ (3)
Nota:
Si tenemos sólo dos cantidades A y B, al promedio geométrico se le denomina también media
geométrica (M.G.).
M. G.( A,B)  A.B
Ejemplo: Hallar el promedio geométrico de 4; 6 y 9
P. G.  3 4.6.9  3 216
P.G. = 6
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
3. PROMEDIO ARMÓNICO (P.H.)
Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a1, a2, a3, ......., an, el promedio armónico de ellos
será igual a:
N DE CANTIDADES
P.H.
SUMA DE INVERSAS
n
1
1
1

.......
a1 a2
an
P.H. 
............ (4)
Nota: Para dos cantidades A y B se le denominará media armónica (M.H.)
Ejemplo: Hallar el promedio armónico de 4; 6; 9.
3
1
1
1


a1 a2 a3
3
108
P.H.

1 1 1
19
 
4 6 9
P.H.
P.H. 5
13
19
Propiedades:
1. Si tenemos cantidades diferentes se cumplirá.
P.A. > P.G. > P.H.
2. Para dos números A y B se cumple:
M. A.( A,B) 
A B
(MAYOR PROMEDIO)
2
M. G.( A,B)  A.B
M.H.( A,B) 
2AB
(MENOR PROMEDIO)
A B
(M.G.)2  (M. A.).(M.H.)
3. Si tenemos cantidades iguales se cumple que:
P.A., P.G. y P.H. son iguales
Por ejemplo:
P. A.(k;k;k) 
k  k  k 3k

k
3
3
P. G.(k;k;k)  3 k.k.k 
P.H.(k,k,k) 
Sub – Área: Aritmética
3
k3  k
3
3

k
1 1 1
3
 
k k k
k
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
Luego: P.A. = P.G. = P.H. = k
ACTIVIDAD EN AULA
1. En un aula del primer ciclo de la universidad
"SAN MARTIN" hay 30 alumnos varones con
una edad promedio de 20 años y 20 alumnas
que en promedio son 10% más jóvenes. Hallar
la edad promedio de toda el aula .
a) 19, 20
c) 19, 60
e) 18, 60
a) 60 años
d) 65
b)19, 40
d)18, 80
2. El promedio de las edades de 5 personas es
23 años. Si consideramos una sexta persona;
el promedio disminuye en medio año, ¿cuál es
la edad de la sexta persona?
a) 20 años
d) 23
b)21
e)18
c) 22
3. En una partida de poker el promedio de edad
de los 4 jugadores participantes es 28 años. Si
ninguno es menor de 24 años, ¿cuál es la
máxima edad que podría tener uno de ellos?
a) 36 años
d) 42
b)38
e)44
b)6
e)10
Sub – Área: Aritmética
b)62
e)70
c) 63
6. El promedio geométrico de 20 números es 36 y
de otros 30 números es 12. Hallar el promedio
geométrico de todos los números.
5
a) 10 9
3
b) 10 9
5
c) 12 4
3
d) 12 9
5
e) 12 9
c) 40
4. Si la media aritmética de dos números es 36 y
su media geométrica es 12. Hallar su media
armónica.
a) 4
d) 9
5. En un equipo de fulbito de masters, la edad
promedio es de 42 años. Si ninguno de ellos
tiene menos de 38 años, ¿cuál es la máxima
edad que podría tener uno de ellos, siendo el
número de jugadores seis?
c) 8
7. Determinar el valor del promedio armónico de 3
cantidades sabiendo que la media geométrica
de la primera y la segunda es 4, de la segunda
y la tercera es 5 y de la primera y la tercera es
9.
4
a)
2
3
2
5
d) 3
4
b)
26
61
5
c)
13
61
13
5
e) 31
4º Secundaria
8. Un ciclista recorre una cierta distancia durante
6 horas, si las dos primeras horas lleva una
velocidad de 40km/h; las siguientes dos horas
30km/h y el último tramo a razón de 26km/h.
¿Cuál es su velocidad promedio para todo su
recorrido?
a) 28km/h
d) 32
b)25
e)30
c) 35
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. La edad promedio de 4 hombres es 25 años y
la de 6 mujeres es 20 años. Hallar el promedio
de edad de todas las personas.
a) 21
d) 24
b)22
e)25
c) 23
2. La media aritmética de dos números es 22. Si
su razón aritmética es 12, hallar la media
geométrica de los números.
a) 8
d) 47
b)83
e)23
c) 87
3. El promedio de las cuatro primeras prácticas
de matemáticas de un alumno es 12,75. Si en
la quinta obtuvo 15, ¿cuál es su nuevo
promedio?
a) 13,87
d) 13,20
b)13,65
e)14,20
c) 13,50
4. La media aritmética de dos números, que son
entre si como 2 es a 3, es 65. Hallar su media
armónica.
a) 46
d) 48
b)52
e)54
b)36
e)N.A.
c) 32
6. Un ciclista va de Lima a Chosica con una
velocidad constante de 40km/h y regresa con
una velocidad constante de 32km/h. ¿Cuál es
su velocidad promedio para todo su recorrido?


e
 VPROMEDIO  TOTAL 
t TOTAL 

a) 35km/h
d) 36
b)35,2
e)38
c) 35,5
7. En un concurso de tiro, el jugador A realizó 40
tiros con un puntaje promedio de 540 puntos, el
jugador B realizó 50 tiros con un puntaje
promedio de 580 puntos y por último el
jugador C realizó 30 tiros con un promedio de
570 puntos. ¿Cuál es el puntaje promedio de
los 3 jugadores?
a) 572,18
d) 570,2
b)568,12
e)564,16
c) 563,3
c) 72
5. El promedio aritmético de las edades de 12
personas es 29 años, si se retiran 4, el
promedio de las que quedan es 25 años. Hallar
el promedio de las 4 personas que se retiraron.
Sub – Área: Aritmética
a) 37 años
d) 30
8. La media geométrica de dos números es 4 y la
media armónica de los mismos es 1
¿Cuáles son los números?
a) 14 y 2
b)16 y 1
15
17
,
c) 2 y 8
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
d) 10 y 6
e)2 y 10
MAGNITUD
Es todo aquello que puede ser medido, ejemplos el área de un terreno, la edad de una persona, etc.
Magnitudes Proporcionales: Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, es
decir, si una de ellas varía, la otra también varía.
CLASES DE MAGNITUDES
1. Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.)
Simplemente proporcionales. Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (D.P.),
cuando el cociente entre sus valores correspondientes es una constante.
Es decir:
A D.P. B 
A
 K (constante)
B
también: A = KB
Se lee "A" es directamente proporcional a "B".
Esto significa que cuando A se duplica, triplica, cuadruplica, etc.; B también se duplica, triplica,
cuadruplica, etc.
Ejemplo: Si dos cuadernos cuestan S/.6,00 entonces seis cuadernos costarán:
Como el número de cuadernos se ha triplicado, también el costo se triplicará es decir 3 x S/.6 =
S/.18.
Podemos llenar un cuadro con algunos datos:
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
Del cuadro observamos que si dividimos el costo entre el número de cuadernos se obtiene una
cantidad constante.
Gráficamente:
Esta gráfica nos indica que a medida que B (N° cuadernos) aumenta, también A (costo) aumenta, o
si B disminuye también A disminuye.
2. Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P.)
Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores
correspondientes es una constante es decir:
A I.P. B. A.  B. = K (constante) ó
K
A
B
Se lee "A es inversamente proporcional a B" esto significa que al duplicarse A, B se reduce a su
mitad; si A se cuadriplica, B se reduce a su cuarta parte, etc.
Ejemplo: Un móvil al recorrer un tramo con una velocidad de 20km/h se demoró 8h, si duplica su
velocidad entonces se demorará:
Como duplica su velocidad se demorará menos tiempo en recorrer el mismo tramo específicamente
la mitad del tiempo, es decir 8h/2 = 4h.
Podemos llenar un cuadro con algunos datos:
Del cuadro observamos que si multiplicamos la velocidad por el tiempo se obtienen siempre, para
este cuadro, 160, una cantidad constante.
Gráficamente:
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
PROPIEDADES
1. Si:
2. Si:
3. Si: A D.P. B  A = KB
................. (1)
B D.P. C²  B = K1C²
............... (2)
Note que en la relación (2) la constante es diferente, por que son magnitudes diferentes.
(2) en (1)
A = KB
A = K(K1C²)
A = K2C² }  A D.P. C²
"k.k1 = k2" el producto de dos constantes me da una nueva constante".
ACTIVIDAD EN AULA
1. La potencia de un motor es directamente
proporcional a la capacidad del motor e
inversa-mente proporcional a los años de
trabajo. Si un motor de 2,5 litros de capacidad
y 5 años de uso tiene una potencia de 10HP.
Hallar la capacidad de otro motor que tiene 6
años de antigüedad y 15HP de potencia
a) 4 litros
d) 5
b)4,5
e)N.A.
b)5
e)1
b) $4500
d) $8000
4. El precio de una obra de arte es D.P. a su
antigüedad e I.P. al cuadrado de su tamaño. Si
una obra de arte cuesta $4500 y tiene una
Sub – Área: Aritmética
b) $4250
d) $3600
5. A es D.P. al cubo de V e I.P. al cuadrado de M.
Cuando V=10 y M=6 entonces A=500. Hallar A
cuando V=8 y M=12.
c) 4
3. El precio de un diamante es D.P. al cuadrado
de su peso. Si un diamante que pesa 80
gramos cuesta $3200. ¿Cuánto costará otro
diamante de 100 gramos de peso.
a) $4000
c) $5000
e) $10000
a) $3750
c) $3000
e) $4200
c) 3,5
2. El número de días que demora la construcción
de un muro es I.P., al número de obreros que
laboran. Si 12 obreros se demoraron 5 días en
construir un muro; entonces 10 obreros
cuántos días más emplearán en construir el
mismo muro.
a) 6 días
d) 2
antigüedad de 120 años. ¿Cuánto costará otra
obra de arte similar de 50 años de antigüedad
y de la mitad de tamaño que la anterior?
a) 32
d) 72
b)48
e)108
c) 64
6. El espacio recorrido (E) por un cuerpo en caída
libre es directa-mente proporcional al cuadrado
del tiempo (T) que demora en recorrerlo. Si un
objeto soltado recorre 18m en 1,5 segundos.
Hallar la altura de un edificio, si una piedra
soltada desde su azotea demoró 4 segundos
en llegar al primer piso.
a) 120m
d) 108
b)144
e)128
c) 150
4º Secundaria
7. Si la magnitud F es D.P. al cubo de T.
Completar el siguiente cuadro y dar "m + p"
a) 325
d) 145
b)165
e)75
c) 185
8. En una empresa tienen el siguiente criterio
para fijar el sueldo de un empleado: el sueldo
es D.P. al cuadrado de la edad y a los años de
servicio. Si Juan que tiene 30 años de edad y
la sexta parte de su edad trabajando en la
empresa, tiene un sueldo de 3600 soles. ¿Cuál
será la edad de Carlos si entró un año después
de Juan y gana 3920 soles?
a) 32 años
d) 35
b)33
e)40
c) 34
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Si A es directamente proporcional a B y cuando
A=320, entonces B=360. Hallar A cuando B es
igual a 144.
a) 10
d) 16
b)12
e)20
b)70
e)90
c) 75
3. P varia inversamente proporcional a T cuando
P = 125, entonces T = 48. Hallar T, cuando P =
300
a) 25
d) 40
b)20
e)45
c) 30
4. Se sabe que M varia directamente proporcional
al cuadrado de R, e inversamente al cubo de
S. ¿Cuál expresión representa la relación entre
las tres magnitudes? (K = cte de
proporcionalidad)
M
2
a) R S
K
3
K
c) S
e) MS2 = KR3
MS3
2
d) R
K
c) 14
2. La energía cinética (E) de un automóvil es
directamente proporcional al cuadrado de su
velocidad (V); si un automóvil que lleva una
velocidad de 50km/h posee una energía de
35000 joules. ¿Cuál será la velocidad del
mismo automóvil cuando tenga una energía
cinética de 50400 joules?
a) 60km/h
d) 80
MR2
M
2 3
b) R S
K
5. Se tiene las magnitudes P, Q y R. Si P es D.P
al cuadrado de Q y R es I.P. a Q. ¿Cuál es la
expresión que nos representaría la relación
entre P y R (K= constante de proporcionalidad)
a)
b)
c)
d)
e)
PR = K
P = KR
P2R = K
P.R2 = K
P = KR2
3
P . Cuando M=10 y
6. R es D.P. a M2 e I.P. a
P = 8000, entonces R=50. Hallar R, cuando M
aumenta en su 20% y P se reduce en 7000
a) 120
d) 90
c) 72
7. La velocidad de un automóvil es D.P a la
potencia del motor e I.P. al cuadrado del
número de personas que viajan en él . Si un
automóvil que tiene una potencia de 20HP y
lleva 2 personas desarrolla una velocidad de
60km/h. ¿Qué potencia tendrá otro automóvil
similar que lleva 4 personas a una velocidad
de 45km/h?
a) 50HP
Sub – Área: Aritmética
b)144
e)80
b)55
c) 80
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
d) 60
e)100
4. La velocidad del agua que atraviesa una
tubería es inversamente proporcional a la
sección recta de la misma y directamente
proporcional al volumen de agua. Si por una
tubería de 20cm2 de sección recta circulan
120m3 a razón 15m/s. ¿Cuál será la sección
de otra tubería por donde circulan 300m3 a
razón de 20m/s?
a) 40cm2
d) 22,5
b)32,5
e)37,5
c) 30
Este capítulo estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o
inversamente proporcional a ciertos valores que se llaman "índices" de proporcionalidad.
Se estudia en el capítulo:
1. Reparto simple
2. Reparto compuesto
3. Regla de Compañía
1. REPARTO SIMPLE
En este caso el reparto puede ser directo o inverso.
A. REPARTO DIRECTO:
Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad.
Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:
1. Se suman los índices
2. Se divide la cantidad dada entre dicha suma, siendo el cociente la "constante" de
proporcionalidad (K)
3. Las partes se obtienen multiplicando cada "índice" por la "constante".
Ejemplo: Repartir a 750 en forma D.P. a 6; 7 y 12.
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
PROPIEDAD
Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número,
entonces el reparto no se altera.
Ejemplo:
En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6,7 y 12 se obtuvieron como resultados: 180,
210 y 360 ................... pero ...... ¿Qué pasaría si se reparte la misma cantidad D.P. a 6x2; 7x2;
y 12x2? .... Veamos ......
O sea, que si todos los índices se multiplican por un mismo número, el reparto no se altera.
B. REPARTO INVERSO:
Se hace en forma I.P. a los índices, para ello se invierten los índices y luego se efectúan en reparto
directo, como ya se conoce.
Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2; 3; 6 y 10.
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
2. REPARTO COMPUESTO
En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma
I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera:
1. Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices)
2. Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P.
3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices.
Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.
ACTIVIDAD EN AULA
1. Al repartir N I.P. a 39, 311 y 312, se obtuvo que
la menor parte fue 75. Hallar "N".
a) 3250
d) 5150
b)2840
e)2325
c) 2400
2. Al repartir N en partes que sean proporcionales
a los cuadrados de 0,5; 0,25 y 0,1 se obtuvo
que la cantidad mayor fue 4200. Hallar la suma
de cifras de N.
Sub – Área: Aritmética
a) 12
d) 18
b)15
e)21
c) 17
3. Repartir 1320 en forma D.P. a los números 4; 5
y 10 y a su vez I.P. a 3; 2 y 6. Dar la parte
menor.
a) 300
d) 480
b)320
e)540
c) 450
4º Secundaria
4. Un padre deja a sus hijos una herencia a
repartirse en forma I.P. a sus edades que son
18; 21 y 24 años. Si al menor le corresponde
$4200. ¿Cuánto le corresponde al mayor?
a) $4600
c) $3600
e) $2400
b) $4500
d) $3150
5. Dividir N en tres partes, de tal manera que la
primera sea a la segunda como 3 es a 7 y la
segunda sea a la tercera como 4 es a 5. Si la
parte menor es 288. Hallar N.
a) 1500
d) 1600
b)1200
e)1800
c) 1000
6. Se
propone
a
2
alumnos
repartir
proporcionalmente un número, el primero lo
hace D.P. a 2; 4 y 5 y el segundo lo hace I.P. a
los mismos números. Si la diferencia entre las
cantidades que le corresponden a la primera
parte es 360. Hallar el número.
a) 1020
d) 1450
b)1045
e)1700
c) 1250
7. Al repartir $5700 entre 3 personas A, B y C se
hace el reparto en partes proporcionales a 3
números consecutivos crecientes. Luego del
reparto se tiene que 1/5 de lo que le tocó a B
más lo que le toca a "A" hacen lo que le tocó a
"C". ¿Cuánto le tocó a esta última persona?
a) 2070
d) 2870
b)2060
e)2640
c) 2090
8. Una persona dispuso en su testamento que se
entregará a 3 sobrinos suyos la cantidad de
$19695 dólares para que se repartan
proporcional-mente a las edades que cada uno
de ellos tuviera el día en que falleciera. Uno de
ellos tenía 36 años el día en que su tío falleció
y le correspondió $7020 pero renunció a ellos y
el reparto se hizo entre los otros 2, también
proporcional a sus edades por lo que a uno de
ellos le correspondió $2700 adicionales.
Calcular las edades.
a) 36, 25, 40
c) 36, 45, 60
e) 36, 39, 42
b) 36, 40, 45
d) 36, 60, 72
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Repartir 840 D.P. a los números 0,3; 0,5 y 1,2.
Dar la suma de cifras de la parte menor.
a) 8
d) 12
b)9
e)15
c) 10
2. Al repartir 1612 D.P. a los números 1/3; 2/5 y
3/10 se obtuvo que la parte menor fue:
a) 806
b)548
Sub – Área: Aritmética
c) 468
d) 852
e)752
3. Se repartió 348 soles entre 4 mendigos en
forma D.P. a sus edades que son 25; 28; 30 y
42 años, si la misma suma se hubiera repartido
hace 2 años, ¿cuánto le hubiera tocado al
mayor?
a) S/.117
d) 152
b)120
e)172
c) 144
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
4. Repartir 1020 D.P. a los números 147 ;
147
y 243 . Dar la diferencia entre la
mayor y menor partes.
a) 80
d) 120
b)60
e)150
c) 50
5. Repartir 4250 en tres partes D.P. a las raíces
cuadradas de 96; 150 y 384. Indicar la mayor
de las partes.
a) 2500
d) 2200
b)1800
e)2000
c) 2400
6. Dos agricultores A y B tienen terrenos de 4 y 3
hectáreas respectivamente, que laborarán en
conjunto. Para concluir mas rápido el trabajo
contratan a un peón C. Si el peón cobró por su
trabajo 1400 soles y todos trabajaron
igualmente, ¿cuánto pagará cada uno de los
agricultores?
c) S/.1200 y S/.200
d) S/.1000 y S/.400
e) S/.1100 y S/.300
7. Juan Pedro tiene 3 hijos: Antonio. Bernardo y
César y semanalmente reciben propinas D.P. a
sus edades que son 16; 18 y 22 años. Si
Antonio recibe 30 soles menos que César.
¿Cuánto recibe Bernardo?
a) S/.60
d) S/.90
b)S/.30
e)S/.120
c) S/.80
8. Las edades de 4 hermanos son números
consecutivos. Si reciben una herencia de un tío
lejano, el cual dejó indicado que se hiciera el
reparto proporcional a las edades, ¿a cuánto
ascendía la herencia?, sabiendo que el
menor recibía los 6/7 del mayor y el segundo
recibió $3000?
a) $10500
c) $11700
e) N.A.
b) $12000
d) $16500
a) S/.800 y S/.600
b) S/.900 y s/.500
Sub – Área: Aritmética
Las primeras compañías se
constituyeron por los gremios o
hansas
que
formaban
los
armadores de barcos (sociedades
en commenda) de Venecia,
Génova y Pisa a partir del siglo
IX. Un italiano, Leonardo de Pisa
tomó la regla para resolver los
problemas de reparticiones de las
ganancias o pérdidas
de las
4º Secundaria
compañías, de la Aritmética
Es un caso particular de Reparto Proporcional, donde el objeto es repartir la ganancia o pérdida de
una sociedad, empresa o negocio, entre las personas que han intervenido en la sociedad
aportando sus capitales. El reparto se hará directamente proporcional al capital y al tiempo que
aporto y estuvo cada persona.
Ejemplo de Aplicación:
Se han asociado dos personas para formar una empresa exportadora de espárragos La primera
aportó $25000 y estuvo en el negocio 8 meses, la segunda aporta $30000 y estuvo 10 meses en
el negocio. Si obtuvieron una utilidad de $7200. ¿Cuánto le corresponde a cada uno.
5k = 7200
k = 1440
GA = 2(1440) = $2880
GB = 3(1440) = $4320
ACTIVIDAD EN AULA
1. Después de 4 meses que A había fundado una
empresa, para lo cual invirtió S/.16000, se
asoció B que aportó los 3/4 del capital de A. Si
6 meses más tarde liquidaron la empresa y
tuvieron que afrontar una pérdida de S/.8700.
¿Cuánto de la pérdida le corresponde al socio
B?
a) S/.3500
b) S/.4000
c) S/.2700
Sub – Área: Aritmética
d) S/.3000
e) N.A.
2. Un industrial empezó un negocio y a los
nueves meses admitió un socio y 5 meses más
tarde entró un tercer socio. Si los capitales
depositados por cada socio fueron $4000;
$3000 y $7500 respectivamente y el negocio
duró 2 años, al cabo de los cuales la utilidad
4º Secundaria
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario
fue de $5760. ¿Cuánto le corresponde al socio
fundador?
a) $2560
c) $1440
e) $3620
b) $2420
d) $2640
3. Dos amigos pusieron un negocio aportando
dos capitales que están en la proporción de 4 a
7. Si la ganancia de este negocio fue de $550,
¿cuánto le corresponde al que ganó más?
a) $300
d) $250
b) $380
e) $350
a) $6000
c) $7200
e) $7800
b) $6500
d) $7500
c) $200
4. En un negocio formado por dos personas se
cumple que la suma de los capitales es a su
diferencia como 5 es a 3. Si el capital mayor
estuvo colocado durante 6 meses y el otro 8
meses. ¿Qué utilidad le corresponde a cada
uno cuando hay una ganancia total de
S/.4800?
a)
b)
c)
d)
e)
6. Miguel y José emprenden un negocio de venta
de computadoras. Miguel aporta $5000 y 4
meses después añade $3000; José aporta
$8000 y luego de ocho meses añade $2000. Si
al finalizar el primer año se obtiene un
beneficio de $11250, ¿cuánto le corresponde a
José?
S/. 3600 y S/. 1200
S/. 3200 y S/. 1600
S/. 2800 y S/. 2000
S/. 3000 y S/. 1800
S/. 3800 y S/. 1000
5. Dos socios A y B empezaron un negocio
aportando $3000 y $5000 respectivamente. Si
luego de 8 meses el primero aumenta en
$1500 su aporte, ¿cuánto le corresponde a
cada uno, si al año y medio de iniciado hubo
una utilidad de $10600?
7. Cuando se liquida una empresa sus 3 socios
que laboraron el mismo tiempo, reciben entre
aportes y ganancias $64000; $80000 y $72000.
Si la ganancia total fue de $81000. ¿Cuánto
fue el mayor de los aportes?
a)
b)
c)
d)
e)
$60000
$70000
$50000
$48000
$36000
8. Alejandro empezó un negocio y 6 meses más
tarde entró Carlos con $1800. A los 10 meses
de iniciado el negocio, se liquidó por quiebra y
Alejandro. Se retiró con los 3/4 de su capital. Si
la pérdida total fue de $1080. ¿Cuánto aportó
Alejandro?
a)
b)
c)
d)
e)
$3000
$4200
$3300
$3600
$4800
a) 3600 y 7000 b) 4000 y 6600
c) 4200 y 6400 d) 4600 y 6000
e) N.A.
ACTIVIDAD DOMICILIARIA
1. Tres amigos se reunieron para formar una
empresa. Los capitales fueron de S/.2000;
S/.3600 y S/.4000. Si al cabo de los primeros 6
meses obtuvieron una ganancia de S/.1440.
¿Cuánto le corresponde al que puso mayor
capital?
a) S/.650
c) S/.500
e) S/.300
d) S/.400
2. Se han asociado 3 personas aportando la
primera $4000 durante 8 meses, la segunda
$6000 durante 5 meses y la tercera $3000
durante 9 meses. Si al finalizar el negocio hubo
b) S/.600
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria
una ganancia de $3560. ¿Cuánto le
corresponde al que colocó el menor capital?
a) $980
c) $1150
e) $1050
b) $720
d) $1080
3. Un negocio dió una utilidad de 3200 soles. Si
los capitales impuestos fueron de 18000;
30000 y 48000 soles durante 8; 16 y 12 meses
respectivamente, ¿cuánto le corresponde al
que estuvo más tiempo en el negocio?
a) S/.1280
c) S/.1536
e) N.A.
b) S/.1460
d) S/.1444
4. Al formar una empresa, se aportaron los
siguientes capitales: $6500, $5000 y $4500. Si
luego de un período de 1 año, se repartieron
una cierta ganancia, tocándole al tercero $1040
menos que al primero, ¿cuál fue la ganancia de
la empresa?
a) $6400
c) $7450
e) $9000
b) $7260
d) $8320
5. Tres amigos se reunieron para hacer un
negocio
de
venta
de abarrotes.
contribuyeron
con
S/.2800; S/.3500 y
S/.2100 respectivamente. El negocio duró 8
meses y obtuvieron una utilidad de S/.8000. Si
por cada mes pagaba gastos de local y
teléfono por S/.400, ¿cuánto le corresponde al
que colocó mayor capital?
a) S/.1500
c) S/.2200
e) S/.3000
d) S/.2500
6. Una persona inició un negocio de venta de
telas en Gamarra con una inversión de $5000,
tres meses después admite un socio que
invierte $6000. Al finalizar el primer año hubo
una utilidad de $2850. ¿Cuánto le corresponde
al fundador?
a) $1200
c) $2000
e) $2400
b) $1800
d) $1500
7. Un industrial empezó un negocio, luego de 6
meses admitió un socio y cuatro meses
después de éste, entró un tercer socio. Los
capitales depositados eran proporcionales a los
números 7; 4 y 6. Si la ganancia luego de 1
año y 4 meses de iniciado el negocio es de
$1410. ¿Cuánto le corresponde al tercer socio?
a) $270
d) $350
b) $300
e) $380
c) $420
8. Alberto inició un negocio, 5 meses después se
asoció Benigno y aportó 20% más que Alberto,
3 meses más tarde se asoció Carlos y aportó el
50% de lo que aportaron Alberto y Benigno
juntos. Si cuatro meses más tarde se cerró el
negocio por quiebra, ¿cuánto
asumió de
pérdida Carlos; si la pérdida total es de
$18600?
a) $3300
c) $4000
e) $2200
b) $3600
d) $5000
b) S/.2000
Sub – Área: Aritmética
4º Secundaria