Producto interior

PRODUCTO INTERIOR
Sea U un espacio vectorial real o complejo U y V elemento de V se le asigna un escalar
<u.v> Є k esta aplicación se llama producto interno, si satisface los siguientes axiomas:
i)
Para todo vector u Є V, u  u > 0 cuando u   y    = 0
ii)
Para todo par de vectores u, v Є V, u  v = v  u.
iii)
Para todo u,v,w Є V u  (v + w) = u  v + u  w
iv)
Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k, se cumple la
homogeneidad:ku  v = ku  v.
Ejemplo:
 x . y  3 x 1 y 1  10 x 2 y 2
en ²
x   x1 , x 2 
y   y1 , y 2 
z   z1 , z 2 
1)
x   x1 , x 2   x . x  3 x1 x1  10 x 2 x 2
x   x1 , x 2   x . x  3 x1  10 x 2  0
2
2
Si
x  0 , 0   x . x  0
2)
 x . y  3 x1 y 1  10 x 2 y 2  3 y1 x1  10 y 2 x 2  y . x 
3)
 x ( y  z )  x . y    x . z 
x   x1 , x 2 
y  z  w   w1 , w 2 
y  z   y1 , y 2    z1 , z 2    y1  z1 , y 2  z 2 
 x . w  3 x1 w1  10 x 2 w 2
 x . w  3 x1  y1  z1   10 x 2  x 2  z 2 
 x . w  3 x1 y1  3 x1 z1  10 x 2 y 2  10 x 2 z 2
 x . w  3 x1 y1  10 x 2 y 2   3 x1 z1  10 x 2 z 2 
 x . w  x . y    x . z 
4)
  . x . y    x . y 
  . x . y  3 ( , x1 ) y1  10 ( , x 2 ) y 2
  . x . y   ( 3 x1 y1  10 x 2 y 2 )
  . x . y    x . y 
Ejemplo:  u .v  x1 y1  x1 y 2  x 2 y1  3 x 2 y 2
1)
 u .v  0  u .u  x1 x1  x1 x 2  x 2 x1  3 x 2 x 2
 u .v  0  u .u  x1  2 x1 x 2  3 x 2
2

x
2

 u .v  0  u .u  x1  2 x1 x 2  x 2  2 x 2
 u .v  0  u .u 
2
1
2

2
 x2  2 x2  0
2
u  0 , x1  0 , x 2  0
 u .u  0
2)
 u .v  x1 y1  x1 y 2  x 2 y1  3 x 2 y 2
 u .v  y1 x1  y1 x 2  y 2 x1  3 y 2 x 2
 u .v  y1 x1  y1 x 2  y 2 x1  3 y 2 x 2  v .u 
3)
 z1 
w   
 z2 
 u (v  w ) 
 y1   z1   y1  z1 

v  w        
 y2   z2   y2  z2 
 u ( v  w )  x1 ( y1  z1 )  x1 ( y 2  z 2 )  x 2 ( y1  z1 )  3 x 2 ( y 2  z 2 )
 u ( v  w )  x1 y1  x1 z1  x1 y 2  x1 z 2  x 2 y1  x 2 z1  3 x 2 y 2  3 x 2 z 2
 u ( v  w )  ( x1 y1  x1 y 2  x 2 y1  3 x 2 y 2 )  ( x1 z1  x1 z 2  x 2 z1  3 x 2 z 2 )
 u ( v  w )  u .v    u .w 
4)
  . x . y    x . y 
  . x1 

 .u  
  .x2 
  .u .v  ( . x1 ) y1   . x1 y 2   . x 2 y1  3 . x 2 y 2
  .u .v   ( x1 y1  x1 y 2  x 2 y1  3 x 2 y 2 )
OTRA DEFINICIÓN.- El producto interior de dos vectores u y v en el espacio
tridimensional se escribe u.v y se define como:
u .. v  u . v cos 
u  0, v  0
u .v  0
Si
u  v  0
aquí:  ( 0     ) es el ángulo entre u y v
v
v
v
u
u
u.v
u.v=0
u.v<0
ESPACIO EUCLIDIO
Es un espacio vectorial real con un producto interno se llama espacio vectorial euclidio,
y un espacio vectorial complejo con producto interno se llama ESPACIO UNITARIO O
ESPACIO HERMITICO.
NORMA Y DISTACIA
Sean u y v Є V en  n , u  ( u1 , u 2 ,..., u n ) y v  ( v1 , v 2 ,..., v n ) la distancia entre los
puntos u y v se define por :
d (u , v ) 
( u 1  v1 )  ( u 2  v 2 )  ...  ( u n  v n )
2
2
2
LA NORMA o longitud del vector u:
Se escribe
u 
u .u 
u 1  u 2  ...  u n
2
2
d (u , v )  u  v  v  u 
2
( u  v ).( u  v )
ORTOGONALIDAD (TEOREMA)
Dos vectores diferentes de cero son ortogonales (perpendiculares ) si su producto
interno es cero
u .v  u . v cos 
u .v
cos  
u .v

u .v
u .u
v .v
Ejemplo:
1) Si V  M 2 * 2 con P.i Hallar la norma de A
1
A  
2
A 
3

1 
1  2  3 1 
2
2
2
2
15
2) Sean A=(5,2) y B=(-2,3) encontrar la distancia entre los puntos:
d ( A. B ) 
y
v
u
x
(5  2 )  ( 2  3)
2
OTRA FORMA:
U  V  ( 5 , 2 )  (  2 ,3 )  ( 7 ,  1)
d (U .V ) 
7  (  1)
2
2
 5 2
3) Dados los vectores A y B encontrar el coseno del ángulo A=(1,1) B=(1,0).
cos  
(1)( 1)  (1)( 0 )
1 1
2
  45 
2
1 0
2

2
1
2

2
2

4
y
γ
x
3) Dados los vértices de un cuadrilátero demostrar que sus diagonales son
perpendiculares.
2
 5 2
CONJUNTOS ORTOGONALES
Sea V un espacio vectorial Euclidio y sea π un subconjunto de V 1 se dice que π es
un conjunto ortogonal si cada par de vectores distintos en π son ortogonales, es decir
 x i x j  0
i  j
Ejemplo:

1
 2 
 0 
 





   x   1 , y    1 , z   3  

1
  1
  3 
 





 x . y  2  1  1  0
 x . z  0  3  2  0
 y . z  0  3  3  0
π es conjunto ortogonal
El conjunto ortogonal π se dice que ortonormal, si es ortogonal y si cada Xi tiene
longitud 1 es decir:
 x i x i  0 ,  i  j
 x i x i  1,  i  N
Siempre es posible obtener un conjunto ortonormal a partir de un conjunto
ortogonal, al normalizar un vector u haciendo:
v 
u
(v un vector unitario de longitud 1)
u
Ejemplo (anterior):
u 
x
(1,1,1)

1 1 1
2
x
v 
y

z

2
1
1 
 1
 
,
,

3
3
 3
( 2 ,  1,  1)
1
1 
 2
 
,
,

4 11  6
6
6
y
w 
2
( 0 ,3,  3 )
z
3

  0,
,
99
18

3 

18 
   u , v , w  es conjunto ortonormal.
TEOREMA: En todo espacio vectorial euclidio de dimensión finita, existe una base
ORTONORMALIZADA y cualquier vector x puede ser escrito como:
x  x . y1  y1   x . y 2   ...   x . y n  y n
y1 , y 2 ,..., y n
Vectores de la base ortonormalizada.
Dado un conjunto de vectores probar que es ortonormal con el producto interno
canónico y expresar x como combinación lineal de los vectores de s  .
 2 / 3   2 / 3   1 / 3  
 
 


S     2 / 3 ;  1 / 3 ;  2 / 3  
 1 / 3    2 / 3   2 / 3  
 
 


Y1
Y2
Y3
x  (6, 6, 9 )
 y1 . y 2 
 y1 . y 3 
 y 2 . y 3 
4
2

9
2
9

9
2

4

2
 0
9
2
9
 0
9
9

2
4

9
 0
9
ORTOGONAL
 y1 . y1 
 y 2 . y 2 
 y 3 . y 3 
4

9
4
9

9

9
1
4
1
1
4

9

4
1
9
1
9

9
4
1
9
ORTONORMAL
Combinación Lineal
x  ay 1  by 2  cy 3
 6 
 6  2 / 3 
 6  2 / 3 
 6  1 / 3 


 







 6    6    2 / 3   y1    6   1 / 3   y 2    6   2 / 3   y 3
 9
 9  1 / 3 
  9   2 / 3 
  9  2 / 3 


 







 6 


 6   ( 4  4  3 ) y1  ( 4  2  6 ) y 2  ( 2  4  6 ) y 3
 9


 6 


 6    3 y1  12 y 2  0 y 3
 9


 6 


 6    3 y1  12 y 2
 9


COMPROBACIÓN:
 6 
 2/3 
 2/3   6 





 

 6    3   2 / 3   12  1 / 3    6 
 9
 1/ 3 
  2 / 3   9





 

PROYECCIONES PERPENDICULARES
V´´
Β. v
u
C=α.u
Sean U y V Є  no nulos la proyección de V sobre U es el vector C=α.u con α a
determinarse. Determinar primero si existe un único α Є  tal que v-α.u es
perpendicular a u.
 U  x  v (por suma de vectores)
entonces   v   .u
comprobar que <x.u>=0
x .u  ( v   .u ) u
x .u  vu   .u .u  0
 
v .u

u .u
u
u

2
 u .u
u .u
v .u
u
2
v .u
u
D 

2

C 
2
u
2
 
v .u
2
u .v
v
2
*u
Proyección de v sobre u
*v
Proyección de u sobre v
Dado los valores A y B encontrar la proyección del vector A sobre B y B sobre A.
y
A=(5,8)
A
B=(3,2)
Α.B
B
x
C 
A.B
2
B
C 
C 
*B
(15  16 )
(9  4 )
*B
 93 62 
( 3, 2 )  
,

13
 13 13 
31
A/B
D 
A.B
D 
A
2
A
 155 248 
( 5 ,8 )  
,

25  64
 89 89 
31
B/A
Encontrar la proyección uv y vu
u=(1,5,7,-2)
v=(-2,0,I,5)
C 
u .v
v
C 
*v
(  2  0  7  10 )
( 4  0  1  25 )
C  
u /v
2
*v
1 5
1
* v   ,0 ,  ,  
30
6 6
3
5
D 
u .v
u
D 
2
u
5
1  25  49  4
5
u  
u
79
u /v
PRODUCTO VESCTORIAL (CRUZ)
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores u y v se define como sigue:
Si u y v tienen la misma dirección son opuestas, uno de estos vectores es cero entonces:
W U V  0
En cualquier otro caso W  U  V es el vector cuya longitud es igual al área del
paralelogramo que tiene a U y V como lados adyacentes y cuya dirección es
perpendicular tanto a U como a V, y es tal que u,v,w en este orden forman una TERNA
O TRIADA DERECHA (regla de la mano derecha).
W
V
AREA
U
w  AREA
Area  u . v sen 
w  u . v sen 
u  v  u . v sen 
uv
2
 u . v sen 
2
2
uv
2
 u . v (1  cos  )
2
2
2
uv
2
 u .v
2
2
 u . v cos 
uv
2
 u .v
2
2
 u .v
2
2
2
2
2
2
( u .v )
2
u .v
uv
2
 u .v
2
uv
2
 ( u .u )( v .v )  ( u .v )
uv 
2
 ( u .v )
2
2
( u .u )( v .v )  ( u .v )
2
2
2
PRODUCTO VECTORIAL EN TERMINOS DE COMPONENTES
Con respecto a un sistema derecho (regla de la mano derecha ) de coordenadas
U 1 , U 2 , U 3 y V1 , V 2 , V 3 entonces:
u  v  ( u 2 v 3  u 3 v 2 ) i  ( u 3 v1  u1v 3 ) j  ( u1v 2  u 2 v1 ) k
o escrito en términos de determinantes:
uv 
u2
v2
u3
v3
i
u3
v3
u1
v1
i
j
k
w  u  v  u1
u2
u3
v1
v2
v3
i
j
k
4
0
2
1
j
u1
v1
u2
v2
k
i j  k
Ejemplo:
U=4i-k
V=-2i+j+3k
w  uv 
 1  i  10 j  4 k
3
w 
1  100  16 
w 
( u .u )( v .v )  ( u .v )
w 
(16  1)( 4  1  9 )  ( 8  3 )
117
2
2

117
Encuentre el área del paralelogramo que tiene los vértices siguientes en el plano x,y
(0,0),(4,1),(2,3),(6,4)
TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo k una función F:VU es
una aplicación lineal o transformación lineal, u HOMORFISMO de espacio vectorial si
satisface las condiciones siguientes:
i)
Para todo u, v Є U: F(u + v) = F(u) + F(v).
ii)
Para todo u Є U y para todo escalar k: F(ku) = kF(u).
V
U
U
F(U)
DOMINIO
F: ² ³
a
 x   
x
   F       b 
 y 
 y
   c 
 
F :  
4
x
 
 y
z 
 
w
 
En general
a,b  k
u, v  V
F ( au  bv )  aF ( u )  bF ( v )
F: ²  ²
  x1   
x1


F      
 x 
3
x

x
2
1
2






 x1 
 y1 
u    , v   
 x2 
 y2 
CODOMINIO
  y1   
y1


F      
 y 
  2    3 y1  y 2 
  x1 
 y1  
F  au  bv   F  a    b   
 x

 y2  
  2
 ax 1  by 1 

F  au  bv   F 
 ax 2  by 2 
ax 1  by 1



F  au  bv   F 
 3 ( ax 1  by )  ( ax 2  by 2 ) 
ax 1  by 1



F  au  bv   F 
 ( 3 ax 1  ax 2 )  ( 3 by 1  by 2 ) 
ax 1
by 1

 

  

F  au  bv   F 
 3 ax 1  ax 2   3 by 1  by 2 
x1
y1




  b 

F  au  bv   a 
 3 x1  x 2 
 3 y1  y 2 
  x1  
  y1  
F  au  bv   aF      bF      aF ( u )  bF ( v )
 x 
 y 
 2 
 2 
F:  4  
 x 
 
 y 
F      x  y  2 z  3w
z
 

 w
 
 x1 
 x2 
 


 y1 
 y2 
u   , v  
z
z 
 1
 2
w 
w 
 1
 2
  x1  
 
  y1  
F ( u )  F      x1  y 1  2 z 1  3 w 1
z
 1 
 w 
 1
  x2  


  y2  
F (w)  F  
  x2  y2  2 z2  3w2
z2 


 w 
 2 
  x1 
 x2  
  


  y1 
 y2  
F ( au  bv )  F  a    b 

z
z 
  1
 2 
 w 
 w 
 2 
  1
 ax 1

 ay 1
F ( au  bv )  F 
az
 1
 aw
 1
 bx 2 

 by 2 
 bz 2 

 bw 2 
F ( au  bv )  ( ax 1  bx 2 )  ( ay 1  by 2 )  2 ( az 1  bz 2 )  3 ( aw 1  bw 2 )
F ( au  bv )  ax 1  bx 2  ay 1  by 2  2 az 1  2 bz 2  3 aw 1  3 bw 2
F ( au  bv )  a ( x1  y1  2 z1  3 w1 )  b ( x 2  y 2  2 z 2  3 w 2 )
F ( au  bv )  aF ( u )  bF ( v )
F: ² ³
 x y 

 x  
F       2 y  2 
 y 
   3y 


 x1 
 y1 
u    , v   
 x2 
 y2 
 x1  y 1 

  x1   
F ( u )  F       2 y1  2 
 y 
 1  3y 
1


 x2  y2 

  x2   
F ( v )  F       2 y 2  2 
 y 
 2   3y

2


  x1 
 x2  
F  au  bv   F  a    b   


 y2  
  y1 
  ax 1  bx 2  

aF ( u )  bF ( v )  F  
 ay  by  
2 
 1
 ( ax 1  bx 2 )  ( ay 1  by 2 ) 


aF ( u )  bF ( v )  
2 ( ay 1  by 2 )  2



3 ( ay 1  by 2 )


 ( ax 1  bx 2 )  ( ay 1  by 2 ) 


aF ( u )  bF ( v )  
2 ay 1  2 by 2  2



3 ay 1  3 by 2


 ax 1  ay 1   bx 2  by 2 

 

aF ( u )  bF ( v )   2 ay 1  2    2 by 2 
 3 ay
  3 by

1
2

 

 x1  y 1 
 x2  y2 




aF ( u )  bF ( v )  a  2 y1  2 / a   b  2 y 2 


 3y 
3 y1
2




F ( au  bv )  aF ( u )  bF ( v )
No es transformación lineal.
Hallar F: ³ 
 1 
 
F  1   3
 
 1 
 0 


F 1   1


 2
0
 
F   0    2
 
1
a
 
Fb   
 
 c 
a
1
 0 
0
 
 


 
 b   x1  y  1   z  0 
c
1
 2
1
 
 


 
1

1
1

0
0
1
0
2
1
a

b
c 
x  a
x y  b
x  2y  z  c
z   3a  2b  c
a
1
 0 
0
 
 


 
 b   a  1   (b  a ) 1   (  3 a  2 b  c ) 0 
c
1
 2
1
 
 


 
a 
 1
 0 
0
 
  


 
F   b    F  a  1   (b  a ) 1   (  3 a  2 b  c ) 0  
 
  
 2
1


 
 c 
 1
a 
1
 0 
0
 
 


 
F   b    aF  1   ( b  a ) F  1   (  3 a  2 b  c ) F  0 
 
1
 2
1
 


 
 c 
a 
 
F   b    a ( 3 )  ( b  a )( 1)  (  3 a  2 b  c )(  2 )
 
 c 
a 
 
F   b    8 a  3b  2 c
 
 c 
Comprobación:
 1 
 
F   1    8 (1)  3 (1)  2 (1)  3
 
 1 
 0 


F    1    8 ( 0 )  3 (  1)  2 ( 2 )  1


 2 
0
 
F   0    8 ( 0 )  3 ( 0 )  2 (1)   2
 
1
a
F     
 b 
 
 3 
 2 
 0 

1 
F: ²  ³ definido F        1  , F       1 
  2    5    1     1




a
1
0
   x    y  
b
2
1
1

2
0
1
a

b 
x  a
y  b  2a
a
1
0
   a    ( b  2 a )  
b
2
1
a
1
0
F      aF      ( b  2 a ) F    
 b 
 2 
 1 
 
 
 
 3 
 2 




a
F      a   1   ( b  2 a )  1 
 b 
 
 5 
  1




a
F      ( 3 a  2 b  4 a ), (  a  b  2 a ), ( 5 a  b  2 a )
 b 
 
  a  2b 

a 
F        3 a  b 
 b 
   7a  b 


 1 4  3 
 

1 
F        3  2     1 
 2 
   7  2   5 

 

 2 

1 
F        1 
 0 
   1 


F: ³  ³
1  1  2 0 8
  
      
F   0      1 ; F   1     2 ; F   3    ?
  
      
1  3  0 1 2
a
1
2
 
 
 
 b   x 0   y 1 
c
1
0
 
 
 
1

0
1

2
1
0
a  x  2 y  a  c  2b  a

b 
y  b

c
x  c
a
1
2
 
 
 
 b   c 0   b 1 
c
1
0
 
 
 
a 
1
2
 
 
 
F   b    cF   0    bF   1  
 
 
 
 c 
1
0
a
 1 
0
 


 
F   b    c  1  b 2 
 
 3 
1


 
 c 
a 
c

  

F   b      c  2b 
  

  c    3c  b 
8 
2  2
  
  
F 3   2  6  4
  
  
2  6  3  9
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
DEFINICIÓN.- Sean x  ( x1 , x 2 ,..., x n ) e
y  ( y1 , y 2 ,..., y n ) dos vectores cuyos
componentes estan referidas a la misma, si las coordenadas de x y y vienen dadas por:
y1  a11 x1  a12 x 2  ...  a1 n x n
y 2  a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n
...
y n  a ni x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n
o abreviadamente:
y  A. x
Siendo A=(aij) una matriz definida sobre un cuerpo k, se denomina MATRIZ DE LA
TRASFORMACION LINEAL F, entonces F es una transformación lineal que aplicada
a un vector x lo convierte en otro y que se llama IMAGEN del primero.
Definición.-Sean U y V espacio vectorial sobre el mismo cuerpo k, dimV=m y
dimU=n, además, sean e  e1 , e 2 ,..., e n  y f   f1 , f 2 ,..., f n  bases arbitrarias pero fijas
de V y U respectivamente, suponiendo que F: V U es una transformación lineal
entonces los vectores F(e1),...,F(en) pertenecen a U y por lo tanto cada uno de ellos es
una combinación lineal de los vectores de f.
F ( e1 )  a11 f 1  a12 f 2  ...  a1 n f n
F ( e 2 )  a 21 f 1  a 22 f 2  ...  a 2 n f n
...
F ( e m )  a ni f 1  a n 2 f 2  ...  a nn f n
La traspuesta de la matriz de coeficientes denotada por  F  se le llama la
representación matricial de F respecto a las bases ei  y  f i  o matriz de F en las bases
e y f.
f
Ejemplo: F: ³  ³


F


i) base canónica (e)  F e
 1   1   1  
      
ii) e y f    1  ,  1  ,  1  
 1   0   0  
      
x   x  y 
 

y    y  z 

z    z  x 
 F ef
iii)base f  F  f
 1   0   0  
      
e   0 ,  1 ,  0  
 0   0   1  
      
1 1
1
0
0
   
 
 
 
F   0     0   a 0   b 1   c 0 
   
0
0
1
 
 
 
0 1
0 1
1
0
0
   
 
 
 
F   1     1   a 0   b 1   c 0 
   
0
0
1
 
 
 
0 0
0 0
1
0
0
   
 
 
 
F   0     1   a 0   b 1   c 0 
   
0
0
1
 
 
 
1 1
1

0
0

0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
 F e
1

 0
1

0

1
1 
1
0
0 a  1

1  b  0
1 
c 1
a 1
a  0
b 1
b 1
c  0
c 1
1 1
1
1
1
   
 
 
 
F   0     0   a 1  b 1   c 0 
   
1
0
0
 
 
 
0 1
0 1
1
1
1
   
 
 
 
F   1     1   a 1  b 1   c 0 
   
1
0
0
 
 
 
0 0
0 0
1
1
1
   
 
 
 
F   0     1   a 1  b 1   c 0 
   
1
0
0
 
 
 
1 1
1

1
1

1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0

1
1 
a 1
a  0
a 1
b  1
b 1
b  0
c 1
c  0
c  1
 1

 1
 1

 F e
f
1 

0 
 1 
0
1
0
 1   2 
1
1
1
   
 
 
 
F  1    2   a 1  b 1   c 0 
   
1
0
0
 
 
 
 1   2 
1 2
1
1
1
   
 
 
 
F   1     1   a 1  b 1   c 0 
   
1
0
0
 
 
 
0 1
1 1
1
1
1
   
 
 
 
F   0     0   a 1  b 1   c 0 
   
1
0
0
 
 
 
0 1
1

1
1

1
1
2
2
1
0
2
1
0
0
2
1
1

0
1 
a  2
a 1
a 1
b  0
b  0
b  1
c 1
c 1
c 1
F  f
2

 0
0

1
0
1
1 

 1
1 
F :M
2*2
 M 3* 2
 x
F  
 z

x y
y  
   w
w   
y z
1
F  
 0

1
0 
  0
0   
0
0
1


1   a 0
0
0 

0
F  
 0

1
1 
  0
0   
1
0 a
 
0  c
1   e
b

d
f 
0
F  
 1

0
0 
  0
0   
1
1 a
 
1  c
0   e
b

d
f 
0
F  
 0

0
0 
  1
1   
0
0 a
 
0  c
1   e
b

d
f 
 F e
1

0
0
 
1

0

0

1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0


x z
y  w 
z
0
0


0   b 0
0
0 

1
0


0   c 1
0
0 

0
0


0  d0
0
0 

0
0


1   e 0
1
0 

0
0


0  f 0
0
0 

0

0
1 
0

0
1

0

0

1 
TEOREMA: Para todo vector v Є V se cumple que :
F ef V e
 F (V )  f
Multiplicando el vector coordenado de v en la bese e por la matriz  F e se obtiene el
vector coordenado F(V) en la base f.
Ejemplo:
Sea T: ³  ³
f


T 


x  2y  z 
 

y   x  4y

z    3 x 
T  f V  f
 T (V )  f
1   1   1  
      
f   1 ,  1 ,  0  
1   0   0  
      
 1  x

  
i) v   2  , v  y 
  3  z 

  
T  f
 1   3 
1
1
1
  

 
 
 
F  1     3   a 1  b 1   c 0 
  

1
0
0
 
 
 
 1   3 
1  2 
1
1
1
  

 
 
 
F   1      3   a 1  b 1   c 0 
  

1
0
0
 
 
 
0  3 
1 0
1
1
1
   
 
 
 
F   0     1   a 1  b 1   c 0 
   
1
0
0
 
 
 
0 3
1

1
1

1
1
3
2
1
0
3
3
0
0
3
3
0

1
3 
a  3
ab  2 b  5
 v  f
abc 1 c 1
  3


  5 
 1


T (V )  f
 1   1 
1
1
1

 

 
 
 
T   2      7   a 1  b 1   c 0 

 

1
0
0
 
 
 
  3  3 
1

1
1

1
1
1
0
0
0
1 

 7
3 
a  3
a  b   7  b   10
abc 1 c  8
T (V )  f
 3 


   10 
 8 


 3

  6
 6

T  f V  f
3
6
5
3   3   3 

 

 2   5     10   T (V )  f
 1    1   8 
x
 
-Para cualquier vector  y 
z
 
T  f
V  f
 3

  6
 6

3
6
5
3 

 2
 1 
 x  
  
  y  
  z  

f
x
1
1
1
 
 
 
 
 y   a 1  b 1   c 0 
z
1
0
0
 
 
 
 
1

1
1

1
1
1
0
0
0
x

y
z 
a  z
ab  y  b  y z
a  b  c  c  x  y
V  f
 z 


  y  z
x  y


T (V )  f
 x  2 y  z 
1
1
1
  

 
 
 
T   y     x  4 y   a 1  b 1   c 0 
  

1
0
0
 
 
 
  z   3x 
1

1
1

1
1
1
0
0
0
2y  z

x  4y
3 x 
a  3x
a  b   x  4 y  b  2 x  4 y
a  b  c  2y  z  c  x  6y  z
3x




   2x  4 y 
 x  6y  z


T (V )  f
T  f V  f
 3

  6
 6

3
6
5
3  z   3 z  3 y  3 z  3 x  3 y  
3x


 
 

 2   y  z     6 z  6 y  6 z  2 x  2 y     2 x  4 y   T (V )  f
 1   x  y   6 z  5 y  5 z  x  y    x  6 y  z 
OPERACIONES CON TRANSFORMACIONES LINEALES
SUMA DE 2 TRANFORMACIONES LINEALES .- Sean F: V  U y G: V  U
dos transformaciones lineales de V en U respectivamente entonces la suma F+G, es la
transformación lineal de V en U, denotada F+G: V  U y definida  x  V por la
ecuación:
F
 G x  F ( x )  G ( x )
La matriz de la transformación lineal F+G, se obtiene sumando termino a termino los
elementos de las matrices de F y G respectivamente.
Ejemplo:
Sea F: ³  ²


F  


x 
  2x 

y    
y

z



z  
G: ³  ²


G  


x 
  x  z 

y    
  y 

z 
F
 G v  F ( v )  G ( v )
F
 2x   x  z 
  

 G v  
y

z
y

 

F
 3x  z 

 G v  
2y  z
F
3
 G v  
0
0
2
 1

1 
OTRA FORMA (Dando valores mínimos)
2
0
0
1
1

0
0
F   
G  
1
0

1 
 1

0 
F
2
 G   
0
( F  G )(x)
0
1
3
 
0
0 1

1   0
0
2
0
1
 1  3
  
0   0
0
2
 1

1 
x
 1  
 y 
1   
z
PRODUCTO POR ESCALAR DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
DEFINICIÓN.- El producto de un numero real λ y una transformación lineal F: VU
es la transformación lineal λF: V  U, definida por (  F ) x   F ( x )  x  V  F ( x )  U
La matriz asociada a la transformación lineal λF se obtiene multiplicando el escalar λ
por todos los elementos de la matriz F.
F: ³ ²
x
   2x 

F  y   
 z  y  z
 
PRODUCTO DE DOS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean V,U y W espacios vectoriales y sea F y G transformación lineal tales que F:
VU y G: V  W entonces  x  V , F ( x ) es un escalar en U y al aplicar G al vector
F(x) se obtiene el vector G(F(x)) en W, así F y G pueden multiplicarse para producir
una función en W denotada por GF y que se denomina el producto de F y G en ese
orden y se define por : GF
GF  G  F ( x )  G ( F ( x ))
F
2
 F  F ( x )  F ( F ( x ))
F
3
 F  F  F ( x )  F ( F ( F ( x )))
La matriz asociada a la transformación lineal G o F se obtiene multiplicando las
matrices de G y F respectivamente.
Ejemplo:
Sea
 x   x  y 
  

F  y    y  z 
  

 z   z  x 
 x   y  z 
  

F  y    x  z 
  

 z   x  y 
    F 3 * 3
   G 3 * 3
3
3
3
x  y


GF  G ( F ( x ))  G  y  z 
z  x


 y  z  z  x   x  y  2z 

 

GF   x  y  z  x    2 x  y  z 
x  y  y  z x  2y  z

 

1

GF   2
1

2

1
1 
1
1
2
OTRA FORMA
0

G    1
1

1
1

F    0
1

1
1

GF    2
1

1

1
0 
0
1
0

1
1 
1
0
1
1
2
2

1
1 
3


F 


x 
  2x 

y    
  y  z

z 
  
3
2


 x  
F      
 y 
   x
x

  
2
F.G G.F
GF  G ( F ( x ))
 2x 

GF  G  
 y  z


2x




y z 

GF  
2x  y  z 


 2x  y  z 


2

0
GF  
2

2

0 

1 
1 

 1 
0
1
1
1
OTRA FORMA
1

0
G   
1

1

F  
GF x
2

0
0 

1 
1 

 1 
0
1
2

0
 
2

2

0

1 
0
1
1
1
0
2x


 x  

1   
y z 
 y 
1    2 x  y  z 
 z  

 2x  y  z 
1 


4


y 
 y

 y 
x