UPN Videconferencia8 M9 (2)

Variable aleatoria y distribuciones
de probabilidad
Módulo 9
Probabilidad y Estadística
2018 - V
Videoconferencia 8
VARIABLE ALEATORIA (X)
Una
variable
aleatoria
o
variable
estocástica es una variable estadística
cuyos valores se obtienen de mediciones en
algún tipo de experimento aleatorio.
Se denota por una X.
Es aquella que puede tomar diferentes valores a través del tiempo o
de sujeto a sujeto.
VARIABLE ALEATORIA (X)
Formalmente es una función que asigna un número real a cada
resultado del espacio muestral.
EJEMPLO 1:
3
EJEMPLO 2
Consideremos el experimento que consiste en revisar tres componentes de
una bomba centrífuga, que pueden ser defectuosos (D) y no defectuosos (N)
ε = Revisar tres componentes de una bomba centrífuga
El espacio muestral será:
{ NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
Definimos la variable aleatoria X = como el número de componentes defectuosos
X(DDD) = 3
X(NDD) = X (DND) = X ( DDN) = 2
X ( NND) = X(NDN) = X(DNN) = 1
X ( NNN) =0
X = 3,2,1,0
Tipos de Variables Aleatorias:
Variable Aleatoria Discreta:
Cuando la variable aleatoria
toma
valores
discretos
(números anteros) se dice
que es una v.a.d.
Variable Aleatoria Continua.
Cuando la variable aleatoria
toma valores de la recta real
(número reales) se dice que
la variable es una v.a.c. .
Un lote de artículos contiene artículos conformes (C) y no conformes (N).
Se extrae sucesivamente 2 artículos. Definimos como v.a.
X: número de artículos no conformes obtenidos.
Definir el espacio muestral:
Ω={CC, NC, CN, NN}
Definir la variable aleatoria. X: Número de artículos no conformes obtenidos.
El recorrido de X.
X(CC)
=0
X(NC)
=1
X(CN)
=1
X(NN)
=2
Rx = { 0 , 1 , 2 }
Números DISCRETOS
Sea X una variable aleatoria que representa la masa de un recién
nacido al nacer.
La masa es una variable aleatoria continua, pues su espacio muestral
(los valores que pueden tomar) son todos los puntos de un intervalo
Identificar el recorrido de la variable definida anteriormente:
X = {……………………………. … }
Número CONTINUO
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Una distribución de probabilidad es un modelo
matemático que desarrolla en forma analítica el
comportamiento de un fenómeno (variable) real .
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y
CONTINUAS
LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
- Distribución Binomial
- Distribución Poisson
LAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS
- Distribución Normal
- Distribución Normal Estándar
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
• Cada ensayo tienen sólo dos resultados
posibles. Para variables dicotómicas.
• Los ensayos son independientes.
• La probabilidad de éxito “p” es constante
Función de probabilidad
n x
P(X  x)  b(x; n, p)   p (1  p)n x
 x
Donde x = 0, 1, 2, …, n
en cada ensayo.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Es la probabilidad de obtener exactamente x
“éxitos” en n pruebas independientes de un
experimento, con p como la probabilidad de
éxito para cada prueba.
Parámetros:
n, p
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Media o Valor Esperado
  E ( X )  np
Varianza
  npq
2
Desviación Estándar
  npq
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ejercicio 1:
Un almacenero de laboratorio, reporta que el 25% de puntas de un
dosificador electrónico están malogradas. Si se extrae una muestra
aleatoria de cinco de estas puntas.
Encuentre la probabilidad de que :
a) Ninguna esté malograda.
b) Exactamente una esté malograda.
c) Menos de dos están malograda.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Solución de Ejercicio 1:
p= 0.25 (escoger un dosificador malogrado)
n= 5 (número de muestras aleatorias que se extraen)
a) Ninguna esté malograda.
 5
P(X  0)  b(0;5,0.25)   0.250 (0.75)5
 0
= 0.237
b)
Exactamente una esté malograda
 5
P(X  1)  b(1;5,0.25)   0.251 (0.75) 4
1
= 0.396
c) Menos de dos están malograda.
P(X  2)  P(X  1)  P(X  0)  P(X  1)
= 0.633
Función de
probabilidad
n x
P(X  x)  b(x; n, p)   p (1  p)n x
 x
Observación:
Factorial de un número
3!=3x2x1=6
5!= 5x4x3x2x1=120
0!=1
Combinación
𝟓!
𝟓
=
= 𝟏𝟎
𝟓−𝟐 !𝒙𝟐!
𝟐
𝟓
=
𝟎
𝟓!
𝟓−𝟎 !𝒙𝟎!
=𝟏
𝟓
=
𝟏
𝟓!
𝟓−𝟏 !𝒙𝟏!
=5
Uso de tabla: Para el uso de la tabla debe tener en cuenta lo
siguiente:
CASO 1.
CASO 2.
CASO 3.
CASO 4.
CASO 5.
P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla
P ( X < a ) = P (X ≤ a - 1 )
P ( X > a ) = 1 - P (X ≤ a)
P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1)
p (a ≤ x ≤ b) = P (X ≤ b ) - P (X ≤ a - 1 )
Ejercicio 2:
En general, el 45% de los postulantes aprueban en un examen de selección
de personal. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 15:
a)
Aprueben exactamente 4.
b)
Aprueben por lo menos 8.
c)
Aprueben más de 4.
16
Solución del ejercicio 2:
Sea X= Candidatos que aprueban el examen de selección de una muestra de 15
candidatos.
 n=15 candidatos
 p= probabilidad de que un candidato apruebe un examen de selección.
p= 0.45
q=0.55
q=(1-p)
 Función de probabilidad:

15 
x
15 x
f ( x)  P( X  x)     0.45   0.55 
, x  0,1, 2,3, 4,5
x 
a) Aprueben exactamente 4.
P( X=4)=0.078 = 7.8%
n x
P(X  x)  b(x; n, p)   p (1  p)n x
 x
b) Aprueben por lo menos 8.
𝑃 𝑋 ≤ 7 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 +…+P(X=7)
c) Aprueben más de 4.
𝑃 𝑋 ≤ 4 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 +…+P(X=4)
DISTRIBUCIÓN POISSON
FUNCIÓN
DE
PROBABILIDAD
POISSON.
La función de probabilidad de Poisson
define la probabilidad de exactamente
x ocurrencias o “éxitos”, que aparecen
Función de probabilidad
λ
e λ
PX  x/λ  
x!
Donde λ = Número esperado de éxitos.
e = Constante matemática.
x = Número de éxitos por unidad.
por unidad de tiempo o espacio, dado
el número medio de ocurrencias en el
intervalo dado t.
x
Parámetro: λ
DISTRIBUCIÓN POISSON
Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados
por unidad de área, tiempo, pieza, etc:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.
- # de bacterias por cm2 de cultivo
- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc
DISTRIBUCIÓN POISSON
 Media o Valor Esperado
 
 Varianza
 
2
 Desviación Estándar
 
DISTRIBUCIÓN POISSON
Ejercicio 3:
Si como promedio un tablero
electrónico recibe 0.05 llamadas por
segundo, ¿Cuál es la probabilidad
de que en un determinado minuto
reciba exactamente dos llamadas:
a) Identifique la variable aleatoria y
anote el parámetro.
b) Calcular la probabilidad (expresar
en porcentaje)
Función de
e λ λ x
probabilidad PX  x/λ  
x!
Solución:
a)
Variable aleatoria: Número de llamadas
recibidas por segundo
Parámetro: El número de llamadas en un
minuto (𝜆)
Por regla de tres: 𝜆 = 0.05𝑥60 = 3
b)
c) En 5 minutos, ¿cuál es la
probabilidad que reciba como
máximo 4 llamadas?
𝑒 −𝜆 . 𝜆𝑥
𝑃 𝑥; 𝜆 =
𝑥!
𝑒 −3 .32
P(x=2) 𝑃 =
= 0.2240 = 22.4%
2!
c) Por regla de tres: en 5 minutos
𝜆 = 0.05𝑥300 =15
𝑃(𝑋 ≤ 5)
P(x=5)
𝑃=
P(x=4)
𝑃=
P(x=3)
𝑃=
P(x=2)
𝑃=
P(x=1)
𝑃=
P(x=0)
𝑃=
𝑒 −15 .155
5!
𝑒 −15 .154
4!
𝑒 −15 .153
3!
𝑒 −15 .152
2!
𝑒 −15 .151
1!
𝑒 −15 .150
0!
= 0.0019
= 0.0006
= 0.0002
=0
=0
=0
𝑃(𝑋 ≤ 5) =0.0027=0.27%
𝑒 −𝜆 . 𝜆𝑥
𝑃 𝑥; 𝜆 =
𝑥!
DISTRIBUCIÓN POISSON
Uso de tabla: Para el uso de la tabla debe tener en cuenta lo siguiente:
CASO 1.
CASO 2.
CASO 3.
CASO 4.
CASO 5.
P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla
P ( X  a ) = P ( X ≤ a - 1)
P(X>a)=1- P(X≤a)
P ( X ≥ a ) = 1 – P ( X ≤ a - 1)
P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a -1)
Ejercicio 4:
La central telefónica de una empresa recibe un promedio de 3.4 órdenes de pedido
por hora. Estas ocurrencias se producen al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que
se produzcan:
a)
Exactamente 4 órdenes de pedido en una hora dada.
b)
Como máximo 5 órdenes de pedido en una hora.
c)
Más de 5 órdenes de pedido en dos horas.
24
Solución del ejercicio 4:
  3.4 órdenes de pedido / hora
a)
b)
Exactamente 4 órdenes de pedido en una hora dada.
Como máximo 5 órdenes de pedido en una hora.
𝑃 𝑋 ≤ 5 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + ⋯ + 𝑃(𝑋 = 5)
P( X  5)  0.871  87.1%  Tabla Caso1
c)
Más de 5 órdenes de pedido en dos horas.
En 2 horas   6.8 órdenes 
  6.8 órdenes / 2 horas
P ( X  5)  1  P ( X  5)  Tabla Caso 3
 1  0.327
 0.673  67.3%
25
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Función de Probabilidad
1
P(X  x)  
e
 σ 2π
x
1  Xu 
 

2 σ 
2
dx
Parámetros: Media Varianza
µ
σ2
Distribución Normal Estándar
La distribución normal estándar es una
distribución normal media µ = 0 y varianza
σ2 = 1.
Tiene las mismas características de una
distribución normal.
Función de Probabilidad
P(Z  z)  
z

1
e
2π
 x u 
z 




Z2

2
dz
; Para z = -4, …,4
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
Recordar: La distribución normal es una familia de distribuciones caracterizada por
dos parámetros: la media y la desviación estándar.
Distribución Normal Estándar
PROPIEDADES PARA EL USO DE LA TABLA DE LA
DISTRIBUCION NORMAL
𝒂) 𝑷 𝑿 ≤ 𝒂 = 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂
𝒃) 𝑷 𝑿 ≥ 𝒂 = 𝟏 − 𝑷(𝑿 ≤ 𝒂)
𝒄) 𝑷 𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒃 − 𝑷(𝑿 ≤ 𝒂)
NOTA:
El procedimiento de cálculo si los datos están dados con
signos, < o > es el mismo.
Ejercicio 1:
La calificaciones de los 500 aspirantes presentados a
un examen para contratación laboral, se distribuye
normalmente con media 7 y varianza de 4
Encuentre:
a) La probabilidad de que un aspirante obtenga 8
puntos o más.
b) El porcentaje de aspirantes con calificaciones
inferiores o iguales a 5 puntos.
c)
Cuántos
aspirantes
obtuvieron
comprendidas entre 5 y 8 puntos
calificaciones
Ejercicio 1:
a) La probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o
más P (X ≥ 8)
Ver tabla
P ( X ≥ 8 ) = 1 - P ( X ≤ 8 ) = 1 – P ( Z ≤ 0.5) = 1 – 0.6915 = 0.3085
Tipificando : z  8  7  0.5
2
N ( 7; 2)
 x u 
z


  
7 8
0 0.5
(X)
(Z)
La probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más es de 0.3085.
Ejercicio 1:
b) El porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores o
iguales a 5 puntos.
P ( X ≤ 5) = P ( Z ≤ -1) = 0.1587
Ver tabla
Tipificando
 x u 
z 

  
El
57
z
 1
2
porcentaje
de
aspirantes
N ( 7; 2)
con
calificaciones inferiores o iguales a 5
puntos es de 15.87%
5
-1
7
0
( X)
(Z)
Ejercicio 1:
c) Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5
y 8 puntos
P ( 5 < X < 8 ) = P ( X < 8 ) - P ( X < 5 ) = P ( Z < 0.5 ) - P ( Z -1 ) =
Ver tabla y comprobar
Tipificando
con Mega Stat.
 x u 
z 

  
87
z
 0.5
2
57
z
 1
2
N ( 7; 2)
P ( Z < 0.5) - P ( Z < -1) = 0.6914 – 0.1587
P ( Z < 0.5) - P ( Z < -1) =0.5328
5
-1
7 8 ( X)
0 0.5 ( Z )
Luego como nos piden cuantos aspirantes se encuentran en éste intervalo multiplicamos la
probabilidad por el total de aspirantes: 500 * 0.5328=266.40 aprox 266 aspirantes
Tema:
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Variable aleatoria y
distribuciones de
probabilidad
Material producido por:
Universidad Privada del Norte
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