Probabilidad conjunta

Unidad 1
Probabilidad conjunta
1.1
Definición de probabilidad conjunta.
Es la probabilidad correspondiente a un evento compuesto por 2 o más
eventos.
Experimentos aleatorios.Son aquellos experimentos en los cuales no somos capaces de indagar o
controlar el valor de determinadas variables, de manera que el resultado
cambiara de un experimento a otro a pesar de que la mayoría de las
condiciones son las mismas.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
Lanzar una moneda.
Lanzar un dardo.
Fabricar tornillos en una maquina.
Elaborar una bombilla eléctrica.
Espacios de la muestra.Un conjunto “S” que consta de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio se llama espacio muestral y cada resultado se
llama punto muestral.
1
1.2 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Son también conocidos como conjuntos y no pueden ocurrir al mismo tiempo,
es uno u otro.
La formula básica de probabilidad es:
numero de eventos exitosos.
Probabilidad =
total de eventos.
=
𝑛
𝑁
Ejemplo 1
Una caja contiene 6 billetes de 500, 3 de 50 y 1 de 100, determine la
probabilidad de que al extraer al azar uno de estos sea de 100 pesos.
1
Probabilidad = 10 = 0.1 = 10%
#2Una señorita tienen en su closet 7 vestidos negros, 6 rosas, 4 rojos, 9
verdes, ¿Cuál es la probabilidad de que saque cada color?
7
26
= 0.26 = 26%
6
= 0.23 = 23%
26
4
= 0.15 = 15%
26
9
= 0.34 = 34%
26
Ejercicio #3 una caja contiene 6 billetes de 500, 3 de 50, 4 de 200 y 2 de
100 determine la probabilidad de que al sacar 1 de estos sea de 50 pesos.
𝑛
3
=
= 0.2 = 20%
𝑁 15
2
1.2.1 regla de la adición.
La regla de la adición como su nombre indica se relaciona a eventos
mutuamente excluyentes y no excluyentes, en la diferencia entre ambos es la
siguiente.
Para eventos mutuamente excluyentes:
permutación→ P (AoB)= 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Para eventos no excluyentes entre sí.
P (AoB)= (𝑃 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Para poder aplicar los eventos mutuamente excluyentes, se debe conocer
su siguiente y aplicación, dentro de un experimento aleatorio hay siempre
incertidumbre sobre si corría un evento en particular. Ejemplo:
Lanzar una moneda Ɛ1=sol Ɛ=aguila.
1.-Evento: sorteo del servicio militar. 3.-Evento: jugar de tin marin
Ɛ1=persona
Ɛ1=persona
Ɛ2=persona
Ɛ2=persona
Ɛ3=persona
Ɛ4=persona
Ɛ5=persona
2.-Evento: jugar disparejo
Ɛ1=persona
Ɛ2=persona
Ɛ3=persona
Se dice que 2 eventos son mutuamente excluyentes si y solo si sus
intersecciones no se repiten.
3
Ejercicios de eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes.
1.-En un grupo de 45 universitarios, 28 estudian ingles y 16 estudian francés,
además de que 12 no estudian idiomas, elaboren un diagrama de Ben que
ilustre esta situación y determine la probabilidad de que al entrevistar al azar a
un alumno del grupo este alumno estudie ingles y francés.
I
28
F
16
12
P1 =
11
= 0.24X100=24%
45
17
P2 =
45
P3 =
P4 =
= 0.37 × 100 = 38%
5
45
12
45
= 0.11 × 100 = 11%
= 0.26 × 100 = 26%
I
F
11
17
12
4
5
2.-En un grupo de 17 alumnos, hay quienes van a continuar sus estudios, hay
quienes no y hay quienes no saben hasta este momento, elabore el diagrama
de Ben y calcule la probabilidad de cada grupo.
SI
11
NO
0
6
3.-En un grupo de 17 alumnos, 10 van a seguir estudiando, 2 no van a seguir y
5 no saben, elabora su diagrama y saca sus porcentajes.
Van a seguir no van a seguir
10
Los que van a seguir =
2
10
17
no saben
5
= 0.59 × 100 = 59%
2
Los que no van a seguir = 17 = 0.11 × 100 = 11%
5
Los que no saben = 17 = 0.29 × 100 = 29%
5
1.3 Eventos independientes.
Los eventos independientes son aquellos en que como su nombre indica el
evento “X” no depende o es independiente del evento “Y”.
Existen casos como por ejemplo: el hecho de llover se relaciona siempre a una
condensación de nubes pero no siempre es así, ya que en ciertos casos la
lluvia se produce por factores externos.
1.-En una escuela de 300 alumnos, el 20% tienen problemas visuales, el 8%
tiene problemas auditivos y el 4% tiene tantos problemas visuales como
auditivos, ¿Cuánto es hablando en números los alumnos que padecen dichos
problemas?
60 problemas visuales 8%
24 problemas auditivos 4%
12 problemas ambos
2.-A Alison le gusta variar sus ejercicios según se prepara para los maratones,
ella puede nadar en 3 piscinas entre (P1P2P3) y puede entrenarse de manera
segura sola en su sillón de ruedas de carreras, y en 5 rutas (R1R2R3R4R5)
diferentes. Alison puede seguir cualquier ruta en su sillón de ruedas de carreras
sin importar la piscina que escoja.
1.- Alison escoge 1 piscina y luego una ruta ¿estos eventos son independientes
sí o no? R=Es independiente porque puede agarrar cualquier ruta.
6
Ejercicio #3.Un enorme plato giratorio de madera está dividido en 58 sectores circulares,
del mismo tamaño de los cuales 14 son azules 23 son rojos y 21 son verdes si
se lanza un dardo al plato diga cuál es la probabilidad de que:
A) Pegue en un sector azul.
B) pegue en un sector que no sea azul.
C) Pegue en un sector azul o rojo.
A
R
14
23
21
V
14
A)
58
B)
C)
44
58
14
58
= 0.24 × 100 = 24%
= 0.75 × 100 = 75%
+
23
58
= 0.24 + 0.39 = 0.63 × 100 = 63%
7
Actividad DE RAZONAMIENTO.
En el mar muerto existen una gran variedad de peces, casi similar a los que
encontramos en el golfo de México, un domingo 10 amigos deciden nadar
en las costas del golfo, cuando en un momento dado fueron atacados por
pirañas, ¿Cuántos creen que se salvaron?
R=NO HAY PIRAÑAS EN EL GOLFO.
2.-Un barco de vela navega a través del mar desde león hasta fresno
zacateco, con vientos del sureste llevando una velocidad de 70 km/h y
recorre una distancia de 450 km ¿en cuánto tiempo lo hará dicho barco?
R=NO HAY MAR EN ZACATECAS.
EL LANZAMIENTO DE MONEDAS.
1.- Al jugar a los bolados con una moneda ¿Cuál es la probabilidad de
obtener águila?
¿Por qué crees eso?
2.- Si haces 10, 20 o 35 lanzamientos de una moneda ¿cuántas águilas
esperas que ocurran porque crees eso?
3.-Al lanzar 10 veces la moneda cuantas veces caerá águila y en 20 veces y
en 35 veces.
8
1.4 probabilidad condicional.
1.4.1 definición.
La probabilidad condicional se refiere al cálculo de la probabilidad de un
evento, cuando se sabe que ya ocurrió otro con el cual está relacionado; por
ejemplo: ¿cuál será la probabilidad de que llueva si el día está nublado?
1.-De un grupo de 45 universitarios 11 estudian ingles y francés, 17 estudian
solo ingles, 5 estudian únicamente francés y 12 no estudian idiomas. Si se
selecciona arbitrariamente a un estudiante de francés, ¿Cuál es la probabilidad
de que este estudiante también estudie ingles?
I
17
F
11
5
12
P=
11
16
= 0.68 = 68%
9
EJERCICIO 2.En una huerta ay 1000 árboles de los cuales 760 son de manzanas y los
demás son naranjas: los arboles de fruta para jugo son 650 y hay 350
árboles de fruta para mesa y de estos 450 son manzanos. Determine la
probabilidad de que al seleccionar al azar un árbol de manzana este sea de
fruta para jugo.
1000 árboles >760 manzana
240 naranjas
450
= 0.59 × 100 = 59%
760
JUGO
450
MESA
350
200
EJERCICIO 3.En una reunión de 60 personas hay 24 hombres que no son doctores y 6
hombres que son doctores, 26 mujeres que no son doctoras y 4 mujeres
que son doctoras.
A) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar a un hombre este
sea doctor?
B) ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar a una mujer esta sea
doctora?
60 personas
24 son hombres
6 hombres doctores
26 mujeres
10
4 mujeres doctoras
6
= 0.2 × 100 = 20%
30
4
= 0.13 × 100 = 13%
30
POR REGLA DE 3.30=100%
6=X
X=20%
30=100%
4=X
X= 13.3%
EJERCICIO 4.Una persona vacaciona el 20% de las veces en Morelia, el 35% de las
veces en Veracruz y el resto en Acapulco. En Morelia dedica el 80% del
tiempo a visitar museos, en Veracruz el 40% lo pasa en la playa y en
Acapulco dedica el 70% también en la playa.
A) Si se sabe que la persona fue a la playa, ¿Cuál es la probabilidad de
que haya ido a Acapulco?
B) Si se sabe que la persona no fue a la playa, ¿Cuál es la probabilidad
de que haya ido a Morelia?
Morelia 20%→80% visitas en museos
Veracruz 35%→40% playa
Acapulco 45%→70% playa
45
P(A)=70 = 0.64 × 100 = 64%
20
P (B)=
80
= 0.25 × 100 = 25%
11
EJERCICIO #5.Consideremos una urna que contiene 4 bolitas rojas y 5 bolitas
blancas. De las 4 bolitas rojas 2 son lizas y 2 son rayadas y de las 5
bolitas blancas 4 son lizas y 1 sola es rayada. Supongamos que se
extrae 1 bolita y sin que la hayamos mirado, alguien nos dice que la
bolita es roja, ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita sea rayada?
Suceso (A) = “la bolita sea rayada”
Suceso (B) = “la bolita sea roja”
P(A) =
3
P (B) =
9
4
9
1
= = 0.33 = 33%
3
= 0.44 = 44%
EJERCICIO #6.Consideremos que una urna tiene 9 bolitas rojas y 10 blancas de las
9 rojas 6 son lisas y 3 rayadas y de las 10 blancas 5 son lizas y 5
solo es rayada supongamos que se extrae una bolita y sin que la
hayamos mirado alguien nos dice que la bolita es roja, ¿Cuál es la
probabilidad de que la bolita sea rayada?
12
Unidad 2
2.1 distribución de probabilidad de
una variable aleatoria discreta.
Una variable es aquella que te permite elegir o escoger entre 2
opciones o más, por ejemplo: elegir una carrera profesional.
Existen varios tipos de variables entre ellas se encuentra la variable
aleatoria discreta permite elegir la opción más adecuada entre
diversas opciones.
Unidad 3
3.1 distribución de probabilidad con
variables aleatorias continuas.
Variables aleatorias: Es aquella en la cual suponemos que a cada
punto del espacio muestral le asignamos un número. Tenemos
entonces una función definida en el espacio muestral. Esta función
recibe el nombre de variable aleatoria o variable estocástica o más
precisamente función aleatoria o función estocástica. Como X o Y. en
general, una variable aleatoria tiene alguna significación física,
geométrica o de otro tipo. Ejemplo: supongamos que se lanza una
moneda 2 veces siendo X el número de caras que pueden salir.
Una variable aleatoria que toma en número finito o infinito de valores
se llama variable aleatoria discreta, mientras que una que toma un
número de valores, infinito no contable recibe el nombre de variable
aleatoria no discreta.
13
En temas anteriores estudiamos las medidas de tendencia central:
media aritmética, mediana, moda, que describen el comportamiento
de los datos en una distribución de frecuencias.
También estudiamos información estadística como los histogramas y
los polígonos de frecuencia donde observamos un significativo
comportamiento de los datos en cuanto a la frecuencia en que se
presentan los valores ya que algunos de estos son mas comunes
que otros.
En estadística se la llama parámetro a cualquier característica
cuantificable de una población.
A los resultados obtenidos de operar los datos resultantes de una
muestra se llaman valores o resultados estadísticos.
También definimos a la población como un conjunto de todos los
sucesos susceptibles de aparecer en un problema y que interesan a
la persona que hace el estudio. También señalamos que una
muestra es un subconjunto de mediciones de una población.
La población puede ser finita o infinita y si nos referimos a su número
se toma como el tamaño de la población. El concepto de infinito solo
existen teoría pues en la práctica no encontraremos aplicación a
poblaciones de elementos infinitos como sería el caso por ejemplo:
las estrellas del universo. Sin embargo, en la estadística matemática
las poblaciones con un número grande de elementos son llamados
poblaciones infinitas.
Cuando la población o conjunto es muy grande se hace difícil la
observación de los caracteres a estudiar en cada uno de los
elementos por lo tanto se sugiere trabajar por muestras.
La estadística descriptiva maneja los datos obtenidos para su
ordenación y presentación y hacen resaltar ciertas características de
manera que sean más objetivas y útiles. Por ello investiga los
métodos y procedimientos y establecen reglas para que el manejo de
los datos sea suficiente.
En una investigación estadística se debe tomar en cuenta lo
siguiente:
a) Con que población vamos a trabajar.
b) El que el cómo y el cuándo y el donde
c) La recolección de la información que incluye ordenarla, filtrarla
(eliminar posibles errores) y analizarlas aplicando los métodos y
normas estadísticos.
d) La población de la información.
La diferencia importante entre la estadística y la probabilidad es:
En la probabilidad se razona a partir de la población hasta llegar a
la muestra.
En la estadística del razonamiento parte de la muestra para llegar
al conocimiento de toda la población.
14
Se llama estadística inferencia o inductiva o teoría de muestras al
estudio de una población tomando en cuenta como base las
muestras.
La inferencia estadística trata de conocer o explicar el
comportamiento de la población mediante los datos obtenidos de
una muestra que incluye el muestreo, la estimación puntual por
intervalos y la prueba de hipótesis.
Como no se puede estar absolutamente seguros de la veracidad
de las inferencias obtenidas, se les llaman probabilidades.
Para predecir a partir de una muestra es necesario haberlas
seleccionado y recopilado cuidadosamente; si la muestra no se
selecciona adecuadamente o si la recolección es incorrecta o hay
desviaciones en los datos, con ningún análisis estadístico que se
aplique se llagara a buenas conclusiones.
El proceso para obtener una muestra debe ser el más económico
el más rápido y el que asegure ser representativo de toda la
población.
En la práctica con frecuencia estamos interesados en establecer
conclusiones validas sobre un grupo grande de individuos u
objetos. En lugar de examinar el grupo completo, llamado
población, lo cual puede ser difícil e imposible, examinamos
solamente una parte pequeña de esa población, la cual llamamos
muestra. Hacemos esto con el ánimo de inferir ciertos hechos
sobre la población a partir de los resultados que encontramos en
la muestra, un proceso conocido como inferencia estadística. El
proceso de obtención de muestras se llama muestreo. Ejemplo:
Podemos querer sacar conclusiones sobre las estaturas o pesos
de 12000 estudiantes adultos (seria la población) al examinar tan
solo 100 estudiantes (la muestra seleccionados de esa
población.)
Debemos tener en cuenta varias cosas. Primero, la palabra
población no necesariamente tiene el mismo significado que tiene
en el lenguaje común. Segundo, la palabra población se usa con
frecuencia para denominar las observaciones o medidas en lugar
de los individuos u objetos. Tercero, la población puede ser finita
o infinita, siendo su número el tamaño de la población y
generalmente se representa con la letra N. De manera similar, el
número de la muestra se denota por el tamaño de la muestra o
tamaño muestral, se denota como n y generalmente es finito.
Si retiramos un objeto de una urna, tenemos la opción de
devolverlo o no, antes de sacar el siguiente en el primer caso, un
objeto en particular puede salir una y otra vez, mientras que en el
segundo, solo puede salir una vez. Tomar muestras en donde
cada miembro de la población puede escogerse más de una vez
15
se llama muestreo con remplazo, mientras que tomar muestras en
donde cada miembro no se puede escoger más de una vez se
llama muestreo sin remplazo.
Una población finita de, la que se toman muestras con reemplazo
puede considerarse teóricamente infinita dado que se pueden
tomar muestras de cualquier tamaño sin agotar la población.
Claramente, la confiabilidad de las conclusiones obtenidas
concernientes a una población dependen de si la muestra se
tomo adecuadamente, para que represente a la población lo
suficientemente bien.
Uno de los problemas importantes de la inferencia estadística es
precisamente como obtener una muestra.
Ejercicio 1.En una mueblería la probabilidad de vender un comedor es 0.25,
una sala es 0.35, un refrigerador es 0.10 y otro mueble es 0.30,
que en un árbol de probabilidad quedaría de la siguiente manera:
comedor
• sala 0.35
• refrigerador 0.10
• otro mueble 0.30
sala
• comedor 0.25
• refrigerador 0.10
• otro mueble 0.30
refrigerador
• comedor 0.25
• sala 0.35
• otro mueble 0.30
Mueblería
otro
mueble
16
• comedor 0.25
• sala 0.35
• refrigerador 0.10
1.-cual es la probabilidad de vender 1 sala y 1 comedor.
Comedor 0.25
Sala
0.35
0.60 X 100 = 60 %
2.- Cual es la probabilidad de vender 1 refrigerador y otro mueble
Refrigerador 0.10
0.40 X 100 = 40 %
Otro mueble 0.30
3.1.1.4 distribuciones de probabilidad
normal.
Ejercicio 2.Un estudio de accidentes revela las cantidades que se presentan
enseguida, determine la probabilidad de un accidente:
Evento
Accidente leve
Accidente grave
Sin accidente
Auto color claro
13
8
615
Auto color oscuro
28
17
872
a) Si se conduce un automóvil de color claro.
13
AL =
= 0.61
21
X= 0.23X100%=23.18%
8
AG =
= 0.38
21
b) Cuál es la probabilidad si se conduce un auto de color oscuro.
AL =
28
45
= 0.62
X=0.2294X100%=22.94%
AG =
17
45
= 0.37
17
Ejercicio 3.Un estudio de accidentes en el hogar revelo las cantidades que se
presentan enseguida, determine la probabilidad de un accidente si:
Evento
Quemaduras
Cortaduras
Sin accidente
De día
26
16
319
De noche
56
34
538
a) Cuál es la probabilidad de un accidente durante el día.
26
= 0.61
42
16
= 0.38
42
0.23 x 100= 23%
b) cual es la probabilidad de un accidente durante la noche.
56
= 0.62
90
34
= 0.37
90
0.22 x 100 = 22%
Dentro de la distribución normal existen ejercicios en los cuales es
necesario realizar análisis matemático como por ejemplo:
1.
si al repartirlas entre 2,3,4,5,6,10,12,15,20 y 30 personas nunca le
sobran canicas. ¿Cuántas canicas tiene Mario? R= 60 canicas.
2 - David lee un libro de 151 si diario lee 6 páginas en total, pero a partir
del segundo día vuelve a leer 1 página del día anterior para entender
mejor ¿en qué tiempo terminara de leer todo el libro? R=30 DIAS.
18
3.- José tenía 1000 dólares y Jesús 500. Si José gasta la mitad de lo que tiene
Jesús, ¿cuánto dinero tendrán entre los 2 después del gasto que se hizo?
R=1250.
4.- Chela le propuso a Ramón que metiera su dinero en una caja y le pagara
120 por cada vez que se le duplicara su dinero, Ramón metió su dinero y se le
duplico, por lo que tuvo que pagar a chela 120.Lo metió por segunda vez y se
le volvió a duplicar, pagando nuevamente 120. Metió por tercera ocasión su
dinero y también se le duplico por lo que tuvo que volver a pagar 120.
Después del tercer pago se quedo sin dinero, ¿Cuánto tenia Ramón antes de
emprender tan pésimo negocio? R= 105
5.- ¿Qué resulta más económico: invitar a una amiga al teatro dos veces o
invitar a dos amigas una sola vez? R= Dos amigas.
6.-El Guadalajara iba ganando por dos goles de diferencia al término del primer
tiempo, en el segundo tiempo cada equipo anoto 2 goles. Si el marcador final
suma 10 goles, ¿Cuál era el marcador antes de comenzar el segundo tiempo?
R= 4,2
7.-Un paciente tiene que tomar una tableta cada hora y media. Si las comienza
a tomar a las seis de la mañana y se le termina a las seis de la tarde, ¿Cuántas
tabletas tenía el frasco? R= 9 Tabletas.
8.-Bety tiene tres montones de naranjas, Toño tiene 9 montones, Paco 7
montones y Chucho tiene 4 montones, ¿Cuántos montones habrá si los juntan
todos? R= un montón.
19
Unidad 4 Análisis de datos de dos
variables.
4.1 representación de datos de dos
variables.
Una variable aleatoria que toma un número finito o contable infinito
de valores se llama variable aleatoria discreta, mientras que uno que
toma un número de valores infinito no contable recibe el nombre de
variable aleatoria no discreta.
Las variables pueden ser cuantitativas y cualitativas en donde
cuando hablamos cuantitativamente nos referimos a una cantidad, y
cuando hablemos cualitativamente nos referimos a la calidad de
algún aspecto.
En economía financiera, el análisis cuantitativo, es una técnica que
aplica las matemáticas en el ámbito de la economía y la bolsa de
valores.
En química un análisis cuantitativo es el estudio experimental de las
cantidades de sustancias que aparecen en una muestra o que
interviene en una reacción.
En estadística es un conjunto de técnicas de análisis estadístico.
La investigación cualitativa por su parte es un método de
investigación usado principalmente en las ciencias sociales que se
basa en cortes metodológicos basado en principios teóricos tales
como la fenomenología, hermenéutica, la investigación cualitativa
requiere un profundo entendimiento del comportamiento humano y
las razones que lo gobierna, en otras palabras investiga el porqué y
el cómo se tomo una decisión, en cambio la cualitativa busca
responder preguntas como: cual, donde, cuando.
20
4.2 correlación lineal.
En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la
dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se
considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas
cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con
respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos
variables (a y b) existe correlación si al aumentar los valores de A lo
hacen también los de B y viceversa. La correlación entre dos
variables no implica, por si misma ninguna relación de casualidad.
La relación entre dos variables cuantitativas queda representada
mediante la línea de mejor ajuste trazada a partir de la nube de
puntos. Los principales componentes elementales de una línea de
ajuste y por lo tanto de una correlación son la fuerza el sentido y la
forma.
21