FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES. AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL ESTIMACION DE PARAMETROS. INTERVALOS PERIODO ACADEMICO: II-2010 3. NOMBRE: SEMESTRE: No: FECHA: 1. MEDIA MUESTRAL. Recuerde que usted necesita conocer: 1. 2. 3. 4. 2. 𝜇 = Media poblacional. 𝜎 = Desviación estándar de la población. 𝑛 = Numero de elementos de la muestra. 𝜎 𝜎𝑥̅ = 𝑛 Desviación estándar de la media muestral. √ 5. 𝑒 = Error estándar = 𝑍 √𝜎𝑛 6. 𝑍 = 𝑋̅𝑖 −𝜇 = Fórmula para calcular las unidades 𝜎𝑋 ̅ estandarizadas. Un auditor toma una muestra aleatoria de tamaño 36, de una población de 1.000 cuentas por cobrar de una empresa muy importante en los Estados Unidos. El valor promedio de las cuentas por cobrar de la población es de 2.600 us., con una desviación estándar poblacional de 450 us. N = 1.000 n = 36 𝜇 = 2.600US 𝜎 = 450us Determinamos la desviación estándar de la muestra: 𝜎𝑥̅ = Las colas 100%−95% 2 𝜎 = 450 = 75 √𝑛 √36 = 2.5%, representa una área A = 0.025 4. DISTRIBUCION DE LA PROPORCIONAL. Se debe conocer: x 1. p = n Proporción muestral. 2. σP = √ 3. n = Elementos de la muestra. 4. e = 𝑧√ 5. z P(1−P) n Error de la proporción. P(1−P) n 𝑝𝑖 −𝜇 = Margen de error. = Fórmula para calcular las unidades 𝜎𝑝 estandarizadas. Un administrador de la Universidad recopila datos sobre una muestra aleatoria nacional de 230 estudiantes inscritos en el programa de postgrado en Administración de Empresas y encuentra que 54 de ellos tienen Licenciatura en Administración o contaduría. N = 1.000 n = 230 𝜇 = 2.600US 𝜎 = 450us Halamos la proporción de la muestra. 𝑥 54 𝑝= = = 0.2348 𝑛 230 Determinamos la desviación estándar de la muestra: 𝜎𝑝 = √ Las colas 𝑝(1 − 𝑝) 0.2348(1 − 0.2348) =√ = 0.0279 𝑛 230 100%−90% 2 = 5%, representa una área A = 0.05 Si el A = 0.05, tenemos que las unidades estandarizadas Z son: 𝑍1 = −1.64 y 𝑍2 = +1.64 Si el A = 0.025, tenemos que las unidades estandarizadas Z son: 𝑍1 = −1.96 y 𝑍2 = +1.96 0.95 0.05 0.05 -1.64 +1.64 𝑍1 1. 𝑍1 1. 2. 3. 𝑝𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑋̅ 𝑋̅𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑋̅ Si 𝑍1 = −1.96 entonces 𝑋̅1 = 2600 − (1.96)(75) 𝑋̅1 = 2600 − 147 𝑋̅1 = 2453 ̅ Si 𝑍1 = 1.96 entonces 𝑋2 = 2600 + (1.96)(75) 𝑋̅2 = 2600 + 147 𝑋̅2 = 2647 2.453 ≤ 𝜇 ≤ 2.647 CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos asegurar que el promedio de las cuentas por cobrar de la empresa están entre los valores [2.453; 2.647]. Encuentre el intervalo de las cuentas por cobrar totales de la empresa. 𝑇1 = 𝑋̅1 𝑁 = (2.453)(1.000) = 2.453.000 𝑢𝑠 𝑇2 = 𝑋̅2 𝑁 = (2.647)(1.000) = 2.647.000 𝑢𝑠 Podemos afirmar que en la empresa el promedio de las cuentas por cobrar totales de la empresa se encuentran entre los valores: [2.453.000; 2.647.000]. Suponga que el margen de error para la misma desviación estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es de 155. Determínese el número de elementos de la muestra. 𝑍𝜎 2 𝑒 𝑍𝜎 2 𝑒 Si 𝑍1 = −1.64 entonces Si 𝑍1 = +1.64 entonces 155 2. 3. 4. 5. 𝑍 2 𝑝(1−𝑝) 𝑒2 = (1.64)2 0.2348(1−0.2348) (0.06)2 = 134.23 n= 135 Suponga que el margen de error para la misma desviación estándar poblacional y el intervalo de confianza del 90%, es de 0.03. Determínese el número de elementos de la muestra. 𝑛= ) = 46.03 entonces n = 47 Compárese con los resultados del enunciado del problema y concluya. 1. Si el margen de error aumenta, para los mismos datos del problema, el número de elementos de la muestra disminuye. 2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos del problema, el número de elementos de la muestra aumenta. 𝑝̅2 = 0.2348 + (1.64)(0.0279) CONCLUSIÓN: Con una confianza del 90% podemos asegurar que de los estudiantes de la universidad en el postgrado de Administración, tienen licenciatura en contaduría o administración un porcentaje que esta entre el 18.91% y 28.05%. Halle el intervalo de los estudiantes. 𝑇1 = 𝑝1 𝑁 = (0.1891)(230) = 43.49 Aproxima a 44 𝑇2 = 𝑋̅2 𝑁 = (0.2805)(230) = 64.60 Aproxima a 65 Podemos afirmar que en la Universidad en el postgrado de administración los estudiantes que tienen licenciatura en contaduría o administración está entre los valores: [44; 65]. Suponga que el margen de error para la misma desviación estándar poblacional y el intervalo de confianza del 90%, es de 0.06. Determínese el número de elementos de la muestra. 𝑛= ) = 32.38 entonces n = 33 1.96𝑥450 2 130 𝑝1 = 0.2348 − 1.64(0.0279) 𝑝̅1 = 0.2348 − 0.0457 𝑝1 = 0.1891 𝑝̅2 = 0.2348 + 0.0457 𝑝2 = 0.2805 0.1891 ≤ 𝜇 ≤ 0.2805 1.96𝑥450 2 Suponga que el margen de error para la misma desviación estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es de 130. Determínese el número de elementos de la muestra. 𝑛= ( ) = ( 5. 𝑍2 𝑍2 Estime la proporción de esos estudiantes a nivel nacional, que tienen licenciatura en administración o contaduría, utilizando un intervalo de confianza del 90%. Hallar el intervalo de confianza del 95%. 𝑛= ( ) = ( 4. 𝜇 𝜇 𝑍 2 𝑝(1−𝑝) 𝑒2 = (1.64)2 0.2348(1−0.2348) (0.03)2 = 536.93 n= 537 Compárese con los resultados del enunciado del problema y concluya. 1. Si el margen de error aumenta, para los mismos datos del problema, el número de elementos de la muestra disminuye. 2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos del problema, el número de elementos de la muestra aumenta. 5. DISTRIBUCION t STUDENT. Datos que se deben tener a mano como conocidos: 1. n − 1 = Grados de Libertad de la muestra. 2. 3. 4. 5. 6. 6. n = Numero de elementos de la muestra. μ = Media poblacional. s = Desviación estándar poblacional. s σ = Desviación estándar de la muestra. √n 𝑡𝑛−1 𝑋̅−𝜇 = Fórmula para calcular las unidades 𝑠 √𝑛 estandarizadas t para la distribución. La vida útil promedio de una muestra aleatoria de 10 bombillos metal High light (Luz para escenarios deportivos) es 4.000 horas, con una desviación estándar de muestral de 200 horas. Se supone que la vida útil de los bombillos tiene una distribución aproximadamente normal. Se estima la vida útil promedio de la población de bombillos de la cual se tomo la muestra, utilizando un intervalo de confianza del 95%. n = 10 𝑋̅ = 4000 n-1 = 10-1 = 9 Grados de libertad. Las colas 100%−95% 2 = 2.5%, representa una área A = 0.025. Si el A = 0.025, tenemos que las unidades estandarizadas Z son: 𝑡1 = −2.262 y 𝑍2 = +2.262 𝑡1=-2.262 𝜇 𝑡2 = 2.262 Determinamos la desviación estándar de la muestra: 𝜎𝑥̅ = 1. 2. 200 √10 = 63.24 Si 𝑡1 = −2.262 entonces 𝑋̅1 = 4000 − (2.262)(63.24) 𝑋̅1 = 4000 − 143.0488 𝑋̅1 = 3856.9512 Si 𝑡2 = +2.262 entonces 𝑋̅2 = 4000 + (2.262)(63.24) 𝑋̅2 = 4000 + 143.0488 𝑋̅2 = 4143.0488 3856.95 ≤ 𝜇 ≤ 4143.05 CONCLUSIÓN: Con una confianza del 95% podemos asegurar que el promedio de la vida útil de los bombillos de la población está entre los valores [3856.95; 4143.05]. Suponga que el margen de error para la misma desviación estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es de 155. Determínese el número de elementos de la muestra. 𝑒 2.262𝑥200 2 155 ) = 8.51 entonces n = 9 Suponga que el margen de error para la misma desviación estándar poblacional y el intervalo de confianza del 95%, es de 130. Determínese el número de elementos de la muestra. 𝑍𝜎 2 𝑛= ( ) = ( 𝑒 7. = 𝑋̅𝑖 = 𝜇 ± 𝑡𝑖 𝜎𝑋̅ 𝑍𝜎 2 4. √𝑛 Hallar el intervalo de confianza. 𝑛= ( ) = ( 3. 𝑠 2.262𝑥200 2 130 ) = 12.11 entonces n = 13 Compárese con los resultados del enunciado del problema y concluya. 1. Si el margen de error aumenta, para los mismos datos del problema, el número de elementos de la muestra disminuye. 2. Si el margen de error disminuye, para los mismos datos del problema, el número de elementos de la muestra aumenta. Calcular un intervalo de confianza al nivel de significancia del α = 0.01 para el peso exacto mediante los resultados obtenidos con 10 básculas: 7.20, 7.01, 7.36, 6.91, 7.22, 7.03, 7.11, 7.12, 7.03, 7.05 Suponiendo que las medidas del peso de las básculas sigue una distribución normal con media el peso exacto, estamos interesados en encontrar un intervalo de confianza que contenga a la media de esta distribución, que a un nivel α = 0.01 y desviación típica desconocida, está determinado por: n = 10 cada cola 0.005 Grados de libertad : n-1 = 9 S S x̅ − t n−1 ≤ μ ≤ x̅ + t n−1 √n √n La media muestral es: 10 ̅ = ∑i=1 Xi X 10 7.20+7.01+7.36+6.91+7.22+7.03+7.11+7.12+7.03+7.05 10 71.04 = = 7.1040 10 = La desviación estándar de la muestra: ̅ 2 ∑10 i=1(Xi −X) σ= √ 10 = 0.1220 Para A = 0.01 t = -3.250 y t = 3.250. El intervalo será: ̅ Xi = μ ± t i σX̅ Si t1 = −3.250 entonces ̅ X1 = 7.104 − (3.250)(0.1220) ̅1 = 7.1040 − 0.3965 X ̅1 = 6.7075 X Si t 2 = +3.250 entonces ̅ X2 = 7.1040 + (3.250)(0.1220) ̅ 2 = 7.1040 + 0.3965 X ̅ 2 = 7.5005 X 6.7075 ≤ μ ≤ 7.5005 CONCLUSIÓN: Con una confianza del 99% podemos asegurar que el promedio de la medidas del peso con las diez basculas de la población está entre los valores [6.7075 ; 7.5005]. Lic. Simeón Cedano Rojas ESTIMACION DE PARAMETROS E INTERVALOS 2.DOCX