Polinomios e Taylor

TEOREMA DE TAYLOR
POLINÓMIOS DE TAYLOR
P k ) (0)
Teorema: Dado P ( x) = a n x + ... + a1 x + a 0 ∈ ℜ[x ] se tiene a k =
∀k = 0,..., n ,
k!
n
P k ) (0) k
es decir, P( x) = å
x
k!
k =0
Teorema: Dada una función f derivable n veces en un punto x=a, existe un único
polinomio P(x) de grado menor o igual que n con P k ) (a) = f k ) (a ) ∀k = 1,..., n . Dicho
n
f k ) (a)
( x − a) k
polinomio viene dado por P( x) = å
k!
k =0
Definición: Dada una función f derivable n veces en un punto x=a, definimos el
polinomio de Taylor de grado n de f en x=a como el polinomio
n
f k ) (a)
T (n, f , a)( x) = å
( x − a) k .
k!
k =0
Y definimos el resto de grado n de f en x=a como
R (n, f , a )( x) = f ( x) − T (n, f , a )( x) .
Si f es derivable infinitas veces en x=a definimos la serie de Taylor de f en x=a como la
serie formal
∞
f k ) (a)
T ( f , a)( x) = å
( x − a) k .
k!
k =0
Nota: Nos preguntamos bajo que condiciones es T(n,f,a) o T(f,a) una "buena"
aproximación de f, es decir, cuando es R(n,f,a) "pequeño". En particular nos
preguntamos bajo que condiciones converge la serie T(f,a)(x) y hacia donde converge
(lo normal es que converja a f "cerca" de a, es decir que R(n,f,a)(x) converja a 0 "cerca"
de a)
Teorema: Dada una función f derivable n veces en un punto x=a, tenemos que
n
R ( n, f , a )
=0
x→a ( x − a) n
lim
Teorema: (TEOREMA DE TAYLOR)
f n +1) (t )
Sea f n+1 veces derivable en [a,x], entonces R(n, f , a)( x) =
( x − a) n+1 para
(n + 1)!
algún t∈(a,x) (Formula del resto de Lagrange)
SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
Definición: Consideremos una sucesión de funciones (fn) definidas en un dominio
D⊆ℜ, dada una función f:D→ℜ diremos que (fn) converge a f
• Puntualmente si ∀x∈D se tiene que fn(x) converge a f(x), es decir, si
∀x ∈ D ∀ε > 0 ∃N = N ( x, ε ) t.q. f n ( x) − f ( x) < ε ∀n ≥ N
• Uniformemente si ∀ε > 0 ∃N = N (ε ) t.q. f n ( x) − f ( x) < ε ∀n ≥ N ∀x ∈ D
Teorema: Si (fn) converge uniformemente a f y cada fn es
• Acotada, entonces f es acotada
• Continua, entonces f es continua
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TEOREMA DE TAYLOR
b
• Integrable en [a,b], entonces f es integrable en [a,b] y
òf
a
b
= lim ò f n
a
• Derivable, entonces f NO TIENE POR QUE SER DERIVABLE
Definición: Una serie de funciones del tipo
∞
å A ( x − a)
k
k
recibe el nombre de serie de
k =0
potencias centrada en x=a.
Teorema: (SERIES DE POTENCIAS)
Dada una serie de funciones
∞
å A ( x − a)
k
k
, tenemos:
k =0
• Existe R∈[0,∞] (Llamado radio de convergencia) tal que la serie converge
absolutamente en (a-R,a+R) y diverge en ℜ-[a-R,a+R]. (No se sabe lo que pasa en a-R y
a+R)
• La serie converge uniformemente sobre cada compacto de (a-R,a+R)
• La serie es continua y derivable en (a-R,a+R), y es integrable en cualquier intervalo
cerrado incluido en (a-R,a+R)
∞
∞
A
• Las series å kAk ( x − a ) k −1 y å k ( x − a ) k +1 tienen radio de convergencia R y
k =1
k =0 k
coinciden respectivamente con la derivada y una primitiva de la serie original.
• La serie es infinitamente derivable y su serie de Taylor coincide con ella misma.
A
Nota: Si existen lim n An o lim n +1 entonces R=lim-1
An
Nota: Si conseguimos desarrollar en serie de potencias una función en torno de un pto.,
entonces dicho desarrollo es la serie de Taylor de esa función en ese pto.
ALGUNOS DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
Teorema: (DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR)
2 n +1
∞
∞
1
n x
n
arctg x = å (−1)
para x∈[-1,1]
= å x para x∈(-1,1)
2n + 1
1− x
0
0
∞
∞
x 2n
xn
cos x = å (−1) n
ex = å
para todo x∈ℜ
para todo x∈ℜ
(2n)!
0
0 n!
∞
∞
x 2 n+1
xn
sen x = å (−1) n
para todo x∈ℜ
log(1 + x) = å (−1) n +1
, x∈(-1,1]
(2n + 1)!
n
0
1
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