logica final

LOGICAMAYOCANDENAS2021.pdf
MayoCandenas
Lógica
2º Grado en Filosofía
Facultad de Filosofía
Universidad de Sevilla
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CRISTINA BARÉS GÓMEZ
CURSO 2020/2021
MAYO PINTO CANDENAS
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LÓGICA
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1. Tabla de contenido
1.
INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 3
1.1.
ARGUMENTOS, ARGUMENTOS VÁLIDOS Y ESQUEMAS DE
ARGUMENTO. ............................................................................................................... 3
2.
LÓGICA PROPOSICIONAL ........................................................................ 17
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.1.5.
2.1.6.
2.2.
2.2.1.
2.3.
INTRODUCCIÓN. ............................................................................................ 17
ELEMENTOS CLAVES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL................................. 17
CONJUNCIÓN LÓGICA (^): ........................................................................................ 20
NEGACIÓN LÓGICA (¬): ............................................................................................. 21
DISYUNCIÓN LÓGICA (∨): ......................................................................................... 22
IMPLICACIÓN LÓGICA (→): ..................................................................................... 23
BICONDICIONAL LÓGICO («):................................................................................ 24
INTRODUCCIÓN. ............................................................................................ 25
SINTAXIS: ....................................................................................................................... 25
SEMÁNTICA. ................................................................................................... 28
2.3.1. SEMÁNTICA: .................................................................................................................. 28
2.3.2. TABLAS DE VERDAD (MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN): ................................... 31
2.3.3. TABLAS SEMÁNTICAS (MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN): ................................ 39
2.3.4. DEDUCCIÓN NATURAL: ............................................................................................. 46
PROCEDIMIENTO GENERAL DE DEDUCCIÓN: ................................................................. 49
CONJUNCIÓN: ............................................................................................................................. 51
IMPLICACIÓN: ............................................................................................................................ 53
DISYUNCIÓN:............................................................................................................................... 57
NEGACIÓN: .................................................................................................................................. 59
2.3.5. CONCLUSIONES, LÓGICA MINIMAL, INTUICIONISTA Y CLÁSICA:............. 63
3.
LÓGICA DE PREDICADOS ......................................................................... 69
3.1.
3.1.1.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.3.
INTRODUCCIÓN. ............................................................................................ 69
ELEMENTOS CLAVES DE LA LÓGICA DE PREDICADOS ................................. 69
SINTAXIS. ........................................................................................................ 74
DEFINICIONES INDUCTIVAS .................................................................................... 74
EJERCICIOS DE TRADUCCIÓN O FORMALIZACIÓN: ....................................... 79
CONSEJOS PARA TRADUCIR Y FORMALIZAR: .................................................. 83
SEMÁNTICA. ................................................................................................... 83
3.3.1. TEORÍA DE CONJUNTOS ............................................................................................ 83
3.3.2. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PREDICADOS ................................................... 87
3.3.3. INTERPRETACIÓN POR SUSTITUCIÓN ................................................................. 89
Definición de valuaciones, DEFINICIÓN 7: ................................................................................ 92
3.3.4. TABLEAUX ................................................................................................................... 100
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1.1.1. LÓGICA: CIENCIA DEL RAZONAMIENTO .............................................................. 3
1.1.2. IMPORTANCIA DEL SIGNIFICADO EN LAS RELACIONES................................. 9
1.1.3. BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA Y UTILIDADES DE UNA LÓGICA
FORMAL ........................................................................................................................................ 10
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1. INTRODUCCIÓN
1.1. ARGUMENTOS, ARGUMENTOS VÁLIDOS
Y ESQUEMAS DE ARGUMENTO.
LÓGICA: CIENCIA DEL RAZONAMIENTO
Glosario previo:
• Teoría de modelos: rama de la lógica que se ocupa de las relaciones entre un
lenguaje formal (L) y sus interpretaciones en sistemas o estructuras (R)
adecuadas. De esta forma tendríamos un lenguaje L y una clase de objetos R (los
sistemas o estructuras) que enlazaríamos mediante una noción de verdad
determinada. Esto permite realizar una interpretación semántica de expresiones
puramente formales y otras cuestiones metalógicas. De este modo, puede
estudiarse la relación entre la sintáctica y la semántica de una teoría formal
mediante una definición de verdad que es “materialmente adecuada y
formalmente correcta”. No aplica a lenguaje natural.
• Argumento: secuencia de oraciones tal que las premisas están al comienzo y la
conclusión al final de la misma.
• Argumento válido: es aquel cuyas premisas y conclusión ton tales que la
verdad de las premisas implica la verdad de la conclusión (es decir, cuando la
conclusión es una consecuencia lógica de las premisas). Si las premisas de un
argumento son todas verdaderas, entonces su conclusión también debe ser
verdadera. Esto es independiente de que de hecho las premisas sean verdaderas,
a lo que se refiere es a que si lo fueran, la conclusión necesariamente lo sería
también. La validez de un argumento es independiente, por tanto, del hecho de
que sus premisas y conclusión sean verdaderas de hecho.
o Las premisas de un argumento pueden de hecho ser evidentemente
falsas, y eso no cambia que el argumento pueda ser válido, ya que si se
aceptase que las premisas son verdaderas, entonces también tendría
que aceptarse la conclusión.
o La verdad fáctica de las premisas no sólo no es necesaria, sino que
además no es condición suficiente para que un argumento sea válido.
Podemos tener dos premisas que son de hecho verdaderas, pero si la
conclusión no se deduce de ellas (incluso si es verdadera también), el
argumento NO es válido.
o La validez del argumento, por tanto, no depende de su contenido
sino de su FORMA, de su “esquema de argumento”.
• Esquema de argumento: representación esquemática de un argumento. Por
ejemplo A o B // No A // Luego B.
o Lo que diferencia a unos esquemas de argumento de otros es el tipo de
conjunción que une las oraciones. No es lo mismo “si” que “o” o que
“y”.
o También se diferencian por los cuantificadores (todos, algunos,
ninguno, etc.).
o Los esquemas de argumento son abstracciones que pueden formarse a
partir de una gran diversidad de construcciones sintácticas.
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1.1.1.
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•
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Significado: el significado de ciertos tipos de expresiones es determinante para
la validez de los esquemas de argumento en que aparecen (por ejemplo, de las
conjunciones o de los cuantificadores).
o La lógica debe dar una interpretación semántica de las operaciones
sintácticas mediante las que pueden obtenerse unas oraciones a partir de
otras (como consecuencia lógica).
o No se ocupa del significado real de las expresiones particulares, sino que
da una interpretación semántica de las reglas sintácticas mediante las
cuales se pueden obtener oraciones a partir de expresiones predicativas y
cuantificadoras.
o En la antigüedad el campo de la lógica se reducía al estudio de las
oraciones declarativas (aquellas que expresan algún estado de cosas y
que son verdaderas o falsas). Después se amplió también a las no
declarativas.
Principio de composicionalidad del significado: el significado de una
expresión compuesta debe construirse a partir del significado de sus partes
componentes.
Semántica: enfoque de las teorías lógicas centrado en el significado de las
expresiones de las oraciones. La semántica es la dimensión del lenguaje que
relaciona los elementos lingüísticos, nombres, predicados, oraciones, con los
objetos, las acciones y propiedades y los hechos del mundo. La semántica se
refiere a los significados, sentidos e interpretaciones de los signos lingüísticos
tales como expresiones, palabras o representaciones formales.
o En función de la semántica que escojamos, de cómo interpretemos las
expresiones lingüísticas, tendremos una serie de esquemas de argumento
válidos u otra.
Teoría semántica: una teoría semántica intenta dar cuenta de la relación entre
una palabra (significante), y el objeto del mundo real, idea, etc. que describe
(significado). Hay diversas teorías semánticas, es decir, podemos definir qué
significan los elementos de un determinado lenguaje de distintas maneras.
Sintáctica: enfoque de las teorías lógicas entrado en la relación entre los
elementos de las oraciones, sin atender al significado de estos. Estudia la forma
en la que se combinan las palabras y las relaciones sintagmáticas y
paradigmáticas que mantienen entre ellas.
Lenguaje formal: hay diversos tipos de lenguaje formal. Se diferencian por sus
constantes lógicas.
o Por ejemplo, en una lógica proposicional, las constantes lógicas serán las
conectivas “y”, “o”, “si… entonces”, “si y solo sí” y la negación “no”.
Lo que nos interesa son las constantes. El resto del argumento se
compone de variables lógicas, cuyo significado exacto no nos importa.
o Vocabulario del lenguaje formal è se refiere a las expresiones básicas
que contiene, que pueden ser constantes lógicas, variables lógicas y
signos auxiliares.
o Sintaxis del lenguaje formal è las expresiones compuestas del
lenguaje, las reglas que estipulan cómo pueden combinarse sus
elementos para crear oraciones más complejas. Aquí rige el principio de
composicionalidad.
Lenguaje objeto: el lenguaje acerca del cual hablamos (el lenguaje formal del
que hablamos, por ejemplo).
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Metalenguaje: el lenguaje que utilizamos para hablar acerca del lenguaje objeto
(en este caso el español). Pueden utilizarse distintos metalenguajes para hablar
del lenguaje objeto. El metalenguaje puede coincidir con el lenguaje objeto, es
decir, podemos usar el mismo idioma pero en esos dos niveles diferentes, como
se ve con el ejemplo de tratar Amsterdam como la ciudad holandesa (uso) o
como la propia palabra (mención).
Cuantificador: expresiones del tipo “todo”, “alguno”, “ninguno”.
Constante lógica: son expresiones con un significado definido y absolutamente
fijo dentro de un sistema lógico. Este tipo de expresiones son estructurales
(independientes del contenido), por tanto no tienen contenido descriptivo.
o Su significado está enteramente determinado por el papel que cumplen
en los argumentos.
o Por ejemplo, los cuantificadores y las conjunciones.
o No sólo existen las constantes lógicas de la lógica proposicional (y, o,
si… entonces, si y solo si, no) o de la lógica de predicados (todos,
algunos), también hay constantes lógicas modales (posiblemente,
necesariamente), temporales (era el caso que, será el caso que, etc.).
o Las constantes lógicas no son descriptivas, aunque algunas (como las
modales y temporales) tengan un mínimo contenido descriptivo. A veces
es difícil delimitar el contenido descriptivo del aspecto estructural de un
término.
Conectiva lógica: expresiones del tipo “si… entonces”, “si y solo si”, “o”, “y”,
etc.
Teoría de la verdad por correspondencia: establece que la verdad o falsedad
de una proposición está determinada ÚNICAMENTE por la forma en que se
relaciona con el mundo, y si se corresponde con éste. La verdad consistiría en
una relación de adecuación entre el entendimiento que conoce y lo real, junto
con la expresión de un lenguaje científico, que expresaría esta adecuación.
Actualmente, se diría que una oración es verdadera cuando lo que se dice es
efectivamente el caso.
Semántica veritativo-funcional: es una postura concreta respecto a la
semántica, que juzga el significado de las expresiones en base a si es verdadero
o falso desde una teoría de la verdad por correspondencia (concepto-mundo). La
lógica clásica se vale de esta semántica.
o Verdad en un enfoque veritativo-funcional: es la noción semántica por
medio de la cual valoramos la relación que se establece entre las
oraciones que expresan hechos del mundo y estos mismos hechos. Desde
este enfoque, toda oración expresa un hecho del mundo o no lo expresa,
es decir, o es verdadera o es falsa.
§ Para ello se vale del principio de composicionalidad y del
principio de sustitución.
§ Reducen el estudio semántico del lenguaje a las condiciones en
las que el mundo hacen verdaderas o falsas determinadas
estructuras sintácticas.
Sistema lógico: es un conjunto de esquemas de argumento válidos que está
caracterizado por sus constantes lógicas y la interpretación concreta que se hace
de ellas.
Tautología: toda fórmula que es verdadera para toda asignación de valores de
verdad. Podemos reconocerlas mediante el uso de tablas de verdad, porque en su
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columna final el valor es SIEMPRE verdadero independientemente del valor de
verdad de las premisas.
Principio de identidad: A es idéntica que A.
Principio de no contradicción: no puede ser que A y ¬A sean verdaderas a la
vez y en el mismo sentido. Algo no puede ser verdadero y falso al mismo
tiempo y en el mismo sentido. Ejemplo: si “está lloviendo” es V, no puede ser
que “no está lloviendo” sea también V. Una proposición contradictoria
siempre es falsa.
Principio de tercero excluido: si tenemos una disyunción en que un
disyuntor es la negación del otro disyuntor, como pv¬p, siempre va a ser
verdadera, porque o bien es verdadero p o bien es verdadero ¬p (es decir, el
dominio de la función sería infinito en este caso). Este principio parte del
presupuesto filosófico de que una proposición sólo puede ser o verdadera o
falsa (es decir, que sólo hay 2 valores posibles de verdad), no es posible que
sea medio verdadera o medio falsa (se excluye una tercera opción). Desde una
lógica intuicionista esto no se acepta, porque tendríamos que demostrar o bien
que p o bien que ¬p (no podemos asumir sin más que si es imposible que no
haya un objeto que tenga la propiedad p, ¬¬p, se deduzca que hay algún objeto
con la propiedad p). Ejemplo: “llueve o no llueve” siempre es verdadera, porque
sí o sí tiene que estarse dando alguna de las dos.
Principio de explosión o EFSQ: de una contradicción, cualquier cosa. Es un
presupuesto filosófico que señala que a partir de una contradicción podemos
afirmar lo que sea. Todo es demostrable partiendo de una contradicción. Muchos
sistemas evitan esta consecuencia por motivos obvios (la lógica clásica lo
intenta a partir del principio de no contradicción).
Argumento de reducción al absurdo: es un método de demostración
argumentativa indirecto que prueba la verdad de una proposición mostrando
la imposibilidad de aceptar las consecuencias que derivan de su
contradictoria si la tomásemos como hipótesis (porque tales consecuencias son
inconcebibles, falsas, inaceptables). Sólo es aceptable desde una lógica que
acepte el EFSQ y el principio del tercio excluso.
o Para probar p, se asume ¬p (es decir, que p es falso). Derivamos una
implicación q de p. Si q es inaceptable, falso o absurdo, entonces ¬p no
es verdadero sino falso, luego demostramos que p es verdadero.
o Ejemplo è tomamos ¬p como verdadera (“no hay dos españoles con el
mismo número de dedos”).
o Inferencias lógicas è el español 1 tiene 10 dedos, el español 2 tiene 11
dedos… el español n tiene 10 + n dedos. El español 40.000 tiene 40.010
dedos. Esto es absurdo, luego demostramos que p (“hay dos españoles
con el mismo número de dedos”).
Modus tollens:
o P1: p -> q
o P2: ¬q
o C: luego ¬p
Modus ponens:
o P1: p -> q
o P2: p
o C: luego q
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Argumento:
• Una secuencia de oraciones, en la que primero se sitúan unas premisas y al
final una conclusión.
• Según la relación entre las premisas y las conclusiones tendremos distintos
tipos de argumentos o inferencias.
• Una de estas inferencias es la deductiva, que es la más segura y garantista de
todas a nivel lógico.
Argumento válido:
• Validez deductiva è de premisas verdaderas se sigue necesariamente
conclusión verdadera.
• La validez NO tiene nada que ver con que las premisas sean verdaderas,
sólo tiene que ver con la relación correcta entre las proposiciones, en que la
conclusión se deduzca necesariamente de las premisas.
• Un argumento es inválido cuando de la verdad de las premisas no se sigue
necesariamente la verdad de la conclusión, por ejemplo, cuando las premisas son
verdaderas y la conclusión es falsa. Si el argumento fuese válido, la conclusión
tendría que ser verdadera.
• Para que un argumento sea válido la verdad de las premisas implica la verdad
de la conclusión, necesariamente.
o La conclusión está ya en las premisas. Se deduce de ellas.
o Un tipo de argumento válido deductivamente es el silogismo aristotélico
(S es H, H es M, luego S es M).
Diferencia entre verdad y validez:
• Los argumentos NUNCA son verdaderos o falsos, son válidos o inválidos.
• Las que son verdaderas o falsas son las premisas y la conclusión.
Ejemplo:
• P1: Juan vendrá a la fiesta o María vendrá a la fiesta.
• P2: Juan no vendrá a la fiesta
• C: Luego María vendrá a la fiesta.
• En este caso podemos ver cómo la validez del argumento no depende de la
verdad (fáctica, extra-lingüística) de las proposiciones, sino de su relación
correcta. Podríamos cambiar Juan por Pedro o María por Juana y el argumento
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¿Para qué sirve la lógica?:
• Lo que hacemos en lógica es ver la estructura de los argumentos, y ver
cuándo un argumento es válido o no, así como ver qué es lo que hace que un
argumento sea válido.
• Una de las aplicaciones de la lógica es la argumentación.
• Nos da herramientas formales para estudiar los argumentos. Estas
herramientas nos ayudan a clarificar, a ver de manera esquemática y concisa las
relaciones entre las proposiciones y las estructuras argumentales.
• Algunos autores piensan que la lógica debe reducirse a la lógica deductiva, otros
piensan que también puede existir una lógica informal.
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Proposición:
• Frase DECLARATIVA susceptible de ser verdadera o falsa.
• Si estoy en una estructura basada en proposiciones (como la lógica
proposicional), lo único que necesito es que mis proposiciones sean
susceptibles de ser verdaderas o falsas, es decir, que podrían ser verdaderas de
verdad aunque de hecho no lo sean.
• El propio concepto de proposición es un problema filosófico, pero esta es una
manera resumida de definirlas.
• La lógica proposicional se basa en las conectivas “Y”, “O”, “ENTONCES”,
“NO”.
Lógica proposicional:
• Sus elementos más simples son proposiciones.
• Sus constantes lógicas son conectivas lógicas, que representan operaciones sobre
proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.
• La validez de los argumentos depende del significado de las expresiones
conectivas “y”, “o”, “si… entonces”, “si y solo si” y la negación “no”.
Lógica de predicados o primer orden:
• Además de ocuparse de esquemas de argumento proposicionales, se ocupa
también de expresiones cuantificadoras como “todo” o “alguno”.
• No se compone de proposiciones sino de estructuras puramente formales como
“Ss ^ Ps”.
• Se basa en lenguajes formales (es decir, en fórmulas, símbolos, etc. que
aplicarían a cualquier argumento en cualquier lengua).
Lógica clásica:
• Lógica proposicional, lógica de predicados o primer orden y lógica de segundo
orden.
• En principio siempre es una teoría de modelos (semántica veritativofuncional), pero no sólo se caracteriza por esta semántica. Se podría hacer con
lógica dialógica (que no se rige por la semántica veritativo-funcional) una lógica
clásica.
Sintaxis y semántica:
• Sintaxis è relación entre los elementos. Reglas que determinan la estructura,
las propiedades de los cálculos lógicos (no interpretados).
• Semántica è significado de las expresiones del lenguaje, de las
interpretaciones de los cálculos lógicos.
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•
seguiría siendo válido mientras la verdad de la conclusión se siguiese de la
verdad de las premisas.
Lo que bajo ningún concepto podríamos cambiar en este argumento,
porque dejaría de ser válido, es el “o” (disyuntiva) y el “no” (negación), es
decir, los esquemas argumentales, su FORMA, sus CONSTANTES
LÓGICAS.
o Lo único relevante en lógica es la forma del argumento, no el contenido.
No me importa que sea “Juan o María”, me importa que sea “X o
Y”.
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1.1.2.
IMPORTANCIA DEL SIGNIFICADO EN LAS
RELACIONES
Importancia del significado:
• De las relaciones, de las constantes lógicas.
• De las expresiones particulares.
• El significado no sólo es importante respecto a la verdad o falsedad de las
expresiones particulares, sino que también es importante para definir el
significado de las constantes lógicas, la referencia que tomamos para analizar las
estructuras (por ejemplo, una referencia veritativo-funcional tendría como
referencia lo verdadero)…
• La lógica no puede proporcionar una teoría del significado completa para el
lenguaje natural (eso lo hace la lingüística), aunque la lógica y la lingüística
están vinculadas.
¿Cuáles son nuestros fundamentos de la semántica veritativo-funcional?
• Principio de composicionalidad è el significado del conjunto viene dado por
el significado de las partes o el significado de una expresión compleja se
construye a partir del significado de sus partes componentes.
• Principio de sustituibilidad de los idénticos è podemos sustituir el contenido
de las premisas mientras no cambie su forma.
En la lógica proposicional y de predicados:
• Semántica veritativo-funcional, es decir, con referencia en lo verdadero y lo
falso, con principio de composicionalidad y de sustituibilidad de los idénticos.
Ampliación de la lógica clásica:
• ¿Qué pasa con las oraciones no declarativas, es decir, con oraciones que NO son
proposiciones?
• Tienen otra semántica (su referencia no es veritativo-funcional), por lo que se le
añaden otras constantes lógicas (aunque la base continúa siendo la de la lógica
clásica).
• Las constantes lógicas de la lógica proposicional (si… entonces, y, o, no, etc.),
no obstante, son la base de todas las demás.
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Verdad lógica vs. verdad fáctica:
• Verdad en base a un modelo que construimos (la verdad es verdad en un
modelo).
• Aparte de los modelos, existen teorías de la verdad (por ejemplo, la verdad como
correspondencia, que sería una teoría realista), pero en lo que respecta a la
verdad lógica, lo importante es el modelo del que partamos.
• Uno de estos modelos puede ser el de la semántica veritativo-funcional.
• La semántica veritativo-funcional es la forma más habitual, en lógica, de otorgar
validez, pero no es la única. La lógica del lenguaje natural, por ejemplo, no tiene
como modelo una semántica veritativo-funcional.
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o Ejemplos: lógica intuicionista, lógica difusa, lógica cuántica, etc.
Pluralismo lógico:
• No existe una lógica universal que caracterice a todos los argumentos
válidos o a las relaciones entre los significados de todas las expresiones. Hay
diferentes sistemas lógicos que dependen del tipo de expresiones que usemos.
• Esta visión es ya una postura filosófica respecto de la lógica, es un pluralismo
lógico. No todos los autores aceptan que haya distintos sistemas lógicos.
• Según el pluralismo lógico, según las expresiones particulares que estemos
analizando habría un sistema lógico u otro, es decir, que no aplicaría la misma
lógica para analizar el lenguaje natural que las teorías de la física cuántica.
• Nosotros en clase vamos a ver lógica clásica, pero ésta no es la única. No
obstante, todo sistema lógico se basa en la lógica clásica.
1.1.3.
BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA Y UTILIDADES
DE UNA LÓGICA FORMAL
Silogística aristotélica:
• Aristóteles es el primer pensador que aísla el estudio de la deducción y lo
plasma en una suerte de esquema.
• Los silogismos son un tipo de inferencia en que la conclusión se obtiene a partir
de dos premisas.
• La lógica silogística tiene una estructura muy fija, limitada. Sólo las
proposiciones universales afirmativas (todo A es B), universales negativas (todo
A es no-B), particulares afirmativas (algún A es B) y particulares negativas
(algún A es no-B) pueden aparecer en silogismos.
o Aristóteles excluye las oraciones singulares del tipo A es B o A es no-B
porque considera que los juicios singulares no forman parte del
razonamiento científico, que trata de lo más universal.
• Lógica muy próxima al lenguaje natural.
• P1 – P2 – C.
o P1: Todos los niños son egoístas.
o P2: Algunas personas no son egoístas.
o C: Algunas personas no son niños.
• Los silogismos sólo admiten un cuantificador, “todos” o “algunos”.
Cuantificación simple.
Negación:
• “Sócrates está volando” y “todo hombre está volando” no se comportan igual
ante una negación. De esto ya se dio cuenta Aristóteles.
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¿Qué significa que una premisa sea verdadera?
• Que dentro del modelo que hemos tomado, la verdad de la premisa coincida
con los hechos.
o Si el modelo es una semántica veritativo-funcional, la verdad se
corresponde con que el hecho se de en la realidad.
• Verdad no es igual a validez.
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•
•
Lógica estoica:
• Empiezan a introducir la lógica proposicional.
• Incluyen en el estudio lógico proposiciones que incluyen la conjunción “si…
entonces”.
o P1: si él está ebrio, entonces él es peligroso.
o P2: él está ebrio.
o C: él es peligroso.
• Empiezan a preocuparse por la naturaleza de la verdad, por cómo otorgamos la
condición de verdad. Entre otras cosas, formularon la “paradoja del mentiroso”.
• El caso de “yo miento”. Puede ser verdadera o falsa.
o Si es verdadera, entonces miento y la declaración es falsa.
o Si es falsa, entonces no miento y estoy diciendo la verdad (incluso
mientras digo “yo miento”).
• Este enunciado es inestable, autorreferencial y autorretractable (es decir, cada
vez que se avanza vuelve atrás). Este tipo de enunciados, por ejemplo, encajan
mal en una semántica veritativo-funcional. ¿Es verdadero o falso?
o Una de las soluciones que se da, por ejemplo, es la de la teoría semántica
de la verdad para los lenguajes formales de Tarski.
• Esta noción de semántica estoica todavía es muy cercana al lenguaje
natural. Si lo que pretendemos con lógica es esclarecer la naturaleza de los
razonamientos, tenemos que buscar una noción de semántica distinta a la del
lenguaje natural.
Teoría semántica de la verdad de Tarski:
• Tarski se basa en el estudio de “la paradoja del mentiroso” estoica para formular
su teoría semántica de la verdad. Traza una distinción metodológica entre el
lenguaje en tanto objeto de discusión (lenguaje objeto) y el lenguaje como
medio en el que dicha discusión toma lugar (el metalenguaje). Señala que la
confusión entre ambos niveles del lenguaje es lo que vuelve paradójica a
proposiciones del tipo “yo miento”.
• Se basa en una definición tradicional de verdad, basada en la verdad como
correspondencia.
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•
•
o “Sócrates está volando” è no sirve “No-sócrates está volando”, sino
“Sócrates no está volando”.
o “Todo hombre está volando” è no sirve “todo hombre no está volando”,
sino “no todo hombre está volando”.
Una doble negación hace que ¬¬p = p.
La negación en las lenguajes naturales es muy compleja. El refuerzo de la
negación de muchas lenguajes naturales NO es una doble negación como en
lógica, es decir, no las transforma en una afirmación. Es sólo un refuerzo.
Esto significa que no podemos hacer una traducción literal del lenguaje natural a
las constantes lógicas.
o Para hacer una traducción literal del lenguaje natural tendríamos que ver
diferentes tipos de negaciones, porque no todas funcionan igual.
Una de las utilidades de la lógica formal es, precisamente, tratar cada una
de estas negaciones que en el lenguaje natural son tan confusas, esclarecerlas.
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Define “verdad” respecto de un lenguaje. Señala que “verdadero” es una
propiedad metalingüística de toda proposición que describa (en un lenguaje
objeto) un hecho tal como éste es en el mundo real.
La llama teoría SEMÁNTICA porque “verdad” o “verdadero” son términos
semánticos, cuyo significado en un lenguaje objeto concreto sólo puede
explicarse mediante un metalenguaje.
El metalenguaje puede relacionar expresiones lingüísticas con hechos.
Los lenguajes objeto sólo pueden hablar de sus propias expresiones lingüísticas
o de los hechos, pero no relacionar ambos, es decir, no se pueden determinar
términos como “verdad” o “verdadero” sin recurrir a un metalenguaje, so pena
de incurrir en paradoja y antinomias.
Establece (por la llamada «equivalencia T» [Truth =verdad]) que una teoría de
la verdad para un lenguaje L ha de poder formular el siguiente teorema: «X es
una proposición verdadera en un lenguaje L si y sólo si p; donde p sea
reemplazada por cualquier oración del lenguaje a que se refiere la palabra
"verdadero" y X sea reemplazada por un "nombre" de esta oración».
o Así, en el clásico ejemplo de Tarski «"La nieve es blanca" es verdadero
en castellano si y sólo si la nieve es blanca».
o El lenguaje objeto sería “la nieve es blanca”, que es la variable X.
o De este lenguaje objeto se dice, mediante metalenguaje (que es la
variable P y la conectiva “si y solo si”), si es verdadero o no en qué
condiciones (en este caso, es verdadero en castellano y sólo si de hecho
la nieve es blanca).
o De aquí podemos escribir de forma generalizada “X (lenguaje objeto) es
verdadero si y solo si P (metalenguaje)”.
La verdad en Tarski es una propiedad del enunciado, no un hecho psicológico o
una creencia. Tiene valor OBJETIVO.
Esta teoría está dirigida a lenguajes formales.
Esta es una teoría de la verdad como correspondencia, formulada en
términos semánticos y dirigida a los lenguajes formales (no al lenguaje
natural).
Condiciones que debe cumplir toda teoría de la verdad según Tarski:
o Adecuación material, contenidos.
o Corrección formal, forma.
Esquema T de Tarski:
• Tarski parte de un modelo de la verdad basado en la correspondencia
(con los hechos).
• Un enunciado es verdadero si aquello a lo que se refiere en el modelo
se cumple (por ejemplo, si “la nieve es blanca” es verdad en el mundo
real).
• Tarski lo que quiere es que tengamos un lenguaje formal donde podamos
determinar todos los predicados, es decir, decir siempre cuándo un
enunciado es verdadero y cuándo no.
• Para ello, el contenido debe tener esta estructura (debe servir para todo
tipo de oración) è X es verdad si y solo si P.
o “Snow is White” = X. La expresión lingüística del lenguaje
objeto.
o Snow is White = P. El hecho expresado en un metalenguaje.
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•
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•
•
Lógica medieval: teoría de la suposición
• Es un intento de realizar un análisis semántico de los términos y de sus
combinaciones.
• Suppositio formalis è distinción de uso. “Amsterdam en la ciudad capital de
Holanda”. Aquí “Amsterdam” es usado para referirse a esa ciudad.
• Suppositio materialis è distinción de mención. “Amsterdam tiene nueve
letras”. Aquí el término “Amsterdam” es mencionado, no se refiere a otra cosa
(no se usa para simbolizar algo).
Lógica medieval: teoría de la distribución de los términos
• “Todos lo A son B”.
o El término A está distribuido è la oración dice algo acerca de la
totalidad del concepto A.
o El término B no está distribuido è la oración no necesariamente dice
algo acerca de todos los B, sino sólo acerca de los A que haya entre ellos.
• También estudian los problemas que plantean las oraciones que tienen más de
un cuantificador, que la silogística aristotélica había aceptado acríticamente.
o P1: todo acontecimiento tiene una causa.
o P2: hay una causa (que es la causa) de todo acontecimiento.
• Como puede verse, la inferencia inversa de P1 no es válida, no significa lo
mismo. Que todas las cosas tengan una causa no significa que exista una causa
que sea la causa primera de todos los acontecimientos.
• No obstante, los escolásticos tampoco ofrecieron una solución satisfactoria
para el problema de la cuantificación múltiple (eso no llegó hasta Frege).
Leibniz:
• Sugirió que se desarrollara un lenguaje universal en el cual pudiera
representarse el lenguaje en forma directa, sin ambigüedades y figuras del habla
propias de lenguajes naturales.
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•
o “Snow is White” (X) es verdadera si y solo si la nieve es blanca
(P).
o “P” sería el lenguaje objeto y P el metalenguaje.
¿Qué pasaría con oraciones del tipo “La nieve es blanca” es verdadera si
y solo si “la nieve es blanca”? (es decir, lenguaje objeto intentando
responderse desde el lenguaje objeto mismo) è esta oración ya no nos
dice nada. Para determinar la verdad del predicado necesitamos un
lenguaje y un metalenguaje, un modelo y un meta-modelo.
§ No podemos dar la definición de verdadero dentro del propio
modelo. Tenemos que salir de él para poder determinarlo.
El predicador “es verdad” es metalingüístico, por lo que requerimos
de un metalenguaje para determinar el predicado verdadero.
El esquema T sólo sirve para los lenguajes formales. En el lenguaje
natural no podemos diferenciar el “lenguaje objeto” de un
“metalenguaje”.
§ Un lenguaje objeto no puede explicitar la verdad de sus propios
enunciados, por eso esta teoría no aplica al lenguaje natural.
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•
Las operaciones realizadas con este lenguaje universal (ars combinatoria) se
corresponderían con las operaciones de nuestro razonamiento, por lo que
podríamos determinar la validez de éste gracias al cálculo.
Estas ideas fueron muy influyentes para la lógica moderna, por ejemplo para
Frege.
Lógica de predicados de Frege:
• Desarrolla un lenguaje simbólico para expresar los razonamientos (similar a la
idea de lenguaje universal que propuso Leibniz).
• Combina la silogísticas aristotéica con las ideas estoicas acerca de las conectivas
lógicas. También resolvió problemas medievales de la cuantificación múltiple.
• Frege adopta la idea básica aristotélica de la forma sujeto-predicado (“A es P”,
donde P indica una propiedad de una entidad A).
• También se da cuenta de la importancia de las formas relacionales del tipo “a1
R a2”, donde a1 tiene relación con a2 (también habría relaciones ternarias,
cuaternarias…).
o Introducir las relaciones al mismo nivel que las propiedades es toda una
innovación de Frege.
• Frege destituye la noción gramatical de sujeto del lugar central que había
ocupado con anterioridad en la lógica, dando paso al concepto de
“componente”, que es un término referido a una entidad. “Componente”, al
contrario que sujeto (que siempre tiene una posición privilegiada en la oración)
es un elemento que figura al mismo nivel que otros.
• Las constantes lógicas principales de Frege son è no, si… entonces, todo,
es. A partir de estas cuatro pueden crearse otras.
• La idea fundamental de Frege es que nos aseguremos de que toda oración, sin
importar su complejidad, sea considerada como resultado de un proceso de
construcción sistemática que adiciona palabras lógicas una a una (principio
de composicionalidad). En cada paso se aplica una regla sintáctica significativa
desde el punto de vista semántico.
• De esta forma, podemos analizar una oración con varios cuantificadores
interpretando cada una de las oraciones básicas que la constituyen, dando cuenta
de una sola expresión cuantificadora en cada paso.
o Juan mira a José. Paso 1.
o Juan mira a alguien (C1). Paso 2.
o Todos (C2) miran a alguien (C1). Paso 3.
• Frege también se interesó por la relación entre la lógica y el lenguaje natural.
Dijo que la lógica era como un microscopio y el lenguaje natural como el
ojo desnudo: si queremos hacer ciencia, es mejor el microscopio, pero éste
carece de la naturalidad y la diversidad de aplicaciones del ojo desnudo.
• La lógica de predicados de Frege fue muy influyente en el desarrollo de nuevos
sistemas lógicos formales que respondiesen a la inmensa gama de posibilidades
de uso del lenguaje natural.
Forma gramatical engañosa de Russell:
• Russell sostiene que hay oraciones cuya forma gramatical difiere de la forma
lógica subyacente, pudiendo conducir a error.
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•
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Un ejemplo de esto se encuentra en el argumento filosófico que postula que,
para negar que algo existe, primero debe suponerse que existe.
o “Pegaso no existe”. Según este argumento, para negar que algo exista,
hay que suponer su existencia.
o Russel señala que en la proposición “pegaso no existe” no se está
haciendo referencia a ninguna entidad inexistente (algo así como que
hubiese en el mundo un pegaso-no-existe), sino que lo que se está
haciendo es negando la proposición “pegaso existe”.
Positivismo lógico:
• Postura empirista y antimetafísica. El conocimiento sólo puede obtenerse
mediante métodos científicos.
• Busca un lenguaje formal al modo de las matemáticas que exprese el
conocimiento científico. Descartan el lenguaje natural para este fin.
• La tarea de la filosofía consistiría en clarificar lo que es genuino conocimiento y
descartar todo lo demás.
• Crítica feroz a la metafísica basándose en el criterio de verificabilidad y la tesis
de la incorrección gramatical.
o Criterio de verificabilidad è una proposición tiene sentido sólo si hay
alguna forma de verificarla empíricamente. Este criterio terminó cayendo
en desuso porque muchas verdades científicas tampoco pueden ser
verificadas.
o Incorrección gramatical è pueden ser sintácticos (por ej. “César es
un”) o categoriales (por ej. “César es un número primo”). Una oración
gramaticalmente correcta puede ser falsa. Este tipo de oraciones serían
las propias de la metafísica.
§ Con esta crítica se pretenden evitar los engaños del lenguaje
natural, que no está claramente definido y que no es lo
suficientemente sistemático.
Filosofía analítica :
• “Toda la filosofía es una crítica del lenguaje” (Wittgenstein).
• El objetivo del análisis filosófico consiste en una clarificación lógica de nuestos
pensamientos, que suelen ser confusos.
• La diferencia entre los positivistas lógicos y los filósofos analíticos es que los
primeros buscaron construir lenguajes formales artificiales que superasen al
lenguaje natural, mientras que los segundos estaban más interesados en hacer un
análisis lógico del lenguaje natural y esclarecer cuáles eran las fuentes comunes
de error.
• Importancia del análisis conceptual.
• Poco a poco se va llegando a la conclusión de que no hay una lógica exacta del
lenguaje natural.
• Importancia del estudio lógico del lenguaje ordinario para la construcción de
argumentos filosóficos válidos.
“Fenomenología lingüística” de Austin:
• Considera el lenguaje natural como fuente valiosa de conocimiento filosófico,
bajo el argumento de que nuestro acervo común de palabras incorpora todas las
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•
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Algunas diferencias entre lingüística y filosofía analítica:
• La lingüística es empírica, trata de lenguajes naturales concretos o del lenguaje
natural en general.
• La filosofía analítica versa sobre conceptos, intenta verificarlos y clarificarlos.
Puede valerse de la información empírica que le proporciona la lingüística, pero
en última instancia se ocupa de elementos puramente conceptuales
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•
distinciones que el hombre ha considerado importante trazar en el pasado, y que
si éstas han sobrevivido durante generaciones es debido a su relevancia.
El diccionario, el análisis conceptual sería una fuente valiosa de distinciones y
conexiones entre los conceptos de los que nos ocupamos.
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2.1. INTRODUCCIÓN.
2.1.1.
ELEMENTOS CLAVES DE LA LÓGICA
PROPOSICIONAL
Tenemos un lenguaje. Ese lenguaje está formado por una sintaxis y una semántica.
Además, hay distintos métodos de demostración (como las tablas de verdad). Nosotros
estudiaremos tres métodos de demostración de la lógica proposicional.
La lógica proposicional es el sistema más simple y básico que existe, por lo que es la
base para otro tipo de sistemas. Está formada por conectivas veritativo-funcionales,
que sólo aplican a oraciones declarativas.
En lógica proposicional no hay estructuras temporales, todas son ACTUALES. Hay
que tener esto en cuenta a la hora de traducir del lenguaje natural.
Constantes lógicas:
• Negación (no, ¬). Asociada a una sola oración.
• Conectivas que operan sobre dos oraciones para formar una compuesta (y,
si… entonces, si y solo sí, o). Asociadas a dos proposiciones. Estas conectivas
son veritativo-funcionales, por lo que puede operar el principio de
composicionalidad.
Restricciones:
• Oraciones declarativas susceptibles de ser verdaderas o falsas.
Valor de verdad:
• 1 o V è proposición verdadera.
• 0 o Fè proposición falsa.
• Aquí ya estamos introduciendo cierto tipo de semántica, estamos
relacionando a las proposiciones con su valor de verdad, y este valor de verdad
es su significado lógico.
• El significado lógico no se corresponde con el significado del lenguaje
natural.
o El significado lógico captura ciertos aspectos del significado del lenguaje
natural, pero no todos, por lo que el significado del lenguaje natural
NO PUEDE REDUCIRSE al significado lógico.
• Este significado lógico se basa en una teoría del significado y de la verdad
como correspondencia con los hechos.
Principios:
• Principio de composicionalidad è el significado (valor de verdad) de una
oración compuesta depende solo del significado (los valores de verdad) de las
oraciones que la componen. Es decir, si tengo dos oraciones verdaderas el
conjunto tiene que ser verdadero, y si tengo dos oraciones falsas falso.
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2. LÓGICA PROPOSICIONAL
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Principio de sustitución de los idénticos è podemos sustituir dos oraciones
con idéntico significado (valor de verdad en el caso de la lógica proposicional).
Para poder hacer una sustitución de los idénticos tengo que tener unas
oraciones con unas conectivas determinadas (veritativo-funcionales).
Ejemplo de la diferencia entre conectivas:
• No es lo mismo una conectiva “y” que una conectiva “porque”. Las conectivas
determinan la forma del argumento.
• “Porque” NO es una conectiva veritativo-funcional, por lo que no podemos
aplicarle el principio de sustitución de los idénticos. “Porque” no forma parte
de las conectivas de la lógica proposicional.
o C1: Juan se golpeó la cabeza y está llorando. Para que esta oración sea
verdadera, necesitamos que P3 y P4 sean verdaderas. Si P3 y/o P4 fuesen
falsas, el conjunto (1) sería falso también.
§ P3: Juan está llorando.
§ P4: Juan se golpeó la cabeza.
§ P5: Está lloviendo. Esta proposición, si es verdadera, es idéntica
(a nivel lógico, porque ya hemos definido el significado en base a
su valor de verdad), a “Juan está llorando”, por lo que podríamos
sustituir “está llorando” por “está lloviendo” y el significado del
conjunto sigue siendo el mismo (verdadero).
o Si en lugar de la conectiva “y” pusiéramos la conectiva “porque” (que
NO es veritativo-funcional) no podríamos aplicar el principio de
sustitución de los idénticos y no se cumpliría el principio de
composicionallidad, cambiaría la estructura del argumento entera.
o No es lo mismo “Juan se golpeó la cabeza porque está llorando” que
“Juan se golpeó la cabeza porque está lloviendo”. El significado en el
caso de las conectivas de causalidad NO es el valor de verdad, y por
tanto no forman parte de la lógica proposicional.
Constantes lógicas è Conectivas + negación. Son siempre las mismas y tienen un
símbolo establecido por convención (^, ¬, è, etc.).
Variables lógicas è símbolos para representar afirmaciones (proposiciones), letras
proposicionales o variables proposicionales. P, q, r, … En algunos casos ponemos
también subíndices. También se llaman fórmulas atómicas.
Oraciones o fórmulas è expresiones compuestas a partir de la unión de las
proposiciones mediante las conectivas. Se designan con las letras griegas φ (fi), α
(alfa), ω (omega), etc. Las letras griegas suelen representar fórmulas compuestas, por
ejemplo p^q, (p^q) ^ r… (cualquier cosa que halla dentro tiene el mismo significado, no
nos importa el contenido concreto).
Paréntesis è sirven para eliminar ambigüedades (como en matemáticas). Por ejemplo,
p ∨ r ^ q es ambiguo, no es lo mismo que ((p ∨ r) ^ q ) o que (p ∨ (r ^ q)).
Conectivas binarias y unarias o monádicas:
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•
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¬ (negación).
^ (y).
∨ (disyunción inclusiva).
→
(si… entonces).
« (si y solo si).
Tablas de verdad:
• Esta estructura ya nos está dando la SEMÁNTICA de las conectivas, a través de
los distintos modelos de proposición.
• Validez semántica (en base al significado, en el caso de la lógica proposicional,
el valor de verdad).
• Para ver si un argumento es válido o no, tenemos que hacer la tabla de verdad de
sus premisas y la de la conclusión.
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•
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•
•
•
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2.1.2.
CONJUNCIÓN LÓGICA (^):
Algunos problemas para traducir conectivas del lenguaje natural en el caso de la
conjunción lógica (^):
• Aparentemente se parecen mucho, pero por ejemplo, las conectivas del lenguaje
natural pueden implicar estructuras temporales, que no existen en lógica
proposicional.
o Por ejemplo: Ana se quitó las medias y se metió en la cama. Aquí la “y”
no actúa como la ^ de la lógica proposicional.
Conjunciones del lenguaje natural que son ^ en lógica proposicional:
• Siempre que las conjunciones tengan semántica veritativo-funcional, es decir,
valor de verdad.
• Tener en cuenta estas expresiones es útil para hacer traducciones del lenguaje
natural a la lógica proposicional.
X e Y están al oeste de Ámsterdam.
• X está al oeste de Amsterdam.
• Y está al oeste de Amsterdam.
Juan y Pedro están casados con Ana y Beatriz respectivamente.
• Juan está casado con Ana.
• Pedro está casado con Beatriz.
Tanto los liberales como los socialistas favorecieron la moción.
• Los liberales favorecieron la moción.
• Los socialistas favorecieron la moción.
Juan está en su casa, pero está dormido.
• Juan está en su casa.
• Juan está dormido.
• “PERO” es una conjunción lógica (como la “y”).
Si bien hacía mucho frío, Juan no se quedó adentro.
• Hacía mucho frío.
• Juan no se quedó adentro.
A pesar de que fuera estaba bueno, Juan se quedó dentro.
• Afuera estaba hermoso.
• Juan se quedó adentro.
Tabla de verdad de la conjunción lógica (^):
φ
ψ
1
1
1
0
0
1
0
0
Φ^ψ
1
0
0
0
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El primer miembro se llama conjuntivo.
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NEGACIÓN LÓGICA (¬):
Tabla de verdad de la negación lógica:
φ
ψ
1
0
0
1
Φ^ψ
1
0
Principio de no contradicción è A y ¬A no pueden ser verdaderas al mismo tiempo y
en el mismo sentido, no puede ser que A y a la vez ¬A. Permite juzgar como falso todo
aquello que implica una contradicción, de ahí la validez de los argumentos por
reducción al absurdo.
Principio de tercero excluido è si tenemos una proposición que afirma algo, y otra
que lo contradice, una de las dos debe de ser verdadera. (A ∨ ¬A). Una tercera opción
NO es posible.
***NO NECESITA PARÉNTESIS. Podemos poner ¬¬¬p, no ¬(¬¬p).
Negaciones del lenguaje natural que son ¬ en lógica proposicional:
• Los potros son indomables.
o Esto es una negación interna, por lo que para tener en cuenta todos los
aspectos que conlleva una negación interna, habría que recurrir también a
otro tipo de lógicas.
o Para traducir esta negación interna a la lógica proposicional, habría que
sacar fuera la negación, ponerla como ¬p (como si fuese no-domable).
• Juan no está ni en su casa ni en la escuela.
• No hay nadie en casa.
• Juan nunca está en su casa.
• Juan aún no llegó a su casa.
• Juan no ha estado nunca en su casa.
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2.1.3.
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2.1.4.
DISYUNCIÓN LÓGICA (∨):
Tabla de verdad de la disyunción inclusiva lógica:
φ
ψ
1
1
1
0
0
1
0
0
Φ∨ψ
1
1
1
0
Disyunciones del lenguaje natural que son ∨ en lógica proposicional:
• O bien esta noche iremos a ver una película, o bien iremos a la playa por la
tarde.
• Esta noche iremos a ver una película a menos que vayamos a la playa por la
tarde.
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Los dos términos se llaman disyuntivos.
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2.1.5.
IMPLICACIÓN LÓGICA (→):
Tabla de verdad de la implicación lógica:
φ
ψ
1
1
1
0
0
1
0
0
Φ→ψ
1
0
1
1
Para que una implicación sea verdadera no necesitamos que el antecedente sea
efectivamente verdadero, sólo que, si el antecedente FUESE verdadero, su consecuente
lo sería también.
La implicación es una estructura que se parece a la validez o consecuencia lógica, pero
NO ES IGUAL. No hay que confundirlas.
Implicaciones del lenguaje natural que son → en lógica proposicional:
• La implicación es un condicional, pero no funciona igual en el lenguaje natural
que en la lógica proposicional, así que hay que tener cuidado.
• Juan llora si se ha golpeado la cabeza.
o Antecedente è Juan se ha golpeado la cabeza.
o Consecuente è Juan llora.
• Juan está malhumorado solo si se acaba de levantar.
o Antecedente è Juan está malhumorado.
o Consecuente è Juan se acaba de levantar.
o Es como “Juan está malhumorado, luego se acaba de levantar”.
• Para que el partido funcione mejor, es necesario que se establezca mayor
contacto con el electorado.
o Antecedente è el partido funciona mejor.
o Consecuente è se ha establecido mayor contacto con el electorado.
o Es como: “el partido funciona mejor, luego necesariamente se ha
establecido mayor contacto con el electorado”.
• Para que el partido funcione mejor, es suficiente con que Pérez sea
expulsado.
o Antecedente è Pérez es expulsado.
o Consecuente è el partido funciona mejor.
o Es como: “Pérez es expulsado, luego el partido funciona mejor”.
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El primer término se llama antecedente y el segundo consecuente.
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BICONDICIONAL LÓGICO («):
Tabla de verdad de la implicación lógica:
φ
ψ
1
1
1
0
0
1
0
0
Φ↔ψ
1
0
0
1
Para que una implicación sea verdadera no necesitamos que el antecedente sea
efectivamente verdadero, sólo que, si el antecedente FUESE verdadero, su consecuente
lo sería también.
Bicondicionales del lenguaje natural que son ↔ en lógica proposicional:
• Carlos viene si Elsa viene, y viceversa.
• Pedro viene si y solo si viene Elsa.
• Pedro viene siempre y cuando Elsa se quede en casa.
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2.1.6.
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2.2.1.
SINTAXIS:
Un lenguaje L para una lógica proposicional tiene su vocabulario, que nos da una
sintaxis y al que añadimos una determinada semántica. Hay que diferenciar bien entre
sintaxis, semántica y método de demostración.
Vocabulario L:
• Variables è p, q, r, s…
• Paréntesis è ( )
• Constantes è ^, v, ®, « (conectivas) y ¬ (negación).
Sintaxis:
• ES LA BASE. Sin una sintaxis correcta, no podemos dar una semántica ni un
método de demostración correctos.
• Nos da la estructura de nuestro lenguaje L, posibilita que no tengamos fórmulas
ambiguas.
• La sintaxis correcta es lo que nos va a permitir dar a nuestro lenguaje L una
determinada semántica, es decir, eliminar ambigüedades y poder ver la
validez de los argumentos.
Fórmulas:
I.
Las letras proposicionales del vocabulario L (p, q, r, etc.) son fórmulas
de L. Si la variable está sola, tenemos una fórmula atómica.
II.
Si ψ es una fórmula de L, entonces ¬ ψ también lo es. Combinación de la
fórmula atómica con la negación.
III.
Si Φ y ψ son fórmulas de L, entonces (Φ ^ ψ), (Φ v ψ), (Φ ® ψ) y (Φ
« ψ) también lo son. Fórmulas diádicas.
IV.
Sólo las expresiones que pueden ser generadas mediante las cláusulas IIII en un número finito de pasos son fórmulas de L.
• Las primeras tres cláusulas nos dan una receta para construir fórmulas. La
cláusula IV agrega que sólo lo que es preparado mediante I-III es una fórmula de
L.
• La sintaxis nos da el FBF (fórmulas bien formadas), correctas en un
lenguaje L. Son las posibilidades correctas de relación entre los distintos
elementos de un lenguaje L.
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2.2. INTRODUCCIÓN.
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b
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Ejemplos de FMF (fórmulas mal formadas):
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•
Sirve para ver si tenemos un FBF.
•
De una fórmula compleja vamos extrayendo todas las subfórmulas, para ver si se
cumplen las cláusulas I-III de nuestra sintaxis. Si nos piden que demos las
subfórmulas de una fórmula determinada, hacemos el árbol y las extraemos.
•
Toda fórmula, si está bien formada, tiene ÚNICAMENTE UN árbol de
construcción.
•
Las que no están bien formadas pueden tener distintos árboles de construcción,
es decir, son ambiguas.
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Árbol de construcción o árbol sintáctico:
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2.3. SEMÁNTICA.
2.3.1.
SEMÁNTICA:
Semántica:
• Extensional, veritativo-funcional, basada en una teoría de la verdad como
correspondencia con los hechos.
• Refiere a cómo interpretamos un lenguaje L, sintácticamente bien construido.
• La semántica del lenguaje proposicional es atribuir un valor de verdad único a
las oraciones.
• En un lenguaje proposicional es la atribución de valores de verdad a sus
oraciones. Estas atribuciones se llaman valuaciones, y estas valuaciones son
funciones.
• Son funciones unarias porque proyectan fórmulas sobre valores de verdad.
o Las fórmulas son los elementos de nuestro dominio, y los valores de
verdad son los elementos de nuestro rango. SIEMPRE tiene que haber
uno de los valores para una función, no puede haber función sin valor.
• No sirve cualquier función, tiene que coincidir con el valor de las conectivas.
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Prueba de inducción:
• A la cláusula 1 se le denomina cláusula de inducción de una definición.
• La cláusula 1 podría parecernos circular, pero en realidad no lo es.
o ¬ φ (II). Φ es más simple que ¬ φ, porque tiene menos conectivas.
o Si φ es una fórmula del lenguaje L, debe serlo según las cláusulas I-III.
o Según la cláusula I, φ o bien es una letra proposicional o bien es una
fórmula compuesta construida a partir de otras más simples según la
cláusula IV.
o De esta forma, en última instancia, todo se reduce a letras
proposicionales.
• En una definición del tipo de la definición de la cláusula I, se dice que los
objetos tienen una cierta propiedad (en este caso, la de ser una fórmula) si
pueden ser construidos a partir de otros objetos “más simples” que tengan
esa propiedad y, en última instancia, a partir de algún grupo de objetos de los
cuales simplemente se dice que tienen esa propiedad. Tales definiciones se
denominan inductivas o recursivas.
• Debido a que definimos el concepto de fórmula inductivamente, podemos
mostrar que:
o (I) Todas las letras proposicionales tienen la propiedad X.
o (II) Si la fórmula φ tiene la propiedad X, entonces debe tenerla ¬ φ.
o (III) Si φ y ψ tienen la propiedad X, entonces también deben tenerla (φ v
ψ), (φ ^ ψ), (φ è ψ), etc.
o Esto es suficiente por la cláusula IV, según la cual toda fórmula
compuesta debe estar compuesta por alguna formula más simple de la
cual hereda la propiedad.
• A esta prueba se le denomina prueba por inducción sobre la complejidad de la
fórmula.
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•
No se puede atribuir el mismo valor a p y a ¬p por la propia semántica de la
negación. La semántica no está sólo en los valores de verdad que atribuimos
a las fórmulas, sino que está también en las conectivas.
Así podemos dar la semántica (viene determinado por las tablas de verdad
de las conectivas):
o V(¬ ψ) = 1 ssi. V(ψ) = 0
o V (ψ ^ Φ) = 1 ssi V(ψ) = 1 y V(Φ) = 1
o V (ψ v Φ) = 1 ssi V(ψ) = 1 o V(Φ) = 1
o V (ψ è Φ) = 0 ssi V(ψ) = 1 y V(Φ) = 0 (esta se expresa así porque la
única forma de hacerlo falso es cuando el consecuente = 0.
o V (ψ <--> Φ) = 1 ssi V(ψ) = V(Φ)
Funciones:
• Función è atribución de un único valor o imagen a cada entidad de un cierto
tipo específico de oraciones.
• Entidades o argumentos è oraciones del lenguaje en cuestión.
• Dominio è conjunto de argumentos de la función. Cada argumento debe
tener un valor único del rango.
• Rango è conjunto de valores posibles de una función. No es necesario que
todo elemento del rango aparezca como valor de la función cuando se la aplica a
algún elemento de su dominio.
o Si x es un argumento de la función f, entonces f(x) es el valor que se
obtiene como resultado cuando se aplica f a x. f(x) sólo puede tener un
único valor.
o Todas las entidades o argumentos se corresponden con un valor
ÚNICO, pero no todos los valores/imágenes, es decir, no todo el
rango tiene que ser valor de un argumento.
o Todos los elementos del dominio tienen que tener un valor único del
rango para que tengamos una función. Podríamos tener más elementos en
el rango que no fuesen valor de ningún elemento del dominio, pero no un
elemento del dominio sin valor.
• Cada función tiene su dominio y rango propios. Si A es el dominio de una
función f y B es su rango, entonces escribimos f: A è B, y decimos que f es una
función de A a B, y que f proyecta A en B.
• En el caso de que todo elemento del rango B de una función sea valor de un
elemento A de su dominio, decimos que f es una función de A sobre B.
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•
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También hay funciones que requieren 2, 3 o más elementos del dominio
para arrojar un valor, como f(x+y).
o Función conmutativa è el orden en que empleemos los argumentos no
influye en el resultado. Se cumple en la función suma y multiplicación.
o Función asociativa è su resultado no depende de cómo agrupemos los
distintos argumentos, es decir, que (x+y) + z = x + (y+z). Se cumple en
la función suma y multiplicación.
o Función distributiva è A x (B + C) = A x B + A x C. Se cumple en la
función multiplicación.
Ejemplo de funciones:
La columna de la izquierda es el nombre de la función. La del centro sería el dominio,
compuesto de distintos argumentos, y la de la derecha sería el rango, compuesto de
distintos valores atribuibles a cada argumento.
o En el caso primero, el valor de la “fecha de nacimiento de X” para el argumento
Winston Churchill del dominio “personas” es de valor 30 de noviembre de 1874
del rango “fechas”.
o En el caso segundo, el valor de “madre de X” para el argumento María del
dominio “personas” es de valor “madre” dentro del rango mujeres.
o Dentro del rango mujeres hay muchos valores diferentes, porque no
todas las mujeres son madres. Madre es uno de los valores posibles. Esto
ilustra lo que hemos dicho de que no todo el rango tiene por qué ser
valor de un argumento, sino solo un valor único.
o Progenitor de X o hermano mayor de X con dominio “personas” no podrían ser
tomadas como funciones dado que no todos tienen un hermano mayor, por lo
que no todo argumento podría tener un valor y esto es imposible por
definición.
Las funciones de la lógica proposicional:
• El rango es 0 (F) y 1 (V), sólo hay dos valores posibles.
• No cualquier función cuyo dominio sean fórmulas y cuyo rango sean
valores de verdad puede ser aceptada como valuación. Sólo aquellas que
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•
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•
2.3.2.
TABLAS DE VERDAD (MÉTODO DE
DEMOSTRACIÓN):
Valuaciones o tablas de verdad (SISTEMA DE DEMOSTRACIÓN):
• Vocabulario è lógica proposicional.
• Sintaxis è dada por nuestra definición 1 y nuestras cláusulas.
• Semántica è veritativo-funcional.
• Estructura è lógica clásica.
• Ejempo: ¬(¬p^¬q)
o Vamos viendo los distintos modelos de la fórmula compuesta a través de
su árbol de construcción sintáctico.
o Nos guiamos a través de las tablas de verdad de las constantes
lógicas. En la imagen de abajo, por ejemplo, vemos que según la tabla de
verdad de la negación, si p = 1 entonces ¬p = 0, etc.
o En este caso (el de la imagen), primero extraemos las fórmulas atómicas
p y q, y ponemos y damos los posibles valores de verdad (que son 2n= n,
siendo n el número de fórmulas atómicas y n el número total de
valores de verdad de ésta, en este caso, 22 = 4 valores posibles). En el
caso de 23, construiríamos la tabla de valuación así:
§ En la primera fila ponemos primero todos los valores 1 juntos y
luego todos los 0 (por ejemplo, en 23, ponemos primero cuatro 1
y luego cuatro 0).
§ En la segunda fila ponemos luego dos 1 y dos 0 hasta tener los 8
valores.
§ En la tercera fila ponemos 1 y 0 alternados.
En esta imagen tenemos una valuación de 22 (izquierda) y 23 (derecha).
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•
concuerden con las tablas de verdad de las conectivas de la lógica proposicional.
No podemos, por ejemplo, tener una función que atribuya el valor 1 a p y a ¬p.
Esto determina en nuestra semántica que si p es V, no puede ser F y viceversa.
Por eso nuestra semántica es veritativo-funcional binaria.
Esta es la base de la semántica proposicional y de sus tablas de verdad. También
la base del principio de no contradicción, del tercero excluido y de toda la
lógica clásica.
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En la siguiente imagen, vemos cómo a partir de la valuación de la primera fórmula
compuesta, podemos calcular la valuación de otras fórmulas compuestas que
incluyan p y q, como por ejemplo “p v q” (gracias al principio de sustitución de los
idénticos).
• A partir de esto podemos sacar leyes de equivalencia, como por ejemplo la de la
doble negación (¬¬p = p). Todas las equivalencias están basadas en el principio
de sustitución de los idénticos.
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Vamos viendo, según las tablas de verdad, la valuación de cada fórmula compuesta que
construimos a base de p y q.
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***NO ES LO MISMO EQUIVALENCIA QUE REGLA O LEY.
Otra forma de expresar las equivalencias es así (con el bicondicional):
Consecuencia lógica semántica:
• Semántica, en este caso, porque nos basamos en unas proposiciones
interpretadas según una semántica veritativo-funcional.
• Cuando tenemos una consecuencia lógica SIN PREMISAS, es porque hay una
tautología.
• Se expresa con este símbolo.
Hay que distinguir bien entre SEMÁNTICA (veritativo-funcional), SINTAXIS
(constantes y variables lógicas), MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN (tablas de
valuación)… El método de demostración nos permite ver la validez semántica de un
argumento y también si es una tautología, una contradicción…
• La base semántica (veritativo-funcional) va a ser la misma en las tablas
semánticas que en las tablas de verdad.
LAS FÓRMULAS PUEDEN SER:
Tautología:
• Todos los valores de verdad son 1.
• Son satisfacibles.
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El resultado de esta tabla de evaluación, en el que hemos comprobado mediante la tabla
de verdad entre ambas fórmulas (porque coinciden), es una equivalencia lógica, que
podríamos expresar tal que:
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Contingencia:
• V (ψ) = 1/0
• Hay 1 y 0.
• Son satisfacibles.
Satisfacibilidad:
• Al menos hay un 1.
• La tautología es satisfacible, pero lo satisfacible no necesariamente es
tautológico.
Contramodelo:
• Es una fórmula que hace que otra fórmula compuesta (que la contiene) NO sea
una consecuencia lógica, es decir, la valuación final de la fórmula es 0.
En el caso de esta fórmula, haciendo su tabla, obtenemos como resultado que es una
contingencia satisfacible (porque tenemos algún valor verdadero), cuyo contramodelo
es V3 (V3 porque es el valor en que la fórmula tiene valor 0).
• Si la tabla hubiese tenido todos los valores 1, sería una tautología, y podríamos
decir que (¬p è ¬q) es una consecuencia lógica sin premisas de (p è q).
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Contradicción:
• Todos los valores de verdad son 0.
• No son satisfacibles. Todas las valuaciones son contramodelos.
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•
•
•
•
•
•
•
Hasta ahora hemos hablado de fórmulas.
Hemos construido un lenguaje con su sintaxis (a partir de recursividad
inductiva) y hemos dado una semántica (en este caso veritativo-funcional).
Este lenguaje formal es una traducción de ciertos aspectos del lenguaje natural,
de la estructura de nuestros argumentos basados en proposiciones (oraciones
declarativas).
Hemos determinado sus condiciones de verdad conforme a un modelo / teoría de
modelos (en función a sus tablas de verdad).
El valor de verdad de una oración depende del significado de sus partes.
Principio de composicionalidad.
La función de todo esto es precisamente ver cómo funciona el razonamiento
humano, los argumentos, cómo aceptando ciertas oraciones (que ya hemos
visto que podemos formalizar) nos comprometemos con otras (sus
supuestos).
Lo que importa es si nuestra conclusión está o no justificada por nuestros
supuestos. Hasta ahora, hemos visto argumentos que se siguen por consecuencia
lógica, deductivamente, la inferencia lógica clásica.
Noción de validez semántica de un argumento:
• Si todas las premisas de mi argumento o modelo son verdaderas, la
conclusión no puede ser falsa, porque en una consecuencia lógica lo único
que hacemos es PRESERVAR la verdad que ya teníamos en las
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Resumen de lo visto hasta ahora:
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•
•
•
•
Contramodelo (en un argumento):
• Cuando en la tabla de verdad tenemos todas las premisas verdaderas (1)
y una conclusión falsa (0), ahí tenemos el contramodelo.
• Se indica con los valores de verdad de cada fórmula, por ejemplo: [V(p) = 1,
V(q) = 0 y V(r) = 0]
• Para tener un argumento válido, tanto premisas como conclusión deben tener
valor 1 (verdadero).
Por ejemplo, en la siguiente imagen, vemos que el argumento p -> (q ^ r), q -> ¬r / ¬p
es válido porque cuando las premisas [p -> (q ^ r), q -> ¬r] son verdaderas la conclusión
(¬p) también lo es.
• Si la conclusión hubiese sido falsa con las dos premisas verdaderas, ahí
tendríamos el contramodelo.
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•
premisas. Por eso es una consecuencia, la verdad no nace de la nada, sino
que ya estaba en las premisas y por tanto continúa en la conclusión.
o Si no hay ninguna premisa, ψ debe ser inferido sin premisas (es
decir, una tautología).
o Si la conclusión es falsa el argumento no es válido, y tenemos un
contramodelo.
o Las premisas pueden ser falsas y la conclusión verdadera, y eso no
hace inválido un argumento. La validez tenemos que analizarla
siempre desde las premisas, cuando estas son verdaderas.
Veremos cómo se relacionan las premisas (que son unas fórmulas) con la
conclusión (que son otras fórmulas).
Traduciendo los supuestos de un argumento dado y su conclusión a la lógica
de predicados, obtenemos un esquema de argumento que tiene φ1, …, φn
como premisas y ψ como conclusión.
Si al aceptar φ1, …, φn tenemos también que aceptar ψ, hablamos de
un esquema de argumento válido, y ψ sería una consecuencia lógica de
φ1, …, φn.
o Por ejemplo, si en el esquema de argumento “Todos los hombres son
mortales (φ1), Sócrates es hombre (φ2), por lo tanto Sócrates es
mortal (ψ)”, si aceptar φ1 y φ2 llevan a aceptar la conclusión ψ, ya
que es su consecuencia lógica, entonces es un esquema de
argumentación válido.
Para las fórmulas (φ1, …, φn/ψ) de la lógica proposicional, se cumple que
φ1, …, φn l= ψ (es decir, que las fórmulas son válidas) sólo en el caso de
que para toda valuación V tal que VM(φ1), …, VM(φn) = 1 (es decir,
cuyo valor de verdad de las premisas φ1, …, φn es Verdadero (1)),
también se cumple que VM(ψ) = 1 (es decir, que el valor de verdad de la
conclusión ψ es Verdadero (1)).
Resumidamente, un esquema de argumento es (semánticamente) válido si
cuando las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera.
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P è (q ^ ¬q), ¬p
•
•
•
•
En la tabla de verdad ponemos todas las fórmulas y sus valuaciones.
Luego señalamos con 1 la premisa 1 (y si hubiese más premisas con su número
correspondiente).
o Si dejamos una columna entre las premisas y la conclusión para marcar
es más fácil y visual.
Finalmente ponemos en la columna final nuestra conclusión y la señalamos.
En este caso vemos que cuando la premisa es verdadera, la conclusión también
lo es, luego el argumento es válido.
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Otro ejemplo de tabla de verdad para ver la validez de un argumento:
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Diferencia entre satisfacibilidad y argumento válido:
• La validez se da SIEMPRE que, cuando haya premisas verdaderas, se den
conclusiones verdaderas. Desde el momento en que haya una conclusión falsa, el
argumento no es válido.
• La satisfacibilidad es simplemente que, si tenemos las valuaciones adecuadas en
las premisas, la conclusión es verdadera, pero no tiene por qué darse siempre
(salvo que sea una tautología).
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TABLAS SEMÁNTICAS (MÉTODO DE
DEMOSTRACIÓN):
Diferencias entre tablas de verdad y tablas semánticas:
• Las tablas de verdad son CERRADAS, cubren TODOS los modelos
posibles, es decir, determinamos las valuaciones de nuestras proposiciones para
todos los casos posibles.
• Las tablas semánticas muestran el proceso de desarrollo del argumento, las
ramas que puedes ir tomando según o aceptes o no ciertas premisas. Los
tableaux son más abiertos.
• Como en las tablas semánticas no cubrimos todos los modelos, tenemos que
hacer una reducción al absurdo.
o Ahora seguimos usando la misma semántica veritativo-funcional y la
misma sintaxis, pero cambiamos el método de demostración. Con este
nuevo método no se ven todos los modelos posibles, sino los
suficientes para poder dar un contramodelo.
o Todos los árboles semánticos me dan valuaciones, pero no aparecen
todos los modelos, sólo los necesarios. Si hiciésemos el árbol sin
negarlo primero, nos faltarían modelos como para poder decir si la
fórmula es una tautología o no o si el argumento es válido o no. En
positivo sólo podemos determinar si la fórmula es satisfacible. Por eso,
para distinguir una tautología, tenemos que empezvar partiendo de una
reducción al absurdo (negando la fórmula).
Tablas semánticas o tableaux (SISTEMA DE DEMOSTRACIÓN):
• Vocabulario è lógica proposicional.
• Sintaxis è dada por nuestra definición 1 y nuestras cláusulas.
• Semántica è veritativo-funcional.
• Estructura è lógica clásica.
• Tenemos la misma semántica y el mismo vocabulario y sintaxis (lógica
proposicional + sus constantes lógicas), pero cambiamos el método de
demostración, que en lugar de ser tablas de verdad son tablas semánticas.
• Utilizamos el método de reducción al absurdo para realizar las tablas
semánticas.
Reducción al absurdo:
La reducción al absurdo NO es una demostración directa sino INDIRECTA, y
sirve en una lógica clásica cuando tenemos una semántica binaria (veritativofuncional) y aceptamos tanto la ley del tercio excluso como la de la doble negación
(¬¬A = A).
• ¬¬A no es A en una lógica en que no se acepte la ley del tercio excluso y la de la
doble negación.
o Por ejemplo: si no tengo pruebas de que no haya restos de dinosaurios
(¬¬A), tampoco puedo afirmar que los haya (A). Esto es una lógica no
clásica. No puedo afirmar ni A ni ¬A. Para poder afirmar ¬A o A
necesito o una prueba directa de que hay A o una prueba directa de que
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2.3.3.
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El razonamiento de reducción al absurdo es siempre indirecto, es decir, parte del
presupuesto FILOSÓFICO del tercio excluso y de la doble negación, es decir,
tengo que partir de una estructura, de un modelo con una semántica binaria en
que si tengo A no puedo tener ¬A y viceversa. En caso de no partir de este modelo, de
esta semántica, no puedo, por prueba indirecta, extraer una conclusión firme, necesito
siempre pruebas directas.
• ¬¬A = A sólo aplica cuando tengo una semántica binaria y asumico que es
imposible que A ^ ¬A.
• El método de reducción al absurdo es siempre condicionado, tiene
presuposiciones y consecuencias, y por eso sólo es válido en una semántica y
modelo concreto.
Hasta ahora teníamos una semántica binaria (veritativo-funcional) y determinábamos el
valor de verdad de las proposiciones atendiendo a todos los modelos posibles mediante
tablas de verdad.
Ahora seguimos usando la misma semántica veritativo-funcional y la misma
sintaxis, pero cambiamos el método de demostración. Con este nuevo método no se
ven todos los modelos posibles, sino los suficientes para poder dar un contramodelo.
Este método es algo más rápido que el de tablas de verdad.
Cada una de las constantes lógicas podemos dividirlas en dos estructuras básicas:
que sea verdadera o que sea falsa.
Partimos de estos hechos que se cumplen para los tableaux analíticos:
• EMPEZAMOS ANOTANDO QUE, BAJO CUALQUIER
INTERPRETACIÓN, LOS ENUNCIADOS SIGUIENTES SON
VERDADEROS PARA CUALQUIER FÓRMULA.
Primero:
a) Si ¬X es verdadera, entonces X es falsa.
b) Si ¬X es falsa, entonces X es verdadera.
Segundo:
a) Si una conjunción X^Y es verdadera, entonces X, Y son verdaderas.
b) Si una conjunción X`Y es falsa, entonces o X es falsa o Y es falsa.
Tercero:
a) Si una disyunción XvY es verdadera, entonces o X o Y son verdaderas.
b) Si una disyunción XvY es falsa, entonces X e Y son falsas.
Cuarto:
a) Si xàY es verdadera, entonces o X es falsa o Y es verdadera.
b) Si xàY es falsa, entonces X es verdadera e Y es falsa.
Estas estructuras básicas las sacamos de las tablas de verdad de las constantes lógicas de
la lógica proposicional.
Otra forma de expresar estos principios:
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¬A, pero sólo por ¬A no puedo concluir que A, y por tanto tampoco
aplica que ¬¬A = A.
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Con estos cuatro principios lo que hacemos es crear árboles semánticos, que NO
SON LO MISMO QUE EL ÁRBOL SINTÁTICO (lo que hicimos al principio para
ver si la fórmula era FBF para la lógica proposicional, analizando sus distintas
subfórmulas).
Todos los árboles semánticos me dan valuaciones, pero no aparecen todos los modelos,
sólo los necesarios. Si hiciésemos el árbol sin negarlo primero, nos faltarían
modelos como para poder decir si la fórmula es una tautología o no. En positivo
sólo podemos determinar si la fórmula es satisfacible. Por eso, para distinguir una
tautología, tenemos que empezar partiendo de una reducción al absurdo (negando
la fórmula).
Cómo hacer los tableaux:
• Ejemplo extraído del libro Smullyan.
o Empezamos viendo si podemos derivar una contradicción (las ramas de
cierran) asumiendo que la fórmula dada es falsa. Por ejemplo, si la fórmula
que nos dan es una implicación, empezamos poniendo que el antecedente es
verdadero (2) y el consecuente falso (3), y ese sería el primer despliegue de
nuestro tableau. Para hacer esto, nos guiamos por las tablas de verdad de cada
conectiva.
T = true ; F = false.
o A partir de estos 2 primeros pasos, tenemos que ir por orden. Primero tendremos
que desplegar (2), que como podemos ver es una fórmula del tipo (X v Y), una
disyunción que además es verdadera. Cuando tenemos una disyunción
verdadera, lo único que podemos hacer es inferir que X o Y son verdaderas, así
que dividimos en dos ramas, una para cada posibilidad (que X = V y que Y =
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***Cuando ponemos la línea en medio es BETA, cuando van bajo la otra son ALFA.
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o En el (5) tenemos T(q^r), así que podemos afirmar que q = V, que sería nuestro
(6), y r =V, que será nuestro (7), son consecuencia directa. Con este paso ya
hemos comprobado todas las posibles interpretaciones de la fórmula (2), así que
pasamos a la (3), F(pvq)^(pvr).
o Nuestra fórmula (3) es del tipo FX^Y, por lo que, cualquiera de las dos, X = F o
Y = F, así que abrimos dos ramas para ambas posibilidades, F(pvq) y F(pvr).
Hay que comprobar esta interpretación en todos los ramales que teníamos
abiertos previamente (4 y 5), para contemplar todas las posibilidades, por lo que
añadimos 4 ramas nuevas, (8), (9) a la izquierda, y (10), (11) a la derecha.
o F(pvq) es una disyunción falsa, por lo que puedo afirmar que P = F y Q = F son
una consecuencia directa, y lo mismo para F(pvr), por lo que escribimos ambas
conclusiones debajo de la fórmula comprobada, es decir, tanto en (8), como en
(9), como en (10) como en (11).
o Una vez hecho esto, ya hemos comprobado todas las posibles interpretaciones
suponiendo que nuestra fórmula inicial era falsa. Vemos que en cada uno de los
ramales tenemos contradicciones. Por ejemplo, en (12) tenemos ¬p como
consecuencia de (4), p, lo cual es imposible según el principio de nocontradicción. En (14) lo mismo. En (17) tenemos ¬q y en (6) tenemos q, y en
(19) tenemos ¬r cuando en (7) tenemos r. Por tanto, TODOS los ramales del
árbol se cierran, porque todos conducen a una contradicción.
o Como partimos suponiendo que (1) era falsa, y al hacerlo hemos llegado a una
contradicción (no hay ninguna interpretación posible de la negación de 1 cuyo
valor sea verdadero), por reducción al absurdo, concluimos que (1) no puede ser
falsa y, además, que no puede serlo bajo ninguna de sus interpretaciones, luego
es una tautología.
Fórmulas alfa y beta:
o Tenemos fórmulas de extensión ALFA (una rama se sigue de otra) y BETA
(se bifurcan). Siempre que tengamos, en un enunciado, una fórmula de tipo alfa
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V). En este caso, X = p, que sería nuestro paso (4) e Y = (q^r), que sería nuestro
paso (5).
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§
Conjunción verdadera à ALFA. Es decir, la rama se sigue de la
misma rama.
§
§
Conjunción falsa à BETA. La rama se bifurca.
§
§
Disyunción verdadera à BETA. La rama se bifurca.
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y otra de tipo beta, damos prioridad a la de tipo ALFA, eso significa,
desplegamos primero las que se siguen de otras y después las que se bifurcan.
§ Las ramas de tipo ALFA significan que tenemos una consecuencia
directa de una fórmula dada.
§ Las ramas de tipo BETA significan que no podemos inferir
ninguna conclusión directa de la fórmula dada.
o Debemos extender debajo de todas las ramas que queden por debajo de la
que estamos expandiendo (es decir, que si parto de una bifurcación tengo que
extender por debajo de las dos ramas que me han salido, de ahí el nombre de
“árbol”). Vamos expandiéndolas en orden de aparición, y dando prioridad a las
ALFA cuando haya una alfa y una beta. HACER PASO A PASO Y
COMPROBANDO.
o Una rama está cerrada (no tiene modelos) cuando no hay ninguna
interpretación posible de esa rama que no conduzca a contradicción. Si los
literales que aparecen no pueden ser simultáneamente satisfechos, la rama
está cerrada.
§ Por eso, si tenemos como raíz p y como literal anterior ¬p, como
ambos no pueden darse simultáneamente, la rama está cerrada.
§ Si queda alguna rama abierta (beta) sólo podemos decir que es
satisfacible.
§ Como partimos de la negación inicial de la fórmula dada, si todos los
ramales están cerrados significa que la fórmula inicial (sin negar) es
una tautología.
o Tenemos ramas tipo ALFA (las que siguen en la misma rama) y ramas tipo
BETA (las que se bifurcan en dos ramas).
§ Negación à ALFA. Es decir, la rama se sigue de la misma rama.
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§
Disyunción falsa à ALFA. Es decir, la rama se sigue de la misma rama.
§
§
Condicional verdadero à BETA. La rama se bifurca.
§
§
Condicional falso à ALFA. Es decir, la rama se sigue de la misma
rama.
El aspecto de un árbol semántico es este:
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§
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Resolver tableux cuando nos dan premisas y conclusión:
• Forma 1: ponemos todas las premisas en orden y negamos la conclusión.
• Forma 2: hacemos una fórmula asociada (fórmula compuesta de la conjunción de
las premisas como antecedente y la conclusión como consecuente de condicional) y
la negamos.
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Si no entendéis nada como yo, este video está OK:
https://www.youtube.com/watch?v=2OAmAtd3Bxk
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DEDUCCIÓN NATURAL:
Deducción natural (SISTEMA DE DEMOSTRACIÓN):
• Es un método que sirve para obtener consecuencias de un conjunto de
premisas, que puede ser vacío.
• Una prueba sería una lista de fórmulas en que cada una de ellas, o bien es una
premisa, o se obtiene de otras fórmulas anteriores mediante la aplicación de
reglas de eliminación e introducción.
o Las pruebas pueden contener subpruebas, que parten de considerar una
hipótesis (las fórmulas dentro de cajas).
o El resultado final de una prueba debe estar LIBRE de hipótesis, por
ello, de cada subprueba sólo nos interesa el contenido que pueda
asumirse con independencia de la hipótesis.
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2.3.4.
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•
•
•
•
•
•
•
Por ejemplo, si asumimos como hipótesis p, y ello nos permite
llegar a q, no podemos conclucir p como resultado (que es un
supuesto), pero sí podemos concluir que p à q, es decir, que
de tener p implicaría q.
La sintaxis de la lógica proposicional se mantiene, pero ya no se utiliza la
semántica veritativo-funcional (teoría de modelos) para dar la validez a los
argumentos, sino que se hace a través de reglas sintácticas sin
presuposiciones semánticas.
Pretende dar las reglas naturales de nuestros razonamientos, cómo
funcionamos normalmente.
Enfoque SINTÁCTICO de la inferencia.
Se explicita en una lista finita de pequeños pasos constituidos por razonamientos
que se suponen correctos.
Especificamos reglas que se vinculan con los pasos para realizar derivaciones.
Para poder dar las conclusiones que se derivan de nuestras premisas,
explicitamos los pequeños pasos que nos llevan a ellas, especificando las reglas
que se vinculan con los pasos que podemos realizar, es decir, tenemos que
demostrar las reglas que nos llevan de unas premisas a una conclusión,
sintácticamente hablando.
Los pasos son respuestas a las preguntas:
o 1: ¿cuándo puede inferirse como conclusión una fórmula cuyo signo
principal sea dicha conectiva?
o 2: ¿qué conclusiones pueden inferirse a partir de una fórmula cuyo signo
principal sea dicha conectiva?
Diferencias con los otros métodos de demostración:
• Es un método totalmente distinto a los dos anteriores, y filosóficamente tiene
consecuencias diferentes.
• Aquí no estamos ofreciendo modelos de realidad a los que asignamos un
valor de verdad (estructura y epistemología realistas). Aquí nos saltamos esa
estructura de modelos. Ya no tenemos una teoría de correspondencia con la
verdad a la Tarski, sino una teoría de la prueba.
• Si la validez no nos la da ya la semántica veritativo-funcional, tenemos que
buscar otra manera de obtenerla. En este caso, lo hacemos a través de la
sintaxis.
• En la demostración natural NO nos comprometemos ontológicamente con
nada.
• La deducción natural muestra el proceso de construcción de razonamiento,
y no está cerrado, sino que hay distintas vías. Eso significa que podemos llegar
a la misma conclusión utilizando distintas reglas. Lo primero que hay que
hacer es fijarnos en las conectivas que tenemos presentes y ver qué
podemos, a partir de las reglas de introducción y eliminación dadas, qué
podemos hacer con ellas.
• Hay que tener en cuenta que, sólo a través de este método, sin añadir nada
más (regla de EFSQ y regla¬¬) no podemos derivar tautologías claves de la
lógica clásica. Sin añadir estas reglas estaríamos en un sistema minimal, que no
es un sistema completo como el de la lógica clásica, pero que tiene otras
utilidades.
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Cada vez que introduzcamos una regla tenemos que señalar de dónde viene (igual que
hacíamos en los tableux indicando de dónde procedían las fórmulas).
Este símbolo sirve para contradicciones.
***Las cajitas de introducción de la implicación y de eliminación de la disyunción
significan que abrimos supuesto, hipótesis. También se utilizan en introducción de la
negación, que tenemos que suponer el contrario. Esta imagen pertenece al vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=NTgmVuicHqk
***En mis explicaciones siguientes hay imágenes de este PDF:
https://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/4.DeduccionNatural%20(1415)-Final.pdf
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Este es el símbolo de tautología en deducción natural. En tablas de verdad o tableux
tiene una línea horizontal más.
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•
•
•
•
Cada premisa y cada nueva fórmula obtenida mediante las reglas de inferencia
se escribe en una línea numerada (comenzando por el 1)
La prueba termina cuando llegamos a una línea, fuera de todo supuesto no
cancelado, que contiene la fórmula que queremos deducir (demostrar, probar).
Cuando nos dan premisas y conclusión, colocamos primero las premisas y
vemos si podemos proceder sin supuestos.
Cuando nos dan directamente la conclusión sin premisas, tenemos que partir
de supuestos.
Reglas derivadas:
• Además de las reglas básicas de introducción y eliminación, es común utilizar
reglas derivadas para agilizar las pruebas.
• Estas reglas derivadas deben ser demostrables a partir de las reglas básicas.
• Algunos ejemplos: modus tollens, identidad, silogismo hipotético, silogismo
disyuntivo, ESFQ, principio de tercio excluso, leyes de Morgan…
o Silogismo disyuntivo: pvq, ¬p ⊦ q
o ESFQ: pv¬p ⊦ q (de una contradicción, cualquier cosa).
o Principio de tercero excluido: (…) ⊦ p v ¬p (es decir, p v ¬p puede ser
la conclusión de cualquier premisa, porque el dominio de esa función es
infinito).
o Ley de Morgan 1: ¬(p^q) ⊦ ¬p v ¬q
o Ley de Morgan 2: ¬(pvq) ⊦ ¬p ^ ¬q
Resumen de las reglas:
• Introducción de la conjunción à necesitamos AMBOS conjugandos para
poder conjugarlos, es decir, si quiero llegar a p^q necesito tener tanto p como
q.
• Eliminación de la conjunción à teniendo una conjunción p^q, podemos
eliminarla para obtener tanto p como q.
• Introducción de la disyunción à con tener uno de los disyuntores, ya podemos
introducir el que queramos. Regla MUY útil. Si tengo p puedo decir pvr o pvq
o pv(lo que sea).
• Eliminación de la disyunción à la conclusión a la que pretendemos llegar
debe seguirse de los dos disyuntores para poder eliminar la disyunción y obtener
la conclusión. Si tengo pvq y quiero llegar a r, necesito demostrar que p à r
y que q à r, suponiendo en primer lugar p y luego q y llegando a r en
ambos casos. Hay que plantear 2 hipótesis.
• Introducción de la implicación à si necesito llegar a pàq, supongo el
antecedente p e intento derivar el consecuente q. Cuando consiga derivar el
consecuente, ya no puedo seguir procediendo con el supuesto 1 (es retirado).
Planteo 1 hipótesis. Si consigo llegar a q, no puedo afirmar que p (por tanto el
supuesto se cancela), pero sí puedo concluir que de tener p tendría q, luego que p
à q.
• Eliminación de la implicación à si me dicen que pàq y tengo p, es decir,
tengo el antecedente, puedo eliminar la implicación y decir que q.
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PROCEDIMIENTO GENERAL DE DEDUCCIÓN:
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•
Introducción de la negación à introducimos la negación por reducción al
absurdo, necesito tener una contradicción entre mis pruebas. Si 1 hipótesis
me lleva a una contradicción, puedo concluir como verdadera su contraria.
Por ejemplo, si tengo ¬p à q y ¬q como premisas, y al suponer ¬p
(antecedente) y eliminar la implicación, obtengo q, como tengo ¬q entre mis
premisas llego a una contradicción, por lo que puedo I¬ a mi hipótesis (en este
caso, ¬p, que quedaría como ¬¬p, y por tanto p).
Eliminación de la negación à si tengo una doble negación puedo eliminarlas.
¬¬p = p.
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•
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CONJUNCIÓN:
Introducción (necesito los 2 conjugandos):
•
•
•
•
1: ψ supuesto.
2: Φ supuesto.
-------------------3: ψ ^ Φ I ^ 1, 2.
Otro ejemplo:
•
p, q, r ⊦ (p^q) ^ r
o 1: p supuesto.
o 2: q supuesto.
o 3: r supuesto.
o 4: (p ^ q) I ^ 1,2.
o ---------------o 5: (p ^ q) ^ r I ^ 3, 4
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Si tengo A verdadera y B verdadera, puedo introducir una conjunción.
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Eliminación (puedo eliminar la conjunción para ambos conjugandos):
Es la operación contraria a la introducción de la conjunción.
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Si tengo en una línea deductiva una conjunción A ^ B que es verdadera, puedo deducir
que tanto A como B son verdaderas, es decir, puedo eliminar la conjunción para ambos
casos.
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1. Eliminación (necesito tener el antecedente):
Para poder eliminar una implicación necesitamos tener el antecedente. Una vez
tenemos el antecedente, podemos concluir sin duda el consecuente, por tanto, podemos
eliminar la implicación (B no puede ser verdadero si A no es verdadero, como sabemos
por la tabla de verdad de la implicación).
• Condición suficiente significa que, si la implicación es verdadera, la presencia
de la condición A es suficiente para que se de B, luego si se da A se da B (de lo
contrario la implicación es falsa).
• A es condición suficiente de B (si se da A se da B) y B es condición necesaria de
A (para que pueda darse A, tiene que darse B).
o Si llueve (A) mi patio se moja (B). A es condición suficiente de B, que
llueva es condición suficiente para que mi patio se moje, pero no es
necesario que llueva para que mi patio se moje, porque puedo mojarlo yo
con una manguera.
• Por tanto, si tenemos que A à B es verdadera y tenemos A, podemos
eliminar la implicación y decir que B.
El modus tollens sería una regla de eliminación de la implicación derivada.
AàB
¬B
---¬A
Otro ejemplo de eliminación:
•
•
•
•
•
P à q, p ⊦ q
1: p à q supuesto
2: p supuesto
-----------------3: q E à 1,2
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IMPLICACIÓN:
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2. Introducción (necesito suponer antecedente y derivar el consecuente):
Para derivar A à B, primero tengo que suponer A como hipótesis (abro una caja)
e intentar derivar B.
Esta regla, junto a la introducción de la negación y la eliminación de la disyunción,
requiere que hagamos supuestos, que sólo se añaden temporalmente y que luego se
cancelan.
• Cuando introducimos un supuesto, movemos la siguiente secuencia de
fórmulas hacia la derecha y abrimos una caja.
• Tenemos que desarrollar el supuesto hasta conseguir cancelarlo. Una vez lo
hacemos, hemos demostrado la fórmula que pretendíamos en primer lugar.
Condición necesaria significa que, cuando el consecuente B es verdadero, el
antecedente A también lo es, por lo que siempre que tengamos B tenemos antes A (no
puede ser que A = 0 y B = 1).
• A es condición suficiente de B (si se da A se da B) y B es condición necesaria
de A (para que pueda darse A, tiene que darse B).
o Soy argentino (A) luego soy latinoamericano (B). Que se de B no es
suficiente para que se de A (podría ser chileno, boliviano…), pero sí es
necesario, es decir, no puedo ser argentino sin ser latinoamericano, por
lo que si B = 1, A = 1.
• Por tanto, si queremos introducir una implicación y llegar a A à B, tenemos
que tener B, que es la condición necesaria, ya que para que se de A tiene
que darse B, y para que la implicación sea verdadera B tiene que ser
verdadero (recordemos la tabla de verdad de la implicación: sólo es falsa
cuando A = 1 y B = 0).
• Para introducir A à B necesitamos sí o sí B. Si no tenemos B, para poder
demostrarlo primero tenemos que suponer A.
De todo esto se sigue que hay derivaciones que carecen de premisas, que son aquellas
en las que se han ido cancelando todos los supuestos.
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Si consigo obtener B, que es el consecuente, la condición necesaria, puedo
introducir la implicación.
• A quedaría cancelada al ser una hipótesis, y ya no podría usarla más.
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•
Aquí podemos ver que supongo el antecedente (p^q) de la implicación. Puedo eliminar
directamente la conjunción para quedarme con p, que es el consecuente que estoy
buscando. Cierro ya la hipótesis porque he obtenido lo que quería, y el antecedente
hipotético ya no me sirve más.
Como tengo el consecuente, puedo introducir la implicación.
Para introducir una implicación siempre tengo que introducir una hipótesis del
antecedente e intentar derivar el consecuente, y eso lo indicamos con la caja que se
ve en la imagen, que cerramos cuando la concluimos.
Ejemplo explicado:
(p^q) à r ⊦ (q^p) à r
•
•
•
•
•
•
Primero doy por supuesta mi premisa entera (1), (p^q) à r.
Doy por supuesto el antecedente q^p de la implicación de mi conclusión para
intentar demostrar que se sigue el consecuente y que por tanto la implicación es
verdadera.
Elimino la conjunción de q^p para quedarme con q (3) y p (4).
Introduzco la conjunción p^q a partir de (3) y (4), y obtengo ya el antecedente de
la implicación de mi premisa (p^q) à r, luego puedo eliminarla y quedarme con
r (6). Esto es así porque, si la implicación es verdadera (que es de lo que
partimos en la premisa), cuando se da A se da seguro B, luego si he derivado ya
p^q, puedo derivar r.
Teniendo r (6), que es el consecuente de mi conclusión, ya puedo introducir la
implicación y llegar a mi conclusión, porque si el consecuente es verdadero sí o
sí es verdadero el antecedente, ya que B es condición necesaria de A (no puede
ser que B = 0 y A = 1, como sabemos por la tabla de verdad de la implicación).
Como ya he derivado mi conclusión, cierro el supuesto que empecé con (q^p),
que queda cancelado.
Otro ejemplo de introducción:
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•
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•
•
•
•
•
•
•
•
o 1: (P ^ q) supuesto
o 2: p E ^ 1 (saco P por eliminación de la conjunción 1, y teniendo p que
es el consecuente, puedo ya introducir la implicación y obtengo mi
demostración).
o ---------------o 3: ((p^q) à p) I à
Sin premisas, tengo que derivar esta conclusión.
Empiezo suponiendo el antecedente (p^q).
Puedo aplicar la regla de eliminación de la conjunción para quedarme con p (2).
Si tengo p, que es el consecuente, puedo introducir sin problema la implicación
y demostrar sin premisas la conclusión, ya que el consecuente es la condición
necesaria, por lo que si se da el consecuente sí o sí se da el antecedente (no
puede ser que A = 0 y B = 1, por la tabla de verdad de la implicación).
En ambos casos, como me dan las premisas, primero las pongo.
Luego supongo el antecedente de mi conclusión, y aplicando las reglas derivo el
consecuente.
Una vez obtenido el consecuente, cierro el supuesto (y queda cancelado).
Al demostrar el consecuente, ya puedo Ià y demostrar mi conclusión.
Regla de repetición:
• ⊦ p à (qàp)
o 1: p supuesto
o 2: q supuesto
o 3: p rep. 1 (sólo si damos por supuesto 1).
o 4: (qàp) I à
o ---------o 5: (p à (qàp)) I à 3,4
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• ⊦ (p ^ q) à p
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Introducción (con tener uno de los dos disyuntores puedo introducirla):
Con saber que p ya puedo deducir que p v q, porque con que uno de los dos disyuntores
sea verdadero ya puedo introducir la disyunción.
Si me encuentro con una fórmula A en una línea deductiva y doy por supuesto que es
verdadera, le puedo añadir deductivamente una fórmula A V B, incluso si B es falsa,
porque si A = V ya tenemos las condiciones suficientes para que A V B = V.
Se llama “regla de adición” porque se añade una fórmula, a capricho del demostrante,
sin necesidad de que esa oración sea necesariamente verdadera.
Esta regla es útil porque, teniendo uno de los dos disyuntores, podemos añadir la
hipótesis que deseemos (por ejemplo, podemos usarlo en la demostración del EFSQ).
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DISYUNCIÓN:
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Eliminación (suponer una implicación para cada uno de los dos disyuntores y
Si nos dan las premisas y la conclusión, tengo que buscar la manera de que partiendo de
p v q pueda concluir que ¬r. El problema es que saber que p v q no es suficiente por sí
solo para concluir que ¬r, porque podría ser simplemente que p à ¬r y no que q à ¬r y
viceversa, por lo que tengo que demostrar de alguna manera que tanto p à ¬r
como que q à ¬r, es decir, tengo que SUPONER ambas implicaciones. En caso de
demostrar su posibilidad, puedo eliminar la disyunción porque sé que tanto p como q
llevan a ¬r, por lo que ¬r se da indudablemente, para cualquiera de los dos casos.
Para poder eliminar una disyunción necesito dos implicaciones.
Como las dos implicaciones son SUPOSICIONES, tengo que señalarlo indicando sup. a
su derecha y abriendo una caja.
Una cosa importante: una vez he sido capaz de demostrar que de la hipótesis de las
dos implicaciones llego a la misma conclusión, lo único que puedo tener como certeza
es la conclusión. Los supuestos se cierran (cerramos la caja) y no puedo seguir
operando con ellos, porque realmente no sé si p es verdadera o si q es verdadera, sólo
que si lo fuesen llevarían a ¬r.
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demostrar que llegamos a la misma conclusión en los dos casos):
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NEGACIÓN:
Introducción y eliminación (partimos suponiendo la negación de aquello que
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queremos concluir e intentamos hallar una contradicción):
Para eliminar una negación, tengo que demostrar que partiendo de un
determinado supuesto llego a una contradicción. Si tengo A y en algún momento de
mi fórmula llego a ¬A, puedo E¬ como se ve en la imagen superior.
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Para hacer introducción de la negación, tenemos que suponer el contrario, por
tanto utilizamos la caja. Por ejemplo, supongo que A, y termino llegando a
contradicción. En ese caso, puedo cerrar el supuesto e I¬ en A, es decir, que me quedo
con ¬A.
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Ambas negaciones se eliminan la una a la otra, luego si parto de ¬¬A, puedo afirmar
que A, por lo que puedo eliminar la negación.
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Eliminación o doble negación:
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Consejos para resolver los ejercicios de deducción natural:
• Lo más fácil es atender a la fórmula lógica de la conclusión buscada, tanto si
nos dan premisas como si tenemos que demostrar una conclusión sin premisas.
• Cuando el enunciado nos da una conclusión (es decir, que tenemos que
demostrar sin premisas), tenemos forzosamente que partir de una hipótesis.
Partimos suponiendo como paso 1 la fórmula que nos dan.
• Cuando nos dan las premisas y la conclusión:empezamos colocando como
paso 1 nuestras premisas y vemos si podemos proceder sin supuestos. Si
necesitamos supuestos, tomamos el que más nos interese de nuestra conclusión.
• Cuando hacemos hipótesis, tenemos que meter toda la demostración de la
hipótesis dentro de la misma caja.
o Si la conclusión buscada es un condicional pàq (necesitamos Ià),
suponemos p y buscamos q.
o Si la conclusión buscada es una conjunción p^q (necesitamos I^),
buscamos p yq por separado.
o Para I¬, usamos la reducción al absurdo, es decir, si queremos llegar a
p partimos de la hipótesis de ¬p.
o Si la conclusión buscada es una disyunción pvq, podemos o probar
uno de los disyuntores e Iv o bien, si hay otra disyunción, por Ev
llegando a pvq con cada disyuntor.
• Tenemos que ir jugando con las distintas reglas de introducción y eliminación
para llegar adonde queremos, pero puede haber varios modos de llegar a la
conclusión. Este método es un proceso que pretende imitar como funciona
realmente nuestro razonamiento, no algo cerrado y completo como las tablas de
verdad.
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2.3.5.
CONCLUSIONES, LÓGICA MINIMAL,
INTUICIONISTA Y CLÁSICA:
Los métodos de demostración que hemos utilizado hasta ahora (tablas de verdad y
tableaux) se corresponden con una lógica clásica.
El método de deducción natural no puede derivar sin premisas todas las
tautologías de la lógica clásica, por lo que sin añadirle más reglas que las de
introducción y eliminación, no hablaríamos de lógica clásica. No obstante, como
tiene coherencia interna, sí puede hablarse de lógica minimal.
Dos tautologías fundamentales de la lógica clásica que no pueden ser derivadas de una
lógica minimal son el ex falso quodlibet o principio de explosión (de una proposición
falsa se sigue cualquier otra proposición) y el tercio excluso (pv¬p siempre es
verdadera). Habrá que añadir reglas adicionales a las de eliminación e introducción
básicas para poder derivar todas las tautologías de la lógica clásica.
• Si añadimos la regla EFSQ, obtenemos una lógica INTUICIONISTA
(matemáticas constructivas).
o Este tipo de matemática sostiene que los objetos matemáticos son una
creación de la mente humana, y quiere liberarse de todo presupuesto
metafísico acerca de los objetos matemáticos. No comparten que
simplemente porque sea imposible que no haya un objeto con la
propiedad A (¬¬A) se pueda demostrar que hay algún objeto con la
propiedad A (A) y, por tanto, no aceptan deducciones por reducción al
absurdo.
o Desde la lógica intuicionista, sólo podemos afirmar una disyunción si
podemos afirmar uno de los disyuntores. pvq sólo es verdadera si puede
afirmarse p o puede afirmarse q. En este sentido, que pv¬p sea siempre
verdadera no puede asumirse sin demostrar o que p es verdadera o
que ¬p es verdadera (es decir, no se acepta la ley del tercero
excluido).
• Si añadimos a la lógica intuicionista la ley del tercio excluso a través de la
regla¬¬, obtenemos ya una lógica CLÁSICA.
Tautologías EFSQ y tercero excluido:
• EFSQ: ⊢ (p^¬p) à q
• Ley del tercero excluido: ⊢ p V ¬p
• Silogismo disyuntivo: pvq, ¬p ⊢ q
EX FALSO:
• También se llama “Principio de explosión”, “ex falso quodlibet”, “ex
contradictions (sequitor) quodlibet”.
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Deducción natural (SISTEMA DE DEMOSTRACIÓN):
La sintaxis de la lógica proposicional se mantiene, pero ya no se utiliza la semántica
veritativo
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•
Todos estos nombres significan “de una contradicción, cualquier cosa”. La
lógica “explota”.
⊢ ¬p à (p à q)
⊢ (p ^ ¬p) à q
Sin añadir esta regla, en una lógica minimal sería imposible por ejemplo hacer esta
derivación: p v q, ¬p ⊢ q (silogismo disyuntivo).
• Esta regla, forzosamente, tiene que implicar aceptar un silogismo
disyuntivo, que es un tipo de disyunción EXCLUSIVA, en base a dos
premisas que se excluyen y que no pueden ser ciertas al mismo tiempo, e incluso
tampoco pueden ser falsas simultáneamente, por lo que el Silogismo Disyuntivo
marca dos premisas donde obligatoriamente una debe ser falsa y la otra
verdadera (es decir, que si tenemos uno de los dos disyuntores verdadero
podemos decir que el otro es falso, y si lo tenemos falso podemos decir que
el otro es verdadero, como vemos en la imagen de abajo).
o Esto significa que, para poder añadir la regla EFSQ, ya tenemos que
partir de presupuestos filosóficos diferentes a los que había
presentes en la lógica minimal de la deducción natural (que
supuestamente son inexistentes, aunque ya veremos que realmente al
menos tienen que tener una semántica definida).
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Agregando la regla EFSQ, podemos derivar el ex falso sequitur quodlibet. Esta regla lo
que dice es que una fórmula arbitraria puede ser derivada de ⊥.
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*SD à silogismo disyuntivo. Disyunción exclusiva. Partimos de que pvq es verdadera y
llegamos a ¬p, luego q tiene que ser verdadera para que la primera disyunción sea
verdadera.
La única forma de demostrar el EFSQ es añadir un silogismo disyuntivo, es decir,
un presupuesto filosófico que no está en la lógica minimal. Para poder aceptar que
existen silogismos disyuntivos tenemos ya que partir de la idea de que de una
contradicción puede derivarse cualquier cosa, porque si no, al intentar demostrar el
silogismo, no podríamos.
• No podemos tener un SILOGISMO DISYUNTIVO sin tener EFSQ, ni
tener un EFSQ sin un SILOGISMO DISYUNTIVO.
• En nuestra estructura lógica, si tenemos una de estas dos, la otra viene de serie.
• Esto significa que si nuestra lógica tiene el principio de explosión, tiene
necesariamente silogismo disyuntivo, y viceversa. Por tanto también, si no
admitimos el ESFQ, tampoco podemos recurrir al silogismo disyuntivo.
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Para demostrar un EFSQ necesito un silogismo disyuntivo, como se ve en esta
imagen:
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En lógica clásica se intenta evitar el ex falso añadiendo el principio de no
contradicción. Se evitan a toda costa las contradicciones precisamente porque de ellas
se sigue cualquier cosa.
• La forma de evitarlas en lógica clásica es el principio de no contradicción. Con
una semántica veritativo-funcional ya viene dado (nuestras proposiciones sólo
pueden ser 1 o 0, no ambas a la vez), pero en deducción natural, que es un
método puramente sintáctico no.
• Podemos tener una lógica que acepte contradicciones, pero no sería lógica
clásica. Por ejemplo, la lógica intuicionista acepta el principio de explosión sin
problema.
• También son posibles en las lógicas paraconsistentes.
Lógica intuicionista:
• Una vez añadida la regla EFSQ a nuestra lógica minimal, tenemos una
lógica intuicionista, que sólo cuenta con pruebas directas (por ejemplo, no
admite la reducción al absurdo porque no cuenta con una regla de la doble
negación).
• Esta lógica se llama así porque emplea la forma de razonar de las
matemáticas constructivistas, que intentan eliminar de la matemática lo que se
consideran presupuestos metafísicos concernientes a la naturaleza de los objetos
matemáticos, y fundar la disciplina sobre nuestra intuiciones acerca de los
números naturales.
• Este tipo de lógica sólo acepta las pruebas DIRECTAS, es decir, por ejemplo,
de una premisa tipo “es imposible que no haya un objeto que tenga la propiedad
A” (¬¬p) no podemos inferir la conclusión de “hay un objeto que tiene la
propiedad A” (p). No hay justificación para inferir p de ¬¬p.
o Desde esta lógica, sólo puede afirmarse una disyunción si uno de sus
disyuntivos puede afirmarse de hecho, luego p v q sólo es V si p = V o q
= V.
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Demostración del silogismo disyuntivo, para lo que necesitamos recurrir al ESFQ:
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Para llegar de una lógica intuicionista a una lógica clásica, necesitamos una regla
más, que es la del tercio excluso, que viene con la ley de la doble negación y con la
reducción al absurdo.
Ambas negaciones se eliminan la una a la otra, luego si parto de ¬¬A, puedo afirmar
que A, por lo que puedo eliminar la doble negación.
Añadiendo la regla ¬¬ podemos derivar p v ¬p sin premisas, es decir, aceptar el
principio del tercero excluido.
Demostración del tercero excluido:
• Usamos la regla de la doble negación.
La lógica clásica es muy estricta y muy exacta. Desde que cambiemos la regla
EFSQ o el tercero excluido, ya tenemos múltiples tipos de razonamientos que no
funcionan. Está bien si no queremos aceptar ciertos presupuestos y utilizar métodos
como el de la deducción natural (para evitar esos presupuestos ontológicos de las teorías
de modelos y la semántica veritativo-funcional), pero tenemos que saber bien a qué
nos comprometemos cuando hacemos eso.
Análisis Tonk (crítica al método de deducción natural):
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Regla de la doble negación:
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p tonk q à podría decir que aquí “tonk” es una introducción de la disyunción.
p tonk q à podría decir que aquí “tonk” es una eliminación de la conjunción.
Si determinamos la deducción natural mediante sintaxis, sin aclarar ninguna semántica,
de cualquier cosa podemos llegar a cualquier cosa. Aunque la deducción natural
pretenda ser puramente sintáctica no lo es, tiene una semántica que consiste en la
definición previa de las conectivas.
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El problema de la deducción natural, aunque tenga sus ventajas porque no estamos en
una teoría de modelos y por tanto no tiene que presuponer ciertas cosas ontológicamente
hablando, es que si mis conectivas únicamente se determinan por introducción y
eliminación, es decir, que no tienen semántica sino pura sintaxis, realmente podría
definir mis conectivas como quisiera.
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3.1. INTRODUCCIÓN.
3.1.1.
ELEMENTOS CLAVES DE LA LÓGICA DE
PREDICADOS
Cuando estudiamos los métodos de demostración de las tablas de verdad y de los
tableaux, veíamos si a partir de nuestras premisas podíamos llegar a nuestra conclusión
y, si no, por qué. Veíamos cómo funcionaban los argumentos construidos con
proposiciones, que son oraciones declarativas a las que dábamos un significado
verdadero o falso (es decir, partíamos de una teoría semántica veritativo-funcional,
con una teoría de la verdad como correspondencia con los hechos), y una teoría de
modelos (construimos un modelo para ver si esas oraciones son verdaderas o falsas para
cada caso).
Luego vimos la deducción natural, que no presupone una teoría realista, una teoría
de modelos, una teoría de la verdad como correspondencia con los hechos, pero que sí
utilizaba la sintaxis de la lógica proposicional.
En cualquiera de los dos casos, hemos utilizado una lógica proposicional.
La lógica de predicados es una versión más sofisticada de análisis de lenguaje. Por
un lado, mantiene la lógica proposicional, pero añade una estructura de sujetopredicado que ya estaba en Aristóteles, y además añade cuantificación múltiple.
El lenguaje consiste en:
• Constantes lógicas.
• Variables lógicas. Novedad.
• Símbolos auxiliares à paréntesis.
• Las afirmaciones simples son sometidas a un análisis más profundo.
• No tenemos variables proposicionales.
Ahora afirmaciones individuales con una estructura sujeto-predicado del tipo:
• “Sócrates es mortal”.
• “Platón es un hombre”.
• “La gallina cacarea”.
• “Esta tetera gotea”.
• Etc.
Cada una de estas afirmaciones tiene dos partes:
• Una hace referencia a una propiedad.
• La otra hace referencia a una entidad.
2 tipos de constantes:
• Constantes de individuo a objeto à letras minúsculas.
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3. LÓGICA DE PREDICADOS
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•
Constantes de predicado à LETRAS MAYÚSCULAS.
o Por tanto, nuestras oraciones ya no van a ser representadas por una p
sola, sino, por ejemplo, por Hp (siendo H la constante de predicado y p
la constante de individuo).
La lógica aristotélica no nos permitía introducir relaciones:
• Gaspar es más grande que Juan. Gg
• Juan es más grande que Pedro. Gj
• --• Gaspar es más grande que Pedro. Gg
Sólo con la lógica silogística aristotélica, no tendríamos forma de relacionar Gg y Gj.
Con la lógica de predicados sí, porque añadimos RELACIONES, lo que nos va a
permitir relacionar varios elementos dentro de una misma fórmula atómica.
En lógica de predicados, podríamos poner:
1. Gaspar es más grande que Juan. Ggj (G à grande, g à Gáspar j à Juan).
2. Juan es más grande que Pedro. Gjp (G à grande, j à Juan p à Pedro).
--3. Gaspar es más grande que Pedro. Ggp (G à grande, g à Gáspar p à Pedro).
Se añaden relaciones y cuantificación múltiple a la silogística aristotélica (que sólo
tiene en cuenta una estructura de sujeto y predicado), que era insuficiente para gran tipo
de argumentos que implicaban relación.
También podemos usar símbolos para relacionar tres o más. Cada letra de predicado
tiene una aridad fija. Son n-arios.
Aridad:
• Aridad se refiere a la cantidad de individuos que estamos teniendo en cuenta,
relacionando con un predicado.
o Unaria cuando tenemos un solo individuo.
o Binaria cuando tenemos dos individuos.
o Así los individuos que queramos.
• La “n” de n-arios indica la cantidad de individuos que tomamos en cuenta.
• La aridad se dice del predicado, es decir, a cuántos individuos está afectando
ese predicado.
Oración atómica:
• Se obtiene escribiendo n constantes de individuo (no necesariamente
diferentes) a continuación de una LETRA de predicado n-aria.
o A-bdc donde “A” preciado y “bcd” constantes de individuo.
o Recordar: la mayúscula es el predicado y la miníscula las constantes de
individuo.
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Al igual que en la lógica proposicional, vamos a ver algunos métodos de
demostración (tablas semánticas y deducción natural), pero ya no sólo contamos con
las constantes lógicas sino con variables.
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El orden afecta:
• El orden tiene que reflejar lo que queremos decir. No puede ser ambiguo.
• Si tenemos un diccionario ambiguo, en que no tengamos en cuenta el orden de
las constantes de individuo, nuestras fórmulas pueden tener varias
interpretaciones.
• Para dar el orden en una estructura utilizamos las variables x, y, z, etc.
Diccionario:
• Es la definición de nuestras constantes y de nuestro predicado.
• Por ejemplo (predicado 3-ario):
o E: estar entre.
o b = Breda ; t = Tilburg ; e = Eindhouen
o En este caso, mi diccionario es ambiguo, puede tener dos
interpretaciones como vemos abajo.
o Diccionario Ebte:
§ Tilburg está entre Breda y Eindhouen.
§ Breda está entre Tilburg y Eindhouen.
Para evitar la ambigüedad del ejemplo de arriba, tenemos que especificarlo
utilizando variables del tipo x, y, z, etc. Estas variables carecen de significado, su
única función es señalar el lugar de las constantes de individuo en nuestros predicados,
de manera que sean precisos y exactos.
• Ejemplo:
o Exyz: x está entre “y” y “z”.
o Ebte / Etbe
Es muy importante distinguir entre constantes de individuo y variables.
• Constantes de individuo, por ejemplo en este caso, son b, t, y e, mientras que las
variables son “x”, “y” y “z”.
Formalización del lenguaje natural en lógica de predicados:
1. Primero tengo que dar un predicado con variables, del tipo Exyz: x está entre
“y” y “z”.
2. Después tenemos que formalizar nuestras constantes de individuo (en este
caso, b, t, e).
3. Finalmente, determinamos nuestras variables, es decir, mostramos el orden
exacto de cada una de nuestras constantes de individuo según nuestras variables.
o En este caso, si tenemos “Breda está entre Tilburg y Eindhouen”, si
hemos definido que X está entre Y y Z, y en nuestra oración Breda es
quién está entre Tilburg e Eindhouen, Breda tiene que ser X y Tilburg y
Eindhouen Y y Z, luego à Exyz: x está entre “y” y “z” à Ebte.
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Notación prefijada:
• Primero va el predicado (letra MAYÚSCULA) y luego las constantes de
individuo. En lógica de predicados se utiliza este tipo de notación (primero
predicado y después constantes de individuo).
• No todas las relaciones tienen una notación prefijada. Por ejemplo, la
relación de identidad es infijada.
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Ejemplos de oraciones:
• Juan es más grande que Pedro o Pedro es más grande que Juan.
o Predicado diádico (2 constantes de individuo, p: pedro y j: juan).
o Gxy: x es más grande que y.
o Constante lógica: disyunción.
o “Juan es más grande que Pedro” à Gjp.
o “Pedro es más grande que Juan” à Gpj.
o Formalización à Gjp v Gpj.
• Si la gallina está cacareando, entonces Gaspar la está desplumando.
o C: cacarear.
o g: gallina.
o D: desplumar.
o j: Gaspar.
o Dxy: x despluma a y.
o Cg à Djg.
• Si Juan está cacareando, entonces Gaspar es más grande que Juan.
• Si Pedro admira a Gaspar, entonces no lo está desplumando.
• Alcibíades se admira a sí mismo.
• Gaspar y Juan se están desplumando mutuamente.
• Si Sócrates es hombre, entonces es mortal.
• Sócrates es un hombre mortal.
o En este caso tenemos dos predicados “ser hombre” y “ser mortal”, por lo
que conjugamos ambos.
o En el caso de los predicados existenciales del tipo a es b, se utiliza una
conjunción salvo cuando se trata de un universal “todo a es b”, que se
utiliza una implicación.
• Si Onno molesta a Pedro, entonces la odia.
• Si Onno molesta a Pedro, entonces Onno odia a Pedro.
Cuantificadores:
• No sólo nos ocupamos de las conectivas lógicas, sino también de los
cuantificadores.
o “Todos los maestros son tolerantes”.
o Aristóteles considera estas oraciones como la relación entre el predicado
“ser tolerante” y “ser maestro”.
o Todos los A son B, algunos A son B, todos los A son no B y algunos A
son no B.
o Si solo tenemos en cuenta propiedades esto funciona. El problema está
en las relaciones y la cuantificación múltiple.
• Necesitamos algo que permita generar estas oraciones:
o “Todos admiran a alguien. Todos admira a alguien que admira a todos”.
o “Nadie admira a alguien que admira a todos los que admiran a alguien”.
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Aparte de oraciones con un solo predicado, podemos tener oraciones con varios
predicados a los que, además, se añaden las constantes lógicas de la lógica
proposicional, como vemos abajo.
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Cuantificadores:
• Los cuantificadores son: nadie, todos, algunos, alguno.
• Los cuantificadores NO pueden estar al nivel de las constantes de individuos.
• Los cuantificadores SIEMPRE van con variables, NUNCA con constantes.
“Todos” no está determinando a ningún individuo concreto, sino a todos los
individuos del dominio.
• “Alguien” tampoco está al nivel de “pedro”, porque “alguien” NO es ningún
individuo determinado, “alguien” es solo que algún individuo de mi dominio es
(…).
• Cuantificador universal ∀x: para todas las entidades de mi dominio.
• Cuantificador existencial ∃x: al menos una entidad de mi dominio.
• “Nadie” se pone como ¬∃x (como la negación del cuantificador existencial,
porque nadie indica que “ningún individuo de mi dominio es x).
o “Nadie es tolerante” es igual que decir “todos son intolerantes”, es
decir, ¬∃xTx y ∀x¬Tx son dos formas de decir lo mismo, pero en el
primer caso la negación está al nivel de la cuantificación, y en el segundo
está al nivel de la variable Tx.
• Siempre que tengamos un universal, tenemos que usar una implicación.
“Todos los maestros son tolerantes”. Si x es maestro, x es tolerante siempre
(porque todos lo son). Esta, por tanto, puede ser verdadera aunque no haya
ningún individuo en nuestro dominio.
• Siempre que tengamos un existencial, tenemos que usar una conjunción.
“Algunos maestros son tolerantes”. Hay algún x que es maestro y que es
tolerante.
Las variables se escriben en minúsculas con letras a partir de la x (x, y, z), y las
constantes de individuo con letras minúsculas antes de la x. Los predicados se ponen
con una letra mayúscula.
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Universo del discurso:
• Pedro es tolerante.
• Nadie es tolerante.
o “Pedro” y “nadie” NO pueden ser tratados al mismo nivel. Pedro es
un individuo, mientras que nadie precisamente indica que no tenemos
ningún individuo con esa propiedad.
• Para solucionar este problema, necesitamos un universo del discurso. Un
universo del discurso son los elementos con los que podemos contar para
generar una estructura.
• Si mi universo del discurso es esta clase, y digo que nadie es p, significa que
ninguno de los individuos de mi universo del discurso “esta clase” es p.
o Alguien es tolerante. Estoy determinando solo uno de los individuos.
o Todos son tolerantes. Estoy determinando a todos los individuos de mi
universo del discurso.
o Cada entidad del dominio del discurso tiene la propiedad de “ser
tolerante” en “todos son tolerantes”.
• Tenemos que crear un dominio con un cierto número de entidades, y dentro
de ese dominio podemos dar distintas cuantificaciones (todos, alguno, algunos,
nadie…).
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3.2. SINTAXIS.
3.2.1.
DEFINICIONES INDUCTIVAS
(La siguiente imagen es una definición del Gamut). Se trata de una definición inductiva
como la de la lógica proposicional con la que construíamos los árboles sintácticos.
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A la hora de traducir, hay que recordar que un todos se traduce como implicación
y un algunos como conjunción.
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Nuestra noción de fórmula, en la lógica de primer orden, NO es igual a una oración.
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Ejemplo de un árbol sintáctico:
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Definición 2:
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Una variable está libre si no está en el alcance de un cuantificador, y está ligada si sí
está dentro de su alcance.
FBF y oraciones:
• Variable libre: la que no está ligada a un cuantificador. No se corresponde con
ninguna oración del lenguaje natural. Son variables que no puedo interpretar,
porque no están ligadas a un cuantificador ni tampoco son una constante
individual.
• Oración: FBF en que no hay variables libres. Si hay alguna variable libre (x, y,
z…), la fórmula ya no es una oración.
o Si la variable libre se sustituyera por una constante de individuo, ya sería
una oración.
• Importancia de los paréntesis en primer orden. Si no pongo bien los
paréntesis, me pueden cambiar las variables que están libres. Por ejemplo, no es
lo mismo tener ∃x(Axy^Bx) que ∃xAxy^Bx. En el segundo caso tengo dos
variables libres, la “y” y la “x” de la B.
Podemos tener fórmulas del tipo:
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Cuando una variable está ligada a un cuantificador, no puede ser determinada por
otro. Hay que tener en cuenta el alcance de los cuantificadores para poder entender
bien nuestras fórmulas.
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3.2.2.
EJERCICIOS DE TRADUCCIÓN O
FORMALIZACIÓN:
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3.2.3.
•
CONSEJOS PARA TRADUCIR Y FORMALIZAR:
Los posesivos tienen que introducirse o bien en una constante de individuo o
bien como predicado, según el caso.
•
Los comparativos tienen que introducirse o bien en una constante de individuo
•
Cuando tenemos pronombres indeterminados, se usan cuantificadores
existenciales.
•
Hay que poner como predicado lo que es cada cosa (por ejemplo, si estamos
hablando de galletas, un predicado puede ser Gx: x es una galleta), identificar
las variables.
•
Cuando tenemos expresiones como “algo”, “algún”, etc., se usan
cuantificadores existenciales.
•
Cuando tenemos la expresión “ningún”, “nadie” o “nada” son negaciones de
cuantificadores.
•
Cuando tenemos cuantificadores universales se expresan como implicación, y
cuando son existenciales como conjunción.
3.3. SEMÁNTICA.
3.3.1.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Ya hemos hablado de conjuntos al hablar de dominios y de rangos de funciones en
lógica proposicional (a cada proposición le asociábamos un valor de verdad; hacíamos
valuaciones para obtener el valor de verdad).
La semántica de la lógica de predicados se basa en teoría de conjuntos.
El símbolo ∈ significa, por ejemplo, en a ∈ A, que a es un elemento de A.
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o bien como predicado, según el caso.
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•
•
•
Los conjuntos finitos se describen colocando los nombres de sus elementos
entre llaves. Por ejemplo, {4 5} es el conjunto de números del 4 al 5.
o Da igual el orden en que se escriban los miembros del conjunto y pueden
repetirse. {4 5} = {5 4} = {4, 4, 5}
Podemos tener conjuntos con un único elemento, como {0}, {1} o {x}, que no
es lo mismo el elemento mismo. {1} es un conjunto, mientras que 1 es un
número.
También se admiten conjuntos sin elementos. En base al principio de
extensionalidad, sólo puede haber un solo conjunto vacío, por lo que no existe
un a tal que a∈Ø.
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Conjuntos, sus propiedades:
• Es una colección de entidades.
• Sólo importan sus miembros, y no la forma en la que se formó el conjunto.
• La importancia de la membresía está expresada en el Principio de
extensionalidad para conjuntos.
o De acuerdo con este principio, un conjunto queda totalmente
especificado por las entidades que pertenecen a él. Las características
de estos miembros nos dan igual, lo que nos importa es que sean ellos y
no otros los que pertenecen a un conjunto.
o Dos conjuntos diferentes NO pueden tener los MISMOS miembros,
por ejemplo, el conjunto de números mayores de 3 y menores de 6 tiene
los mismos miembros que el conjunto de números de 4 a 5, por lo que es
el mismo conjunto. Para que sean diferentes, tienen que diferir sus
elementos.
§ Cuando dos conjuntos, uno conjunto “calvos” y otro conjunto
“hawaianos”, coinciden en su extensión, son el mismo conjunto,
sus miembros coinciden (en este ejemplo, todos los hawaianos
serían calvos y todos los calvos hawaianos).
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Algunas propiedades de conjuntos y subconjuntos:
Identificar subconjuntos por propiedades:
Si los miembros del subconjunto A son los mismos que los del subconjunto B, A y
B son el mismo conjunto (por el principio de extensionalidad).
Si el elemento A tiene una propiedad G, x pertenece a A si x tiene esa propiedad G.
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Subconjuntos:
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AUB es el conjunto de todas las entidades que aparecen en A o en B o en ambos.
UNIÓN.
AnB es el conjunto de todas las entidades que aparecen tanto en A como en B.
INTERSECCIÓN.
Secuencias finitas:
• Las secuencias infinitas son importantes en la interpretación por
sustitución.
• En las secuencias finitas sí importa el orden de los miembros y si se repiten
o no, no únicamente los miembros que la componen.
• La longitud de la secuencia está dada por la cantidad de entidades que
aparecen en ella. La longitud de la secuencia (4, 4, 4, 4) es 4, mientras que la de
(4, 4) es 2.
• Una secuencia finita de dos entidades se denomina par ordenado.
• Una secuencia de tres entidades se denomina 3-tuplas.
• Una secuencia de n entidades se denomina n-tuplas.
• El conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse a partir de
un conjunto A se escribe como A2, el de 3-tuplas como A3, y así
sucesivamente.
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Unión e intersección de conjuntos:
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SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PREDICADOS
Hay que tener clara la diferencia entre la sintaxis (que suele mantenerse) y la
semántica. Cuando estamos a un nivel semántico, presuponemos un modelo, una
ontología, mientras que a un nivel puramente sintáctico (como en deducción natural)
no tenemos este tipo de presupuestos metafísicos.
Se basa en teoría de conjuntos.
Estudia la forma en que el significado de las oraciones depende del significado de sus
partes componentes. Principio de composicionalidad.
Principio de extensionalidad. Un conjunto queda totalmente especificado por las
entidades que pertenecen a él. Las características de estos miembros nos dan igual, lo
que nos importa es que sean ellos y no otros los que pertenecen a un conjunto. Dos
conjuntos no pueden tener los mismos miembros. ES UNA SEMÁNTICA
EXTENSIONAL basada en TEORÍA DE CONJUNTOS. La definición de nuestros
predicados se determinan única y exclusivamente por los elementos que forman parte de
este conjunto.
Tenemos que dar valuaciones para las constantes lógicas, para los universales y
existenciales y tenemos que dar una función de interpretación para las constantes y una
función de interpretación para los predicados.
El significado de una oración en lógica de predicados se reduce a su valor de
verdad, al igual que en lógica proposicional. No obstante, como las partes que
componen las oraciones de la lógica de predicados no son necesariamente
oraciones o incluso fórmulas (pueden ser letras de predicado, constantes o variables),
no podemos restringirnos a los valores de verdad.
En última instancia, los valores de verdad de las oraciones deberán reducirse a las
interpretaciones de las constantes y letras de predicado y de todo aquello que aparezca
en ellas.
Definición 5 del Gamut:
•
Una valuación para un lenguaje L de la lógica de predicados es una función
cuyo dominio está constituido por las oraciones de L y su rango por {0, 1} ,
tal que:
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3.3.2.
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2: (vii) es verdadera si y sólo si la sustitución de nuestro
cuantificador por las constantes nos da Φ = 1 para al menos 1
constante c de L. Esto es para las valuaciones de los cuantificadores
existenciales.
Para ilustrar (vi) y (vii), un ejemplo:
• Todos son amigables. Toda constante c de L es amigable.
• Alguien es amigable. Al menos una constante c de L es amigable.
o Constante c de L = constante de individuo de L.
Dominio de discurso:
• Las interpretaciones de un lenguaje L de la lógica de predicados siempre se
referirán a algún conjunto dominio D. Es habitual suponer que siempre hay al
menos algo acerca de lo cual se habla, de manera tal que, por convención, el
dominio no es vacío.
• Para poder determinar la valuación de (vi) y (vii) necesitamos un dominio
del discurso. Necesitamos determinar a qué nos estamos refiriendo al
aplicar nuestros cuantificadores.
• Gracias al dominio o universo del discurso voy a poder determinar la
validez de la valuación de los cuantificadores (de vi y de vii).
Función de interpretación:
• Sirve para que podamos dar un modelo desde el que poder determinar la
validez de un argumento. Además de nuestras valuaciones de las constantes
(definición 5), vamos a necesitar dos funciones de interpretación: las de las
constantes de individuo y las de los predicados (una para cada constante y
para cada predicado).
• En el lenguaje natural, los nombres propios refieren a algo fijo, pero no en el
lenguaje formal. Por eso es necesario estipular a qué se refieren las
constantes.
• Una interpretación de L deberá incluir una especificación de aquello a lo
que se refiere cada constante de L.
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1: (vi) es verdadera si y sólo si podemos sustituir esta x por toda
constante de nuestro dominio y que nos de Φ = 1. Todas esas x
podemos sustituirlas por constantes c de L. Esto es para las valuaciones
de los cuantificadores universales.
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•
•
•
•
•
Las constantes se refieren a entidades del dominio D, y en la lógica de
predicados el significado de las constantes se restringe a las entidades a las
cuales se refieren.
La interpretación atribuirá a cada constante de L alguna entidad de D, es
decir, será una función cuyo dominio sea el conjunto formado por las
constantes de L, y cuyo rango sea D. Estas funciones se denominan funciones
de interpretación.
Se dice que I(c) es la interpretación de una constante “c”, o su referencia o
denotación y, si “e” es la entidad de D tal que I(c)=e, entonces se dice que
“c” es uno de los nombres de “e” (“e” puede tener muchos nombres
diferentes).
o C es el nombre y “e” es el objeto al que estamos nombrando. I(c)=e
sería la función de interpretación.
Semántica veritativo funcional basada en una función de interpretación.
Estamos creando modelos, en los que tenemos objetos y predicados que
podemos asignar a esos objetos.
Para determinar la validez de los argumentos tenemos que precisar a qué
nos estamos refiriendo.
Ya tenemos un dominio D y una función de interpretación I, pero todavía no
hemos terminado. Hay algunos casos en que admitimos dominios
constituidos por elementos que carecen de nombre, y por tanto la definición
5 de la valuación para un lenguaje L no cumple su función. En este caso,
podemos optar por dos enfoques:
o SUSTITUCIÓN: conservar la definición 5 y asegurarnos de que todos
los objetos de nuestro dominio tengan nombre. Si el lenguaje no
contiene suficientes constantes como para dar un único nombre a cada
entidad del dominio con el que estamos trabajando, será necesario
adicionarle constantes.
o ASIGNACIÓN: reemplazar la definición 5 por otra que cumpla con su
cometido aun si algunas entidades carecen de nombre. Este enfoque es
preferible, porque en el caso 1 la verdad de una oración dependería de la
contingencia de que todas las entidades de las que se habla tuvieran un
nombre.
3.3.3.
INTERPRETACIÓN POR SUSTITUCIÓN
*Cuando se usan letras mayúsculas son predicados, minúsculas constantes de individuo.
I (c) = e. Donde “c” es la constante o nombre del elemento “e” y “e” es mi objeto o
elemento de mi dominio D (“e” puede tener muchos nombres).
Para cada elemento d de D, hay al menos una constante c del lenguaje L tal que I (c) =
d. “c” es el nombre de d. Así, I es una función sobre el predicado D.
Hay que recordar que estamos hablando de semánticas EXTENSIONALES, es decir:
• A cada variable proposicional se le asigna un valor de verdad.
• A cada nombre se asigna un elemento del dominio.
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•
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•
•
A cada predicado n-ádico se asigna una tupla (secunda o lista ordenada de n
objetos, que son sus componentes) de n elementos del dominio.
Esta semántica tiene algunas limitaciones. Por ejemplo, cuando dos
expresiones tienen la misma extensión o como los problemas de referencia e
identidad que se exploran desde filosofía del lenguaje.
Interpretación para letras de predicado unarias:
• Debemos precisar lo que queremos significar cuando decimos que cada
elemento del dominio tiene un nombre en L. Necesitamos dar un nombre para
cada uno de los elementos de nuestro discurso. Para esto utilizamos las
funciones de interpretación (en este caso la de sustitución).
• La función de interpretación I debe ser una función de las constantes de L sobre
D. Esto significa que para cada elemento “d” de D, hay al menos una
constante “e” en L tal que l(c) = d, esto es, “e” es el nombre de “d”. De esta
forma, sólo podremos emplear la definición si I es una función sobre D. Esto
hay que refinarlo todavía más.
• La definición 5 nos permite conocer el significado de la palabra amigable
sólo en la medida en que sepamos cuáles oraciones de la forma “a es
amigable” son verdaderas.
o Se sigue que, en lo que respecta a las oraciones de la forma “a es
amigable”, lo único que cuenta son sus valores de verdad.
o Este requisito quedará satisfecho por una interpretación que
establezca cuáles personas son amigables y cuáles no, cumpliendo así
con nuestro principio de extensionalidad.
§ Por ejemplo, “Gorbachev es amigable” es verdadera sólo en el
caso de que Gorbachev sea amigable, dado que Gorbachev es un
nombre del hombre Gorbachev.
§ De esta forma, podemos establecer cuáles personas son
amigables y cuáles no con sólo tomar al conjunto de todas las
personas amigables como nuestro dominio en la
interpretación de amigable entonces, tomamos como la
interpretación I(A) de una letra de predicado unaria A, al
conjunto de todas las entidades “e” del dominio D tales que
para alguna constante de individuo “a”, Aa es verdadera y
I(a) = e.
• I(A) = {I(a) | Aa es verdadera} o, en otras palabras, Aa es verdadera sólo en
caso de que I(a) ∈ I(A)
o También podríamos interpretar a A como una propiedad y
determinar si un elemento dado de D tiene esta propiedad.
o Si A es una letra de predicado, esperamos que se refiera a una propiedad.
o Lo que aquí hemos hecho es tomar como las interpretaciones de las
letras de predicado unarias, no a las propiedades mismas, sino a los
conjuntos de todas las cosas que poseen esas propiedades.
o En lógica de predicados, para determinar la verdad o falsedad de
una oración que afirma que algo tiene alguna propiedad, lo único
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Recordar, a su vez, nuestro principio de extensionalidad de la teoría de conjuntos:
• Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
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Interpretación de letras de predicado binarias:
• Para continuar con el enfoque A, y suponiendo que I es una función sobre D en
lo que respecta a las constantes, ahora consideraremos la interpretación de las
letras de predicado binarias.
• La interpretación de todo predicado binario dado B, al igual que la de los
predicados unarios, sólo tiene que ver con determinar las “d” y “e” de D
para las cuales Bab es verdadera si l(a)= d y I(b)= e.
o Esto puede hacerse interpretando a B como un conjunto de pares
ordenados (d,e) de D2 y considerando que Bab es verdadera si I(a)=d
y I(b)=e. Recordar que, en los pares ordenados, el orden de los
miembros SÍ importa.
o La interpretación de B es un subconjunto de D2 e I(B)= { [I(a), I(b)] |
Bab es verdadera} à Bab es verdadera sólo en caso de que [I(a), I(b)]
∈ I(B).
o Interpretamos a una letra de predicado binaria no como una
relación en sí misma sino como un conjunto de pares ordenados de
elementos del dominio que guardan (en el mismo orden que tienen en
el par) esta relación entre sí.
o Aquí también tenemos al principio de extensionalidad: dos
relaciones que se cumplen para los mismos pares ordenados son
idénticas.
Interpretación para letras de predicado n-arias:
• Los predicados ternarios y de cualquier aridad más elevada reciben un
tratamiento análogo.
• Si “C” es una letra de predicado ternaria, entonces I(C) es un subconjunto de D3,
y si “C” es un predicado n-ario entonces I(C) es un subconjunto de Dn.
Las constantes van a ser ELEMENTOS del dominio.
Los predicados van a ser SUBCONJUNTOS del dominio.
Definiciones de la función de interpretación, DEFINICIÓN 6:
•
Un modelo M para un lenguaje L de la lógica de predicados, consiste en un
dominio D (que es un conjunto no vacío) y una función de interpretación I
que se define en el conjunto de las constantes (minúsculas) y letras de
predicado (mayúsculas) del vocabulario de L, y se conforma con los
siguientes requisitos:
(i)
Si c es una constante de L, entonces I(c) ∈ D
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que necesitamos saber es cuál de las cosas del dominio tiene esa
propiedad.
o En lo que respecta a los valores de verdad, cualquier otra cosa que
pudiera decirse acerca de la propiedad es irrelevante. Según este
enfoque, si el conjunto de las hawaianos amigables coincidiera
precisamente con el de los hawaianos calvos, entonces amigable y calvo
tendrían el mismo significado (mientras el conjunto de hawaianos sea
nuestro dominio. Decimos que en lógica de predicados la letras
predicativas son extensionales.
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Si B es una letra de predicado n-aria de L, entonces I(B) ⊂ Dn (este símbolo
indica que es un subconjunto, es decir, cada elemento de B está en nuestro
dominio).
(ii)
Definición de valuaciones, DEFINICIÓN 7:
Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una
función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces VM, la
valuación V basada en M, se define como sigue:
Si no se cumple la condición de que I sea una función sobre D, el enfoque B aun nos
permitirá definir una valuación apropiada VM, pero esta función no cumplirá las
cláusulas (vii) y (viii) de la definición 7. Ya veremos más adelante cómo puede hacerse
esto.
En lógica proposicional sólo teníamos una función, la veritativo funcional. En
lógica de predicados necesitamos, además de esta, dos funciones extra, que son las
funciones de interpretación.
Ya no es suficiente una sola función veritativo-funcional (como en lógica proposicional)
sino que ahora necesitamos dar un modelo para predicados, variables, constantes de
individuo y cuantificadores. Tenemos que dar interpretaciones para predicados y
objetos.
Con esta definición, algunas nociones semánticas que habíamos visto en lógica
proposicional se redefinen.
Satisfacibilidad en lógica de predicados:
• Se dice que una fórmula es satisfacible ssi existe al menos un modelo M que la
satisface, es decir: M |= φ
• Una sentencia φ. se dice que es universalmente válida ssi todo modelo la
satisface. Esto se representa como: |= φ.
• Una sentencia φ. es contradictoria ssi ningún modelo la satisface.
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•
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•
Dado un conjunto de sentencias Γ y una sentencia φ, se dice que φ es
consecuencia lógica de Γ, o que el conjunto Γ entraña semánticamente a φ, ssi
para todo modelo M, si M |= γ (M es un modelo que satisface a γ) para toda γ ∈
Γ (γ pertenece al conjunto Γ), entonces M |= φ (M es un modelo que satisface a
φ).
Cuando una sentencia φ no es consecuencia lógica de un conjunto de sentencias
Γ, se dice que φ es semánticamente independiente de Γ.
Los siguientes ejercicios que vamos a ver en los siguientes ejemplos muestran cómo
podemos hacer un modelo determinado para decir que una fórmula es verdadera o
falsa teniendo en cuenta sus valuaciones. Este método sería análogo a las tablas de
verdad en lógica proposicional.
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•
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Ejemplo más básico de todos:
•
•
Las funciones de interpretación tienen que permitir que AMBAS fórmulas
sean verdaderas, no sólo una de ellas, así que tenemos que encontrar la
función de interpretación concreta que encaje con nuestro modelo.
Tenemos que relacionar las constantes de individuo con elementos de mi
dominio a través de funciones de interpretación (por ejemplo, I(a)=gato 1) y
determinar el universo del discurso.
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Ejemplo 2, los hawaianos:
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o En este caso, necesitamos por un lado que todos los elementos del
dominio tengan o bien la propiedad P o bien la propiedad Q (como nos
indica la fórmula del universal), pero además, necesitamos que haya al
menos un individuo que sí o sí tenga la propiedad Q y al menos un
individuo que si o si NO tenga la propiedad Q.
o De esto sacamos que necesitamos una función de interpretación para P
que incluya todos los elementos de mi dominio y, por otro lado, una
función de interpretación para Q que sólo incluya a 1 de los elementos de
mi dominio (para que haya al menos un individuo que sí tenga la
propiedad Q, como exigen mis fórmulas).
o En este caso, podemos decir que I(Q) = {gato 1 | Qa es verdadera } (se
pone Qa porque hemos determinado previamente que mi constante de
individuo a se corresponde con el elemento de mi dominio gato 1, pero
podríamos decirlo de gato 2 o de gato 3, porque lo que necesitamos es
que al menos un elemento tenga la propiedad Q y al menos otro no la
tenga).
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Ejemplo 3, flechados:
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Otro ejemplo:
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Consejos para hacer ejercicios de modelos:
• Estar muy pendiente de la definición 7, de que se vayan cumpliendo las
cláusulas.
• Empezar por los universales, que es lo más fácil.
• Cuando en un modelo damos las valuaciones para una fórmula en la que aparece
primero un EXISTENCIAL, todos los universales que vengan después de
están determinados por él, mientras que si tenemos primero un
UNIVERSAL, los existenciales que vengan después pueden ser otros (este es el
famoso problema de “todo es causa de algo” vs. “algo es causa de todo” (que es
una falsedad lógica).
3.3.4.
TABLEAUX
Esto es un método de demostración, para ver si un modelo es falso o verdadero.
Vamos a usarlas para ver si una fórmula es una tautología o no, es decir, si es válida en
todos los casos (aunque se pueda ver con modelos completos).
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Conclusiones semántica:
• Como podemos ver, la semántica se ocupa, esencialmente, de la forma en
que el valor de verdad de las oraciones depende del significado de sus
partes y de la forma en que se relacionan los valores de verdad de diferentes
oraciones, no de determinar qué oraciones son de hecho verdaderas y cuáles son
falsas.
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Tableaux:
• Usamos ALFA y BETA tal y como hacíamos en lógica proposicional. La
diferencia es que ahora construimos oraciones de la lógica de predicados.
• Ahora fórmula significa: fórmula cerrada bajo una teoría cuantificacional
(hablamos de oraciones tal y como las hemos explicado en el Gamut, sin
variables libres, es decir, todas las variables tienen que estar en el alcance de
un cuantificador). Si no tenemos todas las variables ligadas, no podemos
comprobar el modelo, porque no podríamos interpretar todas las variables libres.
• Las constantes individuales sí podrían interpretarse.
Añadimos dos nuevas categorías de reglas:
• Al cambiar nuestras variables por constantes podemos dar una estructura de
argumento. Tenemos que DETERMINAR las variables, gracias a nuestros
cuantificadores.
o GAMMA γ (universales) à denota toda fórmula con una de las
siguientes dos formas ∀xAx, ¬∃xAx, y para cualquier parámetro “a”,
donde γ(a) significa Axa, ¬Axa, respectivamente.
§ Con fórmulas señaladas, GAMMA refiere a cualquier
fórmula señalada de la forma (∀x)A, ¬(∃x)A, y γ(a) denota
respectivamente Axa, ¬Axa.
• Esta “x” y luego “a”, significa que cambiamos la x
(o y, o z…) de nuestro predicado A por un
parámetro a (o b, o c…).
• La variable de nuestro predicado se sustituye por
una constante individual (a, b, c…) para poder
interpretar.
• Cuando tenemos un universal, podemos coger
cualquier parámetro de nuestro modelo para hacer
la interpretación.
§ Si primero tenemos un universal, los existenciales
posteriores pueden determinarse de cualquier forma.
o DELTA δ (existenciales) à denota toda fórmula con una de las
siguientes formas ∃xAx, ¬∀xAx, y donde δ(a) respectivamente significa
Axa, ¬Axa. “a”, en este caso, denota un NUEVO parámetro, que no se
ha podido dar antes en la fórmula.
§ Con fórmulas señaladas, DELTA refiere a cualquier
fórmula señalada de la forma (∃x)A, ¬(∀x)A, y δ(a) denota
respectivamente Axa, ¬Axa.
• Esta “x” y luego “a”, significa que cambiamos la x
(o y, o z…) de nuestro predicado A por un
parámetro a (o b, o c…).
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Nosotros no los vamos a hacer con modelos. Al hacerlo con modelos, surgen muchos
problemas con los cuantificadores existenciales, así que nosotros vamos a hacer sólo
fórmulas tautológicas. También se pueden resolver mediante deducción natural
(teniendo en cuenta cuantificadores). No vamos a estudiarla, pero está en el Gamut.
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La variable de nuestro predicado se sustituye por
una constante individual (a, b, c…) para poder
interpretar.
• Cuando tenemos un existencial, tenemos
restricciones a la hora de coger parámetros para
hacer la interpretación, por ejemplo, que tiene que
ser un NUEVO parámetro.
§ Si primero tenemos un existencial, éste va a determinar el
resto de parámetros.
o Las GAMMA γ son universales y las DELTA δ son existenciales. En
las reglas DELTA vamos a tener restricciones que no están en las reglas
GAMMA.
Si consideramos oraciones con constantes en un universo U, usamos GAMMA y
DELTA de la misma manera, y para todo k ∈ U, definimos γ(k), δ(k) de forma similar.
Para toda interpretación de un universo U, podemos establecer los siguientes
hechos:
• Hecho 1: α es verdadera ssi α1, α2 son ambas verdaderas.
• Hecho 2: β es verdadera ssi al menos una de las dos β1, β2 es verdadera.
• Hecho 3: γ es verdadera ssi γ(k) es verdadera para todo k ∈ U (U es mi
universo del discurso). Universales.
• Hecho 4: δ es verdadera ssi δ(k) es verdadera para al menos un k ∈ U.
Existenciales.
Como consecuencia de estos hechos, podemos extraer las siguientes leyes (G1, G2, G3
y G4) concernientes a la satisfacibilidad, en las cuales G1, G2 y G3 son inmediatas, y
G4 debe ser probada.
Leyes de satisfacibilidad:
• En estas leyes, “S” representa todo conjunto de fórmulas que quizá contenga
parámetros (pero no otras constantes) y, del mismo modo, con ALFA, BETA,
GAMMA y DELTA. Satisfacible quiere decir satisfacible para lógica de primer
orden.
o G1: si S es satisfacible, y α ∈ U, entonces {S, α1, α2} es satisfacible.
o G2: si S es satisfacible, y β ∈ U, entonces al menos uno de los dos
conjuntos {S, β1}, {S, β2} es satisfacible.
o G3: si S es satisfacible y γ ∈ U, entonces, para TODO parámetro “a”, el
conjunto {S, γ(a)} es satisfacible.
o G4: si S es satisfacible y δ ∈ U, y si “a” es cualquier parámetro que no
aparece en ningún elemento de S, entonces {S, δ(a)} es satisfable.
Reglas para tableux con lógica de predicados:
• Son todas las mismas que en lógica proposicional pero se añaden las reglas
GAMMA (universales) y DELTA (existenciales).
• La única regla que no es directa (directa significa que el árbol se sigue
poniendo una fórmula bajo la otra) es la BETA.
• T significa true y F significa false.
• α (directa). Las mismas que en lógica proposicional.
• β (se abren 2 ramas). Las mismas que en lógica proposicional.
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•
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γ (directa). Universales.
δ (directa). Existenciales.
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•
•
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Reglas beta B:
Disyunción, implicación, negación de una conjunción.
Reglas gamma C:
• Nos sirve para eliminar cuantificadores universales.
• Nos dice que “a” es todo parámetro.
Reglas delta D:
• Nos sirve para eliminar cuantificadores existenciales.
• Nos dice que tenemos que asegurar que “a” es un parámetro NUEVO (o no
introducido previamente por la regla D).
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Reglas alfa A:
• Conjunción, doble negación, negación de una disyunción, negación de una
implicación.
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Por qué hay que usar nuevos parámetros con la regla D:
• Cuando tengo un UNIVERSAL, puedo poner lo que me da la gana, porque estoy
diciendo que TODO elemento de mi dominio cumple esa propiedad. El
problema es cuando tengo un EXISTENCIAL, como veremos ahora.
• Imaginemos que en un argumento hemos probado que existe un elemento x que
tiene una determinada propiedad P (es decir, hemos probado que ∃xPx).
• Entonces decimos “sea ‘a’ una x” y escribimos Pa. Esto no significa que
estemos afirmando que P es válido para cada “a”, sino que es válido al
menos para UN “a”.
• Si posteriormente mostramos que para otra propiedad Q, existe una x tal que Qx
(∃xQx), no podemos legítimamente decir “sea ‘a’ tal x”, porque ya hemos
interpretado “a” para ser el nombre de “alguna x tal que Px”, y no sabemos si
hay una sola x que sea a la vez P y Q (sólo sabemos a ciencia cierta que hay una
x, que hemos identificado con “a”, que es P).
o Si a lo largo de mi argumento tengo otro existencial, puedo
comprometerme a que tengo un x tal que Px, pero no a que tengo un x tal
que Qx. No puedo utilizar el mismo parámetro a lo largo de una
misma argumentación cuando se trata de un existencial, es decir, si
para uno he usado la constante individual “a”, para el siguiente voy
a tener que usar otra constante (“b”, por ejemplo).
o Si utilizase a tanto para Px como para Qx, no sólo me estaría
comprometiendo con que hay un individuo “a” que es P, sino que hay un
individuo “a” que es a la vez P y Q.
• Así que tomamos un nuevo parámetro “b” para poder dar cuenta de la variable
con la propiedad Q, y decimos que “sea ‘b’ tal x”, y decimos que Qb.
• Por este motivo, decimos que no podemos poner el mismo parámetro para un
nuevo predicado si ese parámetro ya se ha usado antes en nuestro
argumento.
• La regla D dice que tenemos que asegurar que “a” sea un nuevo parámetro.
Esto puede dar muchos problemas, porque cada vez que nos salga un existencial
tenemos que introducir un nuevo parámetro y, en ese sentido, las ramas pueden
no llegar a cerrarse. Para eso, podemos liberalizarla (es decir, hacerla más débil).
• Podemos liberalizarla diciendo que “asegura que ‘a’ es nuevo, o algún ‘a’
no ha sido previamente introducido por al regla D. Esto significa que si el
parámetro “a” ha sido introducido anteriormente por una regla GAMMA
(en un universal), sí puedo utilizarlo, básicamente por un universal incluye
todos los parámetros. Al liberalizarla sí podemos cerrar los árboles.
• Por esta regla, utilizamos la heurística (al igual que hacemos lo de hacer las
ramas ALFA antes que las BETA) de hacer primero las reglas DELTA y por
útlimo introducir todas las reglas GAMMA.
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Consejos para hacerlos:
• Nuevamente, al desplegar priorizamos primeros las reglas directas (ALFA,
GAMMA y DELTA) y luego hacemos BETA (que se bifurca en dos ramales).
Desplegar siempre primero las reglas ALFA, y de entre los cuantificadores,
primero la regla DELTA y después la regla GAMMA. Intentar dejar
siempre las reglas GAMMA (universales) para el final.
• Cuando tenemos una fórmula con cuantificadores universales y existenciales,
teniendo en cuenta que para los existenciales tenemos condiciones (el
parámetro tiene que ser nuevo salvo que lo haya utilizado en un universal), lo
más sencillo suele ser resolver primero las reglas DELTA y dejar las
GAMMA (que son las que no dan ningún problema) para el final. Hay que
tener cuidado con no dejarnos olvidadas las fórmulas GAMMA al dejarlas para
más adelante.
o Si he sacado Pa de un existencial, no puedo volver a usarlo si me aparece
otro existencial. Si he sacado Pa de un universal, sí puedo usarlo en un
existencial que aparezca más adelante.
• A veces, de un mismo universal que ya hemos usado con, por ejemplo, un
parámetro a, vamos a tener que sacar un parámetro b para poder cerrar el árbol.
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Dos ejemplos resueltos:
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Otro ejemplo de tableaux:
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Tableaux usando regla DELTA liberalizada y sin liberalizar: