Àlgebra Commutativa: Problema 17 Miguel Lara Meca → NIU: 1461293 2020-2021 1 Problema 17: Si R[x] és un anell noetherià, és R també un anell noetherià? Demostració. En efecte, si R[x] és un anell noetherià, aleshores R és noetherià. Per veure-ho utilitzarem tres fets: • Teorema de correspondència: Sigui I ⊆ A un ideal, aleshores existeix un homomorfisme π : A → A/I que defineix una bijecció entre els ideals de A que contenen I i els ideals de A/I. • Sigui A un anell noetherià i I un ideal de A, aleshores A/I és noetherià: Veiem-ho. considerem H1 ⊆ H2 ⊆ · · · ⊆ Hn ⊆ · · · una cadena ascendent d’ideals de A/I. Pel Teorema de Correspondència, veiem que els ideals de A són de la forma Ii , per i = 1, 2, . . ., amb I ⊆ Ii i Ii /I = Hi , i a més Ii ⊆ Ii+1 . D’aquesta manera generem la cadena ascendent I ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ Ii ⊆ Ii+1 ⊆ · · · d’ideals de A. Ara bé, com que A és noetherià, existeix N tal que IN = Ii per a tot i ≥ N , per tant Hi = Ii /I = IN /I = JN per a tot i ≥ N , és a dir, A/I és noetherià. • Sigui R un anell, aleshores R[x]/(x) ∼ = R: En efecte, ens val amb considerar el morfisme d’anells ϕ : R[x] → R definit per ϕ(f ) = f (0) i aplicar el primer Teorema d’isomorfisme d’anells, ja que: – Imϕ = R. – ker ϕ ⊆ (x): prenent f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , com que ϕ(f ) = 0 ⇔ f (0) = 0, agafem a0 = 0, en conseqüència, tenim f (x) = x(an xn−1 + . . . + a1 ) ⊆ (x), per tant ker ϕ ⊆ (x). (x) ⊆ ker ϕ: prenem f ∈ (x), aleshores f = xg(x) per qualsevol polinomi g(x) ∈ R[x]. Ara clarament veiem que ϕ(f ) = 0, per tant (x) ⊆ ker ϕ. En conseqüència, tenim ker ϕ = (x). Per tant, com que R[x]/ ker ϕ ∼ = Imϕ aleshores tenim R[x]/(x) ∼ = R. Per demostrar el que volíem, prenem R[x] un anell noetherià, (x) ideal de R[x] i aleshores tenim que R[x]/(x) ∼ = R és noetherià pels fets anteriors. 2