Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa 1 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa Espacio Curricular: Matemática. Nombre del profesor a cargo: Silvana Díaz Nombre de profesor practicante: Roberto Roldán Fecha: A convenir Hora: de 8:00 hs a 10:20 hs Curso y División: 4° 2°. Saberes: Realizar operaciones de distinta índole, distinguiendo distintos grupos numéricos, sus alcances y limitaciones. Utilizar el plano y la recta como elemento de representación geométrica de conceptos algebraicos. Aprendizajes específicos: Concepto de número complejo, unidad imaginaria y su relación con los números reales. Plano complejo. Representación gráfica de un número complejo. Conjugado y Opuesto de un número complejo. Suma, resta, multiplicación y división de números complejos. Objetivos: Reforzar los conocimientos previos y reflexionar acerca de la naturaleza de los números. Presentar alternativas al modo de enseñar, de aprender y de estudiar las matemáticas. Tiempo: 120 minutos Recursos: Pizarrón. Fibrones. Juegos de mesa. Capacidades: Relacionar el conjunto numérico complejo y su posible uso. 2 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa Identificar números complejos y representarlos en forma binómica y cartesiana. Interpretar el opuesto y el conjugado de un número complejo. Adquirir criterios y estrategias para resolver adecuadamente las operaciones con números complejos (suma, resta, multiplicación y división). Evaluación: Técnicas: Observación sistemática y participativa. Instrumentos: Registro escrito de las actividades realizadas. Planilla de seguimiento. Entrega de las producciones realizadas en clase. Criterios: Participación respetuosa. Comportamiento adecuado en el aula. Bibliografía: Matemáticas Simplificadas – 2º Edición. CONAMAT Guía de trabajo provista por la profesora Silvana Díaz. https://www.actiludis.com/2017/12/10/juego-serpientes-escaleras-palillos/ https://www.pinterest.es/ http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Naturales_complejos/1 0_division.htm 3 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa Inicio (20 min) 1. Comienzo saludando a los estudiantes y presentando a la profesora a cargo de la observación. 2. Para empezar la recuperación de conocimiento previo se formula la siguiente pregunta: ¿Qué tienen en común estas tres situaciones? Escribiendo estas tres ecuaciones en el pizarrón: a. √−9 b. Factorear el binomio ( c. +1=0 + 2 ) recurriendo al señor PIPI (6º caso) Respuesta esperada: Qué no tienen solución con los números que conocemos o que no se pueden solucionar con los números reales (respuesta optimista). 3. Continuo con el desarrollo de dos soluciones en el pizarrón. Por ejemplo: la ecuación + 1 = 0 impone la necesidad de que esta igualdad no se cumple para ningún número real. = −1 y ¿Quién podrá ayudarnos en este embrollo? “i” ¡la unidad imaginaria! que cumple con la propiedad de = −1 y por lo tanto se define como = √−1. Asi que +1=0→ = −1 → = √−1 → = Por otro lado teníamos que √−9 = 9 ∗ (−1) = √9 ∗ √−1 = 3 ∗ = 3 Este número (3 ) acompañado de la unidad imaginaria se llama Y como recuerdan, la combinación de los números reales y los números imaginarios daba lugar a los 4 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa 4. Continuamos recuperando conocimiento previo. ¿Recuerdan que dos maneras teníamos de escribir los números complejos? Respuesta y desarrollo en pizarra. Notación cartesiana Z = (a,b) donde Re(Z)= a y Im(Z)= b Por ejemplo: Z=(-1,5), donde Re(z)=-1 y Im(Z)=5 Notación binómica Z = a+bi donde Re(Z)= a y Im(Z)= b Por ejemplo: Z=-1+5i, donde Re(z)=-1 y Im(Z)=5 ¿Y cómo representamos gráficamente los números complejos? Respuesta esperada y esquema en pizarra 5 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa Los números complejos se representan en un plano cartesiano denominado , donde el eje x se denomina eje real y el eje y, eje imaginario. Para terminar el repaso ¿Cómo se obtiene el conjugado y el opuesto de un número complejo? Respuesta estimada: Para obtener el conjugado de un complejo solo debo cambiar de signo la parte imaginaria y para obtener el opuesto, debo cambiar el signo tanto de la parte real, como de la imaginaria. Opuesto: Dado un número complejo Z = a+bi, su opuesto –Z se obtiene cambiando de signo su parte real y su parte imaginaria, - Z = -a+(-b)i. Conjugado: Dado un número complejo Z = a+bi, su conjugado se obtiene cambiando de solo su parte imaginaria, = a+(-b)i OPUESTO CONJUGADO A continuación se les entrega a los estudiantes un texto que les servirá de ayuda memoria en el juego que se desarrollara a continuación. Desarrollo. Juego 1: Conceptos básicos de complejos. Escaleras & Serpientes. (40 min) 6 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa A continuación se armaran grupos de 4 estudiantes, donde jugaran 2 contra 2. Se repartirán dos tableros de escaleras y serpientes, uno con las actividades y otro con las respuestas correctas, dos fichas, un dado y algunos planos cartesianos impresos. Brevemente se explicarán las reglas del juego, que estarán impresas en el tablero de las respuestas. Se les pedirá que resuelvan todos los ejercicios en una hoja, con nombre y apellido de los miembros del equipo para ser entregada al final del juego para corrección. Se hace un lanzamiento inicial del dado y el grupo que saque el número más alto comienza el juego. Los jugadores comienzan con una ficha en la casilla inicial turnándose para lanzar un dado para avanzar las casillas correspondientes. Las fichas se mueven según la numeración del tablero, en sentido ascendente. Si al finalizar un movimiento un jugador cae en un casillero en donde comienza una escalera, sube por ella hasta el casillero donde ésta termina. Si, por el contrario, cae en uno en donde comienza la cabeza de una serpiente, desciende por ésta hasta el casillero donde finaliza su cola. A continuación realizara en una hoja un ejercicio indicado en el casillero. Si lo hace correctamente, avanza una casilla más, caso contrario retrocede una casilla. 7 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa o Si avanza hacia una cabeza de víbora por responder correctamente, no deberá bajar hacia su cola. o Si retrocede hacia una cabeza de víbora por responder incorrectamente, deberá bajar hacia su cola. o Si avanza hacia una escalera por responder correctamente, podrá ascender por ella. El jugador que logra llegar al casillero final es el ganador, aunque se puede acordar obtener exactamente el número que le falta para llegar a la casilla final, mientras no lo consiga rebotara y andará hacia atrás. Nota: Se dispondrá de varios tableros con distintos ejercicios para que aquellos que vayan terminando se mantengan ocupados y no se dispersen. Poco antes del recreo se procederá a la recolección de todo el material producido por los estudiantes. Operaciones con números complejos (30 min) 1. Volviendo del recreo se entregará a los alumnos un texto a modo de resumen con las operaciones con complejos vistas en clase y se les brindará una muy breve explicación. Algunos tips para recordar: Suma: Para obtener la parte real de la suma, sumamos las partes reales de los complejos sumados. Para obtener la parte imaginaria de la suma, sumamos las partes imaginarias. Resta: Siendo Z1 y Z2 dos números complejos, su resta Z1 - Z2 = Z1 + (-Z2). Es decir, para restar dos números complejos, sumamos al minuendo Z1, el opuesto del sustraendo –Z2. Multiplicación: Acá hay que recordar dos cosas: Primero, hay que aplicar propiedad distributiva. Segundo: i2 = -1. 8 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa División: Para dividir dos complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, así el denominador pasará a ser un número real. Finalmente se separan la parte real y la parte imaginaria. Ejemplo: 3. Se les hará entrega de tableros de escaleras y serpientes con ejercitación sobre operaciones con complejos. Las reglas y modo de trabajo no varían respecto del momento anterior. Cierre (10 min) 1. Se les pedirá a los estudiantes un momento de atención del juego que están efectuando. 2. A continuación se mostraran a los alumnos unas imágenes y se efectuara la pregunta ¿Tiene algo que ver esto con los números complejos? 9 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa 3. Luego de mostrar esas imágenes se hablara de la importancia y el extenso campo de aplicación de los números complejos, de su importancia en el desarrollo tecnológico y en nuestra vida diaria. 4. Se les entregará a los alumnos el texto: Los Números Complejos ¿Se Usan Para Algo? 5. Se agradece a todos los presentes, se solicita que entreguen las hojas con los ejercicios producidos y se da por finalizada la clase. Los números complejos permiten representar situaciones de la realidad cuya descripción y tratamiento es posible gracias a las propiedades de estos números. Como ejemplos de aplicación podemos citar: En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma 10 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa permita que el aire fluya sin turbulencias. El concepto de señal juega un papel importante en áreas diversas de la ciencia y de la tecnología como las comunicaciones, la aeronáutica y astronáutica, el diseño de circuitos, la acústica, la sismología, la ingeniería biomédica, los sistemas de generación y distribución de energía, el control de procesos químicos y el procesamiento de voz. En el lenguaje para describir las señales y en las herramientas para analizarlas intervienen los números complejos. En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica. 11 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa 12 Roberto Gabriel Roldán - PPD3 Instituto de Formación Docente y Técnica N° 9-006 Profesor Francisco Humberto Tolosa Juegos alternativos. Juego 1: Notación Cartesiana complejo. Juego de memoria. y binaria. Plano En este primer juego dispondremos fichas boca abajo con números complejos en notación binómica y en notación binaria, acompañadas de una hoja con un sistema de ejes cartesianos. El objetivo será formar pares de fichas coincidentes y representar el número complejo hallado en un plano complejo. El participante con más pares formados y correctamente ubicados en el plano complejo, ganara el juego. El par mal representado será anulado. Juego 2: Conjugados y opuestos. Casita Robada 1. Se reparten 4 cartas a cada jugador y otras 4 se ponen sobre la mesa. 2. A su turno, cada jugador puede robar cartas que estén sobre la mesa y que sean opuestos o conjugados de la carta que tiene en la mano. Por ejemplo, si en la mesa hay un 1-5i, se puede robar con otra carta 1+5i (conjugado) o con un -1+5i (opuesto). 3. Si al turno de jugar no se tiene ninguna carta para levantar, debe tirar una. 4. Las cartas robadas se dejan apiladas al lado del jugador que las ha cogido (“casita”) con la numeración hacia arriba, para que el contrincante pueda verlas y se puede robar el opuesto o el conjugado de la carta. La casita se roba cuando el contrincante tenga es opuesto o el conjugado y alguno de estos no se encuentre sobre la mesa. 5. Se van repartiendo en cada mano 3 cartas y se va robando la casita siempre y cuando se tenga la carta de la casita. 6. Gana, cuando se acaban las cartas, el que tiene la casa más grande. 7. Si un individuo pudo robar ya sea carta del centro o de una casa otro jugador podrá "soplar" y realizar la jugada no efectuada anteriormente. 13 Roberto Gabriel Roldán - PPD3
