Números primos

Números primos
Introducción:
Fue el matemático griego EUCLIDES
el primero en descubrir que los números
primos constituyen una serie infinita.
Las investigaciones de los matemáticos
griegos les condujeron rápidamente al
concepto de número primo, basándose
en el cual ERATÓSTENES construyo
su famosa criba para encontrar los
números primos en la serie de los
números naturales.
Considerando el campo de los números
enteros positivos se clasificara de
acuerdo a la cantidad de divisores del
siguiente modo.
1. Divisor:
Se denomina divisor de un número a
cualquier valor que divide exactamente
mediante una división entera.
OBSERVACIÓN:
Sea N un número entero, si “d” es
divisor de N entonces:
TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
MENORES QUE 200
2
3
5
3
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
179
181
191
193
197
199
OBSERVACIÓN:
a) No existe fórmula para hallar todos
los números primos.
b) La serie de los números primos es
ilimitada, osea que para más grande
que sea el número primo, siempre
hay otro número primo mayor.
c) Si “P” es un número mayor que 2
𝑃 =4±1
d) Si “P” es un número mayor que 3
0<𝑑≤𝑁
𝑃 =6±1
OBSERVACIÓN:
Divisor propio:
Es todo aquel divisor de N, menor que
dicho número.
Ejemplo:
6 → 1
⏟, 2 , 3 , 6
2. La unidad:
Es el único número que tiene un sólo
divisor que es el mismo.
3. Número primo:
Es aquel divisor que tiene únicamente 2
divisores: el mismo número y la unidad.
2
; 3
1
3
; ⋯ ; P
1
P
P : número primo(⋕ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜)
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f) Número compuesto: es aquel número
que tiene más de 2 divisores.
Ejemplo:
4 ; 6; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; ⋯
6 → ⏟
1 ;2 ;3 ;6
(6 posee 4 divisores)
g) Todo número primo que divide a un
producto de varios factores, divide
por lo menos a uno de los factores.
𝐷𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 ∶ 1 ; 2 ; 3
1
𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
2
e) número simple:
1 ,⏟
2 ,3 ,5 ,⋯
4. Números primos relativos o primos
entre sí (pesi):
Son dos o más números que tienen
como único divisor común a la unidad.
Ejemplo 1:
Número
divisores
10
1 ; 2 ; 5 ; 10
21
1 ; 3 ; 7 ; 21
∴ 10 𝑦 21 𝑠𝑜𝑛 𝑃𝐸𝑆𝐼
1
Ejemplo 2:
Sean los números : 20 ; 18 y 15
Número
divisores
20
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20
18
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 18
15
1 ; 3 ; 5 ; 15
20 ; 18 y 15 son PESI también
llamados coprimos.
5. Números primos entre sí dos a dos
(pesi 2 a 2):
Un conjunto de números resultara ser
PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos
en pareja resultan ser primos entre sí.
Ejemplo:
¿Son 8 ; 9 y 25 PESI 2 a 2?
8: 1;2;4;8
9: 1;3;9
 8 ; 9 ( pesi)
8: 1;2;4;8
25: 1 ; 5 ; 25
 8 ; 25 (pesi)
9: 1;3; 9
25: 1 ; 5 ; 25
 9 ; 25 (pesi)
∴ 8 ; 9 𝑦 25 𝑠𝑜𝑛 𝑃𝐸𝑆𝐼 2 𝑎 2
OBSERVACIÓN:
A) Dos números enteros consecu
Tivos siempre son PESI.
B) Dos números impares consecutivos también son PESI.
Criterio para reconocer si un número entero
es primo :
Para saber si un número dado es primo
o no, se debe seguir los siguientes pasos:
a) Extraer la raíz cuadrada, aproximamente por defecto.
b) Enumerar los números primos menores a esta aproximación.
c) Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de
estos números primos.
Si en ningún momento de los casos
es divisible, se dice que el número es
primo.
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Ejemplo:
¿Es 853 número primo?
a. √853 ≅ 29, ⋯
b. Los números primos menores que
29, ⋯
2 ; 3 ; 5 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29
c. 853 = 2 + 1 ; 3 + 1 ; 5 + 3 ; 7 + 6 ;
13 + 8 ; 17 + 3 ; 19 + 17 ;
23 + 2 ; 29 + 12
∴ 853 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
Descomposición canónica
(Teorema fundamental de la aritmética o
teorema de gauss)
Todo número entero mayor que uno
(compuesto) se puede descomponer
como el producto de sus factores primos
elevados a exponentes enteros positivos,
dicha descomposición es única.
Ejemplo:
72 2
72 = 23 × 32
36 2
18 2
9 3
3 3
1 1
Sea “N” el número compuesto:
𝑁 = 𝐴𝛼 × 𝐵𝛽 × 𝐶 𝜃
𝐴 , 𝐵 , 𝐶 → 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠
𝛼 , 𝛽 , 𝜃 → 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ℤ+
Estudios de los divisores de un número
a. Cantidad de divisores [𝑫(𝑵) ]
El número total de divisores de un
número es igual al producto de los
exponentes de los factores primos
aumentados en 1.
𝐷(𝑁) = (𝛼 + 1)(𝛽 + 1)(𝜃 + 1)
Ejemplo:
720 = 24 × 32 × 51
𝐷(720) = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)
𝐷(720) = 5 × 3 × 2 = 30
OBSERVACIÓN:
D(N) = DP + DC + 1
D(N) = DS + DC
DS = DP + 1
2
b. Suma de divisores: [𝑆𝐷(𝑁) ]
𝑆𝐷(𝑁) =
𝐴𝛼+1 −1
𝐴−1
×
𝐵𝛽+1 −1
𝐵−1
×
Ejemplo:
Sea: 18 = 𝑎 × 𝑏
𝐶 𝜃+1 −1
Ejemplo:
240 = 24 × 3 × 5
𝑆𝐷(240) =
24+1 −1
2−1
×
18 =
31+1 −1
3−1
×
51+1 −1
5−1
SD(240) = 744
IMPORTANTE:
1 + 𝑎 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 =
𝑎−1
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
c. Suma de las inversas de los divisores:
[𝑆𝐼𝐷(𝑁) ]
𝑆𝐷(𝑁)
𝑁
Ejemplo:
1 1 1
1
1
+ + + ⋯+
+
1 2 3
30 60
𝑆𝐷(60) 168
𝑆𝐼𝐷(60) =
=
= 2,8
60
60
∴ 𝑆𝐼𝐷(60) = 2,8
d. Producto de divisores de un nùmero:
[𝑃𝐷(𝑁) ]
𝑆𝐼𝐷(60) =
𝑃𝐷(𝑁)
= √𝑁𝐷(𝑁) = 𝑁
𝐷(𝑁)
2
Ejemplo:
𝐷(720) = 30
𝑃𝐷(720) = √72030 = 72015
Cantidad de formas de descomponer
“N” como el producto de 2 factores:
𝐹(𝑁)
𝐷(𝑁)
2
9×2
6×2
3 formas de descomponer 18
como el producto de 2
factores.
𝑎𝑛+1 −1
IMPORTANTE:
Todo número que tenga un número
impar de divisores es un número
cuadrado perfecto.
Ejemplo:
9 → ⏟
1 ; 3 ; 9 ; 𝐷(9) = 3
𝑆𝐼𝐷(𝑁) =
18 × 1
𝐶−1
Forma práctica:
18 = 21 × 32
𝐷(18) = (1 + 1)(2 + 1) = 6
𝐷(18) 6
𝐹(18) =
= =3
2
2
Descomposición canónica del factorial
de un número:
Consideremos:
0!=1!=1
2!=1x2=2
3!=1x2x3=6
4!=1x2x3x4=24
5!=1x2x3x4x5=120
6!=1x2x3x4x5x6=720
7!=1x2x3x4x5x6x7=5040
8!=1x2x3x4x5x6x7x8=40320
⋮
n!=1x2x3x⋯x(n-2)(n-1)x n
Ejemplo:
Hallar la descomposición canónica
de 12!
12!=1 × 2 × 3 × 4 × ⋯ × 12
12!=2𝛼 × 3𝛽 × 5𝜃 × 7 × 11
12 2
12 3
12 5
6 2
4 3
2
3 2
1
1
𝛼 = 1 + 3 + 6 = 10
𝛽 =1+4=5
𝜃=2
12!=210 × 35 × 52 × 7 × 11
⇔ 𝐷(𝑁) = 𝑝𝑎𝑟
𝐹(𝑁) =
𝐷(𝑁) +1
2
⇔ 𝐷(𝑁) = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
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3
𝐸 = 33𝑛 − 33𝑎
Ejercicios
1) Si 12𝑥 tiene 63 divisores compuestos.
Calcule “𝑥”
a)4
b)5
c)6
d)8
e)7
2) Hallar “x” si 𝑁 = 6. 162𝑥 tiene 40
divisores.
a)2
b)3
c)4
d)5
e)1
𝑘+2
𝑘
3) Si: 𝑁 = 13
− 13 tiene 75 divisores
compuestos. Hallar “k”
a)2
b)3
c)4
d)5
e)6
4) Hallar el valor de “n” sabiendo que :
15𝑛 . 75 tiene 17𝑛 + 34 divisores.
a)11
b)12
c)13
d)14
e)15
5) ¿Cuántos ceros debe tener:
𝑁 = 2000 ⋯ 00
Para que el resultado tenga 56 divisores?
a)4
b)5
c)6
d)7
e)8
6) Calcular la cantidad de divisores de 18𝑛
, si : 16𝑛 tiene 28 divisores menos que
20𝑛 .
a)27
b)36
c)45
d)63
e)54
7) Hallar el valor de “n” si el numero de
divisores de : 𝑃 = 3. 21𝑛 es 2/3 del
número de divisores de : 𝑄 = 98𝑛 .
a)2
b)3
c)4
d)5
e)1
8) Hallar “k” sabiendo que: 𝑁 = 15. 30𝑘
tiene 291 divisores que no son primos.
a)3
b)4
c)6
d)7
e)8
9) Hallar “n” para que el numero 9. 12𝑛
tenga 33 divisores más que 2448.
a)4
b)5
c)6
d)7
e)8
10) Sabiendo que 35𝑛 tiene 𝑎4 divisores.
¿Cuántos divisores tendrá?
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a)238
d)294
b)272
e)296
c)298
11) ¿Cuál es el menor número por el que se
debe multiplicar a 648 para obtener 40
divisores?
a)5
b)7
c)8
d)16
e)12
12) Si N tiene 21 divisores y es de 3 cifras,
entonces la suma de sus cifras es :
a)12
b)16
c)18
d)14
e)15
13) Si : 6𝑎 . 18𝑏 tienen 77 divisores.
Hallar : a.b
a)6
b)8
c)10
d)12
e)14
14) ¿Cuántos números de la forma 𝑎𝑎𝑎
tienen 8 divisores?
a)4
b)5
c)8
d)6
e)3
15) Al dividir el mayor número de la forma
𝑏𝑏𝑏, que tienen 12 divisores, entre 5, se
obtiene como residuo:
a)6
b)2
c)3
d)4
e)1
16) Sabiendo que: 12. 30𝑛 tiene el doble de
la cantidad de divisores de 12𝑛 . 30
Hallar el valor de “n”
a)3
b)4
c)7
d)5
e)6
17) ¿Cuántos números primos absolutos de
2 cifras existen en el sistema quinario?
a)4
b)6
c)5
d)3
e)7
18) ¿Cuántos números positivos de 3 cifras
tienen exactamente 3 divisores?
a)6
b)7
c)15
d)20
e)22
19) Hallar un número primo mayor que 3
tal que su cuadrado, disminuido en la
unidad, dividido por 8, da por cociente
un número primo.
a)13
b)11
c)5
4
d)7
e)17
2 3
20) Si : 𝑎 . 𝑏 tiene 65 divisores.¿cuantos
divisores tiene :𝑎3 . 𝑏 2 ?
a)42
b)35
c)68
d)63
e)28
29) Hallar “n” si el numero:
𝑁 = 40. 15𝑛
tiene 80 divisores.
a)2
b)4
d)3
e)6
21) Si el número “P” tiene 𝑎𝑏0 divisores
compuestos. Hallar :"𝑎 + 𝑏 + 𝑛"
𝑃 = 210𝑛−1
a)12
b)10
c)11
d)14
e)13
30) ¿Cuántos números de 3 cifras tienen 14
divisores?
a)2
b)1
c)5
d)4
e)6
22) Si: 6𝑛 tiene 30 divisores más que 7𝑛 .
¿Cuántos divisores tiene 8𝑛 ?
a)15
b)16
c)18
d)19
e)21
3
2
23) Si: 𝑁 = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐
𝑎
esta descompuesto
canónicamente y además tiene 𝑐𝑏
divisores. Hallar: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
a)13
b)12
c)15
d)14
e)11
24) Al multiplicar por 33 al numeral 𝑁 =
21. 11𝑛 se duplica su cantidad de
divisores. Hallar : “n+1”
a)2
b)3
c)4
d)5
e)6
25) Si el número de divisores de 𝑎𝑏𝑎𝑏 es
14.
Hallar : “𝑎 + 𝑏”
a)8
b)9
c)12
d)11
e)10
26) Si : 25𝑛 tiene “P” divisores. ¿Cuántos
divisores tiene 125𝑛 ?
a)
3𝑃+1
d)
4
3𝑃−1
5
3𝑃−1
b)
2
3𝑃+2
e)
c)
3𝑃+2
3
5
27) Si:
108𝑘
tiene
114
divisores
compuestos. Hallar “k”
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7
28) Hallar “𝑎” si : 𝑃 = 4𝑎 − 4𝑎−2 tiene 60
divisores.
a)8
b)6
c)7
d)3
e)9
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c)5
31) ¿Cuántos divisores de 1176 tienen 2
divisores?
a)10
b)8
c)12
d)10
e)7
32) ¿Cuántos divisores tiene 𝑎𝑏𝑎𝑏 si 𝑎𝑏 es
primo?
a)2
b)4
c)6
d)9
e)10
33) ¿Cuál es el menor número que tiene 15
divisores?
a)120
b)36
c)18
d)148
e)144
34) Si “P” es un número primo absoluto
¿Cuál es el único número cuadrado
perfecto cuya diferencia con “P” es
otro cuadrado perfecto?
a)(𝑃 + 1)2
c)(𝑃 − 1)2
(𝑃−1)2
b)
4
2
𝑃
(𝑃+1)
e)
d)
4
4
35) ¿Cuántos primos absolutos existen
entre 339 y 361?
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
36) ¿Cuántos divisores tiene 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 como
minimo?
a)24
b)16
c)64
d)8
e)32
37) Hallar “𝑎” sabiendo que el numero de
divisores de N es el doble del número
de divisores de M.
𝑁 = 30𝑎
𝑀 = 15. 18𝑎
a)6
b)9
c)7
d)5
e)11
5
38) Al multiplicar N por 27 su número de
divisores aumenta en 90.
𝑁 = 16. 5𝑎
Hallar “𝑎”
a)3
b)4
c)6
d)5
e)7
39) ¿Cuántos divisores tiene 2𝑥 . 3𝑛+3 si el
cuadrado de este posee 37 divisores
más?
a)12
b)18
c)28
d)20
e)24
40) ¿Cuántos divisores tendrá “N”?
𝑁 = 36 × 362 × 363 × ⋯ × 36𝑛
a)2n2+2n+1 b)(2n2+2n+1)2 c)n2+n+1
d)n2+2n+1
e)(n2+n+1)2
41) Si se multiplica los 200 primeros
números primos y el resultado
obtenido lo divide entre 4. ¿Cuál será el
residuo?
a)2
b)0
c)1
d)3
e)4
42) ¿Cuántos números de la forma 𝑎𝑏𝑎𝑏
exiten tales que poseen 6 divisores?
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
a)
9𝑛
d)
5
9𝑛
19
3𝑛
b)
e)
5
9𝑛
c)
7𝑛
19
8
47) Si el número 𝑁 = 44 . 𝑛𝑛 tiene 54
divisores y “n” es un número primo,
decir ¿en cuántos ceros terminara “N”?
a)2
b)5
c)3
d)4
e)6
48) Un número natural “N” admite 2
factores primos que son a la vez 2
números consecutivos. Si “N” posee 5
divisores impares y 15 divisores 18.
Hallar la suma de cifras.
a)9
b)17
c)19
d)18
e)16
49) Hallar el menor número que posea 31
divisores compuestos y 4 primos.
a)6942
b)6912
c)6412
d)6712
e)6914
50) Un número divisible por 15 que tiene 6
divisores cumple que la media
aritmética de sus divisores es 2023.
¿Cuál es la suma de cifras del
complemento aritmético del número?
a)6
b)7
c)8
d)9
e)10
43) Hallar el valor de “a” si el número 𝑁 =
9a + 9a+2 es divisible por 30 números
pares.
a)4/3
b)2
c)3
d)7
e)9/2
51) Se tiene el número 2𝑎 . 5.7 y la suma de
sus divisores es 720. Hallar “𝑎”
a)2
b)1
c)4
d)3
e)5
44) Si : 𝑁 = 2. 3𝑎 . 7𝑏
Tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30
divisores múltiplos de 2. Hallar : “a+b”
a)8
b)7
c)5
d)10
e)9
52) Hallar “n” si:𝑁 = 313 . 21𝑛 . 114 tiene
120 divisores que no son múltiplos de
21.
a)5
b)3
c)4
d)6
e)7
45) Si : 𝑁 = 𝑎𝑛+1 . 𝑏 𝑛+3 (descomposición
canónica) y 𝐷√𝑁 = 20. Hallar “n”.
a)3
b)5
c)4
d)6
e)7
53) Hallar el valor de “a” si se sabe que el
número N=189a tiene 133 divisores.
a)6
b)9
c)15
d)22
e)7
46) Si: 𝑃 = 10 × 20 × 30 × ⋯ × 100 tiene
“n” divisores. ¿Cuántos tiene :
𝑄 = 5 × 10 × 15 × ⋯ × 50?
54) Determinar “n” si: 12.18n tiene 28
divisores diferentes de múltiplos de 6.
a)6
b)7
c)8
d)5
e)9
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6
55) ¿Cuántos divisores de 900 son
múltiplos de 2 ò 3 pero no de los
juntos?
a)10
b)11
c)13
d)14
e)12
56) Hallar : (a+b+c) si :
N=14a.nb
Tiene 325 divisores y “n” es primo con
14 y además es el menor posible.
a)16
b)17
c)18
d)15
e)19
57) Si : 𝑏𝑎𝑏 tiene 3 divisores. ¿Cuántos
divisores tiene 𝑏𝑎𝑏?
a)2
b)4
d)6
e)10
c)5
58) Dados:
N1=14.30n
N2=21.15n
Donde la suma de los números de sus
divisores es 96. Hallar “n”.
a)3
b)5
c)8
d)5
e)4
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7