NÚMEROS COMPLEJOS

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NÚMEROS COMPLEJOS
Definición-Teorema: En el conjunto ℜ 2 se definen las operaciones de suma y producto
de la forma siguiente:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)·(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Estas operaciones lo dotan de una estructura de cuerpo conmutativo denominado cuerpo
de los complejos, denotado C.
Nota: Obviamente existe un isomorfismo natural entre ℜ y el subconjunto de los nº
complejos de la forma (a,0)
Definición: Denotamos por i al número complejo (0,1) (Observemos que i2=1) de modo
que podemos escribir el nº complejo z=(a,b) en la forma z=a+bi (forma binómica).
Definimos también la parte real y la parte imaginaria del complejo z como Re z=a y Im
z=b respectivamente.
Por último definimos el conjugado de z como z = a − bi y el módulo de z como
z = + a2 + b2 = + z z
Nota: Observemos que
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+ +bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i
a + bi (a + bi )(c − di ) (ac + bd ) + (bc − ad )i
=
=
c + di (c + di )(c − di )
c2 + d 2
Observemos también que los nº reales son aquellos en los que Im z=0, los complejos
para los que Re z=0 se denominan imaginarios puros.
Teorema: Dado z∈C se tiene:
z+z
z−z
Im z =
i) z = z
ii ) z + z ' = z + z '
iii ) zz ' = z z '
iv) Re z =
2
2i
1
z
æ1ö 1
=
vii) z ≠ 0 Þ ç ÷ =
z zz
èzø z
Definición: Dados z,z'∈C se definimos d(z,z')=|z-z'|
Teorema: Dados z,z'∈C se tiene:
i) z ≥ 0 z = 0 ⇔ z = 0
ii ) z + z ' ≤ z + z '
iii ) zz ' = z z '
v) z ∈ ℜ ⇔ z = z
vi) z ≠ 0 Þ
iv ) z = z
v) d es una métrica sobre C
Definición: Dado z∈ C-{0} definimos su argumento principal, denotado por Arg z,
z
como el único nº real α∈[0,2π) que cumpla que
= cos α + i sen α
|z|
Nota: Obsérvese que α=arctg y/x
Definición: Dado a∈ℜ definimos la exponencial e ai = cos a + i sen a . Dado
z=a+bi∈ C-{0} definimos la exponencial e z = e a e bi = e a (cos b + i sen b)
Definición-Teorema: Dado z=a+bi∈ C-{0} tenemos que podemos escribir
z = ρ α con ρ=|z| y α=Arg z (Forma polar de z)
z = ρ (cos α + i sen α ) con ρ=|z| y α=Arg z (Forma trigonométrica de z)
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z = ρe iα
con ρ=|z| y α=Arg z (Forma exponencial de z)
Teorema: (Formula de Moivre)
Dado
z = ρα = ρ (cos α + i sen α ) = ρeiα
se tiene
z n = ( ρ n ) nα = ρ n (cos nα + i sen nα ) = ρ n einα
Teorema: (Raíces de nº complejos)
iα
Dado z = ρα = ρ (cos α + i sen α ) = ρe existen n números complejos
raíces n-esimas de z, dichos números vienen dados por
1
n
wk = ( ρ ) α + 2πk
n
1
n
1
i
α + 2πk
α + 2πk
n
= ρ (cos
+ i sen
)=ρ e
n
n
α + 2πk
n
k = 0,1,..., n − 1
Definición: Dado z=C-{0}, un logaritmo de z sera un complejo w tal que ew=z.
Teorema: Dado z=C-{0}, el conjunto de logaritmos de z es log | z | +i ( Arg ( z ) + 2kπ )
Teorema:(TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA)
Todo polinomio de coeficientes complejos de grado n>0 (es decir, no constante) tiene
al menos una raíz compleja.
Todo polinomio no nulo de coeficientes complejos de grado n≥0 tiene n raíces
complejas (contando multiplicidades)
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