Números complejos

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Números complejos
Unidad imaginaria
i=
−1
Potencias de i
i 4 n +1 = i
i 4 n +3 = −i
i 4 n + 2 = −1
i 4n+4 = 1
Sea x=
a1 + b1i y x=
a2 + b2i
1
2
Características de
números complejos
• x1 x2=
=
si a1 a=
b2
2 y b1
• x es imaginario si b ≠ 0
0
• x es imaginario puro si b ≠ 0 y a =
• x es real si b = 0
• x1 y x2 son opuestos si a1 =
− a2 y b1 =
−b2
• x1 y x2 son conjugados si a1 = a2 y b1 = −b2
Sea x=
a1 + b1i y x=
a2 + b2i
1
2
• Suma: x1 + x2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i
• Resta: x1 − x2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) i
Operaciones
• Producto: x1 ⋅ x2 = ( a1a2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i + ( b1b2 ) i = ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) i
2
• Cociente:
x1  a1 + b1i   a2 − b2i   a1a2 + b1b2   b1a2 − a1b2 
=
=
⋅
 
+
i
x2  a2 + b2i   a2 − b2i   a2 2 + b2 2   a2 2 + b2 2 
z = Sα
Forma polar
b
a 2 + b 2 y α = arctan  
a
Polar → Binomial: x = S ⋅ cos (α ) + S ⋅ sen (α ) i
Binomial → Polar: S=
z=
Sea x=
a1 + b1i y x=
a2 + b2i
1
2
Operaciones en
Forma polar
• Producto:
Sα ⋅ S 'β =( S ⋅ S ')α + β
• Cociente:
Sα  S 
= 
S 'β  S ' α − β
( )
• Potenciación: ( Sα ) = S
n
Fórmula de Moivre
( cos (α ) + sen (α ) i )=
Radicación
n
n
n
α ⋅n
cos(n ⋅ α ) + sen( n ⋅ α )i
Sα = Wβ donde W = n S , β =
α + (360º k )
n
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