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Guía de Matemática Superior: Números Reales, Ecuaciones y Más
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MATEMÁTICA SUPERIOR
GUÍA DE TRABAJO
MATEMÁTICA SUPERIOR
UNIDAD 1
Pág. 1
MATEMÁTICA SUPERIOR
Presentación
Estimados estudiantes:
En la unidad I se desarrolla las características y
propiedades de los Número Reales, la unidad II
desarrolla la Potenciación y Radicación, la unidad III,
aborda las Ecuaciones e Inecuaciones, por último, en
la unidad IV el tema de Áreas y Volúmenes.
MATEMÁTICA SUPERIOR
Índice
UNIDAD I
Números reales y sus propiedades
Operaciones mixtas
MCD y MCM
Operaciones con fracciones
Generatriz de un número
Porcentajes
Aumentos y descuentos porcentuales
Regla de tres
05
11
16
20
30
34
38
41
MATEMÁTICA SUPERIOR
UNIDAD I
Números Reales
Pág. 4
MATEMÁTICA SUPERIOR
NÚMEROS REALES Y SUS
PROPIEDADES
En 1642 y a los 19 años, Blaise Pascal construyó una
sencilla máquina aritmética para su padre, porque
tenía que contar dinero en el trabajo. La máquina se
servía de engranajes mecánicos para sumar (cifras
de hasta ocho dígitos) y restar automáticamente. Unos
años después el gran matemático Gottfried Leibniz
perfeccionó el invento de Pascal y obtuvo un nuevo
modelo que podía sumar, restar, multiplicar, dividir y
calcular raíces cuadradas. Éste fue el punto de partida
para las auténticas calculadoras, y finalmente para
las computadoras.
3
108
5 0
También podemos verlos como una serie de puntos
alineados y equidistantes
0 1 2 3 4 5 6 7 . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
Operemos con estos números:
3+1 = 4
4 - 3 = 1
3 - 4 = ?
Como llegamos a una operación que no podemos
resolver. Es necesario extender este conjunto.
CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS ENTEROS
( ZZ)
ZZ = { .....; –4; –3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;.....}
La noción de número es tan antigua como el hombre
mismo ya que son necesarios para resolver situaciones
de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para
contar una determinada cantidad de elementos
(existen siete notas musicales, cinco continentes, etc.),
para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer
mes del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer
medidas (3,2 metros; 5,7 kg; –4 ºC; etc.), etc.
CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS NATURALES
( lN )
lN = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;.....}
Los puntos sucesivos significan: «y así sucesivamente»
El conjunto de los Números Naturales surgió de la
necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser
humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
·
Tiene un número infinito de elementos.
·
Cada elemento tiene un sucesor y todos,
excepto el 0, un antecesor.
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de
la siguiente manera:
El conjunto de los Números Enteros surge de la
necesidad de dar solución general a la sustracción,
pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo,
esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos
Naturales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la
izquierda, de modo que a cada punto que representa
un número natural le corresponda un punto
simétrico, situado a la izquierda del cero.
Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual
distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la
izquierda de él).
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de
la siguiente manera:
-3
1
-87
38
3 0
-6
También podemos verlos de la siguiente manera:
... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
Operemos con estos números:
Pág. 5
MATEMÁTICA SUPERIOR
4 2; porque : (2) 2 4
3 - 4 = -1
4 x 3 = 12
6 : 2 = 3
3 : 2 = ?
2 ?
Como llegamos a una operación que no podemos
resolver. Es necesario extender este conjunto.
Obviamente necesitamos crear un conjunto que agrupe
este tipo de números.
CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS RACIONALES
(Q
0 )
CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS IRRACIONALES
( II)
Un número es racional si y sólo si puede expresarse
como división de dos números enteros, cuyo divisor
es distinto de cero. Esta división se representa como
fracción, donde el dividendo recibe el nombre de
numerador y el divisor de denominador.
Los Números Irracionales son los que no se pueden
expresar como racionales, es decir, que su parte
decimal tenga infinitas cifras sin presentar periodo
alguno.
a
Q
0=
/ a ZZ ^ b ZZ ^ b 0
b
El conjunto de los Números Racionales se creó debido
a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el
conjunto de los Números Naturales y Números Enteros.
Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de
los Números Enteros si y sólo si el dividendo es
múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para
solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el
cual está formado por todos los números de la forma
a.
b
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de
la siguiente manera:
7
5
6
-9
32
8 0
2
= 1,414213562...
5 = -2,23606797...
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos
números que no pertenecen a los conjuntos anteriores;
entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el
número Pi, etc. A él pertenecen todos los números
decimales infinitos puros, es decir aquellos números
que no pueden transformarse en una fracción. No
deben confundirse con los números racionales, porque
éstos son números decimales finitos, infinitos
periódicos e infinitos semiperiódicos (o periódicos
mixtos) que sí pueden transformarse en una
fracción.
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de
la siguiente manera:
-3
8
-31
Algunos ejemplos:
= 3,14159265358979323846...
II
3
8
-6
1
1001
3
6 5
Podemos graficar de la siguiente manera:
0 1
0
Pág. 6
3 2
2
5
También los podemos ver de la siguiente manera:
Operemos con estos números:
- 3
1
2
1
3
2
2
2 3
CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES
3
5
MATEMÁTICA SUPERIOR
( lR )
I. Ahora vamos a practicar ...
El conjunto formado por los racionales y los irracionales
se llama conjunto de números reales, y se designa
por lR .
Escribir SÍ o NO según pertenezca o no el número
dado a los conjuntos lN, ZZ, Q
0 o II.
lR = {Q
0 II }
Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de
la siguiente manera:
7
5
Z
N
-31
32
6
0
8
-3
8
3
8
-6
-9
R
Q
-1
1001
- 3
5
3
2
2
6 5
II
Los números reales llenan por completo la recta
numérica, por eso se la llama Recta Real.
Donde a cada punto de la recta le corresponde un
número real y, a cada número real, le corresponde un
punto de la recta.
II. Completa teniendo en cuenta el nombre del
primer conjunto al que pertenece cada uno
de los siguientes números:
1. 2 es un número: ..............................................
2. -36 es un número: ...........................................
3.
3 es un número: ............................................
4.
1
es un número: ..........................................
2
5. +27 es un número: ...........................................
6. 7 y -3 son números: ..........................................
7. y 4 son números: .....................................
EJERCICIOS PROPUESTOS
8. -24 y
3 son números: ....................................
Pág. 7
MATEMÁTICA SUPERIOR
9. -6,34 es un número: ........................................
10.
3
y 5,2 son números: ......................................
4
11. 1,2 y 6,7 son números: ..................................
12.
7 y
4
2 son números: .................................
a) racional y decimal
c) entero y natural
e) real e irracional
6. ¿Cuál de los siguientes gráficos es correcto?
lN
3
; 1; -2 y 0,24 son números: .......................
7
15.
16.
3
2 es un número: ...........................................
17. 5;
3
;
2
18. ;
3;
19. 2;
5 son números: .............................
a) racional
c) irracional
e) entero
b) real y natural
d) natural
III.
II
a) Sólo I
d) Sólo IV
b) Sólo II
e) I y IV
c) Sólo III
b) -0,432176 es un número racional
c) 3,7 es un número racional
d)
5 es un número real
e)
es un número natural
a)
3
es una fracción
2
b) 0,3492 es un número irracional
a) racional y decimal
c) natural
e) real
c)
b) irracional
d) entero
e) 241 es un número natural
3
es un número natural
7
b) 3 es un número racional
a)
c) 1,3 es un irracional
d) 4,3 es un natural
e)
4. Señalar las afirmaciones correctas:
I. Q
I II = IR II. IN ZZ
III. ZZ Q
I
IV. Q
I II
63
es un número:
7
2 es un número irracional
9. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
un número natural
un número entero
un número racional
un número irracional
todas son correctas
b) Sólo II
e) Todas
5 es un número real
d) 1+
3. 4 + 3 da como resultado:
Pág. 8
Q
8. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
2. 0,3333... es un número:
5.
ZZ
a) 24 es un número entero
3
5
; 2,4 son números: ................................
4
a) Sólo I
d) II y III
lR
IV.
Q
II.
7. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
5 es un número:
a)
b)
c)
d)
e)
Q
2 son números: .............................
III. Resuelva las siguientes preguntas.
1.
lN
ZZ
I.
13. -3; 5 y -2 son números: ..................................
5
14.
es un número: ..........................................
7
b) decimal
d) irracional
c) Sólo III
es un irracional
10. Señalar las afirmaciones incorrectas:
I.
2 es irracional porque lleva raíz.
II. ZZ lN = lN
III. Q
0 II = lR
a) Sólo I
d) I y II
b) Sólo II
e) II y III
c) Sólo III
MATEMÁTICA SUPERIOR
11. Señalar la afirmación correcta:
I.
II.
16. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
11 es irracional porque tiene raíz.
I. 2 y -3 son números enteros
es un número no racional.
II.
III. -1,4 y 2 son racionales
III. 36 es un número irracional.
a) Sólo I
d) I y II
b) Sólo II
e) I y III
c) Sólo III
12. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
3
a)
5
b)
es un número no fraccionario.
a) F FV V
d) F F F F
b) V V F F
e) V FF V
2 son enteros y reales
36 es un número irracional
III. 2 es natural y entero
e) 4; 5 y -6 son números naturales.
IV. 3 ; 2 y - 1 son racionales
2 3
5
a) F F V V
d) V FV V
13. 25 es un número:
b) F V F V
e) VVVV
c) FVVV
18.Indicar verdadero (V) o falso (F), según
corresponda:
racional e irracional
decimal
irracional
natural y entero
real y decimal
I. La suma de dos números irracionales siempre
es otro irracional. ( )
14. Señalar la afirmación correcta:
II. El producto de dos números irracionales puede
ser un número entero. ( )
3 lR
II. 5; 4; 2 lN
III.La expresión
3 2
;
y 0,3 Q
I
2 5
IV. 0; 5; -3 y -2 ZZ
a) VVV
d) V F F
III.
a) I y II
b) I y IV
d) Sólo II
e) I, III y IV
c) Sólo III
15. ¿Cuántas de las afirmaciones son correctas?
I. 4,3 Q
0
3
II. 2 y 2 Q
0 y lR
III. 3,4 y -5 lN
IV. 0 lN
a) 0
d) 3
c) VFVF
17. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
II.
d) 4 es irracional.
I.
IV. Q
0 e II están contenidos en los enteros
I. 5; 2 y
3 es un número racional.
c) 0,349 es un número racional.
a)
b)
c)
d)
e)
3 y 1 son irracionales
b) 1
e) 4
16 es irracional. ( )
b) VF V
e) FVV
c) F V F
19.El área de un círculo es un número:
a) natural
b) entero
c) racional
d) irracional
e) todas las anteriores
20.Si el lado de un cuadrado es
3 , entonces su
área es:
c) 2
a)
b)
c)
d)
e)
irracional
racional y decimal
racional y entera
entera
natural
Pág. 9
MATEMÁTICA SUPERIOR
AUTOEVALUACIÓN
1. Indicar verdadero o falso según corresponda:
a)
21
es un número racional. (
7
b)
8 es un número racional. (
)
)
c) 7 y -7 son números naturales. (
d) 17 y
e)
36
y
4
)
3 son números irracionales. (
4 son números enteros. (
)
2. Si agregamos una decena al número
resultado será un número:
a) natural
c) racional
e) todas las anteriores
)
2 , el
b) entero
d) irracional
3. En ZZ, ¿cuál es el antecesor del número -13?
a) -14
d) -31
4.
b) -12
e) 12
c) 13
49 , es un número:
a) racional
c) decimal
b) irracional
d) entero
5. ¿Cuál de los siguientes números está ubicado más
hacia la izquierda en la recta numérica?
a) -15
d) -18
Pág. 10
b) -10
e) 19
c) 0
MATEMÁTICA SUPERIOR
OPERACIONES MIXTAS
¡Es obvio!
La palabra "obvio" debe ser una de las más temibles
de toda la Matemática; lo que es "obvio" para unos no
es nada claro para otros, y el uso de dicha palabra
puede crear la "angustia matemática" que todo
estudioso ha conocido en algún momento de su
aprendizaje.
El astrónomo norteamericano Nathaniel Bowdith
(1773-1838) tradujo al inglés la obra de Laplace
Mécanique Celeste e hizo el siguiente comentario:
"Siempre que aparecían expresiones como "es
evidente", "es obvio", "es fácil de ver", ... yo sabía que
me esperaban horas de arduo trabajo para llenar los
vacíos y entender lo que era obvio".
De G.H. Hardy (1877-1947), uno de los matemáticos
ingleses más importantes de principios del siglo XX,
se cuenta que dando una conferencia dijo que cierta
relación matemática era trivial; después vaciló un
instante y preguntó: "¿Será trivial?" Pidió disculpas,
salió de la sala de conferencias y fue a su oficina. A
los 20 minutos volvió y declaró: "Sí, es trivial".
El matemático norteamericano Ralph P. Boas cuenta
que el profesor Tomkins dijo durante una conferencia:
"Esto es obvio". Uno de sus colegas, Marston Morse,
con mucha entereza, lo interrumpió y preguntó: "¿Nos
podría explicar cuáles son las razones obvias?" La
explicación subsiguiente duró media hora.
operaciones se deben realizar primero que otras.
Las Matemáticas han llegado a un acuerdo acerca de
una regla para calcular en cadena.
Estas normas nos dan una regla, se denomina
jerarquía operatoria.
Establecen qué calculo dentro de una cadena debe
ejecutarse en orden definido y en una forma prescrita.
El orden se resume como sigue:
1. Signos de colección ( ); [ ]; { }
2. Potencias y radicales
3. Multiplicación y división
4. Adición y sustracción
Operaciones combinadas de
Adición y Sustracción en IN
Si hay operaciones entre paréntesis, operamos
primero éstas; para suprimir dicho paréntesis.
Ejemplo:
10 + 3 + (5 - 1)
* Primero el interior del paréntesis:
Jerarquía de operaciones
Si tomas tu calculadora y efectúas: 3 + 4 x 2; lo que
sucede será lo siguiente:
(5 - 1) = 4
* Luego sumamos los tres números:
10 + 3 + 4 = 17
Si no hay paréntesis procedemos a operar de
izquierda a derecha.
Ejemplos:
a.
15 - 3 + 10 - 7 + 4 - 1 = 18
12
22
15
19
Sin embargo el mismo ejercicio se lo damos a un
profesor de Matemáticas, el profesor obtendrá como
resultado 11.
¿Cómo?
Una expresión como: 3 + 4 x 2; requiere una
interpretación y debemos estar de acuerdo en qué
18
b.
Pág. 11
MATEMÁTICA SUPERIOR
19 + 2 - 10 + 15 - 12 + 7 = 21
21
Operaciones combinadas de Adición
y Sustracción en
Ejemplos:
11
1. Efectuar: E = (+7) + (+5) - (- 4) - (-7) + (+2)
26
Convertimos la sustracción en adición:
14
21
Operaciones combinadas de
Multiplicación, Adición y
Sustracción en IN
Si hay operaciones entre paréntesis; operamos
primero éstas.
E = (+7) + (+5) + (+4) + (+7) + (+2)
E = (+12) + (+4) + (+7) + (+2)
E = (+16) + (+7) + (+2)
E = (+23) + (+2)
E = (+25)
2. Efectuar:
P = (-10) + (-1) + (+6) - (-8) + (-5)
Ejemplo:
a.
(5 x 4) + (3 x 2) + 10
20 + 6 + 10 = 36
b.
(2 x 5 + 7) - (6 x 4 - 20)
(10 + 7) - (24 - 20)
17
-
4
13
Si no hay paréntesis, se sigue el siguiente orden:
1. Efectuamos las multiplicaciones.
2. Efectuamos las adiciones y sustracciones.
a.
P = (-10) + (-1) + (+6) + (+8) + (-5)
P = (-11) + (+6) + (+8) + (-5)
P = (-5) + (+8) + (-5)
P = (+3) + (-5)
P = (-2)
Operaciones combinadas de
Multiplicación,
Adición y Sustracción en
Ejemplos:
1. Efectuar:
E = (+2).(-3) + (+5)(+4) - (+3)(-3)
E = (-6) + (+20) - (-9)
14 - 6 x 2 + 25 - 10
14 - 12 + 25 - 10
2 + 25 - 10
27
- 10
17
E = (-6) + (+20) + (+9)
E = (+14) + (+9)
E = (+23)
2. Efectuar:
E = (+4) . (+5) + (+5).(-3) + (+9)(+7) + (+6)
b.
40 + 5 - (8 - 4 x 3 + 10) + 6
40 + 5 - (8 - 12 + 10) + 6
45 - (8 - 2) + 6
45 - 6 + 6
45 - 0
45
Pág. 12
E = (+20) + (-15) + (+63) + (+6)
E = (+5) + (+63) + (+6)
E = (+68) + (+6)
E = (+74)
MATEMÁTICA SUPERIOR
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Efectuar las siguientes operaciones:
1. (5 + 10 5) x 2
a) 6
d) 14
b) 10
e) 16
c) 12
b) 47
e) 38
c) 42
b) 50
e) 20
4. (1 + 2 + 3 + 4)2 x
a) 100
d) -20
c) 40
32 4 2 (-3 - 2)2
b) 4
e) 20
c) 25
5. (18 + 12 + 6) (3 x 4) - 10
a) 13
d) -13
b) -80
e) -70
c) 1
II. Los siguientes enunciados debes traducirlo
a lenguaje matemático (en tu cuaderno) y
luego resolverlos.
2. Al número 15, añádele el resultado de multiplicar
8 por 24.
3. Luego de disminuir en 13 unidades el producto de
11 por 13, divídelo entre 10.
3. 18 + 12 + 6 3 x 5 - 10
a) 60
d) 30
a) 0
d) -1
1. Multiplica 23 por 4 y luego súmale 5.
2. [9 + (7 - 2)2 x 3] 2
a) 37
d) 40
12.(42 + 4 + 100 100 -20x 5)(15 - 5 5) - 14
b) 10
e) -7
c) 3
4. Suma los cinco primeros números enteros positivos
y al resultado réstale el doble de siete.
5. Eleva al cuadrado la suma de los tres primeros
números enteros positivos, luego añádele la tercera
parte de 84 y finalmente extráele la raíz cuadrada
a dicho resultado.
6. Multiplica 5 por la suma de los cuadrados de los
tres primeros números enteros positivos y luego
divídelo entre la mitad de 14.
6. -33 + {24 2 x 3 + 9 - 40}2
a) 8
d) 12
b) 7
e) -6
c) -8
b) 28
e) 18
c) 27
9.
b) 1
e) N.A.
100 2 2 9
a) 36
d) -2
10. (-5)2 x
a) 56
d) -60
3
- [- 2 - (-52)
3
a) 5
d)4
c) 34
c) -50
b) -9
e) 0
c) -8
3
666 ]
b) 8
e) 2
c) 7
3. Indicar la suma de "M + N", si:
M = 1 200 +
27 + 3 x 9 x 2 6
11.{- 9 - [- 9 + 9 - 9 - 9 - (9 - 9 - 9)]} 5
a) 2
d) 18
c) +28
2. Indicar la suma de las cifras del resultado de:
27 729
b) 55
e) -66
b) -36
e) +12
c) 2
b) 32
e) -36
3
B = - {-30 - (-2)}
a) -28
d) +24
8. (52 - 42 - 32) x 18 1 331 + 1
a) 0
d) 5
Efectuar las siguientes operaciones:
1. Calcular el valor de "B A", si:
A = 36 4 9 3 ( 6 - 6 ) +1
7. (-2)2x 9 2 + [52 x 2 - 10] 4
a) 36
d) 33
III.
N=
3
a) 1 201
d) 1 209
25 - 1 024 256
3
729 27 6
b) 1 224
e) 1 219
c) 1 419
4. Indicar la cifra de tercer orden del resultado:
1 220 +
36 - 1 256 22
Pág. 13
MATEMÁTICA SUPERIOR
a) 6
d) 9
b) 7
e) 0
c) 8
Ahora sí, ¡a trabajar!
a. 8
5. Simplificar:
93 3 96 ( 24 2 200 25) 12 4 7 13
b) +81
e) +95
c) +85
6. Reducir:
a) 154
d) 150
b) 153
e) 53
c) 156
1=
3
2=
El resultado debe ser un número mayor que 8 y
menor que 11.
d. 9
7. Simplificar:
2
El resultado debe ser un número impar.
c. 4
20 32 2 10 60 5 3 8 5 13
3=
El resultado debe ser el número 3.
b. 4
a) +80
d) +91
7
7
4=
El resultado debe ser múltiplo de 4.
{(3 3 5) 9 2} { 4 5 3 2 54 5 }
2
a) + 24
d) + 16
b) + 216
e) - 24
c) 0
8. Indicar el producto de las cifras del resultado de:
-[{15 3 + 8 -[(3 + 2 × 6) - 10] - 6} - 9 × 22]
a) 12
d) 36
b) 20
e) N.A.
c) 24
3
5=
El resultado debe ser un número par.
f. 5
4
2=
El resultado debe ser un número en el que las cifras
de decenas y unidades sean iguales.
g. 3
2
5
3=
El resultado debe ser igual a una decena.
9. Simplificar:
102 8 [5 (9 5 5) 8 ] 40 (25 2) 2
a) 40
d) 60
e. 12
b) 50
e) 30
c) 70
h. 7
8
2=
El resultado debe ser igual a cinco decenas.
i. 8
10.Encontrar el valor de restar "A" de "B", si:
1
4
2
17 =
El resultado debe ser el menor número de tres
cifras diferentes.
3
A = 1 004 20 3 (10 50 10) 2 3
B = -5 {-3 + 2 - 5 - (22 3 ) + 40 }
a) -128
d) -115
b) -210
e) +115
c) -110
En los siguientes ejercicios escribe en los
cuadrados vacíos las operaciones que necesites
para lograr el resultado y usa, en cada uno de
ellos los paréntesis necesarios. Además, para
hacer un poco más divertido este juego, te
pedimos que en cada uno de los ejercicios NO
REPITAS LAS OPERACIONES, esto quiere decir
que si en un cuadrado pones, por ejemplo, la
suma, en el siguiente sólo podrás usar la resta,
multiplicación o división.
Pág. 14
j. 54
15
3
2=
El resultado debe ser el mayor número PAR de dos
cifras.
k. (7
2)2
20
4
1=
El resultado debe ser el menor número de tres
cifras.
l. 30
7
51
17 =
El resultado debe ser un número de tres cifras
iguales.
MATEMÁTICA SUPERIOR
Efectuar las siguientes operaciones:
1. 1400 +
AUTOEVALUACIÓN
25 - 1456 + 32
1. Hallar "A + B", si:
a) +42
d) +12
b) -42
e) +24
c) +36
A = 10 + 20 2
B = 15 x 12 3 + 1
2. 28 - 3 x 2 + 17 x 3 - 15
a) +56
d) -58
3.
3
b) +58
e) -60
a) 80
d) 65
c) -56
b) +6
e) -12
9 16 10 13 4 2 (9 3 5)
a) 9
b) 1
c) 11
d) 47
e) 23
c) +12
3. Resolver:
4. (250 - 200) x (28 - 3 x 4) + 8 2
a) +800
d) -40
5.
b) +804
e) -200
3 x 2 - {4 x 2 - [5 x 4 - 42 + ( 12 3 - 2)]+1}
c) -800
a) 5
d) 1
{30 - [30 - (30 - 2)]}
a) +30
d) -28
b) -30
e) +14
7.
b) -500
e) -50
b) +29
e) +9
a) 8
d) 6
9.
a) 0
d) 2
c) +49
a) +60
d) +30
b) -40
e) -10
c) +40
a) -15
d) +40
c) 13 578
2
b) +15
e) -20
c) +20
7. Efectuar: ((4 x 5) 2 - 4) + (+3)(-5)
a) +9
b) +6
c) -9
d) -6
e) +4
8. Efectuar:
c) -34
10. 102 8(5 (9 5 5) 8) 40 (25 2)
b) 1
e) N.A.
6. Efectuar: (-4)2 + 2x2 - (+5)(-3) - 20
b) +16
e) -18
c) 12
(1 358 x 17 + 42 2 x 315)(14 + 15 x 7)º - 1
{15 3 + 8 - [(3 + 2 x 6) - 10] - 6} - 9 x 22
a) -24
d) +22
b) 4
e) 2
5. Hallar el resultado de:
c) +500
3 2
8. (3 3 5) 9 2 3 4 5 2 49
a) +6
b) -6
c) 0
d) -2
e) +4
c) 7
72 18 6 32 4 2 ( 51 17 6 1)
c) +28
32 2 10 60 5 3 8 5 13
a) +19
d) -29
b) 6
e) 0
4. Resolver:
6. (240 - 190) x (52 - 3 x 5) + 25 5
a) +505
d) +50
c) 76
2. Resolver:
729 3 27 6
a) +9
d) +16
b) 81
e) 60
a) +185
d) -3
3
64 196 225
b) +195
e) +15
c) +3
9. Efectuar: ((3 4 6) 4) 3 3 3 - 11
a) 12
d) 36
10.Efectuar:
a) 22
d) 18
b) 72
e) 18
c) 24
32 10 2 60 5 4 6 10
b) 32
e) 20
c) 40
Pág. 15
MATEMÁTICA SUPERIOR
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Y
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
"TÍPICO"
Un matemático pasea por el campo, sin nada que
hacer, aburrido. Encuentra a un pastor que cuida un
numeroso rebaño de ovejas, y decide divertirse un
poco a costa de él.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Es el mayor de todos los divisores comunes de un
grupo de números.
Ejemplo:
Dados los números 8; 12 y 20, ¿cuál es su máximo
común divisor?
Divisores de 8
1 ;
2 ; 4 ;8
Divisores de 12
1 ;
2 ; 3; 4 ; 6; 12
Divisores de 20
1 ;
2 ; 4 ; 5; 10; 20
Buenos días, buen pastor.
Buenos días tenga usted.
Solitario oficio, el de pastor, ¿no?
Usted es la primera persona que veo en seis días.
Estará usted muy aburrido.
Daría cualquier cosa por un buen entretenimiento.
Mire, le propongo un juego. Yo le adivino el número
exacto de ovejas que hay en su rebaño, y si acierto,
me regala usted una. ¿Qué le parece?
- Trato hecho.
Como ves, los divisores comunes de 8; 12 y 20
son: 1; 2 y 4, y de ellos, el mayor de todos es 4, por
eso decimos que 4 es el Máximo Común Divisor de 8;
12 y 20. Esto se representa así:
El matemático pasa su vista por encima de las
cabezas del ganado, murmurando cosas, y en unos
segundos anuncia:
1. El MCD nunca es mayor que el menor de los
números.
-
- 586 ovejas.
M.C.D.(8; 12; 20) = 4
Ojo: El MCD debe ser entero positivo.
Propiedades
2. Si uno de los números es divisor de los otros,
entonces es el MCD de todos ellos.
El pastor, admirado, confirma que ése es el número
preciso de ovejas del rebaño. Se cumple en efecto el
trato acordado, y el matemático comienza a alejarse
con la oveja escogida por él mismo.
3. Si los números son PESI entonces el MCD de todos
ellos es la unidad.
- Espere un momento, señor. ¿Me permitirá una
oportunidad de revancha?
- Hombre, naturalmente.
- Pues ¿qué le parece, que si yo le acierto su
profesión, me devuelva usted la oveja?
- De acuerdo.
Existen varios métodos, pero ahora vamos a
trabajar con el método de DESCOMPOSICIÓN
CANÓNICA y su forma abreviada. Veámoslo con un
ejemplo:
Métodos para hallar el MCD
•
Halle el MCD de 60; 24 y 36
El pastor sonríe, porque sabe que ha ganado, y
sentencia:
-
- Usted es matemático.
- ¡Caramba! Ha acertado. Pero no acierto a
comprender cómo, cualquiera con buen ojo para
los números podría haber contado sus ovejas.
- Sí, sí, pero sólo un matemático hubiera sido capaz,
entre 586 ovejas, de llevarse el perro.
60
2
30
2
15
3
5
5
¿No nos pasa a veces algo parecido que al
matemático? En el examen, resolvemos la parte más
difícil del problema, y por distraídos, por apurados, o
por no haber leído bien, nos equivocamos en lo más
fácil. ¡A poner más atención!
24
2
12
2
6
2
3
3
Primero hagamos la descomposición
canónica de los números mencionados:
1
1
Pág. 16
60 = 22 x 3 x 5
24 = 23 x 3
MATEMÁTICA SUPERIOR
36
2
18
2
9
3
3
3
Propiedades
1. El mcm de un grupo de números nunca es menor
que el mayor de los números.
36 = 22 x 32
2. Si uno de los números es múltiplo de todos los
otros, entonces es mcm de todos ellos.
1
- Ahora tomemos los factores primos que
aparezcan a la vez en todos los números, y
pondremos el menor exponente que tengan.
2
3
2
2 x 3
2 x 3 = 12
2
Éste es el
MCD(60; 24; 36)
- Podemos hacer lo mismo en forma abreviada,
si descomponemos todos los números a la vez,
pero solo tomando los factores que sean
comunes a todos; así:
60 - 24 - 36 2
30 - 12 - 18 2
15 - 6 - 9 3
Métodos para hallar el mcm
Tal como en el MCD, trabajaremos con el método de
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA y su forma abreviada.
2
2 x 3 x 5
2 x 3
3. Si los números son PESI dos a dos, entonces el
mcm de todos ellos es su producto.
2
2 x 3 = 12
Ejemplo:
Halle el mcm de 12; 20 y 30
- Descomposición canónica:
12 2
6 2
3 3
1
20
2
10
2
MCD(60; 24; 36)
5 5
1
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
30 2
Es el menor de todos los múltiplos comunes de un
grupo de números.
5 5
5 - 2 -
3
Ejemplo:
Dados los números 3; 4 y 6, ¿cuál es su mínimo
común múltiplo?
•
Múltiplos de 3 3; 6; 9; 12 ; 15; 18; 21; 24 ;
30 = 2 x 3 x 5
1
- Ahora pondremos todos los factores primos que
aparezcan aunque sea sólo una vez, y les
pondremos el mayor exponente que tengan.
2
2 x 3
•
2 x 5
2
2
2 x 3 x 5 = 60
2 x 3 x 5
...
•
20 = 22 x 5
15 3
...
Múltiplos de 4 4; 8; 12 ; 16; 20; 24 ; 28;
12 = 22 x 3
Éste es el
mcm(12; 20; 30)
Múltiplos de 6 6; 12 ; 18; 24 ; 30; 36; 42;
...
- Podemos hacer lo mismo en forma abreviada,
esta vez tomando todos los factores, así:
Múltiplos comunes de 3; 4 y 6 12 ; 24; 36; ...
12 es el mínimo común múltiplo de 3; 4 y 6
Se representa de la siguiente manera:
mcm(3; 4; 6) = 12
Ojo: El mcm debe ser entero positivo.
12 - 20 - 30 2
6 - 10 - 15 2
3 - 5 - 15 3
1 - 5 - 5 5
1
1
1
2
2 x 3 x 5 = 60
mcm(12; 20; 30)
Pág. 17
MATEMÁTICA SUPERIOR
EJERCICIOS PROPUESTOS
5. Ahora, halla el mcm de los números pedidos,
aplicando lo que hemos aprendido.
1. Completa el siguiente cuadro:
NÚMEROS
NÚMERO
MÚLTIPLOS COMUNES
mcm
6y8
DIVISORES
72
15 y 16
38
16 y 8
45
18 y 32
36
40
15 y 20
24 y 16
32
6. Calcula mentalmente el mcm de los siguientes
números, ¡es fácil!
27
18
30
NÚMEROS
2. Ahora, halla el MCD de los números pedidos usando
lo que hemos aprendido.
NÚMEROS
DIVISORES COMUNES
MCD
36 y 27
5y3
6y2
12 y 4
7y8
3y4
18 y 3 18 y 6
3y9
6y7
10 y 5
mcm
NÚMEROS
mcm
NÚMEROS 17 y 3 6 y 8 2 y 11 4 y 10 6 y 3 9 y 10
40 y 18
38 y 30
mcm
72 y 40
7. Calcula el MCD de los siguientes números por
ambos métodos:
45 y 30
72 y 32
a) 60 y 90
3. Calcular el MCD de los siguientes números
mentalmente. ¡Tú puedes!
c) 54; 80 y 64
NÚMEROS 5 y 3 6 y 3 12 y 4 7 y 8 18 y 3
MCD
b) 32; 40 y 50
d) 35; 70 y 80
NÚMEROS 18 y 6 24 y 5 16 y 12 20 y 12 9 y 11
MCD
NÚMEROS 12 y 25 13 y 14 32 y 12 30 y 18 45 y 20
MCD
4. Completa el siguiente cuadro:
NÚMERO
6
8
12
15
18
16
20
24
32
36
Pág. 18
MÚLTIPLOS (diez primeros)
e) 18; 60 y 54
8. Calcula el mcm de los siguientes números por
ambos métodos.
a) 60 y 90
b) 32; 40 y 50
c) 54; 80 y 64
d) 18; 64 y 72
e) 35; 70 y 80
9. Un divisor común de 120 y 200 es:
a) 60
d) 4
b) 12
e) 25
c) 50
10.¿Cuál es la diferencia entre el mcm y MCD de 72 y
27?
a) 216
d) 211
b) 225
e) 206
c) 207
MATEMÁTICA SUPERIOR
11.¿Cuál es el menor número entero positivo tal que
al dividirlo entre 24; 40 y 30 se obtiene siempre
una división exacta?
a) 2
d) 240
b) 4
e) 60
c) 120
20.El menor número de losetas de 34 . 18 cm
necesarias para construir un cuadrado es:
a) 135
d) 153
b) 184
e) 148
12.Hallar el MCD de los siguientes números:
i. 195 y 130
ii. 240 y 400
iii. 350 y 560
AUTOEVALUACIÓN
1. Señala las afirmaciones falsas:
13.Hallar el MCM de los siguientes números:
i. 385 y 245
ii. 288 y 168
iii. 527 y 374
14.Hallar el MCD de 48; 84; 90 y 108.
Rpta.:
15.Hallar el MCM de 18; 40; 56 y 30.
Rpta.:
16.¿Cuántos divisores tiene el MCD de 504; 693 y 315?
Rpta.:
17. Juan posee tres varillas cuyas medidas son: 360;
480 y 560 cm, se quieren dividir en pedazos iguales
que tengan la mayor longitud posible.
i. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo?
ii. ¿Cuántos pedazos se obtienen en total?
iii. ¿Cuántos cortes se hacen para hacer esta
división?
Rpta.:
18.En un accidente de avión donde viajaban 200
personas, los sobrevivientes se pueden agrupar de
5 en 5; de 6 en 6 ó de 8 en 8. ¿Cuántos fueron los
muertos?
Rpta.:
18.Hallar el M.C.D de 400; 620 y 240, indicar la suma
de sus cifras.
a) 1
d) 4
c) 306
b) 2
e) 5
c) 3
I. El M.C.D. de un grupo de números puede ser
mayor que el mayor de los números.
II. El m.c.m. de dos números siempre es igual al
producto de los números.
III. Si dos números son PESI, su M.C.D. es uno.
a) Sólo III
d) I y III
b) I y II
e) Todas
c) Sólo I
2. Señala las afirmaciones verdaderas:
I. Si un número de un grupo de números es divisor
de todos ellos, entonces será el M.C.D. de dicho
grupo de números.
II. Si un número de un grupo de números es
múltiplo de todos ellos, entonces será el m.c.m.
de dicho grupo de números.
III. Si dos números son PESI, su m.c.m. es su
producto.
a) Sólo III
d) I y III
b) I y II
e) Todas
c) Sólo I
3. Halla el M.C.D. de 204; 192 y 108.
a) 6
d) 3
b) 12
e) 2
c) 4
4. Halla el m.c.m. de 49; 63 y 72.
a) 3 528
d) 2 538
b) 3 582
e) 2 358
c) 5 832
5. Halla "A + B" (Sugerencia: ¡Usa las propiedades!)
A = M.C.D.(90; 30; 32; 8)
B = m.c.m.(80; 4; 16; 3)
a) 244
d) 82
b) 242
e) 241
c) 84
19.Dar la mayor cifra del M.C.M. de 720; 180 y 900.
a) 6
d) 9
b) 7
e) 5
c) 8
Pág. 19
MATEMÁTICA SUPERIOR
OPERACIONES CON FRACCIONES
+
+
=
Pepe el generoso
Pepe sale de casa con un montón de cromos y vuelve
a casa sin ninguno. Su madre le pregunta qué ha
hecho con los cromos.
- A cada amigo con el que me encontré le di la mitad
de los cromos que llevaba más uno.
- ¿Con cuántos amigos te encontraste?
- Con seis
¿Podrías averiguar cuántos cromos llevaba Pepe?
ADICIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS
a. De igual denominador
Para efectuar la suma o adición de dos o más
fracciones con igual denominador, se suman los
numeradores y se escribe el mismo denominador.
4
8
2
8
+
1
17
5
17
2
6
=
5
6
4 - 8 - 20 | 2
2 - 4 - 10 | 2
1-2-5 |2
1-1-5 |5
1-1-1 |
7
20
m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 5=40
3
8
7
20
40
Dividimos el m.c.m. por cada denominador y el
resultado lo multiplicamos por el respectivo
numerador.
1
2
17
10
4
3
8
7
20
10 15 14
40
39
40
b.2. Regla de productos cruzados
a
+
+
Reducción a común denominador:
c
d
ad cb
bd
Ejemplo:
4
+
1
4
b
3
Veamos un ejemplo gráfico:
+
17
Para efectuar la suma o adición de fracciones de
diferente denominador, buscamos transformar las
fracciones a otras equivalentes, de tal forma que
todas tengan ahora el mismo denominador.
Pág. 20
8
Luego:
b. De diferente denominador
1
2
3
Hallamos el m.c.m. de los denominadores y lo
escribimos como DENOMINADOR del resultado.
1
Ejemplo:
3
4
=
+
6
7
8
b.1. Método del mínimo común múltiplo
(m.c.m.)
4
3
=
Entonces:
Veamos en forma gráfica:
+
1
8
+
33 28 61
11
44
44
7
17
44
SUSTRACCIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS
1
8
Efectuar la SUSTRACCIÓN de números racionales
equivale a efectuar la ADICIÓN de uno de ellos con el
opuesto del otro.
Ejemplo:
2
5
3
11
MATEMÁTICA SUPERIOR
l
Esta sustracción también se puede escribir así:
2
3
5
La potencia de una fracción es el resultado de
multiplicar “n” veces una misma fracción.
11
l Ahora aplicamos la REGLA DE LOS
PRODUCTOS
CRUZADOS
2
5
3
11
22 (15)
55
POTENCIACIÓNENNÚMEROS FRACCIONARIOS
22 15
55
Así:
a a a
a
... Potencia " n"ésima
b
b
b
b
"n" veces
. 2 3 7
..
5
11
a
El numerador final es el resultado de multiplicar
los numeradores, el denominador final es el resultado
de multiplicar los denominadores.
Donde:
“n” es exponente natural
l
a
l
b
c
d
=
a
c
b
d
es base racional o fracción
“P” es la potencia o resultado de la operación
POTENCIACIÓN
l
a
Es decir: b
n
P
b
55
MULTIPLICACIÓN EN NÚMEROS
FRACCIONARIOS
a
b
Ejemplo:
3
Ejemplo:
3
5
2
7
2
5
322
575
12
175
DIVISIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS
Observa el dibujo y reflexiona sobre la pregunta:
¿Cuántas veces cabe 1/8 en 1/2? Se trata de dividir 1/
2 entre 1/8?
3
3
significa que la base racional
debe ser
4
4
multiplicada por sí misma tres veces.
Es decir:
3
3 3 3 3 3 3 3 33 27
4 4 4 4 4 4 4 3 64
4
Luego podemos afirmar de modo general que:
n
an
a
n
b
b
1
2
1
8
=
8
8
=
=4
1
2
1
2
Es decir, que 1/8 cabe cuatro veces en 1/2
Dividir una fracción “a/b” por otra NO NULA “c/d”
equivale a multiplicar la primera fracción “a/b” por la
inversa de la segunda “c/d”.
Es decir:
Ejemplo:
a c a d ad
b d b c bc
36
5
9
8
36
5
8
9
32
Signos de una potencia de base racional
2
2 (2) (2) 4
3
33
9
3
2 (2) (2) (2) 8
333
27
3
Una potencia de base
POSITIVA y exponente
PAR o IMPAR, siempre
es positiva.
5
Pág. 21
MATEMÁTICA SUPERIOR
4
(2) (2) (2) (2) 16
2
625
5555
5
RADICACIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS
Hemos estudiado que dada la siguiente expresión:
n
3
2 (2) (2) (2) 8
555
125
5
a P
b
La operación que permite el cálculo de la base
Una potencia de
base NEGATIVA
puede ser:
POSITIVA, si el
exponente es PAR
NEGATIVA, si el
exponente es IMPAR
"a"
b
dados "P" y "n", se llama RADICACIÓN.
Es decir:
Propiedades
n
mn
m
a a a
b
b
b
Ejemplo:
2
3
23
2 2 2
3 3
3
Donde:
2
2
impar
Raíz
:
Operador radical
27
3
5
3
; porque:
b
impar
a
b
a
par
c
d
c
d
Ejemplo:
3
;
Ejemplo:
5
6 4
2
5
11
n
a
;
d
32
b
n
a
n
b
Ejemplo:
25
3
2
3
1
2
3
Ejemplo:
en Q
1
9
a
8
27
c
b
•
5
11
3 27
5
125
;
Propiedades
Ejemplo:
4
5
11
a
b
b
:
Signos de radicación en Q
par
mn
a
n
a
b
6
5
11
Índice (n 2)
125
2 1 2 1
5 6 5 6
a m
b
n:
b
3
n
n
n
a c a c
b d
d
b
Ejemplo:
2
Radicando
Ejemplo:
3
6
2 3
2
5
5 5
9 9
9
P:
a
5
2
3
n
mn
m
a
a
b b
Ejemplo:
n
a
P
b
b
a
nP
27
8
3
3
27
8
3
2
5
MATEMÁTICA SUPERIOR
Pág. 22
MATEMÁTICA SUPERIOR
3. Haciendo uso del método del mínimo común
múltiplo (mcm) efectuar y completar:
m
a
a n
n
b
b
m
•
5
4
4
Ejemplo:
•
a
n
b
c
d
n
Ejemplo:
mnp
•
a
2
2
2
2 2
5
5
5
a
b
7
mnp
b
1
n
8
a)
d
3
5
7
1
8
7
9
3
8
d)
3
5
72
b) 1
73
69
b
5
a) 10
9
2 5 4
c)
71
40
9
d) 12
1
2
b) 10
6
2
9
1
73
72
4. Efectuar la siguiente operación:
a
25 4
e) 1
72
3
2
Dar como respuesta el resultado.
c
2
Ejemplo:
12
2
2
2
e) 10
5
7
1
3
3
c) 11
5
1
6
1
6
5. Completar los signos ">" o "<" según corresponda:
EJERCICIOS PROPUESTOS
i.
Adición
1. Empleando la regla de productos CRUZADOS
efectuar las siguientes adiciones:
3
4
+
1
2
iii.
1
3
iv.
1
5
d)
13
b)
12
19
1
c)
10
6
A
a)
3
7
5
d) 1
5
2
5
3
6
1
2
4
1
1
7
9
1
2
1
1
3
3
2
3
1
3
1
8
1
4
;
B2
b) 3
e)
b) 1
e) 4
6. Empleando la regla de productos CRUZADOS
efectuar las siguientes sustracciones:
1
9
1
3
1
5
13
15
c) 2
Sustracción
7
1
2
a) 0
d) 3
5
e)
20
10
2. Calcular "A+B", si:
2
2
¿Cuántos signos ">" se obtienen?
Indicar el mayor resultado.
a)
ii.
1
c) 3
1
4
2
7
2
5
1
3
Indicar el menor resultado.
Pág. 23
MATEMÁTICA SUPERIOR
a)
d)
13
b)
45
1
e)
9
2
c)
9
12. Si:
13
21
1
9
a)
d)
1
b)
3
1
e)
12
3
5
5
2
3
4
d)
5
c)
12
7
12
1
I.
a)
b)
c)
d)
e)
5
1
4
3
3
10
4
1
4
III.
1
10
2
3
d)
1
1
1
c)
2
d)
1
b)
3
3
a)
8
d)
17
4
2
5
6
Pág. 24
3
3
4
5
3
1
e)
2
c) 1
5
4
7
b) 11
9
1
8
e) 10
6
c) 1
9
3
28
1
9
6
36
15
12
8
3
12
a)
3
b)
50
2
e)
25
9
50
7
c)
25
1
25
División
11.Completa el siguiente cuadro simplificando el
resultado de la operación indicada.
1
4
2
2
1
c)
Multiplicación
5
3
1
b)
90
d)
x
2
e) 0
8
1
15.Simplificar:
1 1
1
10.De restar
6
2 3
a)
4
Calcular "A x B"
2
e)
2
5
1 1 1
14.Simplificar: 2 3 1
4
3
3
1
b)
4
5
e) 1
3
1
d)
17
18
c)
10
B
a)
de 2
9
1 4 4
13.Si se sabe que: A 1
5 4 3 5
I
II
III
I y II
son iguales
9. Restar 1
a)
II.
2
1
3
1
1
4
3
b)
8. Indicar cuál es la mayor diferencia.
3
3
B
calcular "A x B"
a)
B 1
3
3
7
7. Calcular "A - B":
A2
2
A
2
3
1
5
4
7
16.Completa el siguiente cuadro efectuando todas la
divisiones señaladas:
1
2
3
5
3
2
1
2
5
3
MATEMÁTICA SUPERIOR
17. Escribir la expresión más simple equivalente a:
a n al cuadrado
b
7
36
5
a)
d)
1
b)
5
1
20
c)
20
7
1
2
5
2
5
7
e)
a la cuarta
2
3
18
2
al cubo
10
22.Calcular "A + B", si:
18.Simplificar:
1
7
1
3
5
1
1
A
; B
2
4
5
1
3
a) 1
d) 1
1
36
1
12
b) 1
e) 2
1
c) 1
35
1
40
1
a)
d)
35
3
b)
64
1
1
32
c)
4
32
e) 1
2
23.Calcular "a", si:
19.Simplificar:
1 1
1
5 6 12
1
7
5
3
2
5
3
11
a
5
5
3
3
3
a) 1
d) 5
7
20
1
20
b) 2
1
c) 3
20
1
3
2
A
a) 2
d) 1
3
7
1
14
c) 18
24.Calcular el valor del recuadro:
10
5
2
2
2
3
3
20.Calcular "A B", si:
B
b) 17
e) 19
4
1
e) 1
a) 20
d) 15
3
3
5
b) 1
e) 1
1
7
3
9
3
7
c) 2
1
a) 20
b) 10
d) 9
e) 30
25.Calcular el resultado de:
5
2
2
3
2 1
3 3
3
7
Potenciación
21.Escribe en los casilleros en blanco las potencias
indicadas:
c) 12
Dar como respuesta el numerador de la fracción
irreductible.
a) 12
d) 20
b) 14
e) 22
c) 16
Pág. 25
MATEMÁTICA SUPERIOR
Radicación
indicar la suma de cifras de la parte entera.
26.Calcular "A + B", si: A
a) 1
d)
8
c)
2
1
8
1
4
8
a) 6
d) 9
10
b)
9
1
9
;
37
23
;
45
11
b) 7
e) 10
c) 8
3. In di ca r ve rd ad er o (V ) o fa ls o (F ) se gú n
corresponda:
3
c)
10
e) 12
c) 5
2. Convertir a número mixto las siguientes fracciones
e indicar la suma de las partes enteras:
31
2
1 000 3
27
d) 11
b) 3
e) 2
10
27. Calcular:
a)
a) 4
d) 6
1
e)
4
; B3
1
b)
3
27
3
100
24
99
80
=
2
64
9
100
3
28.Simplificar:
=
=
21
3
20
16
25
4
8
...............................(W)
..............................(W)
.................................(W)
1
1 1 1 2
4 9 16
a)
d)
1
b)
144
1
a) F V V
d) V F V
1
c)
9
1
a) 13
d) 8
4
a)
d)
1
b)
3
1
6
2 480
c) 1
3
b) 3
e) 1
2 5 7
; ;
3 6 9
2
c) 0
Continuamos...
1. Transformar a número mixto la fracción 38/3 e
Pág. 26
e indicar la suma del numerador y el denominador
de la fracción irreductible.
a) 92
b) 87
c) 105
d) 67
e) 107
6. Ordenar de mayor a menor las siguientes
fracciones:
6 41
3
61
3 10
5
7
c) 7
1 800
1
1
b) 12
e) 9
5. Simplificar la fracción:
1
3
e) 3
9
30.Efectuar:
a) 2
d) -1
284
1 024
e indicar la suma de cifras del denominador.
29.Simplificar:
4
c) F F F
4. Simplificar la siguiente fracción:
24
e) 1
12
b) F V F
e) V V F
a)
c)
2
3
2
3
;
;
5
6
7
9
;
;
7
9
5
6
b)
d)
7
9
5
6
;
;
5
6
2
3
;
;
2
3
7
9
MATEMÁTICA SUPERIOR
e)
12.Efectuar:
5 7 2
; ;
6 9 3
24 7 30
8 14
15
7. Indicar cuál de las siguientes fracciones es mayor:
a)
d)
1
b)
9
1
e)
2
2
c)
11
3
4
a) 9
d) 3
b) 4
e) 1
13.Efectuar:
36 9 81
20 14 21
4
5
8. ¿Qué parte del total representa la región
sombreada?
indicar el numerador del resultado.
a) 4
d) 6
b) 3
e) 7
14.Restar
23
28
a)
d)
1
b)
2
1
e)
8
1
c)
4
1
3
1
d)
6
d)
2
17
12
b)
e)
2
c)
3
13
4
23
3
12
8
d)
12
18
b)
1
4
2
3
1
d) 9
3
e)
28
3
b)
26
2
e)
3
a) 80
d) 40
7
17
28
3
1
c)
b) 8
1
2
1
4
1
e) 10
3
. Luego sumar el resultado con
c)
33
28
8
7
1
2
c)
1
3
7
24
35
2
de los
de 123.
7
41
1
13
56
11.Efectuar:
a) 9
55
b) 20
e) 50
4
17. A los
9
a) 36
d) 56
2
4
b) 1
e) 1
5
3
.
16.Calcular los
15
56
a)
d)
10.Efectuar:
a)
7
de
c) 5
15.En una granja donde habían gallinas, patos y
conejos, se sabe que los 3/8 son gallinas, y los
patos representan la tercera parte. ¿Qué fracción
representan los conejos?
2 1 3 4
3 2 4 3
15
3
a) 2
9. Efectuar:
a)
c) 2
3
1
18.A los
6
c) 9
4
5
a) 1
d) 2
c) 30
de 54, agregarle los
b) 54
e) 48
3
7
de 28.
c) 60
3
2
5
3
de 1 , agregarle los
de 3
8
5
8
5
31
40
31
40
b) 2
e) 3
21
40
c) 1
21
40
31
40
Pág. 27
MATEMÁTICA SUPERIOR
5
19.Disminuir 3 600 en sus
a) 2 000
d) 1 600
b) 2 400
e) 1 500
a) 9
c) 1 800
d)
b)
7
del costo de un artefacto es S/.48,
11
a) S/.16
d) 177
b) 160
e) 200
90
d) 32
8
11
min
b) 35
min e) 22
1
min c) 1 hora
20
8
b) 7
a) 7 s
1
17
e) 1
2
c) 7
7
1
7
7
17
1
del trabajo
5
1
del trabajo
II. En tres horas, “B” hace
3
III. En dos horas, “B” hace
a) V V V
d) V F V
b) F V F
e) V F F
1
4
del trabajo.
c) F F F
24.Simplificar:
1
1 1 1
1 1 1 1
2 3 4 5
1
1
1 1
1 1 1 1
4
5
2 3
Pág. 28
60
d)
b)
1
e)
3
37
c)
3
1
111
1
37
26.Fortunato ha leído los 17/25 de un libro de 300
páginas. ¿Cuántas páginas le falta leer?
b) 198
e) 100
c) 96
27. Se extraen 4 000 litros de una piscina, llena en sus
2/3, quedando llena hasta sus 3/5. ¿Cuántos litros
faltan para llenar la piscina?
a) 30 000 lts
d) 22 000
b) 12 000
e) 60 000
c) 24 000
1
1
años, Alonso tiene 2
años
3
4
1
más que Octavio. Si Héctor tiene 1
años menos
7
28.Octavio tiene 20
que Alonso, ¿cuál es la suma de las tres edades?
23.Si “A” hace un trabajo en cinco horas y “B” en ocho
horas, entonces responda si es verdadero o falso
según corresponda:
I. En una hora, “A” hace
a)37
a) 196
d) 204
min
11
22.Un caño llena un balde en 30 segundos, otro en 40
segundos y un tercero en 12 segundos. Si se abren
los tres caños, estando vacío el balde, ¿en cuánto
tiempo llenan el balde?
d) 7
4
1
3 4
4 7 3
3
111
7
4
c) 176
21.Un caño llena un tanque en dos horas y otro lo
puede llenar en 45 minutos. ¿En cuánto tiempo
llenarán el tanque ambos caños juntos?
43
c)
e) 15
60
¿cuánto cuesta el artefacto?
a) 1
3
25.Efectuar:
3
20.Si los
9
, queda:
a) 61
d) 60
5
17
5
17
b)
56
e) 64
5
14
5
14
c) 61
5
14
MATEMÁTICA SUPERIOR
MATEMÁTICA SUPERIOR
AUTOEVALUACIÓN
Realiza las siguientes operaciones:
1.
2
5
3
2
2.
1
3
3
a) 1
d) 7
4
b) 3
5
1
13
2
3
7
e) 2
9
c) 5
30
3 1
3
5 2
a) 13
d) 3
c) 2
b) 12
4
e)
7
1
10
10
21
1 1
3. 3 4
3 6
a)
d)
1
b)
2
5
e)
8
4
c)
5
3
7
13
15
4. Simplificar:
2
2
3
a) 11
d) 14
5. Restar
a)
d)
19
20
11
60
b) 12
e) 15
1
27
c) 13
1 1
de
5
3 4
2
b)
e)
31
35
c)
3
5
13
15
Pág. 29
GENERATRIZ DE UN NÚMERO
FRACCIÓN ORDINARIA Y FRACCIÓN
DECIMAL
Se denomina fracción decimal a aquellos que
tienen como denominador a una potencia de 10.
2. Número decimal inexacto
Son aquellos que tienen un número ilimitado de
cifras en su parte decimal. Estos números a su vez
pueden ser:
n
Decimal periódico puro
Es aquel en cuya parte decimal aparece una o
un grupo de cifras que se repite indefinidamente
a partir de la coma decimal.
Se denomina fracción ordinaria a aquellas que
tienen su denominador diferente a una potencia de
10.
Ejemplos:
Ejemplos:
Fracción
1; 3 ;
5
son fracciones decimales.
10 100 1 000
2
3
1 2 7 5
; ; ;
son fracciones ordinarias.
3 5 9 11
13
99
19
27
Número decimal
Es la expresión lineal de una fracción (ordinaria o
decimal) que se obtiene al dividir el numerador entre
el denominador.
Ejemplo:
1
0,2 (resulta de dividir 2 5)
5
2
0,6666... (resulta de dividir 2 3)
3
7
0,466... (resulta de dividir 7 15)
15
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES
1. Número decimal exacto
Son aquellos que tienen un número limitado de
cifras.
Ejemplos:
Fracción Decimal exacto
Pág. 30
1
4
0,25
2
5
0,4
111
200
0,555
n
Decimal
(periódico puro)
0,666...
0,6
0,1313 ...
0,13
0,703703 ...
0,703
Decimal periódico mixto
Es aquel cuyo período empieza luego de una
cifra o un grupo de cifras después de la coma
decimal; a esta cifra o grupo de cifras la
llamamos PARTE NO PERIÓDICA.
Ejemplo:
Fracción
5
6
7
30
1727
9900
0,83333...
0,83
0,2333...
0,23
0,174040...
0,1740
Recuerda: Todas las fracciones tienen representación
decimal; pero existen números decimales donde su
parte decimal tiene infinitas cifras sin presentar período
alguno, estos no pueden expresarse como fracciones.
Ejemplos:
2
1,414213562...
proviene de
-2,20606797...
proviene de 5
3,141592653589799323846... el famoso
Estos números son IRRACIONALES.
MATEMÁTICA SUPERIOR
MATEMÁTICA SUPERIOR
FRACCIÓN GENERATRIZ
Es la fracción que dio origen a un determinado
número decimal.
b) En el denominador escribimos primero tantos
nueves como cifras tenga el período seguido
de tantos ceros como cifras tenga la parte
decimal NO Periódica.
1. Generatriz de un decimal exacto
Ejemplo:
a) Se escribe en el numerador todo el número
decimal, pero sin la coma decimal, como si fuera
un número entero.
b) Se escribe en el denominador la UNIDAD seguida
de tantos ceros como cifras tenga la parte
decimal.
c) Si se puede se SIMPLIFICA.
parte
entera
0,159090... = 0,1590 =
1 575
7
1 590 - 15
=
=
9 900
9 900
44
2 ceros porque hay 2
cifras decimales no
periódicas
2 nueves porque hay 2
cifras en el periodo
Ejemplos:
0,75 =
3
4
75
=
100
2 ceros porque hay dos
cifras en la parte decimal
3,125 =
7,623 =
7 547
7 623 - 76
=
990
990
3 125
25
=
1 000
8
EJERCICIOS PROPUESTOS
3 ceros porque hay tres
cifras en la parte decimal
2. Generatriz de un decimal periódico puro
a) En el numerador se escribe todo el número
decimal (sin la coma decimal) y se resta la parte
entera.
b) En el denominador se escriben tantos nueves
como cifras tenga el PERÍODO.
c) Se SIMPLIFICA, si se puede.
Hallar la fracción generatriz de:
1. 0,6
2. 0,33
3. 0,125
4. 0,13
5. 0,234
6. 0,136
Ejemplo:
parte
entera
0,545454... = 0,54 =
54 - 0
54
6
=
=
99
99
11
2 nueves porque
hay dos cifras en
el período
parte
entera
7. 3,4
8. 1,26
9. 2,45
10. 1,35431
1. Hallar “a” sabiendo que:
a,8a =
612
618 - 6
68
=
=
6,18 =
99
11
99
3. Generatriz de un decimal periódico mixto
a) Se escribe en el numerador todo el número
decimal como si fuera un número entero y
restamos el número que se forma sin considerar
el período.
a) 1
d) 4
9 2
2 3
b) 2
e) 5
c) 3
2. Calcular el valor de “x” si se cumple que:
0,5 =
a) 5
d) 2
b) 4
e) 1
x
9
c) 3
Pág. 31
3. Hallar “m” si se sabe que:
0,2n =
a) 1
d) 7
10.Calcular la raíz cuadrada de “A”, si:
m
11
b) 3
e) 9
A = (99,777...) + (0,222...)
c) 5
4. Hallar la fracción generatriz equivalente a:
0,13 + 2,333...
a) 6
d) 9
b) 10
e) 100
11.Halle el resultado exacto de las divisiones siguientes,
expresando el resultado en forma de fracción:
a. 1,24 ÷ 1,3 = .........
dar como respuesta el denominador de la fracción
irreductible.
b. 1,13 ÷ 0,4 = .........
a) 30
d) 37
d. 3,2 ÷ 0,34 = .........
b) 90
e) 300
c) 11
c) 900
c. 2,6 ÷ 1,8 = .........
e. 1,46 ÷ 3,2 = .........
5. Hallar el resultado exacto de la operación siguiente,
expresando el resultado en forma de fracción:
f. 2,06 ÷ 0,123 = .........
12.Calcular:
0,4242... + 1,4242...
a)
14
33
b)
d)
61
33
e)
13
333
c)
0,28444...
29
90
23
61
6. Hallar la fracción generatriz equivalente a restar
0,312 de 1,003 . Dar como respuesta el numerador
a) 1,6777...
b) 3,3555...
d) 1,5333...
e) 0,5333...
13.Hallar el valor de “B”:
2
de la fracción irreductible.
104
33
563
d)
999
a)
135
99
230
e)
333
b)
B=
c)
334
333
c) 2,3555...
a) 1
d) 4
0,72 ÷
b) 2
e) 0
0,36
c) 3
14.Efectuar:
7. Restar: 0,563 de 1,046 ; dar como respuesta el
numerador de la fracción irreductible.
a) 563
d) 203
b) 136
E) 482
c) 1045
8. A qué es igual:
(6,888...) - (0,888...)
a) 5
b) 6
d) 8
e) 6
c) 7
3
11
(483,12414141...) - (0,12414141...)
a) 483
d) 815
K = (36,444...) + (27,555...)
a) 8
d) 9
b) 10
e) 64
c) 11
16.Efectuar:
-1
5,212121... - 1,212121...
98,222... 1,777...
(115,15626262...) - (0,15626262...)
Pág. 32
c) 485
15.Calcular la raíz cuadrada de “K” si:
9. Efectuar:
a) 115
d) 15
b) 810
e) 109
b) 113
e) 10
c) 110
a) 20
b) 25
d) 50
e)
1
20
c) 30
MATEMÁTICA SUPERIOR
MATEMÁTICA SUPERIOR
17. Efectuar:
4. Si: p + q = 8, hallar la fracción generatriz del
924,3555... - 24,3555...
97,666... 2,333...
a) 6
d) 10
b) 5
e) 3
resultado de sumar los números decimales "0, pq"
y "0, qp".
c) 4
a)
18.¿Qué fracción deberíamos aumentar a 0,7333...
para que sea igual a la unidad?
a)
d)
11
b)
15
4
e)
15
3
c)
5
2
3
36
25
e)
12
25
c)
22
25
4
5
15
a)
0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 0,29
d)
1,18 - 0,8
a) 11
d) 14
25
b)
5. Efectuar: 0,02 + 0,202 , y dar como respuesta la
fracción generatriz de la suma.
7
19.El resultado de operar:
E=
d)
11
b) 12
e) 15
2
9
3
5
b)
e)
3
7
c)
1
9
1
4
c) 13
20.Al comprar 33 artículos de S/. 0,15 en lugar de
comprar 36 artículos de S/. 0,2 ; ¿cuánto ahorro?
a) S/.1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
AUTOEVALUACIÓN
1. Reducir:
(0,23)(0,23)
; e indicar la respuesta como
(0,23)
número decimal.
a) 0,2
d) 0,13
2. Si: 0, ab
b) 0,231
e) 0,91
8
11
c) 0,321
; calcular "a+b"
a) 8
d) 9
b) 7
e) 10
c) 6
3. Sabiendo que "0, mn" es un número decimal de
fracción generatriz
a) 7
d) 9
4
25
, calcular "m+n"
b) 6
e) 11
c) 5
Pág. 33
PORCENTAJES
Ejemplos:
a. El 30 % de 50
Tanto por Ciento
30
.50 15
100
b. El 13 % de 100 =
Si una cantidad se divide en 100 partes iguales, cada
1
del total, que se puede
parte representa
100
representar por 1 %, al que denominaremos "uno por
ciento".
Así por ejemplo: El cuadrado grande ha sido dividido
en 100 partes iguales, donde la parte sombreada es:
25
100
25.
1
100
25 %
c. El 40 % de 75 =
d. El 115 % de 48 =
2. Cuando se tenga porcentaje de porcentaje;
una forma práctica es convertir cada uno a
fracción y luego se efectúa la multiplicación.
Ejemplos:
a. Calcular el 15 % del 20 % de 1 200.
15
100
Y la parte no sombreada es:
20
100
1 200 36
b. Calcular el 20 % del 30 % del 10 % de 10 000.
75
1
75.
75 %
100
100
c. Calcular el 50 % del 20 % de 90.
* Porcentajes notables
• 100 %
•
50 %
•
25 %
100
100
50
100
25
100
1 (Es igual al total)
1
2
1
4
(Es igual a la mitad del total)
•
75 %
20 %
75
100
3
4
e. Calcular el 125 % del 40 % de 7 000.
(Es igual a la cuarta parte del
3. Los porcentajes se pueden sumar o restar si
son referidos a una misma cantidad.
total)
•
d. Calcular el 40 % del 25 % del 9 % de 130.
(Es igual a los
3
del total)
4
20
1
(Es igual a la quinta parte del
100
5
total)
Ejemplos:
a. 10 % A + 20 % A = 30 % A
b. 23 % N + 46 % N =
c. B + 13 % B =
d. N - 13 % N =
e. Cuánto obtenemos si:
* Cálculo de porcentajes
* 20 aumenta en 10 % =
1. Porcentaje de una cantidad
* 30 aumenta en 80 % =
El a % de N
Pág. 34
a
100
.N
* 75 disminuye en 20 % =
* 60 disminuye en 5 % =
MATEMÁTICA SUPERIOR
MATEMÁTICA SUPERIOR
4. En a lgunos c a s os pa ra el c á lc ulo de
porcentajes es conveniente emplear una
Regla de Tres simple directa. Toda cantidad
referencial, respecto a la cual se va calcular
un porcentaje, se considera como el cien por
ciento (100 %).
Ejemplos:
a. ¿Qué porcentaje es 133 de 380?
cantidad
porcentaje
380
100 %
133
x
x
133 100 %
380
2. Representa como "Tanto por Ciento" las siguientes
fracciones:
a.
b. 3
4
c.
d.
35 %
e.
b. ¿De qué cantidad es 520 su 65 %?
4
5
3
20
17
25
7
10
3. Calcular los siguientes porcentajes:
cantidad
porcentaje
520
65 %
x
100 %
a. El 15 % de 100 =
b. El 8 % de 10 =
c. El 17 % de 400 =
x
520 100 %
65 %
d. El 23 % de 4 500 =
e. El 45 % de 900 =
c. En un aula de 50 estudiantes 30 son mujeres,
¿qué porcentaje representan?
cantidad
porcentaje
50
100 %
30
x
x=
1. Representa los siguientes "Tanto por Ciento" como
fracción:
a
.
2
0
%
=
b
.
5
5
%
=
.
8
0
2
d
.
1
e
.
5
%
0
%
a. 800 aumenta en un 20 %.
b. 700 aumenta en 30 %.
c. 150 disminuye en 40 %.
d. 1 100 disminuye en 10 %.
EJERCICIOS PROPUESTOS
c
4. Cuánto obtenemos si:
5. Indicar el resultado de:
a. El 20 % del 50 % de 100.
b. El 15 % del 60 % de 4 800.
c. El 30 % del 10 % del 13 % de 10 000.
=
%
e. 240 disminuye en 90 %.
d. El 80 % del 60 % del 50 % de 25.
=
6. ¿Qué porcentaje de 40 es el doble de 4?
=
Rpta.:
Pág. 35
7. ¿Qué porcentaje de 440 es 1 100?
Rpta.:
8. ¿Qué porcentaje es 330 de 1 100?
Rpta.:
9. ¿De qué cantidad es 819 su 18 %?
Rpta.:
10.¿Qué porcentaje del 4 % de 50 es el 8 % de 200?
Rpta.:
17. Rubí por el día de su cumpleaños recibe S/. 200
de propina, gasta el 30 % en un polo y luego gasta
el 50 % de lo que le queda en un pantalón,
¿cuánto dinero aún le queda?
a) S/. 70
d) 20
b) 60
e) 120
c) 40
18.La edad de Gabriela es el 90 % de la edad de
Andrea. Si la edad de Andrea es el 80 % de la
edad de Carlos, ¿qué edad tiene Gabriela, si Carlos
tiene 25 años?
a) 12 años
d) 24
b) 18
e) 20
c) 16
19.De una granja se obtienen los siguientes datos:
11.En el almacén de una escuela se malograron ocho
bolsas de leche de las 25 que había, ¿qué
porcentaje de bolsas de leche se malogró?
a) 30 %
d) 68 %
b) 32 %
e) 20 %
c) 70 %
N
°
d
e
g
a
l
l
i
N
°
d
e
p
o
l
l
o
s
:
1
N
°
d
e
g
a
l
l
o
s
:
9
N
°
d
e
p
a
v
o
s
:
1
¿
12.De las 10 flores que Paúl le regaló a Carla tres
eran rosas, ¿qué porcentaje representan las rosas?
a) 20 %
d) 35 %
b) 25 %
e) 70 %
c) 30 %
13.El 55 % de estudiantes del colegio TRILCE son
mujeres. Si el colegio tiene una población total de
1 200 alumnos, ¿cuántos de ellos son hombres?
a) 550
d) 540
b) 650
e) 640
c) 700
14 En una granja hay 80 000 aves. Se sabe que el 50
% son gallinas; el 35 % patos y el resto pavos.
Debido a una rara enfermedad se van a sacrificar
al 10 % de las gallinas, al 35 % de los patos y al 50
% de los pavos. ¿Cuántas aves quedarán en la
granja?
a) 60 000
d) 26 000
b) 62 000
e) 60 200
c) 60 020
15.En una reunión el 42 % de los asistentes son
mujeres. Si el número de hombres es 87, ¿cuántas
personas en total asistieron a la reunión?
a) 130
d) 150
b) 120
e) 200
c) 160
16.El 20 % del 30 % de 500 es igual al número ab .
Hallar "a × b".
a) 6
d) 0
Pág. 36
b) 12
e) 15
c) 18
Q
u
é
p
o
r
c
n
e
a
n
s
t
:
a
9
j
e
0
d
0
5
0
0
1
9
1
e
l
t
o
t
a
)
2
0
%
b
)
2
5
%
d
)
4
0
%
e
)
1
8
%
a
l
s
o
n
l
a
s
g
c
a
)
l
l
3
i
n
0
a
s
?
%
20. ¿Qué porcentaje aproximadamente del total
representan los pavos?
a) 25 %
b) 2,5 %
c) 0,25 %
d) 0,025 % e) 33,3 %
21. Una familia tiene ingresos mensuales de S/. 3
200 y la distribución de sus gastos se muestra
en el siguiente gráfico:
20 %
educación
10 %
vivienda
45 %
alimentos
10 %
salud
a. ¿Cuánto gastan en alimentos?
b. Luego de un año, ¿cuánto podrán ahorrar?
c. ¿Cuánto gastan mensualmente en educación?
MATEMÁTICA SUPERIOR
MATEMÁTICA SUPERIOR
AUTOEVALUACIÓN
1. Calcular el 20 % del 30 % de 2 400
a) 288
d) 96
b) 168
e) 144
c) 72
2. ¿Qué porcentaje de 60 es el doble de 3?
a) 10 %
d) 14 %
b) 20 %
e) 15 %
c) 30 %
3. ¿De qué número es 126 su 30 %?
a) 420
d) 478
b) 520
e) 378
c) 240
4. Calcular el 30 % del 4 por 8 de 1 000.
a) 240
d) 180
b) 200
e) 300
c) 150
5. De las 12 flores que Joel le regaló a Lucía, tres
eran rosas. ¿Qué porcentaje representan las rosas?
a) 30 %
d) 55 %
b) 25 %
e) 75 %
c) 60 %
Pág. 37
AUMENTOS Y DESCUENTOS
PORCENTUALES
80
90
95
68,4
68,4%
100 100 100 100
Por lo que el descuento único sería:
100 % - 68,4 % = 31,6 %
Aumentos sucesivos
Ejemplos:
1. ¿A qué aumento único equivale los descuentos
sucesivos del 5 %; 20 % y 40 % de una misma
cantidad?
Solución:
3er. aumento
5 % : 105 % (Nuevo total)
20 % de lo anterior:
[120 % (105 %)] Nuevo total
40 % de lo anterior:
140 % [120 % (105%)] Total
Luego de los aumentos sucesivos se tiene:
140
100
120
100
Aumento único:
Aumento único:
2. Pilar vende su casa en 100 000 soles gasta el 20 %
de lo que tiene, luego el 30 % de lo que le queda y
por último gasta el 40 % del nuevo resto. ¿Cuánto
dinero le queda?
Solución:
Inicial: 100 %
1er. aumento
2do. aumento
2do. descuento 10 % entonces queda ahora:
90 %(95 %)
3er. descuento: 20 % de
Queda: 80 % [90 % (95 %)]
Luego del tercer segundo, sólo resta:
105
100
176,4
100
176,4 %
176,4 % - 100 %
76,4 %
2. Yuli en el mes de enero gana S/. 800. Si en febrero
le aumentan un 20 % y en julio, recibe un nuevo
aumento del 20 %, ¿cuánto ganará luego del
segundo aumento?
Inicial es 100 %
1er. descuento: 20 % queda: 80 %
2do. descuento: 30 % entonces ahora le queda
70 % (80 %)
3er. descuento: 40 % de lo que tiene: queda:
60 % [70 % (80 %)]
4to. del total: 100 000
{60 % [70 % (80 %)]} × 100 000
60
70
80
100 000
100 100 100
S/. 33 600
Respuesta: Aún le queda S/. 33 600
Solución:
EJERCICIOS PROPUESTOS
Inicial 100 %
1er. aumento 20 % : 120 % (Nuevo total)
2do. aumento 20 % de lo anterior:
[120 % (120 %)] Nuevo total
3er. del total: 800
[120 % (120 %)] × 800
120 120
800 144 8
100 100
= S/. 1 152
Respuesta: Ganará S/. 1 152
Descuentos sucesivos
Ejemplos:
1. ¿A qué descuento único equivale los descuentos
sucesivos de 5 %; 10 % y 20 %?
Solución:
Inicial 100 %
1er. descuento 5 % queda: 95 %
Pág. 38
I. Determinar en cada caso el aumento único
equivalente a los aumentos sucesivos de:
1. Del 8 % más el 50 %
a) 26 %
d) 75 %
b) 34 %
e) 82 %
c) 62 %
2. Del 5 % y el 80 %
a) 49 %
d) 89 %
b) 98 %
e) 37 %
c) 56 %
3. Del 20 % más el 60 %
a) 29 %
d) 78 %
b) 52 %
e) 92 %
c) 43 %
4. Del 5 %; 25 % y 28 %
a) 34 %
d) 86 %
b) 68 %
e) 58 %
c) 57,1 %
MATEMÁTICA SUPERIOR
MATEMÁTICA SUPERIOR
5. Del 10 %; 20 % y 50 %
a) 80 %
d) 98 %
b) 55 %
e) 48 %
c) 75 %
II. En cada caso calcular el descuento único
equivalente a los descuentos sucesivos de:
6. Del 10 % y 20 %
a) 14 %
d) 84 %
b) 28 %
e) 30 %
c) 56 %
7. Del 5 % más el 10 %
a) 12 %
d) 18 %
b) 14,5 %
e) 20 %
c) 16 %
8. Del 36 % y 25 %
a) 25 %
d) 60 %
b) 52 %
e) 61 %
c) 30 %
9. Del 5 % más el 10 % más el 40 %
a) 24,7 %
d) 48,7 %
b) 32,6 %
e) 55 %
c) 47,2 %
10.Del 16 %; 20 % y 25 %
a) 69,4 %
d) 49,6 %
b) 28,3 %
e) 61 %
c) 17,2 %
11.Rita en el mes de enero gana S/. 1 000. Si en
febrero le aumentan un 20 % y en julio recibe un
nuevo aumento del 20 %, ¿cuánto ganará luego
del segundo aumento?
a) S/. 1 100
d) 1 352
b) 1 400
e) 1 440
c) 1 152
12.Por ocasión se vende un automóvil a $ 1 400 con
un descuento del 10 % pero al momento de
cancelar se observa un desperfecto por lo que se
aplica un segundo descuento del 30 %. ¿Cuánto es
el precio a pagar?
a) $ 852
d) 958
b) 774
e) 780
c) 882
13.El precio de una computadora es de $ 800 pero en
el mes de enero subió en un 25 % y en febrero se
volvió a incrementar en un 30 %. ¿Cuál es el nuevo
precio?
a) $ 900
d) 1 200
b) 1 000
e) 1 300
c) 1 100
14.Del problema anterior en cuánto incremento su
precio. Determinar la suma de cifras de dicho
incremento.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
15.Del problema N° 3 pero si en el mes de julio bajó
20 % y en noviembre vuelve a bajar su nuevo precio
en 10 %. ¿Cuánto cuesta ahora la computadora?
a) $ 486
d) 634
b) 936
e) 732
c) 576
16.Adriana recibe de propina S/. 100 pero debido a
sus excelentes calificaciones en el segundo y tercer
bimestre sus padres deciden aumentarle 25 % más
el 32 %. ¿Cuánto recibe de propina actualmente
Adriana?
a) S/. 145
d) 160
b) 150
e) 165
c) 155
17. Por temporada de invierno el dueño de un gimnasio
decide hacer un descuento del 5 % y en el siguiente
mes hace otro descuento de 15 %. Si se sabe que
inicialmente costaba S/. 120 la mensualidad,
¿cuánto se pagará luego de los descuentos que ha
ofrecido el dueño?
a) S/. 108
d) 96,9
b) 110
e) 100
c) 90
18.Un comerciante compra un televisor en $ 300 y
para venderlo incrementa su precio en 20 %. Luego
de algunos meses en que no pudo venderlo se ve
en la necesidad de rebajar el nuevo precio en un
20 % y logra venderlo al fin. ¿Ganó o perdió?
¿Cuánto?
a)
b)
c)
d)
e)
No gana ni pierde
Ganó $ 12
Perdió $ 12
Ganó $ 24
Perdió $ 24
19.Rodolfo gana S/. 600 si en marzo le aumentaron
el 30 % de su sueldo, en noviembre por cuestiones
de tardanza le disminuyen el 15 % del nuevo sueldo.
¿Cuánto gana después del último descuento?
a) S/. 500
d) 663
b) 550
e) 680
c) 600
20.Cada dos años aumenta el alquiler de una casa en
10 %. Si el comienzo del quinto año debe pagarse
S/. 3 630, ¿cuál fue el alquiler inicial?
a) S/. 1 500
d) 3 000
b) 2 000
e) 3 600
c) 2 700
Pág. 39
21.¿Cuánto costó un televisor que al venderlo en $
390 deja una pérdida de $ 72?
a) $ 318
d) 300
b) 462
e) 372
c) 534
22.Se compra un artículo y luego se vende ganando
S/. 237, ¿cuál es el precio de costo del artículo, si
se vendió en S/. 1 015?
a) S/. 778
d) 890
b) 1 252
e) 1 200
c) 780
23.Se compra una motocicleta en $ 500. Si se quiere
ganar la mitad del costo, ¿a cómo debemos
venderla?
a) $ 250
d) 1 000
b) 500
e) 800
c) 750
24.Al vender una refrigeradora en $ 600 se está
ganando la mitad del precio de costo. ¿Cuánto
costó la refrigeradora?
a) $ 300
d) 500
b) 400
e) 200
c) 450
25.Se fija el precio de una casa en $ 24 000 de tal
manera que al venderlo se hará un descuento de $
2 100 y aún así se estará ganando $ 4 300. ¿Cuál
es el precio de costo de la casa?
a
c
e
)
)
)
$
1
7
6
0
2
1
9
0
0
1
8
6
0
0
0
b
)
2
6
2
0
0
d
)
1
9
7
0
0
AUTOEVALUACIÓN
1. Ruby Karol vendió dos bicicletas a $ 240 cada una.
Si en una de ellas ganó el 20 % y en la otra perdió
e
l
20 % de su precio de costo, ¿cuánto ganó o perdió
en este negocio?
a)
b)
c)
d)
e)
no ganó ni perdió
ganó $ 20
perdió $ 20
ganó $ 100
perdió $ 100
2. ¿Cuál fue el costo de un artefacto, al cual se le fijó
un precio de $ 300 y cuando se comercializó se
hizo un descuento del 40 %, pero aún así se ganó
el doble de la inversión?
a) $ 120
d) 60
b) 180
e) 100
c) 240
3. Katherine va a comprar cierto número de metros
de tela a S/. 15 el metro. Pero como le hacen un
descuento del 20 % en el precio por metro, pudo
comprar tres metros más. ¿Cuántos metros compró
y cuánto pagó?
a) 15 m y S/. 120
c) 12 m y S/. 180
e) 12 m y S/. 150
b) 15 m y S/. 180
d) 12 m y S/. 160
4. Si al precio de un objeto se le recarga el 20 %
resulta igual al precio de otro descontado en un 30
%. Si el primero cuesta S/. 17 500, ¿cuál es el
precio del segundo?
a) S/. 20 000
000
b) 24 000
d) 28 000
c) 2
5
e) 30 000
5. Un televisor se vendió en $ 414 ganándose el 15 %
del precio de costo. Si se quisiera ganar el 10 %
del precio de venta, ¿a cómo se debe vender?
a) $ 400
d) 450
Pág. 40
b) 390
e) 396
c) 420
MATEMÁTICA SUPERIOR
MATEMÁTICA SUPERIOR
REGLA DE TRES SIMPLE
Regla de Tres
2. Regla de tres simple inversa
"Cuando las magnitudes que intervienen son
inversamente proporcionales (I.P.)".
Magnitud "A"
Es un método especial de solución para problemas
de magnitudes proporcionales donde intervienen dos
o más magnitudes.
I.P.
Magnitud "B"
a
b
c
x
Regla de Tres Simple
En este caso intervienen sólo dos magnitudes
proporcionales. Conociéndose tres valores, dos
pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a
la otra magnitud, se debe calcular el cuarto valor.
Dependiendo de las magnitudes que intervienen,
la regla de tres simple puede ser:
1. Directa
2. Inversa
1. Regla de tres simple directa
"Cuando las magnitudes que intervienen, son
directamente proporcionales (D.P.)".
Magnitud "A"
D.P.
Magnitud "B"
a
Método práctico:
Ejemplo:
a
c
Si una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en
12 días, ¿con cuántos obreros se hará la misma
obra en 15 días?
Resolución: Las dos magnitudes que intervienen
son: obreros y tiempo; pues la obra es la misma.
Notamos que a "mayor" número de días se
necesitará "menor" número de obreros.
Obreros
I.P.
Tiempo
10
12
x
15
b
c
x b
x 10
x
12
15
8 días
Problemas resueltos
x b
Método práctico:
c
1. Un barco tenía 1 900 kg de alimentos que serviría
para un viaje de 38 días; sin embargo, el viaje
sólo duró 30 días. Calcule qué cantidad de
alimentos sobró.
a
Ejemplo:
Si un carpintero hace 35 carpetas en una semana,
¿cuántas carpetas fabricará en 12 días?
Resolución: Las magnitudes que intervienen son: obra
y tiempo.
Notamos que a "mayor" tiempo el carpintero podrá
fabricar "mayor" número de carpetas.
¡Ah! además los valores de una magnitud deben estar
en las mismas unidades.
Así: 1 semana = 7 días.
Obra
D.P.
Tiempo
(N° de carpetas)
(días)
35
7
x
12
x 35
12
7
60 carpetas
Resolución:
Si el viaje duró "MENOS" días se habrá utilizado
"MENOS" alimento (D.P.)
alimentos (Kg)
D.P.
Tiempo
1 900
38
x
30
x 1900
30
38
x 1500 kg
Se utilizó 1 500 kg
entonces sobró: 1900 - 1500 = 400 kg
2. Un barco tiene víveres para 33 días, pero al inicio
de la travesía se suman cuatro personas más y
por ello los víveres sólo alcanzan para 30 días.
¿Cuántas personas habían inicialmente en el barco?
Pág. 41
Resolución:
Las magnitudes que intervienen son "N° de
personas" y "N° de días"
Sea "x" el N° de personas que había inicialmente:
N° de personas
I.P.
4. Un grupo de 24 náufragos llegan a una isla y tienen
víveres para 40 días. Si luego de 13 días seis
náufragos fallecen, ¿cuántos días más podrán durar
los víveres para los restantes?
Resolución:
N° de días
x
24 náufragos en 27 días
33
x+4
13 días
se comió
30
FALTA
18 náufragos en "x" días
Se debe cumplir:
x4 x
x4 x
33
Náufragos
I.P.
días
30
24
27
18
x
11
10
10 x 40 11x
x 27
x 40
Rpta.: Habían 40 personas inicialmente en el
barco.
3. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días,
después de cinco días de trabajo se retiran tres
obreros. ¿Con cuántos días de atraso se terminó
la obra?
24
18
x 36 días
A los náufragos restantes les durará:
36 - 27 = 9 días más.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resolución:
En este tipo de problemas debemos plantear la
regla de tres en "lo que falta" por hacer.
8 obreros en 15 días
5 días
se hizo
a) 20
d) 30
er
Obreros
x 15
do
I.P.
tiempo
8
15
5
x
8
x 24 días
5
Retraso = 24 - 15 = 9 días
Rpta.: La obra se entregó con nueve días de atraso.
Pág. 42
b) 24
e) 36
c) 26
2. Un carpintero tarda 21 días en fabricar siete mesas.
¿Cuántos días necesitará para fabricar cinco mesas?
FALTA
5 obreros en "x" días
1. Doce obreros pueden construir un muro en 20 días.
¿Cuántos días emplearán 10 obreros en hacer el
mismo muro?
a) 35
d) 15
b) 3
e) 147/5
c) 105
3. Si 32 metros de cable cuestan S/. 16, ¿cuánto
costarán 96 metros del mismo cable?
a) 48
d) 192
b) 38
e) 46
c) 96
4. Un auto de carrera recorre 570 km en tres horas,
¿qué distancia recorrerá en cinco horas si viaja a
la misma velocidad?
a) 900 km
d) 1050
b) 950
e) 1150
c) 850
MATEMÁTICA SUPERIOR
MATEMÁTICA SUPERIOR
5. Si siete cuadernos cuestan S/. 21, ¿cuántos podré
comprar con S/. 51?
a) 10
d) 15
b) 6
e) 17
c) 13
6. Si 21 obreros tardan 10 días en hacer una obra,
¿cuántos obreros se necesitarán para hacer la
misma obra en 15 días?
a) 10
d) 14
b) 13
e) 11
c) 15
7. La habilidad de dos obreros es como 7 es a 12.
Cuando el primero haya hecho 560 m de una obra,
¿cuánto habrá hecho el otro?
a) 990 m
d) 480
b) 960
e) 500
c) 1000
8. La habilidad de dos operarios es como 15 es a 12,
cuando el primero haya hecho 195 metros de obra,
¿cuántos metros habrá hecho el segundo?
a) 152
d) 180
b) 156
e) 200
c) 162
9. Con 20 litros de leche se fabrican 2 kg de
m an t eq u il l a; ¿c u án t os li t ro s d e l e ch e s e
necesitarán para fabricar 50 kg de mantequilla?
a) 5
d) 1 000
b) 50
e) 100
c) 500
10.Ocho agricultores pueden cosechar un terreno en
seis días. Si fueran doce agricultores, ¿cuántos días
antes terminarían?
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
11.Una casa puede ser hecha por 30 obreros en 15
días. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la
obra se termine en 10 días?
a) 10
d) 45
b) 15
e) 30
c) 20
12.Para hacer una obra se han empleado 54 hombres
durante 15 días. ¿Cuántos hombres hubieran hecho
la misma obra en 18 días?
a) 15
d) 45
b) 30
e) 60
c) 35
13.Hace ocho meses que obtuve mi carné universitario
por lo que me he ahorrado S/. 300 en pasajes.
¿Cuánto me hubiese ahorrado si hubiese obtenido
este carné hace un año?
a) S/. 400
d) 460
b) 430
e) 480
c) 450
14.Si 100 naranjas cuestan S/. 90, ¿cuánto costarán
dos docenas?
a) S/. 21,6
d) 5
b) 22,8
e) 22
c) 23,5
15.Para pintar una pared de 45 m2 se necesitaron
seis galones de pintura. ¿Cuántos galones de
pintura serán necesarios para pintar una pared de
75 m2?
a) 8
d) 11
b) 9
e) 12
c) 10
16.La habilidad de dos operarios están en la relación
de 5 a 12. Cuando el primero haya hecho 180
metros de obra, ¿cuántos metros habrá hecho el
otro?
a) 428
d) 532
b) 432
e) 540
c) 440
17. Con 16 obreros puede terminarse una obra en 63
días. ¿Cuántos obreros se tendrán que contratar si
se quiere terminar la obra en 36 días?
a) 15
d) 25
b) 35
e) 28
c) 20
18.Treinta y nueve tripulantes de un barco tienen
víveres para 22 días. Si sólo fueran 33 tripulantes,
¿cuántos días les duraría los víveres?
a) 18
d) 28
b) 22
e) 32
c) 26
19.Una persona gasta en fumar, en un año bisiesto S/
. 6 222. ¿Cuánto gasta semanalmente en este vicio?
a) S/.17
d) 102
b) 34
e) 119
c) 51
20.Una casa podría ser construida por 24 albañiles en
36 días. Pero si al empezar la construcción sólo se
cuenta con 18 albañiles; ¿cuántos días demorará
la construcción de la casa?
a) 30
d) 45
b) 38
e) 32
c) 48
Pág. 43
21.Un ejército de 1 200 hombres tiene víveres para
15 meses. Si se quiere que los víveres alcancen
para 20 meses, ¿cuántos soldados deben ser dados
de baja?
a) 100
d) 400
b) 200
e) 600
c) 300
22.Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 8 m
de lado en cinco días. ¿Cuántos días más se
demorará en sembrar otro terreno cuadrado de
16 m de lado?
a) 10
d) 15
b) 5
e) 18
c) 20
23.El cabello humano crece 5 mm cada 20 días, ¿en
cuántos días crecerá 30 cm?
a) 1 500
d) 1 300
b) 1 800
e) 2 100
c) 1 200
24.Para cortar un árbol en dos partes me cobran S/
.10. ¿Cuánto me cobrarán para cortarlo en cinco
partes?
a) S/. 25
d) 50
b) 30
e) 60
c) 40
AUTOEVALUACIÓN
1. Un grupo de jardineros emplean seis días en cultivar
420 m2. ¿Cuántos días más emplearían en cultivar
560 m2?
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
2. Treinta obreros construyeron una casa en 28 días,
¿cuántos días antes hubieran terminado si hubieran
sido cinco obreros más?
a) 3
d) 8
b) 4
e) 5
c) 6
3. Una fábrica de conservas tiene una producción
mensual de 9100 latas y 13 máquinas trabajando.
Si tres máquinas se malogran, ¿en cuánto
disminuye la producción mensual?
a) 6 300
d) 3 500
b) 2 800
e) 2 100
c) 3 000
4. Un barco tiene víveres para 13 días y 30 tripulantes.
Si cuatro de ellos no pueden viajar, ¿para cuántos
días más podrán durar los víveres?
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
5. Un caballo atado a una cuerda de 3 m de longitud,
puede comer todo el pasto que está a su alcance
en cuatro días. ¿Cuántos días demorará si la cuerda
midiera 6 m?
a) 8
d) 14
Pág. 44
b) 10
e) 16
c) 12
MATEMÁTICA SUPERIOR
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