Carta de Smith
Γ= U+ jV
Fue desarrollada por PHILLIP HAGAR SMITH
un ingeniero eléctrico en 1939 y se
fundamenta en dos conjuntos de círculos
ortogonales. Smith desarrolló la carta
mientras trabajaba en los laboratorios Bell
con el objetivo de encontrar un método
gráfico y un poco más sencillo para resolver
problemas relacionados con las líneas de
transmisión.
Sin embargo, para efectos prácticos se
realizará un cambio de variable en donde,
Dicha carta surgió debido a que Smith tenía
un problema al querer emparejar una línea de
transmisión con una antena por su tamaño. La
primera solución gráfica que diseñó fue en la
forma de diagrama rectangular y poco a poco
fue desarrollando una serie de pasos, pero
esta primera carta era limitada por la gama de
datos que se podía acomodar. Al tiempo,
específicamente en 1936 él hizo un nuevo
diagrama que eliminó gran parte de las
dificultades, esta era de forma coordenada
polar especial, con el cual podía acomodar
todos los valores de los componentes de la
impedancia.
U=x ^ V=y
A continuación, se podrá observar una serie
de distintas ecuaciones creadas a la hora de
variar el valor constante de la resistencia
normalizada r, desde 0 hasta 2 con un paso de
0.5.
Ahora, se puede observar en la figura 1 la
gráfica de las ecuaciones anteriormente
mencionadas.
La Carta de Smith es un diagrama polar que
contiene círculos de resistencia, círculos de
reactancia, círculos de relación de onda
estacionaria constantes y curvas radicales que
representan los lugares geométricos de
desface en una línea de valor constante; que
nos sirve para calcular parámetros de
impedancia, admitancia entre otros,
orientado hacia antenas y líneas de
transmisión.
Origen de la Carta de Smith
Dado una resistencia (r) y una reactancia (X)
normalizada, se puede graficar el coeficiente
de transmisión para una impedancia
determinada.
Antes de iniciar se debe recordar la formula
del coeficiente de transmisión:
Figura 1. Gráfica de impedancias con distintos
valores de r constante.
Como se puede observar, a medida que el
valor de la resistencia normalizada crece, el
diámetro del circulo decrece.
A continuación, se podrá observar una serie
de distintas ecuaciones creadas a la hora de
variar el valor constante de reactancia
normalizada X, desde 0.5 hasta 2 con un paso
de 0.5.
específico, la magnitud de Γ tiene un valor
igual a 1 y se puede encontrar un valor de la
impedancia normalizada igual a infinito lo
cual conlleva a un circuito abierto.
En la figura 3 se podrá observar ambas figuras
en el mismo plano. Y en la figura 4, se tiene la
Carta de Smith.
Ahora, se puede observar en la figura 2 la
gráfica de las ecuaciones anteriormente
mencionadas.
Figura 3. Gráfica de impedancias con distinto
valores constantes de r y X.
Figura 2. Gráfica de impedancia con distintos
valores de X constante.
Al igual que en la figura 1, en la figura dos
también se observa que a medida que la
reactancia normalizada crece, el diámetro de
estos círculos decrece. Si los valores de X
hubieran sido negativos, los círculos
mapeados serían igual solo que reflejados con
respecto al eje x. Del mismo modo, los
círculos mapeados hubieran descrito una
impedancia capacitiva en vez de una
inductiva.
En las dos series de círculos tangenciales de la
figura 1 y 2, el punto en donde se cruzan es en
el par ordenado de (0,1). En este punto en
Figura 4. Carta de Smith Black Magic Design
Explicación de los ejes de la carta de Smith
En la carta de Smith los ejes se pueden utilizar
para ubicar impedancias y admitancias
normalizadas, cómo se aprecia en la figura
inferior el eje horizontal en la carta
representa los valores con impedancias
meramente reales además es importante
notar como en esa recta están todos los
valores resistivos desde un corto circuito
hasta un circuito abierto, este eje representa
los casos en que la parte imaginaria de la
impedancia de carga nula.
En la imagen anterior podemos observar
como la componente imaginaria y la
componente real del coeficiente de reflexión
en la carga siguen un orden similar al de las
coordenadas rectangulares.
Conforme la magnitud de la reactancia en la
carta aumenta las líneas que inician en el
punto de impedancia infinita se desvían del
extremo del corto circuito, en la figura inferior
las líneas verdes son tres de estas curvas en la
que la reactancia es constante.
Las curvas azules en la figura anterior
representan círculos de resistencia constante,
es decir, círculos en los que la parte real de la
impedancia de carga normalizada es
constante, estos círculos aumentan en
tamaño a la hora de reducirse la resistencia
que representan.
Otra manera en la que es importante
entender la carta de Smith es la siguiente
Sin embargo a la hora de realizar estos
cálculos como no se cuenta con una escala
alineada con ambas componentes resulta
más accesible describír el coeficiente de
reflexión de forma polar, es decir midiendo su
magnitud desde el centro de la carta al punto
dónde se encuentra la carga ZLN está
medición después se coloca en una escala que
se encuentra en la parte inferior las en el
"Black Magic Design" de la carta de Smith
Al tener la medida de la magnitud del
coeficiente simplemente se alineada con la
métrica que indica "RFL COEFF" de corregirme
de reflexión. Su ángulo correspondiente de
obtiene trazando una línea del centre al
exterior de la carta que pase por la carga así
simplemente se busca dónde dicha línea se
encuentre en el anillo que mide el ángulo del
coeficiente en el exterior de la carta.
Este eje que rodea a la carta también es usado
para medir distancias eléctricas es decir
distancias en unidades relativas a la longitud
de onda, estas podrían medirse hacia el
generador (giro horario) o hacia la carga (giro
antihorario)
En esta imagen, se parte desde una longitud
cero en el punto verde y se desplaza hacia el
generador así en el primer punto negro en
este arco señala un desplazamiento de un
octavo de la longitud de onda, en el segundo
un cuarto de la misma y en el tercero tres
octavos de la longitud de onda. Estos
desplazamientos
coinciden
con
un
desplazamiento angular de noventa grados
entonces podemos deducir que a partir de
cualquier impedancia en la carta si se realiza
un desplazamiento de media longitud de
onda en cualquiera de las dos dirrecciones se
regresaria al mismo punto inicial, pues la
mitad de la longitud de onda equivale a un
vuelta entera, de acuerdo con las escalas que
rodean la carta de Smith.
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