TEMA 1

Matemáticas I
Grao en Robótica
Curso 2020/21
Tema 1:
Preliminares
Juan Bosco Ferreiro Darriba
Departamento de Matemática Aplicada
2 de outubro do 2020
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Operación interna
Definición
Denomínase operación interna ∗ nun conxunto A a unha correspondencia
∗ : A × A → A. Denótase ∗(a, b) = a ∗ b = c
Nota
Adoitase a contemplar dúas operacións internas, chamadas suma (+) e
producto (·).
Propiedade asociativa: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀a, b, c ∈ A
Propiedade conmutativa: a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ A
Elemento neutro: ∃e ∈ A | a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ A
Suma → 0
Produto → 1
Elemento simétrico: dado a ∈ A, ∃a0 ∈ A | a ∗ a0 = a0 ∗ a = e
Suma → elemento oposto →−a
1
−1
Producto → inverso → a
se ∗ é conmutativa
a
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Estrutura de grupo
Definición
Un conxunto onde está definida unha operación interna (A, ∗) dise que ten
estrutura de grupo se:
∗ cumpre a propiedade asociativa
existe un elemento neutro para ∗
cada elemento de A ten un elemento simétrico respecto de ∗
Definición
Un grupo (A, ∗) dise conmutativo ou abeliano se a operación ∗ cumpre a
propiedade conmutativa.
Exemplo
(Z, +), (R, +), (R \ {0}, ·) son grupos conmutativos
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Estrutura de anel
Definición
Un conxunto con dúas operacións internas (A, +, ·) dise que ten estrutura
de anel se:
(A, +) é un grupo conmutativo
· cumpre a propiedade asociativa
cúmprese a propiedade distributiva do producto respecto da suma
∀a, b, c ∈ A
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c
Definición
Un anel (A, +, ·) dise conmutativo se a operación · cumpre a propiedade
conmutativa
Definición
Un anel (A, +, ·) dise unitario se a operación · ten elemento neutro
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Estrutura de anel
Definición
Un conxunto con dúas operacións internas (A, +, ·) dise que ten estrutura
de anel se:
(A, +) é un grupo conmutativo
· cumpre a propiedade asociativa
cúmprese a propiedade distributiva do producto respecto da suma
Definición
Un anel (A, +, ·) dise conmutativo se a operación · cumpre a propiedade
conmutativa
Definición
Un anel (A, +, ·) dise unitario se a operación · ten elemento neutro
Exemplo
(Z, +, ·) é un anel conmutativo e unitario
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Estrutura de corpo
Definición
Un conxunto con dúas operacións internas (A, +, ·) dise que ten estrutura
de corpo se:
(A, +, ·) é un anel
(A \ {0}, ·) é un grupo
Definición
Un corpo (A, +, ·) dise conmutativo se a operación · cumpre a propiedade
conmutativa
Exemplo
(Q, +, ·), (R, +, ·) son corpos conmutativos
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
O corpo dos números reais
Relación de orde
≤ é unha relación de orde no conxunto dos números reais R
Propiedade reflexiva: a ≤ a para todo a ∈ R
a≤b
Propiedade antisimétrica:
⇒ a = b, ∀a, b ∈ R
b≤a
a≤b
Propiedade transitiva:
⇒ a ≤ c, ∀a, b, c ∈ R
b≤c
≤ é unha relación de orde total no conxunto
dos números reais R

 a≤b
ou/e
Dados a, b ∈ R ⇒

b≤a
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
O corpo dos números reais
Relación de orde
≤ é unha relación de orde total compatible coas operacións do corpo R
∀x, y, λ ∈ R,
x≤y ⇒x+λ≤y+λ
∀x, y, λ ∈ R,
x ≤ y, 0 < λ ⇒ λx ≤ λy
∀x, y, λ ∈ R,
x ≤ y, λ < 0 ⇒ λy ≤ λx
∀x, y, ∈ R
0<x<y⇒0<
1
1
<
y
x
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
O corpo dos números reais
Intervalos
Definición
Dados a < b ∈ R, os seguintes conxuntos son intervalos limitados
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b} Intervalo aberto de extremos a e b
[a, b ] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} Intervalo pechado de extremos a e b
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} Intervalo pechado en a e aberto en b
(a, b ] = {x ∈ R | a < x ≤ b} Intervalo aberto en a e pechado en b
Definición
[a, b] ⊂ R denomínase intervalo compacto
Definición
Dado a ∈ R, os seguintes conxuntos son intervalos non limitados
(a, ∞) = {x ∈ R | a < x}, (−∞, a) = {x ∈ R | x < a}. Abertos
[a, ∞) = {x ∈ R | a ≤ x}, (−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}. Pechados
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
O corpo dos números reais
Valor absoluto
Definición
Dado un número real x ∈ R, defínese o seu valor absoluto como
(
x, se 0 ≤ x
|x| =
−x, se x < 0
Propiedades
|x| ≥ 0, ∀x ∈ R. |x| = 0 ⇔ x = 0
|x| = | − x|, ∀x ∈ R
|x · y| = |x| · |y|, ∀x, y ∈ R
|x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ R
Dado r > 0, |x| ≤ r ⇔ −r ≤ x ≤ r ⇔ x ∈ [−r, r]
Polinomios
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
O corpo dos números complexos
Definición
Un número complexo é un par de números reais z = (a, b).
a é a parte real do número complexo.
b é a parte imaxinaria do número complexo.
Definición
(0, 1) = i → unidade imaxinaria
(1, 0) = 1 → unidade real
(a, b) = a + bi → forma binómica
C = {a + bi | a, b ∈ R}
Polinomios
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
O corpo dos números complexos
Eixo imaxinario
b
z ‡ a + bi
i
a
Eixo real
Polinomios
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
O corpo dos números complexos
Operacións
Definición
Dados z1 = a1 + b1 i ∈ C e z2 = a2 + b2 i ∈ C, defínese a súa suma como
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
(C, +) → Grupo conmutativo
0 = 0 + 0i → Elementro neutro
z = a + bi → Elemento oposto → −z = −a − bi
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
O corpo dos números complexos
Operacións
Definición
Dados z1 = a1 + b1 i ∈ C e z2 = a2 + b2 i ∈ C, defínese o seu produto como
z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i
(C \ {0}, ·) → Grupo conmutativo
1 = 1 + 0i → Elementro neutro
0 6= z = a + bi → Elemento inverso → z −1 =
1
a − bi
= 2
z
a + b2
Definición
Dado z = a + bi ∈ C defínese o seu conxugado como z̄ = a − bi
z z̄ = a2 + b2 ⇒ z −1 =
a2
z̄
+ b2
∀ 0 6= z ∈ C
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
O corpo dos números complexos
(C, +, ·) −→ Corpo conmutativo
Polinomios
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
O corpo dos números complexos
Forma trigonométrica
Definición
Dado z = a + bi ∈ C defínese o seu módulo como
p
|z| = + a2 + b2
Definición
Dado z = a + bi ∈ C defínese o seu argumento como
(
|z| cos (α) = a
α ∈ (−π, π]
|z| sen (α) = b
z̄
|z|2
z = a + bi = |z| cos (α) + i sen (α) → Forma trigonométrica
z −1 =
Polinomios
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
O corpo dos números complexos
Operacións
Eixo imaxinario
z ‡ a + bi
a2
i
+b2
b
Α
a
Eixo real
Polinomios
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
O corpo dos números complexos
Forma exponencial
Dado x ∈ R
eix = cos (x) + i sen (x) → Fórmula de Euler
z = a + bi = |z| cos (α) + i sen (α) = |z|eiα → Forma exponencial
z1 z2 = |z1 |eiα1 |z2 |eiα2 = |z1 ||z2 |ei(α1 +α2 )
n
z n = |z|eiα = |z|n eiαn
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Definición
Dados n ∈ N, un corpo K e a0 , a1 , ... , an ∈ K, un polinomio P (x)
de grao ≤ n nunha indeterminada x é unha combinación do tipo:
n
P (x) = an x + an−1 x
n−1
+ ··· + a1 x + a0 =
n
X
k=0
x adoita a chamarse tamén variable
a0 , a1 , ... , an denomínanse coeficientes
a0 denomínase termo independente
an denomínase coeficiente principal
cada un dos sumandos denomínase monomio
o grao dun monomio é o expoñente da variable
o grao dun polinomio é o do monomio de maior grao
ak xk
Polinomios
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Polinomios
Definición
K[x] =
( n
X
)
ak xk n ∈ N, ak ∈ K ∀k ∈ {0, 1, ... , n}
k=0
x adoita a chamarse tamén variable
a0 , a1 , ... , an denomínanse coeficientes
a0 denomínase termo independente
an denomínase coeficiente principal
cada un dos sumandos denomínase monomio
o grao dun monomio é o expoñente da variable
o grao dun polinomio é o do monomio de maior grao
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Polinomios
Definición
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ··· + a1 x + a0 ∈ K[x]
q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + ··· + b1 x + b0 ∈ K[x]
Supoñamos que m < n
Definimos p(x) + q(x) como
an xn + ··· + an+1 xn+1 + (am + bm )xm + ··· + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 )
Definimos p(x) · q(x) como
an bm xn+m + (an−1 bm + an bm−1 )xn+m−1 + ··· + (a1 b0 + a0 b1 )x + a0 b0
(K[x], +, ·) −→ Anel conmutativo unitario
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Division de polinomios
Teorema
Dados p(x), q(x) ∈ K[x] tales que gr(q(x)) ≤ gr(p(x)), existen dous
únicos polinomios s(x), r(x) ∈ K[x] tales que
p(x) = q(x)s(x) + r(x),
e gr(r(x)) < gr(q(x)) (ou ben r(x) = 0).
Teorema
Dado p(x) ∈ K[x] tal que gr(p(x)) > 0 e λ ∈ K
p(x) = (x − λ)q(x) + p(λ),
onde gr(q(x)) = gr(p(x)) − 1
Polinomios
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Raíces de polinomios
Definición
Dado p(x) ∈ K[x], diremos que λ ∈ K é unha raíz de p(x) sempre que se
cumpra que p(λ) = 0.
Teorema
Dado p(x) ∈ K[x], λ ∈ K é unha raíz de p(x) se e só se (x − λ) é un
factor de p(x), é dicir, existe q(x) ∈ K[x] tal que
p(x) = (x − λ)q(x)
e gr(q(x)) = gr(p(x)) − 1
Definición
Dados p(x) ∈ K[x] e λ ∈ K unha raíz de p(x), diremos que λ é de
multiplicidade k ∈ N sempre exista p1 (x) ∈ K[x] tal que
p(x) = (x − λ)k p1 (x)
e p1 (λ) 6= 0.
A estrutura de corpo
O corpo dos números reais
O corpo dos números complexos
Polinomios
Raíces de polinomios
Teorema (fundamental da Álxebra)
Un polinomio p(x) =
n
X
ak xk ∈ C[x], con an 6= 0, ten exactamente n
k=0
raíces complexas, contadas coa súa multiplicidade, é dicir
p(x) = an (x − λ1 )α1 (x − λ2 )α2 ... (x − λr )αr ,
onde λ1 , λ2 , ... λr ∈ C, α1 , α2 , ... , αr ∈ N tales que α1 + α2 + ··· + αr = n