Movimiento armónico simple y ondas mecánicas

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Informe Acústica
Movimiento armónico simple, y ondas
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mecánicas
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Miércoles 7 de agosto de 2011
Camila Núñez, Cristian Lara, Fabián Castillo
Objetivos:
 Aprender de acuerdo a la práctica, conceptos de frecuencia,
periodo, y amplitud de una oscilación armónica.
 Determinar la constante elástica de un resorte de forma
experimental.
 Determinar cambio de frecuencia de resonancia de un
sistema masa – resorte.
 Verificar experimentalmente el fenómeno de ondas
estacionarias en cuerdas.
 Determinar velocidad de propagación en cuerdas.
Marco Teórico
Movimiento armónico simple (M.A.S)
Cuando se habla del concepto de vibración u oscilación, se refiere al movimiento de un objeto, de
forma regular, de un lado a otro, sobre la misma trayectoria. Este movimiento se repite en el
transcurso del tiempo, por lo cual se le llama periódico.
La forma más sencilla de representarlo, es la de un objeto que oscila en un plano, sujeto a un
resorte. En este sistema cuando el objeto esta sobre el plano, sin moverse, y sujeto al resorte sin
alteración en su largo, se llama posición de equilibrio (X = 0)
(como se muestra en la imagen).
Sin tomar en cuenta la masa, de
las partes del sistema, y fricción
entre la masa y la superficie.
Supongamos que el resorte se
estira una distancia (x), hasta una nueva posición, la cual es
equivalente a la amplitud de una onda, entonces la masa se
mantendrá oscilando sobre el plano, estirando y comprimiendo
el resorte constantemente con amplitud (x).
Ley de Hooke:
Formulada para determinar la elasticidad que poseen los materiales, se estudia con un resorte. Si
se vuelve a poner en el caso de que la masa se mueve de lado a lado, comprimiendo y estirando el
resorte, este ejercerá una fuerza F sobre la masa para regresarla a la posición de equilibrio. Esta
fuerza se denomina fuerza de restauración.
La ley plantea que la fuerza de restauración del resorte es proporcional a la distancia que se
desplace, en este caso (x), y se ve en la siguiente expresión.
F = K*X
Donde F: Fuerza de restauración (N)
K: Constante elástica (N/m)
X: distancia que se ha comprimido o estirado el resorte (m)
La constante elástica K, representa la fuerza que se necesita para que el resorte se deforme cierta
distancia. Por lo tanto si el resorte es más rígido, el K será más grande, y si es más elástico, el K
será más pequeño.
Definiciones

Amplitud(A): Distancia máxima de la masa o partícula al punto de equilibrio.

Ciclo: Movimiento completo de ida y vuelta, partiendo de un punto inicial, y terminando
en el mismo punto.

Periódo(T): Es el tiempo que toma completar un ciclo. Se mide en segundos.

Frecuencia(ƒ): es el número de ciclos en el tiempo de un segundo. Se mide en Hertz. En
sonidos complejos (suma de varias frecuencias), la frecuencia que posee más energía se le
llama frecuencia fundamental. El siguiente múltiplo (2ƒ) corresponde a su segundo
armónico, el siguiente (3ƒ) al tercer armónico y asi sucesivamente.
Es claro que por sus definiciones, frecuencia y periodo está relacionados de la siguiente manera:
Ƒ= 1 / T
;
T=1/ƒ
Ondas Mecánicas
El sonido, al igual que las ondas que se forman en la superficia de un líquido, son ondas mecánicas,
que necesitan de un medio material para propagarse. Por ejemplo; una cuerda.
Imagínese una cuerda atada a un punto fijo de un
extremo, y estirada de forma horizontal por una
persona (forma A). Si la persona mueve la mano
(que sujeta la cuerda) hacia arriba, y luego hacia
abajo, se puede ver que el movimiento viaja a
travéz de la cuerda como un pulso (forma B).
Si observa un punto fijo, se logra ver que este punto se
desplaza hacia arriba y hacia abajo reproduciendo el
movimiento de la mano mientras el pulso pasa por él.
Es decir, el pulso o perturbación es lo que se desplaza a
lo largo de la cuerda mientras que sus puntos
simplemente, suben y bajan conforme la pulsación pasa
por ellos. Y si el moviemiento de pulso es efectuado
repetidas veces seguidas, constituirá una onda, la cual se
propaga en la cuerda, creando el fenómeno de onda
estacionaria.
Velocidad de propagación de una onda
La velocida de una onda en un medio, es la velocidad con la que los pulsos de la onda se propagan.
Por lo tanto si alquien produce una pulsación en el extremo de una cuerda cuya longitud es de 6
metros, y el pulso llega hasta el otro extremo despues de 1,5 segundos, concluimos que la
velocidad de propagación de onda es de:
Velocidad = Longitud / tiempo
V= 6m / 1,5s
V= 4 m/s
Esta velocidad depende de varios factores, como el medio en el que se propaga, la tensión a la
cual la cuerda está sometida, etc. Los efectos de estos factores y cómo influyen en la velocidad se
estudiaran más adelante, de forma experimental.
Longitud de onda
Imagínese a la misma persona con la misma cuerda estirada, realizando una vibración completa
(un ciclo). Ya se sabe que el intervalo de tiempo de esta oscilación el el periodo(T) de la onda.
Durante ese lapso la onda se propaga con una velocidad constante (V), recorriendo una cierta
distancia, esa distancia recibe el nombre de longitud de onda y se representa con la letra griega ʎ
(lambda).
Es obvio que como la onda se propaga con una velocidad (V) constante, se puede describir que:
ʎ = V * T ; y como T = 1 / ƒ ; Entonces :
Por lo tanto V
= ʎ*ƒ
ʎ=V/ƒ
Experiencia n° 1
Movimiento armónico simple
Metodología
Para realizar la experiencia, se necesitaron los siguientes materiales:




Carro con riel
Masas
Resorte
Cronómetro
El sistema experimental se muestra en la siguiente imagen:
El desarrollo de la primera parte de la experiencia consistía en calcular la constante elástica K,
realizando las siguientes mediciones:



Masa: sobre el carro, se depositarán distintas masas
Desplazamiento: se medirá el deplazamiento del carro, desde su posición de equilibrio
(x=0) hasta el nuevo lugar que adopte según las distintas masas que se le agreguen al
sistema.
Constante elástica: como se explicó anteriormente
(marco teórico) la constante elástica es parte de la
ecuación de la Ley de Hooke:
Por lo tanto al despejar la incógnita que en este
caso está representada por la constante elástica K:
Resultados:
Masa [Kg]
Desplazamiento X[m]
K = mg/x [N/m]
1
0,1
0,17
5,764
2
0,2
0,315
6,2
3
0,25
0,39
6,28
Kpromedio = 6,08
La segunda parte de la experiencia consistía en medir la frecuencia con la cual el carro
oscilaba, con distintas masas agregadas al sistema.
Se tomarón medidas, en un primer caso sólo con la masa del carro (Mc), luego con la masa
del carro, mas una masa (Mc + M1), luego la misma masa del carro con otra masa (Mc +
M2), y por último la masa del carro, mas las dos masas juntas (Mc + M1 + M2).
Los resultados son los siguientes:
Masas (Kg)
Tiempo de 5
oscilaciones (seg)
Frecuencia =
5/tiempo
(Hz)
Mc
0,485
8,43
0,59
Mc + M1
0,730
10,81
0,46
Mc + M2
0,975
12,50
0,4
Mc + M1 + M2
1,225
13,99
0,36
Por último, en la tercera parte de la experiencia, se comparan los resultados medidos en ambas
ocasiones anteriores.
En una columna están las masas, del caso anterior. En la columna siguiente la constante elástica
calculada experimentalmente. Luego la frecuencia calculada teóricamente, y se usa la siguiente
1
𝐾
fórmula: Ƒ =
√
2𝜋 𝑚
En la columna siguiente se muestran los valores de las frecuencia medidas, y por último el
porcentaje de error entre ambas frecuencias, que se calculó con la siguiente fórmula:
%error =
ƒ 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 – ƒ 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
ƒ 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
× 100
Los resultados fueron los siguientes:
Masa (Kg)
K [N/m]
Ƒ teórica (Hz)
Ƒ medida (Hz)
%error
Mc
0,485
6,08
0,56
0,59
5%
Mc + M1
0,730
6,08
0,46
0,46
0%
Mc + M2
0,975
6,08
0,4
0,4
0%
Mc + M1 +M2
1,225
6,08
0,36
0,36
0%
Experiencia n° 2
Ondas Mecánicas
Para realizar la experiencai se nesecitaron los siguientes materiales:




Oscilador mecánico
Generador de funciones
Cuerda elástica
Masas
El sistema con el cual se trabajo, se muestra en la siguiente imagen:
La primera parte de la experiencia, consistía en determinar la velocidad del sonido en la cuerda
elástica, a partir de un largo (ʎ), una tensión tensión dada por una masa de 100 gr, y mediciones
de frecuencias.
Para medir las frecuencias(ƒ) primero se buscó la fundamental, luego el segundo armónico, y el
tercero. Para reconocerlos en la cuerda se debían ver estas figuras:
Los resultados fueron los siguientes:
ʎ = 0,82 m
F[Hz]
λ[m]
C[m/s] (ʎ*ƒ)
f1
8,13
2*L= 1,64
13,33
f2
16,21
L=
13,29
f3
25,15
2/3*L= 0,55
0,82
13,75
La segunda parte de la experiencia consistía en medir la velocidad del sonido en la cuerda,
variando el largo (ʎ). Los resultados fueron los siguientes:
ʎ = 1.18 m
F[Hz]
λ[m]
C[m/s] (ʎ*ƒ)
f1
7,28
2*L= 2,36
17,18
f2
14,08
L=
1,18
16,61
f3
21,23
2/3*L= 0,79
16,77
La tarcera y última parte de la experiencia, consistía en determinar la velocidad del sonido en la
cuerda, variando ahora su tensión, y conservando el largo anterior. En este caso se le aumento la
tensión agregándole 50 gr a la masa que ya estaba. Los resultados fueron los siguientes:
F[Hz]
λ[m]
C[m/s]
f1
6,14
2*L=
2,36
14,49
f2
12,34
L=
1,18
14,56
f3
18,81
2/3*L= 0,79
14,86
Conclusiones
Experiencia n°1:


Sobre la relación masa- frecuencia, se puede describir un claro comportamiento: al
aumentar la masa, aumentaba la frecuencia.
Lo cual se debe a la fuerza de roce. Ya que al haber más masa moviéndose, el roce se
vuelve mayor, y el tiempo que toma en movese el carro será mayor, pues requerirá mayor
fuerza aplicada, para mover las masas.
El cálculo de la constante elástica experimentalmente resultó satisfactorio, pues al calcular
la frecuencia con la constante elástica medida en clases, arrojó valores muy similares a los
valores que medimos con el cronómetro. El margen de error, en una oportunidad dio 5%,
el resto de las veces el margen de error, fue de 0%, por lo tanto el promedio de la
constante elástica fue casi exacta.
Experiencia n°2:


Si observamos los resultados que arrojó la tabla de la segunda parte de la experiencia, se
logra observar que al aumentar la longitud de onda, la velocidad aumenta, y la frecuencia
disminuye. Relación que se puede evidenciar con la fórmula V = ƒ*ʎ. Para mantener el
valor de V, si ʎ aumenta, ƒ debe disminuir. Y en este caso, como el aumento del largo fue
considerable, la velocidad también aumento, sin embargo manteniendo la relación.
Al aumentar la tensión en la tercera parte de la experiencia, se logró observar que aunque
se conservó el largo, la frecuencia disminuyó, al igual que la velocidad del sonido en la
cuerda.
Bibliografía:



Libro: “introducción a la acústica” – Cristian Cardenas.
Apuntes Acustica I
Libro: “Física General” – Maximo y Alvarengo