Dialnet-NuevoModeloParaLaDeterminacionDelFactorDeFriccionE-3711830 (1)

Nuevo Modelo para la Determinación del Factor de Fricción en el régimen de flujo
turbulento.
New Model for Determining the Friction Factor in turbulent flow regime.
MSc. Ing. Yanán Camaraza Medina
Ingeniero mecánico. Especialista de Proyecto e
Ingeniería
Empresa de Proyectos de Arquitectura e Ingeniería.
EMPAI. Matanzas. Cuba
Miembro UNAICC
Teléfono: (45) 291802 ext.217
E-mail: [email protected]
Dr. Ing. Osvaldo Fidel García Morales
Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”. Cuba
Recibido: 20-05-11
Aceptado: 30-06-11
RESUMEN:
En este trabajo se exponen los resultados de la continuidad del proceso investigativo llevado a
cabo en el Centro de Estudios de Combustión y Energía , perteneciente a la Facultad de
Ingenierías Química y Mecánica de la Universidad de Matanzas, relacionadas con la obtención
de modelos adimensionales para la determinación del factor de fricción en el interior de
tuberías. La investigación consiste de un análisis de regresión efectuado entre el factor de
fricción, el número de Reynolds y la rugosidad relativa, utilizando para este fin datos
experimentales reportados por diversos autores, estableciéndose una comparación con la
ecuación trascendente del factor de fricción de Colebrook, el modelo más exacto conocido,
obteniéndose que no existen diferencias significativas, debido a la alta similitud existente entre
los resultados obtenidos a partir de estos modelos en el rango estudiado de los parámetros de
trabajo, aunque la divergencia entre los valores experimentales y los obtenidos por el modelo
propuesto es ligeramente menor.
Palabras Clave: Modelos Adimensionales, Regresión, Factor de Fricción.
ABSTRACT:
In this work presents the continuity results of the research conducted , in the Studies Center of
Combustion and Energy, belonging to the Faculty of Chemical and Mechanical Engineering, in
the University of Matanzas, essentially based on the determination of the friction factor inside
pipes. In this, it is obtained a new no dimensional model for determining friction factor that allow
required precision without a complex analysis system. The research was done with a regression
analysis between friction factor and Reynolds number, relative roughness using experimental
data reported by different authors, establishing comparison with the most precise model known:
the transcendental equation from Colebrook, concluding that between new model and the most
universally used there are not signified differences without is lightly better.
Keywords: Dimensionless Models, Regression, Friction Factor
MSc. Ing. Yanán Camaraza Medina. Nuevo Modelo para la Determinación del factor de fricción
en el régimen de flujo turbulento.
Introducción:
El cálculo de la caída de presión por el interior de conductos rectos es una necesidad de
muchos cálculos de proyecto o evaluación de instalaciones industriales, el cual se realiza
generalmente, a partir de la ecuación de Darcy.
hl = f *
l
V2
*
d eq 2 * g
(m)
(1)
Donde:
∆p
es la pérdida de carga (m)
ρ*g
hl =
∆p es la caída de presión en el conducto, Pa.
ρ
es la densidad del fluido, kg/m3.
g es la aceleración de la gravedad, m/s2.
f es el factor de fricción de Darcy, adimensional.
l es la longitud del conducto por cuyo interior se mueve el fluido, m.
V es la velocidad del fluido por el interior del conducto, m/s.
d eq es el diámetro equivalente del conducto, m.
Para el caso particular de conductos de sección transversal cilíndrica, el diámetro equivalente
es su diámetro interior.
El valor del factor de fricción de Darcy, y la ecuación utilizada para su cálculo, depende del
régimen de flujo. En régimen laminar la expresión general desarrollada es la siguiente (Perry et
al, 2008):
f =
A
Re
(2)
Donde
A es una constante que depende de la forma geométrica de la sección transversal del
conducto, que para el caso de conductos cilíndricos A= 64.
Re es el número adimensional de Reynolds, el cual se calcula como:
Re =
V * d eq
(3)
ν
Donde:
ν
2
es la viscosidad cinemática del fluido, m /s.
Revista de Arquitectura e Ingeniería. 2011, vol.5 no.2.
MSc. Ing. Yanán Camaraza Medina. Nuevo Modelo para la Determinación del factor de fricción
en el régimen de flujo turbulento.
En la denominada zona de transición del régimen turbulento, el factor de fricción es función del
número adimensional de Reynolds Re y de la rugosidad relativa e / d , o sea:
f = φ (Re, e / d )
En la literatura consultada se reportan un grupo notable de ecuaciones explícitas para el
cálculo del factor de fricción de Darcy f en tuberías lisas y rugosas para régimen turbulento,
dentro de las cuales se destacan las ecuaciones mostradas en la Tabla 1, las cuales poseen
una divergencia máxima aproximadamente igual a ± 30 % al comparar los resultados del valor
del factor de fricción obtenidos mediante su empleo con los datos experimentales disponibles,
según lo reportado por los autores [Chow et al, 1981], [Crane, 1989], [Fernández Diez, 2000],
[Mark, 2001], [Nayyar, 2003], [Shames, 2001], [Wallas, 1999], [Moody, 1959], [Cameron, 1968],
[Sámano, 2003], pero tienen como ventaja la facilidad que brindan para determinar el valor
numérico del factor de fricción.
El valor de la rugosidad absoluta e , incluido en las anteriores ecuaciones, varía con el material
del conducto y con la tecnología de su fabricación. En este trabajo se utilizarán los valores
medios a partir de las recomendaciones de la literatura especializada consultada, además se
insertarán los valores estipulados por la NC 176-2002, los cuales son reportados en las Tablas
# 2 y # 3 respectivamente.
Tabla # 1. Ecuaciones empíricas para la determinación del factor f de Darcy
Ecuación
Autor y
Rango de validez
Divergencia
máxima (%)
referencias
 e
5.74
f = 1.325 * ln d + 0.9
  3.7 Re
 




−2
(Streeter, 2000)
0,01 ≤ e
(4)
0,9 

e
1
 6,81  

d

= − 2 * Log 
+

 3.7  Re  
f 




e
1
5,74

= − 2 * Log  d + 0,9
 3.7 Re
f 


5000 ≤ Re ≤ 10 8




−2
et al,
(5)
−2

  e 1,11

 d 
1
6,9 

= − 1,8 * Log  
 + Re 
f 
  3.7 




(Pavlov
1981)
Miller citado por
(Fox y McDonald,
1995)
Ec.
Haaland
(Zalen y Haaland,
1983)
(7)
Revista de Arquitectura e Ingeniería. 2011, vol.5 no.2.
3,21
5000 ≤ Re ≤ 10 8
0,01 ≤ e
d
≤ 10 −6
2,95
5000 ≤ Re ≤ 10 8
0,01 ≤ e
(6)
−2
d
≤ 10 −6
d
≤ 10 −6
3,24
5000 ≤ Re ≤ 10 8
0,01 ≤ e
d
≤ 10 −6
1,44
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en el régimen de flujo turbulento.
.
Tabla # 2 Valores de
e para distintos materiales de los tubos
e (mm)
Tipo de tubo
Tubos de acero sin costura
0.2
Tubos de acero galvanizado
0.125
Tubos de aceros viejos y herrumbrosos
0.67 - 2.0
Tubos de hierro fundido nuevo
0.26
Tubos de hierro fundido usados
1.4 - 2.0
Tubos de aluminio lisos
0.015 - 0.06
Tubo de latón, cobre, plomo, (sin costura )
0.0015 - 0.01
Tubos de hormigón sin pulir
3-9
Tubos de hormigón pulido
0.3 -0.8
Tabla # 3 Valores de
Material del tubo
Hierro fundido
Acero galvanizado
Asbesto cemento
Cobre
Plástico
e para distintos materiales de los tubos (según la NC 176-2002)
Rango
0,15 a 0,35
0,07 a 0,23
0,03 a 0,10
0,01 a 0,05
0,0005 a 0,01
Valores Recomendados
0,26
0,15
0,07
0,03
0,003
Colebrook, según [Perry et al, 2008], [Crane, 2004], [Fernández Diez, 2002], [Mark, 2008],
[Nayyar, 2003], [Shames, 2001], [Wallas, 1999], [White, 2001], [Vennard, 1988] y [Sámano,
2003], encontró que los resultados de las pruebas experimentales para la zona de
transición del régimen turbulento se conglomeraban muy cercanamente a una línea única, la
cual es expresada matemáticamente por una ecuación de tipo trascendente, la cual se muestra
a continuación:
e
2,51
= Log  d +
 3,7 Re* f
f

1




Esta ecuación es válida para 4000 ≤ Re ≤ 10 8 y 5 * 10 −2 ≤ e
(8)
d
≤ 10 −7 .
Sin embargo es conocido, y confirmado a la vez por los experimentos, que en la zona
totalmente rugosa el valor numérico del número adimensional de Reynolds deja de ejercer
influencia sobre el factor de fricción, dependiendo este solamente de la rugosidad relativa del
conducto por el cual circula el fluido.
El valor numérico del número adimensional de Reynolds, a partir del cual el factor de fricción
comienza a ser constante puede ser determinado mediante la siguiente expresión,
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en el régimen de flujo turbulento.
recomendada por [Kreit et al, 1999], [Crane, 2004], [Fernández Diez, 2000], [Mark, 2008],
[Nayyar, 2003], [Shames, 2001], [Wallas, 1999], [White, 2001], [Streeter, 2000], [Sámano, 2003]
y [Perry et al, 2008], y con cuyo uso no se incurre en un error numérico superior al 3 %
( d)
Re CRIT = 550,01 * e
−1,125
(9)
Existe el criterio por parte de la inmensa mayoría de los autores de prestigio en tema tanto a
nivel nacional como internacional, que el número adimensional de Reynolds a partir del cual un
fluido cualquiera se encuentra circulando en la zona totalmente rugosa, se puede determinar
con una mayor precisión a partir de la siguiente correlación de tipo trascendente:
1
f
=e *
d
Re CRIT
39200
(9.1)
El modelo reportado por Colebrook para el cálculo del factor de fricción permite obtener
resultados más confiables, ya que, como se afirma, es el de mejor ajuste a los datos que le
dieron origen, aunque el error de ajuste a los datos utilizados en su obtención y validación es
de ± 25 % , según [White, 2001] y [Nayyar, 2003], y tiene como inconveniente la necesidad de
implementar un método de aproximaciones sucesivas para determinar el valor del factor de
fricción.
Al comparar los valores del factor de fricción obtenidos por la ecuación de Colebrook y por las
ecuaciones reportadas en la Tabla 1 se puede apreciar que existe una divergencia entre estos,
pudiendo apreciarse que los valores calculados por la ecuación de Haaland son los de menor
divergencia respecto a los brindados por la ecuación de Colebrook.
La ecuación de Colebrook fue representada gráficamente por Moody, en forma de un diagrama
de Stanton, el cual puede encontrarse en las siguientes referencias [Chen et al, 1999], [Crane,
2004], [Fernández Diez, 2000], [Mark, 2008], [Nayyar, 2003], [Shames, 2001], [Wallas, 1999],
[White, 2001], [Vennard, 1988], [Sámano, 2003], [Streteer, 2000] y [Fox y McDonald, 1995].
Ante la limitante del empleo del método de aproximaciones sucesivas al calcular el valor del
factor de fricción por la ecuación de Colebrook y a que los valores de divergencia de las
ecuaciones explícitas mostradas en la Tabla 1 respecto a la anterior son aún grandes se ha
establecido en este trabajo el objetivo de establecer una ecuación explícita, que sea válida en
la zona de transición del régimen turbulento , que permita obtener con facilidad el valor del
factor de fricción, cuya divergencia respecto a la ecuación de Colebrook sea menor que el de
las ecuaciones anteriormente citadas de la Tabla 1 y cuyo error de ajuste a los datos sea
menor del 30%.
Desarrollo:
[Camaraza, 2008] tras la generalización de muchos datos obtenidos a partir de la búsqueda de
información sobre el tema [Cameron, 1969], [Wood, 1947], propuso una ecuación para el
cálculo del factor f en la zona de transición del régimen turbulento, la cual se expresa de la
siguiente forma:
f =
1
( A * B )2
Donde:
Revista de Arquitectura e Ingeniería. 2011, vol.5 no.2.
(10)
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en el régimen de flujo turbulento.
1,048 * ln Re 2,5 * e 1,12 


d 

A=
2,497
( )

e
 47,5 3,27 * d
B = ln 2 +
Re
 Re

−0 , 01
(10.1)
e )
(
+ d



18,26 

1,12
2 , 25
(10.2)
En la ecuación anterior A = 0,392 para 0,001 ≤ e
d
y 4000 ≤ Re ≤ 1,81 * 108
La ecuación anterior fue validada con los datos reportados por Halaand y Moody obteniéndose
una divergencia máxima del orden del 24.83 %
La ecuación propuesta da valores muy cercanos a los obtenidos por la ecuación de Colebrook,
con una divergencia máxima de 0,8 % y promedio de 0,3 %.
El error cometido, por exceso o por defecto, con respecto al valor obtenido a partir del modelo
reportado por Colebrook se puede evaluar mediante la siguiente ecuación, con un coeficiente
de correlación de 99 %.
Si el error es ( + ) es por exceso
Si el error es (-) es por defecto
 C
error = 1 −  * 100
f

( )
  e 2 1,36 * e

 d
6,3 

d
Donde: C = 5,302 * Ln
+
+ 2


13,74
f * Re Re * f 

 

(11)
−2
(11.1)
Profundizando en el análisis se obtuvo posteriormente [Camaraza y Landa, 2008] una
ecuación mejor que la anterior para la determinación del factor de fricción de Darcy, la cual es
válida en el mismo intervalo que el modelo de Colebrook, obtenido incrementando nuevos
datos a la base utilizada, quedando escrita de la siguiente forma:


A 
f = − 2 * Log  e * 0,2707 − 1 
d
B1 


−2
(12)
Donde:
( )

e
47,5 3,27 * d
A1 = 2,296 * Log  2 +
 Re
Re

( )
B1 = Re*  Log  Re 2,5 * e
d


1,12
(


Para el caso de tuberías lisas e
d
1,12
(e )
+ d


18,26 

2 , 25
(12.1)
0.01
(12.2)
)
= 0 , el factor de fricción de Darcy de la ecuación (12), se
obtiene entonces por la siguiente expresión:
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en el régimen de flujo turbulento.

 A 
f = − 2 * Log  2 
 Re 

−2
(13)
Donde:
 Re 0,56 
A2 = 8,23 * Log 

 3,196 
(13.1)
En múltiples ocasiones en la ingeniería práctica se necesita determinar el caudal para un valor
preestablecido de caídas de presión y de diámetro, entonces combinando la ecuación
propuesta (12) con la ecuación (1), se obtuvo [Camaraza y Landa, 2008] una nueva ecuación
válida en el mismo intervalo que la ecuación (12), la cual permite calcular el caudal necesario
para un valor de diámetro y caída de presión preestablecidas, quedando esta nueva ecuación
de la siguiente forma:
Q =


48,41 * ∆P * d 5
L
* Log 0,2707 * e + ν *

d
L
3,082 * ∆P * d 3 

3
Q es el caudal calculado, en m
(14)
s
∆P es el valor de la caída de presión, en m
L es el valor de la longitud de la tubería, en m
d es el diámetro equivalente de la tubería, en m
La ecuación propuesta, (12), arroja una divergencia máxima de los valores calculados del
factor de fricción con respecto a los obtenidos por el modelo de Colebrook del orden de
± 0,144 % , valor que fue obtenido implementando un algoritmo de cálculo en la herramienta
computacional MATLAB 7.0, concebido para la comparación de dos ecuaciones mediante el
cálculo de la divergencia de los valores numéricos que estas ofrecen, los que son obtenidos a
partir de iguales valores de sus variables independientes. Su representación gráfica se muestra
en la figura 1.
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Como se observa la divergencia entre estos modelos es pequeña, pero surge la interrogante de
cuál de estos modelos representa en mejor medida los datos experimentales que le dieron
origen o se utilizan para su validación. Para subsanar este tema se realiza un análisis de
validación de ambos modelos para tubos nuevos y limpios, así como para tuberías con tiempo
de explotación, utilizando para ello valores almacenados en una base de datos de cerca de
6048 valores creada con los datos reportados por Moody y Halaand, los cuales fueron
obtenidos de las referencias anteriormente citadas.
El cálculo del error relativo al validar la ecuación de Colebrook se muestra en la figura 2,
obteniéndose un valor máximo de 20.18 %.
Para la ecuación que se investiga se encontró un error máximo de validación del 19.91 %,
apreciable en la Figura 3.
De los resultados obtenidos se observa una menor divergencia de los valores obtenidos por la
ecuación propuesta con los datos experimentales utilizados en su validación que el alcanzado
por el modelo de Colebrook, siendo adicionalmente más sencilla de implementar en un proceso
de cálculo dado, por lo que la ecuación investigada y propuesta se recomienda sea utilizada en
el rango de valores de rugosidad relativa y de números adimensionales de Reynolds en que fue
obtenida y validada.
Si se analiza la ecuación propuesta para diferentes intervalos de Reynolds y rugosidades se
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en el régimen de flujo turbulento.
aprecia (Figuras 4, 5, 6, 7, 8, 9,10) que:
1. Existe una excelente aproximación a los valores experimentales en los intervalos de
10 −5 < e < 4,2 *10 −4
d
y
3000 ≤ Re ≤ 10 5 ,
siendo especialmente exacta esta
observación para bajos valores de rugosidad relativa. El error relativo máximo oscila entre
6,12 y 14,53 %, siendo su menor valor de 0,12 %, tendiendo a disminuir en la medida que
disminuye la rugosidad relativa, como se muestra en alguna medida en los ejemplos de las
Figuras 4,5,6,7,8,9,10, y aumenta con el incremento del valor del número adimensional de
Reynolds.
2. Para Re ≥ 10 se aprecia que la divergencia entre el modelo y los datos comienza a ser
grande y se incrementa con el valor del número adimensional de Reynolds, lo que
presupone que pudiese ajustarse un modelo más exacto en dicho rango de valores.
5
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Conclusiones:
Se ha obtenido un modelo explícito para la estimación del factor de fricción de Darcy en la zona
de transición del régimen turbulento de mejor ajuste a los datos experimentales que le dieron
origen que el modelo trascendente obtenido por Colebrook, lo que facilita su aplicación en los
cálculos de Ingeniería y permite alcanzar una mayor precisión en la determinación de sus
valores numéricos y en los que se deriven a partir del uso de este parámetro en un proceso de
cálculo.
La representación matemática del modelo explicito propuesto para la zona de transición es:


A 
f = − 2 * Log  e * 0,2707 − 1 
d
B1 


−2
Donde:
( )

e
47,5 3,27 * d

A1 = 2,296 * Log
+
 Re 2
Re

1,12
e )
(
+ d

 y B = Re*  Log  Re 2,5 * e
1

d

18,26 

2 , 25
Siendo válido para los intervalos de 4000 ≤ Re ≤ 10 8 y 5 * 10 −2 ≤ e
( )
d
1,12


0.01
≤ 10 −7
Se ha obtenido una ecuación que permite el cálculo del gasto a partir de los valores de caída
de presión, diámetro y longitud de la tubería utilizando el modelo propuesto.
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21- Curso de análisis, diseño y operación de redes hidráulicas a presión con el uso del
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