Para Pensar en Ciencias Físicas Ing. Riart .pdf

PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
TRABAJO Y
ENERGIA MECANICA
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
Trabajo y Energía
149
Trabajo y Energía
150
DINAMICA DEL PUNTO
TRABAJO Y ENERGIAS MECANICAS
Después de estudiar las Leyes de Newton, conocemos la
interacción entre dos cuerpos. Observando la figura
afirmamos que el hombre realiza una fuerza sobre el
cuerpo, que se transmite por medio de la cuerda. También
podemos decir que al hacer esta fuerza, el hombre hace un
trabajo. Este trabajo que hace el hombre es uno de los
“mecanismos de interacción” de los cuerpos. En
mecánica el trabajo no es un concepto tan amplio como se
utiliza diariamente. (Trabajo muscular, trabajo mental, etc).
El concepto de trabajo mecánico requiere de un
movimiento del cuerpo. El cuerpo debe tener un
desplazamiento para que se haga Trabajo Mecánico.
El trabajo mecánico es el producto escalar del
vector desplazamiento por el vector fuerza.
W=r
F
W =r  F coseno 
Es decir el trabajo es el producto del modulo del vector desplazamiento por el modulo del
vector fuerza por el coseno del ángulo que forman ambos vectores entre sí.
Es importante considerar cual es el "sistema" que se está estudiando y cual el medio
ambiente que lo rodea. De esta forma se puede diferenciar el trabajo realizado por el medio
ambiente sobre el sistema, del trabajo que hace el sistema sobre el medio ambiente.
Si la fuerza que realiza el trabajo forma con la dirección del desplazamiento un ángulo
 <  / 2, el trabajo es positivo; en este caso se considera que es el medio ambiente el que
realiza trabajo sobre el sistema. De esta forma el sistema "recibe" o "absorbe" trabajo.
Para  =  / 2, el trabajo es nulo, la fuerza no realiza trabajo; es decir ni el medio ambiente,
ni el sistema realizan trabajo.
Y si  >  / 2, el trabajo es negativo, es el sistema el que realiza trabajo sobre el medio
ambiente. El sistema "entrega" trabajo.
Hay mecanismos de interacción que pueden hacer que el sistema entregue o reciba
trabajo, indistintamente; o sea realizar trabajo positivo o negativo. Pero también hay mecanismos
de interacción que solo pueden hacer que el sistema entregue trabajo. Las fuerzas provenientes de
estos mecanismos se denominan “Fuerzas Disipativas”. Un ejemplo es la fuerza de rozamiento.
En rigor, si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas
cada una de ellas efectúa un trabajo, así, para las fuerzas de
la figura los trabajos de cada una de ellas cuando el cuerpo
se desplaza “r” son:
W1 = r F1 coseno 1
W2 = r F2 coseno 2
W3 = r F3 coseno 3
Trabajo y Energía
F2
F3
F1
F4
r
151
W4 = r F4 coseno 4
El trabajo total que se realiza sobre el cuerpo es la suma algebraica de todos estos
trabajos
W =  Wi =  ( r Fi coseno i ) = r  ( Fi coseno i )
Si llamamos F a la suma de todas las fuerzas (Resultante),
 ( Fi coseno i ) = F coseno  y por lo tanto
W =  Wi = r F coseno 
El trabajo total realizado sobre el cuerpo es igual a la suma de los trabajos que realiza cada
fuerza sobre el cuerpo y es igual al trabajo de la fuerza resultante (suma vectorial de todas las
fuerzas).
TRABAJO DE FUERZAS O
DESPLAZAMIENTOS VARIABLES
Consideremos tres casos de trabajo realizados por fuerzas aplicadas al cuerpo que se
mueve sobre la superficie de la figura. En el primer caso el vector fuerza es constante, en el
segundo caso el modulo de la fuerza es constante y su dirección paralela a la trayectoria y en el
tercero la dirección de la fuerza es constante y su modulo varia.
r1
r2
r
r1
r3
r1
r2
r3
r2
r3
er
1 Caso: Vector F constante
Los trabajos que realiza la fuerza F para cada trayectoria son:
W1 = F r1 coseno 1
El trabajo total es
W2 = F r2 coseno 2
W3 = F r3 coseno 3
W = F (r1 coseno 1 + r2 coseno 2 + r3 coseno 3 )
r1 coseno 1 + r2 coseno 2 + r3 coseno 3
= r coseno 
En este caso el trabajo es igual al producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento total.
W = F r coseno 
2º Caso: Modulo de F constante y dirección paralela al desplazamiento
W1 = F r1 coseno 0º
El trabajo total es
W2 = F r2 coseno 0º
W3 = F r3 coseno 0º
W = F ( r1 + r2 + r3 )
Es decir el trabajo es, en cada tramo, el producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento, resultando una suma total igual a la fuerza por el trayecto.
Trabajo y Energía
152
er
3 Caso: Modulo de F varia y la dirección permanece constante.
W1 = F1 r1 coseno 1
W2 = F2 r2 coseno 2
W3 = F3 r3 coseno 3
El trabajo total es
W = F1 r1 coseno 1 + F2 r2 coseno 2 + F3 r3 coseno 3
ellos.
Resultando en este caso que se debe calcular el trabajo en cada tramo y sumar todos
Supongamos ahora que deseamos conocer el trabajo realizado a lo largo de una
trayectoria curva en cada uno de los tres casos de las fuerzas. Para el efecto se puede suponer la
curva formada por pequeños segmentos de recta r. Los pequeños trabajos realizados en cada
tramo serán el producto escalar del vector fuerza por los vectores desplazamientos r
W = F coseno  r
El trabajo total es la integral (suma de cantidades muy pequeñas) de W
W =  F coseno  r
Los resultados de este calculo para cada uno de los casos estudiados serán
er
1 Caso: Vector F constante
= F  coseno  r donde coseno  es función de r.
En este caso resulta
W = F r coseno 
W
El trabajo es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento total, al ser
er
la integral, igual que en el 1 Caso anterior, el desplazamiento total por el coseno del ángulo que
forma con la fuerza.
2º Caso: Modulo de F constante y dirección paralela al desplazamiento
 = 0º
W
coseno 0º = 1
= F coseno   r = F S
En este caso el ángulo es constante, y el resultado de la integral es la longitud S de la
curva (el trayecto). Por lo tanto el trabajo es igual a la componente tangencial de la fuerza por la
longitud de la trayectoria.
Este es el caso de la fuerza de rozamiento que es siempre tangente a la trayectoria. Como
el vector fuerza es contrario al desplazamiento F y r siempre forman un ángulo de 180º, el trabajo
es negativo.
er
3 Caso: Modulo de F varia y la dirección permanece constante.
W =
 F coseno  r
El módulo de la fuerza y el ángulo que forma con el desplazamiento varían
permanentemente, por lo tanto, solo se puede obtener el trabajo a partir de resolver la integral.
Trabajo y Energía
153
ENERGIA CINETICA
Si la fuerza “F”, resultante es paralela al desplazamiento, el trabajo es
W=Fr
2
2
F=ma
r = (V – Vo ) / 2 a entonces W = m a (v2 – vo2) resultando
2a
2
2
F
W = m ( V – Vo )
2
r
W =  Wi = m (V2 – Vo2)
2
Si Vo = 0
W = m V2
2
y si V = 0
W = – m Vo2
2
De forma tal que conocida la velocidad de un cuerpo podemas determinar el trabajo que se
hizo sobre el mismo; o el trabajo que se necesita hacer para frenarlo (trabajo negativo en este
caso).
Siempre que se puede determinar el trabajo por alguna caracteristica, propiedad,
interacción, etc. del cuerpo, tenemos una Energía.
ENERGÍA CINÉTICA
es la energía debida a la velocidad
que tiene el cuerpo
K = m V2
2
Esta cantidad es escalar, pues para elevar un vector (la velocidad ) al cuadrado se debe
realizar un producto escalar.
El trabajo de las fuerzas es en consecuencia igual a
W =  Wi = m V2 – m Vo2 = K - Ko
2
2
Donde K es la energia cinetica final para la velocidad final V y Ko es la energia cinetica
inicial para la velocidad Vo
El trabajo mecánico es pues igual a la variación de la energía cinética.
W = K – Ko =  K
Trabajo y Energía
154
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA
Un cuerpo de peso “P” se traslada de “A” a “C”,
pudiendo hacerlo por la trayectoria “ABC” o directamente de “A”
a “C”.
El trabajo realizado por el peso en la trayectoria “ABC” es:
Trabajo de A a B
Trabajo de B a C
Total trabajo ABC
Por lo tanto
B
W BA = P dBA cos 
W CB = P dCB cos 0º = 0
W = P dBA cos  donde dBA cos  = dCA.
A

P
ho
h
C
hf
W = P dCA
El trabajo en la trayectoria AC es W = P dCA cos 90º = P d CA
El trabajo en ambos casos es el mismo y cualquier otra trayectoria que se utilice para llevar
el cuerpo de “A” a “C” el trabajo será siempre el mismo.
Si llevamos nuevamente el cuerpo al punto "A", por cualquier trayectoria, el trabajo hecho
por el peso será – P d CA. Una vez en el punto "A" dejamos al cuerpo bajo la acción del peso
solamente y el peso realiza un trabajo de tal forma a volver al punto "C" y de ser posible mas abajo
del punto "C". Las fuerzas que cumplen con esta característica son fuerzas debidas a alguna
propiedad inherente a los cuerpos. En este caso es la propiedad gravitatoria de los cuerpos. Igual
fenómeno ocurre con otras propiedades, como la elástica, por ejemplo; que analizaremos mas
adelante. Cuando se cumplen estas condiciones, la fuerza se denomina "Fuerza Conservativa"
LA FUERZA ES CONSERVATIVA CUANDO
TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES:
1. EL TRABAJO QUE REALIZA DEPENDE DEL DESPLAZAMIENTO Y
ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA.
2. LA FUERZA SE DEBE A UNA PROPIEDAD DE LOS CUERPOS.
3. CUANDO SOBRE EL CUERPO ACTUA SOLAMENTE ESTA
FUERZA, LA MISMA REALIZA TODO EL TRABAJO QUE LE ES
POSIBLE, HASTA QUE ALGUNA OTRA FUERZA EQUILIBRE EL
CUERPO
Si el cuerpo se mueve sobre una trayectoria cualquiera, el mismo interactúa con el medio
ambiente, entregando y recibiendo trabajo, de tal forma que si vuelve a su posición inicial la
cantidad de trabajo entregado es igual a la cantidad de trabajo recibido resultando un trabajo total
nulo. Esta es la acción de las fuerzas conservativas.
Si el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es,  Ti = Kf – Ko,
 Wi = W 1 + W 2 + W 3 + ......+ W P, donde W 1, W 2, W 3, son los trabajos de las fuerzas y W P
es el trabajo del peso.
Es decir
W 1 + W 2 + W 3 + ......+ W P = Kf – Ko,
En el caso del peso podemos predecir el trabajo que va realizar al trasladarse el cuerpo de
la posición “A” a “C”, por lo tanto
W 1 + W 2 + W 3 + ...... = Kf – Ko – W P
En la figura se observa que
d CA = (h f — h o),
Trabajo y Energía
155
y por lo tanto – W P = –- P . d CA = – P . (hf – ho), todos productos escalares, donde P y
los vectores h f (altura final) y ho (altura inicial) forman un ángulo de 180º con el Peso.
El producto escalar – P hf = – P hf cos 180º = P hf y
el producto escalar
P ho = P ho cos 180º = – P ho
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
es el producto escalar del vector Peso por el
vector de posición vertical (altura) medida desde
el cuerpo hasta el nivel de referencia.
U=Ph
LA ENERGIA POTENCIAL
TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES:
1. LA ENERGIA POTENCIAL SOLAMENTE PUEDE CONSERVARSE
SI SE APLICA AL CUERPO OTRA FUERZA QUE MANTENGA AL
CUERPO EN EQUILIBRIO.
2. CUANDO EL CUERPO SE ENCUENTRA BAJO LA ACCIÓN DE
FUERZAS CONSERVATIVAS SOLAMENTE, EL MISMO SE MUEVE
HASTA LA POSICIÓN DE MENOR ENERGIA POTENCIAL
POSIBLE.
ENERGIA POTENCIAL ELASTICA
En el Capitulo de la 2ª Ley de Newton se analizó la fuerza del resorte que responde a la
Ley
F=–kx
La fuerza del resorte es una fuerza variable por lo tanto el trabajo que realiza el resorte es
TRES =  F cos  x =  – k x x
Siguiendo el mismo procedimiento realizado para determinar la Energía Potencial, tenemos
que
 Ti =  K +  U – TRES
El trabajo que hace el resorte puede predeterminarse conociendo el alargamiento final e
inicial del resorte, por lo tanto es una fuerza conservativa.
Definimos como ENERGIA PÒTENCIAL ELASTICA
UE. = – TRES =  – k x x = –  k x x
Al resolver una integral obtenemos el área bajo la curva. En el
gráfico tenemos en el eje de abscisas el alargamiento del resorte y en el
eje de ordenadas la fuerza F. La recta es la representación gráfica de la
ecuación F = k x
Trabajo y Energía
Ff
Fo
156
Xo
Xf
Si X f indica el alargamiento final del resorte, la energía potencial
final es el área triangular
Uf = F f X f = k X f2.
2
2
Y si X
triangular
o
indica el alargamiento inicial del resorte, la energía potencial inicial es el área
Uo = Fo Xo = k Xo2.
2
2
UE =
k Xf 2. – k Xo2.
2
2
TRABAJO Y ENERGIA MECANICA
De esta forma – TP = U f – Uo, por lo tanto  Ti = Kf – Ko + Uf – Uo o lo que es igual
T =  Ti =  K +  U
Donde T es la suma del trabajo de todas las fuerzas no conservativa,  K es la variación de
la energía cinética entre la posición final y la posición inicial y  U es la variación de la energía
potencial gravitatoria entre ambas posiciones.
Finalmente
 Ti = K + UG + UE,
El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía cinética mas
la variación de la energía potencial gravitatoria mas la variación de la energía potencial elástica. En
forma más general.
 Ti =  K +  U
CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA
Si el cuerpo esta sujeto a la acción de fuerzas conservativas solamente o las fuerzas que
actúan sobre el mismo no realizan trabajo.
Ti = 0
K + U = 0
Kf – Ko + Uf – Uo = 0
Kf + Uf = Ko + Uo
Ef = Eo
De acuerdo a esta expresión la suma de las energías mecánicas se conserva en todo
instante. Esta conservación es conocida como PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA
ENERGIA. Este principio, avanzando en el análisis de la física se hace más extensivo pudiendo
afirmarse que la ENERGÍA SIEMPRE SE CONSERVA, NUNCA SE PIERDE.
Esto se debe a que si un sistema absorbe trabajo que le entrega el medio, en algún otro
lugar hay otro sistema que entrega trabajo al medio.
Trabajo y Energía
157
EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE
Analizando, un cuerpo rígido sometido a la acción del peso y de otra fuerza que mantienen
en equilibrio al cuerpo, como en las tres figuras de abajo.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
En el caso de la figura 1, al mover el cuerpo de la posición de equilibrio, el centro de
gravedad del mismo aumenta su altura, aumentando su energía potencial. Si se suelta el cuerpo
desde esta posición, como no está en equilibrio, el mismo buscará la posición de menor energía
potencial, volviendo a su posición inicial. En realidad el cuerpo al llegar a la posición inicial tiene
velocidad razón por la cual el cuerpo no se detiene, volviendo a subir hasta una altura igual a la
que tenía anteriormente, oscilando permanentemente.
Se denomina equilibrio estable cuando al mover el cuerpo de la posición de equilibrio,
aumenta la energía potencial, como en la figura 1,
En la figura 2, al mover el cuerpo de su posición inicial el cuerpo vuelve a estar en
equilibrio y su energía potencial se mantiene constante. En este caso, el cuerpo está en
equilibrio indiferente.
En cambio en la figura 3, al mover el cuerpo de su posición de equilibrio la energía
potencial disminuye y, como, no está en equilibrio se mueve buscando la posición de menor
energía potencial, alejándose de su posición inicial. En los casos en que al mover el cuerpo de la
posición de equilibrio la energía potencial disminuye, el equilibrio es inestable.
POTENCIA
Al aplicar una fuerza a un cuerpo y desplazarlo, se realiza un trabajo y se puede realizar el
mismo trabajo con cualquier fuerza que logre desplazar al cuerpo. Sin embargo, dependiendo de la
Fuerza, la forma de aplicación ( el ángulo con respecto al desplazamiento ) el trabajo a ser
realizado requerirá de mas o menos desplazamiento y tiempo para realizarlo, con efectos finales
diferentes. Sobre todo de un mayor o menor tiempo para hacer el trabajo. De aquí la importancia
de considerar también el tiempo en que se realiza el trabajo.
El mecanismo de interacción que considera el tiempo en que se realiza un trabajo es la
POTENCIA.
como
La potencia es la medida de la rapidez con que se realiza un trabajo, y la podemos definir
POTENCIA
Es el trabajo realizado en la unidad de tiempo.
P=. W .
t
Trabajo y Energía
158
Mediante la acción de una fuerza es posible mover un objeto. Esta fuerza realiza un trabajo
igual a F r, si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección.
Definimos como potencia media a
Donde
r / t es la velocidad media,
P=. W . = F r
t
t
P= F.V
Por lo tanto la potencia media es el producto escalar
Si determinamos el límite de la expresión anterior obtenemos la potencia instantánea como
el producto escalar de la fuerza por la velocidad instantánea
POTENCIA: Es el producto escalar del vector fuerza por el
vector velocidad.
POTENCIA MEDIA: es el producto escalar del vector fuerza
por el vector velocidad media
POTENCIA INSTANTANEA: es el producto escalar del
vector fuerza por el vector velocidad instantánea
RENDIMIENTO
En la realidad, cuando el medio ambiente entrega trabajo a un sistema, este sistema no
puede utilizar la totalidad del trabajo que le es entregado. Esto se debe, a que las maquinas en el
proceso de transformación del trabajo o la energía recibida, generan energías que son entregadas
nuevamente al medio ambiente, utilizando para realizar el trabajo solamente una parte de la
energía recibida.
Por ejemplo, un montacargas es utilizado para alzar materiales en una obra en
construcción. El montacargas funciona mediante un motor eléctrico. Si calculamos la energía
eléctrica entregada al motor (la electricidad que consumió) y la comparamos con el trabajo
realizado para alzar los pesos, encontramos que la primera es mayor que esta ultima. Esto se debe
a que en el proceso que realiza nuestro montacargas fuerzas de rozamiento, entre otras,
transforman parte de la energía en calor que es devuelto al medio ambiente.
Es importante entender del trabajo realizado sobre el sistema, una parte es utilizada por el
sistema para realizar un trabajo sobre el medio ambiente. La otra parte no se pierde, sino que es
devuelto al sistema en distintas formas de energía antes de realizar el trabajo.
En rendimiento es entonces, la relación entre el trabajo que efectivamente realizó el
montacargas y el trabajo (energía en este caso) que le suministro la corriente eléctrica. Como estos
trabajos se realizan al mismo tiempo, el rendimiento es la relación entre la potencia utilizada para
realizar trabajo por el sistema y la potencia entregada al sistema.
RENDIMIENTO
 = W realizado = P
W entregado
Trabajo y Energía
utilizada
Pentregada
159
UNIDADES DE MEDIDA DE
TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA
TRABAJO y ENERGIA
POTENCIA
Clase
Unidad
Clase
Sistema
Internacional
Derivada
1 N x 1 m = 1 joule
Derivada
Sistema Técnico
Derivada
1 kgf x 1 m =
1 kilográmetro
Derivada
1 kgf m 1 s
Sistema
C. G. S.
Derivada
1 dina x 1 cm =
1 ergio
Derivada
1 ergio 1 s
Otras Unidades
Unidad
1 joule 1 s
1 kw hora
–1
76 kgm 1 s
= 1 watt
–1
–1
–1
= 1 HP
FACTORES DE CONVERSION
Sistema
Internacional
Sistema
Técnico
Sistema
C. G. S.
TRABAJO Y
ENERGIA
1 Joule =
1 / 9,8 kgfm
10 ergios
POTENCIA
1 watt =
1 / 9,8 kgfm s
Otras Unidades
7
–1
7
10 ergios s
1 / 3,6 10
–1
–6
kw h
1 / 745.7 HP
PROBLEMAS
1
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m,
si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º
2
Calcular el trabajo realizado por la fuerza F
constante de 100 N, al trasladar el cuerpo de
masa m del punto A al B a lo largo de la
trayectoria curva de la figura.
3
37º
F
A
Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia
arriba en un plano inclinado 20º con respecto a
la horizontal. Sobre el cuerpo actúan las
siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80
N, una fuerza paralela al plano de 100 N
favoreciendo el movimiento, una fuerza de
fricción de 10 N que se opone al movimiento.
10 N
El cuerpo se traslada 20 m a lo largo del plano
inclinado. Calcular:
a) El valor de las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
b) El trabajo de cada fuerza y el trabajo total.
c) La resultante y el trabajo de la resultante.
Trabajo y Energía
B
6m
8m
100 N
80 N
20º
160
4
El coeficiente de rozamiento con el piso de un cuerpo de masa 5 kg que se mueve sobre una
circunferencia horizontal de radios 5 m, es 0,4. Determinar el trabajo realizado por la fuerza de
rozamiento al concluir una vuelta.
5
En el movimiento de un péndulo simple actúan tres fuerzas sobre la masa suspendida (la
cuerda se considera sin masa): fuerza de la gravedad (peso), tensión de la cuerda y resistencia
del aire.
a) Dibujar las fuerzas y la trayectoria del péndulo.
b) ¿Todas las fuerzas realizan trabajo?
c) ¿Cuál de ellas realiza un trabajo negativo durante todo el tiempo que dura el movimiento?
d) Escribir el principio del trabajo y la energía para el péndulo para cualquier posición.
6
Un cuerpo de masa 1 kg desciende por la superficie sin rozamiento indicada en la figura 1. La
velocidad del cuerpo en el punto A es de 3 m/s, la altura de este punto es 20 m el punto B
tiene una altura de 10 m Determinar la velocidad en el punto B.
A
R
HA
H
B
HB
Figura 2
Figura 1
7
Determinar la altura H mínima desde la cual se debe soltar un cuerpo de masa para que
describa la circunferencia vertical de radio R, de la figura 2.
8
Un cuerpo se suelta sobre una superficie semicilíndrica sin
rozamiento de radio R, como muestra la figura. Determinar la
altura H para la cual el cuerpo se despega por primera vez de la
superficie.
9
En la figura se muestra la gráfica de la fuerza aplicada a un móvil de 2 kg de masa en función
del desplazamiento. Si la velocidad inicial del móvil (en x=0) es de 5 m/s.
Calcular su velocidad en las posiciones x = 4, 10, 14, 18, 22 utilizando los conceptos de este
Capitulo..
Fuerza
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
Resp.:
m/s
H
R
1m
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22
Desplazamiento
a) 6,08 m / s
d) 8,54 m / s
0,5 m
b) 8,54 m / s
e) 7,00 m / s
h
c) 9,22
10 Se deja caer sobre un resorte en posición vertical una masa de 0.5 kg desde 1 m de altura. El
muelle tiene una longitud de 0.5 m y una constante de 100 N/m.
Calcular la longitud h del resorte cuando está comprimido al máximo
Resp.:
h = 13,4 cm.
Trabajo y Energía
161
11 Una bola de 5 kg de masa se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20
m/s, alcanza una altura de 15 m.
Calcular la pérdida de energía debida a la resistencia del aire.
Resp.:
265 j
12 Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de
inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque
y el plano es de 0.16. Determinar:
a) La longitud que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para.
b) La velocidad que tendrá el bloque al regresar a la base del plano.
Resp.:
X = 11,5 m
V = 9 m / s.
13 Un resorte horizontal tienen una constante recuperadora de 48 N/m. En el extremo del resorte
se coloca una masa de 0.75 kg y se estira el resorte 0.2 m a partir de la posición de equilibrio,
soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar:
a) La velocidad cuando el resorte esta estirado la mitad.
b) La velocidad cuando el resorte vuelve a estar en su posición de equilibrio.
c) La velocidad cuando el resorte está comprimido una longitud igual al estiramiento inicial.
d) La velocidad cuando el resorte está comprimido una longitud igual al estiramiento inicial.
14 Un resorte de constante 1 kgf/cm se encuentra en equilibrio sosteniendo un cuerpo de masa 5
kg. Desde esta posición se estira 10 cm el resorte con el cuerpo y se suelta. Determinar:
a) La velocidad cuando el cuerpo vuelve a pasar por su posición de equilibrio inicial.
b) La velocidad cuando el resorte tiene su longitud inicial, y
c) La elongación del resorte cuando el cuerpo se deteine.
15 Determinar cuanto debe comprimirse un resorte de
constante igual a 49 N/cm,que se encuentra en la base
de un plano inclinado 30º, para que un cuerpo de masa
H
500 g, que se comprime contra el resorte, alcance la
30º
parte superior del plano inclinado con una velocidad
igual a la cuarta parte de la velocidad con que se
desprende del resorte. El borde superior del plano
inclinado se encuentra a una altura de 1 m medida desde el borde del resorte en su longitud
natural. El coeficiente de rozamiento cinetico entre la superficie y el cuerpo es 0,4.
16 Un pilote de masa 1000 kg. y longitud L = 3 m, se deja caer desde
una altura h = 2 m y penetra en el suelo una distancia d = 50 cm.
Calcular la velocidad con que la punta del pilote llega al suelo y el
valor de la fuerza de resistencia del suelo, suponiendo que es
constante.
Resp.:
V = 6,26 m
F = 49 N
L
h
d
Trabajo y Energía
162
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
IMPULSO Y
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
Impulso y Cantidad de Mov.
141
Impulso y Cantidad de Mov.
142
DINAMICA DE LA MASA PUNTUAL
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Newton en la DEFINICIÓN II, previas al enunciado de las Leyes en su libro, “La cantidad
de movimiento es la medida del mismo surgida de la velocidad y la cantidad de materia
conjuntamente”.
El enunciado de Newton es: "LEY II: El cambio de movimiento es proporcional a la
fuerza motriz impresa, y se hace en la dirección de la línea recta en que se imprime esa
fuerza”. En las primeras interpretaciones de esta Ley, se entendió que el cambio del movimiento
es el cambio de velocidad, y este es producido por la aceleración, de alli que la 2ª Ley de Newton
quedo establecida como:
F = m a y por cinemática a = V – V0 ,
t
F = m V – V0 = m V – m V 0
t
t
De donde
F t = m V – m V0
Al producto de la fuerza por el tiempo, se denomina IMPULSO y al producto de la masa
por la velocidad CANTIDAD DE MOVIMIENTO. Estas dos magnitudes son sumamente
útiles cuando las condiciones de interacción de los cuerpos no permiten medir la fuerza, ya sea
porque la misma es variable y no se puede determinar la Ley que la rige, o porque el tiempo en que
actúa es demasiado pequeño y no se puede medir. Esto ocurre por ejemplo en los choques de
cuerpos o en las particiones de los átomos en las reacciones en cadena.
Representando el Impulso por I y la cantidad de movimiento por P, la ecuación es
I =
I=F t
P – P0
P=mV
Ecuación que nos indica que para que exista una variación de la cantidad de movimiento,
es necesario un impulso, y que este es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Estas
magnitudes son vectoriales.
EL IMPULSO
El concepto de Impulso como interacción es muy útil cuando
las variables fuerza y tiempo, no se pueden determinar
experimentalmente. Por ejemplo cuando se golpea un cuerpo, cambia
el vector velocidad, que si se puede medir antes y después del golpe.
En este caso la fuerza varía desde cero en el instante en que empieza
el golpe a un valor máximo, para luego volver a cero cuando termina el
golpe. Y el tiempo en que ocurre todo esto es muy pequeño y por lo
tanto muy difícil de medir. El gráfico muestra como varia la fuerza en el
tiempo en este caso. El área bajo la curva es el Impulso. Si se conoce
el impulso y el tiempo se puede calcular una fuerza media ( Fm ), tal
que el impulso que produzca en el mismo tiempo sea igual al que
produjo el golpe. Esto es que el área bajo la curva sea igual al área del
rectángulo formado por Fm y t .
Impulso y Cantidad de Mov.
F
Fm
t
Fm = I / t
143
CONSERVACION DE LA
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
El COROLARIO III, de Newton dice "La cantidad de movimiento que se obtiene
tomando la suma de los movimientos dirigidos hacia la mismas de las partes, y la diferencia
de aquellos dirigidos hacia partes contrarias no sufre alteración por la acción de los
cuerpos entre sí", y es muy interesante su explicación de este corolario.
decir
Cuando no hay impulso, no se produce una variación de la cantidad de movimiento. Es
P – P0 = 0
y resulta que
P = P0
El hecho de que la cantidad del movimiento no cambie es conocido como PRINCIPIO
DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO, que es una de las
conservaciones que estudia la mecánica.
Si un cuerpo de masa m tiene una velocidad Vo, el cuerpo tienen una cantidad de
movimiento
P0 = m V 0
Por alguna causa interna, sin que actúe un impulso externo; una parte m1 de la masa
adquiere una velocidad V1, y con ello tiene una cantidad de movimiento P1 = m1 V1; la masa m2
restante adquirirá una velocidad V2, y tiene una cantidad de movimiento P2 = m2 V2 de forma tal
que la cantidad de movimiento antes de partirse el cuerpo P0 es igual a la cantidad de movimiento
después P.
P1 + P2 = P = P0.
P1
P2
P1
Po
P1+ P2 = P = Po
P2
Es muy importante entender que el impulso es provocado por una fuerza externa al
sistema en estudio. En ningún caso se puede considerar al impulso como consecuencia de fuerzas
internas. Si se quiere considerar el impulso originado por una fuerza interna, se debe separar las
partes de forma tal a considerar cada parte como independiente de la otra y que la fuerza que
provoca el impulso de una parte es igual y contraria a la que provoca el impulso de la otra (por
acción y reacción). Esto es que los Impulsos son iguales y de sentido contrario sobre cada parte
I
I
Figura 1
El sistema es el cuerpo
completo y sobre el no actúa
ningún impulso.
Figura 2
Los sistemas en estudios son dos
partes del mismo cuerpo, y los
Impulsos son iguales y contrarios
Impulso y Cantidad de Mov.
144
De hecho estos son los conceptos desarrollados por Newton, que en la explicación de su
LEY II dice, "... tanto si la fuerza es impresa entera y a la vez como si lo es gradual y
sucesivamente." Es decir o un impulso o una fuerza.
CENTRO DE MASA
La pregunta es ¿Si cada parte tiene una velocidad distinta y por lo tanto una cantidad de
movimiento distinta, que significado tiene la suma de estas cantidades de movimiento?
P = P 1 + P2
Si
m V = m 1 V1 + m2 V2
Donde cada velocidad es el desplazamiento en la unidad de tiempo.
ΔV = Δr / t
Entonces
Y como
m Δr = m1 Δr1 + m2 Δr2
t
t
t
m = m1 + m2 y t es el mismo, resulta
( m1 + m2 ) Δr = m1 Δr1 + m2 Δr2
Δr = r – r0
Entonces
y
si r0 = 0
Δr = r
( m 1 + m 2 ) r = m 1 r1 + m 2 r2
El vector de posición r indica la posición de la masa total del cuerpo (m1 + m2). Este
punto, en el cual debería encontrarse una masa puntual igual a la suma de las masas de las partes
del cuerpo es el Centro de Masa. De esta forma la cantidad de movimiento, suma de las
cantidades de movimiento de las dos masas consideradas, es la cantidad de movimiento del
centro de masa.
Que la cantidad de movimiento se conserve, significa que la cantidad de movimiento del
centro de masa, antes de que el cuerpo se parta en dos pedazos y después de partirse es la
misma. Consecuentemente la velocidad del centro masa antes y después de que ocurra el
fenómeno es la misma.
Consecuencia de esto es que, si el cuerpo tiene uno de los movimientos estudiados
anteriormente en cinemática, el centro de masa seguirá con el mismo movimiento después de que
por algún fenómeno las partes del cuerpo cambien su movimiento, siempre que el mismo no se
deba a una causa externa.
Hasta esta parte, el estudio de la mecánica realizado se refiere a masas puntuales, es
decir, a masas concentradas en un punto. En realidad el estudio de la mecánica de traslación, es el
estudio del comportamiento del centro de masa de los cuerpos. Esta es la mecánica considerada
hasta acá, excepto cuando en estática se considera el momento, pues, en este caso se consideran
las dimensiones del cuerpo. En Capítulos siguientes estudiaremos las masas no puntuales.
Impulso y Cantidad de Mov.
145
MASA VARIABLE
Consideremos un barco que debe cargar en su bodega granos que caen de una tolva.
Para que la distribución de carga en la bodega sea
uniforme, el barco debe mantener su velocidad constante.
En este caso la masa no es constante pues aumenta de
acuerdo a la cantidad que cae en la unidad de tiempo. Si
el barco mantiene su velocidad su cantidad de movimiento
F
al principio no es igual a la del final.
Pf = m f V
V
P0 = m0 V
Si la masa de grano cae a un ritmo
Por lo tanto
µ = Δm / t , entonces
m f = m0 + µt
Pf = ( m0 + µ t ) V
Pf > P0,
entonces I ≠ 0
Como
I = P f – P0
F t =( m 0 + µ t ) V – m0 V
Ft =µt V
F =µ V
Es decir la fuerza depende del incremento de la masa en la unidad de tiempo y la
velocidad, y aunque la velocidad es constante existe una fuerza que permite que esa velocidad sea
constante. Este concepto, obliga a redefinir el concepto de fuerza dado por la 2ª Ley de Newton.
La FUERZA
Es igual a la variación de la cantidad de
movimiento en la unidad de tiempo.
er
 1 PROBLEMA
VELOCIDAD DE LOS COHETES
Para analizar la velocidad de un cohete es
conveniente hacer algunas consideraciones:
V
Ve
a)
El cohete se mueve sin que exista fuerza
externa que actúa sobre el. Por lo tanto no
consideraremos el peso del mismo.
b)
El cohete expulsa una cantidad de gas por unidad de tiempo 
c)
Si Mo es la masa inicial, considerando el combustible que contiene, el cohete, su
masa final es M = Mo – m.
d)
La velocidad inicial del cohete es Vo y su velocidad final Vo + V
e)
La velocidad relativa de los gases respecto al cohete es Ve (velocidad de
escape).
De esta forma la cantidad de movimiento inicial es igual a la cantidad de movimiento final.
Mo Vo = ( Mo –  t ) (Vo + V) +  t (Vo – Ve)
Impulso y Cantidad de Mov.
146
De donde se deduce que
( M –  t ) V =  t Ve
Al hacer las consideraciones se introdujeron  t con signo negativo pues el cohete pierde
masa y Ve también, por ser un vector negativo, por lo que V es un vector positivo. Es decir el
cohete aumenta su velocidad.
Si se divide ambos miembros por tiempo y se hace el límite cuando el tiempo tiende a
cero, la fuerza sobre el cohete resulta.
( M –  t ) V =  Ve
t
F (Empuje) =  Ve
Esta fuerza es el empuje sobre el cohete, supuesta constante.
FUERZA CON MASA Y
VELOCIDAD VARIABLES
En este capitulo se estudia la interacción cuyo principio general es que el impulso es igual
a la variación de la cantidad de movimiento. Si se considera que la masa aumenta una cantidad
constante en la unidad de tiempo, µ; y la aceleración a es también constante. Entonces la masa y
la velocidad en cualquier instante son:
m = m0 + µ t
V = V0 + a t
Las cantidades de movimiento final e inicial serán
Pf = m V = (m0 + µ t ) (V0 + a t)
Po = m0 V0
I = P f – P0
F t = P f – P0
De donde
F t = (m0 + µ t ) (V0 + a t) – m0 V0
Resultando
F = m0 a + µ Vo + µ a t
De acuerdo a esta expresión, la fuerza depende de la masa inicial, de la aceleración, del
incremento de masa en la unidad de tiempo y del tiempo. Si la fuerza depende del tiempo, no es
constante.
Impulso y Cantidad de Mov.
147
PROBLEMAS
1 Un hombre de 85 kg de masa está montado en la popa de una barca de 12 m de largo y
200 kg de masa, que se mueve libremente en el agua. El centro de masa de la barca está
situado a 6 m de cada uno de sus extremos
a) ¿Dónde está el centro de masa del sistema formado por la barca y el hombre?.
b) ¿Cuánto se mueve el centro de masa del sistema cuando el hombre camina hasta la proa
de la barca?
c) ¿Cuánto se desplaza el hombre respecto de la orilla?
d) ¿Cuánto se desplaza la barca respecto de la orilla?
Resp. a) a 1,79 m del centro del bote
b) cero
c) 4,21 m
d) 1,79 m.
2 Desde el extremo de una plataforma móvil de 80 kg, inicialmente en reposo, un niño de 40
kg corre hacia el otro extremo a una velocidad constante de 1 m/s. Determinar
a) La velocidad de la plataforma y el sentido de su movimiento. ¿Qué principio físico aplicas?
b) Si la plataforma tiene inicialmente una velocidad de 5 m / s y el niño se encuentra parado
sobre él, cual será la velocidad de la plataforma cuando el niño corre.
c) Si el niño corre con velocidad contraria a la de la plataforma, cual es la velocidad de esta.
Resp. V = 0,5 m / s contraria a la del niño V = 4,5 m / s V = 3,5 m / s
3 Una persona se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento y lanza
una piedra de 2 kg, con una velocidad de 100 m/s y formando un ángulo de 60° con la
horizontal. ¿Con qué velocidad se moverá la persona si su peso es de 80 kgf ?
Resp. V = 1,25 m / s
4 Una esfera inicialmente en reposo debido a una explosión interna se parte en tres pedazos
iguales. Dos de los pedazos salen en direcciones perpendiculares con velocidades de 10 m/s.
Determinar la velocidad del tercer pedazo.
5 Una niña patea una pelota de 500 g que sale disparada con una velocidad de 5 m/s. ¿Cual
es el impulso que le dio la niña a la pelota? Si el impulso tuvo una duración de 0,02 s ¿Cuál es
la fuerza media ejercida sobre la pelota?
6 Un cuerpo de 500 g cae desde una altura de 5 m, pega contra el suelo y rebota hasta una
altura de 3 m. Determine el impulso y la fuerza media de contacto entre el piso y la pelota,
sabiendo que la misma estuvo en contacto con el piso un tiempo de 5 ms.
7 Un bate de béisbol golpea una pelota de masa 0.15 kg de tal forma que su velocidad
cambia de 48 m/s horizontal y hacia el este a 81 m/s horizontal y hacia el norte, en un intervalo
de tiempo de 0.01 s.
Estimar el módulo, dirección y sentido de la fuerza media ejercida por el bate sobre la pelota.
Resp. F = 1412 N
a = 59,53º
2
8 Un vagón de ferrocarril está abierto por arriba y tiene un área de 10 m , se mueve sin
fricción a lo largo de rieles rectilíneos con velocidad de 5 m/s, en un momento dado comienza a
2
llover verticalmente a razón de 0.001 litros/(cm s). La masa inicial es de 20000 kg. Calcular,
razonando las respuestas:
a) La velocidad del vagón en función del tiempo
b) La aceleración.
c) La fuerza necesaria para mantenerlo a velocidad constante de 5m/s.
2
Resp. V = 1000 / ( 200 + t )
a = – 100 / ( 200 + t )
9 Un vagón lleno de granos, avanza con una velocidad de 36 km / h. Por un agujero abierto
en la parte trasera del vagón empieza salir granos a razón de 5 kg. / s. Si el peso del vagón
con su carga era inicialmente de 80 toneladas, determinar
a) La velocidad del vagón en km / h al cabo de una hora.
b) La fuerza que se necesita hacer para mantener la velocidad inicial del vagón.
c) Si el agujero es en la parte inferior del vagón, calcular las mismas preguntas anteriores.
Impulso y Cantidad de Mov.
148
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
CHOQUE DE CUERPOS
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
Choques
163
Choques
164
DINAMICA DE LA MASA PUNTUAL
CHOQUE DE CUERPOS
Una Ley fundamental de la física clásica es que dos cuerpos no pueden ocupar el mismo
espacio al mismo tiempo. Y cuando dos cuerpos están en condiciones, por el movimiento que
realizan, de ocupar el mismo espacio al mismo tiempo se produce el fenómeno conocido como
choque. En el choque los cuerpos interactuan entre si, de forma tal que desarrollan fuerzas de
acción y reacción entre ellos. Estas fuerzas inicialmente nulas, crecen hasta un valor máximo y se
vuelven nuevamente nulas, ya sea que los cuerpos se separen o se muevan juntos después del
choque. Como este fenómeno se produce en un tiempo muy pequeño, se lo debe estudiar como un
caso de Impulso y Cantidad de Movimiento.
CHOQUE CENTRAL DE CUERPOS
Iniciaremos el estudio con el caso de dos cuerpos que se mueven sobre la recta que une
sus centros de masa.
Uno de los cuerpos tiene masa m1 y velocidad V1 y el otro cuerpo, masa m2 y velocidad
V2, de forma que el cuerpo de masa m1 va atrás de la masa m2 y las velocidades son tales que
V1 > V2. Así la masa m1 alcanza a la m2 y chocan. Después del choque las masas m1 y m2
tienen velocidades U1 y U2 respectivamente
V1
m1
V2
X
m2
cm
Antes del Choque.
m1 X m2
cm
U1
U2
m1 X
m2
cm
Choque.
Después del Choque.
Analizando el fenómeno para el sistema formado por ambos cuerpos en conjunto, la
cantidad de movimiento del centro de masa inmediatamente antes del choque es igual a la
cantidad de movimiento inmediatamente después del choque, pues no existe una fuerza exterior al
sistema que realice un impulso. Entonces
P A = PD
m1 V1 + m2 V2 = m1 U1 + m2 U2
Podemos, también, hacer el análisis adoptando el centro de masa como eje de referencia. La
velocidad el centro de masa es constante por lo tanto este es un eje inercial, y por lo tanto se
conserva la cantidad de movimiento, considerando que el impulso y la cantidad de movimiento no
son mas que expresiones de la 1ª y 2ª Ley de Newton para cuerpos o sistemas no rígidos.
Choques
165
Denominamos V1’ y V2’ a las velocidades de los cuerpos respecto al centro de masa antes
de chocar; y U1’ U2’ a las velocidades después de chocar, todas respecto al centro de masa.
La conservación de la cantidad de movimiento antes y después de chocar es
PA’ = PD’
m1 V1’ + m2 V2’ = m1 U1’ + m2 U2’
Como se observa en el grafico de abajo, en este eje de referencia, los cuerpos se acercan
al centro de masa moviéndose en sentido contrario uno respecto al otro. Esto se debe a que la
velocidad del centro de masa, cumple con la relación
V1 > Vcm > V2
El choque se produce en el centro de masa; y posteriormente los cuerpos se alejan del
mismo debido a que
U1 < Vcm < U2
V1’
Antes del choque
cm
V2’
Durante el choque
cm
U1’
Después del choque
cm
U2’
COEFICIENTE DE RESTITUCION
Si bien en el sistema formado por ambos cuerpos no hay
impulso, porque no hay fuerza externa al sistema; al considerar
cada cuerpo por separado, existen fuerzas impulsivas, tanto en
el proceso de deformación como en el proceso de restitución.
Estas fuerzas y sus impulsos, por el principio de acción y
reacción son iguales y de sentido contrario en cada cuerpo.
La deformación de los cuerpos se produce hasta que
ambos llegan a una velocidad común, la velocidad del centro de
masa.
Choques
Durante la Deformación
m1
m2
FD
FD
Durante la Restitución
m1
m2
FR
FR
166
Con respecto a un eje de referencia fijo en la tierra los impulsos durante la deformación
para los cuerpos 1 y 2 son:
– FD t = m1 Vcm – m1 V1
FD t = m2 Vcm – m2 V2
Y los impulsos durante la restitución son:
– FR t = m1 Vcm – m1 U1
FR t = m2 Vcm – m2 U2
Estos impulsos de deformación y restitución en la mayoría de los casos no son iguales e,
inclusive puede ocurrir que el de restitución sea nulo.
De allí, que se define como coeficiente de restitución a la relación entre el impulso de
restitución y el impulso de deformación.
e = – FR t = m1 Vcm – m1 U1 e = FR t = m2 Vcm – m2 U2
– FD t m1 Vcm – m1 V1
FD t m2 Vcm – m2 V2
Simplificando las masas en cada igualdad, despejando la Vcm e igualando las dos
ecuaciones se obtiene que:
e = U2 – U1
V1 – V2
Consideraciones respecto a un eje de referencia en el centro de masa.
Considerando, como eje de referencia el centro de masa del sistema, las fuerzas
impulsivas deformadoras y restauradoras, son las mismas que respecto a tierra, puesto que el
centro de masa es un eje inercial, velocidad constante; no así, las velocidades, como vimos mas
arriba. Por lo tanto el coeficiente de restitución es
e = – FR t = – m1 U1’
– FD t
m1 V1’
e = FR t = m2 U2’
FD t – m2 V2’
e = – U1’ = – U2’
V1’
V2’
De las ecuaciones de la cantidad de movimiento y del coeficiente de restitución, se deduce
que las velocidades después del choque para los cuerpos son:
U1 = ( m1 – e m2 ) V1 + ( 1 + e ) m2 V2
m1 + m2
U2 = ( m2 – e m1 ) V2 + ( 1 + e ) m1 V1
m1 + m2
Cuando el coeficiente de restitución es nulo, las velocidades U1 y U2 después del choque
son iguales. En este caso los cuerpos chocan, se deforman al chocar, y se mueven con la misma
velocidad, la velocidad del centro de masa. En el choque las fuerzas que actúan producen un
Choques
167
trabajo para deformar los cuerpos y pero no existe fuerza restauradora, por lo tanto, el coeficiente
de restitución es cero y hay perdida de energía.
Los choques en los que ocurren estos fenómenos se llaman PERFECTAMENTE
INELASTICO o PLASTICO.
Cuando el coeficiente de restitución es 1, las velocidades después del choque son
diferentes. Los cuerpos chocan, se deforman y recuperan su forma durante el choque, por el efecto
elástico del material que hace que el impulso de deformación sea igual al de restitución. Como el
trabajo final es nulo, no hay pérdida de energía. Por esta razón el choque es ELASTICO.
Para cualquier valor del coeficiente de restitución entre 0 y 1, los cuerpos chocan, se
deforman y recuperan parte de su forma durante el choque; es decir, el impulso de restitución es
menor que el de deformación. Estos choques son INELASTICOS y las fuerzas que actúan durante
el choque realizan trabajo, produciendo una perdida de energía. En el choque inelástico, los
cuerpos pueden recuperar su forma inicial después del choque; es decir cuando los cuerpos ya no
están en contacto; por lo tanto no hay fuerzas que actúen entre ellos.
El fenómeno
se desarrolla de la
Choque
siguiente
forma,
Perfectamente
(Cuadro de al lado) al
Inelástico
inicio del contacto los
cuerpos debido a las
Inicio del
fuerzas sobre cada
Choque
uno se deforman hasta
un
máximo
de
deformación. En este
instante la elasticidad
Máxima
de los cuerpos hace
Deformación
que
los
cuerpos
empiecen a recuperar
su forma. Si los
Finalización
cuerpos pierden el
del Choque
contacto antes de
recuperar totalmente
su forma, el choque es inelástico.
Choque
Inelástico
Choque
Perfectamente
Elástico
LA ENERGÍA CINÉTICA
EN EL CHOQUE
La energía cinética del sistema, con respecto al centro de masa, antes y después del
choque son:
2
Ko’ = ½ m1 V1’ + ½ m2 V2’
2
2
Kf’ = ½ m1 U1’ + ½ m2 U2’
2
Sustituyendo U1’ = e V1’ y U2’ = e V2’ en Kf’ resulta
2
2
2
Kf’ = e ( ½ m1 V1’ + ½ m2 V2’ )
2
Kf’ = e Ko’
Las relaciones de las velocidades de los cuerpos con respecto al centro de masa como eje
de referencia y a tierra como eje fijo son:
Choques
168
V1’ = V1 – Vcm
V2’ = V2 – Vcm
U1’ = U1 – Vcm
U2’ = U2 – Vcm
Reemplazando en las ecuaciones de energía tenemos:
2
Ko’ = ½ m1 (V1 – Vcm) + ½ m2 (V2 – Vcm)
2
2
2
Kf’ = ½ m1 (U1 – Vcm)’ + ½ m2 (U2 – Vcm)
2
2
2
2
Ko’ = ½ m1 (V1 – 2 V1 Vcm+ Vcm ) + ½ m2 (V2 – 2 V2 Vcm+ Vcm )
2
2
Ko’ = ½ m1 V1 ½ m2 V2 – ( m1 V1 + m2 V2 ) Vcm + ½ (m1 + m2) Vcm
2
La velocidad del Centro de Masa de dos cuerpos que se mueven con velocidades
diferentes es
( m1 + m2 ) Vcm = m 1 V1 + m2 V2
Reemplazando esta expresión en la anterior de energía tenemos
2
2
2
2
2
2
2
2
Ko’ = ½ m1 V1 ½ m2 V2 – ½ (m1 + m2) Vcm
De igual forma
Kf’ = ½ m1 U1 ½ m2 U2 – ½ (m1 + m2) Vcm , si denominamos
Ko = ½ m1 V1 ½ m2 V2
2
Kf = ½ m1 U1 ½ m2 U2
Ko’ = Ko – Kcm
De donde
2
Kcm = ½ (m1 + m2) Vcm
2
Kf’ = Kf – Kcm
2
Kf – Kcm = e (Ko – Kcm )
De esta forma resulta que
e2 = Kf – Kcm
Ko – Kcm
Es decir el cuadrado del coeficiente de restitución es la relación entre la energía no perdida
en el choque (Kf – Kcm) y la energía máxima que puede perderse en el choque (Ko – Kcm)
ANALISIS DE CASOS PARTICULARES
En todos los casos de choque se cumplen las siguientes igualdades
U1 = ( m1 – e m2 ) V1 + ( 1 + e ) m2 V2
m1 + m2
U2 = ( m2 – e m1 ) V2 + ( 1 + e ) m1 V1
m1 + m2
e = U2 – U1
V1 – V2
Kf = e2 Ko + ( 1 – e2 ) KCM
Choques
169
er
1 Problema: Por las condiciones del movimiento de uno de los cuerpos su velocidad
antes de chocar y después de chocar es nula. Este caso ocurre porque la masa de ese cuerpo es
muy grande con respecto al otro que choca o porque por algún sistema de sujeción el centro de
masa del cuerpo no puede desplazarse.
m2 =
V2 = 0
De la ecuación de “e” se obtiene para la masa m1
U1 = – e V1
Calculando la velocidad del centro de masa
VC M = m1 V1 + m2 V2
m1 + m2
Dividiendo numerador y denominador por m2 y realizando las simplificaciones resulta
VCM = 0 y KCM = 0
Si lanzamos una pelota contra el suelo, esta tiene una masa y choca con una velocidad. Si
se compara la masa de la tierra con la masa de la pelota, la de aquella es mucho mas grande que
la de esta. Esto es la masa de la tierra comparada con la pelota es infinita. Determinando el centro
de masa del sistema tierra pelota, con las dimensiones con la que se trabaja, el centro de masa
coincide con el de la tierra, de forma tal que al cambiar la altura de la pelota el centro de masa del
sistema sigue siendo el de la tierra, y como el mismo no cambia su velocidad es nula.
Para e = 1
U1 = – V1
K f = Ko
En este caso el cuerpo choca contra el otro y vuelve con la misma velocidad con la que
choco pero de sentido contrario. Por esta razón su energía cinética no cambia.
Para e = 0
U1 = 0
K f = KC M
En este caso el cuerpo queda adherido al de masa infinita, y tendría que moverse con la
velocidad del centro de masa, que como vimos es cero.
2º Problema: Las masas de los dos cuerpos son iguales.
m1 = m 2
Para e = 1
U1 = V2
U2 = V1
Es decir los cuerpos intercambian sus velocidades.
Para e = 0
Donde
Kf = Ko
U1 = U2 = m1 V1 + m2 V2
m1 + m2
K f = KC M
VC M =
V1 + V2
2
er
3 Problema: Las masas de los dos cuerpos son iguales y uno de ellos esta en reposos.
m1 = m 2
V2 = 0
Para e = 1
U1 = 0
U2 = V1
Kf = Ko
Es decir, el cuerpo con movimiento queda en reposo y el otro se mueve con la velocidad
del primer cuerpo.
Choques
170
Para e = 0
U1 = U2 = m1 V1
m1 + m2
K f = KC M
Donde
VC M =
V1 .
2
CHOQUE EN DOS DIRECCIONES
CHOQUE DE CUERPOS QUE SE MUEVEN
EN DIRECCIONES PARALELAS
Incluimos este choque por su importancia en la Física Cuántica.
En este caso ambos cuerpos se mueven en direcciones paralelas de tal forma que la
distancia entre las direcciones paralelas de su centro de masa, es menor que la suma de los radios
de los cuerpos. Esta distancia “b”, se denomina parámetro de impacto.
El análisis se realiza haciendo coincidir uno de los ejes coordenados, X en este caso, con
la dirección de los centros de masa
Y
b
m1
V1
m2
U1
V2

U2
X
De esta forma el ángulo que forman las velocidades antes del choque con el eje X, esta
dado por la relación b = (r1 + r2) seno 
Resultando
V1X = V1 coseno 
V1Y = V1 seno 
V2X = V2 coseno 
V2Y = V2 seno 
Y como el choque se produce sobre el eje X, las ecuaciones son:
U1X = ( m1 – e m2 ) V1X + ( 1 + e ) m2 V2X
U1Y = V1Y
m1 + m2
U2X = ( m2 – e m1 ) V2X + ( 1 + e ) m1 V1X
U2Y = V2Y
m1 + m2
U1 = ( U1X2 - U1Y2 )1/2 ,
tan  = U1Y / U1XY
2
2 1/2
U2 = ( U2X - U2Y ) ,
tan  = U2Y / U2X
Los ángulos son con respecto al eje “X”
Y se denomina ángulo de dispersión
Choques
171
EL JUEGO DE BILLAR
En el juego de billar las
condiciones son:
a) Las masas m1 y m2 de las
bolas son iguales
b) La masa m2 está en reposo.
c) El coeficiente de restitución
es e = 1.
Y
m1
b

V1
U1
m2

U2
Adoptando
los
ejes
coordenados de tal forma que el eje X
coincide con la dirección de los centros
de masa en el momento del choque, se
cumplen
X
Seno  = b / (r1 + r2) V1X = V1 coseno 
U2X = V1X
U2Y = 0
U1X = 0
V1Y = V1 seno 
U1Y = V1Y
Es decir la dirección que adquiere la bola que es chocada es la dirección de la recta que
une los centros de masa y depende del parámetro de impacto.
LA PELOTA QUE REBOTA CONTRA EL SUELO
Al lanzar una pelota contra el suelo con un ángulo ,
se dan las siguientes condiciones:
a) El cuerpo contra el que choca la pelota, la tierra,
tiene masa m2 =  y velocidad V2 = 0.
b) El choque se produce en la dirección
perpendicular a la superficie.
c) La pelota tiene después del choque una
velocidad que forma un ángulo  con la vertical.
Vx
Vy

Ux

Uy
En estas condiciones nuestras ecuaciones son:
Ux = Vx
y
tg  = Vx / Vy
e = – Uy / Vy
tg  = Ux / Uy
por lo tanto,
tg  = tg  / e.
En el caso en que el coeficiente de restitución sea e = 1, se cumple que  =  igual que los
ángulo de incidencia y reflexión de la luz por un espejo.
Choques
172
CHOQUE DE CUERPOS QUE SE MUEVEN
EN DIRECCIONES DIFERENTES
Para que ocurra un choque de cuerpos que se mueven en direcciones diferentes se deben
dar varias condiciones.
1. Las trayectorias de los cuerpos deben converger para interceptarse.
2. Los cuerpos deben tener su posición en el punto de intersección de las trayectorias en
el mismo instante.
3. Condicionamos el choque a que el impulso mutuo de los cuerpos que chocan se
realice en la dirección de la línea que une los centros de masas. En caso contrario los
cuerpos después de chocar se moverán girando alrededor de su centro de masa.
La velocidad del centro de masa es
VCM = m1 V1 + m2 V2
m1 + m2
Y la cantidad de movimiento antes y después de chocar es
m1 V1 + m2 V2 = m1 U1 + m2 U2
m1
m1
m1
V1
U1
Trayectoria del CM
V2
m2
U2
m2
La cantidad de movimiento del centro de masa antes de chocar es
P A = m 1 V 1 + m2 V 2
Para analizar el choque en estas condiciones es necesario conocer los datos que permitan
determinar la dirección del vector cantidad de movimiento del centro de masa. Analizaremos este
choque en dos condiciones que consideramos interesantes.
1er Análisis: Hacer coincidir uno de los ejes de coordenadas con la cantidad de
movimiento del sistema (resultante).
Si conocemos cantidades de movimientos P1 = m1 V1, P2 = m2 V2 y el ángulo  que forman
las velocidades.
Por la suma de vectores se calcula la Cantidad de movimiento resultante y la dirección que
forma con cada una de las cantidades de movimientos 1 y 2.
Choques
173
P1A



PA




P2A
PA
P1A
P2A
PA = P1A2 + P2A2 + P1A P2A coseno 

. PA . = . P1A . = . P2A
Seno 
Seno 
Seno 
.
Después del choque los vectores son
P1D



PD


PD

P1D
P2D

P2D
PD = P1D2 + P2D2 + P1D P2D coseno 
.
PD . = . P1D . = . P2D
Seno 
Seno 
Seno 
Cumpliéndose, desde luego, que
.
P A = PD
Asignado un coeficiente de restitución e, es muy practico la utilización de la relación de las
energías cinéticas y el coeficiente de restitución, de forma tal a trabajar con escalares.
Kf = e2 Ko + ( 1 – e2 ) KCM
Como puede observarse, es necesario conocer algún dato sobre el movimiento de los
cuerpos después del choque, a fin de resolver el sistema de ecuaciones. Por ej. El vector velocidad
de uno de los cuerpos.
Choques
174
2º Análisis: Hacer coincidir uno de los ejes de coordenadas con la dirección del
Impulso entre los cuerpos en el momento del choque (la dirección de los centros de masa).
m1
m1
m1
V1
U1
V2
m2
U2
Dirección del
Impulso
m2
Como es condición de nuestro estudio que el choque se produzca en la dirección de la
recta que une los centros de masas, esta es la dirección del impulso. Es necesario pues conocer
los ángulos que forman los vectores cantidad de movimiento con esta dirección. ( y
Y

PA2 = m2 V2

PA
X

PA1 = m1 V1
Y

Vectores Cantidad de Movimiento
Antes del Choque
PD2 = m2 U2
PD


PD1 = m1 U1
X
Vectores Cantidad de Movimiento
Despues del Choque
Como sobre el eje X no se produce choque. Consecuentemente los cuerpos mantienen
cada uno su cantidad de movimiento en esta dirección y se cumple que
PAX = PA1X + PA2X y
PA1X = PD1X
PA2X = PD2X
PDX = PD1X + PD2X
Además
PAX = PDX
Choques
175
En cambio sobre el eje Y se produce el choque y por lo tanto
PA1Y + PA2Y = PD 1Y + PD 2Y
Si el coeficiente de restitución es “e”, las velocidades de los cuerpos son:
V1X = U1X
U1Y = ( m1 – e m2 ) V1Y + ( 1 + e ) m2 V2Y
m1 + m2
V2X = U2X
U2Y = ( m2 – e m1 ) V2Y + ( 1 + e ) m1 V1Y
m1 + m2
2
2 1/2
U1 = ( U1X + U1Y ) ,
tan  = U1X / U1Y
2
2 1/2
U2 = ( U2X + U2Y ) ,
tan  = U2X / U2Y
Los ángulos son con respecto al eje “Y”
PROBLEMAS
1
Dos cuerpos de masa m1 = 2 kg. con velocidad de 2 m/s se mueve detrás de otro de masa m2
= 3 kg. y velocidad de 1,5 m/s; sobre la misma recta. Cual es la velocidad de cada cuerpo
después de chocar cuando:
a)
El choque es elástico
b)
El coeficiente de restitución es 0,6
c)
El choque es inelástico
d)
¿Cuál es la energía cinética de cada cuerpo después del choque elástico?
Resp: a)1,4 m / s y 1, 9 m / s
b) 1,52 m / s y 1,82 m / s
c) 1,70 m / s
d ) 1,96 j y 5,42 j
2
Dos cuerpos de masa m1 = 2 kg. con velocidad de 2 m/s y otro de masa m2 = 3 kg. y velocidad
de 1,5 m/s; se mueven uno hacia el otro sobre la misma recta. Cual es la velocidad de cada
cuerpo después de chocar cuando:
a) El choque es elástico
b) El coeficiente de restitución es 0,6
c) El choque es inelástico
d) Determinar el coeficiente de restitución para que la masa m2 se detenga después del
choque.
e) ¿Cuál es la energía cinética del cuerpo después del choque?
Resp: a) – 2,2 m / s y 1,3 m / s
b) – 1,36 m / s y 0,74 m / s
c) – 0,1 m / s
d ) 0,072
d ) 4,84 j y 2,54 j
3
Una bala de 10 g se incrusta en un bloque de 990 g que descansa sobre una superficie
horizontal sin fricción, sujeto a un resorte. El impacto comprime el resorte 15 cm. Del resorte se
sabemos que una fuerza de 2 N produce una comprensión de 0.25 cm. Calcular
a) La constante elástica del resorte
b) La velocidad del conjunto bloque + bala justo después del choque
c) La velocidad de la bala antes del choque
Resp: k = 800 N / m V = 4,24 m / s Vb = 424 m / s
4
Una bala de masa 0.3 kg y velocidad desconocida choca contra un saco de 4 kg suspendido
de una cuerda de 0.5 m de larga y en reposo. Después del choque el saco se eleva hasta que
la cuerda hace un ángulo de 30º con la vertical, mientras tanto la bala describe una parábola,
estando el punto de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1.5 m por debajo. Calcular:
Choques
176
a) La velocidad del saco y la de la bala inmediatamente después del choque
b) La velocidad de la bala antes del choque y la energía perdida en el mismo
c) La tensión de la cuerda cuando esta forma un ángulo de 10º con la vertical
Resp: Vs = 1,15 m / s
Vb = 36,15 m / s
V = 51,4 m / s Ep = 197,5 j
5
Dos bloques A y B, ambos de masa M
Vm
= 15 kg. se hallan inicialmente en
reposo sobre una superficie horizontal
m
sin rozamiento. La masa m = 5 kg. se
mueve inicialmente hacia el bloque B
A
B
con una velocidad Vm = 4 m/s. La masa
m realiza un choque perfectamente
elástico con la masa B y rebota,
chocando nuevamente con la masa A, a las que se adhiere definitivamente. Calcular las
velocidades finales de los bloques.
Resp: UA = – 0,5 m / sUB = 2 m / s
Um = – 0,5 m / s
6
Dos bloques A y B, ambos de masa M = 18 kg. se hallan inicialmente en reposo sobre una
superficie horizontal sin rozamiento. El bloque A tiene
adherida una masa m = 4 kg. El bloque A dispara la
m
masa con una velocidad Vm = 54 m/s. La masa m realiza
A
B
un choque perfectamente elástico con la masa B y
rebota, chocando nuevamente con la masa A, al cual se
adhiere definitivamente. Calcular las velocidades finales
de los bloques A y B.
Resp:
UB = 19,6 m / s
U = – 1,6 m / s
7
Se lanza una pelota contra el piso con una velocidad de 1,5 m/s. La pelota pega contra el
misma formando un ángulo de 30º con la vertical. Determinar, la velocidad de la pelota, el
ángulo que forma con la vertical y la altura que alcanza después de rebotar.
a) Si el choque es perfectamente elástico.
b) Si el coeficiente de restitución es 0,8
Resp:
U = 1,5 m / s = 30º
U = 1,28 m / s
= 54,2º
8
Una pelota cae verticalmente sobre un plano inclinado 30º. Determinar , la velocidad de la
pelota y el ángulo que forma con el plano inclinado al rebotar, en los siguientes casos:
a) Cuando el coeficiente de restitución es 0,5,
b) Cuando el choque es totalmente elástico.
Resp:
U = 0,66 V
= 40,9º
U = V = 60º
m
9
Un cuerpo de masa m cae desde una
altura h1, sobre una cuña de
masa M que se encuentra
h2
sobre
una
superficie
M
horizontal sin rozamiento.,
M
45º
como muestra la figura y
golpea elásticamente con la
misma. Después del choque se dirige horizontalmente y choca también elásticamente,
contra otra cuña idéntica a la anterior. Determinar la altura h2 que alcanza la masa.
Resp: h2 = h1 ( M – m ) / ( M + m )
h1
10 Una partícula de 5 kg de masa moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg de
masa inicialmente en reposo. Si el choque es elástico. Hallar la velocidad de cada partícula
después del choque.
 Si el choque es frontal
 Si la primera partícula se desvió 50º de la dirección original del movimiento.
Resp.: U1 = 0,46 m / s
U2 = 1, 54 m / s
U1 = 1,575 m / s
U2 = 0,974 m / s
= 50,7º
U1 = – 0,586 m / s
U2 = 1,512 m / s
= – 10,7º
Choques
177
11 Un cuerpo de masa m1 = 1 kg. se mueve con una velocidad de 2 m/s. Otro cuerpo de masa 2
kg., tiene una velocidad de 1,5 m/s; formando ambas velocidades un ángulo de 37º.
Calcular la velocidad de ambos cuerpos en los siguientes casos:
a) Cuando el choque es perfectamente inelástico.
b) Cuando el coeficiente de restitución es 0,2
c) Cuando el coeficiente de restitución es 0,8
d) Cuando el choque es perfectamente elástico.
Resp: a) 1,58 m / s
b) 1,54 m / s y 1,61 m / s
= – 5,67º y = 2,7º
c) 1,50 m / s y 1,72 m / s
= – 23,9º y = 10,19º
d) 1,52 m / s y 1,76 m / s
= – 29,96º y = 12,47º
Choques
178
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
DE DINAMICA DE TRASLACION
1
Una masa se suelta desde una altura h sobre un plano inclinado que termina en un rizo
vertical. Calcular:
a)
La altura h necesaria para que el cuerpo tenga
en el punto mas alto del rizo una velocidad del
doble de la velocidad mínima que debe tener
h
para describir el rizo.
b)
La fuerza ejercida por el rizo sobre el cuerpo
R
en ese punto con la velocidad calculada.
Resp.: a) h = 4 R
b) N = 3 m g
2
Un carro “A” de masa “m” y otro “B” de masa “3m”, unidos por un resorte de constante k
inicialmente comprimido, son mantenidos en reposo sobre una superficie plana horizontal.
Cuando los dos carros son liberados simultáneamente, y el carro “A” adquiere una velocidad
“V”. ¿Qué velocidad adquiriere el carro “B”.
Resp.: Vb = V / 3
3
Dos cuerpos de masa m1 = 2 m2 = 2kg. están unidos por un resorte inicialmente comprimido
una longitud X = 10 cm. El resorte tiene una constante k = 10 N / cm. Calcular la distancia
que se mueve cada masa sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre la
superficie y las masas es 0,3.
Resp.: X1 = 0,28 m y X2 = 1,14 m
4
Un bloque de 0.5 kg de masa comienza a
descender por una pendiente inclinada 30º
respecto de la horizontal hasta el vértice O en el
que deja de tener contacto con el plano.
a) Determinar la velocidad del bloque en dicha
posición.
b) Hallar el punto de impacto de la esfera en el
plano inclinado 45º, situado 2 m por debajo
de O, tal como se indica en la figura.
c) Hallar el tiempo de vuelo T del bloque
(desde que abandona el plano inclinado
hasta el punto de impacto).
d) Hallar las componentes tangencial y normal
de la aceleración en el instante T/2.
El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el
plano inclinado es 0.2.
Resp.: a) V = 4,20 m / s
b) L = 4,20 m
2
2
d) at = 8,87 m / s y an = 4,17 m / s
5
El esquema de la figura representa dos
planos inclinados 60º sin rozamiento, dos
planos horizontales AB =BD= 1m con
rozamiento al deslizamiento de coeficiente
 =0.1 y una circunferencia vertical sin
rozamiento de radio R=1 m. Una partícula
de masa m=300 g se abandona sin
velocidad inicial y recorre el camino
OABCDE. Se pide
2m
30º
2m
L
45º
c) T = 1,15 s
O
C
3m
PROB. DINAMICA
E
A
B
D
187
Si la altura de O es de 3 m calcular la velocidad de la partícula en A, B, C y D
a) ¿Cuál será la reacción en los puntos B y C?
b) ¿Cuánto ascenderá por el plano inclinado DE?.
Resp.: NB = 19,8 N
NC = 13,8 N
h1 = 2,8 m
6
Se sujeta una masa m a una cuerda que pasa por un pequeño orificio en una mesa sin fricción
(ver figura). En un principio la masa se encuentra moviéndose en un círculo de radio ro=0.3m
con velocidad vo=1.5m/s. En este instante se tira
lentamente de la cuerda por la parte de abajo
disminuyendo el radio del círculo hasta r=0.1m.
a) ¿Cuál es la velocidad de la masa para ese
valor del radio?
b) ¿Cuánto vale la tensión para ese valor del
radio?
c) Encontrar la expresión de la tensión para cualquier valor de r.
d) ¿Cuánto trabajo se realiza al mover m de ro a r?
3
Resp.: a) V = 4,5 m/s b) T = 405 N
c) T = 0,405 / r d) W = 18 j
7
Una pista de patinaje tiene la forma indicada en la figura.
El primer tramo lo constituye un arco de 48,20º de una
circunferencia de 30 m de radio. El segundo tramo
discurre por un plano inclinado tangente a la
circunferencia en el punto inferior del arco. En el tramo
plano se coloca un muelle (parachoques) de constante
k=40 N/m cuyo extremo libre coincide exactamente con
el final del tramo circular.
Un patinador de 70 kg de masa se deja deslizar con
velocidad inicial nula desde el extremo superior del
primer tramo circular siendo detenido finalmente por la
acción del resorte. A lo largo de la pista no hay
rozamiento. Determinar:
a) La reacción en el punto donde termina la curva y en un punto del plano inclinado.
b) La distancia que habrá comprimido el muelle cuando el patinador se detiene por completo
Resp.: a) NA = 0
NB = 594 N
b) X = 39,63 m
8
Enganchamos una partícula de 1 kg a un resorte de masa
despreciable cuya longitud natural es de 48 cm y la constante
recuperadora 10 N/cm. Lo hacemos girar como un péndulo
cónico con una velocidad angular constante de 60 r.p.m.
Calcular:
a) El alargamiento del resorte.
b) El ángulo que forma la altura del cono con la generatriz.
Resp.: a) X = 2 cm
b) = 60º
9
Una granada de masa m=2 kg, se dispara con una velocidad de 600 m/s haciendo un ángulo
de 60º con la horizontal. Al llegar a su altura máxima la granada hace explosión dividiéndose
en dos fragmentos iguales. Un fragmento cae verticalmente.
a) Determinar el alcance del segundo fragmento
b) Hallar la energía de la explosión
Resp.: a) X = 47700 m
b) E =90000 J
10 Un núcleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de 140 y 90 u.m.a.. La Q de la
6
reacción es de 190 MeV. (un mega M es 10 veces)
Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos.
PROB. DINAMICA
188
-27
Datos: 1 u.m.a. = 1.66 10 kg, 1eV = 1.6 10
Resp.: 7150 m / s
11130 m/s
-19
J
11 Hallar la velocidad con que sale una bala después de haber atravesado una tabla de 7 cm de
grosor y que opone una resistencia constante de 180 kgf. La velocidad inicial de la bala es de
450 m/s y su masa de 15 g. (Emplear dos métodos para resolver el problema: Dinámica y
Teorema de la energía).
Resp.: 431 m / s
12 El péndulo simple de la figura consta de una masa puntual m1=20 kg,
atada a una cuerda sin masa de longitud 1.5 m. Se deja caer desde la
posición A. Al llegar al punto más bajo de su trayectoria, punto B, se
produce un choque perfectamente elástico con otra masa m2=25 kg, que
se encuentra en reposo en esa posición sobre una superficie horizontal
sin rozamiento. Como consecuencia del choque, la masa m1 rebota hasta
alcanzar la posición C a altura h del suelo. Determinar
a) La velocidad de m1 al llegar a la posición B antes del choque y la
tensión de la cuerda en ese instante.
b) Las velocidades de m1 y m2 después del choque.
c) La energía cinética que pierde m1 en el choque.
d) La altura h a la que asciende la masa m1 después del choque.
Resp.: a) V = 5,42 m/s
b) Ui = – 0,6 m/s y U2 = 4,8 m/s
c) K perd = 290 j
d) 0,02 m
13 Una bala de 200 g choca con un bloque de 1.5 kg que
cuelga de una cuerda, sin peso de 0.5 m de longitud,
empotrándose en el bloque. A este dispositivo se le
denomina péndulo balístico.
Responder a las siguientes cuestiones
a) ¿Cuál debe ser la velocidad de la bala para que el péndulo se desvíe 30º?
b) Determinar la tensión de la cuerda en el punto más alto de la trayectoria circular, cuando la
velocidad de la bala es de 45 m/s.
c) ¿Describirá el bloque un movimiento circular cuando la velocidad de la bala es de 40 m/s?.
Razónese la respuesta. En caso negativo, determinar su desplazamiento angular.
Resp.: a) V = 9,74 m/s
b) 12 N
c) No y  = 32,9º
14 Desde un punto B situado a 7.65 m del suelo se deja caer una esfera de madera de 460 gr de
peso; en el mismo instante, desde otro punto A situado a igual nivel que B y distante de éste
270 m se dispara un proyectil de cobre de 20 gr, el cual alcanza la esfera centralmente durante
su caída, quedando empotrada en la misma y alcanzando ambos el suelo a 7.5 m del pie de la
vertical que pasa por B.
a) Determinar el ángulo de tiro  para que se produzca el choque en el punto C.
b) Calcular la velocidad Vode disparo de la bala
Resp.: a)  = 0º b) Vo = 363 m/s
15 Una bala de 10 g se incrusta en un bloque de 990 g que descansa sobre una superficie
horizontal sin fricción, sujeto a un resorte. El impacto comprime el resorte 15 cm. Del resorte se
sabemos que una fuerza de 2 N produce una comprensión de 0.25 cm. Calcular
a) La constante elástica del resorte
b) La velocidad del conjunto bloque + bala justo después del choque
c) La velocidad de la bala antes del choque
Resp.: a) k = 800 N/m
b) V = 4,24 m/ s
Vo = 424 m/s
PROB. DINAMICA
189
16 Tres partículas A, B y C de masas m A = m B = m
y mC = 2 m, respectivamente se están moviendo
con velocidades cuyo sentido se indica en la
figura y de valor VA = VB = V y VC = 2 V. Se
dirigen hacia el origen del sistema de
A
coordenadas al que llegan en el mismo instante.
Al colisionar A y B quedan adheridas y salen en
B
la dirección indicada con velocidad v/2.
60º
A
a) ¿Qué principio aplicas para resolver el
problema?. ¿Por qué?.
b) Determinar la velocidad y dirección con que sale la partícula C.
c) ¿Es un choque elástico?. Razona la respuesta.
1/2
Resp.: b) V = 13 y q = 13,9º
c) Choque no elástico
C
B
17 Un resorte vertical de constante K=1000 N/m sostiene un plato de 2 kg de masa. Desde 5m de
altura respecto al plato se deja caer un cuerpo de 4 kg que se adhiere a él. Calcular la máxima
compresión del resorte
Resp.: a) X = 0,86 m
18 Un cuerpo sube por un plano inclinado 37º
con la horizontal, de superficie rugosa, de “L
b
c
ab “ = 5 m de longitud y coeficiente de
rozamiento 0,2. El plano inclinado, termina en
a
d
37º
una superficie horizontal de “L bc “ = 7 m de
longitud que a su vez termina en otro plano
inclinado 37º con la horizontal igual de largo y rugoso que el anterior. El cuerpo salta sobre la
superficie horizontal y cae exactamente en su extremo, descendiendo por el plano inclinado.
Determinar las velocidades del cuerpo al inicio “Va” y al final de su trayectoria “Vd”.
La trayectoria esta indicada en líneas de punto en la figura.
Resp.: Va = 9,1 m/s
Vd = 10,8 m/s
V
19 Un cuerpo de masa m 1 = 0,5 kg se
mueve con una velocidad Vo = 1,55
o
m / s2 sobre una tabla inicialmente en
m2
m1
reposo de masa m 2 = 2 kg. Si se
F
aplica una fuerza F = 5,55 Nt a la
tabla calcular la aceleración relativa
del cuerpo respecto a la tabla y cual debe ser la máxima longitud de la misma para que el
cuerpo no caiga de ella. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es  = 0,25
2
Resp.: a rel = 1,55 m / s
L = 0,78 m
20 El bloque 9 kg de la figura desciende con una velocidad de 1,5 m / s que se encuentra
disminuyendo a razón de 0,60 m / s2. Determinar:
20 kg
a) El coeficiente de rozamiento entre el bloque de 20 kg.
y el piso.
b) La velocidad de ambos bloques cuando el bloque de
9 kg descendió 1,40 m.
Resp.: a) ms = 0,41
b) Va = 1,125 m/s y Vb
= 0,75 m/s
9 kg
PROB. DINAMICA
190
h
c
30
d
º
b
C
B
R=5m
36,87º
m1
m2
A
21 Una pelota rebota sobre una superficie rígida
y pasa sobre una pared vertical como
muestra la figura. Si el coeficiente de
restitución es 0,8, la pelota se suelta desde
una altura h = 1m y la bola pasa sobre el
muro justo en su altura máxima, determinar
las longitudes b, c y d
Resp.: b = 63 cm c = 103 cm
d = 44 cm
22 Dos cuerpos de masa m1 = 0,5 kg y m2 = 2 kg suben por
una pista circular como indica la figura y chocan en el
punto "B", justo cuando la masa m1esta por despegarse
de la pista. Este choque permite a la masa m1 alcanzar el
punto "C" mas alto de la pista. Si el coef de restitución del
choque es e = 0,8, calcular:
a) La velocidad mínima de la masa m2 en punto "A"
b) Describir que pasa con la masa m2 después del
choque,
Resp.: a) V2 = 15,35 m/s
b) Sube un poco mas
y se despega de la pista.
23 Una pelota de masa "m" se mueve
horizontalmente con velocidad v = 1 m/s, choca
elásticamente contra una cuña de masa "3m" y
sigue la trayectoria indicada en la figura. El
ángulo  que forma el plano inclinado de la

cuña con la horizontal es 30º
Calcular: a) la velocidad "U" con que se mueve la cuña después del choque.
b) la velocidad "u" de la pelota luego del choque.
24 Dos carros de una montaña rusa de masa "m1" y "m2" , salen sin velocidad desde dos alturas
diferentes "h1" y "h2" y chocan en la recta "AB", con un coeficiente de restitución e = 0,8,
recorren el rizo vertical de radio R1, bajan por una pendiente de altura H y recorren una
circunferencia
m1
horizontal de radio
R2 con ángulo de
2 R1
peralte 45º. Si se
m2
desea que el carro
C
h1
h2
mas lento llegue al
punto "C" y que el
carro mas rápido no
A
HB
derrape en el punto
45º
D
"D"
DETALLE D
Calcular el mínimo valor
R2
de "h1" y "h2" sabiendo
que m1 = 100 kg, m2 = 50 kg, R1 = 1,96 m, R2 = 40,33 m y H = 8,07m.
Resp.: h1 = 10 m y h2 = 2,5 m
PROB. DINAMICA
191
25 Un balón cae sobre una superficie rígida y
rebota como muestra la figura. Si el
coeficiente de restitución es 0,9 y el ángulo
 = 20º. Determinar
a) La distancia "C" en la que el balón toca
el suelo y
b) La altura máxima "D" medida desde la
superficie horizontal.
Resp.: C = 2,80 m
D = 0,67 m
1,2 m
D

0,3 m
C
26 El cuerpo 1 de masa "m" se mueve, sin rozamiento sobre el cuerpo 3 de masa M = 4m con una
velocidad V = 3,3 m / s y choca con el cuerpo 2, también de masa "m", inicialmente en reposo.,
siendo el coeficiente de restitución 0,9.
El cuerpo 2 tiene rozamiento con el cuerpo
2
1
3 y el coeficiente cinético de rozamiento
3
entre ambos cuerpos es k = 0,2.
Determinar
a) La longitud "L" para que el cuerpo 2 no
caiga del 3. Entre el cuerpo 3 y la
L/2
superficie no hay rozamiento.
L
27 Resp.: a) L = 4,00 m.
28 Un carro se mueve sobre una pista circular horizontal de radio 1 m y con peralte de 1 %,
Sobre la misma pista se encuentra
estacionado otro carro 2, con un coeficiente
de rozamiento estático entre sus ruedas y la
pista de 0,25, determinar:
a) La máxima velocidad que debe tener el
carro 1 antes de chocar con 2, para que
este último no salga de la pista después del choque y el 1 continúe con la velocidad
determinada por el peralte. Considerar un coeficiente de restitución 0,6
b) Dar la relación entre las masas M1 / M2, para esta situación.
Resp.: M1 / M2 = 1,17
V = 2,17
29 Una masa m = 0,5 kg., se coloca sobre una
tabla de longitud L = 1,77 m, masa M = 2 kg.;
que se encuentra sobre un plano inclinado 37º;
como indica la figura. El plano inclinado tiene
un tope que impide que la tabla caiga de él.
La masa "m" llega al otro extremo de la tabla en el
instante en que esta choca contra el tope, y cae de
la misma. Si toca el suelo a una distancia horizontal
igual a la altura, determinar estas. El coeficiente de
rozamiento cinético entre la masa y la tabla es k1
= 0,3 y entre la tabla y el plano inclinado es mk2 =
0,48
m
M
37
º
Resp.: X = Y = 3,825 m
PROB. DINAMICA
192
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
MOVIMIENTO DE LOS
LOS CUERPOS RIGIDOS
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS RIGIDOS
El análisis realizado en los capítulos anteriores, al no considerar las dimensiones del cuerpo, ni los
puntos de aplicación de las fuerzas; reduce el cuerpo a una masa puntual, y el movimiento de masa puntual,
como ya señalamos antes, es el movimiento del centro de masa.
Sin embargo los cuerpos tienen dimensiones y la masa se encuentra distribuida en el volumen del
cuerpo, de forma que están constituidos por infinidad de masas puntuales. Se denomina Cuerpo Rígido, aquel
cuyas posiciones relativas de las masas puntuales, que lo constituyen, no cambian en le tiempo.
En la cinemática y la dinámica estudiada en los Capítulos anteriores, se consideraron movimientos de
traslación y de rotación de las masas puntuales. Los cuerpos rígidos, tienen , también, movimientos de
traslación y de rotación pura, y además pueden tener movimiento de combinados de rotación y traslación.
MOVIMIENTO DE TRASLACION
DE LOS CUERPOS RIGIDOS
En la cinemática de las masas puntuales, se estudiaron como movimientos de traslación, el movimiento
rectilíneo y el movimiento parabólico.
Para que los cuerpos rígidos tengan estos mismos movimientos, se debe cumplir la condición de que
los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones de todas las masas puntuales que constituyen el
cuerpo deben ser de igual magnitud, direcciones paralelas y sentidos igualmente dirigidos.
Obviamente no es necesario que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una masa puntual
tengan las mismas direcciones y sentidos, pero si, los desplazamientos de dos masas puntuales del cuerpo, sus
respectivas velocidades y aceleraciones sean vectores iguales y paralelos.
Así, en los movimientos rectilíneo y parabólico, el movimiento de todos y cada uno de los puntos
tendrán las mismas ecuaciones planteadas en el capitulo correspondiente, y basta con estudiar el movimiento
de uno de los puntos para conocer el de todos los demás.
MOVIMIENTO RECTILINEO
MOVIMIENTO PARABOLICO
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CINEMATICA GENERAL
66
MOVIMIENTO DE ROTACION
DE LOS CUERPOS RIGIDOS
Para que un cuerpo rígido tenga movimiento circular, es necesario que por algun mecanismo el cuerpo
esté sujeto a un punto fijo, interior o exterior del mismo. De esta forma se cumplen las siguientes condiciones:
a) Todas las masas puntuales del cuerpo describen circunferencias.
b) Estas circunferencias se encuentran o en el mismo plano o en planos paralelos
c) Los centros de todas las circunferencias se encuentran sobre la misma recta que constituye el eje
de rotación.
d) Todos los puntos del cuerpo tienen igual desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración
angular.
e) Las velocidades tangenciales, aceleraciones tangenciales y aceleraciones normales o centrípetas
son iguales solamente para los puntos que se encuentran a igual distancia del eje de rotación.
Observación: Los puntos C y D son esenciales para el desarrollo de la dinámica de rotación de los
cuerpos sólidos.
Eje de rotación
MOVIMIENTO DE TRASLACION
Y ROTACION SIMULTANEA
DE LOS CUERPOS RIGIDOS
Cuando los cuerpos tienen movimiento de rotación alrededor de un punto o un eje y este, a su vez
realiza un movimiento de traslación se está en presencia del Movimiento General de los cuerpos rígidos. En
este movimiento de traslación y rotación simultanea o roto traslación, como también se denomina, se cumplen
las siguientes condiciones:
a)
b)
c)
Todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad angular y aceleración angular alrededor del
eje de rotación.
Las velocidades y aceleraciones de cada punto es la suma vectorial de la aceleración tangencial de
la rotación relativa alrededor del eje mas la velocidad y la aceleración del eje de rotación.
La resultante de sus velocidades y aceleraciones hacen que los puntos del cuerpo describan
trayectorias curvilíneas.
Un caso típico de este movimiento es el de las ruedas, que mientras su centro se mueve en movimiento
rectilíneo, todos los demás puntos giran alrededor del mismo.
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CINEMATICA GENERAL
67
Si la rueda gira sin resbalar, esto es, a cada punto de la rueda le corresponde un punto de la superficie,
es relativamente sencillo encontrar las velocidades resultantes de los diferentes puntos.
En el grafico se representa la velocidad del centro Vc de la rueda con un ángulo en la punta de la flecha
y la velocidad tangencial del movimiento de rotación VT con un triangulo.
Como el cuerpo se mueve sin resbalar,
cuando la rueda da una vuelta completa, el eje se
traslada un espacio igual a la longitud de la
circunferencia, de forma que siempre el arco de
circunferencia es igual al espacio.

Vc
VT
S=e
Para la rotación se cumple:
=t
VT =  R
S=R=tR
S = VT t
Para la traslación:
e = Vc t
e=S
Por lo tanto
Vc = VT
Vc
Vc
VT
Vc t = Vt t
Cuando el cuerpo rueda sin resbalar la velocidad tangencial de un punto de la periferia es igual a la
velocidad de traslación del centro de la rueda.
Como consecuencia la velocidad del punto superior de la rueda es el doble de la velocidad del centro.
V = Vc + VT = 2 Vc.
En cambio, la velocidad del punto inferior, de contacto con el piso es la diferencia de ambas
velocidades, resultando que este punto en ese instante tiene velocidad cero.
V = Vc – VT = 0.
Como este punto esta quieto en ese instante, se puede considerar que todos los otros puntos del
cuerpo giran alrededor de él. En realidad, en este movimiento siempre se pueden encontrar puntos, sobre el
cuerpo o fuera de él, que en un instante tienen velocidad nula. Estos puntos o ejes se denominan ejes
instantáneos de rotación, y todo el cuerpo gira alrededor del mismo, en ese instante.
En este caso, por la condición de girar sin resbalar la velocidad angular con respecto al eje instantáneo
de rotación es igual a la velocidad angular con respecto al centro de la circunferencia. No siempre es así.
Si el cuerpo gira y resbala, la VT no es
Vc, por lo tanto el punto de contacto entre la
el piso tiene una velocidad V = Vc – VT
Para encontrar su eje instantáneo de
se toman a escala dos vectores velocidad
y se traza un triangulo rectángulo. Uno de los
es uno de los vectores velocidad, el otro cateto
perpendicular común a ambos vectores trazada
punto de aplicación; y la hipotenusa es la recta
las puntas de ambos vectores. El vértice formado
hipotenusa y la perpendicular es el centro
instantáneo de rotación, tal como indica la figura.
igual a la
rueda y

Vc
Vc
rotación,
paralelos
catetos
es
la
en
su
que une
por
la
+ VT
Vc
– VT
Centro Instantáneo
de rotación
Cuando la rueda gira y resbala, la
velocidad
tangencial, no es igual a la velocidad del centro
de
la
rueda, por lo que la velocidad angular alrededor del centro de la rueda, no es igual a la velocidad angular
alrededor del centro instantáneo.
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CINEMATICA GENERAL
68
En general, para conocer el eje instantáneo de rotación, basta con conocer la dirección de las
velocidades de dos puntos del cuerpo, trazar perpendiculares a esos puntos y el punto de intersección de las
velocidades, es el eje instantáneo de rotación.
En la figura 1 muestra una barra apoyada en la pared y el piso, que resbala y va cayendo. Las
velocidades de los extremos de la barra tienen dirección conocida, y trazando las perpendiculares a estos
puntos encontramos el eje instantáneo de rotación.
FIGURA 1
FIGURA 2
En la figura 2, la barra está apoyada en el piso y en un semicilindro. En este caso conocemos la
dirección del extremo apoyado en el piso y del puntote contacto entre la barra y el semicilindro. Trazando las
perpendiculares a estas direcciones encontramos el eje instantáneo de rotación.
Por relaciones geométricas, se puede encontrar la relación entre las velocidades y las aceleraciones
tangenciales de ambos puntos, así como, el valor de la velocidad angular instantánea. Es importante,
considerar que todos estos valores instantáneos, por lo tanto, validos solamente para esa posición.
PROBLEMAS
1. Una rueda gira y resbala sobre una superficie horizontal. Sabiendo que la velocidad del centro de la
rueda es de 2 m / s y la velocidad angular con respecto al centro es 4 rad / s, determinar la posición del
centro instantáneo de rotación y la velocidad angular del cuerpo con respecto a este punto.
2. En la figura 1 se conoce que la barra tiene una longitud de 2 m y está apoyada en la pared a una
altura de 1,8 m. Si la barra se encontraba inicialmente en reposo, apoyada verticalmente contra la pared,
¿Cuál es la velocidad y la aceleración del extremo que toca el suelo? La berra no tiene rozamiento, de
forma que cae libremente.
3. En la figura 2, la barra de longitud L, toca el semicilindro a una distancia de ¾ L, medida desde el
piso y el radio del semicilindro es ¼ L. La velocidad del extremo en el piso es 2 m / s ¿Cuál es la velocidad
del punto que apoya en el semicilindro y del otro extremo de la barra?
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CINEMATICA GENERAL
69
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
DINAMICA DEL CUERPO
SÓLIDO
MOMENTO DE LA FUERZA
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
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Dinámica Momento
193
Dinámica Momento
194
DINAMICA DEL CUERPO
MOMENTO DE LA FUERZAS
MOMENTO DE INERCIA
El análisis de la dinámica realizado en los capítulos anteriores, al no considerar las
dimensiones del cuerpo, ni los puntos de aplicación de las fuerzas; reduce el cuerpo a una masa
puntual. La consideración que se hace es que todos los puntos del cuerpo tienen las mismas
condiciones cinemáticas; igual desplazamiento, velocidad y aceleración. El punto considerado es el
Centro de Masa de los cuerpos y las fuerzas se suponían aplicadas en este punto.
Sin embargo, los cuerpos tienen dimensiones y las fuerzas son aplicadas en diferentes
puntos del mismo. Para analizar a los cuerpos debemos considerar no solo que el cuerpo tiene
dimensiones, sino que además, las posiciones relativas de las masas puntuales que forman el
cuerpo no cambian, estos cuerpos son llamados Cuerpos Rígidos.
Si por algún mecanismo el cuerpo está sujeto a un punto fijo, interior o exterior del mismo,
las condiciones cinemáticas son las consideradas en el capitulo anterior como movimiento de
rotación de los cuerpos rígidos, y por consiguiente las consideraciones dinámicas sean diferentes a
las anteriormente estudiadas.
Experimentalmente encontramos que la acción de la fuerza está condicionada por la
posición de la misma, y relacionada con la rotación que genera. La interacción de los cuerpos que
considera la posición de las fuerzas aplicada a los mismos, es:
MOMENTO DE LA FUERZA
El producto vectorial del vector de posición por
el vector Fuerza

= r x F
El Momento de la fuerza es por lo tanto un vector de módulo igual al producto del modulo
del vector de posición por el módulo de la fuerza por el seno del ángulo que forman ambos
vectores. Su dirección es perpendicular al plano formado por los vectores y su sentido esta dada
por la regla de la mano derecha.
Considerando una masa puntual “m”, cuyo vector de posición con respecto a un punto fijo
es “r1”, que además esta obligada por algún mecanismo a girar alrededor de este; y sobre él actúa
una fuerza “F”.
La fuerza es
F
 =r ^ F
F =m a
La aceleración tangencial del cuerpo en función de la
aceleración angular es
r
m
O
a = ^ r
Dinámica Momento
195
Sustituyendo en el momento

=m ( r ^ (^ r ))
Este producto de vectores es conocido como doble producto vectorial. En un doble
producto vectorial (por ejemplo, X = A ^ ( B ^ C ) ) la solución es
X=(A.C)B–(A.B)C
Donde ( A . C ) y ( A . B ) son productos escalares multiplicados por los vectores B y C
respectivamente
Entonces el momento es

=m ( r . r )  + ( r . r
El producto escalar del segundo sumando es nulo pues
perpendiculares entre si.

De esta forma
r y  son vectores
=m r2 
2
El producto “m r ” es una característica que depende de la masa y la posición de la misma
con respecto al punto fijo alrededor del cual gira. Es una característica geométrica del cuerpo. Esta
característica es la Inercia que tiene un cuerpo para adquirir cierta aceleración angular ante la
acción de un momento. Así como la masa es la Inercia para que el cuerpo tenga un movimiento de
2
traslación, m r es la Inercia del cuerpo para tener un movimiento de rotación. Por lo tanto el
MOMENTO DE INERCIA
Es la propiedad del cuerpo que le permite
adquirir una aceleración angular ante la acción
del momento de una fuerza.
I = m r2
El momento de Inercia así definido es el Momento de Inercia de una masa puntual.
Si sobre un cuerpo formado por dos masa m1 y m2,
rígidamente unidas, tal que su posición relativa no puede
cambiar, y fijo por algún mecanismo a su centro de masa,
se le aplica fuerzas F1 y F2 respectivamente, se cumple que
El momento de la resultante F es igual suma de los
momentos de las fuerzas componentes, F1 y F2.
En este caso se cumple que
F = F 1 + F2
y
F = F1
+ F2
F2
F1
m1
cm
m2
F = r1 x F1 + r2 x F2
F
= r1 ^ (m1 a1) + r2 ^ (m2 a2)
Como ambas masa se encuentran fijas al centro de masa, tienen la misma aceleración
angular

Resulta
a1 = ^ r1
F = ( m1 r12
y
a2 = ^ r2
+ m2 r22 ) 
Dinámica Momento
196
El Momento de Inercia con respecto al centro de masa del cuerpo constituido por las dos
masas, es la suma del momento de inercia de cada masa.
I CM = m1 r12 + m2 r22
Para calcular el Momento de Inercia de un cuerpo, como el de la
figura, se divide la masa en masas pequeñas; y su Momento de Inercia
es la suma de los productos de cada masa por el vector de posición al
cuadrado.
I cm = Σ mi ri 2
2
En su forma integral es I cm =  r dm
Este es finalmente un calculo Integral, cuyo resultado para diferentes figuras, se da
continuación.
MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO
AL C. M. DE ALGUNOS CUERPOS
L
R
Aro
I = M R2
Varilla
I = . M L2 .
12
Aro
I = . M R2 .
2
b
b
R
h
Superficie
cuadrangular
I = . M (b2 + h2).
12
R
Superficie
cuadrangular
I = . M b2 .
12
Dinámica Momento
Circulo
I = . M R2 .
2
R
Circulo
I = . M R2 .
4
197
L
R2
R
R1
R
Cilindro sólido
I = . M R2 .
2
Cilindro sólido
I = . M ( 3R2 + L2 ).
12
Cilindro hueco
I = . M (R12 + R22 ).
12
b
h
Prisma Rectangular
I = . M (b2 + h2 ).
12
Esfera sólida
I = . 2 M R2 .
5
Cascarón esférico
I = . 2 M R2 .
3
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
DE STEINER
Todos los momentos de inercias calculados mas arriba se refieren a ejes que pasan por el
centro de masa de los cuerpos. Cuando el eje alrededor del cual gira un cuerpo es diferente al que
pasa por el centro de masa es necesario calcular su momento de inercia con respecto a ese eje.
Steiner demostró cual es el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje cuando se
conoce el momento de inercia con respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de
masa.
En la figura de abajo el eje A es paralelo al eje O que pasa por el centro de masa.
Si dividimos el cuerpo en masas muy pequeñas m, cada una con una posición roi con
respecto al centro de masa O, el momento de Inercia con respecto al centro de masa de cada una
es
Ioi = m i roi2
Dinámica Momento
198
El momento de inercia del cuerpo respecto al centro de masa es
Io = ( m i roi2 )
A
O
i
A
a
ri
i
a
ri
O
roi
roi
El vector a indica la posición del centro de masa con respecto al eje A. El vector ri, es la
posición de mi con respecto al eje A. Por lo tanto
ri = a + roi
ri2 = a2 + roi2 + 2 a roi cos i
El momento de inercia de la masa puntual con respecto al eje A es:
IiA = mi ri2
IiA = mi (a2 + roi2 + 2 a roi cos i )
IA =  IiA 
 m
= i (a2 + roi2 + 2 a roi cos i )
a cos i es igual para cada masa pequeña que consideramos.
IA =  mi a2 +  mi roi2 + 2 a cos i  mi roi
 mi roi = m r, r donde posición del centro de masa, tomada desde el centro de
masa, por lo tanto es cero, es decir
IA =  mi roi2 +  mi a2
I A = Io + m a 2
El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje paralelo a otro, que pasa por el
centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al centro de masa más el producto de
la masa por la distancia, entre los dos ejes, al cuadrado.
Dinámica Momento
199
MOMENTO DE LA FUERZA Y
LA ACELERACION ANGULAR
Arriba quedo demostrado que el momento es igual al momento de Inercia por la
aceleración angular. Así como, la fuerza es la causa de la aceleración lineal de los cuerpos, el
Momento de la Fuerza es la causa de la aceleración angular de los cuerpos y, de la misma forma
que la masa en la dinámica de traslación, el Momento de Inercia nos indica la capacidad que tiene
los cuerpos para girar con mayor o menor aceleración angular. En otras palabras el Momento de
Inercia es la medida de la inercia de rotación.
 =
I
Esta es una Ley física similar a la 2ª Ley de Newton. En la 2ª Ley la aceleración que
adquiere un cuerpo por la acción de una fuerza, depende de una propiedad del cuerpo, que es la
masa.
En cambio la aceleración angular que adquiere un cuerpo por la acción del momento de la
fuerza, además de depender de la masa, propiedad del cuerpo, depende de la forma del mismo. La
forma del cuerpo determina los vectores de posición de las masas puntuales que forman el cuerpo.
Así, dos cuerpos de igual masa y bajo la acción de un mismo momento, tendrá mayor aceleración
angular, aquel que tenga mayor cantidad de masa cercana al eje de rotación, porque tiene menor
momento de inercia.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Si en las figuras de arriba todos los cuerpos tienen igual masa, entre las figuras 1 y 2, la
figura 1 tiene mayor momento de inercia y tendrá menor aceleración angular. Entre la figuras 3 y 4,
la figura 3 tiene mayor momento de inercia y tendrá menor aceleración angular
CONSIDERACIONES SOBRE LA FUERZA
DE ROZAMIENTO EN UNA POLEA
Una polea fija que tiene una cuerda sin masa que pasa por ella, como se indica abajo en la
figura 1. La polea tiene rozamiento con la cuerda de tal forma que esta no desliza sobre la misma.
Y la cuerda tiene en sus extremos dos tensiones
T2
FRoz
N
T2
FRoz
Figura 3
Figura 1
T1
Figura 2
T1
Dinámica Momento
200
La figura 2 es el diagrama del cuerpo libre de la cuerda, y la figura 3 el diagrama del cuerpo
libre de la polea. Para esta última no consideramos las reacciones en los apoyos, porque vamos a
considerar solamente los momentos con respecto al centro de la polea.

lo tanto
Para la cuerda
= r T1 – r T2 – r FRoz = I c 
El momento de inercia de la cuerda es nulo porque consideramos a la misma sin masa, por
r T1 – r T2 – r FRoz = 0
T1 – T2 = FRoz
=
Para la polea
r FRoz = I p 
Reemplazando FRoz por su igual se cumple para la polea que el momento de las tensiones
es igual a su momento de inercia por la aceleración angular
r T1 – r T2 = I p 
Por consiguiente al considerar que el momento de las tensiones es la causa de la
aceleración angular de la polea se esta considerando el momento de la fuerza de rozamiento.
A continuación se analizan tres problemas
m2
er
 1 PROBLEMA
Un cuerpo de masa m3 es movido por otro cuerpo de
masa m1, al cual se encuentra unido por medio de una
cuerda sin peso que pasa por una polea de masa m2
m3
k
m1
Los diagramas de los cuerpos libres son
T1
N
T2
R
FROZ
g
T2
m2 g
T1
m3 g
m1 g
Las ecuación para la masa m1 es:
 X = m 1 g – T1 = m 1 a
La masa m2 no tiene traslación por lo que la ecuación dinámica es la de rotación

 = T1 r
– T2 r = I 
I = m r2 / 2
Las ecuaciones para la masa m3 son:
 X = T2 – FROZ = m1 a
 Y = N – m3 g = m 1 a
Dinámica Momento
201
FROZ = k N
a = r
Además se cumple la relación cinemática
a = g ( m1 + k m3 )
m1 + m 3 + m 2 / 2
Obteniéndose
Puede notarse como en el denominador aparece la masa m2 multiplicada por el
coeficiente correspondiente al momento de inercia.
Las fuerzas pueden obtenerse una vez conocida la aceleración.
 2º PROBLEMA
m3
m4
Una maquina de Atwood, consiste en una polea
fija de la cual cuelgan dos pesos diferentes, al soltarse
los pesos la polea gira generándose un movimiento que
es utilizado para mover otras piezas.
La polea en este caso es una polea compuesta
de dos poleas que se mueven juntas y de radios R y r
diferentes, como muestran las figuras. Las masas de
los cuerpos son las indicadas.
masa.
m1
m2
Se desea determinar las aceleraciones de cada
Los diagramas de los cuerpos libres son los siguientes
T2
T1
T1
m1 g
T2
m2 g
La ecuación para la masa m1 es
 Y = m 1 g – T1 = m 1 a 1
La polea no tiene traslación por lo que la ecuación dinámica es la de rotación

 = T1 R
– T2 r = I 
I = m3 R2 / 2 + m4 r2 / 2
Nótese que el Momento de Inercia de la polea compuesta es la suma del Momento de
Inercia de cada una de ellas. Siempre que el cuerpo que gira es compuesto, el Momento de Inercia
es la suma de los momentos de Inercia de las partes.
La ecuación para la masa m3 es
 Y = T 2 – m2 g = m 2 a 2
Dinámica Momento
202
Obsérvese que se está considerando que la masa m1 tiene aceleración para abajo, por lo
cual la masa m2 acelera para arriba; y se considera el sentido positivo de la fuerzas en cada
cuerpo, el sentido de su aceleración.
Además se cumplen las relaciones cinemáticas
a1 =  R
a2 =  r
=.
g ( m 1 R – m2 r )
.
2
2
2
2
m1 R + m2 r + m3 R / 2 + m4 r / 2
Obteniéndose
En la expresión de la aceleración angular el numerador es la sumatoria de momentos de
fuerzas (los pesos en este caso) y el denominador es la suma de momentos de inercia. Las masas
m1 y m2 aparecen como masas puntuales para sus momentos de inercia
er
 3 PROBLEMA
Un péndulo físico está compuesto de una
varilla de masa m1 y longitud L y de una esfera de
masa m2 y radio R. El péndulo puede oscilar alrededor
del extremo libre de la varilla.
L/2
r

L/2
La ecuación dinámica del péndulo es
 = I 
m1 g

La posición del centro de masa del cuerpo con
respecto al punto de oscilación es r, y el peso total del
mismo es
M g = m1 g + m 2 g
m2 g
Mg
Y, como el momento de la resultante es igual al momento de las fuerzas componente
 = M g r seno = m1 g (L / 2 ) seno + m2 g ( L + R ) seno 
=
I
M g r seno = I 
o
m1 g (L / 2 ) seno + m2 g ( L + R ) seno  = I 
El momento de inercia del cuerpo con respecto al punto de oscilación de cada uno es igual
al momento de inercia con respecto al centro de masa mas la masa por la distancia al punto de
oscilación (Teorema de Steiner) y el momento de inercia total es la suma de ambos.
I = I0 esf + m2 ( L + R )2 + I0 var + m1 (L/ 2 )2
Dinámica Momento
203
PROBLEMAS
1
A
Si el sistema de la figura parte del reposo hallar:
a) El Momento de Inercia de la polea con respecto a su eje.
b) La aceleración angular de las poleas.
c) La aceleración de las masas M1 y M2
d) Las Tensiones en cada cuerda.
Se conocen los siguientes datos: M1 = 1 kg, M2 = 0,5 kg,
MB =1kg, MA = 2 kg, diámetro de B = 20 cm y diámetro de
A = 40 cm y el coeficiente de rozamiento cinético
s = 0.25. El ángulo que forma el plano inclinado con la
horizontal es  = 37º.
B
M1
M2
B A
M1
Resp.: a) I = 0,045 kg. m2 b) a1 = 0,65 m / s2 y a2 = 0,33
m / s2 c) a1 = 0,65 m / s2 y a2 = m / s2
d) T1 = 3,27 N y
T2 = 5,0 N
2
Una masa m cuelga de la polea A de masa 2m. Una
correa une la polea A con otra polea B de masa 4m y de
radio mayor que la polea A. Determinar:
a) La aceleración "a" de la masa m
b) La Tensión T1 en la cuerda que sostiene la masa m
c) La diferencia de tensiones T3 - T2, en la correa que une las
poleas.
Resp.: a) a = g / 4
b) T1 = 3 m g / 4
c) T3 – T2 = m g / 2
Dinámica Momento
M2
A
B
m
204
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
d
L

1
h1
h
mg
DINAMICA DEL CUERPO
SOLIDO
TRABAJO Y
ENERGIA EN ROTACION
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
Energía de Rotación
205
Energía de Rotación
206
TRABAJO Y ENERGIA CINETICA
DE ROTACION
F
Si el cuerpo se mueve del punto A al B, de la figura, por
efecto de la fuerza F, siempre tangente a la circunferencia, esta
fuerza realiza un trabajo que es igual a la fuerza por el espacio
recorrido. Ver en el Capitulo de Trabajo y Energía, el 2º caso de
Trabajo de una fuerza variable. Donde el espacio es la longitud
de la cuerda AB. La longitud de la cuerda es igual al producto
del radio por el ángulo medido en radianes. Luego el trabajo es
B
r

O
A
r
W=eF=rF
Y “r F ” es el modulo del momento de la fuerza, luego
W = 
Para calcular la Energía Cinética de un cuerpo que gira, se plantea el problema de cual es
la velocidad a ser considerada pues cada punto del cuerpo tiene una velocidad diferente. En el
gráfico se indican los vectores velocidad para diferentes puntos del cuerpo que gira alrededor del
eje indicado. Cada punto de masa m del cuerpo tiene una Energía Cinética igual a
Ki = m V i2 / 2
La Energía cinética total del cuerpo es
K = ( m V i2 / 2)
Donde
Vi = ri  entonces
K = (m ri2 2 / 2) = ( m ri2 ) 2 / 2
y como
( m ri2 ) es el momento de inercia del cuerpo, la Energía Cinética es
K = . I 2 .
2
CONSERVACION DEL TRABAJO Y LA ENERGIA
Como en la dinámica del punto el trabajo realizado por el momento es la variación de la
energía cinética de rotación
=
Donde el trabajo es
=( – )/ 2
W =  / 2 – / 2
W = f – K0
Energía de Rotación
207
Si se considera un sistema de cuerpos que interactuan entre sí por medio de fuerzas; estas
fuerzas son fuerzas internas del sistema, por ejemplo las tensiones; y en consecuencia sus
trabajos se anulan al hacer las consideraciones energéticas del sistema. Algunos cuerpos del
sistema pueden tener movimiento de traslación y otros de rotación alrededor de un eje fijo. Para los
primeros se debe considerar su energía cinética de traslación y para los otros la energía cinética de
rotación.
En un sistema de cuerpos se cumple que:
 Wi =  K tras +  K rot +  U
Donde en la sumatoria del trabajo de las fuerzas no se debe incluir el trabajo de la fuerza
de rozamiento por rodadura, aunque sí el trabajo de las fuerzas de rozamiento por deslizamiento,
como veremos en el problema siguiente.
m2
er
 1 PROBLEMA
Un cuerpo de masa m3 es movido por otro cuerpo de
masa m1, que desciende una altura h y al cual se encuentra
unido por medio de una cuerda sin peso que pasa por una
polea de masa m2.
k
m1
h
Considerando cada cuerpo en forma separada, las
fuerzas que actúan sobre ellos son:
T1
m3
N
T2
R
FROZ
g
T2
m2 g
T1
m3 g
m1 g
Planteando para cada cuerpo la conservación
W = U + K
El trabajo y las energías para la masa m1 son
W = – T1 h
U = – m1 g h
K = m1 V2 / 2
– T1 h = – m 1 g h + m 1 V 2 / 2
La masa m2 no tiene traslación por lo que la ecuaciones dinámicas son las de rotación
W =   =  (T1 r – T2 r) =  r (T1 + T2)
W = h (T1 – T2)
r=h
K = I2 2 / 2
h (T1 – T2 ) = I2 2 / 2
Demostramos en el capitulo anterior que en la polea el momento de las tensiones es igual
al momento de la fuerza de rozamiento en la polea ( T1 r – T2 r = Frp r ), vemos que el trabajo
realizado por el momento de las tensiones, que es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento;
se convierte en la Energía Cinética de Rotación de la polea.
Energía de Rotación
208
Las ecuaciones para la masa m3 son
W = T2 h – Fr3 h
K = m3 V2 / 2
U = 0
T2 h – Fr3 h = m3 V2 / 2

V =  r e I = m 2 r2 / 2
Además se cumplen las relaciones
Sumando los tres trabajos se obtiene
W = –T1 h + h (T1 – T2 ) + T2 h – Fr3 h = – Fr3 h
Resultando que los trabajos de las tensiones se anulan, porque las tensiones en el
sistema de cuerpos son fuerzas internas. Es decir, se puede plantear directamente la conservación
del trabajo y la energía del sistema formado por todos los cuerpos.
W = U + K
– Fr3 h = – m1 g h + m1 V2 / 2 + I2 2 / 2 + m2 V2 / 2
V2 = .
2 (m1 g – Fr3) h
m1 + m 2 / 2 + m 3
.
Puede notarse como en el denominador aparece la masa m2 multiplicada por el
coeficiente correspondiente al momento de inercia.
CONSIDERACION SOBRE EL PRINCIPIO GENERAL
DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA
El principio general de conservación de la energía dice que “la energía no se pierde, se
transforma”. Esto es observable en el problema anterior. El trabajo realizado por las tensiones en
las poleas, se transforma en energía cinética de la polea. En los otros cuerpos ese trabajo también
influye en la variación de la energía cinética.
Al considerar todo el sistema los trabajos de las tensiones se anulan mutuamente y solo
persiste la variación de la energía cinética de la polea. De igual forma podemos decir que el trabajo
es el valor de la variación de la energía de otro u otros cuerpos en algún punto del universo y no
considerados en el sistema en estudio. Esta variación de energía, no es necesariamente la
variación de energía mecánica.
Por ejemplo, para todo el sistema, en estudio, la variación de la energía potencial del
cuerpo 1, se convierte en energía cinética de los otros cuerpos, mas el calor producido por la
fricción del cuerpo 3 suponiendo que todo el trabajo de la fuerza de rozamiento se convierte en
calor.

2º PROBLEMA
El mismo péndulo físico anterior, compuesto de una varilla de masa m1 y longitud L y de
una esfera de masa m2 y radio R, puede oscilar alrededor de un punto situado a una distancia d
del extremo de la varilla.

W = U + K 
Energía de Rotación
209
es nulo.
No existen fuerzas ni momentos externos actuando sobre el cuerpo, por lo que el trabajo
Cuando el péndulo pasa por la posición vertical, la
variación de la energía potencial es
d
L/2
U = – m1 g (L / 2 – d) (1 – coseno  – m2 g h
L/2
Y la variación de la energía cinética es

m1 g
K = I1 2 / 2 + I2 2 / 2
Los momentos de inercia de los cuerpos con respecto
al punto de oscilación son
h
m2 g
I1 = I0 var + m1 (L/ 2 – d )2
I2 = I0 esf + m2 ( L – d )2
Resultando
2 = 2 g ( m1 (L / 2 – d) ( 1 – coseno + m2 h )
I1 + I 2

er
3 PROBLEMA
Un péndulo físico esta compuesto de una varilla
de longitud L y masa despreciable y una esfera de masa
m y radio R. El péndulo puede oscilar alrededor de un
punto situado a una distancia d del extremo libre de la
varilla, que tiene rozamiento en este eje de oscilación. El
d
L
rozamiento genera un momento .



W = U + K
A diferencia del problema anterior, en este hay un
momento externo y, por lo tanto, un trabajo generado por
el momento.
Cuando el péndulo pasa por la posición vertical,
el trabajo realizado es
1
h1
h
mg
W = – 
Las variaciones de las energías potencial y cinética son las mismas que en el problema
anterior.

U = – m g h
K = I 2 / 2
–  = – m g h + I 2 / 2
Energía de Rotación
210
El momento de inercia del cuerpo con respecto al punto de oscilación es
I = I 0 esf + m ( L +R – d )2
Resultando la velocidad angular en la posición vertical
2 = 2 (m g h – 
I
La altura máxima que sube el cuerpo en cuando pasa al otro lado está dada por las
ecuaciones siguientes
–  +
Y
1 ) =
m g h1 – m g h
coseno = 1 – h / (L – d)
coseno 1= 1 – h1 / (L – d)

Generalmente en estos procesos no se puede conocer el valor del momento y se mide h
y h1, para conocer los ángulos a partir del coseno y calcular el valor del momento de la fuerza de
rozamiento.
PROBLEMAS
1
Tres esferas de masa 1 kg. y radio 20 cm., están unidas entre sí por medio de una barra de
masa despreciable y longitud 1,50 m. que se encuentra
L/2
L/2
inicialmente en posición horizontal El sistema puede girar
alrededor del punto “P” y el momento de inercia de la esfera
2
con respecto a un eje que pasa por su centro es 2/5 M R .
Calcular:
1
2
3
a) El momento de Inercia de las esferas del sistema.
P
b) La aceleración angular del sistema en la posición inicial.
c) La aceleración lineal de la masa 3 en esa posición.
2L/3
L/3
d) La velocidad angular del sistema cuando se encuentra en
posición vertical.
e) La velocidad lineal de la masa 1 en esta última posición.
2
2
2
Resp: a) I = 1,36 k m
b)  = 5,4 rad / s
c) a3 = 2,7 m / s
d)  = 3,29 rad / s
e) V = 3,29 m / s
2
Un disco gira dando n 1 revoluciones por unidad de tiempo. Si hacemos que el disco gire con n
2 revoluciones por unidad de tiempo, tal que n 2 < n 1 , y el paso de uno a otro se realizó en
un tiempo “t” Dar la ecuación de la aceleración angular en función a los datos. Determinar el
trabajo realizado y decir si es positivo o negativo. Explicar.
2
2
2
Resp.: a = 2  ( n2 – n1 ) / t
W = 2 I  ( n2 – n1 ) - negativo
3
Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de
masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de
radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se
haya suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el
centro de una de las esferas, y es desviado 65º de la posición de
equilibrio estable.
Determinar la velocidad angular del péndulo cuando, una vez soltado,
retorna a la posición de equilibrio estable
Resp.:  = 3,27 rad / s
Energía de Rotación
211
4
Si el sistema que se muestra en la figura 1 parte del reposo,
hallar:
a) El momento de Inercia de las Poleas respecto a sus ejes.
b) La aceleración angular de la polea.
c) El numero de vueltas que el sistema da en los primeros 20 s.
d) La Energía cinética de todo el sistema cuando la masa m 2
sube 1 m.
m 1 = 10 kg, m 2 = 5 kg, , m A = 2 kg, ,
Resp.: a) I = 0,17 kg. / m2
c) 755 vueltas
B
A
20 cm
10 cm
2
m B = 8 kg, I = m R /2
b) a = 23,7 rad / s2
d) K = 147 j
Energía de Rotación
m1
m2
212
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
L
m1
V
m2
DINAMICA DEL CUERPO
SOLIDO
IMPULSO Y
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
Impulso y _Cant de Mov angular
213
Impulso y _Cant de Mov angular
214
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULARES
La fuerza cuyo momento genera el movimiento circular, puede ser variable o actuar
durante tiempos muy pequeños, tal como se plantea en el Impulso de la Fuerza. Ante la
imposibilidad de conocer la fuerza y como para la dinámica de rotación es necesario conocer el
momento, planteamos el momento del impulso.
Imp = F t
r ^ Imp = r ^ F t = t
IMPULSO ANGULAR
Es el producto vectorial del vector de
posición por el vector Impulso de la fuerza,
por lo tanto es igual al Momento de la fuerza
por el tiempo
r ^ Imp = t 
El impulso angular es un vector perpendicular al plano formado por la fuerza y el vector de
posición.
El impulso de una fuerza es igual a la variación de la cantidad de movimiento, de manera
que el momento del impulso es igual al momento de la variación de la cantidad de movimiento
angular.
Imp =  P = ( mV – m Vo)
r ^ Imp = r ^  P = r ^ ( mV – m Vo) = m r ^ V – m r ^ Vo
Téngase en cuenta que todos son productos vectoriales
MOMENTO DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO
es el producto vectorial del vector de
posición por el vector cantidad de
movimiento
L=r^P
L = I  
La cantidad de movimiento es P = m V y V =
 r de forma que
r ^ P = r ^ m V = r m  r = m r2 

L=r^P=I
Impulso y _Cant de Mov angular
215
La magnitud física momento de inercia por velocidad angular es la cantidad de movimiento
angular.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ANGULAR
es el producto del momento de inercia del
cuerpo por la velocidad angular.
L = I  
Las magnitudes momento de la cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento
angular son las mismas, de acuerdo a la deducción.

La ecuación L = I , induce a pensar que el vector
cantidad de movimiento angular tiene necesariamente la dirección
del vector velocidad angular. Esto no es siempre así.
P
L
Se debe considerar que la cantidad de movimiento
angular es el producto vectorial del vector de posición por el
vector cantidad de movimiento. Este producto no siempre tiene la
dirección del vector velocidad angular.
r
r
En realidad el momento de Inercia I es una magnitud
tensorial, y los tensores en general son magnitudes que
multiplicadas por una magnitud vectorial dan por resultado otra
magnitud vectorial diferente.
P
En el gráfico tenemos un cuerpo formado por dos masas puntuales que tienen movimiento
circular, en dos planos paralelos y cuyas cantidades de movimientos P son las indicadas.
L= r^P
El vector L tiene que ser perpendicular al plano formado por los vectores de posición r y
cantidad de movimiento P.
Definidos el Impulso y la Cantidad de Movimiento Angulares analizaremos el
comportamiento físico de estas magnitudes.

El momento de la fuerza es  el impulso angular es
.
Por lo tanto
t  ()
t t, y
t
=
= 
El Impulso angular es igual a la variación de la cantidad de movimiento angular.
t
= L f – L0
CONSERVACION DE LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO ANGULAR
Impulso y _Cant de Mov angular
216
Si al considerar un sistema de masas no existe un momento externo que actúe sobre el
mismo, el impulso angular es nulo y por lo tanto la cantidad de movimiento angular se conserva.
L f = L0
I f f = I 0 0
Como vemos se puede variar el momento de inercia del cuerpo, variando su forma, y así
variar la velocidad angular.
Este fenómeno es que permite a un clavadista dar una vuelta completa en el aire antes de
caer al agua. Para el efecto al saltar encoge el cuerpo disminuyendo su momento de inercia y
logrando de esta forma una mayor velocidad angular.
De igual forma las bailarinas de ballet giran sobre las puntas de los pies y extienden sus
brazos y piernas para disminuir su velocidad.
er
 1 PROBLEMA
Una tabla de masa M1 desliza sobre una mesa horizontal con velocidad constante V0,
alcanza un cilindro de masa M2 y radio r, que puede girar sobre su eje, pasando sobre él, como se
muestra en la figura 1
V0
V
FR
OZ
M1
FR
Figura 1

OZ
M2
Figura 2
Figura 3
Cuando el cuerpo pasa sobre el cilindro, existe un rozamiento en la superficie de contacto,
como se muestra en la figura 2. El rozamiento sobre la tabla se opone a su movimiento y sobre el
cilindro es de sentido contrario generando la rotación del mismo.
De esta forma cuando la tabla abandona el cilindro tiene una velocidad V y el cilindro
queda girando con una velocidad angular .
Para la tabla se cumple que:
 X = Froz = m a
a = V – V0
t
Froz = m V – V0
t
Froz = m V – m V0 = P – P0
t
t
Para el cilindro se cumple que:
  = r x Froz = I 
Impulso y _Cant de Mov angular
=
t
217
r x Froz = I 
t
Para reemplaza la fuerza de rozamiento para la tabla en esta última ecuación, se debe
tener en cuenta que la misma es de sentido contrario a la del cilindro
r x ( – (m V – m V0 ) = I 
t
t
r m V0 = r m V + I 
r P0 = r P + I 
De esta forma se demuestra que la suma del momento de la cantidad de movimiento de la
tabla mas la cantidad de movimiento angular del cilindro después de terminar de pasar la tabla, es
igual al momento de la cantidad de movimiento de la tabla antes de pasar.
 2º PROBLEMA
Una barra de longitud L y masa m1 puede girar
horizontalmente alrededor de uno de sus extremos. Una bala de
masa m2 se mueve con velocidad V y choca
perpendicularmente en la mitad de la barra quedando incrustada
en ella. La barra empieza a girar con una velocidad angular 
conjuntamente con la barra.
L
El momento de la cantidad de movimiento de la bala
antes de chocar es igual a la cantidad de movimiento angular de
la barra y la bala.
m2
m2
m1
V
V = Ib  + m2 (L / 2)2 
El momento de inercia de la barra con respecto al punto de giro es
Ib = I0 + m1 (L / 2)2 = m1 L2 / 12 + m1 L2 / 4
I b = m 1 L2 / 3
Con estas ecuaciones se puede calcular la velocidad angular de la barra.
er
 3 PROBLEMA
Una bala de masa m2 choca contra un disco de
masa m1 formando un ángulo  con la dirección del
radio en ese punto y queda incrustada en él.
t
r
= Lf – L0
Como en el choque no se existe fuerza externa
el impulso angular es nulo.

m2
Impulso y _Cant de Mov angular
V
m1
218
t
= 0
El momento de la cantidad de movimiento angular entes de chocar es:
L0 = r m2 V seno 
Lf = I D  + m 2 r 2 
I D = m 1 r2 / 2
0 = m1 r2  / 2 + m2 r2  – r m2 V seno 

 = m2 V seno 
m1 r / 2 + m 2 r
CHOQUE DE CUERPOS RIGIDOS QUE GIRAN
En las consideraciones del choque de cuerpos rígidos, en el que uno de ellos, por lo
menos, tiene movimiento de rotación; se debe considerar que no existe momento de una fuerza
externa actuando. Por consiguiente, el impulso angular es nulo, de forma tal que la cantidad de
movimiento angular o momento de la cantidad de movimiento se conserva. Es decir, la suma de las
cantidades de movimiento angular antes del choque es igual a la suma de las cantidades de
movimiento después del choque.
L A = LD
Donde L = m r V
o
L =I 
dependiendo que el cuerpo gire o se
traslade, antes o después de chocar. El
vector de posición r, en la primera
igualdad; es la distancia desde el centro de
rotación del otro cuerpo a la recta de la
dirección del vector velocidad.
L1A + L2A = L1D + L2D
r
r
V1
U2 = 2 r
U1
El coeficiente de restitución, en
este caso, es la relación entre las
velocidades relativas de traslación o
tangenciales del punto de contacto de los
cuerpos, puesto que es la relación entre los impulsos durante la restitución y la deformación de los
cuerpos.
e = U2 – U1
V1 – V2
En la figura se puede observar lo siguiente:
a) El momento de la cantidad de movimiento del cuerpo 1 antes de chocar es L1A
= r V1
L2D = I 2
c) La velocidad U2 que debe ser considerada en el coeficiente de restitución es U2 =  r
b) La cantidad de movimiento angular del cuerpo 2 después de chocar es
Con la aplicación de estas observaciones, en los casos que corresponden, se plantean los
problemas de choque.
Impulso y _Cant de Mov angular
219
PROBLEMAS
1
Un hombre de masa 80 kg, se encuentra parado en el borde de una plataforma circular de
masa 40 kg y radio 2 m que gira con una frecuencia de 3,6 vueltas por minuto.
a) Si el hombre empieza caminar sobre la plataforma en el sentido de su giro, cual
debe ser su velocidad para que la plataforma se quede quieta?
b) Cual es la velocidad angular de la plataforma si el hombre camina con el doble de
la velocidad calculada antes?
Resp:. a) V = 0,942 m / s
b)  = – 0,12 
2
Hallar la cantidad de movimiento angular (módulo, dirección y sentido) de una partícula de
masa m=2 kg que describe un movimiento circular en el plano XY en el sentido de las agujas
del reloj, de 40 cm de radio, con una velocidad angular de 50 r.p.m.
2
Resp:. a) L = 1,67 kg m / s
3
Un mazo compuesto de una barra homogénea de masa m1 = 3 kg. y longitud L = 1 m., tiene
en uno de sus extremos una esfera maciza de masa m2 = 1 kg y radio R = 39,2 cm y el otro
extremo se encuentra suspendido como indica la figura. Si se suelta el conjunto desde la
posición horizontal, la esfera golpea contra una masa
L
2R
m3 = 1,55 kg. Calcular:
1)
la velocidad angular de la barra con la
esfera luego del golpe y
2)
a velocidad de la masa m3; de forma tal
que el choque sea:
a) elástico
b) .inelástico con coeficiente de restitución 0,8
c) perfectamente inelástico.
Resp:.
1 = 0 rad / s - V = 6,05 m / s
4
Un proyectil de masa
m = 20 g impacta
d
tangencialmente con una
velocidad de 7,5 m / s en
R
un disco de masa M = 1
kg. y radio R = 0,5 m y
queda adherido en él.
d
Sobre
el
disco
se
encuentra otra masa m =
V
200 g a una distancia d =
0,25 m; que tiene un
coeficiente de rozamiento estático s = 0,3. Suponiendo que la masa no desliza durante el
choque, determinar:
a) Si la masa se mantiene en la posición en que se encontraba inicialmente.
b) La máxima velocidad que puede tener la masa que choca contra el disco, para que la
otra no deslice
Resp:. a) No
b) V = 6,4 m / s
5
Las barras AB y AC de la figura tienen masas m AB = 1,5 mAC e
igual longitud; y están pivotadas sobre el mismo eje en el punto
A, en el otro extremo tienen un sistema que permite enganchar
las barras. Si se suelta la barra AB de la posición indicada en la
figura, determinar
a) el máximo ángulo que forman las barras con la vertical luego
de engancharse
b) La perdida de energía que se produce en el proceso.
Resp.: a = 50º
b) E perd = 6 mAC g L
Impulso y _Cant de Mov angular
B
A
C
220
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
DE DINAMICA DE ROTACION
1
m2
Una masa m1 = 5 kg, que se encuentra sobre
un plano inclinado un ángulo  = 37º, esta
m3
unido por medio de una cuerda una masa m2
= 10 kg. Los coeficientes de rozamiento de la
m1
masa m1 son s1 = 0,35 y k1 = 0,30 y los de
la masa m2 son s2 = 0,25 y k = 0,20. La
polea tiene una m3 = 1 kg y un radio R = 10
cm. Calcular

a) Las fuerzas de rozamientos de las masa
m1 y m2 en la condiciones enunciadas.
(Observación: Tenga en cuenta que tg 
> s1 )
b) Calcular el ángulo para el cual el cuerpo esta en movimiento inminente
c) Si el cuerpo está en movimiento para el ángulo calculado en la pregunta anterior,
determinar la aceleración del sistema,
2
Resp. a) Fr1 = 1,4 kgf y Fr2 = 1,6 kgf
b)  = 47º
c) a = 0,40 m / s
2
La polea "C" de la figura consiste en un cilindro de masa m C =
3,6 kg y diámetro d = 15 cm entre dos discos cilíndricos de
masa MC = 0,9 kg y diámetro D = 45 cm. cada uno. Un
resorte de constante k = 3,6 kg/cm esta unido a la polea por
cuerdas como indica la figura "B". Una segunda cuerda pasa
por una polea de masa despreciable y esta unida a un cuerpo
"A" de masa 13,5 kg. En el instante en que el cuerpo "A" tiene
una velocidad de 1,2 m/s, el resorte se encuentra estirado
una longitud Xo = 10 cm
Calcular la máxima altura "H" que desciende la masa "A" desde
esa posición.
Resp. H = 2,6 m
3
Se dispara un proyectil de masa m = 20 g, contra un
péndulo físico formado por una esfera de radio R =
0,75 m y masa m1= 0,25 kg y por una varilla de
longitud L = 2 m y masa m2 = 1,25 kg El atraviesa la
esfera exactamente por su centro y sale con una
velocidad V = 100 m / s.
Calcular la velocidad mínima Vo con que se debe
disparar el proyectil para que el péndulo describa
una circunferencia vertical.
Resp. V = 400 m / s
Vo
V
4
0
A
A
B
B
figura 1
L
figura 2
La rueda uniforme "A" (200 mm de diámetro
y 10 kg) esta inicialmente como muestra la
figura 1 y gira a 4500 r.p.m., mientras La
rueda uniforme "B" (400 mm de diámetro y
20 kg) permanece quieto. Luego la rueda "A"
se pone en contacto con la rueda "B" (figura
2). Si el coeficiente de rozamiento cinético
entre las dos ruedas es 0,1. Determinar:
a.- ¿Se conserva la cantidad de movimiento
angular?
b.- ¿Se conserva la energía cinética?
PROB DINAM DE ROTACION
237
c.- El tiempo necesario para que ambas ruedas giren sin deslizar.
d.- La velocidad angular de cada rueda cuando giran sin resbalar.
Resp. a) No se conserva, los momentos de los rozamientos son diferentes b) No se conserva
c) t = 16 s
d) A = 157 rad / s y B = 78,5 rad / s
5
Un cuerpo 1 de masa m1 se dirige hacia otro
cuerpo 2 de masa m2 = 2 m1, con una velocidad
Vo; choca, y vuelve para chocar contra una varilla
de longitud L que se encuentra pivotada en su otro
L
Vo
extremo (como muestra la figura) y queda
adherida a la varilla. Si el coeficiente de restitución
en el primer choque es e = 0,8 y la masa M = 1,5
1
2
m1, determinar:
a) La velocidad angular de la varilla después del choque en función de Vo
b) La velocidad de los cuerpos 1 y 2 después de que choquen entre si, siendo m1 = 0,75 kg,
Vo = 6,5 m/s.
c) La velocidad angular de la varilla, después de que esta choque si L = 1,3 m.
Resp. a)  = 0,2 V0 / (( m1 + M/3) L)
b) U1 = –1,30 m/s y U2 = 3,90 m/s
c)  = 0,2 rad / s
6
Dar la expresión que permite calcular el valor de la fuerza P para que el cuerpo 1 tenga una
aceleración a1, conociendo el coeficiente de rozamiento cinético k y las siguientes relaciones:
m2 = m1 / 2, m3 = 2 m1, m4 = 3 m1 / 4 y R3 = 2 R4
Resp. P = m1 ( 5 m g / 4 + 71 a1 / 32)
P
m
3
m
1
m
2
R
4
R
3
m
4
7
Un proyectil de masa m1 = 100 g. tiene una velocidad de 100 m/s. choca contra un péndulo
físico justo a la altura del centro de la esfera y que da incrustado en él. Sabiendo que su masa
es m3 = 500 g y su radio 10 cm y que la varilla del péndulo tiene una masa m2 = 200 g y una
longitud de 90 cm. calcular:
a) La altura que sube el centro de masa de la esfera.
b) El ángulo que forma el péndulo con respecto a la posición inicial cuando alcanza su altura
máxima.
Resp. H = 2 m
 = 180º
8
Un cubo sólido de lado a = 10 cm y masa M = 2 Kg. Se desliza sobre una superficie sin
rozamiento con velocidad uniforme "V", como se puede ver en la figura. Golpea un pequeño
reborde al final de la mesa, lo que hace que el cubo se incline como muestra la figura.
Encuentre le valor mínimo de "V" para que el cubo caiga de la mesa.
2
El momento de inercia del cubo alrededor de su arista es 2 M a / 3
V
Resp. V = 1,92 m/s
PROB DINAM DE ROTACION
238
9
Una polea compuesta de tres
poleas diferentes está girando con
P
40 cm
40 cm
una velocidad angular  = 3 rad / s.
en
sentido
contrario
a
las
manecillas del reloj. La polea mayor
"A" tiene una masa m A = 1 kg. y
radio RA = 20 cm y por medio de
una cuerda mediana "B" tiene una
B
A
C
masa m B = 2 kg. y radio R B = 40

cm y de la misma cuelga una masa
m 2 = 1 kg. y la polea mayor "C"
tiene una masa m C = 2,50 kg. y un
radio Rc = 0,5 kg.
Sobre esta última polea actúa un
sistema de freno consistente en una
palanca articulada en uno de sus
extremos, cuyo coeficiente de
m1
m2
rozamiento con la polea es k = 0,2.
Determinar:
a) Si las poleas están acelerando o frenando.
b) La velocidad de las poleas y de las masas a los 2 s.
c) Cual es la fuerza P necesaria para que las poleas empiecen a acelerar en sentido contrario
al determinado en a)
Resp.:
a) frenando
b)  = 0 y V = 0
c) P < 1,5 kgf.
10 La figura muestra una tabla homogénea de masa M, longitud L, apoyada en parte sobre una
mesa horizontal rugosa y con su extremo libre a una distancia d del borde A de la mesa. Justo
encima de dicho extremo se encuentra una pieza de masa m, la cual se deja caer a partir del
reposo desde una altura h.
h
A
d
L
Luego, la masa impacta en el extremo de la barra, consiguiendo esto, que el sistema obtenga un
movimiento de rotación en torno al borde de la mesa. Suponiendo que la pieza se adhirió a la barra
y que la barra no desliza sobre la mesa durante su rotación, calcula:
a) La velocidad angular del sistema justo después del impacto.
b) La máxima desviación angular de la barra.
c) Ahora bien, imagina que en la posición de máxima desviación angular la barra esta a punto
de deslizar sobre la mesa. Determina entonces, el coeficiente de rozamiento estático entre
ambas superficies.
M = 2 Kg
m = 200 g
d = 40 cm
L = 100 cm
h = 1,80 cm
Resp.: a)
 = 1,78 rad / s
b)  = 17,17º
c)  = 0,30
PROB DINAM DE ROTACION
239
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
DINAMICA DEL CUERPO
ROTACION Y TRASLACION
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
Rotación y Traslación
221
Rotación y Traslación
222
ROTACION Y TRASLACION
En el Capitulo Movimiento de los Cuerpos Rígidos, se describe el movimiento de los
cuerpos que giran alrededor de un punto y este a su vez se traslada. En este capitulo se va a
estudiar la dinámica del dicho movimiento llamado también, Movimiento General de los Cuerpos
Rígidos. Como se describe en ese Capítulo, es posible realizar dos análisis de este movimiento,
tanto en su cinemática, como es su dinámica. Un análisis es considerar la rotación alrededor del
eje de rotación y la traslación del mismo. Otro análisis es el de rotación del cuerpo alrededor de un
punto llamado eje instantáneo de rotación. Vamos a hacer el análisis de algunos movimientos.
RUEDA SIN RESBALAR
Para el análisis dinámico de un cuerpo que rueda sin resbalar es necesario hacer algunas
consideraciones cinemáticas.

Cuando el cuerpo rueda sin resbalar, a cada punto del cuerpo en contacto con el suelo
le corresponde un punto de este último. Cuando se cumple esta relación, la longitud
del arco que tocó el suelo, es igual a la longitud del espacio recorrido por el cuerpo (el
centro de masa) sobre el suelo.
R=s

La velocidad tangencial en los puntos de contacto es igual y de sentido contrario a la
velocidad del centro de masa.
V t =  x R = – VCM

La aceleración tangencial en los puntos de contacto es igual y de sentido contrario a la
aceleración del centro de masa.
a t =  x R = – aCM
Un ejemplo de este movimiento es el que realizan las ruedas de los vehículos.


VCM
VCM
VT

Método de Análisis 1 – Rotación y traslación
El análisis se puede realizar a partir de considerar la dinámica de traslación del centro de
masa y la dinámica de rotación alrededor del centro de masa, en concordancia con las condiciones
cinemáticas establecidas mas arriba. Para la dinámica de rotación, se considera el momento de
inercia con respecto al centro de masa, que es el eje de rotación.

 F = m acm

Rotación y Traslación
cm = I cm 
223
El análisis del trabajo y la energía para la traslación es 
rotación es  W =  KROT
 ( F e) = m g  h + m  V2 / 2
W =  U +  KT y para la
F ) = I cm   / 2
2
Al hacer la sumatoria de los trabajos se encuentra que dependiendo del punto de
aplicación de las mismas, algunas fuerzas pueden hacer doble trabajo; otras fuerzas, trabajo nulo,
como por ejemplo la fuerza de rozamiento; y otras hacen un solo trabajo.

Método de Análisis 2 – Rotación pura
Si se considera el punto de contacto entre el cuerpo y
el piso, este tiene la velocidad del centro de masa y la
velocidad tangencial. Ambas velocidades son iguales y de
sentido contrario, lo que significa que ese punto del cuerpo, en
ese instante no tiene velocidad. Es decir este es el eje
instantáneo de rotación.
En consecuencia, es posible considerar que el cuerpo,
en ese instante, gira alrededor de él y tiene rotación pura
alrededor de ese punto.
masa.

VT
VCM
VCM
VT
La velocidad del punto superior es la suma de la velocidad tangencial y la del centro de
Las ecuaciones que se deben plantear son las ecuaciones de la dinámica de rotación con
respecto a ese punto. Los momentos de las fuerzas, el momento de inercia y la energía cinética de
rotación deben ser con respecto a ese punto.
La velocidad angular es la misma que en el análisis anterior, considerando que la velocidad
del centro de masa es igual a la velocidad tangencial del borde. La aceleración del centro de masa
y la aceleración tangencial, también son iguales, por lo tanto la aceleración angular es la misma del
análisis anterior.

A = I A 
 W =  U +  KROT
2
KROT = I A  / 2
FUERZA DE ROZAMIENTO
Es interesante analizar el comportamiento de la fuerza de rozamiento en algunos
problemas de rotación y traslación
er
 1 PROBLEMA
Un cuerpo tiene un movimiento de rotación y traslación sobre un plano inclinado. Por
ejemplo un aro, un cilindro sólido, una esfera maciza o un cascarón esférico.
Rotación y Traslación
224

Método de rotación y traslación
Sobre el cuerpo actúan tres fuerzas: el peso, la normal y la
fuerza de rozamiento. Las ecuaciones dinámicas con respecto al
centro de masa son:
P seno  – FR = m a cm

a cm =  r
N
FROZ
FR r = I cm 
P

El momento de inercia depende de una constante y de la masa por el radio al cuadrado.

I cm = k m r2
De donde resulta
a cm = . g seno  . = g seno 
( 1 + I cm / m r2)
(1+k)
FR = . m g seno  . = m g seno 
( 1 + m r2 / I cm )
(1+1/k)
Considerando la fuerza de rozamiento como estática, el punto no se mueve, la fuerza de
rozamiento máxima es
FR =  N =  m g coseno 
Igualando la fuerza de rozamiento, el ángulo para que el cuerpo empiece a deslizar es
tan  =  ( 1 + 1 / k )
En el instante en que el cuerpo empieza a resbalar se cumple que
tan  > 

Método de rotación pura
Planteando el momento de las fuerzas con respecto al punto de apoyo A
P seno  r = I A 
a cm =  r
I A = I cm + m r2 = k m r2 + m r2 = m r2 ( 1 + k )
a cm = g seno 
(1+k)
Resultando
Igual a lo obtenido por el otro método.

Análisis de la Energía y el Trabajo.

Método de rototraslación
Para la traslación se cumple que
WFR = U + KT
Rotación y Traslación
225
WFR = – FROZ d
KT = m V2 / 2
U = – m g h
– FROZ d = – m g h + m V2 / 2
Reemplazando
Para la rotación se cumple que
WFR =  = FR r 
WFR = FROZ d
KROT = I 2 / 2
WFR = KROT
Remplazando

r =d
FROZ d = I 2 / 2
Observando la ecuación de traslación y la de rotación se observa que la fuerza de
rozamiento realiza igual trabajo en la traslación y en la rotación, negativo en un caso y positivo en
el otro. Igualando las ecuaciones resulta
– I 2 / 2 = – m g h + m V2 / 2
m g h = m V2 / 2 + I 2 / 2
Podemos observar que la energía potencial se utiliza para que el cuerpo tenga energías
cinéticas de traslación y de rotación, y el trabajo total realizado por el cuerpo es nulo.
2
De la última ecuación se obtiene que V = 2 m g h /
que si el cuerpo bajase con movimiento de traslación solamente.

( 1 + k), una velocidad menor
Método de rotación pura
W = KROT
W =  = m g seno  r 
W = m g seno  d
seno  d = h
Reemplazando
r =d
KROT = IA 2 / 2
I A = I cm + m r2 = m r2 ( 1 + k )
m g h = m r2 ( 1 + k ) 2 / 2
m g h = m V2 / 2 + I cm 2 / 2
 2º PROBLEMA

Análisis Dinámico
Considerando un cuerpo que gira sin resbalar, primero descendiendo por un plano
inclinado; luego se mueve sobre una superficie horizontal y, finalmente, asciende sobre otro plano
inclinado de igual pendiente que el anterior. Todas las superficies son del mismo material e
igualmente pulidas, por lo que tienen igual coeficiente de rozamiento.
Rotación y Traslación
226
N
N
FROZ
FROZ
N
P
 P

P
En el primer tramo, para que el cuerpo gire alrededor del centro de masa, debe existir una
fuerza de rozamiento, cuyo momento haga girar el cuerpo. Esta fuerza de rozamiento es contraria
a la velocidad del centro de masa.
En la superficie horizontal, si la fuerza de rozamiento es contraria a la velocidad del centro
de masa, aumentaría su velocidad angular y disminuiría la velocidad del centro de masa, lo cual es
imposible. En consecuencia no puede haber fuerza de rozamiento en este tramo.
Cuando el cuerpo esta ascendiendo, en el tercer tramo, disminuye la velocidad del centro
de masa y por lo tanto la velocidad angular, de ahí que, la fuerza de rozamiento tiene la misma
dirección de la velocidad.

Análisis de la Energía y el Trabajo.
Conviene considerar el trabajo y la energía en el plano horizontal. Si existiese una fuerza
de rozamiento, los trabajos de la misma en la rotación y en la traslación se anularían mutuamente.
El plano es horizontal por lo cual no existe variación de la energía potencial
Consecuentemente la energía cinética de traslación no pude aumentar porque entonces la
energía cinética de rotación tendría que disminuir y en este caso la velocidad del centro de masa
no puede ser igual a la velocidad tangencial del punto de contacto. El cuerpo no giraría sin
resbalar.
er
 3 PROBLEMA
Por último se analiza el mismo cuerpo que se mueve por la acción de una fuerza F, sobre
un plano horizontal. La fuerza puede ser colocada, por algún mecanismo, en cualquier posición a
una distancia “r” por arriba del centro de masa.

Análisis Dinámico
F – FR = m a cm

2R
F r + FR R = I cm 
2r
a cm =  R
F
De donde resulta
a cm = F ( 1 – r / R ) = F ( 1 – r / R)
( M – I cm / R2)
M(1 – k)
FROZ
FR = F (I cm – m R r ) = F ( k R – r )
( I cm + m R2 ) R ( 1 + k )
Rotación y Traslación
227
El análisis de las ecuaciones de aceleración y fuerza de rozamiento, tiene algunos casos
notables. Por ejemplo
que:
Para que la fuerza de rozamiento tenga el sentido indicado en el gráfico, se debe cumplir
kR–r>0
Si k
= r / R la aceleración es F / M y la fuerza de rozamiento es cero
Si k < r / R la aceleración es menor que F
sentido indicado en el gráfico

k>r/R
/ M y la fuerza de rozamiento es contraria al
Analisis de la Energía y el Trabajo.
Para la traslación se cumple que
 W = KT
Reemplazando
KT = m V2 / 2
 W = F e – FR e
F e – FR e = m V 2 / 2
Para la rotación se cumple que
WFR = KROT
 W =  )= ( FR R  + F r  )
R =e

r =d
d=er/R
 W = FR e + F e r / R
Reemplazando
FR e + F e r / R = Icm 2 / 2
Sumando las dos ecuaciones obtenemos
F e + F e r / R = m V2 / 2 + I 2 / 2
F e ( 1 + r / R ) = m V2 / 2 + I 2 / 2
Por un lado, nuevamente no aparece el trabajo de la fuerza de rozamiento y por el otro, se
debe notar que el trabajo de la fuerza “F” se realiza a lo largo de la distancia “e” que se movió el
centro de masa mas la distancia “d = e r / R” que se desenrolló la cuerda utilizada,
correspondiente al arco de circunferencia que se movió el punto de aplicación de la fuerza.
Rotación y Traslación
228

N
FROZ
2R
VT
P
d
VT
VCM

Figura 1
VCM
Figura 2
V1
V2
VCM
Centro
Inst. de
Rotación
Figura 3
V1 / (2 R + d) = V2 / d
V1 d = 2 V2 R + V2 a
d = 2 V2 R / ( V1 – V2)
Vcm = W (R+d) = W ( R + 2 V2 R / ( V1 – V2)) = W ( V1 R – V2 R + 2 V2 R)
Vcm = W ( V1 + V2) R
Vcm / ( R + d) = V2 / d
Vcm d = V2 R + V2 d
d = V2 R / ( Vcm – V2)
Vcm = W (R+d) = W ( R + V2 R / ( Vcm – V2)) = W ( V1 R – V2 R + 2 V2 R)
Vcm = W ( V1 + V2) R
Rotación y Traslación
229
Rotacion y traslacion
1
Un bloque de masa m = 20 kg., unido mediante
una cuerda a una polea sin masa desliza a lo
largo de una mesa horizontal con coeficiente
de rozamiento dinámico 0,1. La polea está
conectada mediante otra cuerda al centro de
un carrete cilíndrico de masa M = 5kg. y radio
R = 0,1 m que rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado 30º.
a) Relacionar la aceleración del bloque y del centro de masa del cilindro.
b) Calcular la aceleración del centro de masa del cilindro y las tensiones de las cuerdas.
c) Calcular la velocidad del centro de masa del cilindro cuando ha descendido 3 m a lo largo
del plano inclinado, partiendo del reposo (Resolver esta ultima pregunta empleando la
conservación de la energía)
Resp.: a) 0,6 m / s2
b) 1,2 m / s2
c) Vc = 2,68 m / s
2
Un bloque y un cilindro de 2 y 8 kg. respectivamente,
están unidos por un hilo inextensible y sin peso que pasa
por una polea en forma de disco de 0,5 kg. de masa y 20
cm de radio, situada en la unión de dos planos inclinados
de 30º y 60º de inclinación. Sabiendo que el coeficiente
de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,5. Calcular:
a) Las tensiones de las cuerdas y las aceleraciones de
los cuerpos
b) La velocidad de los cuerpos cuando se han
desplazado 2 m a lo largo de los planos, sabiendo que parten del reposo. Calcular por los
dos procedimientos y comprobar los resultados..
Resp.: V = 1,23 m / s
3
Un disco de 2 kg. de masa y radio 30 cm rueda sin deslizar
a lo largo de un plano horizontal, una cuerda arrollada a una
hendidura hecha en el disco, de radio 15 cm está unida a
través de una polea de masa 0,5 kg. a un bloque de 10 kg.,
que pende del extremo de la misma tal como se indica en la
figura. Calcular:
a) La aceleración del bloque, del centro de masa del disco
y las tensiones de las cuerdas.
b) La velocidad del bloque una vez que ha descendido 5 m partiendo del reposo. Para el
disco, plantear la conservación de la energía considerando el eje instantáneo de rotación.
Resp.: a) a = 8,46 m / s2, a CM = 5,64 y T1 = 11,28 N, T2 = 13,4 N
b) V = 9,20 m / s
4
Dos discos iguales de masa m y radio R, están dispuestos
como indica la figura. Calcular :
a) La aceleración del c de m del disco inferior.
b) La velocidad del centro de masa del disco inferior cuando
ha descendido una distancia X.
Resp.: a CM = 0.80 m / s2
b) VCM = ( 8 g X / 5 ) 1/2
5
Un cilindro de 2 kg. de masa y de 30 cm de radio tiene una
ranura cuyo radio es 10 cm. En la ranura se enrrolla una
cuerda tal como se indica en la figura, y el otro extremo se
fija a la pared.
El cilindro rueda sin deslizar a lo largo de un plano
inclinado 30º respecto a la horizontal. El cilindro parte del
reposo. Sabiendo que luego de recorrer 3 m la Vcm es de
4 m/s, calcular:
a) La aceleración del centro de masa,
b) la tensión de la cuerda y
c) la fuerza de rozamiento.
Resp.: a) 8 / 3 m / s2
b) T = 2,7 N
c) FR = 1,77 N
PROB ROTOTRASLACION
30º
240
PROB ROTOTRASLACION
241
Para Pensar en Ciencias Físicas
Limite de ruptura
L
Limite de
elasticidad
Limite de
proporcionalidad
Ley de
Hooke
DU
ELASTICIDAD
Física para Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo A. Riart
ELASTICIDAD
55
ELASTICIDAD DE LOS CUERPOS
En los Capítulos anteriores se consideró a los cuerpos como rígidos e indeformables. Esta
consideración es muy útil para analizar el comportamiento de los cuerpos. En la realidad todos los cuerpos
sufren deformaciones bajo la acción de las fuerzas.
F
F
F
F
Si sometemos a una barra a dos fuerzas iguales y contrarias, F y la cortamos en una sección
perpendicular a su longitud, las dos porciones resultantes se encuentran en equilibrio y la fuerza se halla
uniformemente distribuida en todas las sección.
Definimos como:
FATIGA
a la Fuerza por unidad de superficie
ejercida en una sección del cuerpo
 = . F .
A
Si se analiza una sección oblicua al eje longitudinal, la fuerza puede descomponerse en dos
componentes; una normal a la sección Fn y otra tangente a la misma Ft. La sección tiene una superficie S1.
F

F
Fn = F cos 
F
F
Ft = F seno 
Definimos como:
FATIGA NORMAL
A la Fuerza Normal por unidad de
superficie ejercida en una sección.
 n = . Fn .
A1
FATIGA TANGENCIAL
o CORTANTE
A la Fuerza Tangencial por unidad de
superficie ejercida en una sección
 c = . Fn .
A1
ELASTICIDAD
56
Si la fuerza actuante realiza una tracción en el cuerpo se denomina fuerza tensora o tensión y la fatiga
es la fatiga tensora; si la fuerza comprime el cuerpo es una fatiga compresora.
Si la fatiga tangencial es superior a la resistencia del cuerpo, este se corta, por este motivo se
denomina fatiga cortante.
Las unidades de medida de la fatiga es la unidad de fuerza sobre la unidad de longitud al cuadrado.
En el Sistema Internacional es Newton / m
2
Cuando los cuerpos están sometidos a fuerzas, los mismos se deforman.
Se denomina:
DEFORMACION UNITARIA
A la variación de longitud por
unidad de longitud inicial
D U = l – lo =  l
lo
lo
La deformación unitaria es adimensional, porque es unidad de longitud dividida por unidad de longitud.
Si el cuerpo esta traccionado, aumenta su longitud, y se denomina deformación unitaria por tracción
y si esta comprimido y es deformación unitaria por compresión. En este caso la longitud disminuye.
Analizando la relación entre la fatiga y la deformación unitaria de diferentes cuerpos, se encontró que la
misma depende del material de que esta hecho el cuerpo. Esta relación se denomina modulo de Elasticidad (
E ) o modulo de Young ( Y ).
MODULO DE ELASTICIDAD o
MODULO DE YOUNG
E = Y = 
DU
Cuando la sección del cuerpo está sometida a fuerzas cortantes (tangenciales) y la fatiga es cortante,
se produce una deformación de la superficie del cuerpo.
En las figuras de abajo, se presenta un cuerpo sometido a esfuerzos de corte. La cara “A” del cuerpo
está fija.
F
A
b
c
A
Figura 1
Figura 2
ELASTICIDAD
h
A
Figura 3
57
En la Figura 1, el cuerpo está sometido a una fuerza F, que crea en la superficie en la actúa una Fatiga
cortante c, como indica la Figura 2. La Fuerza cortante y la fatiga sobre la cara dan lugar a un desplazamiento
de la cara, haciendo que los vértices del cuerpo formen un ángulo  con la posición inicial. La deformación que
se produce es h / b = tang . Como la deformación es muy pequeña, tang  = .
Se denomina:
DEFORMACION UNITARIA
por CIZALLADURA
Al Angulo (en radianes) que forma la cara del
cuerpo deformado con la posición inicial.
MODULO DE RIGIDEZ o
MODULO DE TORSION
A la Fatiga Cortante sobre la deformación
unitaria por cizalladura.
S = . c .

Si toda la superficie de un cuerpo se encuentra sometido a fuerzas tales que en todas ellas la relación F
/ A es la misma, el cuerpo sufre variación de su volumen. La relación F / A se denomina presión y  V / V , es la
deformación volumétrica unitaria.
Se denomina
MODULO DE COMPRESIBILIDAD
A la relación entre el incremento de la
Presión sobre la deformación volumétrica
unitaria.
=. – p .
V / V 
ELASTICIDAD
58
Se utiliza también el
COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD
Que es la inversa del módulo de
compresibilidad.
k = . 1 . = – V


p V 
 
El signo menos del módulo y del coeficiente de compresibilidad indica que con un aumento de la
presión se tiene una disminución del volumen. Los líquidos solamente pueden tener deformación volumétrica.
MATERIAL
Módulo de Elasticidad
Acero
Aluminio
Bronce
Cobre
Hierro forjado
Hierro fundido
Plomo
Latón
Tungsteno
Vidrio
Cuarzo
10 N / m
19 – 21
7
9
10 – 12
18 – 20
8 – 10
1,5
9,1
35
6,5 – 7,8
5,6
10
2
LIQUIDO
Agua
Alcohol Etílico
Glicerina
Mercurio
Aceite
Sulfuro de Carbono
Modulo de Rigidez
10
10 N / m
8
2,4
3,5
4
–––
–––
0,5
3,5
14
2,6 – 3,2
2,6
2
Modulo de
Compresibilidad
10
2
10 N / m
16
7
6,2
12
1,5
9,7
0,8
6,1
20
5 – 5,5
2,7
Coeficiente de Compresibilidad
–2
2 –1
10 ( N / m )
50
112
22
3,8
60
66
ELASTICIDAD
59
ER
 1
PROBLEMA :
Un cabo de acero de diámetro 12,5 mm soporta una carga de 4 toneladas; calcular:
a) La fatiga y la deformación unitaria
b) El alargamiento del cabo si su longitud sin tensión es de 30 m
=.F.
y


 = . 4000
E
= 
La fatiga es


A

A =  R2 = 3,14 . (6,25)2 = 122,65 mm2
. = 32,6 kgf / mm
122,65
3
Eac = 20 10 N / m
DU
DU

2
2
3
= 20 10 kgf / mm
2
=  = . 32,6 . = 0,00163
3
E
20 10 
l = DU lo = 0,00163 . 30 = 49 mm
 2º PROBLEMA :
Una barra de acero de sección cuadrangular de 1 cm de arista y 1 m de longitud, se ve sometida a una
fuerza de 1000 kgf aplicada perpendicularmente en la mitad de su longitud.
Determinar su deformación unitaria por cizalladura.
S = . c .


 =
 = . c .
S
c . = .
Ft / A .
S
1000 . 9,8 N / (0,01 m)2 = 0,012 rad.
10
2
8 10 N / m
Obsevación: Equivale a 0,7º sexagecimal aproximadamente.
ER
 3
PROBLEMA :
Determinar la variación del volumen del aceite de un gato hidraulico que debe levantar la rueda de un
3
camión que soporta 20 tn de peso. Suponga el volumen inicial del aceite 100 cm , la sección sobre la que se
2
2
ejerce la presión de 12 cm y la presión inicial de 1 kgf / cm .
El coeficiente de compresibilidad del aceite es
k = 60 . 10–2 ( N / m2) –1 = 60 10–2 ( 9,8 kgf / 104 cm2 ) –1
p = p – po = 20000 kgf / 12 cm2 – 1 kgf / cm2
p = 1665,7 kgf / cm2
ELASTICIDAD
60
k = . 1 . = – V

p V 
– V = – k p V = – 0,1 cm3
COMPORTAMIENTO ELASTICO
DE LOS MATERIALES

Si se somete un cuerpo a una tensión, esta genera una fatiga
determinada, produciendo un alargamiento y cierta deformación unitaria,
de acuerdo a las definiciones de arriba. Sin embargo, cuando se supera un
A
valor de la fatiga, la deformación unitaria deja de ser proporcional a la
misma. Este punto se denomina limite de proporcionalidad (punto A de
la figura).
El cuerpo sigue siendo elástico, esto es, que al suprimir la fatiga
recupera su forma inicial. Pero también esto se cumple hasta un valor de la
fatiga; a partir del cual el cuerpo ya no recupera su forma inicial y queda
L
con una deformación L, como se indica. Este último valor de la fatiga
para el cual el cuerpo es elástico se denomina limite de elasticidad
(punto B de la figura).
B
C
Se cumple la
Ley de Hooke
DU
Si se continua aumentando la fatiga el cuerpo termina por romperse. Este punto es el limite de ruptura
(punto C en la figura) y es el máximo valor de fatiga que puede soportar.
Para cualquier valor de la fatiga inferior al límite de elasticidad se cumple que
E = Y =  = F / A
DU
L / L
F = E A L
La fuerza es
L
La relación
E A es constante para cada cuerpo. Esta constante es la Constante
L
Recuperadora, y la fuerza es
F = k L
Hooke enuncio inicialmente su Ley de Elasticidad inicialmente de esta forma, posteriormente las
investigaciones de Young permitieron encontrar el modulo de Elasticidad, tambien conocido como modulo de
Young.
Los resortes, responden a la Ley de Hooke y sus constantes recuperadoras o de rigidez dependen
del modulo de Elasticidad, el área de la sección del material, el diámetro de las espiras y el número de espiras.
 4º PROBLEMA :
Un hilo de acero de 3,6 m de longitud e 0,9 mm de diámetro fue sometido a la siguiente prueba: Una
carga de 2 kg. fue suspendida inicialmente del hilo para mantenerlo estirado.
ELASTICIDAD
61
La posición del extremo inferior del hilo se observo en una escala dando la lectura que figura abajo
a) .Hacer un gráfico con esos valores, tomando el aumento de longitud como abscisa y la carga
adicional como ordenada.
b) Calcular el módulo de elasticidad.
c) Cual es la tensión en el límite de proporcionalidad.
Carga Adicional
0
(kgf)
Lectura de la
75,50
escala (mm)
2
4
6
8
10
12
14
16
76,00
76,50
77,00
77,50
78,00
78,50
79,50
81,50
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
,5
81
0
,0
,5
81
0
,0
80
0
,5
El Modulo de _Elasticidad es
80
0
79
0
,0
79
0
,5
78
0
,0
,5
78
0
,0
77
0
,5
77
0
76
,0
76
75
,5
0
0
E=F/A
l / lo
Para 2 kgf,
l = 0,5 cm.
2
A = 3,14 . (0,45 mm) = 0,636 mm
3
E = 22 10 kgf / mm
2
2
La tensión en el límite de proporcionalidad es 14 kgf. como puede observarse en el gráfico
PROBLEMAS
1
Una barra de cobre de 60 cm de longitud esta soldada en uno de sus extremos a una barra de acero debe
2
37,5 cm de longitud. La sección transversal de las barras es 3 cm . La barra compuesta esta comprimida por
una fuerza de 500 kgf. aplicada en sus extremos. Calcular la variación de longitud de la barra
ELASTICIDAD
62
2
Una barra horizontal rígida de 1,20 m de longitud, de sección uniforme
y peso 50 kgf es soportada por dos hilos verticales, una de acero y la
2
otra de cobre. Cada uno tiene 1,50 m de longitud y 3 mm de sección.
El hilo de cobre esta en uno de los extremos de la barra; el de acero
se encuentra a una distancia X del de cobre. Esa distancia se escoge
de manera que ambos hilos se alarguen de la misma manera.
Determinar:
a) La tensión en cada hilo
b) La distancia X
Cu
X
Ac
1,20 m
Al
3
4
La barra de la figura es uniforme e indeformable y pesa 100
kgf. Su posición inicial es horizontal. Calcular el ángulo que gira
la barra luego de ser carga da como se muestra en la figura. La
barra se encuentra pivotada en A y colgada en B de una varilla
2
de aluminio de 1 cm de sección y una longitud inicial de 1 m.
La barra AC uniforme e indeformable que pesa 100 kgf por
cada metro de longitud esta dispuesta como se indica en la
2
figura. La varilla BD tiene una sección de 1 cm y su modulo de
2
elasticidad E = 1,4 106 kgf / cm . La varilla CE tiene una sección
2
2
de 2 cm y su módulo de elasticidad es 2,1 106 kgf / cm . Si F =
15 Tn, calcular las tensiones y deformaciones de BD y CE.
1m
B
2m
A
4m
500 kgf
D
1m
1m
C
B
2m
E
2m
A
2m
F
5
Dos chapas de metal están unidas en sus extremos por 4 bulones, cada uno de un diámetro de 6 mm.
¿Cual es la tracción máxima que puede soportar si la fatiga cortante de los bulones no debe exceder de 7,2
kgf / mm2? Suponer que cada bulón soporta la cuarta parte de la carga.
6
Un bloque cuyo volumen inicial es 500 cm3 es sometido a una presión de 145 kgf / mm2. Calcular la
disminución de volumen del bloque
a) Si el bloque es de acero
b) Si el bloque es de plomo
ELASTICIDAD
63
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
GRAVITACION UNIVERSAL
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
Gravitación Universal
175
GRAVITACION UNIVERSAL
El estudio del cielo y del movimiento de los astros fue siempre una pasión del ser humano.
Lastimosamente muchos de los conocimientos de la antigüedad se perdieron en el tiempo. Por eso
es que seguimos asombrándonos de las perfecciones de las pirámides egipcias o la precisión del
calendario azteca.
El estudio de la antigüedad mas completo sobre el movimiento de los planetas que se
conoce es el del griego Claudio Ptolomeo. Para él la tierra era el centro alrededor del cual giraban
los planetas y el sol. Con la diferencia que los planetas tenían dos movimientos circulares, uno
alrededor de un centro propio ( Epiciclo ) y el centro de este alrededor de la tierra (Deferente).
En 1543 Nicolás Copernico publico su tratado "Revoluciones", el primer estudio del
movimiento de los planetas alrededor del sol. Para Copernico las órbitas eran circulares.
A fines del siglo XVI Tycho Brahe, realizo estudio sobre el movimiento de los planetas
realizando mediciones con una precisión menor a medio minuto de arco. Brahe muere en 1601 y
su discípulo Johannes Kepler, analizando los trabajos de Brahe; determina las leyes del
movimiento de los planetas, sin considerar las causas.
Isaac Newton enuncia la Ley de Gravitación Universal. En realidad Newton hace una serie
de proposiciones o teoremas, como él mismo llama; en la que "la fuerza por las que los planetas,
circunjovianos (una proposición), primarios (otra) y la Luna (otra) son continuamente apartados del
movimiento rectilíneo y retenidos en sus órbitas adecuadas tienden hacia el centro y son
inversamente proporcionales a los cuadrados de las distancias de los lugares de dichos planetas al
centro"
Y en otra proposición dice "Que todos los planetas gravitan hacia todos los planetas, y que
los pesos de los cuerpos hacia cualquier planeta a distancias iguales del centro del planeta, son
proporcionales a la cantidad de materia que respectivamente contienen".
Todos los estudiosos de las Ciencias no podían concebir la existencia de fuerzas que no se
trasmitan por algún mecanismo material de interacción. Así, imaginaron al universo suponiendo
"que hay un medio etéreo, de constitución en gran medida análoga al aire pero mucho mas raro,
sutil y fuertemente elástico" (Carta de Newton al presidente de la Royal Society, H. Oldenburg). El
concepto del éter fue un tema de discusión permanente en la época. El mismo Newton discute los
conceptos del éter, el cual para él estaba quieto y no formando un torbellino que hacía mover los
planetas. Pero sin concebir al éter era imposible comprender como se puede ejercer una atracción
de cuerpos a la distancia. La Ley de gravitación universal de Newton solo era aplicable ante la
presencia del éter.
El desarrollo del electromagnetismo con Maxwell y sus conceptos de campo; y sobre todo,
los estudios de H. A. Lorentz sobre el campo electromagnético en el vacío, confirieron a las leyes
de campo eléctrico, electromagnético y, finalmente, gravitatorio el concepto físico para interpretar
las interacciones a la distancia. Einstein?
Gravitación Universal
176
La parte de Energía llevar al final de Energía y las leyes de Kepler después de
dinámica de Rotación
LEYES DE KEPLER
DEL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS
El análisis de los manuscritos de Brahe, hecho por Johannes Kepker, llevaron a este 20
años. Y sus conclusiones son conocidas como Leyes de Kepler.
Estas Leyes son:
1ª Ley: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en una de
sus focos. ( ley de las órbitas)
2ª Ley: El radio vector que va del Sol a un planeta cualquiera barre áreas iguales en
tiempos iguales ( ley de las áreas).
3º Ley: El cuadrado del período de revolución de un planeta cualquiera en torno al
sol es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. ( ley de los períodos).
FUERZAS GRAVITATORIAS
MASA GRAVITACIONAL
Para la determinación experimental de esta Ley se realiza el siguiente proceso. Se adopta
un cuerpo "0" que ejerce fuerzas de atracción gravitatorias sobre otros cuerpos y se comprueba
experimentalmente que:
1. Se coloca, inicialmente, un cuerpo 1, y se encuentra que:
a)
Las fuerzas son siempre atractivas, dirigidas hacia el otro cuerpo
b)
Las fuerzas dependen de la distancia entre ambos cuerpos. Es decir la fuerza es
una función de la posición "r" respecto a "0". F1 = f 1(r)
Colocamos ahora otro cuerpo 2 y tenemos que F2 = f 2(r)
2. Los módulos de las fuerzas para
distancias iguales son proporcionales,
así
f 2(r ) = f 2(r’ ) = f 2(r’’ ) =  2/1
f 1(r ) f 1(r’ ) f 1(r’’ )
f2 (r’) f1 (r’)
f2 (r’’)
Nótese que  2/1 es independiente de la
posición de los cuerpos.
f2 (r)
r'
0
f1 (r)
r
r''
Si colocamos un tercer cuerpo 3
encontraremos que
f 3(r ) = f 3(r’ ) = f 3(r’’ ) =  3/1
f 1(r ) f 1(r’ ) f 1(r’’ )
Y así para cualquier número n de cuerpos.
Gravitación Universal
177
f1 (r’’)
3. Si comparamos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo 3 y 2 obtenemos que:
f 3(r ) = f 3(r’ ) = f 3(r’’ ) =  3/2 =  3/1
f 2(r ) f 2(r’ ) f 2(r’’ )
 2/1
Esta cantidad es una cantidad que no puede deducirse de las otras.
Con esto está probado que la relación no depende de las fuerzas, y que es una
característica de los cuerpos. A esta relación denominamos “masa gravitatoria”
f 2(r ) =  2
f 1(r )
f 3(r ) =  3
f 1(r )
f 4(r ) =  4
f 1(r )
MASA GRAVITATORIA
es una propiedad de los cuerpos cuya magnitud física representa
cuantas veces mayor es la fuerza de gravitación con que es atraído
el cuerpo, respecto a la fuerza gravitatoria con que es atraído un
cuerpo de masa gravitatoria unitaria ambos colocados a igual
distancia del cuerpo que ejerce la atracción.
CAMPO GRAVITATORIO
Se ha determinado la masa gravitatoria sin considerar el cuerpo 0 que es el generador de
las fuerzas gravitatorias estudiadas. Las relaciones de la experiencia anterior permite establecer
que
f 2(r ) = f 3(r ) = f 4(r ) =  (r )
 2
 3  4
Este vector, define la fuerza por unidad de masa gravitatoria ejercida por el cuerpo 0 a una
distancia r. Es el vector Intensidad del Campo Gravitatorio generado por un cuerpo. De hecho
en un punto del espacio actúan varios cuerpos de forma que para determinar la intensidad del
campo gravitatorio en ese punto es necesario hacer la suma vectorial de las intensidades de los
diferentes cuerpos.
CAMPO GRAVITATORIO
es el espacio en el cual un cuerpo ejerce
fuerzas de atracción sobre otros cuerpos y la
medida de su INTENSIDAD es la fuerza
ejercida por unidad de masa gravitatoria en un
punto determinado del espacio.
Gravitación Universal
178
C0NSTANTE DE
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Si observamos el cuerpo "0" comprobamos que el módulo del vector campo gravitatorio
(r ) es proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto considerado y el cuerpo que genera
el campo.
 (r ) = Ko
2
r
es
por lo tanto f1 =  1 Ko
2
r
Y además se cumple que la fuerza sobre el cuerpo "0" debido al campo generado por "1"
f0=0K1
2
r
Estas dos fuerzas por la Ley de la acción y la reacción son iguales y contrarias. Por lo tanto
K0 =K1

0
1
La misma proporción se puede encontrar para los cuerpos 2 y 3, de forma que:
K0 =K1 = K2 =K3 = G
0
1
2
3
Esta constante es independiente de los cuerpos, del espacio, del tiempo, etc., por lo tanto
es universal.
Es la CONSTANTE DE GRAVITACION UNIVERSAL y su valor depende solo de las
unidades de medida de la masa gravitatoria
El modulo del campo gravitatorio de la masa  0 es entonces
= G0
y el modulo de la fuerza ejercida en este campo sobre una masa 
2
r
es f = G
0 
2
r
MASA INERCIAL Y
MASA GRAVITATORIA
Las interacciones gravitatorias existen siempre, con la sola presencia de un cuerpo. Debido
a esto un cuerpo de masa inercial "m" tiene una masa gravitatoria "" . Por medios
experimentales se demuestra que ambas masas son proporcionales entre sí.
= k m
El factor de proporcionalidad depende de las unidades de medida de la masa inercial y
gravitatoria. Por convención la unidad de masa inercial es igual a la unidad de masa gravitatoria.
Gravitación Universal
179
En el Sistema Internacional de Medidas la unidad de masa inercial y masa gravitatoria es el
kilogramo.
Conceptualmente ambas magnitudes físicas son diferentes. La masa inercial es la
propiedad de los cuerpos de reaccionar con una determinada aceleración ante la acción de una
fuerza. La masa gravitatoria es la propiedad de los cuerpos de ser atraídos con cierta fuerza ante la
presencia de un campo gravitatorio.
ACELERACION DEBIDA A
LA FUERZA GRAVITATORIA
"Aceleracion de la gravedad"
Si los cuerpo 1 y 2 se encuentran en un punto del espacio están sujetos a fuerzas
gravitatorias, y las aceleraciones que adquieren son:
a1 = . f 1 . = 1 
m1
m1
a2 = . f 2 . = 2 
m2
m2
Como 1 / m1 = 2 / m2 = k, las aceleraciones de todos los cuerpos son iguales en
puntos de campo gravitatorio iguales y si la masa inercial es igual a la gravitatoria k = 1..
a1 = a2 = .... = g = 
El hecho de adoptar las unidades de masa inercial y gravitatoria iguales, hace que la
aceleración sea la medida del campo gravitatorio en ese punto. Si las unidades fuesen diferentes la
relación sería g = k .
Mediciones realizadas sobre la tierra en condiciones "normales" ( 45º de latitud, nivel del
2
mar, presión atmosférica 1 atmósfera, etc.) g = 9,80665 m / s .
La fuerza gravitatoria (el peso), puede ser adoptada como una magnitud independiente y
crear un sistema de unidades a partir de esta unidad. Por convención se adopto el mismo patrón
utilizado para la masa de 1 kilogramo ( cuerpo de platino guardado en Sèvres, París) en las
condiciones normales expresadas mas arriba, como unidad de fuerza para el sistema de unidades
de medidas conocido como Sistema Técnico. Lastimosamente el nombre de la unidad provoca
confusión. Para este sistema de unidades la masa es unidad dependiente y se denomina Unidad
Técnica de masa (UTM).
Si expresamos la aceleración de la gravedad para el campo gravitatorio en la superficie de
la tierra y suponiendo a esta homogénea y esférica; la misma es:
g = G MT / RT2
El valor de G, constante de gravitación universal es.
–11
2
2
3
–
–2
G = 6,672 x 10 N m / kg (m kg 1 s )
–8
2
2
3 –
–2
= 6,672 x 10 dinas cm / g (cm g 1 s )
Observación: En paréntesis figuran las unidades de la constante de gravitación universal
en unidades básicas del S. I.
En la tabla de abajo se presentan los valores de la aceleración gravitatoria para diferentes
alturas sobre la superficie de la tierra. Estas alturas están seleccionadas de tal forma que cada una
Gravitación Universal
180
26
63
8
11 0
65
19 5
14
29 0
71
44 0
66
0
10,00
9,00
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
0
aceleración - g'
9,80
4,90
2,45
1,23
0,61
0,31
0,15
43
H - km
0
2643
6380
11655
19140
29710
44660
Aceleración
de las aceleraciones sea aproximadamente la mitad de la anterior. El gráfico muestra como la
aceleración gravitacional va disminuyendo al aumentar la altura respecto a la superficie de la tierra.
Altura
DATOS DE LOS ASTROS DEL SISTEMA SOLAR
Masa
Radio
Distancia al sol
kg.
m
m
30
8
Sol
1,991 x 10
6,96x 10
–––––
23
6
10
Mercurio
3,18 x 10
2,43 x 10
5,79 x 10
24
6
11
Venus
4,81 x 10
6,06 x 10
1,08 x 10
24
6
11
Tierra
5,98 x 10
6,37 x 10
1,496 x 10
23
6
11
Marte
6,42 x 10
3,18 x 10
2,28 x 10
27
7
11
Júpiter
1,9 x 10
6,99 x 10
7,78 x 10
26
7
12
Saturno
5,68 x 10
5,85 x 10
1,43 x 10
25
7
12
Urano
8,68 x 10
2,33 x 10
2,87 x 10
26
7
12
Neptuno
1,03 x 10
2,21 x 10
4,50 x 10
22
6
12
Pluton
1,4 x 10
1,5 x 10
5,91 x 10
22
6
8
Luna
7,36 x 10
1,74 x 10
 3,8 x 10
 Observación: Los datos de la luna se refieren a la Tierra.
Planeta
Período
alrededor del sol
87,96 d
224,7 d
365,26 d
687,0 d
11,86 años
29,46 años
84,01 años
164,7 años
248 años
 28 d
DIFERENCIA ENTRE CENTRO DE GRAVEDAD
Y CENTRO DE MASA
Dos masas puntuales m1 y m2 son atraídas por
la fuerza gravitatoria de la masa m. Como ambas masas
se encuentran a distancias diferentes los campos
gravitatorios para ambas son diferentes. Para encontrar
m2
m
el centro de gravedad con respecto al punto medio de la
recta que une ambas masa el momento de las fuerza
con respecto a ese punto es igual al momento de la fuerza resultante.
m1
Gravitación Universal
181
Si 1 y 2 son los campos en los que están ubicados las masas m1 y m2 y  el ángulo que
forman las mismas fuerzaS LA resultante PT es
PT = (1 m1) + ( 2 m2 ) + 2 1 m1 x 2 m2 coseno 
2
2
1 m1 d seno 1 – 2 m2 d seno 2 = PT seno  X CG
Donde d es la distancia de cada masa al medio de la recta que une las masas, y los
ángulos son los ángulos que forman las fierzas con la referida recta.
X CG
= 1 m1 d seno 1 – 2 m2 d seno 2
PT seno 
En cambio el centro de masa esta ubicado a una distancia
X CM = m1 d – m2 d
m1 + m2 
Observación: La distancia d es la distancia de las masas al punto medio de la recta que
une las masas
Solamente en caso que los campos gravitatorios sean iguales y la distancia entre las
masas sea pequeñas de forma a que los ángulos que se consideran para calcular el momento se
puedan asimilar a 90º, el centro de masa y de gravedad son los mismos.

er
1 PROBLEMA
6
Encontrar el centro de gravedad y el centro de masas de dos masa m1 = 10 kg. a una
6
8
distancia d1 = 250 m y m2 = 2 x 10 kg a una distancia de 315 de una masa m = 10 kg. El ángulo
que forman los vectores de campo gravitatorio es de 30º.
Haciendo los cálculos la distancia entre las masas es de 159,14 m
Resultando la posición del centro de gravedad en la mitad de las líneas que une las masas
y el centro de masas a una distancia de 26,52 m de la mitad de la línea que une las masas hacia la
masa m2.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA
s
r
M
m
Si se coloca una masa "m" a una distancia infinita de
otra masa "M", la fuerza gravitatoria es nula. En la medida que
acercamos la masa m a M, la fuerza gravitatoria va
aumentando. El trabajo realizado para mover m un s es
W = F s y s = – r
2
Como la fuerza F = G M m / r
W = – G M m r / r2
Por lo tanto el trabajo hecho por la fuerza gravitatoria para mover la masa m desde el
infinito hasta la posición "r" es
W = –GMm
r
r / r2 = G M m / r
Gravitación Universal
182
Siempre que se traslada una masa desde el infinito hasta una posición "r" el trabajo
realizado depende de esta posición y no de la trayectoria, por lo tanto, debemos considerar como
Energía Potencial Gravitatoria a "– W".
U=–GMm/r
La diferencia de energía potencial entre dos punto de posición "r f" y "r o" es
U=–GMm/rf+GMm/ro
Ecuación en la que se nota que si r

f > r o y resulta  U > 0
2º PROBLEMA
Determinar la energía potencial gravitatoria en el campo gravitacional de la superficie de la
Tierra de una masa "m2 que se encuentra a una altura "h".
 U = – G M m + G M m = – G M m RT + G M m (RT + h ) = G M m h .
RT + h
RT
( RT + h ) RT
( RT + h ) R T
2
En esta ecuación h >> RT, entonces G M m / RT = g
De aquí que la variación de la energía potencial desde una altura h sobre la superficie de la
tierra, como se determino en el Capitulo de Trabajo y energía, es
U=mgh

er
3 PROBLEMA
Consideración de la energía potencial y cinética de una masa m que gira alrededor de otra
masa M, a una distancia r
La energía total de la masa m es la suma de su energía cinética y potencial.
E = m v2 – G M m
2
r
La fuerza gravitatoria es igual a la fuerza centrípeta
m v2 = G M m
r
r2
Resultando
m v2 = G M m
2
2r
De aquí que la energía total de la masa m es
E=GMm – GMm = – GMm
2r
r
2r
Por lo tanto la energía total de una masa m que gira alrededor de otra masa M es negativa.
Estas masas pueden ser por ejemplo la Tierra alrededor del Sol o la Luna alrededor de la tierra. El
signo negativo indica que si aumentamos el radio de giro aumenta la energía total de la masa.
Gravitación Universal
183

4º PROBLEMA
Determinar la velocidad necesaria para que un cuerpo que parte de la tierra logre girar en
una órbita a una distancia Rf del centro de la tierra.
La energía que debe tener el cuerpo sobre la superficie de la tierra es:
E = m v2 – G MT m
2
RT
Y la energía cuando está girando es:
E = – G MT m
2RF
Como las energías son iguales
m V 2 – G MT m = – G MT m
2
RT
2 RF
V2 = 2 G MT
.1 . – . 1 .
RT
2R F
Esta velocidad permite al cuerpo llegar a una distancia R f del centro de la tierra.
Para que escape del campo gravitatorio terrestre R f debe ser infinito. Por lo tanto la
velocidad de escape es
Vesc =
2 G MT
RT
Gravitación Universal
184
PROBLEMAS
1. Se lanza un proyectil en la Tierra con cierta velocidad inicial. Otro proyectil se dispara en la
luna con la misma velocidad inicial. Ignorando la resistencia del aire, y sabiendo que la
2
aceleración de la gravedad en la Luna es 1,6 m / s , ¿cual de los proyectiles tiene mayor
alcance?. ¿Cuál alcanza mayor altitud? Justificar
Resp.: Ambos en la luna
2. Un meteorito de 20000 T de masa se dirige desde el espacio exterior hacia la Tierra. Su
7
velocidad a una distancia de 3.8 10 m del centro de la Tierra es de 30 km/s. Calcular la
velocidad con que llegará a la superficie de la Tierra. (Se supone que la Tierra permanece
inmóvil antes del choque).
Resp.: 31,7 km / h
3. Determinar el módulo de la velocidad de un satélite artificial en órbita circular a una altura h,
por encima de la superficie de la Tierra.
1/2
Resp.: V = ( G MT ( RT + h))
4. Determinar el valor de h para un satélite geoestacionario (aquél cuya posición relativa respecto
a la superficie de la Tierra permanece fija, es decir, su periodo es el mismo que el de la
rotación de la tierra).
3
Resp.: 35,88 10 km
5. Un hombre pesa 80 kilogramos fuerza (su masa es de 80 kg) al nivel del mar. Calcular su peso
en N:
 A 8000 m sobre el nivel del mar
 En la superficie de la Luna
 En Júpiter
 En el Sol
Resp.: 784 N 129 N 2075 N
21900 N
6. Determinar la velocidad de escape (la velocidad mínima con la que se debe de disparar un
objeto para que llegue al infinito con velocidad nula) en cada uno de los cuerpos celestes del
problema anterior.
Resp.: Tierra 11190 m/s
Luna 2376 m/s
Júpiter 60200 m/s
Sol 617800 m/s
7. Calcular la velocidad mínima con que debe dispararse una bala desde el punto A situado en la
superficie de la Luna, y en la línea que une los centros de la Tierra y de la Luna, para alcanzar
el infinito (con velocidad nula). Se supone que las únicas influencias sobre la bala son las
debidas a la Tierra y la Luna.
 Determinar la fuerza sobre la bala cuando se halla en la posición de partida y en la de
llegada.
Resp.: V = 2782 m/s
F = 1,625
Gravitación Universal
185
PARA PENSAR
en
CIENCIAS FISICAS
DINAMICA DEL CUERPO
MOVIMIENTOS COMBINADOS
DE ROTACION - PRECESION
LEYES DE KEPLER
Física para Estudiantes de
Ciencias e Ingeniería
Prof. Ing. Gustavo Riart O.
Mov de Precesión
229
MOVIMIENTOS COMBINADOS
DE ROTACION
ANÁLISIS CINEMATICO
Antes de iniciar el estudio de los movimientos de rotación combinados vamos a hacer algunas
consideraciones que nos permitan comprender mejor el fenómeno.
Imaginemos un movimiento circular realizado por un cuerpo de masa "m". Podemos hacer las
siguientes afirmaciones:
1. El cuerpo no está en equilibrio y tiene una fuerza centrípeta que genera en el cuerpo
una aceleración centrípeta igual al cuadrado de la velocidad sobre el radio. Esta aceleración
hace cambiar la dirección de la velocidad y no el modulo.
2. Si el movimiento está estabilizado. Esto es, ni el módulo de la fuerza, ni el módulo de
la velocidad cambian, el cuerpo se mueve describiendo una circunferencia, con movimiento
circular uniforme.
3. Si por algún mecanismo, no importa cual, aumenta la fuerza centrípeta, el cuerpo se
moverá describiendo otra curva. Esto se debe a que aumenta la componente normal de la
variación de la velocidad, al aumentar la fuerza centrípeta, y como, la velocidad es siempre
tangente a la trayectoria, tiene un ángulo mayor, al que tenía anteriormente.
4. Es decir, en el punto 2, la aceleración centrípeta tiene un valor tal que la velocidad
resulta siempre tangente a una circunferencia. En el punto 3, la aceleración centrípeta es tal
que la velocidad resulta tangente a otra curva, Por ejemplo, elipse, en el caso de los planetas.
5. No debemos olvidar para la consideración vectorial que el tiempo es infinitamente
pequeño ( t ) pues la aceleración normal cambia la dirección del vector velocidad en cada
instante.
6. Este análisis es importante recordar para comprender mejor como influyen las
magnitudes que vamos a considerar en los movimientos de precesión.
En primer lugar hacemos un análisis cinemática del movimiento de un "trompo" constituido por
tres masas puntuales rígidamente unidas entre sí, por varillas sin masas, considerando la
cinemática de los puntos del trompo.
B v2
v1
D
v2
C
A
v1
El trompo tiene dos movimientos de rotación: uno
alrededor de un eje que pasa por su centro de masa y el
punto de apoyo; y otro alrededor de un eje vertical que
pasa por el punto de apoyo. El primer movimiento tiene
una velocidad angular 1 y el segundo 2. En el
movimiento del trompo 1 >> 2.
Además de estos dos movimientos tiene una
aceleración angular originada por el momento del peso
con respecto al punto de apoyo y perpendicular al plano
formado por las velocidades angulares.
Los puntos del trompo tienen dos velocidades tangenciales: V1 = 1 x r1 y V2 = 2 x r2 . En
nuestro trompo los radios r1 son constantes pues nuestras masas son simétricas; en cambio, los
radios r2 dependen de la posición de los puntos. Cuando las masas se encuentran en las
posiciones indicadas como A y B en la figura, las velocidades se encuentran sobre la misma recta.
Mov de Precesión
230
En el punto A ambas velocidades tienen el mismo sentido y en el punto B tienen sentido contrario,
por lo tanto la velocidad VA > VB , con lo cual lo que el punto A "avanza" y es mayor que el
"retroceso" del punto B.El centro de masa tiene un "avance" debido únicamente a su velocidad
V2.
En los puntos C y D la velocidad V1 (perpendicular a 1 ) forma un ángulo con la velocidad V2,
que es horizontal. En los puntos C y D , la velocidad V1 son iguales pero de sentido contrario. Igual
cosa ocurre con la velocidad V2. Esto hace que en estos puntos las velocidades resultantes sean
iguales, siendo en C por debajo de la horizontal ( el punto está bajando) y en D, por arriba de la
horizontal ( el punto está subiendo).
Haciendo el análisis de las aceleraciones,
encontramos que los puntos tienen tres aceleraciones.
Una aceleración centrípeta ac1 debida a la 1, otra
aceleración centrípeta ac2 debida a 2 y una tercera
aceleración debida a la aceleración angular ( que
identificamos como a ) provocada por el momento
del peso. La aceleración ac1 es de módulo constante;
en cambio, la aceleración ac2 cambia su módulo, al
cambiar el radio de la circunferencia, como puede
verse para los puntos C y D en la figura.
a2
a
a1
a1
a2
a
La aceleración a (a = a x r ) es siempre vertical, pero cambia de sentido, y de módulo al
cambiar la posición del punto. En el punto C es para abajo, en el punto B es para arriba y en los
puntos C y D es nula.
Para que el movimiento se estabilice, y el trompo siga girando en las mismas condiciones en
el tiempo, es necesario que a es menor o por lo menos igual a la componente vertical de ac1
( ac1y ) Si por alguna razón, el trompo se inclina mas aumentando de esta forma el momento, y
consecuentemente a el trompo gira mas inclinado, a < o = ac 1y, en caso contrario cae.
Si debido al rozamiento en el punto de contacto en el piso,
a , el trompo también cae.
1 disminuye y ac1y es menor que
EL MOVIMIENTO DE PRECESION
Al analizar la cantidad de movimiento angular se vio que su dirección no siempre coincide
con la dirección de la velocidad angular. Esto es así porque, en realidad, la cantidad de
movimiento angular es el producto vectorial del vector de posición por el vector cantidad de
movimiento.
L=rxP
A su vez, P = m V, donde V = r x  resultando la cantidad de movimiento angular un doble
producto vectorial.
L=rx(mrx)
Cuando tenemos un cuerpo sólido, para analizar el mismo es necesario considerar los m
e integrar los mismos. Esa integral es un complicado calculo de tensores.

L = r x (r x  m )
Mov de Precesión
231
Esta consideración la hacemos para que se comprenda que el análisis dinámico de este
movimiento solo es posible en textos avanzados de dinámica.
El resultado se simplifica cuando el cuerpo tiene ejes de simetría y la cantidad de
movimiento resulta
L = Ix
x + Iy y + Iz z
Donde Ix, Iy e Iz son los momentos de inercia del cuerpo con respecto a los ejes de
simetría y x, y y z son las componentes de la velocidad angular con respecto a esos
ejes.
EL GIROSCOPO
El giróscopo es un disco de masa "m" sujeto por una conexión tipo "cardan" ( Ver figura ).
El disco gira inicialmente alrededor de su eje y debido al sistema de sujeción, mantiene su
posición por mas que se varíe la posición del apoyo, pues la conexión no permite la
transmisión de momentos al disco.
Si colgamos del eje del disco un peso "P", el mismo genera un momento con respecto al
centro de masa y consecuentemente un impulso angular t , tal como se muestra en la
figura. Como el impulso angular es, en cada instante, perpendicular a la cantidad de
movimiento angular inicial, el mismo solamente provoca un cambio en la dirección de la
cantidad de movimiento angular y no sin variar el módulo.
De esta forma, el eje del giróscopo realiza un movimiento de rotación alrededor del eje "z".
Este movimiento es conocido como movimiento de precesión.
Mov de Precesión
232
EL TROMPO
Sobre el trompo actúan dos fuerzas su peso aplicado en el centro de gravedad y la normal
del piso sobre el trompo.

Este par de fuerzas tiene un momento igual a
= r x mg
Este momento es perpendicular al plano formado por el peso y el vector de posición.
 t
El impulso angular generado por el momento es
t = L = Lf – Lo
Como el impulso angular es perpendicular a la
cantidad de movimiento angular, que se encuentra en el plano
de los vectores r y mg; el modulo de la cantidad de movimiento
es constante variando su dirección.
LO
Lf
ANÁLISIS DE LAS LEYES DE KEPLER
Incluimos en esta sección las Leyes de Kepler, considerando que las mismas son
esencialmente consideraciones cinemáticas del movimiento de los planetas, aunque para su
demostración recurrimos a consideraciones dinámicas.
Estas leyes fueron enunciadas por Kepler, luego del análisis de los datos de observaciones
de Tycho Brahe. Isaac Newton con la Ley de Gravitación Universal, completo el trabajo realizado
por sus predecesores.
De acuerdo a la gravitación universal la fuerza de atracción esta siempre dirigida al cuerpo
que atrae a los demás. Para los planetas la atracción es producida por el Sol y la fuerzas están
siempre y en todo momento dirigida hacia el mismo. Los satélites son atraídos por los planetas y la
fuerza de gravitación es hacia los mismos.
Las fuerzas que siempre tienen la dirección del vector de posición tomado desde el punto
fijo alrededor del cual gira el cuerpo se denominan Fuerzas Centrales.
Mov de Precesión
233

1ª LEY: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en
uno de sus focos. ( ley de las órbitas)
Analizando los valores de la energía de un cuerpo que gira en torno a otro, se encuentran
las siguientes situaciones:
E = m V2 – G M m
2
r
a) La energía total es positiva, E > 0. En
este caso cuando r es infinito la velocidad es
positiva V>0, lo que nos indica que si un
cuerpo viene del infinito, gira en torno al
cuerpo que le atrae y se aleja. Ya no vuelve.
La órbita del cuerpo es una órbita abierta y su
trayectoria es una hipérbola.
b) La energía total es nula, E = 0. Si el
cuerpo viene del infinito, gira en torno al sol y
se aleja hasta que su velocidad vuelve a ser
cero.
c) Cuando la energía total es negativa,
E < 0, el cuerpo no puede alejarse hasta el
infinito, porque de ocurrir esto la velocidad al
cuadrado
sería
negativa
(velocidad
imaginaria). Esto es imposible. En estos
casos los cuerpos tienen trayectorias
cerradas que pueden ser o una elipse o una
circunferencia. Este es el caso de los
planetas en torno al sol y los satélites en
torno a sus planetas. Incluso los cometas que vuelven periódicamente, como el Haley
describen órbitas elípticas con mayor o menor excentricidad.
El hecho de que la fuerza sea central, entonces, hace que, dependiendo de la energía, los
cuerpos describan una de las curvas cónicas.
 2ª Ley El radio vector que va del Sol a un planeta cualquiera barre áreas iguales
en tiempos iguales ( ley de las áreas).
Analizando el movimiento de los cuerpos de
acuerdo a la igualdad del impulso y la cantidad de
movimiento angular, resulta que el impulso angular es
nulo, porque la fuerza que actúa es central y su momento
es nulo, con respecto al punto alrededor del cual gira.
S
La cantidad de movimiento angular por lo tanto se conserva en todo instante del
movimiento de los planetas.
L = r x P = Mp r x V = constante
El planeta gira entorno al plano formado por los vectores de posición y velocidad.
Mov de Precesión
234
La velocidad es la variación del vector de posición (desplazamiento) respecto al tiempo.
V = r / t
El área barrida por el vector de posición en un tiempo t es
A = r r / 2 = r x V t / 2 = ( L / 2 Mp) t
( L / 2 Mp) = k = constante
A = k t
A=kt
Consecuentemente si los tiempos son iguales las áreas también los son.
 3ª Ley: El cuadrado del período de revolución de un planeta cualquiera en torno
al sol es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. (
ley de los períodos).
Cuando la fuerza es central es la fuerza centrípeta del movimiento.
m V2 = G M s m
r
r2
V =2r
T
(2  r / T )2 = G M s
r
r2
T2 = 4 2 r3
G Ms
T 2 = 2,97 10–19 s2 / m3
r3
Las tres leyes de Kepker son validas tanto para los planetas en torno al sol, como para los
satélites naturales y artificiales en torno a los planetas. En las deducciones realizadas se deben
considerar las masas de los cuerpos en estudio.
Mov de Precesión
235
MECANICA DE LOS FLUIDOS
ESTATICA DE LOS FLUIDOS
FLUIDOS
Los fluidos tienen cualidades geométricas y mecánicas
diferentes de los sólidos que nos permite diferenciarlos
claramente. Las diferencias fundamentales son:
F
F
a)
Los fluidos, a diferencia de los sólidos, no tienen
F1
F2
forma propia y adquieren la forma del recipiente
en el cual están contenidos. Esto hace que las
posiciones relativas de las masas puntuales que
constituyen el fluido varíe según la forma del
recipiente. Este fenómeno es debido a la escasa fuerza de atracción entre las
moléculas de los fluidos.
b)
Como consecuencia de lo anterior el comportamiento mecánico de los fluidos es
totalmente diferente a los sólidos. Si a un sólido como el de la figura se le aplica una
fuerza “F” en uno de sus extremos, para mantenerlo en equilibrio se debe aplicar
una fuerza igual y contraria. En cambio si tenemos un recipiente de la misma forma
que el sólido anterior lleno de un fluido, (para el efecto se necesitan dos émbolos en
cada extremo) y a uno de ellos le aplicamos una fuerza “F1”, en el otro extremo se
debe aplicar otra fuerza “F2” para mantener el equilibrio. Estas fuerzas deben
cumplir con la relación F1 / S1 = F2 / S2, donde S1 y S2 son las secciones de los
émbolos que sostienen al liquido.
La materia es un fluido cuando se encuentra en estado líquido y en estado gaseoso. Si
bien ambos estados tienen las características de los fluidos de no tener forma propia y transmitir
con igual intensidad la fuerza tienen también otras características macroscópicas y microscópicas
que los diferencian. Desde el punto de vista macroscópico, los líquidos tienen el volumen constante
y ocupan este volumen en el recipiente. Si por algún fenómeno se produce una variación de
volumen, este es, relativamente pequeño. Los gases, en cambio, ocupan totalmente el volumen del
recipiente en el que están contenidos y su volumen depende del volumen del recipiente. Por esta
razón no es posible tener un gas en un recipiente abierto, ya que el mismo escapa tratando de
ocupar toda la atmósfera. En realidad estos conceptos son una primera aproximación, a la
diferenciación de ambos estados de la materia, pero son suficientes para el alcance de este libro.
Esta última característica de los gases de no tener volumen propio, obliga a que nuestro
estudio, en este capitulo, se refiera a la mecánica de los líquidos. Los principios que la rigen son
los mismos para los gases. La limitación se debe a que la gran facilidad del cambio de volumen de
los gases, hace necesario a que el estudio se realice con calculo diferencial y con otras
consideraciones físicas. El estudio de los gases es objeto de otros capítulos.
Antes de iniciar el estudio de la mecánica de los fluidos debemos definir previamente
algunas magnitudes físicas.
 DENSIDAD: Es la masa por unidad de volumen de un cuerpo ( ) 
 PESO ESPECIFICO: Es el peso por unidad de volumen de un cuerpo. ( 
 DENSIDAD RELATIVA: Es la relación entre la masa de un cuerpo y la masa de igual
volumen de agua. ( ’ )
 PESO ESCIFICO RELATIVO: Es la relación entre el peso de un cuerpo y el peso de igual
volumen de agua. ( ’ )
Si= . P . = . m g . =  g
V
V
El peso específico es igual al producto de la densidad por la gravedad.
’ = P . = . P / V . = . 
P H2O
P H2O / V
H2O
Por lo tanto .
’ H2O y
. y de igual forma
’ = .  .

 H2O
’ H2O
El peso específico relativo es igual a la densidad relativa, desde luego, y ambas son
adimensionales pues solo expresan relación entre pesos o masas por unidad de volumen.
El peso específico de un cuerpo es igual a su peso especifico relativo por el peso
especifico del agua y la densidad del cuerpo es igual a la densidad relativa por la densidad del
agua.
UNIDADES DE PESO ESPECIFICO
SISTEMA DE UNIDADES
Densidad _ 
Peso Especifico 
Sistema Internacional
Sistema Técnico
C. G. S.
. kg .
3
m
. UTM .
3
m
. g .
3
cm
. N. .
3
m
. kgf .
3
m
. DINA .
3
cm
DENSIDAD y PESO ESPECIFICO del AGUA
SISTEMA DE UNIDADES
Sistema Internacional
Sistema Técnico
C. G. S.
Densidad –
3
. 10 kg .
3
m
. 102 U T M .
3
m
.1g .
3
cm
Peso Especifico
3
.9,8 10 N .
3
m
3
. 10 kgf .
3
m
. 980 dina .
3
cm

Densidad relativa – presión 1 atm – temp.0ºC
Acero
Aluminio
Bronce
Cobre
Hielo
Hierro
Oro
Plata
Platino
Plomo
7,8
2,7
8,6
8,9
0,92
7,8
19,3
10,5
21,4
11,3
Agua
Alcohol etílico
Benceno
Glicerina
Mercurio
Aceite
Aire
Oxigeno
Hidrogeno
Helio
1,00
0,81
0,90
1,26
13,6
0,9 – 0,8
-3
1,29 x 10
-3
1,43 x 10
-3
0,89 x 10
-3
1,79 x 10
Como manifestamos, la diferencia mecánica fundamental entre sólidos y fluidos es que
estos últimos no transmiten la fuerza, y la condición de equilibrio esta dada por la relación entre la
fuerza y la superficie de fluido sobre la cual actúa la fuerza. Es pues necesario definir una nueva
magnitud física, la Presión
Presión
es la fuerza por unidad de
superficie ejercida sobre la
masa de un fluido
p=.F.
S
La presión en un punto de un fluido se ejerce en
todas las direcciones, razón por la cual la misma no es
un vector. Para determinar la fuerza es necesario definir
la dirección de la superficie sobre la cual se desea saber
la fuerza. Es sabido que la superficie es el producto
vectorial de las dimensiones de un plano, por lo tanto un
vector perpendicular al plano considerado. Multiplicando
el escalar presión por el vector superficie obtenemos
la fuerza de igual dirección y sentido que la superficie.
F=pS
S=a^b
b
a
p
p
Los líquidos, pues, tienen la propiedad de
transmitir la presión y no la fuerza. Fue Pascal, quien estableció que “si se aplica una presión a
un fluido incompresible, la presión se transmite con igual intensidad a todo el fluido”,
conocido como Principio de Pascal
Unidades de Medida de la Presión
Ecuación Dimensional p = . F . = M L = . M .
2 2
2
S
T L
T L
Unidad en el Sistema Internacional
p = 1 Newton = 1 Pascal
m
2
Unidad del Sistema Técnico
p = 1 kgf .
2
m
Unidad del Sistema C.G.S.
p = 1 dina .
2
cm
Factores de conversión de las unidades de presión
1 Pascal = 1 Newton = 9,8 kgf . = . 10 dinas.
2
2
2
m
m
cm
TEOREMA GENERAL
DE LA HIDROSTATICA
La estática de los fluidos tiene un solo teorema en el que funda todo el estudio de los
mismos. Este es el Teorema General de la Hidrostática.
F1
1
1
h
2
h
2
Figura 1
P
F2
Figura 2
Figura 3
Considerando un liquido contenido en un recipiente como muestra la figura 1, este liquido
tiene en el punto 2 una presión p2 y en el punto 1 una presión p1.
El Teorema General de la Hidrostática dice que la diferencia de presión entre dos
puntos de un líquido es igual al peso específico del líquido por la altura entre los dos
puntos.
Para demostrarlo construimos un paralelepípedo del mismo líquido y hacemos el diagrama
de fuerzas para el mismo. En este caso solo analizaremos las fuerzas verticales.
F2 – F1 – P = 0
Dividiendo por las superficies
F2 – . F1 . = . P . donde P =  V =  S h
S
S
S
S
. F2 . – . F1 .
S
S
= Sh
p2 – p1 =  h
EXPERIENCIA DE TORICELLI
1
Evangelista Torricelli, fue el primero que midió la presión
atmosférica. Para el efecto llenó un recipiente y un tubo de 1 m de
longitud con mercurio e introdujo el tubo en el recipiente.
Midiendo la altura “h” a la que desciende el mercurio dentro del
recipiente, determino la presión atmosférica por el teorema general de la
hidrostática.
P
2
p 2 – p 1 = H g h
La presión en el punto 2 es la presión atmosférica. En el punto
1, existe vapor de mercurio, que se evaporo debido a la baja de la presión. La presión que ejerce el
vapor de mercurio es despreciable por lo que se puede decir que la presión en el punto 1 es cero.
La altura “h” medida es de 760 mm.
De esta forma :
p 2 – p 1 = patm – 0 = H g h
patm – 0 = ’H g
H 2O h
patm = 13,6 x 1000 kgf x 760 mm
3
m
patm = 10 336 kgf = 1,0336 kgf .
2
2
m
cm
Los aparatos que permiten medir la presión atmosférica, reciben el nombre de
barómetros, de donde la presión que los mismos suministran se denomina presión barométrica.
La presión atmosférica en realidad no es constante, varía por diferentes factores;
temperatura del aire, viento, humedad, etc.; sin embargo se adopta el valor correspondiente a 760
mm de Hg. como presión atmosférica normal. Esta presión es conocida como 1 atmósfera y la
presión atmosférica se expresa generalmente en atmósferas. Así la presión atmosférica normal es:
1 atm = 760 mm de Hg = 1,0336 kgf . = 10 336 x 9,8 N . = 101 293 Pa
2
2
cm
m
MANÓMETRO Y
PRESIÓN MANOMÉTRICA.
2
La revolución industrial, generalizó el uso de las
maquinas a vapor. Estas máquinas necesitaban de calderas
donde se evaporaba el agua y se producía y se almacenaba
el vapor necesario para mover las maquinas. Al principio,
las calderas explotaban pues no era posible controlar la
presión del vapor dentro del mismo. Para solucionar el
problema se invento el manómetro, con el cual se mide la
presión del vapor, y en caso de ser muy elevada se dejaba
escapar vapor, evitando de esta forma que la presión supere ciertos valores.
h
1
Los primeros manómetros consistían en un tubo en U con dos ramas. Una de las ramas se
conecta a la caldera y la otra queda abierta a la atmósfera. En el tubo se introducía mercurio. La
presión sobre el mercurio en la rama conectada a la caldera es la misma que la del vapor de agua y
en la otra rama es la presión atmosférica.
De esta forma de acuerdo al Teorema General de la Hidrostática,
p 1 – p 2 = p – patm = H g h
Esta diferencia de presión entre la presión en el interior de la caldera y la presión
atmosférica pasa a denominarse presión manométrica. La presión manométrica no es en
consecuencia la presión del interior de la caldera. Siempre que se menciona la presión
manométrica, se tiene el dato de la presión real menos una atmósfera.
pm = p – patm = H g h
Los manómetros fueron evolucionando con el tiempo, siendo al presente aparatos
electrónicos, pero siempre suministran la presión manométrica.
PRESIÓN SOBRE LAS PAREDES
La presión ejercida por un líquido sobre las paredes del
recipiente aumenta con la profundidad, de forma que el
incremento de presión es
p = L h
H
F
H/3
El incremento es pues lineal y proporcional a la
profundidad. En el gráfico se representa las presiones para las
diferentes profundidades con líneas horizontales.
Para calcular la fuerza que ejerce el líquido sobre la pared calculamos la presión promedio
entre los dos puntos que interesa y multiplicando por la superficie sobre la cual actúa obtenemos la
fuerza.
En este caso la presión promedio entre la superficie del liquido y el fondo es
p = L H / 2,
y por lo tanto la fuerza es
considerada.
F =
L H2 a / 2,
donde “a” es el ancho de la pared
El punto de aplicación de la Fuerza es el centro de gravedad del triángulo formado
gráficamente con las presiones, por lo tanto se encuentra a una distancia del fondo igual a un tercio
de la altura. Así el momento que ejerce la fuerza con respecto al fondo es
= F H / 3 = L H3 a / 6
PARADOJA HIDROSTÁTICA
Recipiente 1
Recipiente 2
Recipiente 3
Los tres recipientes de la figura tienen la misma área en el fondo y contienen el mismo
liquido hasta la misma altura “h”. La presión y la fuerza ejercida en el fondo de los tres recipientes
son
pf = h
Ff= S pf = S  h
Observando los recipientes se observa que el peso del líquido en cada uno de ellos es
diferente. Siendo el mayor el del recipiente 3 y el menor el del recipiente 2. El hecho de que la
fuerza ejercida en el fondo del recipiente es igual, independientemente del peso del líquido es
conocido como “Paradoja Hidrostática”
S2
p2
S1
p1
h1
N
N1
N2
S–pf
La fuerza que ejerce el líquido en el fondo del recipiente es igual en los tres casos, e igual
al peso del líquido en el recipiente 1. Esto no significa que las normales ejercidas sobre los
recipientes no sean diferentes y cada una igual al peso del líquido contenido en cada uno
Recipiente 1: en este recipiente la fuerza en el fondo es igual a la Normal e igual al peso
del liquido contenido.
Recipiente 2: en este recipiente la fuerza en el fondo es la determinada anteriormente.
Pero en el estrechamiento el líquido tiene una presión p 1 =  h 1 y hace una fuerza de abajo para
arriba sobre la superficie del S 1 del estrechamiento igual a
F 1 = S 1 p 1 = S 1  h 1. Por lo
tanto la N 1 = F f – F1, menor que en el recipiente 1 y que es igual al peso del liquido contenido en
el recipiente 2
Recipiente 3: En este recipiente el liquido ejerce en el ensanchamiento, una presión p 2 =
 h 1 y hace una fuerza de arriba para abajo sobre la superficie del S 2 del ensanchamiento igual a
F 2 = S 2 p 2 = S 2  h 1. Por lo tanto la N 2 = F f + F1, mayor que en el recipiente 1 e igual al peso
del liquido contenido en el recipiente 3.
VASOS COMUNICANTES
1
2
h1
h2
3
4
La figura muestra un recipiente compuesto de dos tubos verticales unidos por un tubo
horizontal. Un recipiente de esta forma recibe el nombre de “Vaso comunicante”. Si se carga un
líquido en el vaso el líquido sube en ambas ramas. Demostraremos que las alturas que alcanza en
ellas son iguales. Por el teorema general de la hidrostática se sabe que
p3–p1 =
p4–p2 =
p4–p3 =
h1
h2

Pues los puntos 4 y 3 se encuentran al mismo nivel. Además las presiones
p 2 = p 1 = p atm
Por lo tanto para que se cumplan las igualdades h 1 = h 2
VASOS COMUNICANTES
CON DOS LIQUIDOS
Si cargamos dos líquidos que no se mezclan de densidades diferentes, los mismos tendrán
alturas diferentes los mismos tendrán alturas diferentes con respecto al nivel de separación de los
mismos.
1
h1
2
2
h2
3
4
1
Si los puntos 3 y 4 se encuentran al mismo nivel, se cumple que
p 3 – p 1 = 1 h 1
p 4 – p 2 = 2 h 2
p 4 = p 3 
p 2 = p 1 = p atm
Por lo tanto
1 h 1 = 2 h 2
1 = h 2
2
h1
EMPUJE
Arquímedes enuncio el Principio que lleva su nombre sosteniendo que “todo cuerpo
sumergido en una masa líquida sufre una perdida aparente de peso igual al peso del líquido
desalojado”.
En esa época, esta “perdida de peso” era considerada como un fenómeno misterioso que
existe en la naturaleza cuando en realidad no es nada mas que una consecuencia de la diferencia
de presión entre dos puntos de un líquido.
Un cuerpo de peso “P” se sumerge en un líquido hasta el fondo del recipiente, que contiene
al líquido, y se lo coloca de tal forma que no penetre liquido entre las superficies en contacto. Las
fuerzas verticales que actúan sobre el cuerpo son las indicadas en la figura 2 Donde P es el peso
del cuerpo, F1 es la fuerza debida a la presión en ese punto (p S) y N es la reacción Normal del
fondo del recipiente sobre el cuerpo. En esta situación el cuerpo permanecerá en equilibrio en el
fondo pues la Normal es una fuerza equilibrante de las otras dos.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
F1
F1
P
P
N
N
F2
En la figura 3 se considera el mismo cuerpo pero considerando que el liquido penetra bajo
la cara inferior ocupando una fracción de la superficie. Entonces la presión del liquido sobre la cara
inferior del cuerpo hará una fuerza F2 = p2 S2 y
Si F2 < P + F1
si F2 = P + F1
si F2 > P + F1,
N > 0, el cuerpo esta en equilibrio;
N = 0, el cuerpo esta en equilibrio:
el cuerpo no esta en equilibrio
En el último caso la presión del líquido en la cara inferior y la superficie mojada generan
una fuerza que es capaz de levantar el cuerpo.
La figura 4 muestra el mismo cuerpo en medio de
la masa liquida. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
son las indicadas en la figura 5
Considerando las fuerzas F2 y F1 tenemos que
F 2 = p2 S y F 1 = p 1 S
F1
h
F2
Luego F2 – F1 = p2 S – p1 S = ( p2 – p1 ) S
figura 4
figura 5
De acuerdo al teorema general de la hidrostática
p2 – p1 =  h
F 2 – F 1 =  l h S
P
F2 – F1 =  l V
La resultante de las fuerzas debidas a la presión, cuando toda la superficie del
cuerpo esta sometido a presiones es conocida como EMPUJE. Y en este caso, el empuje es
igual al volumen de líquido desalojado por el peso específico del líquido, es decir igual al peso del
líquido desalojado.
E = l V
Si el empuje es igual al peso el cuerpo quedará flotando a media agua, si es mayor saldrá
para arriba para flotar con parte de su cuerpo sumergido y si es menor se hundirá.
Cuando el cuerpo flota con parte de su volumen sumergido, la presión en la cara superior
es la presión atmosférica, y la diferencia de presión genera un empuje que es igual al peso del
líquido desalojado.
Los cuerpos que se encuentran en el aire o en otro gas, también están sometidos a un
empuje.
El punto de aplicación del empuje es el centro de gravedad de la parte sumergida, pues el
mismo es igual al peso del líquido desalojado.
El empuje, es la acción del líquido sobre el cuerpo, por lo tanto, la reacción del cuerpo
sobre el líquido será igual y de sentido contrario.
En la figura 1 de abajo la fuerza F1 y F2 debido a la presión que ejerce el liquido sobre el
cuerpo. En la figura 2 se muestran las reacciones F1 y F2 que hace el cuerpo sobre el liquido.
F1
E
F1
F2
E
F2
Figura 1
Si sobre el cuerpo
sobre el liquido también es
contrario).
Figura 2
F2 – F1 = E (Empuje),
F2 – F1 = E (Empuje, de igual magnitud y de sentido
Es decir, el cuerpo se encuentra bajo la acción del empuje de con dirección vertical y
sentido para arriba, y el liquido se encuentra bajo la acción del empuje con dirección vertical y
sentido para abajo.
Principio de accion y reaccion de empuje
EMPUJE SOBRE UN CUERPO
QUE FLOTA ENTRE DOS LÍQUIDOS
Si el cuerpo se encuentra flotando entre dos
líquidos, las diferencias de presiones entre los
puntos 1, 2 y 3 son:
p 2 – p 1 =  1 H1
p 3 – p 2 =  2 H2
Luego
p 3 – p 1 =  2 H2 +  1 H1
Si multiplicamos la presión por la superficie.
1
H1
1
2
H2
2
3
 2 H2 S +  1 H1 S
F3 – F1 =
Como H1 S = V1 ,
H2 S = V2
y
F3 – F1 = E
E =  2 V2 +  1 V1
DIFERENCIA DE PRESION CUENDO EL RECIPIENTE TIENE
ACELERACION
EMPUJE SOBRE UN CUERPO
EN UN RECIPIENTE CON ACELERACIÓN
P
Si un cuerpo se encuentra flotando en un líquido
contenido en un recipiente y todo el sistema tiene
una aceleración vertical, en este caso para arriba.
El cuerpo se encuentra bajo la acción de las
fuerzas F1 y F2, debidas a las presiones del
líquido; y de su peso, de forma que se cumple:
F2
F2 – F1 – P = m a
F1
a
Donde E = F2 – F1,
h
F2 = S p2,
F1 = S p1,
P =  g S h,
m=Sh
Se verifica que:
E=V(g+a)
p2 – p1 =  h ( g + a )
TRABAJO REALIZADO POR EL EMPUJE,
FUERZA CONSERVATIVA
Si un cuerpo se encuentra sumergido a una profundidad “h” y se mueve para arriba, el trabajo
realizado por el mismo es:
T=E h
Cualquiera sea la dirección en que se mueve el cuerpo el trabajo siempre será el mismo, de aquí
que el empuje es una fuerza conservativa. Por lo tanto, se puede considerar una energía potencial
igual a
U=–E H
Esta energía potencial, al contrario de la debida a la gravitación universal, disminuye al aumentar la
altura del cuerpo y disminuir la profundidad a la que se encuentra sumergido el cuerpo.

El movimiento armónico en vasos comunicantes
p – patm = d g x
S (p – patm) = S d g x
F=Sdgx
Sdg=k
F=kx

El movimiento armónico de un cuerpo sumergido.
E – Eo = d g S (h + x) – d g S h
F=dgSx
Sdg=k
F=kx
MECANICA DE LOS FLUIDOS
DINAMICA DE LOS FLUIDOS
El estudio de los fluidos en movimiento requiere de varias simplificaciones que permitan
analizar su comportamiento. Las condiciones de nuestro análisis son:
1.
2.
3.
4.
Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido.
Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo.
Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo.
Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido
respecto de cualquier punto.
Cuando se cumplen las condiciones de flujo ( ítems 3 y 4 ) una masa puntual del fluido se
mueve sobre una línea definida. Esta línea es conocida como línea de corriente o de flujo, y
cada masa puntual que llegue a un punto de esa línea se mueve siempre sobre la misma. Estas
líneas no deben cruzarse, evitando de esta forma que las masas puntuales que llegan a un punto
determinado puedan moverse por una u otra línea.
Un haz de líneas de corrientes es el tubo de flujo,
por el cual se mueve el fluido.
a
b
c
En la figura se representa un tubo de flujo con
algunas líneas de corriente. Una masa puntual que llega al
punto a de la figura pasa posteriormente por los puntos b y
c.
Las velocidades en los puntos a, b y c no son iguales, pero todas las masas puntuales que
llegan tienen las mismas velocidades en a, b, y c. Estas velocidades son vectores tangentes a la
trayectoria que es la línea de flujo.
Cuando se cumplen estas condiciones el régimen es estacionario y currentilíneo.
ECUACION DE CONTINUIDAD
En un tubo de flujo, el volumen de líquido que pasa por todas las secciones en el mismo
tiempo son iguales. Se denomina caudal al volumen de fluido que pasa por una sección
determinada en la unidad de tiempo. En un tubo de flujo el caudal en todas las secciones debe ser
el mismo. Por lo tanto
Q1 = Q2
Consideramos un fluido que circula por un tubo como se indica en la figura. S1 es el área
de la sección 1, en la que el fluido tiene una velocidad v1, y S2 el área de la sección 2 en la que el
fluido tiene una velocidad v2. Luego de un cierto tiempo t la sección 1 se movió una distancia x1 y
la sección 2, x2, como se ve en la figura de abajo.
S1
S2
v1
v2
x1
x2
Si V1 y
caudales son:
V2 son los volúmenes que pasan por las secciones 1 y 2 en un tiempo t; los
. V1 . = . V2 .
t
t
. S1 x1 . = . S2 x2 . donde x1 = v1 t
t
t
x2 = v2 t
De donde resulta que el producto de la sección por la velocidad es constante en un tubo
de corriente. Esta relación es conocida como
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
S1 v1 = S2 v2
TEOREMA DE BERNOULLI
Daniel Bernoulli (1700 – 1782), publico en 1738 su libro “Hidrodinámica”. En este libro
demostró la relación existente entre la velocidad de un fluido y la presión, demostración que es
conocida como Teorema de Bernoulli.
Un tubo de corriente tiene secciones S1 y S2, En la sección S1, que se encuentra a una
altura h1, actúa una fuerza F1 y el líquido que circula por él tiene una velocidad v1.y en la sección
S2, que se encuentra a una altura h2 actúa una fuerza F2 y el líquido que circula por él tiene una
velocidad v2 ( Figura 1 ).
v2
F2
FIGURA 1
S1
v1
F1
S2
h2
h1
Luego de cierto tiempo la sección S1 se movió una distancia x1 y la sección S2 se movió
una distancia x2, de tal forma que los volúmenes desplazados en ambas secciones son iguales.
y por lo tanto, también las masas
S1 x1 = S2 x2
m1 = m2.
x2
F2
FIGURA 2
S1
x1
h1
S2
h2
F1
Como las condiciones mecánicas de la masa limitada entre las dos secciones en estudio,
no varia pues el flujo es estacionario (las velocidades, las alturas, etc. en cada punto son siempre
las mismas) se puede considerar que un cuerpo de masa m = m1 = m2 se trasladó de la posición
del punto 1 a la posición del punto 2, debido al trabajo realizado por las fuerza F1 y F2. Siendo su
velocidad, y su altura v1 y h1 en el punto 1; y v2 y h2 su velocidad y su altura en el punto 2.
La conservación del trabajo y la energía es:
W=K+U
W = F1 x1 – F2 x2
Donde
 K = K2 – K1 = ½ m2 v22 – ½ m1 v12
 U = U2 – U1 = m2 g h2 – m1 g h1
Reemplazando
F1 x1 – F2 x2 = ½ m2 v22 – ½ m1 v12 + m2 g h2 – m1 g h1
F1 x1 + m1 g h1 + ½ m1 v12 = F2 x2 + m2 g h2 + ½ m2 v22
F1 x1 +  V1 g h1 + ½  V1 v12 = F2 x2 +  V2 g h2 + ½  V2 v22
Dividiendo ambos miembros por
S1 x1 = S2 x2
Obtenemos la
ECUACIÓN DE BERNOULLI
p1 +  g h1 + ½  v12 = p2 +  g h2 + ½  v22
Donde p1 y p2 son presiones exteriores (ejercidas por fuerzas exteriores al fluido,
ejemplo por la tubería),  g h1 y  g h2 son presiones hidrostáticas (debidas a la altura del
2
2
liquido) y ½  v1 ½  v2 son presiones hidrodinámicas (debidas a la velocidad del liquido).
El teorema de Bernoulli demuestra que la suma de la presión externa, la presión
hidrostática y la presión hidrodinámica es constante en todas las secciones de un tubo de
corriente.
Una forma practica de expresar la conservación de la suma de las presiones, es expresar
como suma de alturas, para lo cual se divide cada uno por  g.
. p . + h1 + . v12
 g
2g
.
= cte.
FUERZAS EJERCIDAS POR
UN LIQUIDO EN MOVIMIENTO
La figura muestra un tubo doblado en ángulo de 90º por el que fluye un líquido. Las
secciones en la rama horizontal y vertical con diferentes por lo que, de acuerdo al teorema de
continuidad las velocidades en ambas ramas son diferentes.
El liquido cambia su velocidad, tanto en dirección como en magnitud, debido a un impulso
que recibe. Este impulso es producido en el codo del tubo, contra el cual el liquido choca y se
produce el cambio de velocidad.
I = P f – Po
Vectorialmente Ix
Iy
= Pfx – Pox
= Pfy – Poy
Pfx = 0
Donde
De manera que Ix
Por lo tanto
y
y Poy = 0
Fx t = – m vx
Fy t = m vy
vy
Fy
= – Pox e Iy = Pfy
Fx = – . m vx . y
t
Donde m
vx
Fx
Fy = . m vy .
t
= V; V es volumen; y Q = V / t, resultando: m = Q t, luego
Fx = – Q vx y
Fx = – vx2 S1 y
Fy =  Q vy
Fy =  vy2 S2
Las fuerzas Fx y Fy son las fuerzas que hacen las paredes del tubo sobre el líquido, y son
iguales y contrarias a las que hace el líquido sobre el tubo.
VELOCIDAD DE
SALIDA DE UN LIQUIDO
CONTENIDO EN UN RECIPIENTE
Un recipiente que contiene líquido como indica la figura, tiene
un tubo de descarga situado
1
H
Las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli son:
S1 v1 = S2 v2
p1 +  g h1 + ½ 
Como p1
v12
2
= p 2 +  g h2 + ½ 
v22
= p2 = patm ; h1 = H ; h2 = 0 se obtiene
v2 = S1
. 2gH .
S12 – S22
Si S1 >> S2 obtenemos la ecuación de Torricelli, quien demostró que la velocidad de
salida del líquido, es igual a la que tendría un cuerpo que cae desde la misma altura “H”
ECUACION DE TORRICELLI
V=
2gH
DETERMINACION DEL TIEMPO
1
DE DESCARGA
El caudal de liquido que sale es S2, v2 y el volumen en un
instante de tiempo t es S2 v2 t.
En ese tiempo el líquido desciende una altura
consecuencia
– S1 h. = S2 v2 t.
h. En
h
2
H
– h. = S2
Integrando entre h y H
⌠
⌡
–
. 2 g H . t.
S12 – S22
. h . = S2
.
2g
. t.
S12 – S22
H
VARIACIÓN DE LA ALTURA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
2
h – 2
H
= S2
.
2g . t
S12 – S22
Para h = 0 el tiempo de descarga es
t=
Si S1
. S12 . – 1 . 2 H .
S22
g
>> S2 se desprecia la unidad
t = . S1 . . 2 H .
S2
g
DETERMINACION DE LA
VELOCIDAD DE DESCARGA
1
EN EL TIEMPO
El tiempo para descarga la altura “H” es:
t1 = . S1 . . 2 H .
S2
g
El tiempo para descarga la altura “h” es:
h
2
H
t2 = . S1 . . 2 h .
S2
g
El tiempo transcurrido desde que empezó la descarga es t
t = . S1 .
.2H . –
g
S2
La velocidad es
v=
Multiplicando ambos miembros por g, resulta
= t1 – t2
.2h .
g
2gH
g t = . S1 .
S2
v0 – v
La velocidad para un tiempo t es:
VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD EN
FUNCION DEL TIEMPO.
V = V0 – . S1 . g t
S2
S
2
Es importante destacar que esta ecuación es la velocidad
de las diferentes masas que
llegan al punto de descarga. A diferencia de las ecuaciones de velocidad de la cinemática que
relaciona la velocidad de una masa al tiempo que cambia de posición; esta ecuación determina la
velocidad de las diferentes masas puntuales que llegan a una posición determinada; el punto de
descarga. De esta forma esta ecuación corresponde a un flujo no estacionario.
De la misma forma la relación S1/S2 g no es propiamente una aceleración, pues la misma
expresa la variación de la velocidad en la unidad de tiempo en una posición fija.
EL SIFON AUTOMATICO
DE NEUGEBAUER
OTRO CASO DE FLUJO NO ESTACIONARIO
El sifón automático de Neugebauer consiste en un tubo con tres codos dos de los cuales
están sumergidos en el líquido. Este sifón no necesita ser “cebado” para hacerlo funcionar.
Analizaremos las condiciones para que el líquido fluya automáticamente por el tubo.
Cuando el líquido entra por el tubo y empieza a circular por él, el régimen no es estacionario, pues
la velocidad no es constante. El análisis se refiere a estas condiciones del líquido. Posteriormente
el régimen se vuelve estacionario.
D
Las condiciones en consecuencia son:
1. Cuando el líquido sube por la rama C-D, al llegar al nivel
de la superficie libre del recipiente debe tener velocidad
para arriba.
2. En la misma rama C D el líquido debe tener aceleración
positiva, de forma a que la velocidad aumente lo mas
posible antes de frenarse.
3. Al llegar al punto D el liquido debe tener velocidad de
forma a pasar ese punto y empezar a caer por DE.
B
h
A
C
A.- Velocidad en el punto B.
E
Por la conservación de la energía (teorema de Bernoulli), la velocidad en B es
VB2 = 2 g ( h – l1)
Donde l1 es la longitud de la rama AB
B.- Aceleración y Velocidad en la rama CD.
Aplicando la 2ª Ley de Newton para el líquido en movimiento dentro del tubo tenemos para
una altura “x” en CD
La monenclatura que usada es l1 la longitud del tramo AB, l2 la longitud del tramo BC, l3
la longitud del tramo CD, x una longitud cualquiera del tramo CD, vB la velocidad en el punto B,
vD la velocidad en la posición x del tramo CD y también para x = l 3 la velocidad en el punto D
FA – FB – W1 = m1 a
FB – FC + W2 = m2 a
FC – FO – W3 = m3 a
Sumando miembro a miembro obtenemos:
FA – FO – W1 + W2 – W3 = ( m1 + m2 + m3 )a
Donde
FA = pA S;
FO = patm S;
W1 =  g l1 S;
W2 =  g l2 S;
W3 =  g x S; m1 =  l1 S; m2 =  l2 S y m3 =  x S
Remplazando y haciendo las transformaciones correspondientes obtenemos.
a = g (h – l 1 + l 2 – x)
l1 + l 2 + x
l
1
+
l
Para que se cumpla la condición 2 (a
> 0), para x = h; se debe cumplir que l 1 < l2.
Si aplicamos ahora
T=K+U
Donde
T =  g S (l1 + l2 + x1 )
 K = K2 – K1 = ½  g S (l1 + l2 + x1 ) vD2 – ½  g S l1 vB2
 U =  g S .l 12 . +  g S l 2 ( l 1 – .l 2 ) +  g S x ( l 1 – l 2 + .x )
2
2
2
Donde se obtiene que
vD2 = vB2 + g (.l 22 + 2 l 2 x + .x2 )
( l 1+ l 2 + x )
C.- Velocidad en el punto E.
El cálculo de la velocidad en el punto E se puede realizar considerando el trabajo y las
energías entre el punto “B” y “E”. De un modo similar al calculo de la velocidad en el punto “E” se
puede aplicar la conservación del trabajo y la variación de las energías entre esos puntos.
En esta ecuación “L” es la longitud total del tubo y “l 4” la longitud de la rama
T=K+U
De esta ecuación obtenemos que
vE2 = vB2 + . g . ( ( L – l 1 )2 – 2 l 3 ( l 3 + 2 l 4) )
L
La condición para que el líquido fluya por E es
L2 + l 12 + 2 L h > 2 l 32 + 4 l 3 l 4 + 4 L l1
“DE”
TEMPERATURA Y CALORIMETRIA
La primera aproximación que tenemos del calor y la temperatura es una relación directa
entre los mismos. Por eso se dice “este objeto está frío o está caliente” y “para aumentar la
temperatura se debe calentar el objeto en cuestión y para disminuir se debe enfriar”. Para una
persona que toca un objeto este estará frío o caliente dependiendo de la temperatura de mano.
Así, una persona puede decir después de tocar un objeto que el mismo esta frío, en cambio otra
persona dirá esta caliente. Es pues necesario establecer patrones para determinar la temperatura
de un objeto.
Los estudios de los fenómenos físicos referidos al calor y la temperatura son el objeto de la
TERMODINÁMICA. Estos fenómenos pueden clasificarse en dos categorías. Una que estudia los
fenómenos macroscópicos relacionados con la temperatura y otra que estudia los fenómenos
microscópicos. Ocurre que dependiendo de la temperatura y, también de la presión, la estructura
molecular de la materia cambia, constituyendo así, los seis estados de la materia (sólido, líquido,
gaseoso, plasma, condensado Bose Einstein y condensado fermiónico).
La temperatura esta relacionada con estados energéticos de la estructura de la materia. De
aquí el titulo de Termodinámica para estos estudios de la física.
LA TEMPERATURA
La percepción sensorial de la temperatura es siempre relativa y depende de cada persona.
Para una mejor sistematización se establecieron diferentes escalas de temperatura. En estas
escalas el Cero, no expresa la ausencia de temperatura, sino que es el punto de referencia
utilizado para medir. Todas las escalas toman un punto de referencia para el cero y otro punto de
referencia; y realiza “N” divisiones entre estos puntos. Constituyendo de esta forma un grado de
esa escala.
Los sistemas de medición y las escalas se fundamentan en la Ley Cero de la
Termodinámica, que enuncia cuando los cuerpos se encuentran en equilibrio térmico; es decir
tienen la misma temperatura.
LEY CERO DE LA TERMODINAMICA
Si dos cuerpos se encuentran en equilibrio
térmico con respecto a un tercero, se
encuentran en equilibrio térmico entre si.
La Ley Cero plantea que si dos cuerpos “A” y “B”, se encuentran en equilibrio térmico con
un tercer cuerpo “C”, también se encuentran en equilibrio térmico entre sí.
Este es el fundamento de construcción de los termómetros, aparatos de medición de
temperatura, Para el efecto se hace uso de alguna propiedad de los cuerpos que varía
proporcionalmente con la temperatura. Por ejemplo su volumen.
Así, si un cuerpo tiene una propiedad X a una temperatura T(X) tenemos que
T(X) = k X
y se cumple
T(X1) = X1.
T(X2)
X2.
Dos son las escalas termométricas utilizadas actualmente
A) ESCALA CENTIGRADA
Esta escala adopta como referencias las temperaturas en que
el agua cambia de estado. El cero es la temperatura de solidificación del agua liquida.
El otro punto es el punto de ebullición del agua. Entre estos dos puntos se establecen
100 divisiones (cada una 1º ) de acuerdo al sistema decimal.
B) ESCALA FAHRENHEIT
En esta escala las temperaturas de referencia son las mismas,
pero el punto de solidificación del agua es 32 y entre punto y el de ebullición del agua
se establecen 180 divisiones (1 ºF)
C) RELACIONES ENTRE ESCALAS
100º
80º
60º
40º
20º
0º
–20º
Ebullición del H2 O
Evaporación del H2 O
200º
160º
120º
80º
40º
212º
32º
0º
– 40º
–80º
– 40º
–60º
Escala Centígrada
Escala Fahrenheit
La figura muestra las dos escalas, indicando los puntos de ebullición y evaporación del
agua. Para calcular la equivalencia de la temperatura entre una escala y la otra basta con
establecer la proporcionalidad de los segmentos.
º C. = º F – 32
100
180
Por lo tanto
º C = 5 / 9 ( º F – 32 )
y
º F = 9/5 º C + 32
CALORIMETRIA

El Calor como fluido - Calor como energía.
La primera aproximación para comprender que es calor, fue considerarlo como un fluido
producido por la combustión de los cuerpos y que se transmite de un cuerpo a otro con menor
temperatura. Este fluido fue llamado “calórico”.
Para medir el calórico, era necesario definir una unidad de medida. La unidad debía
necesariamente ser percibida por alguno de los sentidos del ser humano. Como la manifestación
más evidente era la temperatura se estableció su unidad de medida en función de la variación de
esta. Así, se estableció que
Una CALORIA es la cantidad de calor necesaria para que un
gramo de agua aumente su temperatura de 14,5º a 15,5º
El Conde Rumford (Benjamín Thompson – 1753 – 1814) fue el primero en poner en duda la
existencia del calórico, pues si era un fluido debería terminar de consumirse en algún momento. En
sus observaciones durante la fabricación de cañones, él constato que la producción de calor no
disminuía a pesar del uso continuado de los taladros utilizados.
Hacia 1840, James Prescott Joule (1818 -. 1889)
encontró que existía una relación directa entre el calor y el
trabajo realizado. Sus mediciones le permitieron determinar
que la cantidad de calor necesaria para aumentar 1 º F la
temperatura del agua, siempre era necesario realizar un
trabajo de 722 libras pie.
El esquema muestra la maquina utilizada por Joule
en sus experimentos.
De esta forma, Joule, determino que el calor era una
forma de energía.
La relación entre la caloría y Joule ( Unidad de Energía en el Sistema Internacional) es:
1 caloría = 4,186 Joule
CAPACIDAD CALORÍFICA y
CALOR ESPECIFICO
Los diferentes experimentos demostraron que cada cuerpo requiere siempre la misma
cantidad de calor para producir una determinada diferencia de temperatura. En consecuencia el
calor para producir una diferencia de una unidad de temperatura es una constante en cada cuerpo,
la Capacidad Calorífica del cuerpo.
CAPACIDAD CALORIFICA
es la cantidad de calor que se debe suministrar
a un cuerpo para que aumente un grado su
temperatura
C=.Q.
t
Comparando la capacidad calorífica de varios cuerpos del mismo material, encontramos
que la misma es proporcional a las masas.
. C1 . = . C2 . = c
m1
m2
Reemplazando
. Q1 . = . Q2 . = c
t 1 m 1 t 2 m 2
De donde se define
CALOR ESPECIFICO
Es la cantidad de calor que se debe suministrar
a una unidad de masa para aumentar un grado
su temperatura
c =. Q .

t m
Por lo tanto el calor que se suministra a un cuerpo de calor específico “c”, masa “m”, para
producir una diferencia de temperatura t, es
Q = c m ( t f – t 0)
Si la temperatura final es menor que la inicial el calor resultante es negativo, es decir, el
cuerpo pierde calor, cede energía.
Cuando dos cuerpos que se encuentran inicialmente a diferentes temperaturas se ponen
en contacto y se encuentran en un medio totalmente aislado, de acuerdo a la Ley cero de la
termodinámica, ambos llegan a un equilibrio térmico. El cuerpo de mayor temperatura cede calor y
el de menor temperatura absorbe calor. Si los cuerpos se encuentran aislados y no hay
posibilidades de que se ceda calor al medio ambiente, la energía calorífica no puede perderse. Por
lo tanto se cumple que:
Q1+Q2=0
c 1 m 1 t 1 + c 2 m 2t 2 = 0
c 1 m 1 ( t – t 1 )+ c 2 m 2( t – t 2 ) = 0
Si se cumple que
t 1 > t > t 2; entonces t – t 1 < 0 y t – t 2 > 0
En el caso de tener mas de dos cuerpos aislados del medio ambiente, todos ellos a
temperaturas diferentes , todos llegarán al equilibrio térmico y por lo tanto la suma de todas las
energías caloríficas será igual a cero. Y el calor cedido por unos será absorbido por otros
Q 1 + Q 2 + Q 3 +.......+ Q N = 0
Q i = 0
Este fenómeno por el cual, al suministrarle calor a un cuerpo, su temperatura aumenta, se
ve limitado cuando el cuerpo llega a cierta temperatura en la que, debido a fenómenos
microscópicos el cuerpo cambia de estado. Cuando el cambio de estado empieza la temperatura,
deja de aumentar hasta que todo el cuerpo cambia de estado. Si después del cambio de estado se
sigue suministrando calor al cuerpo empieza de vuelta a aumentar la temperatura. En esta
situación el calor específico del cuerpo, en ese estado es sustancialmente diferente al del estado
anterior.
En la tabla de más abajo se nota, que algunas sustancias, aún en un mismo estado, tienen
diferentes calores específicos a diferentes temperaturas. Esta diferencia en realidad es muy
pequeña y en la mayoría de los casos se desprecia, adoptándose el valor medio; sin embargo los
calores específicos de una sustancia en un estado y en otro tienen una diferencia que no puede
despreciarse.
Los tres estados de la materia mas conocidos son el sólido, el líquido y el gaseoso.
El proceso de cambio de estado de sólido a líquido se denomina fusión y el inverso, de
líquido a sólido, solidificación. El cambio de líquido a gas, se denomina vaporización, y de gas a
líquido condensación. En caso que el cambio de estado se realice pasando directamente de
sólido a gas se denomina .
Para los procesos de fusión y vaporización es necesario suministrar calor al cuerpo. Para
los procesos de solidificación y condensación es necesario sustraer calor del cuerpo. Ocurre que el
calor que se suministra a un cuerpo para un cambio de estado es igual al calor que se sustrae de él
para el proceso inverso. Estos calores son proporcionales a la masa y dependen de la sustancia.
De aquí que se define como:
CALOR DE FUSION
Es la cantidad de calor que se debe suministrar a una
unidad de masa para de una sustancia para cambiar de
estado sólido a líquido y viceversa.
Lf = . Q .
m
CALOR DE VAPORIZACION
Es la cantidad de calor que se debe suministrar a una
unidad de masa de una sustancia para cambiar de
estado líquido a gas y viceversa
Lv = . Q :
m
De aquí que el calor suministrado o sustraído a un cuerpo durante un cambio de estado
que se realiza a una determinada temperatura es:
Q=Lm
En general los cambios de estado entre sólido y líquido se ven muy poco alterados por la
presión. Las variaciones de la temperatura de fusión y del calor de fusión son poco ponderable y se
pueden despreciar, no así, cuando el cambio de estado es entre líquido y gaseoso. En este último
caso las temperaturas varían considerablemente y, también, el calor de vaporización.
Es muy conocido que el agua hierve a menor temperatura en las zonas montañosas donde
la presión atmosférica es menor.
Sustancia
Agua
CALORES ESPECÍFICOS
Aluminio
Hielo
Acero
Alcohol Etílico
Berilio
Cadmio
Cloruro de sodio
Cobre
Cuarzo
Estaño
Germanio
Hierro
Laton
Madera
Mármol
Mercurio
Oro
Plata
Plomo
Silicio
Vidrio
Zinc
Temp º C
0
15
40
100
0
20
100
300
0 – 100 med
–21 – 0 med
0 – 100 med
med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
0 – 100 med
cal / g ºC
1,0087
1,0000
0,9976
1,0064
0,208
0,214
0,225
0,248
0,211
0,505
0,113
0,580
0.436
0,055
0,210
0,0930
0,188
0,0556
0,077
0,1097
0,0917
0,200
0,210
0,0331
0,0316
0,0561
0,0309
0,168
0,199
0,0935
joule / g ºC
4,222
4,186
4,176
4,212
2,114
0,870
0,896
0,942
0,003
2,114
0,473
2,400
1,830
0,230
0,879
0,389
0,787
0,233
0,322
0,459
0,384
1,700
0,860
0,138
0,130
0,235
0,129
0,703
0,833
0,391
Obsevacion: med indica que los valores son la media a las diferentes temperaturas especificadas.
Hacer notar el agua
TEMPERATURA Y CALOR DE FUSIÓN Y VAPORIZACION
Fusión
Punto ºC Cal / g
0,00
79,71
Sustancia
H2 O
Vaporización
Punto ºC Cal / g
Joule / g
100
539,6
2258,76
– 286,6
6,0
25,12
– 186
37,6
157,40
– 252,8
108
452,09
Joule / g
333,67
He
A
H2
– 190
–259,25
8,94
13,8
37,42
57,77
N2
– 210
6,09
25,49
–195,5
47,6
199,25
O2
– 219
3,30
13,81
–182,9
50,9
213,07
NH3
– 75
108,1
452,50
–33,4
327,1
1369,25
Etanol
Metanol
Acetona
Acido Acético
Benceno
Na Cl
Aluminio
Azufre
Cobre
Plata
Platino
Oro
Plomo
Estaño
Zinc
Mercurio
–114,4
–97
–95
16,58
5,42
804,3
658
119
1083
961
1775
1064
327
232
419
–39
27,9
16,4
19,6
44,7
30,3
124
76,8
13,2
42
21,07
27,2
15,8
5,86
14,0
28,13
2,82
116,79
68,65
82,05
187,11
126,36
519,06
321,48
55,25
175,81
88,20
113,86
66,14
24,53
58,6
117,75
11,80
78,3
64,7
56,1
118,3
80,2
204
262,8
124,5
96,8
94,3
853,94
1100,08
521,16
405,20
394,74
En el gráfico de abajo se representa la temperatura de 1 g de agua, inicialmente a
40ºC;en función del calor que se le suministra.
Variación de la temperatura
del agua
120
80
60
40
20
-40
-60
Hielo-Fusión-Agua -
Ebullición
Calor - calorías
720
660
600
540
480
420
360
300
240
180
120
-20
60
0
0
temperatura - ºC
100
–
Se adoptó como valor especifico del hielo 0,5 cal / (g ºC), calor específico del agua 1 cal /
(g ºC ), calor de fusión 80 cal / g y calor de vaporización 540 cal / g
Como se puede observar mientras el agua permanece en uno de los estados sólido o
líquido, la temperatura aumenta proporcionalmente al calor suministrado; y cuando llega a la
temperatura de cambio de estado, la temperatura permanece constante.
No se incluye el proceso en el estado gaseoso (vapor de agua), pues en este estado las
condiciones de presión y volumen influyen de modo tal que se generan dos procesos diferentes.

Fenómenos macroscópicos debidos al calor y la temperatura
DILATACION DE SOLIDOS
Al variar la temperatura de un cuerpo, el volumen del mismo varia proporcionalmente a la
variación de temperatura. Este fenómeno se conoce con el nombre de dilatación.
Si una de las dimensiones del cuerpo es mucho mayor que las otras dos, la variación de
longitud que experimenta el cuerpo es
Lo
L = Lo t y
L = Lo ( 1 + t)
L
L
Esta dilatación es conocida como dilatación lineal y el coeficiente  es el coeficiente de
dilatación lineal. El coeficiente de dilatación lineal depende del material del que esta hecho el
cuerpo.
Cuando dos dimensiones del cuerpo son ponderables, la dilatación se denomina
superficial y en el caso de ser considerada las tres dimensiones la dilatación es volumétrica.
DILATACIÓN SUPERFICIAL
Considerando una superficie de lados iniciales “ao” y
“bo”, con un aumento de temperatura cada lado experimenta
un aumento de longitud a y b respectivamente, de forma
que se cumple que
a = ao ( 1 + t )
ao
bo

b
b = bo ( 1 + t )
Multiplicando miembro a miembro
a b = ao bo ( 1 + t )2
S = So ( 1 + 2 t + 2t2)
Donde
2 es muy pequeño y puede despreciarse, de forma que
La dilatación superficial es
S = So ( 1 + 2 t )
S = So 2 t
a
b
a
DILATACIÓN VOLUMETRICA
Considerando una superficie de lados iniciales “ao”,
“bo” y “co”, con un aumento de temperatura cada lado
c
experimenta un aumento de longitud a, b y c
c co
respectivamente, de forma que se cumple que
a
a = ao ( 1 + t )
b
bo

b = bo ( 1 + t )
b
c = co ( 1 + t )
ao
a
a
Multiplicando miembro a miembro
a b c = ao bo co ( 1 + t )3
V = Vo ( 1 + 3 t + 3 2t2 + 3t3)
Donde
2 y 3 son muy pequeños y pueden despreciarse, de forma que
La Dilatación Volumétrica es
V = Vo ( 1 + 3 t )
V = Vo 3 t
DILATACION DE LIQUIDOS
Los líquidos solo pueden tener dilatación volumétrica y como los mismos deben estar
contenidos en un recipiente, al aumentar la temperatura del líquido necesariamente aumenta la
también la temperatura, y por lo tanto el volumen del recipiente. A pesar de este hecho, los líquidos
o suben su nivel en el recipiente o, si inicialmente llenan el recipiente, se derraman del mismo. Este
volumen que se derrama es conocido como dilatación aparente, pues la dilatación total del liquido
es igual a la dilatación aparente, mas la dilatación del recipiente.
V = VRec + Vap
De todas formas la dilatación de los líquidos esta dado por las relaciones
Dilatación de Líquidos
V = Vo ( 1 + t )
V = Vo t
COEFICIENTES DE DILATACION
DE SOLIDOS Y LIQUIDOS
Coef. Dilatación
 – ºC–1
–6
23,8 x 10
–6
19,0 x 10
–6
16,8 x 10
–6
14,3 x 10
–6
18,8 x 10
–6
11,4 x 10
SUSTANCIA
SOLIDA
Aluminio
Latón
Cobre
Oro
Plata
Hierro
Temp.
ºC
20 a 100
25 a 100
25 a 100
15 a 100
15 a 100
– 18 a 100
Acero
0 a 100
10,5 x 10
Plomo
Invar (1)
Estaño
18 a 100
20
18 a 100
29,4 x 10
–6
0,9 x 10
–6
26,9 x 10
Zinc
10 a 100
26,3 x 10
Vidrio
Hielo
Cuarzo (2)
0 a 100
– 20 a 0
0 a 100
8,9 x 10
–6
51,0 x 10
–6
0,5 x 10
–6
–6
–6
–6
SUSTANCIA
LIQUIDA
Mercurio
Acido acético
Acetona
Etanol
Metanol
Benceno
Tetracloruro de
Carbono
Temp.
ºC
0 a 100
16 a 107
0 a 50
27 a 50
0 a 60
11 a 80
0 a 76
Eter
Pentano
Alcohol Etílico
Bisulfuro de
Carbono
Glicerina
Petróleo
Coef. Dilatación
 –ºC–1
–3
0,1818 x 10
–3
1,06 x 10
–3
1,32 x 10
–3
1,01 x 10
–3
1,13 x 10
–3
1,18 x 10
1,18 x 10
–3
–3
1,51 x 10
–3
1,464 x 10
–3
0,745 x 10
1,14 x 10
–3
–3
0,485 x 10
–3
0,899 x 10

(1) Invar es una aleación de níquel y acero con bajo coeficiente de dilatación
(2) El coeficiente de dilatación corresponde al Cuarzo fundido
DILATACIÓN ANOMALA DEL AGUA
Entre 0ºC y 4 ºC el coeficiente de dilatación del agua es negativo. Esto hace que al
disminuir la temperatura desde los 4 ºC el volumen del agua aumenta. Esta situación se debe a
condiciones de energía de las moléculas en estado líquido.
Debido a esta situación el agua a menos de 4 ºC tiene menor densidad y flota en el agua
mas caliente. En los lagos y ríos, el agua a menor temperatura sube a la superficie y pierde calor
en contacto con el aire mas frío, llegando de esta forma a 0 ºC (temperatura de fusión, antes que el
fondo. Una vez que la superficie está a o ºC y como sigue perdiendo calor, la superficie se congela
y en el fondo se mantiene en estado líquido. Gracias a este fenómeno la vida de las plantas, los
peces y microorganismos se conserva en los lagos y ríos.
volumen cm3
1,0003
1,0002
1,0001
densidad g/cm3
1,0000
0,9999
0,9998
0,9997
volumen
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,00016 1,00010 1,00005 1,00003 1,00002 1,00004 1,00006 1,00010 1,00015 1,00022 1,00030
densidad 0,99980 0,99990 0,99994 0,99996 0,99997 0,99996 0,99994 0,99990 0,99985 0,99980 0,99970
El gráfico presenta la variación del volumen para 1 g de agua y la densidad a temperaturas
entre 0 ºC y 10 ºC.

1ER PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA

Aplicación a sólidos

Aplicación a los tres casos en gases

Adiabática.

Consideración microscopica – Física Estadistica

Estructura molecular de sólidos y líquidos

Estructura molecular de gases

Velocidad de las partículas

Temperatura

Presión

Estados Energéticos y equipartición de la energía

Entropia y Entalpía

2º PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA

Entalpia

Ciclo Carnot – Otto – Diesel - Vapor

TERCER PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA
GASES IDEALES
Los cuerpos en estado gaseoso tienen un comportamiento tal que el volumen es muy
sensible a las variaciones de la temperatura y la presión. Robert Boyle, en 1660 enuncio la Ley del
comportamiento de los gases a temperatura constante, estableciendo que el producto de la presión
por el volumen es constante para cada gas.
Ley de Boyle
Transformaciones Isotermicas
p V = cte.
p1 V 1 = p 2 V 2
Esta ley se cumple siempre que la temperatura y la masa del gas sean constantes. Para
esto se requiere que el gas este confinado en un recipiente capaz de variar el volumen con el gas.
35
30
Presión
25
ISOTERMAS
T1
T2
20
15
T3
10
5
0
0,25
0,5
0,75
1
Volumen
1,25
1,5
2
Observación: p V no es constante para diferentes temperaturas. ( Ver S. Frish A. Timoreva
pag. 183.
En el gráfico se representa la presión en función del volumen para tres temperaturas
diferentes. Estas curvas se denominan isotermas y para cada de una de ellas el producto de la
presión y el volumen tiene siempre el mismo valor.
En el año 1802, Joseph Louis Gay–Lussac, publico el resultado de sus investigaciones
en las cuales determino el calor específico de los gases. En las mismas el determinó que era
necesario mantener constante o la presión del gas o el volumen, durante la transformación. Al
suministrarle calor a un gas a presión constante, el volumen varía. Y al suministrarle calor
manteniendo el volumen constante, la presión varía. En el primer caso la transformación se
denomina isobárica, y en el segundo isocora.
Gay-Lussac determino el coeficiente de dilatación de los gases y encontró que el
coeficiente de variación de la presión era el mismo que el del volumen.
Estos coeficientes son validos siempre que la densidad del gas sea pequeña, pues otras
densidades los coeficientes sufren variación.
A los gases en estas condiciones y que cumplen con la ley enunciada por Boyle y GayLussac se denomina Gases Ideales
Leyes de Gay–Lussac
Transformaciones Isobáricas.
V = Vo ( 1 + t )
V = Vo t
Transformaciones Isócoras.
p = po ( 1 + t )
p = po t
Tanto la Ley de Boyle, como las de Gay Lussac se verifican para ciertos valores de
presión, volumen y temperatura. Cuando los gases cumplen con estas leyes se denomina al gas de
Gas Ideal o Perfecto. Las consideraciones a continuación se refiere a los gases ideales. Mas
abajo consideramos los Gases Reales.
En ambos casos
 ºC–1, aproximadamente 273,16 –1 ºC–1.
TEMPERATURA ABSOLUTA
Si Un gas se encuentra en condiciones normales ( presión de 1 atmósfera y
temperatura de 0ºC ) y se produce en el mismo una disminución de – 273,16 ºC, la presión y el
volumen se hacen cero, pues
V = Vo ( 1 + t )
p = po ( 1 + t )
V = Vo ( 1 + 1/273,16 ( –273,16 ºC – 0ºC )) = 0
p = po ( 1 +1/273,16 ( –273,16 ºC – 0ºC )) = 0
Esto no significa que el volumen de los gases es nulo. La interpretación física es que los
espacios intermoleculares se hacen cero, por la perdida total de energía de las moléculas.
A partir de este análisis se estableció una nueva escala de temperatura, adoptándose
como cero –273 ºC y como un grado el mismo grado centígrado. Así, la temperatura de
congelamiento del agua es 273 K y la de ebullición es 373 K. Esta escala recibió el nombre de
temperatura absoluta o Kelvin. Su unidad es el grado Kelvin ( K ) que hoy forma parte del
Sistema Internacional de medidas.
Utilizando la temperatura absoluta en las ecuaciones de Gay-Lussac, para un gas que se
encuentra inicialmente a 0 ºC = 273 K y si realizamos las transformaciones a presión y volumen
constante, hasta con una variación de temperatura t ºC, se obtiene.
V = Vo ( 1 + 1 / 273 t )
p = po ( 1 + 1 / 273 t )
V = Vo ( 273 + t )
p = po ( 273 + t )
273
273
En esta ecuación 273 es la temperatura inicial To en ºK y 273 + t , la temperaturas final T
también en Kelvin. Entonces
De donde
V = Vo T
To
p = po T
To
. V0 . = . V .
T0
T
. p0 . = . p .
T0
T
Finalmente resulta que en las transformaciones isobáricas los volúmenes son directamente
proporcionales a las temperaturas absolutas y en las isócoras las presiones son directamente
proporcionales a las temperaturas absolutas.
ECUACION DE ESTADO
DE LOS GASES PERFECTOS
Si un gas se encuentra a determinadas condiciones de presión, volumen y temperatura, es
posible realizar una de las transformaciones analizadas mas arriba, de forma que el gas tenga otra
presión, volumen y temperatura. Y de este punto por medio de otra transformación lograr que el
gas tenga otras condiciones de estado.
Así, en el gráfico de abajo, se representa una transformación isobárica entre los punto 1 y
3, y posteriormente una isotérmica entre los puntos 3 y 2. De esta forma el gas que inicialmente
tiene un estado, pasa a otro estado, con presión volumen y temperatura diferente a la inicial.
45
40
35
Presión
30
T2
25
20
15
10
2
T1
1
5
3
0
0,125
0,25
0,375
0,5
0,625
0,75
0,875
1
1,25
1,5
Volumen
TRANSFORMACION
ESTADO
Presión
Volumen
Temperatura
ISOBARICA
1
P1 = 5
V1 = 0.25
T1
3
P3 = 5
V3 = 1
T2
ISOTERMICA
2
En la transformación isobárica se cumple
. V1 . = . V3 .
T1
T2
En la transformación isotérmica se cumple
. p3 . = . p2 .
V3
V2
P2 =10
V2 = 0.5
T2
Combinando ambas ecuaciones se obtiene
Ecuación de Estado
de los Gases Perfectos
. p1 V 1 . = . p2 V 2 .
T1
T2
Esta ecuación significa que el producto de la presión por el volumen sobre la temperatura
absoluta es constante. La constante es la constante particular de cada gas, por ser específica para
cada gas.
. p V . = R’
T
En la tabla de abajo los valores de la constante particular de algunos gases para presión
de 1 kgf / m2, volumen de 1 kg. de gas en m3 y temperatura en grados Kelvin.
Gases
Constante
Aire
Oxigeno
Nitrógeno
Hidrogeno
29,27
26,47
30,19
422,59
CONSTANTE UNIVERSAL
DE LOS GASES PERFECTOS
A fin de encontrar una ecuación general de los gases perfectos, es necesario conocer la
cantidad de sustancia que tiene el gas en estudio. Una unidad de cantidad de sustancia es la
cantidad de sustancia que contiene el número de Avogadro, NA, de moléculas, cuya masa en
gramos es igual al peso molecular.
La cantidad de sustancia en el Sistema Internacional es el “mol”, es una unidad básica.
De acuerdo al Sistema Internacional, “mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que
contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono
12”.
Y la Norma sigue: “Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades
elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos
especificados de tales partículas.”
El Número de Avogadro especifica la cantidad de moléculas que tiene un mol de un gas.
23
El Número encontrado por Avogadro es 6,022 10 moléculas por mol.
El número total de moléculas de un gas es, por lo tanto,
número de moles.
N = n NA donde “n” es el
Un mol de los gases, cualquiera sea, ocupa un volumen de 22,415 litros, en condiciones
normales (presión atmosférica y 273 K = 0º C), por lo tanto “n” moles ocupa un volumen V = n
22,415 lts, en iguales condiciones.
3 ,5
P resió n - atm o sferas
3
2,5 moles
P2 = 2 atm
T2 = 327,6
K
V2 = 33,6
lts
2 ,5
1 mol
Po = 1 atm
To =273 K
Vo = 22,4 lts
2
1 ,5
1
2
0
0 ,5
0
5 ,6
1 1 ,2
2 2 ,4
3 3 ,6
V o lu m e n
1
2,5 moles
P1 = 1 atm
T14 4=,8 273 K 5 6
- V1=
l i tr o s 56 lts
1
6 7 ,2
7 8 ,4
En el punto 0 de la grafica se observa 1 mol de un gas en condiciones normales ocupando
un volumen de 22,4 lts.
En el punto 1 se tiene 2,5 moles del mismo gas, también en condiciones normales que
ocupa un volumen de 56 lts. No es común representar en un solo gráfico dos sistemas diferentes,
como lo hacemos acá, pero el objetivo es mostrar como, en el punto 0, 1 mol de gas tiene presión
de 1 stm, temperatura 0 ºC (273 K) y volumen de 22,4 lt; en cambio en el punto 1, 2,5 moles de gas
pueden tiene presión de 1 atm, temperatura de 0 ºC (273 K), y su volumen aumenta en 2,5 veces
el volumen de 1 mol, es decir 56 lts (n Vo).
La isoterma del punto 0 y del punto 1 corresponden a isotermas de 0 ºC
En el punto 2, el mismo gas del punto 1, tiene presión de 2 atm, volumen de 33,6 lts y
temperatura de 327,6 K = 54,6 ºC.
De acuerdo a la ecuación de estado de los gases perfectos podemos escribir:
p1 V 1 = p2 V 2
T1
T2
anterior
Donde p1 = 1 atm, V1 = n mol x 22,4 lts y T1 es 273 K. Reemplazando en la ecuación
1 atm x 22,4 lts n moles = p2 V2
273 K
T2
La relación 1 atm x 22,4 lts / 273 K es constante para todos los gases, pues, corresponde a
1 mol de cualquier gas en condiciones normales (punto 0 de la grafica). Por lo tanto es una
constante universal de los gases
La constante Universal de los
Gases Perfectos es
R = 0,08207 atm lt
mol K
Los valores de “R” son:
0,08207 atm lt / mol K =
8,314 joules / mol K =
1,986 cal / mol K
En la ecuación anterior el punto 2 se tomo arbitrariamente y podemos considerarlo como
un punto genérico (podría haber sido cualquier otro punto). De aquí que se puede afirmar que la
ecuación que relaciona la presión, el volumen y la temperatura de los gases es:
Ecuación General de los
Gases Perfectos
P V = n R T
DENSIDAD DE LOS GASES
Un mol es la cantidad de sustancia que tiene una masa igual a la masa molecular del gas y
que en condiciones normales ocupa un volumen de 22,4 litros. De manera que el número de moles
que tiene un gas determinado es igual a la masa del gas (m) dividida por la masa molecular (M)
n=m/M
Reemplazando en la ecuación general de los gases perfectos obtenemos
pV=mRT
M
Luego la densidad del gas es:
=p M
RT
En esta ecuación se observa que para un gas determinado la densidad depende de la
presión y de la temperatura absoluta; en consecuencia
 T1 =  T2 = . M
p1
p2
R
DENSIDAD DE LOS GASES – kg. / m3.
En Condiciones Normales
Aire
1,2929
Argón
1,7832
Dióxido de Carbono
1,9769
Helio
0,1785
Hidrogeno
0,0899
Nitrógeno
1,2506
Oxigeno
1,4290
CALOR EN LOS GASES
Gay – Luzca experimentó con los gases suministrando calor en dos condiciones diferentes.
Una manteniendo la presión constante y la otra manteniendo el volumen constante. En el primer
caso varía el volumen y en el segundo varía la presión. Encontrando que el calor que se suministra
en uno y otro caso son diferentes.
A volumen constante
A presión constante
Q = cv m t
Q = cp m t
Donde cv y cp son los calores específicos a volumen constante y a presión constante
respectivamente.
La masa del cuerpo es igual al número de moles (cantidad de sustancia) por la masa
molecular m = n M, que reemplazando en las ecuaciones anteriores se obtiene:
A volumen constante
A presión constante
Q = cv n M t
Q = cp n M t
Adoptando los productos cv M = Cv y cp M = Cp, ambos constantes para cada sustancia,
el calor que debe suministrarse a un gas para producir una variación de temperatura son:
A volumen constante
Q = Cv n t, y
A presión constante
Q = Cp n t
Donde Cv y Cp son los calores específicos molar a volumen y presión constante
respectivamente.
A modo de ejemplo de la relación entre los calores específicos y los calores específicos
molares a volumen constantes, consideraremos el caso del Nitrógeno gaseoso ( N2 ).
En la tabla periódica de los electos encontramos que la masa atómica del Nitrógeno es 14,
una, molécula de nitrógeno esta formada por dos átomos de acuerdo a su fórmula ( N2 ), por lo
tanto la masa molecular es 2 x 14 = 28
El calor específico del N2 es 0,177 cal / g ºC. El calor específico molar es Cv = M cv;
Cv = 28 x 0,177 = 4,956 cal / mol ºC
Tabla de Calores Específicos
Morales en cal / mol ºC
Clase de gas
Monoatómico
Diatómico
Poliatómico
Gas
He
Ar
H2
N2
O2
Cl2
CO
CO2
SO2
H2S
Cp
(cal/ mol ºC)
4.97
4.97
6,87
6,95
7,03
8,29
6,97
8,83
9,65
8,37
Cv
(cal/ mol ºC)
2.98
2.98
4,88
4,96
5,04
6,15
4,98
6,80
7,50
6,2
Cp – Cv
1.99
1.99
1,99
1,99
1,99
2,14
1,99
2,03
2,15
2,10
Tabla de Calores Específicos
Molares en S. I. (J / mol K)
Clase de gas
Monoatómico
Diatómico
Gas
He
Ar
H2
N2
O2
Cl2
CO
Cp
(J / mol ºC)
20,8
20,8
28,8
29,1
29,4
34,7
29,3
Cv
(J / mol ºC)
12,5
12,5
20,4
20,8
21,1
25,7
21,0
Cp – Cv
8,33
8,33
8,33
8,33
8,22
8,96
8,33
=
Cp / Cv
1,67
1,67
1,41
1,40
1,40
1,35
1,40
1,30
1,29
1,34
=
Cp/Cv
1,67
1,67
1,41
1,40
1,40
1,35
1,40
CO2
SO2
Poliatómico
37,0
40,4
28,5
31,4
8,50
9,00
1,30
1,29
GASES REALES
En la realidad con ciertos valores de presión, volumen y temperatura los gases tienen un
comportamiento diferente a la ecuación de estado de los gases perfectos. Fue J. D. Van der
Waals (1837 – 1923) quien estableció una ecuación para corregir el error.
Ecuación de Van der Waals para gases reales. Resnik pag 802 S. Frish A. Timoreva
pag. 254.
( P + a / Vo2 ) ( Vo – b ) = R T
Isoterma de un Gas Ideal - CO2
400
300
Presión - atm
300
200
200
100
100
0
0
0
0,05
T = 264 K
0,1
0,15
0,2
0,25
V = V / n - lt./ mol
T crit = 304 K
"T = 344 K"
0,3
0,35
0
0,4
0,05
T = 264 K
T =400 K
100
Gas
75
Liquo
Vapor y
Liquido
50
Vapor
25
0
0,05
0,1
0,15
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
V = V / n - Lt / mol
LIQUIDIFICACION - CO2
Presion - atm
Presion - atm
Isoterma de un Gas Real - CO2
400
0,2
T = 264
V K= V / n - lt / mol
T = 284
T crit = 304 K
Curva de liquidificación
0,25
0,3
T = 274 K
T = 294 K
T = 314 K
T crit = 304 K
T = 344 K
T = 400 K
0,4
CONSIDERACIÓN MICROSCOPICA – FÍSICA ESTADISTICA
El filósofo griego Demócrito 400 A. C., ya establecía las características de los átomos,
como elementos constitutivos de la materia. Afirmaba:
 “Los átomos son infinitos en número e infinitamente variados en su forma. Chocan
entre sí y los movimientos laterales y giros son los principios del Universo.”
 La variedad de todas las cosas dependen de las variedades de sus átomos en número,
tamaño y agregación.”
En 1803 el químico ingles Dalton desarrollo la primera teoría atómica, para explicar los
hechos de la naturaleza. En 1808 Gay-Lussac estudio los volúmenes de gases necesarios
para formar una molécula. Y en 1811 Avogadro, calculó el volumen de un mol de gas en
22,415 litros.
Todas estas explicaciones científicas buscan definir la estructura microscópica de la
materia. Si las moléculas son masas materiales que se atraen entre sí. ¿Por qué entonces
no se juntan todas formando un punto material? La explicación mas aproximada es que las
moléculas están en movimiento y que la forma de organizarse las moléculas, así como; los
movimientos que realizan determinan los diferentes estados de la materia.

Estructura molecular de sólidos y líquidos
En los sólidos las fuerzas de atracción son mas
fuertes que en los otros estados. El comportamiento de
un sólido es tal que las moléculas actúan como si
estuvieran formando un colchón de muelles que les
permite vibrar. Las fuerzas intermoleculares actúan de
acuerdo a la Ley de Hooke.
Esta explicación de la estructura molecular de
los sólidos, tiene algunas deficiencias, sin embargo,
permite interpretar con mucha aproximación, la mayoría
de los fenómenos macroscópicos de los sólidos.
El diseño muestra la estructura de un cristal ideal, formado por una red de resortes en
cuyos vértices se encuentran las moléculas.
En el caso de los líquidos el problema es mucho mas complejo, pues el modelo de la
estructura de los líquidos, considera que las moléculas vibran con mayor amplitud, con lo cual, se
producen espacios vacíos mas amplios que en los sólidos.
Estructura molecular de gases
El modelo de la estructuras molecular de los gases
considera a las moléculas del gas como totalmente libres y en
movimiento, y como los espacios intermoleculares son mucho
mayor las fuerzas de atracción entre las mismas son muy
pequeñas, no influyendo en el movimiento de las moléculas.
Este movimiento de las moléculas hace que las mismas
choquen entre sí, en un choque totalmente elástico.
En la figura se puede observar el modelo de la estructura molecular de los gases y el
movimiento de los mismos.
GASES IDEALES
En el Capitulo anterior hemos hecho una primera definición de los Gases Ideales, fundados
en su comportamiento microscópico. En base al modelo de estructura molecular de los gases
estamos en condiciones de establecer las condiciones microscópicas para considerar a un gas
como ideal.
1. El gas esta formado por moléculas. Las moléculas son partículas constituidas por
uno o varios átomos. Estas moléculas son estables ( no cambian en el tiempo) y, además, son
idénticas.
2. Las moléculas se mueven al azar y obedecen a las Leyes de la mecánica clásica
(Leyes de Newton). Las moléculas (partículas) se mueven en todas las direcciones y
suponemos que la mecánica newtoniana es aplicable a masas microscópicas. Las moléculas
pueden chocar entre ellas o contra las paredes, por lo que tienen un movimiento zigzagueante.
3. El número total de moléculas es grande. Aunque las moléculas chocan entre si o
con las paredes, su número es tan grande se supone que la distribución de las velocidades se
conserva. Es decir, siempre existen igual cantidad de moléculas moviéndose en una u otra
dirección.
4. El volumen de las moléculas es una fracción muy pequeña del volumen total
ocupado por el gas. Aun cuando existen un número grande de moléculas, el volumen total de
moléculas sigue siendo muy pequeño con relación al total.
5. Las únicas fuerzas que actúan sobre las moléculas son las del choque. Las
espacios entre las moléculas son grandes para que las fuerzas atractivas entre ellas, puedan ser
consideradas. Aún cuando las moléculas se aproximan para chocar una con otra las fuerzas
atractivas no alteran considerablemente el movimiento, pues la velocidad es alta en comparación
con la aceleración que podrían generar las fuerzas.
6. Los choques son elásticos y de duración insignificante. Los choques de las
moléculas entre si o contra las paredes consideramos elásticos, conservando la cantidad de
movimiento y la energía cinética. En consecuencia con esta suposición, el tiempo de duración de
los choques es muy pequeño comparado con el tiempo entre dos choques consecutivos de las
moléculas.
VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS
Con las consideraciones anteriores consideramos las
condiciones de la mecánica clásica para obtener los valores de las
variables termodinámicas ( p – V y T)
Z
V
El movimiento de las partículas es totalmente al azar. Por
lo tanto se puede suponer que si consideramos los tres ejes
ortogonales; las velocidades sobre cada una de los tres ejes tienen
igual probabilidad de ser positivas o negativas, con lo que las
velocidades medias son cero.
<vx> = <vy> = <vz> = 0
Vz
Vy
Vx
X
Y
son:
Como las masas de todas las moléculas son iguales, las cantidades de movimiento medias
<m vx> = <m vy> = <m vz> = 0
<Px> = <Py> = <Pz> = 0
Elevando al cuadrado y multiplicando por 1 / 2m, tenemos la expresión de las Energías
Cinéticas medias
<Px2> / 2 m = <Py2> / 2 m = <Pz2>/ 2 m
Por otro lado, las velocidades sobre un eje no influyen sobre las velocidades en el otro eje,
de forma que
<vx2 > = <vy2 > = <vz2 >
La suma del cuadrado del modulo de las velocidades sobre cada eje es igual al cuadrado
del modulo de la velocidad media.
<v2 > = <vx2 > + <vy2 > + <vz2 >
<v2 > = 3 <vx2 >
<v2 > = 3 <vy2 >
<v2 > = 3 <vz2 >
La velocidad media calculada es con respecto al recipiente en que está contenido el gas,
de esta forma, si el recipiente se mueve, la velocidad del centro del masa del gas, no influye en la
velocidad con respecto al recipiente.
Como las moléculas de los gases en estudio no están bajo la acción de ninguna fuerza que
pueda hacer variar la energía cinética, (las fuerzas de atracción son muy pequeñas y pueden ser
despreciadas) esta energía cinética de cada molécula multiplicada por la cantidad de moléculas
existentes, N, es la energía interna del gas U
U = N ½ m <v2>
LA PRESIÓN Y LA VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS
Consideremos un recipiente cerrado conteniendo un gas.
Las moléculas al chocar elásticamente contra las paredes reciben
un impulso que les hace cambiar la dirección de su cantidad de
movimiento.
F
Estudiaremos en fenómeno en la dirección de uno de los
ejes, por ejemplo el eje X.
Px = m vx
La variación de la cantidad de movimiento debido al choque es
Px = 2 m vx
Esta es la variación de la cantidad de movimiento de
una molécula que choca contra la pared. Consideremos
cuantas moléculas pueden chocar en un tiempo t. Si N es
la cantidad de moléculas en el volumen total V, la mitad de
Antes del choque
Px= m vx
Después del
choque
Px= – m vx
ellas se dirige en un sentido y la otra mitad en el otro. Considerando un volumen vx t S, la
cantidad de moléculas en este volumen que se dirigen en un sentido, es
½ N vx t S / V
Pero no todas las moléculas tienen la misma velocidad por lo tanto debemos considerar la
velocidad media. Por lo tanto la variación total de la cantidad de movimiento será
Px = 2 m <vx > ½ N <vx > t S / V
F = Px / t = m <vx 2> N S / V
p = F / S = m <vx 2> N / V
Ojo: p funcion de dens y velocidad
2
Mas arriba teníamos que <V >
Por lo tanto la presión es
Además considerando que
= 3 <Vx2> luego <Vx2> = <V2> / 3
p = 2/3 (m <V2> / 2) N / V
U = N ½ m <V2> podemos escribir que
p = 2/3 U / V
De donde
p V = 2/3 U
LA TEMPERATURA ABSOLUTA.
En el Capitulo anterior establecimos que el numero total de moléculas de un gas N esta
dado por N = n NA donde n es el numero de moles y NA es el Numero de Avogadro (NA = 6,022
23
10 moléculas por mol).
Introduciendo esta expresión en la ecuación p = 2/3 (m <V > / 2) N / V, de mas arriba,
2
resulta
p = 2/3 (m <V2> / 2) n NA / V
De la ecuación de estado de los gases perfectos obtenemos
De donde igualando resulta
p=nRT/V
m <V2> / 2 = ·3/2 T R / NA
El valor de R es 8,314 joules / mol K, por lo tanto la relación
. R . = .
8,314 joules / mol K
.
6,022 1023 moléculas /mol
NA
Esta relación es una constante k
Por lo tanto
= 1,38 10 –23 J / K , la constante de Boltzmann.
3 / 2 k T = m <V2> / 2
Esta ecuación, establece la temperatura como una expresión de la energía interna del gas.
De hecho la temperatura podría medirse en unidades de energía.
LA FORMULA DE VAN DER WAALS
En los Gases Reales, la ecuación de estado de los Gases Ideales, no se cumple para
valores de volumen muy pequeños y en la realidad los Gases se alejan de la ecuación de Estado.
Este fenómeno se debe a que la interacción entre las moléculas es muy débil. A medida que
aumenta la interacción, las propiedades del gas se desvían de las propiedades de los gases
perfectos; y en definitiva se transforman en líquido. En los gases ideales se considera que la
distancia entre las moléculas es lo suficientemente grande para que las fuerzas de atracción entre
las mismas sean despreciables. Sin embargo para volúmenes pequeños, las moléculas se
encuentran lo suficientemente cerca como para considerar estas fuerzas.
Van der Waals desarrolló una formula para los estados de los gases reales con volumen
muy pequeños. El consideró que para volúmenes pequeños, el volumen de las moléculas, que ya
no son despreciables, reduce considerablemente el espacio en el cual se mueven las mismas. Y no
puede considerarse a la molécula como una partícula, sino que, por el contrario, su volumen es
ponderable con respecto al del recipiente.
Si en la ecuación de estado de los gases perfectos aumentamos
la presión el volumen tiende a cero.
V = lim p
∞ nRT/p=0
 radio
CM
Esto es imposible pues los gases tienen un volumen propio. Para
una molécula este volumen es:
v = 4/3  r3 donde r es el radio de la molécula.
Pared del
recipiente
3
Y el volumen total ocupado por las moléculas del gas es V = N 4/3  r , donde N es el
número de moléculas que forman el gas. Sin embargo es imposible reducir el gas a estas
dimensiones, pues con este volumen las moléculas no podrían moverse y por lo tanto, no habría
presión, al no haber choque contra las paredes y, además, no tendría energía interna, es decir
temperatura.
Es necesario, entonces hacer una corrección en el volumen de la ecuación de estado. Si
consideramos el volumen por unidad de moléculas del gas (Vo = V / N) la disminución del volumen
a considerar es b. Esta corrección no es igual para todos los gases, y se debe obtener
experimentalmente.
La ecuación de estado con esta corrección queda
p ( Vo – b ) = R T
Una molécula que se encuentra en el medio del
recipiente, tiene fuerza de atracción en todas las direcciones
por lo que la resultante puede considerarse nula. No ocurre
lo mismo con las moléculas que están chocando contra las
paredes, pues estas tienen moléculas que le atraen
b
a
Pared del recipiente
solamente del lado opuesto a las paredes. Considerando las fuerzas por unidad de superficie
podemos considerar la existencia de una presión interna “pi”. Estas fuerzas de atracción entre
las moléculas disminuyen rápidamente con la distancia. De aquí que se debe considerar solamente
las moléculas que se encuentran en una franja (a-b en la figura) y cuyo número es proporcional al
número de moléculas por unidad de volumen “no”. Además la cantidad de moléculas que chocan
2
contra la pared también dependen de “no”, por lo tanto la presión “pi” es proporcional a “no ”.
pi = a’ no2.
y
no = N / Vo luego pi = a’ N2 / Vo2
2
=a/
alta.
Haciendo a = a’ N se obtiene la corrección a la presión en los gases reales
pi
2
Vo . Quedando la ecuación de estado para gases reales con volumen pequeño y presión
Ecuación de estado de Van der Waals
( p – a / Vo2 ) ( Vo – b ) = R T
LA ESTADÍSTICA DE FERMI DIRAC – BOSE EINSTEIN
Al estudiar los gases ideales, se consideró la leyes de Boyle, que establecían la relación
entre el volumen y la temperatura a presión constante y la presión y la temperatura a volumen
constante.
. V0 . = . V .
T0
T
. p0 . = . p .
T0
T
En estas leyes si se hace la temperatura absoluta igual a cero el volumen y la presión se
hacen cero. De acuerdo a las consideraciones estadísticas de mas arriba, la temperatura de 0 K,
significa que las moléculas no tienen energía interna, es decir, no se mueven.
El estudio de este fenómeno fue realizado por Fermi y Dirac para átomos cuya suma de
protones mas neutrones mas electrones es un número impar. Estos átomos tienen la propiedad de
repelerse entre si, de tal forma que la presión que ejercen sobre las paredes del recipiente, es
mayor a la que se obtiene al aplicar la ecuación de estado de los gases perfectos. Los átomos con
estas características son conocidos como Fermiones, en homenaje a Fermi.
Bose y Einstein, estudiaron el comportamiento de átomos cuya suma de protones mas
neutrones mas electrones; es un número par. Los mismos tienen la propiedad de atraerse y por lo
tanto la presión resultante sobre las paredes del recipiente son menor a las determinadas por la
ecuación de estado de los gases perfectos. Estos átomos son llamados Bosones en homenaje a
Bose.
En realidad la Estadística Fermi Dirac – Bose Einstein, responde a los principios de la
física quántica.
La diferencia entre las ecuaciones de Van der Waals y la de Fermi – Bose, es que la
primera considera volúmenes muy pequeños para temperaturas aproximadas a la de la superficie
de la tierra y la ecuación Fermi – Bose corresponde a valores muy bajos de temperatura absoluta.
La Ecuación Fermi Dirac – Bose Einstein es:
pV=NT
1 ± . 3/2 .. N 3
.
3/2
2g
V (m T)
Debemos hacer las siguientes observaciones para comprender la ecuación.
1.
N es la cantidad de moléculas del gas contenidas en el recipiente.
2.
En el paréntesis se observa los signos ± Este doble signo se debe a que la ecuación
se refiere a dos clases de átomos diferentes. Los llamados fermiones; precisamente en homenaje a
Fermi, y los llamados bosones, en homenaje a Bose. Ambos científicos estudiaron estos átomos
por separado.
Los fermiones son átomos cuya suma de protones mas neutrones mas electrones es un
número impar. Estos átomos tienen la propiedad de repelerse entre si
Los bosones, en cambio, son átomos cuya suma de protones mas neutrones mas
electrones; es un número par Los mismos tienen la propiedad de atraerse.
El signo mas debe usarse para los fermiones y el menos para los bosones. Aquí podemos
notar que, en igualdad de condiciones de las demás variables, la presión es mayor en los
fermiones que en los bosones, debido a la repulsión de los primeros y la atracción de los otros.
3. El símbolo
, (denominado hache barra) es una constante de valor
1,05457 10
– 34
Joule seg (kg m2 s – 1 )
– 34
Esta constante es igual a la constante de Planck h = 6,626808 10
Joule seg
dividida por 2
¿Que es la constante de Planck? La constante de Planck relaciona la energía E de los
fotones, con la frecuencia  de la onda lumínica (letra griega niu).
E = h 
Siendo los fotones la menor unidad posible de luz. Y de acuerdo a esta ecuación la energía
de los mismos solo puede aumentar en cantidades constantes, determinada por la constante de
Planck. Esta constante da la menor cantidad posible que puede aumentar la energía. Un quantum
de energía
Por último ¿Qué es un quantum? Einstein propone el siguiente ejemplo para entender que
3
es el quantum. Si se tiene un volumen de arena, este volumen se puede medir en m , por ejemplo,
y se puede considerar un volumen que sea una fracción muy pequeña de arena. Sin embargo, un
grano de arena es la menor cantidad que se puede tener. Este grano de arena es un quantum de
arena. De igual forma la menor cantidad de luz posible es el fotón, quantum de luz.
4. La letra g de la ecuación, que no es la aceleración de la gravedad, también es una
cantidad de la física quántica y se refiere al llamado Spin del electrón.
¿Qué es el spin del electrón? En los primeros de átomos se consideraba que el electrón
giraba alrededor del núcleo. Esta solución no respondía a todos los fenómenos de interferencia que
se obtenían experimentalmente. Por lo tanto, se incluyo el giro alrededor de su propio eje del
electrón, De esta forma el electrón, como por ejemplo la tierra, tiene dos giros uno alrededor de su
centro, el núcleo para el electrón y el sol para la tierra, y otro alrededor de su eje. Este último giro
se llama Spin (en ingles giro alrededor de su eje) para distinguir del otro giro. El signo del Spin está
determinado por el sentido del giro, cuando el giro alrededor de su eje y del núcleo son del mismo
sentido, el signo es positivo; si son contrarios es negativo.
S=±½
El valor del Spin
y
g=2S+1
5. Los demás valores de la ecuación son los conocidos: p presión, V volumen,
T
temperatura absoluta, m masa y  es la relación circunferencia – radio.
COMPORTAMIENTO DE LOS GASES REALES
En la graficas de abajo se puede observar las diferencias que resultan de la aplicación de
la Ecuación de Estado de los Gases Perfectos, la formula de Van der Waals y el comportamiento
real del Gas, en este caso CO2 (Anhídrido Carbónico).
Isoterma Van der Waals - CO2
Isoterma de un Gas Ideal - CO2
400
400
300
Presión - atm
200
100
200
100
0
0
0
0,05
T = 264 K
0,1
0,15
0,2
0,25
V = V / n - lt./ mol
T crit = 304 K
0,3
0,35
0
0,4
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
"T = 344 K"
T =400 K
T = 264 K
T crit = 304 K
T = 344 K
100
Gas
75
Liquido
Vapor
Vapor y
Liquido
50
25
0
0,3
0,35
V = V / n - Lt / mol
LIQUIDIFICACION - CO2
Presion - atm
Presion - atm
300
0,05
0,1
0,15
0,2
V = V / n - lt / mol
T = 264 K
T = 284
T crit = 304 K
Curva de liquidificación
0,25
T = 274 K
T = 294 K
T = 314 K
0,3
T = 400 K
0,4
TEMPERATURAS Y PRESIONES CRÍTICAS
Sustancia
Agua
Cloro
Amoniaco
Anhídrido Carbónico
Kriptón
Oxigeno
Argón
Nitrógeno
Neón
Hidrogeno
Helio
H2 O
Cl2
N H3
C O2
Kr
O2
Ar
N2
Ne
H2
He
Temp
K
647
417
405
304
242
254,2
150.6
126
45
33
5,1
Presion
Atm
217
76
112
73
54
50
48
33,5
26
12,85
2,2
Quantum de arena.
Constante de Plank
h = 6,63 10- 34 Joule seg = 6,63 10- 34 kg m2 (6,626808)
h / 2  = (hache barra) ћ = 1,05 10- 34 Joule seg (1,05457)
PV=NT
1 ± . 3/2 .. N 3
.
3/2
2g
V (m T)
PV=NT
1 ± . 3/2 .. N 3
.
3/2
2g
V (m T)
1ª LEY DE LA TERMODINÁMICA
Hemos visto que al suministrar calor a un cuerpo, este tiene una variación de volumen y de
temperatura. Vimos también que la temperatura está relacionada con la energía interna del Gas
(energía cinética de las moléculas).
1. Trabajo Exterior
Si consideramos un cuerpo al cual se le suministra calor W = p V
2.
3.
4.
5.
6.
Trabajo en los cambios de volumen
Trabajo y trayectoria
Calor y Trabajo
Energía Interna
U = N ½ m <V2>
3 / 2 k T = m <V2> / 2
k = R / NA R = Constante Universal de los Gases y N A es Numero de
Abogadro.
El filósofo griego Demócrito
Energía : calor
ANEXO: EL TENSOR DE INERCIA
1. JUSTIFICACIÓN
Si bien el cálculo de tensores no es el objeto de este libro pretendemos con este anexo satisfacer la curiosidad
de algunos estudiantes que desean avanzar en sus conocimientos, y no se constriñen a los límites de los cursos
de Física.
2. LAS NUEVAS COMPONENTES DE UN
VECTOR POR UN GIRO DE LOS EJES DE
COORDENADAS.
Para un sistemas de coordenadas ortogonales X1,
X2 y X3, en el que X1 = X, X2 = Y y X3 = Z del sistema
utilizado tradicionalmente en la geometría analítica; un
punto “P” tendrá coordenadas x1, x2 y, x3 y un Vector
“V” de componentes Vx1, Vx2 y Vx3. Al realizar un giro
de los ejes coordenados se obtienen nuevos ejes, que
los denominamos Y1, Y2 e Y3, Estos nuevos ejes, Y1,
Y2 e Y3, forman con los originales X1, X2 y X3 los
ángulos ,  y respectivamente como se observaen la
figura. Entonces las nuevas coordenadas del punto “P”
son y1, y2 y y3, y las nuevas componentes del vector
“V” son Vy1, Vy2 y Vy3.
X3
Y3


Y2
X2

X1
Y1
Las nuevas componentes del vector a partir de las componentes iniciales son:
Vy1= a11 Vx1 + a12 Vx2 + a13 Vx3
Vy2= a21 Vx1 + a22 Vx2 + a23 Vx3
Vy1= a31 Vx1 + a32 Vx2 + a33 Vx3
Observación: seguimos usando las sumatorias.
3. TRASFORMACION LINEAL
Se llama trasformación lineal de Vx en Vy a toda transformación definida por transformaciones lineales y
homogéneas de la forma
Yi =
q
Σ aih Xh
h=1
Es decir las transformaciones de las componentes del vector son transformaciones lineales.
En estas igualdades las cantidades a11, a12, a13, ………… a33, son los cosenos directores de los ángulos que
forman los nuevos ejes Y1, Y2 e Y3 con las componentes del vector respecto a los ejes iniciales Vx1, Vx2 y Vx3,
siendo el primer subíndice de a el subíndice de los nuevos ejes y el segundo subíndice de a el subíndice de las
componentes iniciales del vector.
Estos cosenos directores pueden expresarse como una matriz.
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
En general las transformaciones lineales se expresan Y = A X, donde Y es el vector transformado, A es la
matriz de transformación y X es el vector inicial.
1 de 6
4. PRODUCTO DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Realizando una primera transformación lineal A de Vx en Vy y posteriormente una segunda trasformación B
de Vy en Vz, donde los nuevos ejes (los terceros) son Z1, Z2 y Z3.
Donde la segunda transformación es Z = B Y, y B es la matriz
b11
b21
b31
B=
Zi =
b12
b22
b32
b13
b23
b33
q
Σ bih Yh
h=1
La transformación lineal producto A B
La transformación lineal A B producto es otra matriz C. Los elementos cij, están dados por el producto de los
elementos de la i-ésima fila de la matriz A por los elementos de la j-ésima columna de la matriz B.
cij =
Es decir la matriz
C
=
Por ejemplo
q
Σ aih bhj
h=1
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33
El producto de las matrices no es conmutativa, es decir A B ≠ B A
5. TENSORES CARTESIANOS.
Luis Santaló, en su libro “Vectores y Tensores” da la siguiente definición de tensores cartesianos.
DEF. 1: Dadas 9 cantidades Tij, se dice que son componentes de un tensor cartesiano de segundo orden
cuando por un cambio de coordenadas de la forma, (transformaciones lineales) se transforman según la Ley
q
T ’ij = Σ
p
Σ aih ajk Thk
h=1k=1
Para el efecto hace el siguiente razonamiento.
Dados dos vectores de componentes ui y vj , que por un cambio de coordenadas se transforman de la forma
de acuerdo a las transformaciones lineales.
v’j =
q
Σ ajk vk
u’i =
k=1
2 de 6
q
Σ aih uh
h=1
Los productos ui vj con un cambio de coordenadas toman la forma
u’i v’j =
3
3
Σ aih Σ ajk uh vk
h=1
El conjunto de los nueve productos
tensorial de los vectores ui , vj.
k=1
ui vj constituye un nuevo ente geométrico que se llama producto
6. INVARIANTES
Def. 4: Un invariante o tensor de orden cero es una expresión que toma la misma forma en cualquier sistema
de coordenadas.
El producto escalar de dos vectores
aplicando el ejemplo de arriba.
u . v es un invariante o tensor de orden cero, como se puede demostrar
7. CRITERIOS DE TENSORIALIDAD.
2
De acuerdo a Santalo: “Sean Uij un conjunto de n componentes de las cuales se ignora si son o no
componentes de un tensor. Suponemos además que las Uij son simétricas, es decir Uij = Uji. Entonces si para
cualquier vector li se verifica que la suma Uij li lj es un invariante, se puede afirmar que las Uij son componentes
de un tensor.”
Manuel Lucini en su libro “Principios Fundamentales de las Nuevas Mecánicas”, dice “Si nueve
magnitudes, una vez multiplicadas ordenadamente por las componentes de un vector independiente de los ejes y,
sumados de tres a tres los productos obtenidos, dan las tres componentes de otro vector, también independiente
de los ejes, aquellas nueve magnitudes son las componentes de un tensor.”
Afirma mas abajo “……para comprobar este criterio de tensorialidad, también se cumple que
Vj = Pi Qj Ui = Qj (P1 U1 + P2 U2 + P3 U3) = Qj E’
Siendo E’ el producto interno de P por U”
8. LOS TENSORES EN FÍSICA
TENSORES
Son nueve magnitudes que al multiplicar por las
componentes de otra magnitud vectorial independiente
del sistema de coordenadas dan como resultado otra
magnitud vectorial también independiente del sistema de
coordenadas.
3 de 6
9. EL TENSOR DE INERCIA
Z

Imaginemos dos masas puntuales iguales unidas por una
barra rígida sin masa, que giran, como indica la figura. En un
instante, las masas tienen velocidades V1 y V2. Considerando que el
centro de la barra es un punto fijo, sin movimiento, utilizamos este
punto como origen de coordenadas. De esta forma las masas 1 y 2
tienen respectivamente por coordenadas X1 = – X2 = X, Y1 = – Y2 =
Y y Z1 = – Z2 = Z.
V1
Y
V2
X
z
cualquier análisis vamos considerar
algunas cuestiones.
a) El vector velocidad angular
Z
Previo
a
x
V1x

V2z
Como las masas giran alrededor del
V1y
centro de coordenadas la velocidad V = 
y 
x r donde V es la velocidad instantánea,
V2y
Y
 es la velocidad angular instantánea y r
V1z
es el vector de posición de las masas con
V2x
respecto al origen de coordenadas en ese
instante. La expresión mas arriba es un
producto vectorial en el que la velocidad
X
es perpendicular al plano de r y , estos
últimos forman un ángulo de 90º entre sí; por lo que la velocidad angular , a su vez, es un vector perpendicular al
plano formado por la velocidad V y la posición r. No debemos confundir el plano de la circunferencia descripta por
los cuerpos, con el plano formado por V y r Las componentes de  son: xnegativa; y y, z positivas.
Desde luego, esta consideración es en ese instante, pues todos los vectores cambian en el tiempo. Podemos
afirmar, por lo tanto, que
 es un vector que no depende del eje de coordenadas.
b) El vector cantidad
movimiento angular L
de
El momento de la cantidad de
movimiento L = r x P, donde r es el
vector de posición y P es la
cantidad de movimiento instantánea
P = m V. el vector L al ser un
producto vectorial es siempre
perpendicular al plano formado por
r y , por lo tanto es, también,
independiente de los ejes de
coordenadas.
z
Z
x
y
x
z
V1x
V1y
V2z
V1z
V2y
V2x
y
X
4 de 6
z
x
Y
y 
c) Las componentes de la velocidad.
Descomponemos las velocidades V1 y V2 en sus componentes V1x; V1y; V1z y V2x; V2y; V2z.
Efectuando los productos vectoriales
resulta:
^ r, de las componentes de la velocidad angular por las coordenadas
V1x = y ^ Z1 + z ^ Y1 = – y z – z y
V1y = x ^ Z1 + z ^ x1 = x z + z x
V1z = x ^ Y1 + y ^ x1 = – x Y – y x
V2x = y ^ Z2 + z ^ y2 = y z + z y
V2y = x ^ Z2 + z ^ x2 = – x z – z x
V2z = x ^ Y2 + y ^ x2 = x Y y x
d) Las 9 componentes de tensor de Inercia.
La cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento angular son:
P = m V,
L=r^P=
r ^ ( m V)
Resultando L = m r ^(  ^ r )
En un doble producto vectorial (por ejemplo, X = A ^ ( B ^ C ) ) la solución es
X=(A.C)B–(A.B)C
Aplicamos estos conceptos para encontrar los momentos de las cantidades de movimientos en las
direcciones de nuestros ejes coordenados.
PARA EL CUERPO 1
L1x = z1 ^ P1y + y1 ^ P1z = z1 ^ (m V1y) + y1 ^ (m V1z) =
= m ( z1 ^ ( x ^ z1 + z ^ x1 ) + y1 ^ ( x ^ y1 + y ^ x1 ))
 L1x = – m Z12 x – m X1 Z1 z– m Y12 x – m X1 Y1 y
L1y = z1 ^ P1x + x1 ^ P1z = z1 ^ (m V1x) + x1 ^ (m V1z) =
= m ( z1 ^ ( y ^ z1 + z ^ y1) + x1 ^ (x ^ y1 + y ^ x1 )
 L1y = m Z12 y + m Y1Z1 z + m Y1X1 x + m X12 y
L1z = y1 ^ P1x + x1 ^ P1y = y1 ^ (m V1x) + x1 ^ (m V1y) =
= m ( y1 ^ ( y ^ z1 + z ^ y1 ) + x1 ^ ( x ^ z1 + z ^ x1))
 L1z = m Z1 Y1y + m Y12 z + m Z1 X1x + m X12 z.
PARA EL CUERPO 2
L2x = z2 ^ P2y + y2 ^ P2z = z2 ^ (m V2y) + y2 ^ (m V2z) =
= m ( z2 ^ ( x ^ z2 + z ^ x2 ) + y2 ^ ( x ^ y2 + y ^ x2 ))
 L2x = – m Z22 x – m X2 Z2 z – m Y22 x – m X2 Y2 y
L2y = z2 ^ P2x + x2 ^ P2z = z ^ (m V2x) + x2 ^ (m V2z)
5 de 6
=
= m ( z2 ^ ( y ^ z2 + z ^ y2) + x2 ^ (x ^ y2 + y ^ x2 )
 L2y = m Z22 y + m Y2Z2 z + m Y2X2 x + m X22 y
L2z = y2 ^ P2x + x2 ^ P2y = y2 ^ (m V2x) + x2 ^ (m V2y) =
= m ( – y2 ^ ( y z2 – z y2 ) + – x2 ^ (– x z2 – z x2)
 L2z = m Z2 Y2 y + m Y22 z + m Z2 X2 x + m X22 z.
Como las coordenadas de las posiciones de las masas son numéricamente iguales, las sumas totales sobre
cada eje son:
 Lx = – 2 m (Y2 + Z2) x – 2 m X Y y – 2 m X Z z
 Ly = 2 m Y X x + 2 m (X2 + Z2) y + 2 m Y Z z
 Lz = 2 m X Z x + 2 m Y Z y + 2 m (X2 + Y2) z
De esta forma obtenemos las componentes de la Cantidad de Movimiento Angular de nuestro ejemplo.
Se denominan Momento de Inercia (
I ) con respecto a los ejes coordenados a las siguientes magnitudes
Ix = 2 m ( Y + Z ) Iy = 2 m ( X2 + Z2 )
y Iz = 2 m ( X2 + Y2 )
2
2
Se denominan Producto de Inercia sobre los ejes coordenados a las siguientes magnitudes
Ixz = 2 m X Z, Izx = 2 m Z X, Ixy = 2 m x y Iyx = 2 m Y X
Iyz = 2 m Y Z Izy = 2 m Z Y
En realidad se cumple que
Ixz = Izx
Ixy = Iyx
Iyz = Izy
De esta forma las cantidades de movimiento angular sobre los ejes coordenados son:
Lx = – Ix x – Ixy y – Ixz z
Ly = Iyx x + Iy y + Iyz z
Lz = Izx x + Izy y + Iz z.
De esta forma tenemos nueve números que multiplicados por las componentes del vector velocidad angular,
vector independiente de los ejes coordenados, nos dan las componentes del vector Cantidad de Movimiento
Angular, también un vector independiente de los ejes coordenados. Es decir la Inercia de los cuerpos es un
Tensor.
L =
Lx
Ly
Lz
=
Ix
Iyx
Izx
Ixy
Iy
Izy
Ixz
Iyz
Iz
x
y
z
Las componentes del vector cantidad de movimiento angular son proporcionales a las componentes de la
velocidad angular. Sin embargo, si la suma de las componentes del tensor que figuran en las filas no son todas
iguales, el vector L tiene dirección diferente al vector  Es decir, no necesariamente los vectores L y  tienen la
misma dirección.
Cuando se hace coincidir los ejes de coordenadas con ejes de simetría del cuerpo los Productos de Inercia
son nulos y la Matriz solo conserva los valores de la diagonal, los Momentos de Inercia.
6 de 6
APÉNDICE A
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
El Sistema Internacional, cuyo símbolo es el SI, establecido por la Conferencia General de Pesas y Medidas en
1960, es una adaptación del sistema métrico y del sistema MKS que lo procedió, y fue adoptado en nuestro
país por Decreto Ley N° 15.235 – Resolución 45/80, desde el año 1980. El SI consta de un conjunto coherente
de tres clases de unidades, compuesta de 7 Unidades Fundamentales, 2 Unidades Suplementarias y diversas
Unidades Derivadas. El SI oficialmente es utilizado en la mayoría de los países por su practicidad, relación y
sencillez.
DEFINICIONES GENERALES
ABREVIATURA:
Es el conjunto de letras tomadas de una palabra, usadas para representarla y escrito con
punto final. Ej. mts. (metros); kgr. (kilogramo); seg, (segundos).
UNIDAD DE MEDIDA: Es el valor de una magnitud que se escoge convencionalmente como término de comparación de las demás magnitudes de su misma especie. Ej. metro (m); kilogramo (kg);
segundos (s)
SISTEMA DE UNIDADES: Es el conjunto de unidades organizadas sistemáticamente y adoptado convencional
mente.
CONJUNTO COHERENTE DE UNIDADES: Es un conjunto organizado de Unidades que tienen una y
sólo
una unidad para cada magnitud. Ej: CGS; MKS; Técnico; Británico.
SIMBOLO DE LA UNIDAD: Es el conjunto de letras escrito sin punto final, usados para representar la unidad
de medida. Ej. m (metro); kg (kilogramo); s (segundos)
PREFIJOS:
Son aquellos que se usan para formar los nombres de los múltiplos y submúltiplos de las
unidades.
UNIDADES FUNDAMENTALES DEL SI
Son las consideradas por convención como mutuamente independientes y corresponden a las siete magnitudes
adoptadas como fundamentales y que aparecen en la Tabla 1.
TABLA 1
MAGNITUD
longitud
masa
tiempo
intensidad de corriente eléctrica
temperatura termodinámica
intensidad luminosa
cantidad de materia
UNIDAD
metro
kilogramo
segundo
ampere
kelvin
candela
Mol
SÍMBOLO
m
kg
s
A
K
cd
mol
APÉNDICE A
DEFINICION DE LAS UNIDADES FUNDAMENTALES
UNIDAD DE LONGITUD
Metro: Redefinida en octubre de 1983, como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de
1/299 792 458 s.
UNIDAD DE MASA
Kilogramo: Establecido en 1987, es la masa de un cilindro de aleación de platino-iridio que se conserva en el
Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres, Francia.
UNIDAD DE TIEMPO
Segundo: Redefinido en 1967, como la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la
transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
UNIDAD DE INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA
Ampere: Es la corriente eléctrica constante que, si se mantiene en dos conductores paralelos rectos de longitud
infinita y sección transversal circular despreciable, y separados 1 m de distancia en el vacío, produce entre ellos
una fuerza de 2 x 10-7 newton por metro de longitud.
UNIDAD DE TEMPERATURA TERMODINAMICA
Kelvin: Es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. La décimo tercera
CPGM realizada en 1967 en su Resolución 3, decidió que la unidad kelvin debe ser usada para expresar un
intervalo o una diferencia de temperatura
UNIDAD DE INTENSIDAD LUMINOSA
Candela: Es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de
frecuencia 540 x 10 12 Hz y que tiene una intensidad radiante en esa dirección de 1/683 watt por estereorradián.
UNIDAD DE CANTIDAD DE MATERIA
Mol: Es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos de
carbono hay en 0,012 kg de carbono 12. Las entidades elementales deben especificarse y puedes ser átomos,
moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de tales partícular.
UNIDADES SUPLEMENTARIAS DEL SI
No existe un criterio definido en las numerosos literaturas consultadas, en lo que respecta a si llamarlas unidades
complementarias, suplementarias o directamente derivadas. En ese sentido debo manifestar que seguiré usando
el criterio adoptado históricamente, es decir llamarlos unidades suplementarias y comprende a las dos unidades
que se indican en la Tabla 2.
APÉNDICE A
TABLA 2
MAGNITUD
ángulo plano
ángulo sólido
UNIDAD
radián
estereorradián
SÍMBOLO
rad
sr
DEFINICION DE LAS UNIDADES SUPLEMENTARIAS
UNIDAD DE ÁNGULO PLANO
Radián: Es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo, que subtienden en la circunferencia un
arco de longitud igual en longitud al radio.
UNIDAD DE ÁNGULO SÓLIDO
Estereorradián: Es el ángulo sólido con vértice en el centro de una esfera, que subtiende en la superficie
esférica un área igual a la de un cuadrado cuyo lado tiene la longitud del radio de la esfera..
UNIDADES DERIVADAS DEL SI
Son las que se definen a partir de las unidades fundamentales. Algunas de ellas se encuentran indicadas en la
Tabla 3.
TABLA 3
MAGNITUD
fuerza
momento de una fuerza
velocidad, rapidez
aceleración
velocidad angular
aceleración angular
UNIDAD
newton
newton metro
metro por segundo
metro por segundo cuadrado
radián por segundo
radián por segundo cuadrado
SÍMBOLO
N
N.m
m/s
m/s2
rad/s
rad/s2
TABLA 3
MAGNITUD
frecuencia
trabajo mecánico, energía
potencia
cantidad de movimiento
impulso de una fuerza
inercia de rotación
cantidad de movimiento angular
impulso angular
presión, fatiga
área
volumen
densidad
UNIDAD
herz
joule
watt
kilogramo metro por segundo
newton segundo
kilogramo segundo cuadrado
kilogramo metro cuadrado segundo
newton metro segundo
Pascal
metro cuadrado
metro cúbico
kilogramo por metro cúbico
SÍMBOLO
Hz
J
W
kg . m/s
N.s
kg.s2
kg. m2. s
N.m.s
Pa
m2
m3
kg/m3
peso específico
viscosidad cinemática
viscosidad dinámica
tensión superficial
carga eléctrica
diferencia de potencial eléctrico
intensidad de campo eléctrico
capacidad eléctrica
resistencia eléctrica
conductancia eléctrica
flujo magnético
densidad de flujo magnético
inductancia
flujo luminoso
iluminación
calor específico
conductividad térmica
entropía
intensidad radiante
actividad de una fuente radiactiva
dosis de radiación
dosis equivalente de radiación
APÉNDICE A
newton por metro cúbico
metro cuadrado por segundo
Newton segundo por metro cuadrado
newton por metro
coulomb
volt
volt por metro
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
joule por kilogramo-kelvin
watt por metro-kelvin
joule por kelvin
watt por estereorradián
becquerel
gray
sievert
N/m3
m2/s
N.s/m2
N/m
C
V
V/m
F
Ω
S
Wb
T
H
lm
lx
J/kg.K
W/m.K
J/K
W/sr
Bq
Gy
Sv
DEFINICION DE ALGUNAS UNIDADES DERIVADAS QUE TIENEN NOMBRES ESPECIALES
UNIDAD DE FUERZA
Newton: Es la fuerza que imprime a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo
cuadrado.
UNIDAD DE FRECUENCIA
Hertz: Es la frecuencia de un fenómeno periódico que se repite una vez por segundo..
UNIDAD DE TRABAJO MECÁNICO, ENERGÍA
Joule: Es el trabajo realizado cuando el punto de aplicación de una fuerza constante de un newton se desplaza
una distancia de un meto, en la dirección de la fuerza.
UNIDAD DE POTENCIA
Watt: Es la potencia que da lugar a la producción de energía a razón de un joule por segundo
. UNIDAD DE PRESIÓN
Pascal: Es la presión ejercida por una fuerza de un newton, uniformemente distribuida sobre una superficie
sobre una superficie de un metro cuadrado, perpendicular a la dirección de la fuerza.
APÉNDICE A
UNIDAD DE CARGA ELÉCTRICA
Coulomb: Es la carga eléctrica transportada en un segundo por una corriente de un ampere.
UNIDAD DE DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO
Volt: Es la diferencia de potencial eléctrico existente entre dos puntos de un alambre conductor por el que
circula una corriente constante de un ampere, cuando la potencia disipada entre esos puntos es de un watt.
UNIDAD DE CAPACIDAD ELECTRICA
Farad: Es la capacidad de un condensador entre cuyas placas aparece una diferencia de potencial de un volt
cuando es cargado con una carga eléctrica de un coulomb.
UNIDAD DE RESISTENCIA ELÉCTRICA
Ohm: Es la resistencia eléctrica entre dos puntos de un conductor, cuando aplicada entre esos puntos unas
diferencia de potencial constante de un volt, origina en el conductor una corriente cuya intensidad es de un
ampere, siempre que el conductor no sea fuente de ninguna fuente electromotriz.
UNIDAD DE CONDUCTANCIA ELÉCTRICA
Siemens: Es la conductancia que existe entre dos puntos de un conductor, cuando una diferencia de potencial
constante de un volt aplicada a esos puntos, produce en el conductor una corriente de 1 ampere de intensidad.
UNIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO
Weber: Es el flujo magnético que al atravesar una espira induce en éste una fuerza electromotriz de un volt, al
disminuir el flujo magnético hasta cero en un segundo.
UNIDAD DE DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO
Tesla: Es la densidad de flujo magnético producido por el flujo uniforme de un weber que atraviesa
perpendicularmente una superficie plana de un metro cuadrado.
UNIDAD DE INDUCTANCIA
Henry: Es la inductancia de un circuito cerrado en el cual se produce una fuerza electromotriz de un volt cuando
la intensidad de la corriente que lo recorre varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.
APÉNDICE A
UNIDAD DE FLUJO LUMINOSO
Lumen: Es el flujo emitido desde el vértice de un ángulo sólido de un estereorradián por una fuente puntual
uniforme, que tiene una intensidad luminosa de una candela.
UNIDAD DE ILUMINACIÓN
Lux: Es la iluminación de un lumen por metro cuadrado.
UNIDAD DE CONDUCTANCIA ELÉCTRICA
Siemens: Es la conductancia que existe entre dos puntos de un conductor, cuando una diferencia de potencial
constante de un volt aplicada a esos puntos, produce en el conductor una corriente de 1 ampere de intensidad.
PREFIJOS DE UNIDADES
En la Tabla 4 se listan los prefijos estándar del SI, con sus significados y abreviaturas.
TABLA 4
PREFIJO
yota
zeta
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
hecto
deca
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
Docto
SÍMBOLO
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
POTENCIA
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
APÉNDICE A
RECOMENDACIONES GENERALES PARA EL USO DEL SI
Los símbolos de las unidades, múltiplos y submúltiplos no son considerados como abreviaturas, debiéndose usar
el mismo símbolo tanto para el singular como para el plural y no se colocarán puntos al final.
Ejemplos:
1 metro, se escribirá 1 m
15 metros, se escribirá 15 m
1,9 metro, se escribirá 1,9 m
Al pronunciar o escribir el plural de la unidad SI, se usará la regla de la gramática española.
Ejemplos:
1 segundo – 10 segundos
1 metro – 6 metros
Al referirse a una unidad se debe escribir el símbolo de la unidad y no su nombre, salvo caso de que exista riesgo
de confusión.
Ejemplos:
2 N es preferible a 2 newton
1 litro es preferible a 1 
El producto entre dos unidades se indicará preferentemente mediante un punto. Este punto podrá omitirse cuando
no haya riesgo de confusión con otros símbolos de unidades.
Ejemplos:
J = N.m (se leerá un joule es igual a un newton metro)
N = kg.m.s-2 (se leerá un newton es igual a un kilogramo metro por segundo al cuadrado)
La división entre dos o más unidades, se indicará mediante una línea inclinada, una línea horizontal o potencias
negativas.
Ejemplos:
kg
m
3

kg .m 3 
kg
m3
Cuando el denominador es una expresión compleja deberán agruparse en paréntesis. Nunca debe usarse más de
una línea inclinada. Tampoco se usarán paréntesis para agrupar las unidades que se encuentran en el numerador
o antes de la línea inclinada.
Ejemplos:
FORMA CORRECTA
FORMA INCORRECTA
m
m.kg
s2
s .A
3
o
o
m .s 2
m.kg.s 3 . A 1
m
s
m.kg
s
s3
A
No deberán combinarse nombres y signos al expresar el nombre de una unidad derivada.
Ejemplos:
FORMA CORRECTA
FORMA INCORRECTA
m/s o metro por segundo
metro/segundo o m/segundo o metro/s o m por s
Se usarán los prefijos SI y sus símbolos para formar los nombres y los símbolos de los múltiplos y submúltiplos
de las unidades SI, respectivamente.
Ejemplos:
decímetro (dm); kilogramo (kg)
APÉNDICE A
Para la escritura de los valores numéricos se usarán las cifras arábigas y numeración decimal. Cuando el número
tiene más de tres cifras se separarán usando un espacio y no el punto, en grupos de tres cifras tanto la parte
entera como la decimal.
Ejemplos:
2 789 456,985 63
74,369 756
Para redondear números se procederá de la siguiente manera: a) cuando la cifra eliminada es menor que 5, la
última cifra no variará y b) cuando la cifra eliminada es mauor o igual que 5, la última cifra se aumentará una
unidad.
Ejemplos:
2,768 32 redondeado a las milésimas, se escribirá 2,768
179 623 redondeado a los miles, se escribirá
180 000
OTROS SISTEMAS DE UNIDADES
SISTEMA CGS
El Sistema CGS adopta tres unidades fundamentales, que se detallan en la Tabla 5:
TABLA 5
longitud
masa
tiempo
MAGNITUD
UNIDAD
centímetro
gramo
segundo
SÍMBOLO
cm
g
s
SISTEMA MKS
El Sistema MKS adopta tres unidades fundamentales, que se detallan en la Tabla 6:
TABLA 6
longitud
masa
tiempo
MAGNITUD
UNIDAD
metro
kilogramo
segundo
SISTEMA TÉCNICO
El Sistema Técnico adopta tres unidades fundamentales, que se detallan en la Tabla 7:
SÍMBOLO
m
kg
s
APÉNDICE A
TABLA 7
longitud
fuerza
tiempo
MAGNITUD
UNIDAD
metro
kilogramo fuerza
segundo
SÍMBOLO
cm
kgf
S
UNIDADES PRACTICAS
Estas unidades no pertenecen a ningún sistema de unidades pero lo encontramos habitualmente en nuestra vida
cotidiana. En la Tabla 8 se indican algunas de ellas.
TABLA 8
MAGNITUD
masa
tiempo
temperatura
ángulo plano
volumen
velocidad, rapidez
presión
NOMBRE
tonelada
minuto
hora
día
grado Celsius
grado
minuto
segundo
litro
kilómetro por hora
kilogramo fuerza por centímetro cuadrado
SÍMBOLO
t
min
h
d
°C
°
‘
“

km/h
kgf/cm2
VALOR EN SI
1 t = 103 kg
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3 600 s
1 d = 24 h = 86 400 s
1°C = 1 K
1° = (π/180) rad
1’ = (1/60)° =(π/10 800) rad
1” = (1/60)’ = (π/648 000) rad
1  = 1 dm3 = 10-3 m
1 km/h = (1/3,6) m/s
1 kgf/cm2 ≈ 105 Pa
CUIDADO: Cuando resuelva algún problema y tenga una ecuación o un sistema de ecuaciones, no se olvide que
las mismas deben ser dimensionalmente coherentes., es decir los números deben estar con las unidades correctas.
Por eso mi recomendación para la resolución de un problema es la siguiente: a) resuelva el problema literalmente
llegando a una fórmula final; b) efectúe el reemplazo de las letras por los números, efectuando la
homogeneización de todas las unidades, trabaje preferentemente en el SI; c) efectúe las operaciones numéricas,
hallando el número buscado y completando con la unidad de medida que le corresponda a la magnitud deseada,
en el sistema elegido.
Ejemplo: Un móvil con movimiento rectilíneo y uniforme se mueve horizontalmente con una rapidez de
108 km/h. Calcular en que tiempo recorrerá una distancia de 3 300 m.
Solución:
La fórmula a utilizar es: x  vt .
Despejamos la incógnita, luego reemplazamos por los valores numéricos y homogeneizamos las
unidades (en este caso hemos adoptado el SI) y obtenemos:
t
3 300 m
3 300
x


s  110 s
v 108
30
m/s
3,6
Respuesta: t = 110 s
Nota. Si hubiésemos dividido directamente 3 300 por 108 o si en lugar de dividir 108 por 3,6 lo hubiéramos
multiplicado por 3,6 las unidades de medida nos estarían indicando la existencia de un error al no simplificarse
las unidades de hora. De ahí mi recomendación de realizar la homogeneización una sola vez y al termino de
todos los despejes de fórmulas.