NOTA:
SOLUCIÓN:
a)
𝑋: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠
𝛺 = {𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝐶𝑆, 𝐶𝐶𝑆𝐶, 𝐶𝐶𝑆𝑆, 𝐶𝑆𝐶𝐶, 𝐶𝑆𝐶𝑆, 𝐶𝑆𝑆𝐶, 𝐶𝑆𝑆𝑆, 𝑆𝐶𝐶𝐶, 𝑆𝐶𝐶𝑆, 𝑆𝐶𝑆𝐶, 𝑆𝐶𝑆𝑆, 𝑆𝑆𝐶𝐶, 𝑆𝑆𝐶𝑆, 𝑆𝑆𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝑆𝑆}
𝑅𝑋 = {0,1,2,3,4}
Función de probabilidad ( Variable aleatoria es discreta)
𝑋=𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥)
0
1
2
3
4
1
4
6
4
1
16 16 16 16 16
Gráfica de bastones
b) 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 2) = 𝑓(1) + 𝑓(2) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) =
4
16
+
6
16
=
10
16
= 0.625
a) Si 𝑥 < 0 entonces 𝐹(𝑥) = 0
Si 0 ≤ 𝑥 < 1 entonces 𝐹(0) = 𝑓(0) =
1
16
1
4
+
16
16
=
5
16
Si 2 ≤ 𝑥 < 3 entonces 𝐹(2) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) =
1
16
+
Si 1 ≤ 𝑥 < 2 entonces 𝐹(1) = 𝑓(0) + 𝑓(1) =
4
16
Si 3 ≤ 𝑥 < 4 entonces 𝐹(3) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) =
Si 𝑥 ≥ 4 entonces 𝐹(4) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4)
+
6
16
=
11
16
1
4
6
4
15
+ + + =
16
16
16
16
16
1
4
6
4
1
= + + + +
16
16
16
16
16
=1
0 , 𝑥<0
1
,
16
5
,
𝐹(𝑥) = 16
11
,
16
15
,
16
{
1
0≤𝑥<1
1≤𝑥<2
2≤𝑥<3
3≤𝑥<4
, 𝑥≥4
b) 𝑃(0 < 𝑥 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 ≤ 2) − 𝑃(𝑥 ≤ 0) = 𝐹(2) − 𝐹(0) =
11
1
−
16
16
=
10
16
= 0.625
EJEMPLO:
Se venden 500 boletos de una rifa que consiste de un premio de $200. 4 premios de $50, y 10 premios de
$5 Si cada boleto cuesta 1$, y si Ud. adquiere un boleto, hallar la función de probabilidad de la utilidad.
a) qué probabilidad hay de ganar algún premio?
b) qué probabilidad hay de ganar dos premios?
Solución
𝑋: 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
Función de probabilidad
-1
4
49 199
𝑥𝑖
4
1
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 485 10
500 500 500 500
a) qué probabilidad hay de ganar algún premio?
15
𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜) =
= 0.03
500
b) qué probabilidad hay de ganar dos premios?
𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟 $200 𝑦 $50) + 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟 $200 𝑦 $5) + 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎𝑟 $50 𝑦 $5)
1 4
1 10
4 10
54
=
+
+
=
= 0.000216
500 500 500 500 500 500 250000
∞
a) ∫−∞ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 1
2
∫ 𝑐𝑥 2 𝑑𝑥 = 1
0
2
𝑐𝑥 3
[
] =1
3 0
8𝑐
−0=1
3
⇒
𝑐=
3
8
3 2
𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,2]
𝑓(𝑥) = {8
0 , 𝑠𝑖 𝑥 ∉ [0,2]
3 𝑥3
13
b) 𝑃(0 < 𝑥 ≤ 1) = ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 = [
8
1
𝑥3
1
1
] = [ ] = − 0 = 0.125
8 3 0
8 0
8
Propiedades:
Sea X una variable aleatoria, la distribución de probabilidades f, satisface las siguientes propiedades:
1. Si 𝑋 es discreta, entonces, para cualquier 𝑥 ∈ 𝑅𝑋 : 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥).
2. Si 𝑋 es continua, entonces, para cualquier valor 𝑥 se tiene que 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0.
3. Para cualquier 𝑥 ∈ 𝑅𝑋 se cumple que 𝑓(𝑥) ≥ 0.
4. Si 𝑋 es discreta, se tiene que ∑𝑥∈𝑅𝑋 𝑓(𝑥) = 1
5. Si 𝑋 es continua, se tiene que ∫𝑅 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
𝑋
6. Si 𝑋 es continua, se cumple que 𝑓 es el modelo probabilístico de 𝑋 si y sólo si para cualesquiera 𝑎 < 𝑏:
𝑏
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.
𝑎
7. Si 𝑋 es continua, para cualesquiera 𝑎 < 𝑏, se tiene que:
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
SOLUCIÓN
3
4
a) (1, 𝐶) 𝑦 (3, )
𝐿: 𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑦0
3
𝐶−
4 (𝑥 − 3) + 3
𝑓(𝑥) =
1−3
4
−4𝐶𝑥 + 12𝐶 + 3𝑥 − 3
𝑓(𝑥) =
8
Para hallar C usamos el área de un triángulo más un rectángulo
3
2 ( − 𝐶)
1
4
+ 2𝐶 = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶 =
2
4
b) Si 𝑥 < 1 entonces 𝐹(𝑥) = 0
𝑥𝑡
4
𝑡2 𝑥
]
8 1
1
Si 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 entonces 𝐹(𝑥) = ∫1 𝑑𝑡 =
Si 𝑥 > 3 entonces 𝐹(𝑥) = 𝐹(3) =
32
8
=
𝑥2
8
−
1
8
− =1
8
0 , 𝑥<1
𝑥2 1
𝐹(𝑥) = { − , 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
8 8
1 , 𝑥>3
c)
5
𝑃(
4
<𝑥≤
5
)
2
=
5
𝐹( )
2
5
−𝐹( )
4
5 2
=
(2)
8
1
− −
8
5 2
(
(4)
8
1
8
− ) = 0.5859
