Universidad centroamericana José Simeón Cañas Matemática 3 (Ingeniería) Ingeniero Daniel Augusto Sosa Cilindros y Superficies Cuádricas. I. Cilindros: Definición: Un cilindro es una superficie compuesta que: 1. Son paralelas a una recta dada en el espacio. 2. Pasan por una curva plana dada; la curva es una curva generatriz para el cilindro. En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas generatrices son círculos, pero ahora consideraremos curvas generatrices de cualquier clase. Curva generatriz en el plano Y Z Rectas que pasan por la curva generatriz paralela al eje x Ejemplo 1. Encuentre una ecuación para el cilindro formado por las rectas paralelas al eje z que pasa por la parábola Suponga que el punto y x2 , z 0 . P0 x0 , x0 2 , z se encuentra sobre la parábola y x 2 en el plano xy. Entonces para cualquier valor de z , el punto encuentra sobre la recta Q x0 , x0 2 , z está sobre el cilindro porque se x x0 , y x0 2 que pasa por Inversamente, cualquier punto P0 x0 , x0 2 , z , paralela al eje z . Q x0 , x0 2 , z , cuya coordenada “y” es el cuadrado de cualquier “x”, está sobre el cilindro porque se encuentra sobre la recta x x0 , y x0 2 que pasa por P0 , paralela al eje z. De manera que independientemente del valor de z, los punto sobre la superficie son los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación expresión y x 2 una ecuación para el cilindro. 1 y x 2 . Esto hace a la Cilindro Parabólico y x2 Curva generatriz En el ejemplo anterior se sugiere que toda curva de la forma define un cilindro paralelo al eje z f x, y c , en el plano xy cuya ecuación también es f x, y c . Los cilindros también pueden tener diversas orientaciones, por ejemplo si su ecuación es plano xz , obtendremos un cilindro paralelo al eje y; si su ecuación es g x, z c en el h y, z c en el plano yz , obtendremos un cilindro paralelo al eje x. Ejemplo 2. Cilindro circular recto. x 2 y 2 a 2 define el cilindro circular formado por las rectas paralelas al eje z 2 2 2 que pasan por el círculo x y a en el plano. La ecuación Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z En el plano: En el Espacio: Y a x 2 Ejemplo 3. Represente los cilindros a) x2 4 z 2 4 (cilindro elíptico) Traza elíptica (Sección transversal) b) Elipse generatriz y 2 z 2 1 (cilindro hiperbólico) Hipérbola generatriz Traza Hiperbólica (Sección transversal perpendicular al eje x ) 3 II. Superficies Cuádricas Definición: Una superficie cuadrática ( o cuádrica ) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es: Ax 2 By2 Cz2 Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J 0 donde A, B, C, …, J son constantes. 1. Elipsoide. Tiene por ecuación y2 z2 1 a2 b2 c2 x2 Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse Si x 0 y2 z2 1 elipse b2 c2 Si y 0 x2 z2 1 elipse a2 c2 Si z 0 x2 y2 1 elipse a2 b2 Nota: Una esfera es un elipsoide con a=b=c Siendo sus trazas círculos 2. Hiperboloide de una hoja. Tiene por ecuación x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Las trazas del hiperboloide son hipérbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses. 4 Si z 0 x2 y2 1 Elipse a2 b2 Si x 0 y2 z2 1 Hiperbola b2 c2 Si y 0 x2 z2 1 Hiperbola a2 c2 El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa ( en este caso eje z). La diferencia fundamental entre el hiiperboloide de una hoja y el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo. 3. Hiperboloide de dos hojas. Tiene por ecuación x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c Las trazas de esta superficies son : Para planos paralelos a XZ son hipérbolas al igual que para planos paralelos al YZ si x 0 z2 y2 1 hiperbola c2 b2 si y 0 z2 x2 1 hiperbola c2 a2 si z 0 x2 y2 1 imposible! ! ! no hay gráfica a2 b2 Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas. 5 4. Paraboloides Tiene por ecuación y2 z a2 b2 c x2 Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son parábolas Si x 0 Si y 0 y2 z b2 c x2 z a2 c Si z K b2z y2 c a2z x2 c y2 x2 k 2 2 c a b parábola parábola Elipse, y si a b Círculo Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo. 5. Paraboloide hiperbólico (Silla de montar) Tiene por ecuación x2 a 2 y2 b 2 z c Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el signo contrario. Trazas: si y 0 x2 z a2 c si z 0 parábolas si x 0 y2 z b2 c parábolas x2 y2 a 0 x y Dos rectas! ! 2 2 b a b Esta última traza genera en general una hipérbola cuando z toma valores constantes, las rectas anteriores son sus asíntotas. 6 6. Conos La superficie cuádrica que tiene por ecuación y2 x2 z2 a2 b2 c2 Se denomina Cono. Las trazas del cono son: y2 z2 b y z Dos rectas 2 2 c b c Si x 0 Si y 0 si z K x2 z2 a x z Dos rectas 2 2 c a c x2 y2 k2 Elipse, ¿Y si a b? a2 b2 c2 Dejara de ser elipse y se convierte en círculo, obteniéndose un cono circular recto Referencias: THOMAS / FINNEY, Cálculo varias variables, Ed. Pearson Educación© LARSON/HOSTETLER/EDWARDS, Cálculo Vol.2, Ed. McGraw Hill© Algunas gráficas fueron generadas por WOLFRAM MATHEMATICA 7 © y otras de las referencias bibliográficas. 7 EJERCICIOS PROPUESTOS I. Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la superficie y hacer un gráfico aproximado. 1. 4 x2 y 2 z 2 8x 2 y 2 z 3 0 (Hiperboloide de una hoja con centro en ( 1 , 1, -1) ) 2. x2 y 2 z 2 8 x 8 y 6 z 24 0 (Esfera) 3. x2 2 y 2 4 z 2 8 (Cono elíptico de 2 hojas) 4. x2 y 2 z 2 10 z 25 0 (Cono circular abierto sobre eje y) 5. 36 y 2 x2 36 z 9 (Paraboloide elíptico) 6. x2 z 2 5 y (Paraboloide hiperbólico) 7. x2 4 y 2 4 z 2 6 x 16 y 16 z 5 0 (Hiperboloide de una hoja) 8. y2 z 2 2x 0 (Paraboloide circular abierto sobre eje x) 9. z 3x2 2 y 2 11 (Paraboloide abierto hacia arriba en z ) 10. z 2 y 2 x2 1 4 9 9 (Hiperboloide de dos hojas simétrico a z) 11. x2 z 2 1 (Cilindro circular paralelo al eje y) 12. x2 z 1 (Cilindro parabólico paralelo al eje y) 13. x2 4 y 2 1 (Cilindro hiperbólico paralelo al eje z) 14. 4 x 2 y 2 36 (Cilindro elíptico paralelo al eje z) 15. x 4 y2 (Cilindro parabólico paralelo al eje z) 16. x2 4 z 2 16 (Cilindro elíptico paralelo al eje y) 8 II. trazar las gráficas compuestas por: 1. Trace la región limitada por x2 y 2 2 y z x2 y 2 para 1 z 2 2. Obtener la curva de intersección de las superficies x2 2 y 2 z 2 3x 1 y 2 x 2 4 y 2 2 z 2 5 y 0 y hacer su gráfica. 3. La parte del paraboloide elíptico 6 3x2 2 z 2 y que se encuentra a la derecha del plano xz. 4. La parte de la esfera x2 y 2 z 2 4 que se encuentra arriba del cono z x2 y 2 . 5. La parte del cilindro x2 z 2 1 que se encuentra entre los planos y=-1 y y=3. 6. La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro x2 y 2 16 . x 2 y 2 1. 2 2 8. La parte del plano x+2y+z=4 que se encuentra dentro del cilindro x y 1 . 2 9. La parte de la superficie z x y que se encuentra arriba del triángulo de vértices 7. La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del cilindro (0,0), (1,1) , y (0,1). 10. La parte del paraboloide hiperbólico cilindros z y 2 x 2 que se encuentra entre los y 2 x2 1 y 2 x2 4 III. Graficar los sólidos indicados, marcando los cortes con los ejes coordenados. y 2 x 2 1 , el plano z= y+3 y el plano xy 2 2 2. Sólido limitado por z x 1 y los planos y=0 y x+y=2 1. Sólido limitado 3. El sólido limitado por z 4 x2 y 2 y z=0 z 2 y 2 x2 1 y arriba de z x 2 y 2 5. El sólido limitado por el plano x y z 1 y los planos coordenados en el primer 4. El sólido limitado por octante. 6. El sólido limitado por z 9 x2 y 2 7. El sólido limitado por z 3 2 x2 y 2 y y z=-1 z x2 y 2 3 8. El sólido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1) 9 10
