Dilemma del prigioniero e strategie dominanti. La teoria dei giochi - AA.VV.

Dilemma del prigioniero
e strategie dominanti
La teoria dei giochi
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1v1n. I 1:.1v1n. I IL-L..1
© 2010,Jordi Deulofeu per il testo
© 2010, RBA Coleccionables, S.A.
© 2011 RBA Italia S.r.l. per la presente edizione
Direttore responsabile: Giorgio Rivieccio
Registrazione presso il Tribunale di Milano in corso
Iscrizione al ROC n. 16647 in data 1/03/2008
ISSN 2039-1153
Stampato nel 2011 presso Graficas Estella, S.L.
Realizzazione: Animabit S.r.l.
Traduzione: Lucia Lisei
Impaginazione: Marcella Paladino
Copertina: Llorenç Marti
Illustrazioni: Babel, disseny i maquetaci6, S.L.
Crediti fotografici: age fotostock,Aisa,Album,Corbis,
Getty Images,iStockphoto
Tutti i diritti sono riservati. Nessuna parte di questa
• pubblicazione può essere riprodotta o diffusa senza
l'autorizzazione dell'editore.
Sommario
Prefazione .................................................................................................................................................
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Capitolo 1. Breve storia delle relazioni tra matematica
e giochi .......................................................................................................
Matematica seria e ludica, matematica pura e applicata ...............................................
Matematica e giochi fino al secolo XVII ..............................................................................
Giochi e matematica nell'antichità ....................................................................................
Giochi e matematica nel Medioevo ..................................................................................
Matematica e giochi nel Rinascimento ..........................................................................
I giochi matematici dal secolo XVII ad oggi ......................................................................
L'apogeo degli svaghi matematici: i secoli XVII e XVIII ...................................
Matematica ricreativa e giochi nei secoli XIX e XX .............................. .............
L'apparizione della teoria dei giochi ... .
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Capitolo 2. Giochi di strategia e soluzioni di problemi ......................................
Il concetto di strategia vincente .............................................................. ...................................
Trarre vantaggi, definire strategie. I giochi tipo NIM ..................... .............................
Verso la determinazione di una strategia ........
................................ ....................
Gioco 1 (due giocatori): Il 20 vince ..................................................... ...................
Gioco 2 (due giocatori): Il 100 perde ...... .................................... . ..... . . . . . . ...
Gioco 3 (due giocatori): Generalizzazione totale .........................................
Una strategia complessa: il gioco del NIM ..................................................................
Gioco 4 (due giocatori): NIM prima versione ..................................................
Gioco 5 (due giocatori): Marienbad ................................................... .....................
Obiettivi e regole di un gioco: giochi equivalenti e giochi distinti .............
Gioco 6 (due giocatori):Avanzata esagonale .......................................................
Gioco 7 (due giocatori): Collocare l'ultima ............................................... .. ......
Gioco 8 (due giocatori): Il Tsyanshidzi ................................................ ......... . .....
Gioco 9 (due giocatori): Salvare la regina .............................................................
Gioco 10 (due giocatori): La Margherita ................................................. ......... ,..
Giochi e pseudo-giochi .......................................................................................................... .
Gioco 11 (du!e giocatori): Solo dispari ....................................................................
Gioco 12 (due giocatori): Cerchi e quadrati .......................................................
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SOMMARIO
Capitolo 3. Azzardo e gioco ...........................................................................
Il cavaliere che non voleva perdere. Giochi d'azzardo e la nascita
della probabilità ................... ...........................................................................................................
L'azzardo domato. Lo studio matematico delle probabilità ........................................
Questioni di calcolo: l'ordine è importante? .......................................................................
Situazione 1 .
Situazione 2 ............................................................
Situazione 3 .......................................................................................................................................
Situazione 4 .......................................................................................................................................
I numeri della lotteria ed altre false intuizioni riguardo all'azzardo ....................
I capricci della probabilità ........................................................................................................
Giocare a bocce ......................................................................................................................
Un dado normale ..................................................................................................................
Qual è la probabilità di vincere? ..................................................................................
Un sorteggio controverso ................................................................................................
Una scommessa poco interessante ..............................................................................
Anniversari coincidenti ......................................................................................................
L'azzardo non ha memoria ......................................................................................................
Lanciare una moneta ................................................................................................:...........
Concorso televisivo ..............................................................................................................
Matematica e speranza .......................................................................................................................
Un gioco di scommesse con tre dadi ...............................................................................
Un pagamento anticipato .........................................................................................................
È possibile vincere contro il banco? Probabilità di successi ripetuti ....................
Capitolo 4. La teoria matematica dei giochi .............................................................. .
I principi della teoria dei giochi ... .................. ...........................................................................
Quando si raggiunge l'equilibrio? ..............................................................................................
Un gioco astratto con strategie pure ......................................................
Elezioni e ristoranti: applicazioni di giochi
di strategia pura ...............................................................................................................
Programmi elettorali ............................................................................................................
Situazione di un ristorante ......................................... ....................................................
Quando non esiste equilibrio: le strategie miste ...............................................................
Determinazione di una strategia mista ottima ....... ....................................................
Applicazioni della strategia mista ........................................................................................
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SOMMARIO
La crescita di un'impresa............. .......... ..........................................................................
Il lancio di un rigore ................................................ .......................................... ...............
Vantaggi e limitazioni del metodo del minimax ...............................................................
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Capitolo 5. La vita è gioco: applicazioni della teoria
nel mondo reale ........................................................................................................................... . 115
La matematica della cooperazione: i giochi a somma non zero ............................. 117
Un'idea ragionevole: l'equilibrio di Nash............................................................................. 120
Prigionieri con dilemmi e altri problemi classici della teoria dei giochi ......... 123
Il dilemma del prigioniero ...................................................................................................... 124
Il gioco della gallina..................................................................................................................... 128
Cooperare o morire. Il caso dei falchi e delle colombe ....................................... 130
A proposito di giochi con più di due persone.................................................. ,................ 132
Giochi di n persone ................................................................................................................... .. 133
Giochi di cooperazione, alleanze e distribuzioni ...................................................... 135
Esempio 1 ..... .. . ......... . . .. ..................................................................................................... 135
Esempio 2 ................................................................................................................................... 135
136
Esempio 3 ............
Bibliografia ..............................................................................................................................................
139
Indice analitico
141
7
.
Non c'è nessuna branca della matematica,
per quanto astratta sia, che non si possa
applicare ogni giorno ai fenomeni del mondo reale.
N. Lobachevsky
Se la gente non crede che la matematica sia semplice, è solo
perché non si rende conto di quanto è complicata la vita.
John von Neumann
Prefazione
Qual è la relazione tra i giochi e la matematica? I giochi matematici sono solo un
divertimento o possono servire a modellizzare situazioni della realtà?
Quando si analizza un gioco dalla prospettiva della matematica, di quali con­
tenuti si ha bisogno e quali si possono apprendere? Può servire la matematica ad
analizzare aspetti del comportamento umano o a prendere decisioni?
Il libro che il lettore tiene in mano si propone di approcciare alcune di tali
questioni. Si tratta di un libro di matematica e di giochi che, a differenza di altri
libri dal tema simile, non propone una serie di giochi più o meno interessanti, ma
basa la sua struttura su un insieme di concetti, teorie e processi matematici che si
possono sviluppare partendo dall'analisi di diversi giochi.
Il modo di affrontare il tema del libro dimostra che le dicotomie come ma­
tematica seria o ludica, matematica pura o applicata, possono essere in realtà le
due facce della stessa medaglia, o forse meglio, le quattro facce di un tetraedro;
infatti lo studio matematico dei giochi, cosa che inizialmente appartiene al terre­
no ludico e la cui analisi genera matematica per puro piacere intellettuale, si può
trasformare attraverso la teoria dei giochi in una delle branche matematiche più
direttamente applicate.
In relazione alla struttura del libro, dopo un primo capitolo di carattere storico,
destinato a scoprire le relazioni che nelle varie epoche sono esistite tra giochi e
matematica, i due capitoli seguenti si occupano dei giochi nei quali non interviene
l'azzardo - giochi di completa informazione - e dei giochi d'azzardo propriamen­
te detti. Così, nel capitolo 2 si mostra, mediante esempi di piccoli giochi di strate­
gia, come si può analizzare un gioco per determinare il modo di vincere sempre
- strategia vincente - e quale matematica interviene in questa analisi.
Nel terzo capitolo si espone la matematica elementare dell'azzardo, a partire dai
giochi di scommesse che richiedono calcoli delle possibilità, la cui corretta deter­
minazione si incontra all'origine della teoria delle probabilità.
Gli ultimi due capitoli costituiscono una introduzione alla teoria dei giochi, la
branca della matematica iniziata da Von N eumann verso la metà del secolo XX,
che studia aspetti del comportamento umano per ottimizzare il modo di prendere
decisioni in campi tanto diversi come, tra gli altri, l'economia, la politica, le orga­
nizzazioni militari o l'evoluzione biologica.
La teoria utilizza i giochi come modelli matematici che simulano situazioni
reali negli ambiti menzionati.
11
PREFAZIONE
Una parte rilevante della teoria dei giochi è costituita dalla formulazione e
dall'analisi di certi dilemmi, come il gioco della gallina - fino a dove rischiare per
vincere? - o il dilemma del prigioniero - tacere o denunciare? - che propongono
situazioni limite, presenti in molti eventi del nostro mondo, dove la tensione tra
confronto e cooperazione rende difficile prendere le decisioni migliori.
La matematica, se anche non dà soluzioni conclusive a questi dilemmi, mostra,
attraverso la quantificazione delle diverse possibilità, quali sono i rischi del con­
fronto cieco e quali i vantaggi della cooperazione.
Capitolo 1
Breve storia delle relazioni
tra matematica e giochi
I.A vita merita di essere vissuta
per giocare ai più bei giochi [... ] e vincerli.
Platone
La matematica è una disciplina seria o ludica? Pura o applicata? Senza dubbio si
può rispondere a queste due domande dicendo che sono entrambe le cose in en­
trambi i casi: questa risposta potrebbe sembrare un voler evitare di prendere posi­
zione nella questione, per cui si cercherà di spiegare il significato della medesima.
La discussione se la matematica si sviluppi per se stessa, cercando di risolvere i
propri problemi, ovvero se si sviluppi a partire dai problemi proposti in altre disci­
pline o ambiti è molto antica; pertanto uno sguardo alla storia di questa disciplina
può aiutare a chiarire la questione. La matematica degli antichi Egizi e dei Babi­
lonesi era essenzialmente applicata e pratica, come testimoniano i documenti che
conosciamo; invece la matematica dei Greci, momento nel quale sorge l'essenza
di questa scienza - la necessità di dimostrare la verità dei propri risultati - è in
maggior parte una scienza pura riferita ad enti astratti, come i numeri e le formè;
senza dubbio incontra applicazioni molte volte inaspettate in diverse situazioni,'
sia nell'ambito quotidiano, sia in
quello di altre scienze.
Il carattere ludico di molti
giochi non esclude la
realizzazione di molti calcoli:
al contrario, nella maggior
parte dei casi, chi li realizza
meglio otterrà la vittoria.
13
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Si potrebbe dire che la matematica si sviluppa perché cerca di risolvere pro­
blemi o di rispondere a domande sul nostro mondo, nel significato più ampio del
termine. Però, dato che è una attività umana, essa è condizionata dalla cultura nella
quale si sviluppa ed è in suddetta cultura che si pongono le questioni rilevanti che
in ogni momento i suoi membri cercano di risolvere.
Matematica seria e ludica, matematica pura e applicata
John von Neumann, uno dei protagonisti di questo libro, nella sua conferenza The
role
oJ Mathematics in Science and Society affermò che molte delle grandi idee mate­
matiche sono state elaborate senza pensare alla loro utilità e neppure alle possibilità
che avrebbero avuto; invece, trascorso del tempo, le teorie, i modelli ed i metodi
sviluppati dai matematici si sono rivelati utili per risolvere problemi o rispondere
a domande nei più diversi ambiti della conoscenza. Allo stesso tempo, molte idee
matematiche hanno impregnato il mondo nel quale viviamo, perché questa scien­
za, apparentemente lontana dalla realtà, è presente in essa in forme diverse.
Von Neumann non si può assolutamente inquadrare nel gruppo di matematici
che non valutano o persino disprezzano le applicazioni di questa disciplina; non
per nulla egli è uno dei creatori della teoria dei giochi, una branca della matemati­
ca essenzialmente applicata, ed afferma che nella scienza molti risultati si sono ot­
tenuti quando i ricercatori hanno smesso di cercare ciò che avrebbe potuto essere
utile e si sono lasciati guidare da criteri di eleganza intellettuale. Di fatto, sottolinea
Neumann alla fine della sua conferenza, il progresso della scienza è stato superiore
alla ricerca strettamente utile dell'uomo, e questo laissez faire ha ottenuto risultati
straordinari nel campo della matematica.
Facendo un parallelo con la questione dell'utilità della matematica si potrebbe
parlare del carattere ludico di questa disciplina. Può una scienza spesso così astratta
essere allo stesso tempo tanto divertente? Ancora una volta la storia della mate­
matica ci illumina sulla questione. In questo capitolo si vedrà come la matematica
ricreativa, i giochi e, in generale, un certo aspetto ludico si sono manifestati pra­
ticamente in ogni momento della storia e sono stati anche presenti all'inizio della
creazione di nuove teorie, come la probabilità e, ovviamente, la teoria dei giochi.
Un indovinello, un gioco ed un problema matematico hanno qualcosa in co­
mune. Pongono una sfida intellettuale, la cui accettazione porta chi lo risolverà, o
il giocatore, a realizzare uno sforzo per risolverlo, o per vincere contro l'avversario.
Questo sforzo, che è visto dall'esterno come fastidioso e persino noioso, è per co14
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
loro che amano la matematica e le sfide intellettuali o i giochi in cui c'è da pensare,
una fonte di soddisfazione. Perché, come disse Miguel de Guzman, la matematica è
sempre un gioco, anche se è molte altre cose.
Molti giochi convenzionali sono analizzabili
dalla prospettiva della teoria dei giochi.
Ugualmente, il carattere ludico dei giochi da scacchiera - e forse ancor di più,
la sfida intellettuale alla loro base - ha una grande similitudine con la matematica,
dato che fare matematica si può trasformare in una attività veramente ludica e so­
prattutto intellettualmente stimolante.
Un breve percorso nella storia della matematica e dei giochi, dalla sua appari­
zione ai giorni nostri, ci mostrerà che l'elemento ludico è stato sempre presente
nelle varie epoche, dagli antichi Egizi al secolo XX. Benché la parola gioco si rife­
risca a qualsivoglia attività individuale o collettiva di carattere ludico, d'ora in poi si
distinguerà tra ricreazioni matematiche - che si denomineranno anche indovinello
.
.
o rompicapo - e gioco.
Mentre le ricreazioni sono problemi di carattere ludico da cercare di risolvere,
un gioco è una attività alla quale partecipano per lo meno due persone, dato che
il primo obiettivo dei giocatori è vincere contro gli avversari. In secondo luo­
go, quando si passa all'analisi del gioco, lo scopo sarà determinare le strategie per
vincere, qualora queste esistano - ciò che succede nei giochi finiti nei quali non
interviene l'azzardo - o, nel caso di giochi d'azzardo, le strategie che aumentano le
probabilità di vincere.
15
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Matematica e giochi fino al secolo XVII
Fin dalle sue origini, la storia della matematica è piena di riferimenti ai giochi e
agli aspetti ludici di detta disciplina. In realtà, da quando l'umanità ha iniziato a
praticare giochi e, parallelamente a sviluppare la matematica, e fino al XVII secolo,
non è possibile separare quella che si può chiamare propriamente matematica seria
da quella ludica o ricreativa, dato che in molte opere entrambi gli aspetti paiono
intrecciati.
Nel 1612 apparve in Francia il primo libro dedicato esclusivamente alla mate­
matica ricreativa, Problèmes plaisants et délectables qui se font par le nombres di Claude­
Gaspar Bachet de Méziriac. A partire da quel momento, i due ambiti della ma­
tematica iniziarono a separarsi, poco a poco, anche se i contatti continueranno
a essere numerosi: per esempio, all'origine della probabilità, grazie a Fermat o a
Pascal, negli interessi per i problemi ricreativi di grandi matematici - come New­
ton, Euler o Gauss - o nei lavori sui numeri di Edouard Lucas, fino ad arrivare alla
creazione della teoria dei giochi, verso la metà del XX secolo.
Giochi e matematica nell'antichità
Presso le due grandi civiltà dell'antichità, quella babilonese e quella egizia, quando
la matematica era essenzialmente di carattere pratico, si incontravano sia giochi da
scacchiera sia problemi di tipo ricreativo.
In riferimento ai primi, il Senet in Egitto ed il Gioco Reale di Ur in Babilonia
sono le prime due testimonianze di giochi da scacchiera giunte fino ai nostri gior­
ni. D'altra parte, in uno dei documenti più antichi di matematica egizia conosciuti,
il Papiro Rhind, datato circa 1650 a.C., scoperto nel tempio funerario di Ramsete
II verso il 1850 ed acquisito a Luxor da Henry Rhind nel 1856, oggi conservato al
British Museum di Londra, si trovano problemi pratici di calcolo, di distribuzione
e di misure, accanto a problemi matematici senza contesto che ricordano questioni
ricreative.
Per esempio, il problema 24 del papiro dice così: "Ah, il totale e la settima parte
fanno 19", enunciato la cui interpretazione attuale sarebbe: "Trova un numero tale
che sommato alla sua settima parte dia 19". Questo problema, la cui soluzione è
elementare utilizzando una equazione di primo grado, tecnica evidentemente sco­
nosciuta agli Egizi, è risolto dallo scriba Ahmes, autore del papiro, utilizzando un
interessante processo chiamato Metodo della falsa posizione che gli antichi utilizzava16
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
La regina Nefertari, sposa di Ramses Il, rappresentata mentre gioca una partita di Senet.
La scena decora una delle pareti dell'anticamera della sua tomba.
no spesso per risolvere molti problemi di aritmetica e che in questo caso si applica
così: Ahmes immagina che 7 sia la soluzione e fa la seguente operazione: 7 + 7
1/7 = 8. Dato che il risultato non è 19, egli cerca per quanto deve moltiplicare 8
per arrivare a 19; come dire che divide 19 per 8, cosa che nello stile egizio diventa:
17
BREVE HISTORIA DE LA RELACIÒN ENTRE MATEMATICAS Y JUEGOS
(8 x) 2 ------------------- 16
(8 x) 114 ------ 2
(8 x) 1/8 ---------------- 1
Da cui si deduce che: 19:8 = 2 + 1/4 + 1/8.
Dunque moltiplica 7 per: 2 + 1/4 + 1/8, e ottiene 14 + (1 + 1/2 + 1/4) + (1/2
+ 1/4 + 1/8) = 16 + 1/2 + 1/8, risultato che oggi si esprimerebbe 16 + 5/8, ossia
16,625.
SENET, UN GIOCO MILLENARIO
Uno dei giochi da scacchiera più antichi che si conoscano si chiama Senet. Sappiamo che era pra­
ticato dagli antichi Egizi per i molti resti archeologici trovati sia in tombe reali sia popolari, dove
ci sono pitture e mosaici che mostrano giocatori di Senet. Senza dubbio non conosciamo con
precisione le regole, anche se disponiamo di una ricostruzione realizzata nel 1991 da T. Kendall
e R. May, i quali sottolineano che il Senet ebbe una grande importanza nei riti funebri, fino al
punto che il defunto doveva giocare una partita col destino in presenza del dio Osiris. Persino nel
Libro dei Morti si suggerisce che la vita nell'aldilà dipenda dal risultato di questa partita. Il gioco,
tra due competitori, consiste in una gara per prendere dalla scacchiera le 7 pedine di ciascun
giocatore. Al posto dei dadi si utilizzano 4 bastoncini, piatti da un lato e convessi dall'altro, che
si lanciano simultaneamente, ottenendo 5 risultati possibili, secondo il numero dei bastoncini
che mostrano il lato piatto.
Scacchiera di Senet,
con il primo movimento
delle pedine. Di lato, i 4
bastoncini che si utilizzano
al posto dei dadi.
18
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
IL GIOCO REALE DI UR, PIÙ DI 4000 ANNI DI STORIA
Col Senet egizio, questo gioco da scacchiera è uno dei più antichi conosciuti. Una preziosa scac­
chiera trovata nella città sumera di Ur, scoperta dall'archeologo britannico sir Leonard Wooley
verso il 1920, risale a più di 4000 anni fa. Oggi è conservata al British Museum di Londra. Si
presume che fosse un gioco praticato dai re e dalla nobiltà, ed il fatto che si sia trovata in tombe
fa pensare che accompagnasse il defunto perché questi potesse giocare nell'aldilà.
Come nel caso del Senet, non conosciamo neppure le sue regole, anche se grazie ai resti trovati
°(oltre alla scacchiera, una serie di pedine in madreperla e ardesia, 7 bianche e 7 nere, e sei dadi a
forma di piramide triangolare regolare) si presume che fosse un gioco da gara. La forma curiosa
della scacchiera, 20 caselle che formano due rettangoli di 3 x 2 e 3 x 4, uniti da un altro di 1 x 2,
ha suggerito il percorso che dovevano seguire le pedine.
Scacchiera del Gioco reale di Ur, con indicato
il primo movimento per ciascun giocatore.
Il lettore osserverà due caratteristiche della matematica egizia, il modo di ope­
rare e l'uso delle frazioni.
Per fare la divisione, lo scriba Ahmes cerca tre potenze di 2 che ammontino
a 19, le quali sono: 16, 2, 1; trova l'ottava parte di ciascuna, 2, 1/4, 1/8, e somma
questi valori.
19
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Per il calcolo con frazioni, lo scriba ha utilizzato solo frazioni unitarie, chiamate
anche "egizie", che hanno per numeratore l'unità. Questa curiosa aritmetica creata
dagli Egizi per il calcolo con frazioni è stata oggetto di studio in epoche diverse
da parte di insigni matematici, tra i quali Leonardo da Pisa, chiamato Fibonacci
(1175-1250) uno dei grandi matematici medievali e il primo che abbia dimostrato
la praticabilità del metodo egizio; l'inglese James Joseph Sylvester (1814 - 1897)
che trovò nuovi metodi per esprimere una frazione somma di frazioni unitarie e
l'ungherese Paul Erdos (1913-1996), uno dei matematici più prolifici del secolo
XX, interessato soprattutto alla teoria dei numeri, che formulò numerosi problemi
aperti in relazione con le frazioni egizie e ne risolse alcuni.
Giochi e matematica nel Medioevo
In questo rapido percorso nelle relazioni tra matematica e giochi, nel quale si di­
stinguono solo alcuni momenti più interessanti, facciamo un gran salto per arrivare
al XIII secolo, nel quale visse Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, (1175-1250) au­
tore del Liber Abaci (1202), opera che introdusse in Occidente il sistema di nume­
razione posizionale decimale. In questo testo si trova il famoso problema della ri­
produzione dei conigli, che genera l'interessante successione: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34.... conosciuta come "successione di Fibonacci". La sua legge è molto semplice
(dopo i primi due termini che sono 1, ciascun termine è la somma dei due pre­
cedenti), ma propone proprietà affascinanti, come la sua relazione con il numero
aureo (cf.>=(1+ )/2), che risulta essere il limite della successione an I a n-t' quando
n tende ad infinito, dove a è il termine generale della successione di Fibonacci.
In una delle sue opere principali, Liber quadratorurm (Il libro dei quadrati), pubbli­
cato nel 1225, Fibonacci commenta il torneo matematico che ebbe luogo alla cor­
te di Federico II di Sicilia, nel quale affrontò Giovanni da Palermo e lo sconfisse.
Queste sfide, autentici tornei intellettuali di stile medievale, consistevano nel
proporre una serie di problemi all'avversario e nel vedere chi era capace di risol­
verne il maggior numero in meno tempo, con l'unica condizione che il parteci­
pante che proponeva un problema all'avversario doveva saperlo risolvere.
Uno dei problemi spiegati da Fibonacci è il seguente: trovare un numero tale
che se sommiamo o sottraiamo 5 al suo quadrato otteniamo in entrambi i casi
numeri quadrati. Curiosamente, 1225, l'anno della pubblicazione del libro, è un
quadrato perfetto (il precedente sarebbe 1156 ed il successivo 1296), l'unico anno
con tale caratteristica vissuto da Fibonacci.
✓5
20
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Ali'epoca di Fibonacci, l'erudito arabo Ibn Kallikan fu il primo a spiegare la
nota leggenda sull'inventore della scacchiera: La storia di Sissa ben Dahir e del re
indiano Shirham (1256). Secondo la leggenda, Sissa, l'inventore della scacchiera, ot­
tenne di intrattenere il re Shirham che gli concesse in dono ciò che desiderava.
Sissa chiese al re un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, 2 per la
seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, e così, raddoppiando ogni volta, fino alla
casella 64. Il re considerò la richiesta di Sissa molto piccola fino a che non si rese
conto che non avrebbe mai potuto esaudirla. In effetti 2° + 2 1 + ... + 262 + 263 + 264
- 1 = 18.446.744.073.709.551.615, più di 18 trilioni, quantità di grano che supera
di gran lunga la produzione annuale mondiale di grano.
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BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Sempre nel secolo XIII, esattamente nel 1283, apparve il Libro dei giochi, com­
nissionato dal re Alfonso X il Saggio.
Anche se nel libro ci si occupa più di giochi che di aspetti matematici, è in­
eressante l'analisi che si intraprende per avere un'idea del tipo di giochi (tanto
l'azzardo quanto di strategia) che si praticavano a quell'epoca, ed il livello di co­
Loscenza raggiunto sulle strategie per vincere. Oltre agli scacchi ed a vari giochi
li strategia, il libro commenta I'Alquerque, uno dei giochi di strategia, cioè senza
zzardo, più antichi conosciuti.
IL LIBRO DEI GIOCHI DI ALFONSO X IL SAGGIO
Nel 1283 il re Alfonso X il .Saggio commissionò un testo conosciuto come Il Libro dei Giochi e
anche come Giochi diversi da scacchiera, dadi e pedine. li libro è costituito da 98 pagine con
150 illustrazioni a colori e si occupa dei principali giochi da tavolo conosciuti alla sua epoca,
come gli scacchi, l'alquerque, i giochi di dadi e pedine, una famiglia di giochi che include anche
il backgammon.
L'unico originale conservato si trova nella Biblioteca del Monastero dell'Escorial. Il valore di
questo libro, che è il più antico sui giochi in Occidente, è enorme, sia per il suo contenuto, che
ci permette di conoscere i giochi praticati nella Penisola Iberica da circa 800 anni, sia per le
magnifiche illustrazioni.
Illustrazione del Libro dei Giochi di Alfonso X il Saggio
che mostra il gioco dell'alquerque.
22
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
L'ALQUERQUE, ANTICO GIOCO DI STRATEGIA
Con questo nome si conosce un gioco per due giocatori, descritto nel Libro dei Giochi di Alfonso
X, che si pratica con una scacchiera quadrata di 5 x 5 con 12 pedine per ciascun giocatore, che
si collocano lasciando la casella centrale vuota. Per l'obiettivo del gioco - eliminare le pedine
dell'avversario - e soprattutto per il modo di farlo, è chiaramente un predecessore del gioco
della Dama.
Il riferimento scritto più antico si trova in un manoscritto
arabo del secolo X, il Kitab al-Aghani, dove è citato con
il nome di AI-Quirkat, cosa che ci fa dedurre che arrivò
nella Penisola Iberica tramite gli Arabi. Senza dubbio,
ci sono elementi che fanno pensare che il gioco possa
essere più antico: da un lato, si sono trovate scacchie­
re più antiche, incise nel suolo in siti archeologici, che
sicuramente sono servite per praticare il gioco; d'altra
parte, esistono molteplici varianti con lo stesso tipo di
scacchiera in Marocco
ed in India, e con scac­
chiere diverse in India ed
in Sri Lanka, oltre ad altri
giochi, fra cui la Dama,
come il Fanorona del
Madagascar o l'Awithla­
knanriaì degli lndios Zuni
dell'America del Nord.
Da/l'alto, le posizioni iniziali nel gioco de/l'Alquerque, del Fanorona e dell'Awithlaknannai.
23
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Matematica e giochi nel Rinascimento
La matematica rinascimentale è rappresentata da un gruppo di matematici cono­
sciuti come gli algebristi italiani, tra i quali si incontrano Tartaglia, Cardano, Bom­
belli, Ferrari e Del Ferro, i cui principali apporti riguardano il campo dell'algebra,
e in particolare la soluzione di equazioni. Nell'ambito della matematica e dei gio­
chi bisogna citare soprattutto Tartaglia e Cardano. Nicolò Fontana (1499-1557),
detto Tartaglia, autodidatta e professore di matematica, è noto per avere trovato un
metodo generale per risolvere le equazioni di terzo grado.
Fu anche il primo traduttore in italiano delle opere di Euclide e Archimede. La
sua sfida matematica contro Scipione Del Ferro, con lo stile dei tornei medievali
- che vinse risolvendo tutti i problemi che questi gli aveva proposto, la maggior
parte dei quali richiedevano la soluzione di equazioni di terzo grado - fece sì che
Cardano gli chiedesse la formula per risolvere queste equazioni: Tartaglia si ac­
cordò con Cardano e questi non esitò a pubblicarla, cosa che provocò una grande
rabbia al suo inventore.
Q__V E ·s· I T
. ET INVENTIONI
1,-
DIVERSE
D E N I C O LO:_ T ART A G L I A;
Di oouo �fiampatt con vu.a G1ona.al fofio libro. nel!� qn:1.Ie ii
moftra duoj modi di rcdurvna Cirtà iacfpugn2bilc.
� i!'!i/W,n!, � t�ntintntia "!, tuttttfopranel fegsmtefog!io fi
_trouara nctat,c..,.
Frontespizio di Quesiti et inventioni diverse (1546) di Nicolò Tartaglia.
24
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
GEROLAMO CARDANO (1501-1576)
Medico, matematico, astronomo, astrologo e, tra le altre cose, giocatore, Cardano, con Tartaglia,
Del Ferro, Ferrari e Bombelli, è uno dei matematici che contribuì allo sviluppo dell'algebra in Italia
nel secolo XVI. La sua vita è ben nota grazie alla sua stessa autobiografia De vita propria, nella
quale ci racconta vari episodi dettagliati. A differenza di molti suoi contemporanei, Cardano
raggiunse una certa fama, specialmente come medico. Come un vero rinascimentale, si interessò
delle più varie scienze, utilizzando la ragione per progredire in ogni sapere della sua epoca, anche
se in alcuni momenti non riuscì a liberarsi di un certo grado di ingenuità, irrazionalità e persino
superstizione, cosa che rende la sua figura altamente contraddittoria.
Tra le sue opere matematiche si distingue l'Ars Magna, pubblicata nel 1545, una delle opere
chiave dell'algebra rinascimentale. In precedenza, nel 1539, aveva scritto un altro libro intitolato
Practica Arithmetica. Inoltre è l'autore di uno dei primi libri sui giochi e la matematica, il Liber
de ludo aleae (!I libro dei giochi d'azzardo), nel quale avvicina per la prima volta problemi sulla
probabilità in relazione ai giochi di dadi, con soluzioni a volte ingegnose, però spesso scorrette.
Quest'opera fu scritta da Cardano verso il 1564; però non fu pubblicata che nel secolo succes­
sivo, con l'occasione dell'apparizione
della sua opera completa. L:opera, che
si dovrebbe considerare come la prima
nella quale si parla di probabilità, non
ebbe la risonanza dei lavori di Pascal e
Fermat, la cui corrispondenza si consi­
dera come l'inizio dello studio matema­
HIERONYMI CAR
DANI, PR.IESTANTISSIMI MATHE
)I A T l C r,- P R 1 L O I O P Jl 1,, A C
J4 B J> I C ••
AR TIS MAGNfE,
SIVE DE REGVLIS ALGEBRAICIS,
Lib.unus. Qui & cotius operi• d< Arithmcàa, quod
OPVS PERFECTVM
infaiplìr,dl:ìn ordiuc Dcdm111.
tico del caso attraverso la teoria della
probabilità.
H
Frontespizio del trattato Ars magna di
Gerolamo Cardano.
Abeslnbodlbro,fh1diofé Ld!or,Rcgufas Afg,!,,.iiras rftali, dcfa Cof
fa uocant) nouit adinumrionibus ,acaemonfirarlonibus ah Authorc ita
Iontpletatils,ut pro pa.uadis amea uutgd tritis,(am feptuagintaara!érim.Ne­
'J folum , uhi 1mus numerus almi,am duo unt,umim ttiarn,ubiduo duobus.
aut tm: nni fqlllles fottint,nodumc-xplicant.
Huncail, librumideo fe:or�
fim «krr pJacuir,ut hoc abftrufiisimo, & plani! imxhaufio rotius Arithmcd
e.e thefauro in lucan tnno, & qnafi in chcatro quodam omnibus ad fpcd:an
du:m expofit0, Ltdotu indr.nétur,ut rdiquos Operis Ptrfcdi!tbros, qui pct
Tomos«kruur,1anco auid.iusampkdantur,ac minotchtlidio padifom.t,
25
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Anche se Tartaglia non analizzò specificatamente i giochi d'azzardo nel senso in
cui lo fece Cardano, pubblicò un libro Quesiti et inventioni diverse (1546), nel quale
propose enigmi e problemi, alcuni dei quali molto conosciuti e spesso riproposti
persino ai giorni nostri, come i seguenti:
Un uomo ha 17 cavalli e li vuole lasciare in eredità ai suoi tre figli nella pro­
porzione di 1/2, 1/3 e 1/9; come si divideranno i cavalli?
Un uomo ha tre fagiani e vuole dividerli tra i due genitori e i due figli in
modo che ciascuno abbia un fagiano; come ci riuscirà?
Senza dubbio, uno dei primi matematici che analizzò con una certa correttezza
i giochi d'azzardo fu Cardano, forse il più brillante e versatile tra tutti i matematici
della sua epoca, anche se la sua opera riguardo ai giochi non vide la luce fino al se­
colo successivo alla sua elaborazione: per questo motivo non ebbe la risonanza che
meritava. Fu il primo a proporre il cosiddetto "problema dei punti", dandone una
soluzione sbagliata, centrata sul punteggio di ciascun giocatore e non sulle pro­
babilità di vincita di ciascuno di questi. Questo problema è uno di quelli studiati
nella corrispondenza tra Pascal e Fermat, del quale si parlerà nel capitolo 3.
Accanto agli algebristi italiani bisogna menzionare Nicolas Chuquet, matema­
tico francese che nella sua opera Triparty en la science des nombres (1484) introdusse
problemi ricreativi, essendo l'iniziatore dei cosiddetti "problemi dei travasi", uno
dei quali dice così:
Abbiamo due brocche, una di capacità di 3 pinte e l'altra di 5. Come possia­
mo lasciare esattamente 4 pinte nella più grande, facendo i travasi necessari,
sapendo che nessuna delle brocche ha dei segni che ci permettano di cono­
scere il volume, se non quello indicato quando le brocche sono piene?
Infine bisogna citare Robert Recorde (1510-1588), matematico gallese che,
come Cardano, ebbe una vita burrascosa e come tutti gli uomini di scienza del
Rinascimento avvicinò varie materie, come l'astronomia o la medicina.
Recorde è noto perché nella sua opera The Whetstone cifWitte (1557) utilizzò
per la prima volta il segno"=", commentando, a proposito dello stesso, che non c'è
nulla di più uguale che due rette parallele. Anche se ai nostri giorni sarebbe diffici­
le immaginare l'algebra senza l'uso di questo simbolo, è certo che fu necessario far
26
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
passare parecchio tempo perché diventasse usuale, coesistendo fino al secolo XVIII
con altri come "ae" (inizio della parola aequo). In quest'opera ci sono problemi ri­
creativi che nella maggior parte dei casi si risolvono utilizzando l'algebra.
I giochi matematici dal secolo XVII ad oggi
Benché, come si è visto, la matematica seria e quella ludica siano coesistite fin
dall'inizio di questa scienza, il punto di partenza della matematica ricreativa come
area indipendente, includendo l'analisi dei giochi, si pone al principio del secolo
XVII. Come si è detto al principio del paragrafo precedente, nel 1612 apparve il
primo grande libro dedicato esclusivamente alla matematica ricreativa, Problèmes
plaisants et délectables qui se font par les nombres di Claude-Gaspar Bachet de Mézi­
riac (1581-1638). Questo matematico, poeta e traduttore, uno dei primi membri
dell'Accademia Francese, è noto, oltre che per il suo libro di ricreazioni, per esse-
DIOYHANTI
ALEXAND'itINI
.ARITHMETICORVM
L 11} RJ s E'X,
·, . .
E� DE NVMER.IS .llfVL'l".4Nq'fTLIS
L t)j E i( V N vs..
:J\(f!.11, primùm CrM¾ 'ey L.i1inè tJìij � 11tq11_t db[drttij?imì.s
Commmw·ii6 ìll11jlr;1tì.
AVCTOIU CLAVDIO
M.E.2.J!t.lACO
GASPAllE B,ACHETO
S&JVSIA.NO,V.C.
!
LVTETIAE PARISIORVM.
�umptibus
S FB A sTI ANI
C R. A M O I S Y,
lac;obifa, fub Cicolliir.
M.
via
òc. xxi:
C/'M 'PRJ'fT/LEGJ() REC/J.
Frontespizio della versione latina del/'Arithmetica di Diofanto
commentata da Bachet de Méziriac.
27
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
re l'autore di una versione latina commentata dell'Arithmetica di Diofanto (1621),
scritta originariamente in greco; su uno dei vari esemplari, Fermat annotò su un
margine la sua celebre congettura (parleremo approfonditamente di Fermat nel
capitolo 3).
L'apogeo degli svaghi matematici: i secoli XVII e XVIII
L'opera di Bachet de Méziriac è un compendio della matematica ricreativa del suo
tempo; vi si trovano ricreazioni note, come "il lupo, la capra ed il cavolo", quadrati
magici, questioni sui numeri interi o problemi sui pesi, come il seguente: trovare il
numero minimo di pesate, ed i rispettivi pesi, per determinare il peso di un oggetto
il cui valore sia un numero intero tra 1 e 40, con una bilancia a due piatti.
A partire da questo momento, nello stesso secolo XVII apparvero diverse opere
dello stesso genere. Nel 1624 Henry van Etten, pseudonimo del gesuita francese
Jean Leurechon, pubblicò Récréations mathématiques, opera simile a quella di Bachet
che però ottenne maggior fortuna e fu da modello per opere successive, tra le quali
quella di Claude Maydorge, pubblicata nel 1630 in Francia e che già nel 1633 era
tradotta in inglese, o quella di Daniel Schwenter pubblicata nel 1636 in Germania.
Ritratto del matematico e linguista Daniel Schwenter.
28
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
L'opera che ebbe maggiore influenza nei secoli XVIII e XIX fu quella di Jacques
Ozanam, Récréations mathématiques et physiques, revisionata e ampliata dal matemati­
co e storico della scienza Jean E. Montucla nel 1725.
Nel secolo XVIII si deve citare l'opera di William Hooper Rational Recreations
(1774), nella quale apparve il primo dei Vanishing Paradoxes, un buon esempio di
come un rompicapo apparentemente semplice può portare all'applicazione di inte­
ressanti proprietà matematiche.
Sebbene siano stati citati principalmente quei matematici che dedicarono opere
specifiche al mondo dei giochi e delle ricreazioni matematiche, non possiamo di­
menticare che molti dei grandi matematici dal secolo XVII al XIX posero e risol­
sero problemi ricreativi che si sarebbero trasformati in classici del genere; tra questi,
forse i tre migliori sono Isaac Newton (1642-1727) Leonhard Euler (1707-1783)
e Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Newton, nella sua Arithmetica Universalis, scritta in latino nel 1707, introdusse
problemi ricreativi elementari accanto a contributi rilevanti per la matematica.An­
che se il più noto è il "problema delle mucche", di seguito citiamo come esempio
un problema di probabilità riferito al gioco d'azzardo. Si lanciano simultaneamente
un certo numero di dadi non truccati; quale delle tre seguenti possibilità ha mag­
giore probabilità di successo?
a) Si ottiene, almeno, un 6 lanciando 6 dadi.
b) Si ottengono, almeno, due 6 lanciando 12 dadi.
c) Si ottengono, almeno, tre 6 lanciando 18 dadi.
Il lettore non avrà alcuna difficoltà a risolvere il problema dopo averne risolti
altri simili proposti nel capitolo 3.
Euler, forse il matematico più prolifico, è autore di numerosi studi di carattere
ricreativo, come quello dedicato ai quadrati greco latini, anche chiamati "euleria­
ni", nell'ambito dell'analisi combinatoria. Si tratta di un tipo di quadrati magici nei
quali n simboli si devono disporre in un quadrato di n X n caselle, in modo che in
ciascuna fila ed in ciascuna colonna appaiano tutti i simboli; si può dire che siano
i veri precursori degli attuali sudoku. Senza dubbio, la sua ricreazione più nota è il
"problema dei ponti di Konigsberg", che Euler pubblicò in latino nel 1759 nelle
memorie dell'Accademia delle Scienze di Berlino e che sta all'origine della teoria
dei grafi. Un grafo è una rappresentazione grafica che rappresenta una relazione tra
elementi di un insieme formato da punti (elementi dell'insieme) e archi che uni29
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
scono i punti (elementi collegati); la teoria dei grafi si utilizza soprattutto per porre
e risolvere problemi di ottimizzazione.
Il problema dei ponti di Konigsberg chiede se sia possibile realizzare un percorso a piedi
che inizi in una qualsiasi delle quattro parti di terraferma e incroci tutti i ponti
una sola volta. Euler dimostrò che tale percorso non esiste e stabilì le condizioni
che permettono di conoscere a priori se un percorso sarà possibile o no.
Infine, Gauss, oltre ai suoi grandi contributi per la matematica, dedicò una pic­
cola parte del suo tempo allo studio di problemi ricreativi, tra i quali quello chia­
mato "problema delle otto regine": situare in una scacchiera otto regine in modo
che nessuna possa minacciare l'altra, trovare il numero di soluzioni e generalizzare
il problema per n regine in una scacchiera di n X n caselle. Utilizzando inizial­
mente un metodo intuitivo che poi sistematizzò convertendolo in un problema di
permutazioni, Gauss verificò che il problema delle otto regine aveva 92 soluzioni.
a
b
e
d
e
f
h
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
a
b
e
d
e
f
g
h
In questa scacchiera di 8x8 si mostra una delle
numerose soluzioni al problema delle 8 regine.
30
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
IL PARADOSSO DI HOOPER
In questo puzzle si parte da un quadrato di lato 8 unità, diviso in due triangoli e due trapezi e
con questi quattro pezzi si forma un triangolo di 5 unità di larghezza e 13 unità di lunghezza.
Se questo fosse possibile, risulterebbe che l'area del quadrato (64 u') sarebbe uguale a quella
del rettangolo (65 u'), cosa che "dimostrerebbe" che 64 è uguale a 65: il lettore troverà l'im­
possibilità di "coprire" il rettangolo e dove si nasconde il "buco" di area 1 u'.
Se si considera che con ciò il paradosso è già risolto, questo non smetterà di essere una semplice
curiosità matematica. È possibile analizzare il problema con più attenzione, e vedere che questo
va molto al di là. In effetti, se si osservano le lunghezze delle diverse figure e si ordinano, si otter­
ranno i numeri 3, 5, 8, 13, che sono termini della successione di Fibonacci. Una delle proprietà
di questa successione dice che il quadrato di un termine è uguale al prodotto del precedente per
il successivo più (o meno) 1, come dire: a; =an_, -an+1 +(-1)n+1. Questo spiega che, prendendo un
quadrato che abbia per lato un termine della successione di Fibonacci e un rettangolo i cui lati
siano i termini precedente e successivo, si può costruire questo puzzle paradosso. Il paradosso
è risolto e il puzzle costruito correttamente,
se si ricorre al numero aureo (<I>), spesso in
relazione alla successione di Fibonacci: se si
prende un quadrato di lato <I> con i quattro
pezzi, come prima, si forma un rettangolo
di lato 1 e <I>+ 1. Ora è possibile e l'area del
quadrato (<1>2 ) è uguale a quella del rettan­
golo che è 1 ·(<I>+ 1).
Il paradosso di Hooper propone che con i
due triangoli ed i due trapezi contenuti nel
quadrato si formi un rettangolo.
31
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Matematica ricreativa e giochi nei secoli XIX e XX
I giochi e la matematica ricreativa continuarono a svilupparsi durante il secolo
XIX e all'inizio del secolo XX, aumentando enormemente i propri contenuti. Tra
gli autori del secolo XIX bisogna citareJamesJoseph Sylvester (1814-1897),Lewis
Carroll (1832-1898), Édouard Lucas (1842-1891) e WalterW Rouse Ball (18501925). Dato che non è possibile citare le opere di tutti questi, menzioniamo solo le
più rilevanti, trattando in dettaglio i lavori di Carroll e di Lucas.
Il reverendo Charles Ludwig Dogson, noto come Lewis Carroll, l'autore del
racconto di Alice, fu matematico e professore a Oxford. La sua grande passione per
la matematica ludica lo portò a progettare una collezione di libri che non com­
pletò, con il titolo di Curiosa Mathematica. Nel secondo di questi, chiamato Pillow
Problems, mostra il suo ingegno nel risolvere problemi, anche se il livello di difficol-
Il famoso autore di Alice nel Paese delle Meraviglie, Lewis Carro//,
ideò anche molti giochi matematici.
32
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
tà di questi va dal semplice scherzo (ho due orologi, uno fermo e uno che ritarda
di un minuto; quale dei due segna meglio l'ora?), fino a difficoltà notevoli (dati tre
punti a caso su un piano infinito, qual è la probabilità che formino un triangolo
ottusangolo?).
Carroll, oltre che ingegnoso inventore di giochi matematici e logici, fu un
grande conoscitore della lingua, come dimostra nelle sue pagine dedicate ad Alice,
con i numerosi giochi di parole che inventò. Uno di questi, chiamato Word Ladder,
consiste nel passare da una parola all'altra cambiando ogni volta solo una lettera, in
modo che tutte le parole intermedie abbiano un significato; per esempio, per pas­
sare da COSA a NIDO una possibile soluzione poterebbe essere: COSA - COSO
- CONO - NONO - NODO - NIDO.
Sicuramente il più importante analista di giochi e di ricreazioni matematiche di
quest'epoca fu Édouard Lucas, matematico francese, specialista della teoria dei nu­
meri, che lavorò soprattutto sulla successione di Fibonacci e che fu l'autore di un
eccellente compendio, Récréations mathématiques. L'opera contiene 35 lavori, alcuni
dedicati ali'analisi matematica dei giochi e altri temi ricreativi. Tra i giochi origina­
li inventati da Lucas si distingue quello noto come "le torri di Hanoi", che l'autore,
per seminare dubbi sulla sua origine, attribuì nella sua presentazione del 1883 ad
un antico professore cinese chiamato Mr. Claus della scuola di Li-Sou-Stain; si può
notare che Claus è un anagramma di Lucas e Li-Sou-Stain lo è di Saint Louis, il
liceo dove Lucas era professore di matematica.
Una delle ultime opere di matematica ludica del XIX secolo è intitolata Mathe­
matical Recreations and Essays (1892) di Walter W Rouse Ball; durante il XX secolo
è stato uno dei libri che ha più influenzato la matematica ricreativa, con più di 12
edizioni, una delle quali revisionata e aggiornata nel 1938 dal matematico speciali­
sta in geometria Harol Scott Coxeter.
La posizione iniziale nel gioco delle torri di Hanoi.
33
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
IL "JEUX MILITA/RE"
Uno dei giochi analizzati da Édouard Lucas nel terzo volume delle sue ricreazioni matematiche
appartiene al gruppo di giochi di assedio o di accerchiamento, come il medievale "cercare la
lepre" (dal libro di Alfonso X), "la volpe e le oche" (molto popolare nell'Inghilterra vittoriana e
già conosciuto nel secolo X0/), o di assalto, di origine francese.
Il "jeux militaire" è un gioco per due giocatori, senza azzardo, che ebbe grande successo nei
circoli militari francesi nel secolo XIX. Un giocatore ha tre pedine bianche e l'altro, che inizia il
gioco, ha solo una pedina nera; le pedine si dispongono su una scacchiera di 11 caselle (vedere
il disegno con la posizione iniziale). l'obiettivo delle pedine bianche è di immobilizzare la nera,
che cerca di scappare; però, mentre la nera può muoversi in qualsiasi direzione, le bianche non
possono retrocedere.
il gioco, apparentemente semplice, è molto sottile e, sebbene all'inizio si possa pensare che
la nera sia in grado di scappare, l'analisi esaustiva realizzata da Lucas mostra che esiste una
strategia vincente per le pedine bianche, che dispongono sempre per lo meno di una mano che
impedisce alla nera di scappare. l'analisi del gioco mostra che sono necessarie al massimo 12
mani: il gioco st riduce essenzialmente a 16 partite distinte. Sembra impossibile che un gioco
tanto ridotto possa esigere tanta precisione da parte del giocatore che muove le pedine bianche,
dato che senza dubbio può sempre vincere, se scopre come farlo.
La posizione iniziale del "jeux militaire".
Il passaggio tra i secoli XIX e XX è segnato dalle opere dei due autori forse
più prolifici di tutti i tempi nel campo della matematica ludica: l'inglese Henry E.
Dudeney (1857-1930) e lo statunitense Sam Loyd (1841-1911). Molte delle ricre­
azioni note oggigiorno e che godono del gradimento del pubblico attuale sono
riunite nell'immensa opera di questi due grandi autori.
34
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
Henry E. Dudeney è l'autore, tra gli altri, dei libri The Canterbury Puzzles
(1907) e Amusements in Mathematics (1917); quest'ultimo contiene una delle mi­
gliori e più varie collezioni di ricreazioni matematiche di tutta la storia.
Il "problema del merciaio" di Henry E. Dudeney, che risolve la questione di come tagliare
un triangolo equilatero in quattro pezzi per formare un quadrato.
Nella grande collezione di rompicapo creati da Dudeney si distinguono i crit­
togrammi, operazioni nelle quali i numeri sono indicati da lettere e nelle quali
bisogna sostituire ciascuna lettera con una cifra, in modo che a lettera uguale cor­
risponda cifra uguale. Il crittogramma più noto è quello che si trova in una lettera
che un ragazzo mandò a suo padre chiedendogli denaro con la seguente scritta:
SEND +MORE= MONEY Il lettore deve sostituire ciascuna lettera con una ci­
fra in modo che la somma indicata sia corretta (l'unica soluzione del crittogramma
è: 9.567 + 1.085 = 10.652).
Sam Loyd pubblicò gran parte dei suoi problemi in periodici e riviste del suo
tempo e fu suo figlio, Sam Loyd Junior, che compendiò gran parte della sua opera
nel 1914, poco dopo la sua morte, con il curioso titolo Sam Loyd 's Cyclopaedia oJ
5000 Puzzles, Tricks and Conundrums. Tra i rompicapo di Loyd si trova la nota ri­
creazione che consiste nell'unire 9 punti formando una trama quadrata di 3 X 3
con 4 segmenti retti tracciati senza sollevare la matita (lo stesso con 16 punti, 4 X 4,
e 6 segmenti) o le numerose strutture nelle quali bisogna collocare certi numeri
perché si verifichino certe condizioni. Per esempio, collocare i numeri da 1 a 8 ai
vertici di un cubo in modo che la somma dei 4 vertici che formano ciascuna faccia
sia la stessa.
35
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
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9
Pagina della 5am Loyd's Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums.
La tradizione creata da Dudeney e Loyd continuò durante il secolo XX e tra gli
autori principali della prima metà del secolo si distinse Maurice Kraitchik (18821957), autore di vari libri di giochi ed editore della rivista belga Sphynx. Dopo la
Seconda Guerra Mondiale e per molti anni ancora, il panorama è stato dominato
da un altro grande creatore e redattore, Martin Gardner (1914-2010), autore di un
gran numero di libri e articoli pubblicati in più di 25 anni nella rivista di divulga­
zione scientifica Scientific American.
Poco prima della sua morte, Gardner pubblicò revisioni delle sue opere, in to­
tale più di 70 libri, tra i quali Origami, Eleusis and the Soma Cube, che presentò nel
2008. Oltre alle sue creazioni fece conoscere i giochi e le ricreazioni più interes­
santi e nuove, come il "gioco della vita" di John Conway (1970) o Eleusis di Ro­
bert Abbott (1956).
Altri autori importanti del XX secolo sono Yakov Perelman, il principale espo­
nente della scuola russa; il francese Pierre Berloquin e gli inglesi Ian Stewart, Brian
Bolt e David Wells. Tutti questi sono autori di numerosi libri e collaboratori di
diverse riviste periodiche.
Meritano attenzione anche alcuni autori spagnoli, che come i precedenti han­
no provato ad avvicinare la matematica al grande pubblico, attraverso libri e articoli
36
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
ELEUSIS, UN GRANDE GIOCO DI ROBERT ABBOTT
Se un gioco si definisce con un obiettivo e alcune regole, Eleusis non assomiglia a nessuno, dato
che il suo obiettivo, indovinare la regola proposta da uno dei giocatori, è differente in ciascuna
partita. Possono giocare da 4 a 8 giocatori, e bastano 3 mazzi di carte e alcuni gettoni. Una
partita consta di tante mani quanti sono i giocatori. In ciascuna mano un giocatore distinto fa
da mazziere (si trasforma in "dio", il creatore della regola) dà 14 carte agli altri giocatori e mette
una carta sulla tavola; in precedenza, ha scritto su un foglio una regola segreta che permette di
formare una sequenza di carte. Esempi di regole molto semplici sono rosso-nero o pari-dispari,
anche se esiste un'infinità di regole: dopo il rosso, pari e dopo il nero, dispari; o anche quattro
carte pari di semi diversi o quatto dispari dello stesso seme.
Al creatore della regola, in accordo col punteggio del gioco, interessa che la regola non sia
evidente, però neppure troppo difficile, dato che se nessuno la scopre otterrà pochi punti.
I restanti giocatori devono scoprire la regola (senza mai dirla); a turno collocano una carta per
formare una fila di carte "buone"; il dio dice se la carta è buona e la pone di seguito o se è
cattiva e la pone sotto l'ultima buona e dà due carte di penalità. A partire dalla carta 40, giocare
una carta cattiva implica l'eliminazione dal gioco; questo termina quando un giocatore finisce
le sue carte o quando tutti sono eliminati.
Nel libro Diez juegos que no se parecen a nada, di Robert Abbott,
è inclusa una spiegazione completa di questo magnifico gioco.
37
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
su giochi e ricreazioni matematiche. Tra i più prolifici incontriamo Mariano Ma­
taix, Miguel de Guzman e Fernando Corbalan.
Tutti questi sono autori e redattori di un'opera enorme che nel suo insieme,
e unita a quella dei nostri antenati, costituisce una fonte inesauribile di problemi,
giochi e ricreazioni matematiche.
••• ••• •• :1 •
•••
•
• •
•••
• •
• • 1· • • •
Un problema con le pedine del
domino di Yakov Pere/man: si collocano 4
pedine formando un quadrato nel quale ogni
lato ha la stessa somma; la sfida è formare
con tutte le pedine del domino quattro
quadrati di questo tipo.
L'apparizione della teoria dei giochi
Una parte molto importante di questo libro, in concreto i capitoli 4 e 5, è dedicata
alla teoria dei giochi. In questa si rende reale un principio della matematica secon­
do il quale, prima o poi, i concetti o i modelli di questa scienza hanno applicazione
nelle situazioni del mondo reale, includendo quelle che nascono lontane da tali
situazioni, come il caso dell'analisi dei giochi.
Un buon giocatore è quello che, praticando un gioco, prende le decisioni più
opportune quando realizza le sue giocate. L'analisi dei giochi pretende di trovare
precisamente le migliori giocate e, quando è possibile, di determinare il modo di
giocare per vincere sempre. Questo è teoricamente possibile coi giochi definiti
senza azzardo, anche se la grandezza del gioco può impedire di trovare una strate­
gia definitiva che permetta di trovare una soluzione.
La teoria dei giochi, iniziata con le opere di John von Neumann e di fatto con
il libro pubblicato nel 1944 da questo matematico insieme all'economista Oskar
Morgenstern, Theory ef Games and Economie Behaviour, parte da un tipo di giochi
astratti per due o più giocatori, nei quali si determina anticipatamente quali sono
i guadagni e quali le perdite di ciascun giocatore, quando l'insieme dei giocatori
realizza una giocata determinata. Generalmente i giocatori effettuano la loro gio­
cata simultaneamente e non conoscono la strategia degli avversari. Questi giochi,
38
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
che agiscono come modelli matematici, servirono inizialmente per analizzare si­
tuazioni competitive riferite ali'economia, e gli autori mostrarono un metodo per
determinare strategie ottime per ciascun giocatore. Il successo che ottenne, per la
teoria, il metodo di soluzione proposto da von Neumann, conosciuto come "stra­
tegia minimax", ed il suo ampliamento a strategie che includono forme di gioco
d'azzardo, chiamate "strategie miste", portò i primi matematici ed economisti che
si occuparono di teoria dei giochi allo studio di situazioni più complesse.
Senza dubbio, ciò che cominciò come un insieme di applicazioni al mondo
dell'economia, inizialmente con modelli abbastanza semplici, si sviluppò nella se­
conda metà del secolo XX, con l'evoluzione dei giochi nei quali la vincita di un
giocatore non necessariamente implica la perdita degli altri; si introdusse l'idea
della cooperazione o, per meglio dire, della tensione tra conflitto e cooperazione; si
generarono modelli di giochi ogni volta più vicini alla realtà, non solo nel campo
dell'economia ma anche in altri campi, come quello militare o politico, o come
nell'evoluzione biologica e persino nella filosofia.
Tutte queste discipline apparentemente diverse hanno in comune l'importanza
di prendere decisioni nelle situazioni che si possono presentare come se si trattasse
di un gioco, anche se ora la parola gioco perde il carattere ludico e si focalizza di
più sull'idea di rischio.
A mano a mano che la formulazione di detti giochi si avvicina alla realtà, questi
diventano più complessi e ammettono pertanto soluzioni più aperte nelle quali
la matematica può apportare le sue conoscenze insieme ad altre idee di ordine
John Van Neumann in una delle sue conferenze presso l'American Philosophica/ Society,
istituzione di cui era membro.
39
BREVE STORIA DELLE RELAZIONI TRA MATEMATICA E GIOCHI
morale, etico e filosofico ed in generale pertinenti allo studio del comportamento
umano.
Uno degli aspetti che rendono più interessante la teoria dei giochi, oltre ai
risultati, in alcuni casi sorprendenti, è precisamente la possibilità di intervenire in
ambiti di scienze sociali dove una certa componente d'azzardo è inerente alle stesse
e nelle quali le variabili che intervengono hanno relazione col comportamento
umano, sia individuale, sia di gruppo. Così, lo sviluppo della teoria dei giochi por­
tò a proporre diversi dilemmi, generalmente incentrati sulla tensione tra conflitto,
rischio e cooperazione che, per la loro applicazione a situazioni molto diverse,
costituiscono una parte significativa di detta teoria. Tra i più noti, e che saranno
discussi nell'ultimo capitolo di questo libro, si trovano "il dilemma del prigionie­
ro", "il gioco della gallina" o la sua versione nei termini di evoluzione della specie,
conosciuto come "il dilemma dei falchi e delle colombe". Questi dilemmi mostra­
no, in qualche modo, la difficoltà ed al tempo stesso la possibilità di studiare, ed in
certi casi di determinare, le conseguenze del comportamento umano, specialmente
quando queste dipendono dalle strategie usate dai diversi partecipanti.
40
Capitolo 2
Giochi di strategia
e soluzioni di problemi
Anche se ci sono poche cose più divertenti dei passatempi,
dato che rappresentano la sfida all'ingegno e la capacità di ragionare,
la funzione di questi giochi non è solo ricreativa;
come notò]. E. Littlewood, un buon passatempo matematico può
dare un apporto maggiore alla matematica di una dozzina di articoli mediocri.
Martin Gardner
I giochi si possono classificare in modi diversi, a seconda del criterio che utilizzia­
mo: luogo dove si praticano, numero dei partecipanti, durata della partita, livello di
difficoltà, etc. In relazione alla matematica, un elemento che ci permette di distin­
guere due grandi gruppi di giochi è l'intervento o meno dell'azzardo, che appare
in maniere diverse: nelle condizioni iniziali del gioco o anche nella realizzazione
delle possibili giocate. Per esempio, nella maggior parte dei giochi di carte, queste
si distribuiscono tra i vari giocatori a caso; anche nel gioco del domino le pedine
si distribuiscono a caso. Invece, la situazione iniziale di una partita a scacchi è de­
terminata ed è sempre la stessa, come in una partita di parchis, di backgammon o
di reversi. In relazione alle possibi­
li giocate, ci sono molti giochi in
cui non interviene il caso, giacché
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"
ogni giocatore decide liberamente
la sua giocata di ciascun turno, fra
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Pedine del domino del secolo
XIX. Il domino è un gioco in cui
il caso interviene al momento di
scegliere le pedine; il resto dipende
dall'abilità del giocatore.
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41
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GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
tutte le possibili; in altri giochi c'è un intervento del caso che si manifesta con il
lancio di uno o più dadi e, solo dopo aver fatto ciò, il giocatore decide quale gio­
cata farà, in base al risultato ottenuto con i dadi.
Chiameremo giochi di strategia l'insieme dei giochi nei quali non interviene
l'azzardo, in nessun momento; in questi intervengono solo le decisioni dei giocato­
ri al momento delle giocate. Questa assenza di azzardo fa sì che questa tipologia di
giochi venga analizzata per trovare il modo di vincere. In alcuni casi sarà possibile
determinare completamente una strategia vincente, mentre in altri, a causa della
complessità del gioco, questo non sarà possibile. Nonostante l'apparente differenza
tra questo tipo di giochi e le relative soluzioni, le tecniche ed i concetti matematici
utilizzati sono ridotti e sono in relazione principalmente all'ambito dell'aritmetica
(sistemi di numerazione e divisibilità) e della geometria (situazioni di equilibrio,
particolarmente la simmetria).
Il concetto di strategia vincente
Anche se nell'ambito della matematica la parola gioco si riferisce tanto ai giochi
propriamente detti (quelli con più di un giocatore, con regole determinate e con
un obiettivo che permette di definire il vincitore della partita) quanto alle ricre­
azioni matematiche, agli indovinelli ed ai rompicapo, lasceremo da parte questi
ultimi per porre la nostra attenzione ai giochi con almeno due giocatori.
Possiamo classificare questi giochi in modi diversi; però dal punto di vista ma­
tematico esiste una prima classificazione che stabilisce due grandi gruppi: giochi ad
informazione completa e giochi d'azzardo. In questo capitolo chiamiamo i primi
giochi di strategia ed i secondi giochi d'azzardo.
Quando si gioca e si conosce bene la meccanica del gioco, ciascuno si chiede
come può giocare per ottenere la vittoria in una determinata partita. Nei giochi di
puro azzardo (il gioco dell'oca è un esempio paradigmatico) la domanda preceden­
te risulta assurda, dato che i giocatori si limitano a muovere le pedine in accordo
col risultato del dado e ad applicare le regole secondo la casella in cui si trova la
pedina; come dire, non c'è possibilità di prendere decisioni, per cui non ci sono
giocate migliori o peggiori.
Il risultato di una partita di questo tipo dipende totalmente dal caso e, pertanto,
l'analisi del gioco - dal punto di vista della determinazione di una strategia vin­
cente - è inesistente. In questo senso si può dire che l'interesse del gioco, dal punto
di vista matematico, è nullo.
42
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
Esistono poi i giochi ad informazione completa: in qualunque momento della
partita è possibile conoscere tutte le giocate possibili e le loro conseguenze (al­
meno teoricamente) e non c'è spazio per l'azzardo. Nella nostra cultura, il gioco
che meglio simboleggia questa idea è il gioco degli scacchi, anche se il numero di
giochi di strategia conosciuti, sia tradizionali (go, mancala, dama, tris, etc.) sia di
creazione moderna (hex, NIM, reversi, abalone, etc.) è molto elevato.
Tre giocatori di go sono i protagonisti di questa pittura cinese
della dinastia Yuan (secoli Xlii - XIV).
43
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
Quando si intraprende l'analisi di uno di questi giochi, nasce il concetto di
"strategia vincente", ossia un insieme di condizioni che permettono a uno dei
giocatori (generalmente sono giochi per due soli giocatori) di decidere in qual­
siasi momento come deve giocare, tenendo conto della giocata dell'avversario, col
fine di vincere qualsiasi sia la giocata del concorrente. L'esistenza di una strategia
vincente presuppone che il gioco finisca con la vittoria di uno dei giocatori, cosa
che non sempre avviene nei giochi che possono terminare in stallo, come gli scac­
chi. In questo caso si dovrebbe dire che esiste una strategia per vincere sempre, o
meglio per non perdere. Quando un gioco di strategia non può determinarsi in
LA BIBBIA DELLE STRATEGIE VINCENTI
Probabilmente l'opera più estesa e rilevante sui giochi di strategia è la Winning Ways tor
your Mathematica/ Plays, in quattro volumi pubblicati nel 1982, i cui autori sono tre eminenti
matematici del XX secolo: Elwyn Berlekamp (1940), professore di Scienza del Calcolo all'Uni­
versità di Berkeley, California, dal 1971; John Conway (1937), autore di lavori rilevanti sulla
teoria dei gruppi finiti, professore all'Università di Cambridge e all'Università di Princeton, e
creatore del noto "Gioco della vita", che simula su un computer la vita cellulare; Richard Guy
(1916), professore emerito dell'Università di Calgary. Le caratteristiche dei giochi contemplati
in quest'opera sono:
1. Giochi per due giocatori che realizzano la loro giocata alternativamente.
2. Giochi con una posizione (o situazione) iniziale e con un numero finito di giocate.
'IOlUM!1
l!(ONO
fDIIIO�
WINNING
WAYS
FOR YOUR MATffEMATIUl PUYS
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' y ;(
3. Giochi ad informazione completa: i giocatori
conoscono in qualsiasi momento tutte le possibili giocate che possono realizzare.
4. Non c'è alcun intervento del caso né all'inizio
né durante le giocate.
5. Lo sviluppo della partita non ammette la ri­
petizione di giocate ed i giochi sono definiti
in modo tale che il giocatore che non può
realizzare una giocata perda.
Copertina del primo volume di Winning
Ways for your Mathematical Plays, opera di
Berlekamp, Conway e Guy
44
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
schemi, si può dire che esiste una strategia vincente per il primo giocatore o per il
secondo, a seconda delle caratteristiche del gioco, anche se ciò non significa che sia
possibile trovarla, dato che ciò dipende dalla complessità del gioco.
Supponiamo che un gioco per due giocatori abbia le seguenti caratteristiche:
1. È un gioco "scoperto", vale a dire che ciascun giocatore in ogni momento
ha tutte le informazioni per decidere la giocata che vuole fare.
2. I due giocatori fanno la loro giocata alternativamente, ciascuno al suo .turno.
3. Nessun elemento d'azzardo interviene nel gioco.
4. La partita termina dopo un numero finito di giocate con la vittoria di uno
dei due giocatori.
Nelle condizioni precedenti è possibile dimostrare che esiste éertamente una
strategia vincente per uno dei due giocatori, il primo (giocatore A) o il secondo
(giocatore B). In effetti supponiamo che A non possegga una strategia vincente,
vale a dire che esisterà sempre una giocata di B per la quale A non avrà una risposta
adeguata: dunque A perderà. Questo significa che B vincerà, per cui si può affer­
mare che esiste una strategia vincente per B. Anche se questo tipo di argomenta­
zione porta ad affermare che in questo tipo di giochi esiste sempre una strategia
vincente, ciò non significa che sia facile determinarla, ma solo che è possibile.
Per un gioco le cui partite non abbiano necessariamente un numero finito di
giocate, l'estensione di questo risultato dipende dall'accettazione del cosiddetto
"assioma della scelta". Questo assioma della matematica, noto e controverso, dice
che in tutti i gruppi (finiti o infiniti) di insiemi non vuoti, che non abbiano alcun
elemento comune, è possibile formare un nuovo insieme scegliendo un elemento
determinato da ciascuno degli insiemi del gruppo. Utilizzando questo assioma, nel
1930 Banach, Mazur e Ulam definirono un gioco finito e dimostrarono che non
esiste una strategia vincente né per A, né per B.
Trarre vantaggi, definire strategie.
I giochi tipo NIM
Se torniamo ad occuparci della classificazione dei giochi e ci concentriamo su
quelli che abbiamo chiamato di strategia, possiamo distinguerne due tipi: quelli
caratterizzati da regole semplici, breve durata della partita e quantità di informa­
zioni limitata o relativamente piccola, denominati piccoli giochi di strategia; quelli
45
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
come gli scacchi ed il go il cui controllo assoluto è praticamente impossibile per la
durata della partita, la complessità delle regole e soprattutto per l'elevato numero di
possibili giocate per una determinata situazione. Lo studio di alcuni piccoli giochi
di strategia ci permetterà di vedere come la matematica intervenga nell'analisi dei
giochi per trovare quale giocatore sia avvantaggiato e come si determini una stra­
tegia vincente.
Il gioco degli scacchi, tela realizzata nel 1555 dalla pittrice rinascimentale
Sofonisba Anguissola. Si tratta di un gioco nel quale non interviene l'azzardo, ma il cui
numero di possibili giocate sfugge al controllo matematico.
La relazione tra giochi e matematica si può riferire a diversi aspetti del gioco,
come abbiamo visto nel primo capitolo, e la matematica è utile in particolare nei
giochi di strategia per determinare la strategia vincente. Un gioco di strategia è
molto simile ad un problema di matematica e la sua soluzione - che non consiste
nel vincere una partita perché si è giocato meglio dell'avversario, ma nel sapere
come bisogna giocare per vincere sempre - equivale a risolvere un problema.
Per questo, la determinazione di strategie vincenti esige l'uso dell'euristica (per
esempio, procedere a ritroso, supporre che il gioco sia risolto, applicare la simme­
tria, stabilire analogie con altri giochi già risolti, etc.); ciò è simile a risolvere pro­
blemi matematici. Per questa ragione, quando si conosce la strategia vincente di un
gioco, questo smette di essere qualcosa di ludico per trasformarsi in un problema
risolto. Chiaramente, questo succede solo per alcuni giochi determinati: quelli la
cui pratica trascende rapidamente il ludico per addentrarsi nel campo delle teorie
matematiche, in occasioni sofisticate ed al cui studio ci avvicineremo in seguito.
46
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
Un gruppo di piccoli giochi di strategia per due giocatori, conosciuto come
giochi del NIM (o giochi tipo NIM) consiste nel collocare sul tavolo uno o più
mucchi di gettoni e nello stabilire le regole che determinano come bisogna ritirare
questi gettoni. L'obiettivo del gioco è prendere l'ultimo gettone o anche il contra­
rio, ossia ottenere che l'avversario ritiri l'ultimo gettone. Non si conosce l'origine
di questo tipo di giochi, che alcuni situano in Oriente; oscuro è anche il significato
del nome, per il quale si considerano varie possibilità, tra le quali il fatto che la pa­
rola nim nell'inglese antico significhi "togliere" o "rubare"; alcuni, certamente in­
gegnosi, notano che se si applica una simmetria centrale alla parola NIM, risulta la
parola WIN, che in inglese significa "vincere". In ogni caso, il NIM ha più di cento
anni, dato che l'analisi che permette di trovare una strategia vincente per questo
tipo di giochi fu pubblicata la prima volta nel 1902 da L.C. Boston, matematico
all'Università di Harvard.
Il gioco raggiunse una certa popolarità in Europa verso gli anni sessanta del
secolo XX, grazie alla pellicola del regista francese Alain Resnais L'anno scorso a
Marienbad (1961), nella quale i protagonisti giocano a una delle versioni di questo
gioco: perciò, questa versione - di cui daremo dettagli più avanti (è il Gioco 5) - è
spesso nota con il nome di Marienbad, nome di una piccola città balneare della
Repubblica Ceca, dove si svolge il film.
I
IIl
Il II I
llll lll
lf Marienbad è una delle varianti del gioco del NIM.
47
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
La determinazione di una strategia vincente di tipo generale, che permetta di
risolvere qualsiasi gioco NIM, è una delle migliori dimostrazioni dell'intervento
della matematica nell'analisi dei giochi ed in particolare dell'efficacia rappresentata
dai numeri nel sistema binario.
Verso la determinazione di una strategia
Di seguito si analizzano, in primo luogo, giochi con un unico mucchio di getto­
ni, nei quali è possibile ritirarne un numero variabile in ciascuna giocata, come
minimo 1 e come massimo n. Si pongono due casi concreti e poi si propone una
generalizzazione. Il più semplice è il seguente.
Gioco 1 (due giocatori): Il 20 vince
Si pongono 20 gettoni dello stesso colore sul tavolo e ad ogni turno i due giocato­
ri possono ritirare uno o due gettoni. Il giocatore che ritira l'ultimo gettone vince.
Quale dei due giocatori, il primo o il secondo, è avvantaggiato? Come si deve
giocare per vincere sempre? Cosa succede se si varia il numero di gettoni? E se si
varia l'obiettivo, in modo che chi ritira l'ultimo gettone perde? Questo è un gioco
sufficientemente semplice per essere analizzato completamente, per determinare la
strategia vincente e per generalizzarla per qualsiasi numero di gettoni. Se il lettore
non conosce il gioco, prima di continuare a leggere, dovrebbe formare una coppia
e praticarlo, così che potrà rispondere da solo alle domande formulate.
La pratica del gioco farà scoprire rapidamente che il giocatore che lascia tre
gettoni sul tavolo vincerà nella successiva giocata. Questa è una buona idea, però
non permette di vincere, dato che bisogna sapere come fare per lasciare tre gettoni.
Senza dubbio, ora sappiamo che se si ritira il gettone 17 si vincerà, per cui abbia­
mo ottenuto di ridurre il numero dei gettoni. Continuando a ritroso, osserviamo
che anche se si lasciano 6 gettoni si vince ed, in generale, se si lascia sul tavolo un
numero di gettoni multiplo di 3 si vince sempre. Ciò permette di formulare la
strategia vincente: se nella posizione iniziale ci sono 20 gettoni, il primo giocatore
potrà vincere sempre togliendo 2 gettoni con la prima giocata e poi lasciando sulla
tavola un multiplo di 3 (se il secondo toglie un gettone, il primo ne toglierà 2 e
viceversa). Così, in questo gioco il primo giocatore è avvantaggiato dato che esiste
una strategia vincente per lui.
La variazione del numero iniziale di gettoni può cambiare in parte la strategia
ed anche il giocatore avvantaggiato. In effetti, dato che la strategia vincente consi48
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
ste nel lasciare sul tavolo un multiplo di 3, per sapere che succede basta dividere il
numero iniziale di gettoni per 3 e fare attenzione al resto della divisione: se questo
è 2 (come nel caso proposto inizialmente), il primo giocatore vince togliendo 2
gettoni nella prima giocata e poi completando gruppi di 3 (se l'avversario prende
1, il primo giocatore prende 2 e viceversa); se il resto della divisione è 1 (se parte,
per esempio, da 19, 25, 100 o 2011 gettoni) vince sempre il primo giocatore, ora
togliendo un gettone nella prima giocata. Infine, se il resto è O (il numero di get­
toni è divisibile per 3) allora vince il secondo giocatore togliendo due gettoni, se
il primo ne ha tolto uno o viceversa. In questo caso, il primo giocatore non potrà
mai lasciare un numero di gettoni multiplo di 3 sul tavolo.
In questo modo, abbiamo generalizzato il gioco per qualunque numero di get­
toni iniziali. Si può generalizzare ancora di più, se si varia il numero di gettoni che
si possono ritirare in ciascuna giocata.
Gioco 2 (due giocatori): Il 100 perde
Il primo giocatore scrive un numero da 1 a 1O su un foglio. Il secondo pensa un
numero da 1 a 1O e scrive il risultato della somma col numero scritto dal primo
giocatore. Il gioco continua in maniera che, a turno, ciascun giocatore somma
all'ultimo risultato un numero da 1 a 10. Il giocatore che avendo fatto la somma
ottiene come risultato un numero di 3 cifre (100 o superiore) perde. Come biso­
gna giocare per vincere? Quale dei due giocatori, il primo o il secondo, è avvan­
taggiato? Che succede se si varia l'obiettivo o la regola del gioco?
Come abbiamo suggerito in precedenza, sarebbe conveniente realizzare alcu­
ne partite per scoprire la strategia che permette ad uno dei giocatori di vincere
sempre e anche per pensare alle relazioni tra questo gioco ed il precedente. Per
un'analisi del gioco che ci permetta di arrivare ad una strategia vincente si può
procedere nel seguente modo: se perde colui che giunge a 100, vince chi riesce
a scrivere il numero 99. Che numero bisognerà scrivere prima per essere sicuri di
arrivare a 99? 88, dato che questo obbligherà l'avversario a scrivere un numero tra
89 e 98, e nella seguente giocata si potrà arrivare a 99. Come prima, se si procede a
ritroso (escono i numeri 88, 77, 66 fino a 11) si vedrà che è necessario fare gruppi
di 11. Pertanto, già possiamo enunciare la strategia vincente: il giocatore che scrive
11 e poi i successivi multipli di questo numero (se l'avversario aggiunge n, il vinci­
tore dovrà aggiungere 11 - n) arriverà a 99 e vincerà la partita. Dato che il primo
giocatore non può arrivare a 11 nella prima giocata ed il secondo sì, esiste una
strategia vincente per il secondo giocatore. Come nel gioco precedente, se si varia
49
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
il numero finale, vincerà il primo, sempre che questo numero non sia multiplo di
11 e il secondo, nel caso contrario.
Gioco 3 (due giocatori): Generalizzazione totale
Supponiamo che ci siano m gettoni sul tavolo e che in ciascuna giocata si possano
ritirare da 1 a n (n < m); vince la partita il giocatore che ritira l'ultimo gettone. Per
quale dei due giocatori, il primo o il secondo, esiste una strategia vincente? Qual
è? Se si cambia l'obiettivo ed il giocatore che ritira l'ultimo gettone perde, come
cambia la strategia? In realtà, non si tratta di un unico gioco, ma di un gruppo di
giochi astratti, dove due casi particolari corrispondono ai due giochi precedenti;
perciò, la strategia vincente di questo gioco è una generalizzazione che risolve
un'infinità di giochi dello stesso tipo. La formulazione di suddetta strategia è la
seguente: si divide m per n + 1 e si determina il resto della divisione, che sarà un
numero tra O e n. Dunque consideriamo 2 casi:
a) Il resto della divisione è O. In questo caso esisterà una strategia vincen­
te per il secondo giocatore, che dovrà lasciare un multiplo di n + 1 sul
tavolo; per lui, in ciascuna giocata, se il primo giocatore ritira p gettoni
(O < p < n + 1) il secondo dovrà ritirare n + 1 - p gettoni, che è una
quantità possibile, dato che sta sempre tra 1 e n.
b) Il resto della divisione è r (O < r < n + 1). In questo caso esisterà una stra­
tegia vincente per il primo giocatore, che nella prima giocata ritirerà r
gettoni, lasciando sul tavolo un multiplo di n + 1, in modo che ora potrà
giocare come se fosse il secondo giocatore ed applicare la strategia vin­
cente del caso A; come dire che in ciascuna giocata, se il secondo giocato­
re ritira p gettoni (O < p < n + 1) il primo dovrà ritirare n + 1 - p gettoni.
Con questa soluzione generale abbiamo risolto un'infinità di giochi concreti.
Per esempio, il lettore potrà applicarla al seguente gioco: ci sono 2010 gettoni
sul tavolo e ogni giocatore può ritirarne da 1 a 49. Per quale giocatore esiste una
strategia vincente? Qual è? Se si definisce il gioco in modo tale che il giocatore
che ritira l'ultimo gettone perde invece di vincere, basterà tener presente che per
vincere è necessario ritirare il penultimo gettone, lasciandone solo uno sul tavolo.
In questo caso, la strategia sarà la stessa, però ora bisogna considerare che il numero
di gettoni è m - 1, invece che m.
50
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
Tutti questi giochi, che iniziano con un unico gruppo di gettoni, si possono
considerare una esemplificazione del gioco del NIM, che si analizzerà di seguito.
Una strategia complessa: il gioco del NIM
I giochi precedenti si possono generalizzare ancor di più considerando che il nu­
mero dei gruppi di gettoni non sia unico, ma che sia un numero finito qualsiasi.
Il gioco del NIM consiste nel partire da vari gruppi di gettoni, ciascuno con una
quantità di gettoni non necessariamente uguale. Le regole del gioco permettono a
ciascun giocatore, a turno, di ritirare il numero di gettoni desiderato, come minimo
uno e come massimo tutti, però dallo stesso gruppo. Il vincitore della partita è il
giocatore che riesce a ritirare l'ultimo gettone; anche se è possibile stabilire che chi
ritira l'ultimo gettone perde.
Gioco 4 ( due giocatori): NIM prima versione
Si parte da tre gruppi di gettoni, con 1, 3 e 5 gettoni in ciascun gruppo. A turno
ciascun giocatore toglie i gettoni che vuole da un unico gruppo (minimo 1, rnassi­
mo tutti).Vince la partita chi ritira l'ultimo gettone. Per quale giocatore esiste una
strategia vincente?
L'analisi del gioco mostra che, per questo caso, esiste una strategia vincente per
il primo giocatore, anche se, fra tutte le possibili giocate iniziali, solo una garantisce
la vittoria. In effetti, se il lettore praticasse il gioco scoprirebbe che a nessuno dei
due giocatori conviene realizzare una delle giocate seguenti:
a) Lasciare due gruppi con lo stesso numero di gettoni.
b) Eliminare tutti i gettoni di un gruppo.
In effetti, se il giocatore A realizza la giocata a), il giocatore B elimina i get­
toni del terzo gruppo e vince la partita facendo una giocata simmetrica a quella
dell'avversario (se A prende n gettoni da uno dei gruppi, B prende la stessa quantità
dall'altro gruppo, in modo che quando A termina i gettoni di un gruppo, B finirà
quelli dell'altro e vincerà). Ugualmente, se A realizza la giocata b), allora B prende­
rà i gettoni dal gruppo che ne ha di più, lasciando due gruppi con uguale quantità
di gettoni e vincerà la partita, giocando come nel caso precedente. Pertanto, vin­
cerà quel giocatore che riuscirà a forzare l'avversario a realizzare una delle giocate
"proibite". Nel caso che stiamo analizzando, se il primo giocatore ritira 3 gettoni
51
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
dal gruppo che ne ha 5, lasciando tre gruppi da 1, 2 e 3 gettoni rispettivamente,
vincerà la partita, dato che obbligherà l'avversario o a eliminare un gruppo o ad
uguagliare due gruppi (con 1 o 2 gettoni).
Risulta evidente che la strategia precedente sia troppo concreta e difficilmente
generalizzabile per un numero qualsiasi di gruppi, e anche per tre gruppi con un
numero di gettoni diverso ed elevato.
Senza dubbio, la matematica ci può aiutare a determinare una strategia ge­
nerale che serva per qualsiasi numero di gruppi e di gettoni in ciascun gruppo.
Per questo è necessario osservare - così come mostreremo nei casi seguenti che se si esprime la quantità di gettoni in base due (sistema binario), e si pon­
gono questi numeri in modo che risultino incolonnate le unità corrispondenti
a ciascun numero, in ciascuna giocata si cambierà per lo meno la parità di una
delle 2 colonne (dato che una giocata obbliga a cambiare uno solo dei nume­
ri di una o più colonne e, per lo meno, una delle due cifre passerà da 1 a O).
Dunque, se nella posizione iniziale la somma di tutte le cifre di ciascuna colonna
è pari, esisterà una strategia vincente per il secondo giocatore (che consisterà nel
lasciare, dopo la sua giocata, tutte le colonne con somma pari, cosa che il primo
giocatore non può fare), mentre, se almeno una colonna ha una somma dispari, la
strategia vincente sarà per il primo giocatore, dato che nella sua prima giocata po­
trà lasciare tutte le colonne con somma pari.
Per comprendere meglio il funzionamento di questa strategia, vediamo un paio
di esempi di come si può applicare in casi concreti. Dapprima con tre gruppi di 1,
3 e 5 gettoni rispettivamente (che è il gioco 4 risolto in precedenza) e poi con la
versione più nota del gioco del NIM, chiamata Marienbad, quella che inizia con
quattro gruppi con 1, 3, 5 e 7 gettoni ciascuno.
Nel primo caso, come si è già detto, abbiamo tre gruppi con 1, 3 e 5 gettoni
1
3
5
in base due:
in base due:
in base due:
1
1 1
1 O1
Se si sommano le unità di ciascuna colonna si prova che tutte hanno somma
dispari (da destra a sinistra: 3, 3 e 1 rispettivamente). In questo caso, esisterà una
strategia vincente per il primo giocatore. Perciò egli deve giocare in modo da la­
sciare tutte le colonne con somma pari; l'unica possibilità consiste nel modificare
il 5 (101) e lasciarlo come 2 (10), ossia eliminare 3 gettoni dal gruppo che ne ha 5.
52
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
Allora si avrà:
1
3
2
in base due:
in base due:
in base due:
1
1 1
1O
Tutte le colonne ora hanno somma pari, per cui qualsiasi giocata farà il secondo
giocatore lo porterà a lasciare alcune colonne con somma dispari; il primo gioca­
tore potrà tornare a lasciare tutte le colonne con somma pari, fino alla posizione
finale (tutti i numeri saranno O, ossia tutte le colonne avranno somma pari).
Gioco 5 (due giocatori): Marienbad
Si pongono sul tavolo quattro gruppi di pedine con 1, 3, 5 e 7 gettoni in ciascun
gruppo. A turno ciascun giocatore toglie i gettoni che vuole da un unico gruppo
(minimo 1, massimo tutti).Vince la partita il giocatore che ritira l'ultima pedina.
Per quale giocatore esiste una strategia vincente?
Procedendo come nel caso precedente ora abbiamo:
1
3
5
7
in base due:
in base due:
in base due:
in base due:
1
11
1O1
111
Dato che nella posizione iniziale la somma di tutte le colonne dei numeri
espressi in sistema binario è pari, il primo giocatore non potrà vincere ed esiste una
strategia vincente per il secondo. In effetti, qualsiasi giocata faccia il primo gioca-
IL NIMROD
All'inizio degli anni cinquanta del XX secolo, gli ingegneri della ditta inglese Ferranti disegnarono
il primo computer pensato esclusivamente per giocare. il nome di questo era NIMROD e le tre
lettere iniziali corrispondevano al gioco del NIM, dato che proprio questo gioco era program­
mato dagli ingegneri. Il pannello del computer aveva alcune lampade accese ed altre spente che
rappresentavano le posizioni del gioco. il prototipo fu presentato al Festival of Britain nel 1951
e si considera come l'inizio dell'era dei giochi elettronici.
53
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
tore lo porterà a lasciare per lo meno una colonna con somma dispari; supponiamo
che elimini un gettone dal gruppo dove ce ne sono tre, si avrà:
1
2
5
7
in base due:
in base due:
in base due:
in base due:
1
1O
1O1
111
A questo punto il secondo giocatore dovrà modificare un numero in modo
che la colonna di destra abbia somma pari ( e le restanti rimangano uguali, dato che
la somma è già pari); come dire che dovrà togliere un solo gettone da qualunque
gruppo eccetto dal secondo, il che equivale, nel sistema binario, a cambiare 1 per
O nella colonna di destra. Anche se la strategia del NIM è veramente molto più
difficile da scoprire rispetto a quella dei giochi precedenti, esiste un'idea generale
valida per la determinazione della strategia vincente di tutti questi giochi: trovare
una situazione di equilibrio che coincida con la situazione finale del gioco, che
uno dei due giocatori possa mantenere sempre e che l'altro non possa mai avvi­
cinare. Così, nel primo dei giochi di questo articolo (il 20 vince) la situazione di
equilibrio consiste nel lasciare sul tavolo un numero di gettoni multiplo di 3; nel
secondo (il 100 perde) scrivere un numero multiplo di 11 e, nell'ultimo (il NIM)
lasciare una quantità di gettoni in ciascun gruppo in modo che, esprimendola nel
sistema binario, la somma di numeri per colonna sia sempre pari.
In molte occasioni, il gioco del NIM si presenta nella sua versione contraria,
come dire che il giocatore che ritira l'ultimo gettone perde invece che vincere. In
questo caso, vince lo stesso giocatore che vincerebbe nel gioco normale e, la stra­
tegia inizialmente è la stessa; cambia solo nel momento il cui la giocata "normale"
(che porterebbe alla vittoria nella versione iniziale) lascia tutti i gruppi con meno
di 2 gettoni. Adesso la giocata vincente consisterà nel lasciare un numero dispari
di gruppi con un solo gettone, al posto di un numero pari che sarebbe la giocata
corretta in un gioco normale. Una volta conosciuta la strategia per vincere sempre
in qualsiasi gioco del NIM, nasce la domanda se sia possibile creare un gioco dello
stesso tipo per il quale non esista una strategia vincente. La risposta è affermativa
e ci porta ai "giochi Nimbus". Partendo dal gioco del NIM, si pone la seguente
condizione: se in una giocata si vuole prendere più di un gettone di una detenni­
nata fila, ciò si può fare solo se i gettoni sono connessi, ossia se non ci sono buchi
(provocati da una giocata precedente) tra i gettoni ritirati: con ciò si introduce una
54
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
IL SISTEMA DI NUMERAZIONE BINARIO
Si tratta di un sistema di numerazione posizionale che permette di esprimere qualsiasi numero
utilizzando due cifre: O e 1. Per trasformare un numero binario in decimale basta cambiare
ciascuna cifra 1 per una potenza di due il cui esponente dipende dalla sua posizione: la cifra a
destra corrisponde a 2°, la seguente a 21, l'altra ancora a 22 e così via. Per esempio, il numero
in base due 110101 nel sistema binario sarà: 1• 25 + 1 • 24 +O• 23 + 1 · 22 +O• 2 1 + 1 • 2 ° =
= 32 + 16 + 4 + 1 = 53.
Allo stesso modo, per scrivere un numero decimale nel sistema binario, bisogna dividere il nume­
ro per 2, il quoziente nuovamente per 2 e così fino a che il quoziente sia 1. L'ultimo quoziente è
la prima cifra a sinistra e i resti delle divisioni, dall'ultimo al primo, sono le cifre seguenti (il resto
di una divisione per 2 può essere solo O o 1).
Per esempio, 39 in base due è: 100111, dato che 39:2 dà quoziente 19 (e resto 1); 19:2 dà 9
(e resto 1); 9:2 dà 4 (e resto 1); 4:2 dà 2 (e resto O); 2:2 dà 1 (e resto O). Quello che facciamo è
esprimere il numero come somma di diverse potenze di 2: così 39 = 32 +4 + 2 + 1 = 1 · 25 +O ·
• 2 4 +O • 23 +1• 2 2 + 1 • 2 1 +1 · 2° = 100111 in base due.
Anche se l'annotazione binaria è
relativamente recente, le proprie-
tà su cui si fonda ("ogni numero
si può esprimere come somma di
distinte potenze di due") è nota
ed applicata sin da tempi remoti.
Per esempio, il sistema utilizzato
dagli antichi Egizi per moltiplicare,
consiste nel duplicare uno dei due
termini e nel dividere per 2 l'altro
(se il numero è dispari si divide per
2 il precedente), e funziona sem­
pre grazie a questa proprietà.
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Pagina delle Mémoires
de l'Académie Royale
des Sciences dedicata al
sistema binario sviluppato
da Leibniz nel 1703.
1
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TABLE 86 Mt1101RES nE L'AcADEMIE RoYALli
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P. pelle Pyrhagorique. Mais icy tOLlt cela fe tr01we & fo
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1
7
•
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
ALCUNI GIOCHI PER FARE PRATICA
Girare il dado. Gioco di strategia per 2 giocatori. Il primo giocatore pone il dado sul tavolo,
scegliendo il numero che vuole, che lascia nella parte superiore. L'altro giocatore gira il dado per
un quarto di giro, lasciando un altro numero nella parte superiore e somma questo numero a
quello precedente. Di seguito, ciascun giocatore gira il dado di un quarto di giro (può ottenere
qualsiasi numero, tranne quelli che stanno sulle facce superiori e inferiori del dado) e somma
il numero della faccia superiore alla quantità precedente. Il giocatore che riesce a sommare 31
vince. Quale giocatore è awantaggiato? Come deve fare per vincere sempre?
Tagliare il rettangolo. Gioco di strategia per 2 giocatori. Su un foglio di carta a quadretti
si disegna un rettangolo di 17 x 15 (seguendo le linee dei quadretti; l'unità è la lunghezza ·di
ciascun quadretto). Si segna il quadretto situato al vertice inferiore destro. A turno, ciascun gio­
catore taglia il rettangolo in due parti, tracciando una linea verticale o orizzontale (seguendo le
linee dei quadretti) ed elimina la parte che non contiene il quadretto marcato. Il giocatore che
non può più dividere il rettangolo (ossia quello che rimane col quadrato marcato) perde. Quale
giocatore è avvantaggiato? Come deve fare per vincere sempre?
Incrociare il cerchio. Gioco di strategia per 2 giocatori. Su un foglio di carta si disegna una
circonferenza e si segnano otto punti a caso su di essa. A turno, ciascun giocatore unisce due
punti tracciando un segmento. Può unire i punti che vuole, sempre che non siano già uniti,
ma tracciando il segmento non può tagliarne nessuno già disegnato. li giocatore che non può
più tracciare alcun segmento perde. Quale giocatore è awantaggiatoì Se si cambia il numero
iniziale dei punti, cosa succede?
ondizione legata alla posizione dei gettoni all'interno di ciascuna fila, cosa di cui
.on si è tenuto conto finora. Questo equivale a dire che ogni volta che si prendo­
.o gettoni da una fila, si può rompere detta fila in due (cosa che succederà sempre
� non si prendono gettoni all'estremo della fila); così si generano nuovi gruppi ed
gioco varia in maniera tale che non è più possibile applicare la strategia del NIM.
)biettivi e regole di un gioco: giochi equivalenti e giochi distinti
'.analisi degli obiettivi e delle regole di un gioco ci permette di scoprire che, in
1olte occasioni, giochi di strategia apparentemente diversi sono in realtà equiva­
:nti e, al contrario, giochi che differiscono di poco o molto poco sono totalmente
iversi e hanno strategie diverse.
56
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
Gioco 6 (due giocatori): Avanzata esagonale
Su una scacchiera come quella sotto (Disegno 1), ogni giocatore, a turno, prende
l'unica pedina del gioco che inizialmente è collocata nella posizione S e la pone
in una casella vicina, sempre avanzando verso destra, sia orizzontalmente, sia in
diagonale. Il giocatore che riesce a collocare la pedina nell'ultima casella (posizione
M) vince.
Disegno 1.
Se il lettore cerca di risolvere il gioco, troverà facilmente in quale casella deve
porre la pedina per vincere. Procedendo a ritroso arriverà alla conclusione che il
primo giocatore ha una strategia vincente se pone la pedina nelle caselle segnate.
Non è ovvio che questo gioco sia equivalente al gioco 1 (il 20 vince), a meno che
non si osservi che le possibili giocate si possono interpretare come avanzare di 2
(se seguiamo la stessa fila) o avanzare di uno, se si cambia fila.
Dunque una numerazione adeguata delle caselle mostra chiaramente l'equiva­
lenza (disegno 2).
Disegno 2.
Gioco 7 (due giocatori): Collocare l'ultima
In una scacchiera con una sola fila di sei caselle, si pongono tre pedine: a turno,
ciascun giocatore sceglie una pedina e la sposta verso destra di quante caselle vuole
(come minimo una, e come massimo fino alla fine della scacchiera). L'obiettivo
del gioco è collocare tutte le pedine nell'ultima casella; il giocatore che posiziona
l'ultima è il vincitore.
57
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
È possibile che in una casella ci siano più pedine. Si osservi che, in questo caso,
il gioco è equivalente alla prima versione del NIM (gioco 4): ciascuna pedina
rappresenta un gruppo e muoverla verso destra significa togliere pedine da questo
gruppo, in modo che quando una pedina giunge alla fine equivale a considerare
che il gruppo corrispondente sia vuoto.
Esaminiamo ora altri due giochi per analizzare la loro equivalenza.
Gioco 8 (due giocatori): Il Tsyanshidzi
Si pongono due gruppi di pedine sul tavolo, per esempio, di 7 e 5 pedine rispetti­
vamente. A turno, ciascun giocatore può ritirare il numero di pedine che vuole da
uno dei due gruppi (come minimo una) e può anche ritirare pedine da entrambi
i gruppi, ma in questo caso la quantità di pedine ritirate da ciascun gruppo deve
essere la stessa.
Gioco 9 (due giocatori): Salvare la regina
Su una scacchiera per scacchi si colloca una regina in una delle caselle, per esempio
in h-8. A turno, ciascun giocatore può muovere la regina di quante caselle vuole
verso sinistra, verso il basso o in diagonale (verso la sinistra e in basso). Il giocatore
che riesce a porre la regina nella casella a-1, ossia nell'intersezione tra la prima fila
e la prima colonna, vince.
Il primo di questi due giochi, chiamato Tsyanshidzi, è un gioco di tipo NIM che
include la possibilità di ritirare pedine da più di un gruppo, cosa mai considerata fi­
nora e che complica considerevolmente la determinazione di una strategia vincente
di tipo generale. Un'analisi dei movimenti permessi nell'altro gioco, salvare la regina,
mostra rapidamente la sua equivalenza col precedente, trasformando i movimenti
della regina in eliminazione di pedine: movimento su una fila - togliere pedine dal
primo gruppo; movimento su una colonna - togliere pedine dal secondo gruppo;
movimento in diagonale - togliere la stessa quantità di pedine dai due gruppi.
Con gli esempi precedenti si è potuto vedere che a volte giochi che sembrano
diversi sono totalmente equivalenti: proprio per questo siamo capaci di trasformare
gli obiettivi e le regole di un gioco in un altro. Senza dubbio, in altre occasioni
succede il contrario, ossia giochi che sembrano praticamente uguali sono in realtà
molto diversi, specialmente se ci concentriamo sulle strategie vincenti degli stessi.
Vediamo il gioco seguente, la cui somiglianza con il primo dei giochi proposti (il
20 vince) è, a prima vista, quasi totale.
58
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
Gioco 1 O ( due giocatori): La Margherita
Si disegni una margherita con 11 petali ed in ciascuno si ponga una pedina. A tur­
no ciascun giocatore può ritirare una pedina o due; nel caso ne voglia ritirare due,
può farlo solo se le pedine sono unite, ossia in petali vicini.
La posizione iniziale del gioco La Margherita.
Questo gioco è molto simile al primo analizzato in questo capitolo (il 20 vin­
ce), però è con 11 pedine invece che con 20. Come nell'altro, il primo giocatore
potrà vincere prendendo 2 pedine nella prima giocata e continuando con gruppi
di 3. Senza dubbio, la restrizione imposta (si possono prendere 2 pedine solo se
sono vicine) invalida totalmente quella strategia: ora ciò che realmente importa è la
posizione delle pedine e non è rilevante il loro numero. Di fatto, la quantità iniziale
di pedine non importa, dato che se questa è maggiore di 3, la strategia vincente si
può formulare nella stessa maniera per qualsiasi quantità.
Questo gioco non è propriamente un gioco NIM, ma appartiene a quelli chia­
mati Nimbus, di cui non si conosce la strategia generale. In realtà, si tratta del caso
più semplice di questi giochi. In questo caso concreto si può vedere che il secondo
giocatore può vincere sempre, con qualsiasi numero di pedine, utilizzando una
strategia di tipo simmetrico. In effetti, praticando il gioco si può osservare che
se un giocatore riesce a separare le pedine in due gruppi con la stessa configura­
zione (se in un gruppo sono tutte unite così anche nell'altro e, analogamente, se
sono separate) vincerà facilmente la partita giocando in maniera simmetrica, ossia
prendendo nell'altro gruppo le stesse pedine (in posizione simmetrica) di quelle
59
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
BABYLON, UN GIOCO DI BRUNO FAIDUTTI
Il mondo attuale dei giochi astratti di strategia tende a generare giochi che, nonostante l'appa­
rente semplicità, sono enormemente difficili da analizzare, fino al punto che risulta quasi impos­
sibile determinare una strategia vincente, anche se è possibile stabilirne l'esistenza. Il seguente,
noto come Babylon, gioco di strategia del francese Bruno Faidutti, è un esempio di tale tipo di
giochi. Su un tavolo si pongono dodici gettoni, di quattro colori diversi, tre per ciascun colore.
A turno, ciascuno dei due giocatori prende una pila (inizialmente tutte le pile hanno altezza 1)
e la colloca su un'altra pila, con le seguenti condizioni: è possibile collocare una pila sull'altra se
hanno la stessa altezza o anche se il gettone superiore di entrambe le pile ha lo stesso colore.
Il giocatore che non riesce a
porre una pila sull'altra perde.
Anche se a prima vista si tro­
vano possibili soluzioni, per
esempio studiando casi par­
ticolari e provando a genera­
lizzarli, un'analisi esaustiva del
gioco utilizzando un computer
mostra che non è possibile tro­
vare una strategia memorizza­
bile da mente umana.
Baby/on, gioco creato da
Bruno Faidutti.
iminate dall'avversario. Dato che il primo giocatore, nella sua prima giocata, non
llÒ separare le pedine in due gruppi, (perché dovrebbe togliere due pedine non
.cine) e inevitabilmente lascerà un buco, il secondo giocatore potrà lasciare un
tro buco che separi le pedine in due gruppi.
fochi e pseudo-giochi
lcuni giochi sono in apparenza simili a quelli analizzati finora, però in realtà
)n si possono chiamare giochi di strategia, perché nessuno dei giocatori può in­
rvenire per cambiare la sorte di una partita. In altre parole, la strategia vincente
60
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
è contenuta nelle regole del gioco, in modo che le decisioni dei giocatori siano
irrilevanti, dato che non possono cambiare il risultato di una partita. Questo tipo
di giochi, frequenti tra i giochi matematici, sono detti "pseudogiochi". Invece di
trovare una strategia vincente che non esiste, quello che si può fare è dimostrare
che effettivamente il risultato del gioco è indipendente dalle decisioni dei gioca­
tori e che, date le regole e l'obiettivo del gioco, è già determinato quale dei due
giocatori vincerà la partita. Vediamo tre esempi di pseudogiochi.
Gioco 11 (due giocatori): Solo dispari
Si pongono 20 gettoni sul tavolo e a turno, ciascun giocatore può ritirarne 1, 3
o 5. Il giocatore che ritira l'ultimo gettone vince. Quale dei due giocatori è av­
vantaggiato? Che succede se si varia il numero di gettoni? Si tratta di un gioco di
strategia come i precedenti o è qualcosa di diverso?
La pratica del gioco dimostra rapidamente che il secondo giocatore vince tutte
le partite e che il primo non può fare nulla per vincere. Si potrebbe dire che anche
se il secondo giocatore non volesse vincere, lo farà forzatamente. A differenza dei
giochi precedenti, in questo la parità (tanto del numero iniziale di gettoni, quanto
di quelli che si possono ritirare) è determinante. Per questo non si può parlare in
questo caso di strategia vincente, dato che la soluzione del gioco è determinata
dalle sue stesse regole.
In effetti, se inizialmente ci sono 20 gettoni (o qualsiasi altra quantità pari) ed
il primo giocatore ne toglie 1, 3 o 5 (o qualsiasi altra quantità dispari), il numero
di gettoni che rimarranno sul tavolo sarà dispari (pari meno dispari dà dispari). Poi
giocherà il secondo, che dovrà ritirare una quantità di gettoni dispari, lasciando sul
tavolo una quantità di gettoni pari (dispari meno dispari dà pari). Pertanto, dopo
aver giocato, il primo giocatore lascerà sempre un numero dispari di gettoni men­
tre il secondo giocatore ne lascerà sempre un numero pari. Dato che O è pari, la
vittoria sarà sempre del secondo giocatore, indipendentemente dalle giocate che
i due avversari realizzeranno. Allo stesso modo, se il numero di gettoni iniziali è
dispari, il primo giocatore vincerà inevitabilmente tutte le partite.
Gioco 12 (due giocatori): Cerchi e quadrati
Si disegni una serie di cerchi e di quadrati disposti in fila. A turno, ciascun gio­
catore può ritirare due figure uguali (due cerchi o due quadrati) e sostituirli con
un cerchio, o ritirare due figure diverse e sostituirle con un quadrato. Dato che il
numero delle figure diminuisce, alla fine rimarrà una sola figura. Se è un quadrato
61
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
1incerà il primo giocatore, se è un cerchio vincerà il secondo. C'è una strategia
)er vincere sempre? Cosa succede quando si varia la quantità iniziale di cerchi e
1uadrati? Si tratta veramente di un gioco di strategia? Si parte, per esempio, dalla
:onfi gu razione iniziale mostrata nel disegno qui di seguito.
□ o □□ o □ o
:;iocando varie partite con questa confi gu razione si scoprirà che il secondo gioca­
ore sembra vincere sempre (l'ultima fi gu ra è un cerchio). Se si varia il numero dei
:erchi il risultato non sembra cambiare, mentre se si varia quello dei quadrati, sì.
ALTRI GIOCHI PER FARE PRATICA
Chiudere un triangolo. Gioco di strategia per due giocatori. Si disegna una circonferenza e
si segnano 6 punti qualsiasi su di essa. A turno, ciascun giocatore unisce due punti tracciando
un segmento. Uno dei due giocatori ha una matita nera, l'altro rossa. Ciascun giocatore può
unire i punti che vuole, sempre che non siano già uniti. Il giocatore che riesce a disegnare un
triangolo con i tre lati dello stesso colore vince. Quale giocatore è awantaggiato? Come deve
fare per vincere sempre? Se si varia il numero iniziale di punti che succede? Si può giocare con
l'obiettivo contrario, ossia che il giocatore che termina disegnando un triangolo del suo colore
perde? Cosa succede allora?
La tavoletta di cioccolato (I). Una tavoletta di cioccolato è formata da 28 quadretti disposti
in 4 file di 7 quadretti ciascuna. Il primo giocatore divide la tavoletta in due parti senza rompere
nessun quadretto. Il secondo giocatore prende una delle due parti (elimina l'altra) e la divide. A
turno, ciascun giocatore prende una delle due parti e la divide, seguendo le linee che separano i
quadretti. Il giocatore che non può più dividere la tavoletta perde. Come fare per vincere? Cosa
succede se la tavoletta è formata da 27 quadretti disposti in tre file da 9 quadretti ciascuna?
La tavoletta di cioccolato (11). Come nel gioco precedente, si parte da una tavoletta di cioc­
colato, però questa volta formata da 50 quadretti disposti in 5 file da 1 O ciascuna. A turno,
ciascun giocatore divide la tavoletta (o una delle sue parti) seguendo le linee verticali o orizzontali
(senza tagliare alcun quadretto). Ora non si elimina nessuna parte e tutte rimangono in gioco.
Il primo giocatore che, facendo la divisione, lascia un quadretto totalmente separato perde.
Come bisogna giocare per vincere? Cosa succede se il primo giocatore che riesce a lasciare un
quadretto isolato vince invece che perdere?
62
GIOCHI DI STRATEGIA E SOLUZIONI DI PROBLEMI
Per rendersi conto che questo in realtà non è un gioco, dato che il vincitore è
determinato dalla configurazione iniziale e dalle regole, bisogna analizzare come
varia il numero di quadrati durante una partita. In ciascuna giocata, può succedere
che il numero dei quadrati rimanga invariato (se si cambiano due cerchi per un
cerchio o un quadrato ed un cerchio per un quadrato) o anche che diminuisca
di due (se si cambiano due quadrati per un cerchio). Questo comporta che, se la
quantità iniziale di quadrati è pari, durante tutta la partita sarà pari e non è pos­
sibile che alla fine rimanga un quadrato, mentre se è dispari alla fine rimarrà solo
un quadrato.
Questo capitolo ha trattato giochi di strategia, in particolare quelli totalmente
analizzabili, col fine di vedere come la matematica intervenga nella determinazione
di una strategia vincente per uno dei due giocatori, quando questa esista. L'euri­
stica, lo studiare casi particolari, il supporre il gioco risolto e il procedere a ritroso,
l'utilizzare la simmetria o il concentrarsi sulla parità (tutti elementi propri della
soluzione di problemi matematici) sono utili per analizzare questo tipo di giochi,
che una volta risolti, ossia una volta trovata la strategia vincente, smettono di essere
giochi per passare nella categoria di problemi risolti.
A grandi linee, i giochi analizzati corrispondono a giochi tipo NIM, dove ciò
che importa è la quantità di gettoni e a giochi tipo Nimbus; in questi ultimi, oltre
alla quantità, inter vengono fattori di posizione che impediscono l'utilizzazione di
strategie di soluzione applicate ai primi e che fanno sì che la determinazione di
una strategia sia, in generale, più complessa.
63
Capitolo 3
Azzardo e gioco
Dove finisce il gioco e dove inizia la matematica seria? [ ... ]
Per molti, la matematica, mortalmente noiosa, non ha nulla a che fare
col gioco. Al contrario, per la maggioranza dei matematici, essa non smette
mai di essere un gioco, sebbene possa essere anche molte altre cose.
Miguel de Guzman
Questo capitolo tratta della relazione tra giochi e probabilità; tale relazione apparve
fin dai primi momenti in cui l'umanità ha tentato di modellizzare qualcosa di ap­
parentemente tanto caotico quanto l'azzardo. Fin da quando si è iniziato a conside­
rare ciò, la matematica era concentrata sul determinato, sul regolare e su quello che
è possibile assicurare. Si può dire che, con la determinazione dei metodi per cal­
colare l'azzardo, inizi una nuova era per la matematica che, a poco a poco, ha preso
maggiore rilevanza scoprendo l'importanza delle sue applicazioni, fino ad arrivare
al XX secolo; a questo punto non solo l'azzardo, ma anche altri aspetti come il caos
o l'irregolarità dei frattali, sono diventati oggetto di studio e di mod�llizzazione
attraverso la matematica.
Il cavaliere che non voleva perdere.
Giochi d'azzardo e la nascita della probabilità
Anche se nel mondo attuale le complesse teorie sulla probabilità hanno applica­
zioni nei più diversi ambiti, dato che nel nostro mondo c'è più incertezza che
certezza, la verità è che l'origine della probabilità è strettamente vincolata ai giochi
d'azzardo. Di fatto, si può affermare che l'inizio della formulazione matematica
di una teoria sull'azzardo, basata sul concetto di probabilità, si ebbe in Francia nel
pieno secolo XVII: in concreto, nella corrispondenza del 1654 tra Blaise Pascal e
Pierre de Fermat a proposito delle questioni proposte da Chevalier de Méré. Que­
sti, un esperto di giochi d'azzardo e scommesse, chiese a Pascal che gli desse una
spiegazione sul risultato di certi giochi d'azzardo basati sul lancio di dadi. Antoine
65
AZZARDO E GIOCO
Gombauld, noto come Chevalier de Méré (Poitou, 1607-1685), dedicò gran parte
della sua vita alla pratica ed all'analisi dei giochi d'azzardo (con argomentazio­
ni di carattere intuitivo, molte volte scorrette). A quanto pare, vinse una somma
di denaro rispettabile scommettendo in diversi giochi apparentemente equilibra­
ti (stessa possibilità di vincere o di perdere) come, per esempio, ottenere almeno
un 6 lanciando 4 dadi, gioco che a quell'epoca si considerava "equilibrato" e che
Méré sapeva essere vantaggioso. Incautamente, propose un nuovo gioco consisten­
te nell'ottenere almeno un doppio 6 lanciando 24 volte una coppia di dadi, con
l'idea che fosse ugualmente vantaggioso come il precedente. In poco tempo prese
atto che il supposto vantaggio non era tale, ma tutto il contrario; ciò lo portò a
chiedere a Pascal, verso il 1654, che gli spiegasse perché il suo ragionamento non
era corretto e perché il nuovo gioco, a differenza del primo, non fosse vantaggioso.
Illustrazione tratta dal Libro dei Giochi di Alfonso X il Saggio
dedicata al gioco dei dadi.
66
AZZARDO E GIOCO
BLAISE PASCAL (1623-1662)
Nonostante la sua breve vita, que­
sto filosofo, matematico e scienzia­
to francese fornì contributi rilevanti
nei diversi campi della scienza e del
pensiero. Fu un bambino prodigio
che a 11 anni già partecipava alle
riunioni scien.tifiche organizzate da
Marin Mersenne. Nel 1640 pub­
blicò Essai pour !es coniques e nel
1649 verificò i risultati di Torricelli
sulla pressione atmosferica.
Nel 1642, aveva già disegnato una
calcolatrice per aiutare il padre,
esattore delle tasse in Normandia.
Questa calcolatrice, detta "pascali­
na", fu una delle prime calcolatrici
meccaniche a funzionare davvero.
Alcuni esemplari sono conservati
ancor oggi in vari musei tecnico­
scientifici. La calcolatrice, destinata
all'aritmetica commerciale, inte­
ressò diversi personaggi, come la regina Cristina di Svezia e il filosofo G. W. Leibniz, che la
perfezionò.
Partendo dai problemi sull'azzardo proposti da Chevalier de Méré, Pascal mantenne una corri­
spondenza con Pierre de Fermat, nella quale si trova l'inizio della formulazione teorica del calcolo
della probabilità, che Pascal chiamò "geometria dell'azzardo". In concreto, si conoscono 5
lettere del 1654, nelle quali si analizzano giochi d'azzardo che avevano già interessato Cardano.
In un altro lavoro in questo campo, Traité du triang!e arithmétique (1654) egli analizzò e dimo­
strò le proprietà del triangolo aritmetico, noto come il "triangolo di Pascal", i cui termini corri­
spondono ai numeri combinatori, utilizzati anni dopo da Newton per determinare i coefficienti
di sviluppo di un binomio.
L'opera matematica e scientifica di Pascal terminò nel 1655, quando si ritirò in convento per
dedicarsi alla sua opera filosofica e religiosa.
67
AZZARDO E GIOCO
PIERRE DE FERMAT (1601-1665}
Si tratta di uno dei grandi matematici della storia, anche se si è dedicato a questa scienza come
amateur e durante la sua vita non pubblicò i suoi lavori che si sono conosciuti grazie alla cor­
rispondenza che mantenne con grandi matematici della sua epoca come Descartes, Mersenne
e Pascal. Studiò legge e lavorò per gran parte della sua vita a Tolosa, dove ottenne una posizione di riguardo come awocato del Parlamento della
città, cosa che gli permise di avere del tempo libero
per dedicarsi alla matematica, sua vera passione. Il suo
principale interesse nella matematica ed i suoi principali
apporti riguardano la teoria dei numeri; una delle sue
congetture (l'equazione x" + Y' = z" non ha soluzioni in­
tere per n > 2) fu dimostrata solo alla fine del XX seco­
lo. Inoltre diede contributi importanti nel campo della
geometria e nella determinazione degli estremi di una
funzione per risolvere problemi di ottimizzazione prima
della nascita del calcolo differenziale. La sua corrispon­
denza con Pascal del 1654 costituisce il primo tentativo
rilevante per stabilire il concetto di probabilità.
L'azzardo domato.
Lo studio matematico delle probabilità
Per introdurre il concetto di probabilità e delle sue proprietà basiche inizieremo
col risolvere i due giochi proposti da Chevalier de Mèré, Una formulazione con­
creta del primo dice così: qual è la probabilità di ottenere almeno un 6 in quattro
lanci di un dado? Per risolvere il problema si utilizza un elemento proprio della
probabilità, secondo cui la probabilità che succeda un evento o anche il suo con­
trario deve essere 1. Pertanto, si calcola in primo luogo la probabilità di non otte­
nere alcun 6 con quattro lanci di un dado. È evidente che in un lancio di un dado
p (no 6) = 5/6. Dato che lanciando 4 dadi ciascun lancio è indipendente dagli altri,
è possibile determinare la probabilità dell'insieme moltiplicando le probabilità di
ciascun successo; risulterà che questa probabilità sarà:
(5/6) · (5/6) · (5/6) · (5/6)
= (5/6) 4 = 625 /
68
1296
= 0,482 < 1/2.
AZZARDO E GIOCO
Da questo segue che la probabilità che esca almeno un 6 sarà:
1 - (625 I 1296) = 671 I 1296 = 0,518 > 112.
Pertanto, si può affermare che è vantaggioso scommettere di ottenere un 6 in
quattro lanci, così come supponeva Chevalier de Méré.
In modo simile, si può analizzare e risolvere il secondo problema: qual è la
probabilità di ottenere un doppio 6 lanciando un paio di dadi per 24 volte? Come
prima, si calcola la probabilità di non ottenere alcun doppio 6 con 24 lanci. In un
lancio di due dadi p (no doppio 6) = 35/36. Pertanto, in 24 lanci si avrà:
p (no doppio 6) = (35/36) 24 = 0,5086.
Da questo risultato si deduce che la probabilità di ottenere per l o meno un
doppio 6 sarà:
1 - 0,5086 = 0,4914 < 1/2.
Per risolvere i giochi che abbiamo analizzato e che si possono considerare i
primi problemi di probabilità risolti come tali nella storia, abbiamo utilizzato un
insieme di definizioni e proprietà che costituiscono la base ed il punto di partenza
della teoria della probabilità.
Achille ed Aiace che giocano
ai dadi, una delle più celebri
anfore ateniesi a figure
nere. Realizzata nel VI sec.
a.e, è un'ulteriore prova
de/l'antichità di questo gioco.
69
AZZARDO E GIOCO
PIERRE SIMON LAPLACE (1749-1827)
Laplace è uno dei grandi matematici del XVIII secolo. Studiò teologia e matematica e fu professo­
re nella Scuola Reale Militare di Parigi e nella Scuola Normale Superiore. Fu membro dell'Istituto
Francese e della Royal Society di Londra. Durante la rivoluzione francese collaborò per stabilire
il sistema metrico decimale. Sotto il mandato di Napoleone fu membro del Senato e Cancelliere
e nel 1805 ricevette la Legione d'Onore. Con la Restaurazione borbonica, Laplace si trasformò
in un fermo difensore di Luigi XVIII, che lo nominò marchese nel 1817.
La sua principale opera fisico-matematica, forse il suo maggior contributo alla scienza, è il Traité
de mécanique céleste, in 5 volumi, pubblicato tra il 1799 e il 1825, nei quali completa i lavori
precedenti (di Newton, Halley ed Euler) sulla gravitazione universale e prova la stabilità del
sistema solare.
Dal 1780 lavorò sulla probabilità, pubbli�
cando nel 1812 la sua opera principale,
Théorie analytique des probabilités, con­
siderata il più importante lavoro in questa
disciplina.
Il risultato di quest'opera complessa lo
portò a scrivere, nel 1814, l'Essai phi/o­
sophique sur /es probabilités, che si può
considerare una versione divulgativa
della teoria analitica delle probabilità.
Quest'opera contiene l'argomentazione
più completa e consistente sulla concezio­
ne deterministica dell'universo. A questo
proposito, proprio Laplace affermò: "si
vede in questo saggio che la teoria delle
probabilità non è altro che il buon senso
applicato al calcolo(. .. ). Non c'è scienza
più degna delle nostre riflessioni ed i cui
risultati siano più utili".
Di seguito si enunciano - e si esemplificano con un gioco di dadi - dette pro­
ietà, molte delle quali sono state trattate nella menzionata corrispondenza tra
scal e Fermat e successivamente stabilite nei lavori sulla probabilità di Laplace.
70
AZZARDO E GIOCO
Evento
Probabilità
1
Per qualsiasi evento 5,
si ha sempre che:
O 5. p (5) s. 1
Lanciando un dado, la probabilità di ottenere un numero
determinato tra 1 e 6, per esempio 5, è 1/6, dato che
gli eventi possibili sono 6 e c'è solo un evento favorevole
(che esca 5).
2
Se S è un evento sicuro
p (5)= 1 e se S è un evento
impossibile p (5)= O
Lanciando un dado, l'evento che esca un 7 ha
probabilità O (è un evento impossibile), mentre l'evento
che esca un numero intero maggiore di O e minore
di 7 ha probabilità 1 (è un evento sicuro).
3
p (no 5) = 1 - p (5)
Lanciando un dado p (ottenere 6)= 1 - p (non ottenere 6).
Se si lancia il dado 4 volte , si otterrà: p (ottenere per
lo meno un 6) = 1 - p (non ottenere nessun 6).
4
Se A e B sono eventi disgiunti,
p (A o 8) = p (A) + p (8)
Lanciando un dado, p (ottenere un numero
pari o ottenere 5)= p (numero pari) +
+ p (5) = 1/2 + 1/6 = 2/3.
5
Se A e 8 sono eventi
indipendenti
p (A e 8) = p (A) · p (8)
Lanciando due dadi non ottenere 6: p (nessun 6
in 2 lanci)= p (no 6) · p (no 6)= 5/6 · 5/6= 25/36.
IL PROBLEMA DEI PUNTI
Vediamo un esempio di uno dei primi problemi sulla probabilità: Ruggero e Paolo stanno facendo
un gioco di scommesse il cui vincitore è il primo che ottiene 1 O punti. In ciascun giro entrambi
i giocatori hanno la stessa possibilità di vincere ed il vincitore ottiene un punto. Al termine del
17 ° giro Paolo sta vincendo per 9 a 8; dunque il gioco si interrompe e, dato che nessun gioca­
tore ha raggiunto i 1O punti, decidono di dividersi il denaro delle scommesse realizzate. Come
dovranno fare la divisione? La soluzione "corretta" del problema può dipendere da aspetti non
strettamente matematici, il che fa sì che esista più di una soluzione "accettabile". Senza dubbio,
l'analisi delle possibilità che ciascun giocatore ha di vincere permette di realizzare una distribu­
zione adattata alla probabilità. In effetti, per terminare la partita, si dovrebbero giocare ancora
2 giri, come massimo. Vi sono 4 risultati possibili e ugualmente probabili, per questi due 'giri:
(P, P), (P, R), (R, P), (R, R) dove P indica la vittoria di Paolo e R quella di Ruggero. In tre risultati,
la vittoria sarà per Paolo, che ha bisogno di un solo punto per vincere; solo in un caso (l'ultimo)
la vittoria sarà per Ruggero. Pertanto, il denaro delle scommesse va ripartito in ragione di 3: 1,
ossia 3/4 per Paolo e 1 /4 per Ruggero.
71
AZZARDO E GIOCO
Un altro problema trattato nella corrispondenza tra Pascal e Fermat ha rela­
zione con un gioco di scommesse: si tratta di decidere come bisogna dividere le
vincite tra i partecipanti ad un gioco di scommesse che rimanga interrotto in un
determinato momento. Questo problema, noto come il problema dei punti, era già
stato avvicinato da Cardano che aveva dato una soluzione in funzione dei punti di
ciascun giocatore e non in accordo con le probabilità di vincere di ciascuno nel
caso in cui il gioco fosse continuato fino alla fine.
Questioni di calcolo: l'ordine è importante?
Bisogna ricordare che la probabilità che un evento succeda si ottiene applicando
la seguente regola: P (evento) = casi favorevoli / casi possibili, ossia si determina
quante volte si ha un evento e si divide per il numero totale dei casi possibili. In
alcuni casi questo calcolo è molto semplice. Per esempio, qual è la probabilità di
ottenere un numero pari lanciando un dado? Abbiamo tre casi favorevoli (ottenere
2, 4 o 6) su un totale di 6 casi possibili: pertanto p (pari) = 3/6 = 0,5. Dato che il
numero totale dei casi è molto ridotto, il conteggio si può fare numerando tutti i
casi. Senza dubbio, in altre occasioni, il conteggio dei casi favorevoli e/o possibili
può essere piuttosto complicato, per cui è necessario identificare bene la situazione
e disporre dei metodi di calcolo per effettuare detto conteggio. Una parte molto
importante del lavoro di analisi di un gioco d'azzardo, o di una situazione aleatoria
in generale, quando questa sia piuttosto complessa, consiste nella numerazione di
tutti i casi per il suo conteggio.
Analizziamo di seguito alcune situazioni che permettono di vedere diversi
modi di fare conteggi.
Situazione 1
In una gara di atletica nella quale partecipano 12 corridori, quanti podi distinti con le 3 prime posizioni - si possono avere?
Chiunque dei 12 partecipanti può arrivare primo. Per ciascuno di loro, ci sono
11 atleti che possono arrivare secondi, e per ciascuna coppia rimangono 1O atleti che
possono arrivare terzi. Pertanto, il numero distinto dei podi sarà: 12 · 11 · 10 = 1320.
Ciò che abbiamo fatto è determinare il numero di gruppi di 3 atleti che è pos­
sibile avere con un totale di 12, tenendo presente che l'ordine di arrivo è rilevante.
In effetti, la terna 1, 2, 3 non è la stessa che 2, 3, 1; anche se gli atleti che arrivano al
72
AZZARDO E GIOCO
podio sono gli stessi in entrambe, la prima indica che la gara è stata vinta dall'atleta
1 (il 2 è arrivato secondo ed il 3 terzo), mentre la seconda indica che il vincitore è
l'atleta 2 (il 3 è arrivato secondo e 1'1 terzo).
La situazione precedente è nota con il nome di variazioni di 12 elementi presi
di 3 in 3, che si scrive V 12 3 e, come si è visto, si calcola con il prodotto 12 · 11 · 10.
In generale, per calcolare le variazioni di m elementi presi di n in n (è inteso che
n < m) si deve fare il seguente prodotto:
V12,3 = m · (m - 1) · (m - 2) · ... · (m - n + 1).
Situazione 2
Quando un giocatore di bridge ha ricevuto le sue 13 carte, in quanti modi diversi
può ordinarle?
Se si hanno 13 carte e si vogliono ordinare in tutti i modi possibili, ci sono 13
possibilità per la prima carta, 12 per la seconda, 11 per la terza e così via fino all'ul­
tima carta, per la quale ci sarà solo una possibilità. Pertanto, il numero totale delle
disposizioni sarà:
13 · 12 · 11 · ... · 3 · 2 · 1 = 13! = 6.227.020.800.
L'operazione precedente è nota col nome di permutazione di 13 elementi ed il
risultato si può scrivere anche con la cosiddetta notazione fattoriale, che utilizza il
punto esclamativo dopo il numero, nel nostro caso 13!.
In generale, n! corrisponde al risultato della moltiplicazione di n per tutti i suoi
precedenti fino a 1.
Una tavola come la seguente, con i primi 12 fattoriali, dà un'idea della crescita
di questi numeri.
1!
1
7!
1·2·3·4· 5·6· 7 = 5.040
2!
1·2 = 2
8!
1·2·3·4· 5· 6 · 7·8=40.320
3!
1·2·3=6
9!
1·2·3·4· 5· 6· 7 · 8·9 = 362.880
4!
1·2·3·4=24
10!
1·2·3·4· 5· 6· 7 ·8·9·1 O = 3.628.800
5!
1·2·3·4· 5 = 120
11!
1·2·3·4· 5 · 6· 7·8·9·1 O·11 = 39.916.800
6!
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6=720
12! 1·2 · 3 ·4 · 5 · 6 · 7 · 8·9· 1 O· 11 · 12=479.001.600
73
AZZARDO E GIOCO
Il conteggio è basilare in numerosi giochi di carte.
Ne/l'illustrazione, I giocatori di carte, tela del 1520 di Lucas van Leyden.
Situazione 3
Nel gioco del bridge, tenendo conto che in una mano si hanno 13 carte su un
totale di 52, quante mani distinte si possono distribuire?
In questo caso si deve calcolare il numero di gruppi distinti di 13 carte che si
possono formare da un totale di 52, tenendo conto che, una volta selezionate 13
carte, l'ordine in cui sono è irrilevante. Un modo possibile di calcolare le distinte
mani è considerare che se l'ordine fosse rilevante la quantità totale sarebbe:
52 · 51 · 50 · ... · 42 · 41 · 40 = 3,95424 · 1021 •
Senza dubbio, dato che l'ordine non è importante, ciascun gruppo di 13 carte è
stato contato 13! volte (che sono le permutazioni di 13), per cui il numero di mani
distinte del bridge sarà:
(52 · 51 · ... · 41 · 40) /13! = 52! / (39! · 13!) = 635.013.559.600.
74
AZZARDO E GIOCO
Si osservi che i numeri ottenuti sono enormi; nel primo caso, quando si tiene
conto dell'ordine, risulta un numero di 22 cifre; nel secondo caso (senza tener con­
to dell'ordine), un numero di 12 cifre.
Si potrebbe confrontare con l'età dell'universo: 1,5 · 10 10 anni, che espresso in
secondi sarebbe circa 4,7 · 10 17• Come dire che il primo dei numeri (3,9 · 10 21)
equivale a più di 8000 volte la quantità di secondi trascorsi dal Big Bang, mentre
il secondo numero (6,3 · 10 11) equivale a 42 volte la quantità di anni trascorsi
dall'inizio dell'universo.
La situazione precedente è nota col nome di combinazione di 52 elementi
presi di 13 in 13, che si scrive C52 , 1 3 e, come si è visto, si calcola con l'operazione:
52! / (39! · 13!). In generale, per calcolare le combinazioni di m elementi presi di n
in n (si intende che n < m), bisogna fare la seguente operazione:
C,,,," = m! I (m - n)! · n!
Situazione 4
Quando la finale di un torneo di calcio termina pari, si ricorre ai rigori, gene­
ralmente in serie di 5, ciascuno dei quali deve essere calciato da un giocatore
diverso.
Quante liste di 5 giocatori si possono realizzare tra gli 11 che hanno giocato la
partita, per determinare chi calcerà i rigori?
In certi casi non è evidente se l'ordine è rilevante o meno, e si possono accet­
tare entrambe le interpretazioni. Il problema precedente si può interpretare in 2
modi:
a) Fare gruppi di 5 giocatori, in modo che 2 gruppi distinti differiscano alme­
no per un giocatore.
In questo caso, si dovrebbero calcolare le combinazioni di 11 elementi presi
di 5 in 5, che sono: 11! / (5! · 6!) = 462.
b) Senza dubbio, quelli che conoscono la situazione sanno che ciascuna squa­
dra deve consegnare all'arbitro una lista ordinata che dichiari quale giocato­
re deve calciare ciascuno dei 5 rigori.
Pertanto, due liste con gli stessi giocatori, però in ordine diverso, saranno
differenti. Con questa interpretazione si dovranno calcolare le variazioni di
11 elementi presi di 5 in 5 che sono: 11 ! / 6! = 55.440.
75
AZZARDO E GIOCO
I numeri della lotteria ed altre false intuizioni
riguardo ali' azzardo
Un dialogo inventato:
- Mi dia un numero per la lotteria.
-Tenga lo 00010.
- Non mi piace, è molto basso e non esce mai.
- Se lo prende,le do anche lo 00001, due al prezzo di uno.
- Non lo voglio lo stesso,questo esce ancor meno.
-Va bene,ho anche il 74283.
- Questo sì che mi piace! Me lo dia e grazie per il cambio.
Tutti abbiamo una determinata idea di cosa sia l'azzardo e di quali siano le
regole del gioco. Ciò nonostante, di fronte ai problemi della probabilità, anche se
apparentemente semplici, sorge spesso il dubbio, più accentuato che di fronte ad
altri tipi di problemi o giochi matematici; pertanto,cercando di modellizzare ma­
tematicamente l'azzardo attraverso la probabilità, dobbiamo analizzare in dettaglio
ogni situazione. Il dialogo iniziale è forse un po' esagerato, però vuole mostrare
fino a che punto le regole più elementari della probabilità siano lontane da molte
situazioni quotidiane,in particolare dal gioco d'azzardo. D'altra parte,la passione di
molta gente per le scommesse prova ulteriormente quanto poco intervenga il cal­
colo delle probabilità nel ragionamento popolare. Per quanto la probabilità indichi
che si ha una altissima possibilità di perdere la scommessa e che, se anche si gioca
ogni settimana, è probabile che non ci tocchi mai nulla, si continua a giocare con
la nota argomentazione che a qualcuno toccherà. Al contrario, questa argomen­
tazione non si utilizza quando si esce in macchina per il weekend, pensando alla
possibilità di avere un incidente.
I capricci della probabilità
Presentiamo di seguito alcuni esempi curiosi a proposito della possibilità di vincere
un gioco o di realizzare un sorteggio equo; metteremo in dubbio,in più di un caso,
le nostre intuizioni. Tutti questi giochi e problemi mostrano che, in generale, le
nostre conoscenze sull'azzardo non sono sufficientemente assimilate,fino al punto
che ci portano ad intuire il contrario di ciò che succede nella realtà.
76
AZZARDO E GIOCO
Giocare a bocce
Due amici, Giovanni e Carlo, appassionati di petanque, si allenano col seguente
gioco: Giovanni ha due bocce e Carlo solo una; mettono il boccino in posizione e
lanciano le bocce. Se entrambi hanno la stessa abilità, che probabilità esiste che la
boccia più vicina sia una di quelle di Giovanni?
Il risultato parrebbe essere 2/3, dato che può succedere che la boccia di Carlo
rimanga prima, seconda o terza, ed in queste ultime situazioni la più vicina sarà
una di quelle di Giovanni.
Però possiamo ragionare diversamente, pensando che ci sono 4 casi possibili: le
due bocce di Giovanni possono restare davanti a quella di Carlo, o restare dietro,
oppure la prima davanti e la seconda dietro o al contrario. In questo caso, Carlo
vincerà solo in un'occasione e, pertanto, la probabilità che Giovanni si avvicini di
più sarà di 3/4. Quale ragionamento è sbagliato? Perché?
Il primo ragionamento è quello corretto. In realtà, se non si segnano le bocce
esistono 3 casi possibili, mentre se lo si fa, il numero dei casi diventa 6 ed in quattro
di essi Giovanni avrà una delle sue bocce più vicina al boccino. Il secondo ragio­
namento è fallace: mentre si sdoppia uno dei due casi (quando la boccia di Carlo è
la intermedia), considerando le bocce di Giovanni marcate, non si fa lo stesso negli
altri due casi, ciascuno dei quali si dovrebbe sdoppiare.
Un dado normale
Bruna e Ruggero prendono un dado normale, vale a dire con le facce segnate con
i numeri da 1 a 6; Bruna lancia per prima, poi segue Ruggero. Che probabilità ha
Bruna di ottenere un numero più alto di Ruggero?
È evidente che la probabilità che i numeri siano uguali è 1/6 (Ruggero ha una
possibilità su sei di ottenere lo stesso numero di Bruna); pertanto, la probabilità che
siano diversi sarà 5/6; la probabilità che il numero di Bruna sia maggiore sarà la
metà, ossia 5/12.
Qual è la probabilità di vincere?
Abbiamo tre dadi di colori diversi: il rosso ha sulle facce i n_umeri 2, 4 e 9, tutti e
tre duplicati; il blu i numeri 3, 5 e 7 anch'essi duplicati ed il bianco i numeri 1, 6 e
8 ripetuti come negli altri dadi. Il gioco, per due giocatori, consiste nello scegliere
un dado ciascuno e tirarlo; vince chi ottiene maggior punteggio. Risulta che se si
lascia scegliere per primo l'avversario, questi potrà sempre scegliere un dado che gli
darà maggior probabilità di vincere. Che dado dovrà scegliere?
77
AZZARDO E GIOCO
Affresco di Pompei dedicato ai giocatori di dadi (I secolo).
Nonostante il fatto che i numeri di tutti i dadi abbiano la stessa somma, si trat­
ta di una situazione sorprendente, dato che il blu vince sul rosso, il bianco vince
sul blu ed il rosso vince sul bianco. In tutti questi accoppiamenti, su una media di
nove lanci, in cinque vince il primo ed in quattro il secondo; ossia, la probabilità di
vincere con uno dei dadi è 5/9 e con l'altro di 4/9; tale probabilità si può calcolare
facilmente se si analizzano tutti i casi possibili per ciascuna coppia di dadi. Così
dunque, scegliendo per secondi, se lo si fa adeguatamente, si ha sempre la possibi­
lità di vincere.
Un sorteggio controverso
Un professore decise di sorteggiare un regalo tra i suoi 30 alunni; uno di questi
propose di prendere 30 foglietti, segnarne uno e dopo averli piegati e mescolati,
distribuirli uno per alunno; il professore propose un metodo più semplice e veloce:
disse che avrebbe pensato un numero, tra 1 e 30 (che avrebbe scritto su un foglio)
e, seguendo l'ordine in cui erano seduti, ciascun alunno avrebbe detto un numero
fino a che uno avesse indovinato quello pensato dal professore.
78
AZZARDO E GIOCO
Un alunno, seduto in fondo alla classe, disse che non era d'accordo con questo
metodo, sostenendo che egli avrebbe avuto poche possibilità di indovinare, meno
dei primi e che, addirittura, non avrebbe avuto possibilità di dire un numero, per­
ché qualcun altro prima di lui lo avrebbe indovinato.
Aveva ragione questo alunno o, al contrario, il professore aveva proposto un
sorteggio giusto?
Il ragionamento del professore è assolutamente equilibrato, dato che tutti gli
alunni hanno la stessa probabilità di indovinare, che sarà 1/30 per ciascuno. In
effetti, per il primo è evidente che la probabilità è 1/30, perché ha trenta nume­
ri tra cui scegliere; la probabilità per il secondo sarà 29/30 · 1/29 = 1/30, ossia
probabilità che il primo non indovini (29/30) ed egli sì (1/29); per il terzo sarà
29/30 · 28/29 · 1/28 = 1/30, e così di seguito fino all'ultimo. D'altra parte, si os­
servi che essendo la probabilità del primo 1/30, se detta probabilità diminuisse per
gli altri, la somma delle probabilità non sarebbe 1; ciò è impossibile, poiché nomi­
nando tutti i numeri possibili, ci sarà sempre chi indovina.
Una scommessa poco interessante
Un giocatore punta sempre pari o dispari alla roulette (se indovina vince una som­
ma uguale alla scommessa e se perde rimane senza nulla) e decide di giocare così:
inizierà con una certa quantità e scommetterà ogni volta 1/10 della quantità che
avrà in quel momento; se inizia con 100 € e scommette dieci volte di seguito in
modo che vince in cinque e perde nelle altre cinque, avrà più, meno o uguale de­
naro di quando ha iniziato?
Possiamo generalizzare il problema supponendo che inizi il gioco con una
quantità qualsiasi, per esempio m euro, e che ogni volta scommetta 1/ n della quan­
tità che ha al momento di scommettere.
Anche se pare che dopo aver giocato dieci volte, vincendo in cinque e per­
dendo nelle altre cinque, avrà lo stesso denaro che aveva all'inizio, per certo ne
avrà di meno; in effetti, quando vince incrementa di 1/10 ciò che aveva, il che
equivale a moltiplicare la quantità per 1,1, mentre quando non indovina perde
1/10, il che equivale a moltiplicare la quantità per 0,9. In questo modo, con cinque
successi e cinque fallimenti (a margine dell'ordine in cui si saranno verificati) avrà:
100 · (1,1)5 • (0,9)5 = 100 · 1,61051 · 0,59049 = 100 · 0,95099 '.:::'. 95,099 € e avrà
perso circa 5 €.
Il ragionamento si può generalizzare ed il fatto che il risultato finale sarà sem­
pre inferiore all'iniziale si basa su (1 + 1/n) · (1 - 1/n) = 1 - 1/n2 , che è minore
79
AZZARDO E GIOCO
Illustrazione del secolo XVIII con una caricatura di giocatori di "even - odd" (pari - dispari),
gioco antenato della roulette.
di 1, per cui la quantità iniziale, moltiplicata per un numero minore di 1, diminuirà
sempre.
Anniversari coincidenti
Uno dei problemi elementari della probabilità, il cui risultato è davvero sorpren­
dente, è il seguente: qual è la probabilità che in un gruppo di 25 persone ce ne
siano per lo meno due che celebrino il compleanno lo stesso giorno? Tenendo
presente che l'anno ha 365 giorni (non consideriamo gli anni bisestili) e che ci
sono solo 25 persone nel gruppo, l'intuizione ci porta a pensare che la probabilità
sarà piuttosto bassa, in ogni caso, minore di 0,5; con un calcolo delle probabilità
scopriamo che la suddetta è maggiore di 1/2. In effetti, dato che ci possono essere
due o più persone nate nello stesso giorno, calcoliamo la probabilità che tutte le
80
AZZARDO E GIOCO
persone del gruppo siano nate in un giorno diverso. Per cui consideriamo le 25
persone nell'ordine: la prima persona può essere nata in uno qualsiasi dei 365 gior­
ni; la seconda in uno qualsiasi dei 364 restanti; la terza in uno degli altri 363 e così
via. Pertanto, la probabilità che le 25 persone siano nate in un giorno diverso sarà:
p (giorno diverso)= 365/365 · 364/365 · 363/365 · ...... · 341/365 =
= 365! / (340! · 36525) ""0,4313.
Da ciò si ottiene che la probabilità che per almeno due persone la data di na­
scita coincida è: 1 - 0,4313 = 0,5687 > 1/2. In realtà, è sufficiente un gruppo di 23
persone perché questa probabilità sia maggiore di un 1/2.
L'azzardo non ha memoria
Uno degli aspetti in cui solitamente l'intuizione è fallace è nella determinazione di
successi indipendenti. In effetti, supponiamo di osservare un gioco alla roulette e
che siano apparsi 1O numeri pari di seguito.
Decidiamo di scommettere pari o dispari nella giocata seguente; cosa sarà me­
glio? Senza dubbio, una piccola conoscenza della probabilità ci fa affermare che è
indifferente, dato che ci sono le stesse possibilità che il numero sia pari o dispari.
Senza dubbio, quest'idea, che sintetizziamo dicendo che "l'azzardo non ha memo­
ria", non è sempre facile da identificare, come si vedrà analizzando le situazioni
seguenti.
Lanciare una moneta
Un professore di matematica propose ai suoi alunni di lanciare una moneta molte
volte, per esempio 150, e di scrivere i risultati, annotando 1 ogni volta che veniva
testa e O ogni volta che veniva croce. Questi sono i risultati ottenuti da due alunni:
Ruggero: 01011001100101011011010001110001101101010110010001
01010011100110101100101100101100100101110110011011
01010010110010101100010011010110011101110101100011.
Bruna:
10011101111010011100100111001000111011111101010101
11100001010001010010000010001100010100000000011001
00001001111100001101010010010011111101001100011010.
81
AZZARDO E GIOCO
Il professore osservò i risultati e scoprì che qualcosa non funzionava. Certa­
mente, mentre uno degli alunni aveva realizzato correttamente l'esperimento, l'al­
tro aveva pensato che non era necessario lanciare la moneta, ma che bastava anno­
tare gli uno e gli zero d'azzardo. Peccato che la sua idea di azzardo non fosse molto
precisa e che il professore scoprisse subito che uno dei due aveva ingannato. Quale
dei due alunni non lanciò la moneta?
La tendenza a distribuire in maniera regolare gli uno e gli zero di Ruggero
portò il professore a sospettare di lui. In effetti, se confrontiamo le distribuzioni di
Ruggero e di Bruna vediamo, da un lato, che il numero di uno e zero di ciascuno
è simile e "ragionevole" (78 e 72 per il primo, 70 e 80 per il secondo); però nel
caso di Ruggero le sequenze di uno e zero sono tutte molto corte (al massimo 3)
mentre nelle distribuzioni di Bruna appaiono serie di quattro, di cinque e una di
nove risultati uguali. Qui abbiamo il principale sospetto.
Analizzando il fatto precedente in termini di probabilità condizionata e tenen­
do presente che ogni lancio è indipendente dai precedenti, si vede che dopo un
1 appaiono numeri uno e zero distribuiti "razionalmente"; risulta che nella distri­
buzione di Ruggero dopo un 1 appaiono 47 uno e 30 zero, dopo 2 uno appaiono
solo 5 uno e 18 zero, e dopo 5 sequenze di 3 uno appare sempre uno zero. Si può
provare che questa chiara deviazione si ha ugualmente prendendo le sequenze di
zero nella distribuzione di Ruggero, cosa che non si ha nei risultati di Bruna (per
esempio, dopo 2 uno appaiono 18 uno e 14 zero e dopo 3 uno ci sono 9 uno e 9
zero). Pertanto, l'idea di azzardo di Ruggero, secondo la quale le irregolarità non
devono comparire, fece sì che il professore scoprisse l'inganno.
Di sicuro, nella situazione seguente, la discussione sull'influenza dell'informa­
zione nella modifica (o meno) della probabilità raggiunge livelli più interessanti.
Il gioco successivo, un adattamento di un classico problema di "prigionieri",
mostra la difficoltà a comprendere in che modo una particolare informazione al­
teri la probabilità.
Concorso televisivo
Una delle prove di un gioco televisivo consiste nel trovare un premio nascosto
dietro una porta: ci sono tre porte ed il concorrente deve sceglierne una (senza
aprirla); di seguito, il presentatore del gioco (che sa dietro quale porta si trova il
premio) apre una delle porte non scelte dal concorrente, dove non c'è il premio, e
propone la possibilità di cambiare la porta scelta inizialmente con l'altra chiusa. Si
dovrà accettare il cambio per avere più possibilità di vincere il premio?
82
AZZARDO E GIOCO
UN DOPPIO PREMIO NOBEL MOLTO MODESTO
Quando il chimico Linus Pauling (1901-1994) ricevette il suo secondo Premio Nobel (il primo
per la Chimica nel 1954, per i suoi lavori di chimica quantistica ed il secondo per la Pace nel
1962, per le sue campagne contro le prove nucleari), commentò, evidentemente scherzando,
che mentre ricevere il primo premio era stato molto difficile, dato che la probabilità era di uno
tra seimila milioni, ossia la popolazione mondiale, nel secondo caso aveva meriti minori dato
che la probabilità era di una su poche centinaia (il numero di persone allora vive che già avevano
ricevuto un Premio Nobel).
Dove sta il problema in questo ragionamento divertente, ma sicuramente fallace?
Per considerare che la probabilità di ricevere un secondo premio Nobel dipenda solo dal numero
di quelli che lo hanno già ricevuto, è necessario sapere che il comitato abbia deciso di premiare
chi ha già un premio Nobel; però, se non si dispone di questa informazione, ottenere il secondo
premio, in termini di proba­
bilità, è ugualmente difficile
che ottenere il primo, dato
che ci tocca supporre che il
comitato non tenga conto,
nella sua selezione, se i can­
didati abbiano già ricevuto
altri premi in precedenza. È
chiaro che in questo caso,
considerare il fatto di ot­
tenere un premio Nobel in
termini di probabilità è per
se stesso uno scherzo, dato
che, evidentemente, non è
solo un problema di sorteg­
gio, ma anzi, principalmen­
te, di meriti.
Linus Pàuling (a destra)
mentre riceve il Premio
Nobel per la Pace.
83
AZZARDO E GIOCO
Si tratta di una nuova forma di un noto e controverso problema delle probabi­
lità, nel quale si deve trovare come cambia la probabilità di ciascuna porta. Quan­
do il concorrente sceglie una delle tre porte, la probabilità di ottenere il premio è
1/3. Questa probabilità non cambia quando il presentatore sceglie una delle altre
porte (che non contiene il premio) e la apre; già si sapeva che una delle due non
conteneva il premio, però si modifica la probabilità dell'altra porta chiusa, che
passa da probabilità 1/3 a probabilità 2/3 (le probabilità delle porte chiuse devono
avere somma 1). Dunque,
il concorrente deve accettare il cambio di porta ed avrà
,
una probabilità di 2/3.
La controversia di questo problema sta nel fatto che, così come si è proposto,
la probabilità della porta scelta inizialmente dal concorrente non cambia; sarebbe
diverso se, avendo scelto il presentatore una porta dove non c'è il premio ed il
concorrente segnalato una delle due porte rimaste, quest'ultimo chiedesse al pre­
sentatore se c'è il premio e questi gli rispondesse di no; in questo caso la probabi­
lità della porta scelta inizialmente passerebbe da 1/3 a 1/2.
Il gioco precedente ammette una generalizzazione interessante: ci sono n por­
te e dietro una di queste c'è un premio; il concorrente sceglie una porta (senza
aprirla), il presentatore apre una delle altre, dove non c'è il premio e poi per­
mette al concorrente di cambiare porta se lo desidera. Di seguito, il presentatore
apre un'altra porta (tra le altre chiuse, eccetto quella scelta dal concorrente), dove
neppure si trova il premio, e continua a permettere al concorrente di cambiare la
porta scelta; il gioco continua fino a che rimangono solo 2 porte chiuse ed il gio­
catore sceglie per l'ultima volta. Come dovrà giocare il concorrente per ottenere
la più alta probabilità di vincere il premio? Quale sarà in questo caso la probabilità
di vincere?
Partendo dal fatto che quando il presentatore apre una porta si cambiano le
probabilità di tutte le porte chiuse eccetto di quella segnalata dal concorrente,
risulta che la strategia che permette di ottenere una probabilità maggiore consiste
nel non cambiare porta fino a che non ne rimangano solo due chiuse; a questo
punto, il concorrente cambierà porta e avrà una probabilità uguale a (n - 1) In.
In effetti, quando sceglie per la prima volta, la probabilità di vincere il premio è
1/n (si ricordi che ci sono n porte); se non cambia fino a che rimangono 2 porte
chiuse, la porta scelta inizialmente continua ad avere probabilità 1/ n, perché l'altra
porta chiusa avrà probabilità (n - 1)/n, che è la maggiore possibile.
Se, al contrario, durante il gioco il concorrente cambia porta, anche se a que­
sto punto la determinazione delle probabilità diventa più complessa (dipende dal
84
AZZARDO E GIOCO
numero di cambi e da quando si realizzano), si può essere sicuri che tutte supe­
rino 1/n (tutte hanno aumentato almeno una volta la probabilità iniziale), per
cui quando rimarranno due porte nessuna delle due raggiungerà la probabilità
(n-1)/n.
Se si vuole approfondire questo gioco, si può vedere come si modificano le
probabilità in funzione delle diverse strategie; i risultati sono assai complessi, ma
molto interessanti.
Matematica e speranza
Uno dei concetti più importanti quando si prendono decisioni in un gioco d'az­
zardo viene chiamato speranza matematica.
Vediamo alcuni esempi, prima di dare una definizione di tale espressione; sup­
poniamo che ci propongano il seguente gioco d'azzardo: si lanciano 2 monete
(non truccate) e se il risultato sono 2 teste si guadagnano 4€, se sono due croci si
guadagna 1€, se esce una testa ed una croce si perdono 3€. Ci interessa giocare?
Quanto speriamo di vincere (o di perdere)?
Ci sono 4 possibili risultati lanciando 2 monete: 2 teste (p = 114), 2 croci
(p = 1 I 4), testa e croce (p = 1I 4), croce e testa (p = 1 I4). Dunque ogni quattro lanci
usciranno, in media, una volta due teste, una volta due croci e due volte una ed
una, per cui i nostri guadagni saranno: 1 · 4€ + 1 · 1€ + 2 · (-3) € = -1€. Questo
ci suggerisce di non giocare; se lo facessimo avremmo, in media, una perdita di 1 €
ogni 4 giocate, ossia 25 centesimi a giocata. Questo stesso risultato si può ottenere
moltiplicando le probabilità che succeda ciascuno dei casi possibili per la vittoria
che otterremmo in detto caso (o perdite, che si indicano in negativo) e sommando
i risultati. In questo caso si avrà:
1/4 · 4€ + 1/4 · 1€ + 1/2 · (-3) € = 0,25€.
Vediamo un secondo esempio. In un gioco di scommesse che consiste nel lan­
ciare un dado, il banco paga sei gettoni se esce un 6, quattro gettoni se esce un
numero pari e niente negli altri casi. Quanto dobbiamo scommettere in ciascuna
giocata per avere un gioco equilibrato?
Tenendo presente che p (6) = 1/6 e p (dispari) = 1/2, in ogni giocata si spera
di guadagnare: 1/6 · 6 + 1/2 · 4 + 1/3 · O= 3 gettoni. Pertanto, il gioco sarà equi85
AZZARDO E GIOCO
librato (non è avvantaggiato il banco, né il giocatore) se ciascuna scommessa costa
3 gettoni.
Questi esempi ci introducono all'idea di speranza matematica e di giochi di
scommesse equilibrati, che ora possiamo definire in maniera generale. Siano S 1, S2,
S3,
••• ,
S11 gli eventi, disgiunti due a due (nessuno può verificarsi simultaneamente),
che si possono avere in un gioco d'azzardo, ciascuno con la probabilità di accadere
dip 1 ,A,A, . . . ,p 11 (con la condizione che p 1 +p2 +A+ ...+ p 11 = 1), e con i paga­
menti rispettivi r1, r2, r3 ' ... , r,,; il guadagno sperato o la speranza matematica (X)
di un gioco nel quale i risultati devono essere uno degli eventi S 1, S2, S3 ,
definisce come:
.••,
S si
11
A partire da questa definizione, si dirà che un gioco di scommesse è giusto (o
equilibrato) se la speranza matematica (il guadagno medio per giocata) coincide
con la scommessa che si deve pagare. Si dice anche che la speranza matematica glo­
bale (ciò che si spera di guadagnare meno ciò che si deve pagare per giocare) sia O.
Vediamo una nuova applicazione di speranza matematica per determinare se un
gioco d'azzardo sia equilibrato o no.
Un gioco di scommesse con tre dadi
Un gioco d'azzardo consiste in questo: un giocatore scommette 1 € su un numero
da 1 a 6, per esempio 3. Si lanciano tre dadi normali; se esce un 3 guadagna 1 €, se
escono 2 tre guadagna 2€ se ne escono tre, guadagna 3€; in tutti questi casi gua­
dagna più dell'euro giocato. Se con nessuno dei tre dadi esce un tre, perde l'euro
giocato. È un gioco equilibrato, favorevole al banco o al giocatore?
Anche se a prima vista può sembrare favorevole allo scommettitore, in realtà
non lo è. Pare interessante scommettere se si ragiona così: dato che ci sono 3 dadi
e la probabilità di ottenere il numero scommesso è 1/6 in ciascun dado, ci sarà
almeno 1/2 di probabilità di vincere; però esiste anche la possibilità di ottenere 2
o anche 3 numeri uguali a quello scommesso, per cui il gioco sarà favorevole allo
scommettitore.
Il ragionamento precedente è però scorretto. In effetti ci sono 216 possibilità
(6 · 6 · 6). In un solo caso (p = 1/216) si ottiene il triplo; in 15 casi si ottiene il
86
AZZARDO E GIOCO
doppio (p = 15/216) ed in 75 casi si guadagna la quantità uguale a quella scom­
messa (p = 75/216). Pertanto, in 125 casi (216 - 1 - 15 - 75) si perde la quantità
scommessa.
Osserviamo che già in questo momento si vede che ci sono più casi in cui si
perde (125) di quelli in cui si guadagna (91): se si calcola la speranza matematica
associata ad una scommessa di 1€, si avrà:
3 · 1/216 + 2 · 15/216 + 1 · 75/216 - 1 · 125/216
= 108/216 - 125/216 = - 171216 = - 0,0787 ...
=
Pertanto, il gioco è favorevole al banco, che spera di guadagnare quasi 8 cente. .
.
s1nu per ogm euro scommesso.
Anche se abbiamo esemplificato l'idea di speranza matematica nei giochi d'az­
zardo, questo concetto si può applicare a situazioni aleatorie diverse che, in molti
casi, hanno poco o niente a che vedere col gioco d'azzardo, come nel seguente
esempio.
Un pagamento anticipato
Il prossimo luglio ci sarà un congresso al quale siamo interessati, però non siamo
sicuri di poter partecipare per problemi di lavoro e di agenda.
Se paghiamo l'iscrizione entro 1'1 di marzo, questa costa 150€ (senza rimborso
in caso di rinuncia), mentre se si paga più tardi il costo è di 200€ (si può anche
pagare all'arrivo al congresso).
Il 28 febbraio facciamo una stima delle probabilità di partecipare al congresso
(diamo a questa probabilità il nome p). Che bisogna fare, in accordo con p, pagare
in anticipo o aspettare l'arrivo al congresso?
Se si paga in anticipo la speranza è -150 (tanto si dà andando o no, dato che
non c'è rimborso).
Se si paga al momento di arrivare la speranza è -200 · p + (1 - p) · O= -200 · p
(si paga solo se si va al congresso).
Le due speranze sono uguali se p = 150/200 = 0,75.
Pertanto, se p > 0,75 è meglio fare la prenotazione anticipata e se p < 0,75 è
meglio non pagare fino all'arrivo al congresso. Nel caso in cui p = 0,75 allora è
indifferente.
87
AZZARDO E GIOCO
È possibile vmcere contro il banco?
Probabilità di successi ripetuti
Come si è visto nel paragrafo precedente, la speranza matematica dà un'idea se un
gioco di scommesse sia equilibrato o meno. Nel primo caso, in un numero elevato
di giocate, si spera di non ottenere né vincite né perdite, mentre se il gioco non è
equilibrato si può determinare la quantità che, in media, si spera di guadagnare (o
perdere).
Senza dubbio, sono esistiti ed esistono giocatori che, dopo aver scommesso di
seguito in un gioco equilibrato o con una speranza leggermente negativa, han­
no ottenuto alcuni benefici. Occupiamoci ora della matematica che ci permet­
ta di analizzare meglio la realizzazione di giocate (o prove) ripetute in un gioco
di scommesse (esperimento) col fine di determinare la probabilità di "superare le
aspettative".
Inizieremo analizzando un questione del gioco della roulette (con 37 numeri,
da 1 a 36 più lo O). Qual è la probabilità di ottenere 3 zero in 10 giocate?
La probabilità di ottenere 3 zero in una posizione determinata sarà (1/37)3
· (36/37)7 = 0,00016. La probabilità totale sarà la precedente per il numero di posi­
zioni che possono occupare i tre zero: C rn 3 = 120 ossia:
p (3 zero in 10 giocate )= 120 · 0,00016= 0,0192,
il che significa approssimativamente 1 possibilità su 50.
L'esempio precedente si può generalizzare, ottenendo un risultato importante
per l'analisi dei giochi, nella seguente maniera: se in un gioco d'azzardo (esperi­
mento aleatorio) si realizzano n giocate (n prove indipendenti), già sappiamo che
la probabilità che si ottenga un certo evento, in relazione alla giocata che si ripete
è p, dunque
p (r risultati in n prove)= e,,,, · p' ·
q(t1-,),
dove p= 1 - p, r::; n.
La distribuzione delle probabilità, prendendo r distinti valori da 1 a n, si chiama
distribuzione binomiale. Per poterla applicare è necessario che le prove siano indi­
pendenti e che la probabilità di un evento sia costante nelle successive prove.
88
AZZARDO E GIOCO
Utilizziamo detta distribuzione della probabilità per trovare la probabilità di
ottenere r teste lanciando una moneta n volte, con r = 1, 2, ..., n.
In questo caso,p (una testa)= 1/2, e pertanto q = 112, da cui si ottiene sempre
che p' · qs-, = (1/2)' · (1/2)8-,= (1/2)8 = 1/256. Moltiplicando questo valore per le
successive combinazioni (C 8 ) per i valori distinti di r, avremo:
Numero
di teste
Possibilità di realizzare
il numero di teste
Probabilità di ottenere
il numero di teste
o
es.o = 1
1 · 1/256 = 1/256
1
CB,1 = 8
8 · 1/256 = 8/256
2
C8,2 = 28
28 · 1/256 = 28/256
3
C8,3 = 56
56 · 1/256 = 56/256
4
CB,4 = 70
70 · 1/256 = 70/256
5
CB,S = 56
56 · 1/256 = 56/256
6
C8,6 = 28
28 · 1/256 = 28/256
7
CB,7 = 8
8 · 1/256 = 8/256
8
ca.a = 1
1 · 1/256 = 1/256
La simmetria della distribuzione delle probabilità che si osserva nella tabella è
la conseguenza che la probabilità di ottenere una testa in un lancio sia 1/2. Sicu­
ramente il lettore avrà osservato che i numeri successivi (1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8,
1) della tabella precedente corrispondono ai numeri del triangolo aritmetico (o di
Pascal). In effetti, la distribuzione binomiale è in relazione ai coefficienti di svilup­
po del binomio e, in questo caso concreto, corrispondono ai coefficienti (a+ b)8 .
89
Capitolo 4
La teoria matematica dei giochi
I nove decimi della matematica,
con l'eccezione di quelli che hanno origine nelle necessità di
ordine pratico, consistono nella soluzione di indovinelli.
Jean Dieudonné
La teoria dei giochi è una branca della matematica che si occupa principalmente di
prendere decisioni. Grazie alle sue caratteristiche, si applica a tutti i tipi di situazioni
in cui si propone uno scontro, nel quale i contendenti devono prendere le decisioni
più favorevoli ai loro interessi, senza conoscere quelle che prenderanno gli avver­
sari. La formulazione della teoria si basa su giochi astratti, da ciò il suo nome. Però
questa non si interessa propriamente di giochi, ma di applicazioni a tutte quelle
situazioni le cui caratteristiche fanno sì che l'analisi e le soluzioni si realizzino attra­
verso una modellizzazione di una situazione come se fosse un gioco astratto.
Questo capitolo tratta di giochi competitivi a somma zero per due persone. Per
"somma zero" si intende che i benefici di un giocatore equivalgano in qualsiasi
momento alle perdite dell'altro, ossia che ci sia solo un vincitore assoluto. Suppo­
niamo che ciascun giocatore cerchi sempre di realizzare la giocata a lui più favore­
vole, ossia quella che produce maggiori benefici. In altre parole, i giocatori non si
accontentano di niente di meno che della totalità dei benefici.
I principi della teoria dei giochi
Per introdurre la teoria dei giochi, si presentano di seguito tre giochi che serviran­
no a distinguere diversi livelli di difficoltà, così come alcuni concetti chiave che si
utilizzeranno in questo capitolo e nel seguente. Il lettore deve intendere che anche
se questa teoria utilizza la terminologia dei giochi, (per questo si parla di gioco,
giocatori, partite, strategie, gioco equilibrato, valore di un gioco, etc.), ciascuna
situazione presentata non ha nulla di corrispondente in realtà ad un gioco, nel si­
gnificato utilizzato per questo termine nei capitoli precedenti.
91
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
I PRECURSORI DELLA TEORIA DEI GIOCHI
Già nel XVII secolo, scienziati come Ch.
Huygens (1629-1695) e G. W. Leibniz
(1646-1716) proposero la creazione di una
disciplina che utilizzasse il metodo scientifico
per studiare i conflitti e le interazioni umane,
anche se non raggiunsero risultati rilevanti.
Durante il XVIII secolo si conoscono pochi la­
vori in relazione all'analisi dei giochi con que­
sta finalità; merita una citazione una lettera
di James Waldegrave, del 1713, nella quale
egli dà una soluzione per un gioco di carte
per due giocatori (Le Her), al quale applica
un metodo simile a quello che conosciamo
come stratégia mista, dando una soluzione
del tipo minimax. Purtroppo, non c'è alcun
tipo di teorizzazione né generalizzazione per
applicare il metodo ad altri casi.
Nel XIX secolo vari economisti hanno svi­
luppato modelli matematici semplici per
Ritratto di G. W Leibniz, filosofo tedesco
che diede un significativo contributo allo
sviluppo della matematica.
analizzare situazioni competitive elementari.
Tra i tanti si distingue il lavoro di Antoine Au­
gustin Cournot Recherches sur /es principes
mathématiques de la théorie des richesses (1838), nel quale si affronta un duopolio e si dà
una soluzione che si può considerare come un caso particolare dell'equilibrio di Nash. Senza
dubbio, la teoria dei giochi come teoria matematica basata su fondamenti è opera della prima
metà del XX secolo.
È meglio immaginare una situazione (confronto), inizialmente tra due persone
o gruppi), nella quale ci sono alcune regole che determinano le giocate possibili
: nelle quali, prendendo decisioni da parte di uno dei due giocatori in maniera
imultanea (e non alternativa come nei giochi del capitolo 2) - cosa che non ci
,ermette di conoscere la giocata dell'avversario -, si ottengono alcuni guadagni
,er l'uno o l'altro giocatore.
92
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
D'ora in poi, si parlerà di giochi per riferirsi a situazioni; di giocatori, per lo meno
due, che sono i partecipanti alla situazione; di strategie, nelle quali ogni giocatore
prenderà decisioni che coinvolgeranno la giocata; di guadagni, ossia ciò che ogni
giocatore vince o perde in conseguenza delle decisioni prese.
Per conoscere i contenuti basici della teoria dei giochi iniziamo con il seguente
caso (molto semplice e senza alcun interesse come gioco): due persone,A e B, scri­
vono simultaneamente un numero (possono scegliere 1 e 2). Il giocatore B deve
pagare ad A la quantità di euro corrispondente alla somma dei due numeri scritti
da entrambi. Evidentemente, non è un gioco equitativo (A vince sempre); però ci
possiamo chiedere come ciascun giocatore dovrà giocare d'accordo con i propri
interessi. Osserviamo pertanto la matrice del gioco, detta matrice dei pagamenti o dei
guadagni, con i possibili risultati
B scrive 1
B scrive 2
A scrive 1
2
3
A scrive 2
3
4
I numeri della matrice indicano la quantità di euro che B deve pagare ad A,
secondo la strategia seguita da ciascun giocatore (le due possibilità per giocatore
danno i quattro risultati della matrice). Data la semplicità del gioco, risulta evi­
dente che se ciascun giocatore gioca d'accordo col proprio interesse, A scriverà
un 2 mentre B scriverà un 1 ed il guadagno di A sarà di 3€. Analizziamo più in
dettaglio queste giocate per vedere come può procedere ciascun giocatore: dato
che A non conosce il gioco di B, deve supporre che B giocherà per minimizzare
i suoi pagamenti, in modo che se A scrive 1 guadagnerà come minimo 2€, e se
scrive un 2 guadagnerà come minimo 3€. Si dice che 3 (il numero della casella
inferiore sinistra della matrice) è il maximin (il massimo dei minimi). Ugualmente,
B suppone che A giochi per ottenere i maggiori benefici, per cui se B scrive un 1,
perderà come massimo 3€ e se scrive un 2 perderà come massimo 4€. Si dice che
3 è il minimax (il minimo di massimi). Quando in un gioco il maximin ed il mini­
max coincidono in una stessa casella, come in questo caso, si dice che la partita è
strettamente determinata e che il gioco ha un punto di sella (se si immagina una sella,
si possono visualizzare due linee curve perpendicolari, una con un minimo e l'altra
con un massimo ed un punto dove coincidono il minimo dell'una ed il massimo
dell'altra).
93
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
La quantità corrispondente al punto di sella, nel nostro caso 3€, è il valore del
gioco che si ottiene sempre che ciascun giocatore segua la sua strategia ottima. Se
uno dei due realizza un'altra giocata (applica un'altra strategia), l'avversario potrà
superare il valore del gioco, guadagnando di più o perdendo di meno, a seconda
che siaA o B. Si dice anche che questo è un gioco determinato per il quale esiste una
strategia pura.
Consideriamo ora un altro gioco, con le stesse condizioni del precedente in
quanto alle giocate che possono realizzare entrambi i giocatori, però con una matri­
ce di pagamenti diversa, data con le regole della parità: se entrambi i giocatori scri­
vono lo stesso numero,A vince 1€, mentre se scrivono numeri diversi, B vince 1€.
B scrive 1
B scrive 2
A scrive 1
1
-1
A scrive 2
-1
1
Ora il maximin di A è -1 (entrambi i minimi sono -1), mentre il minimax di
B è 1 (entrambi i massimi sono 1); questa differenza fa sì che il gioco non abbia un
punto di sella e, pertanto, non esista una strategia di gioco assoluta. Se A adotta una
strategia (per esempio, scrivere sempre 1) che è identificata da B, questi scriverà
sistematicamente sempre 2 e guadagnerà 1€.Data la semplicità e la simmetria del
gioco, la strategia ottima deve essere quella che contiene una proporzione uguale
di uno e due, tale che il giocatore avversario non possa identificare un modello.
Perciò la strategia ottima consisterà nel giocare d'azzardo, per esempio lanciando
una moneta e associando la testa ad 1 e la croce a 2. In questo caso non si può
parlare di strategia pura, dato che l'intervento necessario dell'azzardo fa sì che la
maniera di giocare non si possa determinare a priori. Quando la strategia ottima
richiede l'azzardo e si deve mantenere segreta si parla di strategie miste.
I due esempi esaminati corrispondono a due casi semplici che potremmo chia­
mare estremi: nel primo, il gioco è determinato dalla scelta di una strategia pura,
dato che la miglior strategia per ciascun giocatore porta ad un risultato coinciden­
te che si chiama valore del gioco. Nel secondo, invece, nessuna forma di gioco prede­
terminata porta ad ottenere i risultati migliori, per cui l'unica maniera di giocare
che ce li possa garantire è una strategia aleatoria, che si chiama strategia mista.
Vediamo ora un terzo gioco, simile ai precedenti, la cui analisi per determinare
le strategie ottime per ciascun giocatore è, però, maggiormente complessa.
94
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
Come nei giochi precedenti, ciascun giocatore può scrivere due numeri:A può
scrivere 1 o 8 e B può scrivere 7 o 2. Se i numeri scritti da entrambi i giocatori
hanno la stessa parità (entrambi pari o entrambi dispari) A vince il valore in euro
del numero da lui stesso scritto, mentre se sono uno pari e uno dispari, chi vince
è B e la quantità è data dal numero scritto da quest'ultimo. Per questo gioco, la
matrice dei pagamenti sarà:
B scrive 7
B scrive 2
A scrive 1
1
-7
-2
A scrive 8
8
Si ricordi che i numeri della matrice si riferiscono ai guadagni del giocatore A;
per cui, quando vince B si scrive un numero negativo che rappresenta una perdita
per A. Il gioco sembra equo (A può guadagnare 1 € o 8€, mentre B può guada­
gnare 2€ o 7€) e non esiste un punto di sella: il maximin è -2 (-2 > -7) mentre
il minimax è 1 (1 < 8). Di fatto, quando in una matrice 2 X 2 i numeri di una
diagonale sono maggiori che gli altri due numeri, non esiste una strategia assoluta
che determini il gioco. Però, diversamente che nel gioco precedente, nel quale la
strategia migliore per i due giocatori era una forma di gioco aleatoria e con questa
i guadagni si equilibravano, in questo caso B ha la possibilità di vincere. Ora la stra­
tegia ottima per ciascun giocatore, per quanto aleatoria, non lo è strettamente, dato
che ciascun giocatore deve prendere una decisione in accordo con determinate
proporzioni: anche in questo caso la soluzione si trova stabilendo strategie miste da
parte di ciascun giocatore.
Ci occuperemo più avanti di come stabilire i risultati di questo gioco, ovvero di
come determinare la strategia ottima per ciascun giocatore.
Il lettore avrà osservato che abbiamo presentato giochi diversi su una matrice
dove si evidenziano le diverse strategie del primo giocatore (le righe) e del secon­
do (le colonne). Questa rappresentazione, nota come forma normale del gioco, è la più
usuale per quei giochi per 2 persone nei quali le giocate sono simultanee, cosa che
non succede nella maggioranza delle situazioni analizzate dalla teoria dei giochi.
Esiste anche un'altra rappresentazione, che consiste nel porre tutte le giocate in
un diagramma ad albero; questa è adeguata per quei giochi in cui i concorrenti
giocano alternativamente, ciascuno a turno. La maggioranza dei giochi del capitolo
2 è di questo tipo.
95
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
LA NASCITA DELLA TEORIA DEI GIOCHI
Già nel pieno del XX secolo si iniziò a formulare un
ambito teorico che si sarebbe poi trasformato in quella
che oggi si cÒnosce come teoria dei giochi. Il logico
Ernst Zermelo (18,1-1956) stabilì e dimostrò il primo
teorema generale nel 1912. In questo si afferma che
qualsiasi gioco finito ad informazione completa (come
la dama o gli scacchi) ha una soluzione ottima con
strategie pure, ossia senza necessità di introdurre al­
cun elemento aleatorio. È un teorema di esistenza che
ci dice poco o niente su come trovare dette strategie.
Verso il 1920 il grande matematico Émile Bore! si in­
teressò ad una teoria emergente ed introdusse l'idea
di strategia mista (con intervento di elementi aleatori)
e molto presto John von Neumann iniziò a lavorare su
quel!a, formulando e dimostrando, nel 1928, il teo­
Il matematico francese Émi/e Bore/,
che realizzò numerosi studi sulla
teoria della probabilità.
rema del minimàx, che subito divenne un elemento
chiave per lo sviluppo della teoria. Questo teorema
dice che in un gioco finito per due giocatori, A e B,
esiste un valore medio che rappresenta la quantità che il giocatore A può vincere su B, se i
due giocatori giocano in maniera razionale, ossia cercando di ottenere i maggiori benefici (o le
minori perdite).
Quando si raggiunge l'equilibrio?
I giochi analizzati nel paragrafo precedente sono giochi semplici per diversi mo­
tivi: partecipano 2 giocatori e ciascuno di questi ha solo una giocata possibile (la
matrice dei pagamenti è sempre 2 X 2). Inoltre sono giochi a somma zero, dato che
la somma delle vincite dei due giocatori è sempre zero (una perdita si considera
come una vincita negativa). Le strategie possibili sono ridotte, in una partita, a
scegliere una delle due giocate possibili. D'accordo con le condizioni del gioco,
può succedere che ciascun giocatore scelga una strategia determinata (la strategia
ottima per ciascuno), con ciò il gioco è determinato ed il risultato corrisponde al
valore del gioco (come nell'esempio 1 del paragrafo precedente).
96
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
JOHN VON NEUMANN (1903-1957)
John von Neumann, scienziato assai versatile, è uno dei più illustri matematici del XX secolo. Ini­
ziò a studiare matematica nella sua città natale, Budapest, da lì passò a Berlino per studiare fisica
e poi a Zurigo per studiare ingegneria chimica; dal 1939 si stabilì negli Stati Uniti. A Gottinga,
sotto la guida di Hilbert, lavorò su questioni teoriche di matematica pura e collaborò anche con
Heisenberg nelle prime formulazioni di teoria quantistica.
Realizzò contributi sostanziali in campi diversi, tra i quali la teoria degli insiemi, l'analisi fun­
zionale, la logica, la probabilità, la matematica applicata all'economia, la fisica quantistica e la
meteorologia.
I suoi interessi passarono dalla matematica pura a quella applicata in campi assai diversi come la
fisica atomica, il progetto di computer elettronici, la psicologia cognitiva o l'economia.
Uno dei suoi maggiori contributi è stato quello alla matematica applicata all'economia con
la formulazione della Teoria dei Giochi nell'opera Theory of Games and Economie Behaviour,
realizzata con Oskar Morgenstern e pubblicata a Princeton nel 1944. Quest'opera è conside­
rata il più importante contributo in questa branca della matematica e segna il consolidamento
di suddetta teoria che, in pochi anni,
dagli anni '50, si sarebbe applicata ad
un· grande numero di situazioni per
l'analisi della realtà.
John von Neumann (a destra) con
Robert Oppenheimer, direttore
scientifico del programma che
sviluppò la prima bomba nucleare,
posano in questa immagine del 1952
davanti alla calcolatrice più veloce e
precisa mai costruita fino ad allora.
Abbiamo visto che questa è la soluzione del gioco, sempre che si tratti di un
gioco con un punto sella, ossia sempre che i valori della matrice siano allo stesso
tempo il maximin (il massimo valore tra i minimi di ciascuna fila) ed il minimax
(il minimo valore tra i massimi di ciascuna colonna). Se questo non succede, non
si può parlare di strategie pure e bisogna ricorrere alle strategie miste, le quali
saranno scelte introducendo l'azzardo e mantenendole segrete. Nei casi in cui la
matrice dei pagamenti sia simmetrica, la strategia consisterà nello scegliere total97
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
mente d'azzardo (come nell'esempio 2). Nel caso contrario, pur utilizzando una
strategia aleatoria, si dovrà ponderare la scelta di ciascuna giocata possibile (come
nell'esempio 3).
Un gioco astratto con strategie pure
Analizziamo più in dettaglio i giochi del primo tipo e vediamo cosa succede quan­
do si amplia la matrice del gioco, ossia quando le possibili giocate per ciascun gio­
catore sono più di due.
Supponiamo il seguente gioco per due giocatori:A sceglie una fila (Fl, F2, F3)
ed il suo avversario una colonna (Cl, C2, C3) della seguente matrice (la matrice
dei pagamenti del gioco), senza che nessuno dei due sappia cosa fa l'altro. Le due
scelte determinano un numero della matrice (intersezione della fila e della colon­
na scelte) che indica la quantità in euro che il secondo giocatore dovrà pagare al
primo. Come deve giocare ciascun giocatore per ottenere il maggior guadagno o
la minore perdita?
Giocatore B
<(
(1
(2
(3
F1
5
-2
1
F2
6
4
2
F3
o
7
-1
Il giocatore A analizza quali sono i suoi guadagni minimi in accordo con le
sue possibili giocate (-2 se gioca Fl, 2 se gioca F2 e -1 se gioca F3); il maggiore
dei guadagni minimi (maximin) è 2. Se il gioco è determinato, dovrà scegliere F2.
Analogamente, B analizza quali sono le sue perdite maggiori, secondo le possibili
giocate (6 se gioca C1, 7 se gioca C2 e 2 se gioca C3); la minore delle perdite mas­
sime (minimax) è 2. Se il gioco è determinato, dovrà scegliere C3.
Dato che in questo gioco il maximin ed il minimax coincidono ed entrambi
corrispondono ad un pagamento di 2€, si dice che il gioco è determinato, che il
suo valore è 2 e che si risolve mediante una strategia pura. A giocherà F2 e B gio­
cherà C3. Si dice anche che 2 è il punto sella (il massimo dei minimi coincide col
minimo dei massimi) o punto di equilibrio.
98
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
Questo esempio si può generalizzare mantenendo il numero dei giocatori, però
facendo in modo che ciascuno possa realizzare n giocate, invece che 3, per cui la
matrice dei pagamenti sarà n X n. Sempre che esista un punto di sella, si dirà che
il gioco ha un punto di equilibrio associato ad un paio di strategie pure (l'ottima
per ciascun giocatore). Il gioco ha un risultato stabile perché la modifica unilaterale
della strategia da parte di uno dei due giocatori proporzionerà un risultato peggiore
per colui che realizza questa azione e, conseguentemente, migliore per l'avversario.
SONO GIOCHI STABILI?
Proponiamo al lettore di analizzare le seguenti matrici di giochi per due persone a _somma zero
e di determinare se si tratta di giochi stabili, trovando i punti sella o di equilibrio.
Giocatore B
(1
(2
(3
<l'.
F1
2
-5
-2
o
ro
F2
3
-1
-1
0
F3
-3
4
-4
�
o
Giocatore B
(1
(2
(3
<l'.
F1
-2
1
1
ro
F2
-3
o
2
0
F3
-4
-6
4
o
Giocatore B
<l'.
�
o
ro
(1
(2
(3
(4
F1
-3
17
-5
21
F2
7
9
5
7
F3
3
-7
1
13
F4
1
19
3
11
99
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
Elezioni e ristoranti: applicazioni di giochi di strategia pura
Il metodo di soluzione dei giochi astratti del paragrafo precedente si può applica­
re per analizzare e risolvere situazioni di tipo molto diverso. Vediamo due esempi
concreti.
Programmi elettorali
Supponiamo la seguente situazione: uno dei temi del dibattito politico in un certo
paese è la realizzazione di una strada che debba circondare la capitale. Esistono 2
possibilità: la strada a nord (N) o a sud (S). I due principali partiti politici del paese,
A e B, nel momento di redigere il programma elettorale, devono decidere se sono
a favore della variante N o S; possono anche decidere di eludere il problema e di
non inserirlo nei loro programmi. Entrambi i partiti sanno che i loro militanti li
appoggeranno, qualunque sia la loro decisione, però il resto della popolazione si
inclinerà verso una o l'altra opzione e nel caso che i due scelgano la stessa, la po­
polazione si asterrà.
In questa situazione, si è calcolato, mediante sondaggi, che entrambi i partiti
conoscono, che i risultati per il partito A saranno dati dalla seguente matrice:
Programma di B
N
s
Elude
N
40%
45%
35%
E
E
s
55%
50%
45%
c..
Elude
40%
50%
35%
<(
ro
ro
Così, per esempio, se il partito A propone nel suo programma la variante N
e B la S, A otterrà il 45% dei voti, mentre se entrambi eludono il tema, A otterrà
circa il 35% dei voti. A queste condizioni, quali saranno le scelte prese da ciascun
partito politico?
Se i dati sono quelli della matrice precedente, il caso è molto semplice: il par­
tito A osserva che otterrà sempre i suoi risultati migliori prendendo la decisione S.
100
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
Dunque, questa sarà la sua scelta. Analogamente, il partito B osserva che i risultati
peggiori per A (che a B convengono) li otterrà se B elude il tema. Questa sarà la
sua scelta.
Pertanto, la situazione ha un punto di equilibrio (A sceglie S e B elude il tema)
ed il valore è il 45% dei voti per A.
Supponiamo ora che la matrice sia la seguente:
Programma di B
N
s
Elude
<(
N
60%
55%
45%
E
E
s
40%
20%
40%
c..
Elude
45%
20%
35%
'o
La decisione di A continua ad essere chiara: la sua migliore scelta è N, in tutti i
casi; però ora B non può più decidere senza tener conto di cosa farà A; la tentazio­
ne di scegliere S, pensando di lasciare A con solo il 20% non ha senso, dato che se
A sceglie bene otterrà il 55% invece che il 20%; per cui, la scelta di B dovrà essere
eludere il tema ed il risultato sarà il 45% dei voti per A.
Infine, supponiamo che la matrice sia la seguente:
Programma di B
N
s
Elude
N
35%
10%
60%
E
E
s
45%
55%
50%
c..
Elude
40%
10%
65%
<(
"C
<lJ
<lJ
Ora nessuno dei due partiti ha una decisione immediata, dato che entrambi di­
pendono da ciò che fa l'avversario. Per cui bisogna pensare a quale sia la propria op101
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
zione migliore per qualsiasi scelta dell'avversario, ossia quale sia la meno peggio tra
le negative. Così, A ottiene come minimo il 10% se sceglie N, il 45% se sceglie S ed
il 10% se elude la questione, per cui dovrà scegliere S. Analogamente, se B sceglie N,
A otterrà come massimo il 45%; se sceglie S, A potrà ottenere fino ad un 55% e se B
elude la questione, A potrà ottenere fino ad un 65%. Pertanto, B dovrà scegliere N.
Anche in questo caso, la migliore opzione per ciascun partito dà lo stesso ri­
sultato, il 45% dei voti perA, che è il punto sella (o di equilibrio) della situazione.
Situazione di un ristorante
Due soci, Maria e Giorgio, vogliono aprire un ristorante e decidono di farlo presso
un incrocio di strade, nei dintorni di una grande città circondata da una catena
montuosa. Sono d'accordo su tutto tranne che su una cosa: Maria preferisce situar­
lo nel luogo più basso possibile, mentre Giorgio vuole il luogo più alto possibile:
per questo aspetto i loro interessi sono totalmente opposti. Per poter prendere una
decisione organizzano un gioco competitivo: selezionano tre autostrade parallele
A1,A2 ed A3 che vanno da ovest ad est e tre statali, anch'esse parallele tra loro, Cl,
C2 e C3 che vanno da nord a sud. Gli incroci delle autostrade con le statali danno
loro 9 possibili posizioni, le cui altitudini in metri sono date dalla seguente matrice:
Programma di B
<i:
"C
A1
A2
A3
C1
470
1.050
600
C2
540
600
930
C3
320
280
710
(0
E
E
(0
Per determinare la posizione del ristorante decidono che Maria selezionerà
un'autostrada (A1,A2 eA3 sono le sue strategie) e Giorgio una statale (Cl, C2 e
C3 sono le sue strategie) e l'intersezione di entrambe sarà il luogo scelto. Come
dovrà scegliere ciascuno per ottenere la posizione più vantaggiosa ai suoi interessi?
Giorgio è pessimista e sceglie l'altitudine minore tra le tre statali (470, 540,
280), il minimo di ciascuna fila e decide di scegliere la statale C2, che gli garantisce
un'altitudine di 540 metri. Similmente, Maria fa una valutazione delle maggiori
102
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
altitudini di ciascuna autostrada (540, 1050, 930) e sceglie l'autostrada Al, che le
garantisce la minore altitudine, 540 metri. Così, entrambi fanno la loro scelta ed
il risultato, 540 metri, è il migliore per ciascuno; in altre parole, se uno dei due
cambia la sua scelta, il risultato sarà peggiore per i suoi interessi. Questi esempi
mostrano, da un lato, la varietà di situazioni nelle quali si possono trovare soluzioni
ottime per gli interessi di due persone (o gruppi) quando queste sono totalmente
contrarie; d'altro lato, se la matrice del gioco ha un punto sella, il risultato è total­
mente determinato dalle ottime scelte dei contendenti.
Quando non esiste equilibrio: le strategie miste
Molti dei giochi competitivi e delle situazioni in cui è applicabile un modello di
gioco non si possono risolvere con strategie pure, perché non hanno un punto di
equilibrio. Abitualmente non esiste una strategia pura dominante per ciascun gio­
catore, ossia una strategia che sia la migliore ogni volta che gioca. Al contrario, i
giocatori non possono rivelare la loro strategia e cercano di nasconderla, ricorren­
do anche all'inganno. Questo è il caso, per esempio, del poker, nel quale i giocatori
cercano di ingannare gli avversari e non mostrano le carte a meno che non sia
strettamente necessario.
Determinazione di una strategia mista ottima
Ricordiamo il terzo ed ultimo gioco proposto nel primo paragrafo di questo capi­
tolo. Ciascuno dei due giocatori può scrivere due numeri: A può scrivere 1 o 8 e B
può scrivere 7 o 2. Se i numeri scritti da entrambi i giocatori hanno la stessa parità
(entrambi pari o entrambi dispari) A vince il valore in euro del numero scritto da
se stesso, mentre se sono uno pari ed uno dispari chi vince è B e la quantità viene
data dal numero scritto da questi.
La matrice del gioco è:
8 scrive 7
B scrive 2
A scrive 1
1
-2
A scrive 8
-7
8
Si è visto che il gioco sembra equo (A può guadagnare 1 € o 8€, mentre B
può guadagnare 2€ o 7€) e non esiste un punto sella: il maximin è -2 , mentre il
103
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
minimax è 1. Pertanto, non esiste una strategia pura per ciascun giocatore.Vediamo
come in questo caso è possibile stabilire una strategia mista che sia ottima e che
permetta di determinare il valore del gioco.
Una strategia mista è una determinata "aleatorizzazione" di un insieme di stra­
tegie pure. Per costruirla bisogna assegnare a ciascuna strategia pura una probabilità
che indichi la frequenza con cui ciascuna strategia pura sarà giocata. Per esempio,
nel nostro caso,A ha 2 strategie pure (scrivere 1 o scrivere 8) e B altre 2. Si tratta di
trovare le probabilità p (scrivere 1), p (scrivere 8) per A e p (scrivere 7), p (scrivere
2) per B, di modo che entrambi ottimizzino le loro possibilità. Note le probabilità
ed i pagamenti assegnati a ciascun caso, questo permetterà di determinare il valore
sperato del gioco.
Per prima cosa, bisogna determinare le probabilità che A deve assegnare alle sue
due strategie pure: chiamiamo p la probabilità di scrivere 8, di modo che 1 - p sarà
la probabilità di scrivere 1. Dunque, se B sceglie la strategia di scrivere 7, il valore
sperato per A sarà:
V= 1 (1 - p) + (-7) p; questo dà un'equazione lineare V= 1 - 8p.
Se, al contrario, B sceglie la strategia di scrivere 2, allora il valore sperato da
A sarà:
V= (-2) (1 - p) + 8p, che dà un'equazione V= 10 p- 2.
Il giocatore A vuole determinare p per ottenere un valore sperato che sia il
maggiore possibile, per qualsiasi strategia scelta da B. La soluzione del sistema dà il
valore di p e di V per il giocatore A. In questo caso p = 1/6 e V= -1/3.
Analogamente, si può calcolare la strategia mista per il giocatore B. Chiamiamo
p la probabilità di scrivere 2, per cui la probabilità di scrivere 7 sarà (1 - p). Se A ha
scelto la strategia di scrivere 1, il valore sperato da B sarà:
V= 2p + (-1) (1 - p) che dà l'equazione V= 3p -1.
Analogamente, se A ha scelto l'altra strategia, scrivere 8, allora il valore sperato
da B sarà:
V= (-8p) + 7 (1- p), ossia V= 7-15p.
104
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
Il giocatore B vuole determinare p per ottenere un valore sperato che sia il
maggiore possibile, con qualsiasi strategia scelta da A. La soluzione del sistema darà
il valore di p e di V per il giocatore B. In questo caso, risolvendo il sistema di equa­
zioni proposto si ottiene:p = 4/9 e V= 1/3.
Il metodo applicato è generalizzabile ad una matrice 2 X 2 e risolve quei giochi
che non hanno punto sella con l'uso di strategie miste. Analizziamo in dettaglio
il significato dei risultati ottenuti: in primo luogo, si osserva che il valore sperato
da A e B è coincidente (V= 1/3), con la differenza del segno, che nel caso di A è
negativo: ciò significa che A spera di perdere; mentre per B è positivo e B spera di
guadagnare ciò che è perso per A.
In generale,il valore del gioco è dato dall'espressione:(ad- be) / ( a+ d- b - e),
dove a, b,e, d sono i valori della matrice dei pagamenti (da sinistra a destra e dall'al­
to in basso).
Così, nel nostro caso, il valore sarà:(8- 14)/18 = - 6/18 = -1/3; ciò indica che,
in media,A perderà 1€ ogni tre giocate, sempre che A e B realizzino, ciascuno, la
propria giocata ottima.
In relazione alle strategie miste che abbiamo determinato sia per A sia per B,
anche queste si possono trovare direttamente.
In effetti, la proporzione con cui A deve scegliere l'una o l'altra strategia pura si
ottiene tenendo conto di quanto guadagna o perde su ogni fùa: in concreto, realiz­
zando i calcoli: 1 - (-2) = 3 (prima fila) e -7 - 8 = -15 (seconda fila). Dunque ri­
sulta che la sua strategia ottima deve essere giocare aleatoriamente, però in ragione
di 15 su 3, ovvero 5 su 1 a favore di scrivere 1 (per esempio, lanciando un dado con
5 facce segnate con 1 e una con 8).
Si osservi che questo risultato coincide con quello ottenuto risolvendo il siste­
ma e scoprendo che la probabilità di scrivere 8 deve essere 1/6 e, pertanto, quella di
scrivere 1 deve essere 5/6.
Analogamente,il giocatore B,operando sulle colonne(prima colonna: 1-(-7) = 8,
seconda colonna:-2 - 8 = -1O) deve giocare aleatoriamente con una proporzione
di 1O su 8, ovvero di 5 su 4, a favore di scrivere 7 al posto di 2; questo risultato
coincide con il sistema di equazioni risolto precedentemente, il quale dava una
probabilità di scrivere 2 di 4/9 e, pertanto, di scrivere 7 di 5/9.
Ora possiamo formulare la strategia mista ottima per ciascun giocatore. A de­
ciderà aleatoriamente se scrivere 1, con una probabilità di 5/6, o di scrivere 8, con
una probabilità di 1/6.Analogamente, B deciderà aleatoriamente se scrivere 7, con
una probabilità di 5/9, o se scrivere 2, con una probabilità di 4/9.
105
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
IL TEOREMA DEL MINIMAX
Per tutti i giochi finiti per due persone a somma zero esiste un valore V che rappresenta la quan­
tità media che il giocatore A spera di vincere o perdere sul giocatore B, se entrambi agiscono
razionalmente, ossia giocando per ottimizzare le proprie vincite.
Von Neumann, che congetturò e dimostrò questo teorema, considerato il più rilevante della
teoria dei giochi (che abbiamo applicato in varie forme in questo capitolo), intuì che questo
risultato era plausibile per 3 motivi fondamentali.
1. L'esistenza di una strategia per il primo giocatore che sia la migliore per i suoi interessi,
che gli permetta di ottenere guadagni determinati (il valore medio del gioco) e contro cui
il secondo giocatore. non possa fare nulla.
2. L'esistenza di una strategia per il secondo giocatore che sia la migliore per i suoi interessi,
ossia che gli garantisca che non perderà, in media, più di un valore determinato (il valore
medio del gioco) e contro cui il primo giocatore non possa fare nulla.
3. Il fatto che il gioco è a somma zero, ossia quello che il primo giocatore vince deve perderlo
il secondo; ciò implica che, se esiste un valore medio del gioco, sia il primo, sia il secondo
giocatore devono accettare rispettivamente questa vincita o questa perdita, dato che qual­
siasi altra strategia che li allontani da questo valore sarebbe un danno dei loro interessi.
Infine, anche se non esiste un punto sella, possiamo essere certi che, se ciascun
giocatore sceglie la sua strategia mista ottima, B guadagnerà, in media, 1 /3 di euro
per partita. Se B sceglie qualsiasi altra strategia ed A mantiene la sua, le sue vincite
si ridurranno; però se mantiene la sua strategia mista ottima ed A varia la sua, allora
aumenteranno le perdite di A.
Applicazioni della strategia mista
Nel paragrafo precedente abbiamo sviluppato in dettaglio un esempio per vedere
come si risolve un gioco, determinando strategie miste ottime per ciascun giocato­
re in quei casi in cui l'analisi della matrice di gioco mostra che non esiste un punto
sella, ossia quando il minimax ed il maximin non coincidono. Per non distrarre
l'attenzione del lettore, l'esempio consisteva in un gioco astratto che permetteva di
concentrarsi sul valore della tavola dei pagamenti, senza tenere conto di altre que­
stioni sul loro significato.
Sviluppiamo ora altri esempi per vedere possibili applicazioni del metodo delle
strategie miste.
106
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
La crescita di un'impresa
Un'impresa ha messo a punto un nuovo prodotto e sta valutando il suo lancio
sul mercato per il prossimo anno. Può decidere tra una produzione ridotta, pen­
sando ad una situazione economica negativa, o grande, supponendo un recupero
dell'economia e sperando in vendite buone. I benefici sperati, in migliaia di euro,
sono dati dalla seguente tabella:
Situazione economica
QJ
·;::;
Negativa
Positiva
Ridotta
500
300
Grande
100
900
I responsabili dell'impresa, per poter decidere, considerano che l'economia ha
un comportamento equivalente ad una strategia mista ottima. Quale sarà la loro
strategia mista ottima e quale il beneficio sperato?
I valori della matrice mostrano che non esiste una strategia pura ottima, dato
che non c'è un punto sella: (maximin = 300, minimax = 500); pertanto, si dovrà
determinare una strategia mista ottima.
Chiamiamo p la probabilità di fare una grande produzione, (1 - p) sarà la pro­
babilità di una produzione piccola e V il valore sperato. Dunque, se l'economia è
andata male, il valore sperato sarà:
V= 500 (1 - p) + 100p che si può esprimere come:V = 500 - 400p.
Diversamente, se l'economia è andata bene, si avrà:
V = 300 (1 - p) + 900p, ossia:V= 300 + 600p.
La soluzione del sistema dà: p = 1/5 e V = 420. Questo risultato significa che
la strategia mista ottima, se la situazione si potesse ripetere un numero elevato di
volte, sarebbe utilizzare una produzione grande, una ogni 5 volte, in forma aleatoria,
e pertanto una produzione piccola 4 volte su 5, con un beneficio medio sperato di
420.000€.
107
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
Potremmo calcolare il beneficio medio direttamente partendo dall'espres­
sione:V = (ad - bc)/(a + d - b - e) , dove a, b, e, d sono i valori della matri­
ce dei pagamenti (da sinistra a destra e dall'alto in basso). In questo caso si avrà:
(500 · 900 - 300 · 100 )/( 500 + 900 - 300 - 100) = 420.000/1000 = 420, che
coincide evidentemente col risultato determinato a partire dal sistema di equazioni
risolto.
D'altra parte, d'accordo con l'enunciato, abbiamo risolto la situazione consi­
derando che anche l'andamento dell'economia segua una strategia mista ottima.
Il calcolo della medesima indica che la probabilità che l'economia abbia un buon
andamento è di 2/5 e, pertanto, un cattivo andamento darà una probabilità di 1 2/5 = 3/5.
Il lancio di un rigore
Possiamo interpretare il tirare un rigore in una partita di calcio come un gioco
competitivo tra il calciatore ed il portiere, gioco in cui i contendenti hanno, ov­
viamente, interessi opposti. Supponiamo che il calciatore possa tirare verso destra,
verso sinistra o al centro (queste sono le sue tre strategie pure) e che il portiere
possa lanciarsi alla sua destra, alla sua sinistra o che possa stare al centro (anche lui
ha tre strategie pure). Combinando le statistiche di successo o di errore, sia per il
calciatore, sia per il portiere, abbiamo realizzato la seguente tabella:
Portiere (B)
5
<O
<O
u
D
e
s
D
0.9
0.9
0.6
e
0.8
0.1
0.7
s
0.5
0.8
0.8
Ciascuna casella dà la probabilità di fare gol (vincita del calciatore) in accordo
con le strategie adottate da entrambi i contendenti. Per esempio, se il calciatore
calcia verso destra ed il portiere si lancia alla sua destra (senso contrario), la pro­
babilità di fare gol sarà 0,9; invece, se il calciatore calcia al centro ed il portiere si
ferma al centro, la probabilità di segnare sarà solo O, 1. A queste condizioni, quale
strategia deve adottare il calciatore e quale il portiere?
108
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
LA RAND CORPORATION
La RAND Corporation (Reseach and Development) è un think tank (una riserva di esperti), degli
Stati Uniti, nata alla fine della Seconda Guerra Mondiale e creata, inizialmente, per realizzare
investigazioni di tipo strategico per le forze aeree statunitensi. Nonostante la segretezza dei suoi
progetti e la discutibile finalità di molti di essi, è certo che in essa lavorarono alcuni dei migliori
scienziati che si erano dedicati alla teoria dei giochi.
Grazie a questa impresa (verso il 1948 acquisì lo stato di impresa privata che lavorava in esclusiva
per le forze aeree, che la sovvenzionavano) si poté sviluppare la ricerca di base fondamentale
per lo sviluppo di detta teoria.
La sua organizzazione interna era più simile a quella di un istituto di ricerca universitario che a
quella di una struttura militare. Negli anni '50 e '60 del secolo scorso, oltre a ricerche applicate,
alcune delle quali in relazione agli armamenti nucleari e all'inizio della guerra fredda, sì fecero
ricerche di base da parte dei più insigni matematici ed economisti dediti alla teoria dei giochi:
tra questi, lo stesso Von Neumann, John Nash, Merrìl Flood, Kenneth Arrow e molti altri che
convissero nella stessa epoca, un breve periodo di tempo che coincise col primo grande sviluppo
della teoria dei giochi.
La nuova sede della RAND Corporation a Santa Monica, California.
109
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
Una prima analisi del problema mostra che non c'è una strategia pura domi­
nante e che non è possibile risolvere la situazione con strategie pure, dato che il
maximin è 0,6 ed il minimax è 0,8, ossia il calciatore ha una speranza di segnare di
6 su 10, mentre il portiere spera di incassare un gol 8 volte su 10 rigori. Entrambi
vogliono (e possono) migliorare i loro risultati (vincite): il calciatore ottenendo una
probabilità superiore a 0,6 ed il portiere abbassando la probabilità di 0,8.
Calcoliamo la strategia mista ottima per il calciatore e per il portiere, così come
il valore medio del gioco, che in questo caso sarà un valore tra 0,6 e 0,8; questo
indicherà le volte che, in media, il calciatore segnerà un rigore.
La strategia mista ottima del calciatore si otterrà calcolando le probabilità di
scegliere una delle tre strategie pure che si chiameranno p(a),p(c),p(s).
Dato che p(a) + p(c) + p(s) = 1, si possono ridurre a due le probabilità, che sa­
ranno: p(a), p(c), 1 - p(a) - p(c). Come sempre, chiameremo V il valore sperato del
gioco. Se il portiere si lancia alla sua destra, il valore sperato dal calciatore sarà:
V= 0,9 p(a) + 0,8 p(c) + 0,5 (1 - p(a) - p(c)).
Se il portiere si ferma al centro sarà:
V= 0,9 p(a) + 0,1 p(c) + 0,8 (1 - p(a) - p(c)).
Se il portiere si lancia alla sua sinistra sarà:
V= 0,6 p(a) + 0,7 p(c) + 0,8 (1 - p(a) - p(c)).
Abbiamo un sistema di 3 equazioni lineari, la cui soluzione dà il seguente risul­
tato: p(a) = 0,37;p(c) = 0,19;p(s) = 1 - p(a) - p(c) = 0,44 ed il valore del gioco per
il calciatore è V= 0,71.
Analogamente, si potrebbero calcolare le probabilità di scegliere ciascuna delle
tre strategie pure da parte del portiere, calcolo che lasciamo al lettore.
Vantaggi e limitazioni del metodo del minimax
Senza dubbio, il teorema del minimax ed in generale il metodo esposto nei para­
grafi precedenti, tanto nel caso di strategie pure quanto in quello di strategie miste
che utilizzano l'azzardo, è un potente strumento per risolvere giochi di matrici
110
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
ed ottenere i migliori risultati possibili. Il teorema si può applicare a campi molto
diversi come l'economia, la politica, lo sport o gli scontri militari, come si è visto.
Non solo si sono risolte situazioni che presentavano strategie dominanti e che ave­
vano un punto sella, ma anche casi in cui, senza trovare un punto di equilibrio, era
possibile trovare un valore medio del gioco che ottimizzasse i guadagni di entram­
bi i contendenti per mezzo di strategie miste.
Senza dubbio, in tutti casi abbiamo supposto una condizione che potremmo
chiamare "comportamento ragionevole" dei due giocatori. Questo comportamen­
to consiste nel considerare che ciascuno dei giocatori supponga che l'avversario
giocherà sempre a proprio favore e applicherà la strategia più ragionevole perché
questo succeda. Però, cosa succede se ciò non avviene, ovvero se uno dei due gio­
catori cerca di ingannare l'avversario?
Nell'introduzione alla teoria dei giochi di Morton Davis, si spiega il caso di
diversi ricercatori che realizzarono vari esperimenti, tra il 1950 ed il 1970, per
osservare il comportamento di diversi giocatori quando realizzavano un gioco di
matrici. In concreto, nel 1964, Richard Brayer propose un gioco risolvibile at­
traverso strategie pure, ossia con un punto di equilibrio facilmente calcolabile. Si
informavano i giocatori che alcune volte avrebbero giocato contro un giocatore
esperto e altre contro un giocatore che sceglieva le sue strategie d'azzardo; in realtà,
giocavano sempre contro uno sperimentatore che cambiava le sue strategie: alcune
volte giocava la strategia B, che era la ottima, altre volte giocava d'azzardo. Il gioco
aveva la seguente matrice di pagamenti:
Sperimentatore
Q)
.Q
A
B
e
a
11
-7
b
1
1
2
e
-10
-7
21
L'applicazione del teorema del minimax risolve rapidamente il gioco, dato che il
punto di equilibrio è 1, casella (b, B) della matrice, per cui il giocatore deve giocare
b e lo sperimentatore B, con un guadagno di 1 per il giocatore in ciascuna partita.
La prova dimostrò che i giocatori giocavano effettivamente la loro strategia b,
quando vedevano che lo sperimentatore giocava reiteratamente B; al contrario,
quando questo giocava d'azzardo, cambiavano giocando abitualmente la strategia
111
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
a, per cercare di ottenere �uadagni maggiori, assumendosi il rischio di perdere. Le
interviste successive dimostrarono che più della metà dei giocatori consideravano
"stupido" che lo sperimentatore giocasse la strategia B, dato che era come accettare
una perdita di 1 quando, giocando altre strategie, avrebbe potuto migliorare i suoi
risultati; non si rendevano conto che se il giocatore manteneva la strategia b, la per­
dita di almeno 1 da parte dello sperimentatore era garantita.
Questa ricerca sul comportamento dei giocatori, così come altre, mostra che
giocare in maniera ragionevole per ottimizzare i guadagni non è un'attitudine abi­
tuale: la gente preferisce strategie che diano apparentemente un maggior beneficio
e solo dopo aver provato ripetutamente che non è così, si fermano alla strategia
ottima. Ancor più caotico è il comportamento dei giocatori quando il gioco non
ha un punto di equilibrio e bisogna applicare strategie miste. In questo caso, pur
conoscendo il metodo, la maggioranza non si pone la necessità di realizzare i cal­
coli e gioca in accordo con le proprie intuizioni, che in generale discordano dalla
strategia mista ottima.
Tutte queste esperienze mostrano che quando ci confrontiamo con la realtà,
dobbiamo mettere in dubbio supposizioni "ragionevoli", come quella che l'av­
versario giochi nella maniera più intelligente e in accordo con i suoi interessi. La
spiegazione a questo fenomeno sta forse nel fatto che la strategia minimax è difen­
siva: garantisce alcuni risultati, i migliori possibili se l'avversario gioca in maniera
intelligente. Però, messa da parte questa supposizione, perché un giocatore non
gioca cercando di superare i risultati che ha garantiti?
In questo capitolo abbiamo analizzato i cosiddetti giochi competitivi a somma
zero per due persone, arrivando alla conclusione che in questo tipo di giochi esiste
una strategia ottima per ciascun giocatore ed un valore del gioco che ci permette
di determinare i guadagni medi per ciascuno di essi. I dati di questo tipo di giochi
si possono sempre presentare mediante la cosiddetta matrice dei pagamenti del
gioco; in questa, ciascuna riga indica una strategia per il primo giocatore e ciascuna
colonna una strategia per il secondo. Il processo da seguire per risolvere un gioco
per due persone a somma zero è, in maniera sintetica, il seguente: calcolare il ma­
ximin (massimo dei minimi) per il primo giocatore ed il minimax (minimo dei
massimi) per il secondo. Se entrambi sono uguali significa che le strategie ottime
per ciascun giocatore danno lo stesso valore (valore del gioco) e che il gioco è
risolto. Le strategie di ciascun giocatore si chiamano, in questo caso, strategie pure.
Se il maximin ed il minimax sono diversi, si prescinde dalla strategia selezionata
per la loro determinazione (strategie pure) e si considerano tutte le strategie per
112
LA TEORIA MATEMATICA DEI GIOCHI
ciascun giocatore, assegnando a ciascuna una probabilità. Il valore di dette proba­
bilità (la cui somma sarà 1) determinerà una strategia mista ottima e darà il valore
medio del gioco per ciascun giocatore.
La determinazione delle probabilità e del valore medio, per ciascun giocatore,
si realizza con un sistema di equazioni lineari (il numero di equazioni dipende dal
numero di strategie), le cui incognite sono le probabilità cercate per determinare
una strategia ottima che, a causa dell'aleatorietà, sarà una strategia mista.
Nel caso che, calcolando il valore medio del gioco per ciascun giocatore, i va­
lori non coincidessero o anche se calcolando le probabilità alcune fossero negative,
il gioco non sarà risolto. In questo caso bisogna analizzare di nuovo il gioco per ve­
dere se è possibile trovare qualche strategia dominante; se non è così, l'applicazione
del metodo non sarà fattibile.
113
Capitolo 5
La vita è gioco: applicazioni
della teoria nel mondo reale
La competenza è la madre della scienza ... e della vita. [ ...]
Competenza e cooperazione ci rendono quello che siamo.
Erwin Neher, Premio Nobel per la Medicina
Tutte le situazioni presentate nel capitolo precedente corrispondono a giochi
competitivi: le vincite di un partecipante equivalgono sempre alle perdite dell'altro
e per questo motivo si chiamano giochi a somma zero.
Sono situazioni di conflitto totale, con obiettivi completamente opposti, nelle
quali ciascun giocatore vuole ottenere i massimi guadagni, che implicano le massi­
me perdite per l'avversario.
In questo capitolo ci occuperemo di qualcosa di diverso: anche se l'obiettivo
dei giocatori continuerà ad essere la vittoria e ci sarà una situazione di conflitto,
questa non sarà totale. Da un lato, le vittorie di uno non devono corrispondere alle
perdite dell'altro e, anche se con certe strategie un giocatore può vincere, può farlo
anche l'altro.
D'altro lato, ci sono situazioni in cui la cooperazione può portare benefici a
tutte le parti. Questo implica necessariamente l'introduzione di elementi legati
alla comunicazione ed alla mutua fiducia, ma anche alla minaccia, per fare sì che si
compia ciò per cui ci si era accordati. In questi casi si parlerà di conflitto parziale e
si distingueranno strategie cooperative e non cooperative: utilizzeremo spesso il termine
disertare per riferirci a una strategia contraria alla cooperazione.
Ricordiamoci che la teoria dei giochi si centra sul prendere decisioni; ora que­
sto aspetto diventa più importante che mai, dato che in molte situazioni che incon­
treremo in questo capitolo si presenterà una tensione tra competere e collaborare.
Quali possono essere, in queste circostanze, le decisioni di ciascun giocatore? Si
propone qui quello che viene chiamato un dilemma: entrambi i giocatori possono
collaborare o competere e non è chiaro quale decisione porterà maggiori benefici,
115
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
dato che tutto dipende dalla decisione dell'avversario. In generale, la cooperazione
di entrambi gioverà a tutti e due ed è il miglior risultato, mentre il confronto por­
terà al disastro. Se ci fossero solo queste due possibilità, non esisterebbe dilemma;
però se uno dei giocatori cerca di cooperare e l'altro vuole il confronto, i benefici
saranno per quest'ultimo e saranno maggiori di quelli ottenuti con la collaborazio­
ne: allora il dilemma sarà evidente.
La complessità dei giochi suggeriti fa sì che si debbano mescolare aspetti ma­
tematici con altri di carattere psicologico ed anche morale (si potrebbe dire del
comportamento umano), per cui le soluzioni non saranno spesso tali, nel significa­
to matematico che si dà alla soluzione di un problema: tali soluzioni saranno solo
delle possibilità che dipenderanno dalle decisioni dei contendenti. Senza dubbio,
l'interesse di questi giochi è maggiore di quello di giochi di conflitto puro del
capitolo precedente, dato che si presentano più frequentemente nella realtà del
nostro mondo, dove raramente le situazioni conflittuali non mescolano confronto
e cooperazione.
Possiamo considerare che l'insieme delle situazioni per due persone, analizzate
e risolte dalla teoria dei giochi, si possano ordinare in due gruppi estremi: in uno
ci sono i giochi a somma zero, totalmente competitivi e nell'altro quelli total­
mente cooperativi. Tanto gli uni, quanto gli altri, almeno in teoria, sono facili da
risolvere.
Lo abbiamo visto nel caso di giochi competitivi nel capitolo precedente e
possiamo pensare allo stesso modo in situazioni di cooperazione pura: il pilota di
un'auto da rally ed il copilota, una coppia di ballerini, il pilota di un aereo ed il
controllore dell'aeroporto sono esempi di situazioni in cui i giocatori hanno lo
stesso obiettivo e il modo di raggiungerlo consisterà nell'unire gli sforzi (coordi­
nare efficientemente le giocate).
Il resto dei giochi per due persone, di cui tratta questo capitolo, si trova nei
suddetti estremi: sono giochi più complessi perché i partecipanti hanno alcuni
interessi opposti ed altri condivisi, anche se a volte non sembra. Si pensi, per esem­
pio, al venditore di un appartamento e al possibile compratore: entrambi sono
interessati a chiudere la trattativa (cooperazione), però discordano sul prezzo (con­
flitto); altri esempi possono essere la fusione di due imprese o anche due Paesi che
sono in guerra: in queste situazioni la maggioranza delle strategie è di conflitto,
ma si può arrivare ad una cooperazione o ad un patto, anche se molto parziale:
entrambi i contendenti possono raggiungere una tregua o accordarsi sul non uti­
lizzare armi nucleari.
116
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
LO SVILUPPO DELLA TEORIA DEI GIOCHI
Dopo il lavoro di Von Neumann e Morgenstern del 1944, autentico punto di partenza della teoria
dei giochi, che espone un metodo per trovare soluzioni ottime per giochi a somma zero per due
giocatori, gli studi di suddetta teoria si concentrarono su giochi di tipo cooperativo, con analisi di
strategie ottime in situazioni in cui i contendenti possano accordarsi sulle strategie più adeguate.
Negli anni '50 del XX secolo si ebbe un gran­
de sviluppo della teoria dei giochi. Apparve­
ro i primi apporti al dilemma del prigioniero
e John Nash stabilì il concetto di strategia
ottima per giochi con più giocatori, quando
l'ottimo non si può stabilire preventivamen­
te: questo concetto è noto come equilibrio di
Nash ed è valido per giochi non cooperativi,
ma è estensibile a quelli cooperativi.
Sempre in quest'epoca sorsero le prime ap­
plicazioni della teoria dei giochi ad altri cam­
pi; oltre all'economia, alla filosofia ed alla
scienza politica. Più avanti, già negli anni
'70, le applicazioni si estesero alla biologia,
soprattutto grazie ai lavori di John Maynard
Smith, che introdusse l'idea di strategia stabile evolutiva.
Foto di Oskar Morgenstern creatore, con von
Neumann, della teoria dei giochi.
La matematica della cooperazione:
i giochi a somma non zero
Per dimostrare la differenza tra i giochi a somma zero e quelli a somma non
zero, proponiamo una situazione legata all'emissione di pubblicità: due imprese
dello stesso tipo, A e B, vogliono promuovere i loro prodotti ed entrambe rice­
vono un'offerta da un canale televisivo: possono fare l'annuncio di pomeriggio
(un 40% dei telespettatori ,si connette in questa fascia oraria) o di notte (con un
60% dei telespettatori); non possono scegliere entrambe le fasce orarie e sanno
che non ci sono sovrapposizioni di spettatori tra le due fasce. Se le due imprese
mettono l'annuncio nella stessa fascia oraria, ciascuna otterrà di vendere i propri
117
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
prodotti al 30% degli spettatori della stessa fascia ed a nessuno dell'altra, mentre se
mettono l'annuncio in fasce distinte ciascuna catturerà il 50% dell'audience della
sua fascia.
Che cosa è meglio per ciascuna impresa? Sarebbe positivo consultarsi con l'altra
impresa per prendere decisioni o è meglio nasconderle?
Possiamo esprimere il gioco con una matrice di pagamenti nella quale ciascun
valore indica la percentuale che catturerà ciascuna impresa; senza dubbio, ora non è
possibile porre un unico valore in ciascuna casella, dato che il guadagno di un'im­
presa non è la perdita dell'altra, ma ogni impresa avrà le sue vincite. Perciò porre­
mo un paio di valori, il primo dei quali rappresenterà i benefici di A ed il secondo
quelli di B, in accordo con le strategie adottate da entrambi.
Impresa B
<(
<O
V,
QJ
c..
E
Pubblicità di
pomeriggio
Pubblicità
di notte
Pubblicità di
pomeriggio
Pubblicità
di notte
(12,12)
(20,30)
(30,20)
(18,18)
Se A e B coincidono con la pubblicità di pomeriggio, ciascuna impresa cattu­
rerà il 12% dell'audience totale (il 30% del 40%), mentre se non coincideranno, i
loro risultati saranno simmetrici: così, se A farà la pubblicità di pomeriggio e B di
notte,A otterrà il 20% (la metà di 40%) e B il 30% (la metà di 60%) dell'audience
totale e se entrambe invertiranno le loro strategie, si invertiranno anche i risultati
corrispondenti.
MATRICE PER IL GIOCATORE A
Impresa B
Pubblicità di
Pubblicità
pomeriggio
di notte
<(
<O
Pubblicità di
pomeriggio
12
20
.§
Pubblicità
di notte
30
18
V,
QJ
c..
118
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
MATRICE PER IL GIOCATORE B
Impresa B
<(
Pubblicità di
pomeriggio
Pubblicità
di notte
Pubblicità di
pomeriggio
12
30
Pubblicità
di notte
20
18
Data la simmetria delle due matrici e tenendo conto che le strategie di A corri­
spondono alle file e quelle di Balle colonne, l'analisi di entrambe è simile. Potrem­
mo fare lo stesso che abbiamo fatto con i giochi a somma zero: non c'è punto sella
(maximin 18, minimax 20), per cui cerchiamo una strategia mista che dia un valore
del gioco per il giocatore A. Questa strategia consiste nel giocare la strategia 1
(pubblicità di pomeriggio) con una probabilità di 3/5 e la strategia 2 (pubblicità di
notte) con una probabilità di 2/5 con cui otteniamo un valore di 19 ,2 (guadagno
medio per partita). Analogamente, data la simmetria, il giocatore B farà qualcosa di
simile: su 5 "partite", giocherà aleatoriamente 2 volte la strategia 1 e 3 volte la 2 ed
otterrà un guadagno medio uguale ad A. Fino a qui tutto sembra funzionare come
prima e si potrebbe pensare che questa sia la strategia ottima per ciascun giocatore
e con ciò il gioco sarebbe risolto.
·
Un'analisi più dettagliata del gioco mostra che, in questo caso, ciascuno dei due
giocatori può aspirare a guadagnare di più, senza che l'altro alteri i suoi guadagni;
per cui la soluzione precedente non è ottima ed il valore del gioco ottenuto con
le strategie miste ottime utilizzate per i giochi a somma zero non è sempre il più
elevato possibile.
Ciò che avveniva in precedenza accadeva perché la strategia ottima dei giochi
a somma zero si basa sull'idea di limitare (o ridurre) al massimo i guadagni dell'av­
versario, cosa che equivale ad incrementare al massimo i propri guadagni: ciò ora
non è certo. Supponiamo che l'impresa A, invece che giocare una strategia mista,
decida di giocare sempre la strategia pura 2 (pubblicità di notte), mentre l'impresa
B giochi la strategia mista ottima; dunque A guadagnerebbe, in media, 30 · 2/5 +
18 · 3/5 = 22,8 mentre B continuerebbe a guadagnare 19 ,2. Si osservi che mentre
B continua a guadagnare lo stesso, A ha incrementato i suoi guadagni, cosa che
non poteva succedere mai in un gioco a somma zero. Evidentemente, B potrebbe
119
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
desiderare di fare lo stesso, giocare la strategia pura 2, sperando che A giochi una
strategia mista; così adesso sarebbe B a migliorare i suoi risultati, senza che A climi.
.
.
nmsca 1 suoi.
Ma cosa succede se entrambe le imprese giocano la strategia pura 2? Allora le
due imprese otterrebbero solo un 18% e ridurrebbero i loro guadagni alla stessa
quantità. Sembra, dunque, una strada senza uscita, dato che ciascuna impresa può
guadagnare di più senza pregiudicare l'altra, però se entrambe vogliono guadagnare
di più, allora non solo non ci riescono, ma entrambe guadagnano meno del valore
medio sperato.
Senza dubbio, esiste un'altra possibilità. Supponiamo che entrambi i giocatori si
accordino per non coincidere nelle caselle che rendono meno benefici, nel nostro
caso fare la pubblicità entrambe nella stessa fascia; se si desse questo caso, le due im­
prese potrebbero guadagnare molto di più e potrebbero anche farlo in modo che
i loro benefici fossero uguali: se l'impresa A gioca alternativamente le strategie 2 e
1, il guadagno medio per entrambe le imprese sarà del 25% per partita (A alterna
guadagni di 20 e 30 e B alterna guadagni di 30 e 20). Questa sembra essere la solu­
zione migliore ed è anche una situazione di equilibrio.
Un'idea ragionevole: l'equilibrio di Nash
Von Neumann e Morgenstern, oltre ad aver studiato i giochi a somma zero per
due persone, ampliarono i loro studi ai casi di giochi per più persone, tenendo
conto di possibili alleanze (raggruppamenti di due o più giocatori per agire in
maniera coordinata), ossia si allontanarono dai giochi strettamente competitivi. Fu
John Nash che, negli anni '50 del XX secolo, estese la teoria dei giochi con n per­
sone senza cooperazione, nei quali le alleanze erano proibite, occupandosi soprat­
tutto di giochi competitivi a somma zero sia per due, sia per più persone, arrivando
a stabilire l'idea di equilibrio, nota come equilibrio di Nash.
Il metodo di Nash è apparentemente semplice, per lo meno nella sua idea prin­
cipale. In effetti, supponiamo che diversi giocatori abbiano appena terminato un
gioco e che ciascuno abbia scelto una strategia determinata. Una volta conosciuto
il risultato del gioco, chiediamo a ciascun giocatore se pensa che il suo modo di
giocare sia stato soddisfacente o, per dirlo in altra maniera, se avesse preferito agire
diversamente. Se la risposta è positiva, ossia se tutti i partecipanti considerano di
aver scelto una buona strategia, il risultato del gioco è un punto di equilibrio, se­
condo Nash.
120
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Vediamo l'applicazione di questa idea ad un caso concreto. La seguente matrice
dà i risultati di un gioco a somma non zero:
Strategia 1
Strategia 2
Strategia 1
(1,100)
(O,1)
Strategia 2
(2,0)
(5,2)
Due giocatori hanno scelto la strategia 2. Una volta conosciuto il risultato,
entrambi rimangono concordi alla loro giocata e la considerano la migliore che
potessero fare. Il primo giocatore (strategie per file) considera di aver guadagnato
5, che è il massimo che poteva ottenere, mentre il secondo, una volta saputo che il
primo aveva scelto la strategia 2, è rimasto anch'egli d'accordo con la propria scel­
ta, dunque ha guadagnato 2 invece che niente.
Si potrebbe discutere sulla soluzione precedente argomentando che, se anche
la scelta del primo giocatore è "buona" perché la strategia scelta (2) è dominante,
il secondo giocatore potrà sempre pensare che aver scelto la prima strategia gli
avrebbe dato un guadagno di 100. Ma in un gioco competitivo, nel quale ciascun
giocatore pensa a massimizzare i propri guadagni, non si avrebbe questo risultato se
si considerasse che il giocatore 1 sceglie in maniera razionale.
Pertanto, dei quattro risultati possibili, l'unico del quale nessuno dei due gio­
catori si pentirà è il (5, 2); questo risultato è un punto di equilibrio di Nash. In qua­
lunque partita con un risultato diverso, uno dei giocatori porrebbe obiezioni alla
propria maniera di giocare, per cui, con le parole di Nash, sarebbe un risultato
instabile.
Il metodo applicato per ottenere la soluzione precedente pare interessante e
dà una soluzione razionale. In questo contesto, Nash dimostrò che qualsiasi gioco
finito per due persone ha almeno un punto di equilibrio, estendendo così il teo­
rema del minimax diVon Neuniann. Nei giochi a somma zero il punto di equili­
brio coincide con quello che si ottiene col teorema del minimax, però l'interesse
del risultato di Nash è che ci sono punti di equilibrio nei giochi a somma non
zero, come abbiamo visto nell'esempio precedente e anche che le soluzioni sono
razionali.
Senza dubbio, non avviene sempre lo stesso e, a volte, la soluzione data dal
punto di equilibrio è sorprendente ed ha proprietà strane nonostante, in apparenza,
abbastanza razionali.
121
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
JOHN FORBES NASH (1928)
Dopo i lavori di Von Neumann, i contributi di John Nash - in particolare i suoi primi lavori - sono
forse i più rilevanti nella corta ma intensa vita della teoria di giochi. Già da bambino Nash mostrò
le sue grandi capacità intellettuali, ma anche le sue difficoltà di relazione con gli altri. Anche se
iniziò i suoi studi in ingegneria chimica, presto si rivolse alla matematica per la quale era partico­
larmente dotato. Nel 1948 ricevette una borsa di studio dell'Università di Princeton, dove allora
lavoravano Einstein e Von Neumann, per realizzare il dottorato in teoria dei giochi, sotto la guida
di Albert W. Tucker. Nel 1950 presentò la sua tesi di dottorato, un lavoro breve e molto originale
sui giochi non cooperativi, che ottenne subito un grande riconoscimento da parte degli esperti
in teoria dei giochi. Creò un gioco di connessioni, attualmente commercializzato col nome di
Hex, su una scacchiera con caselle esagonali, senza sapere, a quanto pare, che il danese Piet
Hein aveva fatto lo stesso pochi anni prima e dimostrò che doveva esistere una strategia vincente
per il primo giocatore, anche se detta
strategia è sconosciuta.
A partire dagli anni '50 lavorò al Mas­
sachusetts lnstitute of Technology
(MIT) e alla RAND Corporation, una
famosa organizzazione delle forze
aeree statunitensi che lavorava su
temi di strategia. Poco dopo il suo
matrimonio, nel 1959, fu internato a
causa della schizofrenia che forse si
stava sviluppando da tempo e che lo
ha accompagnato in diverse fasi della
sua vita. Ciò nonostante continuò a
lavorare sulla teoria dei giochi fino a
che, nel 1994, ricevette il Premio No­
bel per l'Economia.
Nel 2001 il regista Ron Howard rea­
lizzò il film A beautiful mind, premia­
to con quattro Oscar, la cui trama è
basata sulla biografia di John Nash
ed in particolare sulla sua infermità
mentale.
122
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Prigionieri con dilemmi e altri prohlemi classici
della teoria dei giochi
Gli esempi del paragrafo precedente hanno mostrato che quando si affronta un
gioco a somma non zero, a volte è possibile utilizzare strategie di cooperazione che
facciano migliorare i risultati; il problema nasce quando questi miglioramenti non
si distribuiscono in maniera equa tra i giocatori. In altre parole, il problema è come
ripartire "le eccedenze" e se una maniera razionale di farlo è quella che conviene
di più ai partecipanti.
Merril Flood, che lavorava alla RAND, analizzò varie situazioni della vita quo­
tidiana, specialmente quelle in cui i giocatori dovevano ripartirsi un guadagno ad­
dizionale. Una di queste è la vendita di un'auto usata: una persona vuole comprare
un'auto usata, che un suo amico è disposto a vendere. Per fissare il prezzo, entrambi
vanno a farsi valutare il veicolo in un negozio di compra-vendita di auto usate;
lì viene loro detto che sarebbero disposti a comprarla per 1000€ e a venderla
per 1300€, guadagnando 300€ per la transazione. Se facessero la vendita diretta,
senza passare per il negozio, è evidente che risparmierebbero 300€ e potrebbero
decidere di ripartirsi il risparmio tra di loro; in questo caso, sarebbe razionale una
divisione in parti uguali, di modo che la vendita sarebbe di 1150€, guadagnando
così ciascuno 150€.
La precedente sembra la soluzione più razionale, ma non è l'unica. Uno dei
due, per esempio il compratore, potrebbe decidere di non essere disposto a pa­
gare più di 1100€; in questo modo, se il venditore accetta, guadagnerà comun­
que 100€ rispetto al prezzo valutato. Al contrario, potrebbe essere il venditore
a fissare un prezzo minimo di 1250€, sostenendo che comunque il compratore
risparmierebbe 50€. Osserviamo che se uno dei due rifiuta l'offerta dell'altro, con
l'argomentazione razionale che la ripartizione dei benefici non è "giusta", si starà
pregiudicando da solo, dato che il prezzo continua ad essere inferiore a quello che
dovrebbe pagare al negozio.
L'idea della distribuzione "giusta" dei benefici non è sempre così evidente e, a
volte, può esistere più di una soluzione considerata totalmente razionale. Supponia­
mo che Giovanni debba andare da Barcellona a Madrid in auto (600 km) per una
riunione di lavoro e tornare il giorno seguente.Viene a sapere che anche Pietro, un
suo amico che vive a Saragozza, deve andare a Madrid lo stesso giorno e decidono
di condividere l'auto sia all'andata, sia al ritorno. Sapendo che Saragozza si trova a
metà strada tra Barcellona e Madrid, come dovranno ripartirsi le spese di viaggio?
123
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Ragionamento 1: dato che il tragitto realizzato da Giovanni è il doppio di
quello realizzato da Pietro, divideranno le spese per 3: Pietro pagherà una parte e
Giovanni le 2 rimanenti.
Ragionamento 2: dato che per metà del viaggio Giovanni viaggia d a solo,
mentre nell'altra i due viaggiano insieme, Giovanni pagherà tutta la parte corri­
spondente alla metà, ma solo la metà dell'altra parte; pertanto, Pietro pagherà solo
la metà della metà, ossia la quarta parte. Così, divideranno le spese per 4 e Pietro
pagherà una parte e Giovanni le tre rimanenti.
In termini di distribuzione di benefici si possono quantificare i costi supponen­
do che da Barcellona a Madrid il viaggio costerà a Giovanni 600€ se viaggia da
solo e a Pietro il viaggio da Saragozza a Madrid costerà 300€. Se vanno insieme,
risparmiano tra i due 300€. Nel primo ragionamento Giovanni paga 400€ (ne
risparmia 200) e Pietro paga 200€ (ne risparmia 100). Nel secondo ragionamento,
invece, Giovanni paga 450€ (ne risparmia 150) e Pietro paga 150€ (ne risparmia
anch'egli 150). Così, questo secondo argomento corrisponde ad una distribuzione
di benefici in parti uguali, mentre il primo corrisponde ad una distribuzione di
benefici proporzionale alle spese previste per ciascuno.
Nella razionalità, ci può essere più di una soluzione razionale.
Il dilemma del prigioniero
Il gioco noto come il dilemma del prigioniero, nome assegnato ad un tipo di gio­
chi a somma non zero proposti da Albert W Tucker nel 1950, è uno dei problemi
più famosi della teoria dei giochi. È un semplice esempio di quello che succede in
molte situazioni dove si verifica un confronto tra due forze che possono optare per
contrastarsi o cooperare, come nelle guerre dei prezzi, nelle campagne pubblicita­
rie o nella corsa agli armamenti.
Anche se il nome del dilemma fa riferimento ad un prigioniero e si può for­
mulare come un gioco tra due delinquenti che non sanno se dichiararsi innocenti,
ammettere le proprie colpe o incolpare l'avversario, lo esponiamo in una delle sue
più interessanti applicazioni: uno scontro militare che ha avuto luogo e, disgraziata­
mente, continua ad esistere nel nostro mondo attuale con troppa frequenza. La sua
formulazione è la seguente:
Due potenze Pl e P2 si affrontano e devono decidere la loro politica sugli
armamenti. Ciascuna può scegliere tra due strategie in maniera indipendente:
124
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
ALBERT WILLIAM TUCKER (1905-1995)
Tucker realizzò importanti contributi in topologia, programmazione non lineare e teoria dei
giochi. Si laureò in matematica all'Università di Toronto e terminò il suo dottorato all'Università
di Princeton nel 1932. Dopo diverse permanenze presso le Università di Harvard, Cambridge e
Chicago, tornò a Princeton dove insegnò fino al 1970, dirigendo il Dipartimento di Matematica
per più di 20 anni. Nel 1950 diede il nome e la prima interpretazione al più noto ed interessante
paradosso della teoria dei giochi, il dilemma del prigioniero, che fu un contributo fondamen­
tale al modello di conflitto e cooperazione che M. Flood e M. Dresher stavano sviluppando a
Princeton.
Oltre che un ricercatore notevole, fu un grande professore, interessato all'educazione mate­
matica; collaborò al progetto per l'educazione secondaria, per il quale divenne presidente della
Mathematics Association of America (MAA). Tra i suoi numerosi studenti figura il Premio Nobel
John Nash.
A: negare ogni cooperazione, ossia armarsi come per prepararsi ad una possibile
guerra.
B: cooperare, ossia disarmarsi o, quanto meno, mettersi d'accordo nel proibire
determinate armi.
I quattro risultati possibili (A,A), (A, B), (B,A) e (B, B), nei quali la prima coor­
dinata è la strategia di Pl e la seconda quella di P2, si possono esprimere con una
tabella:
Potenza P2
Opzione A
Opzione B
a:
Opzione A
(A,A) Corsa agli armamenti
(A,B) Si arma solo P1
o
Opzione B
(B,A) Si arma solo P2
(B,B) Controllo delle armi
o disarmo
c..
Si potrebbero assegnare valori (pagamenti numerici) al risultato dell'incrocio
delle diverse strategie, tenendo presente che in questo caso i pagamenti saranno
diversi per ciascun giocatore, dato che in ciascuna casella si avrà un paio di nume125
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
ri, il primo corrispondente a quello che guadagna P1, ed il secondo a quello che
guadagna P2. In questo modo si avrà una matrice di pagamento come la seguente:
Potenza P2
�
Opzione A
Opzione B
o.
Opzione A
(2,2)
(5,0)
o.
Opzione B
(0,5)
(4,4)
Se si interpretano i numeri come guadagni, il dilemma risulta evidente. Per
qualsiasi delle due opzioni di P2, P1 risulta favorito se si arma. In effetti, se P2 sce­
glie A, P1 guadagnerà 2 se si arma e O se non lo fa; mentre se P2 sceglie B, P1 gua­
dagnerà 5 se si arma e 4 se non lo fa. Simmetricamente, succede lo stesso con P2,
dato che per le due possibili strategie di P1, armarsi dà maggiori guadagni. Così, si
dice che la soluzione (A,A), entrambe le potenze si armano, con un pagamento di
2 per ciascuna di esse, è la soluzione di equilibrio non cooperativo verso la quale il
gioco pare indirizzato.
Senza dubbio, per ciascuna potenza è meglio che l'altra si disarmi (i guadagni
sono maggiori) e, inoltre, il massimo beneficio globale si ottiene quando entrambe
le potenze si disarmano. Dunque, se le potenze non cooperano, il maggiore risulta­
to globale (4, 4) non si può realizzare, ma se una potenza coopera, dato che non sa
cosa farà l'altra, si assume un rischio grande (otterrà il minore pagamento se l'altra
non coopera); pertanto, la fiducia diventa un elemento essenziale del gioco e, senza
di essa, il maggior risultato è totalmente instabile, perché ciascuna potenza cercherà
di proteggersi da una possibile non cooperazione dell'avversario.
In molte altre situazioni della vita reale, in genere meno estreme di quella che
abbiamo esposto, è possibile avvicinarsi a situazioni in cui la cooperazione, per
quanto difficile, sia fattibile. Abitualmente il gioco si realizza varie volte e dunque
elementi importanti, come la reputazione e la fiducia, possono intervenire in ma­
niera significativa, per cui i giocatori si possono rendere conto dei mutui vantaggi.
Nel nostro esempio, il disarmo ha evidentemente molti vantaggi in confronto ad
una corsa sfrenata agli armamenti che, oltre agli alti costi, può portare, alla fine, al
disastro totale; senza dubbio, la cooperazione è complessa e ci si può avvicinare ad
essa a lungo termine.
126
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Anche se la formulazione del dilemma del prigioniero corrisponde alla teoria
dei giochi, la problematica che vi è dietro era già sta considerata in passato. Tho­
mas Hobbes (1588-1679), filosofo e politico inglese autore del Leviathan, nella sua
teorizzazione dell'assolutismo politico aveva analizzato una situazione, a proposito
dell'evoluzione della società, molto simile al nostro dilemma. Hobbes diceva che
originariamente la società viveva in una situazione anarchica in cui solo i più com­
petitivi trovavano posto. Per far sì che la cooperazione fosse possibile considerava
necessario imporre restrizioni e farle rispettare. Hobbes vedeva il contrasto sociale
come l'imposizione di un risultato cooperativo e considerava che la società do­
vesse sottomettersi all'arbitrio del governo, dato che le decisioni indipendenti che
implicassero competizione o cooperazione, non si potevano lasciare in mano agli
individui.
Anche nel mondo degli affari si possono incontrare diverse situazioni in cui
si presentano dilemmi simili a quello del prigioniero. In un'industria competitiva
ROBERT AXELROD E LA RIPETIZIONE DEL DILEMMA DEL PRIGIONIERO
Robert Axelrod, professore di Politica Pubblica all'Università del Michigan, matematico e dottore
in Scienza Politica, è un esperto del problema della cooperazione e specialista in giochi come il
dilemma del prigioniero. Tra le sue opere si distingue The Evolution of Cooperation, uno studio
evolutivo sulla cooperazione, la cui tesi principale è_che le strategie che le persone utilizzano
tendono ad evolversi in qualcosa di sempre più effettivo, in cui la cooperazione è necessaria. A
proposito del dilemma del prigioniero, Axelrod commentò che realizzare il gioco una sola volta
non permette di conoscere il comportamento dell'altro per ricompensare la sua cooperazione
o castigare la sua defezione, per cui bisogna pensare ad obiettivi a corto raggio. Diversamente,
quando il gioco si ripete più volte, è possibile basare le strategie sulle interazioni precedenti, po­
nendo come fondamento la reciprocità: se l'avversario ha cooperato spesso, è meglio cooperare
con assiduità, però se l'altro non lo fa, non vale la pena provarci.
Dato che sembrava che nessuno conoscesse la strategia ottima, Axelrod organizzò un torneo
al quale parteciparono diversi esperti di teoria dei giochi, per osservare le maniere di giocare
e cercare di trovare le strategie effettive. Alla fine del gioco risultò che, fra tutte le strategie
provate, la migliore era la più semplice, detta "occhio per occhio"; si comincia cooperando (non
bisogna mai essere il primo a disertare) e dopo bisogna fare ciò che ha fatto l'avversario nella
giocata precedente: cosl, se questo ha cooperato, vale la pena continuare la cooperazione, però
se non lo ha fatto, bisogna rapidamente mostrare il disaccordo.
127
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
spesso succede che i partecipanti rinuncino ad agire per superare gli altri con il
convincimento che, col tempo, ciò tornerà a favore di tutti ed in particolare di se
stessi. Così, per esempio, gli accordi dei librai per non fare sconti oltre una certa
quantità (supponiamo il 10%) o la decisione di un'associazione di chiudere i ne­
gozi ad una certa ora (supponiamo alle 8 di sera) e di non superarla, sono rinunce
deliberate per migliorare le vendite; tutti sanno che quando uno di essi non la ap­
plica, neppure gli altri lo faranno, per cui non si otterrà un nuovo beneficio ed in
cambio si avrà un aumento dei costi.
Il gioco della gallina
Insieme al dilemma del prigioniero, e simile a questo, il cosiddetto gioco della galli­
na è uno degli studi più rappresentativi che la teoria dei giochi realizza con i giochi
a somma non zero.
Il suo nome si riferisce alla metafora sulla codardia e generalmente si propone
come una sfida tra 2 persone davanti ad una situazione di rischio, nella quale biso­
gna provare quale dei due giocatori cederà di fronte all'altro.
Una formulazione usuale è la seguente: due autisti guidano uno di fronte all'al­
tro, a gran velocità. Ciascuno deve decidere all'ultimo momento se girare a destra
per evitare la collisione o non farlo. Si hanno i seguenti casi:
1. Nessuno dei due gira e si ha la collisione. Questo è il risultato peggiore e si
assegna il valore O ad entrambi i giocatori.
2. I due giocatori girano all'ultimo momento evitando la collisione. È un buon
risultato, uguale per entrambi, anche se tutti e due perdono "prestigio" e nes­
suno si può considerare vincitore. Si assegna un valore 3 a ciascun giocatore.
3. Uno dei due gira e l'altro no. Il primo perde molto "prestigio" e gli si assegna
un valore 1, mentre l'altro è considerato vincitore e gli si assegna un valore 5.
Possiamo sintetizzare le diverse strategie ed i pagamenti corrispondenti nella
seguente matrice:
Autista 2
Gira
Autista 1
Non gira
Gira
(3,3)
(1,5)
Non gira
(5, 1)
(0,0)
128
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
IL GIOCO DELLA GALLINA
Anche se una situazione così estrema come quella proposta da questo gioco è poco frequen­
te nella vita reale, ci sono conflitti nei quali i due giocatori vogliono essere dominatori della
situazione (relazioni di lavoro, conflitti tra potenze); in questi si può arrivare a casi limite come
quello del gioco.
Situazioni simili si trovano più frequentemente nella fiction, come per esempio nel film di Nicho­
las Ray Gioventù bruciata (1955), nel quale due giocatori guidano la loro auto verso un precipizio
ed il primo a saltare perde il gioco (la gallina).
Sia il dilemma del prigioniero, sia il gioco della gallina sono giochi di conflitto parziale che
mostrano che, in certe occasioni, seguire gli interessi immediati di un giocatore porta a risultati
catastrofici per il gruppo; in questo senso sono giochi simili. Senza dubbio, c'è qualcosa che
li differenzia: mentre nel dilemma del prigioniero la coincidenza delle strategie porta i risultati
migliori, nel gioco della gallina succede il contrario: fare l'opposto di ciò che fa l'awersario porta
sempre i risultati migliori, piuttosto che seguirne la stessa strategia, per cui bisogna mostrare
velocemente il proprio disaccordo.
L'analisi della situazione mostra che se entrambi i contendenti cercano il mas­
simo beneficio, cercare di ottenere 5 non girando, otterranno entrambi il peggior
risultato. Girare sembrerebbe la miglior strategia e se lo fanno entrambi otterranno
tutti e due un buon risultato; però nessuno dei due vuole girare prima dell'altro,
dato che farlo comporta un pagamento di 1 invece che di 5 a favore del rivale.
Il gioco si può analizzare dal punto di vista della cooperazione: girare va inter­
pretato come cooperare e non farlo come disertare; se entrambi cooperano si ot­
tiene un buon risultato d'insieme. Forse l'elemento più significativo è che il gioco
rappresenta una forma di negoziazione nella quale ciascuno dei partecipanti cerca
di ritardare la necessaria concessione per evitare il disastro, fino all'ultimo momen­
to, come mezzo per forzare l'altro a giocare "razionalmente" (in questo caso, girare)
ed essere egli stesso colui che evita la collisione.
Un altro aspetto di questo gioco è il ruolo della carta con la dichiarazione della
strategia che si userà, proposta prima di iniziare il gioco, o il blocco del volante
dell'auto per evitare che possa girare; questi sono mezzi per forzare l'altro ad adot­
tare una strategia contraria, ossia obbligarlo a girare per evitare la collisione.
Sia questo gioco, sia il dilemma del prigioniero mostrano la difficoltà di trovare
una soluzione a questo tipo di situazioni nelle quali tanto lo scontro, quanto la
129
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
cooperazione sono possibili; tali situazioni sono per lo meno inquietanti, dato che
mostrano l'antagonismo che a volte si genera tra gli interessi individuali immediati
e quelli della collettività.
Cooperare o morire. Il caso dei falchi e delle colombe
I vari giochi analizzati dalla teoria dei giochi sono applicabili a situazioni molto
diverse. Generalmente si esemplificano in situazioni economiche, politiche e mi­
litari, che sono quelle che inizialmente promossero il loro sviluppo; senza dubbio,
con il tempo, si sono applicate ad altri campi, che inizialmente sembravano lon­
tani da un'interpretazione in termini di competizione o collaborazione. Questo
è il caso della scienza della natura e, concretamente, delle teorie sull'evoluzione e
sull'ecologia.
Si suppone che prendere decisioni sia esclusivo degli esseri umani e che, per­
tanto, la teoria dei giochi sarà applicabile solo al comportamento umano. Senza
dubbio,John Maynard Smith, in un eccellente lavoro del 1978, dimostrò che era
applicabile anche al comportamento di certe specie che scelgono strategie collet­
tive per preservare, o migliorare, il proprio sviluppo. Non sono comportamenti
individuali, bensì collettivi, che riguardano tutta una specie. La lotta per la soprav­
vivenza di una specie si può interpretare come un processo di competizione nel
quale determinati comportamenti di alcuni possono portare addirittura alla spari­
zione di altri. Parallelamente, il comportamento "altruista" di certi individui può
essere benefico per la collettività, ma fatale per gli individui stessi.
John Maynard Smith propose il dilemma noto come falchi e colombe che, in un
certo senso, è un'applicazione del gioco della gallina. In effetti, quando due animali
competono per una preda, abitualmente hanno entrambi un'attitudine aggressiva
e cercano di sconfiggere l'avversario con la forza. Quando lo scontro diventa una
vera e propria lotta ci sono due possibilità: abbandonare e fuggire (colombe), per­
dendo la preda, ma conservando la vita, oppure combattere (falchi), con un risulta­
to imprevedibile che può portare alla morte.
Supponiamo che in una comunità di colombe spunti un piccolo gruppo di
falchi. Inizialmente questi aumenteranno perché la loro strategia è benefica (ogni
volta che si confrontano con una colomba vincono), per cui col tempo la quantità
di falchi aumenterà; questo farà sì che aumentino gli scontri tra falchi e quindi au­
menteranno sempre più le perdite di questi. Questa situazione porterà col tempo
ad un equilibrio tra colombe e falchi, cosa che, a: quanto pare, succede nella realtà.
130
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Con queste condizioni, Smith creò un gioco, assegnando pagamenti alle diverse
:ioni; possiamo rappresentarlo con la seguente matrice:
Falchi
Colombe
Falchi
(-5,-5)
(10,0)
Colombe
(0,10)
(2,2)
I pagamenti partono dalle seguenti assegnazioni: ottenere l'obiettivo (una presa
l'accoppiamento) 10 punti; rimanere feriti -20. In uno scontro tra falchi, suppo­
�ndo che ciascuno vinca una volta e l'altra perda, si ottiene in media -5. Quando
1
falco si scontra con una colomba vince sempre (10) mentre questa si ritira (O).
JOHN MAYNARD SMITH (1920-2004)
John Maynard Smith fu un biologo evoluzionista
e genetista inglese che utilizzò la matematica ed
in particolare la teoria dei giochi per i suoi studi
sull'evoluzione. Studiò nel famoso Eton College e
studiò ingegneria al Trinity College di Cambridge.
Fin da giovane si iscrisse al partito comunista, che
abbandonò nel 1955 dopo l'invasione dell'Unghe­
ria da parte dell'esercito russo. lmprowisamente
cambiò il suo orientamento scientifico e studiò
genetica alla University College di Londra. Fu pro­
fessore di zoologia nello stesso centro e, nel 1958,
pubblicò un libro divulgativo, The Theory of Evolu­
tion, che ebbe grande popolarità.
Dal 1962 lavorò all'Università del Sussex, di cui fu
fondatore e, nel 1973, formalizzò il suo principale
contributo alla teoria dei giochi, la cosiddetta strategia stabile evolutiva. I suoi studi su questa
teoria culminarono con la pubblicazione del libro Evolution and Theory of games, del 1982,
nel quale propose un gioco noto come i falchi e le colombe. Nel 1977 fu eletto membro della
Royal Society e nel 1986 ricevette, tra i vari altri riconoscimenti, il premio Darwin. In suo onore,
la Società Europea per la Biologia dell'Evoluzione ha istituito un premio che porta il suo nome,
per giovani ricercatori in questa disciplina.
131
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Quando due colombe si scontrano non ci sono feriti, però si hanno una grande
perdita di tempo e rischi inutili, per cui Smith assegna il valore di -3. In uno scon­
tro fra colombe, la vincente ottiene 10 - 3 = 7 e la perdente -3, per cui, in media
ottiene 2.
Partendo da questo gioco, si introduce l'idea di strategia evolutiva stabile, che
è quella che permane quando appare una mutazione che cerca di eliminarla. Con
questa Smith dimostrò che tanto una popolazione di soli falchi, quanto una forma­
ta solo da colombe non sono evolutivamente stabili e mostrò che, in accordo coi
pagamenti assegnati, una strategia mista con 8/13 falchi e 5/13 colombe sarebbe
una comunità evolutivamente stabile, ossia protetta di fronte all'incremento sia dei
falchi, sia delle colombe.
Si potrebbe provare che lo è effettivamente, anche se sarebbe difficile spiegare
come un determinato gruppo possa metterla in pratica. Si può pensare all'esistenza
di un gene "falco" in 8/13 della popolazione ed ad un altro che porti i propri in­
dividui ad agire come colombe, o anche ad uno stesso gene che porti ad un com­
portamento o all'altro nelle stesse proporzioni.
Nel modello descritto è evidente che nessuna delle due strategie è soddisfa­
cente: i falchi vincono sulle colombe, ma perdono nei loro scontri e le colombe
ottengono un buon rendimento nel confrontarsi tra loro, ma non con i falchi. È
necessario un arbitraggio che riduca le lotte tra falchi ed impedisca, allo stesso
tempo, che questi approfittino dell'attitudine timorosa delle colòmbe, salvando ciò
che si ha e riducendo i confronti violenti: per questo motivo si è denominato que­
sto tipo di arbitraggio strategia borghese.
Per dimostrare come le diverse applicazioni si alimentino l'una con l'altra e
suggeriscano nuovi trattamenti, l'idea di evoluzione fu applicata da Robert Axel­
rod, nella sua teoria dei giochi, allo studio di strategie cooperative all'interno di
una comunità, quando un gioco veniva ripetuto molte volte (si veda il paragrafo
dedicato al dilemma del prigioniero).
A proposito di giochi con più di due persone
Fino a questo momento ci siamo occupati di giochi per due persone ed anche
gli esempi mostrati servono a dare forma a quest'idea: potrebbe trattarsi di due
persone, due imprese, due eserciti o, in generale, due gruppi; però, in ogni caso,
tanto nelle situazioni di cooperazione, quanto in quelle di confronto, ci sono solo
due contendenti. Così, la possibilità di stabilire alleanze tra due o più giocatori per
132
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
migliorare i propri risultati a costo di pregiudicare un terzo non era fattibile. Il
celebre lavoro di Von N eumann e Morgenstern, The Theory ofgames and Economie
Behaviour, già citato più volte, fu il primo ad occuparsi di giochi per n persone e ad
introdurre l'idea di soluzione per questo tipo di giochi.
Giochi di n persone
Per introdurre i termini principali di questa parte del libro di Von Neumann e
Morgenstern sui giochi per più di due persone ed avvicinarci all'idea di soluzione
di Neumann, ricorriamo ad un esempio economico, con valori molto semplificati.
Tre imprese, E1, E2 ed E3, hanno ciascuna il valore di 1€. Ciascuna può allearsi
con le altre formando coalizioni e ciascuna coalizione incrementa di 9€ il suo
valore. Se si alleano due imprese, il loro valore sarà di 11 € e, se lo fanno tutte e
tre, sarà di 12€. Supponiamo che le tre imprese abbiano lo stesso valore in tutti i
sensi; come devono allearsi, quale coalizione è preferibile e come devono ripartirsi
i benefici?
Si dice che il gioco precedente è descritto in forma caratteristica; tanto i giocato­
ri, quanto le coalizioni hanno un valore stabilito e quando si formalizza una coali­
zione questa funzionerà come un nuovo giocatore, per cui sarà possibile applicare i
metodi dei giochi per due persone. Con ciò si suppone che la forma di agire della
coalizione sia massimizzare i propri benefici e, se il gioco è a somma zero, può
riuscirci, come abbiamo visto nel capitolo precedente, minimizzando gli avversari.
Supponiamo anche che, una volta realizzata la coalizione, il gioco sia totalmente
competitivo.
Analizziamo alcuni risultati del problema proposto. Se non ci sono alleanze,
ciascuna impresa rimane nelle condizioni iniziali, 1€ per ciascuna. Se si crea un'al­
leanza delle tre imprese (valore totale 12€), data la simmetria della situazione, una
distribuzione equilibrata e soddisfacente per tutti sarà che ciascuna impresa riceva
4€; si rappresenta questa possibilità con la terna (4, 4, 4), che designerà i pagamenti
per ciascuna impresa e che si denomina imputazione. Ciò nonostante, altre imputa­
zioni sono possibili, sempre che la somma dei pagamenti sia 12€. Se la coalizione
è di due imprese, per esempio B e C, allora una di queste (A) riceverà solo 1€ e
le altre due 11€ in totale; una possibile imputazione sarà (1; 5,5; 5,5), ma esistono
ancora molte altre possibilità. Dato che le due imprese migliorano i loro pagamenti
rispetto all'imputazione precedente, questa sembra più possibile (soluzione miglio­
re) della prima.
133
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Senza dubbio, la soluzione (1; 5,5; 5,5), che sembrava la più fattibile, non è stabile
dato che l'impresa A, che non ha realizzato alcuna alleanza, può proporre un'altra
coalizione, per esempio con B, con la quale entrambe ottengano un pagamento mi­
gliore, per esempio (5, 6, 1). A questo punto, B potrebbe intervenire nuovamente,
forzando un pagamento minore ad A, con la stessa alleanza, o anche C proponen­
done una nuova. Questo processo potrebbe continuare in maniera indefinita e diffi­
cilmente potrebbe portare ad una distribuzione stabile, per poter essere considerato
la soluzione del gioco. L'analisi fatta da Von Neumann e Morgenstern sui giochi per
n persone li portò presto alla conclusione che non esisteva una soluzione unica che
fosse ottima e che non si aveva una soluzione con un'imputazione determinata. Sen­
za dubbio, qualunque analisi mostra che non tutte le imputazioni possono far parte
della soluzione;Von Neumann e Morgenstern cercarono di definire le condizioni
che l'insieme di imputazioni che costituivano la soluzione del gioco doveva riunire,
intendendo per soluzione un insieme di imputazioni (pagamenti per tutti i giocatori).
Per capire il significato di queste condizioni, bisogna precisare un altro concet­
to che si denomina dominio di un'imputazione su un'altra. Se si intende che nel
nostro gioco a qualsiasi proposta di coalizione e distribuzione ne succeda un'altra,
si potrà supporre che la nuova imputazione di pagamenti non sarà qualsiasi, ma sarà
razionalmente migliore della precedente. Questo significa che ci deve essere un
insieme di giocatori capaci di proporre una nuova coalizione ed un'imputazione
di pagamenti associata, per cui questi ricevano un pagamento rigorosamente mag­
giore che con la proposta precedente.
Fissati i concetti di imputazione e dominio, possiamo formulare le condizioni
per determinare l'insieme di imputazioni che costituiscono la soluzione, che sono
essenzialmente due:
1. Ogni imputazione che faccia parte della soluzione non può essere dominata
da un'altra che faccia parte anch'essa della soluzione.
2. Ogni imputazione che non faccia parte della soluzione deve essere dominata
da una che faccia parte della soluzion_e.
Con queste condizioni Von Neumann e Morgenstern considerarono che le so­
luzioni proposte, oltre ad evitare contraddizioni interne, rispondevano ad un com­
portamento socialmente accettabile. Per poter applicare questo metodo esistono
varie restrizioni, tra le quali la principale è che i giocatori debbano poter comu­
nicare gli uni con gli altri in qualsiasi momento, liberamente e simultaneamente.
134
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Giochi di cooperazione, alleanze e distribuzioni
Continuando con i giochi per n persone, analizziamo varie situazioni, aumentan­
done progressivamente le difficoltà; supponiamo che i giocatori possano comu­
nicare e stabilire accordi prima di giocare. Come prima, vogliamo studiare quelle
coalizioni che sono possibili e che garantiscano una distribuzione di guadagni tale
che tutti i membri della coalizione siano soddisfatti e decidano di mantenerla.
Esempio 1
Tre imprenditori,Anna (A), Beatrice (B) e Carlo (C), dopo aver concluso un affare,
devono ripartirsi € 200.000, che rappresentano il guadagno. Decidono di fare la
distribuzione per maggioranza semplice, un voto per persona e non stabiliscono
nessun'altra restrizione rigu ardo al modo di fare la divisione. La maggioranza sem­
plice può realizzare 4 possibili coalizioni:ABC,AB,AC, BC; all'interno di ciascuna
vi sono diversi modi di distribuire i benefici tra i tre giocatori.
Anna propone questa distribuzione:A=€ 68.000,B=€ 66.000 e C=€ 66.000.
Beatrice ne propone un'altra: A=€ 60.000, B=€ 70.000 e C= € 70.000, che
è migliore tanto per lei quanto per Carlo, il quale però propone una terza distri­
buzione: A=€ 70.000, B= O e C= 130.000 che migliora, oltre alle sue entrate,
quelle di Anna. Come nell'esempio del paragrafo precedente, le proposte potranno
continuare e sembra che non esista una coalizione che soddisfi tutti e tre i soci:
non c'è punto di equilibrio dato che qualsiasi proposta può essere cambiata con
un'altra, che migliori i pagamenti ricevuti da ciascun giocatore, con una nuova
alleanza.
Nei giochi cooperativi di alleanze si denomina soluzione una proposta di alle­
anze e di divisione dei pagamenti che sia stabile, ossia che garantisca un accordo
soddisfacente per i membri della coalizione.
Esempio 2
Supponiamo che la decisione riguardo alla distribuzione precedente si prenda
d'accordo con gli investimenti fatti da ciascun membro, in modo che Anna ottenga
5 voti,Beatrice 3 e Carlo 1. Ora le possibili alleanze per avere la maggioranza sono:
ABC,AB,AC,A.
Dato che Anna ha la maggioranza, può proporre una distribuzione che le dia
tutto il beneficio: A=€ 200.000, B= O e C= O. Anche se questa distribuzione
può sembrare ingiusta, sarà stabile. Anna rimarrà a favore e non è possibile forma135
LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
re una maggioranza senza di lei; pertanto, questa è una soluzione nei termini che
abbiamo definito.
In questi giochi, si denomina valore del gioco il pagamento che ciascun gioca­
tore ha garantito se agisce razionalmente e che è indipendente dalle decisioni degli
altri giocatori. Nell'esempio 1, nessun giocatore ha garantito di riscuotere alcuna
quantità, per cui il valore del gioco è A=O, B =O e C =O.Invece, nel secondo, il
valore del gioco è A= 100, B =O e C =O.
Esempio 3
Complichiamo un po' la situazione per renderla più reale. Nelle elezioni, cinque
partiti si sono distribuiti gli 81 seggi in gioco nella seguente maniera: A = 33,
B = 24, C = 15, D = 6 ed E= 3. Dato che nessuno ha la maggioranza assoluta (41
seggi), bisogna fare una coalizione o alleanza per formare il governo. Questa coali­
zione deciderà la distribuzione dei preventivi e le assegnazioni delle responsabilità.
Si prescinde dalle affinità ideologiche e si suppone che l'importanza degli incarichi
dipenda dal preventivo che gestiscono ed anche dal fatto che non si rompa la de­
cisione del voto.
Fra tutte le possibili alleanze (1 con 5 partiti, 5 con 4, 10 con 3, 10 con 2 e 5 con
1 solo partito) ce ne sono 16 fattibili (hanno come minimo 41 seggi). Siccome nes­
sun partito ha la maggioranza, il valore del gioco per ciascun partito è O, dato che
nessun partito è imprescindibile per formare una coalizione che possa governare.
LLOYD STOWELL SHAPLEY (1923)
Questo notevole matematico ed economista statunitense ha realizzato contributi fondamen­
tali alla teoria dei giochi. Studiò matematica ad Harvard, dove si laureò nel 1948, dopo aver
partecipato alla Seconda Guerra Mondiale come sergente nella Campagna di Cina. Lavorò un
anno alla RAND Corporation e prese il dottorato all'Università di Princeton nel 1953, all'epoca
in cui vi lavoravano i principali creatori della teoria dei giochi. In seguito tornò a lavorare per la
RAND Corporation fino al 1981, anno in cui divenne professore all'Università della California,
a Los Angeles (UCLA).
Già nella sua tesi di dottorato introdusse alcuni concetti, come il valore di Shapley, di grande
importanza per la teoria dei giochi e, durante la sua lunga carriera, ha continuato a pubblicare
i risultati dei suoi studi iniziali. È membro della National Academy of Sciences dal 1979 ed ha
ricevuto numerosi premi, tra cui il John von Neumann Theory Prize nel 1981.
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LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
Per situazioni come questa, il matematico ed economista Lloyd Shapley propo­
se un sistema di distribuzioni consistente in una divisione proporzionale al numero
delle possibili alleanze vincenti, nelle quali il giocatore che partecipa sia decisivo
(senza la sua presenza l'alleanza smette di essere vincente). Il pagamento ricevuto
da ciascun giocatore si chiama valore di Shapley. Un giocatore non è decisivo in una
coalizione se non è imprescindibile affinché questa coalizione risulti vincente.
Nel nostro caso, in una coalizione con tutti i partiti, nessuno è decisivo, mentre
per esempio, nella coalizione BCDE, B e C sono decisivi, dato che se si ritirano
dalla coalizione il resto non ha la maggioranza (se si ritira B, la coalizione avrà solo
24 seggi e se si ritira C ne avrà 33); D ed E, invece, non sono decisivi, dato che se
si ritira uno di essi la coalizione avrà ancora la maggioranza (se si ritira D la coa­
lizione avrà 42 seggi e se si ritira E ne avrà 45). A queste condizioni e facendo il
corrispondente conteggio, il numero delle coalizioni in cui ciascun partito risulti
imprescindibile si può riassumere nella seguente tabella:
Partito
Numero di coalizioni in cui
il partito è decisivo
A
10
B
e
6
6
D
2
E
2
A queste condizioni possiamo fare già la distribuzione, d'accordo col modello
proposto da Shapley. Se si formasse un'alleanza con tutti i partiti ed il preventivo
fosse di 2600 milioni di euro, la distribuzione, in accordo col valore di Shapley, do­
vrebbe essere (in milioni di euro):
A= 1.000
B=600
C=600
D=200
E= 200
Con qualsiasi altra alleanza, ciascun partito partecipante riceverà un preventivo
distribuito alla stessa maniera, che in nessun caso sarà inferiore a quello ottenuto
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LA VITA È GIOCO: APPLICAZIONI DELLA TEORIA NEL MONDO REALE
in questa coalizione. Questa proposta di distribuzione non porta ad una soluzione
unica stabile, dato che continuano ad esistere varie possibilità; però, in ogni caso,
qualsiasi coalizione si costituisca, se la distribuzione si fa in questa maniera, non ci
sarà alcuna possibilità più stabile che offra ai partecipanti un pagamento superiore.
Sia il metodo proposto da Von N eumann, sia quello di Shapley mostrano, da
un lato, che la soluzione non è espressa da un'unica imputazione, ma da un in­
sieme di queste; d'altro lato, è possibile determinare un insieme di caratteristiche
che permettano di decidere se una determinata imputazione faccia parte o meno
dell'insieme "soluzione".
Il lettore avrà osservato che, negli ultimi due capitoli, a mano a mano che le
situazioni analizzate si fanno più complesse, si avvicinano allo stesso tempo a situa­
zioni della realtà e i metodi matematici per cercare di risolvere il problema sono
meno incisivi. Questo non significa che non siano ugualmente validi, ma sempli­
cemente che le situazioni della realtà, combinando elementi di confronto e di coo­
perazione, hanno, ciascuna, alcune caratteristiche particolari che le rendono spesso
diverse dalle altre, per cui i metodi matematici applicabili per risolverle devono
tenere presente che la loro validità dipende da dette caratteristiche.
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Bibliografia
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PouNDSTONE,W, Prisoner's Dilemma. John von Neumann, game theory, and the puzzle
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Indice analitico
Erdos, Paul 20
Etten,Henry van 28
Euler 16, 29, 30, 70
Abbott,Robert 36,37
Alfonso X il saggio 22,23, 24, 66
Arrow,Kennneth 109
A xelrod, Robert 127, 132
fattoriale di un numero 73
Fermat,Pierre de 16, 25, 26, 28, 65,
67,68,70,72
Ferro,Scipione del 24, 25
Fibonacci 20,21, 31, 33
Flood, Merril 109, 123,125
frazioni unitarie (o egizie) 20
Bachet de Méziriac, Claude-Gaspar
16,27,28
Berlekamp,Elwyn 44
Berloquin,Pierre 36
Borel,Emil 96
Brayer,Richard 111
Gardner, Martin 36,41
Gauss, Carl Friedrich 16,29, 30
guadagni 85,86,87,92,93,95,98,
106,111,115, 119-123,126,135
Guy,Richard 44
g10co
a somma non zero 117,121,123,
124,128
a somma zero 91, 96,99,106,112,
115,116,117,119,120,121,133
ad informazione completa 42, 43,
44,96
astratto 38, 50,60,91,98,100,106
d'azzardo 11,15,22,25,26,29,39,
42,65,66,67,72,76,85,86,87,88
di strategia 23, 41-63
equitativo 93
per due persone 95,96, 99, 106,
112,116, 120, 121
tipo NIM 45-63
tipo Nimbus 54,59,63
Cardano, Gerolamo 24, 25, 26, 67, 72
Carroll,Lewis 32, 33
Chuquet, Nicolas 26
coefficienti di un binomio 67, 89
combinazioni 75, 89
Conway John 36, 44
Cournot,Antoine Augustin 92
Coxeter, Harol Scott 33
dilemma
(o gioco) dei falchi e delle colombe
130,131
(o gioco) del prigioniero 124,
125,127,129
(o gioco) della gallina 128, 129,
130
distribuzione binomiale 88, 89
dominio di un'imputazione 134
Dudeney,Henry E. 34,35, 36
equilibrio di Nash 92,117,120,121
141
INDICE ANALITICO
Hobbes,Thomas 127
Hooper,William 29,31
Huygens, Christiaan 92
Neumann,John von 11,14,39,97,
106,133,138
Newton, Isaac 29
imputazione 133,134,138
Ozanam,Jacques 29
Kallikan, Ibn 21
Pascal,Blaise 65,66,67,68,89
Laplace, Pierre Simon 70
Leibniz, Gottfried Wilhelm 55,67,92
Leonardo da Pisa si veda Fibonacci
Loyd,San1 34,35,36
Lucas,Édouard 16,32,33,34,74
permutazioni 30,73,74
probabilità 11,14,25,29,65-72,
76-89
condizionata 82
problema dei punti 26,71,72
pseudo gioco 60-61
punto
di equilibrio 98,99,101,103,111,
112,120,121,135
sella 93,94,95,97,98,99,102,
103,105,106,111
Pauling, Linus 83
matrice
dei pagamenti (o delle vincite) 93,
94,95,96,97,98,99,112,118,
105,108,111
simmetrica di pagamenti 97
maximin,metodo del 93,97,98,103,
106,107,110,112,119
Maydorge,Claude 28
Méré, Chevalier de 65,66,67,68,69
Mersenne,Marin 67,68
metodo della falsa posizione 16
rmmmax
metodo del 39,92,93,94,95,
110,111,112,113
teorema del 96,106,110,111,
121
Montucla,Jean E. 29
Morgenstern,Oskar 38,97,117,120,
133,134
RAND,Corporation 109,122,123,
136
Recorde,Robert 26
Rouse Bali,Walter W 32,33
Shapley,Lloyd Stowell 136
sistema di numerazione binario 48,
52,53,54,55
Smith,John Maynard 117,130,131,
132
speranza matematica 85,86,87,88
Stewart, Ian 36
strategia
"a ritroso" 47,48,49,57,63
aleatoria 94,98
cooperativa 115, 132
Nash,John 109,117,120,121,122,
125
142
INDICE ANALITICO
dominante 103,110,111,113
mista 39,92,94,96,103-113,119
ottima 94,95, 96,105,112,113,
117,119,127
pura 94,98,100,104,119,120
simmetrica 51,59
vincente 42,44-45,46,47, 48,49,
50,51,52,53,54,57-61,63,122
successi
disgiunti 71,86
ripetuti 88
ugualmente probabili 71
successo
favorevole 71
impossibile 71
possibile 71
sicuro 71
Sylvester,James Joseph 20,32
Tartaglia,Niccolò Fontana 24,25,26
Tucker,AlbertW 122,124,125
valore
di Shapley 136,137
di un gioco 91
variazioni 73,75
Zermelo,Ernst 96
143