MEXICO: GEOGRAFIA E HISTORIA Bandera Escudo Himno nacional: Himno Nacional Mexicano México Los Estados Unidos Mexicanos, conocido simplemente como México (náhuatl: Mexihco, 'ombligo de la luna' )? es un país localizado en América del Norte. La sede de los poderes de la Federación y capital del país es México, Distrito Federal, también llamada Ciudad de México. Limita con Estados Unidos de América al norte, al sureste con Guatemala y Belice, al este con el Golfo de México y el Mar Caribe, y al oeste con el Océano Pacífico. En extensión territorial ocupa la quinta posición en América, y el decimocuarto a nivel mundial. México es el país con la mayor población hispanohablante en el mundo. Capital México, DF • Población 8,720,916 hab. • Coordenadas 19°03′ N 99°22′ O Ciudad más poblada México, D.F. 2 Idiomas oficiales Ninguno. El español y 62 lenguas indígenas tienen la misma validez en todo el territorio mexicano1. Forma de gobierno República federal democrática Presidente Felipe Calderón Hinojosa Independencia de España • Iniciada 16 de septiembre de 1810 • Declarada 27 de septiembre de 1821 Superficie Puesto 14º • Total 1.984.375 km2 • % agua 2,5% Fronteras 3'152 Km. al norte con E.U.A., al sureste 956 Km. con Guatemala y 193 Km. con Costas Belice Océano Pacífico, Océano Atlántico Población Puesto 11º • Total 107,449,525 • Densidad 52,3 hab/km2 PIB (nominal) Puesto 10º • Total (2006) US$ 840.012 millones • PIB per cápita US$ 8.066 (2006) PIB (PPA) Puesto 10º • Total (2006) US$ 1.171.506 millones 2 • PIB per cápita US$ 11.249 (2006) IDH (2006) 0,821 (53º) – alto Moneda Peso mexicano ($, MXN) Gentilicio mexicano, mexicana, -a Huso horario UTC-6 a UTC-8 • en verano UTC-5 a UTC-7 Dominio Internet .mx Prefijo telefónico +52 Prefijo radiofónico 4AA-4CZ, 6DA-6JZ, XAA-XIZ Código ISO 484 / MX / MEX 3 Miembro de: TLCAN, ONU, OEA, OCDE, APEC, G.3 1 No existe declaratoria constitucional de lengua oficial. La Ley General de Derechos Lingüísticos de los Pueblos Indígenas señala que todas las lenguas indígenas que se hablen son lenguas nacionales e igualmente válidas en todo el territorio nacional. 2 Fuente: FMI. Toponimia Artículo principal: Toponimia de México Página del Códice Mendoza, donde se representa el glifo de México en el centro del Anáhuac. México es una entidad política que nació en el siglo XIX. Aunque algunos autores de la Colonia se referían a sí mismos como mexicanos1, fue hasta después de la independencia que se adoptó definitivamente el nombre de México para el país. Desde su conformación como Estado federal, el nombre oficial del país es Estados Unidos Mexicanos, aunque la Constitución de 1824 usaba indistintamente las expresiones Nación Mexicana y Estados Unidos mexicanos2. La Constitución de 1857 oficializa el uso del nombre República Mexicana, pero en el texto se emplea también la expresión Estados Unidos mexicanos3. La Constitución vigente, promulgada en 1917, establece que el nombre oficial del país es Estados Unidos Mexicanos. Existen varias hipótesis sobre el significado de la palabra "México". Es seguro es que se trata de un vocablo de origen náhuatl Mēxihco, con el que los mexicas designaban la capital de su Estado. La etimología de Mēxihco [me:ʃiʔko] no es clara. Una propuesta comúnmente repetida sostiene que el nombre proviene de los vocablos mētz-tli 'luna' y xīc-tli 'ombligo, centro' y el morfema locativo -co 'en, el lugar de', de esta forma, el 4 nombre de México significaría En el centro de la Luna, o En el centro del lago de la Luna, que era uno de los nombres con que los mexicas conocieron el Lago de Texcoco. Sin embargo, esta explicación no es satisfactoria ya que no encaja ni la cantidad vocálica de la /ī/ de xīc- 'ombligo', ni el saltillo que precede al locativo, además la derivación presenta una caída irregular del grupo -tz- en mētz-4. Historia Época Precolombina Teotihuacan. Vista de la calzada de los muertos desde la pirámide de la Luna. El territorio fue descubierto y habitado por grupos de cazadores y recolectores hace más de 30.000 años. El inicio de la agricultura tuvo lugar hacia el año 9000 adC, aunque el cultivo del maíz ocurrió sólo hacia el 5000 adC. Las primeras muestras de alfarería datan de alrededor del 2500 adC. Con este hecho se define el inicio de la civilización mesoamericana, en tanto que es definitorio de las sociedades sedentarias. Los grupos aridoamericanos continuaron subsistiendo gracias a la recolección y la cacería. Por su parte, en la mitad sur de México la agricultura permitió la transición de las sociedades igualitarias del Preclásico temprano (2500 - 1500 adC) a las más complejas del Preclásico medio, entre las que destaca la cultura olmeca. En ese tiempo se desarrollaron los sistemas de irrigación que permitirían la estratificación de las sociedades. Hacia el año 100 dC, la ciudad de Teotihuacan ocupó el lugar principal en Mesoamérica, y difundió su influencia hasta lugares tan lejanos como Costa Rica y Nuevo México. En el siglo VIII comenzó la decadencia de Teotihuacan. La ciudad cedió su hegemonía a numerosos Estados hostiles entre sí que dominaban regiones clave de la economía 5 mesoamericana. Dos siglos después estos Estados habían perdido fuerza, al tiempo que llegaron del norte las primeras tribus chichimecas. En el noroeste, los pueblos oasisamericanos se diferenciaron definitivamente del conjunto de Aridoamérica, y crearon una civilización propia cuyos vestigios más importantes en territorio mexicano se localizan en Paquimé. Durante los siglos X al XII, el centro de México fue dominado por Tollan-Xicocotitlan, la capital de los toltecas. Esta ciudad estableció vínculos muy fuertes con varias regiones de Mesoamérica, pero particularmente con la península de Yucatán, donde se ubica la ciudad maya de Chichén Itzá. En Oaxaca, mientras tanto, los mixtecos iniciaron un proceso expansionista que los llevó a ocupar los Valles Centrales donde habitaban los zapotecos. En 1325 los mexicas fundaron México-Tenochtitlan, la capital del Estado más extenso que conoció la Mesoamérica prehispánica, que sólo rivalizó con los purépechas de Tzintzuntzan. Conquista Sitio de Tenochtitlan, según el Códice Florentino. En 1519, los españoles llegaron a lo que hoy es México, tocando tierra en la isla de Cozumel. Encabezados por Hernán Cortés, incursionaron al territorio mesoamericano por las costas de Veracruz. Fueron varios los pueblos que se aliaron a los españoles para librarse del poderío mexica, entre ellos los tlaxcaltecas. Moctezuma Xocoyotzin, tlatoani mexica, recibió pacíficamente a los recién llegados al pensar que Cortés era Quetzalcoatl, rey tolteca que según la tradición se fue por el mar hacia el oriente jurando regresar un día para retomar su territorios. La matanza de Toxcatl levantó en armas a los mexicas contra los españoles y sus aliados. 6 Cuitláhuac y Cuauhtémoc fueron los últimos jefes del Imperio Mexica. El primero derrotó a los invasores el 30 de junio de 1520, y murió poco después durante la epidemia de huey cocoliztli. Cuauhtémoc, abandonado por la mayor parte de sus aliados, finalmente fue capturado y asesinado por los españoles en 1521. En 1521 cae el imperio mexica ante los ejércitos españoles compuestos principalmente por tlaxcaltecas. Capturada México-Tenochtitlan, los españoles procedieron al sometimiento de los reinos independientes. Los pueblos mesoamericanos fueron sometidos casi todos en los siguientes cinco años a la caída de Tenochtitlan. Sin embargo, los grupos nómadas y seminómadas del norte siguieron en resistencia hasta el siglo XX, cuando los yaquis negociaron el armisticio con el ejército mexicano. Con los militares españoles llegaron también misioneros que se dedicaron a convertir a los indígenas a la religión católica. De los religiosos que llegaron al país se destacaron Vasco de Quiroga, Motolinía, Martín de Valencia, Bernardino de Sahagún, Diego de Landa , Junípero Serra , Sebastián de Aparicio y Bartolomé de las Casas. Virreinato de la Nueva España Acapulco, 1628. Artículo principal: Virreinato de Nueva España Tras la caída de Tenochtitlan, el gobierno quedó a cargo de Hernán Cortés, autonombrado Capitán General de lo que pasó a llamarse la Nueva España. Luego fue establecida la Real Audiencia de México, dependiente de la Corona Española, con el propósito de realizar una mejor administración. El virreinato fue establecido en 1535, y el primer virrey fue Antonio de Mendoza. La base de la economía novohispana era la minería. Sin duda, el virreinato del Perú fue muy superior en la producción de metales preciosos (oro y plata) en los primeros años 7 del reino español en América. Sin embargo, el descubrimiento de nuevo yacimientos desde Sonora hasta el de sur de la provincia de Estados Unidos, permitió que gradualmente la Nueva España ocupara el lugar de privilegio. La minería permitió el desarrollo de otras actividades asociadas, especialmente los obrajes y la agricultura, que convirtieron a las regiones del Bajío o los valles de México y Puebla en prósperas regiones agrícolas y de actividad industrial incipiente. El comercio del virreinato era realizado a través de dos puertos: Veracruz (Golfo de México) y Acapulco (Océano Pacífico). A éste último llegaba la Nao de China que transportaba productos de las Filipinas a Nueva España y de ahí se transportaban por tierra llegando a Puebla donde la influencia oriental es notoria en su artesanía y en sus tradiciones como la de la "china poblana" al Ayuntamiento de México y a Veracruz de donde se enviaba a España o a los puertos del Atlántico. El comercio coadyuvó al florecimiento de estos puertos, de la Ciudad de México y las regiones intermedias. Hay que señalar que hasta finales del siglo XVIII, con la introducción de las reformas borbónicas, el comercio entre los virreinatos españoles no estaba permitido. La sociedad novohispana profesaba en su mayor parte la Religión Católica , La Santa Inquisición tenía instalados sus oficios en el territorio. El territorio de la Nueva España era lo suficientemente grande para que en él existiera una gran cantidad de pueblos indígenas, una gran variedad de lenguas, sin excluir a los europeos, durante los trescientos años de la Nueva España se tuvieron distintas disposiciones legales que afectaron el comercio y la prosperidad de los novohispanos, pero en general su nivel de prosperidad era el más alto de América, en especial los residentes de los Ayuntamientos de México, Puebla de los Angeles, la Villa Rica de la Veracruz, Acapulco y Zacatecas, sin excluir que algunas regiones padecieron grandes penurias como los californios por la falta de prendas de vestir europeizadas, no obstante que poseían bastante ganado y granos para su manutención. A pesar de que por regla general se propuso una política de integración, la realidad política que imponía el otorgamiento de los puestos importantes para la burocracia española, en especial a partir de la llegada de los borbones que propugnaron hacia el modelo francés de colonización, contra los cuales los criollos o hijos de españoles nacidos en México, empezaron a resentirse y aunado a la situación de pobreza en que se encontraba la mayor parte de la población mestiza e indígena se crearon divisiones tan graves como las castas en Yucatán. Durante el período virreinal se gestaron muchas de las tradiciones e instituciones que han evolucionado, de 8 conformidad con el carácter al pueblo mexicano, a muchas de las características mexicanas de la actualidad. Independencia Miguel Hidalgo y Costilla, iniciador de la guerra de independencia. Artículo principal: Independencia de México La ocupación francesa de España, a principios del siglo XIX, sirvió como pretexto a los afanes independentistas de los criollos novohispanos. Luego de la fallida experiencia de la Junta de México (1808), la conspiración de Querétaro sería finalmente la que desataría la revolución de Independencia de México. En la conspiración participaban, entre otros el cura Miguel Hidalgo, que daría el llamado a la insurrección en el pueblo de Dolores (Guanajuato) el 16 de septiembre de 1810. Iniciando con tempranas victorias (Guanajuato, Valladolid y Cerro de las Cruces), el ejército insurgente se retiró hacia occidente, donde su suerte cambió radicalmente, hasta que fueron presos en Acatita de Baján (Coahuila). En el año de 1811, los líderes insurgentes fueron fusilados y sus cabezas expuestas en Guanajuato. Para este tiempo, la revolución se había hecho fuerte en el sur de la intendencia de México. Destaca la campaña del cura y Generalísimo José María Morelos y Pavón, que recibió de Hidalgo la orden directa de encabezar la revolución en la Sierra Madre del 9 Sur. Tras romper el sitio de Cuautla, Morelos convocó al primer congreso americano en 1813, en Chilpancingo, que promulgó la Constitución de Apatzingán un año más tarde, sobre la base del documento escrito por Morelos, intitulado Sentimientos de la Nación. La necesidad de proteger al Congreso, y las contradicciones entre éste y el Siervo de la Nación minaron la capacidad bélica del ejército insurgente. Derrotado en el valle que hoy lleva su nombre, Morelos fue conducido a la ciudad de México para ser enjuiciado. Muríó fusilado en San Cristóbal Ecatepec, en 1815. Comenzó así una fase defensiva de las fuerzas independentistas. Los únicos frentes fuertes eran el veracruzano, al mando de Guadalupe Victoria, y el de Vicente Guerrero, en el sur de México. En el norte, la campaña relámpago de Pedro Moreno y Francisco Javier Mina (un español de ideas liberales), había concluido desastrosamente, a pesar de sus triunfos iniciales. La revolución popular de independencia mexicana se hallaba muy lejos del triunfo. El virrey Apodaca ofrecía el indulto a los insurgentes, lo que minó sus fuerzas. Aprovechando la situación, algunos militares criollos -que habían combatido a los insurgentes durante los años anteriores- tomaron la dirección del movimiento. Agustín de Iturbide pudo negociar con Vicente Guerrero y promulgaron el Plan de Iguala en 1821. Poco tiempo después, llegó el nuevo —y último— virrey de Nueva España, Juan O'Donojú, quien aceptó firmar el acta de independencia de México el 27 de septiembre de 1821. Los primeros reconocimientos a la nación independiente provinieron de Chile, Gran Colombia y Perú. En 1825, los Estados Unidos reconocieron al gobierno de México, respetando los límites pactados en el Tratado de Adams-Onís. Siglo XIX Mientras se encontraba un candidato a la corona de México, se había instalado una Junta de Gobierno Provisional. Meses después, en 1822, Agustín de Iturbide se hizo proclamar Emperador de México. En aquel tiempo, formaban parte del territorio mexicano el antiguo virreinato de Nueva España y el de la Capitanía General de Guatemala. El Primer Imperio Mexicano duró unos pocos meses. Se vio envuelto en una crisis, derivada de la necesidad de pagar los daños provocados por los once años de revolución independentista, y de su enfrentamiento contra los republicanos. En 1823, Antonio López de Santa Anna y Vicente Guerrero proclamaron el Plan de Casamata, 10 que desconoció el gobierno de Iturbide y anunciaba la instauración de una República. Derrotado, el emperador se exilió y el imperio quedó disuelto con la separación de las Provincias Unidas del Centro de América. Antonio López de Santa Anna, una de las figuras más polémicas del México decimonónico. Tras un breve interludio, presidido por otra Junta Provisional, en 1824 el Congreso Constituyente promulgó la Constitución de la República. El documento señalaba que la Nación adoptaría un gobierno federal con división de poderes. El Congreso convocó a elecciones, en que fue triunfador Guadalupe Victoria para el período de 1824-1828. Concluida la presidencia de Victoria, la vida política mexicana se tornó inestable debido a las pugnas entre la antigua aristocracia y el pequeño grupo de burgueses liberales del país. El personaje central a lo largo de la primera mitad del siglo XIX fue Antonio López de Santa Anna: Ascendió al poder once veces: cinco de ellas como abanderado de los liberales y las otras seis como conservador. En 1833 la primera reforma liberal del Estado, --encabezada por Valentín Gómez Farías (a la sazón presidente interino, pues Santa Anna se había retirado a descansar a su hacienda) y José María Luis Mora-- concluyó en la instalación de una república centralista. En 1835 fueron promulgadas las Siete Leyes, constitución de corte centralista cuya vigencia ocasionó la declaración de independencia de Zacatecas y Texas. Este último territorio, perteneciente al estado de Coahuila y Texas, se separó de México en 1836. Cinco años más tarde la República de Yucatán declaró su independencia, y no se reincorporaría definitivamente a México hasta 1848. 11 El desastre de la primera república unitaria desembocó en el restablecimiento de la Constitución de 1824, pero el 6 de enero de 1843 fue proclamada la Segunda República Centralista, encabezada por Santa Anna. Incapaz de enfrentar la invasión estadounidense, el gobierno central fue sustituido nuevamente por uno federal, que comenzó el 22 de agosto de 1846. En este tiempo, México enfrentaba la guerra con Estados Unidos. Este país se anexó la República de Texas en 1841, y en 1846 reclamó -infundadamente-- la posesión de la franja comprendida entre los ríos Bravo y Nueces. La ocupación estadounidense duró de 1847 hasta 1848, y concluyó con la firma del Tratado de Guadalupe-Hidalgo y la pérdida de más de la mitad del territorio mexicano. Benito Juárez. Los primeros años después de la invasión estadounidense fueron más o menos tranquilos, pero los nuevos conflictos originados entre liberales y conservadores ocasionaron la llegada --por décimo primera ocasión-- de Santa Anna al poder (1853 1855). Santa Anna se autonombró Dictador de México y gobernó con el título de Su Alteza Serenísima por ley constitucional. Mientras tanto, el país estaba en bancarrota y el gobierno era sumamente corrupto. Por ello, en 1854 los liberales se fueron a la guerra, amparados en el Plan de Ayutla y encabezados por Juan Álvarez e Ignacio Comonfort. La Revolución de Ayutla puso destierro a Santa Anna y puso de interino a Álvarez. Su sucesor, Comonfort, promovió la promulgación de varias leyes liberales (Leyes de Reforma) que, entre otras cosas, establecieron la separación entre el Estado mexicano y la Iglesia Católica y anularon los privilegios de las corporaciones. La puesta 12 en marcha de estas leyes dio lugar a un nuevo conflicto entre liberales y conservadores, conocido como Guerra de los Tres Años o Reforma. Tras la renuncia de Comonfort, Benito Juárez ocupó el 15 de enero de 1858, la presidencia interina de la república. Convocó a un nuevo Constituyente que promulgó la nueva constitución mexicana, de orientación liberal. Las reformas contempladas por la nueva constitución fueron motivo de una nueva rebelión conservadora en Tacubaya. Según Plan de Tacubaya, los conservadores desconocieron el gobierno de Juárez y nombraron un presidente provisional. El conflicto terminó con la victoria de los liberales en enero de 1861. En ese mismo año, el gobierno de la República decretó la suspensión de pagos de la deuda externa. Francia, uno de sus principales acreedores, instó a España e Inglaterra a presionar por la vía militar al gobierno mexicano. La marina de los aliados llegó a Veracruz en febrero de 1862. El gobierno mexicano se aprestó a negociar por la vía diplomática, y logró el retiro de los ingleses y españoles. Fusilamiento de Maximiliano, Miramón y Mejía en el Cerro de las Campanas. Los franceses, por su parte, dieron comienzo a las hostilidades militares. Empezando por la batalla de Puebla, ganada por el ejército de Ignacio Zaragoza y las milicias populares, aunque también durante la campaña hubo victorias para los franceses. La capital fue ocupada en junio de 1863. El gobierno republicano fue perseguido por los franceses, y hasta establecerse en Paso del Norte. Mientras tanto, el 10 de julio la Asamblea de Notables reunida en la capital nombró emperador de México a Maximiliano de Habsburgo. El Segundo Imperio Mexicano duró hasta 1867, con la derrota de los franceses y la rendición de los conservadores y el fusilamiento del emperador en Santiago de Querétaro. 13 Juárez siguió en el poder hasta su muerte el 18 de julio de 1872. Los últimos años de su gobierno fueron duramente criticados por las diversas facciones en que se habían dividido los liberales, algunos consideraban que no era propio de un demócrata un gobierno de 14 años. A la muerte de Juárez ocupó la presidencia Lerdo de Tejada, que elevó a rango de ley constitucional las leyes radicales de Reforma promulgadas entre 1855 y 1856. Lerdo intentó reelegirse, pero los porfiristas se levantaron en armas y lo derrocaron. Porfirio Díaz ocupó la presidencia en 1876. Así comenzó el período que en la historia de México es conocido como Porfiriato. En este período las Leyes de Reforma (en especial la Ley Lerdo) sirvieron de marco para favorecer la concentración de tierras. Los campesinos eran enganchados para trabajar en las haciendas, y algunos grupos indígenas que se mostraban particularmente rebeldes, como los yaquis y los mayas fueron desterrados de sus lugares origen y obligados a trabajar hasta la muerte en lugares como Valle Nacional, el valle del río Yaqui o Yucatán. El gobierno de Díaz privilegiaba la inversión extranjera. La mayor parte del capital invertido en México era francés, y en importancia seguían las inversiones inglesas, estadounidenses, alemanas y españolas. Cuando Díaz apuntó que México estaba listo para la democracia en una entrevista, algunos personajes le tomaron la palabra y se presentaron a las elecciones de 1910, ganadas por Francisco I. Madero. Díaz desconoció el resultado de los comicios y así inició la Revolución Mexicana. Siglos XX y XXI Madero y Zapata en Cuernavaca, Morelos. Al desconocer Díaz el resultado de las elecciones de 1910, Madero llamó al levantamiento armado a través del Plan de San Luis. Se sumaron a la rebelión numerosos grupos de las más diversas clases sociales y regiones, y enarbolando las más variadas banderas: en el noroeste, Álvaro Obregón encabezó la revuelta de la pequeña clase media campesina; en Chihuahua Francisco Villa encabezaba un regimiento 14 formado por ganaderos; en Coahuila, Venustiano Carranza representaba a los hacendados; y en el estado de Morelos, Emiliano Zapata y sus tropas de indígenas reclamaban el reparto agrario. Díaz finalmente dimitió el 24 de mayo de 1911. Salió exiliado del país rumbo a Francia, donde murió y fue sepultado. En febrero de 1913, Victoriano Huerta dio un golpe de Estado contra el presidente Madero, a quien mandó asesinar junto con Pino Suárez en la "Decena Trágica". También Zapata había desconocido a Madero, al no haber iniciado el reparto agrario. A la muerte de Madero, las facciones revolucionarias se levantaron en armas contra el usurpador, y lo derrocaron en 1914. Venustiano Carranza fue nombrado presidente, y llamó a la redacción de la Constitución que rige actualmente en México. El documento incorporó varias de las demandas sociales reivindicadas por los movimientos revolucionarios. Mientras tanto, las facciones revolucionarias entraron nuevamente en conflicto, que terminó con el asesinato de Carranza (Tlaxcalantongo, 1920), Zapata (Chinameca, 1919) y Villa (Parral, 1923). Obregón llegó al poder en 1920 . Obregón fue sucedido por Plutarco Elías Calles quien puso varios artículos constitucionales en vigor. Consecuencias de ello fue la Guerra Cristera, que enfrentó a tropas campesinas alentadas por la jerarquía católica contra el ejército federal. Calles, opinaba que la Revolución había de perpetuarse en instituciones y formó en marzo de 1929, el Partido Nacional Revolucionario, primer antecedente del Partido Revolucionario Institucional (PRI). Calles fundó el Banco de México y puso fin después de años de infructuosa lucha a la Cristiada mediante la no aplicación de las reformas constitucionales y legales que la originaron. Al final de su período, Obregón se reeligió, pero fue asesinado en San Ángel antes de tomar posesión. Siguieron tres presidentes títeres de Calles que gobernaron dos años cada uno (1928-1934). Durante este período, conocido como Maximato, México enfrentó la resaca de la crisis de 1929 y perdió la soberanía sobre la Isla de la Pasión. Lázaro Cárdenas, presidente, con el apoyo del "líder máximo" como también era llamado Plutarco Elías Calles y quien dijo:"..más que mis hijos, hijos por la sangre, Lázaro es mi hijo, hijo por el espíritu" para el primer período sexenal (1934-1940), desterró a Calles y dio gran impulso a la educación ("socialista") y al reparto de tierras. Es recordado por la expropiación petrolera, acontecida el 18 de marzo de 1938, y la nacionalización de los ferrocarriles. A pesar de su inicio radical, el gobierno de 15 Cárdenas debió moderarse por la crisis económica derivado de los pagos de las nacionalizaciones. Su sucesor, Manuel Ávila Camacho, frenó el reparto agrario, concilió con la naciente burguesía industrial y enfrentó el inicio de la Segunda Guerra Mundial. Durante los siguientes años de gobierno del PRI, México vivió una época de gran desarrollo económico (el Milagro Mexicano), pero también fue tiempo de protestas y peticiones de libertad y derechos civiles. En 1968, fue escenario de la matanza a los manifestantes de Tlatelolco. Por otro lado se reabrió el debate sobre la economía mexicana y se produjo una abertura y privatización hacia la década de los ochenta. En 1985, varias partes del país fueron sacudidas por un terremoto que dejó miles de muertos y desaparecidos. El 1º de enero de 1994, se levantó en armas el EZLN. En el año 2000 México vivió por primera vez, tras 71 años, la "alternancia" política cuando una alianza de los partidos Acción Nacional y Verde Ecologista de México derrotó al PRI en las elecciones presidenciales. Durante el año 2006 México vivió un proceso de crisis debido a la inacción y titubeos del gobierno, así como la polarización social por las elecciones presidenciales cuya carrera se vio envuelta en numerosas polémicas y ataques entre los principales aspirantes a la presidencia Andres Manuel Lopez Obrador, Felipe de Jesús Calderón Hinojosa y Roberto Madrazo Pintado y así como con el movimiento desatado en el estado de Oaxaca por maestros de la entidad, paralizando el regreso a clases de casi todos los niños del estado e integrantes de la APPO, que fue controlado por el gobierno estatal y federal a base de detención de dirigentes. Geografía física Mapa físico de México, donde se señalan algunas de los accidentes y regiones más notables del país. Artículo principal: Geografía de México 16 Comparte frontera por el norte con Estados Unidos y al sureste con Guatemala y Belice. Su superficie es de 1'964,375 km², con una superficie continental de 1'959,248 km² y una insular de 5,127 km². Esta extensión lo ubica en el decimocuarto lugar entre los países del mundo con mayor territorio, ubicado en el sur del subcontinente norteamericano. La longitud de sus costas continentales es de 11,122 km, por lo cual ocupa el segundo lugar en América, después de Canadá, repartidos en dos vertientes: al occidente, el océano Pacífico y el golfo de California; y al oeste, el golfo de México y el mar Caribe, que forman parte de la cuenca del océano Atlántico. Repartidas en su mar territorial se hallan numerosas islas, entre las que destacan los archipiélagos de Revillagigedo (Socorro, Clarión, San Benedicto, Roca Partida), y las islas Marías, en el Pacífico; las de Guadalupe, Cedros, Ángel de la Guarda, Coronado, Rocas Alijos, Isla del Tiburón, Isla del Carmen, frente a la península de Baja California y la costa de Sonora; y las de Ciudad del Carmen, Cozumel, Mujeres, y el arrecife Alacranes, en la cuenca atlántica. En conjunto suman una superficie de 5,073 Km². La posesión del Archipiélago del Norte y Los Farallones, reclamados por México, está indefinida. Relieve Volcán Citlaltépetl con 5,610 m de altura. El relieve se caracteriza por ser muy accidentado y alojar múltiples volcanes. El territorio es recorrido por las sierras Madre Oriental y Madre Occidental, que son una prolongación de las Montañas Rocosas. La sierra Madre Occidental termina en Nayarit, en la confluencia con el Eje Neovolcánico. A partir de allí, paralela a la costa del Pacífico, corre la Sierra Madre del Sur. El Eje Neovolcánico atraviesa el territorio del oeste al oriente, hasta unirse con la sierra Madre Oriental en el Escudo Mixteco o Zempoaltépetl (a 3.395 msnm de altitud). En el 17 Eje Neovolcánico, de gran actividad volcánica como su nombre lo indica, se ubican los picos más altos de México: el Pico de Orizaba o Citlaltépetl (5.700 m), el Popocatépetl (5.462 m), el Iztaccíhuatl (5.286 m) y el volcán Fuego de Colima. En esta provincia geológica tuvo lugar el nacimiento del Paricutín, el volcán más joven del mundo. Las prolongaciones al sureste de la sierra Madre Oriental son conocidas como Sierra Madre de Oaxaca o de Juárez, que concluye con la Sierra Madre del sur en el istmo de Tehuantepec. Al oriente de esta región se extienden la Mesa Central de Chiapas y la Sierra Madre de Chiapas, que tiene su punto culminante en el volcán Tacaná (4 117 m). Los accidentes geográficos más visibles del territorio mexicano son la península de Baja California, en el noroeste, y la península de Yucatán, al oriente. La primera es recorrida de norte a sur por una cadena montañosa que recibe los nombres de Sierra de Baja California, de Sierra de San Francisco o de la Giganta. Su punto más alto es el volcán de las Tres Vírgenes. La península de Yucatán, por el contrario, es una plataforma de piedra caliza casi completamente llana. Ubicada entre las sierras Madre Oriental y Occidental, y el Eje Neovolcánico, está la Altiplanicie Mexicana, que a su vez es dividida en dos partes por pequeñas serranías como la de Zacatecas y las de San Luis. La parte norte es más árida y más baja que la sureña. En ella se localizan el desierto de Chihuahua y el semidesierto de Zacatecas. Al sur de las serranías transversales se encuentra la fértil región del Bajío y numerosos valles de tierra fría o templada, como la Meseta Tarasca, los valles de Toluca, México, y el Poblano-Tlaxcalteca. En esta mitad sur del altiplano se concentra la mayor parte de la población mexicana. Entre el Eje Neovolcánico y la Sierra Madre del Sur se localiza la Depresión del Balsas y la Tierra Caliente de Michoacán, Jalisco y Guerrero. Al oriente, atravesando la intrincada Sierra Mixteca, se encuentran los Valles Centrales de Oaxaca, rodeados por montañas abruptas que complican el acceso y las comunicaciones. 18 Hidrografía Río Bravo o Grande del Norte. Lago de Pátzcuaro, en el estado de Michoacán. Los ríos de México se agrupan en tres vertientes. La vertiente del Pacífico, la del Golfo y la vertiente interior. El más largo de los ríos mexicanos es el Bravo, de la vertiente del Golfo. Éste tiene una longitud de 3.034 km, y sirve como límite con Estados Unidos. Otros ríos en esta vertiente son el Usumacinta, que sirve como límite con Guatemala; el río Grijalva, quizá el más caudaloso del país; y el río Pánuco, a cuya cuenca pertenece el Valle de México. En el Pacífico desembocan los ríos Lerma y Balsas, de vital importancia para las ciudades de las tierras altas de México; los ríos Sonora, Fuerte, Mayo y Yaqui; que sostienen la próspera agricultura del noroeste del país, y el río Colorado, compartido con Estados Unidos. Los ríos interiores, es decir, aquellos que no desembocan en el mar, suelen ser cortos y con caudal escaso. Destacan el río Casas Grandes en Chihuahua, y el Nazas, en Durango. La mayor parte de los ríos de México tienen poco caudal, y son casi todos ellos innavegables. México alberga numerosos lagos y lagunas en su territorio, pero de tamaño modesto. El más importante cuerpo interior de agua es el lago de Chapala(chapalapachala), en el estado de Jalisco, y que a causa de la sobreexplotación está en riesgo de desaparecer. Otros lagos importantes son el lago de Pátzcuaro, el Zirahuén y el Cuitzeo, todos ellos 19 en Michoacán. Además, la construcción de presas ha propiciado la formación de lagos artificiales, como el de las Mil Islas, en Oaxaca. Clima México es un país con una gran diversidad climática. La situación geográfica del país lo ubica en dos áreas bien diferenciadas, separadas por el trópico de Cáncer. Este paralelo separaría al país en una zona tropical y una templada. Sin embargo, el relieve y la presencia de los océanos influyen mucho en la configuración del mapa de los climas en el país. De esta forma, en México es posible encontrar climas fríos de alta montaña a unos cuántos centenares de kilómetros de los climas más calurosos de la llanura costera. El más notable por sus variaciones es el clima del estado de Chihuahua, donde se dan las temperaturas más bajas del país, que llegan en ocasiones a los -30 ºC, y las más altas en el desierto de Sonora que en ocasiones llega a más de 45ºC. La zona cálida lluviosa comprende la llanura costera baja del Golfo de México y del Pacífico. En esta región las temperaturas oscilan entre los 15,6 °C y los 40 °C. Una zona calida comprende las tierras localizadas entre los 614 y los 830 msnm. Aquí, las temperaturas oscilan entre los 16,7 ºC en enero y de 21,1 ºC en julio. La zona fría va desde los 1.830 msnm de altitud hasta los 2.745 metros. El clima templado subhúmedo o semiseco alcanza temperaturas que oscilan entre los 10 y los 20 °C y presenta precipitaciones no mayores a los 1.000 mm anuales. A una altitud superior a 1.500 metros, la presencia de este clima depende de la latitud de la región. En las áreas con este tipo de clima, las heladas son una constante que se presenta cada año. Un segundo tipo de clima lo constituyen el cálido-húmedo y el cálido-subhúmedo. En las zonas con este clima, llueve durante el verano o a lo largo de todo el año. La pluviosidad alcanza el índice de 1.500 mm, y presenta una media anual térmica que oscila entre los 24 y 26 ºC. Las zonas con este tipo de clima se ubican en las planicies costeras del golfo de México, del océano Pacífico, el istmo de Tehuantepec, en el norte de Chiapas y en la península de Yucatán. El trópico seco presenta variedades de los climas anteriores. Se localiza en los declives de la Sierra Madre Occidental y Oriental, las cuencas altas de los ríos Balsas y Papaloapan, así como en ciertas regiones del istmo de Tehuantepec, la península de 20 Yucatán y el estado de Chiapas. El trópico seco es, por lo tanto, la zona más amplia de los climas cálidos extremosos en México. Las zonas templadas son las regiones donde la precipitación anual es menor a 350 mm. La temperatura anual varía entre los 15 y los 25 °C, y su índice de precipitación también es sumamente variable. La mayor parte del territorio mexicano, ubicado al norte del trópico de Cáncer, es una zona con este tipo de características La estación húmeda se extiende entre los meses de mayo y octubre. En promedio llueve durante 70 días al año. La tónica dominante, sin embargo, es la escasez de lluvia en la mayor parte del territorio, hecho relacionado con los obstáculos que representan a las nubes de lluvia las altas montañas que enmarcan la Altiplanicie Mexicana. En la zona templada altiplánica del país, el promedio de lluvia es de 635 mm anuales. La zona más fría, de alta montaña, registra índices de 460 mm. En tanto, el semidesierto del norte del Altiplano apenas alcanza 254 mm de lluvia anuales. En contraste con la aridez de este territorio (que concentra el 80% de la población mexicana), existen algunas regiones que pueden recibir casi 1.000 mm y hasta 3.000 mm. El promedio de temperatura para el país es de unos 19 °C. Sin embargo, la ciudad de México presenta sus promedios extremos en los meses de enero (12 ºC) y julio (16,1 °C). En contraste con Ciudad Juárez, Chihuahua, Hermosillo y Monterrey donde las Temperaturas son realmente extremas. Política Días feriados oficiales Fecha Motivo 1 de enero Año Nuevo 5 de febrero Día de la Constitución 21 de Natalicio de Benito marzo Juárez 21 1 de mayo Día del Trabajo Aniversario del inicio de 16 de la lucha por la septiembre Independencia de México 20 de Aniversario del inicio de noviembre la Revolución Mexicana 1 de diciembre 25 de diciembre Toma de posesión presidencial (cada 6 años) Navidad Artículo principal: Política de México Forma de gobierno Según la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos (promulgada el 5 de febrero de 1917), el país es una República Democrática, Representativa y Federal integrada por 31 estados libres y soberanos y un distrito federal o capital, sede de los poderes de la Federación. Los gobiernos de las entidades federativas y de la federación se dividen en tres poderes: ejecutivo, legislativo y judicial. El Poder Ejecutivo Federal reside en la Presidencia de la República. Es ejercido por el presidente, jefe de Estado y de gobierno al mismo tiempo. El presidente tiene la facultad de nombrar a los titulares de las secretarías de Estado, que son por eso integrantes del gabinete presidencial. El mandato del presidente dura seis años, y no existe la posibilidad de reelección ni vicepresidente. Éste fue suprimido desde la Constitución de 1857. En el caso que un presidente de la República no pueda concluir su mandato, la presidencia interina queda en manos de la persona electa por el Congreso, o en su caso, por la Comisión Permanente. Desde el año 2006, este cargo es ejercido por Felipe Calderón Hinojosa. 22 El Poder Legislativo reside en el Congreso de la Unión, que se divide en dos cámaras: La Cámara de Senadores (senado) y la Cámara de Diputados (cámara baja). El senado se compone de 128 senadores (tres por entidad federativa más 32 de representación proporcional). La Cámara de Senadores se renueva completamente cada 6 años en concordancia con el periodo presidencial. La cámara baja se compone por 300 diputados de mayoría (distritos electorales uninominales) y 200 de representación proporcional. Cada estado es representado en la Cámara de Diputados por un mínimo de cuatro legisladores. Las elecciones para legisladores de la Cámara de Diputados se celebran cada tres años. Los senadores y diputados federales no pueden ser reelegidos para un segundo período consecutivo en la misma cámara. Los elegidos para ocupar cargos de elección popular en México no pueden renunciar al mandato popular, pero en caso necesario pueden solicitar licencia para separarse de su puesto. El Poder Judicial recae en la Suprema Corte de Justicia de la Nación y en un conjunto de tribunales inferiores y especializados. La Suprema Corte está formada por 11 ministros elegidos por el Congreso de la Unión. La duración del cargo de ministro de la Suprema Corte es de 15 años. División político-administrativa La Federación mexicana está compuesta por 31 Entidades Federativas y un Distrito Federal. Cada uno de los estados es libre y soberano, y posee una constitución y un congreso propios. Los gobiernos estatales se encuentran divididos en tres poderes: El Poder Ejecutivo, es ejercido por el Gobernador del Estado, elegido cada seis años sin posibilidad de reelección. Puede ser removido sólo a instancia de la Cámara de Senadores o del Congreso del estado. El Poder Legislativo se deposita en el Congreso de cada estado; está integrado por diputados elegidos para un período de tres años. El Poder Judicial es encarnado por el Tribunal Superior de Justicia de cada entidad. Los Estados se dividen en municipios. Existen 2 438 municipios. en la República Mexicana. El estado con mayor número de ellos es Oaxaca, con 570. En contraste, Baja California sólo tiene cinco. Los ayuntamientos municipales son encabezados por el presidente municipal. El presidente municipal es elegido cada tres años, en fechas 23 variables de acuerdo con el calendario electoral de cada estado. Cada municipio posee un Cabildo integrado por regidores y síndicos, electos para períodos de tres años también. Ni el gobernador de un estado, ni los diputados de los congresos locales, ni los miembros de los cabildos pueden renunciar a los cargos de elección popular. Los poderes de la Federación residen en México, D.F. Hasta antes de 1997, como territorio federal (con el nombre de Distrito Federal) el Gobierno de la entidad era encabezado por un Regente, nombrado por el Presidente de la República en nombre de la federación. El 6 de julio de aquel año, los capitalinos eligieron a su primer Jefe de Gobierno desde la supresión del cargo de Gobernador del Distrito Federal en 1928. Desde 1994, eligen diputados a la Asamblea Legislativa del Distrito Federal, una especie de congreso estatal con funciones acotadas. El Distrito Federal se divide en delegaciones políticas, y los jefes de estas unidades territoriales son electos popularmente desde el año 2000 para períodos de tres años. 24 División política de México Partidos políticos Artículo principal: Partidos políticos de México En México, la instancia encargada de regular la participación política electoral es el Instituto Federal Electoral (IFE). El IFE fue creado con el propósito de hacer más transparente la organización de las elecciones en México, luego del controvertido proceso electoral federal de julio de 1988, en que los partidos de izquierda acusaron la manipulación de las cifras por parte de la Secretaría de Gobernación. Bajo su modelo, cada estado creó un organismo autónomo con propósito de organizar los comicios locales. Entre otras funciones, el IFE está encargado de los asuntos relativos al Padrón Electoral y de registrar los partidos políticos que participan en los procesos comiciales federales. 25 En el año 2006, ocho partidos son reconocidos ante el IFE Todos pueden perder su registro en caso de obtener menos de dos por ciento de los sufragios emitidos en las elecciones que se celebrarán el 2 de julio de este año. Los partidos son (en orden de fundación y registro ante el IFE): Partido Acción Nacional (PAN): fundado en 1939, de tendencia conservadora y democristiana. Este partido tiene actualmente la Presidencia de la República (2007-2012) y gobierna en nueve estados, es la primera fuerza politica en el congreso. Se autodefine como de "Centro Humanista y Reformista", pertenece a la Internacional Demócrata Cristiana. Partido Revolucionario Institucional (PRI): se proclama como continuador de los principios de la Revolución de 1910, aunque a partir de la década de los ochenta ha tendido más hacia el neoliberalismo. Es la tercera fuerza política en el congreso, según los resultados finales de los comicios del 2 de julio de 2006, perdió presencia tanto en la Cámara de Diputados como en la de Senadores, sin embargo aún gobierna la mayoría de los estados (17). Este partido gobernó a México por 71 años ininterrumpidos en la Presidencia de la Republica como tal. Fue fundado como PNR (Partido Nacional Revolucionario) por Plutarco Elías Calles en 1928, y posteriormente Lázaro Cárdenas del Río lo refundó como PRM (Partido de la Revolución Mexicana), para finalmente adoptar en 1945 el nombre que ostenta hasta hoy en día, siendo su primer candidato a la presidencia el licenciado Miguel Alemán Valdés, primer civil en gobernar al país desde la Revolución Mexicana. Partido de la Revolución Democrática (PRD): nació como resultado de la unificación de varios partidos de izquierda que apoyaron la candidatura presidencial de Cuauhtémoc Cárdenas. Es la segunda fuerza política del país. Gobierna en seis entidades, entre ellas, el Distrito Federal. Se proclama a sí mismo como un partido de izquierda. Con resultado de las elecciones del 2 de julio se ubicó como segunda fuerza política en el congreso. Partido del Trabajo (PT): fue fundado en la década de los noventa, cuando participó por primera vez en las elecciones presidenciales de 1994. De tendencia izquierdista, generalmente se presenta a las elecciones en alianza con el PRD 26 (desde 1997) Entre otras ciudades importantes, gobernó durante nueve años Victoria de Durango. Partido Verde Ecologista de México (PVEM o Verde): es un partido que proclama el ecologismo como ideología política. Ha participado en todas las elecciones presidenciales desde 1994 en coalición con el PAN (2000) y P.R.I. (2006). Es la cuarta fuerza en el congreso. Convergencia: fue fundado en 2002 a partir de un grupo escindido del PRD, encabezado por Dante Delgado Rannauro. A pesar de ello, es frecuente que forme coaliciones con este partido. En las elecciones del 2006, formo una alianza con el PRD y el Partido del Trabajo. Partido Alternativa Socialdemócrata (PAS): es un partido nuevo que se presentó por primera vez a elecciones en el año 2006. Logró su registro gracias a que obtuvo el 2% de la votación. Adopta como ideología la socialdemocracia. Partido Nueva Alianza (PANAL): como el PAS, fue registrado en 2005 ante el IFE Se presentó a las elecciones federales del 2 de julio de 2006 y conservó su registro al obtener más del 2% de la votación global en dichos comicios. Cabe destacar que el PT y Convergencia lograron conservar su registro ante el IFE, aun cuando sus adeptos no superan el millón de personas, gracias a que desde hace años se presentan en alianza con el PRD. De haberse presentado como fuerzas políticas únicas, desde hace años hubiesen desaparecido del mapa electoral. 27 Economía Historia económica Bolsa Mexicana de valores. Durante la época colonial y el siglo XIX, México fue un país dedicado a la agricultura. La mayor parte de sus ingresos por ventas extranjeras provenían de la explotación minera, especialmente, de la plata. De este mineral, México ha ocupado el primer lugar mundial en producción desde hace más de dos siglos. El proceso de industrialización de México durante la Colonia y el primer siglo de vida independiente fue sumamente lento. Entre los siglos XVI y XVIII, las leyes coloniales impedían el desarrollo de las manufacturas en la Nueva España como en el resto del Imperio Español. Éstas debían importarse de la metrópoli, que a su vez las adquiría mayormente de las naciones industrializadas del norte de Europa. Todo el siglo XIX hubo intentos por dotar de una planta industrial al país. Los gobiernos intentaron atraer empresarios extranjeros, sin mucho éxito. Durante la década de 1830, Lucas Alamán estableció el Banco del Avío, destinado al fomento industrial. Sin embargo, todas estas tentativas rindieron escasos frutos. A finales del siglo XIX, en el Porfiriato, la industria textil era la más desarrollada. Se había establecido en el valle de Puebla, en la región de Orizaba y el valle de México. El gobierno de Porfirio Díaz dio grandes privilegios al capital extranjero con la intención de atraer inversión directa en la construcción de infraestructura de comunicaciones y transporte, y en el crecimiento de la planta industrial. Sin embargo, los beneficios eran 28 para unos pocos extranjeros, mientras la mayoría de los mexicanos vivían en condiciones de miseria y explotación. En ese período de más de treinta años, entre 1876 y 1910, la red ferroviaria creció asombrosamente, alcanzando los 20.000 km de vías. Por otro lado, se construyó la primera hidroeléctrica de la nación (en Necaxa, Puebla) y se dio inicio a la explotación de los yacimientos petrolíferos, que colocaron a México en el primer lugar mundial de exportación de petróleo en la década de 1910. Cabe mencionar que los ricos campos petrolíferos de Faja de Oro y Cerro Azul, localizados en el norte de Veracruz, fueron brutalmente agotados por la Standard Oil Company, Royal Dutch Shell y sus subsidiarias mexicanas, con un magro beneficio para el erario mexicano. Tras el triunfo de la Revolución, dio inicio en México un segundo período de expansión industrial, favorecido, entre otras cosas, por la nacionalización del petróleo y la Segunda Guerra Mundial. En las décadas que siguieron a la conclusión de ese conflicto internacional, la economía mexicana tenía un carácter mixto, es decir, la inversión provenía tanto de la iniciativa privada como del Estado. Los sectores estratégicos fueron convertidos en industrias paraestatales, tal fue el caso de la explotación minera, la siderurgia, la producción de electricidad, la infraestructura carretera. Con la intención de favorecer la transferencia tecnológica, el gobierno permitió que muchas firmas internacionales establecieran filiales en el país, aunque siempre asociadas al capital nacional. La agricultura, por otro lado, era fuertemente subsidiada por el Estado, que se convirtió en el principal intermediario de los productos agropecuarios. Durante el período comprendido entre 1950 y 1970, la economía de México creció a un ritmo de 6,27% anual, en lo que se dio en llamar el Milagro mexicano. Sin embargo, el proteccionismo y el cierre del mercado mexicano; así como fiebre de endeudamiento de la década de 1970 que concluyó con la crisis de la deuda de los años ochenta, dieron fin al período de crecimiento de la economía mexicana. En 1983, el país estaba en la bancarrota, y era incapaz de pagar sus deudas internacionales. Algo similar estaba ocurriendo en el resto de América Latina. Para salir del trance, el gobierno cambió sus políticas y dio inicio el período que en México se conoce como de los tecnócratas, que continúa hasta el año 2006. Este período ha estado marcado por la austeridad en el gasto social, el impulso que se ha dado a la privatización de las grandes empresas paraestatales (de las que a la fecha sólo se conservan dos: Pémex y la 29 Comisión Federal de Electricidad), y un crecimiento económico dependiente de las exportaciones de manufacturas (básicamente, hacia Estados Unidos). La era tecnócrata no ha estado exenta de sobresaltos. Tras el relevo presidencial de 1994, México se vio sumergido en una nueva crisis, derivada de lo que el ex-presidente Salinas de Gortari llamó el error de diciembre. La economía no se recuperó sino hasta tres años después. A partir de ahí, el crecimiento ha promediado 4.85% anual, y el incremento medio en el sexenio de Vicente Fox, que concluyo el 30 de Noviembre de 2006. La economía mexicana en 2006 creció por encima del 4.5 por ciento, la cifra más alta en los seis años de mandato del ex presidente Vicente Fox, logrado gracias a la estabilidad económica, los altos precios del petróleo y el dinamismo de las exportaciones y de la demanda interna. Aunque en lo político, el Gobierno de Fox, que acabó su mandato el pasado 30 de noviembre, cerró sus seis años de gestión en medio de una crisis, los resultados macroeconómicos se fortalecieron, con bajas tasas de interés y de inflación, que se situó entre el 3.5 y 4 por ciento de promedio. Un factor favorable para México fue la denominada bonanza petrolera, por los altos precios del crudo, que llegaron hasta los 70 dólares por barril y que, según los expertos, se mantendrán en torno a los 53 dólares por barril. No obstante, diversos analistas censuran que el Gobierno haya desaprovechado los ingresos extraordinarios por venta de petróleo y que éstos se usaran sólo para equilibrar el gasto público, en detrimento de la inversión. La empresa estatal Pemex prevé para este año ingresos totales por unos 100 mil millones de dólares, por sus ventas en los mercados interior y exterior, lo que beneficiará al fisco en unos 70 mil millones de dólares. Asimismo, la entrada de remesas provenientes de los mexicanos en el exterior en 2006 superó los 20 mil millones de dólares, cifra superior a la del año pasado y que supera la inversión extranjera directa y los ingresos por turismo. Los analistas calculan que el crecimiento del PIB este año alcanzó en 2006 el 4.54 por ciento, dato que supera los incrementos alcanzados durante todo el presente periodo de gobierno. La creación de empleos también registró en 2006 resultados positivos, con cerca de 900 mil puestos de trabajo nuevos, cifra que aunque no cubre la demanda actual, es superior a la de los años anteriores, cuando apenas se creaban medio millón de puestos de trabajo. 30 De las 44.4 millones de personas que integran la Población Económicamente Activa, unos 18 millones tienen un empleo precario o trabajan en la economía sumergida. La cifra de desempleados se sitúa en casi 2 millones de personas. Además, 2006 cerró con un déficit por cuenta corriente de unos 2,600 millones de dólares, y un déficit comercial de unos 5,700 millones de dólares. Un dato importante es que México tiene una deuda exterior neta de unos 40,700 millones de dólares, cifra inferior en un 25 por ciento a los casi 54 mil millones de dólares del año pasado. La desaceleración de la economía de Estados Unidos, que bajará del 3.4 por ciento este año al 2.7 en 2007, impactará en las exportaciones mexicanas, en particular de automóviles y maquiladoras (ensambladoras). La macroeconomía mexicana tiene fortalezas y debilidades, y en 2006 logró mantenerse a flote, gracias a ingresos extraordinarios procedentes del petróleo y de las remesas. Sin embargo, los analistas apuntan que la debilidad de estas bases pueden generar mayores conflictos, en particular por las enormes desigualdades que existen en las distintas regiones y entre los grupos sociales. Indicadores de la economía mexicana Conforme a datos del Banco Mundial, en 2005 México tuvo el ingreso nacional bruto per cápita más alto de Latinoamérica,5 así como también el Ingreso Nacional Bruto más elevado en términos nominales de esta región ese año,6 consolidándose como un país de ingreso medio-alto. En tanto, el FMI reportó que en 2006 tuvo el segundo PIB per cápita en términos nominales después de Chile7 y el quinto por paridad de poder adquisitivo8 a nivel latinoamericano. Además, la economía mexicana, en términos del Producto Interior Bruto, fue en 2006 la decimocuarta más grande del mundo en valores nominales y la duodécima en paridad por poder adquisitivo. Se conforma así como el segundo mayor PIB nominal de América Latina, sólo superado por el de Brasil. Sin embargo, la distribución de la riqueza del país no es equitativa y la división entre ricos y pobres es muy grande. Aun así el país tuvo una increíble recuperación de la última crisis financiera desatada en 1994-1995. México es el décimo mayor exportador del mundo y recientemente se le ha nombrado como "Economía Emergente" como se les denomina a las economias cuyo crecimiento ha sido sostenido en los últimos años. La actividad económica del país depende en gran medida de su comercio con los Estados Unidos de América, los cuales consumen más del 85% de las exportaciones mexicanas y dan trabajo a casi el 10% de su población. El envío de remesas por parte de los migrantes 31 internacionales constituye la segunda fuente de ingresos más importante del país después del petróleo. Desde mediados de la década de los ochenta el país se ha inclinado por un modelo económico neoliberal con un fuerte énfasis en la apertura comercial hacia otros mercados, lo cual ha convertido al país en el líder mundial en acuerdos de libre comercio habiendo firmado convenios de este tipo con 40 países en 12 diferentes Tratados. Su asociación comercial principal es el Tratado de Libre Comercio de América del Norte (T.L.C.A.N. o NAFTA, por su sigla en inglés), integrado son Estados Unidos, Canadá. México también cuenta con un tratado de libre comercio con la Unión Europea, con el bloque denominado EFTA (Luxemburgo, Suiza, Liechtenstein y Noruega) y recientemente se selló un compromiso similar con Japón. 32 HUMANIDADES FILOSOFIA La Filosofía es un ejercicio de reflexión y de análisis sistemático u orgánico, de valor y de sentido, sobre las realidades de la vida, que trata de comprender, metodológicamente, cómo llegar a explicaciones esclarecedoras sobre la esencia de todos los diversos elementos de la realidad, interesándose genuinamente por llegar a definir conceptos y principios entre las partes y el todo que coexisten en el universo, por el obrar de los seres humanos. Etimología La palabra procede del griego, y está compuesta de dos palabras (philos, que en griego significa «amante de», y sophia, que significa pensamiento, sabiduría, conocimiento, saber: φιλοσοφία («amor por la sabiduría»). La Filosofía como Doctrina o corriente de pensamiento La filosofía es en primer término un ejercicio especulativo que busca dar respuestas a las cuestiones en un plano abstracto. En todas y cada una de las perspectivas de alguien o de un procedimiento existe explicita o tácitamente una posición filosófica, que es la abstracción necesaria al dar las implicaciones de la(s) "respuesta(s)" de un(os) problema(s), es decir, se dan por sentado unos esquemas intuitivos propios a una solución que se toman por ciertos (axiomas o en casos mas problemáticos pueden ser tomados como dogmas). La filosofía se estructura como doctrina, cuando en sí cimienta toda una estructura consecuente y concatenable en la que se ven claramente principios sistemáticos. es por esto que muchos no consideran al hedonismo una doctrina filosófica y más bien lo toman como un modo de vida. Historia de la Filosofía Desde su aparición en Grecia hasta nuestros días, la filosofía siempre se ha ocupado sustancialmente de las mismas cuestiones. Puede decirse que se trata de cuestiones permanentes de la filosofía, ya que se refieren a formas permanentes de la experiencia 33 humana. Que sean permanentes no significa que estas cuestiones sean intemporales, ajenas al tiempo y a la historia. Su planteamiento y respuestas adquieren formas distintas a lo largo de la historia. Todo esto pone de manifiesto que la reflexión filosófica debe atender a la situación histórica efectiva en que nos encontramos. Esto no quiere decir que deje de lado otras disciplinas como la moral y la ética, aunque sí intervienen de forma directa en el momento de ejercer el pensamiento humano al ejercer algún «juicio» sobre «x» tema que se deba trascender como idea. Para los primeros filósofos de la Grecia antigua, la sabiduría era una virtud, una búsqueda del conocimiento genuino, y una superación de las opiniones falsas. El propio ejercicio de la filosofía empezó tomando trascendencia como una actividad intelectual y crítica, orientada a reflexionar sobre las causas naturales que explicarían los distintos fenómenos que se producen en la realidad sustituyendo a los mitos, en un paso del mito al logos (el razonamiento), de la explicaciones ocultas o sobrenaturales — frecuentemente atribuidas al capricho de los dioses—, a las explicaciones racionales, donde las causas pueden ser observadas o deducidas lógica, objetiva, neutral y metódicamente dentro de la propia realidad. La cultura griega, al igual que todas las culturas de su entorno, contaba con una gran abundancia de narraciones míticas mediante las cuales explicaba el origen de los fenómenos naturales y, también, de las instituciones humanas. La tarea del filósofo griego consiste en buscar una explicación racional frente a la explicación mítica. Comienzan unas actitudes científicas y aunque sus primeros resultados no son adecuados, es la actitud por la búsqueda de un método que nos dirija a la verdad y la racionalidad de las cosas la que inicia una revolución conocida como la primera ilustración. Entran a escena los sofistas como los primeros pedagogos profesionales, enseñando las distintas artes y ciencias, y promoviendo el método de la antilogía, y el razonamiento por reducción al absurdo así como el arte de bien discurrir y discutir promovido por Protágoras. Tales artes les obliga a especializarse en el análisis del lenguaje y, por último, en el razonamiento. Hippias crea técnicas de memorización fáciles y efectivas, 34 las que investigó creando varios sistemas mnemotécnicos. Pródico dedicó también su interés al lenguaje. Sócrates asistió a alguna de sus clases sobre esta materia; escribió en particular sobre los sinónimos y su perfecta significación y delimitación. A tal arte le llaman retórica y que debido a su formalismo no tiene relación o apego con la moral. Así como hoy la ciencia trata de apartarse de la moral lo más posible, los sofistas proponían tal concepto, chocando entonces con los filósofos morales. Sócrates utiliza tales métodos y los usa para sus investigaciones éticas acerca de la virtud, para luego proponer el método mayéutico para encontrar la verdad. Luego, Platón, estudioso de la virtud, propone un método mejorado de la retórica, y le llama dialéctica, que sigue siendo un método para razonar adecuadamente. Por último, Aristóteles desecha la dialéctica como método y propone su método para razonar adecuadamente y le llama Organon. La filosofía y la ciencia La "filosofía" se diferencia de la ciencia en que muchas de las preguntas que se plantea no pueden ser respondidas recurriendo al empirismo experimental, y se diferencia de la religión en que no puede aceptar explicaciones basadas en el dogmatismo, la fe o la revelación, precisamente porque su razón de ser está en tratar de hallar las respuestas dentro de la propia realidad de este mundo. La relación entre filosofía con otras ciencias es mucho más próxima, mutuamente influyente, y en ocasiones, complementaria. Diversas ciencias han tenido su origen en la filosofía, o en otras ciencias. Algunos científicos han sido igualmente filósofos. El propio planteamiento de las ciencias como disciplinas académicas procede de las funciones originalmente desarrolladas por la academia fundada por Platón para la investigación y la educación, si bien el término académico hoy en día también puede referirse al fomento de una actividad cultural o científica. La filosofía es una ciencia que estudia la totalidad de las cosas por sus causas últimas o primeras con la sola luz natural de la razón. Es ciertamente una ciencia ya que es un conocimiento cierto por las causas. Como la filosofía no repara en detalles sino que los trasciende decimos que puede estudiar todas las cosas, no se queda en lo particular sino que estudia lo universal. Al estudiar aquellos elementos que constituyen el ser, decimos 35 que estudia las causas últimas o primeras. Finalmente, utiliza la sola luz natural de la razón ya que es una ciencia deductiva, los razonamientos parten de la intuición eidética (conocimiento de la esencia), y esa razón es natural porque, a diferencia de la teología, la filosofía no se ayuda de la fe. La filosofía, el conocimiento y el saber Un acercamiento a la sabiduría puede comenzar preguntándose por el sentido de la vida, sobre la existencia de Dios, sobre la existencia del alma, por la naturaleza del ser y del universo, qué es la verdad, qué es la conciencia, o qué convierte los comportamientos en buenos o equivocados. A partir de estas aproximaciones se proponen teorías sobre la naturaleza de la realidad. Metodología La filosofía es un saber o conocimiento teórico científico por las causas últimas o primeras. La tarea principal del filósofo es la de responder a la pregunta «¿Cómo llegar a la verdad?». Sin embargo, al encontrar un método o proponerlo se ve en la tentativa de aplicarlo a algunos temas o de aplicar los métodos ya existentes a alguna rama de la ciencia, siempre sintiendo predilección por ciertos temas, y a veces se especializan en éstos, como lo justo y el estudio de los valores con la ética, lo bello con la estética o incluso en la economía. Descripción y clasificación de las ciencias Dentro de las ciencias, la ciencia experimental se ocupa exclusivamente del estudio del universo natural, ya que por definición todo lo que puede ser detectado o medido forma parte de él. Los científicos se ajustan, en su investigación, a un cierto método, el método científico, un proceso para la adquisición de conocimiento empírico. La ciencia puede a su vez diferenciarse en ciencia básica y aplicada, siendo esta última la aplicación del conocimiento científico a las necesidades humanas y al desarrollo tecnológico. Algunos descubrimientos científicos pueden resultar contraintuitivos, es decir, contrarios al sentido común. Ejemplos de esto son la teoría atómica o la mecánica 36 cuántica, que desafían nociones comunes sobre la materia. Muchas concepciones intuitivas de la naturaleza han sido transformadas a partir de hallazgos científicos, como el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol o la teoría evolutiva de Charles Darwin. Disciplinas científicas Esquema de clasificación planteado por el epistemólogo alemán Rudolf Carnap quien fue el primero en dividir a la ciencia en: Ciencias formales Ciencias naturales Por contraposición a las ciencias fácticas, son aquellas que no estudian fenómenos empíricos. Utilizan la deducción como método de búsqueda de la verdad: Lógica - Matemática En ellas se encuadran las ciencias naturales que tienen por objeto el estudio de la naturaleza. Siguen el método científico: Astronomía Biología - Física - Química - Geología Son todas las disciplinas que se ocupan de los aspectos del ser humano - Ciencias cultura y sociedad- El método depende de cada disciplina particular: sociales Antropología - Demografía- Economía - Historia - Psicología Sociología Terminologías usadas en ciencias Los términos modelo, hipótesis, ley y teoría tienen significados distintos en la ciencia que en el discurso coloquial. Los científicos utilizan el término modelo para referirse a una descripción de algo, especialmente una que pueda ser usada para realizar predicciones que puedan ser sometidas a prueba por experimentación u observación. Una hipótesis es una afirmación que (aun) no ha sido bien respaldada o bien no ha sido descartada. Una ley física o ley natural es una generalización científica basada en observaciones empíricas. La palabra teoría es incomprendida particularmente por el común de la gente. El uso vulgar de la palabra "teoría" se refiere, equivocadamente, a ideas que no poseen demostraciones firmes o respaldo. En contraposición, los científicos generalmente 37 utilizan esta palabra para referirse a cuerpos de leyes que realizan predicciones acerca de fenómenos específicos. Método científico El método científico es el proceso mediante el cual una teoría científica es validada o bien descartada. Los principios fundamentales del método científico son: La reproducibilidad, es decir, la capacidad de repetir un determinado experimento en cualquier lugar y por cualquier persona. Esto se basa, esencialmente, en la comunicación y publicidad de los resultados obtenidos. En la actualidad éstos son publicados generalmente en revistas científicas y revisadas por pares. La falsabilidad, es decir, la capacidad de una teoría de ser sometida a potenciales pruebas que la contradigan. Bajo este concepto no existe en la ciencia el "conocimiento perfecto". Con excepción en la matemática, una teoría científica "probada" —aun la más fundamental de ellas— se mantiene siempre abierta a escrutinio (ver falsacionismo). Existe una serie de pasos inherentes al proceso científico, los cuales son generalmente respetados en la construcción y desarrollo de nuevas teorías. Éstos son: 38 El modelo atómico de Bohr, un ejemplo de una idea alguna vez aceptada y luego refutada por medio de la experimentación. 1. Observación: el primer paso consiste en la observación de fenómenos bajo una muestra. 2. Descripción: el segundo paso trata de una detallada descripción del fenómeno. 3. Inducción: la extracción del principio general implícito en los resultados observados. 4. Hipótesis: planteamiento de las hipótesis que expliquen dichos resultados y su relación causa-efecto. 5. Experimentación: comprobación de las hipótesis por medio de la experimentación controlada. 6. Demostración o refutación de las hipótesis. 7. Comparación Universal: constante contrastación de hipótesis con la realidad. La experimentación no es aplicable a todas las ramas de la ciencia; su exigencia no es necesaria por lo general en áreas del conocimiento como la vulcanología, la astronomía, la física teórica, etc. Sin embargo, la repetibilidad de la observación de los fenómenos naturales es un requisito fundamental de toda ciencia. Por otra parte, existen ciencias, especialmente en el caso de las ciencias humanas y sociales, donde los fenómenos no sólo no se pueden repetir controlada y artificialmente (que es en lo que consiste un experimento), sino que son, por su esencia, irrepetibles, v.g. la historia. De forma que el concepto de método científico aplicado a estas ciencias habría de ser repensado, acercándose más a una definición como la siguiente: "proceso de conocimiento caracterizado por el uso constante e irrestricto de la capacidad crítica de la razón, que busca establecer la explicación de un fenómeno ateniéndose a lo previamente conocido, resultando una explicación plenamente congruente con los datos de la observación". 39 Objetivos de la ciencia El Instituto Max Planck, red de institutos de investigación científica en Alemania, que lleva su nombre en honor del físico alemán que inició la mecánica cuántica. A pesar de la creencia popular, el objetivo de la ciencia no es responder todos los interrogantes. El objetivo de las ciencias físicas es responder únicamente aquellas preguntas pertenecientes a la realidad física. Asimismo la ciencia no puede enfrentar todas las preguntas posibles, por lo que la elección de cuáles responder es importante. La ciencia no puede ni se ocupa de producir verdades absolutas. En cambio, la ciencia física a menudo evalúa hipótesis sobre un cierto aspecto del mundo físico y las revisa o reemplaza acorde a nuevas observaciones e información. De acuerdo al empirismo la ciencia no hace declaración alguna sobre cómo es realmente la naturaleza; la ciencia sólo puede producir conclusiones sobre nuestras observaciones de la naturaleza. Desde luego si la gente realmente pensara esto sería un acto imprudente confiar sus vidas a ciencias tales como la medicina. Tanto los científicos como las personas que aceptan la ciencia creen —y más aún— actúan como si la naturaleza fuera tal como la ciencia la describe. Aun así, esto es únicamente un problema si aceptamos la noción empirista de la ciencia. La ciencia no es una fuente de juicios de valor subjetivos, aunque ciertamente puede ser utilizada en asuntos de ética y políticas públicas al señalar las consecuencias probables de ciertas acciones. Sin embargo, la ciencia no puede decirnos cuál de esas 40 consecuencias es la deseable o "mejor". Lo que uno proyecta desde las hipótesis científicas más razonables hacia otros dominios de interés no es un problema científico, y como tal el método científico no ofrece ninguna ayuda a quienes deseen hacerlo. A pesar de esto la justificación (o refutación) científica es utilizada en muchos casos. Desde luego los juicios de valor son intrínsecos a la ciencia en sí misma. Por ejemplo, la ciencia valora la verdad y el conocimiento. El objetivo o propósito subyacente de la ciencia para con la sociedad e individuos es producir modelos útiles de la realidad. Se ha dicho que es virtualmente imposible hacer referencias desde los sentidos humanos que describan aquello que "es". Por otra parte, como se ha dicho, la ciencia puede hacer predicciones basadas en observaciones. Estas predicciones a menudo benefician a la sociedad o a los individuos que hagan uso de ellas. Por ejemplo, la física newtoniana y, en casos más extremos, la relatividad nos permiten predecir todo desde el efecto que una bola de billar tendrá al impactar sobre otra hasta las trayectorias de transbordadores espaciales y satélites. Las ciencias sociales nos permiten predecir (con precisión limitada por el momento) elementos como la turbulencia económica así como también nos ayuda a comprender el comportamiento humano, producir modelos útiles de la sociedad y trabajar más empíricamente con políticas gubernamentales. La química y la biología han transformado nuestra habilidad para usar y predecir reacciones químicas y biológicas. Sin embargo, en los tiempos modernos estas disciplinas científicas (en particular las últimas dos) son más generalmente utilizadas en conjunción para producir modelos y herramientas más completos. En breve, la ciencia produce modelos útiles que nos permiten realizar predicciones útiles. La ciencia intenta describir aquello que "es", pero evita tratar de determinar qué "es" (lo cual es imposible por razones prácticas). La ciencia es una herramienta útil, un creciente cuerpo de entendimiento que nos permite enfrentar más efectivamente nuestro ambiente y adaptarnos tanto social como individualmente. 41 Aplicaciones de la matemática en la ciencia Principia Mathematica de Isaac Newton La matemática es esencial para muchas ciencias. La función más importante de la matemática dentro de la ciencia la desempeña en la expresión de modelos científicos. La observación y colección de medidas, así como la creación de hipótesis y la predicción a menudo requieren modelos matemáticos y uso extensivo de la matemática. Las ramas de la matemática más comúnmente empleadas en la ciencia incluyen al cálculo y las estadísticas, aunque virtualmente toda rama de la matemática tiene aplicaciones en la ciencia, aun áreas "puras" como la teoría de números y la topología. El uso de matemática es particularmente frecuente en física, y en menor medida en química, biología y algunas ciencias sociales. Algunos pensadores ven a la matemática como una ciencia, considerando que la experimentación física no es esencial a la ciencia o que la demostración matemática equivale a la experimentación. Otros opinan lo contrario, ya que en matemática no se requiere evaluación experimental de las teorías e hipótesis. En cualquier caso, la utilidad de la matemática para describir el universo es un tema central la filosofía de la matemática. Filosofía de la ciencia La efectividad de la ciencia como método de adquirir conocimiento ha constituido un notable campo de estudio para la filosofía. La filosofía de la ciencia intenta comprender el carácter y justificación del conocimiento científico y sus implicaciones éticas. Ha resultado particularmente difícil proveer una definición del método científico que pueda servir para distinguir en forma clara la ciencia de la no ciencia. 42 La más bella y profunda emoción que nos es dado sentir es la sensación de lo místico. Ella es la que genera toda verdadera ciencia. El hombre que desconoce esa emoción, que es incapaz de maravillarse y sentir el encanto y el asombro, está prácticamente muerto. Saber que aquello que para nosotros es impenetrable realmente existe, que se manifiesta como la más alta sabiduría y la más radiante belleza, sobre la cual nuestras embotadas facultades sólo pueden comprender en sus formas más primitivas. Ese conocimiento, esa sensación, es la verdadera religión. Albert Einstein Historia de la ciencia Nicolás Copérnico A pesar de ser relativamente reciente el método científico (concebido en la revolución científica), la historia de la ciencia no se interesa únicamente por los hechos posteriores a dicha ruptura. Por el contrario, ésta intenta rastrear los precursores a la ciencia moderna hasta tiempos prehistóricos. En occidente la antesala a la ciencia fue la filosofía natural. Ésta desacreditaba la experimentación como método de validación del conocimiento, concentrándose en cambio en la observación pura. Uno de los más destacados filósofos naturales fue el pensador Aristóteles (384 adC - 322 adC). El mundo oriental también desarrolló sistemas científicos propios, siendo éstos muy superiores a sus contrapartes de occidente durante gran parte de la historia. 43 Tras la caída del Imperio Romano de Occidente (476 dC) gran parte de Europa perdió contacto con el conocimiento escrito y se inició la Edad Media. A este largo período de estancamiento también se lo conoce como "Edad Oscura". El renacimiento (siglo XIV en Italia), llamado así por el redescubrimiento de trabajos de antiguos pensadores, marcó el fin de la edad media y fundó cimientos sólidos para el desarrollo de nuevos conocimientos. De los científicos de esta época se destaca Nicolás Copérnico, a quien se le atribuye haber iniciado la revolución científica con su teoría heliocéntrica. Entre los pensadores más prominentes que dieron forma al método científico y al origen de la ciencia como sistema de adquisición de conocimiento cabe destacar a Roger Bacon en Inglaterra, René Descartes en Francia y Galileo Galilei en Italia. Actualidad La historia reciente de la ciencia está marcada por el continuo refinado del conocimiento adquirido y el desarrollo tecnológico, acelerado desde la aparición del método científico. Si bien las revoluciones científicas de principios del siglo XX estuvieron ligadas al campo de la física a través del desarrollo de la mecánica cuántica y la relatividad general, en el siglo XXI la ciencia se enfrenta a la revolución biotecnológica. El desarrollo moderno de la ciencia avanza en paralelo con el desarrollo tecnológico, impulsándose ambos campos mutuamente. Divulgación científica La divulgación científica pretende hacer asequible el conocimiento científico a la sociedad más allá del mundo puramente académico. La divulgación puede referirse a los descubrimientos científicos del momento como la determinación de la masa del neutrino, de teorías bien establecidas como la teoría de la evolución o de campos enteros del conocimiento científico. La divulgación científica es una tarea abordada por escritores, científicos, museos y medios de comunicación. 44 (Vista interna), Reactor Internacional Termonuclear Experimental, uno de los más ambiciosos proyectos científicos de la historia realizado gracias al trabajo conjunto entre la Unión Europea (UE), Rusia, Estados Unidos (EE.UU.), Japón, China y Corea del Sur Algunos científicos notables han contribuido especialmente a la divulgación del conocimiento científico más allá del mundo estrictamente académico. Entre los más conocidos citaremos aquí a Stephen Hawking, Carl Sagan, Richard Dawkins, Stephen Jay Gould, Martin Gardner y a autores de ciencia ficción como Isaac Asimov. Otros científicos han realizado sus tareas de divulgación tanto en libros divulgativos como en novelas de ciencia ficción como Fred Hoyle. La mayor parte de las agencias o institutos científicos destacados en EE.UU. cuentan con un departamento de divulgación (Education and Outreach) si bien ésta no es una situación común en la mayoría de los países. Influencia en la sociedad Dado el carácter universal de la ciencia, su influencia se extiende a todos los campos de la sociedad. Desde el desarrollo tecnológico a los modernos problemas de tipo jurídico relacionados con campos de la medicina o la genética. En ocasiones la investigación científica permite abordar temas de gran calado social como el Proyecto Genoma Humano y de implicaciones morales como el desarrollo del armamento nuclear. Asimismo la investigación científica moderna requiere en ocasiones de importantes inversiones en grandes instalaciones como grandes aceleradores de partículas (CERN) 45 la exploración espacial, o la investigación de la fusión nuclear en proyectos como ITER. En todos estos casos es deseable que los logros científicos conseguidos lleguen a la sociedad. 46 DERECHO Y CIENCIAS SOCIALES Derecho El Derecho es el orden normativo e institucional de la conducta humana en sociedad inspirado en postulados de justicia, cuya base son las relaciones sociales existentes que determinan su contenido y carácter. En otras palabras, es el conjunto de normas que regulan la convivencia social y permiten resolver los conflictos interpersonales. La anterior definición da cuenta del Derecho positivo o efectivo, pero no explica su fundamento; por ello juristas, filósofos y teóricos del Derecho han propuesto a lo largo de la historia diversas definiciones alternativas, y distintas teorías jurídicas sin que exista, hasta la fecha, consenso sobre su validez. El estudio del concepto del Derecho lo realiza una de sus ramas, la Filosofía del Derecho. Desde el punto de vista objetivo, dícese del conjunto de leyes, reglamentos y demás resoluciones, de carácter permanente y obligatorio, creadas por el Estado para la conservación del orden social. Esto sin tener en cuenta si es o no justa; es decir que si se ha llevado a cabo el procedimiento adecuado para su creación, existe la norma sea justa o no lo sea. En la vida cotidiana Existen multitud de situaciones en las que interviene el Derecho. Tienen trascendencia jurídica actos tales como subir a un autobús, comprar la entrada al cine, adquirir un periódico. Ante tales actos, podemos exigir que el autobús nos transporte a un lugar determinado, o que se nos deje entrar a la sala de proyecciones para ver el espectáculo. Adquirimos la propiedad del periódico y perdemos la del dinero que hemos pagado por él. En otros casos, el alcance jurídico de los hechos es aún más claro: nos quitan la cartera y acudimos a la policía para que se inicie una actividad dirigida a descubrir al culpable y se le imponga la pena correspondiente; compramos un apartamento a plazos sabiendo que contraeremos una deuda, y que si no cumplimos con ella seremos demandados ante los tribunales. 47 Si de estos ejemplos o de otros muchos queremos deducir cuál es su significado jurídico, no será difícil llegar a la siguiente consecuencia: en todos los casos expuestos podemos exigir de otros una conducta determinada, u otros nos la pueden exigir a nosotros. Pero para que esto sea posible, es preciso que exista un conjunto de normas o reglas establecidas, en virtud de las cuales surja la posibilidad de reclamar o de quedar sujetos a una reclamación. Si un individuo puede exigir que se le entregue el periódico a cambio de su precio, es porque hay una regla o conjunto de reglas que así lo disponen, como también preceptúan que el vendendor pueda exigir el pago de la mercancía. La existencia de una regla o norma preestablecida es lo que da soporte jurídico, a todos los hechos y, de este modo nos pone en contacto con el Derecho. Origen Es de naturaleza controvertida, sobre el tema los autores se han orientado a varias posturas, entre ellas las de mayor aceptación suelen ser las siguientes: El Derecho nace como una relación de fuerza entre personas desiguales, sea material o psíquicamente. El Derecho nace como reparación a una ofensa física o moral que una persona inflije a otra. El Derecho nace para regular la indemnización debida por el incumplimiento de una palabra dada. En general para regular los negocios jurídicos entre las personas. El Derecho nace de la necesidad de regular las relaciones que surgen entre los distintos sujetos de Derecho. A medida que las relaciones interpersonales se vuelven más complejas el Derecho lo va receptando. El Derecho nace como una reacción del Estado ante la autotutela individual (venganza privada), monopolizando o, más bien, pretendiendo monopolizar el uso de la violencia como instrumento de coerción y de resolución de conflictos. 48 Características Una primera característica del Derecho es la bilateralidad, es decir, que un sujeto distinto al afectado está facultado para exigir el cumplimiento de la norma. Por ello se le otorga la cualidad "imperativo atributivo" al Derecho. Imperativo: que impone un deber de conducta. Por ejemplo: pagar impuestos al Estado. Atributivo: que faculta a una persona distinta del obligado para exigir el cumplimiento de este imperativo. Una segunda característica del Derecho es su heteronomía. Se caracteriza por ser autárquico. En el sentido de que el individuo puede discrepar del contenido de la norma, pero le resulta irrelevante al Derecho si el está de acuerdo o no, pues las personas no se las han dado a sí mismas. El Derecho es establecido por otro, una autoridad, organismo o institución, denominada en general legislador. Paralelamente existen salvedades a esta heteronomía: la costumbre, el acto jurídico y el acto corporativo. Una tercera característica es la alteridad del Derecho, esta idea implica que el Derecho y las normas jurídicas que lo forman se refieren siempre a la relación de un individuo para con otros. El Derecho enlaza distintas personas y determina como debe ser su comportamiento recíproco exterior. Por ejemplo en la relación jurídica de derecho de alimentos entre el padre y un descendiente (hijo o nieto), vincula a estos dos sujetos y les da facultades distintas: el padre tiene el deber de brindar alimentos mediante la pensión alimenticia (sujeto pasivo o deudor) y los descendientes tienen el derecho que su padre les brinde los alimentos necesarios (sujeto activo o acreedor). Una última característica es la coercibilidad, que supone la legítima posibilidad de utilizar la fuerza socialmente organizada en caso de exigir el cumplimiento de éste o de aplicar la sanción correspondiente al violar el Derecho. La fuerza socialmente organizada, para el Derecho, son las fuerzas policiales y de seguridad contempladas en la Constitución y los tribunales de justicia. Es importante distinguir entre coercibilidad y coacción; ésta última es el hecho materializado en sí, el hecho físico de la coercibilidad. 49 RAMAS DEL DERECHO: Las diversas ramas jurídicas son las siguientes: Derecho Administrativo. o Derecho de la función Derecho mercantil. o Contratos mercantiles publica. o Derecho concursal. o Derecho urbanístico. o Derecho de sociedades. Sociedades. Derecho alimentario. Derecho ambiental. o Derecho marítimo. Derecho civil. o Títulos valores y títulos de crédito. o Derecho de las personas. o Derecho de cosas o de bienes. o Delitos y penas. Bienes. o Teoría del delito y de la Derechos reales. Posesión y mera pena. o Derecho penitenciario. tenencia. Derecho político. o Derecho de daños. o Derecho constitucional. o Derecho de obligaciones. o Ciencia política. Obligaciones. Contratos y Derecho procesal. o Derecho procesal cuasicontratos. administrativo. o Derecho de sucesión. Derecho aduanero. Herencia y legado. o Derecho procesal civil. Sucesión intestada. o Derecho procesal laboral. Sucesión testada y o Derecho procesal penal. testamento. o Derecho procesal o Derecho nobiliario. constitucional. o Propiedad intelectual. Derecho penal. Derechos de autor. Propiedad industrial. Derecho registral y notarial. Derecho religioso y eclesiástico. o Derecho canónico. Derecho de familia. o Sharia. o Adopción, filiación y o Torá. parentesco, 50 Derecho tributario o fiscal. o Tutela y cúratela Filosofía del derecho. o Derecho de alimentos o Teoría del derecho. o Matrimonio y regimenes o Teoría de la justicia. patrimoniales del o Sociología del derecho. matrimonio. o Separación, nulidad y o Derecho romano. divorcio. Derecho económico. Derecho informático. Historia del derecho. o Derecho germánico. o Derecho indiano. Derecho de los animales. o Derecho biotecnológico. Derecho internacional. o Derecho internacional privado. o Derecho internacional público. Derecho laboral. o Derecho sindical. o Derecho de la seguridad social. Un movimiento social puede entenderse como la agrupación informal de individuos u organizaciones dedicadas a cuestiones político-sociales que tiene como finalidad el cambio social. Los movimientos sociales como estructuras de cambio social tienen su origen en las crisis de las organizaciones de izquierda socialdemócrata y del socialismo real, principalmente partidos políticos y sindicatos. Surgen como modos de organización de colectivos, fundamentalmente marginales, que luchan dentro de un campo político más o menos concreto. Algunos ejemplos de estos movimientos son el movimiento feminista, el movimiento ecologista, el movimiento obrero, el movimiento pacifista o antimilitarista, o, más reciente en su surgimiento, el movimiento ocupa y el movimiento antiglobalización. 51 La mayor parte de los autores coinciden en señalar que el término apareció en Alemania hacia los años 1970 con la formación de los grupos de acción cívica (Bürgerinitiativen). Los movimientos sociales rara vez confluyen en un partido político; su labor se basa En presionar al poder político de una forma mediante reivindicaciones concretas o en crear alternativas. Estas alternativas o reivindicaciones se convierten en su principal identidad, sin tener que llegar a plasmar un ideario completo. Son el equivalente a acción afirmativa o grupo de presión. Tienen las características de un carácter de permanencia y con un número de personas representativo, con relación a los que sufren o ignoran el problema. Su recuerdo histórico es muy antiguo, por ejemplo, los Comuneros de Castilla. Son algunas veces el nacimiento de una idea con líderes carismáticos memorables y su génesis puede derivar hacia un movimiento o iniciar una revuelta o, más contundentemente, una revolución, como la Revolución Mexicana y asimismo la eventual plataforma para un partido hacia el poder, opción que parece un rodeo innecesario. Es una forma instantánea y continuada de insertarse en el ámbito político, con inicialmente poco esfuerzo organizativo, sin pertenecer a él, pero sí con fuerza de cambio político, como la restauración de la democracia perdida en regímenes autoritarios. Su análisis incluye su objetivo, el tipo de clientela y es interesante el desarrollo de su proceso organizativo. El impacto en la sociedad es desde meramente presencial, como una fuerza de choque perturbadora, o hasta resultar muy definitorio, como grupos fuertes de interés y presión hacia el poder instituido. Deben cuidar su progreso organizativo para ser eficaces y continuar perseverando y merecerse el honor de co-artífices de eventos democráticos en las instituciones u otros más modestos, como la información de los ciudadanos. La vocación de los movimientos sociales es muy grande por su diversidad, por sus muchos objetivos, desde su auge en los años 1960. Su prestigio también es grande. Es una de las vías lógicas de participación ciudadana. No son Fundaciones sociales u Organizaciones no gubernamentales (ONGs), que son unidades asistenciales. Tampoco son Partidos políticos, cuyo fin es alcanzar el poder. 52 GRUPOS SOCIALES Un grupo social, llamado también grupo orgánico, es un conjunto de personas que desempeñan roles recíprocos dentro de la sociedad. Este puede ser fácilmente identificado, tiene forma estructurada y es durable. Las personas dentro de él actúan de acuerdo con unas mismas normas, valores y fines acordados y necesarios para el bien común del grupo. Cuando la adscripción a determinado grupo social está fuertemente determinada por criterios económicos y está fuertemente influida por la clase de la familia en que nace el individuo, el grupo social de los individuos se suele denominar clase social. Descripción Todo grupo implica ventajas y valores para cada uno de sus miembros. Cuando las personas se dan cuenta de esto, de lo útil que es unirse con otras personas, se puede llegar a la creación de un grupo con ese fin deseado, lo cual después da origen a lo que es la asociación. Estos se pueden dividir en diferentes clases de grupos: 1.- Grupos primarios: la familia. Formada ante todo por la convivencia diaria. 2.- Grupos secundarios: la escuela, el trabajo, los equipos deportivos y los grupos artísticos, entre otros. Formados sobre todo por intereses afines, proyectos claros, el libre acuerdo y cooperación. 53 ADMINISTRACION 1. INTRODUCCIÓN El presente trabajo trata de establecer una definición de Administración, así como la definición que le han dado varios personajes, cuya influencia le ha dado una gran importancia para el área de los negocios, reflejamos además sus antecedentes históricos, desde sus imperios (Sumeria, Egipto, Babilonia, Los Hebreos, China, Gracia, Persia y Roma), así como una reseña de los personajes de gran importancia en este tema (Nicolás Maquiavelo, Adam Smith, Charles Babbage, Daniel Mccallum, Frederick Winslow Taylor, Henry Metcalfe, Henry L. Gantt, Frank Y William Gilbreth, Henry Farol, Max Weber, Mary Parker Follett, Chester I. Barnard, Elton Mayo, Abraham Maslow Y Douglas Mcgregor, James March Y Herbert Simon, Hugo Munsterberg), exponemos además la relación de la administración con otras ciencias (Derecho, Economía, Ingeniería Industrial, Matemáticas, Psicología, y la Moral), así como sus tipos. Exponemos sobre el Proceso Administrativo (Planeación, Organización, Dirección y Control), sus conceptos y datos fundamentales, nos enfocaremos en dos grandes Escuelas de la Administración, Como ser la Escuela de Relaciones Humanas, que su mayor evento ha sido el experimento de Hawthorne, piesa fundamental por los descubrimientos hechos en el, en esta escuela mencionamos además datos sobro uno de los personajes que a mí parecer ha tenido una gran influencia en las Relaciones Humanas, Dale Carnegie, que con su obra que es considerado un "Best Seller", no solo por sus copias vendidas sino por su aporte por los cursos que a lo largo de los años se han dictado y han servido de apoyo a grandes empresarios, podríamos mencionar a Warren Buffett, el cual es graduado de este curso, la otra Escuela de la cual exponemos es la Escuela de Sistemas, sus orígenes y sus eventos a lo largo de la historia. Como parte suplementaria al presente trabajo expondremos sobre los Organigramas, su finalidad, ventajas, desventajas, los requisitos para su elaboración, así como los criterios que se tiene que tomar en cuenta, su simbología, su clasificación, los procesos y su diseño, otra parte suplementaria es sobre los Manuales administrativos, ventajas y desventajas, su clasificación, criterios metodológicos para el diagnóstico de los manuales administrativos, su contenido, entre ellos explicaremos sobre el Manual de Organización, Manual Específico de Reclutamiento y Selección, Manual de 54 Departamento, Manual de Personal y el Manual de Procedimientos Administrativos. El contenido expuesto es extenso y a la ves muy productivo. 2. PROPÓSITO El propósito fundamental del presente trabajo es hacer énfasis sobre la administración, recabado información de varios Libros y especialmente del Internet, compartiendo con el lector o la persona que este investigando sobre el tema, los conocimientos adquiridos en esta materia de gran importancia en la Carrera de Contaduría, además de esto se trata de facilitar los datos sobre los eventos más relevantes de la administración, creando de esta forma una alternativa de información sobre la Administración, los Organigramas y los Manuales Administrativos, logrando de esta forma una formación profesional y brindando herramientas importantes para poner aplicarlas en las situaciones que a lo largo de la vida de los negocios se puedan dar y al aplicarlas de la mejor manera obtener los mejores resultados. La Administración es muy importante así como la Contabilidad, las cuales deben ir juntas, así como el conocimiento de las dos materias, para poder dar respuestas y desempeñarse y sugerencias en esta área. 3. DEFINICIONES, OBJETIVO, IMPORTANCIA Y CARACTERÍSTICAS 3.1 DEFINICION DE VARIOS AUTORES Es un proceso muy particular consistente en las actividades de planeación, organización, ejecución y control, desempeñadas para determinar y alcanzar los objetivos señalados con el uso de seres humanos y otros recursos. El Dr. George R. Terry la define como: "La administración consiste en lograr que se hagan las cosas mediante otras personas". Koontz y O’Donnell nos da la siguiente definición: "La dirección de un organismo social y su efectividad en alcanzar objetivos, fundada en la habilidad de conducir a sus integrantes". V. Clushkov: "Es un dispositivo que organiza y realiza la trasformación ordenada de la información, recibe la información del objeto de dirección, la procesa y la transmite bajo la forma necesaria para la gestión, realizando este proceso continuamente". 55 E. F. L. Brech: "Es un proceso social que lleva consigo la responsabilidad de planear y regular en forma eficiente las operaciones de una empresa, para lograr un propósito dado". J. D. Mooney: "Es el arte o técnica de dirigir e inspirar a los demás, con base en un profundo y claro conocimiento de la naturaleza humana". Y contrapone esta definición con la que da sobre la organización como: "la técnica de relacionar los deberes o funciones específicas en un todo coordinado". Peterson and Plowman: "Una técnica por medio de la cual se determinan, clarifican y realizan los propósitos y objetivos de un grupo humano particular". F. Tannenbaum: "El empleo de la autoridad para organizar, dirigir, y controlara a subordinados responsables (y consiguientemente, a los grupos que ellos comandan), con el fin de que todos los servicios que se prestan sean debidamente coordinados en el logro del fin de la empresa". Henry Fayol (considerado como el verdadero padre de la moderna Administración), dice que "administrar es prever, organizar, mandar, coordinar y controlar". F. Morstein Marx la concibe como: "Toda acción encaminada a convertir un propósito en realidad positiva"…"es un ordenamiento sistemético de medios y el uso calculado de recursos aplicados a la realización de un propósito". Brook Adams. La capacidad de coordinar hábilmente muchas energías sociales con frecuencia conflictivas, en un solo organismo, para que ellas puedan operar como una sola unidad. Es el proceso de planificación, organización, dirección y control del trabajo de los miembros de la organización y de usar los recursos disponibles de la organización para alcanzar las metas establecidas. 3.2 DEFINICION PERSONAL Mi concepto personal de la Administración es "Es el proceso de lograr que las cosas se realicen por medio de la planeación, organización, delegación de funciones, integración de personal, dirección y control de otras personas, creando y manteniendo un ambiente 56 en el cual la persona se pueda desempeñar entusiastamente en conjunto con otras, sacando a relucir su potencial, eficacia y eficiencia y lograr así fines determinados". 3.3 OBJETIVOS DE LA ADMINISTRACIÓN Para que exista un sentido de satisfacción debe existir un objetivo, lo que da un propósito al esfuerzo; además el objetivo debe tener un significado y valor; así que la definición de objetivo es: "Un objetivo administrativo es una meta que se fija, que requiere de un campo de acción definido y que sugiera la orientación para los esfuerzos de un dirigente", en esta definición hay cuatro elementos que son: 1. Meta 2. Campo de acción 3. Definición de la Acción 4. Orientación Séneca afirmó... "Si el hombre no sabe a cuál puerto se dirige, ningún viento le es favorable." Los Objetivos son importantes para llegar a los resultados deseados; la falta de objetivos hace que la administración sea innecesariamente difícil, si es que se puede hablar en rigor de administración; así que, los objetivos básicos son un prerrequisito para determinar cualquier curso de acción y deben ser definidos con claridad para que los comprendan todos los miembros de la empresa. Albert Einstein dijo... "Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo." A la administración por objetivos también se le llama Administración de Resultados, y administración de metas, estimula la toma de decisiones, aumenta la productividad y mejora la eficiencia administrativa, los resultados determinan el éxito del administrador en el análisis final de la empresa. La clasificación de objetivos en una empresa puede ser la siguiente: 1. Obtener Utilidades (Económicos) 2. Proporcionar buenos productos o servicios 3. Mantener a la cabeza de los competidores 57 4. Bienestar de los empleados (Sociales) 5. Ser eficiente 6. Progresar 3.4 IMPORTANCIA DE LA ADMINISTRACIÓN No sería suficiente con decir que sin una buena administración ninguna organización tendrá éxito; por lo cual mencionaremos algunos hechos para mencionar su importancia: 1. La administración no solamente nació con la humanidad sino que se extiende a la vez a todos los ámbitos geográficos y por su carácter Universal, lo encontramos presente en todas partes. Y es que en el ámbito del esfuerzo humano existe siempre un lado administrativo de todo esfuerzo planeado. 2. Donde exista un organismo social allí estará presente la administración. 3. No sirve de mucho que en una empresa existan buenas instalaciones, el mejor equipo, la mejor ubicación, si lo todo lo anterior no va acompañado del elemento humano necesario para dirigir las actividades, o sea que la administración es importante para alcanzar objetivos de la organización. 4. En las grandes empresas la administración científica o técnica es esencial ya que no podrían existir sin una buena administración. 5. La administración es un proceso universal ya que no solo se da en los países capitalistas, sino que también en los países socialistas o de cualquier tipo que sean, la administración es importante tanto en las pequeñas como el las grandes empresas. 6. Otro hecho importante es que por medio de la administración se puede elevar la productividad y los niveles de vida en los países en vías de desarrollo. 7. La administración imparte efectividad a los esfuerzos humanos. Ayuda a obtener mejor personal, equipo, materiales, dinero y relaciones humanas. 8. Se mantiene al frente de las condiciones cambiantes y proporciona previsión y creatividad. Edison dijo... "Dos personas unidas en una tarea común han de hacer mucho más que duplicar las energías." 58 Concluiremos diciendo que la administración es importante por que se aplica en cualquier tipo de organización con deseos de aumentar su productividad y el éxito, dependiendo para esto del elemento humano y material. 3.5 CARACTERISTICAS DE LA ADMINISTRACION Dentro de las características de la administración tenemos las siguientes: 1. Universalidad: La administración se da donde quiera que existe un organismo social (estado, ejército, empresas, iglesias, familia, etc.), porque en él tiene siempre que existir coordinación sistemática de medios. 2. Especificidad: La administración tiene sus propias características las cuales son inconfundibles con otras ciencias, aunque va acompañada siempre de ellas (funciones económicas, contables, productivas, mecánicas, jurídicas, etc.), son completamente distintas. 3. Unidad Temporal: Aunque se distingan etapas, fases y elementos del proceso administrativo, éste es único y, por lo mismo, en todo momento de la vida de una empresa se están dando, en mayor o menor grado, todos o la mayor parte de los elementos administrativos. 4. Unidad Jerárquica: Todos cuantos tienen carácter de jefes en un organismo social, participan en distintos grados y modalidades, de la misma administración. Así, en una empresa forman un solo cuerpo administrativo, desde el gerente general, hasta el último mayordomo". Respetándose siempre los niveles de autoridad que están establecidos dentro de la organización. 5. Valor Instrumental: La administración es un instrumento para llegar a un fin, ya que su finalidad es eminentemente práctica y mediante ésta se busca obtener resultados determinados previamente establecidos. 6. Flexibilidad: La administración se adapta a las necesidades particulares de cada organización. 7. Amplitud de Ejercicio: Esta se aplica en todos los niveles jerárquicos de una organización. También podríamos mencionar otras características como: 59 a. Es un medio para ejercer impacto en la vida humana. Es decir, la administración influye en su medio ambiente. b. Se logra mediante los esfuerzos. Para participar en la administración se requiere dejar la tendencia a ejecutar todo por uno mismo y hacer que las tareas se cumplan mediante los esfuerzos de otros. c. Es una actividad, no una persona o grupo de ellas. La administración no es gente, es una actividad; las personas que administran pueden ser designadas como Directores, gerentes de áreas, etc. d. La efectividad administrativa requiere el uso de ciertos conocimientos, aptitudes y práctica. La habilidad técnica es importante para cumplir con un trabajo asignado. e. La administración es intangible. Su presencia queda evidenciada por el resultado de los esfuerzos. f. Los que la practican no son necesariamente los propietarios; es decir que el administrador y el propietario no son necesariamente la misma persona. 3.6 LOS ONCE MANDAMIENTOS PARA LA ADMINISTRACIÓN DEL SIGLO XXI (Matthew nan) La tendencia de los negocios para el tercer milenio es la valoración del capital intelectual. Si los gerentes se prepararan para administrar y potenciar el capital intelectual al menos de la misma manera como se preparan para administrar las finanzas o la producción de sus firmas, sus compañías estarían mejor situadas y las personas que hacen parte de ellas trabajarían con más corazón por ser los mejores. Básicamente los 11 mandamientos de Kiernan hacen referencia a la potenciación del capital intelectual, a continuación hacemos referencia a ellos: 1. No juegues de acuerdo con las reglas de competencia dominantes de tu empresa: Inventa las tuyas y haz que otros sigan tus pasos. 2. ¡Innovar o Morir!: Desarrolla estrategias y mecanismos conscientes para promover innovaciones, realiza ejercicios de creatividad en toda la empresa. 3. Vuelve a examinar tu empresa para encontrar activos estratégicos escondidos, luego impúlsalos lo más que puedas: Quieres ser parte de una empresa 60 excepcional, fíjate en todos tus colaboradores y en todos los procesos, seguro hallarás potencial de valor que podrás aprovechar y apalancar. 4. Desarrolla la inclinación por la velocidad y la acción de tu empresa: El análisis y la reflexión son muy buenas, pero no llegarás a ningún lado sin llevar los planes a la práctica, más vale que seas rápido antes que otros se te adelanten. Mejor dicho, no camines, corre y si puedes cómprate una moto por que tu competencia se mueve más rápido de lo que imaginas. 5. Debes ser proactivo y experimental: tienes una iniciativa en mente pero no sabes como decirlo en la junta directiva por miedo al rechazo. Inténtalo y si dan vía a tu idea llévala a cabo, la prueba y el error valen. 6. Rompe barreras: Las compañías "virtuales" del siglo XXI están desmantelando las barreras internas que con tanta frecuencia separan gente, departamentos y disciplinas. Sal de lo convencional, empodera a tus colaboradores, dales autonomía y capacidad de decisión, cambia horarios, formas de compensación y de capacitación, etc. 7. Emplea toda tu gente y todas sus capacidades, todo el tiempo: Empodera a tus colaboradores, dales autonomía y capacidad de decisión, si tu los contrataste es por que son los mejores cree en ellos. 8. Globaliza tanto tu perspectiva como las bases de tu conocimiento: Los mercados de mayor crecimiento en el mundo no sólo están fuera de Estados Unidos, también están fuera de los países de la OECD. Conviértete en un dirigente global, sí así como suena, las economías emergentes tienen crecimientos muy rápidos que puedes aprovechar. 9. Admite que la revolución ecoindustrial está sobre nosotros: Los resultados financieros no son lo único que cuenta, debes pensar en tus hijos y nietos, los lazos entre economía y medio ambiente son más estrechos día a día. 10. Has del aprendizaje organizacional una religión de tu empresa: Si tienes la posibilidad de conocerte, aprender rápido y atacar, basado en dicho conocimiento, las debilidades de tu empresa, tendrás una ventaja sobre tus competidores. Si el aprendizaje lo conviertes en oportunidades, nuevos productos, servicios y tecnologías antes que tu competencia, serás líder. 11. Desarrolla herramientas estratégicas para medir tu desempeño: No basta con mediciones estáticas de las finanzas o el desempeño de mercados, debes 61 detectar los factores dinámicos que afectan la producción, las finanzas, el mercado y en general, el entorno de tu empresa. 4. ANTECEDENTES HISTORICOS A pesar de que en la historia de la humanidad siempre existió el trabajo, la historia de las organizaciones y de su administración es un capítulo que comenzó en época reciente, se puede afirmar que la administración es tan antigua como el hombre. Las personas llevan muchos siglos formando y reformando organizaciones. Al repasar la historia de la humanidad, aparece la huella de pueblos que trabajaron unidos en organizaciones formales, por ejemplo los ejércitos griegos y romanos, la Iglesia Católica Romana, la Compañía de las Indias Orientales. Las personas también han escrito sobre cómo lograr que las organizaciones sean eficientes y eficaces, desde mucho antes de que términos como "administración" fueran de uso común. En toda su larga historia la administración se desarrolló con una lentitud impresionante. Sólo a partir del siglo XX cuando las personas le dieron la mayor importancia a la administración, este siglo atravesó etapas de desarrollo de notable innovación. De todo lo anterior, los eventos y personajes que marcaron su huella en la historia de la administración los mencionamos a continuación: 4.1 IMPERIOS 4.1.1 SUMERIA (5000 a. C.): Fueron los primeros en tener escritura, los sacerdotes llevaban en forma arcaica, el control administrativo del cobro de los impuestos. La ascensión de Sargón I en 2334 a. C. marcó el comienzo de la dinastía de Acad; la lengua acadia es la básica de los textos escritos en este tiempo, especialmente el antiguo dialecto acadio. Con el declive de esa dinastía hacia el 2200 a. C., Acad fue eclipsada y la lengua sumeria se convirtió otra vez en el lenguaje normal de la administración, aunque en los próximos mil años los reyes se denominarán a sí mismos reyes de Sumer y Acad. 62 Bajo la tercera dinastía de Ur (o Ur III), hay un masivo crecimiento de la burocracia real con el consiguiente aumento de textos administrativos sin parangón en ningún otro período de la historia de Mesopotamia. Se pueden distinguir cuatro grandes períodos en la lengua sumeria: Sumerio arcaico. Que cubre un periodo desde el 3.100 a.C. con la aparición de los primeros registros sumerios hasta el 2.500 a.C. En esta etapa los textos de la lengua son de carácter comercial y administrativo, aunque también los hay de enseñanza en la forma de simples ejercicios de escritura. Debido a la escasez de material hay dificultades para conocer con más exactitud este período de la lengua. Sumerio antiguo o clásico. Que va desde el 2.500 a.C. al 2.300 a.C. y está representado por los registros de los primeros gobernantes de Lagash. Esos textos son de carácter comercial, legal y administrativo, aunque también hay inscripciones reales y privadas, especialmente de carácter votivo, cartas y encantamientos. En contraste con el período anterior, aquí nos hallamos con una mayor cantidad de textos lo que hace posible una reconstrucción de la gramática sumeria y del vocabulario. Sumerio nuevo. Durante el período que va desde el 2.300 hasta el 2.000 a.C. surge con gran fuerza la lengua acadia, usada a través de toda la región que cubre el Imperio Acadio. Es el momento en el que la dinastía sargónica toma la hegemonía de Babilonia y la lengua sumeria experimenta un retroceso ante el empuje del acadio que la limita a una pequeña región en Sumer. Tras un breve período de recuperación durante la tercera dinastía de Ur, el periodo del sumerio nuevo llega a su fin junto con la tercera dinastía de Ur para dar paso a las dinastías de Isin, Larsa y Babilonia. Post-sumerio. La última fase de la lengua tiene lugar en el periodo babilonio antiguo, cuando Babilonia se convierte en la capital del país. Es el tiempo en el que gobiernan las dinastías de Isin, Larsa y Babilonia. Durante el mismo los sumerios perdieron su identidad política y su lengua dejó de ser hablada aunque continuó siendo puesta por escrito en el sistema cuneiforme de escritura. En las últimas fases de este período, el uso de la escritura sumeria se extendió en textos legales y administrativos e inscripciones reales, que a veces son bilingües. Muchas composiciones literarias sumerias que procedían por vía oral de períodos más antiguos fueron puestas por escrito por primera vez en esta fase. En esa literatura 63 aparecen mitos, épica, himnos, lamentaciones, rituales, encantamientos y proverbios. Por siglos tras el período babilonio antiguo, el estudio del sumerio continuó en las escuelas babilónicas, hasta el punto de que Asurbanipal (siglo VII a.C.), gobernante asirio, se jactaba de poder leer la lengua. Incluso ya en el período helenístico hay tablillas cuneiformes que muestran las palabras sumerias transcritas en letras griegas. En la sociedad sumeria la escritura fue la base del progreso, y precisamente a Sumer se debe estas invención hacia el año 3.000 A.C. Surgió con el desarrollo del comercio, cuando los sumerios necesitaron un sistema para registrar sus transacciones comerciales. Al principio grababan en tablas de arcilla, con un punzón de caña, sencillas representaciones de objetos, denominadas pictografías. Los datos importantes se conservaban en tablas cocidas al horno. Observación Sumeria... "Gastemos si estamos condenados a morir, ahorremos si esperamos larga vida". REVOLUCION URBANA: La revolución urbana trajo consigo la aparición del Estado y una determinada estratificación económica y social, así como el uso de la escritura. Con ella se asiste a una separación entre la producción primaria de alimentos y a las técnicas especializadas. Las aldeas, encargadas de la producción de alimentos, no tardaron en quedar subordinadas a los grandes centros urbanos. Los excedentes de alimentos permitieron a los especialistas de las ciudades vivir sin preocupación de esta labor. Los productores de alimentos, a su vez, recibían productos especializados de los artesanos, cuyo control de las técnicas les permitió gozar de un cierto prestigio social y cultural sobre el resto de la población. Sin embargo, el estrato superior de la población lo ocupaban en la ciudad, los sacerdotes y quienes desarrollaban funciones administrativas, como los escribas. Aparecen ahora las grandes organizaciones de los templos y los palacios, que diferenciarán substancialmente la ciudad de las aldeas. Los templos se dedicaban al 64 culto y eran casas de los dioses, mientras que los palacios eran habitados por los reyes, en compañía de su corte y eran centros administrativos. Los excedentes se acumulaban en los almacenes de los palacios, y en estos se realizaban también tareas artesanales mediante la escritura y los archivos. Templos y palacios disponían de edificios donde vivían los empleados dedicados a ellos. El personal especializado trabajaba para el estado; vivía de el directamente o recibía tierras para cultivar. Eran auténticos siervos y formaban una élite social, política y económica. Los trabajadores del palacio eran muy variados, como se desprende de las listas de profesiones conocidas. Los objetos se producían en serie, formándose una jerarquía entre maestros artesanos, obreros y aprendices. El pago del trabajo dependía de la capacidad del obrero y del puesto que desempeñaba, lo que llevo a una verdadera estratificación laboral. El centro de irradiación de la llamada Revolución Urbana fue la ciudad de Uruk en la que pueden distinguirse dos periodos bien diferenciados: Uruk antiguo ( 3500-3200 ) y Uruk reciente ( 3200-3000. Uruk es una ciudad bien conocida gracias a las excavaciones. Era el mas importante de los centros urbanos sumerios, como lo indica su superficie, sus templos y sus edificios administrativos. Contaba con un gigantesco santuario en uno de los recintos sagrados en el que mas tarde se construiría el Zigurat. EL PERIODO PROTODINASTICO: Esta fase suele ser dividida en Protodinástica I, Protodinástica II (2750-2600 a.C.), Protodinástica III a (2600-2450 A.C.) y III b (2450-2350 A.C.). Son subdivisiones bien conocidas por documentos de carácter administrativo y las ultimas por escritos de tipo jurídico y político. Un buen numero de ciudades, convertidas en estados aparecen asentadas a orillas del Eufrates: Kish, Nippur, Akshat, Uruk, Ur y Shuruppak en la orilla oeste; Lagash, Adah, 65 Umma, Bal-Tibira y Zabalan, en la este. A este mundo sumerio pertenecen también Mari y Asur, y relacionados con aquel, Susa y Jamazi, en el Zagros. Estas ciudades-estado eran independientes pero compartían una misma civilización, la sumeria. No esta del todo claro si los sumerios emigraron a estas tierras en bloque o si tuvo lugar una lenta infiltración; los documentos escritos se redactaron en lengua sumeria, pero en ellos se leen nombres semitas y Acadios. Estos últimos eran mas numerosos en el norte mientras que los sumerios lo eran en el sur. Un análisis de la onomástica nos lleva a la conclusión de que existieron, al menos tres aportaciones diferentes: una presumeria procedente seguramente de Irán, una sumeria, cuyos componentes eran funcionarios dedicados a la administración o personas dedicadas a la elaboración de productos de transformación, y una tercera, semita, que se dedicaba al control y desempeño de los cargos mas elevados. Las dos primeras poblaciones, presumeria y sumeria se asentaron sobre todo en el nordeste, mientras que la tercera semita lo hacia en el noroeste. Otras lenguas, además de la sumeria, se infiltraron mas tardíamente, como la lengua semita no acadia (eblaita y amorrea) en el oeste o la hurrita en el norte. LA DUALIDAD TEMPLO- PALACIO: La cultura sumeria se caracterizo por la existencia de dos polos, el templo y el palacio. Ambos tenían en común el ser centros económicos de producción, distribución, transformación y comercio de primer orden. Este último se llevaba a cabo por ríos y tierras incluso con Anatolia, Egipto y el valle del Oxus. Los templos tenían importantes explotaciones agrícolas y ganaderas. Funcionaban como empresas autónomas con personal especializado de todo tipo: pastores, agricultores, cuidadores, tejedores, carpinteros, carniceros, etc. Un sacerdote, un intendente y un inspector eran los encargados de la administración, ayudados por los escribas. En el templo trabajaban esclavos dedicados a labores de jardinería y molienda, pero también hombres libres que recibían un salario en especie y lotes de tierra para cultivar con su familia. 66 El segundo polo era el palacio, donde residía el rey. Se conocen palacios de este periodo en Eridú, Kish, Mari, etc. El monarca desempeñaba las funciones de juez y de sumo sacerdote. Como vicario del dios sobre la tierra era el que administraba sus bienes, pero también administraba sus ciudades como si de una gran propiedad se tratara. El mantenimiento de los canales, tan necesarios para la agricultura, y la defensa del territorio eran otras de sus responsabilidades. El ejercito estaba formado por los servidores de palacio ( en numero reducido ), a los que se añadían, en caso de necesidad los campesinos, con los que llegaban a sumar entre seiscientos y setecientos efectivos. En la llamada Estela de los Buitres los soldados forman una falange defendida por escudos y armada con picas. Se conocían también como indica el estandarte de Ur, carros de guerra tirados por onagros, que se utilizaban sobre todo para la persecución del enemigo. Los palacios funcionaban como grandes dominios. Su importancia era no solo de carácter administrativo y político sino también económico. Junto a estos dos polos, existían barrios de casas privadas, donde residían las familias dedicadas a las actividades económicas. El rey tenia los títulos de Lugal (en Kish y Uruk), En o gran sacerdote (en Uruk) y Ensi del dios (en Lagash). El termino En indica que la realeza era de procedencia divina. Pronto se produjo una separación entre las funciones culturales y políticas, con lo que los templos perdieron parte de su importancia, sin embargo el monarca siempre estuvo subordinado al dios, y los templos a la administración estatal, la ciudad estado que lo unifico todo. Las relaciones entre las diferentes ciudades-estado no siempre fueron pacificas, ya que existían diferentes dioses y diferentes dinastías que con frecuencia buscaban una justificación teológica. Los reyes sumerios mas poderosos intervinieron en la disputas entre ciudades. Sólo Nippur, con su santuario consagrado a Enlil, dios de todos los sumerios, desempeño un papel unificador 67 COMPUTACION SISTEMAS OPERATIVOS 1.1 Introducción Las computadoras han evolucionado de una manera impresionante, hoy en día son las herramientas mas empleadas por el hombre y cada día se tratan de hacer más eficientes, precisas y veloces. Esto evolución de las computadoras va de la mano con su software, que es todos aquellos programas que no podemos ver fisicamente, pero si los podemos usar para redactar un texto, navegar por Internet, programar, etc. Este software se puede clasificar en 2 partes: los programas de aplicaciones que todos aquellos que usan los usuarios (Word, Excel, etc.) y los programas del sistemas que son los encargados de controlar las operaciones que realiza la computadora. El principal programa del sistema es el llamado Sistema Operativo el cual es el responsable del control de todos los recursos de la computadora y proporciona la base sobre la cual pueden escribirse los programas de aplicaciones Un Sistema Operativo es un programa que actúa como intermediario entre el usuario y el hardware de un computador y su propósito es proporcionar un entorno en el cual el usuario pueda ejecutar programas. El objetivo principal de un Sistema Operativo es, entonces, lograr que el Sistema de computación se use de manera adecuada, y el objetivo secundario es que el hardware del computador se emplee de manera eficiente. 1.2 Concepto y definiciones de Sistemas Operativos Un Sistema Operativo es una parte importante de cualquier sistema de computación Un sistema de computación puede dividirse en cuatro componentes: el hardware, el Sistema Operativo, los programas de aplicaciones los usuarios. El hardware (Unidad Central de Procesamiento (UCP), memoria y dispositivos de entrada/salida (E/S)) proporciona los recursos de computación únicos. Los programas de aplicaciones compiladores, sistemas de bases de datos, juegos de video y programas para negocios) definen la forma en que estos recursos se emplean para resolver los problemas de computación de los usuarios. 68 Recursos administrados por el Sistema Operativo Existen diversas definiciones de lo que es un Sistema Operativo, pero no hay una definición exacta, es decir una que sea estándar; a continuación se presentan algunas: 1.- Se pueden imaginar un Sistema Operativo como los programas, instalados en el software o firmware, que hacen utilizable el hardware. El hardware proporciona la "capacidad bruta de cómputo"; los sistemas operativos ponen dicha capacidad de cómputo al alcance de los usuarios y administran cuidadosamente el hardware para lograr un buen rendimiento. 2.- Los Sistemas Operativos son ante todo administradores de recursos; el principal recurso que administran es el hardware del computador; además de los procesadores, los 69 medios de almacenamiento, los dispositivos de entrada/salida, los dispositivos de comunicación de los datos. 3.- Un Sistema Operativo es un programa que actúa como intermediario entre el usuario y el hardware del computador y su propósito es proporcionar el entorno en el cual el usuario pueda ejecutar programas. Entonces, el objetivo principal de un Sistema Operativo es, lograr que el sistema de computación se use de manera adecuada, y el objetivo secundario es que el hardware del computador se emplee de manera eficiente. 4.- Un Sistema Operativo es un conjunto de programas que controla la ejecución de programas de aplicaciones que actúa como una interfaz entre el usuario y el hardware de una computadora, esto es, un Sistema Operativo explota y administra los recursos de hardware de la computadora con el objeto de proporcionar un conjunto de servicios a los usuarios del sistema. En resumen, se podría decir que los Sistemas Operativos son un conjunto de programas que crean la interfaz del hardware con el usuario, y que tiene dos funciones primordiales, que son: Gestionar el hardware.- Se refiere al hecho de administrar de una forma muy eficiente los recursos de la maquina. Facilitar el trabajo al usuario.- Permite una comunicación con los dispositivos de la maquina El Sistema Operativo se encuentra almacenado en la memoria secundaria. Primero se carga y ejecuta un pedazo de que se encuentra en el procesador, el cual carga el BIOS, y este a su vez carga el Sistema Operativo que carga todos los programas de aplicaciones software variado. 1.3 Características de los Sistemas Operativos En general, se puede decir que un Sistema Operativo tiene las siguientes características 1 Conveniencia. Un Sistema Operativo hace muy conveniente el uso de una computadora. 70 2 Eficiencia. Un Sistema Operativo permite que los recursos de la computadora se usen de la manera más eficiente posible. 3 Habilidad para evolucionar. Un Sistema Operativo deber construirse de manera que permita el desarrollo, prueba o introducción efectiva de nuevas funciones del sistema sin interferir con el servicio. 4 Encargado de administrar el hardware. El Sistema Operativo se encarga de manejar de una mejor manera los recursos de la computadora en cuanto a hardware se refiere, esto es, asignar a cada proceso una parte del procesador para poder compartir los recursos. 5 Relacionar dispositivos (gestionar a través del kernel). El Sistema Operativo se debe encargar de comunicar a los dispositivos periféricos, cuando el usuario así lo requiera. 6 Organizar datos para acceso rápido y seguro. 71 7 Manejar las comunicaciones en red. El Sistema Operativo permite al usuario manejar con alta facilidad todo lo referente a la instalación y uso de las redes de computadoras. 8 Procesamiento por bytes de flujo a través del bus de datos. 9 Facilitar las entradas y salidas. Un Sistema Operativo debe hacerle fácil al usuario el acceso y manejo de los dispositivos de Entrada/Salida de la computadora. 10 Técnicas de recuperación de errores. 11 Evita que otros usuarios interfieran. El Sistema Operativo evita que los usuarios se bloqueen entre ellos, informándoles si esa aplicación esta siendo ocupada por otro usuario. 12 Generación de estadísticas. 13 Permite que se puedan compartir el hardware y los datos entre los usuarios. 72 El software de aplicación son programas que se utilizan para diseño, tal como el procesador de palabras, lenguajes de programación hojas de cálculo, etc. El software de base sirve para interactuar el usuario con la máquina, son un conjunto de programas que facilitan el ambiente plataforma, y permite el diseño del mismo. El Software de base esta compuesto por: Cargadores. Compiladores. Ensambladores. Macros. 1.4 Clasificación de los Sistemas Operativos Con el paso del tiempo, los Sistemas Operativos fueron clasificándose de diferentes maneras, dependiendo del uso o de la aplicación que se les daba. A continuación se mostraran diversos tipos de Sistemas Operativos que existen en la actualidad, con algunas de sus características: 73 1.4.1 Sistemas Operativos por lotes Los Sistemas Operativos por lotes, procesan una gran cantidad de trabajos con poca o ninguna interacción entre los usuarios y los programas en ejecución. Se relacionan todos los trabajos comunes para realizarlos al mismo tiempo, evitando la espera de dos o más trabajos como sucede en el procesamiento en serie. Estos sistemas son de los modelos tradicionales y antiguos, y fueron introducidos alrededor de 1956 para aumentar la capacidad de procesamiento de los programas. Cuando estos sistemas son bien planeados, pueden tener un tiempo de ejecución muy alto, porque el procesador es mejor utilizado y los Sistemas Operativos pueden ser simples, debido a la secuenciabilidad de la ejecución de los trabajos. Algunos ejemplos de Sistemas Operativos por lotes exitosos son el SCOPE, del DC6600, el cual esta orientado a procesamiento científico pesado, y el EXEC II para el UNIVAC 1107, orientado a procesamiento académico. Algunas otras características con que cuentan los Sistemas Operativos por lotes son: Requiere que el programa, datos y de funciones al sistema sean remitidos todos juntos en forma de lote. Permiten poca o ninguna interacción entre usuario/programa en ejecución Mayor potencial de utilización de recursos que procesamiento serial simple en sistemas multiusuarios. No conveniente para desarrollo de programas por bajo tiempo de retorno y depuración Conveniente para programas de largos tiempos de ejecución, Ej. análisis estadísticos, nominas de personal, etc.). Se encuentra en muchos computadores procesamiento serial. 74 personales combinados con Planificación del procesador sencilla, teóricamente procesados en orden de llegada. Planificación de memoria sencilla, generalmente se divide en dos: parte residente del S.O. y programas transitorios. No requieren gestión teórica de dispositivos en el tiempo. Suelen proporcionar gestión sencilla de manejo de archivos: se requiere poca protección, ningún control de concurrencia para el acceso. Figura. Trabajos más comunes que realiza el Sistema Operativo por lotes. 1.4.2 Sistemas Operativos de tiempo real Los Sistemas Operativos de tiempo real son aquellos en los cuales no tiene importancia el usuario, sino los procesos. Por lo general, están subutilizados sus recursos con la finalidad de prestar atención a los procesos en el momento que lo requieran. Se utilizan en entornos donde son procesados un gran número de sucesos o eventos. Muchos Sistemas Operativos de tiempo real son construidos para aplicaciones muy específicas como control de tráfico aéreo, bolsas de valores, control de refinerías, control de laminadores. También el ramo automovilístico y de la electrónica de consumo, las aplicaciones de tiempo real esta creciendo muy rápidamente. Otros campos de aplicaciones de los Sistemas Operativos de tiempo real son los siguientes: Control de trenes. Telecomunicaciones. Sistemas de fabricación integrada. Producción y distribución de energía eléctrica.. Control de edificios. 75 Sistemas multimedia. Algunos ejemplos de Sistemas Operativos de tiempo real son: Works, Soláis, Lynus OS y Spectra. Los Sistemas Operativos de tiempo real, cuentan con las siguientes características o Se dan en entornos en donde deben ser aceptados y procesados gran cantidad de sucesos, la mayoría externos al sistema computacional, en breve tiempo o dentro de ciertos plazos. o Se utilizan en control industrial, conmutación telefónica, control de vuelo, simulaciones en tiempo real., aplicaciones militares, etc. o Objetivo es proporcionar rápidos tiempos de respuesta. o Procesa de miles de interrupciones por segundo sin perder un solo suceso. o Proceso se activa tras ocurrencia de suceso, mediante interrupciones o Proceso de mayor prioridad expropia recursos. o Por tanto generalmente se utiliza planificación expropiativa basada en prioridades. o Gestión de memoria menos exigente que tiempo compartido, usualmente procesos son residentes permanentes en memoria. o Poblaciones de procesos en gran medida. o Poco movimiento de programas entre almacenamiento secundario y memoria. 76 Gestión de archivos se orienta más a velocidad de acceso que a utilización o eficiente del recurso. 1.4.3 Sistemas Operativos de multiprogramación, (Sistemas Operativos de multitarea) Se distinguen por sus habilidades para poder soportar las ejecuciones de dos o más trabajos activos (que se están ejecutado) al mismo tiempo. Esto trae como resultado que la Unidad Central de Procesamiento (UCP) siempre tenga alguna tarea que ejecutar, aprovechando al mḩmo su utilización. Su objetivo es tener a varias tareas en la memoria principal, de manera que cada uno esta usando el procesador, o un procesador distinto, es decir, involucra todo la unidad UCP. Sistemas Operativos como UNIX, Windows 95, Windows 98, Windows NT, MAC-OS, OS/2, soportan la multitarea. Las características de un Sistema Operativo de multiprogramación multitarea son las siguientes: Mejora productividad del sistema y utilización de los recursos. Multiplexa recursos entre varios programas. Generalmente soportan múltiples usuarios (multiusuarios). Proporcionan facilidades para mantener el entorno de usuarios individuales. Requieren validación de usuario para seguridad y protección Proporcionan contabilidad del uso de los recursos por parte de los usuarios. Multitarea sin soporte multiusuario se encuentra en algunos computadores personales o en sistemas de tiempo real. Sistemas multiprocesadores son sistemas multitareas por definición, ya que soportan la ejecución de multitareas sobre diferentes procesadores. En general, los sistemas de multiprogramación se caracterizan por tener más programas activos compitiendo por los recursos del sistema: procesador, memoria, dispositivos periféricos. 77 1.4.4 Sistemas Operativos de tiempo compartido Permiten la simulación de que el sistema y sus recursos son todos para cada usuario. El usuario hace una petición a la computadora, esta la procesa tan pronto como le es posible, y la respuesta aparecerá en la terminal del usuario. Los principales recursos del sistema, el procesador, la memoria, dispositivos de E/S, son continuamente utilizados entre los diversos usuarios, dando a cada usuario la ilusión de que tiene el sistema dedicado para sí mismo. Esto trae como consecuencia una gran carga de trabajo al Sistema Operativo, principalmente en la administración de memoria principal y secundaria. Ejemplos de Sistemas Operativos de tiempo compartido son Multics, OS/360 y DEC10. Características de los Sistemas Operativos de tiempo compartido: Populares representantes de sistemas multiprogramados multiusuario, Ej.: sistemas de diseños asistidos por computador, procesamiento de texto, etc. Dan la ilusión de que cada usuario tiene una maquina para sí Utilizan algoritmo de reparto circular. Programas se ejecutan con prioridad rotatoria que se incrementa con la espera y disminuye después de concedido el servicio. Evitan monopolización del sistema asignando tiempos de procesador (time slot). 78 Gestión de memoria proporciona protección de programas residentes. Gestión de archivo debe proporcionar protección control de acceso debido a que pueden existir miles usuarios accesando a un mismo archivo. 1.4.5 Sistemas Operativos distribuidos Permiten distribuir trabajos, tareas o procesos, entre un conjunto de procesadores. Puede ser que este conjunto de procesadores esta en un equipo o en diferentes, en este caso es transparente para el usuario. Existen dos esquemas básicos de dos. Un sistema fuertemente acoplado es a es aquel que comparte la memoria y un reloj global, cuyos tiempos de acceso son similares para todos los procesadores. En un sistema d颩lmente acoplado los procesadores no comparten ni memoria ni reloj, ya que cada uno cuenta con su memoria local. Los sistemas distribuidos deben de ser muy confiables, ya que si un componente del sistema se compone otro componente debe de ser capaz de reemplazarlo. Entre los diferentes Sistemas Operativos distribuidos que existen tenemos los siguientes: Sprite, Solaris-MC, Mach, Chorus, Spring, Amoeba, Taos, etc. 79 Características de los Sistemas Operativos distribuidos: Colección de sistemas autónomos capaces de comunicación y cooperación mediante interconexiones hardware y software. 1.4.6 Sistemas Operativos de red Son aquellos sistemas que mantienen a dos o más computadoras unidas a través de algún medio de comunicación, con el objetivo primordial de poder compartir los diferentes recursos y la información del sistema. El primer Sistema Operativo de red estaba enfocado a equipos con un procesador Motorola 68000, pasando posteriormente a procesadores Intel como Novell Netware. Los Sistemas Operativos de red más ampliamente usados son: Novell Netware, Personal Netware, LAN Manager, Windows NT Server, UNIX, LANtastic. 80 Figura. Se muestra un Sistema Operativo en red. 1.4.7 Sistemas Operativos paralelos En estos tipos de Sistemas Operativos se pretende que cuando existan dos o más procesos que compitan por algún recurso se puedan realizar o ejecutar al mismo tiempo. En UNIX existe también la posibilidad de ejecutar programas sin tener que atenderlos en forma interactiva, simulando paralelismo (es decir, atender de manera concurrente varios procesos de un mismo usuario). Así en lugar de esperar a que el proceso termine de ejecutarse (como lo haría normalmente), regresa a atender al usuario inmediatamente después de haber creado el proceso. Ejemplos de estos tipos de Sistemas Operativos está Alpha, PVM, la serie AIX, que es utilizado en los sistemas RS/6000 de IBM. 81 Historia de los Sistemas Operativos Para tratar de comprender los requisitos de un Sistema Operativo y el significado de las principales características de un Sistema Operativo contemporáneo, es considerar como han ido evolucionando con el tiempo. Existen diferentes enfoques o versiones de como han ido evolucionando los Sistemas Operativos La primera de estas versiones podría ser esta: En los 40's, se introducen los programas bit a bit, por medio de interruptores mecánicos y después se introdujo el lenguaje. Maquina que trabajaba por tarjetas perforadas. Con las primeras computadoras, desde finales de los años 40 hasta la mitad de los años 50, el programador interactuaba de manera directa con el hardware de la computadora, no existía realmente un Sistema Operativo; las primeras computadoras utilizaban bulbos, la entrada de datos y los programas se realizaban a través del lenguaje maquina (bits) o a través de interruptores. Durante los años 50's y 60's.- A principio de los 50's, la compañía General's Motors implanto el primer sistema operativo para su IBM 170. Empiezan a surgir las tarjetas perforadas las cuales permiten que los usuarios (que en ese tiempo eran programadores, diseñadores, capturistas, etc.), se encarguen de modificar sus programas. Establecen o apartaban tiempo, introducción de sus programas, corregían y depuraban sus programas en su tiempo. A esto se le llamaba trabajo en serie. Todo esto se traduce en perdida de tiempo y tiempos de programas excesivos. En los años 60's y 70's se genera el circuito integrado, se organizan los trabajos y se generan los procesos Batch (por lotes), lo cual consiste en determinar los trabajos comunes y realizarlos todos juntos de una sola vez. En esta época surgen las unidades de cinta y el cargador de programas, el cual se considera como el primer tipo de Sistema Operativo. En los 80's, inicia el auge de la INTERNET en los Estados Unidos de América. A finales de los años 80's comienza el gran auge y evolución de los Sistemas Operativos. 82 Se descubre el concepto de multiprogramación que consiste en tener cargados en memoria a varios trabajos al mismo tiempo, tema principal de los Sistemas Operativos actuales. Los 90's y el futuro, entramos a la era de la computación distribuida y del multiprocesamiento a través de miles redes de computadoras, aprovechando el ciclo del procesador. Se tendrá una configuración dinámica con un reconocimiento inmediato de dispositivos y software que se adentre o elimine de las redes a través de procesos de registro y localizadores. La conectividad se facilita gracias a estándares y protocolos de sistemas abiertos por organizaciones como la Org. Interna de normas, fundación de software abierto, todo estará controlado por los protocolos de comunicación y por la red de servicios digital ISDN. Se ha desarrollado otra versión la cual se ha hecho en base a etapas o generaciones: 1a. Etapa (1945-1955) Bulbos y conexiones. 83 Después de los infructuosos esfuerzos de Babbage, hubo poco progreso en la construcción de las computadoras digitales, hasta la Segunda Guerra Mundial. A mitad de la década de los 40's, Howard Aiken (Harvard), John Von Newman (Instituto de Estudios Avanzados, Princeton), J. Prespe R. Eckert y Williams Mauchley (Universidad de Pennsylvania), así como Conrad Zuse (Alemania), entre otros lograron construir maquinas de cálculo mediante bulbos. Estas maquinas eran enormes y llenaban cuartos completos con decenas de miles de bulbos, pero eran mucho más lentas que la computadora casera más reconocida en nuestros días. Toda la programación se llevaba a cabo en lenguaje de maquina absoluto y con frecuencia se utilizaban conexiones para controlar las funciones básicas de la máquina. Los lenguajes de programación eran desconocidos (incluso el lenguaje ensamblador). A principio de la década de los 50's la rutina mejoro un poco con la introducción de las tarjetas perforadas. Fue entonces posible escribir los programas y leerlas en vez de insertar conexiones, por lo demás el proceso era el mismo. 2a. Etapa. (1955-1965) Transistores y Sistemas de Procesamiento por lotes. La introducción del transistor a mediados de los años 50's modificó en forma radical el panorama. Las computadoras se volvieron confiables de forma que podía fabricarse y 84 venderse a clientes, con la esperanza de que ellas continuaran funcionando lo suficiente como para realizar un trabajo en forma. 3ra Etapa (1965-1980) : Circuitos integrados y multiprogramación La 360 de IBM fue la primera línea principal de computadoras que utilizaron los circuitos integrados, lo que proporcionó una gran ventaja en el precio y desempeño con respecto a las máquinas de la segunda generación construidas a partir de transistores individuales. Se trabajo con un sistema operativo enorme y extraordinariamente complejo. A pesar de su enorme tamaño sus problemas el sistema operativo de la IBM 360 y los sistemas operativos similares de esta generación producidos por otros fabricantes de computadoras realmente pudieron satisfacer, en forma razonable a la mayoría de sus clientes. También popularizaron varias técnicas fundamentales, ausentes de los sistemas operativos de la segunda generación de las cuales la más importante era la de multiprogramación. 85 INGLES Vocabulario: La empresa inglés español brand name marca business negocios company empresa, compañía employee empleado factory fábrica headquarters oficinas centrales industry industria leading delantera multinational multinacional office oficina retail venta al por menor salary salario schedule horario, programa staff plantilla tax impuesto warranty garantía wholesale venta al por mayor workplace lugar de trabajo Pon en orden las siguientes frases como en el siguiente ejemplo: I / married / when / young / was / I I married when I was young 86 Escribe en las cajas de texto, al final del ejercicio encontrarás las respuestas. 1) is / having / he / breakfast 2) every / basketball / play / I / Tuesday 3) 7:30 / gets up / my father / at 4) do / what / every / day / do / you / ? 5) holiday / going / I'm / on / thinking / of 6) I do / read / do / you / books / a lot of / Yes, 7) and / sometimes / the cinema / my friend / I / to / go 8) brother / doesn't / Canada / live / my / in 9) to / How / go / do / your / you / school 10) the summer / really / important / sun cream / wear / it's / to / in 11) days / these / Peter /what / doing / is / ? 87 12) looking / I'm / for / at / a job / the moment 13) visit / at / I / Christmas / my parents / will Solución ejercicio: 1. He is having breakfast. .2. I play basketball every tuesday. 3. My father gets up at 7:30 4. What do you do every day? 5. I'm thinking of going on holiday. 6. Do you read a lot of books? Yes, I do. 7. My friend and I sometimes go to the cinema. 8. My brother doesn't live in Canada. 9. How do you go to your school? 10. It's really important to wear sun cream in the summer. 12.What is Peter doing these days? 13 I'm looking for a job at the moment.. 14. I will visit my parents at Christmas. El pretérito (pasado) se utiliza para referir acciones o situaciones del pasado. EL PASADO SIMPLE (Simple Past) El pasado simple funciona de manera similar al Presente simple, salvo que empleamos el auxiliar 'did' para todas las personas (incluida la tercera persona singular 'he/she/it'). En la forma afirmativa, el auxiliar 'did' no aparece, empleando en su lugar la terminación 'ed'. Esta es la forma de pasado para todos los 'Verbos Regulares' 88 Existe un amplio conjunto de verbos que no cumplen esta condición, es decir, para la forma afirmativa no emplean la terminación 'ed' sino que su forma es irregular. No siguen ninguna regla, por lo que la única manera de conocer su forma de pasado es aprenderla. Se denominan 'Verbos Irregulares'. AFIRMATIVA NEGATIVA I played Yo jugué I did not play You played Tú jugaste You did not play Tú no jugaste He played Él jugó He did not play We played Nosotros jugamos We did not play You played Vosotros jugasteis You did not play Vosotros no jugasteis They played Ellos jugaron INTERROGATIVA Yo no jugué Él no jugó Nosotros no jugamos They did not play Ellos no jugaron INT.-NEGATIVA Did I play? ¿Jugué? Did you play? ¿Jugaste? Didn't you play? ¿No jugaste? Did he play? ¿Jugó? Did we play? ¿Jugamos? Didn't we play? Did you play? ¿Jugasteis? Didn't you play? ¿No jugasteis? Did they play? ¿Jugaron? Didn't they play? ¿No jugaron? Didn't I play? Didn't he play? ¿No jugué? ¿No jugó? ¿No jugamos? USO DEL PASADO SIMPLE a.) Para acciones pasadas. Indican el período de tiempo durante el que se desarrolló y completó una acción ya finalizada. Es habitual que vaya acompañado de un adverbio de tiempo. I bought this car last year / Compré este coche el año pasado b.) Para expresar una acción indeterminada en el pasado: They used pencils and paper / Utilizaron lápices y papel c.) Para expresar una acción habitual en el pasado They never drank alcohol / Nunca bebían alcohol 89 d.) Puede servir para expresar una condición improbable. If I saw her, I should speak to her / Si le viera le hablaría EL PASADO PROGRESIVO (Past Continuous) Su estructura se forma con el pretérito del verbo auxiliar to be + el gerundio del verbo que se quiere conjugar. I was playing / Estuve jugando Para la forma negativa se añade la 'not' al auxiliar I was not playing / No estuve jugando En la forma interrogativa se invierte el orden del sujeto y el auxiliar: Was I playing? / ¿Estuve jugando? USO DEL PASADO PROGRESIVO a.) Para expresar una acción que se estaba desarrollando en el pasado pero cuyo fin no conocemos o carece de importancia: It was raining / Estaba lloviendo b.) Para expresar dos acciones que se desarrollan simultáneamente I was reading the newspaper while I was walking home / Estaba leyendo el periódico mientras volvía a casa caminando c.) Para expresar dos acciones que se desarrollan en el pasado, una de las cuales tuvo su comienzo antes que la otra: When I arrived John was talking on the phone / Cuando llegué John estaba hablando por teléfono. EL PRETÉRITO PERFECTO (Present Perfect) 90 El pretérito perfecto, se forma con el presente del verbo 'to have' a modo de auxiliar y el participio pasivo del verbo que se conjuga según la siguiente construcción: to have + participio del verbo a conjugar I have played Yo he jugado You have played Tú has jugado He has played Él ha jugado We have played Nosotros hemos jugado You have played Vosotros habéis jugado They have played Ellos han jugado La forma interrogativa, se obtiene anteponiendo el auxiliar al sujeto. Have you played? / ¿Has jugado? En la forma negativa se coloca 'not' después del auxiliar: He has not played / Él no ha jugado La forma interrogativa-negativa tiene la construcción auxiliar + not + sujeto Haven't you played? / ¿No has jugado? USO DEL PRETÉRITO PERFECTO (Present Perfect) El ‘present perfect simple’ conecta / une el pasado y el presente de una manera parecida al pretérito perfecto en español. Si decimos que algo ha ocurrido ('has happened'), pensamos del pasado y del presente a la vez como si hiciesemos un puente del pasado al presente. Ejemplo: - I can’t do my homework because I’ve lost my book. - No puedo hacer mis deberes porque he perdido mi libro. 91 Así que muchas veces podemos cambiar una frase del ‘present perfect simple’ al ‘present simple’ y queda con un significado parecido. I’ve lost my book I don’t have it now Have you seen the new Leonardo Di Caprio film Your sister has left the door open Hasn’t Danny got married yet? I’ve finally found a job Do you know it . The door is open now Is he still single? I have a job now Usamos el present perfect simple para acciones en el pasado que tienen un significado o relevancia en la actualidad. I’ve passed my driving test! / He aprobado el exámen de conducir Have you seen the gorgeous new secretary? / ¿Has visto a la atractiva nueva secretaria? A terrorist has bombed a bus (acción en el pasado que tiene un significado ahora) Adolf Hitler bombed London (no tiene relevancia ahora) EL PRETÉRITO PERFECTO PROGRESIVO (Present Perfect Continuous) Tiene la siguiente construcción: sujeto + pretérito perfecto de 'to be' + gerundio I have been playing / He estado jugando He has been playing / Él ha estado jugando En la forma negativa se coloca 'not' después del auxiliar: I have not been playing / No he estado jugando La forma interrogativa, se construye invirtiendo la posición del sujeto y el auxiliar: Have I been playing? / ¿He estado jugando? La forma interrogativa-negativa sigue la misma construcción que en el pretérito perfecto 92 Haven't I been playing? / ¿No he estado jugando? USO DEL PRETÉRITO PERFECTO PROGRESIVO Se usa cuando se quiere expresar el sentido de la continuidad de una acción que ha comenzado en el pasado, que dura todavía en el presente y que incluso puede continuar en el futuro. I have been studying English for two years / Estudio inglés desde hace dos años (y continúo estudiándolo en la actualidad) TIME EXPRESSIONS (Las expresiones de tiempo) El ‘present perfect’ es usado frecuentemente con las siguientes expresiones de tiempo: Ever and never Have you ever been to Scotland? / ¿Has estado alguna vez en Escocia? I’ve never eaten paella. / Nunca he comido paella. Just I’ve just made tea, would you like a cup? / Acabo de hacer té. ¿Quieres una taza? Ana and Jesús have just had a baby / Ana y Jesús acaban de tener un niño. Recently and lately I’ve recently passed the F.C.E. exam and I’m studying for the C.A.E. Acabo de aprobar el exámen de FCE y estoy estudiando para el CAE. Have you seen John lately? / ¿Has visto a John ultimamente? So far I’ve had three beers so far this evening and it’s only eight o’clock! He tomado hasta ahora tres cervezas esta tarde y sólo son las ocho. Yet and already 'yet' - normalmente se utiliza en frases interrogativas y va al final de la oración . Se usa cuando esperamos que algo va a pasar en el futuro, no en el pasado ni en el presente. 93 Have you done your homework yet? / ¿Has terminado ya los deberes? I don’t think Manoli has done the shopping yet. / Creo que Manoli todavía no ha hecho la compra. 'already' - se usa en frases afirmativas e interrogativas y normalmente va detrás de los verbos auxiliares o modales y delante de los demás verbos. Con 'already' decimos que algo está en el presente o el pasado, no en el futuro. Yes, I’ve already finished my homework / Sí, ya he terminado mis deberes En Inglés británico yet y already acompaña habitualmente a los tiempos perfectos. En Inglés Americano prefieren usar los tiempos pasados. Compara: Have you phoned your mother yet? (UK) I’ve already phoned her (UK) Did you phone your mother yet? (USA) I already phoned her (USA) Since and for 'For' - (how long something has lasted) Se usa para decir cuánto tiempo ha durado una acción. En español suele decirse ‘desde hace’. We’ve had this computer for about six months. / Tenemos esta computadora desde hace unos seis meses. 'Since' - (when something started) Se usa como una referencia a un punto de tiempo cuando algo empezó. En español suele decirse ‘desde’ o ‘desde que’. We’ve had this car since January / Tenemos este coche desde enero. Comparar: I’ve known Eric since 1989. I’ve known Eric for 15 years (si estamos en 2004) 94 ESPAÑOL SUPERIOR RAZONAMIENTO VERBAL Y ESPAÑOL CONTESTA A LOS SIGUIENTES REQUERIMIENTOS: 01.- En cuál de las siguientes palabras se ha omitido la letra H : a) ahogar b) adesión c)toalla d) coetáneo e) alharaca 02.- Teniendo en cuenta la letra h en posición intervocálica, qué palabra está mal escrita: a) mohíno b) vahído c) coesión d) coartada e)cohecho COLOCA LA TILDE DONDE CORRESPONDA LUEGO CONTESTA: “ Mi padre no pudo encontrar nunca donde fijar su residencia. Temia los valles calidos y solo pasaba por ellos, como viajero. Aún cuando se nos de solo estas, veamos cual es la mejor propuesta : ¡Cuan llena de ignorancia es la niñez ! ¡cuan arrebatada la juventud y cuan pesada la vejez !. ¿Por que dijo Fray Luis de Granada ? Porque queria saber el porque de la condicion humana. 03.- ¿Cuántas tildes has colocado ? a) 11 b) 13 c) 15 d) 14 95 e) 16 04.- Entre las tildes que has escrito sólo son enfáticas : a)5 b)7 c) 4 d) 3 e) 8 05.- Las tildes diacríticas sólo son : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 LA PALABRA MAL ESCRITA ESTÁ EN: 06.a)caber b) quepo c) cabía d) cupe e) caberá 07.a) saber b) se c) sabía d) supe e) sabré 08.a)bursátil 96 b)desvencijar c) desbaratar d) disturbio e)suburbio 09.a)precaber b) avaricia c) estival d) probidad e) inejecutabilidad Comprensión de lectura “Hoy es noche clara en el universo de mis recuerdos. La nostalgia cual luna se ha propuesto reflectar el fulgor espiritual. El viento de mis pesares silba sin cesar trayendo a mi memoria el huracán de mis frustraciones. Ante mis ojos, huidizo, pasa Cronos y al tratar de llamarlo un galáxico nudo me impide pronunciar sonido alguno. En el silencio de la claridad la atmósfera de las pasiones envuelve a un pequeño corazón que es un sol irradiando amor. Allá a lo lejos, demasiado para poder alcanzarlo otro astro destella su interminable saludo; más allá otros más, mentalmente les envío mis mensajes ; pero abusando la mirada me percato que también son corazones esparcidos en la distancia del universo que simboliza la fría grandeza de la soledad que es precisamente el universo espiritual de ésta que es mi noche." 01.- Señale lo más compatible en torno al autor : a) Está ubicado en el centro de sus recuerdos. b) Se contradice permanentemente. c) Se encuentra recordando el huracán de sus pasiones. d) Le gusta simbolizar las cosas que ha experimentado. e) Ha sufrido demasiados desengaños. 02.- El título más adecuado sería : a) Las pasiones de la soledad. 97 b) El universo de la soledad. c) El huracán de los recuerdos. d) La soledad y los recuerdos. e) La soledad y la nostalgia. 03.- Indique lo correcto : a) La luna suele reflectar en la soledad del autor. b) el pequeño sol irradia gran pasión en la silenciosa claridad. c) Los galáxicos ojos del autor observaron a Cronos. d) El autor se siente imposibilitado de poder comunicarse con los demás. e) El astro rey saluda interminablemente a los demás. 04.- Según su opinión, el autor : a) Es producto de sus recuerdos. b) Tiene un corazón aprisionado. c) Describe con ambigüedad el universo. d) No es comprendido por Cronos. e) Se encuentra en la soledad. 05.- Sobre los pesares del autor se podría decir que son : a) Como soles distribuidos en el universo. b) Producto de su propia nostalgia. c) Provocados por sus recuerdos. d) Productos de sus frustraciones. e) Impulsados por el viento. 06.- ¿Cuál es el tema central del texto ? a) Nostalgia. b) La noche. c) Las frustraciones d) La soledad e) El simbolismo. 98 ORDENA LAS ORACIONES, SEGÚN UN CRITERIO CRONOLÓGICO, CONTEXTUAL, LÓGICO O SECUENCIAL. PIENSA UN POCO Y TENDRÁS LA RESPUESTA CORRECTA... I. NICOLÁS GOGOL, EL HOMBRE Y SU OBRA 1. Entre los años 1832 y 1836 la producción literaria de Gogol alcanza su máxima intensidad creadora y una excepcional variedad. 2. Dentro de la literatura rusa Gogol ha sido considerado como representante de la escuela naturalista. 3. Este digno representante de la narrativa rusa nació en 1809, en la ciudad de Sorochincy. Estudia en Niezen y se instala en Petrogrado. 4. En los años mencionados comienza a escribir “Almas Muertas” y “El Inspector”. 5. En 1848 viaja a Palestina de donde regresa con una profunda depresión que lo lleva a destruir todos sus escritos. Muy pronto fallece en Moscú, en 1852. a) 1 - 2 - 4 - 5 - 3 b) 3 - 2 - 1 - 4 - 5 c) 2 - 3 - 1 - 4 - 5 d) 3 - 1 - 2 - 5 - 4 e) 1 - 2 - 3 - 4 - 5 II. YAWAR FIESTA 1. En las primeras páginas el autor describe la historia del despojo de las tierras de los indios. 2. La novela comienza describiendo la configuración geográfica y social de Puquio. 3. El segundo libro de Arguedas, publicado en 1940, ha sido y es sin duda, el más leído y el más discutido. 4. Allí conviven separados sin embargo, hasta en la ubicación de sus viviendas, cuatro fuerzas : el indio de los ayllus ; el terrateniente ; el mestizo (el chalo), que ora trabaja de sirviente, ora de comerciante, ora marcha a la capital a estudiar, y que oscila entre el terrateniente y la comunidad ; y la autoridad, en particular el subprefecto. 5. El tema es simple : la historia de un pueblo grande, de una capital de provincia, tejida en torno a una corrida de toros india. 99 a) 3 - 4 - 5 - 1 - 2 b) 2 - 4 - 1 - 3 - 5 c) 1 - 3 - 5 - 2 - 4 d) 3 - 4 - 2 - 1 - 5 e) 3 - 5 - 2 - 4 - 1 III. HALLAZGO INSÓLITO 1. El original debió ser muy anterior. 2. En 1952, el escritor boliviano Jesús Lara encontró una copia manuscrita de un drama, cuyo tema era la conquista, fechado en Chayanta en 1871. 3. Esta fecha podría remontarse hasta fines del siglo XVII. 4. La obra se conoce con el título : La tragedia del fin de Atahualpa. 5. Termina cuando Pizarro ofrece la cabeza del Inca al Rey. a) 2 - 1 - 3 - 4 - 5 b) 2 - 3 - 1 - 4 - 5 c) 1 - 2 - 4 - 3 - 5 d) 3 - 1 - 4 - 3 - 5 e) 4 - 2 - 1 - 3 - 5 IV. UNA SALVACIÓN 1. Qué mudanza presenciaban mis ojos. 2. Fui herido en octubre de 1916. 3. Habían transcurrido dos años desde que vi por última vez a mi patria, tiempo casi indeterminable en semejantes circunstancias. 4. Con gran regocijo abandoné el frente, regresando a Alemania en un tren ambulancia. 5. Internáronme en un hospital próximo a Berlín. a) 4 - 2 - 3 - 1 - 5 b) 1 - 3 - 4 - 5 - 2 c) 4 - 2 - 5 - 3 - 1 d) 2 - 4 - 3 - 1 - 5 100 e) 2 - 4 - 3 - 5 - 1 V. EL POETA CANTA A LA NATURALEZA 1. Cada grano, sólo, inerme con su diminuta fuerza, no puede con el mar. 2. Mas las arenas se juntan, se solidarizan, se alían, se hacen colinas, cerros enhiestos y compactos para enfrentarse a la braveza de las olas. 3. En mar avienta las arenas de su seno. 4. El poderoso mar revienta, salpica, espuma, golpea, ruge. 5. Se encrespa inútilmente sabiéndose vencido. a) 5 - 3 - 1 - 4 - 2 b) 3 - 1 - 2 - 4 - 5 c) 2 - 4 - 3 - 1 - 5 d) 1 - 3 - 4 - 2 - 5 e) 3 - 2 - 1 - 5 - 4 TIENES QUE QUITAR LA ORACIÓN QUE NO SE VINCULA CON LAS DEMÁS, YA SEA POR EL CONTEXTO O POR CAER EN REDUNDANCIA. ÁNIMOS ES SÚPER FÁCIL. I. A TRAVÉS DE LA VIDA 1. En el ocaso de la vida. 2. Todos los actos, grandes o pequeños. 3. El cúmulo de las pequeñas o grandes cosas. 4. Que han marcado nuestro paso por la tierra. 5. Emergen con renovada vigencia en nuestra mente a) 1 .................b) 3 .................c)5 ....................d) 2 ................e)4 II. MACCHU PICCHU 1. Las Ruinas de Macchu Picchu son la más grande muestra del ingenio de los constructores Incas. 2. La ciudad del Cuzco está construida sobre las ruinas de los templos incaicos. 101 3. Esta cuidadela ubicada en la cima del monte del mismo nombre se salvó de la destrucción debido a su difícil acceso. 4. Fue descubierta recién en las primeras décadas de nuestro siglo por un arqueólogo inglés. 5. Actualmente es el punto d peregrinación para todos los que intentan descubrir nuestras raíces americanas. a) 1 .................b) 3.................... c)5 ..................d) 2 .............e)4 III. UNA QUINTA 1. Junto a la fábrica se hallaba la quinta. 2. En ella un corral y un inmenso granero. 3. En el centro del jardín había un estanque. 4. Atravesaba la charca un ridículo puente de metal. 5. No lejos un cobertizo servía de resguardo a la leña. 6. Cruzó el salón apenas iluminado. a) 1 ............b) 3 .............c)6 ..............d) 2 .............e)4 IV. BONDADES DE LA ELECTRICIDAD 1. Mi difunto amigo Alex Ivanovich, por ejemplo, era partidario acérrimo del motor de combustión interno y luchó con uñas y dientes contra la instalación del sistema eléctrico. 2. Durante la reconstrucción de Moscú tuve el honor de instalar las primeras líneas electrificadas de la Unión Soviética. 3. Gracias a los trolebuses, las distancia entre las ciudades europeas se han acortado. 4. Muchos se oponían a semejante medio de transporte. 5. Tuve que hacer grandes esfuerzos para convencer a la gente que los trolebuses eran una buena idea. a) 1 ............b) 3 ............c)5 ...........d) 2.............. e)4 V. NÓMADAS Y SEDENTARIOS 1. Los hombres errantes o en sus tiendas y míseros aduares obedecían únicamente al 102 jefe aceptado por ellos o designado más tarde, por la herencia, en una familia. 2. Pero esta tribu no tenía formada su conciencia colectiva ; no tenía la verdadera libertad histórica. 3. la tribu primitiva era libre políticamente hablando. 4. Pasarán los tiempos ; se realizarán muchas invasiones y muchas conquistas; aparecerá por fin la vida sedentaria. 5. Las tribus primitivas cultivan grandes áreas para su alimentación cuando se convierten en sedentarios. a) 1........... b) 3........... c)5 .............d) 2 .............e)4 VI. LA VISTA Y LA VISIÓN 1. La vista y la visión viene a ser lo mismo, pues, ambas están relacionadas con los sentidos. 2. Demócrito tiene razón cuando dice que la vista es agua, pero se equivoca cuando afirma que la visión no es más que imagen del objeto. 3. Pero la teoría general de las imágenes y dela reflexión, al parecer no se conocía bastante en tiempo de Demócrito. 4. La imagen se produce porque el ojo es liso, pero la vista no consiste en esta propiedad del ojo, como sólo existe en el ser que ve ; y el fenómeno designado por Demócrito sólo es un efecto de la reflexión. 5. Es extraño también que este filósofo no haya ido más allá en este punto, y que no se haya preguntado en qué consiste que el ojo es el único que ve, mientras que ninguno de los otros cuerpos, en los cuales se forman igualmente imágenes, no pueden ver. a) 1 .........b) 3........ c)5 .........d) 2 ...........e)4 VII. LA GENERACIÓN DE VALLEJO 1. La actual generación de América es tan retórica y falta de honestidad espiritual, como las anteriores generaciones de las que ella reniega. 2. Presiento desde hoy un balance desastroso de mi generación, de aquí a unos quince o veinte años. 3. La actual generación de América no anda menos extraviada que las anteriores. 4. Levanto mi voz y acuso a mi generación de impotente para crear o realizar un espíritu 103 propio, hecho de verdad, de vida, en fin, de sana y auténtica inspiración humana. 5. Se ha explotado las riquezas orientales sin medida ni moral alguna. a) 1 .........b) 3........ c)5 .........d) 2 ..........e)4 VIII. UN ENFERMO EMPECINADO 1. Ud. no quiere sanarse don Luis. 2. Un enfermo apretaba los labios. 3. La negativa del enfermo hizo que la mujer pensara que no podía recuperarse. 4. El coronel escuchó la ira tremenda del abuelo : Tómatela, carajo. 5. Y mataron al mejor de los gallos, y doña Delfina recogió la sangre del animal en un vasito : Tómeselo sin dejar una gota. a) 1 ...........b) 3 ...........c)5 ..........d) 2........ e)4 Las oraciones siguientes utilizan verbos que significan aproximadamente DOMINAR. Elija el más apropiado entre los que figuran a continuación. Dominar, imperar, subyugar, sojuzgar, reducir, oprimir, ahogar, contener. 1. - En aquella casa..................... el gusto por la literatura italiana y todos leían” La Divina Comedia” de Dante Alighieri. 2. - El régimen consiguió ...............durante decenios toda tentativa de renovación cultural. 3. - De ninguna forma estoy dispuesto a dejarme ............... por semejantes energúmenos. 4. - Se quedó .......................por la intensidad de aquella negra mirada. 5. - El pueblo no se dejará .................... por aquel aprendiz de tirano. 104 LAS PALABRAS ESTÁN EN DESORDEN. ORDÉNALAS Y LUEGO CONTESTA. DEBE TENER ORDEN LÓGICO Y GRAMATICAL. CON UN POCO DE CALMA LO LOGRARÁS... 1. Equidad del justo sostén sé porque el género es la .............................................. ¿Cuál es la primera y última palabra? a) la – género b) sé – equidad c) el – género d) sé – género e) el - equidad. 2. Los mejores nietos son padres los abuelos con ................................................ ¿Cuál es la palabra que antecede a padres? a) nietos b) con c) son d) abuelos e) mejores 3. No mismo en sí es tu amor si verdadero se agota ................................................ ¿Cuál es la palabra que antecede a mismo? a) amor b) sí c) agota d) verdadero e) no 4. Intelectual es la capacidad soslayada y femenina resistida aún ....................................................... ¿Cuál es la cuarta palabra de la oración? a) la b) soslayada c) resistida d) femenina e) capacidad 5. Lo justo es bueno ser fácil es difícil ................................. ¿Cuál es la cuarta y última ? a) bueno – justo b) bueno – difícil c) fácil – difícil d) justo – bueno e) fácil – justo. 6. De Manuel arte ha museo visitar de regreso el ........................................ ¿Cuál es la tercera y la antepenúltima? 105 a) Manuel - visitar b) ha - arte c) regresado – museo d)museo - visitar e) regresado – el 7. Organizado la es conocimiento ciencia el ..................................... ¿Cuál es la palabra que sucede a “conocimiento”? a) es b) organizado c) ciencia d) el e) la 8. De buena principio el salud toda la es profilaxis metódica ............................................ ¿Cuál es la palabra que antecede a “metódica” y cuál la que sigue a “el”? a) salud – principio b) principio - salud c) salud – profilaxis d) profilaxis – principio e) principio – profilaxis. Opiniones...y debate Coloca tu opinión de la siguiente noticia. También puedes apoyar la idea de una compañera o contradecirla con argumentos lógicos... La explosión de Tikrit “tuvo lugar a las 08.10 hora local (05:10 GMT) cuando el coche bomba, conducido por el suicida, se acercó al autobús en el momento en que los policías que viajaban en el transporte se disponían a realizar un relevo en un puesto de control", dijo el general Husein Ahmed, de la comisaría de la provincia de Salah Edin, centro de Tikrit. Este atentado y el hallazgo de otra fosa común elevaron hoy, viernes, a más de 250 el número de víctimas mortales de la ola violencia que desde hace una semana azota Irak. La espiral se inició el viernes 28 de abril, un días después del juramento del gobierno electo, y desde entonces no ha dejado de enlutar este país en la peor escalada de ataques y matanzas desde las elecciones legislativas del pasado 30 de enero. (Cadena Ser. 5 de mayo de 2005) Comprensión de Lectura INDÍCANOS CUÁLES SON LAS ALTERNATIVAS QUE ESCOGES. NO OLVIDES CONCENTRARTE. TÚ PUEDES, ÉXITOS... 106 "En una escena rupestre cotidiana entre los años 15 000 a 10 000 a.C., se detalla un bisonte que agoniza, indefenso al ataque de los cazadores. Sus patas han dejado de responderle y yace con la cabeza agachada, en un último esfuerzo para protegerse de las jabalinas que se lanzan los hombres. Esta pintura primitiva, de las muchas que hay en las profundidades de la Cueva de Altamira (España), fue realizada durante un ritual mágico por las tribus nómades de aquella época, con el fin de vencer al espíritu del bisonte antes de salir a cazarlo. Pero además de su valor antropológico resulta interesante porque en ella se entremezclan dos características del ser humano que fueron divorciándose en el curso de la historia: la observación cuidadosa de la realidad (lo que hizo posible representar dicha escena) y el temor a la naturaleza o a lo desconocido (de donde surgieron las creencias en espíritu que animaban el ser). De la primera de estas características nace la ciencia; la segunda se traduce en mitos, religiones y rituales para controlar las “fuerzas ocultas” en las tinieblas de la ignorancia." 1. El texto trata fundamentalmente de explicar: A) La descripción de una escena rupestre. B) Los orígenes de la ciencia y el mito. C) El ritual mágico de las tribus nómadas. D) El valor antropológico de Altamira. E) La observación de la realidad. 2. Del texto se deduce que en la época primitiva, la caza del bisonte fue: A) Indiscriminada B) Prohibida C) Esporádica. D) Gregaria. E) Individual. 3. Según el texto, el temor a lo desconocido originó: A) La pintura. B) La antropología. C) La religión. D) El arte rupestre. E) La ciencia. 4. En el texto, el vocablo DIVORCIÁNDOSE tiene el significado de: A) División B) Convergencia C) Disolución D) Separación E) Complemento. 107 5. La creencia de que un bisonte es animado por un espíritu oculto es de naturaleza: A) Racional B) Peligrosa. C) Histórica. D) Observacional. E) Ritual Creando – Vocabulario En base a las siguientes palabra: boato, óbice, bisoño, conspicuo y zahora, realiza la actividad Nro 3. a) Haz una composición usando las palabras citadas. b) El tema es libre. c) Puede ser un poema, cuento corto, una historieta, una fábula, etc. d) Debes ponerle un título. Un poco de empeño y tendrás ÉXITO. LECTURA DE COMPRENSION Hoy es noche clara en el universo de mis recuerdos. La nostalgia cual luna se ha propuesto reflectar el fulgor espiritual. El viento de mis pesares silba sin cesar trayendo a mi memoria el huracán de mis frustraciones. Ante mis ojos, huidizo, pasa Cronos y la tratar de llamarlo un galáxico nudo me impide pronunciar sonido alguno. En el silencio de la claridad la atmósfera de las pasiones envuelve a un pequeño corazón que es un sol irradiando amor. Allá a lo lejos, demasiado para poder alcanzarlo otro astro destella su interminable saludo; más allá otros más, mentalmente les envío mis mensajes; pero abusando la mirada me percato que también son corazones esparcidos en la distancia del universo que simboliza la fría grandeza de la soledad que es precisamente el universo espiritual de ésta que es mi noche. 01. - Señale lo más compatible en torno al autor: a) Está ubicado en el centro de sus recuerdos. b) Se contradice permanentemente. c) Se encuentra recordando el huracán de sus pasiones. d) Le gusta simbolizar las cosas que ha experimentado. e) Ha sufrido demasiados desengaños. 108 02. - El título más adecuado sería: a) Las pasiones de la soledad. b) El universo de la soledad. c) El huracán de los recuerdos. d) La soledad y los recuerdos. e) La soledad y la nostalgia. 03. - Indique lo correcto: a) La luna suele reflectar en la soledad del autor. b) El pequeño sol irradia gran pasión en la silenciosa claridad. c) Los galáxicos ojos del autor observaron a Cronos. d) El autor se siente imposibilitado de poder comunicarse con los demás. e) El astro rey saluda interminablemente a los demás. 04. - Según su opinión, el autor: a) Es producto de sus recuerdos. b) Tiene un corazón aprisionado. c) Describe con ambigüedad el universo. d) No es comprendido por Cronos. e) Se encuentra en la soledad. 05. - Sobre los pesares del autor se podría decir que son: a) Como soles distribuidos en el universo. b) Producto de su propia nostalgia. c) Provocados por sus recuerdos. d) Productos de sus frustraciones. e) Impulsados por el viento. 109 GENEROS LITERARIOS Prosa, poesía y teatro son los tres grandes caminos formales que un autor puede elegir para escribir. Algunos autores han experimentado con todos ellos, otros se han dedicado a uno solo. En esta nota nos volcaremos sobre todo a la prosa, y les daremos herramientas para que puedan reconocer a los géneros literarios que pueden englobarse en dos grandes grupos: fantasía y realidad. Primero lo primero Cualquier obra, sea del género que sea, debe ser coherente consigo misma, o coherente en su incoherencia (como es el caso del absurdo). Nunca pensaremos que es estúpido que exista vida en Plutón, si el autor nos ha convencido de ello. Una de las mayores cualidades que se pueden tener a la hora de narrar es la verosimilitud, esto es, la capacidad que tiene un escritor de hacernos creer lo que sea. Para esto se vale de elementos de la cotidianeidad, y juega con sus posibilidades para crear una historia. La literatura realista Se reconoce porque toda la trama y sus personajes están dentro de las coordenadas de la realidad. Sus hechos son lógicos, generalmente cronológicos, se rigen por la causa y el efecto y sus personajes son asimilables a la vida de cualquier persona. Esto es así porque una de las características principales de los libros realistas es el trabajo puntilloso sobre la psicología de sus personajes y la descripción de su entorno. En un principio estas obras se volcaron a la narración de hazañas de los grandes hombres de la nobleza (el caso del Cantar del Mio Cid, en la Edad Media), pero poco a poco se llega a otra noción del hombre, presentándolo en una dimensión más humana, con sus conflictos internos y sus dudas. Hamlet, de Shakespeare es un ejemplo de esta transición. Ya más cercano a nuestro siglo, en la vorágine cultural europea, el realismo literario 110 sienta sus bases definitivas de la mano de Madame Bovary, personaje paradigmático del conflicto del hombre común. Fue Gustave Flaubert (1821-1880) el autor de esta magistral obra. El ruso Fedor Dostoievski (1821-1881), contemporáneo del anterior, también es uno de los más grandes autores de este género, siendo una de sus obras más importantes Crimen y Castigo. Dentro del realismo surgieron varias corrientes literarias específicas. Es el caso del existencialismo francés, cuyos mayores exponentes fueron Albert Camus (1913-1960) y Jean Paul Sartre (1905-1980). Las obras existencialistas parten de la negación de todo lo que esté más allá de la experiencia humana. También podemos mencionar el grotesco, que exacerba los conflictos del hombre, y la sátira, que constituye una crítica dirigida a los poderes y sistemas de la sociedad. Otra manifestación de la literatura realista es la narración policial, que tiene una estructura propia. Su precursor fue el norteamericano Edgar Allan Poe (1809-1849). Con su cuento Los asesinatos de la calle Morgue inspiró a figuras célebres como el argentino Jorge Luis Borges, e inauguró el género por el que entraría el detective Sherlock Homes, la pluma de Agatha Christie, y Gilbert K. Chesterton, cuyas obras contienen elementos que participan de lo fantástico. El género fantástico Surge del entrecruzamiento de lo cotidiano con lo extraño. Rompe con la causa-efecto del realismo, y lleva al lector a vacilar con respecto a la idea que tiene de la realidad. Lo extraño puede tomar diversas formas: puede introducirse imprevisiblemente en la realidad y hacerla tambalear; la realidad misma puede ser extraña, o en algún caso extremo, ésta es anterior o paralela a la que conocemos. La irrupción El personaje de las historias en las que lo extraño irrumpe, es por lo general un ser común y corriente, lúcido y escéptico, que poco a poco ve tambalearse el mundo a su 111 alrededor. Puede ser víctima de apariciones, de alucinaciones, de vampiros, o de cualquier tipo de acontecimiento sobrenatural . Aquí se inscribe el género terrorífico, muy explotado por Poe tanto en su prosa como en su poesía, poblada de espectros de mujeres amadas, de bestias presagiosas y de espíritus atormentados por la cercanía de la muerte. Así como Poe fue el precursor de la literatura policial, lo fue también de la terrorífica. No existe autor de este género que no lo haya tomado como punto de partida. Es el caso del norteamericano H. P. Lovecraft (1890-1937), quien inventó lo que la crítica llamó horror cósmico. Allí el miedo se encarna, no ya en espíritus o seres terrenales, sino en entidades venidas del espacio. Varios autores se le unieron, creando los famosos Mitos de Cthulhu. Como Poe, Lovecraft no fue reconocido en vida. Este tipo de historias encuentran su mejor expresión en las narraciones cortas (cuento y novela corta), ya que logran un efecto más inmediato y puntual. También es habitual que sean escritas en primera persona, lo que las dota de gran fuerza, pues es la víctima quien nos habla y nos cuenta, desesperada, su relato. Otra rama de lo terrorífico dentro de los géneros literarios, que ha llegado a convertirse en un género en sí mismo, es el vampirismo. El trasfondo de estas narraciones es la lucha interminable entre el bien y el mal, pero con un ingrediente más: el deseo y la tentación del bien por ser parte de ese mal. Porque los vampiros encarnan la utopía de la inmortalidad, y si bien muchos de ellos odian ese maligno don, los mortales llegan a desearlo, abierta o secretamente. Las obras que inmortalizaron a los vampiros y que constituyeron el disparador de una enorme producción literaria y más tarde cinematográfica, fueron Drácula (1897) del Bram Stoker, y Carmilla (1872), de Joseph Sheridan Le Fanu. Los vampiros contemporáneos más famosos son los que han salido de la inteligente pluma de la norteamericana Anne Rice. Sus crónicas vampíricas, que incluyen Entrevista con el vampiro, Lestat el vampiro, La reina de los condenados y El ladrón de cuerpos, nos presentan a seres bellos, atormentados, solitarios, con una increíble capacidad de amar y odiar al mismo tiempo. La ciencia ficción Es el caso en que toda la realidad es extraña. Habitualmente estas historias tienen lugar 112 en el futuro, y nacieron por el auge de las tecnologías y la era espacial. Uno de sus mayores cultores es Ray Bradbury. En sus narraciones, los personajes han tenido que abandonar la Tierra por diversas razones, y deben buscar el modo de subsistir en otros planetas. En esta línea podemos mencionar sus obras Crónicas marcianas y Las doradas manzanas del sol. Más tarde este autor se volcaría al género policial (La muerte es un asunto solitario, etc.) Arthur C. Clarke se caracteriza por su combinación de imaginación con rigor científico. Es autor de 2001 Odisea en el espacio, que fue llevada al cine por Stanley Kubrick, y de El fin de la infancia, que lleva a un punto extremo e insospechado la vacilación propia de lo fantástico. Pero existen tres grandes obras paradigmáticas de este género, no sólo por el excelente uso de los recursos de la ciencia ficción, sino porque contienen un trasfondo político muy pesimista y palpable. Nos referimos a Farenheit 451, del mencionado Bradbury, a 1984 de George Orwell, y Un mundo feliz, de Aldous Huxley. En los tres libros el mundo se ha vuelto una suerte de prisión autoritaria, mecanizada, en la que no existe posibilidad de escape. El mundo paralelo El genial J.R.R. Tolkien (1892-1973) fue el creador de la mitología más compleja y completa del siglo XX, que llegó a su máxima expresión en El señor de los anillos, y su precursor, El Hobbit. La cabeza de Tolkien es increíble. Inventó un mundo completo, con su historia, su flora y su fauna, sus razas y sus lenguas. Tomó elementos de la mitología griega y romana, de los cuentos maravillosos y el folklore europeos, de lenguas antiguas y modernas, y lo conjugó todo creando el universo maravilloso que inspiraría posteriormente a las famosas sagas norteamericanas de Dungeons & Dragons y los juegos de rol. Al leer a Tolkien y a sus seguidores, no se experimenta vacilación alguna con respecto a la realidad de este mundo, sino que somos transportados a otro mundo, completamente diferente, con sus códigos y leyes propias, pero que siguen respondiendo a motivos 113 humanos como bien y mal, lucha y conformidad, poder y sumisión. La convivencia Nos referimos al realismo mágico cuyo mayor exponente es el colombiano Gabriel García Márquez con su célebre obra Cien años de soledad. Este autor abrió, para toda la tradición literaria, el camino para conocer el espíritu latinoamericano. Elementos aparentemente disímiles conviven felizmente en un universo en donde todo es posible. Nociones tan convencionales como el tiempo, la familia, las costumbres, la muerte, se invierten y se enrarecen hasta el punto en que es natural que uno de los personajes vaya al encuentro de la muerte volando en una sábana. De algún modo, Márquez, con una sabia y peculiar mirada literaria, conjugó las costumbres y la magia de las creencias del trópico latinoamericano, ubicándolas como sustento de la realidad. Otros cultores de este género son Alejo Carpentier, Isabel Allende y Laura Esquivel. Un caso aparte: Julio Cortázar Este autor argentino supo aunar todos los elementos que hemos mencionado hasta ahora. Tanto es así, que resulta difícil encasillarlo en algún género específico. Sus obras circulan por el realismo, lo fantástico, lo mágico y lo terrorífico, pues para él todo esto convive con las acciones humanas. En su novela Rayuela le plantea un juego al lector, que puede elegir leerlo de diversas formas, enfrentándose a la realidad en forma dislocada y sin un orden establecido. Y para terminar con los géneros literarios: el absurdo Es la expresión extrema del divorcio entre causas y consecuencias. Las obras de este género siempre terminan mal, tienen un trasfondo trágico que perseguirá incansablemente a sus personajes. Las intenciones de mejorar, de relacionarse afectivamente o de cambiar de alguna forma lo adverso, se ven truncadas por el hecho poderoso y fatal de la maldad y la incomprensión del otro, que se ve como característica 114 fundamental de los seres humanos. Como ejemplos de esta tendencia, en la que las obras de teatro ofrecen la mejor vía de expresión, podemos citar: Esperando a Godot de Samuel Beckett, La cantante calva de Eugene Ionesco, Enrique VIII de Luigi Pirandello, y también la obra de Albert Camus El malentendido. Los Géneros Literarios Los géneros literarios son los distintos grupos o categorías en que podemos clasificar las obras literarias atendiendo a su contenido. La retórica clásica los ha clasificados en tres grupos importantes: Lírico, Épico y Dramático GENERO LIRICO: Expresa sentimientos y pensamientos, en este predomina la subjetividad del escritor. Suele escribirse en versos pero también existen en prosa. GENERO EPICO: Relata sucesos reales o imaginarios que le han ocurrido al poeta o a otra persona. Es de carácter sumamente objetivo. Su forma de expresión fue siempre el verso. GENERO DRAMATICO: Es el tipo de genero que se usa en el teatro, en el que por medio del dialogo y algunos personajes, el autor plantea conflictos diversos. Puede estar escrito en verso o en prosa. Su finalidad esencial es la representación ante el publico. Subgéneros Literarios La gran mayoría de las obras responden a uno de estos tres grandes géneros, pero hay que tomar en cuenta que las obras literarias se realizan en diferentes épocas y, a veces, no se circunscriben a uno de estos tres grandes géneros. Por ello, existen el genero teórico, que no es mas que un subgénero literario. Subgéneros Líricos Oda: Composición lírica en verso, de cierta extensión y de tema noble y elevado. Elegia: Composición lírica. Égloga: Composición poética del genero bucólico. Sátira: Composición lírica en verso o en prosa, que censura vicios individuales o 115 colectivos. La canción: poema en verso de tema amoroso, pero puede exaltar otras cosas. Subgéneros Épicos En este género podremos encontrar subgéneros en verso y en prosa. en verso tenemos: La epopeya: Narra una acción memorable y de gran importancia para la humanidad o para un pueblo. Poema épico: Relata hazañas heroicas con el propósito de glorificar a la patria. El romance: Tanda de versos octosílabos con rima asonante en los pares, que describe acciones guerreras y caballerescas. Entre los subgéneros narrativos en prosa encontramos: El cuento: Popular y anónimo, o literario. Es un relato breve de una pericia inventada, sucedida a uno o a varios personajes, con argumento muy sencillo; a veces con una finalidad moral y se llama apólogo. La novela: Es un relato largo, aunque de extensión variable, con un argumento mucho mas d desarrollado que el del cuento. Y, a diferencia de lo que sucede con el cuento, al lector le importa no solo lo que ocurre a los personajes, sino también lo que piensan y sienten, como evolucionan espiritualmente y como influye en ellos la sociedad donde viven. Subgéneros Dramáticos: La tragedia: Es la representación de terribles conflictos entre personajes superiores y muy vehementes, los cuales son víctimas de grandes pasiones que no pueden dominar; suele acabar con la muerte del protagonista. La comedia: Es la representación, a través de un conflicto, del aspecto alegre y divertido de la vida humana, y cuyo desenlace tiene que ser feliz. El drama: Es la representación de problemas graves, con intervención, a veces, de elementos cómicos, y su final suele ser sombrío. Opera: Composición dramática, en la que los personajes cantan íntegramente sus papeles, en lugar de recitarlos. Es el poema dramático compuesto por música. Zarzuela: Obra literario-musical, genuinamente española, en la que se combinan 116 escenas habladas y cantadas. Suele reflejar vivos cuadros de costumbres, preocupaciones populares, sátiras políticas. Existen otros géneros literarios como lo son la oratoria y la didáctica. La oratoria pretende disuadir a un auditorio la didáctica tiene la finalidad de enseñar. Algunos subgéneros didácticos son: La fábula: Relato en prosa o en verso de una anécdota de la cual puede extraerse una consecuencia moral o moraleja; sus personajes suelen ser animales. La epístola: también posible en verso o en prosa, expone algún problema de carácter general, desde un punto de vista censorio o de sátira. El ensayo: Es el subgénero didáctico mas importante en la actualidad; escrito siempre en prosa, consiste en la exposición aguda y original de un tema científico, filosófico, artístico, político, literario, religioso, etc.. con carácter general, es decir, sin que el lector precise conocimientos especiales para comprenderlo. La critica: Somete a juicio de valor, razonado, las obras o las acciones realizadas por otras personas; si se juzgan obras o actos propios, el escrito se denomina autocrítica. ETIMOLOGIAS término abscisa etimología lat. abscisa ('cortada') gr. ákros acronimia ('extremo'); gr. ónoma ('nombre') acuífero /a acusmáticos acutángulo latín, aqua ('agua'), lat. fero ('llevar') gr. akoúsmatos ('lo que se oye') latín, acutum ('agudo'), lat. sentido otros ejemplos 'cortada, truncada en un absolver, absorber punto' 'nombre formado por extremos' 'que lleva agua' acróstico, homonimia acueducto, somnífero 'que oyen sin ver, que oyen en acusma, acústica, acúsmato silencio' 'ángulo agudo' 117 acupuntura, rectángulo angulum adiabático adyacente aerobios aerodinámica agnóstico /a albinismo alcalino álgido alveolar amorfo /a gr. a- dia- baíno 'que no absorbe ('que no atraviesa ni transmite calor') calor' lat. ad iacere ('tender, echar') hipérbaton, acróbata, apobático 'que yace, que está puesto junto subyacente, adjuntar a' gr. aéro ('aire'); gr. 'vida con aire, bíos ('vida') con oxígeno' gr. aéro ('aire'); gr. 'relativa a la anaerobio, biogenética, dina ('fuerza') fuerza del aire' biosfera gr. a ('privación'); 'que no conoce, gr. gnostikós incapaz de ('conocer') conocer' árabe album 'de color blanco, ('blanco'), -inum-, sin ismum pigmentación' árabe al qali ('la sosa') lat. algidum ('helado, muy frío') lat. alveolum ('pequeña cavidad') griego, á- ('sin'), gr. morphé ('forma) aerofagia, aerobio, aerolito ácrata, gnosticismo, incógnito albino, albina, alba, alborada 'hidróxido metálico muy alcaloide, alcalímetro soluble en agua' 'lo más frío', luego, 'lo más algidez alto' 'cavidad posterior de los alveolos dientes' 'sin forma' ateo, apático, anisosilábico gr. anà ('de nuevo'); 'disolución, análisis gr. lysis separación de ('disolución') nuevo' 118 anáfora, biolisis gr. anà ('de nuevo'); anámnesis gr. mnêsis ('recuerdo') gr. anà ('arriba'); anaparástasis vez, de nuevo' 'reconstrucción, gr. aná ('de nuevo'); gr. tomé ('corte') que fue' 'cortado de nuevo, dividido soplo'), lat. la flor con el anemonem viento' gr. anà eurýno aneurisma ('ensanchamiento de nuevo') anfibio ingl. England anglicismo ('Inglaterra'); -ismo ('tendencia') anquilosamiento antema antemídeas antobios ruptura' aneurismectomía ambos medios' galicismo, lusismo, Inglaterra' nihilismo ('encorvado'); ósis encorvada, ('formación') encorvamiento' gr. anthemís ('manzanilla') anfibología, anfiteatro 'perteneciente a 'formación ('florecer') animismo anadiplosis, gr. agkýlos gr. anthéo anemófila, anemómetro, 'dilatación con gr. amphí ('ambos'); 'ambas vidas, en gr. bio- ('vida') anatomía, tomo otra vez' gr. ánemos ('viento, 'planta que abre anémona anáfora, amnesia, analogía pará (según), stásis estado, según lo éstasis, isostasia, anástasis (posición) anatómico /a 'recuerdo otra anquilosarse, anquilosis 'tipo de adorno inspirado en antesis, hipantea, antílope flores' 'plantas compuestas de antemis, antemina manzanilla' gr. ánthos ('flor'), 'vida en flor, antobranquio, antozoo, bíos ('vida') insectos que antología 119 fecundan flores' gr. ánthropos antrópico ('hombre'); -ico ('relación') gr. ánthropos antropomorfo ('hombre'); gr. morphé ('forma') lat. apendicem apendicectomía ('accesorio'), gr. ektomé ('corte') apical cima') lat. cultura ('cuidado') gr. apó ('lejos, muy apogeo el hombre' 'con forma de hombre' por encima'); gr. gêo ('tierra') antropolito, filantropía antropoide, antropología 'extirpación, corte del ectomía, dicotomía, apéndice, tricotomía accesorio' lat. apicem ('punta, 'con la punta de lat. apis ('abeja'); apicultura 'en relación con la lengua' 'cuidado de las abejas' 'lejos de la tierra, en lo más alto' apical, ápice viticultura, puericultura apocárpico, apoteosis gr. apó ('hacia'); gr. 'discurso en apología lógos ('palabra, favor de alguien, apologética, apólogo discurso') alabanza' gr. a póros, aporía 'imposibilidad de aporía ('sin paso, estorbo, pasar al peligro') razonamiento' gr. apó ('que viene, apostosis lejos de'); gr. ptôsis (‘caída') arqueología aporema, diaporismo 'que viene de la apofonía, afelio, apocicia, caída de algo' apogeo gr. arché 'estudio del ('principio'); gr. origen, del lógia ('estudio') principio' 120 autarquía, arquitectura atelectasia gr. a- ek- tasis, 'falta de éktasis ('sin dilatación para el extensión') aire' gr. autós ('uno autoayuda mismo'); lat. adiutare ('ayudar') gr. biblíon ('libro'); biblioteca gr. théke ('caja, armario') bilabial bioética biotopo bolus botafuego libros' ludoteca labios' polinomio, trinomio, dos particiones' monomio 'vida con muchas diversum ('varias especies direcciones') variadas' éthos ('costumbre') gr. bio ('vida'); gr. tópos('lugar') gr. bólos ('golpe'), lat. bolus ('lance') 'costumbres, comportamientos en la vida' 'lugar de vida' 'inyección breve y rápida en la vena' lat. botare focum 'instrumento para ('lanzar fuego') lanzar fuego' gr. káryon cariotipo ('núcleo'); gr. týpos 'tipo de núcleo' ('tipo') catálisis gr. katá ('hacia bipartición, labiodental 'dos términos, gr. bio ('vida'); lat. gr. bio ('vida'); gr. heteroayuda fonoteca, mediateca, ('labio') nomós ('partición, cardiectasia 'caja, lugar de 'con los dos distribución') biodiversidad mismo' lat. bi labium gr. bis ('dos'); gr. binomio 'ayuda a uno ataxia, gastrectasia, biotecnología, simbiosis biodegradable, etología, ética biotipo, biogénesis, biografía isobólico, diablo, pirobolista botafumeiro, botadura cariosoma, carion, cariotina 'disolución hacia catáfora, catabolismo 121 abajo'); gr. lysis abajo, ('disolución') acabamiento' gr. képhalé cefalalgia ('cabeza'); gr. -álgos 'dolor de cabeza' cefalitis, neuralgia ('dolor') celiaco /a gr. koilía ('cavidad del vientre') lat. centrum centrípeta cibernética gr. kybernáo 'ciencia de los ('gobernar'); gr. - procesos de tica ('ciencia') control' ('gobernar'); lat. cinética citología 'lugar donde se guardan películas' 'ciencia que ('movimiento'); -tica estudia el ('ciencia de') movimiento' gr. kýtos ('célula'); 'estudio de la gr. lógia ('estudio') célula' gr. klépto ('robo'); cleptomanía basurero gametos' gr. kinesis gr. -manía ('afición, obsesión) ciberespacio, robótica cibernética' atadura') armario') centrífuga, inapetencia telebasura, gobierno, 'unión de dos théke ('caja, discelia 'la basura de la gr. zygós ('yugo, ('movimiento'); celiaca, celiomialgia, 'que tiende, que centro' gr. kinesis cineteca del vientre' ('tender a') *versura ('barrer') cigoto vientre, enfermo ('centro'); lat. petere se dirige al gr. kybernáo ciberbasura 'relativo al 'obsesión, locura por el robo' 122 gigosis, cigocito, zigófito hemeroteca, pinacoteca, ludoteca cinesis, cinemática, kinésica citosina, citoscopia, biocito pirómano, megalomanía lat. colossum, gr. coliseo, coliseum kolossiáios 'gran anfiteatro' colosal ('grandioso, colosal') lat. contingentia contingencia ('que puede suceder pueden suceder o o no') gr. chôros corografía 'las cosas que ('comarca, región'); graphé ('descripción') no' acontecimiento, contingente 'descripción del país, de la orografía, isocoro región' 'relativo a la craneal gr. kranía ('cabeza') cabeza, encéfalo, craneoscopia, craneología cráneo' lat. creationem creacionismo ('creación'), -ismo (tendencia) cromátida cromosoma deductivo gr. chrôma ('color'); gr. eîdos ('aspecto') con color' lat. de ductum 'que va de lo ('conducido general a lo desde...') particular' ('trabajo') lat. de praedari depredador dermoestética 'aspecto de color' gr. sôma ('cuerpo') ('pueblo'); gr. érgon marxismo, futurismo, la creación pura' seísmo gr. chrôma ('color'); 'cuerpo pequeño gr. dêmos demiurgo 'movimiento de cromatosis, ovoide, asteroide cromatina, somatoscopio inductivo, aducir, conducir 'que trabaja para demócrata, ergonomía, el pueblo' energía 'el que saquea ('tomar, saquear'); - con violencia, tor destroza' gr. dérma ('piel'); 'ciencia, gr. aisthetikós ('que tratamiento 123 depredar, depredación dermatitis, hipodérmico se percibe') sensible de la piel' lat. des ('separac.'); 'ácido helicoidal desoxirribonucleico gr. oxi ('oxíg.'); rhaibós (curvo) gr. diá ('entre, diacronía através de'); chrónos ('tiempo') gr. dyo ('dos'); gr. diglosia glossa ('lengua'), inferior en núcleo ribosa, oxidación perdido oxíg' 'a través del diámetro, asincronía, tiempo' crónica 'dos lenguas' desiguales isoglosa, dilogía, glosar gr. dýnamis dinámica ('fuerza'); -ica 'ciencia que ('relativa a, ciencia estudia la fuerza' dinamómetro, dina, dinamo de') gr. deinós ('terrible, dinosaurios fuerte'); gr. saûros ('lagarto') gr. dýs- ('mal'); gr. dislexia léxis ('elocución, habla') gr. dýs- ('mal'); disnea pnéo, pnoiá ('respirar, respiración') domótica dinoflagelados, espantoso' lepidosaurio 'mala pronunciación' disgrafia, disnea, dispepsia 'mala respiración, distrofia, apnea, neumático dificultosa' lat. domus ('casa'); 'ciencia, lat. -tica ('ciencia organización del robótica, urbótica de') domicilio' lat. dorsum ('dorso, dorsal 'lagarto fuerte, lomo, superficie, revés') 'relativo al revés, la parte de atrás' 124 predorsal, dorsopalatal ecocardiología ecodesarrollo ecología gr. echó ('eco, 'estudio del sonido'); kardía sonido del ('corazón'), logia corazón' gr. oîkos ('casa, 'desarrollo lugar habitado'); lat. adecuado al rotulus lugar habitado' gr. oîkos ('casa, 'palabra, estudio lugar habitado'); gr. del lugar lógos ('palabra') gr. oîkos ('casa'); gr. economía nomós ('administración') gr. oîkos ('casa, ecoturismo elipsis gr. élleipsis ('falta, omisión') gr. em - bolismós embolismo ('echar dentro, intercalación') gr. enképhalos encefalograma ('cerebro'); gr. grámma ('gráfico') endémico endoergónico endonimia gr. demos ('pueblo'); lat. en ecografía economato, antiecologistas ecosistema, economía habitado' 'administración ecografía, economato, de la casa' ecotopo 'excursión que lugar habitado'); fr. respeta el lugar tour ('viaje') ecocinesia, ecofonía, ecosistema, economía habitado' 'omisión de palabras no ecologismo, turismo necesarias' 'reducción (de embolia, embolismático, huesos luxados)' emblema descripción de la cabeza'' electroencéfalocardiograma 'en el pueblo, asentado en el endemismo, demiurgo territorio' gr. éndon ('dentro'); 'trabajo hacia hiperergia, hialurgia, gr. érgon ('trabajo') dentro' telérgica gr. éndon ('dentro'); 'nombre interior, gr. ónyma del país de 125 exonimia, hiperonimia ('nombre') origen' gr. éndon ('dentro'); 'observación endoscopia endotérmico entalpía entelequia gr. skopéo hacia dentro, en microscopio, endocrino ('observo') el interior' gr. éndon ('dentro'); 'que absorbe gr. thérme ('calor') gr. enthálpo ('caliento') gr. entelécheia ('actividad, energía') gr. en tómos ('en entomología fragmento, insecto'); -logia entropía eoceno lat. in, gr. tropé ('vuelta, giro') gr. eos ('aurora'); kainós ('reciente') gr. epí ('sobre'); gr. epifenómeno gr. epistéme ('conocimiento'); gr. lógia ('estudio') 'energía activa' 'estudio de los insectos' eritrodermia desorden, en 'período en el comienzo de era terciaria' tropo, isotropía, politropía holoceno, plioceno, mioceno 'que aparece fenómeno, epicentro influencia' 'estudio del conocimiento' condiciones de ('administración') trabajo' dérma ('piel') entomófilo, entomófago evolución' gr. nomós gr. erithrós ('rojo'); entelequia 'grado de gr. érgon ('trabajo'); 'estudio de las ergonomía termófilas, endogamia 'acción del calor' entalpía phainómenon ('que encima sin aparece') epistemología calor' 'piel enrojecida' 126 epistemático Georgia, energúmeno, ergómetro eritrofobia, eritrosis, eritremia gr. stéreos ('sólido'), estereoisómeros ísos (igual), méros (parte) gr. stóma ('boca'); estomacal stómachos ('orificio estómacal') gr. stómatos ('boca, estomatólogo orificio'); gr. lógos ('palabra') 'unidos en partes iguales' 'en relación con la boca' 'que estudia la boca' estereoisomería estomatoma, pistón estomatitis, estomatópodo gr. éthnos (pueblo); 'ciencia de los etnoagricultura etnobotánica lat. agrum cultivos en el ('campo'), cultura pueblo' gr. éthnos (pueblo); gr. botáne ('planta') 'ciencia de las plantas en el pueblo' gr. éthnos (pueblo); 'ciencia de la etnogeografía gr. geo, graphé tierra en relación ('descripción') al pueblo' gr. éthnos (pueblo); 'ciencia que cura etnoiatría etnolingüística gr. iatreía con usos del ('curación') pueblo' gr. éthnos (pueblo); lat. lingua ('lengua') gr. eu ('bien'); gr. eufemismo phéme ('hablar'); ismo exoergónico exotérmico /a gr. éxo ('fuera de'); 'ciencia de la lengua en el pueblo' 'tendencia a hablar bien' 'trabajo hacia gr. érgon ('trabajo') fuera' gr. éxo ('fuera de'); 'que axpulsa gr. thérme ('calor') calor' 127 etnohidrología, etnomúsica etnogeografía, etnogeología etnotecnología, etnoquímica etnotecnología, etnoquímica etnoterapia, pediatría, hidriatría Eulalia, eutanasia, eufonía hipoergia, ergógrafo, anergia exocarpo, exosfera fenomenología gr. phainómenon 'ciencia de los ('que aparece'); gr. fenómenos, de lógia las esencias' gr. phaíno fenotipo (aparcer'), týpos ('modelo, forma') gr. phýlos ('que filosofía ama'); gr. sophía ('sabiduría') fitoterapia fractales fricativa /o funcional aparece' 'amor a la sabiduría' gr. phytón ('planta, 'curación por las vegetal'); therapeía plantas' lat. fractus ('roto, 'creados con creado con fragmentos fragmentos). irregulares' lat. fricare ('rozar, 'que fricciona, restregar') que roza' lat. functionem 'relativo al papel, ('misión, función, la función ejercicio') realizada' gr. kháos ('abismo'); gaseoducto 'tipo, modelo que lat. chaos ('caos'), ductum 'conducción del gas' fenomenismo, fenotipo genotipo, fitotipia, teletipo sofista, Sofía fitónimo, fitofilia, fitófago fractal, fraccionario, fracción fricción, friccionar disfunción, funcionario oleoducto, acueducto gr. génesis génesis ('nacimiento, 'origen, principio creación, de las cosas' filogénesis, ontogénesis generación') gr. geneá, genetikós 'ciencia del genética genotipo ('origen, origen, de la generación'), -tica generación' gr. génos ('origen, 'modelo de generación'), týpos origen, prototipo' linotipia 128 biogenética, citogenética fenotipo, tipología, ('modelo') geocéntrico gr. ge-o- ('tierra'); 'relativo al lat. centrum centro de la ('centro'), -icum tierra' gr. ge-o- ('tierra'); geodinámica /o gr. dýnamis ('fuerza') gr. ge-o- ('tierra'); geopaleontología paleo- ('antiguo'), gerontogimnasia grafología hectómetro hepático tierra' geodesia estudio de los seres antiguos de gr. gérontos 'ejercicio ('anciano'), gymnós gimnástico de ('desnudo') los ancianos' gr. grápho 'estudio de la ('escribir'); gr. lógia escritura, de las ingl. n ('r') término geometría, geología, la tierra'' lat. i (''); gr. n ('r'); x antropocéntrico 'fuerza de la óntos ('ser') ('estudio, tratado') teocéntrico, geología, geofísica, geófago gimnástica, gerontocracia grafema, agrafia, bolígrafo grafías' 'r' etimología sentido gr. hekatón ('ciento'); gr. métron ('medida') gr. hépatos ('hígado') 'cien metros' 'relativo al hígado' gr. héteros ('otro, heterogéneo / a diferente'); gr. génos 'de diverso género' ('género') hexaedro hidrácido gr. hex ('seis'); gr. hédra ('base, apoyo, cara') gr. hydro ('agua'); lat. 129 'seis bases, caras' 'sal ácida de agua' otros ejemplos hectólitro, hectógramo hepatitis, hepatología heterosexual, heterótropo hexágono, icosaedro, diedro hidronimia, acidu ('agresivo') hidrófilo hidrófugo hidromiel hilemorfismo hipocorístico hipotérmico / a histeria holismo holoceno holografía homonimia iconoclasta idiopático hidroterapia gr. hydro ('agua'); gr. 'que ama, que busca hidronimia, philo ('que ama') el agua' filosofía gr. hydro ('agua'); lat. 'que rechaza, que hidromasaje, fugo ('que rehuye') repele el agua' centrífugar gr. hydro ('agua'); lat. 'miel fermentada en hidráulico, hidrato, melem ('miel') agua' gr. hyle ('materia'), gr. 'teoría de la síntesis hyle, hilomorfo, morphé ('forma') materia y forma' gr. hypó ('debajo'); gr. 'diminutivo al modo hipocondríaco, kóre ('niñeta') de los niños' gr. hypó ('debajo'); gr. thérme ('calor') 'calor por debajo, insuficiencia de calor' acción, 'reacción del gr. hystéra ('útero') útero' melíferas hilografía hipotermia hipótesis, hipotensión histérico, histerismo, histeralgia gr. hólos ('todo'); lat. - 'sistema de la holograma, ismo ('movimiento') totalidad, el todo' panteísmo gr. holos (todo), kainós 'período totalmente pleistoceno, ('reciente') reciente' plioceno, mioceno gr. holos (todo), graphé 'descripción del demografía, ('escritura, descripción') todo, de la totalidad' hológrafo, holismo gr. homós ('igual'); gr. ónyma ('nombre') sinonimia, 'nombre igual' antonimia, hiponimia gr. eikón ('imagen'); gr. 'el que destruye las iconografía, klastes ('que rompe') imágenes' icónico gr. ídios ('propio, 'que sufre una idiosincrasia, genético'); pathé enfermedad patogénesis 130 ignífugo ilativo inconmensurable inductivo ('sufrimiento') primitiva' lat. ignis ('fuego'); lat. 'que auyenta, que hidrófugo, fugare ('auyentar') rehuye el fuego' nidífugas lat. illativum, inferre 'que lleva de un sitio ('llevar, razonar, deducir') a otro, deductivo' lat. in cum mensura -ble 'lo que no se puede inapreciable, ('que no se puede medir') medir' inestimable 'que va de lo lat. in ductum particular a lo ('conducido hacia...') general' lat. in sculptura inscultura ('modelado, tallado encima') lat. inter legere ('leer inteligente internet isoglosa isohieta jurásico laser, láser productivo, inducido, dúctil 'arte de tallar sobre escultura, algo', en piedra... escultural, esculpir 'el que lee dentro de inteligible, dentro, entender, las cosas, distingue' intelectual discernir') interacción ilación lat. inter actionem 'acción recíproca interactivo, ('acción entre...') entre dos o más' intercontinental lat. inter ('entre'); ingl. net ('red') 'red internacional' intercontinental, intercom gr. ísos ('igual'); gr. 'igual forma de isocronía, isótopo, glossa ('lengua') hablar' glosar gr. ísos ('igual'); gr. hýein ('llover') línea de puntos con 'igual cantidad de lluvia' de Jura ('sierra entre 'perteneciente a la Francia y Suiza') región de Jura' ingl. Ligth of Radiation 'luz Amplification by amplificada por la Stimulated Emission emisión 131 isolecítico, isomería, isogonal jurásica estimulada de radiación' licántropo litiasis limnonimia logoterapia mayéutica mediateca megabyte magalítico /a marcescentes maremoto gr. lýos ('lobo'); gr. 'hombre - lobo' ánthropos ('hombre') gr. líthos ('piedra'); -iasis 'que posee piedra, mesocarpio micología licomanía, licófora hipodermolitiasis ('posesión, que posee') mal de la piedra' gr. límne ('lago, 'nombre del lago, de limnología, marisma'); ónoma la marisma, del limnógrafo, ('nombre') agua' hipolimnio gr. logos ('palabra'); gr. therapeia ('curación') 'curación por la palabra, con el diálogo' apiterapia, logotipo, logopeda gr. maíeusis ('parto'); - 'ciencia, técnica del mayéutica, tica ('ciencia de') parto, sacar a la luz' mayéutico lat. media ('medios'); gr. 'lugar de los medios, microteca, théke ('lugar de...') los recursos' gr. méga ('un millón'); 'un millón de bytes, megavatio, ingl. byte ('dígito') de dígitos binarios' videoteca kilobytes gr. megále ('grande'); gr. 'relativo a la piedra megalito, litiasis, líthos ('piedra') litografía grande' lat. marcere, marcescere ('marchitarse') 'hojas que se marchitan, secan y marcescencia no caen' lat. mare motus 'movimiento del terremoto, motriz, ('movimiento del mar') mar' marisma 'planta curativa de medicamento, medicina, médico gr. mediké ('alfalfa, /a licantropía, mielga'), lat. medicum gr. mésos ('medio'); gr. carpós ('fruto') La Media, en Persia' medical 'en medio del fruto' gr. mýketos ('hongo'); gr. 'estudio, tratado de lógia ('estudio, tratado') 132 los hongos' mesodermia, carpóforos micosis, micodermo, micina migrañas mioceno mitosis gr. hemi ('medio'); gr. 'dolor en la mitad de kranía ('cabeza') la cabeza' 'período menos gr. meîon (menos); reciente que el kainós ('reciente') plioceno' multidisciplinar nanotecnología necrosis nemotecnia neolítico neuralgia nidícolas nidífugas cráneo paleoceno, pleistoceno 'formación de ôsis ('formación') filamentos, división' mitosoma, mitoma amitosis, 'elemento simple en mónadas, ('unidad'); gr. lógia los compuestos' ('estudio') morfología hemistiquio, gr. mítos ('filamento'); - gr. mónos, monás mónada hemisferio, gr. morphé ('forma'); gr. lógia ('estudio, tratado') 'estudio de la forma' 'común a muchos lat. multu ('mucho'); disciplina ('aprendizaje') aprendizajes, estudios' monadología amorfo, dimorfismo transdisciplinar interdisciplinar gr. nános ('enano'); gr. 'tecnología de lo nanoordenador, téchne ('arte, artificio'); pequeño' nanómetro gr. nekrós ('muerto'); 'formación de fosfonecrosis, ôsis ('formación') muerte de algo' cardionecrosis gr. mnéme ('memoria'); gr. téchne ('arte') 'arte en la asociación con la memoria' nemotécnico, mnemastenia gr. neo ('nuevo'); gr. 'relativo a la piedra líthos ('piedra') nueva' gr. neuro ('nervio'); gr. 'dolor, sufrimiento neurópata, álgos, algia ('dolor') de los nervios' neurolingüística mesolítico, litiasis lat. nidi colo (' que habita '(aves) que habitan colonización, el nido') el nido' colonia, colonía lat. nidi fuga ('huida del '(aves) que huyen centrifugas, 133 nido') nominalizar nutricional lat. nomen ('nombre') lat. nutricem ('nodriza, alimentadora') del nido' nidificación 'convertir en nominal, nombre' onomástica 'que nutre, con propiedades alimenticias' nutritivo, desnutrido, nutrir 'que tiende a oclusiva lat. claudere ('cerrar') cerrarse, a oclusión, fricativa obstruirse' offimática oligoceno onomástica ontología orografía ortografía ortópteros ingl. office ('oficina'); gr. 'ciencia de las máthos ('ciencia') oficinas, burótica' gr. olígos (poco), kainós 'período poco reciente, el segundo' gr. ónoma ('nombre'), 'ciencia que estudia onomatopeya, onomastikós los nombres propios' onomancia gr. óntos ('ser, ente'); gr. 'estudio del ser en ontologismo, lógia ('estudio, tratado') cuanto tal' óntico gr. óros ('montaña'); gr. 'descripción de la orogénesis, graphé ('escritura') montaña' oronimia gr. orthós ('recto'); gr. graphé ('escritura') gr. orthós ('recto'); gr. ptéron ('ala') 'escritura correcta' 'alas rectas' 'que estudia el oído, otorrinolaringólogo ('nariz'), láryggos (' laringe') oxicortistas paleoceno ('reciente') gr. otós ('r'), rhinós ousía ofimática la nariz y la garganta' gr. ousía ('substancia') 'lo que está debajo, lo que permanece' ortopedia, ortópteros díptero, himenópteros otitis, rinitis, laringales ousía gr. oxýs ('ácido'); lat. 'que cortan con cortare ('cortar, ácido, con oxígeno' oxicortador 134 oxicorte, oxicortar, cercenar') palafito paleoceno paleografía palíndromo pandemia paralelepípedo parangón lat. palum fictum ('palo 'palo plantado en el plantado, fijo') agua' 'período más gr. palaiós (antiguo), antiguo de los kainós ('reciente') recientes' gr. paleo- ('antiguo'); gr. graphé ('esritura') gr. pálin ('de nuevo'), gr. drómos ('carrera') 'que se extiende a dêmos ('pueblo') todo el pueblo' pediatría mioceno paleolítico, paleontogénesis palifrasia, paligrafía, palinuro epidemia, endemia, endemismo paralelogramo, gr. epípedos ('plano') paralelístico paralelos' gr. parakóne ('piedra de 'comparación, parasíntesis, toque, piedra de afilar') parangonar modelo' 'mente confusa, ('equivocación del equivocada' disnoia, esquizonoia, paranoide gr. para- ('al lado de'); 'al lado, en torno a paraestatal, gr. psyché (espíritu') la sicología' parasíntesis ('enfermedad'); génna ('generación') patrimonial eoceno, oligoceno, gr. parállelos ('paralelo'), 'cuerpo de planos gr. páthos patogenia pasos', se lee al gr. pân ('todo'); gr.. pensamiento') parasicología 'otra vez sobre los revés gr. pará noeîn paranoia 'escritura antigua' sofitar, hito lat. patres ('padres'), latmonium (cualidad) 'génesis, origen de la enfermedad' 'relativo a la herencia de los padres' gr. paidós ('niño'), gr. 135 'curación' citogenia, biogenia, orogénesis patria, patriarca, testimonio Pedagogía, iatreía ('curación') petroglifo plioceno pleistoceno poliandria polirrizos politólogo paidofilia, Otiatría lat. petra ('roca'); gr. 'grabado en piedra, glýpho ('grabar') en roca' gr. pleîon (más), kainós ('reciente') problema protoceltas plioceno, mioceno, oligoceno kainós ('reciente') reciente' oligoceno gr. poli- ('muchos'); gr. 'muchos, varios polímeros, andrós ('hombre') hombres' polisemia gr. poli- ('muchos'); gr. rhiza- ('raíz') gr. pólis ('ciudad'); gr. lógos ('palabra, estudio') 'con varias raíces' 'que estudia la política, cosas de ciudad' polinomio, rizoide, regaliz apolítico, policía, politiqueo 'ciencia de la praxis, eupraxia, práctica' práctico lat. praedari ('saquear, 'tomar del entorno predadores, robar, cazar') para vivir' predación gr. pró bállo ('lanzado 'cuestión propuesta períbolo, bolo, hacia delante') por delante' bolómetro práctica'); lat. -tica 'en favor del ('movimiento'); -tica movimiento' ('ciencia de'), pro- propóleos monolito plioceno, mioceno, gr. kinesis procinético litografía, gr. pleîstos (muchísimo), 'período muy ('ciencia de') predar reciente que los anteriores' gr. pragma ('hecho, pragmática 'período más petrología, 'cera con que las gr. pró ('antes'); pólis abejas tapan la ('ciudad') entrada' gr. prôtos ('primero'); lat. 'primeros celtas' 136 profilaxis, profiláctico, kinesia policía, fitopolio, Trípoli, Nápoles prototipo, quadrivium rarefacción renacimiento rizoma robótica rupestre celta protozoo, celtismo lat. quadrivium ('cuatro 'cuatro vías, cuatro trivium, vías, cuatro caminos') cuadratura, aviado disciplinas' gr. rarum facere ('hacer 'hacer menos denso, enrarecer' lat. re- ('de nuevo'); lat. 'acción de renacer, nacencia, nascere ('nacer') nacer de nuevo' nacionalizar gr. -rhiza- ('raíz'); gr. oma ('resultado') ingl. robot ('trabajo'); lat. -tica ('ciencia de') siderurgia sinapsis sincrónico /a sinónimo resultado de una 'ciencia, organización del trabajo' rizina, rizomorfo, rizófago robótica, urbótica, domótica lat. rupes ('roca, 'relativo a la roca, derrubios, peñasco') pared rocosa' derrumbar 'ciencia del numismática, significado' matemáticas significado'); lat. -tica ('ciencia') siderita 'semejante, con raíz' gr. sema ('señal, semántica /o rarefacer, rerefacto raro, disperso, poroso') gr. síderos ('hierro'), lat. siderem ('estrella') 'meteorito con hierro'', de las estrellas sideral, siderita, siderosa gr. síderos ('hierro'), 'obra, trabajo del siderurgia, érgon ('obra, trabajo') hierro', meteórico metalurgia gr. syn ('conjuntamente'); apsís ('tiempo') gr. syn ('conjuntamente'); chrónos ('nudo, enlace') gr. syn ('conjuntamente'); gr. ónoma ('nombre') 137 'al mismo tiempo' 'unión entre una neurona y cuerpo de otra' 'nombre con otro' ábside, mitapsis, metasinapsis sincronía, cronómetro antónimo, onomástica sofista subducción talasoterapia taxáceas gr. sophía ('sabiduría, 'oficio, habilidad del Sofía, sofisma, ciencia'); -ista ('oficio') sabio' sofisticado lat. sub ductionem 'deslizamiento de subcutáneo, ('conducción por debajo') una placa bajo otra' acueducto gr. thálassa ('mar'); gr. therapeía ('curación') lat. taxus (tejo''); lat. - 'que pertenecen al acea ('perteneciene a') tejo' gr. téchne ('arte, tecnócrata telecracia telemática telequinesia terabytes terapéutico /a hidroterapia, helioterapia ulmáceas, fagáceas 'poder de la técnica, burócrata, artificio'); gr. krátos del artificio' ('poder') tectónico 'curación por el mar' gr. tékton ('carpintero, artesano') 'relativo a la construcción, la estructura' gr. têle ('lejos'); gr. tecnología tectónica, arquitectónico 'poder de la tele, de tenocracia, ácrata, krátos ('fuerza, dominio') la visión a distancia' burrocracia gr. têle ('lejos'); gr. 'ciencia de la telemando, máthos ('ciencia') distancia' informática gr. têle ('lejos'); gr. 'movimiento a cinética, kinesia ('movimiento') distancia' cinemática gr. tera- ('monstruoso, un billón de'); ingl. byte gr. therapeía ('curación') 'un billón de baytes' terabyte 'relativo a la logoterapia, curación' logoterapeuta teoterapia, terapia gr. therapeía ('curación') 'curación' hagioterapia, mitoterapia gr. thérme, thermós termobáricas ('calor'); báros, barýs ('peso') 138 'peso, presión del isobaras, isotermo, calor' barómetro gr. thérme, thermós termodinámica 'fuerza del calor' ('calor'); dýnamis ('fuerza') tetramorfo toponimia transpositor transexual trisqueles 'cuatro formas' morphé ('forma') vulgarismo xilografía zoomorfo tetraedro, tetrápodo gr. tópos ('lugar, país'); ónoma ('nombre') fitonimia, 'nombre del lugar' hidronimia, teonimia lat. trans ponere ('poner 'poner más allá, más allá') cambiar de lugar' lat. trans sexum -alem bretón tri ('tres'), askell ('alas') transcategorización 'relativo al cambio transdisciplinar, de sexo' trasposición símbolo celta circular con 'tres tetrasquel alas' tromboembolismo embolismós (intercalación) urbótica dinamómetro tetrástrofo, gr. tetrás ('cuatro'); gr. thrómbos ('coágulo'); trivium termómetro, 'interposición de un tromboflebitis, coágulo' lat. trivium ('tres vías, 'tres caminos, tres tres caminos') disciplinas' lat. urbem ('ciudad'); lat. -tica ('ciencia de') 'ciencia, organización de la ciudad' trombosis, trombo quadrivium domótica, robótica, urbótica lat. vulgum ('pueblo, 'uso relativo al masa'); lat. -ismo pueblo' gr. xýlon ('madera'); gr. 'escritura, grabado xilofón, xilita, graphé ('escritura') en madera' xilófago gr. zoo ('animal'); gr. 'con aspecto animal' morphé ('forma') 139 vulgo, vulgarizar zoonimia, espermatozoide x lat. i (''); gr. n ('r'); ingl. n ('r') 140 'r' MATEMATICAS Y CÁLCULO Matemática - Probabilidades y estadísticas CALCULO DE PROBABILIDADES • La expansión del cultivo de soja en la Argentina es objeto de una fuerte controversia entre quienes aprecian las ventajas económicas actuales de dicha expansión y quienes alertan sobre problemas de contaminación ambiental, de empobrecimiento cultural y de fragilidad de la economía asociados con ella. En parte, los problemas mencionados son característicos del monocultivo y ya han ocurrido en regiones donde el cultivo hegemónico era otro. • Nuestro problema será encontrar una manera para evaluar en qué medida la adopción del cultivo de soja está asociada con la práctica del monocultivo a partir de los datos de una encuesta en la cual se registran los cultivos realizados en los diferentes establecimientos agrícolas de un área determinada. Para ello utilizaremos las herramientas conceptuales y metodológicas que la estadística provee para realizar una evaluación de este tipo. Problema (datos ficticios) En un estudio de la actividad agrícola en un partido de la Pampa Ondulada se registraron los cultivos estivales de cosecha realizados en la última campaña en 100 establecimientos elegidos al azar dentro del partido. La planilla que llevaban los encuestadores permitía registrar las siguientes opciones: Maíz, Girasol, Sorgo, Soja, Cártamo. Entre los resultados de la encuesta se encontró que en 90 de los 100 establecimientos relevados se había cultivado soja y que, en 40 de ellos, la soja era el único cultivo estival; además, 2 establecimientos realizaron otro tipo de monocultura (datos ficticios). • Identificar la población bajo estudio. • Identificar la muestra. • Detallar las 31 diferentes posibilidades para la lista de los cultivos realizados en un establecimiento (los 31 eventos simples que componen el espacio muestral). 141 • Indicar cuáles eventos simples componen los siguientes eventos compuestos: • "en el establecimiento se cultivó soja" • "en el establecimiento de cultivó maíz y girasol" • "el establecimiento realizó un único cultivo estival" • "en el establecimiento se realizaron más de 3 cultivos diferentes" DEFINICIONES • Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos estos dos valores, que describe la posibilidad de ocurrencia de un evento. • Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado. • Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtiene siempre el mismo resultado. • Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticas condiciones se obtienen distintos resultados. • Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular de un experimento. • Evento: Es una colección de uno o mas resultados de un experimento. DEFINICIONES EVENTO O SUCESO ALEATORIO • Evento o Suceso Aleatorio: Es una colección de uno o mas resultados de un experimento. • E1 = Sacar un 5 al tirar un dado • E2 = Sacar un número par al tirar un dado. • E3 = Sacar un número menor que 7 al tirar un dado = EVENTO CIERTO • E4 = Sacar un número mayor que 6 al tirar un dado = EVENTO IMPOSIBLE 142 DEFINICIONES SUCESOS COMPUESTOS • Sucesos mutuamente excluyentes: • Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro. • P(AB) = P(AyB) = P(AB) = 0 • Sucesos colectivamente exhaustivos • Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos cuando al menos uno de ellos deba ocurrir siempre que se realiza el experimento. • Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma de las probabilidades de todos los sucesos deberá ser igual a 1. DEFINICIONES ESPACIO MUESTRAL • Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. • Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de • Listas - Conjunto de posibles resultados al tirar un dado = {1;2;3;4;5;6} • Diagramas de arbol - Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedas C Cá S C Sá 143 S • Tablas rejilla - Conjunto de posibles resultados al tirar un dado rojo y uno azul 112131415161 122232425262 132333435363 142434445464 152535455565 162636465666 • Conjuntos (Diagramas de Venn) - Se pretende representar a las mujeres, a los universitarios pero es necesario tener en cuenta que existen mujeres universitarias. • Tablas de doble entrada 144 - Cuando se tienen dos o mas variables con dos o mas categorías cada una, por ejemplo hombres y mujeres, Ingenieros Agrónomos y Licenciados en Economía y Administración Agraria. Ingenieros Agrónomos Licenciados en Economía y Administración M 40 25 65 H 60 30 90 100 55 155 Recordemos cuales son los totales marginales y el gran total. DEFINICIONES DE PROBABILIDAD DEFINICION CLASICA • Se basa en que todos los resultados son • Igualmente probables o equiprobables. • Mutuamente excluyentes • Colectivamente exhaustivos 145 Número de resultados Probabilidad de un evento favorables = Número de resultados posibles DEFINICION FRECUENCIAL • Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de ocurrencia de un evento se determina por observación del número de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado. (Frecuencia relativa) Número de veces que el evento ocurrió en el Probabilidad de un evento pasado = Número de observaciones Ejemplo: Sea el experimento de estudiar una droga que cura cierta enfermedad en vacunos enfermos. Se aplicó a 1000 vacunos y se curaron 700. • El espacio muestral será S = {curado; no curado} • Consideremos el evento de que el vacuno se cure. • Probabilidad de curado = 700/1000 = 0,7 DEFINICION SUBJETIVA • Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo, ni posibilidad de efectuar repetidamente el experimento, se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen saber y entender estimará la probabilidad. Ejemplos: • Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato 146 • Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón • Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de una compañía se incremente en dos años. AXIOMAS DE PROBABILIDADES • Independientemente de que definición de probabilidad utilicemos, siempre se deberán cumplir los siguientes tres axiomas. Axiomas: • Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número mayor o igual a cero 0 ≤ P(A) • Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1. P(S) = 1 • Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes P(AB) = P(A) + P(B) CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE PROBABILIDADES P(Φ) = 0 Si Ā = suceso complementario de A es decir Ā = S - A, será P(Ā) = 1 - P(A) Si A1A2, entonces P(A1) ≤ P(A2) "A se cumple que P(A) ≤ 1 REGLA GENERAL DE LA SUMA • Si A y B son dos sucesos no mutuamente excluyentes, luego la probabilidad de la unión entre ambos está dada por la siguiente fórmula. 147 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) B AyB A • Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes, se cumple: P(A B) = P(A) + P(B) Ejemplo: Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8 con p(Ei) = 1/8, i = 1,...,8. Los sucesos A y B se definen así: A = {E1,E4,E6} B = {E3,E4,E5,E6,E7} Encuentre: (a) P(A) (b) P(Ā) (c) P(A B) 148 a) P(A) = 3/8 (b) P(Ā) = 5/8 (c) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(A U B) = 3/8 + 5/8 - 2/8 = 6/8 = 0,75 resultado que es muy fácil verificar visualmente en el diagrama. INDEPENDENCIA • Dos eventos A y B son independientes cuando se cumple que la probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales. P(A B) = P(A)*P(B) PROBABILIDAD CONDICIONAL • Probabilidad Condicional es la probabilidad de ocurrencia de un evento en particular, dado que otro evento ha ocurrido. La probabilidad condicional de el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A|B). REGLA GENERAL DEL PRODUCTO • Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se calcula según la siguiente fórmula: P(A B) = P(A)*P(B|A) = P(B A) = P(B)*P(A|B) 149 • Si los eventos A y B son independientes la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se calcula según la siguiente fórmula: P(A B) = P(B A) = P(A)*P(B) = P(B)*P(A) Ejemplo: Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8 con p(Ei) = 1/8, i = 1,...,8. Los sucesos A y B se definen así: A = {E1,E4,E6} B = {E3,E4,E5,E6,E7} Resolver: (a) ¿Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Por qué? (b) ¿Son los sucesos A y B independientes? ¿Por qué? (c) P(AB) (d) P(A/B) (a) No, porque AB ≠ 0 (b) No, porque P(A)*P(B) ≠ P(AB) 3/8 * 5/8 ≠ 2/8 150 (c) P(AB) = 2/8 = 0,25 (d) P(A/B) = P(AB) / P(B) = (2/8) / (5/8) = 2/5 Esto puede verse en el diagrama, ya que saber que B ocurrió, reduce nuestro espacio muestral a los cinco elementos de B. Y de ellos, sólo dos pertenecen a A. PROBLEMAS A RESOLVER 1) Dos candidatos a los consejos de administración A y B, compiten por el control de una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3, respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8; si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de las elecciones, la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68. Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Considerar todo el espacio muestral Datos: P(A) = 0,7 P(N/A) = 0,8 P(B) = 0,3 P(N/B) = 0,4 151 Solución: P(N) = P(NA) + P(NB) P(N) = P(N/A)*P(A) + P(N/B)*P(B) P(N) = 0,8*0,7 + 0,4*0,3 = 0,68 2) El 34% de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54% son de la variedad A. De los de la variedad A, el 7% tiene más de 15 años. Si se elige un árbol al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A? b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A? Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Considerar tablas de contingencia +15 -15 A 0,0378 0,5022 0,54 A 0,3022 0,1578 0,46 0,34 0,66 1 Solución: a) P(+15A) = P(+15/A)*P(A) = 0,07*0,54 = 0,0378 b) P(A/-15) = P(A-15) / P(-15) = 0,5022 / 0,66 = 0,76 3) El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir una enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en 20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal infectada se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacuna preventiva? Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta Regla del producto. Datos: 152 P( I ) = 0,7 P( R / I ) = 0,2 P( Ī ) = 0,3 P( R / Ī ) = 0,05 Incógnita: P( I /R ) Matemática - Probabilidades y estadísticas Ejercicios: Probabilidad condicional. Con reposición y sin reposición. Simples o marginales, conjuntas. Regla de la independencia. Ver resumen teórico 1) Un monedero contiene 2 monedas de plata y 4 de cobre, mientras un segundo monedero contiene 4 monedas de plata y 3 de cobre. Si se elige al azar una moneda de uno de los monederos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata? Respuesta: 19/42 2) En una ciudad se publican tres periódicos: A, B y C. Realizada una encuesta, se estima que de la población adulta el 20% lee por lo menos el periódico A, el 16% B y el 14% C. Se obtuvo también que el 8% lee al menos A y B, el 5% lee al menos A y C, el 4% lee al menos B y C, y el 2% lee los tres periódicos. a) ¿Qué porcentaje lee al menos uno de estos periódicos? 153 b) De los que leen al menos un periódico, ¿qué porcentaje lee A y B?. Respuesta: a) 0,35 b) 0,22857 3) Consideremos un experimento que tiene el siguiente espacio muestral: X = {x1; x2; x3}. Se sabe que P(xi + 1) = 2.P(xi), siendo i = 1, 2, 3; y se desea saber P(A), tal que: A = {x1; x3}. Respuesta: 5/7 4) Dos tiradores A y B tienen probabilidad de acertar al blanco de 0, y 0,7 respectivamente. Cada uno tiene 3 balas en el cargador y cada disparo es hecho simultáneamente por ambos tiradores. El torneo se termina cuando se agotan las balas o cuando alguno hace blanco. Sabiendo que A acertó, ¿cuál es la probabilidad de también haya acertado B y, por tanto, se declare empatado el torneo? Respuesta: 0,7 5) De una urna que posee 5 bolillas blancas y 8 bolillas negras se sacan las bolillas una a una hasta dejar la urna con igual número de bolillas de cada color. Calcular la probabilidad de lograr esto, por primera vez, en la quinta extracción. Respuesta: 0,16317 154 6) Un sistema consiste en cuatro componentes que funcionan independientemente: A, B, C y C2. La probabilidad de falla es de 0,01 para el componente A; 0,02 para el B y 0,10 para cada uno de los componentes C. Si para el funcionamiento del sistema son necesarios los componentes A y B y al menos uno de los C, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? Respuesta: 0,9605 7) Sean A y B dos sucesos con P(A) = 3/8; P(B) = 5/8 y P(A B) = 5/6, hallar P(A/B) y P(A/B). Respuesta: P(A/B) = 4/15 P(A/B) = 4/9 8) Las tiendas "Montgomery" están distribuidas en los E.E.U.U. de la siguiente forma: Area geográfica Población de la ciudad NE SE C NO SO Total A1: Menos de 20000 habitantes 3 6 5 6 25 11 16 9 9 50 3 7 24 75 63 12 10 4 11 100 A2: Entre 20000 y 50000 habitantes 5 5 A3: Entre 50000 y 100000 habitantes 29 12 A4: Más de 100000 habitantes Total 100 40 35 25 50 250 a) Diga cuál es la notación simbólica para la probabilidad de que una tienda seleccionada al azar se localice: i) En una ciudad al SO con menos de 20000 habitantes. ii) En una ciudad del Centro, con una población de más de 20000 y menos de 50000 habitantes. iii) En el SE. 155 iv) En una ciudad con menos de 50000 habitantes. v) En el NO, dado que la tienda seleccionada se ubica en una ciudad con una población entre 50000 y 100000 habitantes. b) Determine cada una de las probabilidades del punto anterior. c) Explicite qué tipo de probabilidad se determinó en los puntos anteriores. d) Identifique y calcule la distribución de probabilidades marginales para el tamaño de población de la ciudad. e) Identifique y calcule la distribución de probabilidades condicionales para el área geográfica, dado que el tamaño de la población de la ciudad es entre 50000 y 100000 habitantes. Respuesta: a-i) P(SO,A1) a-ii) P(C,A2) a-iii) P(SE) a-iv) P(A1 A2) a-v) P(NO/A3) b-i) P(SO,A1) = 0,024 b-ii) P(C,A2) = 0,064 b-iii) P(SE) = 0,16 b-iv) P(A1 A2) = 0,3 b-v) P(NO/A3) = 0,09333 c) Probabilidad conjunta: 156 Probabilidad marginal: Probabilidad total: Probabilidad condicional: d) P(A1) = 0,1 P(A2) = 0,2 P(A3) = 0,3 P(A4) = 0,4 e) P(NE/A3) = 0,3867 P(SE/A3) = 0,16 P(C/A3) = 0,04 P(NO/A3) = 0,0933 P(SO/A3) = 0,32 9) En un banco hay un sistema de alarma. En una noche cualquiera, la probabilidad de que suene la alarma cuando hay un robo es de 0,99; la de que suene si no hay robo es de 0,01; en tanto que la probabilidad de que ocurra un robo es de 0,002. Calcular la probabilidad de que si suena la alarma haya un robo. Solución: P(S/R) = 0,99 P(S/R) = 0,01 157 P(R) = 0,002 P(R) = 0,998 P(S R) = P(R).P(S/R) P(S R) = 0,00198 P(S R) = P(R).P(S/R) P(S R) = 0,00998 Cuadro de contingencia: S S R 0,00198 0,00002 0,002 R 0,00998 0,98802 0,998 0,01196 0,98804 1 P(R/S) = P(S R)/P(S) P(R/S) = 0,00198/0,01196 P(R/S) = 0,1655 10) Una lavadora de botellas X, perteneciente a una compaña lechera, procesa un 20% de todas las botellas usadas diariamente y rompe un 4% de las que lava, en tanto que otra lavadora Z procesa las restantes y rompe un 2%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una botella seleccionada al azar esté rota? b) Una botella escogida aleatoriamente se encuentra rota. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido lavada en X? Solución: P(R/X) = 0,04 158 P(X) = 0,2 P(R/Z) = 0,02 P(Z) = 0,8 P(R X) = P(X).P(R/X) P(R X) = 0,2.0,04 P(R X) = 0,008 P(R Z) = P(Z).P(R/Z) P(R Z) = 0,8.0,02 P(R Z) = 0,016 a) P(R) = P(R X) + P(R Z) P(R) = 0,008 + 0,016 P(R) = 0,024 b) P(X/R) = P(R X)/P(R) P(X/R) = 0,008/0,024 P(X/R) = 1/3 Matemática - Geometría 1) ¿A qué hora las agujas del reloj forman: a) un ángulo agudo. b) un ángulo recto. 159 c) un ángulo obtuso? 2) ¿Qué clase de ángulo es el suplemento de: a) un ángulo agudo. b) un ángulo recto. c) un ángulo obtuso? 3) Sabiendo que A = 19°; B = 63°; C = 159° y D = 71°, resolver gráficamente y analíticamente las siguientes operaciones: a) A + B b) D + C - A c) A + B + C - D d) A - B + C + D 4) Efectuar las siguientes sumas de ángulos: a) 81° 34" + 48´ 17" + 12° + 51° 49" = b) 56´ 54" + 10° 10´ 10" + 45° 39" = c) 59´ + 15´ 14" + 23´ + 21´ 46" = 5) Calcular α - β y β - α, sabiendo: a)α = 64° 28´ ;β= 35° b)α = 99° 50´ 36" ; β = 39° 15´ c)α = 47° 16´ ; β = 25° 25´ d)α = 13° 49´ 18" ; β = 8° 14´ 40" 160 e)α = 85° 49´ 22" ; β =30° 55´ 10" f) α =151° 27´ 47"; β =46° 35´ 52" g)α = 34° 33´ 15" ; β =23° 46´ 39" h)α = 120° 35" ; β = 90° 51" 79° 8" i) α = ; β = 63° 9´ 17" 68° 29´ 33" j) α = ; β =58° 50´ 48" 6) Hallar gráfica y numéricamente el complemento de cada uno de los siguientes ángulos: a) α = 20° b) β = 39° c) γ = 62° d) δ = 46° 7) Calcular el complemento de cada uno de los siguientes ángulos: a) α = 25° 33´ b) β = 15° 36´ c) γ = 81° 17´ 48" d) δ = 69° 43´ 8" e) ε = 52´ 47" f) φ = 39° 35" 161 Matemática - Geometría 1) Dados tres puntos, A, B y C, no alineados, dibujar: la semirrecta de origen C que contiene al punto B, y la AB´. 2) Dibujar dos semirrectas que tengan el mismo origen y no sean opuestas. 3) ¿Qué figura constituye la unión del conjunto de los puntos de la AB´ y los de la semirrecta de origen A que no contiene al punto B? 4) Dibujar, sobre una recta, cuatro segmentos consecutivos. 5) ¿Cuál es la figura formada por la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta de origen A que contiene al punto B y de la semirrecta de origen B que no contiene al punto A? 6) Dados los puntos M, P, Q y S de la figura, hallar: PS´ ∩ QS´ MQ´ ∩ QP´ MQ´ ∩ PS´ MQ´ PS MQ PS 7) Decir cual es el conjunto de los puntos tal que su intersección con XY de por resultado el XY. 8) Comprobar, en un ejemplo, el carácter transitivo de la relación de mayor entre segmentos. 9) Comprobar, en un ejemplo, el carácter transitivo de la relación de menor entre segmentos. 10) ¿Si AB = CD y CD < EF, cómo es EF con respecto a AB? 162 11) ¿Si AB > MN y MN = EF, cómo es EF con respecto a AB? 12) ¿Si AB > CD, CD = EF y EF no es mayor que MN, cómo es AB con respecto a MN? 13) ¿Si MN = PQ, PQ > RS y RS no es menor que TV, cómo es MN con respecto a TV? 14) Verificar gráficamente en una suma de tres segmentos, la propiedad conmutativa. 15) Verificar gráficamente en una suma de cinco segmentos, la propiedad asociativa. 16) ¿Si AB > CD y MN > PQ, cómo es AB + MN con respecto a CD + PQ? 17) ¿Si RS < CD y AB = MN, cómo es RS + MN con respecto a AB + CD? 18) ¿Si AB < MN, cómo es AB x 6 con respecto a MN x 6?. 19) ¿Si AB + CD + EF = MN, cómo es MN con respecto a AB? 20) Comprobar gráficamente las propiedades de la resta de segmentos. 21) Expresar en símbolos las propiedades de la resta de segmentos. 22) Dibujar un segmento y hallar su duplo, su triplo y su cuádruplo. 23) Si un segmento se divide por tres y a ese resultado se lo multiplica también por tres, ¿qué segmento se obtiene?, comprobarlo gráficamente. 24) Dibujar un segmento, y mediante un hilo dividirlo aproximadamente en dos, tres, cuatro, y seis partes iguales. Matemática - Vectores VECTORES (5° parte) Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a. 163 Ejercicio: cálculo del ángulo que forman dos vectores Dada la base del plano { u1, u2} donde | u1| = 2, | u2| = 1 y los vectores u1, u2 son perpendiculares, calcular el ángulo que forman los vectores a = 3.u1 - 2.u2 y b = 2.u1 + 5.u2 Resolución: u1•u1 = |u1| ² = 2 ² = 4 u1. u2 = u2. u1 = 0, ya que ambos vectores son perpendiculares, u2 = 6.4 + 15.0 - 4.0 10.1 = 14 De la misma forma: a.a = (3.u1 - 2.u2).(3.u1 - 2.u2) = 9.4 - 6.0 - 6.0 + 4.1 = 40 b.b = (2.u1 + 5.u2).(2.u1 + 5.u2) = 4.4 + 10.0 + 10.0 + 25.1 = 41 cos α = 0,34 α = arc cos 0,34 = 69,8º BASES ORTONORMALES Se dice que una base { u1,u2} es ortogonal si los dos vectores que la forman tienen módulo 1 y son perpendiculares entre sí. Cuando se trabaja con este tipo de bases es sencillo calcular los productos escalares, ya que u1. u1 = | u1| = 1, porque u1 tiene módulo 1. u2. u2 = | u2| = 1, por el mismo argumento. u1. u2 = 0, por ser perpendiculares ambos vectores. Aplicando estos resultados a las fórmulas ya obtenidas, se tiene que dados los vectores 164 x = x1.u1 + x2.u2 y = y1.u1 + y2.u2 x.y = x1.y1 + x2.y2 x.x = x1 ² + x2 ² , y siendo α el ángulo que forman, Ejercicios con bases ortonormales En todos los ejercicios siguientes se considera que { u1,u2} es una base ortogonal ortonormal del plano. Hallar la proyección del vector a sobre el vector b, siendo a = 2 u1 + u2y b = 3 u1 + 2 u2. Resolución: En primer lugar se calcula el módulo de dicha proyección. Para ello es conveniente recordar que el producto escalar de dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Para determinar la proyección se observa que, por ser ésta paralela al vector b será de la forma p = t.b, donde t es un número real. Como el producto escalar es positivo, esto quiere decir que la proyección p tiene el mismo sentido que b, con lo que t ha de ser positivo. 165 Entonces, |p| = |t.b| = t.|b|, con lo que t = |p|/|b|. Sustituyendo: t = 8/(√13.√13) = 8/13 Así, p = t.p = (8/13).(3.u1 + 2.u2) = (24/13).u1 + (16/13).u2 Hallar el área de un paralelogramo cuyos lados no paralelos son los vectores a = 4.u1 - 3.u2 y b = 2.u1 + 3.u2 Resolución: El área de un paralelogramo es igual al producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman: S = |b|.h = |a|.|b|.sen α, puesto que sen α = h/|a| Para calcular el seno de este ángulo se aplica la fórmula fundamental de la trigonometría: sen ² α + cos ² α = 1. Así, sen ² α = 1 - (-1/√325) ² = 1 - 1/325 = 324/325 sen α = 18/√325. Y así el área es: S = |a|.|b|.sen α = √25.√13.(18/√325) = 18 Aplicando la definición de producto escalar, demostrar el teorema de Pitágoras. Resolución: Sea un triángulo rectángulo, llamando b y c a los vectores que se pueden construir en los catetos y a al vector de la hipotenusa, tal como se indica en la figura, se tiene a = b + c, donde: |a| ² = a•a = (b + c)•(b - c) = b•b + b•c + c•b + c•c 166 Pero, por ser un triángulo rectángulo, resulta que b.c = c.b = 0. Así: |a| ² = b•b + c•c = |b| ² + |c| ², que es la expresión del teorema de Pitágoras Demostrar que las dos diagonales de un rombo son perpendiculares. Resolución: Sean a y b dos lados consecutivos del rombo. Sus diagonales son a + b y a - b. Para ver que son perpendiculares bastará con comprobar que su producto escalar es 0: (a + b)•(a - b) = a•a - a•b + b•a - b•b Por la propiedad conmutativa del producto escalar, a.b = b.a. Así pues, (a + b)•(a - b) = a•a - b•b = |a| ² - |b| ² Hasta ahora no se ha utilizado el hecho de que se está trabajando con un rombo. Esto significa que los dos lados |a| y |b| son iguales. Entonces (a + b)•(a - b) = |a| ² - |b| ² = 0, Con lo que las dos diagonales son perpendiculares. Matemática - Trigonometría Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALA Geometría - Definiciones # Recta: es una sucesión de infinitos puntos que se extiende en una misma dirección y en ambos sentidos. # Semirrecta - Rayo: es un subconjunto de puntos de una recta. Es una recta o un segmento de recta que tiene un origen, una dirección y un sentido. 167 # Segmento: es una porción de una recta. # Angulo: es la abertura formada por la unión de 2 semirrectas en un mismo punto llamado vértice; las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo. Es la figura geométrica formada por 2 rayos que tiene un punto común llamado vértice. El ángulo se obtiene por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen. La posición original de la semirrecta se denomina lado inicial y la posición final se denomina lado terminal. La rotación del ángulo se puede efectuar en 2 sentidos; en el sentido contrario a las manecillas del reloj, en éste caso el ángulo es positivo y girando en el sentido de las manecillas del reloj el ángulo es negativo. # Medición de ángulos Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad de medida. Para medir los ángulos existen varios sistemas, siendo los más conocidos el sistema sexagesimal y el circular. 168 Sistemas de medidas angulares # Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal que corresponde a 1/360 que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y 1°/60 corresponde a un minuto sexagesimal que se abrevia 1´; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y 1´/60 corresponde a un segundo sexagesimal que se abrevia 1". # Sistema Circular: en éste sistema la unidad de medida es el radian. ¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio de la circunferencia al cual pertenece. 1 radián = 360º/2.π.R = 360º/6,283185307 = 57,29577951º = 57º 17´ 44,8" Siendo; π = 3,141592654 R=1 Las unidades de medida que pasaré a estudiar pertenecen al sistema sexagesimal y circular. 169 Equivalencia entre los sistemas α°/360° = αrad/2.π Ejercicios de aplicación 1- Expresar en grados. a) 53° 16´ 50" = Respuesta: 53,28055556° b) 170° 36´ 50" = Respuesta: 170,6138889° c) 28° 10´ = Respuesta: 28,16666667° d) 45° 36" = Respuesta: 45,01° e) 276° 09´ 07" = Respuesta: 276,1519444° 2- Expresar en minutos. a) 16° 29´ 32" = Respuesta: 989,5´ b) 148° 19´ 37" = Respuesta: 8899,6´ c) 45° 10´ = Respuesta: 2710´ d) 82° 18" = Respuesta: 4920,3´ 3- Expresar en segundos. a) 35° 19´ 43" = Respuesta: 127183" b) 72° 40´ = Respuesta: 261600" c) 180° 19" = Respuesta: 496819" d) 342° 18´ 56" = Respuesta: 1232336" 4- Expresar en grados, minutos y segundos. a) 38,466° = Respuesta: 38° 27´ 57,6" b) 126,03334° = Respuesta: 126° 02´ c) 136,44´ = Respuesta: 2° 16´ 26,4" d) 362,62´ = Respuesta: 6° 02´ 37,2" 170 e) 40436" = Respuesta: 11° 13´ 56" f) 68367" = Respuesta: 18° 59´ 27" 5- Reducir al sistema circular. Para π = 3,14. a) 42° 29´ 36" = Respuesta: 0,74 rad b) 150° = Respuesta: 2,61 rad = (5/6).π rad c) 36° 18´ = Respuesta: 0,63 rad d) 146° 36" = Respuesta: 2,54 rad e) 184,68´ = Respuesta: 0,05 rad f) 58348" = Respuesta: 0,28 rad g) 270° = Respuesta: 4,71 rad = (3/2).π rad 6- Reducir al sistema sexagesimal. a) 1,36 rad = Respuesta: 77° 57´ 42,42" b) 0,28 rad = Respuesta: 16° 03´ 03,44" c) (3/2).π rad = Respuesta: 270° d) (3/4).π rad = Respuesta: 42° 59´ 37,07" e) (2/5).π rad = Respuesta: 72° f) (3/7).π rad = Respuesta: 77° 08´ 34,29" g) (5/9).π rad = Respuesta: 100° h) (11/12).π rad = Respuesta: 165° Ejercicios de aplicación Se considera para π = 3,14. 1- Expresar en el sistema circular un ángulo de: a) 18° = Respuesta: (1/10).π rad b) 30° = Respuesta: (1/6).π rad c) 36° = Respuesta: (1/5).π rad 171 d) 43° = Respuesta: 0,75 rad e) 45° = Respuesta: (1/4).π rad f) 60° = Respuesta: (1/3).π rad g) 72° = Respuesta: (2/5).π rad h) 75° = Respuesta: (5/12).π rad i) 80° = Respuesta: (4/9).π rad j) 120° = Respuesta: (2/3).π rad k) 161° = Respuesta: 2,81 rad l) 540° = Respuesta: 3.π rad ll) 35° 40´ = Respuesta: 0,62 rad m) 42° 27´ 32" = Respuesta: 0,74 rad n) 42° 59´ 37" = Respuesta: 0,75 rad ñ) 46° 20´ 30" = Respuesta: 0,81 rad o) 55° 84´ = Respuesta: 0,98 rad p) 97° 25´ = Respuesta: 1,70 rad q) 150° 03´ 24" = Respuesta: 2,61 rad 2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de: a) (1/12).π rad = Respuesta: 15° b) (1/8).π rad = Respuesta: 22° 30´ c) (1/5).π rad = Respuesta: 36° d) 1 rad = Respuesta: 57° 19´ 29,43" e) (3/5).π rad = Respuesta: 108° f) (2/3).π rad = Respuesta: 120° g) (3/4).π rad = Respuesta: 135° h) 2,5 rad = Respuesta: 143° 18´ 43,5" i) (4/5).π rad = Respuesta: 144° j) 2,7 rad = Respuesta: 154° 46´ 37,4" k) 3,6 rad = Respuesta: 206° 22´ 09,94" 172 l) (4/3).π rad = Respuesta: 240° ll) 4,18888 rad = Respuesta: 240° 07´ 36,76" m) (7/5).π rad = Respuesta: 252° n) (5/3).π rad = Respuesta: 300° ñ) (7/4).π rad = Respuesta: 315° o) 5,55555 rad = Respuesta: 318° 28´ 15,6" p) 6 rad = Respuesta: 343° 56´ 56,5" q) 6,17222 rad = Respuesta: 353° 49´ 17,5" r) (7/3).π rad = Respuesta: 420° Matemática - Trigonometría 1) Pasar los siguientes ángulos a los demás sistemas: a) 63° 21´ 24" b) 1288° 76´ 64" c) 2,1853.π d) 5.π /3 2) Calcular el valor de x : a) x = (sen 30° - sen 60°)/(sen 30° + sen 60°) b) x = [(1 - sen 45°) ² + 2.cos 45°]/cos 60° c) x = (sen 90°.sen 60° + cos 0°.cos 30°)/(sen 45°.cos 45°.tg 30°) 3) Reducción de ángulos al primer cuadrante. Calcular en cada caso el signo del ángulo en el cuadrante: a) sen 150° = b) cos 120° = 173 c) tg 135° = d) cotg 158° 10´ = e) sen 100° 30´ = f) sen 240° = g) cos 210° = h) tg 225° = i) cotg 210° 50´ = j) sen 330° = k) sec 315° = l) tg 300° = m) sen 730° = n) tg 3903° 20´ = o) cosec 214° 40´ = 4) Hallar sin emplear tabla de valores los siguientes ángulos: a) sen 240° = b) tg 225° = c) tg 300° = d) sen 390° = e) sec 135° = f) sec 660° = 174 5) Resolver las siguientes identidades: a) (1 + tg α).(1 - tg α) + sec ² α = 2 b) sen ² α .(1 + tg ² α) = tg ² α c) cos α .cosec α .tg α = 1 Matemática - Trigonometría TRIGONOMETRIA Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible,como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería,sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. Trigonometría plana 175 El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección. Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia. Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que 1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ´ y el de segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por tanto, 61° 28´ 42,14" = 1,073 rad = 1,073 Se sobreentiende que el último valor es en radianes. 176 Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces: s = π.r. θ /180 Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a x ²+ y ², aplicando el teorema de Pitágoras. Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera: seno (sen) del ángulo θ = sen θ = y/r coseno (cos) del ángulo θ = cos θ = x/r tangente (tg) del ángulo θ = tg θ = y/x cotangente (cotg) del ángulo θ = cotg θ = x/y secante (sec) del ángulo θ = sec θ = r/x cosecante (cosec) del ángulo θ = cosec θ = r/y 177 Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo - es decir, si se añaden 360° - es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir, cotg θ = 1/tg θ ; sec θ = 1/cos θ ; cosec θ = 1/sen θ Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x,la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0. Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1. Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo. Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente: opuesto sen θ = a = hipotenusa c adyacente cos θ = b = hipotenusa c 178 opuesto tg θ = a = adyacente b adyacente cotg θ = b = opuesto a hipotenusa sec θ = c = adyacente b hipotenusa cosec θ = c = opuesto a Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe,por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c ² = 2.a ² o que c = a ². Por tanto sen 45° = cos 45° = 1/√2 tg 45° = cotg 45° = 1 sec 45° = cosec 45° = √2 Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado. 179 Igualdades trigonométricas Las siguientes fórmulas, llamadas igualdades o identidades, muestran las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas, que se cumplen para cualquier ángulo q, o pareja de ángulos q y f: Utilizando con reiteración una o más fórmulas del grupo V, conocidas como fórmulas de reducción, es posible calcular el seno de q y el coseno de q, para cualquier valor de q, en función del seno y del coseno de ángulos entre 0° y 90°. Utilizando las fórmulas de los grupos I y II, se pueden calcular los valores de la tangente, cotangente, secante y cosecante de q en función del seno y del coseno. Por tanto, es suficiente tabular los valores del seno y el coseno de q para valores de q entre 0° y 90°. En la práctica, para evitar cálculos tediosos,se suelen también tabular las otras cuatro funciones para los mismos valores de q. Sin embargo, desde la popularización de las calculadoras electrónicas y los ordenadores o computadoras, las tablas de funciones trigonométricas han caído en desuso. La variación de los valores de las funciones trigonométricas para diversos ángulos se pueden representar gráficamente (ver figuras adjuntas). Se puede ver con claridad en estas curvas que todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, el valor de cada una se repite a intervalos regulares llamados periodos. El periodo de todas las funciones, excepto la tangente y la cotangente, es 360° o 2p radianes. La tangente y la cotangente tienen un periodo de 180 ° o p radianes. 180 Funciones inversas La expresión ´y es el seno de q,´ o y = sen q, es equivalente a la expresión q es el ángulo cuyo seno es igual a y, lo que se escribe como q = arcsen y, o también como q = sen-1y. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccotg y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen q o q = arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de q, puesto que sen 30° = sen 150 ° = sen (30° + 360°)...= 1. Por tanto, si q = arcsen 1, entonces q = 30° + n360° y q = 150° + n360°, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor 30° se toma como valor principal o fundamental del arcsen 1. Para todas las funciones inversas, suele darse su valor principal. Hay distintas costumbres, pero la más común es que el valor principal del arcsen y, arccos y, arctg y, arccosec y, arcsec y y arccotg y, para y positiva es un ángulo entre 0° y 90°. Si y es negativa, se utilizan los siguientes rangos: -90° ≤ arcsen y; arctg y < 0° 90° < arccos y; arccotg y ≤ 0° -180° ≤ arcsec y; arccosec ≤ -90° El triángulo general Entre las diversas aplicaciones prácticas de la trigonometría está la de determinar distancias que no se pueden medir directamente. Estos problemas se resuelven tomando la distancia buscada como el lado de un triángulo, y midiendo los otros dos lados y los ángulos del triángulo. Una vez conocidos estos valores basta con utilizar las fórmulas que se muestran a continuación. Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo y a, b, c son los tres lados opuestos respectivamente, es posible demostrar que Las reglas del coseno y de la tangente tienen otras dos expresiones que se obtienen rotando las letras a, b, c y A, B, C. 181 Estas tres relaciones son suficientes para resolver cualquier triángulo, esto es, calcular los ángulos o lados desconocidos de un triángulo, dados: un lado y dos ángulos, dos lados y su correspondiente ángulo, dos ángulos y un ángulo opuesto a uno de ellos (que tiene dos posibles soluciones), o los tres lados. Trigonometría esférica La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos, los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos. La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en la geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes. Historia La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de 182 Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado 183 (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dín al-Tusí escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés Fran|ois Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen n. θ y cos n. θ, en función de potencias de sen θ y cos θ. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos. Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. 184 MÁS INFORMACION Grado, en trigonometría, arco igual a 1/360 de la circunferencia de un círculo, o ángulo central que corresponde a dicho arco. El grado es la unidad corriente de medida de ángulos y arcos de un círculo. Se divide en 60 minutos, cada uno de los cuales equivale a 1/21.600 de la circunferencia de un círculo; cada minuto se divide en 60 segundos, cada uno de los cuales equivale a 1/1.296.000. Los grados se indican normalmente con el símbolo °, los minutos con ´ y los segundos con ", como en 41°18´09", que se lee "41 grados 18 minutos y 9 segundos". La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente de localizar una estrella, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. Las posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por Greenwich en Inglaterra. Grados de latitud Si la Tierra fuera una esfera exacta, un grado de latitud sería igual a 1/360 de la circunferencia de un círculo dibujado sobre la superficie de la Tierra y que pasa por los polos Norte y Sur. La Tierra, sin embargo, está achatada por los polos, por lo que la longitud de un grado, determinado astronómicamente, varía del ecuador a los polos. En el ecuador un grado de latitud son 110.568,18 m, o unos 110,57 km. La longitud de un grado a 45° N o S, llamado ángulo medio, es 111.131,9 m o alrededor de 111,13 km. Grados de longitud El tamaño de un grado de longitud varía desde un valor máximo en el ecuador hasta cero en los polos Norte y Sur. Esto es debido a que la longitud se mide como el arco de un paralelo de latitud dada, y los círculos que forman los paralelos disminuyen en radio al incrementar su distancia al ecuador. En el ecuador, un grado de longitud equivale a 112,09 km, pero a 40° N o S, un grado son 85,99 km. La longitud se puede medir también utilizando horas hacia el este u oeste del meridiano principal, pues una hora equivale a 15 grados y un minuto horario a 15 minutos angulares. Así, la longitud de la 185 ciudad de México puede escribirse como 99° o como 6 horas 36 minutos al oeste de Greenwich. Otras medidas angulares En ciertas ramas de las matemáticas avanzadas, en particular aquéllas que incluyen cálculos, los ángulos se miden habitualmente en radianes (rad). En 360° hay 2p rad, o unos 6,28 rad. En el ejército, los ángulos se miden generalmente en milésimas, especialmente para la localización de objetivos de artillería. Una milésima es la medida del ángulo central formado por un arco que es 1/6.400 del círculo. Una milésima equivale a 0,05625° y, aproximadamente, 0,001 radianes. Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo plano igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes de un ángulo se expresa como la razón del arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Esta razón es constante para un ángulo fijo para cualquier círculo. La medida en radianes de un ángulo no es la razón de la longitud de la cuerda y el radio, sino la razón de la longitud del arco y el radio. La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La circunferencia de un círculo está dada por C = 2pr donde r es el radio del círculo y π es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de un círculo es exactamente 2 π radios, y que un arco de longitud r tiene un ángulo central de un radián, se deduce que 2 π radianes = 360 grados Al dividir 360° por 2 π se puede ver que un radián es aproximadamente 57°17´44,8". En aplicaciones prácticas, las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas: un radián = 57,3 grados 186 un grado = 0,01745 radianes El grado y el radián son unidades angulares de distinto tamaño y son intercambiables. Los ingenieros y técnicos utilizan más los grados, mientras que la medida en radianes se usa casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el cálculo, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, en especial para las derivadas y la expansión en series infinitas de las funciones trigonométricas. Como se puede ver, mientras que el símbolo ° se utiliza para indicar grados, no se utiliza ningún símbolo para indicar la medida en radianes. Trigonometría Grados y radianes Las unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medida está basada en la división en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son las siguientes: 360° = un giro completo alrededor de una circunferencia 180° = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia 90° = 1/4 de vuelta 1° = 1/360 de vuelta, etc. También se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones físicas es mucho mas practico y directo que trabajar con grados. La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es 187 independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar. De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes. Long. arco de circunferencia = [Angulo en radianes] x [Radio de la circunferencia] Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2π * r = 2< Imagen >), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2pi. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360°, entonces podemos definir una equivalencia: 1 radian = 57,29° a partir de esta igualdad, determinamos que: 90° = π/2 radianes 60° = π/3 radianes 45° = π/4 radianes 30° = π/6 radianes Análisis Matemático - Límites CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES (I) Cálculo del límite de funciones polinómicas Una función polinómica es una función del tipo: f(x) = a0 + a1.x + a2.x ² + ... + an.xn Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos: 188 A. Límite de una función polinómica en el punto x0 finito El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto: Límite de una función polinómica en el infinito El límite de una función polinómica en el infinito es +∞ ó -∞,dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo: a0 + a1.x + a2.x ² + ... + an.xn = + ∞; si an es positivo. a0 + a1.x + a2.x ² + ... + an.xn = -∞; si an es negativo. Ejercicio: cálculo de límites de funciones polinómicas 1) Calcular 4.x³ - 3.x - 2 Resolución: (4.x³ - 3.x - 2) = 4.(-1)³ - 3.(-1) - 2 = -4 + 3 - 2 = -3 2) 3 + x ² - 4.x5 y 8.x³/3 + 5.x/2 - 6 Resolución: 3 + x ² - 4.x5 = -∞ ya que el coeficiente del término de mayor grado es -4. 8.x³/3 + 5.x/2 - 6 = + puesto que el coeficiente del término de mayor grado, 8/3, es positivo. ∞ Cálculo de límites de funciones racionales Una función racional es una función del tipo f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos: 189 A. Límite de una función racional en el punto x0 finito Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones: P(x)/Q(x) = P(x)/ Q(x) Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior. Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones. A.1. El límite del denominador es distinto de cero: Q(x) ≠ 0 Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente. A.2. El límite del denominador es cero: Q(x) = 0 Si el denominador se anula en x0,puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0. A.2.1. El límite del numerador también es cero: Q(x) = 0 y P(x) = 0 En este caso se obtiene el resultado 0 / 0, que es una indeterminación. Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz de los polinomios P(x) y Q(x), y por tanto el cociente P(x) / Q(x) se puede simplificar. Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados. A.2.2. El límite del numerador no es cero. El límite del cociente da como resultado la indeterminación 190 P(x)/0 Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la función f(x) = P(x) / Q(x), en el punto x0. Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite. Ejercicio: cálculo de límites de funciones racionales (x x0) 1) Calcular el límite de la función f(x) = (2.x³ - 1)/(3.x ² + 4), cuando x 1 Resolución: (2.x³ - 1)/(3.x ² + 4) = (2.x³ - 1)/ (3.x ² + 4) = 1/7 2) Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10), cuando x 2 Resolución: (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/ (x ² + 3.x - 10) = (2³ - 2.2 ² - 6.2 + 12)/(2 ² + 3.2 - 10) = 0/0 Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x³ - 2 x ² - 6 x +12 y Q(x) = x ² + 3 x -10. - Descomposición factorial de P(x): 1 -2 -6 12 2 2 0 -12 1 0 -6 0 P(x) = x³ - 2.x ² - 6.x + 12 = (x - 2).(x ² - 6) - Descomposición factorial de Q(x): 1 3 - 191 10 2 2 10 1 5 0 P(x) = x ² + 3.x - 10 = (x - 2).(x + 5) - El límite del cociente P(x)/ Q(x) es: (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) = [(x - 2).(x ² - 6)]/[(x - 2).(x + 5)] = (x ² - 6)/(x + 5) = -2/7 3) Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 4.x)/x, cuando x 0 Resolución: (3.x ² - 4.x)/x = (3.x ² - 4.x)/ x = 0/0, indeterminación. - Se simplifican numerador y denominador: (3.x ² - 4.x)/x = 4) Calcular x.(3.x - 4)/x = (3.x - 4) = -4 1/(x - 3) ² Resolución: 1/(x - 3) ² = 1/ (x - 3) ² = 1/0, indeterminación. - Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3. 1/(x - 3) ² = 1/ (x - 3) ² = 1/0 = + ∞ 1/(x - 3) ² = 1/ (x - 3) ² = 1/0 = + ∞ Como los límites laterales coinciden, 1/(x - 3) ² = + ∞ Calcular el límite de la función f(x) = 1 / (x - 1), cuando x 1. 192 Resolución: 1 / (x - 1) = 1/ (x - 1) = 1/0, indeterminación. - Se estudian los límites laterales: 1/(x - 1) = 1/ (x - 1) = 1/0 = + ∞ 1/(x - 1) = 1/ (x - 1) = 1/0 = - ∞ Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1. Análisis Matemático - Límites LIMITE DE UNA FUNCION Idea intuitiva de límite de una función en un punto El límite de una función y = f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende la función en puntos muy próximos a x0. Idea intuitiva de límite 1. Considérese la función lineal y = 2 x + 1. ¿A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima al valor 3? Resolución: - Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los valores que toma la función en puntos muy próximos a 3. Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores: - Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3, mayor es la proximidad de f(x) a 7. 193 Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2 x + 1 es 7, y se escribe (2.x + 1) = 7 LIMITES LATERALES - El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x0 y menores que x0. Para expresar el límite por izquierda se escribe f(x) - El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x0 y mayores que x0. Para expresar el límite por derecha se escribe f(x) Relación entre el límite y los límites laterales de una función El límite de una función y = f(x) en un punto x0 existe si y solo si existen los límites laterales y coinciden: f(x) = l f(x) = f(x) = l Si se verifica esto, y l es un número finito, se dice que la función es convergente. En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden: (2.x + 1) = (2.x + 1) = 7 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE FUNCIONES Si una función f(x) tiene límite cuando x x0,el límite es único. Esto se puede escribir también así: Si f(x) = l y f(x) =l´ l = l´ 194 Ejercicio: cálculo aproximado de límites Sea la función definida por f(x) = x ², si x ≠ 2 7, si x = 2 ¿Cuál es su límite cuando x tiende a 2? Resolución: Para calcular el límite de la función cuando x tiende a 2, puede hacerse una tabla de valores para puntos de abscisa próximos a 2: Se observa que cuando x tiende a 2,tanto por la derecha como por la izquierda, la función tiende al valor 4. Por lo tanto, f(x) = f(x) = 4 Sea la función f(x) = f(x) = 4 1, si x < 3 x - 2, si x > 3 definida en - {3} ¿A qué valor se aproxima la función cuando x se aproxima a 3? Resolución: Cuando x se aproxima a 3, tanto por la izquierda como por la derecha, la función se aproxima al valor 1. Por lo tanto, f(x) = 1 Obsérvese cómo se pone de relieve que el valor del límite de una función en un punto es independiente del valor que la función tome en ese punto. En este ejemplo, el límite de la función en el punto 3 es 1 y sin embargo, la función ni siquiera está definida en él. 195 LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO 1. Se dice que una función f(x) converge, en el punto x0,hacia el valor l, o que su límite en x0 es l, y se escribe f(x) = l, cuando a valores muy próximos a x0 corresponden valores de la función muy próximos a I. La definición anterior se puede concretar más: 2. Una función f(x ) converge hacia I en x0,o tiene por límite I en x0,cuando para todo entorno de I de radio ε, E(I, ε) = (I - ε, I + ε), hay un entorno de x0de radio δ , E(x0, δ) = (x0 - δ , x0 + δ),tal que para cualquier x de E(x0, δ),su imagen f(x ) está en E(I, ε). O bien: 3. Una función f(x) converge hacia l en x0, o tiene por límite l en x0, cuando para cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < | x - x0 | < δ | f(x) - l | < ε Límites infinitos Una función es divergente cuando su límite es + ∞ó -∞. Se estudiarán los siguientes límites: 1. f(x) = ±∞ 2. f(x) = l 3. f(x) = ±∞ Caso 1. f(x) = -∞ Sea la función f(x) = 1 / x ². 196 Para calcular el límite de esta función en el punto x0 = 0, hay que estudiar los valores que toman las imágenes de puntos próximos a 0. De la observación de la gráfica de la función se deduce que: Para valores próximos a 0 y menores que 0, la función toma valores cada vez mayores. Esto significa que 1/x ² = +∞ Para valores próximos a 0 y mayores que 0, la función toma valores cada vez mayores. Esto significa que Puesto que 1/x ² = +∞ 1/x ² = 1/x ² = +∞, entonces 1/x ² = +∞ En el caso de la función g(x) = -1/x ², el límite de la función cuando x 0 es -∞. Para valores próximos a 0 y distintos de 0, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores que toma la función son cada vez menores. Caso 2. f(x) = l Sea la función y = x / (x - 1). Observando la gráfica de la función, se ve como a medida que x toma valores cada vez mayores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a infinito es 1. x/(x - 1) = 1 De la observación de la gráfica se deduce que a medida que x toma valores cada vez menores, la función se aproxima más a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a -∞ es también 1. x/(x - 1) = 1 Caso 3. f(x) = ±∞ Sea la función f(x) = x + 5. 197 Observando la gráfica se ve claramente que cuando x tiende a más infinito, la función también tiende a más infinito. Es decir, a valores cada vez mayores de x,corresponden valores cada vez mayores de la función. Por lo tanto, (x + 5) = +∞ Cuando x toma valores cada vez menores, la función también toma valores cada vez menores. Por lo tanto, (x + 5) = - ∞ Si se estudian los límites en el infinito de g(x) = -(x + 5), se tiene: -(x + 5) = - ∞ - (x + 5) = +∞ Es decir, cuando x toma valores cada vez mayores, x +∞, la función toma valores cada vez menores, g(x) -∞. Y cuando x toma valores cada vez menores, x +∞, la función toma valores cada vez mayores, g(x) +∞. OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones tales que: f(x) = A y g(x) = B Límite de una suma de funciones El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites de cada una de ellas: (f + g)(x) = f(x) + g(x) = A + B 198 Límite de una resta de funciones El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los límites de cada una de ellas: (f - g)(x) = f(x) - g(x) = A - B Límite de un producto de funciones El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los límites de cada una de ellas: (f.g)(x) = f(x) . g(x) = A.B Límite de un cociente de funciones El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo: (f/g)(x) = f(x) / g(x) = A/B (siempre que B ≠ 0) Ejercicio: límites de suma, resta, producto y cociente de funciones Si f(x) = x ² + 2 y g(x) = 1/x; calcular: (f + g)(x), (f - g)(x), (f.g)(x) y (f/g)(x) Resolución: f(x) = 2 ² + 2 = 11 y (f + g)(x) = f(x) + (f - g)(x) = f(x) - (f.g)(x) = f(x) . g(x) = 1/3 g(x) = 11 + 1/3 = 34/3 g(x) = 11 - 1/3 = 32/3 g(x) = 11.(1/3) = 11/3 199 (f/g)(x) = f(x) / g(x) = 11/(1/3) = 33 Análisis Matemático - Derivadas Recta tangente a una curva en un punto m = Δy/Δxm = tg α y2´ = f´(x) pero y2´ en a: tg α = f´(a) m = f´(a) por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto a,es: y1 = f´(a).x + b Las coordenadas forman el punto de intersección entre la recta (tangente a la curva) y la curva. 1) Dado el punto P(a; ya), hallar la ecuación de la recta tangente. a- derivar la función de la curva. y2´ = f´(x) 200 b- reemplazar en la derivada x por el valor a. y2´ = f´(a) c- el resultado es la pendiente m. m = f´(a) d- armar la ecuación de la recta con m y el punto dado. y1 = m.(x - a) + ya 2) Dadas las ecuaciones de la recta y la curva, verificar que la recta sea tangente a la curva. a- se debe hallar el punto de intersección entre ambas funciones, esto se logra igualando las funciones. y1 = y2 m.x + b = f(x) b- despejando x se obtiene el valor de a, ya que x = a. c- con el valor de x reemplazar en y1 ó y2 para hallar ya. d- el punto de intersección será: P(a; ya) e- derivar la función de la curva. y2´ = f´(x) f- reemplazar en la derivada x por el valor a. y2´ = f´(a) g- verificar que f´(a) sea igual a m. y2´ = m 201 3) Dada una recta cualquiera (y = m3.x + b3), hallar la recta tangente paralela a una curva. a- la pendiente de esta recta (m3) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente (m1). m3 = m1 b- además, esta pendiente, debe ser igual al valor de la derivada en el punto de intersección. m3 = f´(a) m3 = f´(x) c- despejar el x = a. d- con el valor de x reemplazar en y2 para hallar ya. e- el punto de intersección será: P(a; ya) f- armar la ecuación de la recta tangente con m3 y el punto hallado. y1 = m3.(x - a) + ya Análisis Matemático - Derivadas PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES LEMA (de monotonía).Sea f : I-->R una función. Supongamos que f´(t0)>0 en un punto t0interior. Entonces existe Δ>0 tal que f(s)<f(t0)<f(t) cuando s (t0-Δ,t0) y t (t0,t0 +Δ), es decir, es creciente en t0. Análogamente si f´(t0)<0, es decreciente en t0. Teorema de Rolle.- 202 Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe c ε (a,b) tal que f´(c) = 0. Teorema de Cauchy.Sean f:[a,b]-->R y g:[a,b]-->R continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Entonces existe c (a,b) tal que [ f(b) - f(a) ] g´(c) = [ g(b) - g(a) ] f´(c). Teorema del valor medio (o de los incrementos finitos).Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe c ε (a,b) tal que f(b) - f(a) = (b - a) f´(c). Consecuencias del t.v.m.1.- T. del v.m. sobre monotonía.Sea f:[a,b]-->R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces - si f´(t)≥0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona creciente en [a,b]. - si f´(t)≤0 para todo t ε (a,b) entonces f es monótona decreciente en [a,b]. - si f´(t)=0 para todo t ε (a,b) entonces f es constante en [a,b]. 2.- Si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) tales que f´(x) = g´(x) para todo x (a,b), entonces existe un numero real "c" tal que f(x) = g(x) + c para todo x [a,b] ; es decir, las dos funciones f y g se diferencian en una constante. ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCION Crecimiento y decrecimiento de una función Definición: Sea f : [a, b] -->R, x0 (a, b), se dice que f es creciente en x0si existe un entorno de x0, E (x0, h) tal que 203 Si x0 - h < x < x0 f(x) < f(x0) Si x0 < x < x0 + h f(x0) < f(x) Se dice que f es decreciente si (-f) es creciente. Proposición 1 (monotonía).- Sea f : (a, b)-->R una función derivable y x0 (a, b) . Entonces: si f´(x0)>0, f es creciente en x0. si f´(x0)<0, f es decreciente en x0. Observación: La condición es suficiente pero no es necesaria. Ej : f(x) = x³ Proposición 2.Sea f : (a, b)-->R una función, x0 (a,b),f derivable en x0 y creciente (decreciente). Entonces f ´(x0) ≥0 (f´(x0) ≤ 0). Máximos y mínimos relativos. Condiciones para la determinación de extremos.Definición: Sea f : [a, b] -->R, x0 (a, b), se dice que f tiene un máximo / mínimo relativo en, x0 si existe un entorno de x0, E (x0, h) tal que x E (x0, h) se tiene que f(x) ≤ f(x0) / f(x) ≥ f(x0). Condición necesaria.f derivable en x0 (a, b) y presenta en x0 un máximo o mínimo, entonces f´(x0)=0. 204 Condición suficiente.- Proposición 1.- f : [a, b] -->R continua en I, x0 (a, b) y f derivable en el intervalo (x0Δ,x0 +Δ) contenido en I salvo quizás x0. a) si f ´ (x)>0, x (x0-Δ,x0) (f creciente a la izquierda de x0) f ´ (x)<0, x (x0,x0 +Δ) (f decreciente a la derecha de x0) entonces f presente un máximo relativo en x0. b) Análogamente para mínimo relativo. Proposición 2.f : [a, b] -->R, x0 (a,b) tal que f ´ (x0)=0 y f " (x0) ≠ 0. Entonces : f"(x0)>0 entonces x0es mínimo relativo. f"(x0)<0 entonces x0 es máximo relativo. Condición necesaria y suficiente.Sea f : [a, b] -->R continua en [a, b], x0 (a, b) tal que f ´(x0)=0. Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0), derivada n-esima de f. En estas condiciones: 205 " La condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f n) (x0) < 0 ( > 0) será un máximo (mínimo) relativo." Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal. Concavidad y convexidad Definición: -· Una función f es cóncava en el punto x0cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función. De otra manera: Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica. -· Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función. De otra manera: Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica. Condición suficiente de concavidad 206 Si una función f es tal quex (a,b) f"(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b) Si una función f es tal que x (a,b) f"(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b) Punto de inflexión Definición: Un punto x0 se dice de inflexión de f si la función en ese punto cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Por tanto, en ese punto (x0, f(x0)) la tangente atraviesa la gráfica. Condición necesaria.- Si x0 es punto de inflexión entonces f"(x0)= 0 Condición suficiente.- Sea x0 / f"(x0)= 0, entonces si además f"´(x0) ≠ 0, x0 es punto de inflexión. 207 Regla de L´Hopital.Sea f,g : [a,b]-->R dos funciones verificando : i) f,g son derivables en (a,b) ii) g´(x) ≠ 0 para todo x (a,b) lim f´(x) iii) Existe = l R (real o ± ∞) x a g´(x) lim f(x) iv) lim g(x) = xa =0 xa lim f(x) Entonces existe y su valor es l x a g(x) Con este resultado se resuelven todos los casos de indeterminación del calculo de limites: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 * ∞, 1∞ , ∞° y 0° Representación de funciones ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACION DE FUNCIONES Propiedades de f obtenidas Caracterización directamente 1. Dominio (D) de la función x D Existe y tal que y = f(x) Recorrido (R) de la función y R Existe x tal que y= f(x) 2. Simetrías: f(- x) = f(x) Eje de simetría OY a) Función par f(- x) = - f(x) Centro de simetría el b) Función impar 3. 4. 5. origen f(x + T) = f(x) T periodo mínimo Periodicidad Puntos de corte con los ejes: a) Corte con el eje OX f(x) = 0 Ninguno, uno o más puntos b) Corte con el eje OY f(0) = y Ninguno o un punto Regiones de existencia de la función: 208 6. a) Intervalos de positividad f(x) > 0 Gráfica por encima del eje OX b) Intervalos de negatividad f(x) < 0 Gráfica por debajo del eje OX Ramas infinitas. Puntos en el infinito: a) Punto de partida de la gráfica (- ∞,?) Cuadrantes II o III b) Punto de llegada de la gráfica (+ ∞,?) Cuadrantes I o IV 7. Asíntotas: f (x) = ± ∞ (a = a, a+, a-) lim a) Asíntotas verticales: x = u xa lim f(x) = k b) Asíntotas horizontales: y = k x ±∞ lim f(x)/x = m x ±∞ m y n c) Asíntotas oblicuas: y = mx + n, lim [f(x) - m.x = b] x ±∞ lim 8. m f(x) ≠ f(a) Puntos de discontinuidad xa Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas 9. Monotonía: a) Intervalos de crecimiento f´>0 b) Intervalos de decrecimiento f´<0 c) Puntos críticos f ´(a)=0 y f"(a) > 0 Mínimo f ´(a)=0 y f"(a) < 0 Máximo 10. Curvatura: a) Intervalos de convexidad f" > 0 b) Intervalos de concavidad f" < 0 c) Puntos de inflexión f"(a)=0 y f"´(a) > 0 Cóncavo - convexo f"(a)=0 y f"´(a) < 0 Convexo - cóncavo 209 Análisis Matemático - Derivadas Tabla de Derivadas e Integrales Función Derivada Integral y=c y´ = 0 c.x y = c.x y´ = c c.x ²/2 y = xn y´ = n.xn-1 x(n + 1)/(n + 1) y = x-n y´ = -n/x(x + 1) -x-(n + 1)/(n + 1) y = x½ y´ = 1/(2.√x) x3/2/(3/2) y = xa/b y´ = x(a/b - 1)/(b/a) y = 1/x y´ = -1/x ² log x y = sin x y´ = cos x -cos x y = cos x y´ = -sin x sin x y = tan x y´ = 1/cos ² x -log cos x y = cotan x y´ = -1/sin ² x log sin x y = sec x y´ = sin x/cos ² x y´ = log (tg x/2) y = cosec x y´ = -cos x/sin ² x y´ = log [cos x/(1 - sen x)] y = arctg x y´ = 1/(1 + x ²) x.arctg x - [log (1 + x ²)}/2 y = arccotan x y´ = -1/(1 + x ²) x.arccotg x + [log (1 + x ²)}/2 y = arcsen x y = arccos x y = arcsec x y = arccosec x 210 y = sh x y´ = ch x ch x y = ch x y´ = sh x sh x y = th x y´ = sech ²x log ch x y = coth x y´ = -cosech ²x log sh x y = sech x y´ = -sech x.th x y = cosech x y´ = -cosech x.coth x y = log x y´ = 1/x x.(log x - 1) y = logax y´ = 1/x.log a x.(log a x - 1/log a) y = ex y´ = ex ex y = ax y´ = ax.log a ax/log a y = xx y´ = xx.(log x + 1) y = eu y´ = eu.u´ y = u.v y´ = u´.v + v´.u y = u/v y´ = (u´.v - u.v´)/v ² ∫u.dv + ∫v.du y = uv y = loguv 211 FISICA Relación de Física con otras materias Física con Astronomía Desde el principio del conocimiento, el hombre, siempre ha sentido curiosidad por los fenómenos que ocurren a su alrededor. Esta curiosidad, llevó a que surgiera el llamado método científico, que intentaba explicar de modo racional el porqué o como de las cosas. Vemos que en la antiguedad todo lo que no se podía explicar era trasladado en forma oral o escrita a las generaciones en un conocimiento vulgar. Todos los hechos que se manifestaban en la naturaleza eran interpretados como divinos. Los adjudicaban a dioses o mitos y leyendas para así tratar de ocultar la falta de un método de observación e interpretación. Los egipcios son un claro ejemplo de cultura en transición, algunas cosas las atribuían a dioses poderosos, por ejemplo el cambio del día a la noche. 212 Ellos le daban nombre a esos astros como Ra para el Sol, Isis para la luna. Pero a la hora de construir sus monumentales pirámides se basaron en misteriosos cálculos de matemáticas y posición de algunos astros para dar dimensiones a esas colosas e inmortales obras que nos han legado. Con el correr de los siglos muchos fueron los hombres que intentaron separar las divinidades de la explicación de los fenómenos desconocidos. Así surgió el método científico, que básicamente consiste en observar, experimentar e Interpretar. Los primeros científicos o físicos eran personajes que dominaban muchas ciencias. Este conocimiento llevó a varios de ellos de ser acusados de locos o poseídos porque la gente sencilla no tenía la formación suficiente para establecer que era una nueva forma de traspasar las barreras ideológicas que hasta ese momento dominaban el pensar. 213 La teoría de Aristóteles sobre la conformación del Sistema Solar con centro en la Tierra y el Sol, la luna y los planetas girando alrededor de ella, fue una verdad aceptada por mucho tiempo. Es más, la Iglesia tenía en el Renacimiento la total convicción de que ello era así porque coincidía con las interpretaciones que se sacaban de la Biblia y la creación del Universo por parte de Dios. La famosa Inquisición, que era un tribunal compuesto por obispos y cardenales, se ocupaba de que nadie expresara públicamente lo contrario a lo que las Santas Escrituras decían al respecto. Imagínense que alguien tratara de ir contra las normas que durante tantos años habían existido en el conocimiento de las multitudes. Nicolás Copérnico astrónomo polaco presentó en el siglo XVI un modelo más sencillo para sustituir el sistema de Tolomeo y de Aristóteles. Copérnico creía que el Universo debería ser más sencillo, pues Dios no haría un mundo tan complicado. En el modelo el Sol estaba en reposo y los planetas, incluso la Tierra giraban en torno de él en órbitas circulares. Esta idea ya había sido propuesta por algunos filósofos griegos. Ahora como este modelo iba en contra de las convicciones religiosas de la época, Copérnico se limitó a no publicar sus ideas. Luego con la aparición de sus investigaciones su teoría causó grandes polémicas, y terminó por ser colocado en la lista de los libros prohibidos de la época. Galileo Galilei, físico y astrónomo italiano nacido en Pisa en 1564 efectuó grandes contribuciones al desarrollo de las ciencias. Como gran experimentador, logró construir el primer telescopio para sus observaciones,logrando con lentes amplificar las imágenes. 214 Eran los pasos fundamentales para unir la Astronomía con la rama de la Física llamada OPTICA. Sus descubrimientos contradecían las creencias filosóficas también, entre ellos que la superficie de la luna era rugosa e irregular y no como se creía de lisa y perfectamente esférica. Descubrió la existencia de 3 satélites que giraban en torno a Júpiter,contrario a la teoría aristotélica que afirmaba que los astros giraban todos alrededor de la Tierra. Algunos filósofos de su época se negaban a mirar a través de su telescopio, para no verse obligados a admitir sus errores y llegaron a afirmar que las observaciones de Galileo eran irreales y trucos inventados. Con Venus encontró que también tenía fases como la Luna, esto lo llevó a la conclusión de que eses planeta giraba alrededor del Sol como predijera Copérnico. Todos estos datos lo llevaron a publicar sus observaciones defendiendo y divulgando la teoría de que los planetas y la Tierra giraban alrededor del Sol. Telescopio de Galileo Galilei Su obra se llamó Diálogos Sobre los dos Grandes Sistemas del Mundo,publicada en 1632. Las consecuencias del gran alboroto que provocaron estas ideas causó que la Iglesia lo acusara de Hereje y fue apresado y sometido a juicio por la Inquisición en 1633. Para evitar que fuese condenado a muerte (quemado vivo) Galileo se vio obligado a negar sus ideas en una "confesión", leída en voz alta ante el Santo Oficio de la iglesia. Salvado de la hoguera, pero considerado hereje 215 fue obligado a permanecer confinado a su casa, cerca de Florencia, hasta su muerte. A pesar de que estaba casi ciego y muy enfermo, su mente continuó desarrollando estudios hasta que en 1638 publicó su última obra titulada Dos Nuevas Ciencias. Fallecía en enero de 1642. Retrato de Galileo y sus observaciones Johannes Kepler astrónomo alemán cuando publicó su primera obra Misterios Cosmográficos en 1596 corrigió la teoría de Copérnico desarrollada por Galileo, dando a conocer que los planetas giraban en torno al Sol pero sus órbitas eran elípticas y el centro de uno de sus focos lo ocupaba el Sol. Esto unió más la Física con la astronomía al establecerse las bases de la llamada Mecánica Celeste. Este movimiento planetario llevaría años más tarde a la elaboración de las leyes fundamentales de la naturaleza de la Gravitación Universal de los planetas, genialidad del matemático inglés Isaac Newton. Isaac Newton Nacido en 1642, Isaac Newton fue un gran físico y matemático que formuló las leyes básicas de la Gravitación Universal. 216 Sus estudios sobre la luz y los colores, obtenidos de sus trabajos con prismas fueron muy criticadas por muchos científicos de la época. Estas críticas para sus estudios y publicaciones afectaron mucho su temperamento. Muy tímido y retraído no polemizaba con nadie, en especial con sus más grandes contrincantes Hooke y Huygens. En 1864, doce años después de haber publicado sus trabajos, Newton fue visitado por su amigo Edmund Halley ( descubridor del cometa que orbita el Sol y que lleva su nombre) quién buscaba explicaciones para unos asuntos referentes a la Mecánica Celeste. Su sorpresa fue que Newton pudo aclarar todas sus dudas e incluso tenía todo un Tratado acerca de La Mecánica y la Gravitación Universal en sus manos. Como Newton no quería que sus estudios se publicaran debido a sus antiguas críticas que recibiera, Halley logró persuadirlo y animarlo. - Poderosa manifestación de la fuerza que se necesita para vencer la gravedad y enviar al Discovery al exterior de nuestro planeta. Se ofreció incluso a pagar los costos de la impresión de sus artículos. Luego de dos años de actividad, en 1686, Isaac Newton presentó la primera edición de su famosa obra Principios Matemáticos de la Filosofía Natural". Esta publicación lo consagró como uno de los grandes genios de la historia. Sus tres leyes fueron los pilares de la Mecánica Celeste durante muchos años. 217 Su primer ley era la síntesis de las experiencias de Galileo en cuanto a la inercia de los cuerpos. La segunda establece el sentido y la orientación de la resultante de una fuerza que actúa sobre un cuerpo en su aceleración. La tercera involucra las fuerzas que interactúan entre dos cuerpos cuando se aplican entre si conocida como principio de acción y reacción. - Nuestra Tierra comparada con el resto de los planetas del Sistema Solar y el Sol La Gravitación Universal surgió de sus estudios de las leyes de movimiento de Kepler. La fuerza centrípeta que desarrolla el sol sobre los planetas es lo que los mantiene en sus órbitas. Estableció que esta fuerza era el resultado de una constante de proporcionalidad entre las masas de los cuerpos y el cuadrado de la distancia que los separaba. F = G m1.m2/r Pasaron 100 años hasta que fue posible obtener en forma experimental la comprobación real de la existencia de las fuerzas de atracción entre dos cuerpos. El físico inglés Henry Cavendish con su balanza de torsión logró comprobar la atracción entre dos esferas y así estableció el valor de G que fue 6.67 x 10-11 N.m / kg Al establecer el valor de G y el R de la tierra fue posible calcular la fuerza de atracción de la tierra en una partícula. 218 Tenemos así que con la aceleración de la gravedad g y el radio de la tierra y La constante G fue posible calcular la masa de la tierra establecida en 5.97 x 10 24 kg. A fines del siglo XIX los científicos comenzaron a encontrar algunos resultados que no concordaban con las leyes de Newton en cuanto al comportamiento de algunos cuerpos con velocidades próximas a la luz. Estos problemas de inexactitud llevaron a que se formulara una nueva teoría que sustituyese a la Mecánica Clásica. Surgió así la llamada Mecánica Relativista. Albert Einstein físico alemán nacido en 1879, formuló en 1905 su célebre Teoría de la Relatividad, dónde estableció ecuaciones para sustituir las newtonianas, que al aplicarse al movimiento de partículas muy rápidas proporcionó resultados perfectos con las observaciones. Con los descubrimientos de Maxwell a cerca de la existencia de campos compuestos por componentes magnéticos y eléctricos asociados, dando como resultado la formación de campos electromagnéticos. Estas teorías comprobadas por Heinrich Rudolf Hertz que produjo las primeras ondas electromagnéticas y su detección, fueron los pilares de un contínuo desarrollo de lo que hoy conocemos como la comunicación. En la astronomía la implementación de avanzados detectores de frecuencias de radio ocasionó que el hombre comenzara a dirigir sus antenas hacia el espacio. 219 - Sonda Exploradora Viking 1 Nuestra búsqueda de lo desconocido tenía básicamente 2 direcciones. Primero, con el surgimiento de la Radio Astronomía era posible oir el ruido espacial provocado por nuevos tipos de estrellas que dieron en llamarse Pulsares. Segundo, intentar buscar evidencia extraterrestre por medio de la exploración de barrido de frecuencias dirigido a las estrellas más cercanas. Con los viajes espaciales de las sondas exploradoras Viking y Voyager, se determinó la imposibilidad de que en nuestro sistema planetario existiera posibilidad de encontrar formas de vida como la nuestra. - Radio Telescopio Las enormes distancias que nos separan del resto de las estrellas de nuestra galaxia, hacen impensable enviar estaciones de búsqueda, máxime teniendo en cuenta que la velocidad de dichas sondas está dada por la aceleración que toman cuando pasan cerca de un planeta. Estas terribles distancias han llevado a que hace pocos años se lograra poner en órbita el primer telescopio del mundo en el espacio. El telescopio Espacial Hubble, es el resultado de la insesante búsqueda de nuevas estrellas en el firmamento donde tal vez algún día alojaran la civilización que tanto anhelamos encontrar. 220 - Sonda Exploradora Voyager 1 El presente Los astrofísicos del presente cuentan con toda la tecnología al alcance de su mano, para desentrañar los misterios del Cosmos. La teoría de la expansión continua del Universo desde el BIG-BANG es uno de los grandes temas de la actualidad. - Telescopio espacial Hubble saliendo del interior del Transbordador espacial hacia su órbita alrededor de nuestro planeta. 221 Todos estos años desde la carrera espacial del 60 han sido los principales protagonistas de un ser humano explorador del porque estamos solos. Estamos solos en el Universo ? Es tan grande la casualidad de que del infinito número de estrellas, galaxias y constelaciones no podamos haber encontrado a nadie más. Estas interrogantes predisponen a que se continúe barriendo el espacio exterior con nuestras antenas, en la esperanza de poder encontrar algún rastro de comunicación que pueda ser enviada por otras civilizaciones del otro lado del Cosmos. El viajar de las ondas electromagnéticas a la velocidad de la luz es otra limitante que nos encontramos. Suponiendo que una civilización extraterrestre situada a 500 años luz emitiera un mensaje, tardaríamos 500 años luz en recibirla. Para contestarle deberíamos invertir otros 500 años luz. Nuestro mensaje llegaría dentro de 1000 años a su origen. Increíble, sólo han pasado 1999 años desde el nacimiento de Cristo. Es por eso, que las probabilidades de recibir y enviar un mensaje son infinitamente remotas. Nuestra tecnología a pesar de ser muy avanzada carece de los medios para saltar esas distancias. El combustible fósil que es no renovable, apenas si puede lograr despegar una nave de nuestro planeta y escapar a su atracción. El secreto es tratar de dilucidar las misteriosas fuerzas que entrañan a la energía atómica para tratar de resolver el problema del impulso que nos permita viajar a velocidades asombrosas para recorrer distancias. Tenemos otra limitante que es nuestra espectativa de vida, por lo que también deberemos encontrar la solución a ese detalle. Las sondas exploradoras que han abandonado el sistema solar y se dirigen hacia la eternidad. Llevan una placa donde están representados nuestros cuerpos desnudos de la mujer y el hombre, coordenadas de nuestro planeta y ubicación dentro del sistema solar así como también las fórmulas del Hidrógeno atómico, el cual es el elemento que se encuentra en las estrellas junto con el helio en la combustión de las mismas para generar luz y calor en los fríos terribles de 0 Kelvin o cero absoluto del espacio exterior. 222 También llevan un registro de voces y sonidos de nuestro planeta y algunas imágenes del mismo para que la civilización que la encontrara a su paso pudiera interpretar en caso de que no existieramos más, como fuimos y quienes éramos en ese entonces. Física con Deportes. Las leyes físicas quedan relacionadas con los deportes y la gimnasia desde el punto de vista que nuestros movimientos están regidos por la gravedad. En efecto, la atracción que ejerce sobre nuestro cuerpo, la atracción gravitatoria de la tierra. La estructura ósea de nuestro organismo, desde nuestros primeros pasos en la infancia, debe luchar por conseguir una posición de equilibrio cuando estamos parados o nos desplazamos. El peso que nos da la balanza es el fiel reflejo de la masa que constituye nuestro organismo y la aceleración de la gravedad 9,8 m/s. Estudiando dicha fuerza, vemos que dependiendo de este parámetro, si estuviéramos en la Luna "pesaríamos menos" pues allí la aceleración de la gravedad sería menor. Esto lo pudieron comprobar los primeros astronautas que pisaron la Luna, los cuales llevaban zapatos de plomo para evitar que flotaran en el vacío y no se pudieran desplazar. La principal manifestación de la fuerza de la gravedad es cuando pretendemos saltar hacia arriba. 223 Nuestro impulso nos eleva hasta cierto punto y luego la tierra nos atrae hacia ella. Los gimnastas olímpicos utilizan técnicas que le permiten mediante la utilización del principio del equilibrio. La presencia de atmósfera en nuestro planeta, también tiene una importante manifestación en el deporte. La densidad del aire crea una resistencia a todo cuerpo que se desplaza. Esto se conoce como fuerza de rozamiento o fricción. Los ciclistas han adoptado una serie de configuraciones en sus cascos y bicicletas para minimizar el efecto de frenado que ejerce el aire en sus cuerpos. - Esta impresionante toma fotográfica revela el momento en que se produce la igualdad de la fuerza de impulso con la fuerza de la gravedad. El presentar un perfil muy agudo, ayuda a que las líneas de presión rodeen el objeto que se desplaza y ejerzan la mínima resistencia. - Casco de perfil agudo, cuerpo inclinado y materiales de carbono y kevlar en el cuadro son algunas de las técnicas para presentar el 224 mínimo de resistencia al avance. La tercera ley de Newton sobre el fenómeno de acción y reacción se manifiesta muy asiduamente en algunos deportes cuando dos jugadores pugnan por la pelota que está en juego. La acción de uno de ellos sobre el objeto se traduce en un empuje que el otro jugador debe contrarrestar. La fuerza de la gravedad también afecta el desplazamiento de los objetos móviles como por ejemplo las motos de competición. En este deporte de la velocidad, nuestro cuerpo aprende a conservar el equilibrio. Por el principio de la primera ley de newton podemos observar un fenómeno muy peculiar. Cuando la moto se dirige hacia una curva y su velocidad es muy elevada, el conductor debe cancelar el momento de la inercia para no salirse de la senda e ir a parar a la arena. Para conseguir anular esa fuerza que tiende a mantener el vehículo en la misma dirección que traía, el conductor se inclina hacia el lado contrario y anula dicha fuerza consiguiendo girar. 225 Por último destacamos que la densidad del elemento en que nos movemos también ejerce una resistencia al avance, esto es de destacar en las competencias deportivas de natación. El estilo empleado y el perfil agudo también son fundamentales para lograr desplazarse rápidamente y con el menor gasto de energía. Física con Química La Química es una de las ciencias que mas afinidad tiene con la Física. En efecto, los fenómenos físicos ocurren generalmente en conjunción con los químicos. Basta ver las manifestaciones de nuestro entorno para poder aplicar esta situación. No olvidemos que química+física =Biología, o sea la manifestación de la vida y los seres vivos. Muchos físicos también contribuyeron a descubrir fenómenos químicos dado que en sus experimentos utilizaban reacciones químicas que originaban reacciones físicas. Un claro ejemplo de ello ha sido la búsqueda de la estructura y funcionalidad del átomo. Recordemos que de una reacción en cadena, cuando un átomo radiactivo inestable es bombardeado por un neutrón se produce un estallido del núcleo del mismo y sus componentes a su vez rompen otros núcleos generando más colisiones. Esto es una reacción química y su manifestación física es la generación de una inmensa cantidad de energía en forma de calor. Llamamos a esto reacción de fusión nuclear. 226 - Comienzo de explosión nuclear Es la forma más aterradora de los últimos tiempos y fue descubierta cuando en 1945, un 6 de Agosto en Hiroshima Japón, Estados Unidos destruyó completamente esa ciudad. Por los ensayos de Enrico Fermi el 2 de Diciembre de 1942, el Ejercito de Estados Unidos probó en el desierto el primer estallido que provocó luego las dos grandes masacres en Japón. En Hiroshima se utilizó Uranio 235, en Nagasaki, ciudad universitaria, el 9 de Agosto de 1945 Plutonio 239. La humanidad aprendió de ello una lección que hizo que nunca más hasta la actualidad se utilizaran estas bombas para una guerra. Pero no todo es destrucción, ya que los científicos han utilizado estas reacciones en cadena pero con fines pacíficos utilizando grafito como moderador de la fusión para producir grandes cantidades de calor que se aprovechan para calentar y evaporar agua. Este vapor producido es pasado por unas paletas de turbinas,en el mismo eje conectadas a un generador para producir grandes cantidades de electricidad. Son las Centrales Eléctricas Nucleares. 227 - Turbo generadores de central Nuclear. La primera estación de generación de energía nuclear fue construida en Inglaterra e inaugurada el 17 de Octubre de 1956. Su nombre es Calder Hall. Fue la primera en obtener energía eléctrica a partir de un reactor nuclear controlado. En estas centrales se deben tomar normas de seguridad mas estrictas que en otra plantas generadoras. El riesgo de un escape radioactivo a la atmósfera sería un desastre, ya que todo ser vivo que sea irradiado con estas emisiones, sufre graves trastornos con una muerte segura. - Calder Hall Inglaterra. Veremos a continuación el tablero de mandos de una Central donde multitud de medidores controlan cada paso y funcionamiento de las distintas etapas de generación de una central Nuclear. -Tablero de control en 1956. 228 Con el correr de los años y la tecnología siempre a la vanguardia, estas primitivas consolas de mando han sido sustituidas por computadoras que controlan muchas funciones en forma automática. Calentamiento global Aumento de la temperatura de la Tierra debido al uso de combustibles fósiles y a otros procesos industriales que llevan a una acumulación de gases invernadero (dióxido de carbono, metano, óxido nitroso y clorofluorocarbonos) en la atmósfera. Desde 1896 se sabe que el dióxido de carbono ayuda a impedir que los rayos infrarrojos escapen al espacio, lo que hace que se mantenga una temperatura relativamente cálida de nuestro planeta (efecto invernadero). La cuestión es si los crecientes niveles de dióxido de carbono registrados a lo largo del último siglo llevarán a un aumento de la temperatura global. El contenido en dióxido de carbono de la atmósfera ha venido aumentando un 0,4% cada año como consecuencia del uso de combustibles fósiles como el petróleo, el gas y el carbón; la destrucción de bosques tropicales por el método de cortar y quemar también ha sido un factor relevante que ha influido en el ciclo del carbono. La concentración de otros gases que contribuyen al efecto invernadero, como el metano y los clorofluorocarbonos, está aumentando todavía más rápido. El efecto neto de estos incrementos podría ser un aumento global de la temperatura, estimado en 2 a 6 °C en los próximos 100 años. Un calentamiento de esta magnitud alteraría el clima en todo el mundo, afectaría a las cosechas y haría que el nivel del mar subiera significativamente. Desde 1850 se ha producido un incremento medio de la temperatura global de más o menos 1 °C, pero éste podría ser sólo parte de una fluctuación natural. Tales fluctuaciones se han registrado durante decenas de miles de años, y se producen en ciclos a corto y a largo plazo. La dificultad de distinguir las emisiones de dióxido de carbono de origen humano de las naturales es una de las razones por las que tanto ha tardado en legislarse su control. No obstante, las consecuencias potenciales del 229 calentamiento global son tan amenazadoras que muchos prestigiosos científicos han urgido la adopción de medidas inmediatas y han solicitado la cooperación internacional para combatir el problema. Efecto invernadero: Término que se aplica al papel que desempeña la atmósfera en el calentamiento de la superficie terrestre. La atmósfera es prácticamente transparente a la radiación solar de onda corta, absorbida por la superficie de la Tierra. Gran parte de esta radiación se vuelve a emitir hacia el espacio exterior con una longitud de onda correspondiente a los rayos infrarrojos, pero es reflejada de vuelta por gases como el dióxido de carbono, el metano, el óxido nitroso, los halocarbonos y el ozono, presentes en la atmósfera. Este efecto de calentamiento es la base de las teorías relacionadas con el calentamiento global. Ciclo del Carbono En ecología, ciclo de utilización del carbono por el que la energía fluye a través del ecosistema terrestre. El ciclo básico comienza cuando las plantas, a través de la fotosíntesis, hacen uso del dióxido de carbono presente en la atmósfera o disuelto en el agua. Parte de este carbono pasa a formar parte de los tejidos vegetales; el resto es devuelto a la atmósfera o al agua mediante la respiración. Así, el carbono pasa a los herbívoros que comen las plantas. Gran parte de éste es liberado en forma de CO2 por la respiración, pero parte se almacena en los tejidos animales y pasa a los carnívoros, que se alimentan de los herbívoros. En última instancia, todos los compuestos del carbono se degradan por descomposición, y el carbono es liberado en forma de CO2, que es utilizado de nuevo por las plantas. Intercambios aire-agua: A escala global, el ciclo del carbono implica un intercambio de CO2 entre dos grandes reservas: la atmósfera y las aguas del planeta. El CO2 atmosférico pasa al agua por difusión a través de la interfase aire-agua. Si la concentración de CO2 en el agua es inferior a la de la atmósfera, éste se difunde en la primera, pero si la concentración de CO2 es mayor en el agua que en la atmósfera, la primera libera CO2 en la segunda. En los ecosistemas acuáticos se producen intercambios adicionales. El exceso de carbono puede combinarse con el agua para formar carbonatos y bicarbonatos. Los carbonatos pueden precipitar y depositarse en los 230 sedimentos del fondo. Parte del carbono se incorpora a la biomasa (materia viva) de la vegetación forestal y puede permanecer fuera de circulación durante cientos de años. Recursos totales de carbono: Los recursos totales de carbono, estimados en unos 44.443.1012 kg, se distribuyen en formas orgánicas e inorgánicas. El carbón fósil representa un 22% del total. Los océanos contienen un 71% del carbono del planeta, fundamentalmente en forma de iones carbonato y bicarbonato. Un 3% adicional se encuentra en la materia orgánica muerta y el fitoplancton. Los ecosistemas terrestres, en los que los bosques constituyen la principal reserva, contienen alrededor de un 3% del carbono total. El 1% que queda se encuentra en la atmósfera, circulante, y es utilizado en la fotosíntesis. Adiciones a la atmósfera: Debido a la combustión de los combustibles fósiles, la destrucción de los bosques y otras prácticas similares, la cantidad de CO2atmosférico ha ido aumentando desde la Revolución Industrial. La concentración atmosférica ha aumentado de unas 260 a 300 ppm estimadas en el período preindustrial, a más de 350 ppm en la actualidad. Este incremento representa sólo la mitad del dióxido de carbono que, se estima, se ha vertido a la atmósfera. El otro 50% probablemente haya sido absorbido y almacenado por los océanos. Aunque la vegetación del planeta puede absorber cantidades considerables de carbono, es también una fuente adicional de CO2. Estimaciones de población La mayor parte de los padres potenciales de las próximas dos décadas ya han nacido. Esto permite realizar estimaciones de población para este periodo con fiabilidad razonable. Por otro lado, a lo largo de dos décadas, el grado de incertidumbre, tanto de los índices demográficos como de otras características de la sociedad, crece a un ritmo vertiginoso, haciendo que cualquier estimación resulte sólo especulativa. Las estimaciones de las Naciones Unidas publicadas en 1990 indican que la población mundial pasará de 5.300 millones de personas en 1990 a 6.200 millones en el año 2000 y a 8.500 millones en el 2025. Las estimaciones máximas y mínima para el año 2025 son de 9.100 millones y 7.900 millones respectivamente. El índice medio de natalidad mundial, que en 1990 era del 26‰, se reducirá al 22‰ para finales del siglo, y al 17‰ en el año 2025. El mayor porcentaje de población con edades de alta mortalidad hará 231 que el índice de mortalidad media mundial se reduzca sólo un poco, pasando del 9‰ en 1990 al 8‰ en el 2025. La esperanza de vida media mundial, sin embargo, pasará de 65 años en 1990 a 73 años en el 2025. En el mundo desarrollado, el crecimiento de la población seguirá siendo muy lento y en algunos países incluso disminuirá. Se estima que la población de Europa occidental decrecerá a partir del año 2000. En 1996 en las ciudades de Madrid y Londres había más habitantes de 65 años que menores de 15. En España el índice de fecundidad es de 1,4 hijos por mujer, siendo uno de los países, junto con Italia, con menor natalidad del mundo. En el caso estadounidense, las previsiones hablan de un crecimiento hasta el año 2050, debido a la inmigración. A partir de este momento el índice de crecimiento será prácticamente nulo. En cambio, para el año 2000, América Latina tendrá la mayor tasa media anual de crecimiento del mundo. Las Naciones Unidas estiman que los países menos desarrollados tendrán unos índices de crecimiento de población en continuo descenso. Para el conjunto de países menos desarrollados, el índice de crecimiento,que en el 1990 era del 2% anual, en el 2025 se reducirá a la mitad. Africa seguirá siendo la zona con el índice de crecimiento más alto (en 1990 este índice era del 3,1% y para el 2025 se estima que se reducirá al 2,2%). La población africana se triplicará pasando de 682 millones de personas en 1990 a 1.580 millones de personas en el 2025 y se estima que seguirá creciendo hasta duplicar su volumen de población en otros 35 años. 232 Políticas de población Las políticas gubernamentales de población pretenden alcanzar objetivos de desarrollo y bienestar aplicando medidas que, directa o indirectamente, inciden sobre procesos demográficos como la fertilidad y la migración. Como ejemplos cabe citar el establecimiento de la edad mínima reglamentaria para contraer matrimonio, los programas de divulgación de uso de anticonceptivos y los controles de migración. Cuando estas políticas se adoptan por razones distintas a las demográficas reciben el nombre de políticas implícitas. Los países europeos no tuvieron políticas de población hasta el siglo XX. Se concedían ayudas a las familias numerosas en países tan dispares como Gran Bretaña,Suecia, España y la Unión Soviética. Los fascistas italianos en la década de 1920 y los nacionalsocialistas alemanes en la década de 1930 incluyeron el crecimiento de la población como parte importante de sus doctrinas. Japón, con una economía comparable a la de los países europeos, fue el primer país desarrollado en la era moderna que inició un programa de control de natalidad. En 1948 el gobierno japonés instituyó una política que incluía la anticoncepción y el aborto para limitar el tamaño de las familias. Las políticas europeas a favor de la natalidad no tuvieron mucho éxito en la década de 1930 y sus ligeras variantes de las dos últimas décadas no parece que hayan logrado detener la continua y preocupante disminución de la natalidad. El control gubernamental de la migración parece que resulta más eficaz. La migración a corto plazo por demanda de trabajo ha sido una práctica común en Europa occidental y ha dado a los diferentes países la flexibilidad para reducir la migración durante las recesiones económicas. Los países hispanoamericanos se plantearon los problemas de población derivados del mestizaje y la existencia de amplias zonas de escasa presencia humana. "Gobernar es poblar", fue una consigna generalizada, mientras se planteaban programas de atracción de colonos, preferentemente europeos, que no siempre llegaban con facilidad. El vertiginoso crecimiento de los índices de natalidad, las tradiciones y prejuicios religiosos y familiares, las costumbres de fuerte arraigo, contrarias a la contracepción, han obligado a todos los gobiernos a desarrollar campañas de información y educación, a promover el control de la natalidad y los programas de planificación familiar. 233 La India fue el primero de los países en vías de desarrollo que adoptó una política oficial para ralentizar el crecimiento de su población. El objetivo era facilitar el desarrollo social y económico reduciendo la carga de una población joven y en constante crecimiento. Estudios para investigar los conocimientos, actitudes y prácticas sobre anticonceptivos de la población pusieron de relieve que un alto porcentaje de parejas no deseaban tener más hijos, aunque algunos ya practicaban una anticoncepción eficaz. Los programas de planificación familiar fueron considerados como una forma de satisfacer el deseo de un amplio sector de la población de limitar y controlar la natalidad. La reducción del índice de crecimiento en Asia puede atribuirse sobre todo a las estrictas políticas de control de la población en China. A pesar de su inmensa población, China ha reducido con éxito los índices de natalidad y mortalidad. Recientemente, el gobierno está apoyando una política de familias con un solo hijo con el fin de reducir el índice actual de crecimiento anual del país del 14‰ al 0‰ en el año 2000. En 1979, más del 90% de la población de los países en vías de desarrollo vivía bajo gobiernos que, al menos en principio, permitían el acceso a anticonceptivos por razones de sanidad y garantizaba el derecho a elegir el número de hijos y controlar los intervalos entre nacimientos. Estudios recientes muestran que en muchos países se están reduciendo los índices de natalidad y de crecimiento de la población nacional, en parte gracias a los programas de planificación familiar propiciados por los gobiernos. CICLO DEL AGUA 1- El agua El agua está formada por moléculas con tres átomos: dos de hidrógeno y uno de oxígeno. Esto fue demostrado por Lavoisier y Henry Cavendish entre 1781 y 1783. En 234 estado líquido estas moléculas están apiñadas en forma desordenada. Se pueden mover libremente pero se mantienen adheridas unas a otras por fuerzas atómicas. El grado de agitación de las moléculas está relacionado con la velocidad con que se desplazan (por otra parte con la vibración propia) y tiene estricta relación con la temperatura. Veamos una molécula de agua H20, su tamaño y disposición, esquemáticamente: 1Å = 0,00000001 cm 2- El calor La energía proporcionada por el Sol aumenta la velocidad promedio de las moléculas. Decimos que entonces subió la temperatura en el líquido. A temperatura ambiente (unos 20° C) un átomo de oxígeno viaja por el espacio vacío que le rodea a 1.440 Km/h y uno de hidrógeno a 5760 km/h en promedio. Notemos algunas cosas: - Observe que el peso atómico del hidrógeno es 1 y el del oxígeno 16. Tiene permiso para concluir que cuanto más pesada es una molécula menos velocidad tendrá. - A mayor temperatura, mayor velocidad en promedio. - Si bien los átomos tienden a agruparse y no viajan solo, que es lo que se calculó, el orden de magnitud es correcto, una molécula de gas en el aire puede moverse por ejemplo entre los 1.000 y 5.000 km/h. Pero no realiza mucho trayecto antes de chocarse con otra, entonces no imagine pequeños proyectiles, sino como pelotitas en una caja de sorteos de lotería, rebotando de un lado a otro y pegándose entre ellas. En definitiva, el calor del Sol agita las moléculas del líquido, sobre todo las más superficiales. 235 3- El cambio Imagine ahora la superficie de nuestro líquido calentada por el Sol. Una molécula muy abundante en el aire, por ejemplo el nitrógeno, choca con la superficie del agua a esas enormes velocidades. Así golpeadas, las moléculas de agua pueden ser arrancadas del seno del líquido y quedar libre de la atracción de las otras. A esa molécula libre la llamamos vapor de agua. También puede ocurrir, y en general sucede, que la molécula de nitrógeno que chocó se hunda en el líquido y quede atrapada por éste,aunque esa sea otra historia. Sigamos el recorrido de nuestra molécula de agua. Lo más increíble es que todo lo dicho sucede a temperatura ambiente, lo que implica que la evaporación no es un fenómeno que se dé necesariamente en la ebullición, sino que es un proceso constante. Pongamos el caso en el que las moléculas de agua así desprendidas queden merodeando la superficie. Esto dificulta a las próximas moléculas a evaporarse, ya que habiendo un techo de vapor aumenta la probabilidad de chocar y tal vez ser atrapadas nuevamente por el líquido. Es eso lo que precisamente sucede por ejemplo en un recipiente cerrado donde se llega a un equilibrio entre moléculas libres y atrapadas. El líquido se encuentra entonces estable. Para el caso de la superficie de un lago o del mar sin viento, las moléculas de vapor se acumulan en la superficie y disminuyen el proceso de evaporación. Una suave brisa alcanza para arrastrar lejos las moléculas y permitir el incremento de la evaporación. Conclusión: El viento y el Sol son dos agentes de la evaporación. 236 4- El vapor Este nuevo estado de libertad de las moléculas conforma el vapor de agua, de características diferentes de cuando estaban más apiñadas conformando un líquido. Las moléculas adquieren grandes velocidades chocando entre ellas muchísimas veces por centímetro de recorrido. La particularidad del vapor de agua es que es invisible y hay muy pocas moléculas por metro cúbico. Si lo vemos, entonces no es vapor de agua, sino una pequeña nube de gotitas. Pero si el vapor es invisible, y las nubes se ven entonces quiere decir que las nubes no están conformadas por vapor de agua sino por pequeñas gotas, como las que salen de la pava al hervir agua. Surge una pregunta importante: ¿En qué momento el vapor deja de ser invisible? ¿Qué tamaño hace que una gota se vea? Y lo más importante es ¿Por qué luego de una determinada medida se hace visible a pesar de que nuestro ojo no pueda ver ni un tamaño ni otro? 237 5- Las nubes La respuesta la podemos buscar teniendo en cuenta el hecho de las nubes dispersan la luz blanca en todas direcciones y por eso se hacen visibles aunque esté formada por gotas transparentes. Ahora imaginemos unas micro gotas de agua invisible. Muchas de ellas están en el aire que nos rodea. Luego crecen un poco más. ¿En qué momento ese grupo de gotas comienza a hacerse visible, es decir a dispersar la luz?. El fenómeno de dispersión es bastante complejo, pero basta con decir que la dispersión aumenta en relación directa con la cantidad de átomos que conforman la gota. Recordemos que una molécula de agua tiene un diámetro aproximado entre 1 y 2 Å. A medida que la gota crece, comienza a dispersar más luz hasta que la nube formada por estas gotitas en crecimiento se vuelve visible. 238 Pero este proceso no sigue en aumento constantemente. Si la gota crece por sobre la medida de la longitud de onda de la luz, la dispersión no aumenta prácticamente nada en adelante manteniendo un valor casi constante. ¿Y cuánto vale la longitud de onda de los colores de la luz? Aproximadamente: Luz Longitud Roja 6.500 Å Naranja 6.000 Å Amarilla 5.800 Å Verde 5.200 Å Azul 4.700 Å Violeta 4.000 Å Observe que el primer color que llega al máximo de dispersión es aquel de longitud de onda menor: el violeta y azul. Una gota de nube mide aproximadamente entre 100.000 Å y 200.000 Å de radio. En general las gotas dispersarán todos los colores de igual manera. Pero las moléculas de agua, independientemente de la gota,tienden a dispersar como ya dijimos los tonos de azul. Y la atmósfera contiene mucho vapor de agua con esta propiedad dispersiva de la luz: por esta razón vemos el cielo diurno con esta tonalidad celeste. Por otro lado, la luz que queda sin dispersar y que llega a tierra (a nuestros ojos), tendrá una marcada componente en los colores del resto del espectro: amarillo, naranja y rojo. Cuando el rayo de luz tiene que atravesar mucha atmósfera cargada de vapor, y esto sucede cuando la luz viene rasante desde el horizonte, el efecto 239 de dispersión de los azules deja un extremadamente marcado resto de los colores complementarios. Así, filtrando el azul, queda ante nuestros ojos el mágico e intenso rojo fuego del atardecer. 6- Lluvia, nieve y granizo Si la condensación continúa y las gotas crecen, comenzarán a caer por su propio peso. Es lo que llamamos lluvia. Una gota de lluvia promedio mide aproximadamente 10.000.000 Å (seguimos con la notación en ángstrom para marcar como se fue incrementando el tamaño de la molécula de agua de 2 Å hasta la gota). Es obvio que los dibujos no están a escala, si quisiéramos mantener la escala, no podríamos usar la misma para la molécula que para una gota, no alcanzaría el tamaño de ningún papel. Para notar esto, si agrandáramos la molécula de agua al tamaño de una arveja (unos 8 mm de diámetro), la gota mediría unos 40 kilómetros. Los mecanismos por los que el agua se condensa no son del todo conocidos. Algunas de las variables que más se involucran en el proceso son: - El choque de masas de aire a distinta temperatura. - La aglutinación alrededor de partículas. - La formación de cristales a baja temperatura y su posterior derretimiento. - La acción de vientos en las nubes que produce el choque entre gotitas. 240 Si la gota es arrastrada hacia las alturas con bajas temperaturas, se forma hielo. Las corrientes ascendentes pueden hacer circular el hielo por dentro de la nube una y otra vez. Así se forma el granizo, capa por capa. En cambio si es el cristal no derretido el que se aglutina, caerá a tierra en forma de nieve. De esta forma, nuestra molécula de agua, en una gota, cristal o hielo, continúa su ciclo. 7- Reaprovechamiento Y el agua cae, mojando la tierra, alimentando los ríos o cubriendo de nieve las cumbres y valles. Favoreciendo la fotosíntesis, permitiendo la vida. La travesía de algunas gotas incluye el paseo por ríos subterráneos, tal vez se detenga durante algún tiempo para formar parte de un organismo vivo como el de usted. Pero tarde o temprano volverá a circular por ese gran recorrido, casi eterno del ciclo del agua. Quizá se estanque millones de años en algún glaciar o en los hielos polares y despierte de su letargo para regar los lagos y océanos. Esa circulación de las moléculas de agua se debe en su mayor parte a la acción térmica del Sol que genera los vientos, propicia la evaporación y provee a los mares del inmenso movimiento interno de las corrientes oceánicas. No dejemos de lado a la gravedad, protagonista de esta parte fundamental del ciclo del agua, de hacer correr los ríos al mar, de hacer caer la lluvia y de evitar que el agua se pierda por el espacio, aunque un poco siempre termine escapándose. 241 En síntesis, la energía del Sol y la atracción de la gravedad ponen en movimiento este monumental mecanismo que moviliza a las inanimadas moléculas de agua, tal vez bebidas por un Tiranosaurio hace millones de años, arrastradas luego por la corriente de un río montaña abajo, evaporada más tarde y arrastrada por los vientos para ser precipitada junto a otras moléculas. Así caer en una refrescante tormenta en el Kilimanjaro y "ver" como generaciones pasan y las especies evolucionan. Observe la canilla más próxima. La tímida gota que puede estar cayendo ahora cuenta una historia de variación y repeticiones, es testigo no viviente de una leyenda real que viene perdurando millones de años. 8- Ciclo «Todos los ríos van al mar, y sin embargo éste nunca se llena», escribía un sabio en la Biblia. Y esa es la historia de un ciclo. Aunque vale aclarar que no se trata de un recorrido tan claro como se suele dibujar, o siguiendo un orden como lo presentamos aquí. En la mayoría de los libros y enciclopedias figura este esquema donde el agua se evapora del mar, se condensa en nubes arrastradas por el viento y desciende en forma de lluvia, llegando por un río de vuelta al mar. 242 A veces la lluvia se evapora antes siquiera de tocar la tierra; éste fenómeno recibe el nombre de virgas. También el agua se evapora mientras corre el río, o se condensa en cavernas y formando el rocío. Sucede también, como dijimos, que parte de esta masa de agua del planeta queda estancada miles de millones de años en los hielos polares, nieves eternas y glaciares. Existen mares cuya evaporación supera el aporte del líquido afluente y de lluvias, secándose lentamente como el caso del Mar Muerto, que recibe agua en forma constante y a pesar de no tener salida de agua visible por ningún lado, aún así su nivel no sube, por el contrario, baja. Está evaporándose paulatinamente. Marcamos estas excepciones para señalar que el ciclo del agua no es un ciclo tan prolijo. Simplemente se ordena para ser explicado comenzando en algún punto arbitrario para concluir, como ahora, en algún sitio donde no cueste demasiado imaginar qué sucederá a continuación con las inquietas moléculas de agua. Física - Electrodinámica 1° Un Anillo de radio a tiene una carga Q distribuida uniformemente. Si λ es la densidad de carga lineal, determina una expresión para el campo creado a lo largo del eje del anillo a una distancia x del centro y analiza el resultado cuando x = 0 y cuando x >> a. 243 2° El potencial de cierta región varía según la expresión : V( r ) = 3x2y + 2x3yz-y3z2 V. Deduce la expresión para el campo eléctrico en dicha región y calcula su valor en el punto (1,1,1). Solución: 12,16 N/C 3° Dos cargas de Q1 y Q2, de -2 μC y 2 μC, respectivamente, están situadas en un plano cuyas coordenadas son (-2,0), la primera, y (2,0) la segunda. Calcula la fuerza ejercida por esas dos cargas sobre otra carga Q3 de -3 μC, de coordenadas (0,4). Solución: 2,4•10-3 N 4° Sobre una carga de - 2 μC situada en el origen actúa una fuerza de 0,002 jN. Calcula: a) El campo eléctrico en dicho origen. b) La fuerza que actuaría sobre una carga de 10 μC Solución: a) -1000 jN/C b) -0,01 jN 5° Una esfera de 5 g de masa tiene una carga de -4 μC. ¿ Cuál debe ser el campo eléctrico que habríamos de aplicar para que la esfera permanezca en reposo sin caer al suelo? Sol: -12250 jN/C 6° Una bolita de corcho de 2 g de masa pende de un hilo ligero que se halla en el seno de un campo eléctrico uniforme E = (4.i + 3.j).105 N/C. En esa situación, el ángulo que forma el hilo con la vertical es de 30°. Determina: a) La carga de la bolita b) La tensión del hilo. Solución: 1,97•10-8 C; 0,016 N 244 7° Dos esferas de 5 g están suspendidas de sendos hilos de 20 cm de longitud . Si las esferas tienen cargas de 3•10-8 C y -3•10-8 C, respectivamente, y se hallan en el seno de un campo eléctrico uniforme en la dirección del semieje positivo, determina la intensidad del campo eléctrico cuando el sistema queda en equilibrio y los hilos forman un ángulo de 15° con la vertical. Sol: 462 841 N/C 8° Dos esferas conductoras tienen por radios 90 y 45 cm respectivamente, y se hallan cargadas de modo que sus superficies están a un potencial respecto del infinito de V1 = 10 V y V2 = 20 V. Si se encuentran en una zona del espacio vacío y entre sus centros existe una separación de 10 m , calcula: a) La fuerza que ejercen entre sí ambas esferas b) El campo eléctrico en el punto medio de la recta que une sus centros. c) La carga que quedará en cada esfera si ambas se unen con un cable conductor de capacidad despreciable. Solución: a) 9•10-11 N b) 0; c) Q`1= 1,33•10-9 C; Q`2= 0,66•10-9 C; 9° En los puntos (1,0) y (0,1 ) de un sistema cartesiano plano cuyas dimensiones se expresan en metros existen dos cargas fijas de +1/9 y -1/3 μC, respectivamente. Determina el trabajo necesario para trasladar una carga de +3 μC, desde el origen de coordenadas hasta el punto (1,1). Sol: 0 10° Entre dos placas planas y paralelas, separadas 40 cm entre sí, con cargas iguales y de signo opuesto, existe un campo eléctrico uniforme de 4000 N/C. Si un electrón se libera de la placa negativa: a) ¿Cuándo tarda dicho electrón en chocar contra la placa positiva? ¿Qué velocidad llevará al impactar? 245 Solución: 3,3•10-8 s; 2,3•107 m/s 11° Una pequeña esfera de 0,5 g y con una carga de 6 nC cuelga de un hilo. Cuando el sistema se introduce entre dos placas planas verticales y cargadas, separadas entre sí 10 cm, se observa que el hilo forma un ángulo de 15° con la vertical. ¿Cuál es la diferencia de potencial existente entre las placas? Solución: 21882,5 v 12° Un campo eléctrico uniforme de valor 200 N/C tiene la dirección del eje X. Si se deja en libertad una carga de 2 μC, que se encuentra en reposo en el origen de coordenadas: a) ¿Cuál será la variación de energía potencial cuando la carga se encuentre en el punto (4,0)? b) ¿Cuál será su energía cinética en ese punto? c) ¿Y la diferencia de potencial entre el origen y el punto (4,0)? Solución: -1,6•10-3 J; 1,6•10-3 J; -800V 13° Se tiene un plano de grandes dimensiones con una densidad superficial de carga de 3•10-9 C/m2; calcula: a) el campo eléctrico uniforme que genera b) El trabajo que se realiza al desplazar una carga de -2 μC desde el punto A, a 2 cm de la placa , hasta el punto B, a 8 cm de la misma. Solución: 169,6 N/C; 2•10-5 J 14° Si se coloca de forma vertical una superficie plana cargada uniformemente y se cuelga de ella mediante un hilo de seda de masa despreciable, una esfera de 2 g con una carga de 4 nC, observamos que el ángulo que se forma son 35°. ¿Cual es la densidad superficial de carga de dicha superficie? Solución: 6•10-5 C/m2 246 Física - Optica ESPEJOS Y LENTES REFLEXION DE LA LUZ La luz tropieza con la superficie de un cuerpo cualquiera, es difundida parcial o totalmente en todas las direcciones posibles. No ocurre lo mismo cuando la superficie del cuerpo está totalmente pulimentada. Entonces, la superficie devuelve el luminoso en una dirección única que depende de la posición rayo con respecto a está superficie: se dice que el rayo se ha reflejado, y que la superficie reflectora es un espejo. La forma sencilla de los espejos es de un plano. La naturaleza nos ofrece un ejemplo en la superficie de los lagos o de las aguas tranquilas, y el hombre, desde la épocas más remotas, ha construido espejos de metal pulimentado. Mucho más tarde se fabricaron espejos de vidrio o de cristal, que reflejaban la luz mediante una a de amalgama de estaño (estaño disuelto en el mercurio, estaño de los espejos) y solamente hace menos de un siglo se ha reemplazado el estaño por una capa delgada de plata depositada por vía química. Es sabido que los cristales o espejos planos producen, de los objetos situados delante de ellos, imágenes semejantes a dichos objetos. Estudiando el mecanismo de formación de estas imágenes llegaron los sabios de la Antigüedad al descubrimiento de las leyes de la reflexión, que se encuentran ya formuladas, por ejemplo, en el tratado de Euclides: La Catóptrica (300 años antes de J.C., aproximadamente). IMAGENES PRODUCIDAS POR UN ESPEJO PLANO Tracemos un círculo y diámetro en un plano horizontal y dispongamos después verticalmente un espejo no plateado a lo largo del diámetro. Tomemos después dos bujías del mismo diámetro y de la misma longitud, una de las cuales se colocará en el círculo ante un espejo, que nos dará, por reflexión, su imagen. Procuremos entonces colocar la segunda bujía de forma que se superponga a la imagen observada en el espejo, lo que se logrará después de algunos tanteos, con tanta exactitud, que será imposible distinguir la segunda de la imagen de la primera. La ilusión es tan perfecta que si se enciende la bujía situada ante el espejo, la segunda parecerá también encendida y el dedo que toca la mecha parecerá situado en la llama. (Figura 1) 247 Fig. 1 Cuando se ha obtenido esta coincidencia entre la segunda bujía y la imagen de la primera, se comprueba que la bujía número dos está también situada en el circulo, en la intersección de la perpendicular trazada desde la bujía numero no sobre el diámetro. Esta disposición es sólo la simetría con respecto a un plano - el espejo - que se estudia en geometría. Se observa, además, que las distancias de las bujías al espejo son iguales, y que la imagen es también igual al objeto. Dicho de otra forma, los rayos luminosos, después de reflejados por un espejo plano, parecen proceder de puntos del espacio situados detrás del espejo y simétricos del objeto. Un rayo luminoso trazado desde el punto A que llega al espejo M en el punto I se refleja según IR,como si viniera del punto A ´, sobre la perpendicular AH, tal como A ´ H = AH. (Fig. 2) Fig. 2 Tracemos en la I la perpendicular IN, llamada también normal, al plano del espejo : el rayo Al se denomina rayo incidente. I es el punto de incidencia ; el plano AlN, perpendicular al espejo y es que contiene a la vez el rayo y la normal, se denomina plano de incidencia, el ángulo AlN será el ángulo de incidencia î, mientras que el ángulo RIN, que forma el rayo reflejado y la normal, se denomina ángulo de reflexión r. PRIMERA LEY DE LA REFLEXION. Los triángulos rectángulos AHI y A ´ HIR, que tienen un cateto común Hl y los otros dos lados iguales, AH = A ´ H, son iguales. Los ángulos HAI y HA ´ I son también Iguales, pero los ángulos r y HA ´ I por correspondientes; por consiguiente, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, que es la segunda ley de reflexión. 248 PROPIEDADES DE LAS IMAGENES PRODUCIDAS POR LOS ESPEJOS PLANOS Los rayos reflejados por los espejos planos parecen proceder de imágenes- situadas detrás de dichos espejos: las imágenes carecen de existencia real, y se dice que son virtuales. Consideremos ahora un rayo incidente RIA ´ dirigido hacia A ´ es detenido por el espejo en I y reflejado según IA de forma que A puede también considerarse como una imagen, esta vez real, del objeto virtual A. El hecho que la luz pueda circular a lo largo de los rayos luminosos, en ambos sentidos, sin que se cambie de trayecto, es muy importante y constituye lo que se denomina principio del retorno inverso de la luz. Se verá más adelante que un sistema óptico cualquiera, una imagen y su objeto son conjugados, es decir, que si se coloca un objeto. Si rayos luminosos que convergen en el mismo punto son detenidos por un espejo plano, convergerán después de reflejados, formando un verdadero punto luminoso, que es entonces una imagen real. Las imágenes producidas por loe espejos planos tienen las mismas dimensiones que los objetos correspondientes, pero de ellos no se deduce que sean iguales. El objeto y la imagen no pueden superponerse, pero son simétricos con respecto a un plano como lo son la mano derecha y la mano izquierda; como se sabe, no es posible introducir la mano derecha en un guante izquierdo, ni inversamente. Resulta, pues, que un texto escrito o impreso no puede leerse mediante reflexión en un espejo; pero si los rayos luminosos se reflejan nuevamente en un segundo espejo, la imagen sufre una segunda inversión; así, un texto se hace legible mediante dos reflexiones. CAMPO DE ESPEJO Un espejo no da solamente la imagen de una parte restringida del espacio situado ante él; la experiencia muestra que esta porción, visible por reflexión, denominada campo del espejo, depende a la vez de la posición del observador y de las dimensiones del espejo. En efecto, los únicos rayos incidentes que penetran en el ojo O del observador, previa reflexión, son evidentemente los dirigidos hacia O ´, imagen de O en el espejo. Los 249 únicos objetos visibles en el campo del espejo son, pues, los que están situados en el interior del tronco de cono o de pirámide, de vértice O ´, circunscrito al espejo. (Fig.. 3). Fig. 3 ESPEJOS PARALELOS Consideremos que dos espejos planos M1 y M2 exactamente paralelos, cuyas caras reflectoras están orientadas hacia el objeto situado entre ambos. El observador situado hacia A ve un número imágenes tanto mayor cuanto más largos son los espejos. (Fig. 4). Fig. 4 En efecto, un rayo luminoso como el R1 es reflejado por el espejo M1 como si procediera de la imagen O ´ 1 simétrica de O con respecto al plano M1 después encuentra el segundo espejo M sobre el cual se refleja de nuevo como si procediera de la imagen O ´ 1 producida por M2 es decir, de O ´ 1/2 en el espejo M1 y, por consiguiente, de O1,2,1; una nueva reflexión puede producirse sobre M2, etc., pero existe otra segunda serie. En efecto, un rayo como R2 que incidiera primeramente sobre el espejo M2 se alejaría como si procediera de la imagen O" 2.1.2 etc. Todas estas imágenes están alineadas sobre una misma recta perpendicular a los dos lados de los espejos que pasan por O. Es fácil ver que están dispuestas alternativamente de cara y de espalda, y que las distancias entre ellas son alternativamente 2a y 2b si a y b son las distancias del objeto O a los espejos M1 y M2 respectivamente. 250 Cuando los dos espejos no son exactamente paralelos, las imágenes están ya alineadas sobre una misma recta, sino sobre un circulo radio más o menos grande; esta observación permite ajustar el paralelismo de los espejos. ESPEJOS ANGULARES Supongamos ahora que los espejos M1 y M2 sean rectangulares: Encontraremos, como en el caso anterior, dos series de imágenes, pero en un número muy limitado, debido a que: un rayo luminoso trazado desde el objeto O no puede sufrir más que dos reflexiones, en los casos más favorables, y 2°, ciertas imágenes coinciden. El rayo luminoso R1 se refleja sobre M1 (Fig. 5). Fig. 5 Como si procediera de la imagen O ´ 1 después de encontrar M2 es reflejado en dirección de la imagen O ´ 1,2, y no puede sufrir otras reflexiones, antes de ser recibido por el observador. Un segundo rayo como el R 2 que se refleja primeramente en M 2procedente de la imagen O ´ 2 cae después sobre el espejo M1, por e que es reflejado de nuevo como si procediera de la imagen O ´ 2,1, simétrica de O ´ 2 con respecto al plano M1. Es evidente que las imágenes O ´ 1,2 y O ´ 2,1 coincidan en posición y sentido, y que, además, las tres imágenes del objeto están situadas sobre un mismo circulo de centro C y radio CO. Si el ángulo que forman los espejos no es exactamente de 90 °, las dos imágenes O ´ 1,2 y O ´ 2,1 ya coinciden; su distancia es tanto mayor cuanto más difiere de 90° el ángulo que forman los espejos. Así se tiene un procedimiento cómodo para ajustar la perpendicular de dos espejos. Consideremos el caso en que el ángulo de los espejos es de 60°. La (Fig. 6) 251 Fig. 6 muestra que se observan entonces cinco imágenes situadas e un circulo que pasa por el objeto. De una manera general, si el ángulo de los espejos es 1/n de circunferencia, el número de imágenes es n - 1. Por ejemplo, para el ángulo de 45°, que es de 1/8 de circunferencia, habrá 8 - 1 = 7 imágenes. CALEIDOSCOPIO Este instrumento, debido al físico inglés Sir David Brewster (1818), es una aplicación de los espejos angulares. En un cilindro bastante largo se introducen dos espejos, que forman entre si un ángulo de 60° Uno de los fondos del tubo cilíndrico está constituido por un vidrio de color, barbas de plumas, etc., cuyas posiciones relativas pueden variar sacudiendo el instrumento o golpeando ligeramente el tubo. El observador mira los objetos y sus imágenes a través de un agujero pequeño perforado el otro lado del tubo. Las imágenes, a causa de su simetría, forman motivos decorativos susceptibles de interesar a los dibujantes. (Fig. 7) Fig. 7 ESPEJO TRIPLE Se disponen tres espejos planos, perpendiculares entre si, de forma que se constituyan un triedro trirrectángulo. En una habitación, dos paredes continuas y el suelo forman un triedro trirrectángulo). 252 Un rayo luminoso que incida en uno de los tres espejos sufre varias reflexiones, siendo finalmente devuelto, paralelamente a su dirección primitiva, hacia la fuente luminosa. Esta propiedad no depende de la orientación del triedro con respecto al rayo (Fig.8). Fig. 8 Este sistema de espejos se utiliza en las señalizaciones. Una de as estaciones está dotada de un proyector orientado hacia el espejo triple, colocado en la segunda estación. Los rayos luminosos, después de sufrir una reflexión, regresan hacia el proyector y sólo pueden ser recogidos por los vigías de la primera Estación. Los señalizadores de la segunda estación corresponden con la primera estación maniobrando ante el espejo triple una pantalla opaca con un arreglo a un código convenido; los de la primera estación pueden responder maniobrando una pantalla situada ante su proyector. ESPEJO GIRATORIO Cuando gira un espejo plano, los rayos reflejados son desviados e imagen se desplaza; se estudiara sólo el caso más simple, que es también el más importante, el de un espejo que gira alrededor de un eje situado en un plano. Cuando el espejo M gira del ángulo â alrededor del eje I, el rayo reflejado IR toma la dirección IR1 obtengamos el valor del ángulo RIR1. La normal IN en el punto de incidencia ha girado también el ángulo â y se encuentra en IN1 el ángulo de incidencia î + NIN1 = = î + â; con arreglo a ley de la reflexión, este valor es también el de nuevo ángulo r1 = N1IR1, pero (Fig.9) Fig. 9 253 N1IR1 = NIR - NIN 1 = NIR + RIR 2- NIN o î + a = î + RIR1 - â es decir RIR1 = 2ª Así pues, el rayo reflejado gira de un ángulo exactamente doble espejo. Más adelante se verá la aplicación de este resultado a medida del ángulo. En cuanto a la imagen O ´ del objeto O es arrastrada por la rotación espejo hacia O ´ 1Como las distancias Ol y O ´ 1I son ambas iguales a 0I, resulta que la imagen O ´ se desplaza sobre una circunferencia de centro I y de radio I0 (Fig. 10). Fig. 10 Cuando se desplaza un espejo plano permaneciendo paralelo a si mismo (traslación) por ejemplo de M a M1 muestra la figura que la del punto 0 que va desde O ´ a 0 ´ 1 se desplaza el doble: O ´ 01 = 2MM1 (Fig.11) Fig. 11 HELIOSTATOS Entre las numerosas aplicaciones de los espejos planos pueden citarse los helióstatos. Los rayos solares muy intensos pueden utilizarse con provecho para iluminar instrumentos de física o de observación. Para ello basta con enviarlos, mediante un espejo, en la dirección escogida, pero es necesario modificar continuamente la posición de este espejo para compensar el desplazamiento del sol en horizonte, desplazamiento 254 que varia con la hora y la latitud del lugar. Se han construido instrumentos denominados helióstatos en los cuales un mecanismo accionado por un pequeño reloj mantiene los rayos reflejados por el espejo en una dirección fija. ESPEJOS ESFERICOS.- Entre los espejos cuya superficie reflectora es curva, los más sencillos de construir son los espejos esféricos. Casquetes esféricos de metal o vidrio plateado, que pueden clasificarse en dos grupos, según que la superficie reflectora sea hueca o bombeada: espejos cóncavos y espejos convexos, respectivamente. Se denomina eje óptico principal la recta que por el centro C de la esfera, es perpendicular al plano base el casquete y atraviesa el espejo en el polo o vértice S. (Fig. 12) Fig. 12 ESPEJOS CONCAVOS. En el estudio de estos espejos seguiremos la misma marcha que en el de los espejos planos, empezando por determinar experimentalmente la naturaleza, posición y magnitud de sus imágenes. La abertura del espejo o su diámetro AB del circulo base; su abertura angular es el ángulo ACB Nos limitaremos en nuestro estudio a los espejos de pequeña abertura, con diámetro inferior a la mitad del radio de la esfera, que corresponde a un ángulo menor que 20 a 25°. 1. Tomemos un objeto muy luminoso situado a gran distancia del espejo; suele decirse en este caso que el objeto está infinitamente alejado del espejo o que está situado en el infinito (para ello basta que el objeto esté situado a una distancia comprendida entre 50 a 100 veces el radio de curvatura del espejo). Podrá utilizarse para ello una lámpara eléctrica. Tratemos de recoger los rayos reflejados sobre una pequeña pantalla de cartón blanco, y comprobemos que la mitad la distancia entre el centro de espejo y su vértice se tiene una imagen muy clara, pero muy pequeña, e invertida, de la lámpara y de los objetos situados a su alrededor; el máximo de nitidez se obtiene cuando la pantalla está situada perpendicularmente al eje óptico que pasa por la lámpara. Este plano en el que 255 se encuentran las imágenes de todos los puntos infinitamente alejados, se denomina plano focal del espejo. 2. Aproximemos el objeto al espejo, de forma que la imagen permanezca al principio en el plano focal, después, a medida que el objeto se aproxima al objeto. 3. La imagen de la pantalla es siempre invertida, y aumentada cada vez más. (Fig. 13). Fig. 13 El ramillete mágico (El espejo da una imagen real derecha del ramo invertido y la maceta vacía parece una maceta de flores) 4. Cuando el objeto llega al plano frontal (perpendicular al eje óptico) que pasa por el centro C del espejo, la pantalla donde recoge la imagen debe estar también colocada en el mismo plano; esta imagen, siempre invertida (Fig. 14), tiene exactamente la misma dimensión que el objeto. Fig. 14 5. Si continúa aproximándose el objeto, la imagen sigue alejándose cada vez más rápidamente, llegando a ser, siempre invertida, mayor que el objeto. 6. Cuando el objeto se encuentra en el plano focal, la imagen se encuentra en el infinito su dimensión es enorme y, por consiguiente, es muy poco luminosa. Encontramos en los 256 párrafos 4 y 5 resultados conformes con el principio del retorno inverso de la luz relativo a la intercambiabilidad de la imagen y el objeto. 7. Cuando el objeto sobrepasa el plano focal, aproximándose al espejo, no es posible recoger la imagen en una pantalla; la imagen, que hasta ese momento era real, se hace virtual. Si nos colocamos de forma que recibamos en el ojo una parte de los rayos reflejados, observamos una imagen todavía mayor que el objeto, pero del mismo sentido, es decir, derecha, y que disminuye cuando el objeto se aproxima al espejo (Fig. 16) Fig. 16 El espejo cóncavo puede dar, pues, imágenes reales y virtuales. Las imágenes y el objeto se desplazan siempre en sentido inverso. Es posible, valiéndose de los resultados de las experiencias precedentes, trazar una curva que permita encontrar la posición de la imagen, conocida la del objeto, o inversamente. Tomemos dos es de coordenadas rectangulares SP y SP ´ (Fig. 16). Sobre el eje abscisas SP se llevan las distancias p del objeto al vértice del objeto, y sobre el eje de ordenadas SP ´ las distancias correspondientes p ´ de la imagen del espejo. La curva que une los representativos obtenidos pasa por el punto de coordenadas p = R y p ´ = R la curva es una hipérbola equilátera, cuyas asíntotas son paralelas a los ejes de coordenadas, a la distancia R denomina distancia o longitud focal f la mitad del radio de altura R del espejo. También se puede representar por una curva el aumento lineal, es decir, la relación entre las dimensiones de la imagen y el objeto a las diversas distancias p del objeto al espejo. Para ello a con medir la imagen en la pantalla. Esta relación será negativa cuando la 257 imagen sea invertida, como sucede cuando p varia entre f y el infinito, forma se obtiene una rama de otra hipérbola. DE LOS ESPEJOS CONCAVOS. Aplicando las leyes de la reflexión a los espejos esféricos cóncavos es posible obtener la dirección de los rayos reflejados, debiendo llegarse de nuevo, mediante razonamiento, a los resultados de las experiencias anteriores, la teoría permitirá establecer, además, fórmulas matemáticas y construcciones gráficas que fijen la posición, la dimensión y el sentido de la imagen. Sea M un espejo esférico (Fig. 17) de centro C y vértice S, y consideremos un rayo incidente Al procedente del objeto A, situado cerca del eje óptico, y que encuentra el espejo en I. Fig. 17 Para determinar el ángulo de incidencia que traza la normal a la superficie en el punto I; como en una esfera los radios son perpendiculares a los planos tangentes, estos radios son:, por consiguiente, las normales buscadas. El rayo reflejado IR tendrá, pues, que: 1) Estar en el plano AIC, que tomaremos como palmo de la figura, y 2) Formar con IC un ángulo igual al AIC. Para encontrar más fácilmente la dirección del rayo reflejado, se traza por el centro C un radio CS ´ paralelo al rayo luminoso incidente Al (CS ´ es un eje óptico secundario). El rayo reflejado IR corta CS ´ . En efecto, los ángulos AlC y ICS ´ son iguales por alternos internos, y el triángulo ICF ´ es isósceles,siendo FC = IF ´ . Si se traza desde F ´ la perpendicular F ´ H a IC se tendrá: IH = HC R/2 siendo R el radio de la esfera; en el triángulo IF ´ C, F ´ C difiere muy poco de C, y por lo tanto, de R/2 y F ´ está muy cerca del punto medio de S ´ C. En el triángulo H C F ´ HC/2 = F ´ C.cos î ICF ´, por lo que, si î es el ángulo de incidencia: 258 HC = R/2 = F ´ C.cos î FC = R/2.cos î En virtud de la hipótesis que hemos formado, la abertura del espejo la semiabertura angular es pequeña, y el ángulo î = ICS ´ es inferior a la semiabierta angular, y por consiguiente menor de 10%; es decir, cos î está comprendida entre Cos 0° y Cos. 10°, o sea entre 1 y 0,985. F ´ C, que es igual a R/2, cuando î es muy pequeño y próximo de 0° aumenta ligeramente hasta R/2, cuando î vale 10°, que es ya un ángulo notable. CONVEXOS Son espejos esféricos que reflejan los rayos por su cara convexa. Comprueba inmediatamente que es imposible obtener imágenes reales de los objetos que se colocan ante tales espejos; sólo dan imágenes virtuales derechas y más pequeñas que el objeto. TEORIA DE LOS ESPEJOS CONVEXOS Los rayos paralelos se reflejan como si procedieran de un foco situado en el eje secundario paralelo a los rayos incidentes, pero este foco es, en este caso, virtual, y los rayos reflejados divergen. Puede hacerse nuevamente sobre la figura el mismo razonamiento que en el caso de los espejos cóncavo. Un punto A tiene su imagen virtual A ´ en el eje secundar o AC. Se hará de SB = p, SB ´ = p, observando que si se escoge como sentido positivo el inverso de la luz incidente (es decir, desde S hacia A tanto p, como la longitud focal SF son negativos, se obtiene en nuevo la relación. Fig. 18 259 1/P + 1/P ´ = 1/f ESPEJOS PARABOLICO Hemos visto que cuando la abertura de un espejo esférico se hace a vez mayor, los rayos paralelos dirigido hacia los bordes del espejo (rayos marginales) pasan al reflejarse por puntos que se separan cada vez más del foco (rayos centrales). Esta desviación denomina aberración de esfericidad, y es del 1,5 por ciento para abertura de 20° 3,5 por ciento para abertura de 30° 6,4 por ciento para abertura de 40° 12,1 por ciento para abertura de 60° Esta aberración es la que hace que los espejos cóncavos no puedan utilizarse en los proyectores de ciertos telescopios, por lo que emplean espejos cuya superficie es un paraboloide de revolución. Los espejos son los denominados parabólicos, porque su superficie la engendrada por la rotación alrededor de su eje de la curva nominada parábola. La propiedad fundamental de esta curva es la siguiente (Fig. 19) Fig. 19 Sobre el eje de simetría de la curva existe un foco F tal que un rayo vector FI cualquiera forma con la normal de la curva IN un ángulo igual al que forma una paralela IR al eje con la misma normal. Esta propiedad nos permite asimilar FI a una rayo luminoso incidente, e IR al rayo reflejado, o inversamente. Por consiguiente, no se produce aberración alguna en el foco de estos espejos, a los cuales pueden darse una gran abertura. Los proyectores de los automóviles son espejos parabólicos en cuyos focos se colocan pequeñas lámparas 260 eléctricas de filamentos muy cortos, que constituyen fuentes luminosas puntuales. Gracias al excelente rendimiento de estos espejos, de gran abertura, el alcance y la luminosidad de estos faros son considerables. LA LONGITUD FOCAL DE UN ESPEJO ESFERICO. Si se conoce el radio de curvatura R se tendrá inmediatamente f = R/2. En el caso de un espejo cóncavo bastará: 1) Medir la distancia p de un objeto y la p ´ de su imagen al espejo, y aplicar después la fórmula 1/P + 1/P ´ = 1/f Es ventajoso tratar de obtener la imagen en el mismo plano que el porque entonces p = p ´ = 2f; 2) Medir el diámetro de la imagen focal del sol: F = 0,0093 Fig. 20 LENTES DIOPTRIO ESFERICO.- Es estudio de la refracción de un rayo luminoso a través de una superficie esférica (porción de esfera o casquete esférico) que separa dos medios refringentes diferentes es importante porque permite establecer fácilmente la teoría de los lentes. Puede construirse un dioptrio esférico tallando una superficie esférica en el extremo de una varilla de vidrio cilíndrica. Un medio todavía más simple consiste en pegar en a extremidad de un vidrio de lámpara cilíndrica un vidrio de reloj esférico delgado. 261 El sistema, mantenido verticalmente, se llena de agua (Fig. 1) Fig. 1 FORMULA DEL DIOPTRIO. Toda da recta que paso por el centro de la esfera es un eje óptico. Consideremos un punto luminoso P (Fig. 2), que forme con el centro de la esfera el eje óptico PO. Demostraremos que un rayo luminoso cualquiera como el PI, siempre que forme con el eje óptico un ángulo que no exceda de algunos grados,se refracta según IP ´, pasando por un punto fijo P ´ del eje óptico. Este punto es, por consiguiente, la imagen del punto objeto P. Fig. 2 VERIFICACION EXPERIMENTAL La fórmula del dioptrio puede verificarse utilizando el dispositivo el vidrio de lámpara llena de agua. El objeto será una lámpara eléctrica; se buscará la imagen utilizando un pequeño vidrio esmerilado sumergido en el agua y manteniendo en el extremo de una ranura metálica. Se comprobará fácilmente que un pequeño objeto perpendicular al eje óptico tiene una imagen también perpendicular a este eje. Una construcción geométrica sencilla permite obtener la imagen cuando se conoce la posición de los focos F y F ´. (Fig. 3) 262 Fig. 3 Un rayo procedente del punto A y paralelo al eje óptico se refracta, como si procediera de un punto infinitamente alejado, pasando por el foco F ´ Análogamente, un rayo incidente AF que pase por el foco-objeto, se refracta paralelamente al eje, porque la imagen de F está infinitamente alejada de S. Esos dos rayos refractados se cortan en A, imagen el punto A, y la imagen del objeto AB es A ´ B. Pueden observarse que el rayo incidente AO, que pasa por el centro de la esfera, se refracta sin desviación y alcanza A ´. LENTES ESFERICAS DELGADAS Se denominan lentes sólidos de materia transparente: vidrio, cristal,cuarzo, sal gema, etc., que constan de dos caras, que son casquetes esféricos, o bien una cara plana y otra esférica. El borde de los lentes suele ser, por lo general, circular, pero puede también tener otra forma; por ejemplo, los cristales de los antiguos anteojos eran ovalados o elípticos. Se denomina eje óptico de una lente la recta que pasa por los centros O y O ´ de las dos esferas que limitan la cara, o la recta que pasa por el centro de la esfera perpendicular a la cara plana. Este eje atraviesa la lente en dos puntos S y S ´ denominados vértices. (Fig. 4). Fig. 4 Pueden ocurrir dos casos: o bien el espesor de la lente en el centro, es decir, la distancia SS ´ entre los vértices es superior al espesor del borde, en cuyo caso se dice que la lente es convergente, o bien, inversamente, el espesor en el centro SS ´ es menor que el borde, 263 y entonces la lente es divergente. En cada tipo de lente se encuentran tres formas posibles, que tienen nombres particulares y que describiremos a continuación, agrupándolas en un cuadro para mayor claridad. (Fig. 5). Fig. 5 1. Biconvexa; 2. Planoconvexa; 3. Menisco convergente, Bicóncava; 5. Planocóncava; 6. Menisco divergente. ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LAS LENTES CONVERGENTES 1) Dirijamos la lente hacia objetos muy alejados, pero bien iluminados. Sobre una pantalla de papel o cartón blanco, o sobre un vidrio esmerilado, podrá obtenerse una imagen real invertida y muy pequeña de los objetos. Los rayos luminosos que han atravesado la lente convergen en la pantalla colocada detrás de la misma, a una distancia determinada que se llama, en este caso, distancia o longitud focal (figs. 5 y 6). El plano en el que está situada la pantalla es el plano focal, es atravesado por el eje óptico en un punto especialmente importante: el foco principal imagen (los restantes puntos del plano focal en los focos secundarios). FIG. 5 264 FIG. 6 Si se invierten las caras de la lente (delgada), el plano focal vuelve a encontrarse a la misma distancia. 2) Aproximemos el objeto a la lente. Sea este objeto, por ejemplo, una bujía o una lámpara cualquiera. Se comprueba que es necesario alejar la pantalla para obtener una imagen neta, siempre invertida, pero mayor que la anterior. (Fig. 6 [2]). 3) Cuando el objeto está situado a una distancia de la lente exactamente igual al doble de la longitud focal, hay que colocar la pantalla detrás de la lente, a una distancia también doble de la longitud focal. La imagen, que continúa siendo invertida, tiene entonces la misma dimensión que el objeto (Fig. 6 [3]). 4) Continuemos aproximando el objeto a la lente; la imagen se aleja cada vez más y continúa aumentando, siempre invertida (Fig. 6 [4]). 5) Cuando la distancia del objeto a la lente es igual a la longitud focal, ya no puede recogerse su imagen en la pantalla, por estar demasiado alejada: se dice que la imagen está en el infinito. Nos encontramos entonces en el caso inverso al primero. El objeto es el que ocupa el plano focal situado adelante de la lente (plano foco-objeto) y la imagen está infinitamente alejada. A este plano focal le corresponde un foco principal objeto (Fig. 6 [5]). 6) Acerquemos el objeto todavía más, situándolo entre el foco y la lente: no podrá obtenerse imagen alguna sobre la pantalla, cualquiera que sea la posición de está ultima. No obstante, si nos colocamos detrás de la lente, divisaremos al mismo lado que el 265 objeto una imagen aumentada y del mismo sentido que el objeto, es decir, una imagen virtual y derecha (Fig. 6 [6]). LENTES DIVERGENTES. Seguiremos en el estudio de estas lentes la misma marcha que en el caso de los convergentes. No es posible recoger en una pantalla la imagen de un objeto real, cualquiera que sea su posición con respecto al lente. Es posible, no obstante, ver esta imagen 1 que parece situada al mismo lado que el objeto con respecto a la lente, y más cerca de esta última; por consiguiente, es virtual y derecha, del mismo sentido que el objeto. Existe, también, un plano focal-imagen virtual, en el que se encuentran situadas las imágenes de los puntos infinitamente alejados de la lente. Los dos focos principales equidistantes también de la lente, pero están invertidas, por hallarse el foco-objeto F a la derecha, si el sentido de la luz es de izquierda a derecha, y el foco-imagen F a la izquierda. DEFECTOS DE LAS LENTES Las lentes, incluso delgadas, presentan defectos, denominados también aberraciones. Estas aberraciones pueden manifestarse de diferentes formas, según las propiedades que traten de obtenerse: 1) Si se desea obtener de un punto-objeto una imagen lo más fina posible (como sucederá con los anteojos astronómicos), habrá que corregir la aberración de esfericidad del sistema óptico. Esta aberración se manifiesta de que por el hecho que los rayos refractados por los bordes de la lente (rayos marginales) cortan el eje óptico en puntos que están más cerca de la lente que los rayos centrales. (Fig. 7). Es posible suprimir está aberración con una sola lente, ya que depende del índice del vidrio, de los radios de curvatura (forma de la lente), de su orientación con respecto a la luz incidente y de la distancia del objeto. Es mínima para un objeto situado en infinito cuando el radio de la cara de entrada es seis veces menor que el de la cara de salida. En la práctica, se toma la forma planoconvexa. Para suprimir la aberración de esfericidad, hay que utilizar varios lentes. 266 2) Una de las aberraciones más molestas de /as lentes es la aberración cromática; consideraremos una lente convergente que da en su foco la imagen de una fuente luminosa blanca muy alejada. Los bordes de la lente, actuando como prismas de ángulos pequeños (Fig. 8). Desvían más los rayos rojos, de donde (Fig. 7 y 8). Desvían más los rayos rojos, de donde resulta que el foco de los rayos azules y violeta se encuentran más cerca de la lente que el foco de los rayos rojos. Fig. 7 y 8 Si se coloca una pantalla en la posición 1, se obtendrá una mancha circular con bordes rojos. En la posición 2, la mancha tendrá un diámetro mínimo, pero sus bordes estarán todavía coloreados, produciendo la superposición del violeta y el rojo púrpura y rosa Pálido. En la posición 3, aparecerá en la pantalla una mancha circula con borde violeta. La distancia entre los focos de los rayos rojos y los rayos azules es relativamente considerable, variando según la naturaleza del vidrio entre 1/60 y 1/30 de la longitud focal. Para corregir esta aberración y obtener lentes acromáticas, se adhieren a lentes convergentes talladas en vidrios poco dispersivos, denominados crowns, lentes divergentes de vidrios muy dispersivos, los flints, constituidos a base de silicato de plomo, como el cristal. En la figura 9 pueden verse tipos de lentes acromáticas corregidas también de la aberración de esfericidad. 3) Las otras aberraciones tiene de particular que dependen no solamente de la posición y de la abertura del diafragma que pueda acompañar a la lente. En primer lugar, la imagen de un objeto plano perpendicular al eje óptico es una superficie curva de revolución alrededor de este eje. sobre una pantalla plana perpendicular al eje se recibe la imagen de un cuadrado, puedo obtenerse una figura cuyos lados son más o menos abombados 267 en forma de la media luna, o bien en forma de tonel (figura 10), esta aberración se llama distorsión, y es debida a que aumento lineal varia al alejarse del eje. Fig. 9 y 10 Señalaremos, finalmente, la última aberración: el astigmatismo, que se manifiesta principalmente si se toma como objeto un plano en el que han trazado círculos centrados en el eje y radios salidos del centro. Es imposible ajustar en una pantalla plana (figuras 11 y 12), círculos y radios al mismo tiempo. Fig. 11 y 12 Se logra corregir más o menos todas estas aberraciones utilizando varios lentes de vidrios diferentes adheridas o separados por intervalos de aire, y disponiendo el diafragma convenientemente, ya delante, detrás o entre los lentes. Física - Optica OPTICA Rama de la física que se ocupa de la propagación y el comportamiento de la luz. En un sentido amplio, la luz es la zona del espectro de radiación electromagnética que se extiende desde los rayos X hasta las microondas, e incluye la energía radiante que produce la sensación de visión. El estudio de la óptica se divide en dos ramas, la óptica geométrica y la óptica física. 268 Naturaleza de la luz La energía radiante tiene una naturaleza dual, y obedece a leyes que pueden explicarse a partir de una corriente de partículas o paquetes de energía, los llamados fotones, o a partir de un tren de ondas transversales (Movimiento ondulatorio). El concepto de fotón se emplea para explicar las interacciones de la luz con la materia que producen un cambio en la forma de energía, como ocurre con el efecto fotoeléctrico o la luminiscencia. El concepto de onda suele emplearse para explicar la propagación de la luz y algunos de los fenómenos de formación de imágenes. En las ondas de luz, como en todas las ondas electromagnéticas, existen campos eléctricos y magnéticos en cada punto del espacio, que fluctúan con rapidez. Como estos campos tienen, además de una magnitud, una dirección determinada, son cantidades vectoriales. Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y también perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. La onda luminosa más sencilla es una onda senoidal pura, llamada así porque una gráfica de la intensidad del campo eléctrico o magnético trazada en cualquier momento a lo largo de la dirección de propagación sería la gráfica de un seno. La luz visible es sólo una pequeña parte del espectro electromagnético. En el espectro visible, las diferencias en longitud de onda se manifiestan como diferencias de color. El rango visible va desde, aproximadamente, 350 nanómetros (violeta) hasta unos 750 nanómetros (rojo), un nanómetro, nm, es una milmillonésima de metro. La luz blanca es una mezcla de todas las longitudes de onda visibles. La velocidad de la luz en las sustancias materiales es menor que en el vacío, y varía para las distintas longitudes de onda; este efecto se denomina dispersión. La relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de una longitud de onda determinada en una sustancia se conoce como índice de refracción de la sustancia para dicha longitud de onda. El índice de refracción del aire es 1,00029 y apenas varía con la longitud de onda. En la mayoría de las aplicaciones resulta suficientemente preciso considerar que es igual a 1. Las leyes de reflexión y refracción de la luz suelen deducirse empleando la teoría ondulatoria de la luz introducida. El principio de Huygens afirma que todo punto en un frente de ondas inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas 269 secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de ondas del que proceden. Con ello puede definirse un nuevo frente de onda que envuelve las ondas secundarias. Como la luz avanza en ángulo recto a este frente de ondas, el principio de Huygens puede emplearse para deducir los cambios de dirección de la luz. Cuando las ondas secundarias llegan a otro medio u objeto, cada punto del límite entre los medios se convierte en una fuente de dos conjuntos de ondas. El conjunto reflejado vuelve al primer medio, y el conjunto refractado entra en el segundo medio. El comportamiento de los rayos reflejados y refractados puede explicarse por el principio de Huygens. Es más sencillo, y a veces suficiente, representar la propagación de la luz mediante rayos en vez de ondas. El rayo es la línea de avance, o dirección de propagación, de la energía radiante. En la óptica geométrica se prescinde de la teoría ondulatoria de la luz y se supone que la luz no se difracta. La trayectoria de los rayos a través de un sistema óptico se determina aplicando las leyes de reflexión y refracción. Optica física Esta rama de la óptica se ocupa de aspectos del comportamiento de la luz tales como su emisión, composición o absorción, así como de la polarización, la interferencia y la difracción. Polarización de la luz Los átomos de una fuente de luz ordinaria emiten pulsos de radiación de duración muy corta. Cada pulso procedente de un único átomo es un tren de ondas prácticamente monocromático (con una única longitud de onda). El vector eléctrico correspondiente a esa onda no gira en torno a la dirección de propagación de la onda, sino que mantiene el mismo ángulo, o acimut, respecto a dicha dirección. El ángulo inicial puede tener cualquier valor. Cuando hay un número elevado de átomos emitiendo luz, los ángulos están distribuidos de forma aleatoria, las propiedades del haz de luz son las mismas en todas direcciones, y se dice que la luz no está polarizada. Si los vectores eléctricos de todas las ondas tienen el mismo ángulo acimutal (lo que significa que todas las ondas transversales están en el mismo plano), se dice que la luz está polarizada en un plano, o polarizada linealmente. 270 Cualquier onda electromagnética puede considerarse como la suma de dos conjuntos de ondas: uno en el que el vector eléctrico vibra formando ángulo recto con el plano de incidencia y otro en el que vibra de forma paralela a dicho plano. Entre las vibraciones de ambas componentes puede existir una diferencia de fase, que puede permanecer constante o variar de forma constante. Cuando la luz está linealmente polarizada, por ejemplo, esta diferencia de fase se hace 0 o 180°. Si la relación de fase es aleatoria, pero una de las componentes es más intensa que la otra, la luz está en parte polarizada. Cuando la luz es dispersada por partículas de polvo, por ejemplo, la luz que se dispersa en un ángulo de 90° con la trayectoria original del haz está polarizada en un plano, lo que explica por qué la luz procedente del cenit está marcadamente polarizada. Para ángulos de incidencia distintos de 0 o 90°, la proporción de luz reflejada en el límite entre dos medios no es igual para ambas componentes de la luz. La componente que vibra de forma paralela al plano de incidencia resulta menos reflejada. Cuando la luz incide sobre un medio no absorbente con el denominado ángulo de Brewster, la parte reflejada de la componente que vibra de forma paralela al plano de incidencia se hace nula. Con ese ángulo de incidencia, el rayo reflejado es perpendicular al rayo refractado; la tangente de dicho ángulo de incidencia es igual al cociente entre los índices de refracción del segundo medio y el primero. Física - Sonido SONIDO Fenómeno físico que estimula el sentido del oído. En los seres humanos, esto ocurre siempre que una vibración con frecuencia comprendida entre unos 15 y 20.000 hercios llega al oído interno. El hercio (Hz) es una unidad de frecuencia que corresponde a un ciclo por segundo. Estas vibraciones llegan al oído interno transmitidas a través del aire, y a veces se restringe el término sonido a la transmisión en este medio. Sin embargo, los físicos modernos suelen extender el término a vibraciones similares en medios líquidos o sólidos. Los sonidos con frecuencias superiores a unos 20.000 Hz se denominan ultrasonidos. 271 Ondas sónicas Infrasónicas f < 16 Hz Audibles 16 Hz < f < 20 kHz Ultrasónicas f > 20 kHz f = 1/t [f] = 1/[t] = s-1 = Hz Este artículo se ocupa de este campo de la física en líneas generales. Para lo relativo a la ciencia arquitectónica del diseño de estancias y edificios con propiedades adecuadas de propagación y recepción del sonido. Para lo relativo a la naturaleza del proceso fisiológico de la audición de sonidos y la anatomía del mecanismo de audición en personas y animales. En cuanto a las propiedades generales de la producción y propagación de ondas vibracionales, entre ellas las ondas de sonido. En general, las ondas pueden propagarse de forma transversal o longitudinal. En ambos casos, sólo la energía y la cantidad de movimiento del movimiento ondulatorio se propagan en el medio; ninguna parte del propio medio se mueve físicamente a una gran distancia. Por ejemplo, imaginemos que atamos firmemente una cuerda a un poste por un extremo, la estiramos sin tensarla del todo y sacudimos el otro extremo. Una onda se desplazará por la cuerda hacia el poste, donde se reflejará y volverá hacia la mano. En realidad, ninguna parte de la cuerda se mueve longitudinalmente hacia el poste, pero todas las partes de la cuerda se mueven transversalmente. Este tipo de movimiento ondulatorio se denomina onda transversal. Del mismo modo, si tiramos una piedra a un estanque, una serie de ondas transversales se propaga desde el punto de impacto. Un corcho que flote cerca de dicho punto se moverá hacia arriba y hacia abajo, es decir, de forma transversal a la dirección del movimiento ondulatorio, pero apenas mostrará movimiento longitudinal. En cambio, una onda de sonido es una onda longitudinal. A medida que la energía del movimiento ondulatorio se propaga alejándose del centro de la perturbación, las moléculas de aire individuales que transmiten el sonido se mueven hacia delante y hacia atrás, de forma paralela a la dirección del movimiento ondulatorio. Por tanto, una onda de sonido es una serie de compresiones y enrarecimientos sucesivos del aire. Cada molécula individual transmite la energía a las moléculas vecinas, pero una vez que pasa la onda de sonido, las moléculas permanecen más o menos en la misma posición. 272 CARACTERISTICAS FISICAS Cualquier sonido sencillo, como una nota musical, puede describirse en su totalidad especificando tres características de su percepción: el tono, la intensidad y el timbre. Estas características corresponden exactamente a tres características físicas: la frecuencia, la amplitud y la composición armónica o forma de onda. El ruido es un sonido complejo, una mezcla de diferentes frecuencias o notas sin relación armónica. Frecuencia Existen distintos métodos para producir sonido de una frecuencia deseada. Por ejemplo, un sonido de 440 Hz puede crearse alimentando un altavoz con un oscilador sintonizado a esa frecuencia. También puede interrumpirse un chorro de aire mediante una rueda dentada con 44 dientes que gire a 10 revoluciones por segundo; este método se emplea en las sirenas. Los sonidos de un altavoz y una sirena de la misma frecuencia tendrán un timbre muy diferente, pero su tono será el mismo, equivalente al la situado sobre el do central en un piano. El siguiente la del piano, la nota situada una octava por encima, tiene una frecuencia de 880 Hz. Las notas situadas una y dos octavas por debajo tienen frecuencias de 220 y 110 Hz respectivamente. Por definición, una octava es el intervalo entre dos notas cuyas frecuencias tienen una relación de uno a dos. Una ley fundamental de la armonía afirma que dos notas separadas por una octava producen una combinación eufónica cuando suenan simultáneamente. Cuando el intervalo es de una quinta o de una tercera mayor, la combinación es progresivamente menos eufónica. En física, un intervalo de una quinta implica que la relación de las frecuencias de ambas notas es de tres a dos; en una tercera mayor, la relación es de cinco a cuatro. La ley de la armonía afirma que dos o más notas producen un sonido eufónico al sonar de forma simultánea si la relación entre sus frecuencias corresponde a números enteros pequeños; si las frecuencias no presentan dichas relaciones, se produce una disonancia. En un instrumento de tonos fijos, como un piano, no es posible establecer las notas de forma que todas estas relaciones sean exactas, por lo que al afinarlo es necesario un cierto compromiso de acuerdo con el sistema de tonos medios o escala temperada. 273 Amplitud La amplitud de una onda de sonido es el grado de movimiento de las moléculas de aire en la onda, que corresponde a la intensidad del enrarecimiento y compresión que la acompañan. Cuanto mayor es la amplitud de la onda, más intensamente golpean las moléculas el tímpano y más fuerte es el sonido percibido. La amplitud de una onda de sonido puede expresarse en unidades absolutas midiendo la distancia de desplazamiento de las moléculas del aire, o la diferencia de presiones entre la compresión y el enrarecimiento, o la energía transportada. Por ejemplo, la voz normal presenta una potencia de sonido de aproximadamente una cienmilésima de vatio. Sin embargo, todas esas medidas son muy difíciles de realizar, y la intensidad de los sonidos suele expresarse comparándolos con un sonido patrón; en ese caso, la intensidad se expresa en decibelios. Intensidad La distancia a la que se puede oír un sonido depende de su intensidad, que es el flujo medio de energía por unidad de área perpendicular a la dirección de propagación. En el caso de ondas esféricas que se propagan desde una fuente puntual, la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, suponiendo que no se produzca ninguna pérdida de energía debido a la viscosidad, la conducción térmica u otros efectos de absorción. Por ejemplo,en un medio perfectamente homogéneo, un sonido será nueve veces más intenso a una distancia de 100 metros que a una distancia de 300 metros. En la propagación real del sonido en la atmósfera, los cambios de propiedades físicas del aire como la temperatura, presión o humedad producen la amortiguación y dispersión de las ondas sonoras, por lo que generalmente la ley del inverso del cuadrado no se puede aplicar a las medidas directas de la intensidad del sonido. Timbre Si se toca el la situado sobre el do central en un violín, un piano y un diapasón, con la misma intensidad en los tres casos, los sonidos son idénticos en frecuencia y amplitud, pero muy diferentes en timbre. De las tres fuentes, el diapasón es el que produce el tono más sencillo, que en este caso está formado casi exclusivamente por vibraciones con frecuencias de 440 Hz. Debido a las propiedades acústicas del oído y las propiedades de 274 resonancia de su membrana vibrante, es dudoso que un tono puro llegue al mecanismo interno del oído sin sufrir cambios. La componente principal de la nota producida por el piano o el violín también tiene una frecuencia de 440 Hz. Sin embargo, esas notas también contienen componentes con frecuencias que son múltiplos exactos de 440 Hz, los llamados tonos secundarios, como 880, 1.320 o 1.760 Hz. Las intensidades concretas de esas otras componentes, los llamados armónicos, determinan el timbre de la nota. VELOCIDAD DEL SONIDO La frecuencia de una onda de sonido es una medida del número de vibraciones por segundo de un punto determinado. La distancia entre dos crestas sucesivas de la onda se denomina longitud de onda. El producto de la longitud de onda y la frecuencia es igual a la velocidad de propagación de la onda, que es la misma para sonidos de cualquier frecuencia (cuando el sonido se propaga por el mismo medio a la misma temperatura). Por ejemplo, la longitud de onda del la situado sobre el do central es de unos 78,2 cm, y la del la situado por debajo del do central es de unos 156,4 centímetros. La velocidad de propagación del sonido en aire seco a una temperatura de 0 °C es de 331,6 m/s. Al aumentar la temperatura aumenta la velocidad del sonido; por ejemplo, a 20 °C, la velocidad es de 344 m/s. Los cambios de presión a densidad constante no tienen prácticamente ningún efecto sobre la velocidad del sonido. En muchos otros gases, la velocidad sólo depende de su densidad. Si las moléculas son pesadas, se mueven con más dificultad, y el sonido avanza más despacio por el medio. Por ejemplo, el sonido avanza ligeramente más deprisa en aire húmedo que en aire seco, porque el primero contiene un número mayor de moléculas más ligeras. En la mayoría de los gases, la velocidad del sonido también depende de otro factor, el calor específico, que afecta a la propagación de las ondas de sonido. Generalmente, el sonido se mueve a mayor velocidad en líquidos y sólidos que en gases. Tanto en los líquidos como en los sólidos, la densidad tiene el mismo efecto que en los gases; la velocidad del sonido varía de forma inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad. La velocidad también varía de forma proporcional a la raíz cuadrada de la elasticidad. Por ejemplo, la velocidad del sonido en agua es de unos 1.500 m/s a temperaturas ordinarias, pero aumenta mucho cuando sube la temperatura. 275 La velocidad del sonido en el cobre es de unos 3.500 m/s a temperaturas normales y decrece a medida que aumenta la temperatura (debido a la disminución de la elasticidad). En el acero, más elástico, el sonido se desplaza a unos 5.000 m/s; su propagación es muy eficiente. REFRACCION, REFLEXION E INTERFERENCIAS El sonido avanza en línea recta cuando se desplaza en un medio de densidad uniforme. Sin embargo, igual que la luz, el sonido está sometido a la refracción, es decir, la desviación de las ondas de sonido de su trayectoria original. En las regiones polares, por ejemplo, donde el aire situado cerca del suelo es más frío que el de las capas más altas, una onda de sonido ascendente que entra en la región más caliente, donde el sonido avanza a más velocidad, se desvía hacia abajo por la refracción. La excelente recepción del sonido a favor del viento y la mala recepción en contra del viento también se deben a la refracción. La velocidad del aire suele ser mayor en las alturas que cerca del suelo; una onda de sonido ascendente que avanza a favor del viento se desvía hacia el suelo, mientras que una onda similar que se mueve en contra del viento se desvía hacia arriba, por encima de la persona que escucha. El sonido también se ve afectado por la reflexión, y cumple la ley fundamental de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Un eco es el resultado de la reflexión del sonido. El sonar se basa en la reflexión de los sonidos propagados en agua. Una bocina es un tubo cónico que forma un haz de ondas de sonido reflejando algunos de los rayos divergentes en los lados del tubo. Un tubo similar puede recoger ondas de sonido si se dirige el extremo ancho hacia la fuente de sonido. El sonido también experimenta difracción e interferencia. Si el sonido de una única fuente llega a un oyente por dos trayectorias diferentes (por ejemplo, una directa y otra reflejada), los dos sonidos pueden reforzarse; sin embargo, si están fuera de fase pueden interferir de forma que el sonido resultante sea menos intenso que el sonido directo sin reflexión. Las trayectorias de interferencia son distintas para sonidos de diferentes frecuencias, con lo que la interferencia produce distorsión en sonidos complejos. Dos sonidos de distintas frecuencias pueden combinarse para producir un tercer sonido cuya frecuencia es igual a la suma o diferencia de las dos frecuencias originales. 276 Sensaciones de tono Si se practica una audimetría a una persona joven normal, se comprueba que su oído es sensible a todos los sonidos entre 15-20 hercios y 15.000-20.000 hercios. El oído de las personas mayores es menos agudo, sobre todo en las frecuencias más elevadas. El oído es especialmente sensible en la gama que va desde el la situado por encima del do central hasta el la que está cuatro octavas por encima; en esa zona, una persona puede percibir un sonido cientos de veces más débil que una octava por encima o dos octavas por debajo. El grado en que un oído sensible puede distinguir entre dos notas puras que difieran ligeramente en intensidad o frecuencia varía en los diferentes rangos de intensidad y frecuencia de los tonos. En sonidos de intensidad moderada situados en el rango de frecuencia para el que el oído es más sensible (1 y 2 kHz aproximadamente), es posible distinguir una diferencia de intensidad de un 20% (1 decibelio, o dB) y una diferencia en frecuencia de un 0,33% (alrededor de una vigésima de nota). En este mismo rango, la diferencia entre el sonido más tenue que puede oírse y el sonido más fuerte que puede distinguirse como tal sonido (los sonidos más fuertes se ´sienten´, o perciben, como estímulos dolorosos) es de unos 120 decibelios: una diferencia de intensidad de aproximadamente un billón de veces. Todas estas pruebas de sensibilidad se refieren a tonos puros, como los producidos por un oscilador electrónico. Incluso para esos tonos puros, el oído es imperfecto. Dos notas con frecuencias idénticas pero una gran diferencia de intensidad pueden aparentar una ligera diferencia de tono. Más importante resulta la diferencia en las intensidades relativas aparentes en las distintas frecuencias. A intensidades altas, el oído es aproximadamente igual de sensible a la mayoría de las frecuencias, pero a bajas intensidades el oído es mucho más sensible a las frecuencias medias que a las extremas. Por tanto, un equipo de reproducción de sonido que funciona perfectamente parecerá no reproducir las notas más graves y agudas si se reduce mucho la intensidad. ULTRASONIDO Rama de la física que se ocupa de las ondas de sonido de alta frecuencia, generalmente por encima de 20.000 hercios (Hz), es decir, más allá de las frecuencias audibles. No hay que confundirla con la supersónica, que trata de los fenómenos asociados al movimiento de un objeto sólido a velocidades superiores a la del sonido. Los 277 generadores ultrasónicos modernos pueden producir frecuencias de varios gigahercios (1 gigahercio, abreviado GHz, equivale a 1.000 millones de hercios) convirtiendo corrientes eléctricas alternas en oscilaciones mecánicas. La detección y medida de ondas ultrasónicas se lleva a cabo fundamentalmente mediante receptores piezoeléctricos o por medios ópticos, ya que estas ondas pueden hacerse visibles a través de la difracción de la luz. La ultrasónica tiene muchas aplicaciones en diferentes campos de la física, la química, la tecnología y la medicina. Las ondas ultrasónicas se emplean desde hace tiempo en dispositivos de detección y comunicación llamados sonares, de gran importancia en la navegación actual y en la guerra submarina. Entre las aplicaciones de la ultrasónica están la determinación de propiedades de la materia como la compresibilidad o la elasticidad. Los ultrasonidos también se emplean para producir emulsiones, como la leche homogeneizada o las de las películas fotográficas, y para detectar fallos en materiales industriales. Los ultrasonidos con frecuencias de gigahercios pueden utilizarse en "microscopios acústicos" que pueden visualizar detalles de sólo 1 micrómetro (una millonésima de metro). Las ondas acústicas de superficie con frecuencias ultrasónicas son un componente importante de los dispositivos electrónicos de control. En medicina, los ultrasonidos se emplean como herramienta de diagnóstico, para destruir tejido enfermo y para reparar tejidos dañados. Las ondas ultrasónicas se han empleado para tratar afecciones como bursitis, diferentes tipos de artritis reumática, gota o lesiones musculares, y también para destruir cálculos renales. Como herramienta de diagnóstico, los ultrasonidos son frecuentemente más reveladores que los rayos X, que no son tan útiles para detectar las sutiles diferencias de densidad que aparecen en ciertas formas de cáncer; también se emplean con mucha frecuencia para producir imágenes del feto durante el embarazo. Cuando las ondas ultrasónicas atraviesan un tejido, se ven más o menos reflejadas según la densidad y elasticidad del tejido. Con un bisturí ultrasónico, un cirujano puede realizar una incisión más fina que con un escalpelo convencional. Este tipo de técnicas se ha empleado para operaciones delicadas en el cerebro y el oído. En fisioterapia se han utilizado con éxito dispositivos diatérmicos en los que se emplean ondas ultrasónicas para producir calor interno como resultado de la resistencia de los tejidos a las ondas. 278 Tres tipos de sonido importantes En la voz, la música y el ruido, es raro escuchar un tono puro. Una nota musical contiene, además de la frecuencia fundamental, tonos más agudos que son armónicos de la misma. La voz contiene una mezcla compleja de sonidos, de los que algunos (pero no todos) guardan una relación armónica entre sí. El ruido está formado por una mezcla de muchas frecuencias diferentes dentro de un determinado rango; por tanto, puede compararse con la luz blanca,que se compone de una mezcla de luces de los distintos colores. Los distintos ruidos se distinguen por sus diferentes distribuciones de energía en los distintos rangos de frecuencias. Cuando se transmite al oído un tono musical que contiene determinados armónicos del tono fundamental, pero carece de otros armónicos o del propio tono fundamental, el oído forma diferentes ´batidos´ o pulsaciones cuya frecuencia es la suma o la diferencia de los sonidos originales, con lo que producen los armónicos que faltan o el tono fundamental que no figura en el sonido original. Estas notas también son armónicas de la nota fundamental original. Esta respuesta incorrecta del oído puede ser útil. Por ejemplo, un equipo reproductor de sonido sin un altavoz grande no puede producir sonidos de tono más grave que el do situado dos octavas por debajo del do central; sin embargo, el oído de una persona que escuche ese equipo puede proporcionar la nota fundamental a partir de las frecuencias de batido de sus armónicos. Otra imperfección del oído ante los sonidos ordinarios es la incapacidad de oír notas de alta frecuencia cuando existen sonidos de baja frecuencia de intensidad considerable. Este fenómeno se denomina enmascaramiento. En general, para que se entienda el habla y se comprenda satisfactoriamente un tema musical basta reproducir las frecuencias entre 250 y 3.000 Hz, el rango de frecuencias de un teléfono normal. Sin embargo, algunos sonidos (como la zeta) requieren frecuencias de hasta 6.000 Hz. Sin embargo, para que el efecto sea natural hay que reproducir el rango que va aproximadamente de 100 a 10.000 Hz. Los sonidos generados por unos pocos instrumentos musicales sólo pueden reproducirse con naturalidad con frecuencias algo más bajas, y algunos ruidos necesitan frecuencias más altas. 279 Física - Termodinámica EL CALOR Cantidades de calor Aun cuando no sea posible determinar el contenido total de energía calorífica de un cuerpo, puede medirse la cantidad que se toma o se cede al ponerlo en contacto con otro a diferente temperatura. Esta cantidad de energía en tránsito de los cuerpos de mayor temperatura a los de menor temperatura es precisamente lo que se entiende en física por calor. La ecuación calorimétrica La experiencia pone de manifiesto que la cantidad de calor tomada (o cedida) por un cuerpo es directamente proporcional a su masa y al aumento (o disminución) de temperatura que experimenta. La expresión matemática de esta relación es la ecuación calorimétrica. Q = ce.m.(Tf - Ti) (8.6) Donde Q representa el calor cedido o absorbido, la masa del cuerpo y Tf y Ti las temperaturas final e inicial respectivamente. Q será positivo si la temperatura final es mayor que la inicial (Tf> Ti) y negativo en el caso contrario (Tf< Ti). La letra c representa la constante de proporcionalidad correspondiente y su valor es característico del tipo de sustancia que constituye el cuerpo en cuestión. Dicha constante se denomina calor específico. Su significado puede deducirse de la ecuación (8.6). Si se despeja c, de ella resulta: ce = Q/ m.(Tf - Ti) El calor específico de una sustancia equivale, por tanto, a una cantidad de calor por unidad de masa y de temperatura; o en otros términos, es el calor que debe suministrarse a la unidad de masa de una sustancia dada para elevar su temperatura un grado. Unidades de calor La ecuación calorimétrica (8.6) sirve para determinar cantidades de calor si se conoce la masa del cuerpo, su calor específico y la diferencia de temperatura, pero 280 además permite definir la caloría como unidad de calor. Si por convenio se toma el agua líquida como sustancia de referencia asignando a su calor específico un valor unidad, la caloría resulta de hacer uno el resto de las variables que intervienen en dicha ecuación. Una caloría es la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado centígrado (1 °C) la temperatura de un gramo de agua. Esta definición, que tiene su origen en la época en la que la teoría del calórico estaba en plena vigencia, se puede hacer más precisa si se considera el hecho de que el calor específico del agua varía con la temperatura. En tal caso la elevación de un grado centígrado a la que hace referencia la anterior definición ha de producirse entre 14,5 y 15,5 °C a la presión atmosférica. Una vez identificado el calor como una forma de energía y no como un fluido singular, la distinción entre unidades de calor y unidades de energía perdió significado. Así, la unidad de calor en el SI coincide con la de energía y es el joule (J), habiendo quedado la caloría reducida a una unidad práctica que se ha mantenido por razones históricas,pero que va siendo progresivamente desplazada por el joule. Calor específico y capacidad calorífica La ecuación calorimétrica puede escribirse también en la forma: Q = C.(Tf - Ti) (8.7) Expresando así que en un cuerpo dado la cantidad de calor cedido o absorbido es directamente proporcional a la variación de temperatura. La nueva constante de proporcionalidad C recibe el nombre de capacidad calorífica C = Q/(T Tf - Ti) y representa la cantidad de calor que cede o toma el cuerpo al variar su temperatura en un grado. A diferencia del calor específico, la capacidad calorífica es una característica de cada cuerpo y se expresa en el SI en J/K. Su relación con el calor específico resulta de comparar las ecuaciones (8.6) y (8.7) en las que ambas magnitudes están presentes: C = m.ce (8.8) De acuerdo con esta relación, la capacidad calorífica de un cuerpo depende de su masa y de la naturaleza de la sustancia que lo compone. 281 Ejemplo de la determinación del calor específico: El calor específico de un cuerpo puede determinarse mediante el calorímetro. Dado que éste es un atributo físico característico de cada sustancia, la comparación del valor obtenido con los de una tabla estándar de calores específicos puede ayudar a la identificación de la sustancia que compone el cuerpo en cuestión. Se pretende identificar el metal del que está formada una medalla. Para ello se determina su masa mediante una balanza que arroja el valor de 25 g. A continuación se calienta al « baño María »,hasta alcanzar una temperatura de 85 °C y se introduce en el interior de un calorímetro que contiene 50 g de agua a 16,5 °C de temperatura. Al cabo de un cierto tiempo y tras utilizar varias veces el agitador, la columna del termómetro del calorímetro deja de subir señalando una temperatura de equilibrio de 19,5 °C. ¿De qué metal puede tratarse? Si se aplica la ecuación de conservación de la energía expresada en la forma, calor tomado = - calor cedido, resulta: Q1 = - Q2 m1.ce1.(T - T1) = - m2.ce2.(T - T2) Considerando en este caso el subíndice 1 referido al agua y el 2 referido a la moneda. Sustituyendo valores en la ecuación anterior, se,tiene: 50 g.1 (cal/g.°C).(19,5 °C - 16,5 °C) = - 25 g. ce2.(19,5 °C - 85 °C) Operando y despejando ce2 resulta: 150 (cal/g.°C) = 1 637,5. ce2 ce2 = 0,09 cal/g.°C Si se compara el resultado con una tabla de calores específicos de metales, se concluye que puede tratarse de cobre. Otras propiedades físicas como el color, por ejemplo, confirmarán el resultado. Medida del calor De acuerdo con el principio de conservación de la energía, suponiendo que no existen pérdidas, cuando dos cuerpos a diferentes temperaturas se ponen en contacto, el calor tomado por uno de ellos ha de ser igual en cantidad al calor cedido por el otro. Para todo 282 proceso de transferencia calorífica que se realice entre dos cuerpos puede escribirse entonces la ecuación: Q1 = - Q2 En donde el signo - indica que en un cuerpo el calor se cede, mientras que en el otro se toma. Recurriendo a la ecuación calorimétrica, la igualdad anterior puede escribirse en la forma: m1.ce1.(Te - T1) = m2.ce2.(Te- T2) (8.9) Donde el subíndice 1 hace referencia al cuerpo frío y el subíndice 2 al caliente. La temperatura Teen el equilibrio será superior a T1 e inferior a T2. La anterior ecuación indica que si se conocen los valores del calor específico, midiendo temperaturas y masas, es posible determinar cantidades de calor. El aparato que se utiliza para ello se denomina calorímetro. Un calorímetro ordinario consta de un recipiente de vidrio aislado térmicamente del exterior por un material apropiado. Una tapa cierra el conjunto y dos pequeños orificios realizados sobre ella dan paso al termómetro y al agitador, los cuales se sumergen en un líquido llamado calorimétrico, que es generalmente agua. Cuando un cuerpo a diferente temperatura que la del agua se sumerge en ella y se cierra el calorímetro, se produce una cesión de calor entre ambos hasta que se alcanza el equilibrio térmico. El termómetro permite leer las temperaturas inicial y final del agua y con un ligero movimiento del agitador se consigue una temperatura uniforme. Conociendo el calor específico y la masa del agua utilizada, mediante la ecuación calorimétrica se puede determinar la cantidad de calor cedida o absorbida por el agua. En este tipo de medidas han de tomarse las debidas precauciones para que el intercambio de calor en el calorímetro se realice en condiciones de suficiente aislamiento térmico. Si las pérdidas son considerables no será posible aplicar la ecuación de conservación Q1 = - Q2 y si ésta se utiliza los resultados estarán afectados de un importante error. La ecuación (8.9) puede aplicarse únicamente a aquellos casos en los cuales el calentamiento o el enfriamiento del cuerpo problema no lleva consigo cambios de estado físico (de sólido a líquido o viceversa, por ejemplo). A partir de ella y con la 283 ayuda del calorímetro es posible determinar también el calor específico del cuerpo si se conocen las temperaturas T1, T2 y Te, las masas m1y m2 y el calor específico del agua. Física - Termodinámica CICLOS TERMODINAMICOS Resulta útil tratar los procesos termodinámicos basándose en ciclos: procesos que devuelven un sistema a su estado original después de una serie de fases, de manera que todas las variables termodinámicas relevantes vuelven a tomar sus valores originales. En un ciclo completo, la energía interna de un sistema no puede cambiar, puesto que sólo depende de dichas variables. Por tanto, el calor total neto transferido al sistema debe ser igual al trabajo total neto realizado por el sistema. Un motor térmico de eficiencia perfecta realizaría un ciclo ideal en el que todo el calor se convertiría en trabajo mecánico. El ciclo de Carnot, es un ciclo termodinámico que constituye el ciclo básico de todos los motores térmicos, y demuestra que no puede existir ese motor perfecto. Cualquier motor térmico pierde parte del calor suministrado. El segundo principio de la termodinámica impone un límite superior a la eficiencia de un motor, límite que siempre es menor del 100%. La eficiencia límite se alcanza en lo que se conoce como ciclo de Carnot. Ciclo Otto En el punto a la mezcla de nafta y aire ya está en el cilindro. ab: contracción adiabática. 284 cd: expansión adiabática. bc: calentamiento isocórico. ad: enfriamiento isocórico. R: relación de compresión. Cp: calor específico a presión constante Cv: calor específico a volumen constante γ = Cp/Cv (Sears 419 - Tabla 18.1) η = 1 - 1/R(γ - 1) Para un R = 8, y un γ = 1,4 (aire), η = 0,56 Ciclo diesel El gasoil se inyecta durante la carrera ab. ab: contracción adiabática. cd: expansión adiabáticas. ad: enfriamiento isocórico. bc: expansión y calentamiento isobárica. 285 R: relación de compresión. Cp: calor específico a presión constante Cv: calor específico a volumen constante γ = Cp/Cv (Sears 419 - Tabla 18.1) η = 1 - 1/R( γ - 1) Para un R = 15-20, y un γ = 1,4 (aire), η = 0,65-0,70 Ciclo de Carnot Una máquina de Carnot es perfecta, es decir, convierte la máxima energía térmica posible en trabajo mecánico. Carnot demostró que la eficiencia máxima de cualquier máquina depende de la diferencia entre las temperaturas máxima y mínima alcanzadas durante un ciclo. Cuanto mayor es esa diferencia, más eficiente es la máquina. Por ejemplo, un motor de automóvil sería más eficiente si el combustible se quemara a mayor temperatura o los gases de escape salieran a menor temperatura. ab y cd: contracciones y expansiones isotérmicas. bc y ad: contracciones y expansiones adiabáticas. η = W/QH η= (QH - QC)/QH η = 1 - QC/ QH QH = W ab = n.R.TH.ln Vb/Va 286 QC = W cd = n.R.TC.ln Vc/Vd QC/QH = TC/TH η = 1 - TC/TH Ciclo de refrigeración Los sistemas de compresión emplean cuatro elementos en el ciclo de refrigeración: compresor, condensador, válvula de expansión y evaporador. En el evaporador, el refrigerante se evapora y absorbe calor del espacio que está enfriando y de su contenido. A continuación, el vapor pasa a un compresor movido por un motor que incrementa su presión, lo que aumenta su temperatura (entrega trabajo al sistema). El gas sobrecalentado a alta presión se transforma posteriormente en líquido en un condensador refrigerado por aire o agua. Después del condensador, el líquido pasa por una válvula de expansión, donde su presión y temperatura se reducen hasta alcanzar las condiciones que existen en el evaporador. QH = QC - L L = QC-QH η = - QC /L - QC/(QC-QH) 287 Sistemas de absorción Algunos refrigeradores domésticos funcionan mediante el principio de absorción. En ellos, una llama de gas calienta una disolución concentrada de amoníaco en agua en un recipiente llamado generador, y el amoníaco se desprende en forma de vapor y pasa a un condensador. Allí se licúa y fluye hacia el evaporador, igual que en el sistema de compresión. Sin embargo, en lugar de pasar a un compresor al salir del evaporador, el amoníaco gaseoso se reabsorbe en la solución diluida y parcialmente enfriada procedente del generador, para formar de nuevo una disolución concentrada de amoníaco. Este proceso de reabsorción se produce en un recipiente llamado absorbedor, desde donde el líquido concentrado fluye de vuelta al generador para completar el ciclo. Autor: Ricardo Santiago Netto Física - Trabajo, Energía y Potencia TRABAJO Una fuerza constante genera trabajo cuando, aplicada a un cuerpo, lo desplaza a lo largo de una determinada distancia. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento. Por otra parte, si una fuerza constante no produce movimiento, no se realiza trabajo. Por ejemplo, el sostener un libro con el brazo extendido no implica trabajo alguno sobre el libro, independientemente del esfuerzo necesario. El trabajo se expresa en Joules (J). Cuando la fuerza tiene la dirección de movimiento. L = F.d L: Trabajo realizado por la fuerza. Cuando la fuerza aplicada tiene una inclinación α con respecto al movimiento. L = F.cos α .d Todas las fuerzas perpendiculares al movimiento no realizan trabajo. 288 La fuerza puede no ser mecánica, como ocurre en el levantamiento de un cuerpo o en la aceleración de un avión de reacción; también puede ser una fuerza electrostática, electrodinámica o de tensión superficial. Energía La magnitud denominada energía enlaza todas las ramas de la física. En el ámbito de la física, debe suministrarse energía para realizar trabajo. La energía se expresa en joules (J). Existen muchas formas de energía: energía potencial eléctrica y magnética, energía cinética, energía acumulada en resortes estirados, gases comprimidos o enlaces moleculares, energía térmica e incluso la propia masa. Energía cinética Cuando una fuerza aumenta la velocidad de un cuerpo también se realiza trabajo, como ocurre por ejemplo en la aceleración de un avión por el empuje de sus reactores. Cuando un cuerpo se desplaza con movimiento variado desarrolla energía cinética. Ec = ½.m.v ² L = F.d L = Ec F.d = ½.m.v ² Ec: Energía cinética. El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética de dicha partícula. Δ Ec = Ec2 - Ec1 L = Ec2 - Ec1 F.d = ½.m.(v ²2 - v ²1) Δ Ec: Variación de la energía cinética. 289 Energía potencial Cuando se levanta un objeto desde el suelo hasta la superficie de una mesa, por ejemplo, se realiza trabajo al tener que vencer la fuerza de la gravedad,dirigida hacia abajo; la energía comunicada al cuerpo por este trabajo aumenta su energía potencial. Si se realiza trabajo para elevar un objeto a una altura superior, se almacena energía en forma de energía potencial gravitatoria. Cuando un cuerpo varía su altura desarrolla energía potencial. Ep = m.g.h L = F.d L = Ep P.d = m.g.h Ep: Energía potencial. El trabajo realizado por la fuerza peso es igual a la variación de la energía potencial. Δ Ep = Ep2 - Ep1 L = Ep2 - Ep1 P.d = m.g.(h2 - h1) Δ Ep: Variación de la energía potencial. En todas las transformaciones entre un tipo de energía y otro se conserva la energía total, y se conoce como teorema de la energía mecánica (Δ EM). Por ejemplo, si se ejerce trabajo sobre una pelota de goma para levantarla, se aumenta su energía potencial gravitatoria. Si se deja caer la pelota, esta energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética. Cuando la pelota choca contra el suelo, se deforma y se produce fricción entre las moléculas de su material. Esta fricción se transforma en calor o energía térmica. Fuerzas conservativas Para un cuerpo de masa m que se mueve del punto 1 al 2 y luego del punto 2 al 1. 290 Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula que se mueve en cualquier viaje de ida y vuelta es 0. Δ EM = 0 Δ EM : Variación de la energía mecánica. Trabajo de fuerzas conservativas: L = Δ EM Δ EM = Δ Ec + Δ Ep L = Δ Ec + Δ Ep Fuerzas no conservativas Para un cuerpo de masa m que se mueve del punto 1 al 2 y luego del punto 2 al 1. Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula que se mueve en cualquier viaje de ida y vuelta es distinto de 0. Δ EM ≠ 0 Δ EM = HO Δ EM: Variación de la energía mecánica. HO : Trabajo de la fuerza de rozamiento. Trabajo de fuerzas no conservativas: L = Δ EM + HO L = Δ Ec + Δ Ep + HO Siendo: HO = Fr.d 291 Potencia La potencia desarrollada por una fuerza aplicada a un cuerpo es el trabajo realizado por ésta durante el tiempo de aplicación. La potencia se expresa en watt (W). P=L/t P = F.d / t v=d/t P = F.v También: P = (Δ Ec + Δ Ep + HO)/t Si no hay fuerza de rozamiento P = (Δ Ec +Δ Ep)/t Si no cambio su altura P = (Δ Ec)/t P: potencia Caballo de vapor: Unidad tradicional para expresar la potencia mecánica, es decir, el trabajo mecánico que puede realizar un motor por unidad de tiempo; suele abreviarse por CV. En el Sistema Internacional de unidades, la unidad de potencia es el vatio; 1 caballo de vapor equivale a 736 vatios. Su valor original era, por definición, 75 kilográmetros por segundo. Autor: Ricardo Santiago Netto 292 Física - Trabajo, Energía y Potencia Resolver: 1) Un proyectil que pesa 80 kgf es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 95 m/s. Se desea saber: a) ¿Qué energía cinética tendrá al cabo de 7 s?. b) ¿Qué energía potencial tendrá al alcanzar su altura máxima?. 2) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo que pesa 38 N a los 30 s de caída libre?. 3) ¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo de masa 350 kg si posee una velocidad de 40 m/s?. 4) ¿Con qué energía tocará tierra un cuerpo que pesa 2500 g si cae libremente desde 12 m de altura?. 5) Un cuerpo de 200 N se desliza por un plano inclinado de 15 m de largo y 3,5 de alto, calcular: a) ¿Qué aceleración adquiere?. b) ¿Qué energía cinética tendrá a los 3 s?. c) ¿Qué espacio recorrió en ese tiempo?. 6) ¿Qué energía potencial posee un cuerpo de masa 5 kg colocado a 2 m del suelo?. 7) Si el cuerpo del ejercicio anterior cae, ¿con qué energía cinética llega al suelo?. 8) Sabiendo que cada piso de un edificio tiene 2,3 m y la planta baja 3 m, calcular la energía potencial de una maceta que, colocada en el balcón de un quinto piso, posee una masa de 8,5 kg. 9) Un cuerpo de 1250 kg cae desde 50 m, ¿con qué energía cinética llega a tierra?. 293 10) Un proyectil de 5 kg de masa es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 60 m/s, ¿qué energía cinética posee a los 3 s? y ¿qué energía potencial al alcanzar la altura máxima?. Responder: 1) ¿Qué es energía?. 2) ¿Qué clases de energía conoce?. 3) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay transformación de energía?. 4) ¿Qué aparato o máquina transforma energía mecánica en luminosa?. Resultados: 1) Datos: P = 80 kgf v0 = 95 m/s t=7s a) Mediante cinemática calculamos la velocidad luego de 7 s: vf = v0 - g.t vf = 95 m/s + (- 9,807 m/s ²).7 s vf = 95 m/s - 68,649 m/s vf = 26,351 m/s Luego: Ec = ½.m.v ² La masa es: m = 80 kg Ec = ½.80 kg.(26,351 m/s) ² 294 Ec = 27775,01 J b) Mediante cinemática calculamos la altura máxima: vf ² - v0 ² = 2.g.h - v0 ²/2.g = h h = (95 m/s) ²/(2.9,807 m/s ²) h = 460,13 m Con éste dato hallamos la energía potencial: Ep = m.g.h Ep = 80 kg.9,807 (m/s ²).460,13 m Ep = 361.000 J Pero mucho mas simple es sabiendo que la energía potencial cuando se anula la velocidad es igual a la energía cinética inicial (si no hay pérdidas): Ec1 = Ep2 Ec1 = ½.m.v1 ² Ec = ½.80 kg.(95 m/s) ² Ec1 = 361.000 J = Ep2 2) Datos: P = 38 N t = 30 s Calculamos la velocidad: vf = g.t vf = 9,807 (m/s ²).30 s vf = 294,21 m/s Con éste dato calculamos la energía cinética: Ec = ½.m.v ² Ec = ½.(38 N/9,807 m/s ²).(294,21 m/s) ² 295 Ec = 167.700 J 3) Ec = ½.m.v ² Ec = ½.350 kg.(40 m/s) ² Ec = 280.000 J 4) Si cae libremente su velocidad inicial es nula, por lo tanto toda su energía potencial (dada por la altura) se convertirá en energía cinética: Ec2 = Ep1 Ep1 = m.g.h Ep1 = 2,5 kg.9,807 (m/s ²).12 m Ep1 = 294,21 J = Ec2 5) Datos: P = 200 N l = 15 m h = 3,5 m t=3s a) En el eje "x": 296 Σ Fx = m.a Px = m.a Pero: Px = P.sen α m.a = P.sen α m.a = m.g.sen α a = g.sen α Por otra parte: sen α = 3,5 m/15 m = 0,233 a = 9,807 (m/s ²).0,233 a = 2,29 m/s ² b) Suponiendo que parte del reposo: vf = a.t Luego: Ec = ½.m.vf ² Ec = ½.m.(a.t) ² Ec = ½.(200 N/9,807 m/s ²).(2,29 m/s ².3 s) ² Ec = 480,54 J c) e = ½.a.t ² e = ½.2,29 m/s ².(3 s) ² 297 e = 10,29 m 6) Ep = m.g.h Ep = 5 kg.9,807 (m/s ²).2 m Ep = 98,07 J 7) Si no hubo pérdidas por rozamiento, toda la energía potencial se transformó en energía cinética: Ec = 98,07 J 8) h = 2,3 m.4 + 3 m = 14,5 m El balcón del 5° piso es el techo del 4° piso Ep = m.g.h Ep = 8,5 kg.9,807 (m/s ²).14,5 m Ep = 1017 J 9) Recordemos que toda la energía potencial se transforma en energía cinética: Ep1 = Ec2 Ep1 = Ec2 = m.g.h1 Ep1 = 1250 kg.9,807 (m/s ²).50 m Ep = 612.937,5 J 10) Primero hallamos la velocidad a los 3 s del lanzamiento: v2 = v1 + g.t v2 = 60 m/s + (- 9,807 m/s ²).3 s v2 = 30,579 m/s Luego calculamos la energía cinética: 298 Ec2 = ½.m.v2 ² Ec2 = ½.5 kg.(30,579 m/s) ² Ec2 = 2.337,69 J Para la segunda parte debemos tener en cuenta que cuando alcanza la altura máxima la velocidad se anula, por lo tanto, toda la energía cinética inicial se transformó en energía potencial: Ec1 = ½.m.v1 ² Ec1 = ½.5 kg.(60 m/s) ² Ec1 = 9.000 J Ep2 = 9.000 J QUIMICA 299 Química - Materia ESTADOS DE AGREGACION · Estado Gaseoso. Los gases difieren fundamentalmente de los líquidos y de los sólidos en que el volumen depende de su T ° y de la P aplicada. A bajas P y altas T °, se cumplen aproximadamente las leyes de Boyle, Gay Lussac y Avogadro, tal como se expresan en la ecuación de estado de los gases (Gas Ideal): P.V = n.R.T Pero a medida que aumenta la P o disminuye la T °, aparecen desviaciones manifiestas del comportamiento ideal. Esto se ve cuando el Factor de Compresibilidad (Z) se desvía de la unidad, sabiendo que dicho desvío se debe al comportamiento más real de un gas. Dicho Z se calcula como: P.V/R.T = 1 (para un mol del gas). NOTA: Las Fuerzas de atracción Intermoleculares hacen que el Z < 1, mientras que el efecto basado en el volumen de las moléculas hace que el Z > 1. La ley de Boyle debe invalidarse a presiones muy elevadas, pues para tales presiones pronostica volúmenes de gases infinitesimalmente pequeños, que realmente no podrían existir pues el menor volumen que presentan es el de las moléculas del mismo gas. Por otra parte, las Fuerzas Intermoleculares, pues éstas reducen a las fuerzas de colisión, con lo que la p ejercida en las paredes de los recipientes por el gas real, es menor. - Ecuación de un Gas Real: Una de las más difundidas es la ecuación de Van der Waals, que introduce unas correcciones a la ecuación de los gases: Corrección de P P real = P + n ².a/V ² 300 Corrección de V V real = V - n.b Donde a y b depende de cada gas. Hay que decir que la corrección de P se debe a las fuerzas intermoleculares y la de volumen a los volúmenes moleculares, por lo tanto la ecuación de un gas Real quedará como: (P + n ².a).(V - n.b)/V ² = n.R.T A esta ecuación se la llama Ecuación de Van der Waals. - Difusión y Efusión. Ley de Graham: - Difusión = es el proceso de expansión a través del espacio por parte del gas. - Efusión= es el proceso de pasaje a través de poros pequeños por parte del gas. - Ley de Graham (aplicable a la Efusión de gases) = "El tiempo que tarda un volumen de un gas para pasar a través de un orificio, es inversamente proporcional a su velocidad de efusión", o sea que matemáticamente será: t2/t1 = M2/M1 = δ 2/ δ 1 de donde se puede definir a la velocidad de Efusión como: v = V/t Licuefacción de Gases: 301 En A tenemos un gas a elevada T y V, y baja P. Si disminuimos el V a T = constante, el gas se compacta según la Ley de Boyle (P*V = constante) y observamos como aumenta la presión hasta B. A dicha presión (B), al disminuir el V vemos que la P no varía, esto se debe a que comienzan a ejercerse fuerzas de atracción entre las moléculas. Esta presión se mantiene constante. Hasta C donde todo el gas se convierte en liq. y la pendiente de la curva CD evidencia la incompresibilidad de los mismos. La porción de curva AB denota la existencia de gas solamente; la CD,líquido; en cambio en la porción BC coexisten en equilibrio, gas y líquido,en donde la proporción de líquido a gas aumenta cuando diminuye el volumen (de B a C). Si se repite la experiencia a mayores T °, vemos que la curva es análoga a la anterior, excepto que la porción horizontal, sobre la cual se efectúa la Licuefacción,es más corta. La misma se reduce a un punto (E), el cual es el límite por encima de la cual no se puede licuar un gas, es decir, que no existe el líquido por encima de esa Tc (Temperatura crítica), Pc (Presión Crítica) y Vc (Volumen Crítico), cualquiera sea la presión aplicada. La curva que pasa por el punto E se denomina Isotérma Crítica. Generalmente se utiliza el término vapor para definir a una sustancia gaseosa cuando su temperatura está por debajo del valor crítico, por lo tanto un vapor puede ser licuado por efecto de la presión. - Presión de Vapor: Es la presión a la cual vapor y líquido coexisten en equilibrio (dentro del tramo BC de la curva de Licuefacción de gases). Dicha presión aumenta al elevarse la T °, estableciéndose un límite en el Punto Crítico. 302 - Ecuación de Clapeyron-Clausius: D Pv/dT = Lv/T.(V vapor - V líquido) Donde: D Pv/dT : representa la velocidad de variación de la P de vapor con la T °. Lv : calor Latente de Vaporización (Δ Hv). V vapor y V líquido: Volúmenes de Vapor y Líquido respectivamente. T: Temperatura Absoluta. Si integramos entre dos puntos, obtendremos: Ln (pv2/pv1) = - Lv.(1/T2 - 1/T1)/R pv = e - Lv/(R*T) - Estado Líquido. Para todo gas hay una temperatura en particular a la cual las fuerzas intermoleculares toman suficiente intensidad como para que las moléculas condensen, formando un nuevo estado: el líquido. - Características del Estado Líquido: En los gases las moléculas se mueven rápidamente y en forma desordenada. En los sólidos, se mantienen juntas y en posiciones ordenadas. En cambio en los líquidos, es una forma intermedia entre ambos, las moléculas se mueven más lentamente que en los gases; pero las fuerzas intermoleculares las mantiene juntas dentro de un volumen definido. No obstante, la velocidad con que se mueven éstas, les impide formar un retículo cristalino (que sí se da en los sólidos),es por ello que un líquido retiene su volumen pero no su forma, es decir, que adquieren la forma del recipiente que los contiene. Un cambio de P casi no altera a los líquidos, puesto que hay poco espacio entre sus moléculas; en cambio un aumento en la T °, modifica ligeramente su volumen, por lo que la densidad del líquido disminuye. 303 - Difusión: Dos líquidos que son mutuamente solubles, se difundirán el uno en el otro al juntarlos. La velocidad de difusión dependerá de las densidades de los mismos pero siempre serán menores a la de los gases. Esto es debido a que las moléculas de los líquidos están relativamente juntas, por lo tanto una molécula de un líquido sufre muchos choques con las otras en un período dado, lo que alienta el proceso de difusión. - Tensión Superficial: Las moléculas superficiales están sometidas a fuerzas que las atraen hacia el interior de los líquidos. Es como si la superficie de los mismos estuviesen sometidos a una constante tensión, parecido a cuando una piel estrecha esta recubriendo una superficie. A este fenómeno se lo denomina tensión superficial y es una de las causas por la cual los líquidos tienden a adoptar la forma geométrica más simple, o sea la esfera (es el caso de las gotas de líquido en caída libre). La medición de dicha tensión superficial se realiza a través de la experiencia del "capilar", en donde se observa el escalamiento de una semiesfera de líquido retenida dentro de un tubo capilar, del cual debe conocerse su radio para lograr así obtener el Coeficiente de Tensión Superficial (γ) : γ =½.h.g.δ.r Donde: h: es la altura que ha ascendido la semi-burbúja. δ: es la densidad del líquido. r: es el radio del tubo capilar. - Viscosidad: Es la resistencia que presentan los líquidos al movimiento, o podría decirse también que forma parte de un rozamiento interno del mismo, pues es una propiedad que se opone al movimiento de capas adyacentes que se alojen dentro del seno del mismo. 304 Cuando un cuerpo de inserta dentro del seno de un líquido, la viscosidad hace que su velocidad no sea nula en su estadía dentro de él, sino que adquiere una v = constante cuando la fuerza de gravedad equilibra la fuerza que realiza la viscosidad para sacarlo del líquido. Para los cálculos de viscosidad en diferentes líquidos normalmente se utiliza la Fórmula de Stokes, que para una esfera de radio "r" que cae a v = constante será: v = 2.g.r ².(δ ´- δ)/9. μ Donde: M : es el Coeficiente de Viscosidad del Líquido. δ ´: es la densidad de la esfera. δ : es la densidad del líquido. NOTA: Generalmente sucede que la δ ´>> δ por lo que la fórmula se ve reducida a: v = 2.g.r ².δ ´/9. μ La medición de la viscosidad se realiza indirectamente a través de una medición de tiempos de caída de un mismo objeto dentro de dos sustancias: una de viscosidad conocida y otra que será la que averiguaremos por medio de la fórmula: t = μ /δ μ = t. δ NOTA: la Viscosidad Cinemática (v) es la relación que existe entre la Viscosidad Absoluta y la Densidad del Líquido: v = μ/δ La relación de la Viscosidad con la T °, viene dada exponencialmente a través de la fórmula: μ = A.e E/(R*T) Donde vemos que la viscosidad disminuye a medida que la T ° aumenta. También debemos decir que A y E son ctes. Que dependen del líquido usado. 305 - Evaporación: Las moléculas de un líquido tienen Energías Cinéticas que se distribuyen muy ampliamente y cuyo promedio queda determinado según la T °. Esta energía cambia cuando las moléculas chocan entre sí, o sea que pueden tener energías altas y bajas en cualquier momento. Es por ello que las moléculas ubicadas en la superficie de los líquidos poseen mayor Energía que el resto, es decir que escapan a las fuerzas de atracción de las otras moléculas, pudiendo así, escapar al exterior (transformandosé en estado gaseoso) mediante la ayuda de calor exterior. Este proceso de "escape" se lo denomina Evaporación o Vaporización. La energía que reciben éstas moléculas para escapar hacia el exterior se denomina Calor o Entalpía de Vaporización. Al producirse este escape de moléculas, la energía media de las mismas que quedaron en el líquido baja, por lo que la temperatura del mismo disminuye. Al evaporarse los líquidos de un sistema abierto, el calor fluye desde el exterior hacia la sustancia, para mantener su T °. De esta forma continúa el proceso de evaporación del líquido, pues se inserta energía a las moléculas más superficiales, con lo que vuelven a escapar. La velocidad de evaporación de un líquido aumenta cuando aumenta la T ° del mismo, pues existen mayor cantidad de moléculas con energía suficiente como para ubicarse cerca de la superficie y evaporarse. NOTA: La evaporación de líquido continúa hasta la eliminación del mismo, pues no existe restricción hacia el gas evaporado del mismo. - Presión de Vapor: Al restringirse la vaporización de un líquido, hay que considerar el proceso inverso al mismo: la condensación. Este proceso consiste en el pasaje de las moléculas evaporadas a su estado original, el líquido. Cuando las velocidades de vaporización y de condensación son iguales (a una T ° = constante) se dice que el líquido está en equilibrio con su vapor, lo que significa que el vapor está saturado y la presión que ejerce el vapor en dicho estado de equilibrio se denomina Presión de Vapor (pv). Debe de notarse que a T ° = constante y siendo el 306 mismo líquido, las pv son iguales a pesar de que los volúmenes de vapor y líquido sean diferentes. Esto demuestra que la pv sólo depende de la T °. Cuando la Pv es igual a la P externa , se forman burbujas en el interior del líquido. Este es el Punto de Ebullición del mismo (allí la T ° del líquido se mantiene constante durante la ebullición del mismo). Si la P externa = 1 atm, la T ° del líquido en ese instante es el Punto de Ebullición Normal del mismo. NOTA: Recordemos que según la ley de presiones parciales de Dalton, en un recipiente con vapor será: P atmosférica = Pv + PH2O - Estado Sólido. Aquí rigen las leyes de las estructuras cristalinas, con las cuales se interpreta las propiedades se los sistemas sólidos. - Transiciones en Sólidos: En el cero absoluto existen casi todas las sustancias como estructuras cristalinas, pero a medida que aumenta la T °, éstas estructuras comienzan a vibrar hasta que llegan a una T ° en donde se desarma la estructura y el sólido deja de serlo, para transformarse en líquido. A este proceso se lo conoce como fusión. Al proceso inverso, se lo denomina Congelación . Las Tf y T congelación son idénticas y a dichas T ° se hallan en equilibrio ambas fases (en este tramo la T ° se mantiene constante). Por otra parte, la energía calórica que se necesita para realizar estos procesos se denomina Calor de Fusión (o de Congelación, según sea la conversión). - Presión de Vapor en los Sólidos (Sublimación): La curva que indica la variación de la Pv en función de la T °, para los sólidos, se denomina Curva de Sublimación. Esto se debe a que el pasaje desde el sólido hacia el vapor sin pasar por el líquido se lo denomina Sublimación. 307 Análogamente puede hacerse pasar al vapor hacia el sólido, por medio del enfriamiento del vapor, siempre que se cumpla que: Pv < Pv sólido en la fusión. El cambio de estado en la materia va acompañado por una absorción de calor, que será el Calor Latente de Sublimación (Hs), el cual viene relacionado con los calores de Fusión (Hf) y de Vaporización (Hv), siempre que estén referidos a la misma T °: Hs = Hf + Hv - Cristalografía: Los sólidos pueden presentarse en forma amorfa o cristalina. En el caso de la primera, los átomos (o moléculas,o partículas) se ordenan de modo que la regularidad no prevalezca sobre las distancias considerables. Desde el punto de vista estructural, los sólidos amorfos se asemejan a los líquidos (ej.: vidrio, plásticos, etc.). La forma cristalina, está dada por una sola longitud: la arista del cubo de la retícula formada. La estructura de cualquier sistema que corresponde a este retículo es la repetición en las tres direcciones de espacio de dicho elemento estructural. Estas estructuras se denominan cristalinas y los cuerpos que las poseen se llaman cristales. Las redes están formadas por una consecutiva adyacencia de varias retículas cristalinas, de modo tal que cualquier punto de ella, puede ser usado como origen de un sistema. - Elementos de Simetría: - Plano de Simetría: es aquel que divide al cristal en dos partes iguales; - Eje de Simetría: es aquel sobre el cual el cristal puede revolucionar de modo que presente más de una vez su imagen en su transcurso. - Centro de Simetría: es aquel punto por el que puede pasar cualquier recta que se encuentre a la misma distancia en ambas direcciones. - Redes de Bravais: Se ha probado que solo son posibles 14 tipos de redes espaciales simples, es decir, que existen solo 14 maneras de distribuir puntos semejantes en el orden tridimensional. 308 - Grupo de Simetría: Sólo hay 32 posibles combinaciones diferentes de los elementos de simetría de un cristal. - Grupos Especiales: Junto con las redes de Bravais, los 32 grupos de Simetría llevan 230 disposiciones diferentes que se denominan Grupos Especiales. - Sistemas Cristalinos: Las redes de Bravais y los Grupos de Simetría, pueden dividirse en 7 sistemas cristalinos que se diferencian por consideraciones de simetría. Algunos de ellos son: - Cúbico. - Tetragonal. - Ortorrómbico. - Hexagonal. - Rombohédrico. - Monoclinico. - Triclínico. NOTA: Los Planos de Miller se utilizan para poder descubrir la forma en que se ordenan las moléculas en un cristal, a través del corte de dichos planos con las estructuras cristalinas. Sus Indices están indicando la inversa de las intersecciones del plano con los ejes, siempre que sean números enteros. - Imperfecciones de los Cristales: - Defecto de Frenkel: Al moverse una de las partículas del retículo, la estructura se mueve por completo, quedando corrida de su formación original. - Defecto de Schottky: La partícula desplazada deja el lugar vacío, que es ocupada por otra partícula, con lo cual el corrimiento es de elementos y no de estructuras. 309 - Impurezas: Cuando encontramos dentro de los cristales, elementos que no son propios del mismo. NOTA: para poder saber que tipo de estructura posee un cristal deberemos recurrir a los Rayos X, debido a que el tamaño de dichas retículas es sólo comparable con las longitudes de ondas de dichos rayos. El proceso consiste la difracción de los Rayos X sobre los cristales del elemento, produciéndose una imagen que permite obtener una idea de cómo se sitúan las partículas en ese elemento. Química - Materia Propiedades de la Materia Una propiedad de la materia es una cualidad de la misma que puede ser apreciada por los sentidos, por ejemplo el color, la dureza, el peso, el volumen, etcétera. Estas, y otras propiedades se clasifican en dos grandes grupos: - Son aquellas que Peso Propiedades varían con la cantidad Volumen extensivas de materia considerada Longitud Punto de fusión Punto de ebullición Densidad Propiedades de la Materia Propiedades - Son aquellas que no intensivas o varían con la cantidad específicas de materia considerada Coeficiente de solubilidad Indice de refracción Color Olor Sabor 310 Química - Materia Responder: 1) Dado un sistema formado por: agua, tres bolitas de acero, carbón en polvo, vapor de agua y aire (nitrógeno, oxígeno y dióxido de carbono); indicar: a) cuántas fases forman el sistema y cuáles son. b) cuántas sustancias hay y cuales son. c) si el sistema es heterogéneo u homogéneo. a) explicar cómo separaría el sistema. 2) Dado un sistema formado por: azúcar disuelto en agua y polvo de carbón; indicar: b) cuántas fases forman el sistema y cuáles son. c) cuántas sustancias hay y cuales son. 3) Citar un ejemplo de un sistema heterogéneo formado por 5 fases y 3 sustancias. 4) Calcular la composición centesimal de una muestra de granito, sabiendo que está formado por: feldespato 2 g, cuarzo 3,5 g y mica 1,6 g. 5) Clasificar los siguientes sistemas materiales en: homogéneos, heterogéneos, soluciones, compuestos o sustancias. a) aire. b) tinta china. c) papel. d) sal común. e) alcohol. f) manzana. 311 g) leche. h) cobre. i) agua. j) zinc. 6) Clasifique los siguientes cambios como físicos o químicos: a) explosión de la nafta en un motor. b) formación de nubes. c) cicatrización de una herida. d) elaboración de caramelo por evaporación de una solución azucarada. e) producción de luz mediante una lámpara eléctrica. f) fusión del hielo. g) oxidación de un metal. h) estabilidad. i) ductilidad. j) decoloración de una tela. 7) Elabore una lista de 15 cambios químicos que ocurran cotidianamente y que sean importantes para el mantenimiento de su vida. 8) Indicar ejemplos de sistemas que se puedan separar por: a) filtración. b) levigación. c) centrifugación. 312 d) decantación. Química - Estequeometría Resolver: 1) ¿Qué masa de ácido sulfúrico se podrá obtener a partir de 250 g de azufre 98 % de pureza?. Ver solución al final de ésta página 2) ¿Qué masa de óxido resulta necesaria para obtener 3150 g de ácido nítrico?, ¿cuántos moles de agua reaccionan?. Ver solución al final de ésta página 3) Se hacen reaccionar 5,5 litros de oxígeno medidos en CNPT con cantidad suficiente de nitrógeno, calcular: a) Los moles de nitrógeno que reaccionan. b) Volumen de nitrógeno necesario. c) Número de moléculas del compuesto formado, sabiendo que se obtiene anhídrido nítrico. Ver solución al final de ésta página 4) Se quieren preparar 3000 kg de amoníaco a partir de la reacción: N2 + 3.H2 2.NH3 Calcular: a) Volumen de nitrógeno medido en CNPT necesarios. b) Masa de hidrógeno necesaria. Ver solución al final de ésta página 313 5) Se quieren obtener 15 litros de dióxido de carbono (CNPT) según la reacción: Na2CO3 + 2.HCl CO2 + H2O + 2.NaCl Calcular: a) Volumen de solución de HCl 38 % p/p (δ = 1,19 g/cm ³) necesario. b) Masa de Na2CO3 necesaria. c) Masa de NaCl que se forma. Ver solución al final de ésta página 6) El cobre reacciona con el ácido sulfúrico según la ecuación: 2.H2SO4 + Cu SO2 + CuSO4 + 2.H2O Si se tienen 30 g de cobre y 200 g de H2SO4, calcular: a) ¿Qué reactivo está en exceso y en qué cantidad?. b) Número de moles de SO2 que se desprenden. c) Masa de CuSO4 que se forma. Ver solución al final de ésta página 7) El ácido bromhídrico y el ácido sulfúrico reaccionan según la ecuación: H2SO4 + 2.HBr SO2 + Br2 + 2.H2O Si reaccionan 3 moles de H2SO4, calcular: a) Masa de HBr necesaria. b) Número de moles de Br2 formados, sabiendo que la reacción tiene un rendimiento del 90 %. c) Volumen de SO2 que se desprende simultáneamente (medidos en CNPT). 314 Ver solución al final de ésta página 8) Cuando se trata el cobre con ácido nítrico se produce una reacción según la ecuación: 8.HNO3 + 3.Cu 3.Cu(NO3)2 + 2.NO + 4.H2O Calcular: a) ¿Cuántos gramos de ácido nítrico reaccionarán con 200 g de cobre. b) ¿Qué peso de sal cúprica se obtendrá?. Desarrollo: En todos los ejercicios de estequeometría proceder de la siguiente forma: Primero escribir la ecuación de formación y equilibrarla (balanceo). Luego calcular los pesos de cada sustancia según los moles que intervienen, la suma de los pesos a la izquierda de la flecha debe ser igual a la suma de los pesos a la derecha de la flecha. Resultados: 1) La ecuación de formación del trióxido de azufre es la siguiente: 2.S + 3.O2 2.SO3 2.32,064 g + 3.(2.15,9994 g) = 2.(32,064 g + 3.15,9994 g) 64,128 g + 95,9964 g = 160,1244 g Mediante regla de tres simple calculamos que masa de azufre puro interviene: Para: 100 % 250 g de S Luego: 98 % m azufre = (98 %).(250 g de S):(100 %) m azufre = 245 g de azufre puro. 315 Con éste resultado y mediante regla de tres simple calculamos la masa de trióxido de azufre obtenido: Para: Luego: 64,128 g de S 245 g de S 160,1244 g de SO3 m trióxido de azufre = (245 g de S).(160,1244 g de SO3):(64,128 g de S) m trióxido de azufre = 611,7527 g de SO3 puro. Luego la ecuación de formación del ácido sulfúrico es la siguiente: SO3 + 32,064 g + 3.15,9994 g 80,0622 g H2O 2.1,00797 g + 15,9994 + g + = H2SO4 2.1,00797 g + 32,064 g + 4.15,9994 g = 18,01534 g 98,07754 g Con el valor de m trióxido de azufre y mediante regla de tres simple calculamos la masa de ácido sulfúrico obtenido: Para: Luego: 80,0622 g de SO3 611,7527 g de SO3 98,07754 g de H2SO4 m ácido sulfúrico = (611,7527 g de SO3).(98,07754 g de H2SO4):(80,0622 g de SO3) m ácido sulfúrico = 749,4074 g de H2SO4 puro. 2) La ecuación de formación del ácido nítrico es la siguiente: N2O5 2.14,0067 g + 5.15,9994 g 108,0104 g + + + H2O 2.1,00797 g + 15,9994 g 18,01534 g 316 = = 2.HNO3 2.(1,00797 g +14,0067 g + 3.15,9994 g) 126,0257 g Mediante regla de tres simple calculamos que masa de óxido nítrico necesaria: Para: 126,0257 g de HNO3 108,0104 g de N2O5 m óxido nítrico = (3150 g de HNO3).(108,0104 g de Luego: 3150 g de HNO3 N2O5):(126,0257 g de HNO3) m óxido nítrico = 2699,7085 g de N2O5 Para calcular los moles lo hacemos de igual manera: Para: 126,0257 g de HNO3 Luego: 3150 g de HNO3 1 mol de H2O mol agua = (3150 g de HNO3).(1 mol de H2O):(126,0257 g de HNO3) mol agua = 25 moles de agua. 3) La ecuación de formación del anhídrido nítrico es la siguiente: 5.O2 + 2.N2 2.N2O5 5.2.15,9994 g + 2.2.14,0067 g = 2.(2.14,0067 g + 5.15,9994 g) 159,994 g + 56,0268 g = 216,0208 g Recordemos que en CNPT el volumen que ocupa un mol de gas es 22,4 litros, por lo tanto: 5.O2 + 2.N2 2.N2O5 5.22,4 litros + 2.22,4 litros = 2.22,4 litros 112 litros + 44,8 litros = 44,8 litros 317 a) Para calcular los moles nitrógeno: Para: Luego: 112 litros de O2 5,5 litros de O2 2 moles de N2 mol nitrógeno = (5,5 litros de O2).(2 moles de N2):(112 litros de O2) mol nitrógeno = 0,01 mol de N2 b) Para calcular el volumen nitrógeno: Para: Luego: 112 litros de O2 5,5 litros de O2 44,8 litros de N2 V nitrógeno = (5,5 litros de O2).(44,8 litros de N2):(112 litros de O2) V nitrógeno = 2,2 litros de N2 c) Recordemos que en un mol hay 6,02.1023 moléculas, luego: Para: Luego: 112 litros de O2 5,5 litros de O2 2.6,02.1023 moléculas de N2O5 moléculas óxido nítrico = (5,5 litros de O2).(2.6,02.1023 moléculas de N2O5):(112 litros de O2) moléculas óxido nítrico = 2,96 moléculas de N2O5 4) La ecuación de formación del anhídrido nítrico es la siguiente: N2 + 3.H2 2.NH3 2.14,0067 g + 3.2.1,00797 g = 2.(14,0067 g + 3.1,00797 g) 28,0134 g + 6,04782 g = 34,06122 g 318 Recordemos que en CNPT el volumen que ocupa un mol de gas es 22,4 litros, por lo tanto: N2 + 3.H2 2.NH3 22,4 litros + 3.22,4 litros = 2.22,4 litros 22,4 litros + 67,2 litros = 44,8 litros a) Si 3.000 kg de amoníaco = 3.000.000 g, para calcular el volumen nitrógeno medido en CNPT: Para: Luego: 34,06122 g de NH3 3.000.000 g de NH3 22,4 litros de N2 V nitrógeno = (3.000.000 g de NH3).(22,4 litros de N2):(34,06122 g de NH3) V nitrógeno = 1.972.918,17 litros de N2 b) Para calcular la masa hidrógeno: Para: Luego: 34,06122 g de NH3 3.000.000 g de NH3 6,04782 g de H2 m hidrógeno = (3.000.000 g de NH3).(6,04782 g de H2):(34,06122 g de NH3) m hidrógeno = 532.672,053 g de H2 = 532,67 kg de H2 5) La ecuación estequeométrica es la siguiente: Na2CO3 2.23 g + 12 g + 3.16 g 106 g + + + 2.HCl 2.(1 g + 35,5 g) 73 g = CO2 12 g + 2.16 g = 44 g 319 + + + H2O 2.1 g + 16 g 18 g + + + 2.NaCl 2.(23 g + 35,5 g) 117 g a) Para calcular el ácido clorhídrico: Para: 22,4 litros de CO2 Luego: 15 litros de CO2 73 g de HCl m HCl = (15 litros de CO2).(73 g de HCl):(22,4 litros de CO2) m HCl = 48,88 g de HCl puro. Para calcular el volumen de solución de HCl 38 % p/p: Para: 38 % 48,88 g Luego: 100 % m solución = (100 %).(48,88 g):(38 %) m solución = 128,63 g Si δ = m/V V = m/ δ V = (128,63 g)/(1,19 g/cm ³) V = 108,1 cm ³ b) Para calcular la masa de Na2CO3: Para: Luego: 22,4 litros de CO2 15 litros de CO2 106 g de Na2CO3 m carbonato de sodio = (15 litros de CO2).(106 g de Na2CO3):(22,4 litros de CO2) m carbonato de sodio = 71 g de Na2CO3 320 c) Para calcular la masa de NaCl: Para: Luego: 22,4 litros de CO2 15 litros de 117 g de NaCl m cloruro de sodio = (15 litros de CO2).(117 g de NaCl):(22,4 CO2 litros de CO2) m cloruro de sodio = 78,35 g de NaCl 6) La ecuación estequeométrica es la siguiente: 2.H2SO4 2.(2.1 g + 32 g + 4.16 g) 196 g + Cu 63,5 + g = + 63,5 = g SO2 32 g + 2.16 g 64 g + + CuSO4 63,5 g + 32 + g + 4.16 g 159,5 g + + + 2.H2O 2.(2.1 g + 16 g) 36 g a) Para calcular el reactivo que está en exceso comenzamos por cualquiera de los involucrados: Para: 63,5 g de Cu 196 g de H2SO4 Luego: 30 g de Cu m ácido sulfúrico = (30 g de Cu).(196 g de H2SO4):(63,5 g de Cu) m ácido sulfúrico = 92,6 g de H2SO4 El ácido sulfúrico está en exceso y en la cantidad de: 200 g de H2SO4 - 92,6 g de H2SO4 = 107,4 g de H2SO4 A partir de acá tomamos como dato los 30 g de Cu. 321 b) El número de moles de SO2 que se desprenden será: Para: 63,5 g de Cu 1 mol de SO2 Luego: 30 g de Cu m dióxido de azufre = (30 g de Cu).(1 mol de SO2):(63,5 g de Cu) m dióxido de azufre = 0,47 mol de SO2 c) La masa de CuSO4 será: Para: 63,5 g de Cu Luego: 30 g de Cu 159,5 g de CuSO4 m sulfato cúprico = (30 g de Cu).(159,5 g de CuSO4):(63,5 g de Cu) m sulfato cúprico = 75,35 g de CuSO4 7) La ecuación estequeométrica es la siguiente: H2SO4 + 2.HBr SO2 + Br2 + 2.H2O 2.1 g + 32 g + 4.16 g + 2.(1 g + 80 g) = 32 g + 2.16 g + 2.80 g + 2.(2.1 g + 16 g) 98 g + 162 g = 64 g + 160 g + 36 g a) La masa de HBr será: Para: Luego: 1 mol de H2SO4 3 mol de H2SO4 162 g de HBr m ácido bromhídrico = (3 mol de H2SO4).(162 g de HBr):(1 mol de H2SO4) m ácido bromhídrico = 486 g de HBr 322 b) El número de moles de Br2 formados al 100 %: 1 mol de Para: H2SO4 3 mol de Luego: H2SO4 1 mol de Br2 mol bromo = (3 mol de H2SO4).(1 mol de Br2):(1 mol de H2SO4) mol bromo = 3 mol de Br2 al 100 % de rendimiento. mol bromo 90 % = mol bromo .0,90 = 0,9.3 mol de Br2 = 2,7 mol de Br2 c) El volumen de dióxido de azufre es: Para: Luego: 1 mol de H2SO4 3 mol de H2SO4 64 g de SO2 = 22,4 litros de SO2 V dióxido de azufre = (3 mol de H2SO4).(22,4 litros de SO2):(1 mol de H2SO4) V dióxido de azufre = 67,2 litros de SO2 8) La ecuación estequeométrica es la siguiente: 8.HNO3 8.(1 g + 14 g + 3.16 g) 504 g + 3.Cu 3.63,5 + g = + 190,5 = g 3.Cu(NO3)2 3.(63,5 g + 2.(14 g + 3.16 g)) 562,5 g + + + 2.NO 2.(14 g + 16 g) 60 g + + + 4.H2O 4.(2.1 g + 16 g) 72 g a) La masa de ácido nítrico será: Para: 190,5 g de Cu 504 g de HNO3 Luego: 200 g de Cu m ácido nítrico = (200 g de Cu).(504 g de HNO3):(190,5 g de Cu) m ácido nítrico = 529,13 g de HNO3 323 b) La masa de nitrato cúprico será: Para: 190,5 g de Cu Luego: 200 g de Cu 562,5 g de Cu(NO3)2 m nitrato cúprico = (200 g de Cu).(562,5 g de Cu(NO3)2):(190,5 g de Cu) m nitrato cúprico = 590,55 g de Cu(NO3)2 Química - Estequeometría Resolver: 1) El tejido óseo de una persona adulta pesa aproximadamente 11 kg y contiene 50 % de Ca3 (PO4)2. Determinar los kilogramos de fósforo que hay en el tejido óseo de una persona adulta. Respuesta: 11,8 g 2) ¿Cuántos gramos de hidróxido de sodio son necesarios para neutralizar 364 g de HCl?. Respuesta: 400 g 3) ¿Cuántos gramos de hidróxido de calcio son necesarios para neutralizar 490 g de ácido sulfúrico?. Respuesta: 370 g 4) ¿Cuántos gramos de ácido nítrico se necesitan para neutralizar 370 g hidróxido de calcio?. Respuesta: 630 g 5) Calcular las masas de ácido clorhídrico y de hidróxido de sodio que se necesitan para preparar 292 g de cloruro de sodio. Respuesta: 182 g HCl y 200 g NaOH 324 6) Calcular la masa de sulfato ácido de sodio que se obtiene tratando 2,92 kg de cloruro de sodio con ácido sulfúrico en cantidad suficiente. ¿Cuántos kilogramos de ácido clorhídrico gaseoso se obtienen?. ¿Qué volumen ocupa ese gas?. Respuesta: 6000 g NaHSO4 1,82 kg HCl 1117 dm3 HCl 7) Calcular la cantidad en peso y en volumen de CO2 (en CNPT) que se obtienen al tratar 380 g de carbonato de calcio con la cantidad estequeométrica de ácido clorhídrico. Calcular además, la cantidad de cloruro de calcio formado. CaCO3 + 2.HCl CaCl2 + H2O + CO2 Respuesta: 167,09 g 85,04 l 421,37 g 8) Calcular cuantos kilogramos y cuantos litros (en CNPT) de aire hacen falta para la combustión completa de 100 kg de pentano (C5H12). El contenido de oxígeno en el aire es del 21 % en volumen ó 23 % en peso. Respuesta: 1542,6 kg 3809524 l 9) Una aleación tiene 20 % de cobre y 80 % de plata. Calcular la masa de sulfato cúprico y sulfato de plata que se podrán obtener con 5 g de dicha aleación. Respuesta: 1,63 g 2,08 g 10) Se necesitan 20 litros de oxígeno en CNPT. Calcular qué cantidad de clorato de potasio de 95 % de pureza deben descomponerse para obtener ese volumen. 325 KClO3 KCl + 3/2.O2 Respuesta: 76,79 g 11) Reaccionan 10 g de aluminio con 10 g de oxígeno, ¿cuál de los reactivos está en exceso?, ¿cuántos gramos de óxido de aluminio se forman?. Respuesta: Oxígeno 18,89 Química - Estequeometría Responder: 1) Para escribir la ecuación que representa una reacción química es necesario: a) Conocer los reactivos que intervienen y de los productos de la reacción. b) Conocer la fórmula de cada reactivo y los de los productos de la reacción. c) Observar la ley de conservación de los átomos. d) Conocer los indicados en todos los puntos anteriores. 2) Una ecuación química nos permite calcular: a) Los pesos de las sustancias producidas. b) Los pesos de las sustancias consumidas. c) El número de moléculas de cualquier sustancia interviniente en la reacción. d) Todos los datos expuestos en los puntos a), b) y c). 3) Una ecuación que represente la reacción química entre gases, nos permite conocer: a) Las masas de los gases reaccionantes y de los gases obtenidos. b) Los volúmenes de los gases reaccionantes y de los gases obtenidos. 326 c) El número de moléculas de los gases reaccionantes y de los gases obtenidos. d) Todos los datos indicados en los puntos a), b) y c). 4) Los cálculos basados en una ecuación química se fundamentan en: a) Las leyes gravimétricas de la química. b) Las leyes volumétricas de la química. c) Ninguna de las expuestas en los puntos a) y b). d) En todas las leyes expuestas en los puntos a) y b). 5) Una reacción química se dice que es de síntesis, cuando: a) Las sustancias reaccionantes son sustancias simples. b) Cuando los productos obtenidos son sustancias simples. c) Cuando se produce una modificación de valencias en las sustancias reaccionantes. d) Ninguna respuesta es correcta. 6) En una reacción química de síntesis: a) No existe cambio de valencia en los elementos participantes. b) Se produce una verdadera reacción de óxido reducción c) Existen cambios de valencia en los elementos participantes. d) Se produce una sustancia compuesta a partir de sustancias simples. 7) Una reacción de descomposición se caracteriza porque: a) A partir de una sustancia compuesta se obtienen dos o más sustancias compuestas. b) A partir de una sustancia compuesta se obtienen dos o más sustancias simples. 327 c) Se producen cambios de valencias en los elementos. d) No se producen cambios de valencia en los elementos. Química - Orgánica QUIMICA DE LOS COMPUESTOS DEL CARBONO El átomo de carbono, debido a su configuración electrónica, presenta una importante capacidad de combinación. Los átomos de carbono pueden unirse entre sí formando estructuras complejas y enlazarse a átomos o grupos de átomos que confieren a las moléculas resultantes propiedades específicas. La enorme diversidad en los compuestos del carbono hace de su estudio químico una importante área del conocimiento puro y aplicado de la ciencia actual. Durante mucho tiempo la materia constitutiva de los seres vivos estuvo rodeada de no pocas incógnitas. Frente a la materia mineral presentaba, entre otras, una característica singular, su capacidad de combustión. Parecía como si los únicos productos capaces de arder hubieran de proceder de la materia viviente. En los albores de la química como ciencia se advirtió, además, que si bien la materia procedente de organismos vivos podía degradarse en materia mineral por combustión u otros procesos químicos,no era posible de ninguna manera llevar a cabo en el laboratorio el proceso inverso. Argumentos de este estilo llevaron a Berzelius, a comienzos del siglo XIX, a sugerir la existencia de dos tipos de materia en la naturaleza, la materia orgánica o materia propia de los seres vivos, y la materia inorgánica. Para justificar las diferencias entre ambas se admitió que la materia orgánica poseía una composición especial y que su formación era debida a la intervención de una influencia singular o «fuerza vital» exclusiva de los seres vivos y cuya manipulación no era posible en el laboratorio. La crisis de este planteamiento, denominado vitalismo, llevó consigo el rápido desarrollo de la química de la materia orgánica en los laboratorios, al margen de esa supuesta «fuerza vital». En la actualidad, superada ya la vieja clasificación de Berzelius, se denomina química orgánica a la química de los derivados del carbono e incluye el estudio de los 328 compuestos en los que dicho elemento constituye una parte esencial, aunque muchos de ellos no tengan relación alguna con la materia viviente. EL ATOMO DE CARBONO Configuración electrónica El átomo de carbono constituye el elemento esencial de toda la química orgánica, y dado que las propiedades químicas de elementos y compuestos son consecuencia de las características electrónicas de sus átomos y de sus moléculas, es necesario considerar la configuración electrónica del átomo de carbono para poder comprender su singular comportamiento químico. Se trata del elemento de número atómico Z= 6. Por tal motivo su configuración electrónica en el estado fundamental o no excitado es 1 s ² 2 s ² 2 p ². La existencia de cuatro electrones en la última capa sugiere la posibilidad bien de ganar otros cuatro convirtiéndose en el ion C4- cuya configuración electrónica coincide con la del gas noble Ne, bien de perderlos pasando a ion C4+ de configuración electrónica idéntica a la del He. En realidad una pérdida o ganancia de un número tan elevado de electrones indica una dosis de energía elevada, y el átomo de carbono opta por compartir sus cuatro electrones externos con otros átomos mediante enlaces covalentes. Esa cuádruple posibilidad de enlace que presenta el átomo de carbono se denomina tetravalencia. Enlaces Los cuatro enlaces del carbono se orientan simétricamente en el espacio de modo que considerando su núcleo situado en el centro de un tetraedro, los enlaces están dirigidos a lo largo de las líneas que unen dicho punto con cada uno de sus vértices. La formación de enlaces covalentes puede explicarse, recurriendo al modelo atómico de la mecánica cuántica, como debida a la superposición de orbitales o nubes electrónicas correspondientes a dos átomos iguales o diferentes. Así, en la molécula de metano CH4 (combustible gaseoso que constituye el principal componente del gas natural), los dos electrones internos del átomo de C, en su movimiento en torno al núcleo, dan lugar a una nube esférica que no participa en los fenómenos de enlace; es una nube pasiva . Sin embargo, los cuatro electrones externos de dicho átomo se mueven en el espacio formando una nube activa de cuatro lóbulos principales dirigidos hacia los vértices de 329 un tetraedro y que pueden participar en la formación del enlace químico. Cuando las nubes electrónicas de los cuatro átomos de hidrógeno se acercan suficientemente al átomo de carbono, se superponen o solapan con los lóbulos componentes de su nube activa, dando lugar a esa situación favorable energéticamente que denominamos enlace. Todos los enlaces C —H en el metano tienen la misma longitud 1,06 Å (1 Å == 10-10 m) y forman entre, sí ángulos iguales de 109°. Tal situación define la geometría tetraédrica característica de los enlaces del carbono. La propiedad que presentan los átomos de carbono de unirse de forma muy estable no sólo con otros átomos,sino también entre sí a través de enlaces C — C, abre una enorme cantidad de posibilidades en la formación de moléculas de las más diversas geometrías, en forma de cadenas lineales,cadenas cíclicas o incluso redes cúbicas. Este es el secreto tanto de la diversidad de compuestos orgánicos como de su elevado número. El carbono frente al silicio Cabe preguntarse si la situación del carbono es singular o si por el contrario algún otro elemento participa de sus mismas propiedades. Observando el sistema periódico se advierte que el silicio está situado en el mismo grupo justo debajo del carbono y con idéntica configuración electrónica externa. ¿Por qué razón la vida se ha desarrollado sobre los compuestos del carbono y no sobre los del silicio? ¿Por qué los derivados del silicio son tan poco numerosos frente a los del carbono? La existencia en el silicio de ocho electrones internos adicionales respecto del carbono hace que los electrones externos o de valencia responsables del enlace químico estén más alejados del núcleo y, por tanto, atraídos por él más débilmente. Ello se traduce en que la fuerza de los enlaces del silicio es comparativamente menor; particularmente lo es el enlace Si-Si (cuya energía de enlace es aproximadamente la mitad de la del enlace C — C), lo que le convierte en más reactivo, es decir, menos estable químicamente. No obstante, el silicio cristaliza formando una red tridimensional semejante a la del diamante, y sus derivados constituyen el 87 % de la composición de la corteza terrestre. Su combinación con el oxígeno origina la sílice o cuarzo (SiO2). El carácter francamente polar de esta unión da lugar a estructuras reticulares o redes cristalinas que por sus propiedades se parecen enormemente a las de los sólidos iónicos. 330 HIBRIDACION DE ORBITALES La geometría de las moléculas en general y la de los compuestos del carbono en particular, puede explicarse recurriendo a la idea de hibridación de orbitales. El análisis de tres átomos típicos, el berilio (Be), el boro (B) y el carbono (C) permite ilustrar este fenómeno mecanocuántico. El berilio tiene como configuración electrónica 1 s ²2 s ²; a pesar de que todos sus orbitales están completos se combina dando lugar a moléculas lineales con dos enlaces. La explicación de este hecho experimental es la siguiente: cuando el átomo de Be se excita, un electrón 2 s es promovido al orbital 2 px y la configuración electrónica del berilio excitado, Be*, se convierte en 1s ²2s¹2px¹. Los dos electrones desapareados 2 s y 2 px pueden dar lugar a sendos enlaces, que por sus características deberían ser de diferente intensidad. La observación experimental demuestra, sin embargo, que ambos enlaces son equivalentes y la teoría cuántica del enlace químico explica este hecho recurriendo a la idea de hibridación. Cuando el berilio se excita, se produce una combinación entre los orbitales 2 s y 2 px que da lugar a sendos orbitales híbridos sp equivalentes. En el átomo de boro, de configuración electrónica 1s ²2s ²2px¹, sucede algo similar y el boro excitado, B*, alcanza la configuración 1s ²2s¹2px¹2py¹ por la promoción de un electrón 2 s a un orbital 2 p. Los orbitales correspondientes a los tres electrones desapareados se hibridan dando lugar a tres orbitales equivalentes sp ² que determinan la geometría trigonal plana de sus enlaces. El átomo de carbono, con configuración electrónica 1 s ²2 s ²2 p ² en el estado fundamental, se convierte, por efecto de la excitación, en 1s ²2s¹2px¹2py¹2pz¹ con cuatro electrones desapareados, cuyos orbitales respectivos se hibridan para dar lugar a otros tantos orbitales equivalentes sp ³ cuyos lóbulos se orientan tetraédricamente. Los lóbulos principales de los orbitales que resultan de la hibridación se denominan, con frecuencia, nubes activas porque son ellas las que participan en la formación del enlace. HIDROCARBUROS - ASPECTOS ESTRUCTURALES La geometría de sus moléculas Los hidrocarburos son los derivados del carbono más sencillos. Resultan de la unión únicamente de átomos de carbono con átomos de hidrógeno y de átomos de carbono 331 entre sí formando cadenas que pueden ser abiertas o cerradas y cuyos «eslabones» pueden estar unidos por enlaces simples o por enlaces múltiples. Aquellos hidrocarburos que presentan únicamente enlaces simples reciben el nombre de hidrocarburos saturados (alcanos). El representante más sencillo de los hidrocarburos saturados es el metano CH4; no obstante, el etano C2H6da una mejor idea de las características de este tipo de hidrocarburos. La molécula de etano está compuesta por dos átomos de carbono y seis átomos de hidrógeno que se unen entre sí mediante enlaces covalentes sencillos. Desde un punto de vista puramente geométrico se puede representar la molécula de etano mediante dos tetraedros contiguos y opuestos por uno de sus vértices, en donde los dos átomos de carbono ocupan los centros de los respectivos tetraedros,y los de hidrógeno los vértices libres. Todos los enlaces C —H tienen la misma longitud igual a 1,06 Å, mientras que el enlace C —C, de características electrónicas diferentes, presenta un valor superior e igual a 1,54 Å. El resto de los compuestos de esta serie de hidrocarburos de cadena abierta puede obtenerse intercalando en el etano sucesivamente grupos — CH2 —. Las cadenas de los hidrocarburos saturados pueden también cerrarse formando estructuras cíclicas. El ciclohexano es un ejemplo. Los enlaces C —C forman una estructura hexagonal, no plana. Pueden presentarse dos posibles disposiciones geométricas de sus átomos en el espacio respetando la geometría tetraédrica de los enlaces del carbono: una en forma de silla y otra en forma de barco. En cada uno de los vértices, los enlaces correspondientes se dirigen hacia los vértices de un tetraedro imaginario, es decir, formando ángulos de 109° aproximadamente. Si la estructura molecular fuera plana como en un hexágono, los ángulos CCC serían iguales a 120°, lo que no es compatible con la geometría tetraédrica de los enlaces del carbono en los hidrocarburos saturados. Dicha geometría explica entonces la conformación de la molécula. Los hidrocarburos no saturados se caracterizan, desde el punto de vista de su estructura molecular, por la presencia de enlaces dobles (alquenos) o triples (alquinos). La molécula de eteno o etileno está formada por dos átomos de carbono unidos por un enlace doble; mediante sus otros dos enlaces restantes cada átomo de carbono se une a otros tantos átomos de hidrógeno. La existencia de un doble enlace modifica 332 considerablemente la geometría de la molécula de eteno respecto de la de etano, ahora los ángulos HCH y HCC son iguales a 120° como corresponde a una estructura plana. Además la longitud de enlace C — C se acorta pasando de los 1,54 Å en el etano a 1,34 Å en el eteno, indicando con ello que la unión es más fuerte. A diferencia de lo que sucede con un enlace sencillo, un enlace múltiple impide la rotación de la molécula en torno a él y le confiere, por tanto, una cierta rigidez. Enlaces σ y enlaces π A la vista de la forma en la que los enlaces se representan en las fórmulas químicas puede pensarse que los diferentes enlaces de una unión múltiple entre dos átomos de carbono son equivalentes. Sin embargo, tanto la observación experimental como los resultados de la teoría del enlace químico indican que ello no es así; los dos enlaces de una unión doble no tienen la misma fuerza, uno se asemeja al de la unión simple carbono-carbono y recibe el nombre de enlace σ; el otro es más frágil y se denomina enlace π. Esta situación puede explicarse de forma cualitativa recurriendo a la imagen de las nubes activas; a diferencia de lo que sucede en el etano, en el eteno pueden distinguirse para cada átomo de carbono dos tipos de nubes activas, una con tres lóbulos principales se encuentra en el plano de la molécula, la otra con dos se halla en un plano perpendicular. El solapamiento frontal de las primeras da lugar a enlaces σ con los átomos de H y entre los átomos de C; el solapamiento lateral de las segundas produce el enlace π más débil. Una situación de enlace peculiar es la que presenta el benceno, un hidrocarburo cíclico y no saturado de singular importancia en la química orgánica. Aunque como el ciclohexano el benceno posee un «esqueleto» de átomos de carbono formado por seis unidades, presenta una diferencia importante, la presencia de dobles enlaces, tantos como le permite la tetravalencia del carbono. De acuerdo con ella, cualquiera de las siguientes estructuras, por ejemplo, se ajustaría correctamente a su fórmula molecular C6H6: 333 Empleando un esquema de planos perpendiculares para distinguir entre los enlaces σ y los enlaces π ambas estructuras se podrían representar como en la figura adjunta. Las nubes electrónicas activas, cuyo solapamiento frontal genera los enlaces σ,están todas en un mismo plano, lo que da lugar a una estructura plana formando un hexágono regular. Las nubes electrónicas cuyo solapamiento lateral produce los enlaces π se encuentran en un plano perpendicular al de la molécula. Aun cuando las estructuras de partida parecen distinguir entre los enlaces dobles y los sencillos en la molécula de benceno, observaciones experimentales han puesto de manifiesto que la longitud de los diferentes enlaces C —C es idéntica e igual a 1,39 Å, es decir, intermedia entre la de un enlace sencillo (1,54 Å) y uno doble (1,34 Å). Estudios teóricos refuerzan la idea de que en el benceno se produce un solapamiento lateral generalizado de las nubes situadas en planos perpendiculares al de la molécula, lo que se traduce en sendos anillos superior e inferior. Eso significa que los electrones que participan en los enlaces π están deslocalizados, es decir, no pueden ser asignados a ningún par de átomos en concreto. Esta deslocalización da lugar a una importante disminución en la energía potencial de la molécula, lo que explica la considerable estabilidad química de este compuesto orgánico y de sus análogos. GRUPOS FUNCIONALES - ASPECTOS ESTRUCTURALES Los hidrocarburos presentan propiedades físicas y químicas que se derivan de su estructura. Así, los hidrocarburos saturados, debido a la ausencia de dobles enlaces,se caracterizan por su escasa reactividad. En condiciones ambientales los cuatro primeros miembros de la serie son gases incoloros, pero a medida que aumenta el número de grupos CH2 adicionales los hidrocarburos aumentan su punto de fusión, lo que les hace 334 ser líquidos y sólidos en esas mismas condiciones. La gasolina, por ejemplo, contiene, entre otros componentes, una mezcla de hidrocarburos líquidos, y la parafina (en latín parum = poca, affinis = afinidad, es decir, poca capacidad de reacción química) es, en esencia, una mezcla de hidrocarburos sólidos a temperatura ambiente. Sin embargo, junto con los enlaces C — C y C —H de los hidrocarburos saturados, que se caracterizan por su estabilidad, otros diferentes grupos atómicos pueden estar presentes en las cadenas hidrocarbonadas, dando lugar a distintos tipos de moléculas orgánicas. Estos grupos atómicos que incrementan y modifican, de acuerdo con su composición, la capacidad de reacción de los hidrocarburos se denominan grupos funcionales. En ellos figuran elementos tales como el oxígeno, el nitrógeno o el azufre, que hacen de los grupos funcionales auténticos centros reactivos de la molécula. Los principales grupos funcionales son los siguientes. Grupo hidroxilo (- OH) Es característico de los alcoholes, compuestos constituidos por la unión de dicho grupo a un hidrocarburo. El carácter polar del enlace O —H les confiere sus propiedades químicas características, algunas de las cuales son parecidas a las de la molécula de agua. Al igual que ésta, pueden ceder o aceptar iones H+ y actuar, por tanto, como ácido o como base. El alcohol puede neutralizar a un ácido de forma parecida a como lo hace una base inorgánico. Grupo carbonilo (>C=O) Su presencia en una cadena hidrocarbonada (R) puede dar lugar a dos tipos diferentes de sustancias orgánicas: los aldehídos y las cetonas. En los aldehídos el grupo CO, estando unido por un lado a un carbono terminal de una cadena hidrocarbonada y por otro a un átomo de hidrógeno, ocupa una posición extrema en la cadena. En las cetonas, por el contrario, el grupo carbonilo se une a dos cadenas hidrocarbonadas, ocupando por tanto una situación intermedia. El enlace C = O del grupo carbonilo está fuertemente polarizado, pues el oxígeno atrae la carga compartida hacia sí más que el carbono. Dicha polarización es responsable de la actividad química de este grupo, que se hace más destacada en los aldehídos debido a la posición extrema, y por tanto más accesible, que ocupa dicho grupo en la cadena hidrocarbonada. Tanto los aldehídos como las 335 cetonas se pueden obtener mediante la oxidación suave de alcoholes. Inversamente, la hidrogenación del grupo carbonilo reproduce el grupo alcohólico. Grupo carboxilo Es el grupo funcional característico de los ácidos orgánicos. En ellos el enlace O — H está polarizado, pero ahora más intensamente que en el grupo hidroxilo, debido a que la proximidad del grupo +C=O- contribuye al desplazamiento del par de electrones del enlace O — H hacia el átomo de oxígeno. Por tal motivo, el átomo de hidrógeno se desprende del grupo carboxilo, en forma de ion H+, con una mayor facilidad, comportándose como un ácido. Un ácido orgánico puede obtenerse por oxidación de los alcoholes según la reacción: etanol ácido etanoico o acético CH3CH2OH CH3COOH Los ácidos orgánicos reaccionan con los alcoholes de una forma semejante a como lo hacen los ácidos inorgánicos con las bases en las reacciones de neutralización. En este caso la reacción se denomina esterificación, y el producto análogo a la sal inorgánico recibe el nombre genérico de éster : CH3COOH + CH3CH2OH H2O + CH3 - COOC2H5 ácido acético etanol acetato de etilo Los ácidos orgánicos son, en general, ácidos débiles. 336 Grupo amino Puede considerarse como un grupo derivado del amoníaco (NH3) y es el grupo funcional característico de una familia de compuestos orgánicos llamados aminas .Al igual que el amoníaco, el grupo amino tiene un carácter básico, de modo que aceptan con facilidad iones H+: metil amina ion metilamonio CH3NH2 CH3NH3+ APLICACION: DETERMINACION DE LA FORMULA EMPIRICA DE UN ALCOHOL Se desea determinar la fórmula empírica de un alcohol, para lo cual se queman 92,0 gramos del alcohol problema y se obtienen como productos de la reacción de combustión 176,0 g de dióxido de carbono y 108,0 g de agua. a) Identificar el alcohol de que se trata. b) Escribir la reacción de combustión ajustada. Un alcohol está constituido por átomos de H, C y O de modo que el cálculo de la proporción en la que tales átomos intervienen permitirá determinar los subíndices característicos de la fórmula empírica. En lo que sigue se procederá a calcular el número de moles de cada elemento cuya proporción equivale a la del número de átomos correspondientes. nº de moles CO2 = nº de gramos/(nº de gramos/mol) = 176 g/(44,0 g/mol) = 4,0 moles Pues M (CO2) = M(C) + 2M(O) = 1,02 + 2 · 16,0 = 44,0 g/mol nº de moles H 2O = nº de gramos/(nº de gramos/mol) = 108 g/(18,0 g/mol) = 6,0 moles 337 Pues M(H2O) = 2M(H) + M(O) = 2 · 1,0 + 16,0 =18,0 g/mol Como el CO2y el H2O son los dos únicos productos de la combustión, todo el C y el H de tales productos procederá del alcohol de modo que los 92,0 g de alcohol contendrán 4,0 moles de átomos de carbono y 12,0 moles de átomos de hidrógeno,o lo que es lo mismo, 4,0 · 12,0 = 48,0 gramos de carbono y 12,0 · 1,0 = 12,0 gramos de hidrógeno, siendo los 32,0 gramos restantes de oxígeno (12,0 + 48,0 + 32 = 92,0), que equivalen a 32,0/16,0 = 2,0 moles de átomos de este elemento. La proporción en número de moles es por tanto: 4 de C: 12 de H : 2 de O Proporción que, según el concepto de mol, equivale a la del número de átomos correspondientes y que se traduce en una fórmula química del tipo C4H12O2, es decir, C2H6O. Se trata, por tanto, del alcohol etílico o etanol, cuya fórmula semidesarrollada es CH3-CH2OH. La reacción de combustión ajustada de este alcohol vendrá dada por la ecuación: C2H6O + 3O2 2CO2 + 3H2O Los 92,0 g de alcohol se completan hasta los 176,0 + 108,0 = 284,0 g de productos con el oxígeno atmosférico, que aparece como reactivo en el primer miembro de la ecuación química. ISOMERIA El término isomería procede del griego (isos = igual; meros = parte) y se refiere a la propiedad que presentan algunos compuestos, particularmente los orgánicos,de poseer la misma fórmula molecular, pero características diferentes. Los compuestos isómeros poseen la misma composición en lo que se refiere al tipo de elementos y a su proporción; dicho de otro modo, tienen los mismos átomos componentes y en igual número, pero organizados de diferente manera; son por tanto compuestos distintos. 338 Isomerías planas El butano, por ejemplo, es un hidrocarburo saturado cuya fórmula empírica o molecular es C4H10. Pero a esa misma fórmula empírica se ajustan dos compuestos diferentes que pueden distinguirse, desde el punto de vista de la organización de sus átomos, escribiendo su fórmula desarrollada o incluso semidesarrollada: n-butano isobutano Para diferenciarlos se utilizan los nombres de n-butano (butano normal) e isobutano (isómero del butano). Este tipo de isomería, que afecta a la disposición de los diferentes eslabones de la cadena hidrocarbonada, recibe el nombre de isomería de cadena. Otro tipo de isomería denominada isomería de posición, es la que presentan los compuestos que teniendo la misma fórmula molecular e idéntica función química (alcohol, ácido, aldehído, etc.), se diferencian en la posición que el grupo funcional correspondiente ocupa en la molécula. Así, por ejemplo, el grupo alcohol - OH en el propanol puede situarse unido, bien a un átomo de carbono extremo, o bien al átomo de carbono central. En ambos casos la fórmula molecular es C3H8O,pero se trata de dos compuestos diferentes: n-propanol iso-propanol Un tercer tipo de isomería fácil de reconocer es la que afecta a la función (isomería de función). La presentan los compuestos con igual fórmula molecular, pero diferente 339 función química. Tal es el caso, por ejemplo, de los aldehídos y las cetonas y, particularmente, del propanol frente a la propanona: Propanol y propanona (C3H6O) (C3H6O) Estereoisomerías Cualquiera de las isomerías anteriormente consideradas constituye una isomería plana. Se les otorga este nombre porque son tan fáciles de reconocer que basta disponer de la fórmula plana de los compuestos para averiguar si son o no isómeros. No obstante, la naturaleza presenta otros tipos de isómeros más difíciles de identificar; para conseguirlo es preciso efectuar una representación de la molécula en el espacio y analizar la orientación relativa de sus átomos o grupos de átomos; por tal motivo este tipo de isomería recibe el nombre de isomería del espacio o estereoisomería. La forma más simple de estereoisomería es la llamada isomería geométrica o isomería cis-trans. Este tipo de isomería se presenta asociada a rotación impedida de la molécula sobre un enlace carbono-carbono. Tal es el caso de aquellos hidrocarburos no saturados en los que la presencia de un doble enlace elimina la posibilidad de rotación en torno a él. En la figura adjunta se representa un esquema genérico de isómeros cis-trans; a y b representan dos átomos o grupos de átomos diferentes. El plano vertical que contiene al doble enlace divide en dos (1 y 2) al plano de la molécula. En el primer caso (isómero-cis) los grupos a se hallan situados al mismo lado (2) del doble enlace, mientras que en el segundo (isómero-trans) los grupos iguales entre sí se hallan situados a uno y otro lado del plano definido por el doble enlace. Ambos compuestos,cualesquiera que sean a y b, aun teniendo la misma composición química, difieren en sus propiedades; son por tanto isómeros (estereoisómeros) . 340 El tipo de isomería más especial es la llamada isomería óptica. Los isómeros ópticos poseen las mismas propiedades químicas y físicas salvo en lo que respecta a su comportamiento frente a la luz, de ahí su nombre. La isomería óptica tiene su origen en una orientación espacial diferente de los átomos o grupos de átomos que constituyen los isómeros. Se trata, por tanto, de una estereoisomería. Se presenta cuando en la molécula existe un átomo de carbono asimétrico, es decir, un átomo cuyos cuatro enlaces se unen a átomos o grupos atómicos diferentes. En tal caso son posibles dos distribuciones de los diferentes átomos en torno al carbono asimétrico, que guardan entre sí la misma relación que un objeto y su imagen en el espejo, o lo que es lo mismo, que la mano izquierda respecto de la mano derecha. Ambas conformaciones moleculares son simétricas pero no idénticas, esto es, no superponibles, del mismo modo que tampoco lo son las dos manos de una misma persona. LA IMPORTANCIA DE LA QUIMICA ORGANICA A pesar de su aparición tardía en la historia de la química, la química de los compuestos del carbono es en la actualidad la rama de las ciencias químicas que crece con mayor rapidez. La variedad de productos derivados del carbono puede resultar prácticamente ilimitada debido a las propiedades singulares de dicho átomo y, por tanto, constituye una fuente potencial de nuevos materiales con propiedades especiales, de medicamentos y productos sanitarios, de colorantes, de combustibles, etc. Algunos de estos ejemplos son considerados a continuación. La materia viviente es, en parte, materia constituida por derivados del carbono. Las transformaciones que sufren los seres vivos, y que observamos a simple vista, se corresponden, desde un punto de vista submicroscópico o molecular, con cambios o reacciones químicas de las sustancias biológicas. Azúcares, grasas, proteínas, hormonas, ácidos nucleicos, son algunos ejemplos de sustancias, todas ellas compuestos del carbono, de cuya síntesis y degradación en el interior de los organismos vivos se ocupa la bioquímica. Medicamentos El mundo de los medicamentos ha constituido en el pasado y constituye en la actualidad una parte importante de la investigación y el desarrollo de productos derivados del 341 carbono. Su importancia en orden a mejorar la esperanza de vida de los seres humanos y sus condiciones sanitarias hace de esta área del conocimiento científico una herramienta imprescindible para la medicina. Pero, ¿por qué los medicamentos son, por lo general, compuestos orgánicos? ¿Cuál es el origen de este hecho? Los fármacos actúan en el organismo a nivel molecular y es precisamente el acoplamiento entre la molécula del fármaco y el receptor biológico, es decir, el sitio de la célula o del microorganismo sobre el cual aquél actúa, el último responsable de su acción curativa. Pero para que ese acoplamiento sea posible ambos agentes, fármaco y receptor, tienen que presentar una cierta complementariedad tal y como sucede con una cerradura y su correspondiente llave. Los receptores biológicos suelen ser moléculas de gran tamaño y por este motivo son las cadenas carbonadas de los compuestos orgánicos las que pueden poseer una estructura geométrica que mejor se adapte a la porción clave del receptor; tal hecho, junto con la presencia de grupos funcionales con acciones químicas definidas, son responsables de la abundancia de sustancias orgánicas entre los productos farmacéuticos. Polímeros orgánicos Los polímeros orgánicos son compuestos formados por la unión de dos o más unidades moleculares carbonadas idénticas que reciben el nombre de monómeros. La unión de dos monómeros da lugar a un dímero, la de tres a un trímero, etc. Los polímeros pueden llegar a contener cientos o incluso miles de monómeros, constituyendo moléculas gigantes o macromoléculas. Existen en la naturaleza diferentes sustancias que desde un punto de vista molecular son polímeros, tales como el caucho o las proteínas; pero en el terreno de las aplicaciones los más importantes son los polímeros artificiales. Su síntesis en los laboratorios de química orgánica ha dado lugar a la producción de diferentes generaciones de nuevos materiales que conocemos bajo el nombre genérico de plásticos. La sustitución de átomos de hidrógeno de su cadena hidrocarbonada por otros átomos o grupos atómicos ha diversificado las propiedades de los plásticos; la investigación en el terreno de los polímeros artificiales ha dado como resultado su amplia implantación en nuestra 342 sociedad, sustituyendo a materiales tradicionales en una amplia gama que va desde las fibras textiles a los sólidos resistentes. Química - Orgánica Grasas, aceites y jabones 1. ¿Cuál es la composición y estructura de las grasas y los aceites? Se forman por la combinación del alcohol glicerol o propanotriol (comúnmente llamado glicerina) con ciertos ácidos, llamados ácidos grasos. Las grasas y los aceites son ésteres (un alcohol más un ácido). Como el alcohol que los forma es el glicerol, se los llama también glicéridos. La numeración de la cadena se hace a partir del grupo carboxilo. 2. ¿A qué se llama ácidos grasos? Estos compuestos tienen, en general, una cadena hidrocarbonada larga, variable entre 12 y 26 átomos de carbono, en uno de cuyos extremos se encuentra el grupo ácido o carboxilo. La cadena hidrocarbonada puede ser saturada, es decir, tener enlaces simples entre sus carbonos, o bien presentar uno o más dobles enlaces. En las grasas de reserva de los animales existen sobre todo los ácidos de 16 y 18 átomos de carbono. Además de la nomenclatura que les corresponde oficialmente (terminación oico), son conocidos por otros nombres que han sido derivados casi siempre de su origen. Esto sucede, por ejemplo, con el ácido de 16 átomos de carbono, denominado hexadecanoico, que habitualmente se conoce como ácido palmítico por ser el principal componente del aceite de palma. Su fórmula molecular es C16H32O2. Otro ácido graso importante es el ácido octadecanoico o esteárico. Su nombre se debe a que es el más abundante en el sebo animal. 343 Además de estos ácidos saturados, tiene importancia el ácido oleico, con 18 carbonos; su característica es la existencia de un doble enlace entre los carbonos nueve y diez. El ácido linoleico tiene igualmente 18 átomos de carbono, con dos dobles enlaces entre los carbonos 9 y 10 y entre los 12 y 13. 3. ¿Cómo se forma una grasa? El glicerol tiene tres grupos OH. Por lo tanto, se puede combinar hasta con tres ácidos grasos iguales o diferentes para constituir una gran variedad de grasas. Las grasas se nombran según las reglas de nomenclatura de un éster cualquiera. Es una reacción reversible, es decir, un proceso que se cumple en las dos direcciones. Por un lado, se forma la grasa; pero algunas moléculas de esta pueden reaccionar con el agua produciendo la reacción inversa en la que se regeneran el glicerol y el ácido graso. En las grasas naturales predominan los ésteres,en los que intervienen tres ácidos grasos iguales o diferentes. Se los denomina triglicéridos. La grasa es un glicérido. El estado sólido se debe a que predominan los ácidos grasos saturados (sólidos). Además de los glicéridos existen ácidos grasos libres y un residuo formado por compuestos de estructura compleja, llamados esteroles, y también vitamina E, denominada tocoferol. Esta última sustancia, además de su actividad como vitamina, es un antioxidante natural que protege la grasa de la acción del aire. 4. ¿Cuáles son las propiedades más importantes de una grasa? Son sustancias insolubles en agua y menos densas que ella. En cambio, se disuelven en otros disolventes tales como la nafta, el éter, el benceno, el tetracloruro de carbono, el cloroformo. Las grasas pueden descomponerse, dando nuevamente el glicerol y los ácidos grasos que las constituyen, en una reacción inversa a la de su formación. Como esta descomposición es producida por el agua, el fenómeno se llama hidrólisis. Se realiza con vapor de agua a presión, en autoclaves y utilizando catalizadores. En los seres vivos, la hidrólisis se activa por el concurso de enzimas llamadas lipasas. 344 5. ¿Qué significa saponificación? Esta importante reacción descompone las sustancias grasas cuando se las hierve con una solución de un hidróxido fuerte, como el de sodio o el de potasio. El fenómeno es comparable a la hidrólisis pero, en lugar de quedar libres los ácidos,se convierten en las sales del metal del hidróxido empleado. Estas sales son los jabones. Como los ácidos predominantes en las grasas son el palmítico, el esteárico y el oleico, se formaran mezclas de palmitatos, estearatos y oleatos de sodio o de potasio, que son los que componen la mayor parte de los jabones. Las reacciones de saponificación no son reversibles. 6. ¿A qué se debe la rancidez de una grasa? Las sustancias grasas sufren, por la acción del aire, el agua y las bacterias, fenómenos complejos de descomposición llamados de rancidez o enranciamiento. Ocurren reacciones de hidrólisis lentas, catalizadas por enzimas, que dan lugar a la formación de aldehídos y cetonas. El oxígeno del aire ataca a los dobles enlaces y, en un proceso progresivo, termina por romper la cadena de carbonos produciendo compuestos de mal olor. En la manteca, esta alteración provoca la aparición del ácido butírico o butanoico, causante del sabor y del olor que toma esta sustancia cuando se altera. 7. ¿Cómo se clasifican las sustancias grasas? Explicar cada una de ellas. Las sustancias grasas se clasifican en grasas y aceites. Teniendo en cuenta su origen, pueden ser animales o vegetales. - Grasas animales, como el sebo extraído del tejido adiposo de bovinos y ovinos, grasa de cerdo, la manteca, etc. - Aceites animales, entre los que se encuentran los provenientes de peces como sardinas y salmones, del hígado del tiburón y del bacalao, o de mamíferos marinos como el delfín o la ballena; de las patas de vacunos, equinos y ovinos se extraen también aceites usados como lubricantes e impermeabilizantes. 345 - Aceites vegetales, el grupo más numeroso; por sus usos pueden ser clasificados en alimenticios, como los de girasol, algodón, maní, soja, oliva, uva, maíz y no alimenticios, como los de lino, coco y tung. 1. Explicar la elaboración del aceite de semillas. Podemos dividir su fabricación en las siguientes etapas: a. Tratamientos preliminares de la materia prima. b. Extracción del aceite. c. Filtración y purificación. d. Refinación. e. Conservación a. Tratamientos preliminares de la materia prima: Consisten en operaciones que posibilitarán la extracción eficaz del aceite. Estas son: a.1) Limpieza de la semilla, para eliminar los cuerpos extraños, a.2) Secado, para reducir la humedad a un 10%, a.3) Trituración o molido, a.4) Cocción con vapor de agua, de la que se obtiene una pasta caliente que pasará al proceso siguiente. - Extracción del aceite: Luego de la obtención de la pasta caliente, se comienza la extracción propiamente dicha, que deja un residuo llamado "torta". Este puede destinarse a la alimentación animal. La separación del aceite se puede hacer: - Por prensado en frío o en caliente, - Por medio de disolventes, 346 - Por ambos métodos combinados. Hay diferentes tipos de prensas, pero el más usado actualmente es el que permite una extracción continua. La prensa tiene forma cónica; en su interior hay una espiral que al moverse arrastra la pasta oleaginosa hacia el extremo de menor diámetro, donde es comprimida, El aceite fluye a través de los orificios de la prensa. Este tipo de máquina es llamado prensa propulsora; la torta que se separa tiene todavía entre un 6% y un 8% de aceite. Más eficaz es la extracción de aceites por medio de disolventes, que deja un residuo con menos del 1% de dicha sustancia. El disolvente más usado, por su menor precio, es la nafta; pero también pueden utilizarse otros como el tetracloruro de carbono, el dicloroetileno, etc. Usando este método, el disolvente es conducido varias veces a través de la pasta, hasta que queda saturado. La solución de aceite en el disolvente se destila; queda el aceite (que no destila), y el disolvente puede volver a usarse varias veces. a. Filtración y purificación: el aceite extraído tiene impurezas en suspensión que es necesario separar. Para ello se lo pasa a través de filtros - prensas, formados por placas perforadas recubiertas por un paño filtrante. El aceite crudo se envía a presión y, al atravesar los paños deja las partículas sólidas que lo impurifican; el aceite purificado se recolecta en el fondo del filtro. b. Refinación: el aceite tiene naturalmente algunos ácidos grasos libres, cuya cantidad puede aumentar por los tratamientos a que es sometido durante su extracción. También contiene sustancias que le dan olores y sabores desagradables. Todos estos compuestos deben ser eliminados por refinación. Los ácidos libres se neutralizan agregando la proporción necesarias de soda cáustica a 60°C. Para eliminar las sustancias que lo colorean se usan diversos agentes blanqueadores, como tierras adsorbentes o carbón activado, los cuales se mantienen en contacto con el aceite por medio de agitadores. 347 Después de decolorarlo, se lo desodoriza en tanques donde se hace el vacío (a 1 mm de Hg). Se calienta el aceite y se le inyecta vapor de agua a 300°C. Los compuestos volátiles que le dan mal olor son arrastrados por el vapor. Finalmente, se lo lleva a tanque de almacenamiento. c. Conservación: el aceite contiene naturalmente ciertas sustancias, como el tocoferol, que lo protege de la oxidación y facilita su conservación. Esta sustancia se pierde durante las operaciones de refinación, por lo que se le deben agregar sustancias antioxidantes, permitidas por la ley. 2. Explicar el proceso de fabricación del jabón. Las materias primas fundamentales son las grasas y sebos animales, los aceites vegetales y de pescados, y también los residuos de la fabricación de aceites comestibles. La fabricación de jabones consta de las siguientes etapas. - Saponificación o empaste: las materias primas (grasas o aceites) se funden en calderas de forma cilíndrica y fondo cónico. Se agrega una solución concentrada de un hidróxido fuerte (lejía). La masa se mezcla y agita mediante vapor de agua inyectado en el seno del líquido. Después de unas cuatro horas, se ha formado el jabón. - Salado: consiste en el agregado de una solución concentrada de sal común (cloruro de sodio, NaCl) para separar el jabón de la glicerina formada y del exceso de hidróxido de sodio. Como el jabón es insoluble en el agua salada, se acumula en forma de grumos y sube a la superficie por su menor densidad. Después de varias horas, se extrae por la parte inferior la mezcla de glicerol y agua salada. - Cocción: al jabón formado en la caldera se le agregan nuevas cantidades de Na(OH) para lograr una saponificación completa, y se calienta. Al enfriarse, se separan nuevamente dos capas: la superior, de jabón, y la inferior, de lejía. Al jabón se le agrega agua y se cuece nuevamente; de esta manera se eliminan los restos de sal, glicerina y lejía. 348 - Amasado: tiene por objeto lograr una textura homogénea, sin gránulos. Durante esta etapa se le incorporan a la pasta sustancias tales como perfumes, colorantes y resinas, para favorecer la formación de espuma persistente. - Moldeado: el jabón fundido se vuelca en moldes de madera donde, por enfriamiento lento, toma la forma de panes o pastillas; mediante equipos desecadores, se disminuye el contenido de humedad hasta el 20%. 3. ¿Cómo se explica la acción detergente de los jabones? La estructura de un jabón puede considerarse formada por dos partes: a. Una cadena larga, formada por carbonos en unión covalente; b. El grupo carboxilo, que, al estar disociado, tiene cargas eléctricas. La cadena hidrocarbonada no es soluble en agua, pero tiene afinidad con las grasas, por lo que se la denomina cola lipofílica o liposoluble. El extremo iónico tiene cargas eléctricas y tiende a disolverse en el agua. Se lo llama cabeza hidrofílica o hidrosoluble. Si se disuelve jabón en agua y se agrega un aceite, éste (por su menor densidad) forma una fase sobre el agua. Las moléculas de jabón se orientan y se disponen en la interfase con la cabeza hacia el agua y la cola hacia el aceite. Si se agita este sistema, el aceite se subdivide en gotitas y cada una es rodeada por agua. Las moléculas de jabón se orientan de la manera indicada. Cada glóbulo de grasa tiene a su alrededor cargas eléctricas del mismo signo que, al repelerse, hacen que las partículas grasas queden separadas entre sí, formando una emulsión estable. En caso contrario, si no existiera el jabón,al agitar el sistema agua aceite, se formaría en el primer momento una emulsión, pero al cesar la agitación,debido a la gran atracción entre sus moléculas, las gotitas se unirían entre si formando nuevamente dos capas. Se dice, por esta propiedad, que el jabón emulsiona las grasas. En las superficies de ropas u objetos, la suciedad se adhiere por medio de una película grasa que el agua no puede disolver. Al agregar jabón al agua y agitar, la grasa se 349 emulsiona y forma pequeñas gotas separadas, que son arrastradas por el agua del lavado. En los últimos años se han desarrollado detergentes sintéticos que, aunque de origen distinto al de los jabones, tienen también en su constitución una porción lipofílica y otra hidrofílica, y ejercen frente a las grasas una acción similar a la de los jabones. Tienen la ventaje de que pueden sintetizarse a partir de los derivados del petróleo, por lo que su costo es menor que el de los jabones. Actualmente se preparan detergentes que tienen cadenas carbonadas rectas, que son biodegradables. 4. ¿Cómo se comportan los jabones en las aguas duras? Sabemos que hay aguas que tienen disueltas una elevada proporción de sales de calcio y de magnesio; se las llama aguas duras. En esta clase de agua, el jabón precipita, o sea, se insolubiliza. La causa de este comportamiento es que la sal de sodio o potasio que forma el jabón se combina con los iones calcio o magnesio del agua y forma sales de estos metales, que son insolubles. 5. ¿Cuáles son las variedades comerciales de los jabones? Según el hidróxido usado en la saponificación, los jabones obtenidos tienen distintas características; por ellas se clasifican en: - jabones duros, compuestos por sales de sodio; - jabones blandos, compuestos por sales de potasio. Los jabones para lavar son jabones de sodio, elaborados a partir de materias primas de poco costo, como los sebos y las grasas animales. Si su elaboración no es cuidadosa, pueden contener restos de hidróxido de sodio. Hay diferentes calidades, que en el comercio se clasifican en: a. extra puros; b. puros; c. de 1ª calidad; 350 d. de 2ª; e. de 3ª. La manera más generalizada de usarlos es en forma de polvo, obteniendo desecando una solución jabonosa, que contiene además una porción de soda Solvay (Na2CO3.10 H2O), dentro de calderas por donde circula aire caliente. Los jabones en polvo se clasifican en: especiales, comunes e industriales. Los jabones de tocador se elaboran a partir de aceites vegetales como materias primas; por ejemplo, de los aceites de coco, palma y oliva. Se refinan para librarlos de restos de soda cáustica, que perjudicarían la piel. Los jabones de afeitar, las cremas jabonosas y las pastas dentífricas son preparados a partir de jabones de potasio. Química - Orgánica Resolver: 1) Calcular la composición centesimal de cada elemento en los siguientes compuestos: a. CH4O b. CH5N c. CH3I d. CH4N2O e. C12H22O11 2) Analizando una sustancia compuesta por C, H y O, se ha obtenido: 0,3543 g de CO2 y 0,1293 g de H2O Habiendo partido de 0,1756 g de muestra. ¿Cuál es la composición centesimal?. 351 3) Se ha analizado una sustancia nitrogenada y se ha encontrado 0,2534 g de NH3, habiendo partido de 1,257 g de muestra. ¿Qué porcentaje de N posee la muestra?. 4) Un hidrocarburo gaseoso tiene un peso molecular de 30 y contiene 80 % de C y 20 % de H. ¿Cuál es la fórmula molecular?. 5) Siendo la composición centesimal de una sustancia la siguiente: C: 39,34 % H: 8,19 % O: 52,5 % y su peso molecular de 122, ¿cuál será su fórmula?. 6) Siendo la composición centesimal de una sustancia la siguiente: C: 74,93 % H: 25,07 % y su densidad respecto al aire 0,554 g/cm ³,determinar su peso molecular y su fórmula. 7) Se disuelven 4,6 g de un cierto compuesto orgánico en 1000 g de agua y el descenso crioscópico observado fue de -0,186 °C. Sabiendo que k = 1860, ¿cuál es el peso molecular del compuesto?. 8) Calcular el peso molecular de un azúcar, cuya solución en agua a 17,1 % da un descenso crioscópico de 0,093 °C. 9) Disolviendo 1,86 g de glicerina en 100 g de agua, hierve a 105 °C. Sabiendo que k = 520, ¿cuál es el peso molecular de la glicerina?. 10) La solución que resulta de disolver 4 g de alcohol en 250 g de agua hierve a 100,26 °C. ¿Cuál es el peso molecular de dicho alcohol?. Responder: 1) ¿Qué entiende por análisis centesimal?. 2) Teniendo las pesadas finales de CO2, H2O e NH3, ¿cómo se pasa de los valores correspondientes a la composición centesimal de una sustancia?. 352 3) ¿Es suficiente la composición centesimal como expresión de la composición química de una sustancia?. Defina los siguientes términos: fórmula Química - Procesos Químicos Refinación del cobre Para refinar el cobre bruto se emplea el método electrolítico. Se coloca al cobre bruto como ánodo, en una cuba electrolítica que contiene una solución de CuSO4. El sulfato cúprico se disocia: CuSO4 Cu++ + SO4= El polo negativo o cátodo, esta constituido por láminas de cobre puro. Al circular la corriente, los cationes cobre se dirigen al cátodo, donde se reducen, captando electrones y depositándose como cobre metálico, mientras los iones sulfato se dirigen al ánodo y reaccionan con el cobre impuro, formando sulfato cúprico, que vuelve a la solución. Cátodo: Cu++ + 2e- Cu° Anodo: SO4= - 2e- SO4° Reacción global: 353 SO4 + Cu CuSO4 Química - Procesos Químicos ACERO Hierro: El hierro puro es un metal blanco, grisáceo, dúctil y maleable. Acero: El acero es un hierro carburado obtenido al estado líquido por fusión completa. El porcentaje de carbono máximo que se le atribuye es 1,7 %. Fundiciones: La fundición es un hierro con un porcentaje de carbono de 1,7 % hasta su saturación 6,67 % (Fe3C). Ver esquema Estados alotrópicos Ferrita: Hierro 100% Perlita: Hierro (Fe 86,5%) + cementita (13,5%). Cementita: Carburo férrico = Fe3C 100%, sustancia dura y frágil. Ledeburita: Aleación Fe 95,7% + C 4,3%. 354 Química - Procesos Químicos COMBUSTION Pesos y volúmenes específicos de los productos de la combustión Producto. Peso especifico. Volumen especifico kg/m ³ m ³/kg Anhídrido carbónico CO2 1,875 0.533 Anhídrido sulfuroso SO2 2,771 0.360 Agua (vapor). H2O 0,762 1,210 Nitrógeno. N2 1,191 0,838 Oxigeno. O2 1.355 0,706 Aire. - 1,225 0,815 Los volúmenes son a 15 °C y 760 mm.c.a. El peso específico y volúmen específico de una mezcla de gases se saca proporcionalmente. Datos básicos para los cálculos de la combustión Poder calorífico Aire requerido para Productos de la combustión de 1 kg de combustible la combustión de Reacción química de la combustión 1 kg de combustible Superior Inferior kcal/kg kcal/kg En peso kg/kg En volúmen m ³/kg kg m³ CO2 H2O SO2 N2 CO2 H2O SO2 N2 C a CO2 7,751 7,751 11,53 9,40 3,66 - - 8,86 1,95 - - 7,42 H2 a H2O 33,605 28,392 34,34 27,99 - 8,94 - 26,41 - 10,82 - 22,13 S a SO2 2,191 2,191 4,29 3,50 - - 2,00 3,29 - - 0,72 2,76 CH4 a CO2 y H2O 13,133 11,836 17,27 14,07 2,74 2,25 - 13,28 1,46 2,72 - 11,13 C2H2 a CO2 y H2O 11,825 11,427 13,30 10,84 3,38 0,69 - 10,22 1,80 0,83 - 8,56 C2H4 a CO2 y H2O 11,904 11,162 14,81 12,07 3,14 1,29 - 11,39 1,67 1,56 - 9,54 C3H8 a CO2 y H2O 11,913 10,969 15,70 12,80 2,99 1,63 - 12,07 1,59 1,97 - 10,11 C4H10 a CO2 y H2O 11,719 10,824 15,49 12,62 3,03 1,55 - 11,91 1,61 355 Química - Procesos Químicos Parcial de Química Industrial Parte A 1) A través del canal inclinado que muestra la figura, se introduce escoria fundida en un horno de reverbero. El canal tiene las siguientes dimensiones: H¹ = 0.356m W = 0.303m L = 2.42m Comprobar si el canal no desborda cuando circula un caudal de 60 Ton/min y si así fuere, calcular la altura de la escoria H. Datos: ρ escoria = 3590 kg/m ³ μ escoria = 10 poise Rugosidad del canal = 0.303 x 10-³m 356 2) Una habitación cuyas dimensiones son 4m x 5 m y su altura es 3m, está construída con paredes de 10 cm de espesor. Como sistema de calefacción se utiliza un serpentín que consiste en un tubo de 14mm D1 y 16mm D2,por el cual circula vapor saturado a 120°C . Si la temperatura ambiente es de -27 °C: a) Calcular la pérdida de calor hacia el exterior y la energía que es necesario suministrar para mantener la habitación a 18°C (el techo no está aislado). b) Qué caudal de vapor circula por el serpentín en esas condiciones? c) El largo requerido para el serpentín Datos: h externo = 50 W/m ²°C h interno = 20 W/m ²°C h vapor = 1200 W/m ²°C k pared = 0.6 W/m°C k serpentín = 16 W/m°C cv = 712.45 J/kg°C λ 120°C = 2200 J/kg Parte B: 1) Para la habitación del problema 2 de la parte A, halle una expresión para estimar el tiempo necesario para que el aire alcance 18°C partiendo de la temperatura inicial igual a la temperatura ambiente. Cuál es ese tiempo? 2) A qué tipo de fluidos, de los enumerados a continuación, corresponden las curvas de características de velocidad de deformación bajo esfuerzo cortante que están representadas? a) Fluido Newtoniano 357 b) Fluido de la ley de potencia c) Plástico de Bingham d) Fluído ideal 1) Una solución acuosa de CMC al 2% presenta una curva de flujo que responde a la relación √t = K (dv/dr)n 2) Encuentre la expresión del perfil de velocidades y de esfuerzo de corte, cuando circula en régimen laminar por un tubo horizontal de radio R. Parcial de Química Industrial Problema 1: En el circuito de la figura, se produce, agua amoniacal. Con ese fín el agua que es tomada del tanque (1), se hace circular par una columna de burbujeo donde se pone en contacto con una mezcla de aire y amoníaco obteniéndose el agua amoniacal por un intercambiador de calor de casco y tubos en contracorriente con una corriente de agua de enfriamiento. Luego de ser enfriada la corriente de agua amoniacal es bombeada hasta un tanque de donde se toma el producto para el envasado final. El aqua de enfriamiento, luego de salir del intercambiador de calor a su vez es enfriada en una torre de enfriamiento poniéndola en contacto con aire y se recircula al intercambiador. 358 La cantidad de agua evaporada en la torre de enfriamiento se repone desde el tanque principal (1). Ver esquema Circuito de agua - agua amoniacal. Todas las cañerías de Dn 1* Schedule 4 OS/ L eq = 150 m) Circuito de enfriamiento Circuito de aire + Amoníaco Circuito de aire en torre de enfriamiento. Otros datos: Nivel en el tanque de agua (1) : 25 m Nivel en el tanque de agua amoniacal (5) : 35m Nivel Intercambiador - Bomba: O m Producción diaria de agua amoniacal = 100 Ton (24 hs) Consumo diario de gas en la columna de burbujeo -75 Ton, 20 °C Propiedades del liquido = Propiedades del agua. Propiedades del gas - Propiedades del aire. Todos Los caños son de acero comercial. a) Caudal de agua de enfriamiento [ton/día] b) Potencia de la bomba [HP] c) Temperatura de salida del gas de la columna de burbujeo [°C] si el calor generado en la absorción es de 130 kw d) La longitud de los tubos del intercambiador [m] si n° -1D y D1 = 1/4 pulgada 359 e) El caudal de agua de enfriamiento aumenta su humedad absoluta en 0,01 (caudal aire seco = 10000 m ³/h a 20 °C) f) Concentración del producto final. Problema 2: En una fábrica de cemento se utiliza un horno rotatorio al cual se alimentan las materias primas a una temperatura de 20 °C (temp. ambiente). El horno tiene la capacidad de procesar 6,4 ton/h de material y dispone de quemadores de gas indirectos (los gases de combustión de 22000 Btu/lb, manteniendo al producto a una temperatura media de 900 °C dentro del mismo. Sobre una pared interna del horno se halla una capa de escoria de 10 cm de espesor. Suponer que el calor de la relación es despreciable. Las dimensiones de horno son las siguientes: Largo: 15 m Espesor acero: 0,15 m Diámetro exterior: 2,5 m Espesor aislación externa: 0,2 m Propiedades físicas: Se puede considerar a los efectos prácticos que tanto las materias primas como los productos y la escoria depositada en las paredes Tienen aproximadamente las mismas propiedades medias: Cp = 700 J/kg K k = 0,78 W/m K Otras propiedades: K acero = 27,2 W/m K 360 Mr gas = 17 K aislante = 0,067 W/m K Coeficientes peculiares de transferencia de calor: h interno = 1050 W/m ² K h externo = 180 W/m ² K Calcular el consumo diario de gas en Nm ³ (CNPT) sabiendo que el horno funciona en continuo 24 hs. al día. Parcial de Química Industrial Parte A Problema 1 Se desea bombear, 50 m ³/h de petróleo hasta una altura de 15m. Para ello se utiliza una cañería de 25 km de longitud total (L + L4) y 0.128m de diámetro, a 12°C. Un proceso alternativo consiste en calentar el petróleo a 50 °C y bombearlo en esas condiciones con la misma instalación y otra posibilidad es modificar la instalación, reemplazándola por dos tramos en paralelo de 0.064m de diámetro. Cuál de los tres procedimientos consume menos energía por kg de petróleo a transportar? Datos: A 12°C ρ = 914 kg/m ³ μ = 0.172 kg/m.s A 50°C ρ = 870 kg/m ³ μ = 0.0157 kg/m.s Cp = 0.45 Kcal/kg °C Problema 2: 361 Se ensaya un diseño modificado de tanque agitado que contiene un nuevo tipo de serpentín de calefacción. El tanque opera en estado estacionario y se alimenta con un caudal W1 = 1 m ³/h de agua a 20°C, siendo la temperatura de salida 80 °C (igual a la del tanque). La temperatura ambiente es Ta = 20 °C. Por el serpentín circula vapor a 12.5 bar. Las características del equipo son las siguientes: Tanque cilíndrico: Diámetro D = 0.70 m Altura H = 1 m Pared de acero de espesor e1 = 10 mm Espesor aislante e2 = 25 mm k1 = 10 W/m °C (acero) k2 = 1 W/m °C (aislante) kn = 600 W/m ² °C (externo) Serpentín D = 10 mm L- 5 m Calcular: a) El calor perdido al ambiente O b) El calor transferido por el vapor condensante y el caudal másico de vapor. c) El coeficiente pelicular de transferencia de calor h para el serpentín. d) Plantee el balance en estado no estacionario y asumiendo que los coeficientes y propiedades físicas son independientes de la temperatura, calcule, para el caso del 362 arranque, el tiempo que la temperatura dentro del tanque (igual a la de salida) tarda en pasar de 20°C a 70°C. Considere que el tanque siempre se encuentra lleno. Una habitación cuyas dimensiones son 4 m x 5 m y su altura es 3 m, está construida con paredes de 10 cm de espesor. Como sistema de calefacción utiliza un serpentín que consiste en un tubo de 14 mm D1 y 16 mm De, por el cuál circula vapor saturado a 120°C. Si la temperatura ambiente es de -27°C: a) Calcular la pérdida de calor hacia el exterior y la energía que es necesario suministrar para mantener la habitación a 18°C (el techo no está aislado) b) Qué caudal de vapor circula por el serpentín en esas condiciones? c) El largo requerido para el serpentín. Datos: h externo = 50 W/m ² °C k pared = 0.6 W/m °C Cv =712.45 J/kg °C h interno = 20 W/m ² °C k serpentín = 16 W/m °C λ 120°C = 2200 kJ/kg h vapor = 7200 W/m ² °C Parte B: Para la habitación del problema 2 parte A, halle una expresión para estimar el tiempo necesario para que el aire alcance 18 °C partiendo de la temperatura inicial igual a la temperatura ambiente. Cuál es ese tiempo? Problema 3: Se bombea agua desde un tanque a otro colocado por encima del primero para usarla posteriormente en una torre de humidificación (ambos tanques son abiertos) La temperatura del agua en el primer tanque es de 170°F mientras que en el superior es de 70°F. Durante el trayecto de uno a otro el agua es enfriada con un intercambiador de calor que le extrae 100.5 BTU/ib., y en el cuál hay una caída de presión de 50000 Pa. La cañería entre los tanques es de 2" Schedule 40 y tiene 50 m de longitud. Existen en la misma dos codos standard de 90°, dos válvulas exclusas abiertas y una válvula globo 363 1/2 abierta. Calculare el flujo másico sabiendo que el factor de fricción medio para toda la cañería es de f = 0.006 y se utiliza una bomba de 2HP de rendimiento del 60%. (fig3). BIOLOGIA 1. Los Bioelementos La materia viva se distingue por su organización y propiedades características, que dependen a su vez de su peculiar composición y estructura molecular. Todo tipo de moléculas que forman parte de los materiales biológicos recibe el nombre de biomoléculas ó también principios inmediatos, los cuales se forman al unirse químicamente determinados elementos: los bioelementos. La materia viva está constituída en un 96% por 6 bioelementos, llamados primarios: C, H, O, N, P y S. Todo tipo de materia orgánica contiene los tres primeros; las proteínas tienen siempre, además, N; los ácidos nucleicos, siempre P, el cual es, al mismo tiempo esencial para constituir el ATP (la molécula energética), y para formar las membranas celulares (fosfolípidos); el S, a su vez, forma parte de la metionina y la cisteína, dos 's que normalmente se encuentran en todas las proteínas, forman puentes disulfuro y se encuentra en multitud de biomoléculas fundamentales (CoA, p.ej.). Como estos seis elementos forman la estructura de la materia orgánica, también se les llama a veces bioelementos plásticos. Figura 1: Las conchas de los moluscos forman un exoesqueleto calcáreo (CO3Ca) 364 El resto de los bioelementos se llaman secundarios, y aunque su proporción es pequeña en los materiales biológicos (a veces, sin embargo es muy alta: huesos, conchas de moluscos, etc.), suelen ser imprescindibles para los procesos biológicos: Mg (clorofila de los organismos fotosintéticos), Fe (citocromos de la cadena respiratoria), Na y K (transmisión nerviosa), Ca (contracción muscular, coagulación sanguínea), etc. Aquellos bioelementos secundarios que no siempre se encuentran en todos los materiales biológicos y cuya proporción es inferior al 0,1%, se llaman oligoelementos, y suelen ser necesarios en aquellos organismos que los presentan 2. Principios inmediatos Los bioelementos (básicamente los primarios) se combinan químicamente entre sí, normalmente mediante enlaces covalentes, y forman moléculas llamadas principios inmediatos, que pueden ser inorgánicos y orgánicos. Los inorgánicos son aquéllos que también pueden formar materiales inertes (rocas, minerales, agua), y son el agua y las sales minerales; también reciben el nombre de materia inorgánica. Los principios inmediatos orgánicos son moléculas que solamente se encuentran en la materia viva, y son glúcidos, lípidos, proteínas y ácidos nucleicos; el conjunto de todos ellos constituye lo que se llama materia orgánica. De forma general, los principios inmediatos se utilizan biológicamente para tres funciones: estructural (forman estructuras biológicas), energética (liberan ó almacenan energía), y dinámica (intervienen en reacciones biológicas). 1. El agua Químicamente es una molécula dipolar, pues los e- de los dos H se desplazan hacia el átomo de O. Esto permite, entre otras cosas, la unión mediante puentes de hidrógeno de millones de moléculas de agua entre sí, resultando que su estado físico sea líquido. Como su constante dieléctrica es muy alta (~ 80), el agua es uno de los mejores disolventes, lo que hace que las reacciones biológicas se desarrollen perfectamente en su seno, y que actúe con función de transporte molecular. Cuando el peso molecular del soluto es pequeño, se forma una disolución verdadera (sales minerales, monosacáridos, 's), y una de sus propiedades es el fenómeno de la ósmosis, que consiste en el paso del disolvente (agua) a través de una membrana 365 semipermeable que separa dos disoluciones de distinta concentración. Esto ocurre normalmente en las células: si se encuentran en un medio hipertónico, el agua de las células saldrá al exterior y sufrirán plasmólisis. Si las células se encuentran en un medio hipotónico, el agua del exterior penetrará en ellas produciéndose su turgencia e incluso su lisis. Si la disolución contiene un soluto de elevado peso molecular (proteínas, polisacáridos), entonces se trata de una dispersión coloidal, de gran importancia porque el citoplasma celular es de este tipo (periferia en forma de gel y zona más interior en forma de sol: el citosol), y uno de los fenómenos que tienen lugar es la diálisis, que consiste en la separación a través de una membrana semipermeable (como es la membrana celular) de solutos con alto peso molecular (coloides), de los solutos de bajo peso molecular (cristaloides, propiedad que se utiliza, p.ej., en la filtración renal). Otra propiedad importante del agua es su elevado coeficiente de capacidad calórica, que hace que pueda absorber mucho calor aumentando poco su temperatura, lo que es fundamental para los organismos donde se están produciendo continuamente reacciones que liberan energía (respiraciones celulares), sin que por ello aumente su temperatura. El agua es imprescindible para la vida; constituye entre un 60 y un 70% de la composición de la materia viva, y normalmente la actividad de los órganos está en relación directa a su contenido en agua. 2.2. Sales minerales En el mundo biológico se pueden encontrar formando depósitos (conchas, huesos), disueltas en disoluciones ó dispersiones coloidales a las que estabilizan (Na+, K+, Cl-, etc.), ó formando parte de moléculas orgánicas. 366 Figura 2: La mioglobina tiene como núcleo central al hierro (Fe) Aunque su proporción es pequeña, realizan funciones básicas: - Función estructural: Forman endo y exoesqueletos (conchas, caparazones, huesos). - Constituyen sistemas amortiguadores del pH en las disoluciones y fluidos biológicos (tampones bifosfato, bicarbonato). - Forman parte de moléculas esenciales: el Fe en la hemoglobina y citocromos, el Mg en la clorofila, etc. - Intervienen en el equilibrio osmótico celular. - Participan en procesos dinámicos: transmisión nerviosa, contracción muscular, coagulación sanguínea, etc. 1. La teoría celular Fue enunciada inicialmente por M. Schleiden (1838) y T. Shwann (1839), y completada por R. Wirchow (1855). Sus principios básicos son: - La célula es la unidad estructural de los organismos. Quiere decir que todos los organismos están formados por células: una sola en los organismos unicelulares y 367 muchas (miles ó millones) en los pluricelulares. De acuerdo con ésto, los virus, al carecer de estructura celular, no serían organismos. - La célula es la unidad funcional de los organismos. El funcionamiento de un organismo depende del de sus células. - La célula es la unidad genética de los organismos. Los organismos al reproducirse se originan a partir de una célula. Estos tres principios se pueden resumir en uno sólo: La célula es la unidad vital de la materia viva. Quiere indicar que la célula es la estructura organizada más sencilla con propiedades y funciones vitales. 1.1 Tipos de organización celular Todo tipo de células presenta básicamente las siguientes características comunes: - Mismo tipo de material (DNA) y funcionamiento (código genético) genéticos. - Misma molécula energética: el ATP. - Misma envoltura celular: la membrana citoplasmática. - Reacciones bioquímicas catalizadas por enzimas. Hay dos tipos de células según su organización estructural: 1.1.1 Estructura celular procariótica: se caracteriza porque su material genético no está rodeado de envoltura y por tanto carece de núcleo constituido como tal. Sólo las bacterias y cianobacterias (Reino Moneras) tienen este tipo de organización celular. 368 Figura 1: Célula procariota 1.1.2 Estructura celular eucariótica: el material genético está agrupado y envuelto por una membrana, constituyendo un núcleo verdadero. Todos los organismos excepto los anteriores presentan sus células con esta organización. Diferencias Célula Procariótica Célula Eucariótica Nucleo No Sí Material DNA circular formando 1 genético cromosoma bacteriano Ribosomas 70 S celular Reproducción abierto varios formando cromosomas independientes 80 S Endomembranas No Fisiología DNA Sí En el mesosoma En orgánulos diferenciados División binaria Mitosis 369 Figura 2: Célula eucariota Por otra parte, la célula de estructura eucariótica puede ser de dos tipos: animal y vegetal, que se diferencian básicamente en lo siguiente: Estructuras Animal Vegetal Pared celular de celulosa No Sí Orgánulos especiales: Plastos No Sí; el principal es el cloroplasto Material de reserva energética Glucógeno Almidón Centrosoma No Sí Origen de las células eucariotas: hay dos teorías para explicar el origen de las células eucarióticas: - Origen autógeno: la célula eucariótica se origina de la procariota al desarrollar sistemas endomembranosos y órganulos internos rodeados de membrana. 370 - Origen endosimbiótico: la célula eucariótica deriva de la asociación simbiótica de distintos tipos de células procarióticas. 2. Técnicas de estudio citológico Básicamente hay de tres tipos: 2.1. Microscopía: Consiste en el aumento del objeto a observar, dado que el ojo humano tiene un poder de resolución de 0,1 mm (100 ), y las células tienen tamaños inferiores. Hay dos tipos de microscopía: - Microscopía óptica: utiliza luz visible y lentes ópticas para aumentar la imagen. Su poder de resolución puede llegar a 0,2 , con lo que un objeto puede ser ampliado un máximo de 1500 veces. Permite la observación de células vivas. - Microscopía electrónica: utiliza haces de electrones y lentes electromagnéticas, consiguiendo un poder de resolución de 100 Å (1Å = 10-10m), ampliando un objeto hasta 250.000 veces, que mediante tratamiento óptico ó digital puede llegar hasta el millón de aumentos. 2.2. Fraccionamiento celular: Consiste en la rotura de las células mediante un proceso osmótico, ultrasonidos, lisis enzimática ó de manera mecánica, y posteriormente una centrifugación que concentrará en diversas fases a los distintos orgánulos según su tamaño, con lo que se obtendrán separadamente, permitiendo más fácilmente su estudio. 2.3. Citoquímica: Mediante reacciones coloreadas, enzimáticas ó de inmunofluorescencia, se averigua la composición bioquímica de las estructuras celulares, su localización y su funcionamiento. 371 . La estructura de la célula eucariótica. Todo tipo de célula eucariótica (animal ó vegetal) presenta tres estructuras bien diferenciadas: la membrana citoplasmática, el citoplasma y el núcleo. 3.1. La membrana citoplamática: Es una envoltura continua y flexible, de unos 75 Å de espesor, que rodea completamente a la célula separándola del medio externo e impidiendo la salida del contenido celular, pero permitiendo intercambios de materiales. a) Composición, estructura y función de la membrana: el modelo de "mosaico fluido" de Singer y Nicholson (1972), es el más aceptado porque es el que mejor explica las propiedades de la membrana. Consta de una matriz fluída de doble capa lipídica, con sus zonas polares (grupos -COOH) en ambos lados de la membrana y sus zonas hidrófobas (cadenas hidrocarbonadas) en la parte interna, con proteínas que atraviesan su espesor, bien libres (proteínas periféricas), ó unidas a los lípidos (proteínas intrínsecas), y con función enzimática ó de transporte. Los lípidos en bicapa son fosfo y glucolípidos (lípidos de membrana), con un fuerte carácter anfipático, y otros que confieren estabilidad estructural (colesterol). En su parte externa presenta oligosacáridos unidos a los lípidos y proteínas, formando el glucocálix, con función antigénica y de reconocimiento celular. La membrana sirve para el mantenimiento íntegro del medio interno celular, el intercambio de sustancias, el movimiento (pseudópodos), y el reconocimiento molecular y celular. b) Diferenciaciones de la membrana: son estructuras formadas a partir de la membrana ó que la recubren externamente: - Microvellosidades e invaginaciones: son finas prolongaciones externas ó internas (respectivamente), que sirven para aumentar la superficie de contacto celular (p.ej. las microvellosidades de las células epiteliales del intestino delgado, ó las invaginaciones de las nefronas del riñón). - Uniones celulares: son estructuras para unir y comunicar las células. Hay de muchos tipos: desmosomas (filamentos proteicos formando placas de unión), uniones gap (unión 372 por túbulos proteicos y con un pequeño espacio intercelular), uniones herméticas (ajuste de las membranas de células mediante hebras proteicas), etc. - Pared celular: es exclusiva de las células de tipo vegetal, y consiste en una matriz de celulosa dispuesta en tres capas que le confiere gran resistencia. Puede tener punteaduras (adelgazamientos de la pared), plasmodesmos (finos canales de comunicación), y estar impregnada de otras formaciones: lignina, suberina (corcho), cutina, etc. 3.2. El citoplasma: Es el medio interno celular, en estado coloidal (citosol), conteniendo todo tipo de materiales orgánicos e inorgánicos, y donde se llevan a cabo ciertos procesos metabólicos: glucólisis, fermentaciones, almacenamiento de materiales, etc. En el citoplasma se encuentran estructuras membranosas, orgánulos con ó sin membrana y una red de filamentos proteicos. 3.2.1. El citoesqueleto: recorriendo todo el citoplasma hay una densa red de filamentos y túbulos proteicos de tres tipos, que forman el citoesqueleto: Figura 4: Filamentos de actina del citoesqueleto de una célula - Microfilamentos de actina: de función estructural y para permitir los movimientos ameboideos y de contracción celular. - Filamentos intermedios: de proteínas fibrosas, con función estructural. 373 - Microtúbulos de tubulina: forman los centríolos, el huso acromático, los undulipodios y pseudópodos, y sirven de canales de transporte intracelular. 3.2.2. Estructuras membranosas Construídas por membrana celular de similar tipo a la membrana citoplásmica. Son de dos tipos: el retículo endoplasmático y el aparato de Golgi. a) Retículo endoplasmático (R.E.): sistema membranoso y tubular que se extiende por todo el citoplasma y comunica con la membrana nuclear. Puede llevar adosados a sus caras externas gran cantidad de ribosomas que fabrican proteínas enzimáticas y de membrana (R.E. granular ó rugoso), o bien no llevarlos, encargándose de la síntesis de lípidos de membrana y del transporte de sustancias (R.E. agranular ó liso). Figura 5: Distintos tipos de retículo b) Aparato de Golgi: constituido por un conjunto de sáculos discoidales y vesículas ó cisternas de secreción, que forman una estructura llamada dictiosoma. Se sitúa cerca del núcleo y se encarga de organizar la circulación molecular de la célula, transportando, madurando y acumulando proteínas del R.E. rugoso y lípidos de membrana del R.E. liso. Además, en las células vegetales se encarga de la síntesis de los glúcidos de la pared celular (celulosa y hemicelulosa). 374 Figura 6: Aparato de Golgi Las células pueden realizar numerosas actividades de forma coordinada: captan estímulos, procesan la información, se mueven, crecen, se reproducen, obtienen alimento, eliminan residuos, llevan a cabo intercambios energéticos, etc. Todas esas actividades se pueden clasificar en tres funciones básicas: - Relación: las células captan información del medio y responden a los estímulos. - Reproducción: las células se multiplican transfiriendo su información genética. - Nutrición: las células obtienen la materia y la energía que necesitan para sus actividades. 1. Funciones de relación Las células necesitan comunicarse e interactuar con el medio que las rodea. Esos procesos de comunicación serán diferentes en los organismos unicelulares y en los pluricelulares. - En los unicelulares una sola célula ha de ser capaz de percibir las características del entorno, procesar la información y elaborar y ejecutar las respuestas adecuadas en cada caso. Por ejemplo, un paramecio puede localizar y capturar su alimento o puede enquistarse o huir a otro lugar si las condiciones son desfavorables. 375 - En los pluricelulares las funciones de relación del organismo se reparten entre diversas células especializadas en distintas tareas como: captar estímulos, transmitir señales, ejecutar respuestas. En cualquier caso, los millones de células (en la especie humana unos 80 billones) que constituyen un organismo pluricelular deben comunicarse entre sí. 1.1. Modalidades de comunicación entre las células En las células animales se pueden diferenciar básicamente tres modalidades de comunicación entre las células: a) Comunicación por contacto directo entre células contiguas. Se lleva a cabo mediante minúsculos canales de comunicación de tipo "gap", presentes entre las células de casi todos los tejidos animales, a través de los cuales pasan moléculas mensajeras de unas células a otras. b) Comunicación mediante moléculas unidas a membranas. Las células entran en contacto y se acoplan las moléculas transmisoras de una célula a las receptoras de otra. Esto ocurre por ejemplo durante el desarrollo embrionario y en el sistema inmunológico. c) Comunicación a distancia mediante moléculas segregadas. Puede ser de tres tipos: Comunicación paracrina. Una célula se comunica con las de su entorno inmediato mediante mensajeros químicos. Comunicación endocrina. Se realiza a través de hormonas, producidas en glándulas hormonales y vertidas al torrente sanguíneo. Es relativamente lento. 376 Comunicación sináptica. La realizan las neuronas del sistema nervioso que transmiten impulsos con rapidez y precisión, pasando de unas neuronas a otras mediante el proceso de sinapsis en el que intervienen neurotransmisores. 1.2. Recepción de estímulos y transducción de señales Tras captar las moléculas mensajeras o trasmisores, las células activan variados y complejos mecanismos moleculares a través de los cuales "interpretan" la información recibida, desencadenando la correspondiente respuesta. Una de las moléculas más importantes que participan en estos procesos de transducción e interpretación de señales es el AMP cíclico. 377 1.3. Las respuestas de la célula Las respuestas de las células frente a los estímulos pueden ser muy diversas. A menudo implican procesos metabólicos, es decir realizarán unas u otras reacciones químicas, pero también pueden llevar a cabo comportamientos como: - Secreción de sustancias. Las moléculas son empaquetadas por el complejo de Golgi en pequeñas vesículas y la célula las segrega en respuesta a la señal adecuada. - Contracción. Aunque muchas células se pueden mover de alguna manera, quienes están especializadas en esta tarea son las células o fibras musculares, con su citoplasma recorrido por miofibrillas de actina y miosina. - Desplazamiento de células libres. Los organismos unicelulares y ciertas células libres de los pluricelulares, como los leucocitos, se pueden desplazar activamente en respuesta a diversos estímulos, mediante pseudópodos, cilios o flagelos. - Proliferación y diferenciación celular. El ciclo celular y los procesos de crecimiento, multiplicación y diferenciación de las células, tienen lugar, como es lógico, en respuesta a determinados estímulos, y modulados por complejos mecanismos de control. 378 Figura 2: Posibles respuestas de las células frente a diferentes estímulos 2. Funciones de reproducción A lo largo de su vida, las células pasan por varias etapas, que suelen culminar en su reproducción o división en dos células hijas. El conjunto de las transformaciones que experimentan las células se conoce con el nombre de ciclo celular. 2.1. El ciclo celular A lo largo del ciclo celular, las células van pasando, sucesivamente, por varias fases que se agrupan en dos etapas fundamentales: la interfase y la fase mitótica. 379 - La interfase es un proceso de duración muy variable: horas, días, semanas o años, dependiendo del tipo de célula. En el se diferencian a su vez tres fases: 1. Fase G1 o postmitótica. Se inicia en las células hijas que acaban de surgir por mitosis. Durante esta fase, las células recién formadas experimentan un crecimiento y formación de nuevos orgánulos, durante un período de tiempo muy variable, normalmente de varios días o semanas, pero hay casos excepcionales: por ejemplo, en los primeros estadios del desarrollo embrionario esta fase es muy breve, casi inexistente; por el contrario, algunas células muy especializadas, como las neuronas o las fibras musculares, quedan en esta fase para toda su vida, en un estado de reposo especial llamado G0. 2. Fase S o de síntesis. Se va replicando el ADN hasta que, finalmente, cada cromosoma queda formado por dos filamentos cromosómicos idénticos llamados cromátidas, unidos por una zona llamada centrómero. 3. Fase G2 o premitótica. Es un breve período, durante el que la célula comprueba que el ADN se ha replicado correctamente ,y que todo se encuentra en orden para que los cromosomas se empiecen a condensar e inicien la aventura de la división celular. - La fase mitótica dura aproximadamente una hora, y se divide en dos fases que se solapan en parte: 1. Mitosis. Es el proceso de división nuclear con un reparto exacto de cromosomas (con su información genética) entre los dos núcleos resultantes. 2. Citocinesis. Es el proceso de segmentación del citoplasma y la consiguiente formación de dos células hijas. 380 Figura 3: Fases del ciclo celular Control del ciclo celular Como es lógico, las diferentes fases del ciclo celular están sujetas a un control que evita que la célula se divida de forma desordenada. Estos sistemas de control se han empezado a desvelar recientemente y funcionan de un modo similar al programador de una lavadora: poco a poco la célula va superando etapas, pasando de una fase a la siguiente. El control se establece a través de diferentes tipos de proteínas, entre las que destacan las ciclinas y las quinasas, y se lleva a cabo en tres puntos de control: uno al final de G1, otro al final de G2, antes de iniciarse la mitosis, y el tercero durante la metafase. En esos puntos la célula sigue adelante o no dependiendo de ciertas señales internas (tamaño de 381 la célula, posición correcta de cromosomas, replicación correcta del ADN) y externas (disponibilidad de alimento, presencia de factores de crecimiento, densidad celular del tejido en el que se encuentra, etc.) Figura 4: Puntos de control del ciclo celular . El metabolismo: procesos anabólicos y catabólicos Al observar una célula al microscopio óptico es difícil imaginar que, en algo tan pequeño y aparentemente sencillo, puedan ocurrir tan complejos e intrincados procesos metabólicos como los que hoy conocemos. Sin duda, las células son los laboratorios más sofisticados que existen. En un espacio increíblemente reducido tienen lugar multitud de reacciones químicas, todas ellas perfectamente coordinadas y reguladas. Muchas de esas reacciones son además mutuamente incompatibles, es decir, si trituramos la célula y se mezclan sus componentes el resultado es un caos metabólico. Para que las diferentes rutas metabólicas operen en armonía, es imprescindible un control riguroso mediante diferentes enzimas específicas, y que las distintas rutas ocurran, en muchos casos, en compartimentos celulares separados (orgánulos celulares). 382 Todos los procesos metabólicos se pueden clasificar en dos tipos: procesos anabólicos, o de síntesis, y procesos catabólicos, o de degradación. Se puede decir que el anabolismo se inicia con la síntesis de los primeros compuestos orgánicos a partir de sustancias inorgánicas, mediante la fotosíntesis o la quimiosíntesis. Esos primeros pasos anabólicos sólo los pueden realizar los organismos autótrofos. Luego, a partir de moléculas orgánicas simples, se formarán, mediante diferentes rutas anabólicas, todos los componentes orgánicos de los seres vivos. El catabolismo se puede iniciar con la descomposición de muy diferentes sustancias orgánicas, pero, al final, la mayoría de las rutas catabólicas confluyen en la respiración celular, a través de la cual los compuestos orgánicos se terminan por degradar en sustancias inorgánicas. Naturalmente, muchas de las reacciones químicas, tanto anabólicas como catabólicas, implican transformaciones energéticas, y los procesos que liberan energía (en general los catabólicos) se acoplan a los que la consumen (en general los anabólicos) Figura 1: Esquema simplificado de los principales procesos anabólicos y catabólicos realizados por los organismos autótrofos y heterótrofos 383 1. Concepto de inmunidad Inmunidad es el estado de resistencia, natural o adquirido, de un organismo vivo a los agentes extraños, ya sean agentes infecciosos, tóxicos o degenerativos. El Sistema Inmune es el conjunto de todos los elementos que intentan conseguir la inmunidad. 2. La defensa del organismo ante los cuerpos extraños A lo largo de la evolución los animales han desarrollado una serie de barreras defensivas que protegen el medio interno, estable y rico en nutrientes, de la potencial invasión por cuerpos extraños, principalmente microorganismos. Las barreras pueden ser: a) Externas o internas, según su posición en el cuerpo, b) en función de la dependencia de la identidad del cuerpo extraño, específicas, cuando dependen del cuerpo extraño, o inespecíficas, si su protección es independiente del tipo de agente invasor. Teniendo en cuenta estos criterios de especificidad y localización, las barreras defensivas se reúnen en tres grupos: a) Barreras externas, inespecíficas también conocidas como primarias por ser las que frenan inicialmente la invasión. Pueden ser: - Barreras físicas, como la piel, que por su grosor y su descamación natural no es fácilmente atravesada por los microorganismos; los cilios de las vías respiratorias; las secreciones mucosas que atrapan a las sustancias extrañas en las aberturas naturales del aparato digestivo, respiratorio, y reproductor y el efecto de arrastre de las lagrimas, saliva y micción. - Barreras químicas, como el pH ácido del estómago e intestino delgado, de los fluidos del aparato urogenital y de las secrecciones de las glándulas sebáceas y sudoríparas y la lisozima, enzima presente en las lagrimas y saliva que rompe la pared bacteriana. - Barreras biológicas, pues la flora bacteriana autóctona, normalmente inofensiva, compite y controla a muchas poblaciones de gérmenes invasores patógenos, especialmente en el tubo digestivo. b) Barreras inespecíficas internas o barreras secundarias. Es un conjunto de células sanguíneas con capacidad fagocítica, como los macrófagos, granulocitos y células NK 384 (asesinas naturales o "natural killer") y de biomoléculas inactivadoras, como el sistema del complemento y ciertas citocinas, que reaccionan indiscriminadamente ante cualquier elemento extraño en el interior del cuerpo. c) Barrera interna específica. Las células responsables, los linfocitos, reaccionan ante ciertas sustancias extrañas, los antígenos, fabricando moléculas especializadas que solo neutralizan al antígeno iniciador, los anticuerpos. Esta repuesta tiene memoria, originando dos tipos de respuesta específica: la respuesta primaria, tras el primer contacto con el antígeno y la respuesta secundaria, tras un nuevo contacto con el antígeno, es más rápida e intensa que la primaria. Ante los agresores colaboran los tres tipos de barreras. Figura 1: Barreras primarias 3. Concepto de Antígeno (Ag) Un antígeno es aquella sustancia que siendo reconocida como extraña por el sistema inmune, es capaz de inducir en este una respuesta específica encaminada a su eutralización. La respuesta inmune consiste en la síntesis de un tipo de moléculas, los anticuerpos, que se unen específicamente al antígeno, desencadenando esta unión el proceso destructivo del Ag. La mayoría de los Ag son proteínas, aunque muchos polisacáridos tienen también este 385 comportamiento. Como son macromoléculas, casi todas superiores a 5 D, pueden poseer más de una zona con actividad antigénica. A estas regiones superficiales se las conoce como determinantes antigénicos o epítopos, y por ellas se unen con los anticuerpos. Los antígenos serán monovalentes, divalentes o polivalentes según los epítopos que posean. Según la procedencia de los antígenos pueden ser: Nombre Autoantígeno Aloantígeno Xenoantígeno Procedencia Ejemplo Del propio individuo, Células cancerosas autóctono De individuos de la misma especie Glóbulos rojos, transplante de corazón De especies distintas al receptor Virus, bacterias, ácaros Identificación de las células propias. En las membranas de nuestras células tenemos unas proteínas conocidas como CMH, iniciales de complejo mayor de histocompatibilidad, que marcan la pertenencia de las células a un individuo, son sus señas de identidad. En la especie humana hay muchos grupos distintos de CMH, que condicionaran la compatibilidad o el rechazo en los trasplantes, pues en este caso se comportan como antígenos. Figura 2: Esquema de un antígeno 386 4. Clases de células implicadas Todas las células encargadas de la defensa corporal son células sanguíneas, en especial leucocitos. Según su función principal la realicen en la respuesta específica o inespecífica se agrupan en los siguientes apartados Cuestión para autoevaluación ¿Cuál es la concentración de los diferentes tipos de células sanguíneas? a) Células que intervienen en la respuestas inespecífica. - Células que responden mediante "armas químicas". Pertenecen a dos grupos de glóbulos blancos granulocitos. - Basófilos, son polimorfonucleares por tener su núcleo dividido en varios lóbulos. Al igual que los mastocitos o células cebadas de los tejidos, contienen heparina (anticoagulante) histamina (vasodilatador) y mensajeros intercelulares. Son muy eficaces ante los parásitos, desencadenan los procesos de inflamación y su liberación inadecuada provoca las alergias. - Eosinófilos, polimorfonucleares que contienen en sus gránulos sustancias que actúan contra sustancias grandes no fagocitables, como gusanos endoparásitos. También son los responsables de frenar la reacción inflamatoria, destruyendo las sustancias que liberan los basófilos. - Células fagocitarias, mediante seudópodos capturan las sustancias extrañas y las digieren gracias a los abundantes lisosomas que poseen. A este grupo pertenecen: - Granulocitos neutrófilos, son también polimorfonucleares y se les conoce como micrófagos por ser más pequeños que los macrófagos. - Monocitos, son los glóbulos blancos más abundantes. Su núcleo es en herradura. Circulan unos tres días en sangre, tras lo cual pasan a los tejidos y se transforman en macrófagos, que pueden fagocitar patógenos grandes. Los macrófagos son indispensables para iniciar la respuesta específica. Pueden actuar como células presentadoras de antígenos (CPA), ya que tras digerir las sustancias extrañas o antígenos, los presentan desenmascarados, sobre sus proteínas CMH, a los linfocitos, iniciando su maduración y la respuesta especifica. Estas células CPA tienen moléculas 387 CMH diferentes al resto de las células corporales. Los macrófagos intervienen en las dos modalidades de respuesta, específica e inespecífica. b) Células que intervienen en la respuestas específica. Los linfocitos son los principales agentes de la respuesta inmune. Tienen un tamaño comprendido entre 6 y 10 , un citoplasma sin gránulos y su núcleo es grande y esférico. Se originan a partir de las células madre hematopoyéticas localizadas en médula ósea roja de los huesos (también en el hígado fetal). Todos tienen diferentes marcadores en su membrana que pueden actuar como antígenos, conocidos como clases de diferenciación CD. La clase a que pertenecen se indica con un número tras las siglas CD. Cada uno aporta a las células propiedades diferentes. Los linfocitos pueden ser linfocitos T y linfocitos B según el lugar en que maduren. - Linfocitos T. Reciben este nombre porque maduran en el timo. En su membrana poseen receptores específicos para el antígeno (TCR, T cell receptor), por los que reconocen a los antígenos que les presentan las células presentadoras de antígenos (CPA), unidos a proteínas del CMH. No producen anticuerpos. Hay tres clases de linfocitos T: - Linfocitos Th o colaboradores (H de helper), también conocidos comoT4 por tener el antígeno CD4. Un grupo de ellos activan a los linfocitos B, y otros lo hacen con los linfocitos T citotóxicos y los macrófagos. - Linfocitos Tc o citotóxicos, destruyen células infectadas y anormales. Son CD8. - Linfocitos Ts o supresores, frenan la respuesta inmune. Son también CD8. - Células asesinas o NK (natural killer), son una modalidad de linfocitos T, sin proteínas CD, que destruyen células cancerosas o infectadas por virus o bacterias, mediante mecanismos dependientes o no de los anticuerpos. - Linfocitos B. La B que los identifica recuerda a la bolsa de Fabricio, órgano de las aves en el que se descubrieron. Maduran en la médula ósea, tras contactar con el antígeno complementario de los anticuerpos de su membrana se 388 transforman en otras células mayores, las células plasmáticas, especializadas en secretar grandes cantidades de anticuerpos que anulan al antígeno que inició la reacción. Tienen una vida corta. Figura 3: Esquema de un macrófago y de los linfocitos 5. Órganos linfoides Las células del sistema inmune, encabezadas por los linfocitos, se producen, maduran o diferencian en un conjunto de órganos y tejidos que forman una red difusa. 389 Figura 4-a: Formación de las células inmunodependientes Todas las células de este sistema proceden de las células madres hematopoyéticas de la médula ósea. De ella se originan células precursoras de linfocitos, que pueden madurar en distintos órganos: - Órganos linfoides primarios. En ellos maduran definitivamente los linfocitos. En la médula ósea maduran los linfocitos B y en el timo los linfocitos T. - Órganos linfoides secundarios. En su interior interactúan los linfocitos con los antígenos, diferenciándose en sus diferentes modalidades. Son el bazo, situado en el abdomen, los ganglios linfáticos del sistema linfático, más abundantes en las regiones cervical, clavicular, axilar e inguinal y el tejido linfoide asociado a las mucosas (MALT) del tracto gastrointestinal, (apéndice y placas de Peyer), respiratorio (amígdalas) y genitourinario. 390 Figura 4-b: Órganos linfoides 391 6. Anticuerpos (Ac) Los anticuerpos son glucoproteínas secretadas por las células plasmáticas, capaces de unirse al antígeno que provocó su formación formando el complejo Ag-Ac, cuyo resultado final es la inactivación de ese antígeno, ya sean virus, bacterias, células cancerosas... Figura 5: Esquema de un Anticuerpo Estructura de los Anticuerpos - La parte proteica es una inmunoglobulina (Ig) o = globulina, formada por cuatro cadenas unidas por puentes bisulfuro, dos pesadas (H) idénticas y dos ligeras (L) también iguales entre sí. El conjunto adopta una forma de Y. Las cadenas L pueden ser de dos tipos K o , mientras que las cadenas H son mas variables y determinan los diferentes tipos de Ig. Por medio del pie de la Y llevan a cabo sus funciones biológicas como unirse a las membranas celulares o al complemento, mientras que por sus brazos abiertos o bisagra, que es flexible, se adaptan al antígeno, uniéndose a el y formando el complejo Ag-Ac. 392 Los extremos de los brazos de ambas cadenas son muy variables según los tipos de Ig, a diferencia de las partes centrales y basales que son semejantes en casi todas ellas. - La parte glucídica, de menor tamaño, se ancla al pié de la Ig y desempeña funciones relacionadas con su transporte y protección. Funciones de los Anticuerpos El complejo Ag-Ac inactiva a los Ag, neutralizando su toxicidad, provocando su precipitación o aglutinación, activando el complemento, atrayendo a los macrófagos y aumentando la citotoxicidad de los linfocitos Tc y células NK. Formación de los Anticuerpos Cada tipo de Ac no se forma como consecuencia de la llegada del Ag, sino que está formado con anterioridad. Durante el desarrollo embrionario se generan al azar, con independencia del Ag, mas de 109 clones diferentes de linfocitos, cada uno de los cuales reconoce un determinante antigénico o epítopo distinto. Estos esperan, como los trajes a medida de una gran superficie, la llegada del Ag. Cuando el Ag entra en el organismo, selecciona el clon de linfocitos al que reconoce por medio de los receptores TCR de su membrana. Tras ello, los clones seleccionados proliferan y producen la respuesta inmune. A este proceso se le conoce como selección clonal. Variedades de Ig Clase Unidades Peso molecular % del total Vida media IgG 1 150.000 75 30d IgM 5 900.000 10 10d IgA 1o2 15 8d IgD 1 160.000400.000 180.000 <1 Propiedades La más importante de la R.I. secundaria La primera que aparece en la R.I. primaria Abundante en las secrecciones externas horas En la menbrana linfocitos 393 B IgE 1 190.000 <1 ? Relacionada con las alergias . Defensas inespecíficas internas Estas defensas no son específicas, ni tienen memoria, es decir, responden siempre de la misma manera, con la misma intensidad y rapidez, independientemente del tipo de agente y del número de veces que haya penetrado. Intervienen todas las células con capacidad fagocítica y sustancias inactivadoras solubles. 7.1. El sistema del complemento El complemento es un conjunto de mas de 20 proteínas plasmáticas solubles, globulinas, siempre presentes de forma inactiva. Se activan secuencialmente ante la presencia de complejos Ag-Ac o directamente por Ag. Esta activación en cascada de sus componentes puede tener las siguientes consecuencias finales: - Formación de un complejo perforante que provoca la lisis del microorganismo invasor. - Inicio de un proceso inflamatorio, pues sus componentes provocan vasodilatación. - Opsonización de los patógenos haciéndoles mas "atractivos" a los macrófagos. Estas proteínas reciben el nombre de complemento porque ayudan y complementan los mecanismos de respuesta inmune. 394 Figura 6: Esquema del complemento 7.2. Respuesta inflamatoria La inflamación es una respuesta inespecífica del organismo cuya finalidad es aislar e inactivar a los agentes agresores y restaurar las zonas dañadas. Los síntomas de las regiones inflamadas son: - Rubor o enrojecimiento, al presentarse más riego sanguíneo. - Calor, con aumento de la temperatura, creando un ambiente desfavorable para los microorganismos, pues este aumento potencia la capacidad destructiva de los leucocitos y disminuye la cantidad de hierro, necesario para los patógenos. - Tumor o hinchazón, por el aumento de la permeabilidad capilar. 395 - Dolor, por estimulación de las terminaciones nerviosas con el fin de inmovilizar esa zona. Todos estos cambios están provocados por la liberación de mediadores (histamina, tromboxanos,...) ya sea por las células dañadas, por los microorganismos o por componentes del plasma. Entre ellos provocan los siguientes efectos citológicos : - Salida de los leucocitos, por diapédesis, en los capilares sanguíneos. - Migración y activación de los macrófagos. - Desgranulación de los neutrófilos, que liberan productos líticos y moduladores de la inflamación. Como vemos las principales células que actúan son los macrófagos y los neutrófilos, que fagocitan a los agentes externos, muriendo en parte en este proceso. También pueden actuar células NK e iniciarse una respuesta inmune al ser atraídos a la zona los linfocitos que atacaran a los antígenos introducidos. Por ello inflamación y respuestas específicas pueden actuar conjuntamente. El acúmulo de tejidos dañados y células muertas, tanto corporales como invasoras, es lo que conocemos como pus. 396 Primer cuestionario de matemáticas (respuestas al final) 1.- El máximo común de 9, 12, 16 y 25 es: a) 3 b) 1 c) 300 d) 3600 2.- El mínimo común múltiplo de 24, 48, 56 y 168 es: a) 16 b) 24 c) 336 d) 2586 3.- El máximo común divisor de 7, 14, 28 y 56 es: a) 7 b) 56 c) 1 d) 14 4.- El mínimo común múltiplo de 2, 3, 6, 12 y 50 es: a) 150 b) 50 c) 1 d) 300 5.- El mínimo común de 16, 24, y 32: a) 96 b) 192 c) 8 d) 48 6.- El producto que se obtiene al multiplicar un número compuesto impar por su recíproco es: a) 0 b) −1 c) 1 d) 2 7.- El resultado de multiplicar dos números irracionales es igual a un número: a) irracional b) entero c) real d) natural 8.- ¿Cuál de los siguientes números es irracional?: a) ½ b) 2 c) 1.15 d) 16 9.- Los siguientes son números irracionales EXCEPTO: b) π c) 5 d) 4/5 a) 3 10.- La simplificación de la expresión 6 − 2(3 − 5) − 4 − 9 = es: a) −13 b) 5 c) −3 d) 11 11.- La simplificación de la expresión 12 − 2[4 − 3(2 − 3)] = es: a) −2 b) 2 c) 70 d) 9 12.- La simplificación de la expresión −50 − 3{2 − [16 − 2(3 − 5)]} = es: a) −104 b) −4 c) 4 d) 6 13.- La simplificación de la expresión 50 − 3{2 − [16 + 2(3 − 5)]} = es: a) 22 b) −22 c) 80 d) 86 14.- El resultado de la siguiente operación −12 − 3(2 − 7) − −(4 − 11) = es: a) 4 b) 10 c) 6 d) −4 2 1 (3 − ) − 0.4 = es: 9 2 b) 1 c) 1 d) 0. 1 7 3 (4 − ) − 0.7 = es: 9 2 b) 0.16 c) 1.16 d) 1. 16 15.- El resultado de a) .1 16.- El resultado de a) 1.16 17.- El resultado de simplificar [(2)2 / 3 ]2 = es: a) 3 3 2 c) 2 3 2 b) 2 2 d) 2 18.- El resultado de simplificar [(6)1/ 2 ]3 = es: a) 6 2 b) 6 3 c) 6 d) 6 6 2 3 19.- Al simplificar 5 el resultado es: 6 5 a) 4 b) ¼ c) ½ d) 4/25 [ x 2 ]3 / 2 es: x3(2− 2 / 3) c) x−1 d) x1/3 20.- El resultado de simplificar a) x b) x1/2 1 ( x + y )3 / 2 es: 21.- El resultado de simplificar 2 3 1/ 2 ( x + y) 4 a) 2/3(x + y) b) 2/3(x + y)2 c) 2/3(x + y)1/2 d) 2/3(x + y)3/4 3 (a − 1)5 / 2 4 es: 22.- El resultado de simplificar 2 1/ 2 (a − 1) 3 b) 8/9(a − 1)2 c) 9/8(a − 1) a) 9/8(a − 1)3 d) 9/8(a − 1)2 1 ( x + z )3 / 2 23.- La simplificación de la siguiente operación 2 es: 3 1/ 2 ( x + z) 4 a) 2/3(x + z) b) 2/3(x + z)2 c) 3/2(x + z)2 d) 2/3(x + z)1/2 2 2 + 1 + 3 3 24.- El resultado de la siguiente operación es: 5 2 + − (2 + 4) 3 a) 52/21 b) 21/52 c) 52/−21 d) −21/52 25.- El resultado de la operación 3 32 − 2 50 + 3 72 − 128 es: a) 48 2 b) 28 2 c) 12 2 d) 2 26.- El resultado de la operación a) 9 3 3 b) 3 3 3 24 + 3 81 − 3 192 es: c) 2 3 3 d) 3 27.- El resultado de la operación 3 128 + 3 54 − 3 250 es: a) 2 3 2 b) 12 3 2 c) 2 2 d) 3 2 28.- El resultado de la operación 3 18 − 2 98 + 3 200 − 4 50 es: a) 5 2 b) 11 2 c) 2 d) 73 2 29.- El resultado de la operación 2 98 − 27 + 32 − 2 75 es: a) 11 2 − 6 3 b) 18 2 − 13 3 c) 10 2 − 7 3 d) 2− 3 30.- La adición de −7/12 a la diferencia de 11/3−5/4 es: a) 11/4 b) 3 c) 11/6 d) 29/3 31.- La adición de −5/3 a la diferencia de 4/3−7/4 es: a) 25/12 b) −15/12 c) 15/12 d) −25/12 32.- ¿Cuánto se pagara de interés por $16,400 depositados por un año al 12% de interés anual? a) $1640 b) $1968 c) $3280 d) $1460 33.- ¿Cuál será el precio de una computadora de $12,600 si se incrementa e precio en un 8%? a) $10080 b) $13860 c) $13608 d) $13680 34.- ¿cuánto pagare por 2.5 Litros de aceite lubricante si el precio de 650 ml es de $4.50? a) $17.30 b) $18.30 c) $19.30 d) $20.30 35.- El precio de 3 corbatas es de $524 ¿Cuál será el precio de 5 corbatas? a) $876.3 b) $837.3 c) $783.3 d) $873.3 36.- Si Juan gana $7890.20 mensuales con un incremento a su sueldo de 8% ¿Cuál era su sueldo anterior? a) $7258.98 b) $8521.4 c) $7305.7 d) 7503.7 37.- 4 hombres hacen una obra en 12 días trabajando 9 horas diarias ¿En cuantos días se hará la obra si se incrementa en dos hombres y se trabaja las mismas horas diarias? a) 18 b) 8 c) 12 d) 27 38.- Dada la expresión a − 4[a − b + 2(a − b) − 3a ] su simplificación es: a) a + 12b b) a − 12b c) 3a + 12b d) 3a − 12b 39.- Dada la expresión 2 x − 3[ x + y + 4( x − y ) + y ] su simplificación es: a) 13x + 6y b) 13x – 6y c) –13x + 6y d) 17x + 6y 40.- Dada la expresión 3m − 2[m − 2n − 2(m − 3n) − 5n] su simplificación es: a) 5m – 2n b) m – 2n c) m + 2n d) 5m + 2n 41.- Si en una sustracción la diferencia es 3x 3 + 2 x 2 − 5 x y el sustraendo es 5 x 3 − 4 x 2 − 5 x entonces el minuendo equivale a: a) −2 x 3 + 6 x 2 b) 2 x 3 − 6 x 2 c) 8 x 3 − 2 x 2 − 10 x d) 8 x 3 − 2 x 2 + 10 x 42.- Si en una sustracción la diferencia es 4 x3 − 3x 2 + 8 x y el sustraendo es 2 x 3 − 5 x 2 − 11x el minuendo equivale a: a) 2 x3 + 2 x 2 + 19 x b) 6 x3 − 8 x 2 − 3x c) −2 x3 − 2 x 2 − 19 x d) 6 x3 + 8 x 2 − 3 x 43.- Si en una sustracción la diferencia es 7 x 3 + 2 x 2 − 8 x y el sustraendo es −2 x 2 − x + 4 entonces el minuendo es: a) 7 x 3 − 9 x + 4 b) 5 x 2 + x − 4 c) −7 x3 − 4 x 2 + 7 x + 4 d) 7 x 3 + 8 x + 4 44.- Si en una sustracción la diferencia es −5 x3 + 6 x 2 − 3 x y el sustraendo es 2 x 3 − 4 x 2 + x entonces el minuendo equivale a: a) −7 x3 + 10 x 2 − 7 x b) 7 x3 − 10 x 2 + 7 x c) −7 x3 + 2 x 2 + x d) − 3x 3 + 2 x 2 − 2 x 45.- El desarrollo del binomio al cuadrado ( x3 + 1/ 3)2 es igual: a) x 3 + 2 / 3x 3 + 1/ 9 b) x 6 + 1/ 9 c) x 6 + 2 / 3x 3 + 1/ 9 d) x 5 + 2 / 3x 3 + 1/ 6 46.- El desarrollo del binomio al cuadrado ( x 2 − 1/ 6) 2 es iguala a: a) x 4 + 1/ 36 b) x 2 − 1/ 6 x + 1/ 36 c) x 4 − 1/ 6 x + 1/ 36 d) x 4 − 1/ 3x 2 + 1/ 36 47.- El desarrollo del binomio al cuadrado (2 x + 1/ 4) 2 es igual a: a) x 2 + 1/ 2 x + 1/16 b) x 2 − 1/ 2 x + 1/16 c) 4 x 2 + x + 1/16 d) 4 x 2 + 1/ 2 x + 1/16 48.- el desarrollo del binomio al cuadrado ( x − 3 / 2) 2 es igual a: a) x 2 − 3 x + 9 / 4 b) x 2 − 9 / 4 c) x 2 − 6 / 4 x + 9 / 4 d) x 2 − 3 / 4 x + 9 / 4 49.- El resultado de multiplicar (3 2 x − 3 x )(3 2 x + 3 x ) es: a) 21x b) 15x c) 12x d) 9 x 2 − 3x 50.- El resultado de multiplicar (2 x + 3 2 x )(2 x − 3 2 x ) es: a) 14x b) 22x c) −22x d) −14x 51.- El resultado de multiplicar ( 4 x − 2)( 4 x + 2) es: d) 4x a) 4x−2 b) 2x c) 16x2−4 52.- El resultado de multiplicar ( x − 3 / 4)( x + 3 / 4) es: a) x 2 + 3 / 4 x − 9 /16 b) x 2 − 9 /16 c) x 2 − 9 / 4 d) x 2 + 9 /16 53.- La expresión a 2 + ab + ax + bx corresponde a: b) (a + b)(a + b) c) (a + x)(b + x) a) (a + x)(a − b) d) (a + x)(a + b) 54.- La expresión x 2 − a 2 + x − a 2 x corresponde a: a) ( x + 1)( x − a 2 ) b) ( x + 1)( x − a) c) ( x + 1)( x 2 − a ) d) ( x + a )( x − a) 55.- La expresión 4a 3 − 1 − a 2 + 4a corresponde a: a) (a + 1)(4a − 1) b) (a 2 − 1)(4a + 1) c) (a − 1)(4a − 1) d) (a 2 + 1)(4a − 1) 56.- La expresión 3xy − 2 pq + xq − 6 py corresponde a: a) ( x − 2 p )(3 y + q) b) ( x − 2 p )(3 y − q ) c) ( x − 2q)(3 y − p ) d) (3 x + q )(2 p − 3 y ) 57.- El resultado de factorizar m3 − 1 es: a) (m − 1)(m 2 + m + 1) b) (m + 1)(m2 + m + 1) c) (m − 1)(m 2 − m + 1) d) (m − 1)(m2 + m − 1) 58.- El resultado de factorizar 8m3 + 27 es: a) (2m + 3)(4m 2 + 6m + 9) b) (2m − 3)(4m 2 + 6m + 9) d) (2m + 3)(4m 2 − 6m + 9) c) (2m + 3)(4m 2 − 12m + 9) 59.- el resultado de factorizar x 2 − 9 / 25 es: a) ( x + 3 / 5)( x + 3 / 5) b) ( x − 3 / 5)( x − 3 / 5) c) ( x + 3 / 5)( x − 3 / 5) 60.- El resultado de factorizar x 2 − 1/ 4 es: a) ( x + 1/ 2)( x + 1/ 2) b) ( x − 1/ 2)( x + 1/ 2) c) ( x + 1/ 2)2 d) ( x + 3 / 5) 2 d) ( x − 1/ 2)( x − 1/ 2) 61.- el resultado de factorizar m3 + 1 es: a) (m + 1)(m2 + m + 1) b) (m − 1)(m 2 + m + 1) c) (m + 1)(m2 + m − 1) d) (m + 1)(m 2 − m + 1) 62.- El resultado de factorizar x 2 + ax − bx − ab es: b) ( x − a )( x − b) c) ( x + a )( x − b) a) ( x + a )( x + b) d) ( x + a )(a + b) 63.- El resultado de factorizar 4am3 − 12amn − m 2 + 3n es: a) (m 2 − 3n)(4am − 1) b) (m 2 + 3n)(4am − 1) c) (m 2 − 3n)(4am + 1) d) (m 2 + 3n)(4am + 1) 64.- El resultado de factorizar 2 x 2 + 11x + 5 es: a) (2 x − 1)( x + 5) b) (2 x + 1)( x − 5) c) (2 x + 5)( x + 1) d) (2 x + 1)( x + 5) 65.- El resultado de factorizar x 2 − 1/ 81 es: a) ( x − 1/ 9)( x − 1/ 9) b) ( x − 1/ 9)( x + 1/ 9) c) ( x + 1/ 9)( x + 1/ 9) d) ( x − 1/ 9) 2 66.- El resultado de factorizar 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 es: a) (2 x + 3 y )(2 x − 3 y ) b) (2 x + 3 y )(2 x + 3 y ) c) (2 x + 3 y ) 2 d) (2 x − 3 y ) 2 67.- El resultado de factorizar x 2 + x − 2 es: a) ( x − 2)( x − 1) b) ( x − 2)( x + 1) c) ( x + 2)( x − 1) d) ( x − 1)( x − 1) 68.- El resultado de factorizar x 2 + x − 12 es: a) ( x − 2)( x − 6) b) ( x − 4)( x + 3) c) ( x + 12)( x − 1) d) ( x − 3)( x + 4) 69.- Los factores de x 2 + 2 x − 24 es: a) ( x − 6)( x − 4) b) ( x − 6)( x + 4) d) ( x − 8)( x − 3) c) ( x + 6)( x − 4) 70.- El resultado de factorizar x 2 − 10 x − 24 es: a) ( x − 6)( x − 4) b) ( x − 6)( x + 4) c) ( x + 12)( x − 2) d) ( x − 12)( x + 2) 71.- El resultado de factorizar x 2 + 5 x − 36 es: a) ( x − 9)( x − 4) b) ( x − 9)( x + 4) c) ( x + 9)( x − 4) d) ( x − 12)( x − 3) 72.- El resultado de factorizar x 2 − 3 x − 180 es: a) ( x − 12)( x − 15) b) ( x − 12)( x + 15) c) ( x + 12)( x − 15) d) ( x − 12)( x − 25) 73.- El resultado de factorizar de 3m 2 + 7 m − 6 es: a) (3m + 2)(m + 3) b) (3m − 2)(m + 3) c) (3m − 2)(m − 3) d) (3m − 1)(m + 6) x2 − 4 es: 5ax + 10a x−2 x+2 c) d) 2a 2a 74.- La simplificación de la expresión a) x−2 5a b) x+2 5a 2ax + 4bx es: 3ay + 6by c) 2 x / 3 y d) 3x / 2 y 75.- La simplificación de la expresión a) 2 x / 6 y b) 4 x / 3 y 3 x 2 − 4 x − 15 es: x2 − 5x + 6 3x − 3 3x − 5 c) d) x −3 x−2 76.- La simplificación de la expresión a) 3x + 5 x−3 b) 3x + 5 x−2 m3 + n3 es: ( m + n)3 m 2 + mn + n 2 m+n b) c) 2 ( m + n) 2 (m + n) 77.- La simplificación de la expresión m 2 − mn + n 2 a) ( m − n) 2 m 2 − mn + n 2 d) ( m + n) 2 a3 + 1 es: a 4 − a3 + a − 1 c) 1/(a + 1) d) 1/(a 4 + a ) 78.- La simplificación de la expresión a) 1/(a − 1) b) a 2 + 1/ a 1 x es equivalente a: 79.- La fracción 1 1− x a) x + 1 b) x − 1 c) ( x + 1) / x x− d) ( x − 1) / x 3 x es equivalente a: 80.- La fracción 5 x−4− x x+3 x−3 x −3 x+3 a) b) c) d) x −5 x −5 x+5 x+5 x+4+ 81.- El valor de x que satisface a la ecuación 2( x − 3) = 4 x − 8 es: a) 2 b) −1 c) −2 d) 1 82.- El valor de x que satisface a la ecuación 3( x − 5) = 7 x − 4 es: a) 11/4 b) −11/4 c) 5/4 d) −5/4 83.- El valor de x que satisface a la ecuación 5(3 − x ) = 4 x + 12 es: a) 1/3 b) −1/3 c) 4/9 d) 3 84.- El valor de x que satisface a la ecuación 5 x − 4(3 − x ) = 7 x + 9 es: a) 3/2 b) −21/2 c) 21/2 d) −3/2 85.- Las raíces de la ecuación x 2 + 7 x + 10 = 0 son: c) x = 2, x = −5 a) x = 5, x = 2 b) x = −2, x = 5 d) x = −2, x = −5 86.- Las raíces de la ecuación x 2 + 5 x + 6 = 0 son: a) x = 3, x = 2 b) x = −2, x = 3 c) x = 2, x = −3 d) x = −3, x = −2 87.- Las raíces de la ecuación x 2 − 5 x − 36 = 0 son: a) x = 9, x = 4 b) x = 9, x = −4 c) x = −9, x = 4 d) x = −4, x = −9 88.- Las raíces de la ecuación x 2 − 10 x − 24 = 0 son: c) x = 6, x = −2 a) x = 6, x = 4 b) x = 2, x = −12 d) x = 12, x = −2 89.- Las raíces de la ecuación x 2 − 5 x − 24 = 0 son: a) x = 8, x = 3 b) x = 8, x = −3 c) x = −8, x = −3 d) x = −8, x = 3 90.- Las raíces de la ecuación x 2 + x − 72 = 0 son: a) x = 9, x = 8 b) x = 9, x = −8 c) x = −9, x = −8 d) x = −9, x = 8 91.- Las raíces de la ecuación 6 x 2 + 11x − 10 = 0 son: a) x = 2/3, x = −5/2 b) x = −2/3, x = −5/2 c) x = 2/5, x = −2/3 d) x = −2/5, x = −3/2 92.- El producto de la siguiente expresión algebraica 3 x ( x 2 + 4 x 3 ) es: a) 3x5 / 2 + 12 x 4 / 2 b) 3x 5/ 2 + 12 x 7 / 2 c) 3x5 / 2 − 12 x 4 / 2 d) 3x5 / 2 + 12 x 3/ 2 93.- El producto de la siguiente expresión algebraica x (3 x 4 − 4 x5 ) es: b) 3x 5/ 2 + 4 x11/ 2 c) 3x 3/ 2 − 4 x11/ 2 d) 3x 5/ 2 − 4 x11/ 2 a) 3x 9 / 2 − 4 x11/ 2 94.- El resultado de la siguiente operación (24a 2b −4 c 3 ) ÷ (8a 5b −2 c −4 ) = es: a) −3a 3b 2 c −7 c) 3a −3b −2 c 7 d) 3a −3b −2 c −7 b) 3a 2b −4 c 7 95.- El resultado de la siguiente operación (36a −3b −2 c 7 ) ÷ (9a 5b −2c −4 ) = es: a) 4c11 / a8 b) −4c11 / a8 c) 4a11 / c8 d) 4a8 / c11 96.- El resultado de la siguiente operación (−144 x3 y −4 z 7 ) ÷ (36 x 2 y −2 z 7 ) = es: b) 4 x / y 2 c) −4 x / y −2 d) −4 x / y 2 a) −4 x / y −2 97.- Si T = Kt2 siendo K = 2 y t > 0 podemos decir que T: a) Es inversamente proporcional a t b) Disminuye con respecto a t c) Aumenta con respecto a t d) Es constante con respecto a t 98.- La ecuación que expresa que “x” viaria directamente proporcional a la enésima potencia de “a” es: an k an a) x = c) x = ka n b) x = d) x = − k x k 99.- En la ecuación ax + a 2 − x = a 2 + a + 1 el valor de x cuando a = −5 a) x = −8 b) x = 3/5 c) x = 2/3 d) x = 2 100.- En la ecuación ax + a 2 − x = a 2 + a + 1 el valor de x cuando a = −1/5 d) −2/3 a) x = 7/5 b) x = −3/2 c) −5/3 x 101.- La propiedad de log b es igual a: y a) log b x + log b y b) log b x − log b y c) log b x ÷ log b y 102.- El logaritmo de uno es: a) Cero b) No esta definido 103.- Dado log b N su equivalente es: log x N log x b log x N b) c) a) log b N log x N log x b c) Uno d) d) log b x × log b y d) Negativo log n x log b x 104.- La expresión log x y n se puede escribir como: a) x log y n b) y log x n c) n log y x d) n log x y 105.- La solución de la ecuación 3x+1 = 81 es: a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 5 106.- La solución de la ecuación log x + log( x − 3) = 1 es: b) x = 10, x = −1 c) x = 1, x = −10 a) x = 2, x = −5 d) x = −2, x = 5 107.- ¿Cuál propiedad NO es correcta? a) log MN = log M + log N b) logb MN = NlogbM c) log M/N = log N − log M d) log M÷N = log M−logN 108.- La solución de la ecuación 4x + 2 = 16x es: a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3 d) x = 4 109.- La solución de la ecuación log 3 (2 x + 6) − log 3 ( x − 4) = 2 es: a) x = 6 b) x = 5 c) x = 3 d) x = 4 110.- La solución de la ecuación 5x−1 = 25 es: a) x = 1 b) x = 3 c) x = 2 d) x = 4 111.- Para b > 1, log1/ b y es igual a: a) − log b y b) log b y c) − log y b d) log b 1/ y 112.- Aplicando las leyes de los logaritmos a la expresión a) b) c) d) log 2 + 4 log( x + 3) − log( x − 1) log 2 + 4 log( x + 3) − log x + log1 log 2 + 4 log( x + 3) − log x − log1 log 4 + 2 log( x + 3) − log( x − 1) 113.- La raíz de 22 x− 2 − 2 = 14 c) x = 3 a) x = 1/3 b) x = −3 2( x + 3) 4 su simplificación es: x −1 d) x = −1/3 114.- La distancia entre los puntos A(6, −3), B(−2, 3) es: c) 4 d) 8 a) 10 b) 10 115.- La distancia entre los puntos A(2, 4), B(4, 0) es: a) 12 b) 10 c) 20 d) 20 116.- La función f ( x) = sen(2a ) se puede expresar: a) cos 2 a − sen 2 a b) 2 sen a cos a c) 2sen a d) 1 − 2 sen 2 a 117.- La tangente de 3x − 2 y es: tan(3 x − 2 y ) tan 3 x − tan 2 y tan 3x + tan 2 y a) b) c) 1 − tan(3 x − 2 y ) 1 − tan 3 x − tan 2 y 1 − tan 3 x tan 2 y d) tan 3 x − tan 2 y 1 + tan 3 x tan 2 y 118.- Si la tangente del ángulo agudo de un triángulo es igual a 1 ¿cuál es el valor del cos? 1 a) 2 b) 3 c) 1 d) 2 119.- Si la tangente del ángulo agudo de un triángulo es igual a 2. ¿Cuál es el valor de la sec? 1 5 a) 5 b) ½ c) d) 2 5 120.- La grafica de x 2 + y 2 = 4 tiene como dominio: a) (−2, 2) b) [−2, 2] c) [0, 2] d) [−2, 0] x −3 es: x−2 c) R ≠ 2 d) R ≠ −3 121.- El dominio de la función f ( x) = a) R ≠ 3 b) R ≠ −2 122.- Los puntos en el plano consta de dos variables (x, y) con el nombre de: a) Abscisas b) Ordenadas c) Coordenadas d) Variables 123.- El punto medio de AB, donde A = (3, 2) B = (−8, −5) es: a) (11/2, 7/2) b) (5/2, 3/2) c) (−3/2, −5/2) d) (−2.5, −1.5) 124.- El punto medio de AB, donde A = (−2, 2) B = (1, 3) es: a) (−1/2, 5/2) b) (5/2, −1/2) c) (1/2, 5/2) d) (1/2, −5/2) 125.- El punto medio de AB, donde A = (−1, 2) B = (−3, −2) es: a) (2, −4) b) (−2, 0) c) (−2, −4) d) (0, −2) 126.- El punto medio de AB, donde A = (6, −5) B = (−8, −5) es: a) (−2, −10) b) (−1, 0) c) (−1, −5) d) (1, −5) 127.- L distancia entre los puntos A(−3, 2) B(1, −1) es: a) 5 b) 20 c) 5 d) 20 128.- La recta cuya ecuación es 4 x + 3 y − 5 = 0 tiene como pendiente: b) 4/3 c) −4/3 d) −3 a) −4 129.- La recta cuya ecuación es 5 x − 2 y − 7 = 0 tiene como pendiente: a) −5/2 b) 5/2 c) 2/5 d) 7/5 130.- La recta cuya ecuación es 3 y − 5 x − 15 = 0 tiene como pendiente: c) 5/3 d) −5/3 a) 3/5 b) −3/5 5 x − 3 es: 4 d) Cero 131.- La pendiente de la recta expresada por f ( x) = a) Negativa b) Positiva c) No definida 132.- La pendiente de una recta perpendicular a la recta y = 5 x − 3 es: a) 5 b) 1/5 c) −1/5 d) −5 133.- La pendiente de una recta perpendicular a la recta y = −2 x − 3 es: b) −2/3 c) ½ d) −1/2 a) −2 3 x − 2 se expresa en forma general como: 4 b) 3x − 4 y − 8 = 0 c) 3x + 4 y − 8 = 0 d) 3x − 4 y + 8 = 0 134.- La ecuación y = a) 3x − 4 y − 2 = 0 5 x − 2 se expresa en forma general como: 3 b) 5 x − 3 y + 6 = 0 c) 5 x − 3 y − 2 = 0 d) 5 x − 3 y − 6 = 0 135.- La ecuación y = a) 5 x + 3 y − 6 = 0 136.- La pendiente de la ecuación general esta dada por: A B −A A b) − c) d) − a) B A −B B 137.- El valor de m en la recta y = mx + 5 para que corte el eje de las ordenadas en el punto A(3,0) es: a) −5 / 3 b) 5 / 3 c) 3 / 5 d) −3 / 5 138.- El valor m en la recta y = mx − 3 para pase por el punto A(−2, 4) es: d) −7/2 a) 7/2 b) 2/7 c) −2/7 139.- La forma simétrica de la ecuación de la recta con pendiente m = −3 / 4 y ordenada al origen 3 es: a) 3x + 4 y − 12 b) y = −3 / 4 x + 3 c) x / 4 + y / 3 = 1 d) y − 3 = −3 / 4( x − 0) 140.- El ángulo de inclinación de la recta expresada por f ( x) = x + 4 es: a) 30° b) 60° c) 45° d) 90° 141.- El ángulo de inclinación de la recta expresada por f ( x) = − x − 2 es: a) 45° b) 60° c) 90° d) 135° 142.- El segmento de la recta definido por los puntos P(2, 5) y Q(−2, −5) pasa por el punto de coordenadas: a) (1, 0) b) (0, 1) c) (−1, −1) d) (0, 0) 143.- En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 y 4, cual es el valor de la hipotenusa: a) 25 b) 5 c) 7 d) 7 144.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13 y uno de sus catetos 12 cual es el valor de él otro cateto: a) 8 b) 10 c) 7 d) 5 145.- En un triángulo rectángulo los catetos miden 1 y 2, cual es el valor de la hipotenusa: a) 5 b) 5 c) 7 d) 25 146.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 y uno de sus catetos 3, cual es el valor del otro cateto: a) 16 b) 4 c) 5 d) 2 147.- El valor x en el siguiente triángulo es: a) 6 b) 5 c) 5 d) 7 148.- El valor x en el siguiente triángulo es: a) 3 b) 5 c) 3 d) 5 149.- El valor x en el siguiente triángulo es: a) 33 b) 33 c) 65 d) 65 150.- El valor que corresponde a sen 2 θ + cos 2 θ es: b) 0 c) 1 c) cos(2θ ) a) −1 151.- Dado el triángulo rectángulo, el valor de la sec θ es: a) 3/5 b) 4/5 c) 5/3 d) 7/4 152.- El valor de − sen 2θ − 2 cos 2θ es: a) 1 b) −1 c) cos(2θ ) d) cos 2 θ 3 determinar el valor del seno y coseno: 4 3 4 cos θ = = 5 5 3 3 cos θ = = 4 2 3 3 cos θ = =− 4 2 3 3 cos θ = − = 4 2 1 sen θ = el valor del coseno es: 4 d) 15 b) 4/1 c) 15 / 4 153.- Si la Tan θ = a) sen θ b) sen θ c) sen θ d) sen θ 154.- Si a) 15/4 155.- Si cos θ = 6 /10 el valor del seno es: a) 10/8 b) 10/6 c) 8/10 d) 5/10 2 determinar el valor del seno: 3 b) 2/13 c) 3 / 13 d) 3/2 156.- Si tan θ = a) 2 / 13 1 determinar el valor del coseno: 3 b) 2/3 c) 1/ 8 d) 8 / 3 157.- Si Sen θ = a) 8 3 determinar el valor de la tangente: 4 b) 7 / 3 c) 3/4 d) 4/3 158.- Si sen θ = a) 3 / 7 2 determinar el valor de la cosecante: 7 b) 7 / 3 5 c) 3 5 / 2 d) 3 5 / 7 159.- Si cos θ = a) 2 / 3 5 160.- Si tan θ = 1 , determinar el valor del seno: a) 2 b) 1/ 2 c) 1/2 d) 2 12 , determinar el valor de la tangente: 13 b) 12/5 c) 13/5 d) 5/13 161.- Si el cos θ = a) 5/12 1 es igual con: cos θ b) csc θ c) sec θ d) tan θ 1 es igual con: tan θ b) se n θ c) c s c θ d) cot θ 1 es igual con: sen θ b) se n θ c) csc θ d) cot θ 162.- La expresión a) sen θ 163.- La expresión a) sec θ 164.- La expresión a) sec θ 165.- La sec θ también puede expresarse como: a) 1/ sen θ b) 1/ cos θ c) csc θ d) 1/ sec θ 166.- La csc θ también puede expresarse como: a) 1/ sen θ b) sen θ c) 1/ cos θ d) sec θ c) 3/2 d) 1/2 c) 3/2 d) 1/2 c) 3/2 d) 1/2 c) 3/2 d) 1/2 c) 3/2 d) 1/2 c) 3/2 d) 1/2 167.- El valor de sen 60° es: a) 1 b) 2/2 168.- El valor de cos 60° es: a) 1 b) 2/2 169.- El valor de sen 45° es: a) 1 b) 2/2 170.- El valor de cos 45° es: a) 1 b) 2/2 171.- El valor de sen 30° es: a) 1 b) 2/2 172.- El valor de tan 45° es: a) 1 b) 2/2 173.- El punto donde se interceptan las tres medianas de un triángulo es: a) Incentro b) Circuncentro c) Ortocentro d) Baricentro 174.- La campana de Gauss define a la función: a) Paramétrica b) Compuesta c) Normal d) Algebraica 175.- Si A y B son dos rectas paralelas, el valor del ángulo “x” es: a) 25° b) 35° c) 45° d) 55° 176.- La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (−1, 3) es: a) 3/2 b) −3/2 c) 2/3 d) −2/3 177.- Dada la ecuación de una línea recta 3x − 2 y + 12 = 0 hallar sus intersecciones con los ejes coordenados a) x = 2, y = 3 b) x = −1, y = 4 c) x = −4, y = 6 d) x = 3, y = 5 178.- El punto de intersección entre las rectas: a) (2, 3) b) (3, −1) c) (3, 1) x − 2y = 5 2x + y = 5 d) (−3, 1) es: 179.- Determinar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(−3, 6) a) y = x + 2 b) y = 2 x − 1 c) y = −3 x + 2 d) y = − x + 3 180.- Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, −2), B(−1, 6) a) y − 6 = 2( x + 1) b) y + 6 = −2( x − 1) c) y − 6 = −2( x + 1) d) y + 6 = 2( x − 1) 181.- El lugar geométrico que corresponde a la ecuación x 2 + y 2 − 25 = 0 es: a) Elipse b) Parábola c) Hipérbola d) Circunferencia 182.- Si los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos (0, −6) (0, 6), su ecuación es: a) x 2 + y 2 = 6 b) x 2 + y 2 = 36 c) x 2 − y 2 = 36 d) x 2 + y 2 = 144 183.- Indicar cual de las siguientes circunferencias se encontraran totalmente en el primer cuadrante. a) ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 25 b) ( x − 4) 2 + ( y − 3)2 = 4 c) ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 36 d) ( x − 1) 2 + ( y − 1)2 = 4 184.- La ecuación x 2 + y 2 + 6 x − 8 y − 11 = 0 es una circunferencia con centro y radio en: a) (6, −8) r = 6 b) (3, −4) r = 6 c) (−3, 4) r = 36 d) (−3, 4) r = 6 185.- Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro y radio son respectivamente, (6, −5) y 4 a) x 2 + y 2 − 12 x + 10 y − 45 = 0 b) x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 45 = 0 c) x 2 + y 2 − 12 x + 10 y + 45 = 0 d) x 2 + y 2 + 12 x − 10 y + 45 = 0 186.- Determinar el centro y radio de la circunferencia que tiene por ecuación general 2 x 2 + 2 y 2 − 2 x + 6 y − 27 = 0 a) (1/2, −3/2), r = 4 b) (−3, 2) r = 3 c) (2/3, 1/3) r = 1 d) (4, −1) r =5 187.- La ecuación de la circunferencia con centro en (−1, 2) y que pasa por el punto (3, 4) es: a) ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 20 b) ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 20 c) ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 20 d) ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 20 188.- El foco de la parábola y 2 + 8 x = 0 es: a) (0, 2) b) (−2, 0) c) (0, −2) d) (2,0) 189.- El foco de la parábola 3 x 2 − 9 y = 0 es: a) (3/4, 0) b) (0, 9/4) c) (0, 3/4) d) (0, −3/4) 190.- ¿Cuál ecuación corresponde a una hipérbola? a) y = 1/ x b) x 2 = 4 py c) x 2 + y 2 = 4 d) x2 y 2 − =1 4 9 191.- Los semiejes mayor y menor de la elipse cuya ecuación esta dada por 16 x 2 + 9 y 2 = 144 son: a) 16 y 9 b) 5 y 3 c) 3 y 4 d) 4 y 3 192.- La ecuación ordinaria de la cónica 9 x 2 + 4 y 2 − 36 x + 24 y + 36 = 0 es: ( x − 2)2 ( y + 3) 2 + 4 9 2 ( x + 2) ( y + 3) 2 b) + 4 9 2 ( x − 2) ( y − 3) 2 c) + 4 9 2 ( x − 3) ( y + 2) 2 d) + 4 9 a) =1 =1 =1 =1 193.- La ecuación de la elipse cuyos vértices son (0, −5), (0, 5) y sus focos son (0, −3), (0, 3) es: x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 a) b) c) d) + =1 + =1 + =1 + =1 25 9 25 16 16 25 9 25 194.- La ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y directriz y = −5 es: b) y 2 = 20 x c) y 2 = −20 x d) x 2 = 20 y a) x 2 = −20 y 195.- La ecuación de la elipse con vértices (0, −3) (0, 3) y los puntos ( − 5 , 0)( 5 , 0) como extremos del eje menor, es: x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 a) b) c) d) + =1 + =1 + =1 + =1 5 9 25 9 25 16 9 5 196.- La ecuación ordinaria de la hipérbola con centro en el origen y vértices y focos V(−4, 0)(4, 0) F(−5, 0)(5,0) es: x2 y 2 x2 y2 x2 y 2 x2 y2 a) b) c) d) − =1 − =1 − =1 + =1 25 16 16 9 9 16 25 16 197.- Las ecuaciones paramétricas x = 3 − 2t , y = 4 − 5t corresponden a una: a) Circunferencia b) Hipérbola c) Recta d) Elipse 198.- Al transformar la ecuación polar r = 3cos θ se obtiene: a) x 2 + y 2 + 3 x = 0 b) x 2 + y 2 − 3 x = 0 c) − x 2 + y 2 + 3 x = 0 d) x 2 − y 2 − 3 x = 0 199.-La ecuación de la recta expresada en coordenadas polares y = 2 x − 3 es: a) r ( sen θ + 2 cos θ ) − 3 = 0 b) r ( sen θ − 2 cos θ ) − 3 = 0 c) sen θ − 2 cos θ − 3 = 0 d) r ( sen θ − 2 cos θ ) + 3 = 0 200.- La ecuación polar r 2 sen3 θ − cos θ = 0 expresada como ecuación cartesiana es: a) x = y 3 b) y = x 3 c) x = y d) x = y 2 Respuestas: 1.- b 2.- c 3.- a 4.- d 5.- a 6.- c 7.- c 8.- b 9.- d 10.- b 11.- a 12.- c 13.- c 14.- d 15.- d 16.- c 17.- c 18.- d 19.- b 20.- c 21.- a 22.- d 23.- a 24.- c 25.- c 26.- b 27.- a 28.- a 29.- b 30.- c 31.- d 32.- b 33.- c 34.- a 35.- d 36.- c 37.- b 38.- a 39.- c 40.- d 41.- c 42.- b 43.- a 44.- d 45.- c 46.- d 47.- c 48.- a 49.- b 50.- d 51.- a 52.- b 53.- d 54.- a 55.- d 56.- a 57.- a 58.- d 59.- c 60.- b 61.- d 62.- c 63.- a 64.- d 65.- b 66.- d 67.- c 68.- d 69.- c 70.- d 71.- c 72.- c 73.- b 74.- a 75.- c 76.- b 77.- d 78.- a 79.- a 80.- a 81.- d 82.- b 83.- a 84.- c 85.- d 86.- d 87.- b 88.- d 89.- b 90.- d 91.- a 92.- b 93.- a 94.- c 95.- a 96.- d 97.- c 98.- c 99.- c 100.- d 101.- b 102.- a 103.- c 104.- d 105.- b 106.- d 107.- c 108.- b 109.- a 110.- b 111.- a 112.- a 113.- c 114.- a 115.- c 116.- b 117.- d 118.- d 119.- a 120.- b 121.- c 122.- c 123.- d 124.- a 125.- b 126.- c 127.- c 128.- c 129.- b 130.- c 131.- b 132.- c 133.- c 134.- b 135.- d 136.- d 137.- a 138.- d 139.- c 140.- c 141.- d 142.- d 143.- b 144.- d 145.- a 146.- b 147.- c 148.- a 149.- a 150.- c 151.- d 152.- d 153.- a 154.- c 155.- c 156.- a 157.- d 158.- a 159.- b 160.- b 161.- a 162.- c 163.- d 164.- c 165.- b 166.- a 167.- c 168.- d 169.- b 170.- b 171.- d 172.- a 173.- d 174.- c 175.- c 176.- b 177.- c 178.- b 179.- d 180.- c 181.- d 182.- b 183.- b 184.- d 185.- c 186.- a 187.- a 188.- b 189.- c 190.- a 191.- d 192.- a 193.- c 194.- d 195.- a 196.- b 197.- c 198.- b 199.- b 200.- a 2. Problemas para Razonamiento Matemático En este capítulo se presentan cerca de 160 ejercicios que fueron empleados en el instrumento para incrementar el índice de ingreso al nivel superior de la Escuela Bachilleres “Experimental”. Se resolvieron la mitad de los ejercicios, tal cual se presenta en este capítulo, mientras que el resto de ellos se propusieron para su solución individual. 2.1. Razonamiento Matemático Definiremos una situación problemática como un espacio de interrogantes que posibilite, tanto la conceptualización como la simbolización y aplicación significativa de los conceptos para plantear y resolver problemas de tipo matemático. En lo sucesivo aparecerán diversas cuestiones que intentan desarrollar habilidades de lectura, comprensión, planteamiento y elección – solución, mediante situaciones que tienen alguna relación con las matemáticas. Los mecanismos para resolver son muy diversos. Prácticamente todos los problemas encuentran solución mediante procedimientos matemáticos, sin embargo, los requisitos pueden no ser del nivel medio superior, por lo cual se ha presentado una solución idónea para el nivel preuniversitario. En particular, en algunos casos procederemos mediante las posibles respuestas, eligiendo e intentando mostrar, mediante diversos argumentos, si es o no correcta la respuesta elegida. Por último se señala que este material tiene un diseño basado en problemas resueltos y problemas propuestos. Una vez expuestos los primeros, el estudiante debe tener la habilidad para hallar solución a los segundos. Es inútil el desarrollo de habilidades sin al menos intentar cada uno de los problemas que aparecen en la sección de problemas propuestos. 2.2. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES LINEALES. 2.2.1. Problemas sin opción múltiple 1. Un número es equivalente al cuádruplo de otro y la suma de ellos es 80. Halle ambos números. Solución: El problema consiste en hallar un par de números que tienen una relación numérica entre sí. Como ambos números son desconocidos asignaremos variables cualesquiera para proceder. Sean x y y el par de números buscados. El enunciado, “la suma de ambos es 80”, implica necesariamente la ecuación x + y = 80 . Sin embargo, el problema en su primer enunciado define que “un número es igual al cuádruplo de otro”. Así, deberíamos entender que el cuádruplo de y es 4 veces y , en otros términos, 4 y . Volviendo al enunciado del problema se genera la ecuación x = 4 y . El proceso que ha concluido hasta el momento ha sido el de la lectura – comprensión. Enseguida, en virtud de las ecuaciones generadas, procederemos a plantear el problema. “Un número es igual al cuádruplo de otro” implica que x = 4 y y “la suma de ambos es 80” implica la ecuación x + y = 80 . Ahora bien, para hallar los números tendremos que ejecutar algún proceso algebraico. La sugerencia es sustituir el valor de la variable x , en la ecuación x + y = 80 , para luego despejar la variable y , es decir, x + y = 80 4 y + y = 80 5 y = 80 y= 80 5 y = 16 El proceso ha determinado el valor y = 16 , sin embargo resta encontrar el valor de x , puesto que son los números buscados. De manera sencilla se puede sustituir el valor de y en la ecuación x = 4 y , esto es, x = 4(16) x = 64 Evidentemente la suma de ambos números corresponde a 80, y el primero, 64, es el cuádruplo del segundo, 16. Por lo tanto, los números buscados son 64 y 16. 2. Raúl tiene 14 años menos que David y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada uno? Solución: El problema deberá concluir una vez que se determinen las edades de los dos individuos en cuestión. Para comenzar debemos asignar variables algebraicas a cada uno de ellos. Sean r la edad de Raúl y d la edad de David. En el enunciado es necesario comprender que David es mayor de edad que Raúl. De hecho que su diferencia de edades es 14 años. Así, en un ejemplo numérico, si David tiene 24 años entonces Raúl debe tener 10 años. Por otra parte, la suma de las edades de Raúl y David debe ser 56. Ahora bien, para plantear el problema debemos establecer una relación entre las variables que corresponda a lo que se lee en el enunciado. La primera oración del problema, “Raúl tiene 14 años menos que David”, implica algebraicamente la ecuación r +14 = d , o bien r = d − 14 . Además, “La suma de las edades es 56”, genera la ecuación r + d = 56 . Después de haber planteado el problema, se debe continuar con la solución del mismo. En este caso tenemos un par de ecuaciones lineales que se podrían representar, sustituyendo el valor de la variable d en la ecuación r + d = 56 , mediante r + ( r + 14) = 56 , que es la ecuación lineal a resolver. Algebraicamente el proceso es simple, hay que despejar la variable única que aparece en la ecuación, es decir, r + ( r + 14) = 56 r + r + 14 = 56 2r + 14 = 56 2r = 56 − 14 2r = 42 r= 42 2 r = 21 Para terminar, habrá que sustituir el valor numérico de la variable r en la ecuación r +14 = d , la cual generará el valor de la variable d que corresponde a la edad de David. El proceso es el siguiente: r + 14 = d 21 +14 = d 35 = d Según la asignación de variables propuesta, la edad de Raúl es 21 años y la edad de David es 35 años. Es importante verificar que las condiciones del problema se cumplan, en este caso es evidente que la suma de ambas edades es 56 años, y que Raúl es 14 años menor que David. 3. Un número es más grande que otro en 7 unidades. El doble del mayor excede al triple del menor en 2. Hallar ambos números. Solución: En este caso la solución del problema es un poco más complicada. Lo leído indica que debemos hallar un par de números, que llamaremos a y b , en donde uno de ellos es mayor que el otro. Sea a el mayor de los números buscados y b el menor de ellos. La lectura permite determinar que el mayor de los números lo es en 7 unidades. Para comprender esa frase, es conveniente ejemplificar numéricamente. Si el mayor de los números es 10 entonces el menor de ellos debe ser 3, puesto que el mayor es “más grande” en 7 unidades. En términos algebraicos podríamos decir que a = b + 7 o bien que a − 7 = b , ambas ecuaciones son equivalentes según el ejemplo anterior. La dificultad del problema consiste en comprender el segundo enunciado. Recordemos que a es el mayor de los números y b el menor. Así, el doble del mayor, 2a , excede o es más grande que el triple del menor, 3b , en 2 unidades. Esto, en términos algebraicos, representa que 2a − 2 = 3b o bien que 2a = 3b + 2 . Podemos plantear entonces el problema a partir de un par de ecuaciones, que serían a = b + 7 y 2a − 2 = 3b . Para hallar los números debemos, de la misma forma que en los casos anteriores, sustituir el valor de la variable a en la segunda ecuación 2a − 2 = 3b , esto es, 2a − 2 = 3b 2(b + 7) − 2 = 3b 2b + 14 − 2 = 3b 12 = 3b − 2b 12 = b Para determinar el valor de a , debemos trabajar con la ecuación a = b + 7 , sustituyendo el valor numérico que hemos encontrado, es decir, a =b+7 a = 12 + 7 a = 19 Los números buscados son 19 y 12. El primero es mayor que el segundo en 7 unidades. Además el doble del mayor, 38, excede o es más grande, que el triple del menor, 36, en 2 unidades, lo cual se observa de manera clara. 4. Hallar tres números enteros consecutivos, cuya suma sea 204. Solución: Para resolver este problema es importante recordar que números enteros son todos aquellos de la colección Z = {− ∞,...,−3,−2,−1,0,1,2,3,..., ∞} . Por otra parte, debemos hallar tres números de dicha colección que cuenten con la característica de ser consecutivos. Ejemplificando, tendríamos que un número entero consecutivo a 3 sería 4, consecutivo a 10 sería 11, consecutivo a 533 sería 534. Sin embargo, ¿cuál sería un número entero consecutivo a –10? Según el orden establecido, si pensamos en –11 entonces se generaría un error. Observemos que el consecutivo siempre se encuentra a la “derecha”, pensando en la recta numérica. Esto significa que el entero consecutivo a –10 es –9, de la misma forma, el consecutivo a –533 es –532. Una vez que se ha comprendido el concepto de número entero consecutivo procederemos a plantear algebraicamente. Sea x el primer número entero. Así para generar el siguiente debemos agregar la unidad, es decir, si el número consecutivo a 14 es 14 + 1 entonces el número entero consecutivo a x sería x + 1 . De la misma forma, el consecutivo a x + 1 , sería x + 2 . Esto implica que x , x + 1 , x + 2 , son números enteros consecutivos. Recordando el enunciado inicial, la suma de x , x + 1 , x + 2 , debe ser igual a 204, lo cual indica que la ecuación lineal que se deberá resolver es x + ( x + 1) + ( x + 2) = 204 . El proceso algebraico se indica en seguida. x + ( x + 1) + ( x + 2) = 204 x + x + 1 + x + 2 = 204 3x + 3 = 204 3x = 204 − 3 3x = 201 x= 201 3 x = 67 Los tres números buscados serían 67, 68 y 69. La suma de ellos corresponde a 204, como se exigen en el problema y evidentemente son números enteros consecutivos. 2.2.2 Problemas con opción múltiple. En esta sección se presentarán cinco opciones de respuesta para cada caso, tal y como aparecerán en la mayoría de los exámenes de selección al nivel superior. En algunos casos se partirá de las soluciones para determinar cuál es la correcta. Debemos observar lo conveniente que puede ser resolver un problema en virtud de sus soluciones. 5. Diana tiene 6 monedas más de 25 centavos que de 10 centavos. Si Diana junta el total de monedas obtiene $ 9.20, ¿cuántas monedas tiene de cada clase? a) 22 monedas de 10 centavos y 28 de 25 centavos b) 22 monedas de 25 centavos y 28 de 10 centavos c) 25 monedas de 10 centavos y 10 de 25 centavos d) 28 monedas de 10 centavos y 22 de 15 centavos e) 20 monedas de 10 centavos y 26 de 25 centavos Solución: En este caso hablamos de un par de monedas que definiremos en seguida. Sea x el número de monedas de 10 centavos, así x + 6 , será el número de monedas de 25 centavos, puesto que Diana tiene 6 más de 25 centavos que de 10. Ahora bien, en el enunciado, la cantidad económica que Diana tiene, $ 9.20 (o bien 920 centavos), se obtiene a partir de la suma del total de monedas, esto es, 10( x ) + 25( x + 6) = 920 . El planteamiento del problema corresponde a la ecuación 10( x ) + 25( x + 6) = 920 , que se resuelve mediante el siguiente proceso algebraico. 10 x + 25x + 150 = 920 35x + 150 = 920 35x = 920 − 150 35x = 770 x= 770 35 x = 22 Lo que hallamos es el número de monedas de 10 centavos que Diana tiene. Ahora como x + 6 es el número de monedas de 25 centavos, entonces se deduce dicho número sustituyendo, esto es, x + 6 = 22 + 6 = 28 Por lo tanto Diana tiene 22 monedas de 10 centavos, y 28 monedas de 25 centavos. Es claro que hay 6 monedas más de 25 centavos que de 10 centavos y que 22 monedas de 10 centavos hacen $ 2.2, mientras que 28 monedas de 25 centavos forman $ 7.0, lo cual suma la cantidad final de Diana $ 9.2. 6. Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor es igual a un quinto del mayor. a) 16 y 12 b) 25 y 21 c) 20 y 16 d) 20 y 18 e) 24 y 20 Solución: Sean a y b dos números enteros. Si uno supera a otro entonces podremos establecer que a es mayor que b . Así la frase “un entero supera en 4 a otro” representaría la ecuación a − 4 = b . Por otra parte se lee que “un cuarto del menor”, es decir, mayor”, esto es, 1 b , es igual a “un quinto del 4 1 1 1 a . En términos algebraicos, podríamos establecer que b = a . 5 4 5 El par de ecuaciones que plantean el problema pueden ser a−4=b y b a = . Ahora 4 5 bien, el proceso para determinar las soluciones a este problema consiste en sustituir el valor de la variable b , en la igualdad b a = . En seguida el método. 4 5 b a = 4 5 a−4 a = 4 5 5( a − 4) = 4a 5a − 20 = 4a 5a − 4a = 20 a = 20 Hemos determinado el valor del mayor de los números buscados. Para hallar el otro valor sustituiremos en a − 4 = b . 20 − 4 = b b = 16 Por lo tanto los números buscados son 20 y 16, el primero supera en 4 al otro, y un cuarto del menor es igual a un quinto del mayor. 7. Isabel tiene actualmente la mitad de la edad de Olivia, y dentro de doce años tendrá 5 de la que Olivia tenga entonces. ¿Cuáles son las edades actuales de 6 Isabel y Olivia? a) 3 y 6 años b) 6 y 3 años c) 4 y 7 años d) 5 y 8 años e) 12 y 15 años Solución: De manera similar a los casos anteriores definiremos las edades de Isabel y Olivia a partir de una variable. Sea x la edad de Isabel. Luego, la edad de Olivia será 2 x , puesto que Isabel tiene la mitad de años respecto a Olivia. Por su parte dentro de doce años dichas variables cambiarán por x + 12 para Isabel, y 2 x + 12 para Olivia. Para plantear el problema correctamente habrá que considerar el dato que menciona “dentro de doce años, Isabel, tendrá x + 12 = 5 de la edad de Olivia”, así la igualdad que resulta es 6 5 (2 x + 12) , 6 Procederemos a la solución de dicha ecuación. Hallaremos el valor de x , que corresponde a la edad de Isabel. x + 12 = 5 (2 x + 12) 6 x + 12 = 10 x + 60 6 6 x + 72 = 10 x + 60 72 − 60 = 10 x + 6 x 12 = 4 x 12 =x 4 3= x Por lo tanto la edad de Isabel es 3 años, y la edad de Olivia corresponderá a 6 años puesto que Isabel tiene la mitad de años que Olivia. Debemos pues señalar como correcta la respuesta del inciso a. 8. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pulgadas. Determinar el área del triángulo si su base es de 8 pulgadas menos que el doble de su altura. a) 86 in2 b) 126 in2 c) 116 in2 d) 106 in2 e) 96 in2 Solución: En este caso la solución requiere saber la base del triángulo y su altura para después sustituir en la fórmula correspondiente al área. Llamaremos a y b , altura y base respectivamente. La suma de a y b corresponde a 28, lo cual algebraicamente significa que a + b = 28 . Por otra parte, la base b , es 8 pulgadas menos que 2a , lo cual genera la ecuación b = 2a − 8 . El proceso algebraico es similar a los casos anteriores. a + b = 28 a + ( 2a − 8) = 28 a + 2a − 8 = 28 3a = 28 + 8 3a = 36 a= 36 3 a = 12 La base del triángulo se determina de la siguiente forma: b = 2a − 8 b = 2(12) − 8 b = 24 − 8 b = 16 Por lo tanto, la altura del triángulo es 12 pulgadas y la base es igual a 16 pulgadas. Sin embargo el problema exige calcular el área, para lo cual recordaremos que A= (16)(12) = 96 . 2 El área del triángulo es igual a 96 pulgadas cuadradas, debemos marcar la respuesta del inciso e. 9. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la de en medio 18 años menos que la mayor. Hallar las respectivas edades. a) 44, 26, 24 b) 40, 22, 20 c) 42, 24, 22 d) 48, 20, 20 e) 46, 24, 18 Solución: En este caso la solución es más complicada puesto que debemos hallar tres datos según el enunciado. Para plantear el problema definiremos las variables a, b, c , para las edades de las tres personas. Además dichas variables relacionan en orden al mayor, mediano y menor de edad respectivamente. De la primera frase podemos escribir que a + b + c = 88 . En seguida, “la mayor”, es decir, a , tiene 20 años más que la menor, lo cual significa que c = a − 20 . Por último tenemos que la persona de en medio, es decir, b , tiene 18 años menos que la mayor, esto es, b = a − 18 . En la ecuación a + b + c = 88 podemos sustituir el resto de las ecuaciones para generar a + ( a − 18) + ( a − 20) = 88 , que debemos solucionar para hallar la mayor de las edades. a + a − 18 + a − 20 = 88 3a − 38 = 88 3a = 88 + 38 3a = 126 a= 126 3 a = 42 . La mayor de las personas tiene 42 años de edad, la de en medio, b , tiene b = 42 − 18 , que corresponde a 24 años, y por último la menor de las tres personas, que se representa con la letra c , tiene c = 42 − 20 , que corresponde a 22 años. El inciso que responde correctamente este problema es el inciso c, donde las edades respectivas son 42, 24 y 22 años. 10. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. El mayor excede al menor en 35° y el menor excede en 20° a la diferencia entre el mayor y el mediano. Hallar los ángulos. a) 80°, 35°, 65° b) 70°, 55°, 55° c) 80°, 55°, 45° d) 70°, 65°, 45° e) 70°, 45°, 150° Solución: Para este problema, relacionado con ecuaciones lineales, procederemos a responder a partir de las soluciones propuestas. Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso c. La siguiente tabla permite ilustrar de mejor manera el mecanismo. Condición Planteamiento numérico Se cumple La suma de ángulos internos 80 + 55 + 45 = 180 de un triángulo es 180°. El mayor, 80, excede al 80 – 45 = 35 menor, 45, en 35. Se cumple 80 excede en 35 a 45 El menor excede en 20 a la 80 – 55 = 25 diferencia entre 80 y 55. Se cumple 45 excede en 20 a 25 Luego, dado que las tres condiciones del problema se satisfacen, debemos señalar como correcta la respuesta del inciso c. En los incisos a, b, d, y e siempre la diferencia entre el mayor y el menor es diferente de 35° lo cual respalda la respuesta del inciso c. 2.3 PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES CUADRÁTICAS. En esta sección nos dedicaremos a plantear problemas mediante la ecuación general de segundo grado. Lo novedoso es interpretar las soluciones que se generan puesto que en cualquier caso hallaremos un par de ellas. Para resolver, debemos generar una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 , y posteriormente determinar alguno de los métodos de solución para dicha ecuación. 11. La suma de dos números naturales es 17. La diferencia de sus cuadrados supera en 19 al producto de los números. Determine ambos números. a) 12 y 5 b) 10 y 7 c) 9 y 8 d) 11 y 6 e) 13 y 4 Solución: Definamos x, y como dos números naturales cualquiera. Como la suma de ellos es 17, sin más, podemos expresar tal situación mediante x + y = 17 . La diferencia entre sus cuadrados, es decir, x 2 − y 2 , supera en 19 al producto de los números, xy , lo cual queda expresado a partir de la ecuación x 2 − y 2 = xy + 19 . La igualdad anterior plantea el problema, el proceso algebraico se expone a continuación. De la expresión x + y = 17 podemos despejar una variable, y = 17 − x . Dicho despeje se deberá sustituir en la ecuación x 2 − y 2 = xy + 19 , esto es, x 2 − y 2 = xy + 19 x 2 − (17 − x) 2 = x(17 − x) + 19 x 2 − (289 − 34 x + x 2 ) = 17 x − x 2 + 19 x 2 − 289 + 34 x − x 2 = 17 x − x 2 + 19 x 2 + 34 x − x 2 + x 2 − 17 x = 19 + 289 x 2 + 17 x = 308 x 2 + 17 x − 308 = 0 La última ecuación, x 2 + 17 x − 308 = 0 , es la que plantea correctamente el problema. Ahora bien, para resolverla utilizaremos la fórmula general de segundo grado, x= − b ± b 2 − 4ac , en donde sustituiremos los valores a = 1, b = 17, c = −308 , que 2a corresponden a los coeficientes de la igualdad inicial. − (17) ± (17) 2 − 4(1)(−308) x= 2(1) x= − 17 ± 208 + 1232 2 x= − 17 ± 1521 2 x= − 17 ± 39 2 x1 = − 17 + 39 22 = = 11 2 2 x2 = − 17 − 39 − 56 = = −28 2 2 Existen dos valores de x y debemos escoger sólo uno de ellos. Para ello recordemos que estamos en búsqueda de dos números naturales, es decir, mayores que cero, lo cual implica que habría que desechar x 2 = −28 , puesto que no es un número natural. Así, uno de los números es 11 y el otro se obtiene por sustitución en la igualdad y = 17 − x , generando el número 6. Ambos números suman 17, y la diferencia de sus cuadrados, 112 − 6 2 = 121 − 36 = 85 , supera en 19 al producto de los números, (11)(6) = 66 , lo cual se comprueba fácilmente. Debemos señalar como correcta la respuesta del inciso d. 12. La diferencia de las edades de Pedro y Jorge es 9. Pedro es el mayor y se sabe que la suma de los cuadrados de las edades es igual a 305. Hallar las edades de Pedro y Jorge. a) 7 y 16 años b) 16 y 7 años c) 12 y 3 años d) 15 y 8 años e) 8 y 15 años Solución: Sea p la edad de Pedro y j la edad de Jorge, así p − j = 9 . Se sabe además que Pedro es el mayor, por eso escribimos p − j = 9 y no j − p = 9 dado que obtendríamos una diferencia negativa. Por otra parte el enunciado “la suma los cuadrados de las edades es 305”, representa la igualdad p 2 + j 2 = 305 . Así, podemos sustituir el despeje p = 9 + j , de la siguiente forma: p 2 + j 2 = 305 (9 + j ) 2 + j 2 = 305 81 + 18 j + j 2 + j 2 = 305 En seguida simplificaremos la ecuación hasta llegar a una del tipo ax 2 + bx + c = 0 81 + 18 j + 2 j 2 = 305 2 j 2 + 18 j + 81 − 305 = 0 2 j 2 + 18 j − 224 = 0 Esta ecuación puede simplificarse aún más dividiendo entre 2 cada término, generando la igualdad j 2 + 9 j − 112 = 0 , en donde a = 1, b = 9, c = −112 . Para resolver dicha ecuación utilizaremos nuevamente la fórmula general de segundo grado, j = − b ± b 2 − 4ac , sustituyendo los valores que acabamos de definir. 2a − (9) ± (9) 2 − 4(1)(−112) − 9 ± 81 + 448 − 9 ± 529 − 9 ± 23 j= = = = 2(1) 2 2 2 j1 = − 9 + 23 14 = =7 2 2 j2 = − 9 − 23 − 32 = = −16 2 2 Es importante señalar que la edad de Jorge no puede ser –16 años, por lo cual esa solución se descarta. Por lo tanto la edad de Jorge es 7 años y la edad de Pedro, se obtiene por sustitución en la ecuación p = 9 + j , generando que Pedro tiene 16 años de edad. Es importante señalar que las condiciones del problema se satisfacen, es decir, Pedro es mayor que Jorge en 7 años, y la suma de los cuadrados de los edades es 305, es decir, 16 2 + 7 2 = 305 . Habrá que señalar como correcta la respuesta del inciso b. 13. Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor equivale a 3/10 del número intermedio. a) 5, 6, 7 b) 4, 5, 6, c) 6, 7, 8 d) 2, 3, 4 e) 1, 2, 3 Solución: Según el problema 4, tres números consecutivos son x, x + 1, x + 2 . Habrá que señalar que el mayor de ellos sería x + 2 , el intermedio x + 1 , y el menor x . Así, el cociente entre el mayor y el menor, es decir, 3 x+2 , es igual a tres décimos del intermedio, ( x + 1) . 10 x En términos algebraicos tendríamos la ecuación x+2 3 = ( x + 1) , que se transforma a 10 x una cuadrática mediante el siguiente proceso. x + 2 3x + 3 = x 10 10( x + 2) = x (3 x + 3) 10 x + 20 = 3 x 2 + 3 x 0 = 3 x 2 + 3 x − 10 x − 20 0 = 3 x 2 − 7 x − 20 3 x 2 − 7 x − 20 = 0 Utilizando la fórmula general definiendo a = 3, b = −7, c = −20 , soluciones, a saber, x1 = 4 y x 2 = se obtienen dos − 10 . Ahora, para elegir la adecuada debemos señalar 12 que no existe un número consecutivo al propuesto en la fracción, mientras que por el contrario si lo hay para 4. Por lo tanto los números buscados son 4, 5 y 6, que aparecen en el inciso b. Se verifica también que el cociente entre el mayor y el menor, 3 6 6 15 , equivale a (5) , es decir, = , 10 4 4 10 lo que asegura la solución como correcta. 14. Una persona compró cierto número de libros por $180. Si hubiera comprado seis libros menos por el mismo dinero entonces cada libro le habría costado $1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno? a) 63, $5 Solución: b) 5, $63 c) 5, $36 d) 36, $5 e) 32, $4 Sea x el número de libros que compró la persona en cuestión. El costo de cada libro será 180 puesto que de haber comprado 10 libros entonces cada uno de ellos le habría x costado $ 18. Algebraicamente tendríamos que si hubiera comprado seis libros menos por el mismo dinero, 180 180 , entonces, cada libro le habría costado un peso más, +1. x−6 x La ecuación que se genera, resolviendo la suma de fracciones 180 180 180 + x , + 1 , es = x x−6 x la cual debe reducirse hasta llegar a una de segundo grado. x (180) = ( x − 6)(180 + x ) 180 x = x 2 + 174 x − 1080 0 = x 2 + 174 x − 180 x − 1080 0 = x 2 − 6 x − 1080 x 2 − 6 x − 1080 = 0 En este caso utilizaremos el método por factorización para generar el resultado. Debemos hallar un par de números que multiplicados sean –1080 y sumados sean –6 , esto es, x 2 − 6 x − 1080 = ( x − 36)( x + 30) . Por lo tanto las dos soluciones que surgen, igualando a cero cada factor, son x1 = 36 y x 2 = −30 . Sin embargo es imposible comprar –30 libros por lo que se debe descartar la segunda opción. Así el número de libros comprado fue 36, y su costo, dividiendo 180 entre 36, es de $ 5. Lo cual aparece en la respuesta del inciso d. Debemos notar que la respuesta del inciso c es similar pero incorrecta. En ese caso se compraron 5 libros de 36 pesos, ¿qué pasaría si compramos seis libros menos? Es imposible comprar –1 libro por lo que la respuesta se descarta, quedando como única respuesta la del inciso d. 15. Una excursión costó $ 300. Si hubieran ido 3 estudiantes menos entonces el costo por estudiante habría sido de $ 5 más, ¿cuántos estudiantes fueron a la excursión? a) 15 b) 16 c) 12 e) 14 f) 20 Solución: Sea w el número de estudiantes que fueron a la excursión. Si suponemos que fueron 10 estudiantes entonces el costo para cada uno de ellos sería de $ 30, en otros términos, 300 , sería el costo por estudiante en la excursión. w Por otra parte si hubieran ido 3 estudiantes menos, es decir, w − 3 , entonces el costo por estudiante, 300 300 , habría sido $ 5 más, + 5. w−3 w Algebraicamente tendríamos la igualdad 300 300 + 5w que se justifica resolviendo la = w−3 w suma de fracciones indicada. Ahora bien, el proceso para determinar el valor de la variable es idéntico a los casos anteriores. 300 300 + 5w = w−3 w 300 w = ( w − 3)(300 + 5w) 300 w = 5w 2 + 285 w − 900 0 = 5w 2 + 285 w − 300 w − 900 0 = 5w 2 − 15 w − 900 5w 2 − 15 w − 900 = 0 Esta última ecuación puede simplificarse dividiendo entre 5 cada término, resultando w 2 − 3w − 180 = 0 Utilizando el método por factorización, la expresión w 2 − 3w − 180 = ( w − 15)( w + 12) , lo cual genera el par de soluciones correspondientes a la ecuación de segundo grado, w1 = 15 y w2 = −12 . La interpretación de ambas soluciones diría que no es posible que vayan –12 estudiantes a la excursión. Por lo tanto el número de estudiantes es de 15, de hecho cada uno paga un total de $20. La respuesta correcta es la del inciso a. 16. Un caballo costó cuatro veces lo que sus arreos y la suma de los cuadrados del precio del caballo y el precio de los arreos es $ 860625. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto los arreos? a) C $900, A b) C $720, A c) C $860, A d) $225 $180 $215 C$1400, e) C $225, A A$350 $900 Solución: Para el último caso relacionado con las ecuaciones cuadráticas utilizaremos las respuestas para determinar cuál es la correcta. Supongamos que la respuesta correcta es la del inciso a. Así el caballo costaría $ 900 y los arreos $ 225. La siguiente tabla permitirá demostrar si es o no correcta la respuesta del inciso a. Condición Planteamiento numérico El caballo cuesta cuatro veces (4)(225) = 900 Se cumple lo que sus arreos La suma de sus cuadrados es $ (900)2 + (225)2 = 810000 + 50625 860625 Se cumple 860625 Como ambas condiciones se satisfacen podemos estar seguros que la respuesta es la del inciso a. Sin embargo la respuesta del inciso e, parece tener la misma información, veamos mediante el mismo mecanismo si se cumplen las hipótesis del problema. En la respuesta del inciso e, el caballo cuesta $ 225 y sus arreos cuestan $ 900 Condición Planteamiento numérico El caballo cuesta cuatro veces (4)(900) = 225 lo que sus arreos Error (4)(900) = 3600 La suma de sus cuadrados es (900)2 + (225)2 = 810000 + 50625 $ 860625 No se cumple Se cumple 860625 Luego de la información presentada en las tablas se tiene que la respuesta correcta es la del inciso a. Recordemos que la respuesta es única, lo que indica que una vez que se encontró la correcta puede detenerse la búsqueda. 2.4 PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON GEOMETRÍA. Para los casos geométricos es fundamental lograr un esquema de la situación. En caso que éste se presente como parte del problema habrá que observar detenidamente y aceptar como cierta cualquier inferencia que se haga sobre el dibujo. Las aplicaciones que son frecuentes para solucionar estos casos se relacionan con conceptos básicos como el teorema de Pitágoras, semejanza de triángulos, etc. 17. En la figura se muestran dos torres, A y B, la separación entre ambas es de 42 m. Ambas tienen un reflector que les permite buscar a los presidiarios cuando se fugan. Si un presidiario es localizado en la línea que une las torres. ¿Qué distancia habrá de la torre B al punto donde fue localizado, para que los triángulos sean semejantes? D 30m 18m θ A a) 15.8 m b) 18.0 m c) 21.0 m C E θ B 42m d) 26.2 m e) 30.0 m Solución: En este caso la figura y las soluciones serán muy útiles para definir la situación de manera correcta. El triángulo DAC es rectángulo y de la misma manera lo es el triángulo EBC. Además los mismos triángulos comparten un ángulo en C, que tiene la misma medida. Lo que hemos demostrado hasta el momento es que los triángulos tienen dos ángulos iguales, lo cual asegura que son semejantes. Por su parte podemos establecer una relación entre sus lados, de tal forma que si ∆ DAC ≅ ∆ EBC entonces AD AC DC . = = BE BC EC Observando la figura es posible determinar que el segmento AD mide 30 metros, es decir, la altura de la torre A, y que el segmento BE mide 18 metros, altura de la torre B. Ahora verificaremos si la respuesta puede ser la del inciso a. Si dicho inciso es correcto entonces la medida del segmento BC sería 15.8 metros y como consecuencia la medida del segmento AC sería 26.2 metros, lo cual surge de restar la medida total desde A hasta B, 42 metros, y la medida del segmento AC . Por otra parte, como las razones entre lados de triángulos semejantes son iguales tendríamos que AD 30 AC 26.2 , es decir, 1.66, debería ser igual al cociente , que = = BE 18 BC 15.8 corresponde a 1.658. Por lo tanto, como los cocientes son iguales y hablamos de triángulos semejantes podemos aceptar que la distancia de B hasta donde fue localizado el presidiario es 15.8 metros. La respuesta correcta es la del inciso a. 18. Se tiene el triángulo isósceles ABC, cuyos lados son: AB=4m, BC=6m, AC=6m. Se tiene que el segmento DE que es paralelo a AB, la altura es perpendicular a la base, E y F son puntos medios de BC y BA respectivamente. ¿Cuánto tiene de longitud el segmento DE? C G 6m D F 4m A a) 1.0 m b) 2.0 m c) 2.5 m 6m E d) 3.0 m B e) 3.2 m Solución: Los dos ángulos que tienen medidas iguales son el ∠ AFC para el primer triángulo, y el ∠ DGC para el segundo triángulo. Además se determina según la definición de ángulos internos que la medida de ∠ FAC es la igual a la medida de ∠ GDC. Luego entonces, los triángulos AFC y DGC son semejantes dado que hemos mostrado un par de ángulos iguales. De la misma manera que el problema anterior, podemos escribir que si ∆ AFC ≅ ∆ DGC, lo cual se verificó anteriormente, entonces AF FC AC . = = DG GC DC Según se observa en la figura, la medida del AF sería 2 metros puesto que F es el punto medio del segmento AB. Además la medida de AC es 6 metros, lo cual implica que el segmento DC mide 3 metros, ya que D divide en partes iguales al segmento AC. Luego la ecuación AF AC = DG DC generará el valor del segmento DG, que es la mitad del segmento DE. Sustituyendo valores llegamos a la ecuación 2 6 = , de donde DG es igual DG 3 a 1, por lo que el segmento DE mide 2 metros. Debemos marcar como correcta la respuesta del inciso b. 19. En una circunferencia si se unen 2 puntos se forman 2 regiones, si se unen 3 puntos, de las diferentes maneras posibles, se forman 4 regiones. ¿Cuántas regiones se forman si se unen 5 puntos cualquiera de todas las formas posibles? a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 16 Solución: Se verifica que si se unen dos puntos de una circunferencia entonces se forman dos regiones. A Región 1 Región 2 B Bajo el mismo argumento debemos dividir la circunferencia a partir de 5 puntos en donde cada punto esté unido con el resto, posteriormente contar cada región. Llamaremos a los puntos A, B, C, D y E, y colocaremos un número en cada región. C 1 B 2 6 12 3 13 5 4 7 14 D 9 15 8 A 10 16 11 E Por lo tanto se forman 16 regiones si se unen 5 puntos de todas las formas posibles dentro de una circunferencia. La respuesta correcta es la del inciso e. 20. En la figura mostrada GI es paralela JK , calcular el perímetro del polígono formado por los segmentos HI , IJ , JK y KH . I J 3 2 G 2 2 H K 4 C 4 A 1 F B 2 2 E a) 2 2 Solución: b) 3 2 c) 3 + 2 2 3 d) 4 + 2 2 D e) 6 + 4 2 Es claro que el perímetro del polígono se determinará sumando las medidas de los lados HI , IJ , JK y KH . Según se observa, el lado JK tiene una medida igual a 2 2 . Para determinar las medidas de los lados IJ y KH , en la figura propuesta trazaremos un eje de simetría. I J 3 2 G 2 2 H K 4 C 4 A 1 F B 2 2 E 3 D Dicho eje nos permite observar que el segmento ED mide lo mismo que el IJ . Además, que IJ es igual a KH , por lo que resta sólo un valor por determinar, el de HI . Sin embargo, como la figura en cuestión es un paralelogramo, podemos decir, sin temor a equivocarnos, que HI mide 2 2 . Por lo tanto la medida de los lados que forman al paralelogramo KHIJ , son: IJ = 3 JK = 2 2 KH = 3 HI = 2 2 El perímetro se obtendrá mediante la suma de los lados, lo cual corresponde al siguiente procedimiento. IJ + JK + KH + HI = 3 + 2 2 + 3 + 2 2 = 6 + 4 2 . La respuesta correcta aparece en el inciso e. 21. El triángulo ABC es isósceles, su base es 4 y sus lados son iguales a 2 2 , las mediatrices a los lados AB y BC cortan a estos en los puntos D y E. Las mediatrices se cortan en el punto F, que es punto medio de AC y a su vez es el centro del círculo que es tangente a los lados AB y BC , en los puntos D y E. ¿Cuánto vale el área de este círculo? B E D F A a) πu2 b) 3/2πu2 C d) 4πu2 c) 2πu2 e) 8πu2 Solución: Para hallar el área de un círculo debemos saber primero su radio. Procederemos a determinarlo. El primer mecanismo consiste en observar que DBCG forman un paralelogramo, en donde BC es paralelo a DG y DB es paralelo a CG. En la figura faltaría agregar una siguiente línea. B E D A F C G Las líneas BC y DG tendrían la misma medida, es decir, 2 2 , puesto que el segmento BC es uno de los lados del triángulo isósceles. Por otra parte, como F pasa por el segmento DG y es el centro de la circunferencia, entonces podemos asegurar que el segmento DF sería igual a al FG, en otros términos, que el radio de la circunferencia sería igual a la mitad de segmento DG. Esto indica que DF = r = DG 2 2 = = 2 2 2 Luego, el área del círculo está dada por la fórmula A = πr 2 , de donde surge el valor 2π u2, que aparece en el inciso c. 22. En la figura se muestra el triángulo rectángulo en B. El punto M bisecta al lado AB y los puntos P y Q trisectan al lado BC . Si A C es el área del círculo centrado en M y A T es el área del triángulo ABC, encuentra la afirmación que las compara correctamente. Nota: todas las circunferencias tienen el mismo diámetro. A M B a) A C > A T b) A C = 1 AT 3 c) A C < A T P Q d) A C = A T C e) A C = 1 AT 2 Solución: Asignemos un valor numérico al segmento MB para proceder. Sea MB = 2. Así el radio de la circunferencia con centro en M sería precisamente 2, lo que indica que el área de la misma circunferencia sería Ac = πr 2 = (3.14)( 2) 2 = (3.14)(4) = 12.56 unidades cuadradas. Por su parte el triángulo tiene una base que corresponde al triple del radio de la circunferencia centrada en M ya que todas las circunferencias tienen el mismo diámetro. Por lo tanto la base del triángulo es 6 unidades, mientras que su altura corresponde a la medida del segmento AB, que según se observa es 4. ba (6)(4) 24 = = = 12 unidades cuadradas. 2 2 2 Luego, AT = Lo que hemos probado se satisface para cualquier caso numérico. Esto indica que el área del círculo es mayor que el área del triángulo. Por lo tanto la respuesta correcta se encuentra en el inciso a, AC > AT . 23. En el trapecio irregular ABCD el ángulo ADC es el doble del ángulo ABC. Los lados AB, CD y DA miden a, c y d respectivamente. ¿Cuánto mide el lado BC? A d D a c B C a) BC = d + b b) BC = a + b c) BC = d + c d) BC = d + d e) BC = d + a Solución: Tracemos una recta paralela al segmento AB, y llamémosla DP. Además x será el ángulo interno en B. En la figura original debemos agregar la siguiente información. A d D a B c x C P Según la construcción, las rectas AB y DP son rectas paralelas, lo cual implica que el ∠ABC = ∠DPC. Por otra parte, la clasificación de ángulos menciona que ángulos alternos internos tienen la misma medida, alternos respecto a la diagonal (recta DP) e internos respecto a las rectas AD y BC. En la figura tendríamos tres ángulos que tienen ya la misma medida, los denotados con la letra x. d x aA x D c x B C P Según el enunciado original el ángulo ADC es el doble del ángulo ABC, por lo tanto si el segundo se ha llamado x entonces el primero tendría que llamarse 2x. Luego, hemos probado que el triángulo DPC tiene dos ángulos iguales, a saber ∠DPC y el ∠CDP, lo cual indica que dicho triángulo es isósceles, en donde los lados iguales serían los segmentos CD y CP. Por último, como se puede observar en la figura los segmentos BP y CP miden d y c respectivamente. Así, la respuesta sería que BC = d + c, lo cual aparece en el inciso c. 24. Si el lado del cuadrado más grande mide 4 unidades, ¿cuánto mide el área de la región sombreada? a) 2 u2 b) 10 u2 c) 8 u2 d) 4 u2 e) 8 u2 Solución: Habría varias formas de resolver este problema. Una muy simple sería ordenar los cuadrados de manera que sea más visible su semejanza, es decir, en donde se observa que el lado del cuadrado sombreado corresponde a 2 unidades, lo cual implica que el mismo cuadrado tiene de área 4 unidades cuadradas. Otro camino más formal sería establecer el teorema de Pitágoras para hallar la medida de los lados de cada cuadrado. Por ejemplo, el lado del segundo cuadrado se obtendría mediante la igualdad c2 = 22 + 22 = 8, lo cual implica que el lado tendría por medida c = 8. De manera similar se obtendría la medida del lado del cuadrado sombreado, en donde 2 c2 = 2 ⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞ 8 8 16 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = = 4 + 4 = 4 = 4 , lo cual implica que el lado tendría por medida c = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. Mostrando, nuevamente, que el área de la figura sombreada sería 4 unidades cuadradas. Inciso d. 25. En la figura se tiene que 3DE = 5CB y que 4FG = 5DE. Si AG = 30 cm, la longitud de BE es: A B C E D G F a) 5 cm b) 10 cm c) 48/5 cm d) 72/5 cm e) Ninguna de la anteriores Solución: Como CB || DE || FG, tenemos: ∆ CBA semejante con ∆ DEA semejante con ∆ FGA. Por lo tanto las razones entre los lados correspondientes de cada triángulo mantienen constante su razón, es decir, AE DE = AG FG AB CB = AE DE AE 4 = 30 5 AB 3 = 24 5 AE = 24 cm AB = 72 cm 5 Lo cual implica que BE = AE – AB BE = 24 − 72 48 = cm 5 5 La respuesta correcta aparece en el inciso c. 26. Al trazar las diagonales de un polígono regular de 5 lados, se forma una estrella como en la figura. Entonces el ángulo β mide: d a) 36° e c β b) 45° c) 60° d) 72° e) Ninguna de las anteriores a b Solución: Recordemos que todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia. d e c β a b En este casi, cada uno de los cinco lados del pentágono subtiende arcos de magnitud idéntica a 72°, que resulta de dividir el total, 360°, entre 5. Esto implica que el arco AB mide 72° y además que el arco EC es igual a la suma de los arcos CD + DC, en números se obtiene que el arco EC mide 144°. Para un ángulo β como el de la figura se cumple la fórmula: β= AB + EC 2 β= 72 + 144 216 = = 108° 2 2 (semisuma de los arcos que describe) Luego, la medida del ángulo señalado denotado con β corresponde a 108°, señalando como correcta la respuesta del inciso E. 27. ABCD es un cuadrado de lado a ; por los puntos medios se trazan nuevos cuadrados. Entonces, el área del cuadrilátero sombreado mide: C H D a) a2 8 b) 3a 2 16 G B s E F 5a 2 c) 32 5a 2 d) 8 A e) a2 9 Solución: Los triángulos EAF y DAB son semejantes con proporciones EF EA = , pero DB DA EA 1 = , y que E es punto medio. DA 2 Esto implica que EF = DB a 2 = , lo cual se obtiene también por el Teorema de 2 2 Pitágoras sobre el triángulo AFE. Por otra parte, el cuadrado más pequeño de lado s, tiene diagonal igual a EF, luego s 2 + s 2 = EF 2 ⇒ s = a . 2 La región sombreada, tiene área A, que puede obtenerse como A = áreaABCD Área cuadradododelados de lado s − áreacuadra 4 A= 1 ⎛ 2 a2 ⎜a − 4 ⎜⎝ 4 ⎞ 3 2 ⎟⎟ = a . ⎠ 16 Lo cual indica el área de la región sombreada, señalando la respuesta del inciso b. 2.5 PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON HABILIDAD MATEMÁTICA. En seguida los problemas requerirán de mayor concentración ya que los problemas expuestos elevan su nivel taxonómico. Dejaremos de lado las ecuaciones y dibujos, y se resolverá mediante habilidades y razonamientos matemáticos. La sugerencia es observar siempre el tipo de respuesta que se propone puesto que en la mayoría de los casos esto nos ayudará a determinar la correcta. Además, hay que intentar imaginar cada situación para comprender de mejor manera lo planteado. El primer tipo de problemas a resolver tiene que ver con series numéricas. En cada uno de los siguientes casos la solución consiste en establecer una regla que permita generar el siguiente número. Es importante señalar que dichas reglas se basan, en la mayoría de los casos, en las operaciones básicas, suma, resta, multiplicación y división, la clave es observar cada serie e intentar varias propuestas. La paciencia en estos casos es fundamental. 28. 3, 4, 8, 9, 18, 19... a) 20 b) 36 c) 38 d) 37 e) 35 Solución: Para llegar de 3 al número siguiente, 4, la primera idea consiste en sumar la unidad, es decir, 3 + 1 = 4, sin embargo, 4 + 1, no sumarían el 8 que está en la siguiente posición. Así debemos pensar en una estrategia distinta para obtener, a partir de 4, el número 8. Parecería que si multiplicamos 4 x 2 entonces llegaríamos a 8. Posteriormente si a 8 le agregamos el número 1 entonces obtenemos 9, que es el siguiente número, sucesivamente, multiplicando 9 x 2, llegamos a 18, y entonces estamos ya ejecutando la misma regla para varios casos. En síntesis Números de la serie Regla para generar la serie 3 3+1=4 4 4x2=8 8 8+1=9 9 9 x 2 = 18 18 18 + 1 = 19 19 19 x 2 = 38 Luego entonces parecería que el número que sigue en la serie sería el producto de 19 y 2, lo cual generaría el número 38 que está marcado con el inciso (c). 29. 3, 5, 9, 17, 33... a) 66 b) 34 c) 60 d) 65 e) 63 Solución: La regla parece ser sencilla, en este caso habrá que multiplicar cada número por 2 y posteriormente, al resultado restarle la unidad, esto es: Números de la serie Regla para generar la serie 3 3x2=6 6–1=5 5 5 x 2 = 10 10 – 1 = 9 9 9 x 2 = 18 18 – 1 = 17 17 17 x 2 = 34 34 – 1 = 33 33 33 x 2 = 66 66 – 1 = 65 65 El número que sigue a 33 es, según la regla, el 65 que está marcado en el inciso d. 30. 1, 3, 7, 15, 31... a) 60 b) 35 c) 65 d) 64 e) 63 Solución: El análisis en este caso parece ser igual de sencillo que en los casos anteriores. ¿Cómo llegar del número 1 al número 3? Según lo expuesto en el problema anterior, la suma debería ser la primera opción, entonces, es claro que la regla inicial podría ser, 1 + 2 = 3, sin embargo para generar el siguiente número la misma regla se hace insuficiente, ya que 3 + 2 = 5 y deseamos obtener el número 7. Así debemos proponer una segunda alternativa que genere el dato indicado según la serie. Sin más, en la tabla podríamos escribir los siguientes pasos para obtener el número indicado en la serie propuesta. Números de la serie Regla para generar la serie 1 1x2=2 2+1=3 3 3x2=6 6+1=7 7 7 x 2 = 14 14 + 1 = 15 15 15 x 2 = 30 30 + 1 = 31 31 31 x 2 = 62 62 + 1 = 63 63 Podemos concluir que la regla consistía en multiplicar cada número por 2 y posteriormente agregar el número 1, así el dato que continua en la serie es el número 63, que aparece en la respuesta del inciso e. 31. 9, 21, 33, 45... b) 54 a) 56 c) 58 d) 55 e) 57 Solución: La serie parece obtenerse de manera más sencilla. La primera intención será siempre averiguar si mediante la suma es posible generar el número que sigue a 9 en la serie propuesta, es decir, 21. Si sumamos 9 + 12, entonces llegamos al resultado 21, que es el número que sigue en la serie. Para verificar si ese es el proceso indicado entonces habría que sumar 21 + 12 y averiguar si el resultado es 33. En la tabla, la regla que parecería ser correcta indica que a cada número de la serie debe sumarse el número 12 con tal de generar el consecutivo en la misma serie, esto es, Números de la serie Regla para generar la serie 9 9 + 12 = 21 21 21 + 12 = 33 33 33 + 12 = 45 45 45 + 12 = 57 57 Así el número que sigue a la serie es 57, el cual aparece en el inciso e. 32. 1/3, 1/9, 1/27... a) 1/51 b) 1/81 c) 1/30 d) 1/33 e) 1/35 Solución: Para este caso debemos recordar que la multiplicación de fracciones se hace de la forma a c ac x = . Particularmente, parece que cada número propuesto en la serie se b d bd multiplica por la fracción 1 . En la tabla tendríamos lo siguiente. 3 Números de la serie Regla para generar la serie 1 3 1 1 1 x = 3 3 9 1 9 1 1 1 x = 9 3 27 1 27 1 1 1 x = 27 3 81 1 81 Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso b. 33. 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5... a) 10 b) 18 c) 15 d) 20 e) 25 Solución: Parecería ser un poco más complicada la serie propuesta en este caso, sin embargo, observando detenidamente, es sencillo inferir que el número buscado es el cuadrado de 5. Es decir, la regla parece definirse mediante el enunciado “el cuadrado de”. Visualizar cada caso a partir una tabla es recomendable. Números de la serie Regla para generar la serie 2 El cuadrado de 2 es 4 3 El cuadrado de 3 es 9 4 El cuadrado de 4 es 16 5 El cuadrado de 5 es 25 La respuesta correcta es la marcada con el inciso e. Hay que notar que los números 2, 3, 4 y 5 tienen una relación de orden, de menor a mayor, agregando siempre la unidad, el número que seguiría a 25 sería 6, en virtud del mismo orden, lo cual no afecta el resultado. 34. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, a) 25 b) 31 c) 29 d) 33 e) 26 Solución: Para la serie propuesta debemos observar detenidamente que se trata de una lista ordenada de números primos. El siguiente número primo a 23 sería 29, puesto que dicho número únicamente se divide entre él mismo y entre la unidad. ¿31 también es número primo? Si lo es. Mantenemos que la respuesta es 29 ya que 29 antecede a 31 y hablamos de una lista ordenada. Por lo tanto la respuesta es la del inciso c. 35. ¿Cuánto es la mitad de cuatro elevado al doble de tres, menos la raíz cúbica de ciento veinticinco? a) 1448 b) 277 c) 386 d) 2048 e) 2043 Solución: Según la lectura, el número cuatro está elevado a la sexta potencia, es decir, el doble de tres. Además la raíz cúbica de 125 corresponde a 5. La coma que aparece indica que debemos separar cada situación para resolver correctamente. Luego, la situación numérica que se ha propuesto en el enunciado corresponde a 46 − 5, 2 elevando y reduciendo según se indica se llega al número 2043. El procedimiento se expone a continuación. 46 4096 −5 = − 5 = 2048 − 5 = 2043 . La respuesta correcta es la del inciso e. 2 2 36. ¿Cuánto es la mitad de cuatro, elevado al doble de tres, menos la raíz cúbica de ciento veinticinco? a) 1448 Solución: b) 59 c) 386 d) 2048 e) 2043 Parecería que el problema anterior y el propuesto son idénticos, pero no es así. Aparece una coma separando cada frase lo cual trae cambios radicales en la solución. La mitad de cuatro, que es 2, debe elevarse a la sexta potencia, que corresponde al doble de 3, y por último hay que restar 5, que surge de extraer la raíz cúbica al número 125. De esta forma, el procedimiento que determina la respuesta es el siguiente. 6 ⎛4⎞ 6 ⎜ ⎟ − 5 = (2) − 5 = 64 − 5 = 59 . 2 ⎝ ⎠ Por lo tanto el número que responde correctamente es 59, el cual aparece en el inciso b. 37. Un equipo de voleibol lleva perdidos 8 de 22 partidos jugados. Si gana los siguientes 6, ¿cuál será su porcentaje final de victorias? a) 28.57 b) 51.85 c) 63.63 d) 69.17 e) 71.42 Solución: Es fundamental ejecutar una tabla de partidos bajo las tres características, jugados, ganados y perdidos. El dato adicional consiste en recordar que en el voleibol no existen partidos empatados. Así, según el problema, se podría generar la siguiente tabla. Partidos jugados Partidos ganados 22 Partidos perdidos 8 La diferencia entre el número de partidos jugados y el número de partidos perdidos, 22 – 8, generaría el número de partidos ganados, es decir, 14. Posteriormente habría que agregar el dato que menciona que el equipo ganó los siguientes 6 juegos, en la tabla, se obtendría la siguiente información. Partidos jugados Partidos ganados Partidos perdidos 22 + 6 14 + 6 8 Evidentemente la cantidad de partidos jugados se debe aumentar en 6 porque los juegos que se ganan se deben de jugar primero. Además como se ganaron esos juegos la cantidad de partidos ganados aumentó a 20. Luego entonces el porcentaje final de victorias se calcula dividiendo el total de partidos ganados, 20, entre el total de partidos jugados, 28, y ⎛ 20 ⎞ ⎟(100) = (0.7142)(100) = 71.42 , lo cual aparece en el ⎝ 26 ⎠ multiplicando por 100, es decir, ⎜ inciso e. 38. ¿Cuáles son las edades, en años, de tres amigos, si su suma es 72 y su producto resulta mayor que 13600? Al mayor de ellos le falta una pierna. a) 25, 25, 22 b) 24, 24, 24 c) 23, 23, 26 d) 22, 22, 28 e) 18, 24, 30 Solución: En este caso utilizaremos las respuestas propuestas para generar el resultado correcto, lo cual es permitido ya que en cualquier examen de admisión existe el mismo formato de pregunta. Analizaremos la respuesta del inciso (a). Dicha respuesta debería generar una suma igual a 72. Las edades 25, 25 y 22, satisfacen esa condición, es decir, 25 + 25 + 22 = 72. Además el producto entre las mismas edades resulta ser mayor que 13600, esto es, 25 x 25 x 22 = 13750. ¿Debemos marcar la respuesta del inciso (a)? Falta una última condición por analizar. El dato “al mayor de ellos le falta una pierna” implica que uno, y sólo uno, de los tres amigos es cojo, pero también, que uno, y sólo uno, de ellos es mayor. Así la respuesta del inciso (a) es incorrecta ya que habría dos amigos con la misma edad. El análisis correspondiente al inciso (b) es similar al anterior. Sin embargo es aún más fácil observar que de aceptar dicha respuesta entonces habría 3 amigos con la misma edad, lo cual está prohibido porque uno de ellos es mayor. En el caso del inciso (c), la suma de las tres edades resulta igual a 72, es decir, en la suma 23 + 23 + 26 = 72 se satisface la condición inicial, posteriormente, en el producto de las edades tenemos que 23 x 23 x 26 = 13754, lo cual implica que el producto entre las edades es mayor que 13600. Por último, es claro que la edad del mayor, es 26 años, y las edades de los otros dos amigos son 23 y 23 años, lo cual no genera alguna contradicción. Queda pendiente analizar los casos (d) y (e). En el primer caso, (d), el producto de las edades resulta ser menor que 13600, es decir, 22 x 22 x 28 = 13552, lo cual es indicador para no elegir esa respuesta. En el caso (e) el producto, 18 x 24 x 30 = 12960, lo cual es menor que lo propuesto inicialmente. Así la repuesta que debemos elegir, según lo analizado anteriormente, es la del inciso (c). 39. ¿Qué probabilidades existen de que el premio mayor del próximo sorteo de la lotería termine en cero? a) .00 b) .10 c) .25 d) .50 e) .35 Solución: Las posibilidades de que el premio mayor de la lotería termine en cero son 1 de 10. Por definición, la probabilidad de un evento es el cociente entre casos favorables y casos posibles. ¿Cuáles son las posibles opciones en el último número cuando se juega a la lotería? La respuesta son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, es decir, hay 10 casos posibles por uno favorable, el que pide que el número que salga en la última posición sea 0. Esto es un décimo o uno de cada diez, lo cual se indica en el inciso b. 40. El señor A tiene un auto que vale $10000. Lo vende al señor B con una ganancia del 10%. Si el señor B lo vende al señor A con una pérdida del 10% entonces a) A no gana algo b) A no gana nada c) A gana $ 100 d) A gana $ 1000 e) A gana $ 900 Solución: Cuando el señor A vende su auto, con ganancias del 10%, está vendiendo en $ 11000. Eso significa que lleva ganados $ 1000. Sin embargo cuando el señor B lo regresa al señor A perdiendo el 10%, B habrá vendido en $ 9900, ya que el 10% de $ 11000 son $ 1100. Esto último significa que el señor A ganó $ 100 pesos más, ya que su auto originalmente estaba valuado en $ 10000. Así el señor A gana $ 1100, respuesta que no aparece en alguna casilla. Debemos analizar cuidadosamente el par de respuestas marcadas con los incisos a y b. En el inciso b, la frase A no gana nada es la que debemos marcar como correcta. El análisis es el siguiente. En la frase “el señor A gana nada” debemos entender que “el señor A gana cero”, pero a dicha frase le antecede una negación, por lo tanto debemos entender que "el señor A no gana cero”, lo cual es cierto, el señor A no gana cero, de hecho, el señor A gana $ 1100. La teoría dice que la negación de una negación es la afirmación del contenido, esto implica que la frase propuesta en el inciso b, se traduciría como “el señor A gana algo”, de hecho gana $ 1100. La respuesta correcta es la del inciso b. 41. En una tómbola todas las esferas son rojas excepto tres, todas las esferas son azules excepto tres, y todas las esferas son amarillas excepto tres. ¿Cuántas esferas hay en la tómbola? Nota: La última esfera es transparente a) 4 b) 3 c) 8 d) 6 e) 2 Solución: Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso d, es decir, hay 6 esferas en la tómbola. La frase inicial, “todas las esferas son rojas excepto tres”, define como 3 el número de esferas rojas en la tómbola. En el siguiente enunciado se definen como 3 el número de esferas azules y ya no quedaría lugar para las esferas amarillas. Son 3 las esferas rojas, 3 las azules, formarían 6. Analizaremos ahora la respuesta marcada en el inciso a. Parecería que el número de esferas rojas es 1, el número de esferas azules es 1 y que el número de esferas amarillas es 1 también. Todas excepto tres, genera la diferencia entre 4 y 3, que es 1. Es claro que la última esfera es a la que hace referencia la nota. Por lo tanto el número de esferas en la tómbola es 4. La respuesta correcta es la del inciso a. 42. En un zoológico hay 40 animales. Se sabe que por lo menos uno es hembra y que de cada dos animales por lo menos uno es macho. ¿Cuántos de los animales son machos? a) 1 Solución: b) 19 c) 20 d) 21 e) 39 Imaginemos los 40 animales. La frase “por lo menos uno es hembra” significa que hay una hembra pero que podría haber más, de hecho podrían ser 40 hembras, no se ha dicho lo contrario. Sin embargo, poco después dice que en cada pareja de animales por lo menos hay un macho, ¿puede entonces haber 2 hembras? La respuesta es no. De permitir dos hembras en el zoológico entonces esos animales podrían formar una pareja de hembras, lo cual está prohibido ya que en cada pareja por lo menos uno es macho. Ahora ¿podría haber 3 o más hembras?, evidentemente si permitimos la existencia de más hembras entonces podrían formarse varias parejas de hembras lo cual no es posible por la segunda condición del problema. Luego entonces, el número de hembras es 1, lo cual indica que el resto son machos, es decir, hay 1 hembra y 39 machos en el zoológico. La respuesta que debemos marcar es la del inciso e. 43. En una clase hay 47 alumnos. Se sabe que por lo menos hay una niña y en cualquier par de alumnos hay por lo menos un niño. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir una pareja en la que haya una niña y un niño? a) 1 b) 23 c) 46 d) 69 e) 92 Solución: Nuevamente la labor inicial consiste en imaginar la situación planteada. Se sabe que por lo menos hay una niña y esto implica que hay una niña pero que podría haber más, por lo menos es una. De manera similar al problema anterior, ¿podría haber dos niñas? La respuesta es no, recordemos que en cada par debe haber por lo menos un niño. De permitir dos niñas en el grupo, ellas, podrían formar una pareja en donde la condición de “por lo menos un niño” no se cumpla. Es claro que no pueden ser ni 3 ni más niñas porque se formarían varias parejas de niñas lo cual no es permitido. Así, en el grupo hay 1 niña y el resto, 46, son niños. Pero el problema radica en determinar la cantidad de parejas diferentes que se pueden formar con 1 niña y 46 niños. La respuesta es 46 puesto que cada niño formaría una pareja diferente con la niña del grupo. Inciso c. 44. María apuesta su dinero y gana el triple de lo que tenía, posteriormente pierde 40 pesos quedándole un total de 80 pesos, ¿cuánto dinero tenía María al principio? a) $ 20 b) $ 40 c) $ 50 d) $ 30 e) $ 60 Solución: Analicemos algunas de las respuestas. Si aceptamos como correcta la respuesta del inciso b entonces María tendría $ 40 más el triple de lo que tenía, $ 120; por lo tanto después de haber ganado tendría $ 160. Posteriormente María pierde $ 40 lo cual hace una diferencia de $120. ¡Contradicción!. María termina con 80 pesos en la bolsa, lo cual quiere decir que la respuesta correcta no es la del inciso b. En un segundo intento analizaremos la respuesta del inciso d. Parecería que de $ 30 iniciales el triple es $ 90, lo cual implica que María tendría la suma de $ 120. Luego, como pierde $ 40, habría que comprobar que la diferencia entre $ 120 y $ 40 sea lo que le quedó, un total de $ 80 pesos, lo cual asegura la respuesta. Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso d. De hecho, fácilmente, pudimos haber planteado este problema mediante la ecuación x + 3 x − 40 = 80 , en donde, x sea el dinero que tenía María en un principio. Resolviendo dicha ecuación tendríamos, 4 x − 40 = 80 4 x = 80 + 40 4 x = 120 x= 120 4 x = 30 Lo anterior solo es un método alterno para hallar la solución. María tenía $ 30 como se indica en el inciso d. 45. ¿Cuál es la mitad de la tercera parte del mayor número impar menor que 20 que no es primo? a) 19/6 b) 17/6 c) 15/2 d) 5 e) 5/2 Solución: El número impar menor que 20 que no es primo no puede ser 19, ya que es primo, tampoco puede ser 18 puesto que es par, 17 también es primo y 16 es par. Así el número impar menor que 20 que no es primo es 15, puesto que se divide entre 1, 3, 5, 15 y por supuesto es impar. Además la tercera parte de 15 resulta de dividir 15 entre 3, generando el número 5 y su mitad correspondería a la fracción 5/2, que aparece en el inciso e. 46. En una reunión, el anfitrión, advirtió que hubo 45 apretones de mano, ¿cuántas personas asistieron a la reunión? a) 10 b) 12 c) 11 d) 9 e) 8 Solución: Si aceptamos la respuesta del inciso d entonces el invitado que llegó en el noveno lugar daría 8 apretones de mano, puesto que no se saluda a él mismo. El invitado que llegó en octavo lugar daría 7 apretones de mano, puesto que aún no estaba presente el noveno. Así, el invitado que llegó en séptimo lugar saludaría a 6 personas, el sexto invitado saludaría a 5 personas, el quinto a 4 y así sucesivamente. Esto indica que deberíamos sumar los apretones que cada invitado da cuando llega a la reunión, es decir, si la respuesta fuese la marcada con el inciso d entonces, 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, debería ser igual a 45, pero no es así, la suma resulta ser 36. Por lo tanto la respuesta no es la del inciso d. Como la sumatoria es menor que el total de apretones requerido, entonces supondremos que la respuesta es mayor que 9, así que pensemos en la opción marcada con el inciso a. Si 10 personas fueron a la reunión entonces el décimo invitado saludó a 9 personas, el noveno a 8, el octavo a 7, y así sucesivamente, esto es, 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, lo cual debería ser igual a 45. Resolviendo la suma es posible determinar que, efectivamente, 10 personas fueron a la reunión. Debemos marcar la respuesta del inciso a. 47. Ramiro fue condenado a 6 años por asesinato, pero ganó $ 10,000 por el "trabajo". Si su esposa legítima gasta $100 al mes, ¿cuánto dinero le quedará cuando salga de la cárcel? a) $ 0 b) $ 280 c) $ 2800 d) $ 3600 e) No se puede saber Solución: En 6 años el número de meses que transcurre es de 72. Si la esposa gasta $ 100 al mes entonces después de ese tiempo habrá gastado $ 7200 pesos. Cuando Ramiro salga de la cárcel le quedarán $ 2800, que surge de restar los $ 10000 iniciales y $ 7200. Inciso b. 48. Paco se robó la bicicleta de Jesús. Paco se va en friega con la bicicleta a 35 Km/hr. Jesús carga su 357 mágnum en 8 segundos. ¿Qué tan lejos va a estar Paco cuando Jesús le dispare? Nota: Paco viaja en línea recta y su velocidad no cambia. a) 77. 77 metros b) 7.77 metros c) 777.7 metros d) 77.77 e) 280 kilómetros kilómetros Solución: Debemos recordar que dentro de la física hay un movimiento denominado MRU, en el cual la velocidad es constante y la trayectoria es una línea recta, la fórmula general de dicho desplazamiento corresponde a la expresión v = d , en donde, se involucra velocidad, t distancia y tiempo respectivamente. En este caso, como el dato buscado corresponde a la distancia, habrá que generar una expresión para encontrar dicha variable; sin más d = vt . Ahora bien, el tiempo que Paco viaja es el mismo en el que Jesús carga su pistola, es decir, 8 segundos. Por otra parte la velocidad de Paco, 35 km/hr, deberá transformarse al sistema internacional dividiendo dicho valor entre 3.6. Así la velocidad de Paco es 9.72 m/s. Por último, sustituiremos en la ecuación d = vt en donde los datos son ya conocidos, es decir, d = (9.72m / s )(8) = 77.76 m. Por aproximación el dato que resulta es similar al que aparece en el inciso a, que es la respuesta que debemos marcar en este problema. La respuesta del inciso d es incorrecta pues las unidades deben ser metros y no kilómetros. 49. Cuatro niños se dividen una bolsa de canicas, a uno le toca la mitad, a otro una cuarta parte, al tercero una quinta y al último le tocan 7. El número total de canicas es: a) 100 b) 120 c) 140 d) 180 e) 250 Solución: Procederemos analizando las posibles opciones de respuesta. Algebraicamente podría resolverse el problema a partir de la ecuación x x x + + + 7 = x en donde la 2 4 5 variable representa la cantidad de canicas. Elegiremos a la respuesta del inciso c. Así el número de canicas sería 140. Verificaremos ahora si las condiciones del problema se cumplen. Según el enunciado, al primer niño le toca la mitad de canicas, es decir, 70; al segundo niño le toca una cuarta parte, es decir, 35; al tercer niño le toca una quinta parte que corresponde a 28 y al último niño le tocan 7. Si la respuesta es correcta entonces la sumatoria de los datos anteriores debe ser 140, esto es, 70 + 35 + 28 + 7 = 140 Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso c, 140 canicas. 50. La media aritmética de un conjunto de 30 números es 10. Si quitamos el número 68 de ese conjunto entonces la media aritmética de los restantes es: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 Solución: Se tienen 30 números en un conjunto. El promedio, o media aritmética, es 10, lo cual indica que la sumatoria del total de números debió haber sido 300, ya que 300 = 10 . 30 El enunciado indica que se debe eliminar del conjunto de 30 números el 68, por lo tanto la nueva suma correspondería a 232. Para calcular el promedio de los números restantes tendremos que dividir 232 entre 29 ya que es la cantidad de números bajo la eliminación del 68, es decir, 232 , 29 lo cual corresponde a 8, que es la respuesta correcta y que aparece marcada con el inciso b. 51. Dos relojes se pusieron en hora a las 3 p.m. de cierto día. El primero se adelanta un minuto cada dos horas y el segundo se atrasa un minuto cada 3 horas. ¿Qué diferencia habrá entre los dos relojes a las 9 a.m. del día siguiente? a) 3 minutos b) 8 minutos c) 13 minutos d) 15 minutos e) 18 minutos Solución: El número de horas que transcurre entre las 3 de la tarde y las 9 de la mañana del día siguiente es 18. Luego, si el primer reloj se adelanta un minuto cada dos horas significa que se habrá adelantado 9 minutos en total, que resulta de dividir el número de horas, 18, y el número de minutos, 2. Por lo tanto el primer reloj marcará las 9:09 a.m. El segundo reloj se atrasa un minuto cada 3 horas lo cual implica que después de 18 horas se habrá atrasado por 6 minutos, marcando las 8:54 a.m. La diferencia entre ambos relojes sería de 15 minutos. La respuesta correcta es la del inciso d. 52. Una pelota se deja caer desde una altura de 30m. Al primer rebote alcanza una altura ¾ veces de la altura total, al segundo rebote alcanza una altura ¾ veces la altura del primer rebote, y así sucesivamente. ¿Qué altura alcanza la pelota al cuarto rebote? a) 26.66 m b) 22.50 m c) 16.87 m d) 9.49 m e) 7.11 m Solución: En el primer rebote la altura alcanzada por la pelota es de 0.75 veces la altura inicial, 30 metros. Esto significa que la altura del primer rebote fue (0.75)(30) = 22.5 metros. La cantidad 0.75 es equivalente a la fracción ¾. En el segundo rebote el mecanismo es similar, es decir, la altura será 0.75 veces la altura del primer salto, es decir, 22.5. La altura del segundo rebote será de (0.75)(22.5) = 16.87 metros. El proceso deberá repetirse hasta llegar al cuarto rebote. Es importante señalar que el rebote varía en relación a la altura del rebote anterior. La altura del tercer rebote será (0.75)(16.875) = 12.65 metros, y la altura del cuarto y último rebote será (0.75)(12.656) = 9.49 metros, que aparece en el inciso d. 53. El valor de B varía en proporción directa con el de A; cuando B = 4, A = 20. ¿Cuánto valdrá A, si B vale 10? a) 2 b) 8 c) 25 d) 50 e) 100 Solución: En este caso podemos plantear de manera simple una regla de tres directa. Representaremos con x a la incógnita que hace referencia al valor de A. Valor de B Valor de A 4 20 10 x Para resolver, debemos multiplicar 10 y 20 y en seguida dividir el resultado entre 4, lo cual genera el número 50 que aparece en el inciso d. 54. La cuarta potencia de la mitad de la raíz cúbica de 1000 es a) 625 b) 825 c) 925 d) 525 e) 725 Solución: Para comprender este problema debemos aceptar que la raíz cúbica de 1000 es 10. Posteriormente la mitad de la raíz cúbica de 1000, es 5. Para resolver el problema debemos hallar la cuarta potencia de 5, que corresponde a multiplicar 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Por lo tanto la respuesta correcta es la que aparece en el inciso a. 55. En una boda el novio juntó en su saco la mitad de la quinta parte de lo que gastó en el pastel y en el vestido de la novia. Si el vestido costó el doble que el pastel, y el pastel costó $ 1000, ¿cuánto junto el novio? a) $ 400 b) $ 300 c) $ 3000 d) $ 1500 e) $ 2600 Solución: Es sencillo saber que el vestido costó $ 2000, puesto que su valor fue el doble del pastel, cuando este último tuvo un valor de $ 1000. Entonces la cantidad que representan el pastel y el vestido juntos es de $ 3000. La quinta parte de $ 3000 es $ 600 y la mitad de $ 600 es $ 300. Lo cual aparece en el inciso b. 56. En una fábrica de camisas se establece que el promedio para que las costureras peguen los botones debe ser de 2.5 minutos por prenda. Un ingeniero industrial realiza un estudio de tiempos y movimientos a 6 costureras, obteniendo las siguientes mediciones: 3 min, 2.8 min, 2.4 min, 2.05 min, 2.75 min. ¿Cuál debe ser el tiempo de la sexta costurera para no rebasar el promedio establecido? a) 2.00 min b) 2.16 min c) 2.20 min. d) 2.40 min. e) 2.50 min. Solución: El promedio se obtiene sumando el total de datos y dividiendo entre el número de ellos. Como debemos hallar el tiempo para no rebasar el promedio supondremos que la posible solución deberá ser la menor de los propuestas, es decir, aceptaremos la respuesta del inciso a, se verificará a continuación si es o no la correcta. Pr omedio = 3 + 2.8 + 2.4 + 2.05 + 2.75 + 2.00 15 = = 2.5 6 6 Si sustituimos algún tiempo mayor al propuesto en el inciso a entonces el promedio aumentará, de hecho rebasará el establecido, lo cual no es deseado. Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso a. 57. Considera la lista: 289, 49, 25, 121. De los números: 119, 36, 244, 169, 144. ¿Cuál puede pertenecer a la lista? a) 119 b) 36 c) 244 d) 169 e) 144 Solución: Los casos suelen complicarse y abarcar varios conceptos matemáticos. En este caso la serie consiste de números primos cualesquiera elevados al cuadrado, es decir, Números de la serie Regla para generar la serie 289 es el cuadrado de 17. 289 17 es primo ya que únicamente se divide entre la unidad y él mismo. 49 es el cuadrado de 7. 49 7 es primo, los números 1 y 7 son sus únicos divisores. 25 es el cuadrado de 5 25 5 es primo, los números 1 y 5 son sus únicos divisores. 121 es el cuadrado de 11 121 11 es primo, los números 1 y 11 son sus únicos divisores. El siguiente número no podría ser 119 puesto que no es un cuadrado de algún número. Aunque 36 si lo es, tendríamos que 6 no es primo, lo dividen el 1, 2, 3 y el propio 6. En la lista, el número que sigue es el marcado en el inciso d, que es 169. Las condiciones expuestas en la anterior tabla argumentan la respuesta. 169 es el cuadrado de 13 y además 13 es primo, los números 1 y 13 son sus únicos divisores. La respuesta correcta es la del inciso d. Queda en el lector averiguar porqué no son posibles las respuestas de los incisos c y e. 58. ¿Cuál de los siguientes números no tiene un número primo de divisores enteros positivos? a) 3 Solución: b) 5 c) 16 d) 40 e) 49 El enunciado menciona al conjunto de los números primos, que según el problema anterior son aquellos que cuentan con dos divisores únicos y diferentes a saber, la unidad y el propio número. Ahora bien, para resolver el problema es conveniente analizar que se está en búsqueda de un número que NO tenga un número primo de divisores enteros positivos. La tabla siguiente nos permitirá comprender de mejor manera tal enunciado. Números propuestos ¿Quiénes son todos ¿Cuántos son sus El número de sus divisores? divisores? divisores, ¿es primo? 3 1, 3 2 Si 5 1, 5 2 Si 16 1, 2, 4, 8, 16 5 Si 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 8 N0 40 49 1, 7, 49 3 Si La tabla muestra que el 40 es el único número de los propuestos que no cuenta con un número primo de divisores. En otras palabras al 40 lo dividen 8 números y 8 no es primo, como se pide en el enunciado. Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso d. 59. Junto a cada número se indica la cantidad de cifras que en él ocupan el mismo lugar que en otro número oculto. Con base en esa información descubra ese número entre las opciones. 01234 (3) 56784 (2) 94814 (2) 94186 (2) a) 91284 b) 01284 c) 01264 d) 01714 e) 31714 Solución: Haremos el análisis del problema en virtud de las soluciones propuestas. En el caso del inciso a debemos hallar 3 números que aparezcan en el número oculto, es decir, 91284, y que ocupen la misma posición que el número que se presenta como dato inicial. La tabla nuevamente nos permite visualizar tal situación. Del número 0 1 2 3 4 aparecen 3 cifras en el número oculto ocupando la misma posición. Si el número oculto es el del inciso a 9 1 2 8 4 es evidente, que dichas cifras serían 1, 2 y 4. Que aparecen en la segunda, tercera y quinta posición respectivamente. Para el segundo dato, tendríamos que hallar dos cifras que ocupen la misma posición en el dato original y en el número oculto. Esto es, 5 6 7 8 4 9 1 2 8 4 Las posiciones cuarta y quinta están ocupadas por las mismas cifras, según se observa 8 y 4. Continuando con el análisis de la respuesta del inciso a, tendríamos que en el tercer dato los números 9 y 4 aparecen en la primera y última posición respectivamente. Lo cual indica que se satisface la condición de tener 2 cifras en la misma posición. Por último es sencillo observar que el cuarto dato y el número propuesto comparten en la misma posición un par de números que son el 9 que aparece en la primera posición, y el 8 que aparece en la cuarta. Por lo tanto el número oculto según la codificación propuesta sería 91284, dado que es el único que satisface las condiciones del problema. Respuesta inciso a. 60. De la siguiente sucesión: 4, 9, 14, 19, 24. ¿Qué número ocupará el lugar 100 de la sucesión? a) 499 b) 444 c) 599 d) 549 e) 694 Solución: Debemos determinar el procedimiento que permite construir la sucesión y así conocer el número que ocupará el lugar número 100. La regla parece ser “suma 5”, es decir, si a cada número de la lista se le agrega 5 entonces el resultado será el número consecutivo en la sucesión. Para responder al número que ocupe la posición 100 de la serie existirían dos mecanismos. En el primero se construye una tabla generando cada uno de los números. Evidentemente esto sería tardado pero tendría un alto grado de efectividad. Por otra parte debemos observar que para encontrar el segundo número es posible escribir que 9 = 5(1) + 4, el cual ocupa el segundo lugar de la serie. De la misma forma, para generar 14 tendríamos que 14 = 5(2) + 4, ocupando el tercer lugar de la serie. Luego podríamos construir la tabla siguiente Números de la serie Lugar que ocupa en la serie 4 1 9 2 9 = 5(1) + 4 14 3 14 = 5(2) + 4 19 4 19 = 5(3) + 4 24 5 24 = 5(4) + 4 29 6 29 = 5(5) + 4 ... ... ... x 100 x = 5(99) + 4 Regla para generar la serie Sabiendo lo anterior, para hallar el número que ocupa el lugar 100 de la sucesión multiplicamos 5 por 99 y le sumamos 4, obteniendo así 499. La regla que encontramos exige restarle uno al número del lugar que ocupa el que estamos buscando. Por lo tanto la respuesta aparece marcada con el inciso a. 61. Encuentra un entero positivo tal que el resultado de multiplicar su mitad y su tercera parte sea él mismo. a) 5 b) 6 c) 4 d) 8 e) 9 Solución: ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠ Sea n el número buscado. Así ⎜ ⎟⎜ ⎟ = n , correspondería a la expresión algebraica que sintetiza el enunciado. Luego n2 = n , por lo que n 2 = 6n , por lo tanto 6 n = 6 . Inciso b. 62. El papá de Emigdio tiene 45 años. Es quince años mayor que dos veces la edad de Emigdio. ¿Cuántos años tiene Emigdio? a) 5 b) 16 c) 14 d) 15 e) 18 Solución: Sea x la edad de Emigdio. Entonces tendremos que 45, la edad del papá, es 15 años mayor que el doble de la edad de Emigdio, 2x. Así, 45 = 15 + 2x, de donde se desprende que el valor de x es 15. La respuesta correcta aparece en el inciso d. 63. En la televisión de Alejandra se reciben los canales del 2 al 42. Si Alejandra enciende la televisión en el canal 15 y aprieta 518 veces el botón para subir canales, ¿en qué canal quedará la televisión cuando se detenga? a) 41 b) 42 c) 23 d) 35 e) 39 Solución: Para que Alejandra llegue por primera vez al canal 2, es necesario que apriete el botón 28 veces. Por otra parte, cada vez que da una vuelta completa iniciando en el canal 2 hasta el canal 42 y terminando otra vez en el canal 2, Alejandra debe apretar el botón 41 veces. Entonces, después 28 + (41 x 11) = 479 veces que aprieta el botón estará en el canal 2. Ahora, si aprieta el botón 39 = 518 – 479 veces llegará al canal 41. Por lo tanto, la televisión quedará en el canal 41. Inciso a. 64. El área de un cuadrado mide 4225 metros cuadrados. ¿Cuánto medirá el área de un triángulo con base igual al lado y altura equivalente a 1/5 del lado? a) 122.5 m2 b) 522 m2 c) 422.5 cm2 d) 224.5 m2 e) 422.5 m2 Solución: Para obtener la medida del lado deberíamos extraer la raíz cuadrada del número 4225, lo cual nos genera que el lado del cuadrado mide 65 metros. Por su parte, para calcular el área del triángulo debemos saber la medida de su base y de su altura. El lado es igual a 65 metros mientras que la altura equivale a 65/5, lo cual es 13 metros. El área del triángulo corresponde a A = bxh 65 x13 = = 422.5 metros cuadrados. Inciso e. 2 2 65. En un salón hay 20 estudiantes. Se sabe que por lo menos dos están aprobados y que de cada tres estudiantes por lo menos uno está reprobado. ¿Cuántos de los alumnos están aprobados? a) 18 b) 14 c) 19 d) 2 e) 10 Solución: No podría haber en el salón tres estudiantes aprobados, puesto que ellos formarían una terna de aprobados, mientras que se condiciona que por cada tres estudiantes al menos uno esté reprobado. Lo anterior permite asegurar que sólo hay 2 estudiantes aprobados, y el resto están reprobados. Respuesta del inciso d. 66. En una tómbola todas las esferas son rojas excepto tres, todas las esferas son azules excepto tres, y todas las esferas son amarillas excepto tres. ¿Cuántas esferas hay en la tómbola? Nota: La última esfera es transparente a) 4 b) 3 c) 8 d) 6 e) 2 Solución: Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso d, es decir, hay 6 esferas en la tómbola. La frase inicial, “todas las esferas son rojas excepto tres”, define como 3 el número de esferas rojas en la tómbola. En el siguiente enunciado se definen como 3 el número de esferas azules y ya no quedaría lugar para las esferas amarillas. Son 3 las esferas rojas, 3 las azules, formarían 6. Analizaremos ahora la respuesta marcada en el inciso a. Parecería que el número de esferas rojas es 1, el número de esferas azules es 1 y que el número de esferas amarillas es 1 también. Todas excepto tres, genera la diferencia entre 4 y 3, que es 1. Es claro que la última esfera es a la que hace referencia la nota. Por lo tanto el número de esferas en la tómbola es 4. La respuesta correcta es la del inciso a. 67. En una reunión todos los asistentes se saludaron entre sí. ¿Cuántas personas había ahí, si en total se dieron 66 saludos? a) 10 b) 12 c) 11 d) 9 e) 8 Solución: Si aceptamos la respuesta del inciso d entonces el invitado que llegó en el noveno lugar daría 8 apretones de mano, puesto que no se saluda a él mismo. El invitado que llegó en octavo lugar daría 7 apretones de mano, puesto que aún no estaba presente el noveno. Así, el invitado que llegó en séptimo lugar saludaría a 6 personas, el sexto invitado saludaría a 5 personas, el quinto a 4 y así sucesivamente. Esto indica que deberíamos sumar los apretones que cada invitado da cuando llega a la reunión, es decir, si la respuesta fuese la marcada con el inciso d entonces, 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, debería ser igual a 66, pero no es así, la suma resulta ser 36. Por lo tanto la respuesta no es la del inciso d. Como la sumatoria es menor que el total de apretones requerido, entonces supondremos que la respuesta es mayor que 9, así que pensemos en la opción marcada con el inciso b. Si 12 personas fueron a la reunión entonces el doceavo invitado saludó a 11 personas, el onceavo a 10, el décimo a 9, y así sucesivamente, esto es, 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, lo cual debería ser igual a 66. Resolviendo la suma es posible determinar que, efectivamente, 12 personas fueron a la reunión. Debemos marcar la respuesta del inciso a. 68. Dos relojes se pusieron en hora a las 3 p.m. de cierto día. El primero se adelanta un minuto cada dos horas y el segundo se atrasa un minuto cada 3 horas. ¿Qué diferencia habrá entre los dos relojes a las 9 a.m. del día siguiente? a) 3 minutos b) 8 minutos c) 13 minutos d) 15 minutos e) 18 minutos Solución: El número de horas que transcurre entre las 3 de la tarde y las 9 de la mañana del día siguiente es 18. Luego, si el primer reloj se adelanta un minuto cada dos horas significa que se habrá adelantado 9 minutos en total, que resulta de dividir el número de horas, 18, y el número de minutos, 2. Por lo tanto el primer reloj marcará las 9:09 a.m. El segundo reloj se atrasa un minuto cada 3 horas lo cual implica que después de 18 horas se habrá atrasado por 6 minutos, marcando las 8:54 a.m. La diferencia entre ambos relojes sería de 15 minutos. La respuesta correcta es la del inciso d. 69. En el hipódromo se sabe que: - Negro es más veloz que Palomino - Azafrán es más veloz que Cubilete, pero a diferencia de Negro, es más lento que Palomino - Negro es más lento que Melodía, y - Cubilete es más veloz que Azabache ¿Cuáles son los dos caballos más lentos? a) Palomino y b) Azafrán Cubilete y c) Palomino Azabache Melodía y d) Cubilete Azabache y e) Azafrán y Melodía Solución: Asignaremos letras para cada caballo, así Negro será N, Palomino será P, Azafrán, A, Cubilete, C, Melodía, M, y Azabache, Az. Por otra parte, según la información que aparece en el problema se puede generar una relación de orden de la siguiente manera. Frase Interpretación Negro es más veloz que Palomino N>P Azafrán es más veloz que Cubilete, pero más P > A > C lento que Palomo Nubio es más lento que Melodía N<M Cubilete es más veloz que Azabache C > Az Esto último implica que M > N > P > A > C > Az. Luego, los dos caballos más lentos son Cubilete y Azabache, que aparece como respuesta en el inciso d. 70. ¿Cuál es el tercero de cinco número enteros consecutivos, tales que su suma sea 695? a) 128 b) 134 c) 139 d) 140 e) 145 Solución: Algebraicamente, cinco números enteros consecutivos serían x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4. Cuando se suman todos los números el resultado debe ser igual a 695, lo cual se reduce a la igualdad x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 695 Resolviendo dicha ecuación tendríamos que x = 137. Sin embargo estamos en búsqueda del tercero de cinco números consecutivos, en donde si el primero es 137 entonces el tercero será, agregando la unidad, 139, que aparece en el inciso e. 71. Un comerciante decidió vender a $15.60 la docena de alcachofas. ¿Cuánto cobró a la clienta que compró cien alcachofas? a) $ 86 b) $ 112 c) $ 120 d) $ 130 e) $144 Solución: Obtendremos, mediante una regla de tres directa, el valor de una alcachofa. Así el valor de la alcachofa será de $1.3. Cuando la clienta decide comprar 100 alcachofas deberá pagar $ 130, que aparece en el inciso d. 72. Un caracol está en el fondo de un pozo de 12 metros y decide salir. Por el día sube 5 metros y por la noche baja 2 metros, por lo tanto saldrá en a) 3 días b) 5 días c) 4 días d) 2 días e) 6 días Solución: A partir de la lectura se puede inferir que el caracol, cada día subía 3 metros. El argumento es el siguiente. Cuando había luz natural, el caracol lograba elevarse 5 metros, sin embargo cuando llegaba la noche, el mismo, descendía 2 metros según la lectura. Cada 24 horas sucede que se eleva 5 metros y baja 2, lo cual indica que, al día en realidad el caracol logra elevarse la diferencia entre los datos anteriores, 3. Ahora el problema consiste en determinar el número de días en los cuales el caracol saldrá, para lo cual debemos considerar la altura del pozo, 12 metros. Si cada 24 horas el caracol logra elevarse 3 metros, según lo anteriormente expuesto, entonces cuando el número de horas sea 48, es decir, el doble de horas, entonces el número de metros será el doble también, esto se observa de mejor manera en la siguiente tabla. Número de días Altura alcanzada cada día 1 día 3 metros 2 días 6 metros 3 días 9 metros 4 días 12 metros Dada esta información es simple observar que cada día el caracol se eleva 3 metros por lo cual, el día 4, llegará a los 12 metros de altura que es precisamente la altura del pozo. Así la respuesta que debe marcarse como correcta es 4 días, es decir, inciso (c). 73. Un hombre tiene 20 años más que su hijo y en 5 años su edad será el triple que la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del padre? a) 30 b) 5 c) 25 d) 40 e) 34 Solución: Sea P la edad del padre y H la edad del hijo. Entonces si el padre tiene 20 años más que el hijo: H + 20 = P Y si en 5 años más la edad del padre será el triple que la del hijo: 3 (H + 5) = P + 5 Por lo tanto, se tiene el sistema de ecuaciones: H + 20 = P 3H + 15 = P + 5 Que encuentra soluciones en H = 5 y P = 25. Sin embargo la pregunta es ¿cuál es la edad actual del padre? A lo cual debemos responder 25 años. Inciso c. 74. En un curso de 50 personas, 25 alumnos obtuvieron 5.2 de promedio; 20 alumnos obtuvieron promedio de 5.7 y los demás promedio de 6.4. El promedio del curso fue: a) 5.7 b) 5.76 c) 5.52 d) 5.60 e) 5.80 Solución: Se pide el promedio del curso, por lo tanto hay que ponderar cada promedio por el número de alumnos que lo tuvo, es decir: Pr = (25 ⋅ 5.2) + (20 ⋅ 5.7) + (5 ⋅ 6.4) = 5.52 50 Para generar el promedio fue necesario sumar cada calificación según el número de ocasiones que se apareció, para dividir dicha suma entre el total de estudiantes que fue de 50. El resultado obtenido indica 5.52, lo cual aparece en el inciso c. 75. En una celebración cada uno de los asistentes entregó un regalo a cada uno de los restantes. Terminando el evento, se habían contado un total de 110 regalos. El número de personas que asistió a la celebración fue: a) 5 b) 6 c) 10 d) 11 e) 15 Solución: Supongamos que a la celebración asistieron n personas. Cada una de ellas entregó un regalo a cada una de las restantes (nadie se autorregaló ), es decir, cada persona entregó (n-1) regalos, con lo cual el número de regalos contados fue de: n(n – 1)= 110 n2 – n – 110 = 0 de donde la solución positiva de dicha ecuación sería 11. Así la persona 11, regalo 10 veces, lo mismo que hizo la persona 10, y así sucesivamente. Luego, el total de personas que asistió a la celebración es de 11. Inciso d. 76. Si P representa la probabilidad de que México clasifique para el próximo Mundial de Futbol y Q la probabilidad de que no clasifique, entonces: i. P + Q = 1 a) Sólo i ii. P ≥ 0 b) Sólo ii iii. Q ≤ 1 c) Sólo i y ii d) Sólo ii y iii e) i, ii y iii Solución: Veamos cada caso para así poder determinar cuál de ellos se cumple según las condiciones del problema. Según uno de los teoremas de Bernoulli para la probabilidad, un evento es mutuamente excluyente si la ocurrencia del evento preliminar no incide en la ocurrencia de un evento secundario, esto es, si ocurre P no pasa algo con Q. Por otra parte la probabilidad de un evento seguro es la unidad, debe ser claro que México puede clasificar al mundial o puede no clasificar. Así la suma de los eventos P y Q, según el teorema de Bernoulli y la deducción anterior deberá ser 1. Lo cual satisface el primer punto. Para el segundo y tercer punto la situación es aún más clara puesto que P debe ser, según definición estrictamente mayor o igual que cero. Lo mismo Q, que debe ser, según definición, estrictamente menor o igual que 1. Es importante señalar que ambos casos se acotan por sí solos puesto que hablamos de probabilidad, es decir, P no puede ser 2 porque en probabilidad siempre estaremos entre 0 y 1. Luego, la respuesta es la del inciso e. 77. La señora González tiene 5 hijas, cada una de ellas tiene 4 hijas y cada una de ellas tiene 3 hijas. ¿Cuántas descendientes tiene la señora González? a) 95 b) 65 c) 45 d) 85 e) 90 Solución: La señora González tiene 5 hijas y como cada hija tiene 4 hijas entonces, la señora tendrá 20 nietas. Consecuentemente, mediante un argumento similar, la señora deberá tener 60 bisnietas. Luego, tienen 5 + 20 + 60 = 85 descendientes. Debemos señalar como respuesta la del inciso d. 78. Renata marca un número de dos dígitos en su calculadora, lo multiplica por 3, le suma 12 y divide el resultado entre 7. El número resultante es de dos dígitos y termina en 5. ¿Cuál fue el número que marcó? a) 30 b) 21 c) 53 d) 13 e) 31 Solución: Supongamos que el número que marcó Renata es 10a + b y que el resultado que obtiene al final es 10c + 5. De acuerdo a las operaciones que realizó, se tiene que: 3(10a + b) + 12 = 7(10c + 5) 30a +3b + 12 = 70c + 35 Para que el número de la izquierda termine en 5 es necesario que b = 1, entonces se reduce la ecuación a 30a = 70c + 20. Como 30a ≤ 270, tenemos que c ≤ 3. Si c = 3, a = 23/3 que no es entero. Por otra parte, si c = 2, a = 16/3 que tampoco es entero. Por último, si c = 1, a = 3, luego la única solución es 31, que aparece en el inciso e. Mucho más simple que lo anterior era partir de las opciones de respuesta y observar que la única que satisface lo leído totalmente es precisamente 31. 79. En una caja de Leche se lee la siguiente información nutricional: “Cada 100 ml. De leche contiene: Sodio: 48 mg. Potasio: 165 mg. Calcio: 128 mg. Fósforo: 103 mg. Magnesio: 12 mg.” ¿Cuánto magnesio contiene una taza de leche de un cuarto de litro? a) 0.3 g b) 4.8 mg c) 12 mg d) 30 mg e) 48 mg Solución: Un cuarto de litro de la taza corresponden a 250 ml. El mecanismo para hallar solución a este problema consiste en establecer una regla de tres directa que involucre a las variables mencionadas, es decir, si 100 ml de leche contienen 12 mg de magnesio entonces, ¿cuánto magnesio habrá en 250 ml de leche? El resultado es 30 mg de magnesio. La respuesta correcta es la del inciso d. 80. Si n es un número natural tal que n ≥ 1, entonces, la suma de éste con su sucesor y su antecesor siempre será divisible por: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 Solución: El primer número que satisface la desigualdad n ≥ 1, es el propio 1. Luego la suma de 1 con su sucesor, 2, y su antecesor, 0, es de 3. El resultado de la suma será divisible entre 3. Sin embargo vale la pena explorar varios casos mas para tener la certeza de la respuesta. Así, el número 2 también cumple con n ≥ 1, la suma que se expone en la lectura corresponde a 2 + 3 + 1, lo cual es 6, y nuevamente es divisible entre 3. Veamos en caso siguiente. El número 3 es mayor o igual que 1. Por su parte, la suma indicada tiene por resultado 9, lo cual también se divide entre 3. Según los casos se indica que cada sumatoria tiene una característica especial, se divide entre 3. El resultado indica que la respuesta es correcta para el inciso b. 81. Si x y y son números reales distintos de cero y distintos entre sí. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s), conociendo la relación x 2 + x = y 2 + y ? I. x = 2 y y = −3 II. x − y es un número impar III. x 2 y − xy es siempre divisible por 3 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I, II y III Solución: Factorizando la relación: x2 + x = y2 + y x2 − y2 + x − y = 0 ( x − y )( x + y + 1) = 0 Pero como x ≠ y ⇒ x − y ≠ 0 y entonces para que la expresión sea igual a cero, el otro factor está “obligado a ser cero: x = −1 − y . Por lo tanto: I. VERDADERO: Si x = 2 entonces y = −3 II. VERDADERO: Si x es un número par, y siempre es impar, y si x es impar, y es par. Por lo tanto x − y siempre es la suma o resta de un par con un impar y por ende siempre es impar. VERDADERO: Factorizando, la expresión queda ( x − 1) xy . Como − y es el III. sucesor de x y x − 1 es el antecesor de x , tenemos el producto de tres números consecutivos. Luego, no existen tres números consecutivos de manera que uno de ellos no sea múltiplo de 3, lo que implica que el producto de tres números de los cuales uno de ellos es divisible por 3, también es divisible por 3. Nota: Los signos no interesan, sólo interesa el valor de los números. 82. Una persona deposita una cierta cantidad de dinero en el banco al 15% de interés anual. Si después de un año retira $ 13294, el monto depositado inicialmente es: a) $ 11299 b) $ 11560 c) $ 11742 d) $ 11327 e) Ninguna de las anteriores Solución: Este es un problema de interés simple. Entonces si llamamos x a la cantidad inicial de dinero depositado, tenemos la ecuación: x + 0.15 x = 13294 13294 x= 1.15 x = 11560 La cantidad depositada inicialmente fue $ 11560. 83. Dada la relación 1 1 1 = + . Si R1 y R2 disminuyen en un 10%. ¿Qué R R1 R2 ocurre con R ? a) Aumenta 10% b) 20% Aumenta c) Aumenta 15% d)Disminuye 15% e)Disminuye 10% Solución: Si R1 y R2 disminuyen en un 10% cada uno significa que R1 pasa a ser ( R1 − 0.1R1 ) y que R2 pasa a ser ( R2 − 0.1R2 ) . Por lo tanto, la expresión dada se transforma en: 10 10 10 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 + = + = ⎜⎜ + ⎟⎟ 1 1 R1 − R1 R2 − R2 9 R1 9 R2 9 ⎝ R1 R2 ⎠ 10 10 Y como sabemos que 10 ⎛ 1 1 ⎜⎜ + 9 ⎝ R1 R2 1 1 1 = + , entonces: R R1 R2 ⎞ 10 ⎛ 1 ⎞ 1 1 1 ⎟⎟ = ⎜ ⎟ = = = ⎠ 9 ⎝ R ⎠ 9 R R − 1 R R − 0.1R 10 10 Es decir R disminuye en un 10%. Inciso e. 2.6 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Iniciaron una competencia 25 personas y se les unieron otras 3 personas. Si sólo llegaron a la meta 12 personas, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el número de personas que NO llegaron a la meta? a) 25 – (3 – 12) b) 25 + (3 + 12) c) (25 + 3) – 12 d) (25 – 3) + 12 e) (25 – 3) – 12 2. ¿Cuál expresión es la mayor si a y b son números enteros positivos? a) a b) b c) a – b d) b – a e) a + b 3. Si p es positivo y q = 1 – (1/p), cuando aumenta p, entonces q a) llega a ser b) llega a ser 0 c) se queda igual d) disminuye e) aumenta uno 4. Un avión voló durante 10 horas a una velocidad promedio de 540 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrió? a) 5.4 b) 54 c) 540 d) 5400 e) 54000 5. La igualdad a – b = b – a es cierta si a) a > b b) a = b c) a < b d) a = 2b e) a = - 2b 6. ¿Cuál de los siguientes números es divisible por 3 y por 5, pero NO por 2? a) 685 b) 750 c) 880 d) 975 e) 1000 7. Si el día primero de un mes es lunes, ¿cuál es el mayor número de miércoles que puede haber en un mes de 31 días? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8. El área de un rectángulo es 128 metros cuadrados. Si el largo mide 16 metros, ¿cuántos metros mide el ancho? a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 48 9. Julio ahorró $ 20 en 8 semanas. Si continúa ahorrando a esa razón, ¿cuánto ahorrará en 20 semanas? a) 50 b) 48 c) 44 d) 40 e) 28 10. Si 1 de cada 15 niños de un pueblo pertenece a una organización juvenil, ¿cuántos de los 600 niños del pueblo son miembros de la organización? a) 10 b) 20 c) 36 d) 38 e) 40 11. Jennifer recibe 5 puntos cada vez que entrega una tarea completa y 3 puntos si la entrega es incompleta. Recibió 45 puntos en total. Si entregó 6 tareas completas, ¿cuántas tareas incompletas entregó? a) 3 b) 5 c) 13 d) 15 e) 27 12. Si p es un entero positivo divisible por 3, ¿cuál de los siguientes NO es divisible por 3? a) 3p b) 2p c) 3p d) 6p + 9 e) p + 1 13. En la expresión ax71 + bx51 + 6 = 10, ¿cuál es el valor de a + b, si x = 1? a) 60 b) 16 c) 10 d) 4 e) 1.6 14. La suma de dos números es 150 y la mitad del mayor es k. ¿Cuál es el otro número? a) 2k b) 2(k + 1) c) 150 – k d) 150 + k e) 150 – 2k 15. De una hoja de papel de 10 centímetros de largo y 8 de ancho se desean obtener triángulos de 4 centímetros cuadrados de área. El mayor número de triángulos que se obtendrá es a) 20 b) 10 c) 8 d) 5 e) 2 16. Una escuela tiene 1000 estudiantes de los cuales 300 son de primer año; 500 son varones y 200 son estudiantes varones de primer año. ¿Cuántos estudiantes no son ni varones no de primer año? a) 800 b) 700 c) 500 d) 400 e) 300 17. ¿Cuántos números reales tienen la propiedad de que su cuarta parte es igual a su cuadrado? a) Ninguno b) Uno c) Dos d) Tres e) Cuatro 18. Para que los tres puntos (6,10), (26,5) y (m,18) sean colineales m debe valer: a) 4 b) 1/4 c) – 26 d) – 1/26 e) 38 19. El radio de la circunferencia x2 + y2 – 18x + 6y + 41 = 0 es: a) 4 b) 9 c) 5 d) 7 e) 8 Para los ejercicios 20 al 24 escoja la pareja de números propuestas que sea continuación de cada una de las series enlistadas. 20. 128, 137, 146, 155,… a) 164, 173 21. d) 165, 175 e) 160, 175 b) 655, 765 c) 654, 755 d) 635, 735 e) 654, 745 c) 16/6, 18/7 d) 16/7, 18/8 e) 20/6, 25/7 3/2, 9/3, 12/4, 15/5,… a) 18/6, 21/7 23. c) 164, 172 215, 325, 435, 545,… a) 645, 745 22. b) 163, 172 b) 18/5, 21/6 1/1, 1/2, 1/6, 1/24,… a) 1/30, 1/36 24. b) 1/30, 1/120 c) 1/120, 1/720 d) 1/30, 1/36 e) 1/25, 1/30 c) 6.4, 12.8 d) 3.4, 6.8 e) 4, 8 c) 190 d) 180 e) 360 0.4, 0.8, 1.6, 3.2,… a) 6.4, 11.8 b) 6.4, 13.8 25. La mitad del triple de 120 es: a) 170 b) 150 26. La edad de Javier es el triple de la de Miguel y Arturo es mayor por 6 años que Miguel. Si Miguel tiene 3 años de edad, entonces: a) Javier es b) Arturo mayor que mayor Arturo Javier es c) Arturo y d) No se sabe e) que Javier tienen la algo misma edad Miguel mayor es que Javier 27. Si a una fiesta asiste Raúl con su esposa y sus 4 hijos, cada hijo con su respectiva esposa y dos amigos. ¿Cuántas personas asisten a la fiesta? a) 18 b) 20 c) 16 d) 14 e) 22 28. ¿Cuál es la mitad de la tercera parte del mayor número impar menor que 20 que no es primo? a) 19/6 b) 17/6 c) 15/2 d) 5 e) 5/2 29. Ana tiene 6 años de edad, Paty es menor que Lulú por 8 años y la edad de Lulú es el triple de la de Ana, ¿cuál es la edad de Paty? a) 9 b) 8 c) 18 d) 10 e) 6 30. Martín es menor que Jesús y Daniel es mayor que Jesús, ¿cuál es el mayor? a) No se sabe b) Martín c) Jesús d) Daniel e) Los 3 son de la misma edad 31. Mi primo es el nieto de la madre del hermano de mi: a) Madre b) Hermana c) Madrina d) Prima e) Sobrina 32. Joaquín tiene una caja grande con 4 medianas dentro, 3 chicas en cada una de las medianas y 6 todavía más pequeñas en cada una de las chicas; entonces el total de cajas que Joaquín tiene es: a) 88 b) 89 c) 90 d) 54 e) 62 33. Un plomero tiene un tubo de 30 metros. Si diariamente corta un pedazo de 2 metros terminará de cortarlo en: a) 14 días b) 16 días c) 18 días d) 15 días e) 10 días 34. La media aritmética de un conjunto de 30 números es 10. Si quitamos el número 68 de ese conjunto, entonces la media aritmética de los restantes es: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 35. Un bote de 20 litros se llena de agua; luego se sacan 4 litros y se reemplazan con alcohol; después se sacan 4 litros de la mezcla y se reemplazan con alcohol. La cantidad de litros de agua que queda en la mezcla final es: a) 16/5 b) 16/9 c) 4/5 d) 36/5 e) 64/5 36. Un contenedor que tiene 50 metros de largo, 20 metros de ancho y una profundidad de 2 metros va a ser llenado hasta ¾ de su capacidad. El volumen de agua que se requiere es: a) 2000 m3 b) 1750 m3 c) 1650 m3 d) 1500 m3 e) 1250 m3 37. Un tanque de Guerra de la armada norteamericana es capaz de correr a velocidad promedio de 90 km/hr durante 4 horas y media, y otro lo hace a 40 km/hr durante 10 horas y cuarto. Luego… a) Los dos recorren igual distancia b) El segundo recorre poco más que el primero c) El primero recorre poco más que el segundo d) El primero recorre mucho menos que el segundo e) El segundo recorre mucho menos que el primero 38. El perímetro de un cuadrado tiene el mismo número de metros que los metros cuadrados de su área. ¿Cuál es ésta? a) 1 m2 b) 2 m2 c) 4 m2 d) 8 m2 e) 16 m2 39. Para preparar un compuesto químico se han utilizado 20 gramos de sal y 100 gramos de agua. ¿A qué porcentaje aproximado de salinidad ha quedado la solución? a) 100% b) 80% c) 25% d) 20% e) 16% 40. Después de una noche de juego, el Lic. Gómez y el Gral. Hernández han apostado cien mil pesos a una carta, Si gana Gómez se levantará de la mesa con el doble de lo que tendrá el general. Si gana este último, los dos tendrán igual cantidad. ¿Cuánto tiene sobre la mesa cada uno de ellos? a) $ 300 000 y $ b) $ 500 000 y $ c) $ 300 000 y $ d) $ 700 000 y $ e) 100 000 300 000 500 000 500 000 Cada uno tiene $ 300 000 41. Cuando mi hermana nació yo tenía 7 años, hoy tengo el triple de la edad que ella tenía hace siete años y dentro de siete años la suma de nuestras edades será siete por siete, ¿qué edad tendré yo dentro de 7 años? a) 20 b) 21 c) 24 d) 28 e) 35 42. Un granjero tiene 37 animales entre conejos y gallinas. Todos estos animales juntos suman 100 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas tiene? a) 12 conejos y 25 gallinas b) 13 conejos y 24 gallinas c) 15 conejos y 22 gallinas d) 17 conejos y 20 gallinas e) 20 conejos y 17 gallinas 43. Un planteamiento posible para conocer los números de conejos y gallinas en el problema anterior es: a) 4x + 2( 37 – x ) = 100 b) 4x + 2( 37x ) = 100 c) 4x – 2 ( 37 + x ) = 100 d) 4x – 2 ( 37x ) = 100 e) 4x + 2 ( 37 ) x = 100 44. A una fiesta asistieron 17 personas. Carola bailó con seis muchachos, Silvia con Siete, Mireya con Ocho, y así sucesivamente hasta llegar a Rita quien bailó con todos los muchachos. ¿Cuántos muchachos había en la fiesta? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 45. Del teorema: Si los dos términos de un quebrado se multiplican o dividen por un mismo número, el quebrado no se altera, se desprenden las siguientes afirmaciones, excepto: a) Al multiplicar el denominador por un número, el quebrado queda dividido por el mismo número b) Al dividir el numerador por un número, el quebrado queda multiplicado por dicho número c) Al multiplicar el numerador por un número, el quebrado queda multiplicado por el mismo número d) Al dividir el denominador por un número, el quebrado queda multiplicado por el mismo número e) Al dividir el numerador por un número, el quebrado queda dividido por el mismo número 46. Rosa tiene tantas hermanas como hermanos, pero cada hermano tiene sólo la mitad de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos y hermanas hay en la familia? a) hermanas Cuatro b) Cuatro c) Cuatro d) Tres e) Dos hermanas y hermanas y tres hermanos y tres hermanos y tres y tres hermanas cuatro hermanos hermanos hermanas hermanas 47. Alfredo tenía tres suéteres de lana por cada uno que tenía de estambre. En su cumpleaños le regalaron uno de lana y dos de estambre. Si ahora su guardarropa tiene 2/3 de suéteres de lana, ¿cuántos suéteres tiene en total? a) 6 b) 7 c) 9 d) 12 e) 15 48. Con base en los datos del problema anterior, ¿cuántos suéteres de lana tiene José después de su cumpleaños? a) 3 b) 4 c) 6 d) 9 e) 10 49. En una urna de 9 esferas numeradas de 1 al nueve. ¿Qué probabilidad hay de que al sacar con los ojos cerrados un par, éste sume 15? a) 2/9 b) 4/30 c) No se sabe d) 1/18 pues saldrá e) 4/36 al azar 50. Un avión y un barco salen a las 6 de la mañana. Cada 18 minutos sale un avión y cada 2 horas un barco. ¿A qué hora volverán a salir simultáneamente un avión y un barco? a) A las 12 del b) A las 4 de la c) A las 6 de la d) A las 9 de la e) A las 12 de la día tarde tarde noche noche 51. La suma de las edades de dos hermanos no gemelos es de 32 años, ¿qué resultado obtendremos si restamos ahora de la suma total la diferencia de edades? a) Sólo si las edades son 12 y 20, podemos restas la diferencia del total y obtener el doble de la edad del menor b) Sea cual sea la diferencia, al restarla del total no obtendremos el doble de la edad de ninguno de ellos c) Obtendremos el doble de la edad del menor sólo si el mayor tiene menos de 24 años d) Sea cual sea la diferencia, al restarla del total siempre obtendremos el doble de la edad del menor de ellos e) Obtendremos el doble de la edad del menor sólo si este tiene menos de 10 años 52. Si a es un número tal que a < 0, entonces: a) 1/a > 0 b) 1/a < 0 c) 1/a = 0 d) 1/a > 1 e) 1/a = 1 53. Si en un recipiente tenemos 6 canicas rojas, 4 blancas y 5 azules, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una con los ojos cerrados, ésta sea blanca? a) 2/5 b) 4/15 c) 1/3 d) 3/5 e) 2/3 54. ¿Qué probabilidad tenemos de que la primera carta que saquemos de una bajara de 52, sea un as? a) ¼ b) 1/13 c) 1/26 d) 1/52 e) 1/104 55. Si son las 15 horas con 48 minutos y 15 segundos, ¿cuánto tiempo falta para que den las 8:00 p.m.? a) 5 horas, 11 minutos y 45 segundos b) 15105 segundos c) 144000 segundos d) 3 horas y 705 segundos e) 250 minutos y 45 segundos 56. ¿Cuál de las siguientes cantidades quedaría más a la izquierda en la representación de una recta numérica? a) 10-10 b) 11 c) 41/4 d) 8.5 8.5 e) 3-1/3 57. Sea ABCD un rectángulo con BC = 2AB y sea BCE un triángulo equilátero. Si M es el punto medio de CE, ¿cuánto mide el ángulo CMD? a) 65° b) 75° c) 45° d) 35° e) 55° 58. En el rectángulo ABCD, el segmento MN es perpendicular a la diagonal AC en su punto medio M . Además, la recta LN es paralela al lado CB . Si se sabe que ∠ ACB=57°, encuentra ∠ LNM D C M L B A N a) 30° b) 33° c) 45° d) 57° e) 60° 59. En la figura ABCD es un rectángulo en el que AB =8 y BC =6; además DP es perpendicular a la diagonal AC y QR es un segmento paralelo a AC con Q como punto medio de DP . Encuentra la longitud del segmento PR . D R C 8 B Q 6 P A a) 2.4 b) 3.2 c) 3.6 d) 4.0 e) 5.0 60. Seleccione la forma adecuada de hacer afirmativa la siguiente frase, sin cambiar su sentido original: Al no ignorar. a) Al no estar b) Al saber c) Al no saber enterado d) Al carecer de e) Al saber que conocimiento ignora 61. Todo triángulo equilátero es equiángulo. Todo triángulo equiángulo es equilátero. Luego, __________ a) un equiángulo es triángulo sólo si es equilátero b) un triángulo es equilátero sólo si es equiángulo c) un triángulo puede ser equiángulo d) un equilátero siempre es triángulo e) sólo es triángulo un equilátero si es equiángulo 62. Seleccione la opción que se sigue de la afirmación: El número de los ángeles es par. a) No es cierto, los ángeles no existen b) la mitad de los ángeles son también un número par c) el número de ángeles es divisible entre dos d) Los ángeles no se pueden dividir e) No es cierto, los ángeles son incontables 63. De acuerdo al siguiente esquema se puede afirmar que: HOMBRES AVES MORTALES a) Las aves son mortales b) Todos los hombres son mortales c) Hombres y aves son mortales d) Ni las aves ni todos los hombres son mortales e) Los mortales son hombres y aves 64. Escoja la forma adecuada de hacer afirmativa la frase, sin cambiar su sentido original: A no estar libre de duda. a) Al no b) dudar Al seguro estar c) Al libremente dudar d) Al dudoso estar e) Al no estar seguro 65. ¿Cuál de los siguientes enunciados define correctamente al Teorema de Pitágoras? a) En un triángulo equilátero, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa b) En un triángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa c) En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos al cuadrado es igual al doble de la hipotenusa d) En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa e) En un triángulo, el cuadrado de la suma de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa 66. En el interior de un cuadrado ABCD de lado a, se introdujeron 2 rectángulos como lo indica la figura. El perímetro de la parte sombreada es D C A B a) 2a b) 3a c) 4a d) 3, 5a e) Falta información 67. Sea ∆ ABC rectángulo en C. Sean P y Q puntos medios de los lados AC y BC respectivamente. Si EFQP es un rectángulo, AC = 6 cm y BC = 8 cm, entonces el área del rectángulo EFQP es: C P A a) 6 cm2 Q E F b) 9 cm2 c) 75/4 cm2 B d) 12 cm2 e) Ninguna de las anteriores 68. En un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono? a) 360° b) 1080° c) 1260° d) 1800° e) Falta información 69. Si β es un ángulo tal que 0 < β < α, y tanto α como β son ángulos obtusos, el complemento del suplemento de β se mueve entre: a) 90° y 180° b) 0° y 90° c) 0° y α - 90° d) 180° - α y 90° e) α - 90° y 90° 70. ¿En cuál de los siguientes casos es posible construir ∆ un cualquiera? i. Teniendo sus tres ángulos interiores. ii. Teniendo dos lados y el ángulo que comprenden. iii. Teniendo dos de sus tres alturas y un lado. a) Sólo i b) i y ii c) ii y iii d) i, ii y iii e) Ninguna de las anteriores 71. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B punto medio del trazo CD, donde C(3,7) y D(5,1) es: a) 2/3 b) -2/3 c) 3/2 d) -3/2 e) 0 72. Dos grillos cantan durante diez segundos. Uno canta cada 48 segundos y el otro cada 56 segundos. Si a las 12 horas 48 minutos 52 segundos empezaron a cantar juntos, la siguiente vez que comiencen al mismo tiempo serán las: a) 12 horas 49 minutos 40 segundos b) 12 horas 54 minutos 28 segundos c) 12 horas 50 minutos 40 segundos d) 12 horas 50 minutos 36 segundos e) 12 horas 54 minutos 38 segundos 73. El menor de los números que arroja residuo 3 al dividirlo por 9, 13 y 17 es: a) 120 b) 3981 c) 1992 d) 156 e) Ninguna de las anteriores 74. Si n y m son dos números primos entre sí, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? i. El mínimo común múltiplo entre n y m es nm. ii. n y m no tienen divisores comunes, excepto el 1. iii. Ambos números son primos. a) Sólo i b) Sólo ii c) Sólo iii d) i y ii e) Ninguno de los anteriores 75. La expresión mayor, cuando m = -1/2 es: a) m b) –m2 c) m3 d) –(2m)2 e) 2m3 76. Un kilo de manzanas vale 25% más que un kilo de naranjas y éste vale 10% más que un kilo de peras. Si las peras valen $ 100 el kilo, cuatro kilos de manzanas valen: a) $ 137.5 b) $ 550 c) $ 135 d) $ 142 e) Ninguna de las anteriores. 77. Si x < y, ¿cuál (es) de los siguientes números son SIEMPRE negativos? I. xy2 II. x–y III. xy – x2 a) Sólo I b) Sólo II c) II y III d) I y II e) I, II y III 78. En el rectángulo ABCD de la figura, AB || PR. Si FC = 5 cm, RF = 4 cm y AF = 10 cm. ¿Cuánto vale el perímetro del rectángulo ABCD? D C P A a) 24 cm R F B b) 36 cm c) 42 cm d) 54 cm e) 72 cm 79. En una elección, 8 candidatos se presentan postulando a 3 cargos diferentes. ¿Cuál es el número de resultados distintos que pueden producirse? Nota: Una persona no puede tener más de un cargo. a) 10 b) 56 c) 60 d) 336 e) Ninguna de las anteriores 80. Se lanza un dado 6 veces. La probabilidad de que el quinto lanzamiento salga un seis es: a) 1/66 b) 1/65 c) 5/6 d) 1 e) 1/6 Clave de respuestas. 1. c 2. e 3. d 4. d 5. b 6. d 7. d 8. b 9. a 10. e 11. b 12. e 13. d 14. e 15. a 16. d 17. c 18. c 19. d 20. a 21. b 22. a 23. c 24. c 25. d 26. c 27. a 28. c 29. d 30. d 31. a 32. a 33. a 34. b 35. d 36. b 37. b 38. e 39. e 40. d 41. d 42. b 43. a 44. e 45. b 46. b 47. e 48. e 49. d 50. a 51. b 52. b 53. b 54. b 55. b 56. a 57. b 58. b 59. d 60. b 61. b 62. c 63. d 64. d 65. d 66. c 67. d 68. c 69. c 70. c 71. a 72. e 73. c 74. d 75. c 76. b 77. b 78. c 79. d 80. e RAZONAMIENTO NUMERICO (respuestas al final) 1.- En la secuencia 9, 36, 144, … ¿Cuál el número que sigue? a) 316 b) 624 c) 576 d) 564 e) 486 2.- En la sucesión numérica 5, 4, 8, 7, 11, …, los dos números siguientes son a) 9 y 10 b) 11 y 15 c) 9 y 13 d) 10 y 14 3.- En la sucesión numérica 55, 54, 52, 51, …, los dos números siguientes son: a) 50 y 48 b) 47 y 48 c) 49 y 48 d) 48 y 49 4.- Observa la siguiente lista de números 3, 8, 13, 18, 23, 28, … el número que ocupa el lugar 8 en la lista es: a) 33 b) 43 c) 38 d) 78 5.- En la sucesión numérica 4, 12, __, 240, 1440 el número que falta es: a) 28 b) 48 c) 60 d) 120 6.- Observa la siguiente lista de números 3, –1, –5, … el número que ocupa el lugar 8 en la lista es: a) –25 b) 25 c) 21 d) –21 7.- Observa la siguiente sucesión 2, 6, 18, … ¿cuál es el 5° termino de esta sucesión? a) 162 b) 161 c) 48 d) 144 8. En la sucesión numérica XX, XXII, XXVI, XXVIII, …, el número que sigue es: a) XXXII y XXIV b) XX y XXII c) XXXI y XXXII d) XXI y XXIV 9.- Observe la siguiente lista de números 2, 23, 25, 27, 29, … El término que ocupa el lugar número 15 es: a) 221 b) 229 c) 222 d) 215 10.- En la sucesión numérica 7, 15, 9, 17, …, el número que sigue es: a) 19 b) 29 c) 11 d) 21 11.- Observe la siguiente lista de números 4, 7, 10, … ¿Si continuas escribiendo números en esta lista, encontraras el número 46? a) Si es el término 15 b) No c) si es el término 12 d) Si es el término 16 12.- ¿Qué número continua? 1024, 256, 64, 16, 4 … 1 a) –1 b) 1 c) 0 d) 4 13.- ¿Qué número completa la secuencia 3, 5, 9, 17, 33, __? a) 66 b) 56 c) 65 d) 39 11 11 11 , , ,Κ La fracción siguiente es: 28 22 16 11 11 11 b) c) − d) 10 9 12 14.- En la serie a) 11 18 15.- En la serie 81, 274, 97, … el número siguiente es: b) 910 c) 3 d) 9 a) 310 16.- ¿Qué número continua? 26, 20, 17, 11, 8, __ a) 6 b) 4 c) 2 d) 3 17.- En la siguiente secuencia 4, 9, 11, 16, 18, … los siguientes dos términos son: a) 23 y 25 b) 20 y 22 c) 21 y 23 d) 22 y 24 18.- Que número falta de la siguiente secuencia 4, 9, 16, __, 36, 49 a) 25 b) 20 c) 24 d) 28 19.- Que número falta de la siguiente secuencia 2, 6, __, 120, 720 a) 12 b) 8 c) 10 d) 24 20.- Que número falta de la siguientes secuencia 3, 7, 15, 31, __ a) 60 b) 64 c) 62 d) 63 21.- Que números faltan de la siguiente secuencia 7, 9, 6, 8, 5, __, __ a) 6 y 8 b) 7 y 4 c) 4 y 7 d) 8 y 9 22.- Que número falta de la siguiente secuencia 2, 5, 14, 41, __ a) 121 b) 123 c) 132 d) 122 23.- ¿Qué terna de letras representa la continuación mas lógica de la serie (Prescíndase de la ñ) z, y, x, u, v, w, t, s, r, __, __, __ a) opq b) poq c) oqn d) nop 24.- Los resultados de las sumas 99 + 99 + 9; y 999 + 9 se encuentran entre: a) 100 y 1000 b) 207 y 1008 c) 200 y 1150 d) 150 y 1005 25.- ¿Cuáles son los resultados de las sumas? 9 + 9 + 9 + 9 = 99 + 99 + 99 + 99 = 999 = a) 36 360 3600 b) 36 396 3996 c) 36 396 3906 d) 36 360 3996 999 + 999 + 999 + 26.- Observa la singularidad que existe en las sumas: A + 95 = 202 B + 995 = 2002 C + 9995 = 20002 D + 99995 = 200002 G + __________ = 200000002 De acuerdo con esto, ¿Cuál número deberá de escribirse en el espacio en blanco? a) 99995 b) 99999995 c) 9999999995 d) 9995 27.- Una enfermera da a un paciente una tableta cada 20 min. ¿Cuántas veces tendrá que dar el medicamento en una jornada de 9 horas si, la primer tableta la da al llegar y la ultima al partir? a) 28 b) 27 c) 29 d) 30 28.- Tres cuadrillas de pizcadores levantan el fruto de un pedido de 10 días ¿En cuántos días harían el mismo trabajo 15 cuadrillas? a) 50 b) 2 c) 5 d) 20 29.- Al iniciar el viaje, el tanque de gasolina de una camioneta estaba lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad. Al llegar a su destino le queda solamente un tercio de su tanque. Si la capacidad total del tanque es de 120 litros, ¿Cuántos litros de gasolina consumió en el trayecto? a) 25 litros b) 50 litros c) 75 litros d) 100 litros 30.- En la secuencia 1, a) 1 12 b) 2 1 1 , , … ¿Cuál número continua? 3 9 1 1 c) d) 27 2 31.- ¿Cuál de las fracciones es menor que a) 1 6 b) 3 2 c) 3 4 3 ? 5 d) 5 3 32.- En cuál opción se encuentra el valor que falta en la siguiente igualdad para que sea cierta ( )2 – 6 = 10 a) 16 b) 4 c) 2 d) 26 33.- ¿Cuál de las siguientes fracciones a) 1 2 b) 3 4 c) 5 6 1 3 5 11 tiene el valor más pequeño? , , , 2 4 6 20 11 d) 20 34.- Usted tiene 30 monedas, se apuesta todo y recupera la apuesta mas 60 monedas, se gasta un tercio del total en una camisa, 10 en un taxi y el diez por ciento del resto lo da de propina. ¿Cuánto le queda? a) 18 b) 60 c) 50 d) 45 35.- Un cubo de madera de 30 cm. de lado se pinta completamente de rojo; luego se corta en 27 cubitos de 10 cm. De lado cada uno. ¿Cuántos serán los cubitos cortados que presentaran solo dos caras pintadas? a) 25 b) 5 c) 12 d) 18 36.- Carmen pulsa 60 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulas más que 40 en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo emplearan entre las dos para pulsar 360 caracteres en total? a) 36 seg. b) 16 seg. c) 20 seg. d) 40 seg. 37.- Al registrar las temperaturas en las ciudades A, B y C, el día de hoy a la misma hora se observo que las ciudades A y C registraron la misma temperatura y la cuidad B tuvo una temperatura mas baja que de la cuidad C. En la cuidad A, se registro una temperatura menor que cero grados. ¿Cómo es la temperatura de la cuidad B con respecto a la cuidad A? a) TB = TA b) TB > TA c) TB ≈ TA d) TB < TA 38.- Un dueño de una cantina quiere dividir un vino que tiene un recipiente de 16 litros en 2 partes iguales, para hacerlo solo dispone del recipiente original y dos recipientes vacíos de 11 y 6 litros. ¿Cuántas operaciones de trasvase son necesarias para llevar a cabo esta misión? a) 14 b) 12 c) 16 d) 18 39.- Un vehículo recorre 2600 kilómetros en 14 horas, ¿Cuánto recorre en 12 días, sí cada día esta en movimiento 7 horas? a) 16000 Km. b) 15600 Km. c) 18650 Km. d) 24560 Km. 40.- En un torneo de squash, ¿Cuántos partidos deben jugarse si hay 1046 jugadores?, si en cada partido el perdedor queda fuera y el ganador avanza y termina un único campeón. a) 543 b) 534 c) 1045 d) 1450 41.- El triple de un número menos 6 es 6, ¿cuál es el doble de ese número? a) 6 b) 4 c) 8 d) 2 42.- Un dibujo, incluyendo el marco, tiene 36 cm. de largo y 16 cm. de ancho. Si el marco tiene 2 cm. de ancho, ¿Cuál es el área en cm2 del dibujo? a) 448 b) 484 c) 384 d) 348 43.- Seis peras pesan tres cuartos de kilogramos, ¿Cuál es el peso en gramos de una pera? a) 125 b) 250 c) 120 d) 80 44.- El producto de 214 y 217 es b) 4228 c) 44111 a) 2111 d) 2128 3 45.- Para preparar 8 porciones de gelatina se necesita 1 de taza de azúcar. Si se desean preparar 24 4 porciones ¿Cuántas tazas de azúcar se necesitan? 3 1 1 3 b) 5 c) 6 d) 6 a) 3 4 4 2 4 46.- ¿Cuál es el valor de k en la secuencia 4, 16, 64, 256, k? a) 512 b) 1204 c) 1024 d) 1124 47.- ¿Cuál es área de la región sombreada de la figura siguiente? a) 4ab b) 2ab c) ab 2 d) (ab)2 48.- Determine la medida del menor ángulo formado por las manecillas de un reloj que marca las 3:30 exactamente a) 90° b) 270° c) 180° d) 45° 49.- ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo si su largo mide 5 cm. y su ancho mide 12 cm? a) 169 cm. b) 13 cm. c) 144 cm. d) 14 cm. 50.- Determine el número que sigue en la serie siguiente: 1, 2, 5, 8, 13, ? a) 18 b) 16 c) 15 d) 25 51.- Determine el número que continua en la serie siguiente 4, 7, 12, 19, 28, ? a) 41 b) 33 c) 39 d) 34 52.- Determine el número que falta 18(11), 36(22), 72(51), 144(116), 288(?) a) 256 b) 254 c) 220 d) 253 53.- ¿Qué número falta en la serie siguiente? a) 4 b) 6 c) 2 d) 8 54.- Carlos estuvo inconsciente durante 420 segundos, ¿Cuántos minutos permaneció inconsciente? a) 7 min. b) 12 min. c) 42 min. d) 14 min. 55.- Una persona diariamente usa shampoo, Cada que se le acaba acude a la tienda y compra la presentación que le de más por su dinero. De las cuatro presentaciones siguientes ¿Cuál escogería? a) 360 ml. por $9 b) 600 ml. por $14.40 c) 800 ml. por $18.40 d) 400 ml. por $8.40 56.- Un cajero trabaja a un ritmo de tres minutos por cliente y otro cajero trabaja a un ritmo de dos clientes por minuto. ¿A cuantos clientes atienden los dos cajeros en una hora? a) 60 b) 140 c) 65 d) 17 57.- El número que completa la serie a) 134 b) 143 c) 101 es d) 115 58.- El número que falta en la serie a) 12 b) 54 c) 24 es d) 32 59.- Determine el número que falta de la serie: a) 28 b) 18 c) 8 es d) 24 1 de kilo de frijoles cuestan $3.40 entonces 3 kilos de frijoles costaran 4 a) $40.8 b) $2.55 c) $20.55 d) $45.55 60.- Si 61.- José disponía de $3000.00 compro un sombrero con ¿Cuánto le sobro? a) $1000.00 b) $2000.00 c) $500.00 1 1 de su dinero y una camisa con de o que quedo, 3 2 d) $1500.00 62.- Juan pidió 35 refrescos a una tienda. Los de naranja se los vendieron a 80 centavos y los de cola a 95 centavos. Si pago en total $30.25, ¿Cuántos refrescos de naranja pidió? a) 20 b) 15 c) 8 d) 12 5 2 m equivale en decímetros cuadrados a: 4 b) 120 dm2 c) 80 dm2 d) 45 dm2 63.- Un terreno que mide a) 125 dm2 64.- En la proporción, a) 10 b) 2 72 8 ¿Cuál es el valor de m? = 18 m c) 18 d) 72 65.- Calcula el valor de a en la siguiente proporción a) 2 66.- Si 6 = a) –12 b) 4 c) –2 h , el valor de h es: −2 b) 12 c) 3 a 26 = 7 91 d) –4 d) –3 67.- Si un terreno tiene un área de 120 m2 y otro tiene 360 m2, la razón del primero con respecto al segundo es: a) 1 a 3 b) 1 a 4 c) 1 a 2 d) 1 a 5 68.- En una escuela la proporción de hombres y mujeres es de 3 a 2. Si hay 354 hombres. ¿Cuántos alumnos hay en total? a) 236 b) 263 c) 590 d) 640 69.- ¿Cuál es el valor del ángulo x, formado por la recta L, perpendicular a la recta inclinada AB que forma 30° con la horizontal, tal como se muestra en la figura? a) 50° b) 40° c) 60° d) 30° 70.- ¿Cuál es el valor del ángulo x, formado por la recta L, perpendicular a la recta inclinada AB que forma 60° con la horizontal, tal como se muestra en la figura? a) 45° b) 20° c) 30° d) 10° 71.- ¿Cuál es el valor del ángulo x, formado por la recta L, perpendicular a la recta inclinada AB que forma 40° con la horizontal, tal como se muestra en la figura? a) 60° b) 45° c) 40° d) 50° 72.- ¿Cuánto mide el lado x? a) 5 m b) 3 m c) 4 m d) 12 m 73.- ¿Cuál es el valor de x? a) 5 m b) 9 m c) 7 m d) 4 m 74.- ¿Cuál es el valor de x? a) 1.5 m b) 2.5 m c) 3 m d) 3.5 m 75.- ¿Cuál es el valor de x? a) 7.5 m b) 8.5 m c) 9 m d) 9.5 m 76.- Se quiere construir una caja sin tapa, cual de las figuras sirve para hacer esta caja si no se permite recortar y el cuadrado del sombreado debe ser la base: a) b) c) d) 77.- Relaciona las siguientes figuras: a) b) Es a c) como es a: d) 78.- Un tanque de agua tarda en llenarse 120 minutos con tres surtidores ¿Cuántos surtidores se deben emplear si debe llenarse en 40 minutos? a) 1 b) 9 c) 6 d) 4 79.-Juan camina 36 Km. en 6 horas y su primo Miguel camina 25 kilómetros en 5 horas. Si parten juntos, al mismo tiempo y en la misma dirección, después de que ambos caminan 12 horas,¿a qué distancia se encuentra Juan de Miguel? a) 12 km. b) 6 km. c) 4 km. d) 8 km. 80.-Una persona gasta la mitad de su salario pagando la renta de su casa y un tercio lo gasta en el mantenimiento de la misma. Si esta persona gana mensualmente 6,000.00 ¿Cuánto le queda después de hacer estos gastos? a) 1,000.00 b) 3,000.00 c) 2,000.00 d) nada 81.- ¿Cuál es la que sigue en la secuencia? 82.- Si se doblan las siguientes figuras a lo largo de la línea B ¿Qué figura no es simétrica con respecto a la línea B? 83.- Qué parte sombreada representa la cuarta parte de la mitad de un entero? 84.- Lo números que se deben escribir dentro de las casillas vacías para completar la tabla son: 2 4 6 8 16 24 a) 7 y 36 b) 8 y 32 c) 10 y 26 d) 9 y 34 85.- ¿Cuántas unidades cúbicas contiene la siguiente figura? a) 18 b) 20 c) 52 d) 84 86.- Si el minutero de un reloj recorre en una hora 360°, entonces entre las dos y las cinco recorre un ángulo de: a) 90° b) 120° c) 45° d)20° 87.- Las tres quintas partes de 90° corresponde a un ángulo que mide: a) 52 b) 34 c) 44 d) 54 Respuestas a razonamiento numerico 1.- c 2.- d 3.- c 4.- c 5.- b 6.- a 7.- a 8.- a 9.- b 10.- c 11.- a 12.- b 13.- c 14.- b 15.- a 16.- c 17.- a 18.- a 19.- d 20.- d 21.- b 22.- d 23.- a 24.- b 25.- b 26.- b 27.- a 28.- b 29.- b 30.- c 31.- a 32.- b 33.- a 34.- d 35.- c 36.- a 37.- d 38.- a 39.- b 40.- c 41.- c 42.- c 43.- a 44.- a 45.- b 46.- c 47.- b 48.- a 49.- b 50.- a 51.- c 52.- d 53.- b 54.- a 55.- d 56.- b 57.- b 58.- b 59.- a 60.- a 61.- a 62.- a 63.- a 64.- b 65.- a 66.- a 67.- a 68.- c 69.- c 70.- c 71.- d 72.- a 73.- b 74.- a 75.- c 76.- b 77.- a 78.- b 79.- a 80.- a 81.- b 82.- b 83.- d 84.- b 85.- d 86.- a 87.- d