Métodos Estadísticos para la economía y la administración de empresas

Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Licenciaturas en Economía y Administración y Dirección de Empresas
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ECONOMÍA
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
Convocatoria de Septiembre. 1/ 9/ 2003
1) Dada una variable aleatoria X, demostrar que se verifica:
a) Var(X) = E(X 2 ) − E (X) 2
b) Var (aX + c) = a 2 Var (X) , siendo a y c dos constantes cualesquiera.
2) Una empresa editorial sabe que el número de errores de impresión por página sigue un
modelo de Poisson de parámetro λ. Con el objetivo de estimar λ se toma una muestra aleatoria
simple de tamaño n.
a) Obtener un estimador de λ por el método de los momentos.
b) Estudiar el sesgo del estimador obtenido.
c) Sabiendo que la cantidad de información de Fisher de la muestra es:
I n (x , θ ) =
n
λ
Comprobar si el estimador anterior es eficiente.
3) Una empresa desea analizar el consumo semanal de refrescos (en litros) en diferentes
estaciones del año, por lo que seleccionados aleatoriamente 10 individuos se observó su
consumo antes (X) y durante el verano (Y), estudiándose posteriormente el incremento del
consumo durante el verano (Y-X). A partir de la siguiente salida del programa ADE+:
a) Completar razonadamente la información anterior, construyendo un intervalo de
confianza al 95% para el incremento esperado en el consumo.
b) Justificar qué ocurriría con la amplitud del intervalo anterior si se incrementase el nivel
de confianza.
4) Las cantidades de pan (X1, en miles de kg) y de bollería (X2, en miles de kg) vendidas
mensualmente por cierta panadería son dos v.a. independientes con la siguiente distribución:
X 1 ≈ N(20, 2 )
X 2 ≈ N(22, 2,5)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un mes cualquiera, la cantidad total vendida de
ambos productos supere los 44.000 kg?
b) Los meses en los que la cantidad vendida total de ambos productos supera los 44.000 kg
los empleados de la panadería reciben una prima en sus salarios. ¿Cuál es la
probabilidad de que reciban esta prima más de 12 veces durante los próximos tres años?
c) Se sabe que un 20% de los clientes de la panadería compra tanto pan como bollería.
Obtener el número esperado de clientes que tienen que entrar en la panadería hasta que
uno de ellos adquiera ambos tipos de productos.
5) Una organización de consumidores está estudiando algunas características relativas al
régimen de tenencia de las viviendas por parte de los hogares de cierto municipio.
a) En opinión de algunos ciudadanos, los altos precios de las viviendas no les permiten
dedicar dinero al ahorro. Para analizar si el régimen de tenencia de la vivienda por parte
de los hogares del municipio es independiente del hecho de que éstos puedan o no
dedicar dinero al ahorro, el encargado del estudio ha tomado una muestra aleatoria
simple de 150 hogares, construyendo la siguiente tabla de frecuencias conjuntas:
Ahorro/ Tenencia
Sí
No
Propiedad
55
56
Alquiler
8
15
Gratuita
6
10
b) A partir de la información recogida, ¿pueden ser consideradas independientes ambas
características?
c) Desde el ayuntamiento se afirma que al menos el 85% de los hogares habitan en una
vivienda de su propiedad. ¿Avala la información muestral disponible esta hipótesis?
d) Por estudios previos se sabe que la variable “precio mensual del alquiler en el municipio
(en euros)” presenta una desviación típica de 100. Estimar el precio mensual esperado
con un nivel de confianza del 90% si en la muestra de 23 hogares residentes en
viviendas en alquiler se ha obtenido una media de 345.
Pregunta
Puntuación
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas.
1
2
3
1,5
1,75
1,5
4
2,5
5
2,75
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
Convocatoria de Junio. 9/ 6/ 2003
1)
a) Dadas dos variables aleatorias independientes X e Y, comprobar la relación existente entre
la función generatriz de momentos de X+Y y la correspondiente a cada una de las variables.
b) Enunciar y comprobar la propiedad de reproductividad del modelo Normal sabiendo que la
función generatriz de momentos de una variable aleatoria X≈N(µ,σ) es M X (t ) = e
µt +
σ2t 2
2
.
2)
a) Definir la proporción muestral, p̂ , y deducir la expresión de Var( p̂ ).
b) Un partido político ha llevado a cabo sondeos electorales en varios municipios
obteniendo los siguientes resultados:
Municipio
Tamaño Muestral
A
B
120
150
Personas con intención de
votar al partido
40
50
Obtener razonadamente intervalos de confianza al 95% para la proporción de votos que
el partido político espera alcanzar en cada uno de los municipios.
c) Comparar la precisión de los intervalos obtenidos, justificando las diferencias
existentes.
3) Se desea estimar la varianza del gasto familiar a partir de una muestra de 41 hogares, cuya
información ha sido incorporada a un archivo del programa ADE+ obteniendo la siguiente
salida:
a) Completar razonadamente la información anterior.
b) Si la discrepancia de Jarque-Bera llevase asociado un nivel crítico de 0,009,
justificar qué consecuencia tendría sobre la estimación anterior.
4) El número de billetes falsos que por descuido acepta cada empleado de cierta sucursal
bancaria semanalmente (X) es una variable aleatoria que se distribuye según un modelo de
Poisson con esperanza 0,4.
a) Calcular la probabilidad de que una semana cualquiera un empleado acepte más de un
billete falso.
b) Obtener la probabilidad de que el número mensual de billetes falsos aceptados por un
empleado sea superior a 2 (considerando 4 semanas por mes).
c) Cada empleado es premiado con una prima de 100 euros si un mes no acepta ningún
billete falso. Dicha prima se reduce a 50 euros si acepta como máximo 2 billetes falsos.
Obtener la distribución de probabilidad y el valor esperado de la variable aleatoria
“prima mensual de un empleado (en euros)”.
5) El tiempo de viaje (en minutos) entre dos ciudades es una variable aleatoria con distribución
normal. A partir de una m.a.s. de 30 automovilistas se ha observado un tiempo medio de viaje
de 15 minutos con desviación típica 1,9.
a) Estimar el tiempo esperado de viaje con un nivel de confianza del 90%.
b) Desde la administración pública se opina que la dispersión de los tiempos de viaje
no es elevada, indicando que la varianza de dicha variable es a lo sumo 3. A partir
de la información muestral disponible ¿es admisible esta afirmación?
c) La Consejería de Obras Públicas ha introducido reformas viales, y afirma que con
ellas no aumenta el tiempo esperado de viaje entre las dos ciudades. Se conoce que
la duración del viaje tras las reformas (en minutos) se distribuye normalmente y
presenta idéntica dispersión que la duración inicial. Seleccionada una m.a.s. de 37
automovilistas, independiente de la anterior, se ha observado un tiempo medio de
viaje de 14 minutos con desviación típica 1,8 ¿avala la información muestral el
supuesto de la Consejería?
Pregunta
Puntuación
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas.
1
2
3
1,75
2
1,5
4
2
5
2,75
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Licenciatura en Economía
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ECONOMÍA
Convocatoria de Febrero. 07/ 2/ 2003
1) Sobre un colectivo de estudiantes se está analizando el tiempo que dedican al estudio
semanalmente (X, en horas) y el consumo semanal de café (Y, en litros). Si se concluye que
ambas variables son independientes, demostrar que:
a) Cov(X,Y)=0
b) Var(X-Y)= Var(X)+ Var (Y)
2)
a) Describir el test de independencia chi-cuadrado, explicando la construcción de la
discrepancia y el nivel crítico asociado.
b) Para contrastar la independencia entre el sexo y el nivel de estudios (clasificados en las
siguientes categorías: primarios, secundarios o superiores) se ha observado una muestra
aleatoria de 100 personas, a partir de la cual se ha obtenido la siguiente discrepancia
d *IND = 9,73 . ¿Cuál es la conclusión del contraste?
3) Una asociación ecologista desea estudiar el volumen de aguas residuales tratadas diariamente
en una localidad (miles de m3), variable con varianza 50. Dicha asociación mantiene que el
volumen diario esperado de estas aguas no supera los 20.000 m3. A partir de la información
suministrada por el programa ADE+:
a) Contrastar la opinión de la asociación y completar razonadamente la pantalla
correspondiente.
b) Si resolvemos el contraste por el método clásico para un nivel de significación del 5%,
indicar cuál de los dos siguientes gráficos se corresponde con el contraste planteado y
determinar la región crítica.
GRÁFICO A
GRÁFICO B
4) Una empresa láctea elabora cierto tipo de yogur en dos de sus plantas de fabricación. La
producción diaria de yogur en cada planta se distribuye aleatoriamente entre 500 y 800 kg:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que cierto día la producción de una planta supere los 700
kg?
b) Se sabe que la producción diaria es independiente, y por cada día que supera los 700 kg
los empleados reciben una prima de productividad:
b1) Calcular la probabilidad de que en un mes con 22 días laborables los empleados de
una planta reciban ese plus más de un día.
b2) Si el funcionamiento de las dos plantas es independiente, ¿cuál es la probabilidad de
que en cierto mes la empresa tenga que pagar al menos 16 primas de productividad a los
trabajadores de las dos plantas?
5) El consumo mensual de carne de pollo de los hogares sigue una distribución normal. En una
muestra aleatoria simple de 24 hogares se ha observado un consumo medio mensual de 10 kg
con desviación típica 2,5:
a) Estimar el consumo mensual esperado con un nivel de confianza del 95%.
b) Analizar cómo se vería afectada la estimación anterior si la distribución del consumo de
pollo fuese desconocida.
c) En opinión de los expertos la variabilidad del consumo de pollo es relativamente
pequeña, planteando al respecto la hipótesis de que su varianza es a lo sumo 4. ¿Avalan
los datos disponibles este supuesto?
d) Mediante estudios adicionales se ha estimado que la desviación típica del consumo
mensual de carne de pollo es de 3 kg. A partir de esta información, calcular el tamaño
de muestra necesario para estimar el consumo mensual esperado con un margen de error
de 1 kg y un nivel de confianza del 99%.
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas 15 minutos
Pregunta
Puntuación
1
1,5
2
1,5
3
1,75
4
2,25
5
3
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Licenciaturas en Economía y Administración y Dirección de Empresas
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ECONOMÍA
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
Convocatoria de Septiembre. 17/ 9/ 2002
1)
a)
Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabiendo que ambos
son independientes, comprobar la independencia entre A y Bc.
b)
Enunciar el Teorema de la Probabilidad Total.
2) El jefe de zona de determinada entidad financiera desea estimar la proporción de clientes
morosos en sus oficinas, para lo cual, a partir de los registros de clientes de la entidad, tomará
una muestra aleatoria simple de tamaño n.
a)
b)
Proponer un estimador de la proporción de morosos y estudiar su sesgo.
Deducir la expresión de la discrepancia tipificada asociada al estimador anterior,
justificando cuál es su distribución de probabilidad en muestras de tamaño elevado.
c)
El jefe de zona pretende estimar la proporción de morosos mediante un intervalo de
amplitud 0,2 y con un nivel de confianza del 95%. Determinar el tamaño mínimo de
muestra que debería considerarse.
3) Un centro comercial desea realizar un estudio sobre su actividad con la ayuda del programa
ADE+.
a)
Sabiendo que el tiempo empleado por un cliente en la realización de sus compras se
distribuye uniformemente entre 0 y 120 minutos, completar e interpretar las siguientes
pantallas de entrada y salida:
b)
Se han estimado los ingresos diarios esperados (X, en miles de euros) con un nivel de
confianza del 90%. Completar las pantallas adjuntas, explicando cómo ha sido obtenido
dicho intervalo.
4) El kilometraje de los coches usados en el mercado de segunda mano (en miles de Km.) es una
variable aleatoria con esperanza 70 y varianza 36.
a)
Si se seleccionan al azar 15 automóviles usados, ¿cuál es la probabilidad de que el
kilometraje medio de los mismos se desvíe de su valor esperado en menos de 2.000 Km.?
b)
Si se considerasen 35 vehículos de segunda mano cualesquiera, ¿cuál sería la
probabilidad de que el kilometraje total de los mismos fuese superior a 2.500.000 Km.?
c)
Se sabe que la potencia de los vehículos (en CV) se distribuye normalmente con
esperanza 80 y desviación típica 10. Si un automóvil tiene 95 CV, ¿se encontraría entre el
10% de los vehículos de mayor potencia?
5) Una empresa de productos electrónicos desea estudiar la duración de sus pilas eléctricas (X,
en horas), variable que sigue un modelo probabilístico normal. En una m.a.s. de 51 unidades se
ha observado una duración media de 50 horas con desviación típica de 5.
a)
La empresa asegura en su publicidad que la duración esperada de las pilas es de al
menos 52 horas. ¿Es admisible este supuesto?
b)
Desde la dirección se asegura que la duración de las pilas es independiente de la calidad
de las mismas. A partir de la información recogida en la tabla adjunta, determinar si es
admisible la afirmación anterior.
Calidad\duración
Alta
Media
Baja
c)
Larga
18
2
2
Media
2
12
2
Corta
2
3
8
Estimar la proporción de pilas de baja calidad con un nivel de confianza del 90%.
Pregunta
Puntuación
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas.
1
2
3
1,5
2
1,75
4
2
5
2,75
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
Convocatoria de Junio. 11/ 6/ 2002
1) Sean X 1 , X 2 ,..., X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, siendo
la función generatriz de momentos de cada una de ellas M X i ( t ) = e t p + q .
a) Obtener el valor esperado de Xi.
b) Dada Z =
n
∑X
i =1
i
, deducir la expresión de la función generatriz de momentos de Z.
2)
a) Describir brevemente el test de bondad de ajuste chi-cuadrado (hipótesis nula,
discrepancia, conclusión del contraste).
b) Una empresa de mensajería urbana afirma que el tiempo de reparto de sus envíos se
distribuye uniformemente entre 10 y 110 minutos.
Contrastar razonadamente este supuesto a partir de la información disponible para una
muestra de 54 envíos:
Tiempos de reparto
(10, 20]
(20,50]
(50, 80]
(80, 110]
Número de envíos
6
16
22
10
3) Se sabe que el 25% de la población de cierta comunidad autónoma son individuos jóvenes,
un 55% es de mediana edad y un 20% es de avanzada edad. La Consejería de Salud de la
comunidad dispone de datos que permiten afirmar que un 50% de los jóvenes mantienen una
alimentación adecuada, proporción que se eleva al 85% entre los individuos de mediana edad
frente al 70% de las personas con más edad.
a) A partir de esta información completar razonadamente la pantalla de entrada de datos
del programa ADE+ y justificar cómo ha sido obtenida la probabilidad total de
alimentación adecuada.
b) Sabiendo que un individuo cualquiera mantiene una alimentación correcta ¿cuál es la
probabilidad de que se trate de un joven?
4) Una factoría de productos lácteos desea adquirir nuevos uniformes para sus empleados. Se
conoce que la estatura (en cm.) de los mismos es una variable aleatoria que se distribuye
normalmente con valor esperado 168 y desviación típica 12. Sabiendo que los empleados cuya
altura supere los 175 cm. deben usar uniformes de talla grande:
a) Calcular la proporción de uniformes de talla grande que deben encargarse.
b) Si se seleccionan al azar 32 empleados de la factoría, obtener la probabilidad de que
más de 14 de ellos usen uniforme de talla grande.
c) Para obtener los nuevos uniformes los empleados deben acudir a la sección de personal.
Calcular la probabilidad de que el cuarto empleado en llegar sea el primero al que le
corresponda un uniforme de talla grande. ¿Cuál es el número esperado de empleados
que acudirán a dicha sección hasta encontrar uno que utilice la talla grande?
5) Una compañía discográfica está estudiando las ventas del CD de un artista. Para ello
selecciona una muestra aleatoria simple de 17 tiendas de discos sobre la que investiga las ventas
del CD desde su lanzamiento (X, en cientos de euros), obteniendo una media de 13,79 con una
desviación típica de 3,08.
a) ¿Es asumible el supuesto de normalidad para la variable ventas si se sabe que en la
muestra anterior el coeficiente de asimetría es g1=0,32 y el coeficiente de apuntamiento
g2=−0,61?
b) Obtener un intervalo de confianza al 90% para la varianza de las ventas. ¿Cómo se vería
afectada la precisión del intervalo si exigiésemos un mayor nivel de confianza?
c) La discográfica defiende que las ventas de este artista presentan el mismo valor
esperado que las ventas de un famoso grupo. Sabiendo que las ventas del grupo (Y, en
cientos de euros) se distribuyen normalmente y presentan idéntica dispersión que las del
artista, concluir si es admisible la opinión de la discográfica partiendo de la siguiente
información obtenida sobre una muestra aleatoria simple de tamaño 20, independiente
de la anterior :
y = 17,73
s Y = 3,56
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas.
Pregunta
Puntuación
1
1,5
2
1,75
3
1,75
4
2,25
5
2,75
Facultad de CC. Económicas y Empresariales
Licenciatura en Economía
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ECONOMÍA
Convocatoria de Febrero. 8/ 2/ 2002
1)
a) Sea T un estimador del parámetro θ:
a.1) Definir el error cuadrático medio asociado a T.
a.2) Comprobar que ECM T (θ) = [B T (θ)]2 + Var (T ) .
b) Sea X una población con esperanza µ y varianza σ2, de la que se extrae una m.a.s. de
tamaño 5, (X1, X2, ..., X5), para estimar µ a partir de la media muestral. Obtener
razonadamente el error cuadrático medio de dicho estimador.
2) La duración de los viajes (en minutos) en una línea aérea que vuela entre dos ciudades A y B
se distribuye normalmente con valor esperado 45 y desviación típica 10.
a) Se conoce que el 80% de los viajeros llegan tarde a sus compromisos en la ciudad B si
el vuelo dura más de 60 minutos; mientras que esta proporción desciende al 15% en el
caso de que el vuelo sea de menor duración. Seleccionado al azar un viajero que tenga
una cita en la ciudad B, calcular la probabilidad de que llegue tarde.
b) En la publicidad de la empresa se afirma que si un vuelo dura entre 55 y 60 minutos el
cliente es indemnizado con el 50% del importe del billete; mientras que si dura más de
60, se le indemniza con el importe íntegro del billete. Sabiendo que el billete tiene un
valor de 120 €:
b.1) Obtener la distribución de la variable “indemnización pagada a un cliente”.
b.2) Calcular la indemnización esperada por un cliente.
3) La facturación semanal (en miles de €) de un fabricante de bolsos y zapatos sigue una
distribución normal con desviación típica 2.
a) En una muestra aleatoria de 24 semanas se ha observado una facturación media de
8.750 €. Completar las pantallas del programa ADE+ para estimar la facturación
semanal esperada con un nivel de confianza del 90%:
b) El fabricante desea calcular el tamaño muestral necesario para estimar la facturación
semanal esperada con un margen de error de 800 € y un nivel de confianza del 99%.
Completar las pantallas del programa ADE+ para obtener dicho tamaño:
4) El plazo de ejecución de ciertas obras tiene una esperanza de 5 meses con una varianza de
0,3:
a) Obtener la probabilidad de que el plazo de ejecución de una obra esté entre 4 y 6 meses.
b) El coste por obra se distribuye aleatoriamente entre 3.500 y 6.000 €:
b.1) ¿Cuál es la probabilidad de que el coste supere los 5.000 €?
b.2) Calcular el coste esperado.
c) Se han convocado ayudas financieras para obras con coste superior a 5.000 €.
Consideradas 60 obras, ¿cuál es la probabilidad de que más de 20 puedan solicitar
ayudas económicas?
5) Se desea realizar un estudio sobre el consumo semanal de pescado (en gr.) de los niños de
cierto colegio a partir de una m.a.s. de 96 niños.
a) En la muestra se ha observado un coeficiente de asimetría g1=-0,02 y un coeficiente de
apuntamiento g2=-0,73. Analizar si es admisible el supuesto de normalidad para la
variable consumo.
b) En la muestra anterior se ha obtenido una varianza s2=42.486. Estimar la varianza del
consumo con un nivel de confianza del 95%.
c) Los expertos opinan que el nivel de consumo de pescado es independiente del sexo. A
partir de la información proporcionada por la muestra, recogida en la tabla adjunta,
estudiar si es admisible la opinión de los expertos:
Nivel de consumo
Sexo
Mujer
Varón
Pregunta
Puntuación
Bajo
Medio
Alto
12
14
17
22
16
15
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas 15 minutos
1
2
3
4
1,75
2
1,75
2,25
5
2,25