Método de Newton Raphson y ecuación de Van der Waals

UNIVERSIDAD DE
GUANAJUATO
TRONCO COMUN DE INGENIERIAS
METODOS NUMERICOS 300-A
PROYECTO FINAL
APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON
RAPHSON (PARA LA ECUACION DE VANDER
WAALS)
INTEGRANTES
FELIPE DE JESUS PEREZ LOZANO
SERGIO ALBERTO GUTIERREZ ESTRADA
MOISES ZAMBRANO AGUILERA
APLICACIÓN
Por ejemplo supóngase que es
necesario diseñar un sistema de control
automático computarizado de un
proceso de producción de sustancias
químicas. Este sistema requiere una
aproximación exacta de volúmenes
mólales
Leyes de los gases ideales y
no ideales
Antecedentes: la ley de los gases ideales
esta dada por:
1)
pV  nRT
donde p es la presión absoluta, V es el
volumen y n es el número de moles. R es la
constante universal de los gases y T es la
temperatura absoluta. Aunque esta ecuación
la usan ampliamente los ingenieros y
científicos, solo es exacta sobre un rango
limitado de presión y temperatura. Más aun,
la ecuación (1) es más apropiada para
algunos ases que para otros.
Una ecuación alternativa del estado de los
gases esta dada por:
2)
a 

 p  2  v - b   RT
v 

a la que se le conoce de ecuación de van
der Waals. v = V/n es el volumen molal a
y b son constantes empíricas que
dependen de un gas en particular.
Un proyecto de ingeniería química requiere que
calcule exactamente el volumen molal (v) de
los gases reales para combinaciones diferentes
de la temperatura y de la presión, de tal forma
que se pueda seleccionar una vasija apropiada
que los contenga.
Así mismo, es importante examinar que
también se apega cada gas a la ley de los
gases ideales, comparando los volúmenes
mólales calculados con las ecuaciones (1) y
(2).
DATOS
R = 0.082 0541 · atm/ (mol · k)
a = 3.592
Bióxido de carbono
b = 0.042 67
a = 0.034
Helio
b = 0.0236
La presión de interés en el diseño son de 1, 10 y
100 atm para combinaciones de la temperatura
de 300°k.
Solución
Los volúmenes molares de ambos gases se
calculan con la ley de los gases ideales, con
n=1. Por ejemplo, si p= 1 atm y T= 300°k
entonces:
 l · atm   300 k 
v

 0.082054
 mol · k   1 atm 
n
p

 

V
RT
v = 24.6162 l/mol
Los cálculos del volumen molar a partir de
la ecuación de van der Waals se pueden
llevar a cabo usando EL METODO DE
NEWTON RAPHSON
a 

f(v)  p  2 (v - b) - RT


v


DIOXIDO DE CARBONO a 1 atm y 300 k
24.51259100
24.51259050
Presion
Volumen (iteracion)
1
24.5125907263853000
1
24.5125881284415000
1
24.5125881284415000
volumen
24.51259000
24.51258950
24.51258900
24.51258850
24.51258800
24.51258750
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
presion
DIOXIDO DE CARBONO A 10 ATM 300K
VOLUMEN
2.490
2.470
Presion
2.450
10
2.47659934182186000
10
2.35460704202710000
10
2.3544953011830100
Volumen (iteracion)
2.430
2.410
2.390
2.370
2.350
9
10
PRESION
11
DIOXIDO DE CARBONO A 100 atm y 300 k
0.33000
volumen
0.27000
Presion
Volumen (iteracion)
100
0.2859330756394060
100
0.1004744724307970
100
0.10724487666012700
0.21000
0.15000
0.09000
99
99.5
100
presion
100.5
101
HELIO 1 ATM y 300 K
24.63842136
24.63842136
volumen
24.63842136
24.63842136
Presion
Volumen (iteracion)
1
24.6384213643784
1
24.6384213632571
1
24.6384213632571
24.63842136
24.63842136
24.63842136
24.63842136
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
presion
HELIO A 10 ATM 300K
2.490
VOLUMEN
2.470
Presion
Volumen (iteracion)
10
2.484957834559090
10
2.48386415964394
10
2.48386417083057
2.450
2.430
2.410
2.390
2.370
2.350
9
10
PRESION
11
HELIO A 100 ATM y 300 k
0.33000
volumen
0.27000
0.21000
0.15000
0.09000
99
99.5
100
100.5
101
presion
Presion
Volumen (iteracion)
100
0.26973454050377
100
0.268606515398684
100
0.268607425792942
En este caso, la derivada de f (v) se
determina fácilmente y es conveniente
implementar el uso del método de
Newton-Raphson.
La derivada de f
respecto a v está dada por:
a 

f(v)  p  2 (v - b) - RT


v


La derivada
 ab
 a 
f ( v   p     2    3 
v
v 
´
El método de Newton-Raphson se describe
mediante la ecuación (5.6)
Como:
 f ( v1) 
vi  1  v i 

 f ´v 1 
La cual se puede usar en el cálculo de la raíz.
Por ejemplo, usando el valor inicial de
24.6162, el volumen molal del bióxido de
carbono a 300°k y a 1 atm se calcula como
24.51261/mol.
Este resultado se obtuvo
después de 3 iteraciones y con un Єa menor
de 0.001%.
CONCLUSIONES
Se observa que los resultados obtenidos con
la ecuación de van del Waals difieren en
ambos gases de la ley de los gases ideales,
de acuerdo con los valores específicos de p y
de T. más aún, ya que algunos de estos
resultados son significativamente diferentes,
el diseño de las vasijas que contendrán a los
gases sería muy diferente, dependiendo de
que ecuación de estado se haya usado.
Se observa que los resultados
obtenidos con la ecuación de van del
Waals difieren en ambos gases de la ley
de los gases ideales, de acuerdo con
los valores específicos de p y de T. más
aún, ya que algunos de estos resultados
son significativamente diferentes, el
diseño de las vasijas que contendrán a
los gases sería muy diferente,
dependiendo de que ecuación de
estado se haya usado.