Método de Gauss

El método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3
incógnitas en uno escalonado, en el que la 1° ecuación tiene 3 incógnitas, la 2° tiene 2
incógnitas y la tercera 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y
subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas.
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones
entre sí (sumándolas, restándolas, multiplicándolas por un número, etc.)
Ejemplo:
2𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 = −1
{ 3𝑥 + 4 𝑦 − 6𝑧 = 5
5𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = −7
(𝐴)
(𝐵)
(𝐶)
La 1° ecuación siempre se deja igual, procurando que esta sea la más sencilla y a la 2° y
3° ecuación se debe anular el término que lleva la x.
(-3) 2x + 3y – 7z = -1
(-5) 2x + 3y – 7z = -1
(2) 3x + 4y – 6z = 5
(2) 5x – 2y + 4z = -7
–6x –9y + 21z = 3
–10x –15y + 35z = 5
6x + 8y –12z = 10
10x – 4y + 8z = -14
–––––––––––––––––
–––––––––––––––––
–y + 9z = 13 (B´)
–19y + 43z = -9 (C´)
2𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 = −1
{ −𝑦 + 9𝑧 = 13
−19𝑦 + 43𝑧 = −9
(𝐴)
(𝐵´)
(𝐶´)
Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1° y 2° ecuación y
anular el término que lleva la y en la 3° ecuación.
(-19) -y + 21z = 3
-19y + 43z = -9
19y – 171z = -247
-19y + 43z = -9
-128z = -256 (C‘’)
2𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 = −1
{ −𝑦 + 9𝑧 = 13
−128𝑧 = −256
De la última ecuación, debemos despejar z.
z = - 256 / -128
z=2
Ahora debemos sustituir z y despejar y en B´´.
-y + 9(2) = 13
y = 18 -13
y=5
A continuación debemos sustituir y, z y despejar x en A.
2x + 3(5) – 7(2)= -1
2x + 15 -14 = -1
2x + 1 = -1
2x = -2
x = -2/2
x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2).
Clasificación de sistemas por método de Gauss
1. Sistema compatible determinado (S.C.D): una única solución
2𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 = −1
{ −𝑦 + 9𝑧 = 13
−128𝑧 = −256
2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.): infinitas soluciones
2𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 = −1
{ −𝑦 + 9 𝑧 = 13
0=0
3. Sistema incompatible (S.I.): no tiene solución
2𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 = −1
{ −𝑦 + 9𝑧 = 13
0 = −12
(𝐴)
(𝐵´)
(𝐶´´)