Calculo de Probabilidades Teoría de la Adición 𝐴 = Probabilidad de que suceda un evento llamase un resultado. 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = Probabilidad de que se den dos eventos al mismo tiempo. 𝑃 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = Probabilidad de intersección. 𝑃(𝐴 / B)= Probabilidad de A dado B. Sucursales Malo Regular Bueno Norte 120 50 100 270 Sur 100 30 165 295 Este 35 75 85 195 Oeste 70 80 90 240 Total 325 235 440 1000 Una empresa que tiene cuatro sucursales, cada una tiene una mayor o menor afluencia de personas, por lo tanto el numero de encuestas que se toma de cada sucursal es diferente • Cual es la probabilidad de que si yo tomo una encuesta al azar esta sea una encuesta de la sucursal norte? • 𝑃 270 (𝑛𝑜𝑟𝑡𝑒) = 1000 0.27 = 27% Cual es la probabilidad de seleccionar una encuesta al azar y halla tenido un buen trato? 440 𝑃 𝑏𝑢𝑒𝑛𝑜 = = 0.44 = 44% 1000 Cual es la probabilidad de que una persona halla visitado la sucursal sur y halla tenido una opinión regular? 30 𝑃 𝑠𝑢𝑟 ∩ 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = = 0.03 = 3% 1000 Cual es la probabilidad de que una persona halla tenido una mala experiencia y halla visitado la sucursal este. 35 𝑃 𝑚𝑎𝑙𝑜 ∩ 𝑒𝑠𝑡𝑒 = = 0.035 = 3.5% 1000 Cuando los eventos son Mutuamente Excluyentes (no pueden suceder al mismo tiempo) Cuando nos piden fila contra fila o Columna contra columna. Cual es la probabilidad de seleccionar una encuesta al azar y sea de la sucursal norte o sur? 𝑃 𝑛𝑜𝑟𝑡𝑒 ∪ 𝑆𝑢𝑟 = 𝑃 𝑛𝑜𝑟𝑡𝑒 + 𝑃 𝑠𝑢𝑟 270 295 565 + = = 0,565 = 56.5% 1000 1000 1000 Cual es la probabilidad que a una persona la hayan tratado regular o bien? 𝑃 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 ∪ 𝑏𝑖𝑒𝑛 = 𝑃 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 + 𝑃 𝑏𝑖𝑒𝑛 235 440 675 + = = 0675 = 67.5% 1000 1000 1000 Que pasa cuando los eventos pueden suceder al mismo tiempo (cuando existe una intercepción), cuando nos piden filas contra columnas. Cual es la probabilidad de que una persona halla visitado la sucursal Sur y lo hallan tratado bien.? 𝑃 𝑠𝑢𝑟 ∪ 𝑏𝑖𝑒𝑛 = 𝑃 𝑠𝑢𝑟 + 𝑃 𝑏𝑖𝑒𝑛 − 𝑃 𝑠𝑢𝑟 ∪ 𝑏𝑖𝑒𝑛 295 440 165 570 + − = = 0.57 = 57% 1000 1000 1000 1000 Cual es la probabilidad de que una persona lo hallan tratado mal y halla visitado la sucursal este? 𝑃 𝑚𝑎𝑙 ∪ 𝑒𝑠𝑡𝑒 = 𝑃 𝑚𝑎𝑙 + 𝑃 𝑒𝑠𝑡𝑒 − 𝑃 𝑚𝑎𝑙 ∪ 𝑒𝑠𝑡𝑒 325 195 35 485 + − = = 0.485 = 48.5% 1000 1000 1000 1000 Dado que: 𝑃(𝐴 ∪ 𝑏) 𝑃(𝑎 𝑏) = 𝑃(𝑏) Cual es la probabilidad de que una persona la hayan tratado bien, dado que se sabe que fue a la sucursal sur? 165 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑃( 𝑠𝑢𝑟) = 295 = 0.5593 = 55,94% Cual es probabilidad de encontrarme a una persona que halla asistido a la sucursal norte dado que sabemos que lo trataron regular? 50 𝑛𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑃( 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) = 235 = 0.2127 = 21,27 Probabilidad Total Sea 𝐴1, 𝐴2 , … 𝐴𝑛 un sistema completo de eventos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinto de Cero, y sea B un evento cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales 𝑃(𝐵 𝐴1 ) entonces, la probabilidad del evento B, llamada probabilidad total, se calcula empleando la siguiente fórmula: El Teorema de la probabilidad total es aquel que nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas. Ejemplo: Supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%). Ejemplo: Al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total. Ejemplo: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: A) Amarilla: probabilidad del 50%. B) Verde: probabilidad del 30% C) Roja: probabilidad del 20%. Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%. b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60% c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%. Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100% 2.- Aplicamos la fórmula: Luego: P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54 Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54% Teorema de Bayes Nos sirve para responder preguntas de tipo condicional. Si 𝐵1 + 𝐵2 + ⋯ 𝐵𝑘 son eventos que constituyen una participación del espacio muestral S con 𝑃(𝐵𝑖 ) > 0 para 𝑖 = 1,2 … 𝑘, entonces para cualquier evento A en S tal que 𝑃(𝐴) > 0 𝐵1 + 𝐵2 + ⋯ 𝐵𝑘 res presentan un partición del espacio muestral S, como son una participación significa que nunca van a suceder de forma simultanea, son eventos disyuntos además la reunión de todos ellos van a dar el espacio muestral. Existe otro elemento que interviene que es elemento se puede observar de manera simultanea con cada uno de los elementos 𝐵1 + 𝐵2 + ⋯ 𝐵𝑘 que es el evento A. El teorema de Bayer prácticamente nos ayuda a contestar preguntas como cual es la probabilidad de que observado un efecto A la causa halla sido 𝐵𝑟 𝑃 𝐵𝑟 𝐴 =? Probabilidad de que sucedan los dos elementos a la vez 𝑃 𝐵𝑟 𝑃 𝐴 𝐵𝑟 𝑃(𝐵𝑟 ∩ 𝐴) 𝑃 𝐵𝑟 𝐴 = 𝑘 = 𝑃(𝐴) Σ𝑖 𝑃 𝐵𝑖 𝑃 𝐴 𝐵𝑖 Ejemplo: Hay dos métodos A y B, para enseñar cierta destreza industrial. El porcentaje de fracaso del método A es el 20% y el B el 10%; Sin embargo como el método B es el más caro se aplica solo el 30% del tiempo (el otro 70% se utiliza el método A). Una trabajadora recibió capacitación con uno de los métodos pero no aprendió la destreza. ¿ Cual es la probabilidad de que se le haya enseñado con el método A? 𝑃 𝐴 𝐹 =? 𝑃 𝐹 𝐴 = 0.2 𝑃 𝐴 = 0.7 𝑃 𝐹 𝐵 = 0.1 𝑃 𝐵 = 0.3 𝑃 𝐴𝐹 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐹𝐴 0.7 × 0.2 = = 0.8235 𝑃 𝐴 𝑃 𝐹 𝐴 +𝑃 𝐵 𝑃 𝐹 𝐵 0.7 × 0.2 + 0.3 × 0.1 La materia de estadística diferencial la dictan 3 profesores (Raúl, Pedro y Juan) Raúl el semestre pasado dicto 3 grupos, Pedro 2 y Juan 5. A Raúl el 80% de los estudiantes a reprueban, a Pedro el 75% y a Juan 90%. Un padre vino a reclamar la nota de su hijo que se sabe que reprobó la materia el semestre pasado, cual es la probabilidad de que el docente haya sido Pedro? Raul 0.7 𝑃 𝐴 = 0.7 𝑃 𝐴 = 0.7
